Příklad 10 Počasí o 3 stavech [dr.Budíková ] Předpokládáme, že v nějaké oblasti (asi tak norské atlantické pobřeží) může být počasí jen ve 3 stavech (déšť , jasno, sníh). Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že nikdy nebývají ani 2 jasné dny za sebou: jestliže je v jistém dni jasno, pak v dalších dni bude padat buď déšť nebo sníh, a to se stejnou pravděpodobností. Jestliže v určitém dni prší nebo sněží, pak následující den se počasí buď nezmění (s prstí 0,5) nebo se změní a z toho v polovině případů bude jasno. Popište průběh počasí homogenním Markovovým řetězcem, charakterizujte všechny tři stavy a najděte jeho stacionární rozdělení. Řešení : Matice pravděpodobností přechodu má pro tuto situaci následující tvar: číslování stavů (podle komor) 0 1 2 déšť jasno sníh Ze schématu je zřejmé (některá z mocnin matice P má jen nenulové prvky)[1], že každý stav je dosažitelný z kteréhokoliv jiného stavu. Řetězec je nerozložitelný a tedy všechny jeho stavy jsou stejného typu. Současně je zřejmé, že - protože jde o konečný řetězec – řetězec nemůže obsahovat trvalé nulové stavy a ani ne přechodné stavy, protože všechny stavy přechodné být nemohou. Existuje tedy stacionární rozdělení, které nalezneme výpočtem: (redundantní) s doplňující rovnicí Jednoduchými úpravami všech tří „aktivních“ rovnic , Dostaneme: neboli a tedy komparací tj. resp. a také dostaneme stacionární řešení: tj. neboli procentuálně . Doplnění: střední doby návratu udává vektor: . Interpretace: Znamená to tedy, že od sněžení do sněžení nebo od deštivého dne k deštivému dni uplyne v průměru 2,5 dne, zatímco k návratům do jasného dne bude docházet v průměru jen 1x za 5 dní. Všechny stavy jsou tedy trvalé, nenulové, vzájemné dosažitelné po max. 2 krocích. Stav 1 (jasný den) je periodický s periodou 2, ostatní dva jsou neperiodické. dosažitelné. ________________________________ [1] Stačí spočíst P^2 (již ta má jen nenulové prvky) nebo P^4.