Příklad 14 [ VK př. 2.4 str.24 ] Předpokládejme, že týdenní poptávka po určité položce zásob (např. BTV) je charakterizována pravděpodobnostním rozdělením uvedeným v tabulce 1 Velikost poptávky: 0 1 2 3 4 Prst výskytu poptávky: 0,2 0,2 0,4 0,1 0,1 Interval pořízení zásob činí 1 týden. Náklady objednávky činí 100 PJ, skladovací náklady na jeden BTV po dobu jednoho týdne činí 40 PJ[1]. Prodejem jednoho kusu položky zásob (BTV) je dosaženo zisku 200 PJ. Záměrem je provést analýzu strategie řízení zásob BTV uvedené v tabulce 2 Stav zásob počátkem týdne: 0 1 2 3 4 Velikost objednávky: 3 3 0 0 0 K posouzení příslušné strategie řízení zásob je třeba stanovit očekávané náklady spojené se zásobovacím procesem. Sestavíme proto MPP, přičemž stavem procesu budeme rozumět velikost počáteční zásoby v každém období. Při uplatnění strategie řízení zásob uvedené v Tabulce 2, se proces může nacházet v jednom z pěti stavů: S0,S1,S2,S3,S4. Nachází-li se proces ve stavu S0, objednají se 3 kusy BTV, které budou dodány na sklad na začátku příštího týdne. Proces tedy může přejít ze stavu S0 pouze do stavu S3, takže , a tedy . Nachází-li proces ve stavu S1, může přejít jen do stavu S4, byla-li ve výchozím období poptávka nulová nebo do stavu S3, byla-li poptávka ve výchozím období 1, 2, nebo 3 kusy BTV. Proto , a . Nachází-li se proces ve stavu S2, nemůže přejít při zvolené strategii objednávek do stavů S3 a S4, tedy . Byla-li ve výchozím týdnu poptávka nulová, setrvá proces s prstí , s prstí přejde do stavu 1, byl-li během týdne poptáván právě 1 kus a s prstí přejde do stavu 0, byla-li poptávka v tomto týdnu po 2,3 nebo 4 kusech. Obdobně bychom stanovili zbývající pravděpodobnosti přechodu a dostaneme MPP ve tvaru stavy s0 s1 s2 s3 s4 Tato matice pravděpodobností přechodu odpovídá MMP s vlastnosti regulárního Markovova řetězce, protože všechny stavy řetězce tvoří uzavřenou třídu stavů a jsou ergodické (řetězec je zřejmě nerozložitelný). Má tedy smysl hledat limitní stacionární vektor , který získáme obvyklým řešením soustavy za podmínky . Výpočtem této soustavy rovnic dostaneme řešení: Z interpretace těchto limitních prstí plyne, že se během delšího časového úseku při uvažované obchodní strategii řízení zásob setkáme s tím, že v 17,28% z celkového počtu týdnů nebude na skladě žádný BTV, ve 20,61% z celkového počtu týdnů budeme začínat období s jedním BTV na skladě, atd. Na základě znalosti těchto hodnot můžeme přistoupit je kalkulaci nákladů spojených s užitím uvažované strategie řízení zásob. Podle ní objednáváme tehdy, činí-li zásoba na skladě počátkem týdne 0 nebo 1 kus. Tato situace nastává dohromady ve 37,9% z celkového počtu týdnů. Proto střední týdenní hodnota nákladů na objednávání bude činit 0,379 x 100 = 37,9 PJ. Je-li proces ve stavu S0, nevznikají žádné náklady na skladování zásob, ale současně nedocilujeme žádného zisku za každý kus, který by mohl být prodán. Je-li proces ve stavu S1, pak v běžném týdnu - s prstí 0,8 prodáme v běžném týdnu jeden kus a s prstí nám tento jeden kus zůstane celý týden na skladě, což bude spojeno s skladovacími náklady ve výši 0,2*1.40 = 8PJ Očekávaný hrubý zisk při stavu 1 je tedy 0,8*1*200 - 0,2*1.40 = 152 PJ. Je-li proces ve stavu S2, pak v běžném týdnu - s prstí 0,2 neprodáme nic (výnos 0) a s prstí 0,2 nám oba BTV zůstanou celý týden na skladě (náklad 0,2*2*40PJ=16PJ), - s prstí 0,2 prodáme jeden kus (výnos 0,2*1*200PJ=40PJ ) a s prstí 0,2 nám zbývající BTV zůstane celý týden na skladě (náklad 0,2*1*40PJ=8PJ), - s prstí 0,6 prodáme 2 kusy (činí-li poptávka 2 či více BTV) (výnos 0,6*2*200PJ=240PJ ) a s prstí 0,6 nám nezůstane na skladě nic (náklad 0,6*0*40PJ=0 PJ) Očekávaný hrubý zisk při stavu 2 je tedy 0+40+240-16-8-0 = 256PJ Je-li proces ve stavu S3, pak v běžném týdnu - s prstí 0,2 neprodáme nic (výnos 0) a s prstí 0,2 nám tři BTV zůstanou celý týdne na skladě (náklad 0,2*3*40PJ=24 PJ) - s prstí 0,2 prodáme jeden kus (výnos 0,2*1*200PJ=40PJ ) a s prstí 0,2 nám zbývající 2 BTV zůstanou celý týden na skladě (náklad 0,2*2*40PJ=16PJ), - s prstí 0,4 prodáme 2 kusy (činí-li poptávka přesně 2 BTV) (výnos 0,4*2*200PJ=160PJ ) a s prstí 0,4 nám zbývající 1 BTV zůstane celý týden na skladě (náklad 0,4*1*40PJ=16PJ), - s prstí 0,2 (0,1+0,1) prodáme 3 ks (je-li poptávka 3 nebo4 BTV) (výnos 0,2*3*200PJ=120PJ ) a s prstí 0,2 nám nezůstane na skladě nic (náklad 0,2*0*40PJ=0 PJ) Očekávaný hrubý zisk při stavu 2 je tedy 0+40+160+120- 24-16-16-0 = 264PJ Je-li proces ve stavu S4, pak v běžném týdnu - s prstí 0,2 neprodáme nic (výnos 0) a s prstí 0,2 nám čtyři BTV zůstanou celý týdne na skladě (náklad 0,2*4*40PJ=32 PJ) - s prstí 0,2 prodáme jeden kus (výnos 0,2*1*200PJ=40PJ ) a s prstí 0,2 nám tři zbývající 2 BTV zůstanou celý týden na skladě (náklad 0,2*3*40PJ=24PJ), - s prstí 0,4 prodáme 2 kusy (činí-li poptávka přesně 2 BTV) (výnos 0,4*2*200PJ=160PJ ) a s prstí 0,4 nám zbývající 2 BTV zůstanou celý týden na skladě (náklad 0,4*2*40PJ=32PJ), - s prstí 0,1 prodáme 3 ks (je-li poptávka 3 BTV) (výnos 0,1*3*200PJ = 60PJ ) a s prstí 0,1 nám zbývající 1 BTV zůstane celý týden na skladě (náklad 0,1*1*40PJ=4PJ), - s prstí 0,1 prodáme 4 ks (je-li poptávka 4 BTV) (výnos 0,1*4*200PJ = 80PJ ) a s prstí 0,1 nám nezůstane na skladě nic (náklad 0,1*0*40PJ=0 PJ) Očekávaný hrubý zisk při stavu 2 je tedy 0+40+160+60+80 - 32-24-32-4 = 340-92 = 248 PJ Výsledky jsou soustředěny v závěrečné tabulce 3 Stav zásob počátkem týdne: 0 1 2 3 4 Očekávaný hrubý zisk: 0 152 256 264 248[2] Z hodnot limitního vektoru a víme, jak často se v delším časovém období budeme setkávat s hodnotami jednotlivých počátečních týdenních stavů. Celkový očekávaný (průměrný) týdenní čistý zisk[3] z prodeje BTV proto činí: peněžních jednotek. ________________________________ [1] Když se BTV prodá v průběhu týdne, nepočítají se žádné skladovací náklady [2] V učebnici je chybný údaj 246 [3] Pokud ovšem nepočítáme náklady objednávek