Příklad 2A – Urnové schéma 1 [přemisťování kuliček]                           [dr.Budíková]


Máme černou a bílou urnu a dohromady 5 koulí. Na počátku jsou všechny koule v černé urně. Činíme
opakovaná přemisťování koulí z jedné urny do druhé: V každém kroku náhodně vybereme jednu kouli
(výběr kterékoliv koule je stejně pravděpodobný) a přemístíme ji do druhé urny. Formulujeme
homogenní Markovův řetězec   s množinou stavů , přičemž , když v n-tém kroku pokusu bude v černé
urně právě j  koulí.

A) Najděte matici pravděpodobností přechodu a nakreslete přechodový diagram:


B) Najděte stacionární rozdělení tohoto HMŘ


s doplňkovou podmínkou  .

Řešení  bude mít podobu

C) Vypočtěte střední hodnotu počtu koulí v černé urně po stabilizaci průběhu procesu (v době
dostatečně vzdálené od počátečního stavu):

Definujme náhodnou veličinu X : počet koulí v černé urně po stabilizaci. Pak











Příklad 2B – Ehrenfestovo hypotetické schéma                                     [Karlin-Taylor]

Jde o klasický matematický model difúze částic přes membránu, popsatelný náhodnou procházkou
s konečným počtem stavů, kde hraniční stavy jsou odrážející. Náhodná procházka je omezena na stavy


Pravděpodobnosti přechodu jsou dány tímto schématem

                                             ,

Fyzikální interpretace tohoto modelu je následující: Představme si dvě nádoby, které dohromady
obsahují dohromady  kuliček. Předpokládejme, že první nádoba označená A má  kuliček, a druhá nádoba
B obsahuje  kuliček. Každá kulička je vybírána náhodně (přičemž všechny výběry jsou stejně
pravděpodobné z celkového úhrnu  kuliček) a je přemístěna do druhé nádoby. Každý výběr znamená
změnu stavu procesu. Zřejmě kuličky fluktuují mezi oběma nádobami s driftem od nádoby s velkou
koncentrací kuliček do druhé nádoby s menší koncentrací kuliček.

Tímto Ehrenfestovým modelem může být aproximován fyzikální systém který je v podstatě je ovládán
množinou vyvažujících sil v podstatě úměrných vzdálenosti od rovnovážného stavu může být
aproximován. (Řádkové součty jsou zřejmě 1).

Úloha: znázorněte příslušnou MPP Ehrenfestova schématu (zvolme např. a= 4) :

Zvolíme-li a= 4, pak možné stavy procesu jsou tedy   -4,-3,-2, -1,0,1,2,3,4


Znamená to tedy, že při zvoleném a = 4 budeme mít celkem 9 stavů a nenulové pravděpodobnosti budou
u těchto v úvahu přicházejících přechodů:

 ,  ,  ,

 ,     ,  ,

  a konečně


Příslušná MPP bude tedy mít tvar (odpovídající MPP nesymetrické náhodné procházky konečného řetězce
s odrážejícími stěnami)

                                   S-4    S-3    S-2    S-1     S0      S1     S2     S3     S4


Úlohou by mohlo být nalezení stacionárního rozdělení tohoto řetězce (s prověřením toho, že toto
rozdělení existuje)