Příklad 5 se 3 kamerami Uvažujme následující problém se zásobami: Máme obchod s foto- a optickými přístroji, který mj. prodává určitý typ kamer . Objednávky tohoto typu se uskutečňují jednou za týden, vždy v pátek. Nechť náhodné veličiny ... představují poptávku po kamerách (vyjádřenou počtem nakoupených kusů) tohoto typu během prvního týdne, druhého týdne, .... Předpokládá se, že jsou nezávisle a stejně rozdělení náhodné veličiny, které mají nějaké známé pravděpodobnostní rozdělení. Nechť´ představuje počet kamer při zahájení prodeje, je počet kamer na konci prvního týdne, je počet kamer na konci prvního druhého, a tak dále. Předpokládejme, že na počátku jsou v prodejně tři kamery, tj. . V sobotu večer obchod provede objednávku, a přes víkend se uskuteční dodávka objednaného počtu kamer, která se do prodejny dostane v pondělí před zahájením prodeje.. Obchodník uplatňuje následující (s,S) objednávkový režim: tento režim spočívá v objednávání S jednotek, kdykoliv zásoba kamer klesne pod s ( . Jestliže je hladina zásob s nebo větší, neobjednává se nic. Obchod uskutečňuje následující objednávkovou politiku[1]: Jestliže je počet kamer určených k prodeji menší než (žádná kamera není na skladě), obchod objednává (až do výše) . Jinak, obchod neobjednává (je-li nějaká kamera na skladě , žádná objednávka se neuskuteční). Předpokládá se, že nerealizované obchody jsou ztracené, jestliže poptávka převýší dostupné zásoby[2]. Zřejmě posloupnost náhodných veličin je stochastický proces. Možné stavy procesu jsou celá čísla 0,1,2,3 představující možné počty kamer v prodejně na konci týdne. Vskutku, náhodné proměnné jsou zřejmě závislé a mohou být vyhodnoceny iterativně=rekurzívně pomocí výrazu , pokud . , pokud . pro Jak je zřejmé, stav na konci týdne je dán stavem na počátku , resp. , což je velikost plné dodávky při předtím vyprodané zásobě minus objem prodeje uskutečněného v t+1 týdnu . Tento příklad je použit pro ilustrativní )účely vícekrát v průběhu následujícího výkladu. Sekce 15.3 dále definuje typ stochastického procesu uvažovaného v této kapitole. Počáteční stav znamená 3 kamery na skladě: . Předpokládejme, že se nákupy vyvinou tak, že na konci 1. týdne máme 2 kamery a na konci druhého týdne zůstane 1 kamera: . Na konci 3.týdne, během kterého se prodá poslední třetí kamera, nebude v prodejně nic: , pak se na konci týdne nakoupí 3 kamery. V následujícím 4.týdnu se nic neprodá, takže stav na konci nezmění . V pátém týdnu se prodají 2 kamery, takže na jeho konci bude stav Tedy: doba prvního přechodu ze stavu 3 do stavu 1 jsou 2 týdny, doba prvního přechodu ze stavu 3 do stavu 0 jsou 3 týdny, doba prvního návratu ze stavu 3 do stavu 3 jsou 4 týdny, doba prvního návratu ze stavu 3 do stavu 2 je 1 týden, zatímco: střední doba přechodu ze stavu 3 do stavu 1 jsou (2+5)/2=3,5 týdne, střední doba přechodu ze stavu 3 do stavu 0 jsou 3 týdny, střední doba návratu ze stavu 3 do stavu 3 jsou 4 týdny, střední doba návratu ze stavu 3 do stavu 2 je 1 týden, (to vše, pokud by proces již dále nepokračoval a pokud bychom nespecifikovali rozdělení). V příkladě 5 se 3 kamerami, rozdělení pravděpodobnosti doby prvního přechodu ze stavu 3 do stavu 0 lze získat následovně: .......................................................... Pro pevná i a j, jsou nezáporná čísla, taková, že Bohužel však tento součet může být ostře menší než 1, což znamená, že proces, který je na počátku ve stavu i nemusí nikdy dospět do stavu j[3]. Pokud se tento součet rovná 1, pak může být chápáno jako pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny doba prvního přechodu (ze stavu i do stavu j ). V příkladě 5 s kamerami – ačkoliv všechny stavy jsou trvalé (jak bude dále ukázáno), není až tak snadné ukázat, že . Vrátíme-li se k příkladu se zásobami kamer, je zřejmé, že , kde je počet kamer na skladě na konci t-tého týdne (předtím, než se obdrží objednávka) je Markovský řetězec. Nyní uvažme, jak získáme (jednokrokové) pravděpodobnosti přechodu, tj. prvky (jednokrokové) matice přechodu: za předpokladu, že každé má Poissonovo rozdělení s parametrem . Abychom získali , je nutné vyhodnotit . Jestliže , potom . Tedy , jestliže , pak poptávka během týdne musí být 3 nebo více.[4] Odtud . Tato pravděpodobnost přechodu je právě pravděpodobnost, že Poissonovská náhodná veličina Dt s parametrem nabude hodnotu 3 nebo více, což je získatelné z tabulky A54, takže . může být získána podobným způsobem: Jestliže , pak . Abychom měli , poptávka během týdne musí být 1 nebo více. Tedy ( opět z tabulky A54). Abychom určili , zaznamenejme, že , jestliže . Tedy , jestliže , potom poptávka během týdne musí být přesně 1 . Odtud . ( opět z tabulky A54). Hodnoty distribuční funkce náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením s parametrem , tj. (záporné hodnoty se nenabývají) , odtud , , odtud , , odtud , dostaneme , pokud . , pokud . pro Komentář k výpočtu jednotlivých prvků matice P : vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne zásoba vyčerpána, pak se nakoupí na jeho konci 3 kamery a ty se během týdne všechny vyprodají (takže poptávka byla ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne zásoba vyčerpána, tudíž se nakoupí na jeho konci 3 kamery a během t-tého týdne se prodají 2 kamery (takže poptávka byla ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne zásoba vyčerpána, tudíž se nakoupí na jeho konci 3 kamery a během t-tého týdne se prodá 1 kamery (takže poptávka byla ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne zásoba vyčerpána, tudíž se nakoupí na jeho konci 3 kamery a během t-tého týdne se neprodá žádná (takže poptávka byla ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 1 kamera, nic více se neobjedná a v následujícím týdnu se ta jedna kamera vykoupí ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 1 kamera, nic více se neobjedná a v následujícím týdnu se ta jedna kamera neprodá (takže poptávka ). vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 1 kamera, nic více se neobjedná. V dalším týdnu se počet kamer bez objednání zvýšit nemůže. Takže vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 1 kamera, nic více se neobjedná. V dalším týdnu se počet kamer bez objednání zvýšit nemůže. Takže vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 2 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se ty dvě kamery vykoupí ). . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 2 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se jedna z nich vykoupí ). . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 2 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se žádná neprodá ). . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 2 kamery, nic se tedy neobjedná. V následujícím t-tém týdnu tedy stav kamer nemůže být vyšší než 2. . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 3 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se všechny tři kamery vykoupí ). . vystihuje situaci, kdy jsou na konci t-1 týdne 3 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se dvě z nich prodají ). . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 3 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se jedna z nich prodá ). . vystihuje situaci, kdy je na konci t-1 týdne 3 kamery, nic se tedy neobjedná a v následujícím t-tém týdnu se žádná neprodá . . V příkladě 5 s kamerami počáteční stav znamená 3 kamery na skladě: . Předpokládejme, že se nákupy vyvinou tak, že na konci 1. týdne máme 2 kamery a na konci druhého týdne zůstane 1 kamera: . Na konci 3.týdne, během kterého se prodá poslední třetí kamera, nebude v prodejně nic , pak se na konci týdne nakoupí 3 kamery. V tomto 4.týdnu se nic neprodá, takže stav na konci nezmění . V 5. týdnu se prodají 2 kamery, takže na konci bude stav Vypočtěme pro daný příklad matici pravděpodobností přechodu po dvou krocích. Takže pokud je na konci týdne v obchodě jedna kamera, pak s pravděpodobností 0,283 nezbude o dva týdny později na skladě kamera žádná . Podobně, pokud jsou na konci jednoho týdne v obchodě 2 kamery, budou o dva týdny později v obchodě právě 3 kamery s pravděpodobností 0,097 . Pravděpodobnost toho, že za stejného výchozího stavu dojde během dvou týdnů k úplnému vyprodání kamer, je zřejmě 0,351. Matice pravděpodobností přechodu po čtyřech krocích bude vypadat takto Takže pokud je na konci týdne v obchodě jedna kamera, pak s pravděpodobností 0,282 nezbude o čtyři týdny později na skladě kamera žádná . Podobně, pokud jsou na konci jednoho týdne v obchodě 2 kamery, budou o čtyři týdny později v obchodě právě 3 kamery s pravděpodobností 0,171 . Pravděpodobnost toho, že za stejného výchozího stavu dojde během 4 týdnů k úplnému vyprodání kamer, je zřejmě 0,284, neboť . Pravděpodobnosti přechodu po jednom nebo po n-krocích jsou podmíněné pravděpodobnosti. . Pokud bychom potřebovali určit nepodmíněné pravděpodobnosti, musíme specifikovat pravděpodobnostní rozdělení počátečního (výchozího) stavu. Nazvěme ho , kde pro i=0,1,2,....,M . Pak zřejmě plyne V příkladě 5 s kamerami jsme učinili předpoklad, že počáteční stav byl dán 3 kamerami v prodejním skladě. Takže a současně . Vektor počátečních pravděpodobností má tedy rozdělení Tedy nepodmíněná pravděpodobnost toho, že budou i po dvou týdnech v prodejně právě 3 kamery je 0,165, neboť Alternativa: Pokud bychom na počátku na rozdíl od přijatého výchozího stavu přijali rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti všech stavů tj. , dostali bychom Poznámka: Okolnost, že tentýž výsledek (nezávisle na přijatém výchozím rozdělení prsti ) byl získán použitím dvou zcela odlišných počátečních rozdělení pravděpodobnosti je čistě náhodná. Distribuční funkce Poissonova rozdělení s parametrem je dána vztahem . Pak zřejmě Distribuční funkciPoissonova rozdělení s parametrem 1 ze zapsat jako Spočtěme některé hodnoty příslušné pravděpodobnostní funkce tohoto rozdělení .... atd. Další pokračování Příkladu 5 s kamerami - střední doba přechodu V příkladě se zásobami kamer mohou být tyto rovnice použity ke spočtení očekávané doby, během které zásoba kamer dojde, pokud proces začne tehdy, jsou-li na prodejně tři kamery. Může být přitom získána tzv. očekávaná/střední doba prvního přechodu (ze stavu 3 do stavu 0). Pro výpočet středních dob přechodu lze u ergodického řetězce užít tento postup: Řešíme soustavu rovnic tvaru , neboli , maticově tedy Pokud předpokládáme, že jsou všechny stavy trvalé, (jak bylo dříve ukázáno), pak soustava rovnic vede k výrazům , jmenovitě neboli po dosazení pravděpodobností z MPP: , protože mj. Simultánní řešení této soustavy rovnic je následující . takže očekávaná doba, než se vyčerpá zásoba kamer, pokud byly na počátku v prodejně 3 kamery, je 3,50 týdne. Při provádění těchto výpočtů dostáváme současně očekávané doby a , což jsou doby (v týdnech), během kterých by došlo k vyčerpání počáteční zásoby, pokud by tato počáteční zásoba byla 2 , resp. 1 kamera. V příkladě s kamerami počáteční stav znamená 3 kamery na skladě: . Předpokládejme, že se nákupy vyvinou tak, že na konci 1. týdne máme 2 kamery a na konci druhého týdne zůstane 1 kamera: . Na konci 3.týdne, během kterého se prodá poslední třetí kamera, nebude v prodejně nic: , pak se na konci týdne nakoupí 3 kamery. V následujícím 4.týdnu se nic neprodá, takže stav na konci nezmění . V pátém týdnu se prodají 2 kamery, takže na jeho konci bude stav ________________________________ [1] Malé s označuje počet kamer na skladě, velké S počet objednávaných kamer. [2] Rozuměno, to, že neuspokojený zákazník už do obchodu později nepřijde (kameru si koupí jinde) [3] Tak tomu bude, není-li stav j dosažitelný ze stavu i. [4] Aby se zásoba do konce týdne zcela vyprodala.