Příklad 7 – Výrobní linka v provozu/opravě [VK příklad 2.1, str.15] Uvažujeme provoz výrobní linky, která se může nacházet ve dvou stavech: v provozu (stav 1) nebo v opravě (stav 2). Dlouhodobým sledováním provozu této linky se dopělo k následujícím závěrům. Pokud se výrobní linka v jednom období nacházela ve stavu provozu, pak v dalším období v 50% případů zůstala v provozu a v 50% případů se nacházela v opravě. Pokud se výrobní linka nacházela ve stavu opravy, pak v dalším období v 75% případů zůstala výrobní linka v opravě a v 25% případů přešla do provozu. V tomto jednoduchém příkladě jsou uvedeny dva stavy, výrobní linka v provozu a výrobní linka v opravě. Dané relativní četnosti je možno interpretovat jako pravděpodobnosti přechodu. Potom matice podmíněných pravděpodobností přechodu má tvar Stavy 1 2 Vektor absolutních pravděpodobností stavů vypočteme dle vztahu A) Předpokládejme, že na počátku se výrobní linka nachází ve stavu provozu, tj. . Vektor absolutních pravděpodobností stavů po prvním období bude tedy , Znamená to tedy, že po uplynutí prvního období budou provoz i oprava výrobní stejně pravděpodobné. Vektor absolutních pravděpodobností po 2. období bude , Tedy pravděpodobnost, že výrobní linka bude v provozu i po druhém období, je 0,375 a pravděpodobnost, že výrobní linka bude v opravě je 0,625. Podobně je možné nalézt vektory absolutních pravděpodobností stavů po dalších obdobích. Hodnoty složek vektoru absolutních prstí pro prvních pět období jsou souhrnně uvedeny v tabulce: Tabulka 1 TAB1 n 0 1 2 3 4 5 6 p[1]^(n) 1 0,5 0,375 0,3438 0,3359 0,334 p[2]^(n) 0 0,5 0,625 0,6562 0,6641 0,666 B) V případě, že na počátku sledování byla výrobní linka v opravě, tedy vektor výchozích absolutních prstí , je možné stanovit vektory absolutních prstí pro následující období takto: , , Analogicky bychom stanovili vektory absolutních prstí pro třetí až páté období. Souhrnně jsou všechny hodnoty uvedeny v tabulce 2. Tabulka 2 TAB2 n 0 1 2 3 4 5 6 p[1]^(n) 0 0,25 0,3125 0,3281 0,332 0,333 [2]^(n) 1 0,75 0,6875 0,6719 0,668 0,667 Budeme-li předpokládat, že se oba stavy mohou stále vyskytovat, můžeme stanovit limitní rozdělení absolutních pravděpodobností vektoru pomocí limitního vektoru a . Složky limitního vektoru a stanovíme řešením soustavy rovnic s užitím podmínky . Pro daný příklad bude mít soustava tvar , Po jednoduché úpravě dostáváme soustavu včetně podmínky . Jednu z rovnic touto podmínkou nahradíme a soustavu snadno vyřešíme. Výsledný stacionární vektor a má tyto složky . Znamená to, že po dostatečně dlouhé době bude výrobní linka v provozu s pravděpodobností 0,3333 a v opravě s pravděpodobností 0,66667. Srovnáme-li tyto limitní pravděpodobností se složkami vektoru absolutních pravděpodobností po prvních pěti obdobích, vidíme, že se systém stabilizuje velmi rychle, protože vektor limitních pravděpodobností se od vektoru absolutních pravděpodobností pro páté období liší jen nepatrně.