P10 – Spojité MP – Procesy množení a zániku

2.5  Procesy množení a zániku   [ birth-and-death processes ]

Značné množství problémů (mj. řešených v modelech hromadné obsluhy) lze efektivně analyzovat pomocí
procesů množení a zániku. Narození je představováno např. příchodem zákazníků do obchodu,
zánik/úmrtí jeho opuštění poté, co nakoupil zboží.

Zavedeme některá označení a výchozí předpoklady. Narození a zánik/úmrtí v populaci jsou nezávislé
jevy. Pravděpodobnost, že v k-členné populaci dojde během intervalu   je  , tj.

P {1 narození během doby , pokud populace má k členů} =

Dále:

P {0 narození během doby  ,pokud populace má k členů} =

P {1 zániku během doby  , pokud populace má k členů} =

P {0 zániku během doby  ,pokud populace má k členů} =  .

Je zřejmé, že v populaci, která má 0 členů, nemůže dojít k úmrtí, takže položíme , nad druhé straně
ale předpokládáme, že v nulové populaci může dojít ke zrození, takže . Jak je bezprostředně patrné
z předchozího, jsou pravděpodobnosti narození a úmrtí více jedinců populace během intervalu  při
zanedbatelné, protože jsou rovny  .

Označme  nepodmíněnou pravděpodobnost, že populace má v okamžiku t právě k členů   . Je zřejmé, že
platí vztah  .

Při odvození vztahů pro  budeme vycházet z následujících úvah:

Populace bude mít v okamžiku  velikost  právě tehdy, když nastane právě jen z těchto disjunktních
jevů:

a) populace má v okamžiku  velikost  a během  nedojde k žádné změně.

b) populace má v okamžiku  velikost  a během  dojde k jednomu narození a jednomu zániku.

c) populace má v okamžiku  velikost  a během  dojde k jednomu narození a žádnému zániku.

d) populace má v okamžiku  velikost  a během  nedojde k žádnému narození a jednomu zániku.

Pro případ  budeme uvažovat  (jen) dvě možnosti:

a) populace má v okamžiku  velikost  a během  nedojde k žádnému narození.

b) populace má v okamžiku  velikost  a během  nedojde k žádnému narození ale dojde k jednomu
zániku.


Matice intenzit přechodu :

Číslování stavů:             0               1                     2
3                     4

(2.40)

Matice pravděpodobností přechodu  takto bude mít tvar


Číslování stavů:

                   0                         1
2                                 3                                4

(2.41)

Za těchto předpokladů můžeme vyjádřit hodnoty  a  ve formě součtů pravděpodobností příslušných jevů
takto:

(2.42AB)

   pro

     pro  .

Po úpravách (převedení  na pravou stranu a vydělení  ) dostaneme:

(2.43A)

Jak patrno, levá strana  v limitě pro  dává derivaci :

(2.44A)

Podobně máme v případě nultého stavu:

(2.43B)                 neboli v limitě

(2.44B)

Soustava těchto rovnic představuje popis dynamiky procesu množení a zániku z pravděpodobnostní
stránky. Pro tento proces je možné nalézt též limitní řešení.

Budeme-li předpokládat, že  , kde , pak derivace  po dostatečně dlouhém čase t jsou nulové a
soustava přechází v soustavu diferenčních rovnic pro .

(2.45A)

(2.45B)

Veličinu  můžeme interpretovat jako pravděpodobnost, že v náhodně zvoleném okamžiku (dostatečně
vzdáleném od počátku procesu) má uvažovaná populace právě   členů.

Soustavu (2.45AB) můžeme upravit do vhodnějšího výpočetního tvaru:

(2.46A)                        pro  , resp.

(2.46B)                        pro

Soustavu rovnic (2.46A) můžeme řešit postupně:  Z (2.46A) při k=0 dostáváme:

(2.47)           [1]

Pro k=2 dostáváme vztah


Metodou úplné indukce dospějeme k obecnému tvaru

(2.48)                                             .

Kromě vztahu (2.48) pak musí pro stacionární pravděpodobnosti  platit vztah

(2.49)                   , tj.   .

Pravděpodobnost  můžeme tedy vyjádřit jako

(2.50)                              .
________________________________

[1] Využili jsme přitom i vztah (2.46B).