P9A - Spojité MŘ – Poissonův proces

2.3  Poissonův proces

Značný význam v aplikacích mají i jednoduché Markovovy procesy, ve kterých pracujeme jen  s
omezenou množinou možností přechodu mezi jednotlivými stavy.

Nechť    je počet výskytů nějakého jevu v čase . Jestliže přitom jde jen o samotný výskyt jevů,
které se vzájemně liší jen různým umístěním v čase, mluvíme o tzv. bodovém procesu. Jde o
posloupnost jevů, které se vyskytují za sebou v určitých náhodných časových okamžicích.
Předpokládáme přitom, že počet výskytů jevu  může nabývat jen nezáporné celočíselné hodnoty  a jeho
přírůstky   pro libovolné  mohou také nabývat jen hodnoty  .

Za takový bodový proces můžeme pokládat počet nakupujících v určitém obchodě, počet hovorů
přicházející do telefonního přístroje, výskyt poruch na zařízení, počet vozidel přijíždějících ke
křižovatce apod.

Poissonův proces je charakteristický těmito vlastnostmi:

A. Proces  má nezávislé přírůstky: Jevy, které se vyskytnou v nepřekrývajících se časových
okamžicích, jsou navzájem nezávislé náhodné veličiny. Znamená to, že počet jevů připadajících na
určitý interval nezávisí na počtu jevů v jakémkoliv jiném intervalu. Jde tedy o vlastnost
nezávislosti.

B. Proces  má homogenní přírůstky. Intenzita vyskytujících se jevů , tj. střední hodnota počtu
těchto jevů za časovou jednotku (označme ji ) je konstantní. Tato  vlastnost se označuje jako
stacionarita a příslušné procesy se nazývají homogenní Poissonovy procesy. V případě, že by
intenzita výskytu jevů závisela na čase (s obecným značením ), bychom mluvili o nehomogenních
Poissonových procesech.

C. Pro  dostatečně malé a při neměnné hodnotě  jsou pravděpodobnosti přechodu ze stavu  do stavu
během intervalu  rovny

(2.20A)

Pro pravděpodobnosti setrvání ve stejném stavu během časového intervalu  platí

(2.20B)

Pravděpodobnosti jiných přechodů jsou v porovnání s předchozími zanedbatelné, tedy s vyjádřením

(2.20C)

Z přijatých předpokladů  vyplývá, že matice intenzit přechodu Poissonova procesu má tvar:

(2.21)

Pro pravděpodobnosti přechodu  tj. pravděpodobnosti, že systém bude v období  ve stavu ,  budou
dány vztahy

(2.22A)                                                      pro

(2.22B)     pro

Z těchto definičních vztahů dostaneme po úpravě

(2.23A)

(2.23B)

Limitním přechodem  pro  dostaneme

(2.24A)

(2.24B)

Počáteční podmínky popisující Poissonův proces jsou dány jako

                                              pro

                                              pro .

Rovnice (2.24) představují rekurentní soustavu diferenciálně-diferenčních rovnic. Její řešení
získáme integrováním a postupným dosazováním pro   .

Řešení obdobně odvoditelné pomocí vytvořujících funkcí této soustavy lze psát jako

(2.25)                                              ,

což je tvar hustoty Poissonova rozdělení ve vztahu k počtu změn za časový interval  . Člen   udává
pravděpodobnost toho, že za období délky t nedojde k žádné změně.

Je-li rozdělení počtu změn systému za určitou dobu Poissonovo, pak je pro tentýž proces rozdělení
dob mezi změnami exponenciální.

Matice pravděpodobností přechodu Poissonova procesu má tvar:

(2.26)