Cvičení z Teorie ekonometrie I    18.3.2009, 25.3.2009
•   Obsah: Metoda maximální věrohodnosti - vybrané otázky a ilustrace.
•   ML odhad. Vytvořte si vlastní umělý model (např. s dvěma vysvětlujícími proměnnými a úrovňovou konstantou) a odhadněte parametry tohoto modelu metodou maximální věrohodnosti. Srovnejte výsledky s odhady metodou nejmenších čtverců pro malé a velké vzorky. K odhadu parametrů využijte Matlabovskou funkci fminunc.
•  Využijte data v matlabovskem datovém souboru hpricel .mat k odhadu modelu prodejních cen domů v jednom městečku. Vyjděte z m-fajlu cv04_hpricel .m. Jako odhadové techniky opět využijte OLS popř. ML.
—  Zapište výsledky v rovnicovém vyjádření a interpretujte je.
—  Jaké je odhadované zvýšení ceny domu s dodatečnou ložnicí, přičemž rozloha domu se nemění?
—  Jaké je odhadované zvýšení ceny domu s dodatečnou ložnicí o rozloze 140 čtverečních stop? (porovnejte svou odpověď s předchozí otázkou)
—  Modifikujte svůj model pro analýzu toho, jestli koloniální styl domu ovlivňuje cenu za metr čtvereční.
—  Kolik procent variability v ceně domu je vysvětleno modelem?
—  Porovnejte skutečnou prodejní cenu prvního domu a cenou, kterou predikuje váš model. Jaké je příslušné reziduum? Znamená to, že kupec dal více než by měl?
—  Vymyslete si i další hypotézy a tomu odpovídající specifikace modelu, které lze na datovém vzorku testovat.
1
•   Regresní model s dvěma vysvětlujícími proměnnými. Pro regresní model y = a + ßx + e:
—  Ukažte,  že normální rovnice pro metodu nejmenších čtverců implikují YLi^-%  =  0 a
2_^i Xi&i       U.
—  Ukažte, že řešení pro úrovňovou konstantu je a = y — bx.
—  Ukažte, že řešení pro b je b = [Yh=Axí ~ %)(Vi ~ |/)]/Eľ=i(;rí ~~ ^)2]-
—  Dokažte, že tyto dvě hodnoty jednoznažně minimalizují součet čterců. Ukažte tedy, že diagonální prvky matice druhých derivací sumy čtverců podle jednotlivých parametrů jsou oba pozitivní a že determinant je roven 4n[(^™=i x2) — nx2] = ^n\Y^=l{xi — x)2] a je kladný pokud nejsou všechny hodnoty x stejné.
•   Změna v součtu čtverců. Předpokládejme, že b je vektor parametrů získaný metodou nejmenších čtverců regresí y na X a c je jiný vektor rozměru K x 1. Dokažte, že rozdíl dvou součtů čtverců reziduí je
(y - Xc)'(y - Xc) - (y - Xb)'{y - Xb) = (c- b)'X'X{c - b)
Dokažte,že tento rozdíl je kladný.
•   Lineární transformace dat. Předpokládejme regresi metodou nejmenších čtverců y na K proměnných (s konstantním členem) X. Předpokládejme alternativní sadu regresorů Z = XP, kdy P je nesingulární matice. Každý sloupec matice Z je tedy mixem některých sloupců X. Dokažte, že vektor reziduí v regresi y na X a y na Z jsou identické. Jaký význam to má pro otázku kvality (vystižení) regrese změnou měřítek u nezávislých proměnných?
•   Frisch and Waugh. V regresi pomocí metody nejmenších čtverců y na konstantu a X můžeme spočítat regresní koeficienty příslušející proměnným v matici X tak, že nejdříve transformujeme y na své odchylky od střední hodnoty (průměru) y a stejně tak upravíme sloupce matice X. Po té provedeme regresi takto centrovaných hodnot na transformované hodnoty matice X (již bez konstanty). Získáme stejné výsledky pokud takto budeme transformovat jen yl A co když transformujeme pouze XI Zkuste si tento postup i na empirických datech.
•   Předpokládejme, že Ed, En, Es jsou výdaje na tři kategorie zboží (consumer durables, non-durables and services). Celkový příjem (důchod) je pak dán jako Y = Ed + En + Es. Předpokládejme dále, že je dán výdajový systém:
Ed = ad + ßdY + jddPd + jdnPn + jdsPs + td
■L-Jn        Q-n   \   Pni      \   ^{nA^d   i   ^ínn±n   \   ^íns±s   \   ^n
Es = as + ßsY + jsdPd + %nPn + jssPs + es
—  Jestliže všechny rovnice odhadneme metodou nejmenších čtverců, dokažte, že součet důchodových koeficientů bude jednička a součet ostatních koeficientů (po sloupcích) bude nulový.
2