Stanovení chyby předpovědi


Uvažujme opět standardní normální lineární regresní model, u kterého jsme již předtím ověřili jeho
způsobilost k prognózování minimálně ve smyslu ověření stability modelové struktury.

Budeme pracovat s modelem v zápisu (pro predikované období o délce )

(1)

[][]       je [m-členný] sloupcový vektor hodnot vysvětlované (endogenní) proměnné, kterých nabude
v predikovaném období


      je [m x k– rozměrná] matice hodnot vysvětlujících (exogenních)

                        proměnných  realizovaných v predikovaném období


        je [ k-členný ] sloupcový vektor regresních parametrů ( hodnoty parametrů  přejímáme beze
změn z pozorovaného období)


       je [ m-členný ] sloupcový vektor náhodných složek predikovaného období

Předpokládáme přitom, že

a)                      ,     ,

tzn. že náhodné složky s nulovou střední hodnotou   v pozorovaném období

zůstanou centrované i v předpovídaném období.


b)                     , ;

tzn. že rozptyly náhodných složek pozorovaného i predikovaného období jsou shodné (rovné ).


c)                      , ;

tzn. že náhodné složky predikovaného  období jsou nekorelované navzájem i s náhodnými složkami
pozorovaného období.  Souhrnná  kovarianční matice   má tedy tvar

d)                     Náhodné složky jsou nekorelované s vysvětlujícími proměnnými  v pozorovaném
i v predikovaném období, tj.   pro

 pro .


Model můžeme přehledněji znázornit maticovým zápisem


Bodovou předpověď   m-členného vektoru závisle proměnné získáme pomocí

predikční funkce[1]  tvaru

(2)                                                        ,  kde

  je [ Txk –rozměrná ] matice pozorovaných hodnot  vysvětlujících proměnných.

Predikční funkce 2), jež je zřejmě lineární funkcí  , je nestrannou funkcí vektoru předpovědí
v tom smyslu, že pro ni platí

(3)

                                                [ X[p] je nestochastická ]     [ b je nestranný
odhad  ]

To znamená, že  střední hodnota predikční funkce je rovna střední hodnotě [2]

Poznámka  Neznamená to však , že [3]

Tvrzení: Lze ukázat, že predikční funkce 2) má ze všech nestranných predikčních funkcí (lineárními
v ) nejmenší v maticovém smyslu  kovarianční matici vektoru reziduí v období předpovědi, tj.
následujícího vektoru

Vektor chyb  definujeme jako odchylku (chybu)  předpovídané hodnoty   od skutečné :

(4)

Všimněme si, že zdrojem chyb předpovědi vektoru skutečných hodnot  je jednak variabilita náhodné
složky , jednak výběrová chyba odhadové funkce  zpravidla pořízené metodou nejmenších čtverců OLS :

Střední chyba vektoru chyb predikčního vektoru  v  (4)  je nulová, protože platí


Před odvozením kovarianční matice tohoto vektoru upravíme    do tvaru


(5)


Poznámka Vektor reziduí předpovídaných hodnot závisí tedy na náhodných složkách pozorovaného i
náhodných složkách predikovaného období.

Za přijatých předpokladů  a) – d)  lze pro kovarianční matici náhodného predikčního vektoru  (5)
psát :

                                                 [4]

                                         [nekorelovanost ]

                                          [ ]         [ ]

Poznámka  Speciální případ jediné  predikované hodnoty tzn. případ :

V tomto případě jsou  a  skalární hodnoty a matice  se redukuje na řádkový vektor   o   složkách.

Standardní chybu (směrodatnou odchylku) bodové předpovědi skutečné hodnoty vysvětlované proměnné
dostaneme nahrazením rozptylu  jeho nestranným odhadem   získaným například metodou OLS.  Pak

                                                [5]

Lze ukázat, že vyhovuje-li model předpokladu normality, pak bodová predikční funkce založená na
odhadu  metodou OLS má též normální rozdělení, tedy:

(6)

Protože, jak již jsme dokázali výše v (3)


(3*)                                     a  dále

                                                                          [ Cov(b)= s^2. (X’X)^-1
                                ]                   [s^2 je skalár]
________________________________

[1]  Predikční funkce je náhodný vektor o m  složkách.

[2]  Jde o totožnost středních hodnot stejnolehlých složek příslušných náhodných vektorů.

[3]  Podle 1)  je   a  náhodnost vektoru  pramení z náhodnosti , zatímco v případě  vyplývá
náhodnost tohoto vektoru z náhodnosti  (a přeneseně tudíž pochází z ).

[4] Bereme v úvahu nekorelovanost  a  .

[5] Pokud  m=1, pak  je vektor a veličina   je skalár , pokud m >1, pak se vezme diagonální prvek
matice   pořadím příslušný dané složce vektoru parametrů .