Jméno studenta (hůlkovým písmem)
podpis a datum odevzdání
Práce opravovaná tutorem, lineární algebra
Termín a způsob odevzdání určí tutor.
Práce můZe být napsaná ručne, avsak se slušnou úpravou, musí být podepsaná a listý musí být pevne spojený. Součústí odevzdane prace musí být toto zadúní, doplnene o uvedene údaje. Porid'te si kopii sve prúce. Tuto kopii si musíte vzít ke zkousce i k pnpadnemu jejímu opakovíní.
Příklad 1. Výpocítejte matici
A = 4
2	1	3	5
1	2	3	0
-4	5	7	0
+ 5 I 3
1	2	5	4		1	0	2	5
3	7	5	8		2	0	0	2
1	0	9	8		4	-6	3	4
Příklad 2. Napiste matici soustavý a matici rozsírenou sýstemu rovnic
xi    +   3x2   -   3x3 = 4xi   +   5x2   +   2x3 = 3x2 7x3 =
12 6
8
Tento sýstem linearních rovnic zapiste v maticove notaci. Příklad 3. Necht'
A=
V
1	0	2	2
3	5	1	0
2	3	4	1
0	0	1	4
2
B =
J
\
63	30	50	4	\
253	253	253	23	
53	35	26	3	
253	253	253	23	
76	12	20	3	
253	253	253	23	
19	3	5	5	/
253	253	253	23	
b =
a) Dokazte, ze matice B je inverzní k matici A
b) Uzitím inverzní matice k matici A reste sýstem rovnic Ax = b.
1
2
4
50
1
Příklad 4. Zjistěte maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve skupině vektorů
1 \	/	1	\	0	\	/	6 \	/	6	\	/	14	\
2		0		2			-2		-2			0	
7		-2		4			-4		-4			1	
3		4		5			5		5			22	
— 1 /	V	3	/	2	/	V	3	V	3	/	v	10	/
K výpočtu použijte převod matice, jejíž řádky jsou vektory transponované k daným vektorUm, na schodovitou matici.
Příklad 5. Určete p tak, aby vektory
1	/	1	\
2		0	
7		-2	
p		4	
-1	V	3	/
byly na sebe kolme. Určete jejich normy pro vypočítane p.
Příklad 6. Nech» M = {(1,0, 2), (2,1, 0), (4,1, 4)}. Ožnacme vektorový pod-prostor prostoru 3 generovaný množinou M. Urcete nejakou jeho baži. Patrí vektor (3,1,1) do tohoto podprostoru?
Příklad 7. Je dana soustava linearních rovnic
3xi — 2x2 + X3 + 3x4 = 8 —xi + 3x2 — X3 — 4x4 = 0 2xi + x2 — 2x3 — 2x4 = 7 2x3 + x4 = 1
Rožhodnete, žda má tato soustava žadne, prave jedno nebo nekonecne mnoho resení. Zduvodnete.
Příklad 8. Je dána matice
3   6 4
A = (     5    3     7  ) .
Pomocí Jordanovy metody najdete inveržní matici A-1.
2
Příklad 9. Je dána matice
A=
V
02a -2   a a -i    i 4 7 -a 2
B
B i
o
UrCete hodnotu determinantu det(A).
a) Užitím elementárních transformací
b) Rozvojem podle vhodneho sloupce nebo radku
Příklad 10. Najdete všechna rešení homogenního systemu s maticí soustavy
A=
	i	9	4	2	-i
	-2	-i7	i	-i6	4
	a	2B	-6	2B	0
v	i	io	ia	-S	2
Příklad 11. Je dán system lineárních rovnic
—xi + 2x2 + 7x3 + 2x4 = 1
xi + 2x2 — 3x3 + 4x4 = 2
3xi + 4x2 + 3x3 — 2x4 = 2
2xi + x2 — 4x3 + x4 = 3
Reste systáem Gaussovou metodou.
a