Jméno studenta (hůlkovým písmem)
podpis a datum odevzdání
Práce opravovaná tutorem, matematická analýza
Termín a zpUsob odevzdání určí tutor.
Práce může být napsaná ručne, avsak se slušnou úpravou, musí být podepsaná a listý musí být pevne spojený. Součastí odevždane prace musí být toto žadaní, doplnene o uvedene ídaje. Porid'te si kopii sve prace. Tuto kopii si musíte vžít ke žkousce i k pnpadnemu jejímu opakovaní.
Příklad 1. Určete definiční obor funkce a graficky jej znázorněte
Príklad 2. Graficky znázornete nekolik vrstevnic funkce
a) z = x2 — y2 b) z = x2 + y2 c) z = \Jx2 + y2
1
Příklad 3. Vypočítejte první a druhou derivaci funkce a určete její definiční obor
a) y = lo§2^ b) y = x\J 1 - x2
Příklad 4. Určete průběh funkce
a) y = x b) y = f2
Příklad 5. Určete absolutní extrěmy funkce
a) y = x2 — 5x + 6 na intervalu < —1,10 >
b) y = %/—x2 + 5x — 6 na jejím definičním oboru
Príklad 6.
a) Napište Tayloruv polynom pro funkci y = arcsinx pro n = 5 v bode x = 0 a chybu aproximace funkce arcsinx tímto polynomem. Výsledek použijte k výpoctu približne hodnoty arcsinO, 5.
b) Vysvetlete pojem diferenciílu funkce y = f (x) v bode a a vypocítejte diferenciaíl funkce
x +1
y =-T
x — 1
v obecnem bode x.
Príklad 7. Vypočítejte následující integrály a určete intervaly v nichž integrály existují
a) l(\fx + \/x)2dx c) J(x + X)3dx e) J ex sinxdx
b) J Xx+5 dx d) J x ln xdx f) J arctan xdx
Príklad 8. Vypočítejte tyto integrály a určete intervaly v nichž integrály existují
a) J i/3x + 1dx, [ substituce: 3x + 1 = t ]
b) / exe+1 dx, [ substituce: t = ex + 1 ]
c) J sin x2 cos xdx, [substituce: t = sin x]
d) J x23x3X+2 dx, [ rožlol'te na soucet parciálních žlomku. ]
2
e) J x2 \/1 + x3dx, [ substituce: x3 + 1 = t ]
Příklad 9. VypoCítejte tyto integrály
a) f n sin3 x cos xdx, [substituce: sin x = t]
4
b) f0 xe2x dx, [ substituce: 2x2 = t ]
c) i2 (x— 3)2 dx, [Pozorne zkoumejte proveditelnost jednotlivých kroku.]
Příklad 10. Vypocátejte tyto nevlastní integrály
a) /o ^dx b) JT A c) f™ Jfr d) f~ ff
Příklad 11. Vypocátejte vsechny parciální derivace 1. a 2. rádu.
a) z = \/3x5 — 7x2y2 + 3xy2 — 2y2 + x
b) z = ln (x3 + y2)
Příklad 12. Naleznete lokalní extrémy funkcí
a) z = xy + 50/x + 20/y za predpokladu x > 0, y > 0.
b) u = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z
Příklad 13. Vyslovte Taylorovu vetu pro funkce dvou promennách. Napiste Tayloräv polynom pro funkci z = xy v bode [2, 3].
3