Kapitola 6. : Neparametrické testy o mediánech
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- provádět testy hypotéz o mediánu jednoho spojitého rozložení
- hodnotit shodu dvou nezávislých náhodných výběrů ze spojitých rozložení
- hodnotit shodu aspoň tří nezávislých náhodných výběrů ze spojitých rozložení a identifikovat
dvojice významně odlišných náhodných výběrů
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 11 hodin
studia.
6.1. Motivace
Při používání t-testů či analýzy rozptylu by měl být splněn předpoklad normality dat.
Pro výběry větších rozsahů (n  30) nemá mírné porušení normality závažný dopad na výsledky.
Někdy se však setkáváme s výběry malých rozsahů, které pocházejí z výrazně nenormálních
rozložení. Pro práci s nimi byly vytvořeny tzv. neparametrické testy, které nevyžadují
konkrétní typ rozložení (např. normální), stačí např. předpokládat, že distribuční funkce rozložení,
z něhož náhodný výběr pochází, je spojitá.
Tyto neparametrické testy se rovněž používají v situacích, kdy zkoumaná data nemají
intervalový či poměrový charakter, ale pouze ordinální charakter.
Ve srovnání s klasickými parametrickými testy jsou však neparametrické testy slabší,
tzn., že nepravdivou hypotézu zamítají s menší pravděpodobností než testy parametrické.
V této kapitole se omezíme na ty neparametrické testy, které se týkají mediánů.
6.2. Jednovýběrové testy
Jde o neparametrické obdoby jednovýběrového t-testu a párového t-testu.
6.2.1. Znaménkový test
Nechť n1 X,,X K je náhodný výběr ze spojitého rozložení. Nechť 50,0x je mediánem tohoto
rozložení a c je reálná konstanta. Testujeme hypotézu cx:H 50,00 = proti oboustranné
alternativě cx:H 50,01  (resp. proti levostranné alternativě cx:H 50,01 < resp. proti pravostranné
alternativě cx:H 50,01 > ).
Znaménkový test se nejčastěji používá jako párový test, kdy máme náhodný výběr ze
spojitého dvourozměrného rozložení 











n
n
1
1
Y
X
,,
Y
X
K a testujeme hypotézu o rozdílu mediánů,
tj. cyx:H 50,050,00 =- proti cyx:H 50,050,01 - (resp. proti jednostranným alternativám).
Přejdeme k rozdílům nnn111 YXZ,,YXZ -=-= K a testujeme hypotézu o mediánu těchto
rozdílů, tj. cz:H 50,00 = .
a) Utvoříme rozdíly n,,1i,cXY ii K=-= . (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme
jen počet nenulových hodnot.)
b) Zavedeme statistiku
+
ZS , která udává počet těch rozdílů, které jsou kladné.
+
ZS je součtem
náhodných veličin s alternativním rozložením (i-tá veličina nabývá hodnoty 1, když i-tý rozdíl
je kladný a hodnoty 0, když je záporný). Platí-li H0, pak pravděpodobnost kladného i záporného
rozdílu je stejná, tedy
+
ZS ~ ( )2
1
,nBi . Z vlastností binomického rozložení plyne, že
( ) 2
n
ZSE =
+
, ( ) 4
n
ZSD =
+
.
c) Stanovíme kritický obor.
Pro oboustrannou alternativu: n,kk,0W 21 = ,
pro levostrannou alternativu: 1k,0W = ,
pro pravostrannou alternativu: n,kW 2= .
(Nezáporná celá čísla k1, k2 pro oboustranný test i pro jednostranné testy lze najít ve statistických
tabulkách.)
d) H0 zamítáme na hladině významnosti, když WSZ +
.
Pro velká n (prakticky 20n > ) lze využít asymptotické normality statistiky
+
ZS . Testová
statistika
( )
( ) 4
n
2
n
Z
Z
ZZ
0
S
SD
SES
U
-
=
-
=
+
+
++
má za platnosti H0 asymptoticky rozložení
( )1,0N .
Kritický obor pro oboustranný test: )( --= -- ,uu,W 2/12/1 .
Kritický obor pro levostranný test: ( ---= 1u,W .
Kritický obor pro pravostranný test: )= - ,uW 1 .
Aproximace rozložením ( )1,0N se zlepší, když použijeme tzv. korekci na nespojitost.
Testová statistika pak má tvar
4
n
2
1
2
n
Z
0
S
U
-
=
+
, přičemž 2
1
přičteme, když 2
n
ZS <
+
a odečteme
v opačném případě.
6.2.2. Příklad
U 9 náhodně vybraných manželských párů byl zjištěn průměrný roční příjem (v tisících
Kč).
číslo páru 1 2 3 4 5 6 7 8 9
příjem manžela 216 336 384 432 456 528 552 600 1872
příjem manželky 336 240 192 336 384 288 960 312 576
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že mediány příjmů manželů a manželek jsou
stejné.
Řešení:
Jedná se o párový test. Vypočteme rozdíly mezi příjmy manželů a manželek, čímž úlohu převedeme
na jednovýběrový test.
Testujeme 0z:H 50,00 = proti oboustranné alternativě 0z:H 50,01  , kde 50,0z je medián rozložení,
z něhož pochází rozdílový náhodný výběr 999111 YXZ,,YXZ -=-= K .
Vypočtené rozdíly ii yx - : -120 96 192 96 72 240 -408 288 1296
Testová statistika
+
ZS = 7.Ve statistických tabulkách najdeme pro 9n = a 05,0= kritické
hodnoty 1k1 = , 8k2 = . Protože kritický obor 9,81,0W = neobsahuje hodnotu 7, nemůžeme
H0 zamítnout na hladině významnosti 0,05. Neprokázaly se tedy významné rozdíly
v mediánech příjmů manželů a manželek..
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor se dvěma proměnnými a 9 případy. Do proměnné X napíšeme
příjmy manželů, do proměnné Y příjmy manželek.
Statistiky ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání dvou závislých vzorků ­ OK ­ 1. seznam
proměnných X, 2. seznam proměnných Y ­ OK ­ Znaménkový test.
Dvojice proměnných
Počet
různých
procent
v < V
Z Úroveň p
X & Y 9 22,22222 1,333333 0,182422
Vidíme, že nenulových hodnot n = 9. Z nich záporných je 2,22 %, tj. 2. Hodnota testové statistiky
729SZ =-=
+
. Asymptotická testová statistika 0U (zde označená jako Z) se realizuje
hodnotou 3,1 . Odpovídající asymptotická p-hodnota je 0,1824, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu, že mediány příjmů manželů a manželek jsou stejné.
Upozornění: V tomto případě není splněna podmínka pro využití asymptotické normality
statistiky
+
ZS , tj. 20n > . Je tedy vhodnější najít v tabulkách kritické hodnoty pro znaménkový
test. Pro n = 9 a  = 0,05 jsou kritické hodnoty k1 = 1, k2 = 8. Protože kritický obor
9,81,0W = neobsahuje hodnotu 7, nezamítáme H0 na hladině významnosti 0,05. Dostáváme
týž výsledek jako při použití asymptotického testu.
6.2.3. Jednovýběrový Wilcoxonův test
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr ze spojitého rozložení s hustotou (x), která je symetrická
kolem mediánu x0,50, tj. (x0,50 + x) = (x0,50 - x). Nechť c je reálná konstanta. Testujeme
hypotézu H0: x0,50 = c proti oboustranné alternativě H1: x0,50  c (resp. proti levostranné alternativě
H1: x0,50 < c resp. proti pravostranné alternativě H1: x0,50 > c).
a) Utvoříme rozdíly Yi = Xi ­ c, i = 1, ..., n. (Jsou-li některé rozdíly nulové, pak za n bereme
jen počet nenulových hodnot.)
b) Absolutní hodnoty Yiuspořádáme vzestupně podle velikosti a spočteme pořadí Ri.
c) Zavedeme statistiku 
>
++
=
0Y
iW
i
RS , což je součet pořadí přes kladné hodnoty Yi. Analogicky
zavedeme statistiku 
<
--
=
0Y
iW
i
RS , což je součet pořadí přes záporné hodnoty Yi. Přitom
platí, že součet SW
+
+ SW
=
n(n+1)/2. Za platnosti H0 statistika SW
+
má střední hodnotu
E(SW
+
) = n(n+1)/4 a rozptyl D(SW
+
) = n(n+1)(2n+1)/24.
d) Určíme testovou statistiku:
Testová statistika = min(SW
+
, SW
)
pro oboustrannou alternativu,
= SW
+
pro levostrannou alternativu,
= SW
pro
pravostrannou alternativu.
e) H0 zamítáme na hladině významnosti , když testová statistika je menší nebo rovna tabelované
kritické hodnotě.
Pro n  30 lze využít asymptotické normality statistiky SW
+
. Platí-li H0, pak
( )
( ) 24
)1n2)(1n(n
4
)1n(n
W
W
WW
0
S
SD
SES
U
++
++
+
++
-
=
=
 N(0,1). Kritický obor pro oboustrannou alternativu má
tvar: ( )--= -- ,uu,W 2/12/1 . (Analogicky pro jednostranné alternativy.) H0 zamítáme
na asymptotické hladině významnosti , když WU0  .
Wilcoxonův test se hodí jen pro výběr ze symetrického rozložení. Není-li tento předpoklad
splněn, lze použít např. znaménkový test.
6.2.4. Příklad
U 12 náhodně vybraných zemí bylo zjištěno procento populace starší 60 let: 4,9 6,0 6,9
17,6 4,5 12,3 5,7 5,3 9,6 13,5 15,7 7,7. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu,
že medián procenta populace starší 60 let je 12 proti oboustranné alternativě.
Řešení:
Vypočteme rozdíly pozorovaných hodnot od čísla 12: -7,1 -6,0 -5,1 5,6 -7,5 0,3 -6,3
-6,7 -2,4 1,5 3,7 -4,3. Absolutní hodnoty těchto rozdílů uspořádáme vzestupně podle velikosti.
Kladné rozdíly přitom označíme tučně:
usp.  xi ­ 12 0,3 1,5 2,4 3,7 4,3 5,1 5,6 6 6,3 6,7 7,1 7,5
pořadí 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SW
+
= 14, SW
=
64, n = 12,  = 0,05, tabelovaná kritická hodnota = 13, testová statistika =
min(SW
+
, SW
)
= min(14,64) = 14. Protože 14 > 13, H0 nezamítáme na hladině významnosti
0,05. Znamená to, že na hladině významnosti 0,05 se nepodařilo prokázat, že aspoň v polovině
zemí by se podíl populace nad 60 let odlišoval od 12 %.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnou a dvanácti případy. První proměnnou
nazveme PROCENTA, druhou KONSTANTA. Do proměnné PROCENTA napíšeme zjištěná
procenta populace starší 60 let:a do proměnné KONSTANTA vyplníme čísly 12 (do Dlouhého
jména proměnné KONSTANTA napíšeme =12).
Statistika ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání dvou závislých vzorků (proměnné) ­ OK.
Proměnné ­ 1. seznam proměnných ­ PROCENTA, 2. seznam proměnných ­ KONSTANTA,
OK, Wilcoxonův párový test. Dostaneme tabulku
Wilcoxonův párový test (populace_nad_60)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
procento & konst 12 14,00000 1,961161 0,049861
V této tabulce je symbolem T označena testová statistika min(SW
+
, SW
),
symbolem
Z realizace asymptotické testové statistiky U0. Uvedená p-hodnota je vypočítána pro realizaci
asymptotické testové statistiky U0. Protože p  0,05, hypotézu H0: x0,50 = 12 zamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05. Pokud bychom chtěli provést přesný test a nikoliv
pouze asymptotický, vyhledali bychom ve statistických tabulkách kritickou hodnotu jednovýběrového
Wilcoxonova testu pro n = 12,  = 0,05 (viz výše). Protože tato hodnota je 13, nulovou
hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
6.2.5. Párový Wilcoxonův test
Nechť (X1, Y1), ..., (Xn Yn) je náhodný výběr ze spojitého dvourozměrného rozložení.
Testujeme H0: x0,50 - y,50 = c proti H1: x0,50 - y0,50  c (resp. proti jednostranným alternativám).
Utvoříme rozdíly Zi = Xi ­ Yi, i = 1, ..., n a testujeme hypotézu o mediánu z0,50, tj.
H0: z0,50 = c proti H1: z0,50  c.
6.2.6. Příklad
K zjištění cenových rozdílů mezi určitými dvěma druhy zboží bylo náhodně vybráno 15
prodejen a byly zjištěny ceny zboží A a ceny zboží B: (11,10), (14,11), (11,9), (13,9), (11,9),
(10,9), (12,10), (10,8), (12,11), (11,9), (13,10), (14,10), (14,12), (19,15), (14,12). Na hladině
významnosti 0,05 je třeba testovat hypotézu, že medián cenových rozdílů činí 3 Kč.
Řešení:
Jedná se o párový test. Vypočteme rozdíly mezi cenou zboží A a cenou zboží B, čímž
úlohu převedeme na jednovýběrový test. Výpočty uspořádáme do tabulky:
č. prodejny cena zboží A cena zboží B rozdíl |rozdíl-medián| pořadí
1 11 10 1 2 12
2 14 11 3 0 -
3 11 9 2 1 5,5
4 13 9 4 1 5,5
5 11 9 2 1 5,5
6 10 9 1 2 12
7 12 10 2 1 5,5
8 10 8 2 1 5,5
9 12 11 1 2 12
10 11 9 2 1 5,5
11 13 10 3 0 -
12 14 10 4 1 5,5
13 14 12 2 1 5,5
14 19 15 4 1 5,5
15 14 12 2 1 5,5
Tučně jsou vytištěna pořadí pro kladné hodnoty rozdíl - medián.
SW
+
= 16,5, SW
=
74,5, n = 13,  = 0,05, tabelovaná kritická hodnota = 17, testová statistika =
min(SW
+
, SW
)
= min(16,5; 74,5) = 16,5. Protože 16,5  17, H0 zamítáme na hladině významnosti
0,05, tedy s rizikem omylu nejvýše 5% jsme prokázali, že medián cenových rozdílů se
liší od 3 Kč.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor se čtyřmi proměnnými a 15 případy. První proměnnou nazveme
CENA A, druhou CENA B, třetí ROZDÍL a čtvrtou KONSTANTA. Do proměnných
CEANA A a CENA B zapíšeme ceny zboží A a B, do Dlouhého jména proměnné ROZDÍL
napíšeme = v1-v2 a proměnnou KONSTANTA vyplníme samými trojkami. Nyní provedeme
párový Wilcoxonův test:
Statistika ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání dvou závislých vzorků (proměnné) ­ OK.
Proměnné ­ 1. seznam proměnných ­ ROZDÍL, 2. seznam proměnných ­ KONSTANTA,
OK, Wilcoxonův párový test. Dostaneme tabulku
Wilcoxonův párový test (priklad734)
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
platných
T Z Úroveň p
rozdíl & konst 15 16,50000 2,026684 0,042696
Podobně jako v příkladu 6.2.4. je symbolem T označena testová statistika min(SW
+
, SW
-
),
symbolem Z realizace asymptotické testové statistiky U0. Uvedená p-hodnota je vypočítána
pro realizaci asymptotické testové statistiky U0. Protože p  0,05, hypotézu H0: z0,50 = 3 zamítáme
na asymptotické hladině významnosti 0,05. Pokud bychom chtěli provést přesný test a
nikoliv pouze asymptotický, vyhledali bychom ve statistických tabulkách kritickou hodnotu
jednovýběrového Wilcoxonova testu pro n = 13,  = 0,05 (viz výše). Protože tato hodnota je
17 a testová statistika 16,5, nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
6.3. Dvouvýběrové pořadové testy
Jedná se o neparametrickou obdobu dvouvýběrového t-testu.
6.3.1. Dvouvýběrový Wilcoxonův test
Nechť X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení,
jejichž distribuční funkce se mohou lišit pouze posunutím. Označme x0,50 medián prvního
rozložení a y0,50 medián druhého rozložení. Testujeme hypotézu, že distribuční funkce
těchto rozložení jsou shodné neboli mediány jsou shodné proti alternativě, že jsou rozdílné.
Všech n + m hodnot X1, ..., Xn a Y1, ..., Ym uspořádáme vzestupně podle velikosti. Zjistíme
součet pořadí hodnot X1, ..., Xn a označíme ho T1. Součet pořadí hodnot Y1, ..., Ym označíme
T2. Vypočteme statistiky U1 = mn + n(n+1)/2 ­ T1 , U2 = mn + m(m+1)/2 - T2.
Přitom platí U1 + U2 = mn. Pokud min(U1,U2)  tabelovaná kritická hodnota (pro dané rozsahy
výběrů m, n a dané ), pak nulovou hypotézu o totožnosti obou distribučních funkcí zamítáme
na hladině významnosti . V tabulkách se používá označení: { }n,mminn = a
{ }n,mmaxm = .
Pro velká n, m (prakticky n, m > 30) lze využít asymptotické normality statistiky U1.
V případě platnosti H0 má statistika
12
)1nm(mn
2
mn
1
0
U
U
++
=
asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický
obor pro oboustrannou alternativu má tvar: W = ( )-- -- ,uu, 2/12/1 . (Analogicky
pro jednostranné alternativy.) H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když
WU0  .
Dvouvýběrový Wilcoxonův test se používá v situacích, kdy distribuční funkce rozložení,
z nichž dané dva nezávislé náhodné výběry pocházejí, se mohou lišit pouze posunutím.
6.3.2. Příklad
Bylo vybráno 10 polí stejné kvality. Na čtyřech z nich se zkoušel nový způsob hnojení,
zbylých šest bylo ošetřeno starým způsobem. Pole byla oseta pšenicí a sledoval se její hektarový
výnos. Je třeba zjistit, zda nový způsob hnojení má týž vliv na průměrné hektarové výnosy
pšenice jako starý způsob hnojení.
x: starý způsob 51 52 49 55
y: nový způsob 45 54 48 44 53 50
Řešení
usp. hodnoty 44 45 48 49 50 51 52 53 54 55
pořadí x-ových hodnot 4 6 7 10
pořadí y-ových hodnot 1 2 3 5 8 9
T1 = 4 + 6 + 7 + 10 = 27, T2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 9 = 28
U1 = 4.6 + 4.5/2 - 27 = 7, U2 = 4.6 + 6.7/2 - 28 = 17
Kritická hodnota pro  = 0,05, min(4,6) = 4, max(4,6) = 6 je 2. Protože min(7,17) > 2, nemůžeme
na hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že nový způsob hnojení má na hektarové
výnosy pšenice stejný vliv jako starý způsob.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými VÝNOS a ID a 10 případy. Do proměnné
VÝNOS zapíšeme hektarové výnosy pšenice a do proměnné ID, která slouží
k rozlišení nového a starého způsobu hnojení, napíšeme 4 krát jedničku a 6 krát dvojku. Nyní
provedeme dvouvýběrový Wilcoxonův test, který je ve STATISTICE uveden pod názvem
Mannův ­ Whitneyův test:
Statistika ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání dvou nezávislých vzorků (skupiny) ­ OK.
Proměnné ­ Seznam závislých proměnných ­ VÝNOS, Nezáv. (grupov.) proměnné - ID OK,
Mann-Whitneyův U test. Dostaneme tabulku
Mann-Whitneyův U test (Hnojeni.sta)
Dle proměn. id
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Sčt poř.
skup. 1
Sčt poř.
skup. 2
U Z p-hodn. Z
upravené
p-hodn. N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
2*1str.
přesné p
x 27,00000 28,00000 7,000000 0,959403 0,337356 0,959403 0,337356 4 6 0,352381
Zde je symbolem U označena testová statistika min(U1,U2). V našem případě U = 7,
odpovídající p-hodnotu najdeme v posledním sloupci pod označením 2*1 str. přesné p.
Protože 0,352381 > 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 nulovou hypotézu.
Výpočet ještě doplníme krabicovým diagramem. Na záložce Zákl. výsledky vybereme Krabicový
graf dle skupin, OK, proměnná VÝNOS, OK. Dostaneme graf
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: výnos
Medián
25%-75%
Min-Max
1 2
id
42
44
46
48
50
52
54
56
výnos
Je zřejmé, že medián hektarových výnosů při starém způsobu hnojení je menší než při novém
způsobu a také vidíme, že variabilita hektarových výnosů při starém způsobu hnojení je větší
než při novém způsobu.
6.3.3. Dvouvýběrový Kolmogorovův - Smirnovův test
Nechť n1 X,,X K a m1 Y,,Y K jsou dva nezávislé náhodné výběry ze dvou spojitých rozložení,
jejichž distribuční funkce se mohou lišit nejenom posunutím, ale také tvarem. Testujeme
hypotézu, že distribuční funkce těchto rozložení jsou shodné, tj., že všech mn + veličin
pochází z téhož rozložení proti alternativě, že distribuční funkce jsou rozdílné.
Nechť )x(F1 je empirická distribuční funkce 1. výběru a )y(F2 je empirická distribuční
funkce 2. výběru. Jako testová statistika slouží )x(F)x(FmaxD 21
x
-=
<<.
H0 zamítáme na
hladině významnosti , když ( ) m,nDD , kde ( )m,nD je tabelovaná kritická hodnota. Pro
větší rozsahy m,n lze kritickou hodnotu aproximovat vzorcem

+ 2
ln
nm2
mn
.
6.3.4. Příklad
Na data z příkladu 6.3.2. aplikujte dvouvýběrový K-S test.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání dvou nezávislých vzorků ­ OK ­ Proměnné
­ Seznam závislých proměnných X, Nezáv. (grupov.) proměnná ID ­ OK ­ KolmogorovSmirnovův
2-výběrový test.
Kolmogorov-Smirnovův test (Hnojeni.sta)
Dle proměn. id
Označené testy jsou významné na hladině p <,05000
Proměnná
Max záp
rozdíl
Max klad
rozdíl
p-hodn. Průměr
skup. 1
Průměr
skup. 2
Sm.odch.
skup. 1
Sm.odch.
skup. 2
N platn.
skup. 1
N platn.
skup. 2
x -0,083333 0,500000 p > .10 51,75000 49,00000 2,500000 4,098780 4 6
Ve výstupní tabulce pro dvouvýběrový K-S test dostaneme maximální záporný a maximální
kladný rozdíl mezi hodnotami obou výběrových distribučních funkcí, dolní omezení pro phodnotu
(p > 0,1), průměry, směrodatné odchylky a rozsahy obou výběrů. Jelikož p-hodnota
převyšuje hladinu významnosti 0,05, na této hladině nelze nulovou hypotézu zamítnout.
6.4. Kruskalův ­ Wallisův test a mediánový test (neparametrické obdoby
analýzy rozptylu jednoduchého třídění)
6.4.1. Formulace problému
Nechť je dáno r  3 nezávislých náhodných výběrů o rozsazích n1, ... , nr. Předpokládáme,
že tyto výběry pocházejí ze spojitých rozložení. Označme n = n1 + ... + nr. Chceme testovat
hypotézu, že všechny tyto výběry pocházejí z téhož rozložení.
6.4.2. Kruskalův ­ Wallisův test
Všech n hodnot seřadíme do rostoucí posloupnosti a určíme pořadí každé hodnoty.
Označme Tj součet pořadí těch hodnot, které patří do j-tého výběru, j = 1, ..., r (kontrola: musí
platit T1 + ... + Tr = n(n+1)/2). Testová statistika má tvar: 
=
+-
+
=
r
1j j
2
j
)1n(3
n
T
)1n(n
12
Q . Platí-li
H0, má statistika Q asymptoticky rozložení 2
(r-1). H0 tedy zamítneme na asymptotické
hladině významnosti , když Q  1-
2
(r-1).
6.4.3. Mediánový test
Testová statistika má tvar 
=
-=
r
1j j
2
j
M n
n
P
4Q , kde Pj je počet hodnot v j-tém výběru,
které jsou větší nebo rovny mediánu vypočtenému ze všech n hodnot. Platí-li H0, má statistika
QM asymptoticky rozložení 2
(r-1). H0 tedy zamítneme na asymptotické hladině významnosti
, když QM  1-
2
(r-1).
6.4.4. Metody mnohonásobného porovnávání
Zamítneme-li H0, zajímá nás, které dvojice náhodných výběrů se liší na zvolené hladině
významnosti.
a) Neményiho metoda
Používá se v případě, že všechny výběry mají týž rozsah p. Je-li Tl - Tk tabelovaná kritická
hodnota (pro dané p, r,  ), pak na hladině významnosti  zamítáme hypotézu, že l-tý a
k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení.
b) Obecná metoda mnohonásobného porovnávání
Jestliže ( ) )(h1nn
n
1
n
1
12
1
n
T
n
T
KW
klk
k
l
l
+





+- , pak na hladině významnosti  zamítáme
hypotézu, že l-tý a k-tý výběr pocházejí z téhož rozložení. Kritickou hodnotu hKW() najdeme
ve speciálních statistických tabulkách. Při větších rozsazích výběrů je možno ji nahradit kvantilem
1-
2
(r-1).
7.4.5. Příklad
U přijímacích zkoušek na vysokou školu sledujeme počet bodů z matematiky. Chceme
posoudit, zda výsledky jsou závislé na typu absolvované střední školy. Náhodně vybereme
osm písemných zkoušek studentů každého z uvažovaných tří typů škol:
číslo písemky gymnázium číslo písemky SEŠ číslo písemky SPŠ
1 78 9 30 17 93
2 95 10 84 18 74
3 84 11 65 19 58
4 78 12 41 20 85
5 85 13 67 21 60
6 96 14 52 22 72
7 90 15 92 23 67
8 83 16 70 24 59
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výsledky studentů z gymnázií, SEŠ a SPŠ
se neliší. Zamítnete-li nulovou hypotézu, vyšetřete, které dvojice typů škol se od sebe liší na
hladině významnosti 0,05.
Řešení
Kruskalův ­ Wallisův test
usp. hodnoty pořadí 1. výběru pořadí 2. výběru pořadí 3. výběru
30 1
41 2
52 3
58 4
59 5
60 6
65 7
67 8,5
67 8,5
70 10
72 11
74 12
78 13,5
78 13,5
83 15
84 16,5
84 16,5
85 18,5
85 18,5
90 20
92 21
93 22
95 23
96 24
Součet pořadí pro jednotlivé výběry: T1 = 69, T2 = 87, T3 = 144 ,
Realizace testové statistiky: 665,7253
8
144
8
87
8
69
2524
12
Q
222
=-





++

= ,
Kritický obor. ( ) ) )== ,661,5,2W 95,0
2
.
Protože WQ  , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Rozdíly mezi počty
bodů u přijímací zkoušky z matematiky u studentů ze sledovaných tří typů středních škol se
prokázaly s rizikem omylu nejvýše 0,05.
Mediánový test
Medián všech 24 hodnot je 76. V 1. výběru leží nad mediánem 8 hodnot, ve 2. výběru 2 hodnoty,
ve 3. výběru 2 hodnoty.
Realizace testové statistiky: ( ) 1224228
8
1
4Q 222
M =-



++= ,
Kritický obor. ( ) ) )== ,661,5,2W 95,0
2
.
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými X a ID a s 12 případy. Do proměnné X
zapíšeme počty bodů, do proměnné ID, která slouží jako identifikátor typu školy, napíšeme 8
krát jedničku, 8 krát dvojku a 8 krát trojku. Nyní provedeme Kruskalův ­ Wallisův a mediánový
test.
Statistika ­ Neparametrická statistika ­ Porovnání více nezávislých vzorků (skupiny) ­ OK.
Proměnné ­ Závisle proměnné ­ X, Nezáv. (grupov.) proměnná - ID ­ OK, Shrnutí: KruskalWallis
ANOVA a mediánový test, Výpočet. Pro K-W test dostaneme tabulku
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (body_u_zkousky.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 24) =7,678354 p =,0215
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
gymnazium
SEŠ
SPŠ
1 8 144,0000
2 8 69,0000
3 8 87,0000
Testová statistika se realizuje hodnotou 7,678, počet stupňů volnosti je 2, odpovídající phodnota
= 0,0215, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
shodě mediánů.
Pro mediánový test máme tabulku
Mediánový test, celk. medián = 76,0000; X (body_u_zkousky.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Chi-Kvadr. = 12,00000 sv = 2 p = ,0025Závislá:
X gymnazium SEŠ SPŠ Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
0,00000 6,00000 6,00000 12,00000
4,00000 4,00000 4,00000
-4,00000 2,00000 2,00000
8,00000 2,00000 2,00000 12,00000
4,00000 4,00000 4,00000
4,00000 -2,00000 -2,00000
8,00000 8,00000 8,00000 24,00000
Realizace testové statistiky = 12, počet stupňů volnosti = 2, odpovídající p-hodnota = 0,0025,
tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o shodě mediánů.
Nyní provedeme mnohonásobné porovnávání, abychom zjistili, které dvojice typů škol se liší.
Zvolíme Vícenás. porovnání průměrného pořadí pro vš. skupiny.
Vícenásobné porovnání p hodnot (oboustr.); X (body_u_zkousky.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 24) =7,678354 p =,0215
Závislá:
X
gymnazium
R:18,000
SEŠ
R:8,6250
SPŠ
R:10,875
gymnazium
SEŠ
SPŠ
0,024030 0,131634
0,024030 1,000000
0,131634 1,000000
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro porovnání dvojic skupin. Vidíme, že na hladině významnosti
0,05 se liší gymnázium a SEŠ.
Výpočet ještě doplníme krabicovým diagramem. Na záložce Zákl. výsledky vybereme Krabicový
graf , proměnná X, OK, Typ krabicového grafu Medián/Kvartily/Rozpětí, OK. Dostaneme
graf
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-Max
gymnazium SEŠ SPŠ
ID
20
30
40
50
60
70
80
90
100
X
Vidíme, že mediány se liší velice výrazně, zvláště pro gymnázia a SEŠ. Variabilita počtu bodů
je nejmenší pro gymnázia, největší pro SEŠ.
Shrnutí
V některých situacích se setkáváme s náhodnými výběry malých rozsahů, které pocházejí
z výrazně nenormálních rozložení. V takových případech nelze použít klasické testy založené
na předpokladu normality, které byly popsány ve 4., 5. a 6. kapitole. Místo nich používáme
neparametrické testy, které nepotřebují splnění předpokladu normality, stačí např. předpokládat
spojitost distribuční funkce rozložení, z něhož daný náhodný výběr pochází.
Pro testování hypotézy o mediánu používáme jednovýběrový či párový Wilcoxonův test,
což je neparametrická obdoba jednovýběrového či párového t.testu.
Máme-li testovat hypotézu o shodě mediánů dvou rozložení, která se mohou lišit jen posunutím
(tj. testujeme hypotézu o shodě těchto dvou rozložení), aplikujeme dvouvýběrový
Wilcoxonův test ­ neparametrickou obdobu dvouvýběrového t-testu.
Jako neparametrická obdoba analýzy rozptylu jednoduchého třídění slouží Kruskalův Wallisův
test nebo mediánový test. Při zamítnutí nulové hypotézy identifikujeme dvojice odlišných
výběrů pomocí metod mnohonásobného porovnávání, a to buď obecnou metodu mnohonásobného
porovnávání nebo Neméniyho metodu.
Při provádění neparametrických testů potřebujeme speciální tabulky kritických hodnot.
Jsou obsaženy v příloze A tohoto učebního textu.
Všechny uvedené testy jsou implementovány v systému STATISTICA.
Kontrolní otázky
1. V jakých situacích používáme neparametrické testy?
2. Jaká je nevýhoda neparametrických testů oproti testům parametrickým?
3. Jak vypočítáme pořadí čísla v dané posloupnosti čísel?
4. Popište rozdíl mezi jednovýběrovým a párovým Wilcoxonovým testem.
5. Jaké podmínky musí být splněny pro dvouvýběrový Wilcoxonův test?
6. K čemu slouží Kruskalův-Wallisův test?
7. Jak provedeme mediánový test?
8. Které metody mnohonásobného porovnávání znáte?
Autokorekční test
1. Máme za úkol zjistit, zda tři nezávislé výběry pocházejí z téhož rozložení. Přitom všechny
mají malý rozsah (menší než 30) a vykazují odchylky od normálního rozložení. Jaký test pou-
žijeme?
a) Analýzu rozptylu jednoduchého třídění,
b) mediánový test,
c) Kruskalův-Wallisův test.
2. Testujeme hypotézu, že dva nezávislé náhodné výběry pocházejí z téhož rozložení. Oba
výběry mají malý rozsah (menší než 30) a diagnostické grafy i testy normality poukazují na
závažnější odchylky od normálního rozložení. Jaký test použijeme?
a) Párový Wilcoxonův test,
b) dvouvýběrový t-test,
c) dvouvýběrový Wilcoxonův test.
3. Pomocí K-W testu testujeme na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že pět
nezávislých náhodných výběrů o rozsazích 4, 7, 5, 4, 5 pochází z téhož rozložení. Kritický
obor má tvar:
a) )= ;488,9W ,
b) )= ;711,0W ,
c) )488,9;0W = .
4. Máme dvourozměrný náhodný výběr z dvourozměrného rozložení, které se výrazně liší od
normálního rozložení. K testování hypotézy, že mediány obou složek tohoto rozložení jsou
stejné, použijeme
a) jednovýběrový t-test,
b) dvouvýběrový Wilcoxonův test,
c) párový Wilcoxonův test.
Správné odpovědi: 1b),c) 2c) 3a) 4c)
Příklady
1. U 10 náhodně vybraných vzorků benzínu byly zjištěny následující hodnoty oktanového
čísla: 98,2 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97,1 97,7 98,0. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že medián oktanového čísla je 98 proti oboustranné alternativě.
Výsledek:
Použijeme jednovýběrový Wilcoxonův test. Testová statistika se realizuje hodnotou 12, tabelovaná
kritická hodnota pro  = 0,05 a a = 9 je 5. Protože 12 > 5, H0 nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
2. Výrobce určitého výrobku se má rozhodnout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících
je různými technologiemi. Rozhodující je procentní obsah určité látky.
1. technologie: 1,52 1,57 1,71 1,34 1,68
2. technologie: 1,75 1,67 1,56 1,66 1,72 1,79 1,64 1,55
Na hladině významnosti 0,05 posuďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxonova testu, zda je
oprávněný předpoklad, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky.
Výsledek:
Testová statistika se realizuje hodnotou 12, tabelovaná kritická hodnota pro  = 0,05, min(5,8)
= 5, max(5,8) = 8 je 6. Protože min(28,12) > 2, nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout
hypotézu, že obě technologie poskytují stejné procento účinné látky.
3. Výrobce koláčů v prášku má 4 nové recepty a chce zjistit, zda se jejich kvalita liší. Upekl
proto 5 koláčů z každého druhu a dal je porotě k ohodnocení.
recept počet bodů
A 72 88 70 87 71
B 85 89 86 82 88
C 94 94 88 87 89
D 91 93 92 95 94
Na asmptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že recepty se neliší.
Výsledek:
Použijeme Kruskalův ­ Wallisův test. Všech 20 hodnot uspořádáme vzestupně podle velikosti
a stanovíme součet pořadí pro recepty A, B, C, D: T1 = 23,5, T2 = 37,5, T3 = 66, T4 = 83. Testová
statistika:
45,12213
5
83
5
66
5
5,37
5
5,23
2120
12
Q
2222
=-







+++

= , 0,95
2
(3) = 7,81. Protože Q  7,81,
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Neményiho metoda prokázala, že na
hladině významnosti 0,05 se liší recepty A a D.
4. U osmi osob byl změřen systolický krevní tlak před pokusem a po něm.
č. osoby 1 2 3 4 5 6 7 8
tlak před 130 185 162 136 147 181 128 139
tlak po 139 190 175 135 155 175 158 149
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že pokus neovlivní systolický krevní tlak
Výsledek:
Párový Wilcoxonův test poskytl p-hodnotu 0,04995, tedy H0 zamítáme na hladině významnosti
0,05.
5. Majitel obchodu chtěl zjistit, zda velikost nákupů (v dolarech) placených kreditními kartami
Master/EuroCard a Visa jsou přibližně stejné. Náhodně vybral 7 nákupů placených Master/EuroCard
a 9 placených Visou:
Master/EuroCard 42 77 46 73 78 33 37
Visa 39 10 119 68 76 126 53 79 102
Lze na hladině významnosti 0,05 tvrdit, že mediány nákupů placených těmito dvěma typy
karet se shodují?
Výsledek:
Dvouvýběrový Wilcoxonův test poskytl p-hodnotu 0,2523, H0 tedy nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
6. Z produkce tří podniků vyrábějících televizory bylo vylosováno 10, 8 a 12 kusů. Byly získány
následující výsledky zjišťování citlivosti těchto televizorů v mikrovoltech:
podnik citlivost
1. podnik 420 560 600 490 550 570 340 480 510 460
2. podnik 400 420 580 470 470 500 520 530
3. podnik 450 700 630 590 420 590 610 540 740 690 540 670
Ověřte na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě úrovně citlivosti televizorů v jednotlivých
podnicích.
Výsledek:
K-W test poskytl testovou statistiku 3,2043, počet stupňů volnosti = 2, odpovídající p-hodnota
= 0,0165, tedy H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. Liší se výrobky podniků
2 a 3.