! t S Řešení. Zrcjriľ': ;..;:.!.í: /'(■'O '.osie5'"*; /"(*) sincce^ + eos2«'1"* = '*'ri ^fcos"1 x — sin &); /'"(■'•j '.*""" cosx(cos2ľ - sin x) + cs,n'(2cos.x-(-sin2:) - cos .t) = '""""(cos'1 j: — 3 sin * COS x — cos.t). ;ío) = i, /'(o) = i, /"(o) = i, /'"(o) = o. Odtud „2 'Í3(x-)= 1+Í+-T-. Príklad. NitpKine Taylorovy polynomy pro funkci /(x) = ž1 v bodě a = i. Řešení. Plo k;.//;-' j g E je /(*) = 2*, /'(x-) = 2-(ln2), .... /(n)(*) = 21- (In 2)". /(I) = 2, /'(l) = 2-(In2)......ff")(i) = 2 ■ (ln2)rV Je tedv T0{X.) 3 > Ti (s) = v . 2{x~ l)ln2, 22(3;) - / . 2Í x- l)ln2+ ., (g - af ■v , > , 2-ln2, 2 ■in'2 2, ,, 2-lnn2, „ r„(.X') = 2 .- -^j-(í - i) -r 2, (x - l)2 + • ■ ■ + —^T—(^ - 1) ■ Príklad. Předpokládejme, že Y je rovnovážný důchod odpovídající autonomním výdajům A. Je-h >'„ počáteční rovnovážný důchod odpovídající autonomním výdajům Aq, pak ze vztahu A = Y - c(y) plyne a - a0 ~ (y - v„) - c'(y„)(y - v0) - -^pV - y,ý------^r% - *»"■ Pro malé hodnoty Y - yn p]atí a - a0 ~ (y - y0) - c(Y - y0), kde c = C'(y0). A - au <-(i - c)(y - y0), y-y0~:-!-(A-Ao), 1 — c Ay. l-c -AA. ř'i':2^ Cvičení 1. Napište Taylorúv polynom pro funkci j(x) v bodě nula: (a) f{x) = ln{x+l), (b) f{x) = xsinx, (c) /(z) = K", (d) J(x)=e*\ 2. Napište Taylorúv polynom pro funkci J{x) v bodě a: (a) f{x) = s\nxy (i) /(*)=-, ar (c) /(*)* -, (J) /(a;) = cosx, (e) /(r) = 3--, (/) /(*) = «*, (fl) /(«=)= i, (h) /(z) = x2 + 2x + 3, (<=) /M = e—, (/) /(r) = 2I, (s) /(*) = —-X -f- 1 ÍM /(r) = sin 5íc, 3. Napište Tfc(i) pro fuiilcci /(i;) v bodě a: (a) j{x) = aresinr, ((.) f(x) = tSx, (c) /(a;) = arctga;, 0, h = 7; 0. fc = 5: 0, /: = 5 Výsledky cvičení 1. (a) T„M W Ü»(l) .+ (-1)-- 71 ••+(-l)"-1 (2tí -1)! i (o) T„+1{x) = x + x2 + ^ + - (d) T3„(*) =l + a:' + —...+ r»(«) : 1-C+- •+Í-1)" (s) r»(«) *i-» + CO T3n+,(i) = 5x- — „ , (ln2)2 , (!n2)s , 1 + (ln2)i+ i------—x2 + i—í-r3 + ■ ÍIn2 •■•+{-l)"x". L.B» _ .. . + (-1)» J--------r2»+l 5! v ' (2n + l)! (a) T2„(x) =1-57(1- )<-...+ (..,).(,*) 1 2íl~ 2' ' 4!l~ 4!' ' ' '' (2n)!v~ 2' 6) T„(x) = _l-(x + l) -(*+l)ä---------(x + l)n. c) T„(x) sxl_(*-l) + (»-l)»_<,»l)»+...+ (_!)»(,_!)». <0 JW,+»(«) = -(« - -) + -(r - -)3 - !{«_ -)5 + .-.+ (-1)»+» (x-2?"+\ 2' 3! 2; 5P 2; ( ; (2n+l)! e) T„(x) =I[l + (l„3)(x+l) + fi^!(I + l)í + ...+ fi^(x-+ir]. /) T„(t) j) y>i(x) (A) T=(*) 3l ' ' " ' ' ' 2! - «(a - 1) + £(* - l)a + •.. + i(x - 1)". 1 (x-2) 2 ' • + (-1)' {x - 2)" 22 ' v "' 21+1 :U + 6(x-2)+{x-2)2, T2(x) = T3(x) : ■T„{x). , . -, , . li» 1 -3 Xs 1 -3-5x' (a) T7(x) = x+-----H-----------+------------ ' V ' 2 3 2-4 5 2-4-6 7 (t) r» (c) 2',(x) = x X+—+ —x°. 3 15 T + - 465 11. Integrály V celé kapitole budeme slovem funkce rozumět reálnou funkci jedné reálné proměnné a slovem derivace budeme vždy rozumět vlastní derivaci. 11.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál ÚVOD V předchozí kapitole jsme se zabývali úlohou nalézt k funkci /její derivaci /' v nějakém intervalu I. Integrováni je úloha obrácená. Budeme k dané funkci / definované v intervalu I hledat funkci F tak, aby pro každé x e I platilo F'(x) = f(x). Z takto zadané úlohy plyne, že základní vzorce pro integraci dostaneme pouhým přepsáním známých vzorců pro derivování. Z předchozí kapitoly víme, že funkce F má v intervalu I derivaci, má-li derivaci v každém vnitřním bodě intervalu I, derivaci zprava v počátečním bodě intervalu I, pokud je I uzavřený zleva, a derivaci zleva V koncovém bodě intervalu i", pokud je I uzavřený zprava. Je-li a = inf 1 a ß = sup I, pak derivací funkce F v intervalu I rozumíme funkci f F'(x) pro 2 e (ar,/?), /(i) = < FI(jj) pro x = a, je-li a £ I, (H-l) t F'_{x) pro x = ß, je-li /9 € I. Je-li funkce / v (11.1) spojitá v intervalu I, pak říkáme, že F má v intervalu 1 spojitou derivaci. Definice primitivní funkce Definice, Řekneme, že funkce F je primitivní funkci k funkci f v intervalu I, phúí-h F'(x) = f (se) pro každé x S L Je tedv např. funkce F(x) = x2 primitivní funkcí k funkci f (x) = '2x v Tí, neboť (a2)' = 2x. Poznámka. Je-li F primitivní funkcí k funkci / v intervalu I, pak každá funkce G — F + c, kde c je libovolná reálná konstanta, je také primitivní funkcí k funkci /, neboť na intervalu 7 platí G' = (F + c)' = F' = f. Tímto způsobem dostaneme všechny primitivní funkce k funkci / v '.. rrvalu I. Jsou-li F a O primitivní funkce k funkci / v intervalu I, pak existuje reálné číslo c tak, že platí G = F + c. V intervalu I platí (G - F)' = / - / = 0. 2 věty o významu první derivace I 32 Kapitola 2. Určitý in t egrál 13. Jy£=řdx 14. / ^f^dx 15. j^—dx <* 1 — cos a; 1 1 16. f ~dx GO I I 17 r f I, dx — oo oo 18. í^dx 19. J-^rrrdx f 2Ó,)7e-^dx Príklady : Vypočtěte obsah plochy omezené křivkami 22. !/ = yxjj a y = 0 v intervalu (—oo, 1 > 23. y = arcsinx, x = 1, y = 0 24. j/ = arctan ^j, x = 8, x = 0, y = 0 25. y = n~x, x = 0, y = 0, x > 0 CÍZf eryu;e zue7'guye dzjjer<7u?'e ? II-1 [-4tt -1iiv/65+ 8 arctan 8 Príklady : Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací křivky nebo rovinné oblasti 25. y = In x, x e< 0,e >, kolem osy x [jrel 26. xy = 1, x 6< 1, oo), kolem osy x U 27. y = x"2, x = 1, y = 0, x > 1, kolem osy y [f j Kapitola 3 Diferenciální počet funkce n-proměnných 3.1 Parciální derivace Příklady : Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí 1 z — :ixy " x—y 3. í = ln(x + v/x'^ + y2) 5. z = ic 7. z = J'+^- 9. z = (x + y)* 11. Z = X1" 2. z = (smxY"s« 4. z = xyc*"'™* 13. y = In v r2+y'+r 15. z = arctan v/x* 10. : = {1 + .,:,/)» i2. 2 = 4í4 14. - = (2.r + y)2^ 16. z = ln£=M -(^r + arcsh i^ Výsledky 1. Jsi 2. 4 = cosxcos;/(sinx)r"S!'^1, z'y = - sin y In sin x(sin x)cos» 3- zl = .,.-2 4-„2 ' !' '2+!/2 + rV/3:2+!/2 4- 2i = ?/(!+ t-'!-'»/ los Kxy)z, z'v = x( 1 4- 7T.'i:y COS 7TXy); (; ,' —___L /ÜrjEÜ *' —___L l*V-£-v "* *a V *»+«+» ' "!' Jí2 V .ct/+x+y - (rír^yy. (.rí-„2)í 33