38
Kapitola 3.   Diferenciální počet funkce n-proměnných
17.  Napište rovnici tečné roviny k ploše az = x2 + y2, (a ^ 0) v bodech, v nichž přímka x = y = z plochu protíná.
18.  Dokažte, že funkce u — ln(x2 + y1 + z2) vyhovuje rovnici u = 2 In 2 — In |grad?t|2
Výsledky :
11.    a)    3x4-2-4 = 0
b)    x = 2 4-3ť, y= 1, z= -2 + t
c)     -3t"
d)     -idx
12.    a)    8x 4- 4y - z + 4 = 0
b)    x = -1 +8ť, y = 2 +4í, z = 4-ť
c)     8dx + 4<iy
d)    24dx2 + Wdxdy + 2dy2
13.  x - y + 2z - f = 0
14.  Body ležící na kružnici x'2 4- y2 = §
15.    a)    |i/2
b)     1^
16.  2x + 2y + z - 6 = 0
17.  x + y-2- f = 0, z = 0
3.3    Taylorův polynom
Příklady :    Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci z = f(x, y) v bodě A
\. z — sin x sin y, <4 = (f, f), n = 3
2.  2 = e1 siny, A = (0, 0), n = 3
3.  2 = sin(xy), A = (0, f), n = 2 4- ^ = ~,A = (0, 0), n = 2
5.  2 = ln(l + i + y), A = (0, 0), n = 3
6.  2 = ln(l - x)ln(l - y), A = (0, 0), n = 3
1.  z = 3x2y + sin2 .r + 5y - 2, /l = (0, 0), n = 3
8.  2 = ylnx, A = (1,  i), n = 2
n.  z = '£, A = (-1, -2), » = 2
10.  2 = x sin2 y, 4 = (1, f), n = 2
3.4.   Lokální, vázané a absolútni extrémy
39
Výsledky
i- | +§(* - í) +10/ - í) - i(* -1)2 + K* - í)(y -1) - \(y - í)2 t^(* - í)3 - í(* - f )2(y - 5) - K* - í)(» - í)2 - Ä(v -1)3
2.  j/ + xy + \x2y - \y3
3.  f*+ *(„-!)
4.   1 - |x2 4- §y2
5.  i + y - i(x2 -f 2xy + y2) + j(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)
6.  xy + f x2y + ixy2
7.  -2 + 5y + x2 + 3x2y
8.  (x-l)-i(z-l)2 + (x-l)(y-l)
9.  4 + 8(x + 1) + 4(y - 2) + 12(x + l)2 + 8(x + l)(y - 2) + (y - 2)2 10. 1 + (x - 1) - (y - f)2
3.4    Lokální, vázané a absolutní extrémy
Příklady :    Nalezněte lokální extrémy daných funkcí
1.
3.
5.
7.
9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37.
z = e2l(x + y2 + 2y)
2 = x3 — 3xy + y3
2 = x^/y — x2 — y + 6x + 3
z = e^+3»(8x2-6xy + 3y2)
2 = 5xy + " + -, x>0, y > 0
2 = In | + 2 In y + ln(12 - x - y)
2 = e-l2-"2(2y2 + x2)
2 = x2 - xy + y2 4- 9x - 6y 4- 20
2 = y3 + 3xy2 + 2x3 + 9x2
2 = x2y2(l -x-y)
2 = x2 4- xy + y2 — 6x — 9y
2 = x2 + xy + y2-fx — y + 1
2 = x3y2 + 3x2y + ±y2 + 3y
2 = xln(x2 4- y)
2 = x — 2y 4- In y/x2 4- y2 4- 3 arctan 2
2 = 1 - fa -2)« - W
u = x2 4- y2 4- 22 4- y z — 2x 4- y — z
u = x2 4- y2 4- 22 4- 2x 4- 4y — 62
u = x + É + 7 + !' x' V' z>0
2.
4.
6.
8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. 36. 38.
z = x2 - y2 + 2x - 2y 2 = (x -y 4- l)2 2 = 2x3 + xy2 4- 5x2 4- y2 z = Xy 4- 52 + 2°
2 = 27x2y 4- 14y3 - 69y - 54x 2 = x:i 4- 3y2x - 15x - 12y
2 = xyln(x24-y2) 2 = 2.T3 — xy2 4- 5x2 4- y2 2 = (l-x2)!(l-y2)! z = x3 4- xy2 — 2xy — 8x 2 = x3 4- 8y3 - 6xy 4- 5 2 = x3 4- 3x2 4- 4xy 4- y2 2 = ex~v(x2 - 2y2) 2 = x3 + 8y3 - 6xy 4-1 z = (2 + x)!(2-y)l 2 = ^(x4-l)2^/(l-y)2 m = x3 4- y2 4- 22 4- 12xy 4- 22 u = 2x2 4- y2 4- 22 — xy — X2 2 = y y/x-y2 -x -f 6y

K-
40
Kapitola. 3.  Diferenciální počet funkce n-proměnných
Výsledky
1 2 3 4
6.
7.
8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19.
20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
i, —1) lok.min.
1, —1) není 0, 0) není, (1, 1) lok.min. V bodech přímky y = x -f 1 jsou neostrá lok.min.
4,  4) lok.max.
-1, 2) není, (0, 0) lok.min., (-1, -2) lok.max., (•-§, 0) lok.max.
0,  0) lok.min., {-\, -\) není
5,  2) lok.min. |, |) lok.min.
1,   1) lok.min., (-1, -1) lok.max., (^, ^-), (-^, --£.) není 3, 6) lok.max.
1, 2), (—1, —2) není, (2,  1) lok.min., (—2, —1) lok.max.
0,  0) lok.min., (0, 1), (0, -1) lok.max., (1, 0), (-1, 0) není
1,  0), (-1, 0)„ení,(^, ^), (-^, -^) lok.min., (-ý-, ^), (-£-, -^) ok. max.
—4, 1) lok.min.
0, 0) lok.min.(-|, 0), (1, 4), (1, -4) není
0, 0) nelze rozhodnout, (—3, 0) lok.max., (—1, 2) není
0,  0) lok.max., v bodech přímek x =  1,  x = —1,  y =  1,  y = — 1 jsou neostrá lok.min.
|, |) lok.max., v bodech (0, y), -y > 1 a (x, 0), x > 1 jsou neostrá lok.min., bodech (0, y), y < 1 a (x, 0), x < 1 jsou neostrá lok.max.
0,  4), (0, —2) není, (v/3, 1) lok.min., (-v^, 1) lok .max.
1,  4) lok.min.
0, 0) není, (1, i) lok.min.
— 1, 1) lok.min.
0, 0) není, (—|, |) lok.min.
0, —3), f—2,  1) není, (1, —2) nelze rozh.
0, 0) lok.min., (-4, -2) není
3.4.  Lokální, vázaný a absolutní extrémy________________________________________41_
27.  (0, 1) není
28.  (0, 0) není, (1, 5) lok.min.
29.  (1, 1) není
30.  V bodech přímek x = —2, y = 2 jsou neostrá lok.min.
31.  (2, 0) lok.min.
32.  V bodech přímek x = — 1, y = 1 jsou neostrá lok.min.
33.  (1, -1, 1) lok.min.
34.  (0, 0, -1) není, (24, -144, -1) lok.min.
35.  (-1, -2, 3) lok.min.
36.  (2, 1, 7) není
37.  (|, 1, 1) lok.min.
38.  (4, 4) lok.max.
Příklady :
39.  Rozložte číslo a > 0 na tři kladné sčítance tak, aby jejich součin byl co největší.
40.  V rovině (x, y) najděte takový bod, že součet čtverců jeho vzdáleností od přímek x = 0, y = 0, x + 2y - 16 = 0 je minimální.
41.  Do trojosého elipsoidu s poloosami a, 6, c vepište kvádr maximálního objemu tak, aby jeho hrany byly rovnoběžné s osami elipsoidu.
42.  Určete rozměry pravoúhlého rovnoběžnostěnu tak, aby jeho objem byl maximální. Součet hran je roven 12 d.
43.  Určete rozměry betonové nádrže tvaru čtyřbokého hranolu tak, aby spotřeba betonu byla minimální pro daný objem V nádrže. Tloušťku stěn neuvažujte.
44.  Z plechového plátu 12 cm širokého se má zhotovit žlábek o průřezu rovnora-menného lichoběžníka. Jak velkou část z šířky x je nutno ohnout a jaký úhel ip mají svírat tyto stěny š podstavou, aby byl průřez maximální ?
45.  Do polokoule vepište pravoúhlý rovnoběžnostěn maximálního ob j emu. Poloměr
r = l.
46.  Bodem A(a, fc, c) veďte rovinu tak, aby se souřadnými rovinami tvořila čtyřstěn s minimálním objemem. Určete její rovnici.
47.  Rozložte kladné číslo a na součin čtyř kladných čísel tak, aby jejich součet byl maximální.
t
42_____________________________Kapitola 3.   Diferenciální počet funkce n-proměnných
48.  V rovině p : x + 2y — z + 3 = 0 určete bod, jehož součet čtverců vzdáleností od bodů (1, 1, 1), (2, 2, 2) je nejmenší.
Výsledky :
41-      75' 75- 3L        __           42-     krychle
43.      v%, W, |v^2l7           44.     ^ = 60°, i = 4
45       11^                              46       2- + X 4- -i- = 1
47.      ^,  f/a, ^,  ^              48.      (|,  -^,  f),
Příklady :    Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách
49.  z = x3 + y3; podm. x + y — 3 = 0
50.  z = x + 2y; podm. x2 + y2 = 5
51.  z = i2 + 2y2; podm. x2 - 2x + 2y2 + 4y - 0
52.  z = 6 - 4x - 3y; podm. x2 + y2 = 1
53.  z = xy; podm. x + y = 1
54.  z = 2(x2 + y2); podm. x + y = 2
55.  z = i + i; podm. x + y = 2
56.  z = cos2 x + cos2 y\ podm. x — y = J
57.  z = x + y + 2; podm. 2(x2 + y2) = xV
58.  z = x + y\ podm. xy = 1
59- 2 = í + l< P°dm- ^ + £ = !
60. Nalezněte extrémní hodnoty vzdálenosti počátku souřadného systému od křivky 5x2 + 6xy + 5y2 - 8 = 0
Výsledky :
49.  (§,§) lok.min.
50.  (1, 2) lok.max., (-1, -2) lok.min.
51.  (0, 0) lok.min., (2, -2) lok.max.
52.  (f, |) lok.min., (-f, -f)lok.max.
53.  (|,  |) lok.max.
54.  (1, 1) lok.min.
3.4.   Lokální, vázané a absoJutni' extrémy________________________________________43
55.  (1, 1) lok.min.
56.  (| + Tp, —f + *y) lok.max. pro k sudé, lok.min. pro k liché
57.  (2, 2) lok.min., (-2, -2) lok.max.
58.  (1, 1) lok.max., (—1, —1) lok.min.
59.  (-\/2, —s/2) lok.min., (y/2, y/2) lok.max.
60.  (f ,f ),(-f ,-#) lok.min., (>/2,-y/2),(-y/2,y/fy lok.max.
Příklady {   Nalezněte absolutní extrémy daných funkcí
61.  z = x3 + y3 - 9xy + 27 na čtverci x e< 0, 4 >, y e< 0, 4 >
62.  z = 3xy v kruhu x2 + y2 < 2
63.  z = x2 + 2xy - 4x + Sy na obdélníku 0 < x < 1, 0 < y < 2
64.  z = x2 + y2 — 12x + 16y na oblasti dané nerovnicí x2 + y2 < 25
65.  z = x2 — y2 v uzavřené oblasti x2 + y2 < 4
66.  z = x2 + y2 - 2y + 1 na M = {(x, y); x2 + y2 < 4; x > 0}
67.  z = x2 — xy + y2; M je určena nerovnicí |x| + \y\ < 1
68.  z = xy2(4 — x — y) na oblasti omezené přímkami x = 0, y = 0, x + y = 6
69.  z = sinx siny sin(x + y) na množině <0, 7r > x < 0, tt>
70.  z = sinx + cosy + cos(x — y) na M = {(x, y);0 < x < |,0 < y < f}
Výsledky :
61.  (3, 3)abs.min., (4, 0), (0, 4)abs.max.
62.  (1, 1), (-1, -l)abs.max., (-1,  1), (1, -l)abs.min.
63.  (1, 2) abs.max., (1, 0)abs.min.
64.   (3, —4) abs.min., (—3, 4) abs.max.
65.  (2, 0), (-2, 0) abs.max., (0, 2)(0, -2)abs.min.
66.  (0, 1) abs.min., (0, —2) abs.max.
67.   (0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0) abs.max., (0, 0)abs.min.
68.  (1, 2) abs.max., (2, 4) abs.min.
69.   (f, ^) abs.min., (f, f) abs.max.
70.  (f, f) abs.max.
80
tixtrémy
Řešení. Množina M a vrstevnice funkce / jsou načrtnuty na vedlejším obrázku (vrstevnicemi jsou grafy funkcí xy = c, tj. rov-noosé hyperboly y = ^). Stejnou úvahou jako v předchozím příkladu zjistíme, že funkce nabývá absolutního maxima /max = | v bodech [±|,±|] a absolutního minima /min = -f v bodech [±|,qF|].
Cvičení.
6.1. Najděte lokální extrémy funkcí: a) z = x2 + j/2 — xy — 2x + y /
.              , u         e,     .....   , „               f) 2 = x - 2t/ + In y/x2 + y2 + 3arctg^
b)     z = x#(4 - x - y)                       g) 2 = yVl + z + £\/l + "
~ß        -        -i7\-       -       a,                             &J * — J/v-1   r-   i   -vx   i   y
c) z = 4(x - j/) - x2 — y2                    h) u = x3 + y2 + z2 + Ylxy + 2z
d) z = xj, + ^-(- y                         i)u = x + «i + d + aiItJ,2:>o
e) z = x2 + xy + i/2 - In x - 10 In y     j) 2 = x2 + xy + y2 + £ + £ k) u = xyz(12 - x - 2y - Zz)
Y) u = x\x\ •,.. • x"(l — Xi — 2x2 —------nx„), X\,x\,.. .,xn > 0
m)« = x1 + ^ + ^ + --- + ^ + ^,x1,...,x„>0.
6.2.  Udejte příklad funkce / : R2 -* R2 splňující uvedené podmínky:
a)  /x(l, 1) = 0 = /y(1,1), ale v bodě [1,1] nenastává lokální extrém,
b)  / má v bodě [0,1] ostré lokálni minimum a v bodě [1,0] ostré lokálni maximum.
c)  / má v bodě [—1,0] ostré lokálni minimum, v bodě [0,0] sedlo a v bodě [1,0] ostré lokálni maximum.
6.3.  Pomocí vrstevnic funkce / určete její nejmenší a největší hodnotu na množině M:
a)  f{x, y) = x + y, M :  |x| < 1, \y\ < 1,
b)  /(x,2/) = x2-2x + 2/2-2i/-|-3, M: x > 0, y > 0,x + y < 1,
c)  f(x,y) = |x| + \y\, M:  (x - l)2 + (y - l)2 < 1,
d)  f{x,y,z) = x + y + z, M : x2 + y2 < 1,0 < z < 1,
e)  /(x, y, z) = x2 + y2, M : x2 + y2 + z2 < 1.
6.4.  Určete nejmenší a největší hodnotu funkce / na množině M:
a) f(x,y) = x2+2xy+2y2 —3x—by, M je trojúhelník určený body A = [0,2],
6.2. Absolutní extrémy
81
B = [3,0], C = [0,-1].
b)  /O1, y) = x2 + y2 + 3xi/ + 2, A/ je omezená grafy funkcí y = \x\ a y = 2.
c)  /(x, y) = x2 + y2 - xy - x - y, M je trojúhelník určený body -4. = [—1,0], d _ r-i   Ol   f1 = fa fll
d)  f {x, y) = x2 + y2-xy-2,M = {[x,y] : x2 + y2 < 1, y > \x\ - 1}.
6.5. Určete absolutní extrémy funkce / na množině M:
a)  f (x, y) = sinxsinysin(x + y), M : 0 < x,y < ir,
b)  f{x,y) = x2^xy + y2, M:  |x| + |y| < 1,
c)  f (x, y, z) = x + 2y + 3z, M : x2 + y2 < z < 1,
d)  f(xu...,xn) = (a+Xl)^4",(l.+t), M;   a ^ *i.-.*" <b,0<a<b (tzv. Huyghensova2 úloha), nejprve řešte úlohu pro n = 2.
2CHristian Huyghens (1629-1695), nizozemský matematik a fyzik
Výsledky
= yx*>(l + lny), zy = x^ Inx   b) zx = _-?===í__) Zy =
^_j, c) zx = -1(1)5 In 3, zy = £(!)* In 3   d) z, = y[ln(x+
zy = x[ln(x + y) + JL_]   e) zx = 2(2x + y)(2*+»)[ln(2x + y) + 1],
hiř)<^>pn(2*+,)+i] f) * = -iVx/g^, ^ = -ž^/^
ŕin*xy (1 + nxycosirxy), zy = xesin,rj!!'(l+ 7rxycos7rxy)    h) tix =
i     a .                         u     Ä i           -\               2(x-y)                      2(x-y)
*y = **. Iní, u, = -Jjfi. Inx i) zx = 1+^_y)4, 2y = -i+V-V)4 t = íu - 2cos(x2 + y2 + z2) k) ux = yzxy'~\ uy = i^zj/^Mni, ^ In i In y. 3.3 a) zx = 2\/5, zy = 10 + -v/Š b) zx = 0, zy = | l, zy = -1. 3.4 a) Ý b) f. 3.6 a) z„ = 12a;2 - 8y2, zxy = yy = 12y2 - 8x2    b) zxx = 0, zxy = 1 - 4f, zyy = Jf    c) zxsc = 0,
L    r      — S2.      Hl   r      -          3x»3        r      - »t2*3-»!)    r      -       *(«a-V)
3, *yy - S4 aj 2« - (sí+>j)|, zxy - (r2+y2)|, «m - (l3+y3)f : 2cos(x + y) - xsin(x + y), zxy = cos(x + y) - xsin(x + y), ;sin(x + y) f) ztt = -»*»■'■*»'«»,»} zxy = 2-^, zyy = ^ x(^)[(lnx + ^)2+i-X])Ziy = :E(»+v)[in2I+£±itlrix+I])2!/!/ =
! t      M   _      _        2*         _      _        2y                _       2x(x2+2ya)       -\          _
•c     J'; *« —   .  , ,   ,,li 2*y — , - ,   ..1 i *yy —        ,,  , ,   ,.i      l) *xx — (x'+y2)i        *       (x2+y2)5       "           y2(x2+y2)2
__          2y               __   2(x-y2)       -\          __     y2-x2_______2xy
i zxy — — (x+y3)3' 2yy ~ (*+y2)3    J' Zxx ~~ (x2+y2)2' z*y ~    (x2+y2)2'
x2-y2        VA            _           2s|y|                 _    (x2-y2)sgny              _        2r|y|
x2+y2)2       &;      'M      —         (x2+y2)2)     -'ry      —        (x2+y2)2       )     ^yy      —       (x2+y2)2
2y(l + x2)"-2(-x2 + 2x2y+l),ziy = 2x(l + x2)"-1[l + yln(l + x2)], + x2)»ln2(l + x2).
OLA 4
>dx    b)  \dx - \dy   c) \dx - \dy   d) dx + 21n2dy - 2ln2dz f fdy   f) df =  &dx - \dy   g) df =  -2dx + dz   h) du  =
L-í-lfln*] 4.2a)*+0,035 b) f-0^ c) 2,95 d)-0,06 1,13 g) dV = ^ cm3 h) d/i = 1 cm. 4.3 a) není diferenco-např. pro ti = (1,1) neexistuje smerová derivace /u(0,0) b) není >vatelná, neboť /(i,i)(0,0) neexistuje c) ano d/(0,0) = 0 4.4 Yz = -\/3 b) 2x+2y-z = 2 c) z0 = -|, x + y-2z = \ d) z0 = •     4.5 a) [2,1], [-2,-1]   b) [7íÄp,-7?=j!=f]    c) [-1/2,1/2]
121
d) [1,1] e) [x/2, ^, -^], [-n/2, -^, ^] f) tečna existuje <=> a\ + ••■ + a2 = 1; pak [xi,...,xn] = [-a1?..., -an). 4.6 a) /(1>2)(1,1) = 3 b)/(lio,i)(0,l,0) = 0. 4.7a)^ = !^+^-!f b) d2z = 6(x -y)(cfx)2 + 12(y-x)dxdy + 6(x-y)(dy)2 c) d»z = e*+» E"=o Q)[n2 + 2j2-2nj-n+x2 + y2+2xj + 2(n-j)y](dxy(dy)"--* d) cí"z = (~1)(^|>\""X)'(d«4-^2/)"    e)     dnz      =      ^-^^^(-^^[(n-^x + iylídxyXtíy)«^
f) d"u = n!e'+»^ Ei+j+t=n ^g^(dx)'(dyy(dz)fe.   4.8 a) ^+x In y-
cosy + C, b) 4sin 2y + C   c) Jxf+lp + C   d) xy2 - x+fy2+ C.     4.9
a)  x3 + y3 + z3 — Zxyz + 2x + y In y -f- z    b) arctg xyz.
KAPITOLA 5
5.1 a) z(x,y) = fiV^Tý7) b) z(x,y) = /(f) c) u{x,y,z) = f {x + y -2z,x-2y + z).     5.2 a) zw = 0, z (x, y) = /(^ - 2y^) -f y(x + 2,/y)
b)  ^«„0, z(x,y) = /(y/x2 + y2) + xyg(y/x2 + y2) c) ti(4-uv)zuv-2zu = 0 d) zvv+2v3zv = 0    e) (u2-v2)zu„-uzu = 0   f) (•u2-íJ2)zutJ+i;z„-uz„ = 0
g) uzu„-xzu„ + Zu = 0. 5.4 a) T2(x,y) = f+ f [(x-|) + (y-|)]-^[(x-!)2 + 2(x-i)(y-I) + (y-!)2] b)T2(x,y)=| + x-f c)T2(x,y) = l-*i + Í d)T2(x,y) = f-i(x-l) + i(y-l) + i(x-l)2-|(y-l)2 e) T2(x,y) = x-x(y-l) f) T2(x,y) = l^ + I[(x-l) + (y-l)]-l(x-l)(y-l) g)T2(x,y,z) = l + (x-l) + (x-l)(y-l)-(x-l)(z-l).    5.5 a) f+0,0297
\\\   I -L 2—n/3   *    J. 2\/6-4V,3-l     t2 M T       2      180 Ť           2          2 1802'
KAPITOLA 6
6.1 a) zmm = -1 v bodě [1,0] b) zmax = || v [|, |], ve stacionárních bodech [0,0],[0,4], [4,0] extrém nenastává c) zmax = 16 v [2,-2] d) zmin = 30 v [5,2] e) zmin = 7 - 10In2 v [1,2], f) V jediném stacionárním bodě [1,1] extrém nenastává g) zmin = -^ v [-§,-§] h) umin = -6913 v [24,-144,-1]   i) itmin = 4 v [1,1,1]   j) zmin = 3xVŠa2 v [fj,^]
"2-tyt2
k) wmax = y, v [3,f,l] 1) timax = (^f-fä) 2 v xj = ••• = x„ = ^£-+2 m)«min = (n+l)2^T ví, = 2^,x2 = 2^r,...xn = 2*. 6.3 a) /mi„ = -2 v [-1,-1], /max = 2 v [1,1] b) /min = f v [|, i], /max = 3 v[0,0],c)/min = 2-V2v[l-^,l-^],/max = 2-r-V2v[l + ^,l + ^] d) /min = -n/2 v [-^,--^,0], /max = n/2 4- 1 v [^,^,1] e) /min = 0 v [0,0,0], /max = 1 v bodech [a,9,0], kde x2 + y2 = 1. 6.4 a) /max = 7 v [0,-1], /min = -4 v [1,1]   b) /max = 22 v [2,2], /min = -2 v [-2,2]
C)   /max   =   6   V   [3,0],  /min   =   -1   V   [1,1]     d)   /max   =   -|   V   [-^5,^],