Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R.
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R. Pro x = −1 dostaneme A = −1
2
,
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R. Pro x = −1 dostaneme A = −1
2
,pro
x = −2 dostaneme B = 2
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R. Pro x = −1 dostaneme A = −1
2
,pro
x = −2 dostaneme B = 2 a pro x = −3 získáme C = −3
2
.
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R. Pro x = −1 dostaneme A = −1
2
,pro
x = −2 dostaneme B = 2 a pro x = −3 získáme C = −3
2
.
Tedy
xdx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= −
1
2
dx
x + 1
+2
dx
x + 2
−
3
2
dx
x + 3
Neurčitý integrál - racionální lomené funkce
Příklad: Najděte integrál xdx
(x+1)(x+2)(x+3)
.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.Z rovnosti
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
=
A
x + 1
+
B
x + 2
+
C
x + 3
plyne vztah
x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 1)(x + 3) + C(x + 1)(x + 2)
pro všechna x ∈ R. Pro x = −1 dostaneme A = −1
2
,pro
x = −2 dostaneme B = 2 a pro x = −3 získáme C = −3
2
.
Tedy
xdx
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= −
1
2
dx
x + 1
+2
dx
x + 2
−
3
2
dx
x + 3
= −
1
2
ln|x + 1| + 2ln|x + 2| −
3
2
ln|x + 3| + C; x = −1; −2; −3.
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky.
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky. Z rovnosti
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
plyne vztah
x2
+ 1 = A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1).
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky. Z rovnosti
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
plyne vztah
x2
+ 1 = A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1).
Pro x = 1 dostaneme A = 1
2 a pro x = −1 máme C = −1.
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky. Z rovnosti
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
plyne vztah
x2
+ 1 = A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1).
Pro x = 1 dostaneme A = 1
2 a pro x = −1 máme C = −1.
Srovnáním koeficientů u x2 dostaneme A + B = 1, tj. B = 1
2. Tedy
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky. Z rovnosti
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
plyne vztah
x2
+ 1 = A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1).
Pro x = 1 dostaneme A = 1
2 a pro x = −1 máme C = −1.
Srovnáním koeficientů u x2 dostaneme A + B = 1, tj. B = 1
2. Tedy
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
dx =
1
2
dx
x − 1
dx+
1
2
dx
x + 1
dx−
dx
(x + 1)2
dx =
Příklad: Najděte integrál x2+1
(x+1)2(x−1)
dx.
Řešení: Integrand rozložíme na parciální zlomky. Z rovnosti
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
=
A
x − 1
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
plyne vztah
x2
+ 1 = A(x + 1)2
+ B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1).
Pro x = 1 dostaneme A = 1
2 a pro x = −1 máme C = −1.
Srovnáním koeficientů u x2 dostaneme A + B = 1, tj. B = 1
2. Tedy
x2 + 1
(x + 1)2(x − 1)
dx =
1
2
dx
x − 1
dx+
1
2
dx
x + 1
dx−
dx
(x + 1)2
dx =
=
1
2
ln|x − 1| +
1
2
ln|x + 1| +
1
x + 1
+ C; x = ±1.
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
.
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Odtud pro x = −1 máme A = 1
3. Pro x = 0 dostaneme A + C = 1,
tj.C = 2
3 .
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Odtud pro x = −1 máme A = 1
3. Pro x = 0 dostaneme A + C = 1,
tj.C = 2
3 . Srovnáním členů u x2 dostaneme A + B = 0, neboli
B = −1
3 .
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Odtud pro x = −1 máme A = 1
3. Pro x = 0 dostaneme A + C = 1,
tj.C = 2
3 . Srovnáním členů u x2 dostaneme A + B = 0, neboli
B = −1
3 . Tedy
dx
x3 + 1
=
1
3
dx
x + 1
−
1
3
(x − 2)dx
x2 − x + 1
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Odtud pro x = −1 máme A = 1
3. Pro x = 0 dostaneme A + C = 1,
tj.C = 2
3 . Srovnáním členů u x2 dostaneme A + B = 0, neboli
B = −1
3 . Tedy
dx
x3 + 1
=
1
3
dx
x + 1
−
1
3
(x − 2)dx
x2 − x + 1
=
1
3
ln|x + 1| −
1
6
(2x − 1)dx
x2 − x + 1
+
1
2
dx
(x − 1/2)2 + 3/4
=
Příklad: Najděte integrál dx
x3+1
.
Řešení:
Protože je x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1), budeme hledat rozklad na
parciální zlomky ve tvaru 1
x3+1
= A
x+1 + Bx+C
x2−x+1
. Z tohoto vztahu
plyne
1 = A(x2
− x + 1) + Bx(x + 1) + C(x + 1).
Odtud pro x = −1 máme A = 1
3. Pro x = 0 dostaneme A + C = 1,
tj.C = 2
3 . Srovnáním členů u x2 dostaneme A + B = 0, neboli
B = −1
3 . Tedy
dx
x3 + 1
=
1
3
dx
x + 1
−
1
3
(x − 2)dx
x2 − x + 1
=
1
3
ln|x + 1| −
1
6
(2x − 1)dx
x2 − x + 1
+
1
2
dx
(x − 1/2)2 + 3/4
=
=
1
6
ln
(x + 1)2
x2 − x + 1
+
1
√
3
arctg
2x − 1
√
3
+ C; x = −1.
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Řešení: Daný integrál lze najít substitucí x2
= y.
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Řešení: Daný integrál lze najít substitucí x2
= y. Pak je
2xdx = dy a interval (0; 1) se prostě zobrazí na interval (0; 1).
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Řešení: Daný integrál lze najít substitucí x2
= y. Pak je
2xdx = dy a interval (0; 1) se prostě zobrazí na interval (0; 1).
Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci,
platí
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Řešení: Daný integrál lze najít substitucí x2
= y. Pak je
2xdx = dy a interval (0; 1) se prostě zobrazí na interval (0; 1).
Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci,
platí
1
0
x(2 − x2
)12
dx =
1
2
1
0
(2 − y)12
dy =
Určitý integrál
Příklad: Najděte integrál
1
0
x(2 − x2
)12
dx.
Řešení: Daný integrál lze najít substitucí x2
= y. Pak je
2xdx = dy a interval (0; 1) se prostě zobrazí na interval (0; 1).
Protože jsou splněny všechny předpoklady věty o substituci,
platí
1
0
x(2 − x2
)12
dx =
1
2
1
0
(2 − y)12
dy =
=
1
26
(2 − y)13 1
0
=
1 − 213
26
.
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
e
1
(xlnx)2
dx =
1
3
x3
ln2
x
e
1
−
2
3
e
1
x2
lnxdx =
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
e
1
(xlnx)2
dx =
1
3
x3
ln2
x
e
1
−
2
3
e
1
x2
lnxdx =
Znovu provedeme per partes, tentokrát
u = lnx, v = x2, u = 1
x , v = x3
3 .
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
e
1
(xlnx)2
dx =
1
3
x3
ln2
x
e
1
−
2
3
e
1
x2
lnxdx =
Znovu provedeme per partes, tentokrát
u = lnx, v = x2, u = 1
x , v = x3
3 .
=
1
3
(e3
− 0) −
2
3
1
3
x3
lnx
e
1
+
2
9
e
1
x2
dx =
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
e
1
(xlnx)2
dx =
1
3
x3
ln2
x
e
1
−
2
3
e
1
x2
lnxdx =
Znovu provedeme per partes, tentokrát
u = lnx, v = x2, u = 1
x , v = x3
3 .
=
1
3
(e3
− 0) −
2
3
1
3
x3
lnx
e
1
+
2
9
e
1
x2
dx =
=
1
3
e3
−
2
9
(e3
− 0) +
2
9
x3
3
1
0
=
Příklad: Najděte integrál
e
1 (xlnx)2dx.
Řešení: Integrál snadno najdeme dvojí integrací per partes, nejprve
zvolíme u = ln2x, v = x2. Tedy u = 2lnx
x , v = x3
3 . Po dosazení
e
1
(xlnx)2
dx =
1
3
x3
ln2
x
e
1
−
2
3
e
1
x2
lnxdx =
Znovu provedeme per partes, tentokrát
u = lnx, v = x2, u = 1
x , v = x3
3 .
=
1
3
(e3
− 0) −
2
3
1
3
x3
lnx
e
1
+
2
9
e
1
x2
dx =
=
1
3
e3
−
2
9
(e3
− 0) +
2
9
x3
3
1
0
=
=
1
3
e3
−
2
9
e3
+
2
27
(e3
− 1) =
5e3 − 2
27
.
Nevlastní integrál
Příklad: Vypočtěte
∞
2
dx
x2+x−2
.
Nevlastní integrál
Příklad: Vypočtěte
∞
2
dx
x2+x−2
.
Řešení: Protože jedna mez integrálu je ∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál.
Nevlastní integrál
Příklad: Vypočtěte
∞
2
dx
x2+x−2
.
Řešení: Protože jedna mez integrálu je ∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál.Neboť pro x ∈ (2; ∞) je x2
+ x − 2 = 0,
nemá funkce singulární body. Proto budeme integrál počítat
pomocí limity
∞
2
dx
x2 + x − 2
= lim
t→∞
t
2
dx
x2 + x − 2
.
Nevlastní integrál
Příklad: Vypočtěte
∞
2
dx
x2+x−2
.
Řešení: Protože jedna mez integrálu je ∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál.Neboť pro x ∈ (2; ∞) je x2
+ x − 2 = 0,
nemá funkce singulární body. Proto budeme integrál počítat
pomocí limity
∞
2
dx
x2 + x − 2
= lim
t→∞
t
2
dx
x2 + x − 2
.
Primitivní funkci najdeme rozkladem na parciální zlomky. Platí
dx
x2 + x − 2
=
dx
(x − 1)(x + 2)
=
1
3
1
x − 1
−
1
x + 2
dx
Nevlastní integrál
Příklad: Vypočtěte
∞
2
dx
x2+x−2
.
Řešení: Protože jedna mez integrálu je ∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál.Neboť pro x ∈ (2; ∞) je x2
+ x − 2 = 0,
nemá funkce singulární body. Proto budeme integrál počítat
pomocí limity
∞
2
dx
x2 + x − 2
= lim
t→∞
t
2
dx
x2 + x − 2
.
Primitivní funkci najdeme rozkladem na parciální zlomky. Platí
dx
x2 + x − 2
=
dx
(x − 1)(x + 2)
=
1
3
1
x − 1
−
1
x + 2
dx
Protože tento integrál je 1
3
lnx−1
x+2
, platí
∞
2
dx
x2 + x − 2
=
1
3
lim
t→∞
ln
x − 1
x + 2
t
2
−
1
3
ln
1
4
= 0−
1
3
ln
1
4
=
2
3
ln2.
Příklad: Vypočtěte
1
0 lnxdx.
Příklad: Vypočtěte
1
0 lnxdx.
Řešení: Protože limx→0+ lnx = −∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál. Proto jej určíme pomocí limity.
Příklad: Vypočtěte
1
0 lnxdx.
Řešení: Protože limx→0+ lnx = −∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál. Proto jej určíme pomocí limity.
1
0
lnxdx = lim
A→0+
1
A
lnxdx = lim
A→0+
[x(lnx − 1)]1
A =
Integrál jsme určili metodou per partes. Nyní dosadíme meze.
Příklad: Vypočtěte
1
0 lnxdx.
Řešení: Protože limx→0+ lnx = −∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál. Proto jej určíme pomocí limity.
1
0
lnxdx = lim
A→0+
1
A
lnxdx = lim
A→0+
[x(lnx − 1)]1
A =
Integrál jsme určili metodou per partes. Nyní dosadíme meze.
= −1 − lim
A→0+
A(lnA − 1) = −1 − lim
A→0+
lnA − 1
1
A
=
Výraz jsme upravili, abychom mohli použít l’Hospitalovo pravidlo.
Příklad: Vypočtěte
1
0 lnxdx.
Řešení: Protože limx→0+ lnx = −∞, jedná se o nevlastní
Riemannův integrál. Proto jej určíme pomocí limity.
1
0
lnxdx = lim
A→0+
1
A
lnxdx = lim
A→0+
[x(lnx − 1)]1
A =
Integrál jsme určili metodou per partes. Nyní dosadíme meze.
= −1 − lim
A→0+
A(lnA − 1) = −1 − lim
A→0+
lnA − 1
1
A
=
Výraz jsme upravili, abychom mohli použít l’Hospitalovo pravidlo.
= −1 − lim
A→0+
1
A
− 1
A2
= −1 − lim
A→0+
(−A) = −1.
Funkce více proměnných
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu
funkce f (x, y) = 1
x3+y2 .
Funkce více proměnných
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu
funkce f (x, y) = 1
x3+y2 .
Řešení: Parciální derivace prvního řádu podle x je
fx (x, y) =
−3x2
(x3 + y2)2 ,
jedná se o derivaci složené funkce, vnitřní složka zderivovaná
podle x je 3x2
.
Funkce více proměnných
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu
funkce f (x, y) = 1
x3+y2 .
Řešení: Parciální derivace prvního řádu podle x je
fx (x, y) =
−3x2
(x3 + y2)2 ,
jedná se o derivaci složené funkce, vnitřní složka zderivovaná
podle x je 3x2
.
fy (x, y) =
−2y
(x3 + y2)2 ,
vnitřní složka zderivovaná podle y je 2y.
Parciální derivace druhého řádu určíme podle vzorce pro derivaci
podílu.
Parciální derivace druhého řádu určíme podle vzorce pro derivaci
podílu.
fxx (x, y) = 18
x4
(x3 + y2)3
− 6
x
(x3 + y2)2
Parciální derivace druhého řádu určíme podle vzorce pro derivaci
podílu.
fxx (x, y) = 18
x4
(x3 + y2)3
− 6
x
(x3 + y2)2
fxy (x, y) = 12
x2y
(x3 + y2)3
Parciální derivace druhého řádu určíme podle vzorce pro derivaci
podílu.
fxx (x, y) = 18
x4
(x3 + y2)3
− 6
x
(x3 + y2)2
fxy (x, y) = 12
x2y
(x3 + y2)3
fyy (x, y) = 8
y2
(x3 + y2)3
− 2 x3
+ y2 −2
.
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Řešení: Parciální derivace určíme podle pravidla o derivaci součinu
fx (x, y) = 1
2 e
x
2 x + y2 + e
x
2
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Řešení: Parciální derivace určíme podle pravidla o derivaci součinu
fx (x, y) = 1
2 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fy (x, y) = 2 e
x
2 y.
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Řešení: Parciální derivace určíme podle pravidla o derivaci součinu
fx (x, y) = 1
2 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fy (x, y) = 2 e
x
2 y.
Obdobně parciální derivace druhého řádu.
fxx (x, y) = 1
4 e
x
2 x + y2 + e
x
2
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Řešení: Parciální derivace určíme podle pravidla o derivaci součinu
fx (x, y) = 1
2 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fy (x, y) = 2 e
x
2 y.
Obdobně parciální derivace druhého řádu.
fxx (x, y) = 1
4 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fxy (x, y) = e
x
2 y
Příklad: Najděte parciální derivace prvního a druhého řádu funkce
f (x, y) = e
x
2 x + y2 .
Řešení: Parciální derivace určíme podle pravidla o derivaci součinu
fx (x, y) = 1
2 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fy (x, y) = 2 e
x
2 y.
Obdobně parciální derivace druhého řádu.
fxx (x, y) = 1
4 e
x
2 x + y2 + e
x
2
fxy (x, y) = e
x
2 y
fyy (x, y) = 2e
x
2 .
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = x3 + y2 − 6xy + 2.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = x3 + y2 − 6xy + 2.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) = 3x2
− 6y; fy (x, y) = 2y − 6x.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = x3 + y2 − 6xy + 2.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) = 3x2
− 6y; fy (x, y) = 2y − 6x.
Řešením soustavy rovnic
fx (x, y) = 0
fy (x, y) = 0
dostaneme y = 3x; 3x2 − 18x = 0, tedy nalezneme dva stacionární
body, [0, 0] a [6, 18].
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = x3 + y2 − 6xy + 2.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) = 3x2
− 6y; fy (x, y) = 2y − 6x.
Řešením soustavy rovnic
fx (x, y) = 0
fy (x, y) = 0
dostaneme y = 3x; 3x2 − 18x = 0, tedy nalezneme dva stacionární
body, [0, 0] a [6, 18].
Matice derivací druhého řádu je
6x −6
−6 2
.
V bodě [0, 0] je determinant
0 −6
−6 2
= −36 < 0,
tedy extrém zde nenastane.
V bodě [0, 0] je determinant
0 −6
−6 2
= −36 < 0,
tedy extrém zde nenastane.
V bodě [6, 18] je determinant
36 −6
−6 2
= 36 > 0,
tedy v tomto bodě nastává extrém, a protože fxx (6, 18) = 36 > 0,
jde o lokální minimum.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) =
y
2
√
x
− 1; fy (x, y) =
√
x − 2 y + 6.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) =
y
2
√
x
− 1; fy (x, y) =
√
x − 2 y + 6.
Derivace podle x bude rovna nule, pokud y = 2
√
x, z derivace
podle y potom 3
√
x = 6. Tedy dostaneme stacionární bod [4, 4].
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) =
y
2
√
x
− 1; fy (x, y) =
√
x − 2 y + 6.
Derivace podle x bude rovna nule, pokud y = 2
√
x, z derivace
podle y potom 3
√
x = 6. Tedy dostaneme stacionární bod [4, 4].
Derivace druhého řádu jsou
fxx (x, y) = −
y
4x3/2
, fxy (x, y) =
1
2
√
x
, fyy (x, y) = −2.
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) =
y
2
√
x
− 1; fy (x, y) =
√
x − 2 y + 6.
Derivace podle x bude rovna nule, pokud y = 2
√
x, z derivace
podle y potom 3
√
x = 6. Tedy dostaneme stacionární bod [4, 4].
Derivace druhého řádu jsou
fxx (x, y) = −
y
4x3/2
, fxy (x, y) =
1
2
√
x
, fyy (x, y) = −2.
Determinant matice druhých derivací v bodě [4, 4] je
−1
8
1
4
1
4 −2
> 0,
takže funkce má v bodě [4, 4] extrém
Příklad: Najděte lokální extrémy funkce
f (x, y) = y
√
x − y2 − x + 6y.
Řešení: Parciální derivace prvního řádu jsou
fx (x, y) =
y
2
√
x
− 1; fy (x, y) =
√
x − 2 y + 6.
Derivace podle x bude rovna nule, pokud y = 2
√
x, z derivace
podle y potom 3
√
x = 6. Tedy dostaneme stacionární bod [4, 4].
Derivace druhého řádu jsou
fxx (x, y) = −
y
4x3/2
, fxy (x, y) =
1
2
√
x
, fyy (x, y) = −2.
Determinant matice druhých derivací v bodě [4, 4] je
−1
8
1
4
1
4 −2
> 0,
takže funkce má v bodě [4, 4] extrém a protože fxx (4, 4) < 0, jde o
lokální maximum.