Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta
Matematika
studijní text
Miloslav Mikulík, LuboS Bauer, Marketa Matulova
Brno 2010
i
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obsah
Čísla 9
1.1 Reálná čísla ............................... 10
1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselne soustavě ............ 13
1.2.1 Zápis racionálního čísla...................... 13
1.2.2 Iracionálni čísla.......................... 14
1.2.3 Aproximače čísel.......................... 15
1.2.4 Vlastnosti reálnýčh čísel..................... 17
1.2.5 Vlastnosti uspořádání reálnýčh čísel................ 19
1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty reálneho čísla............ 21
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1
2
1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum množiny reálných čísel ... 26
1.3.1 Symboly to, —to......................... 29
1.3.2 Zaveden í pojmu interval, a pojmu okol í bodu.......... 32
1.4 Komplexn íč ísla ............................. 35
1.5 Připomenut í duležitých vžorcu pro poč ítan ísč ísly............ 42
2 Základní pojmy lineárni algebry 44
2.1 Úvod do maticoveho počtu ....................... 44
2.2 Relace meži maticemi.......................... 50
2.3 Zakladn í operace s maticemi....................... 52
2.4 Specialn í matice a pravidla pro poc ítan í s maticemi........... 68
2.5 Systemy linearn ich algebraických rovnic, uvod.............. 74
2.6 Zaveden í pojmu inveržn í matice..................... 81
2.7 Úkažka formulace ulohy linearn ího programovan í............. 86
3 Lineárn í prostor 89
3.1 Aritmeticky vektorovy prostor....................... 89
3
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
3.2 Lineám í nezávislost vektorů......................
3.3 Elementárn í transformace.......................
3.4 Transformace mátice ná mátici schodoviteho tvárů..........
91 97 101
4 Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic 115
4.1 Resen í nekterých typů systemů lineárn ích rovnic ............ 115
4.2 Ekviválentn í systemy rovnic........................ 128
4.2.1 Převod systemů lineárn ích rovnic ná ekviválentn í system rovnic. 128
4.3 Gáůssová eleminácn í metodá....................... 144
4.4 Jordánová eliminácn í metodá....................... 147
4.5 Jordánová metodá ná řesen í máticove rovnice AX = B........ 150
5 Determinanty 158
5.1 Zaveden ř pojmu determinantu matice.................. 158
5.2 VýpoCet determinantu rozvojem podle libovolneho radku, resp. sloupce 169
5.3 Hodnota determinantu matice B vznikle z matice A elementarn ř trans-formacř.................................. 179
4
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
5.4 Výpočet hodnoty determinantu z horn í schodovité matice........ 184
5.5 PouZit í determinantu........................... 192
5.6 Cramerovo pravidlo ........................... 193
5.7 Prímý výpočet inverzní matice pomoc í determinantu.......... 197
6 Vztah mezi volnými a aritmetickými vektory 202
6.1 Zaveden í volných vektorU ........................ 202
6.2 Skaiarn í soucin, norma a vzdaienost ve vektorovem prostoru...... 209
6.3 Zaveden í Euklidova prostoru En..................... 215
7 Pojem funkce, základní pojmy 224
7.1 MnoZina, konstanta, promenna ..................... 224
7.2 Zobrazen í................................. 228
7.3 Pojem funkce a nektere jej í vlastnosti.................. 237
7.4 Realna funkce realne promenne..................... 244
7.4.1 Funkce monotonn í , funkce suda a funkce licha......... 253
7.4.2 Funkce sloZena a funkce inverzn í ................ 258
5
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné
266
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
6
Limita funkce jedné proměnné v daném bode..............268
Limita a spojitost funkce vytvorené pomoc í dvou funkc í........288
Polynom a racionain í lomena funkce................... 309
9.1.1 Kontroln í uiohy - polynom a racionain í funkce ......... 329
9.1.2 Zaveden í odmocnin ....................... 331
Funkce ................................ 333
Mocniny s racionaln ím exponentem................... 339
Mocniny s realnym exponentem..................... 343
Exponencialn í funkce a logaritmus.................... 347
Trigonometricke funkce......................... 354
Úhel v obloukove m Ire........................... 355
9.7.0.1 Funkce cyklometricke................. 368
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
8.3 Shrnutí, ulohy
305
9 Elementární funkce.
309
9.7.0.2 Funkce arctg x.....................370
10 Derivace reálné funkce reálné proměnné
373
10.1 Zaveden ř pojmu derivace funkce.....................373
10.2 Derivace elementarn řch funkc í......................398
10.3 Shrnutř, Úlohy..............................434
11.1 Funkce spojité na intervalu ....................... 437
11.2 Véty o funkc ích spojitých na intervalu (a,b) .............. 443
11.3 Funkce monotonn í na intervalu a lokain í extrémy............ 449
11.4 Absolutn í extremy............................ 458
11.5 Konvexita a konkavnost funkce..................... 460
11.6 Hledan í kořenu rovnice f (x) = 0 „metodou pulen í intervalu"...... 476
11.7 Výpocet nekterých typu limit ...................... 480
11.8 Prubeh funkce.............................. 488
11.9 Diferencial a Taylorova veta....................... 499
11 Použití derivací
437
7
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ll.lOShrnutí a úlohy..........
12 Funkce více proměnných
12.1 Parciální derivace.........
12.1.1 Totální diferenciál . . . .
12.2 Extrémy funkc í v íce promennych .
....................508
515
....................528
....................549
....................553
8
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Kapitola 1
Č isla
Každý čtenár tohoto textu pračuje s číslý. Práče s číslý je mu samozrejmostí, avsak mílokdo si uvedomuje, jak je pojem čísla obtížný. Presne zavedení pojmu čísla se výmýká nasim možnostem. Tuto kapitolu je proto možne čhípat jen jako pripomenutí vlastností čísel a jako pokus o výtvorení náhledu na jeden zpusob zavedení pojmu čísla. V teto kapitole uvedeme tez nekolik pripomínek k numeričkým výpočtum a zopakujeme si nektere ukoný s reálnými číslý. Zopakujeme si tez zavedení komplexníčh čísel. Součástí výkladu je nekolik príkladu. Pokud nekdo bude mít potíze s jejičh resením, doporučuji sbírký príkladu ze stredoskolske matematiký.
9
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.1. Reálná čísla
Historicky začali lidé použ ívat napřed přirozená čísla. Vyjadřuje se jimi pocet prvků konečné množiny i pořad í odpoč ítavanych objektů. V matematicke literatuře nen í pojem množina přirozených císel chapan jednotne. Nekteří autoři zařazuj í do množiny prirozenych c ísel i nulu. V dals ím budeme pod mnozinou přirozenych c ísel rozumet jen mnozinu c ísel 1, 2,3,...; budeme ji znacit N.
Na mnozine N je zavedena relace „<" (mens í nebo rovno) a jsou zavedeny operace sec ítan í, oznacena „ + ", a nasoben í, oznacena „•". Jestlize a, b g N a existuje takove c íslo c g N, pro nez plat í a = b+c, oznac íme c = a—b. Je tedy mezi nekterymi prvky z N definovana operace, —", nazveme ji odec ítan ím. Pozadavek proveditelnosti teto operace pro vsechna a, b G N vede k zaveden í 0 a celych zapornych c ísel —1, —2, —3,.... Mnozina N sjednocena s mnozinou {0} a mnozinou celych zapornych c ísel se znac í Z a nazyva mnozinou celych císel. Operace „+, —" a uspořadan í„ <" definovane na mnozine prirozenych c ísel se rozsiřuj í na celou mnozinu Z. Na mnozine Z je pak definovana operace „ —". (Zaveden í celych c ísel umoznuje pracovat nejenom s hotovost í , ale i s dluhy.)
Nechť p,q g Z, q = 0. Jestlize existuje x g Z tak, ze p = q • x, p íseme x = p, resp. x = p : q. Operaci „:" nazyvame delen ím. Aby delen í c ísla p c íslem q, q = 0, bylo vzdy proveditelne, rozsiřuje se mnozina Z na mnozinu Q, zvanou mnozina racionaln ích
10
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
čísel. Operace ,, + , —, •" a uspořádán í, definované na množině Z, rozšiřujeme na celou množinu Q. Na množine Q je pak definovano i delen í č ísla p č íslem q pro všechna p, q g Q, q = 0. Množinu Q nazývame množinou racionálních čísel a operace „ + , —, •,:" nazývame racionálními operacemi. Racionaln ím c íslem je tedý každe c íslo tvaru p, kde
p, q G Z, q = 0.
Jestliže p, S G Q, potom p = S, jestliže ps = rq. Např. 4 = |. Každe cele c íslo a G Z lže žapsat ve tvaru a. (Zaveden í racionaln ich c ísel umožřuje poc ítat i s castmi celku.)
Zaveďme si nýn í c íselnou osu.
Číselná osa. Uvažujme přímku s daným bodem 0, nažveme jej pocatkem. Jistý smýsl prímký žvol íme jako kladný. Zvolme dale usecku, jej í delku ožnacíme jako jednotku. V textu budeme tuto prímku kreslit ve vodorovne polože a ža jej í kladný smýsl vol íme smer žleva doprava. Ke každemu racionaln ímu c íslu priřad íme na teto prímce bod takto: ke každemu přiroženemu c íslu n priřad íme bod, ožnacme jej n, a to tak, že žvolenou jednotku naneseme od pocatku n-krat v kladnem smýslu, to jest doprava. Ke každemu celemu žapornemu c íslu m přiřad íme bod, ožnacme jej m, a to tak, že žvolenou jednotku naneseme od pocatku (—m)-krat v žapornem smýslu, to jest doleva. C íslu 0 přirad íme pocatek. Nechť p je racionaln í c íslo, ktere nen í celým c íslem. Bež ujmý na obecnosti
lže predpokladat, že p G Z, q G N, q = 0. Usecku, jej íž delku jsme žvolili ža jednotku, roždelme na q stejných d ílku. Je-li p > 0, naneseme p techto d ílku doprava, je-li p < 0, naneseme (—p) techto d ílku doleva. Obdržený bod ožnacíme p. Jsou-li p,
ii
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ls taková racionální čísla, že ps = rq, potom je jim přiřazen tentýž bod. Čísla -q, Ls jsou zápisý tehož racionálního čísla, napr. zápisý |, 6 představují totež racionální číslo. Označme Q množinu vsech bodU přiřazených naznačeným zpUsobem k racionalním CíslUm. Uvedenou prímku nazveme číselnou osou. Není podstatný rozdíl mezi bodem z množiný Q a racionalním číslem, k nemuž býl bod přirazen. Budeme tedý používat pojem bod p a racionalní číslo p ve stejnem významu. Na obr. 1.1 jsou význačena čísla -2, -1,0,1, 2,3,4 a číslo f.
-2 -1 0 1 u 2 3 2 4
Obrazek 1.1: Číselna osa
Jestliže k číslu p je přiřazen bod na číselné ose nalevo od bodu přiřazenému k číslu q, je p < q, řesp. q > p. Budeme pak říkat, že číslo p je mensí než číslo q, řesp. že číslo q je vetsí než číslo p. Řekneme, že p < q, je-li p < q nebo p = q.
12
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.2. Zápis reálných čísel v desítkové číselné soustavě
K zápisu čísel v desítkové soustavě používáme deset symbolů (cifer) 0,1,2,3,4, 5,6,7, 8,9 a prípadne desetinnou čárku (v zahraničním textu a pri práci na počítači často desetinnou tečku). Tak např.
3,15 (1.1)
je zkračeny zapis čísla 3 + 1 • 10—1 + 5 • 10"2-. Tomuto číslu odpovídí na číselne ose bod ležíčí mezi bodem „3" a „4". Vzdalenost mezi „3" a „4" rozdelíme na 10 dílku - jeden dílek ma delku a od čísla „3" naneseme jeden tento dílek napravo - dostaneme bod na číselne ose odpovídajíčí číslu 3,1. Dílek delky 10 rozdelíme opet na 10 dílku - jeden d ílek ma pak delku . „5" tečhto d ílku naneseme od bodu „3,1" napravo. Dostaneme tak bod, ktery odpov ída bodu „3,15."
1.2.1. Zýpis racionýlního čísla.
Kazde nenulove račionaln í č íslo lze zapsat ve tvaru +p nebo —p, kde p, q g N, q = 0. Delen ím č ísla p č íslem q podle znameho algoritmu dostaneme kde sgn je znamenko „ + ", nebo „-", n je prirozene číslo nebo nula, „," je tzv. desetina čarka a a1,a2,... jsou čifry „0,1, 2,3,4, 5,6, 7,8,9".
Napr. a) 3 = 0,75 b) 3 = 0,333... Lehče nahledneme, ze zapis kazdeho račional-
13
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
n ího c ísla se vyznacuje t ím, že bud'to
• za desetinou carkou je konecny pocet nenulovych cifer nebo
• existuje takova uspořadana skupina císel, že za každou takovou skupinou císel bezprostredne nasleduje opet tato skupina císel. Takovato císla se nazyvají period-icka. Zapis je mořzne provest tak, řze nad prvn ím vyskytem opakuj íc í se skupiny se da pruh a dalsí navazující skupiny se nepísí. Tedy nahoře uvedene císlo 1 = 0,333... lze zapsat jako 0,3.
Ke kazdemu racionalnímu císlu odpovída na císelne ose bod (Tak jak jsme to videli s císlem „3,15".
1.2.2. Iracionální čísla
Lze ukazat, ze delku uhlopřícky ctverce o strane „1" nelze vyjadrit jako racionalní císlo. To znamena, ze neexistuje takove racionalní císlo „u", jehoz druha mocnina je je rovna „2" (viz.1.1). Tento nedostatek odstraníme zavedením tzv. iracionálních čísel. Iracionalním císlem budeme rozumet opet symbol (1.2),avsak takovy, ze za desetinou řcarkou je nekoneřcnře mnoho nenulovych cifer a neexistuje v tomto zapisu takova uspořradana skupina řc ísel, řze za kařzdou takovou skupinou řc ísel bezprostřrednře nasleduje
14
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
opet tataž skupina císel.To žnamena, že žapis (1.2) nepredstavuje císlo racionaln í. Jestliže
x = sgn n, aia2 • • • an ..., (1.2) je iracionaln í c íslo,potom pro každe n lež í c íslo x meži racionaln ími c ísly
x1 = sgn n, a1a2 • • • an, x2 = sgn n, a1a2 • • • an,... an+k + 1S, (1.3)
kde k je nejmens ítakove přirožene c íslo, že an+k 0, pro než plat í
|x — x| < ô.
15
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jestliže x je iracionaln í c íslo v des ítkove soustave a v jeho zapise ponechame jen prvn ích n cifer za desetinnou carkou, dostaneme racionaln í c íslo x, pro než plat í |x — x| < 10—n.
Předpokladejme, že při meren í vzdalenosti dvou m íst A, B, kde A je m ísto v Praze a B je m ísto v Brne, se dopust íme chyby nejvyse 1m. Podobne předpokladejme, ze při meřen í delky obdeln íkove m ístnosti se dopust íme rovnez chyby nejvyse 1m. Je zrejme, ze stejny odhad chyby meren í nelze pouz ít ke srovnan í přesnosti metody meren í.
K posouzen í „kvality" aproximace se pro x = 0 pouz íva casto tzv. relativní chyba, definovana vztahem
rp _ rp
x
C íslo ô > 0, pro nez plat í
rp _ rp
x
nazyvame odhadem relativní chyby.
Při numerických výpočtech jsme v jistem okamžiku nuceni čísla iracionální, s nimiz se pracuje, aproximovat císly racionalními. Provadíme-li výpocty na kalkulačce, nebo na pocítaci, nemame k dispozici ani množinu všech racionalních císel. Pracuje se jen s císly dane reprezentace v danem rozsahu. Vysledek racionalní operace (+, —, •,:) s tčmito císly se aproximuje podle zabudovaného kriteria opčt císlem dane reprezentace. T ím, ze nepracujeme s presnymi c ísly, alae jenom s jejich apoximacemi, muze vest k velkym
< ô,
16
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
chýbam. Je tomu tak predevs ím pri delen í velice malými c íslý. Iracionaln ím ríslum casto priražujeme sýmbolý, napr. n a teprve k žaveru, jeli to ucelne, provad íme aproximaci racionaln ími c íslý.
1.2.4. Vlastnosti reálných čísel
Množinu vsech racionálních čísel, sjednocenou s množinou čísel ira-cionálních,nazýváme množinou reálnych císel a budeme ji značit R. Aritmetické operace ,+— secítaní, - -odečítání, . -násobení a ; delení pro racionální čísla rozšiřujeme i na císla reílní. Rovněž lze rozšířit relaci < na množinu vsech reílnych císel." (Zavedení je možno provést využitím dolní a horní aproximace aproximace iracionalních císel.)
Uved'me vsak napred žakladn í vlastnosti takto žavedených realných c ísel. Dale uvedene vlastnosti je možno použít k axiomatickemu žaveden í realných císel takto. Množinu R, na n íž jsou žavedený operace „ + , •" a usporadan í < s nasleduj íc ími vlastnostmi, nažývame množinou realných císel.
17
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Základní vlastnosti reálných čísel
(Ri) (x + y) + z = x + (y + z) pro všechna x,y,z g R.
(R2) x + y = y + x pro kazdí x, y g R.
(R3) Existuje prvek 0 G R tak, ze pro kazdí x g R platí x + 0 = x.
(R4) Ke každému x g R existuje prvek —x g R tak, ze x + (—x) = 0.
(R5) (x • y) • z = x • (y • z) pro všechna x, y, z g R.
(R6) x • y = y • x pro kazdí x, y g R.
(R7) Existuje prvek 1 g R tak, ze pro kazdí x g R platí x • 1 = x.
(R8) Ke kazdímu x g R, x = 0 existuje prvek x—1 g R tak, ze x • x—1 = 1.
(R9) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) pro všechna x, y, z g R.
(Rio) Uspořádání < je lineární.
(Rii) Je-li x, y, z g R, x < y, pak x + z < y + z.
(Ri2) Je-li x, y, z g R, x < y, z > 0, pak x • z < y • z.
(Ri3) Jsou-li X C R, Y C R neprízdní mnoziny a platí-li x < y pro kazdí x g X a kazdí y g Y, pak existuje a g R tak, ze x < a < y pro kazdí x g X a kazdí
y g y ._
18
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.2.5. Vlastnosti uspořádaní reálných čísel.
Ze „žakladn ích vlastnost í realnych c ísel" dostavame tuto vetu.
Veta 1.1. (Nerovnice) Pro libovolná Čísla x,y,z,u platí
(1.4) Je-li x < y, z < u, potom x + z < y + u.
Slovy: Levé i pravé strany souhlasných nerovnic mUžeme sečíst.
(1.5) Je-li x < y, z > 0, pak x • z < y • z.
Slovy: Nasobíme-li obě strany nerovnice témž kladném číslem, smysl nerovnice se nezmění.
(1.6) Je-li 0 y • z.
Slovy: Nasobíme-li obě strany nerovnice témž žépornym žíslem, žmeníse smysl nerovnice.
(1.8) Je-li 0 < x < y, platí 0 < 1 < X.
Slovy: Jestliže v nerovnici meži kladnymi ěísly pěejdeme k reciprokém hod-notam, žmění se smysl nerovnice.
Důkaz: Dokažeme jen (1.7). Dukažy ostatn ích tvržen í prenechavam ctenari. Nechť tedy
x < y, z < 0.
19
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Přičteme-li na obe straný vztahu z < 0 č íslo —z, dostáváme podle (R11)
0 < —z.
Násoben ím vztahu x < y č íslem —z dostáváme podle (1.6)
—xz < —yz.
Přičten ím xz + y z na obe straný teto nerovniče dostáváme
y z < xz, to jest xz > yz.
Příklad 1.1. V R řeste nerovniči
2x + 1 < 5x — 2.
(1.9)
ReSení. Na obe straný (1.9) pripočítejme — 2x + 2. Uzit ím (R11) dostáváme
3 < 3x.
(1.10)
Násoben ím (1.10) č íslem 1 dostáváme
3
x > 1.
Tedý nerovniči (1.9) výhovuj í vsečhna č ísla x > 1.
20
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.2.6. Zavedení absolutní hodnoty reálného čísla.
Zopakujme si zavedení pojmu absolutní hodnota realneho čísla.
Definice 1.1. (Absolutní hodnota reálného čísla)
Nechť x G R. Položme
li í x, je-li x > 0, \ —x, je-li x < 0.
Číslo |x| nazveme absolutní hodnotou čísla x.
Príklad 1.2. a) | — 4| =4. Položíme-li x = —4, je x < 0, takže podle definice je
| — 4| = |x| = —(—x) = —(—4) = 4.
b) |x — 2|, kde x je realne se určí takto: Je-li x — 2 > 0, to jest, jestliže x > 2, je
|x — 2| = x — 2. V případe, že x — 2 < 0, to jest, jestliže x < 2, je |x — 2| = —(x — 2) = 2 — x. Tedý
x 2 pro x 2, |x — 2| = < _ _ 12 — x pro x < 2.
Pro absolutní hodnotu realných čísel platí vztahý uvedene v nasledující vete. Jejich dukazý přenechavame čtenaři.
21
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 1.2. (Pravidla pro absolútni hodnoty)
Necht x, y, a, £ G R, e > 0. Potom platí
|x| > 0 (1.11)
x < |x|, —x < |x| (1.12)
/y» - _ rp | t/y | - | iJj | (1.13)
|x| — |y| < |x + y| < |x| + |y| (1.14)
|x • y| = |x| • |y| (1.15)
i x| = pro y = 0 (1.16)
|x — a| < e a — e 0, pevna čísla, potom |x — a| v (1.17) znamena, ze x je od bodu a vzdaleno o mene nez e. Ponevadz body a — e, a + e jsou od bodu a vzdíleny prave o e, lezí x mezi body a — e, a + e, tedy platí a — e 0. Potom |x — 2| = x — 2. Dale je
Ze vztahu dostavame Ze vztahu dostavame
x > 2.
2x 1 < x 2
x < — 1.
x- 2 < 3x + 2
2x > —4,
(1.18)
(1.19)
(1.20)
23
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ae
tedy
x > -2.
Vztahy (1.19), (1.20), (1.21) vyznacíme na císelne ose.
(1.21)
< 1 1
1 1
-3 -2 -10 1 2 3
Vidíme, ze pro x > 2 nema rovnice resení.
P) Nechť x — 2 < 0. Potom |x — 2| = —x + 2. Podle predpokladu je
x < 2. (1.22) Ze vztahu (1.18) pro tato x dostavame
2x — 1 < —x + 2.
Odtud dostavame
3x < 3,
tj.
x < 1. (1.23)
24
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ze vztahu
-{x - 2) < 3x + 2
dostavame
4x > 0,
tj.
x > 0. {1.24) Ze vztahU (1.22), (1.23), (1.24) dostavame
0 < x < 1.
Dane Uloze tedy vyhovuj ř všechna C řsla, pro nez plat ř
0 < x < 1.
25
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.3. Maximum, minimum, supremum a infimum množiny reálnych čísel
Zaved'me si nekolik pojmu spojenych s mnozinami realnych císel.
Ohraničené množiny. Necht; M C R. Řekneme, ze mnozina M je shora ohraničená, jestlize existuje takove císlo h, ze
x G M => x < h. Císlo h nazyváme horním ohraničením množiny M.
Podobne řekneme, ze mnozina M je zdola ohraničena, jestlize existuje takove reálne císlo d, ze
x G M => x > d. Císlo d nazyvame dolním ohraničením množiny M. Jestlize mnozina M je shora i zdola ohranicena, říkame, zeje ohraničena.
Jako příklad uvedme mnozinu
M = {x G R : x = 1, kde n G N}.
n
Zrejme horním ohranicením mnoziny M je kazde realne císlo h > 1 a dolním ohranicením mnoziny M je kazde císlo < 0.
26
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zaveďme si dale pojmy maximum, minimum a pojmy suprímum a infimum množiny realnych císel.
I Maximum číselne množiny Řekneme, že císlo xmax je maximum císelní množiny M, jestliže
1. xmax G M,
2. jestliže x G M, potom x < xmax.
Píšeme xmax = max x, resp. xmax = max M. Jestliže takoví císlo neexistuje,
xgM
fíkíme, že množina M nemí maximum. To znamena, ze xmax je horn ím ohranicen ím mnoziny M, ktere do do M patrí. Minimum číselne množiny
Rekneme, že císlo xmin je minimum císelní množiny M, jestliže
1. xmin G M,
2. jestliže x G M, potom x > xmin.
Píšeme xmin = min x, resp. xmin = min M. Jestliže takoví císlo neexistuje, ríkame,
xgM
zze mnozzina M nemía minimum. To znamena, ze xmin je doln ím ohranicen ím mnoziny M, ktere do do M patří.
27
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jako príklad uved'me dve množiný U, V realných čísel
U = {x G R : x = i, kde n G N}, (1.25) V = {x G R : x < 2 A x > 0}. (1.26)
Zrejme max x = 1, min x neexistuje, max x = 2, min x = 0.
xgU xgU xgV xgV
VSimnéme si, že podle definice je maximum (minimum) číselné množiny M jejím prvkem.
Uved'me si dva podobne pojmý: supremum a infimum číselne množiný. Týto pojmý posluchači nekdý mýlne zameřují s pojmý maxima a minima číselne množiný.
Jestliže množina M je shora ohraničena, potom existuje její nejmenší horní ohraničení, označme je swpM, a nazveme je suprémem množiny M. Toto číslo, na roždíl od maxima množiny, nemusí patřit do množiny M.
Jako príklad uved'me množinu M={0,9; 0;99; 0.999, ... } Lehce nahledneme, že tato množina je shora ohraničena - jejím supremem je zrejme číslo „1". Toto číslo není maximem množiný M, nebol; nepatří do M.
Jestliže množina M je ždola ohraničena, potom existuje její nejvetší ohraničení ždola, označme je infM, a nazveme je infimem množiny M. Toto číslo, na roždíl od minima množiny, nemusí patřit do množiny M.
28
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jako príklad uved'me množinu M={0,9; 0;09; 0.009, ... } Lehce nahledneme, že tato množina je ždola ohranicena - jej ím infimem je žřejme c íslo „0". Toto c íslo nen í minmem množiný M, nebol; nepatří do M.
Všimneme si, že sup M a inf M nemusí být prvky množiny M. Jestliže plat í G = sup M g M, potom G je maximem množiný M. Podobne, plat í-li g = inf M g M, potom g je minimem množiný M.
1.3.1. Symboly oo, —oc
RozSírení množiny reálných Čísel o dva symboly oo, —oo. Množinu realných c ísel R nýn í rožs íříme o dva sýmbolý oo, —oo, (m ísto oo lže psat i +oo) (cteme (plus) nekonecno a minus nekonecno). Množinu R u {—o, o} budeme žnacit R*. Sýmbolý —o, o nažývame nevlastn ími c íslý. (Nekdý ž duvodu strucnosti použe c íslý.) Stejne jako m ísto term ínu realne c íslo lže použ ít term ín bod x, lže mluvit o bodech o, resp. —o.
Položme x < o pro vsechna x g R. Jestliže množina M C R nen í shora ohranicena, polořž íme
sup M = o.
Nevlastn í c íslo o je nejmens í horn í ohranicen í množiný realných c ísel.
29
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Položme x > —oo pro vsechna x g R. Jestliže množina M C R nen í ždola ohranicena, polož íme
inf M = —oc.
Nevlastn í c íslo —oo je nejvets ím doln ím ohranicen ím množiny priroženych c ísel.
Nektere racionální operace rozšíříme i na nevlastní čísla —oo, oo. Pravidla pro pocítaní s —oo, oo obsahuje následující rímecek.
Necht a g R, potom definujeme
a + oo = oo, oo + a = oo oo + oo = oo
a — oo = —oo, —oo + a = —oo —oo — o = —oo
íl = 0
±oo
=
30
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
oo • (—00) = —oo —oo • oo = —oo —oo • (—00) = oo
í 00, je-li a > 0 a •o = < ...
—0 , je-li a < 0
—o , je-li a > 0 o, je-li a < 0
Poznámka. Všimněme si, že některé operace, například
oo — oo, —oo + oo,--, 0 • oo, 0 • (—o),
±00
jsou nadále nedefinované.
31
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.3.2. Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu.
Nechť a, b G R, a < b. Mnozinu vsech x G R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazyvat uzavřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu (a, b).
Mnozinu vsech x G R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazyvat otevřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu (a, b).
Mnořzinu vřsech x G R, pro nřeřz plat í a < x < b (a < x < b), budeme zapisovat jako (a, b) ((a, b)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) a zprava otevřeným (uzavřeným) inteřvalem o koncových bodech a, b. Císlo a nazyvame levym a císlo b nazyvame pravym koncovym bodem intervalu (a, b) ((a, b)).
Mnozinu vsech císel x G R, pro nez platí a < x< oo (a 0. Potom interval (a, a + ô) budeme nažyvat pravím ô-okoím bodu a a budeme jej vetsinou žnacit U/(a). Tedy U/(a) = (a, a + ô). Kvuli žkracen ížapisu jej lže nekdy ožnacit strucne U+ (a).
Nechť a g R, ô g R, ô > 0. Potom interval (a — ô, a) budeme nažyvat levím ô -okolím bodu a a budeme jej vetsinou žnacit U— (a). Tedy U— (a) = (a — ô, a). Kvuli žkracen í žapisu jej lže nekdy ožnacit strucne U— (a).
Nechť a g R, ô g R, ô > 0. Potom interval (a — ô, a + ô) budeme nažyvat ô -okolím bodu a a budeme jej vetsinou žnacit U (a). Tedy U (a) = (a — ô, a + ô). Kvuli žkracen í žapisu jej lže nekdy ožnacit strucne U (a).
Nechť k g R. Potom množinu (k, oo) nažyvame k-okol ím bodu oo a žnac íme Uk(oo), nebo strucne U (oo). Podobne množinu (—o, k) nažyvame k-okol ím bodu —o a žnac íme Uk (—o), nebo strucne U (—o).
34
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
1.4. Komplexní čísla
Rada matematickych uloh není resitelna v oboru realnych císel. Napr. neexistuje realne císlo x, pro nezje x2 = —1. To znamena, ze rovnice x2 + 1 = 0 nema v oboru realnych císel řesení. Tato a cela řada jinych uloh nas inspiruje k zavedení komlexních císel.
Definice 1.2.
Oznacme C mnozinu usporadanych dvojic realnych císel (x, y), na níz jsou zavedeny operace sec ítan í „ + " a nasoben í „•" s temito vlastnostmi: Pro ai,a2,bi, b2 g R polořz íme
(ai, a2) + (bi, b2) = (ai + bi, a2 + b2), (1.27) (ai, a2) • (bi, b2) = (aibi — a2b2, aib2 + a2bi). (1.28)
Mnořzinu C nazveme mnořzinou komplexn ích řc ísel, jej í prvky nazyvame komplexn ími řc ísly.
Je-li z = (a, b) g C, lze psat
z = (a, 0) + (0,1) • (b, 0) (1.29)
C íslo (c, 0) lze zkracene oznacit jako c pro kazde c g R. Symbol (c, 0) oznacuje tedy realne c íslo. C íslo (0,1) oznac íme symbolem i a nazveme imaginární jednotkou.
35
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Potom (1.29) lze zapsat jako
z = a + ib. (1.30)
Jestlize z = a + ib G C, potom č íslo a nažývéme jeho realnou častí a znač íme ji "R(z), b nazýváme imaginérní častí a znač íme ^(z). Je tedý
?R.(a + ib) = a, ^y(a + ib) = b.
Nečht z = a + ib G C. Potom č íslo a — ib nazýváme číslem komplexně sdruženým k č íslu z. Budeme jej značit ž. Tedý ž = a — ib.
Vzhledem k definován í součtu a součinu č ísel (ai,bi), (a2,b2) dostáváme
(ai + ibi) + (a2 + ib2) = (ai + a2) + i(bi + b2), (ai + ibi) • (a2 + ib2) = (aia2 — bib2) + i(aib2 + a2bi).
Příklad 1.4. (2 + 3i) + (4 — i) = 6 + 2i
(2 + 3i) • (4 — i) = 11 + 10i
Lze ukázat, ze operače sč ítán í a násoben í komplexn íčh č ísel maj í týto vlastnosti
(1) (zi + z2) + z3 = zi + (z2 + z3) pro kázde zi, z2, z3 G C,
(2) zi + z2 = z2 + zi pro kazde zi, z2 G C,
36 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
(3) Pro 0 = (0,0) G C plat í z + 0 = z pro vsechna z G C,
(4) Ke kazdemu z G C existuje —z G C tak, ze z + (—z) = 0,
(5) (zi • z2) • z3 = zi • (z2 • z3) pro kazde zi, z2, z3 G C,
(6) z1 • z2 = z2 • z1 pro kazde z1,2 G C,
(7) Pro 1 = (1,0) G C a pro kazde z G C platí 1 • z = z,
(8) Ke kazdemu z G C, z = 0 existuje z—1 G C tak, ze z • z—1 = 1,
(9) z1 • (z2 + z3) = (z1 • z2) + (z1 • z3) pro kazde z1, z2, z3 G C.
Vid íme, ze operace sec ítan í a nasoben í komplexn ích c ísel maj í vlastnosti, ktere jsme uvedli u realnych c ísel na strane 17. Komplexn í c ísla vsak nejsou linearne uspořadana.
Komplexn í c ísla se znazorřuj í jako body v rovine, ve ktereje zavedena kartezska soustava souřadnic, nazyva se Gaussovou rovinou. Kazde komplexn í c íslo z = x + iy se v n í znazorřuje jako bod o souřadnic ích x, y, tedy jako [x, y].
Na obr. 1.4 je graficky znazornen soucet dvou komlexn ích c ísel.
Na obr. 1.5 je vyznaceno komplexn í c íslo z ak nemu komplexne sdruzene c íslo ž.
Absolutní hodnota komplexního čísla. Necht z = a + ib G C. Potom c íslo \/a2 + b2 nazyvame absolutní hodnotou komplexního čísla z a znac íme ji |z|. Je tedy |a + ib| = Va2 + b2. Je to vzdalenost bodu [0,0], [a, b].
37
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y
0,2 + &2 02
Z = Zl + Z2
bi
0i oi + bi
Obrazek 1.4: Součet dvou komplexních čísel.
Příklad 1.5. Určete reálnou a imaginární část komplexního čísla
z =
1 + 2i 3-4ť
Řešení. Zlomek, jímz je komplexní číslo z definovano, rozsíříme číslem komplexne sdruzenym k číslu ve jmenovateli, to jest číslem 3 + 4i. Dostaneme
(1 + 2i) • (3 + 4i) —5 + 10i
Z =(3 — 4i) • (3 + 4i), tojest Z •
38
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Vi } z = a + ib
"ô 'ž = a — ib x
Obrázek 1.5: Komplexne sdružená čísla.
Je tedý 9fč(z) = —1, 3z = 2.
Z výkladu je žrejme, že realní císla jsou podmnožinou komplexních císel, tedý R c C. Komplexn í c ísla, ktera nejsou realna, nažývame imaginírními. Roždelen í komplexn ích c ísel lže schematický žnažornit takto:
39
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Komplexní čísla
C
Imaginární čísla
Reálná čísla
R
Iračionaílní čísla
Račionaílní čísla
Q
Nečela račionílní čísla
Cela čísla
Z
Celí zíporní čísla
Nula 0
Prirozena čísla
N
Zaved'me si jeste celoc íselne mocniny komplexn ích c ísel nasledovne.
40 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Necht; a G C, n G N. Položme
an = a • a • • • • • a • a, (1.31)
n
a-n = an, pro a = 0, (1.32)
a
a0 = 1, pro a = 0, (1.33)
0n = 0. (1.34)
Pro celočíselne mocniný komplexních čísel platí tato pravidla.
Nečht a, b G C, r, s G Z. Potom platí
ar • as = ar+s (1.35)
ar : as = ar-s (1.36)
(ar )s = ars (1.37)
(a • b)r = ar • br (1.38)
( a ^r ar (1.39)
= br
pokud má levá strana výžnam.
41
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1.5. Pripomenutí duležitých vžorcu pro počítání s čísly. n-faktorial. C íslo n! (cteme ,,n faktorial") definujeme takto:
0! = 1,
n! = 1 • 2 • • • • • n pro n G N.
Kombinační číslo. Necht n G N, k g {0} U N. Definujeme
n!
(n — k)!k!
42
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
I [Důležité vzorce] Necht a, b G C, n G N. Potom platí
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.40)
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (1.41)
(a — b)(a + b) = a2 — b2 (1.42)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1.43)
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 (1.44)
a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (1.45)
a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (1.46)
Binomická veta
(a + b)n = ('
43
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 2
Základní pojmy lineárni algebry
V teto kapitole se zavadej í pojmý lineárn í algebrý jako je matiče, operače s matičemi, zápis sýstemu lineárn íčh rovnič v matičove notači a pojem matiče inverzn í.
2.1. Uvod do maticového poctu
V denn ím zivote se často setkáváme s ruznými tabulkami č ísel. Jedná se vlastne o skupinu čísel zapsanýčh do nekolika rádku a nekolika (treba jineho počtu) sloupču. Jako príklad si uved'me následuj íč í tabulku.
44
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Vi V2 V3 V4 V5
tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6
kakao 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0
cukr 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2
Tabulka 2.1: Tabulka pro výrobu v čokoládovně
Tato tabulka charakterizuje výrobu v čokoládovně při výrobě 5 druhů výrobků, označených jako Vi, V2, V3, V4, V5. V nasem příkladě se uvádí spotřeba surovin Si, S2, S3, to jest po řadě tuku, kakaa a cukru v kg na 1 kg kaZdeho z výrobku V1,..., V5. Např. pri výrobe 1kg výrobku V2 spotřebujeme 0,4kg tuku.
Výnechame-li zahlaví v tabulce, jedna se o usporadanou skupinu 15 čísel, zapsaných do trí radku a peti sloupcu. Pro takove usporádane skupiný císel si zavedeme nasledující definicí pojem matice.
Zavedení pojmu matice. Maticí typu (m,n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m • n reálných Císel resp. funkcí, definovaných na nějaké množině, zapsaných do m ěadku a n sloupcu. Každé z těchto Císel, resp. každou z techto funkcí, budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznadli, že tato císla, resp. funkce, vytvaěejí matici, budeme tuto skupinu čísel davat do kulatých zavorek.
V dalsím se omezíme na matice, jejíz prvký jsou císla.
45 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Označování. Matice budeme označovat většinou velkými tučně vytištěnými písmeny, napr. A. Prvek matice umístený v jejím i-tem radku a v j-tem sloupci, budeme vetšinou označovat malým p ísmenem, odpov ídaj íc ímu označen í matice, s indexy i, j, um ístenými u jeho doln ího praveho rohu. Tedý aij bude znacit prvek matice A v jej ím i-tem řadku a v j-tem sloupci. Pokud nerrmZe doj ít k chýbe, lze carku mezi indexý výnechat.
Příklad 2.1. Výse uvedenou tabulku význac íme tedý jako matici týpu (3, 5) nasledovne:
/ 0,00 0,4 0,3 0,6 0, 6 \ A = 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 . (2.1) v 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 j
V teto matici je napr. a2,3 = 0,1; a^3 = 0,3.
Zápis obečné matiče A typu (m,n). Matici A typu (m,n) můžeme tedy zapsat
takto
A
(
a1,2
ai,2
y am,1 am,2
am,j
\
a1,n-1 a1,n
ai,n—1 ai,n
am,n—1 am,n J
(2.2)
46
>Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jestliže matice A je typu (l,n) , to jest, jestliže
A = (aM ax,2 .. .ai,n),
(2.3)
potom ji nažyvame tež radkovym vektorem. Budeme jej vetSinou OžnaCovat tuCne vytiStenym malym p ísmenem. Ponevadž u vSech prvkU je prvn í index stejny, roven l, lže jej vetsinou vypoustet. M ísto nahoře uvedene matice(2.3) mužeme tedy psat
a = (a a2 ... ««).
Prvky tohoto řadkoveho vektoru budeme nažyvat složkami vektoru. Tedy « je i—ta složka vektoru a.
Podobne, jestliže matice A je typu (m, l) , to jest, jestliže
/ ai,i \
A
«2,1
(2.4)
\ am,i /
potom ji muzeme nazývat tez sloupčovým vektorem. Budeme jej vetsinou označovat tučne výtisteným malým p ísmenem. Ponevadz u vsečh prvku je druhý index stejný,
47
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
roven 1, budeme jej vetsinou vypoustet. Místo (2.4), muzeme tedy psít
a2
a
(2.5)
y am J
Radky matiče typu (m,n) jsou radkovymi vektory a sloupče matiče jsou sloupčovymi vektory.
Príklad 2.2. V nísledujíčím príklade je A matičí typu (2,3), vektor b je řídkovy vektor se 4 slozkami, c je sloupčovy vektor se 4 slozkami.
A
(4::)
b=( 1 6 5 4 ) , c =
1
—2 3
5
Je tedy např. a2j3 = 7.
48
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 2.3. Oznacme Di,D2 m ísta, z nichz se provad í rozvoz do m íst Zi, Z2,Z3. Oznacme cj naklady v Kc na dopravu 1 tuny zboz í z m ísta D do m ísta Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2,3. Z c ísel cj utvoříme matici, napr.
C
(
2000 1500 1800 800 50000 1000
)
(2.6)
Jde o matici typu (2, 3). V teto matici je napr. ci3 = 1800, to znamena, ze naklady na dopravu jedne tuny zboz í z m ísta Di do m ísta Z3 jsou 1800 Kc.
Příklad 2.4. Uved'me matici popisuj íc í cenu v $ trí druhu zboz í Vi, V2, V3 ve ctyrech rôznych zem ích Zi, Z2,Z3,Z4.
C =
230 450 100
200 420 90
210 430 80
235 435 95
(2.7)
Zde cj znac í cenu zboz í Vj v $ v zemi Z^. Ponevadz c23 = 90, je cena zboz í V3 v zemi Z2 rovna 90$.
Uved'me jeste pr íklady matic, ktere obsahuj í jenom jeden radek, tedy pr íklady radkovych vektoru.
49
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 2.5. Uvažujme vyrobn í žavod, v jehož dvou provožovnach se vyrabej í stejne ctyři ružne vyrobky, ožnacme je Vi,V2, V3, V4. Ožnacme ai pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobit v prvn í provožovne a bi pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobiť v druhe provožovne. Potom vektor a = (a1 a2 a3 a4) charakterižuje denn í vyrobn í plan prvn í provožovny a vektor b = (b1 b2 b3 b4) charakterižuje denn í vyrobn í plan druhe provožovny. Je-li tedy např.
a = (1 5 8 6), b =(4 6 12), (2.8)
potom napr. a2 = 5 žnamena, že prvn í provožovna ma denne vyrobit podle planu 5 vyrobku V2. Druha provožovna ma podle planu vyrobit techto vyrobku b2 = 6.
Zať ím jsme použe uvedli žpusob žapisu uspořadane skupiny c ísel, se kterymi je vhodne v dals ím pracovat jako s celkem. V dals ím budeme vetsinou odhl ížet od vecneho vyžnamu jednotlivych prvku matic a ukažeme možnosti, jak lže s maticemi pracovať.
2.2. Relace mezi maticemi
Meži maticemi tehož typu si zavedeme nasledující relace. Nechť A, B jsou matice tehož typu (m,n).
Rekneme, že matice A je mensí nebo rovna matici B, a p íseme A < B, jestliže aij < bij pro vsechna i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.
50
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Řekneme, že matice A je mensí než matici B, a píšeme A < B, jestliže aj < bij pro vsechna i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.
Řekneme, že matice A je vetsí nebo rovna matici B, a píšeme A > B, jestliže aj > bij pro vsechna i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n.
Řekneme, že matice A je vetsí než matice B, a píseme A > B, jestliže aij > bij pro v sechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
Řekneme, že matice A je rovna matici B, a píseme A = B, jestliže aij = bij pro v sechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n.
Příklad 2.6. Necht;
/ 1 2 -3 \ A = 2 0 3 I , B
2 2 -5
Přesvedčte se, že A < B.
Příklad 2.7. Presvedčte se, že mezi maticemi A, B , kde
1 2 3 2 0 3
l 8 2 -2 \
3 0 3 2 2 0
\
A
V
2 0 3 2 2 5
B
2 8 3 0 0 0
51
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
neplát í žádná z relac í <, <, >, >, =.
2.3. Základní operace s maticemi Zaved'me si tyto operace s maticemi.
ZaCneme s nekolika motivaCn ími příklady. Nahoře v příklade 2.5 jsme uvažovali vektory a a b, dane vztahy (2.8). Vektor a představuje denn í vyrobn í plan prvn í provozovny a b představuje denn í vyrobn í plan druhe provozovny. Necht ai je denn í plan vyroby vyrobku V v prvn í provozovne a bi je denn í plan vyroby vyrobku Vi v druhe provozovne pro i = 1, 2, 3,4. Jestlize se ve vyrobn ím zavode vyrabej í uvedene vyrobky pouze v techto dvou provozovnach, pak denn í plan vyroby vyrobku Vi, V2, V3, V celeho zavodu přredstavuje zřrejmře
c = (5 11 9 8),
kde q = a + bi, je denn í plan vyroby celeho zavodu vyrobku Vi pro i = 1, 2, 3, 4. Jev í se proto uzitecnym oznacit vektor c jako soucet vektoru a a b.
Příklad 2.8. Nechť podnik vyrab í vyrobky V1,V2,V3 ve dvou provozovnach. Plan vyroby vyrobku V1, V2, V3 v prvn í provozovne podniku je pro jednotlive kvartaly charak-terizovan matic í A a vyroba ve druhe provozovne je pro jednotlive kvartaly charak-terizovana matic í B. Obe matice jsou typu (4,3). Nechť prvek aij matice A udava
52
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
planovaný pocet výrobku Vj v i-tem kvartalu v prvn í provožovne. Analogický výžnam ma prvek matice B. Tedý
A
( «1,1 «1,2 «1,3 \
«2,1 «2,2 «2,3
«3,1 «3,2 «3,3
\ «4,1 «4,2 «4,3
B
b1,2 b1,3 \
&2,1 &2,2 &2,3
&3,1 &3,2 &3,3
\b4,1 &4,2 b4,3 /
Pokud žavod výrab í uvedene výrobký použe v třechto dvou provožovnach, lže charakter-ižovat plan výrobý výrobku V1, V2, V3 celeho podniku pro jednotlive kvartalý matic í C, jej íž prvek qj = + představuje plan výrobý výrobku Vj v i-tem kvartalu celeho podniku. Tedý
/ «1,1 + «1,2 + &1,2 «1,3 + &1,3 \
«2,1 + &2,1 «2,2 + &2,2 «2,3 + &2,3 «3,1 + &3,1 «3,2 + &3,2 «3,3 + &3,3 V «4,1 + &4,1 «4,2 + &4,2 «4,3 + &4,3 /
C
Z techto príkladu je patrno, že ma smýsl definovat soucet dvou matic A, B tehož týpu podle nasleduj íc í definice.
53
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Definice 2.1. (Součet dvou matic)
Necht; matice A, B jsou tehož týpu (m, n). Součtem matic A a B budeme rozumet matici C týpu (m,n), pro jejíž prvký ci;j-, i = 1,..., m, j = 1,..., n, platí
Ci,j = ai,j + bi,j.
Pro operaci sečítaní matic budeme používat sýmbolu „ + ". Píseme pak C = A + B. Příklad 2.9. Necht; A, B jsou matice týpu (3,3)
/ 1 0 -3 \ / 7 2 -1 \
A= 6 1 3 B= 3 5 0
\ -2 0 -3 / \ 1 5 2 /
Potom matice C = A + B je
/ 1 0 -3 7 2 -1 / 8 2 -4
C= 6 1 3 + 3 5 0I = 9 6 3
\ -2 0 -3 1 5 2 \ -1 5 -1
Nasobení matice číslem. V príklade 2.4 jsme uvedli matici C. Císlo cij v ní značí cenu v $ výrobku Vj v zemi Zi. Chceme-li výjadrit cenu jednotlivých výrobku v uvažovaných
54
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
zemích v Kč, stačí násobit každý prvek matice C stejným číslem, daným kurzem dolaru. Vzniklou matici označíme D.
To nas motivuje k zavedení definice součinu čísla a matice takto: Definice 2.1. (Součin čísla a matice)
Necht A je matice typu (m, n) a a je reálné číslo. Potom součinem matice A a čísla a rozumíme matici C, pro jejíž prvky Cj platí
I Pro nasobení matice císlem budeme používat symbol „• ". Pižeme pak C = a • A. | Symbol „• " lze vynechat._
Příklad 2.10. Nechť a = 3 a necht A je matice týpu (3,3)
Cij = a • aj pro i = 1,..., m, j = 1,..., n.
/ 1 0 -3\
A
6 1
3
V
-2 0 -3
55
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Potom
/ 10 -3 \ / 3 0 -9\
C = a-A = 3
V
6 1 3 -2 0 -3
v
18 3 9 -6 0 -9
Definice 2.2.
Necht A, B jsou matice téhož typu. Potom definujme A — B jako matici A +
Součin dvou matic. Zaveďme si ještě definici součinu dvou matic. Začneme s příkladem. Uvažujme matici
/ 0,00 0,4 0,3 0,6 0, 6 \
A
(2.9)
0,05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 J
V ní ai;j značí spotřebu v kg i—té suroviny Si na výrobu jednoho kilogramu j—tého výrobku Vj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. ZapiSme tuto matici obecné.
A
/ <2i,i <2i,2 a1,3 a1,4 a1,5 ^
a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 y a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 )
(2.10)
56
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Má-li se vyrobit x j kg výrobku Vj, spotřebuje se při jeho výrobě ai;j- • x j kg suroviny S{. Uvažujme přípád, že chceme vyrobit výrobky Vi, V2, V3, V4, V5 v množstvích xi, x2, x3, x4, x5 v kg á že chceme urCit spotrebu suroviny Si pro nektere i = 1, 2, 3. OžnaCme ji Potom yi je souctem císel ai;j- • x j, j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy
Ožnacme tedy x sloupcovy vektor o peti složkách, v nemž x j udává požadovane množství vyrobku Vj v kg. Budeme jej nažyvat vektorem vyroby. Ožnacme y sloupcovy vektor o trech složkách, v nemž yi vyjadruje množství suroviny Si v kg potrebne k vyrobe vyrobku Vj, j = 1, 2,3, 4, 5 v požadovanych množstvích xj. Nážveme jej vektorem spot reby. Tedy
x
xi
x2 yi
x3 , y =
y3
x5
(2.11)
Ožnacme
yi = ai,i • xi + ai,2 • x2 + ai,3 • x3 + ai,4 • x4 + ai,5 • x5, i = 1, 2,3.
(2.12)
57
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Budeme ríkat, ze vektor y je součinem matice A a vektoru x a budeme psat
Pro vektor výrobý
a matici
A
y= A • x.
250
120
x= 150
85
l 80 )
/ 0,00 0, 40 0,3 0,6 0, 60
0,05 0, 20 0, 10 0, 10 0,00
0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20
dostavame
yi = 0,00 • 250 + 0, 4 • 120 + 0,3 • 150 + 0,6 • 85 + 0,6 • 80, y2 = 0,05 • 250 + 0, 2 • 120 + 0,1 • 150 + 0,1 • 85 + 0,0 • 80, ya = 0,10 • 250 + 0, 2 • 120 + 0, 2 • 150 + 0,1 • 85 + 0, 2 • 80.
58 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Vyčíslením obdržíme y1 = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedy
/ 192.0 \
y
60.0
103.5
Tento příklad nas inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. Definice 2.3. (Součin matic)
Necht A je matice typu (m, £) a B je matice typu (£, n). Potom soudnem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m, n) pro jejíž prvky cij, i = 1,..., m, j = 1,..., n, platí
| Pižeme pak C = A • B.
Poznamka 1. Ze vžtahu (2.13) je patrno, že pro vypočet prvku Cj matice C (tj. prvku v i—tem řadku a v j-tem sloupci matice C používame i—ty radek
Cij = aii • bij + • ... + a^k • bkj.
(2.13)
(ai,1 ai,2
ai,k)
(2.14)
59
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
matice A a j-tý sloupec matice B
(2.15)
Říkame, že c, j je skalárním souCinem radkoveho vektoru (2.14) a sloupcového vektoru (2.15).
Poznámka 2. Vžtah (2.13) lže žapsat takto
Poznámka 3. Pro souCin dvou matic budeme používat opet symbolu „•". To není na žávadu, neboť že souvislostí je vždý patrno o jake násobení se jedna. Budeme tedý psat
C = A • B.
Poznámka 4. Vsimneme si, že pocet sloupcu v matici A je stejný jako je pocet radku v matici B. Kdýbý tomu tak nebýlo, nebýlo bý možno aplikovat vžorec (2.13).
k
r=1
Zde sýmbol ^k=i a,r • brj žnamena, že se provadí seďtaní clenu, ktere dostaneme tak, že do výražu ža sýmbolem Yl dosažujeme postupne r = 1,..., k.
60
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 2.11. Určete matiči C = A • B, jestlize
A
1234
0 7 8 5 y 4 3 2 9 j
B
1 —3
2 —5 83
—1 1
Ponevadz A je matiče týpu (3,4) a B je matiče týpu (4,2), lze výpoč íst součin C = A • B. Podle (2.13) dostáváme
25 0
C
V
73 —6 17 12
Napr. prvek c2i dostaneme jako skalárn í součin druheho rádku matiče A, to jest rádkoveho vektoru
( 0 7 8 5 )
61
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a prvn ího sloupce matice B, to jest sloupcoveho vektoru
( 1 \
2
8 .
—1
Výpoctem dostavame
C2,1 = 0 • 1 + 7 • 2 + 8 • 8 + 5 • (—1) = 73.
Poznámka 5. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce muže nastat případ, ěe A • B existuje, avěak B • A neexistuje. Jestliěe pro nějakí matice A, B platí
A • B = B • A,
potom matice A, B se nazývajížamenitelne.
Příklad 2.12. Je-li napr. matice A týpu (3,4) a matice B je týpu (4,3), potom A • B je matice týpu (3,3). Avsak B • A je matice týpu (4,4). Jsou tedý matice A • B, B • A mžných týpu a tedý, aniž býchom jejich souciný poc ítali, vid íme, že jsou navžajem mžne. Matice A, B nejsou tedý v tomto prípade žamenitelne.
62 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 2.13. Nechť
(3 4) B ( 1 0).
Potom
( 1 3\ I 8 10 \
AB = (1 9) • BA = (1 2 j
Vidíme, že A • B = BA, takže tyto matice A, B nejsou žamenitelne. Příklad 2.14. Necht;
8 10 \ / 1/3 —5/3
A = B =
1 2 —1/6 4/3
8 10 B = 1/3 —5/3 1 2 B = —1/6 4/3
()■
Pro tyto matice platí
10
AB = BA
01
\
Dane matice A, B jsou tedy žamenitelne.
63
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Matice transponovaná.
Definice 2.4. (Matice transponovaná)
Necht A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-ty řádek je roven i-támu sloupci matice A, i = 1, 2,... ,m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji znacit AT. Matice AT je tedy typu (n, mi).
Příklad 2.15. Nechť
A
4
1
2 3
5 6
Potom
14
25
V
36
O transponované matici souCinu dvou matic platí tato veta.
64
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 2.5. (Transponovaná matice součinu matic)
Necht A, B jsou takoví matice, ěe existuje A • B. Potom platí
(A • B)T = BT • AT.
DUkaz: Dukaž přenechavam ctenari.
Submatice. Zaved'me si pojem submatice nasleduj íc í definic í. Definice 2.6. (Submatice)
Necht A je matice týpu (m,n) a necht u = je takový vektor, ěe
1 < i1 < i2 < • • • < ip < m. Dí7e necht v = ..., jr) je takoví vektor, ěe 1 < j < j2 < • • • < iq < n. Potom matici, ktera vznikne ž matice A výpuětěním ěadku s ěadkovými indexý, ktere jsou složkami vektoru u a výpuětěním sloupcu matice A se sloupcovými indexý, ktere jsou sloěkami vektoru v, narývame submaticí matice A a žnacíme ji A(uv), resp. Auv. Tedý napě.Aij rnacísubmatici, ktera vrnikne ž matice A výpuětěním i-teho ěadku a j-tího sloupce.
65
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 2.16. Nechť
/ 1 2 4 5 \
A= 5 7 2 -1
\ 4 1 0 2 /
Potom vypustením druheho radku a druheho a čtvrteho sloupce matice A dostaneme submatici B = A2;(2;4). Je tedý
B
Zavedeme si jeste toto označovan í Označení.
Necht A je matice typu (m, n). Potom A(i, :) bude znacit její i A(:,j) bude znacit její j-tí sloupec.
- tíyžraídek a symbol
66
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Význam symbolů „ = , :=."
Symbol „ = " znamená, ze levá strana, tj. vyraz nalevo od rovnítka, se rovná pravé straně, tj. vyrazu napravo od rovnítka. Např.
A
í 1 2 4 5 \ 5 7 2 -1 4 10 2
\
znací, že A je matice, jejíž prvky jsou uvedeny napravo od „ = ". Naproti tomu symbol „ := " znaCí, že promenne nalevo od tohoto symbolu se přiřadí hodnota vyrazu napravo od tohoto symbolu. Např.
A := A + B
(2.16)
znaCí, ze vásledkem tohoto přiřazení bude matice A, ktera vznikne ze souctu matice A a matice B, před přiřazením.
Upozornění. Vztah (2.16) nenímozno chapat jako rovnici, nelze tedy napřpřevest matici A z pravé strany na levou - vzniklo by 0 = B. V literatuře se většinou místo „ := "píše jenom „= "a rozlišení se ponechává na kontextu.(V textu tomu bude rovněž tak.)
67
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
2.4. Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi
Čtvercová matice. Matici A typu (n,n) budeme nazývat Čtvercovou maticí řadu n. Místo čtvercova matice řádu n stačí ríkat matice řádu n, ponevadZ o radu matice mluvíme jen u ctvercových matic.
Napr . matice
123
A
456
y 7 8 9 y je ctvercovía matice ríadu 3.
Nulová matice. Matici typu (m,n) budeme nazývat nulovou maticí typu (m,n), jestliZe vsechny její prvky jsou rovny nule. Nulovou matici budeme znacit 0.
Příklad 2.17. Matice
0000
0
0000
0000
je nulovía matice typu (3, 4).
Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Nechť A je matice typu (m,n). Budeme
68
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
r íkat, ze jej í prvký a^, i = 1, 2,..., m lez í na hlavn í diagonále a jej í prvký aj, pro nez je i + j = n + 1, i = 1,2,..., m, lez í na vedlejs í diagonále.
Příklad 2.18. Nečht
/ 1 -2 3 1 \
A
V
0 —3 8 5
-5 0 4 2
Potom prvký „1, -3, 4" lez í na hlavn í diagonále a prvký „1, 8, 0" lez í na vedlejs í diagonale.
Řekneme, ze čtverčová matiče E rádu n je jednotková, jestlize vsečhný prvký na hlavn í diagonále jsou rovný č íslu 1 a vsečhný ostatn í jej í prvký jsou rovný 0. Chčeme-li zduraznit jej í rád n, označ íme ji En.
Příklad 2.19. Matiče
100 010 001
\
je jednotková matiče rádu 3.
Diagonalní matice. Řekneme, ze čtverčová matiče A je diagonáln í, jestlize vsečhný jej í nenulove prvký lez í na hlavn í diagonále.
69
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 2.20. Matice
/ 1 0 0
A = 0 2 0
\ 0 0 3
je diagonílní maticí.
Horn í trojúhelníkova matice. Řekneme, že ctverová matice A řádu n je horní trojuhelníkovou maticí, jestliže vsechny její prvky pod hlavní diagonílou jsou rovny
0.
Doln í trojúheln íkova matice. Řekneme, že ctvercová matice A rádu n je dolní trojuhelníkovou maticí, jestliže vsechny její prvky nad hlavní diagonílou jsou rovny
0.
Horn í schodovita matice. Nechť A je matice typu (m,n). Řekneme, že matice A je horní schodovitá matice, jestliže existuje takove prirožene císlo h < n, že ke každemu rádkovemu indexu i, i = 1, 2,..., h, existuje nejmensí sloupcovy index si tak, že ai;Si = 0 a si < s2 < ... < sh a žbyvající rádky h + 1,..., m jsou nulove.
70 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 2.21. Matice
/l234567\
A =
V
0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 9
/
je horní schodovitou maticí. V tomto příklade je zřejme s1 = 1, s2 = 3, s3 = 7.
Poznámka. Schodovitou matici mUZeme definovat ekvivalentne takto. Matice A typu (m,n) je horní schodovitá matice, jestliZe pro kaZde dva řadkove indexy p, q matice A platí:
□ Nechť p-ty řadek matice A je nenulový a q-ty řadek matice A je nulovy, potom
p < q.
□ Nechť p-ty a q-ty řídek matice A jsou nenulove a necht aP;S je první nenulovy prvek matice A v p-tem radku a aqs je první nenulovy prvek v q-tem radku matice A. JestliZe p < q, potom je sp < sq.
□ PonevadZ budeme mluvit jen o horních schodovitych maticích, muZeme slovo „horní" vynechavat.
Pravidla pro počítaní s maticemi. Pro Zavedene operace s maticemi platí vZtahy uvedene v nasledující vete.
71
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 2.7. (Pravidla pro poCítání s maticemi)
Necht A, B, C, 0 jsou matice táhož typu, kde 0 je matice n uloví, a necht a, P G R.
Potom platí
A + B = B + A, (2.17)
(A + B) + C = A + (B + C), (2.18)
A + 0 = A, (2.19)
A - A = 0, (2.20)
1 • A = A, (2.21)
a • (P • A) = (a • P) • A, (2.22)
(a + P) • A = a • A + /3 • A, (2.23)
a • (A + B) = a • A + a • B. (2.24)
Důkaz: Provedeme pouze dUkaz vztahu (2.17). Ostatní vztahy se dokazují analogicky.
Prvek v i-tem radku a j-tem sloupci matice na leve strane vztahu (2.17) je roven aj + bij a prvek v i-tem radku a j-tem sloupci matice na prave strane vztahu (2.17)
72
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
je roven bij + aij pro vsechna i, j. Platí tedy (2.17).
Veta 2.8. (Pravidla pro poutaní š maticemi)
Necht typy matic A, B, C, 0 (nulová matice), E (jednotková ctvercoví matice) jsou taková, ze operace ve vztazích (2.25)—(2.30) mají vyznam. Potom platí
0 • A = 0, A • 0 = 0, (2.25)
E • A = A, (2.26)
A • E = A, (2.27)
(A • B) • C = A • (B • C), (2.28)
(A + B) • C = A • C + B • C, (2.29)
C • (A + B) = C • A + C • B. (2.30)
I Poznamka. JestliZe pro matice A, B platí A • B = 0, nemusí bát Zadna z matic A, B nulovou maticí.
Napr.
10 00 . 03 20 = 00 00
0 0 3 2 0 0
73
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
2.5. Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod
Uvažujme výrobu čtyř výrobku V1,V2,V3,V4. K jejich výrobe jsou potrebne suroviny S1,S2,S3. Jejich množství v kg potrebne pri výrobe jednoho kilogramu každeho ž výrobku Vi, V2, V3, V4 je uvedeno v nasledující tabulce. Ve sloupci ožnačenem písmenem Z jsou uvedena množství Z1, Z2, Z3 jednotlivých surovin S1, S2, S3, ktera se mají spotřebovat. Budeme se žabývat ulohou určit množství jednotlivých výrobku V1, V2, V3, V4 v kg tak, abýčhom žcela spotřebovali suroviný S1, S2, S3, jejichž množství jsou uvedena v tabulce ve sloupci Z.
V1 V2 V3 V4 Z
0,0 0, 4 0, 3 0,6 5
S2 0, 2 0, 2 0,1 0,1 2
S3 0,1 0, 2 0, 2 0,1 3
Ožnačme postupne x1, x2, x3, x4 hledana množství v kg výrobku V1, V2, V3, V4. K jejich výrobře bý se potřrebovalo
0,4 x2 + 0,3 x3 + 0,6 x4
kg surovin S1,
0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4
74
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
kg surovin S2 a
0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4
kg surovin S3.
Jestli se mají suroviny S1, S2, S3 plne spotřebovat, musí se výrobky Vi, V2, V3, V4 vyrabet v množstvích x1,x2,x3,x4, ktera splňují tyto podmínky:
0, 4 x2 + 0,3 x3 + 0,6 x4 = 5 0, 2 xi + 0, 2 X2 + 0,1 X3 + 0,1 X4 = 2 (2.31) 0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4 = 3.
Každa ž techto podmínek predstavuje rovnici pro nežname veliCiny x1, x2, x3, x4. Každa ž nich je tvaru
a1 • x1 + a2 • x2 + ... + aw • xn = b. (2.32)
V rovnici (2.32) x1,x2,...,xn jsou nežname a a1,a2,...,an jsou (vetsinou) žnama císla, nažyvame je koeficienty rovnice. Koeficient a je koeficient u nežname x«. Číslo b nažyvame pravou stranou. Rovnici (2.32) nažyvame linearní algebraickou rovnicí o nežnamych x1, ...,xn. Ponevadž v linearní algebre, kterou probírame, pojednavame jenom o algebraickych rovnic ích, budeme už ívat žkraceneho pojmenovan ^.linearní rovnice".
Pňi Česen í uloh vetsinou se pracuje s v íce rovnicemi. Jestliže koeficienty v techto rovnic ích jsou obecna císla, mužeme je odlisit od sebe tak, že v i—te rovnici ožnacíme koeficient
75 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
u x j napr. ai;j-.
Potom system (místo system mužeme ríkat tež soustava) m lineárních algebraickych rovnic o n nežnámych xi, x2,..., xn lže žapsat takto:
ai,ixi + ai,2x2 + ••• + ai,nxn = bi
a2,ixi + a2,2x2 + ••• + a2,nxn = &2 am,ixi + am,2x2 + ^ ^ ^ + am,nxn bm.
(2.33)
Zde ai;j-, i = 1,..., m, j = 1,..., n, žnací koeficient u nežnáme xj v i—te rovnici, druhy index j ožnacuje složku nežnámeho vektoru x). Císlo bi nažyvíme pravou stranou i—tíe rovnice.
Ožnařcme A matici
A
ai,i ai,2 a2,i a2,2
ai,n a2,n
\
y am,i am,2
(2.34)
am,n J
76
>Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Nazýváme ji maticí soustavy systemu (2.33). Vektor
x
nazýváme vektorem neznamych a vektor
b
nazýváme vektorem pravých stran.
X2
Lehce nahlédneme, ze systím linearních algebraickych rovnic (2.33) lze zapsat užitím tohoto označení jako
_A • x = b._(2.35)
Skutecne, matice A je týpu (m, n), x je týpu (n, 1), takZe A • x je matice týpu (m, 1). Rovnice (2.35) znamena, Ze kaZda sloZka vektoru A • x je rovna odpovídající sloZce vektoru b. Porovnaním i-tých sloZek techto vektoru dostavame i-tou rovnici sýstemu
(2.33).
77
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Matice, ktera vžnikne ž matice A přidan ím vektoru b jako dals ího sloupce, se nažýva rožěěenou matici sýstímu rovnic (2.33). Znac ímeji (A|b). Je tedý
( «1,1 «1,2 ^ ^ ^ «1,n b1 \
(A|b) = «2,1 «2,2 ^ ^ ^ «2,n
y «m,1 «m,2 ^ ^ ^ «m,n /
Příklad 2.22. Uvažujme sýstem linearn ích algebraických rovnic
x1 + 3x2 — 3x3 = —12, 4x1 + 5x2 + 2x3 = —6.
(2.36)
Ožnacme-li A matici soustavý tohoto sýstemu rovnic, b vektor pravých stran a x vektor nežnamých tohoto sýstemu rovnic, je
A
78
x = x2
Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslední strana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
í131) •b=(——6)
Matice rozšířená je rovna
(Alb)
Daný šyštem rovnic lze tedy zapšát jako
(
13 -3 | -12 4 5 2| -6
)
A - x = b.
Zaved'me si nyní pojem řešení systému lineárních rovnic.
Definice 2.2.
Vektor 0x nazveme řešením systemu lineárních rovnic
A • x = b,
jestliZe A • 0x = b. (To jest, jestli vektor 0x vyhovuje rovnici A • x = b).
Vraťme se k príkladu 2.22. Oznacme
/ 3 \
x
4
1
2x
/ 0\
-2
2
3x
3
0
1
79
^Titulní strana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zv v rejme
A • 1x = b, A • 2x = b, A • 3x
104
= b.
Jsou tedy vektory 2x řešením uvažovaného systému (2.36), avšak 3x není jeho řešením.
Lehce se přesvedame, ze vektor
x
\
-6 + 2 • c
c
je rešením uvazovaneho systemu rovnic (2.36) pro kazde realne c. Příklad 2.23. Uvazujme system linearních rovnic
x\ — 2x2 = 3, 2xi — 4x2 = 5.
(2.37)
(2.38)
Tento system rovnic nema resení. Skutecne, predpokladejme, ze a, P jsou takova císla, ze x1 = a, x2 = P vyhovovují první rovnici, tedy, ze platí
a — 2 • P = 3.
80
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Potom by bylo
2 • a — 4 • P = 6
a ne 2 • a — 4 • P = 5, takze x1 = a, x2 = P nevyhovuje druhe rovnici.
Poznamka. Pozdeji budeme resit obecne otazku, kdy system linearních rovnic ma jedno řesení, kdy ma nekonecne mnoho resení a kdy nema vubec zadne řesení.
2.6. Zavedení pojmu inverzní matice
V linearn í algebře ma velký význam pojem inverzn í matice k dane matici. Tento pojem si nyn í zavedeme nasleduj íc í definic í . Pozdeji si rekneme neco o existenci inverzn í matice k dane matici a seznam íme se s řadou vlastnost í inverzn ích matic a nauc íme se nalezt k dane matici matici inverzn í.
Definice 2.3. (Inverzn í matice)
Matice B se nazýva inverzn í k matici A, jestlize
B • A = A • B = E. (2.39) Matici inverzn í k matici A budeme znacit A—1.
81
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 2.9. (Vlastnosti inverzní matice)
Necht je dana matice A a necht k ní existuje matice inverzní A-1. Potom platí
a) Matice A a matice A-1 jsou ctvercove matice tíhož řadu.
b) Inverzní matice A-1 je jednoznacne urcena.
c) K matici A-1 existuje matice inverzní a platí (A-1 )-1 = A.
d) Jestliže A, B jsou ctvercove matice tíhož žídu n a jestli k nim existují matice inverzní A-1, B-1, potom k matici A • B existuje matice inverzní a platí
(A • B)-1 = B-1 • A-1.
a) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem (2.39).
b) Nechť B, C jsou inverzn í k A. Potom
A • B = B • A = E, A • C = C • A = E.
Odtud
C = E • C = (B • A) • C = B • (A • C) = B • E = B. Tedý B=C.
c) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem definice inverzn í matice.
d) Podle vet 2.7, 2.8 plat í
(B-1A-1) • (AB) = B-1(A-1A)B.
PonevadZ A-1 A = E, dostavame odtud
(B-1A-1) • (AB) = B-1 • E • B = B-1B = E.
82
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Podobnře dokařžeme, řže
(AB) • (B-1A-i) = E.
Je tedy B-iA-i inveržní maticí k matici AB. .
Uved'me si žde vetu o resitelnosti a jednožnacnosti resení systemu lineárních rovnic, žá predpokladu, že k matici soustavy existuje matice inveržní.
Veta 2.10. (ReSen í systemú A • x = b pomoc í inverzn í matice A-1). |
Necht
A • x = b (2.40)
je system n lineárních rovnic o n neznámých, kde A je čtvercová matice soustavy řádu n a b je vektor pravých stran typu (n, 1). Necht k matici A existuje matice inverzní A-1. Potom system rovnic (2.40) má pravě jedno řešení x, která lze určit vztahem
x = A-1 • b. (2.41)
Dúkaz: Jak již bylo dríve dokážáno, inveržní matice A je urcena jednožnacne. Vynásobíme-li (2.40) maticí A-i žleva, dostáváme
A-1 • (A • x) = A-1 • b (2.42)
Vžhledem k vete 2.8 platí
(A-i • A) • x = A-1 • b.
83 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ponevadž (A 1 • A) = E a E • x = x, dostavame odtud (2.41).
Dokažme jeste jednožnacnost řesen í. Predpokladejme, že existuj í dve resen í 1x,2 x sýstemu (2.40). Potom
A • 1x = b, A • 2x = b. Odecten ím techto vžtahu dostavame
A • (1x — 2x) = 0.
Výnasoben ím tohoto vžtahu matic í A—1 žleva dostavame
1x 2x = 0,
takřže
1x = 2x.
Ma tedý sýstem A • x = b prave jedno resen í . . Poznámka. Problematiku jak urcit matici inveržn í k dane matici, budeme resit poždeji. Příklad 2.24. Naležnete řesen í sýstemu linearn ích rovnic
A • x = b, (2.43)
84
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
jestliřze
152
A
v
341 014
a znate-li k matici A matici inverzní
A-1
V
b
_5
13
J_
13
J_
13
6
13
J_
39
J_
39
26
39 \78/
/ __L 6 _L
1^
39
11 /
39 /
Řešení. Podle predchazející vety ma dany system prave jedno resení a to
x=
v
Vypořctem dostavame
13
J_
13
39
J_
39
39
x=
14
-6
21
39
39 j V78/
85
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
2.7. Ukazka formulace úlohy linearního programovaní.
(Úlohu nebudeme resit!!)V teto kapitole popsaný aparat maticoveho poctu pouzijeme nyn í k matematicke formulaci nasleduj ící ulohy, ktera patrí do uloh linearn ího pro-gramovan í. Tyto ulohy jsou velice významnou aplikac í linearn í algebry. Úlohy tohoto typu se res í vetsinou pomoc í poc ítacu a k jejich resen í jsou vypracovaný specialn í programy. My se nebudeme zde zabývat otazkou jak se řes í, ale jenom otazkou, jak se da uloha matematicky formulovat a jak se připrav í data pro vstupn í hodnoty techto programu.
Príklad 2.25. Cokoladovna vyrab í 5 druhu výrobku. Jsou to výrobky, ktere oznac íme V1, V2, V3, V4, V5. K výrobe potrebujeme suroviny tuk, kakao a cukr. Tyto suroviny jsou k dispozici v omezených mnozstvích, v uvednem porad í 1500 kg, 300 kg, 450 kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1 kg výrobku je dana tabulkou 2.1 na strane 45. Odbytove ceny jednotlivých výrobku v uvednem porad í jsou 20 Kc, 120 Kc, 100 Kc, 140 Kc, 40 Kc. Úkolem je stanovit takový denn í výrobn í plan, aby hodnota výroby byla maximaln í . Výrobky jsou vyrabeny technologicky nezavisle na sobe navzajem. Výroba se tedy uskutecnuje ve forme peti výrobn ích procesu, ktere vsak nejsou navzajem zcela izolovane, neboť spolecne spotrebovavaj í výrobn í zdroje, jeden proces na ukor druheho.
Matematicka formulace úlohy. Pro ucely matematicke formulace zaved'me 5 nezavisle promenných: Xj necht oznacuje mnozstv í výrobku Vj v kg, jez bude vyrabeno za den, kde
86
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
j = 1, 2,3,4, 5. Hledáme tedy hodnoty Xj > 0, j = 1, 2,3,4, 5, vyhovující nerovnostem
0, 4x2 + 0, 3x3 + 0, 6x4 + 0, 6x5 < 1500 0, 05xi + 0, 2x2 + 0, 1x3 + 0, 1x4 < 300 (2.44)
0, 10xi + 0, 2x2 + 0, 2x3 + 0, 1x4 + 0, 2x5 < 450
Víme, že při vyrobe Xj vyrobku Vj, j = 1, 2, 3,4, 5, bude odbytová cená vyroby rovná
z = 20xi + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (2.45)
Náší Ulohu mUžeme tedy formulovat tákto : Náležnete táková nezáporná Císlá Xj, j = 1, 2,3,4, 5, která vyhovují nerovnostem (2.44) á pro než funkce (2.45) nábyví sveho máximá.
Táto ulohá je tedy popsáná máticí A, vektorem m množství surovin á vektorem b odbytovych cen vyrobku á vektorem x poCtu vyrobku
A
/ 0,00 0,4 0, 3 0,6 0,6 \
0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 0, 10 0, 2 0, 2 0, 1 0, 2
m
1500 300 450
20
120 100 140
40
87
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
/ X1 \
x = x3
V x5 /
Potom (2.44) lže žapsat jako jako
Ax < m (2.46)
a funkce (2.45) lže žapsat jako
z = b • x. (2.47)
Nasi ulohu mužeme výslovit takto: Naležnete vektor x > 0 výhovující (2.46), který minimaližuje funkci (2.47).
Matice A, vektorý m, b a požadavek, že vektor
xT = (X1,X2,X3,X4,X5) > 0,
jsou vstupními udaji programu, kterým se výpočet realižuje. Dostavame
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1000, x4 = 2000, x5 = 0.
88
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 3
Lineární prostor
3.1. Aritmetický vektorový prostor.
V minule kapitole jsme si zavedli pojem sloupcoveho a rádkoveho vektoru jako zvlastní prípad matic - totiz sloupcovy vektor jako matici typu (n, 1) a radkovy vektor jako matici typu (1,n). Tedy vektory muzeme chapat jako prvky mnoziny Rn, tj. mnoziny uspořídanych n—tic reílnych císel, kde n G N. Znaame je malymi, tucne vytistenymi písmeny. Císlo na i—te pozici vektoru a nazyvame jeho i—tou slozkou a vetsinou oznacovat jako ai. Nebude-li nic řeceno, budeme předpoklídat, ze se jední o sloupcove vektory. O jake vektory se jedna, bude casto videt ze zapisu, aniz bychom zduraznovali,
89
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
že se jedna o sloupcove, resp o cadkove vektory. Pripomenme si, že je-li a sloupcovy vektor, potom aT je radkovy vektor se stejnymi složkami. Pripomenme si, že soucet dvou vektoru žnacíme symbolem „ + " a násobení realnymi císly teckou „• ", kterou, nemuže-li dojít k omylu, lže vynechat. Tedy napr., jestliže
a = ( : I, b = ( :
potom jejich souctem a + b je c G Rn, pro než platí
/ a1 + b1 c = a + b = ( .
a je-li a G R, potom soudnem a.a rožumíme d G Rn, pro než platí
/ a.a1 d = a.a = I .
\ a.an
Množinu Rn společně s těmito operacemi „ +, . " budeme značit Vn a nazývat aritmetickým vektorovým prostorem.
90
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Vektorový podprostor Necht P C Rn a nechť platí: jestlize a, b G P a a G R, potom i a + b G P, a.a G P. Budeme ríkat, ze na P je definovan aritmeticky podprostor prostoru Vn. Budeme jej znaät P. Casto budeme o nem mluvit proste jako o vektorovem prostoru.
OznaCení. Místo a G P lze psat a G P. Místo a + (—b) lze psat a — b.
3.2. Lineární nezávislost vektor U
Uvazujme system linearních algebraickych rovnic
6^1x1 + ... + aijnxn = bi, i = 1,...,m, (3.1)
v nemz x1,..., xn jsou nezname a ai;j, bi, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,, n. jsou dana císla. Při jeho analyze je zapotrebí zjistovat, zda
□ nektera z rovnic systemu není v rozporu s jinymi rovnicemi tohoto systemu
□ zda kazda z rovnic dava nove pozadavky na hledane nezname x1,... ,xn,
□ zda podm ínky na nezname rovnici vyjadreny jednotlivymi rovnicemi, je nebo nen í ji z obsazen v jinych rovnic ích systemu.
Při techto uvahach je vhodne k i—te rovnici tohoto systemu (3.1) priradit vektor
.. ,fli,n,bi); i = 1,2,..., m.
91
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Soucet dvou rovnic pak mužeme realižovat pomoc í souctu vektoru, ktere jsou k temto rovnic ím priřažený. Podobne nasoben í rovnice c íslem mužeme realižovat pomoc í nasobení vektoru, priřaženemu k teto rovnici, t ímto c íslem.
K řesen í nahore uvedeneho problemu použijeme dale žavadene pojmý: linearn í kombinace vektoru (rovnic), linearn í nežavislost a linearn í žavislost vektoru (rovnic). S temito pojmý se setkame i v jiných uvahach.
Definice 3.1.
Nechť 1x,..., jsou vektorý ž vektoroveho prostoru P a c1,..., cn jsou realna c ísla. Potom vektor
x = c11x + ... + cn nx nažveme lineami kombinací vektoru 1x,..., ^x. Příklad 3.1. Necht
1x = (2,3, — 1), 2x = (5, 2, 6), 3x = (9, 8,4) jsou vektorý ž prostoru V3. Ponevadž
2 • (2, 3, —1) + (5, 2,6) = (4,6, —2) + (5, 2,6) = (9,8,4),
tj.
21x + 2x = 3x,
je vektor 3x linearn í kombinac í vektoru 1x, 2x.
92
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Definice 3.2. (Lineární nezávislost a závislost vektorů)
Nechť 1x,..., nx jsou vektory ž vektorovem prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže
ci x + ... + cn nx = 0 ci = c2 = ... = cn = 0. (3.2)
| Jestliže vektory 1x,..., nejsou lineírne nežívisle, jsou lineárně závislé._
Poznámka. Z náhore uvedene definice vyplyvá, že vektory 1x,..., nx ž vektorovem prostoru P jsou lineárne žávisle, když á jenom když existují táková císlá c1, c2,..., cn, ž nichž álespon jedno je nůžne od 0, že c11x + ... + cnnx = 0.
Príklad 3.2. Ukážme, že vektory 1x = (1,4, -4), 2x = (1, 2,0), 3x = (1, 5, -2) ž prostoru V3 jsou lineárne nežávisle. Skutecne, že vžtáhu
Ci • x + C2
x + c3 • 3x = 0
dostíávíáme
ci • (1,4, -4) + C2 • (1, 2,0) + C3 • (1, 5, -2)
(0, 0,0),
to jest
(Ci + C2 + C3, 4ci + 2C2 + 5C3, -4ci + 0C2 - 2C3) = (0,0,0).
93
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Abý rovnost meži temito vektorý platila, musí koeficientý c1,c2,c3 výhovovat sýstemu linearních rovnic
Jak se lehce presvedčíme, ma sýstem rovnic (3.3)—(3.5) jedine resení c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedý dane vektorý linearne nežavisle.
Poznámka. a) Vektor 0 je lineárně závislý, nebot a0 = 0 pro každé a G R. b) Vektorý 1x,..., "x, n > 1, jsou lineérně zévislé, kdýž a jenom kdýě alespoě jeden z nich lze vyjaděit jako lineami kombinaci ostatních z nich. (Dokažte!)
Příklad 3.3. Ukažme, že vektorý
C1 + C2 + C3 -4C1 + 0C2 - 2C3
0, 0,
0.
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(1, 2,3), (-1, 2,0), (1,6, 6)
jsou linearne žavisle.
Lehce nahledneme, že
2 • (1, 2, 3) + (-1, 2,0) = (1,6,6).
94
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Vektor (1,6,6) jsme výjadrili jako linearn í kombinaci zbývaj íc ích dvou vektoru, jsou tedý linearne zavisle.
Zaved'me si nýn í pojem hodnosti skupiný X vektoru z prostoru Vn. I Definice 3.3. (Hodnost matice.)
I Nechť X je skupina vekoru z prostoru P. Maximaln í pocet linearne nezavislých | vektoru teto skupiný budeme nazývat jej í hodnost í . Budeme ji znacit h(X).
Poznámka. Pojem hodnosti matice pouZijeme k řesen í problemu „ Ma daný sýstem linearn ích rovnic resen i ?. Ma-li resen í , kolik je techto resen i?"
Poznamka. Nechť A je matice týpu (m,n). Na matici A se muzeme dívat jako na uspoěadanou m-tici žídkovych vektoru z vektorovího prostoru Vn, resp. jako na uspoěídanou n-tici sloupcovych vektoru z vektorovího prostoru Vm. Aplikovan ím definice hodnosti na řadký matice dostavame ěadkovou hodnost matice a aplikovan ím definice hodnosti na sloupce matice dostavame sloupcovou hodnost matice. Později ukazeme, že pro každou matici je sloupcova hodnost rovna její zídkoví hodnosti. Pokud to nedokaZeme a výslovne neřekneme o jakou hodnost se jedna, budeme m ít na mýsli řradkovou hodnost.
95
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
v
Příklad 3.4. Urcete radkovou hodnost matice
1 2 3 4
A = I 5 6 7 8
6 8 10 12
Oznacme \c, 2x, 3x postupne první, druhy a třetí radek matice A. Tedy
1x = ( 1 2 3 4 ) , (3.6) 2x = ( 5 6 7 8 ) , (3.7)
3x = ( 6 8 10 12 ) . (3.8)
Zrejme vektor 3x je linearne zívisly na vektorech hc, 2x, nebol;
3x = 1x +
a vektory hc, 3x jsou linearne nezavisle. Skutecne, kdyby tyto vektory byly lineírne zívisle, byl by jeden z nich nasobkem druheho. To znamení, existovalo by takove císlo a, ze by 2x = a1x to jest, platilo by
( 5678 ) = a ( 1 234 ) .
Takove císlo a vsak evidentne neexistuje. Vektory hc, 3x jsou tedy linearne nezavisle. Tedy mezi vektory hc, 2x, 3x jsou príve dva lineírne nezavisle vektory. Rídkoví hodnost matice A je tedy rovna 2.
96
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
I Definice 3.4. (Regularní matice)
I Necht; ctvercova matice A radu n ma hodnost n. Potom ji nažývame regularn í | matic í.
—-
Ukol. Dokažte si, že horn í schodovita matice ma radkovou hodnost rovnu poctu
jejich nenulových řadku.
Poznamka. Zjistovat hodnost matice prímo ž definice je obtížne. Hodnost matice budeme hledat poždeji jej ím prevodem na horn í schodovitou matici o stejne hodnosti pomoc í elementarn ích transformac í, o kterých ted' pojedname.
3.3. Elementární transformace
1. Necht; matice A je týpu (m,n) a a je libovolne realna c ísla, i G N, 1 < i < m. Necht; matice B je matice, jej íž i-tý radek je roven a nasobku i-teho radku matice A a ostatn í řadký matice B jsou stejne jako v matice A. Potom rekneme, že matice B vžnikla ž matice A transformac í T1(i,a). P ířeme pak
B = T1(i,a)A, resp. [tí = a.r^jA = B.
97
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
A
(3.9)
Příklad. Nechť
/ 1 2 3 4 \ 5 6 7 8 9 10 11 12
OznaCme B matici, ktera vznikne z matice A tak, ze její druhý řádek vynásobíme Císle, „—3" a ostatní radky ponechame beze zmeny. Dostaneme
1234
V
B = T 1(2, —3)A =
V
—15 —18 —21 —24 9 10 11 12
/
Tuto transformaci lze zapsat tez takto
[V2 = — 3.T2JA = B.
2 . Nechť matice A je typu (m,n) a a, (3 = 0 jsou libovolna reálná císla, i, j jsou prirozená císla 1 < i, j < m, i = j Oznacme B tu matici typu (m,n), jejíz j-ty radek je roven souctu a-nísobku i-teho radku matice A a 3-nísobku j-teho radku matice A a ostatní radky jsou stejne jako u matice A. Potom rekneme, ze matice B vznikla z matice A transformací T2(i,a; j,3). Píseme pak
B = T2(i,a; j,3)A, resp. B = {rj = a.r, + (.rj }A.
98
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad.Necht
A
1234 5678 9 10 11 12
V
(3.10)
Oznacme B matici, ktera vznikne z matice A tak, ze řadek „2", vynasobeny císlem„-4" připocítame k radku c. „3" vynasobenemu císlem „5" a ostatní radky matice B jsou stejníe jako v matici A. Tedy matice B je matice, ktería vznikne transformací T2(2, —4; 3, 5) A. Dostavame
B = T2(2, —4; 3, 5) A =
V
1 2 3
5 6 7
25 26 27
Tuto transformaci lze zapsat tíez takto
B = {r3 = 4.r2 + 5.f3JA.
3 . Necht; matice A je typu (m,n) a i, j jsou přirozena císla 1 < i, j < mi, i = j Oznacme B tu matici typu (m, n), ktería vznikne z matice A, vzaíjemnou víymenou jejího i-teho radku s j-tym radkem. Potom rekneme, ze matice B vznikla z matice
99
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
A transformac í T3(i; j)A. P íseme pak
B = T3(i; j )A, resp. B = {ri r j }A.
Príklad.Necht
A
1234
5 6 7 8 9 10 11 12
V
(3.11)
Oznacme B matici, ktera vznikne z matice A tak, Zeřadek „2" matice A výmen íme s řadkem c. „3" matice A a ostatn ířadký matice B ma stejne jako v matice A . Potom rekneme, Ze matice B, vznikne z matice A transformac í T3(2; 3) A. Tedý
1234
B = T3(2;3)A =
V
9 10 11 12
5678
Tuto transformaci lze zapsat teřz takto
B = {r2 +± r%}A.
100
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
3.4. Transformace matice na matici schodovitého tvaru
Ukažemesi nyn í transformaci matice A elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici B. Tuto transformaci využijeme
• pri žjistovan í hodnosti matice
• na analyžu resitelnsti systemu linearn ích rovnic a odvožen í eliminacn í metody na resen í systemu linearn ích rovnic
• na vypoČcet hodnoty determinantu. Ve vykladu použ ívame ožnacen í:
A ... promenna pro matici. Na žacatku jej í priražena matice, kterou mame transformovat na horn í schodovitou matici. V jednotlivych kroc ích bude tato matice transfor-movana sama na sebe. m... pocet radku matice A n... pocet sloupcu matice A
Postupne pro i = 1, 2,... budeme provadet nasleduj íc í ukony.
101
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ZAČÁTEK
i=T
Bod 1. Budeme vytvářet i-tý řádek hledané matice schodovitého tvaru. Bod 2. K C íslu i urC íme nejmenší pořadove C íslo sloupce matice A, v jehož řádc ich i, i + 1,... ,m je alespoň jeden nenulový prvek. Toto pořadove c íslo sloupce ožnacme
Si.
Bod 3. Zvolme p G {i,... , m}, přo než je apSi = 0. (je-li takových p více, žvol íme jedno ž nich).Zvolený p-tý řadek matice A nazveme hlavním řádkem.
Bod 4. Je-li p = i, výmen íme navžajem p-tý a i-tý řadek matice A. Výmenu techto dvou řadku přovedeme třansfořmaci A := T3(i,p)A. Po teto výmene je i-tý řadek hlavn ím řadkem. Je-li p = i, je již i-tý řadek hlavn ím řadkem. Výmena řadku se tedý nepřovad í.
Bod 5. Přovedeme nýn ítakove elementařn í třansfořmace, abý po jejich řealižaci býlý přvký ai+i;Si,... ,am,Si řovný 0. Toho dosahneme např. elementařn í třansfořmac í
a) A := T2(i, -a^.; j, ai)S.)A přo tý indexý j = i + 1,..., m přo než a^. = 0, nebo třansfořmac í
b) A := T2(i, —^ ; j, 1)A přo tý indexý j = i + 1,... ,m přo než a?s. = 0,
102
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Bod 6. Jestliže matice A není ještě ve schodovitém tvaru, položme i = i + 1 a přejdeme zpět na Bod 1. Je-li A již schodoviteho tvaru, je výpoCet ukonCen.
Příklad 3.5. Matici
/0 1 3 2 3
0 2 6 4 1
0 0 0 1 2
\0 1 3 2 4
transformujte na horn í schodovitou matici užit ím elementarn ích transformac í. Řešení. Položme
A
0 1 3 2 3
0 2 6 4 1
0 0 0 1 2
0 1 3 2 4
V nasem případe je m = 4, n = 5.
V nasleduj íc ím popisu výpoctoveho postupu bude ožnacen í Bod .. ,Bod 6-i žnamenat ukoný Bod 1, ..., Bod 6 pro dane i.
103
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ZAČÁTEK
Bod 1-1 Budeme vytvářet i-tý (prvn í) řádek hledané schodovité matice.
Bod 2-1 K Číslu i (to jest k Číslu i = 1) urCíme nejmensí pořadove Číslo sloupce, v jehož řádcích i,..., m (to jest v jehož řádcích 1, 2,3,4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy si = 2 (tj. s1 = 2).
Bod 3-1 Zvolíme hlavní řádek. V s—tem sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulove prvky v řádcích 1,2,4. Z nich zvolíme jeden. Jeho poradove císlo ožnacíme p. Rozhodneme se pro rádek p =1, který zvolíme jako hlavní.
Bod 4-1 Ponevadž jsme zvolili žá hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, neprovádíme výmenu p-teho rádku s i-tým rádkem.
Bod 5-1 Provedeme nýnítakove elementární tranformace matice A, abý po jejich realižaci býlý v si-tem sloupci (to jest ve druhem sloupci) v rádcích i + 1,..., m (to jest v rádcích 2, 3, 4) nulove prvký. (Prvký 02,2,^3^2,^4,2 eliminujeme). Toho dosáhneme napr. elementárními transformacemi
A = T2^ ~aj,si ; j ai,si)A, pro j = i + 1, • • • , m, je-li Hsj = °-
Ponevadž i = 1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementárními transformacemi
A = T2(1, -aj,2 ; j,ai,2)A, pro j = 2,3,4. To žnamená, že prvek aj2 pro každe j G {2,3, 4} eliminujeme tak, že hlavní rádek
104
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
(to jest prvn í radek) vynasob íme c íslem (—ajj2) a pricteme jej k j-temu radku vynasobeneho c íslem a12.
• Polozme j = i + 1 (tedy pro j = 2) dostavame
A = T 2(1, — 02,2,2,a1,2)A. Po teto transformaci je druhy řradek matice A roven
—2 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 — 5)
a ostatn í radky matice A se nemen í.
• Polozme j = j + 1. Je tedy j = 3. Ponevadz ajs. = 0, (to jest a^2 = 0), eliminaci nen í treba provadet a prejdeme k dals ímu radku.
• Polozme j = j + 1. Je tedy j = 4. Ponevadz ajSi = 1=0, (to jest a^2 = 0,) provedeme elementarn í transformaci
A = T 2(1, —04,2; 4,01,2) A. Po teto transformaci je řctvrty řradek matice A roven
—1 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1).
105
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Ostatní řádky matice A se nemění. Je tedy
/ 0 1 3 2 3 \
A
0 0 0 0 -5
0 0 0 1 2 0 0 0 0 1
Bod 6-1 Ponevadz obdrzena matice A jeste není horní schodovitou maticí, polozíme
i = i + 11
a přejdeme na bod Bod 1. Bod 1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhy řádek horní schodovité matice. Bod 2-2 K Číslu i (to jest k Číslu i = 2) urCíme nejmen Sí pořadove Císlo si (to jest s2)
sloupce, v jehož řadcích i,..., m (to jest v jehož řadcích 2,3, 4) je nenulový prvek.
Je to ctvrty sloupec. Položíme tedy si = 4 (s2 = 4). Bod 3-2 Zvolíme hlavní řadek. V si-tem sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řídcích 2,3,4
nenulový prvek jen v řadku 3. Jeho pořadove císlo ožnacíme p. Tento řadek zvolíme
ža hlavní řadek. Je tedy p = 3. Bod 4-2 Ponevadž jsme žvolili ža hlavní řadek řídek p, kde p = i, provedeme v matici A
vymenu řídku p s řadkem i. (Tedy vymenu druheho a třetího řídku.) Dostívame
106
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
tak matici
A
/ 0 1 3 2 3 \ 0 0 0 1 2 0 0 0 0-5
0 0 0 0 1
Bod 5-2 Provedeme nyn í takové elementarn í transformace matice A, aby po jejich realizaci byly v s^-tem sloupci (to jest ve ctvrtem sloupci) v radc ích i + 1,..., m (to jest v radc ích 3, 4) nulove prvky. (Prvky 03,4,04,4 eliminujeme.) Avšak v tomto případe jsou prvky a^4,a^4 rovny 0, takZe eliminaci nen í treba provadet. Je tedy vysledna matice v tomto kroku
0 1 3 2 3
A
0 0 0 1 2
0 0 0 0 -5
0 0 0 0 1
Bod 6-2 Obdržena matice A jeste nen í horn í schodovitou matic í, proto polož íme
i = i + 11
a pňejdeme na bod Bod 1. Bod 1-3 Je tedy i = 3. To žnamene, že budeme vytvaret tret í ňadek hledane schodovite matice.
107
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = 3) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s3),
v jehož radčíčh i,..., m (to jest v jehož radčíčh 3,4) je nenulový prvek. Je to patý
sloupeč. Položme tedý si = 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tem sloupči (to jest v 5. sloupči) jsou nenulove prvký v
radčíčh 3, 4. Z ničh zvolíme jeden. Jeho poradove číslo označíme p. Rozhodneme
se pro radek p = 4, který zvolíme jako hlavní. B4-3 Ponevadž jsme zvolili ža hlavní rídek p-tý radek, kde p = i, provadíme výmenu
ríadku p s ríadkem i. Po tíeto víýmene je
/ 0 1 3 2 3 \
A
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
V 0 0 0 0 -5 /
B5-3 Provedeme nýnítakove elementární transformače matiče A, abý po jejičh realižači býlý v si-tem sloupči (to jest v patem sloupči) v řídčíčh ..., m (to jest v radku 4) nulove prvký. (Prvek x4y5 eliminujeme.) Toho lže dosahnout napr. elementární transformačí
A = T2(3, -04,5; 4,03,5) A. touto trnsformčí bude čtvrtý radek roven
5 • (0 0 0 0 1) + 1 • (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0).
108
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Je tedy
A
01323 00012 00001
00000
Bod 6-3 Ponevádž obdržená mátice je již horní schodovitou máticí, je tránsformáce dáne mátice ná horní schodovitou mátici již ukoncen. Ponevádž obdržená schodovitá mátice má celkem tri nenulove rádky, je její hodnost á tedy i hodnost žádáne mátice rovná 3. Tedy h(A) = 3.
Príklad 3.6. Urcete hodnost skupiny vektoru
ia =(10 - 12), 2a =(012 - 1), 3a =(013 - 6).
Resení. Ulohá je ekviválentní s ulohou náležení rádkove hodnosti mátice
1 0 1 2
A
V
0 1 2 -1 0 1 3-6
Tuto hodnost hledejme tránsformác í mátice A elementárn ími ránsformácemi ná horn í schodovitou mátici postupem popsánym ná str. ??.
109
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Polořzme
ET=T
Bod 1-1 Budeme vytvaret i-tý radek (1. řadek) schodovite matice.
Bod 2-1 K c íslu i = 1 urc íme nejmens í pořadove c íslo sloupce matice A, v jehoz řadc ích 1, 2, 3 je alespon jeden prvek ruzný od 0. Je to v prvn ím sloupci. Pokladame tedy
S1 = 1.
Bod 3-1 Hledame nyn í řadek matice A, v jehoz sloupci s poradovým císlem s1 = 1 je nenulový prvek. To jest, hledame p G {1, 2,3}, pro nez je opSl = 0. Je to pro p =1. Polozme tedy p =1. Radek p =1 vol íme za hlavn í .
Bod 4-1 Ponevadz p = i, neprovad íme výmenu p-teho a i-teho řadku. Prvn í radek je hlavn ím.
Bod 5-1 Ponevadz vsechny prvky v prvn ím sloupci poc ínaje druhým radkem, jsou nulove
(tj. prvky = 0 pro j = 2,3), přejdeme k B6-1. Bod 6-1 Matice A nen í horn í schodovitou matic í, proto poloz íme
i = i + 11
a jdeme zpřet k bodu B1.
Bod 1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvařret 2. řradek schodovite matice. Bod 2-2 K c íslu i (tj. k c íslu i = 2) urc íme nejmens í poradove c íslo sloupce si (to jest s2), v jehoz řadc ích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Poloz íme tedy s2 = 2. Bod 3-2 Zvol íme hlavn í radek. Ve sloupci s poradovým c íslem s2 (tj. ve druhem sloupci)
110
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
hledame index j, j > i, tak, aby ajS2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Polozíme p = 2. Bude tedy p-ty radek hlavním rídkem.
Bod 4-2 Ponevadz jsme zvolili za hlavníradek p-ty radek, kde p = i, neprovídíme vzajemnou vymenu p-teho a i-teho radku. Je tedy i-ty radek hlavním radkem.
Bod 5-2 Provedeme nynítakove elementírní transformace, aby po jejich realizaci byly v Sj-tem sloupci (ve druhem sloupci) v radcích i + 1,..., m (to jest v radku 3) nulove prvky. Toho dosahneme napr . elementarní transformací
A = T 2(2, —aa,2;3,a2,2)A.
Vypoctem dostívame tretí rídek vektoru A
—1(0 12 — 1) + 1(0 1 3 — 6) = (0 0 1 — 5).
Celkem dostavíme
A
1 0 —1 2
0 1 2 —1 y 0 0 1 —5 y
Bod 6-2 Dosazení matice A je horní schodovita matice. Ponevadz mí tři nenulove radky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3.
Dane vektory :a, 2a, 3a jsou linearne nezavisle.
m
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 3.7. Určete hodnost matice
/ 0 0 1 2 3 \
0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 V 0 0 2 4 6 y
Řešení. V tomto příklade naznačíme pouze výsledky jednotlivých úprav bez komentáře.
/ 02243 \ / 02243 \ / 02243 \
x
00123 00246 00246
00123 00000 00000
00123 02489 00246
Ma tedy matice x hodnost 2.
Transformace matice a = (bIc) na matici (eIx).
Nechť b je čtvercova regularní matice řadu n a c je matice typu (n, m). Popišme algoritmus transformace teto matice elementarními transformace na matici tvaru (eIx).
Ve výkladu pouZ ívame oznacen í:
a ... promenna pro matici. Na zacatku jej í prirazena matice, kterou mame transfor-
112
^Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
movat na požadovany tvar. V jednotlivych kroc ích bude tato matice transformovana sama na sebe.
m... pocet radku matice A n... pocet sloupcu matice A
Postupne pro i = 1, 2,... budeme provadet nasleduj íc í ukony.
ZAČÁTEK
Bod 1. Budeme vytvaret i-ty radek hledane matice.
Bod 2. K c íslu i urc íme nejmensí poradove c íslo sloupce matice A, v jehož radc ích i, i + 1,..., n je alespoň jeden nenulovy prvek. Toto poradove c íslo sloupce ožnacme s^.
Bod 3. Zvolme p G {i,... ,n}, pro než je aPr% = 0. (je-li takovych p více, žvol íme jedno ž nich).Zvoleny p-ty radek matice A nažveme hlavním ěádkem.
Bod 4. Je-li p = i, vymen íme navžajem p-ty a i-ty radek metice A. Vymenu techto dvou radku provedeme transformaci A := T3(i,p)A. Po teto vymene je i-ty radek hlavn ím radkem. Je-li p = i, je již i-ty radek hlavn ím radkem. Vymena radku se tedy neprovad í.
Bod 5. Provedeme nyn ítakove elementarn í transformace, aby po jejich realižaci byly prvky aj,si, j = 1,... ,n, j = i rovny 0. Toho dosahneme napr. elementarn ími trasfor-macemi
113
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) A := T2(i, -aJ: s.; j,ai , s. )A protýindexý j = 1,...,n,j = i pro než a.,- s. = 0, nebo transformac í b) A := T2(i, ; j, 1)A pro tý indexý j = 1,..., n, j = i, pro než a^^s, = 0,
Bod 6. Jestliže i < n položme i := i + 1 a jdeme žpet k Bod 1. V opacnem případe
jdeme k bodu (Bod 7). Bod 7 Provedeme týto transformace
A := T1(i, —),i = 1,... ,n
T ím je A hledanou matic í.
114
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 4
Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic
4.1. Řešení některých typů systémů lineárních rovnic
Uloha. Resen í systému n lineárn ích rovnic o n neznámých s regulárn í horn í trojúhein íkovou matic í soustavy
Resme systém rovnic
Cx = d, (4.1) kde C je horn ř regularn ř trojúhein řková matice řádu n, d je n-rozmérny sloupcový
115
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
vektor a x je n-rožmerny sloupcovy vektor nežnamych. Tento system rovnic lže tedy žapsat jako
/ c1,1 C1,2 0 C2,2
V
0 0
0 0
0 0
c1,n—1 Ci,n ^ c2,n—1 c2,n
cn—1,n—1 cn— 1,n
0
cn,n /
Rozepsan ím tohoto systemu dostavame
C1,1X1 + C1,2X2 + ... + C1,n—1Xn—1 C2,2X2 + ... + C2,n—1Xn—1
/ X1 \
+ +
c1,nxn c2,nxn
= d2
cn—1,n—1xn—1 +
(4.2)
(4.3)
cn—1,nxn dn—1
cn,nxn dn
PonevadZ dle predpokladu je matice C regularn í, jsou jej í prvky na hlavn í diagonale rôzne od nuly. Tento system rovnic lze resit metodou, zvanou metoda zpětné substituce.
116
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Z posledn í rovnice vypoc ítáme xn.
Dostáváme
xn dn/cn,n.
(4.4)
Dosád íme-li do předposledn í rovnice žá xn vypoc ítánou hodnotu (4.4), dostáváme
cn-i,n-1 " xn-1 + cn-i,n " dn/cn,n dn-1. (4.5)
Odtud
xn-1 1/cn-1,n-1 " (dn-1 cn-1,n " dn/cn,n). (4.6)
Když jsme již vypoc ítáli xn,xn-1, dosád íme tyto hodnoty do (n - 2)-te rovnice á vypoc ítáme xn-2. T ímto žpusobem dále pokrácujeme. Když jsme již vypoc ítáli xn, xn-1,..., x2 dosád íme tyto hodnoty do prvn í rovnice á vypoc ítáme žbyváj íc í hodnotu x1.
Príklad 4.1. Náležnete resen í systemu lineárn ích rovnic (jehož mátice soustávy je horn í regulárn í trojuheln íková mátice).
2x1 + 3x2 + x3 =11
X2 + 2x3 = 9 (4.7) 2x3 = 8.
Z posledn í rovnice vypoc ítáme x3. Dostáváme x3 = 4. Dosážen ím teto hodnoty do druhe rovnice dostáváme
X2 + 8 = 9.
117
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Odtud dostavame x2 = 1. Dosad'me ža x2, x3 týto výpočítane hodnotý do první rovniče sýstemu. Dostavame
2xi + 3 + 4 = 11.
Odtud dostavame x1 = 2.
Resením žadaneho sýstemu rovnič (4.7) jsme tedý obdrželi
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 4.
Uloha. Řešen í systému lineárnich rovnic s regulárnídiagonáln í matici soustavy.
Rř eřsme sýstem rovnič
C x = d,
kde C je regularn í diagonaln í matiče. Rožepsan ím lže tento sýstem žapsat takto
ci,ixi = di
C2,2x2 = d2
cn— i,n—ixn—i dn—i cn,nxn dn.
(4.8)
118
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
V 1
Resen ím tohoto systemu rovnic je zřejme vektor x = C—1d, to jest
xi , i 1 , í2, . . . , n.
Príklad 4.2. Naleznete řesen í systemu rovnic s diagonaln í matici soustavy
2x1 = 6,
3 X2 =1, —2 X3 = 5.
Řešen í. Z prvn í rovnice vypoc ítame x1. Dostavame x1 = 3. Z druhe rovnice vypoc ítame x2. Dostavame x2 = 1/3. Z třet í rovnice vypoc ítame x3. Dostavame x3 = —5/2.
Uloha. Řešení systemu lineárních rovnic s horní schodovitou maticí soustavy (4.9) typu (h,n), s hodností h < n.
Rř eřsme tedy system rovnic
Cx = d,
který po rozepsan í ma tento tvar.
c1,sixsi + . . . + c1,S2XS2 + . . . + C1,ShXSh + . . . + c1,nxn d1 C2,s2 + ... + °2,sh Xsh + ... + C2,nXn = G?2
. . . (4.9)
ch,Shxsh + . . . + ch,nxn dh. 119 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
V něm jsou prvky ci;Sl, c2jS2,..., chjSh, kde si < s2 < ... Sh jsou různé od nuly.
Neznámé xi, x2,..., xn tohoto systému lze rozdělit do dvou skupin. Prvn í skupina obsahuje h neznámych - nazveme je základn ími, a druhá skupina obsahuje zbyvaj íc ích n — h neznamych. Toto rozdelen í neznamych do dvou skupin nen í libovolne. Mus í byt takove, ze jestlize cleny jednotlivych rovnic systemu C x = d, obsahuj ící zakladn í promenne, ponechame na leve strane a ostatn í cleny rovnic dame na pravou stranu rovnic, obdrz íme system h rovnic o h neznamych z prvn í skupiny s regularn í matici soustavy. Prava strana takto vznikleho systemu obsahuje nezname druhe skupiny - parametry. Tedy zakladn í promenne lze vypoc íst z daneho systemu jako funkce neznamych druhe skupiny - parametru. Toto rozdelen í neznamych nen í jednoznacne urceno. Za zakladn í promenne lze zvolit napr. nezname xSi, i = 1, 2,..., h. Mnozinu vsech resen í daneho systemu rovnic nazyvame obecným řešením daneho systemu. Je funkc í zvolenych n — h parametru.
Příklad 4.3. Naleznete řesen í systemu linearn ích rovnic
xi + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 + 2x6 + 7x7 = 40
— 2x3 + x5 — x7 = —8 (4.10)
x6 — 3x7 = —15
o neznamych x«, i = 1, 2,3,4, 5,6, 7.
120
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Resen í. Matic í soustavý je horn í schodovita matice
/ 1 2 14 12 7 \
A =
V
0 0 -2 0 1 0 -1
0 0 0 0 0 1-3
Ožnacme b vektor pravých stran a x vektor nežnamých. Potom je
b
40
-8 -15
\
x=
X2
Zadaný sýstem (4.10) rovnic lže pak žapsat v maticove notaci jako
A - x = b.
121
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Za základn í neznámé lze volit neznámé x1,£3, #6- Všechny členy rovnic obsahuj íc í neznámé x^x3,x6 ponecháme na leve strane a ostattn í členy dáme na pravou stranu-Dostáváme tak system rovnic
x1 + x3 + 2x6 = 40 — 2x2 — 4x4 — x5 — 7x7
- 2x3 = —8 — x5 + x7 (4.11)
x6 = —15 + 3x7
Dosad íme-li za neznáme x2, x4, x5, x7 do (4-11) jakákoliv c ísla, je pravou stranou takto vznikleho systemu konstantn í vektor a system přecház í na system 3 rovnic o trech neznámych x1, x3, x6- Matice soustavy tohoto systemu je regulárn í horn í trojuheln íková matice rádu 3- Jeho vyřesen ím dostáváme hodnoty neznámych x1,x3,x6, ktere spolu se zvolenymi hodnotami x2,x4,x5,x7 dávaj ířesen ízadaneho systemu lineárn ích rovnic
Na neznáme x2,x4,x5,x7 se budeme tedy d ívat jako na parametry- Kvuli zvysen í přehlednosti zavedeme toto oznacen í parametru:
x2 = Ci, x4 = C2, x5 = C3, x7 = C4. (4.12)
122
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Dosazen ím techto parametru do (4.11), dostavame
xi + x3 + 2x6 = 40 — 2ci — 4c2 — c3 — c4
— 2x3 = —8 — C3 + C4 (4.13)
x6 = —15 + 3c4
Z posledn í rovnice vypoc ítame x6. Dostavame
x6 = —15 + 3c4.
Do druhe rovnice dosad íme vypoc ítanou hodnotu x6 a vypoc ítame x3. (Dosazen í za x6 se neprojev í, neboť koeficient u x6 je v teto rovnici roven 0.) Dostavame
x3 = 4 + 1/2c3 — 1/2c4.
Dosad íme tyto vypoc ítane hodnoty za x3, x6 do prvn í rovnice systemu (4.13) a vypoc ítame xi. Dostavame
xi = 66 — 2ci + 4c2 + 1/2c3 — 25/2c4.
123 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Vsechna resen í zadaneho systemu rovnic (4.11) lze zapsat takto
x
f 66 - 2ci + 4c2 + 1/2C3 - 25/2C4 \ 4 + 1/2C3 - 1/2C4
c2 c3
-15 + 3c4
c4
kde cl,c2,c3,c4 G R jsou parametry.
124 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Toto řesen í lže žapsat ve tvaru
x
( 66 \
0
4 0 0
-15
Partikulární řešení systému Ax = b
+ Ci
í-2\
1 0 0 0 0
0
+ C2
4
0
0
1 0 0
0
+ C3
/1/2\
0
1/2
0
1 0
0
+ C4
-25/2
0
-1/2
0
0
3
1
Obecné řešení homogenního systému Ax = 0
Poznámka 1. Množinu vsech resen í sýstemu linearn ích rovnic A • x = b nažývame obecným řešením. Lže ukažat, že toto obecne resen í je souctem obecneho resen í príslusneho homogenn ího sýstemu rovnic A • x = 0 a partikularn ího, to jest libovolne žvoleneho jednoho řesen í sýstemu rovnic A • x = b, b = 0.
Poznámka 2. V nasem prípade obdržene obecne resen í žavis í na 4 parametrech. Zna-mena to, že každou volbou parametru dostavame řesen í uvedeneho sýstemu linearn ích rovnica naopak, každe resen ídaneho sýstemu rovnic dostaneme specialn í volbou parametru.
125
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
V tomto obečnem resen í je vektor
x=
/ 66 \
0 4 0 0
-15
0
jedn ím ž resen í daneho sýstemu rovnič. Nažývame je partikularn ím resen ím. Množina
126 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
resen i
ci
—2
1 0 0 0 0
0
+ C2
4 ^1/2^ —25/2
0 0 0
0 1/2 —1/2
1 0 0
0 1 0
0 0 3
0 0 1
kde c1 ,c2,c3,c4 G R jsou parametry, je obecnym resen ím systemu A • x = 0, ktery se nazyvá homogenn ím systemem rovnic, príslusnym k danemu systemu rovnic A • x = b.
Poznámka 3. Vyjádřen i obecneho řesen í systemu rovnic nen í jednoznacne (kazde vyjádren í ovsem obsahuje tatáz řesen í), dá se vyjádrit v ruznych tvarech-
127
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
4.2. Ekvivalentní systémy rovnic.
Definice 4.1. (Ekvivalentní systemy rovnic.)
Nechť
Ax = b, Cx = d
jsou dva systemy linearn ích rovnic o n neznamych. Tyto systemy nazveme ekvivalentními, jestlize kazdy vektor x, ktery je řesen ím systemu rovnic A x = b, je i resen ím systemu C x = d a naopak, kazde resen í x, ktere je řesen ím systemu rovnic Cx = d, je i resen ím systemu rovnic A x = b.
Při resen í systemu rovnic Ax = b půjde o nalezen í takoveho ekvivalentn ího systemu rovnic, ktery je mozno snadno posoudit. To znamena urcit, zda tento ekvivalentn í system ma nebo nema resen í a v případe, ze ma resen í, toto resen í nalezt.
4.2.1. Prevod systému lineárních rovnic na ekvivalentní systém rovnic. Uvazujme system linearn ích rovnic
A • x = b (4.14) Ukazme si platnost nasleduj íc ích pravidel P1, P2, P3, P4.
128
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
P1. Nečht a je libovolne realne č íslo = 0. Uvažujme libovolne žvolenou i-tou rovniči sýstemu (4.14)
• xi + ... + CLi,n • xn = bi. (4.15)
Je evidentn í , že vektor x výhovuje rovniči (4.15), kdýž a jenom kdýž výhovuje rovniči
a • (ai,i • xi + ... ahn • xn) = a • bi. (4.16)
Nahradíme-li tedy v systému (4.14) některou rovnici jejím násobkem číslem a, a = 0, je vznikly system ekvivalentní s daným systemem.
P2. Nečhl! a, // G R, // = 0 a nečht
• xi + ... + 0i,n • xn = bi, (4.17) Oj, i • xi + ... + 0j,n • xn = b j, (4.18)
jsou dve libovolne rovniče sýstemu rovnič (4.14). Je opet evidenetn í, že každý vektor x výhovuje obema temto rovnič ím, kdýž a jenom kdýž výhovuje rovnič ím
Oí,1 • xi + ... + 0i,n • xn = bi, (4.19)
(aai,i + Paj,i) • xi + ... + (aai,n + Paj,n) • xn = abi + /bj,, (4.20) kde a,p G R, p = 0.
129 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Pricteme-li tedy k P-nísobku nektere rovnici systemu (4.14) a-nasobek jine rovnice, a, P G R, vznikne system ekvivalentní se systemem
(4.14).
P3. Vzájemnou výmenou dvou rovnic systemu A • x = b vznikne system
ekvivalentní s daním systemem. P4. Vypustíme-li ze systemu rovnic (4.14) rovnici tvaru
0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = 0,
obdrzíme system rovnic, kterí je ekvivalentní se systemem rovnic (4.14), neboť kazdý vektor x G Vn teto rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedava zadne omezen í pro řesen í systemu rovnic (4.14). P5. Jestlize v systemu rovnic (4.14 ) je nektera rovnice tvaru
0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = c, c = 0,
nemí uvazovaní system zadne resení, nebol; teto rovnici nevyhovuje zadný vektor.
Tyto uvahy muzeme shrnout nasledovne.
130 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 4.1.
Necht jsou dány dva systémy lineárních rovnic
A x = b, C x = d
o neznámych x1, x2, ..., xn. Necht system C x = d vznikl ze systemu A x = b temito ákony:
TI. Libovolnou rovnici systemu jsme násobili císlem rUznym od nuly. T2. K nenulovámu násobku jedná rovnice jsme pěipocetli libovolny násobek jiná rovnice.
T3. Vymenili jsme návzájem dve rovnice systemu. T4. Z dánáho systemu rovnic vypustíme rovnice typu
0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = 0,
Potom systemy A x = b, C x = d jsou návzájem ekviválentná
Abychom si usnádnili žápis pri operác ích s rovnicemi, budeme prácovát jenom s koeficienty rovnic á s jejich právymi stránámi. K systemu rovnic
Ax = b (4.21)
131
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
prirad íme rozs írenou maticitohoto systemu rovnic
(A|b) (4.22)
Souctu dvou rovnic systemu (5.1) odpov ída soucet odpov ídaj íc ích radku matice (4.22). Podobne nasoben ínejake rovnice systemu (5.1) c íslem ruznym od nuly odpov ída nasoben í odpov ídaj íc ího radku matice (4.22) t ímto c íslem.
Předpokladejme, ze jsme k systemu linearn ích rovnic
Ax = b
přiřadili rozs írenou matici soustavy tohoto systemu rovnic. Potom ukonum T1, T2, T3, s rovnicemi systemu Ax = b, uvedenych ve vete 4.1, odpov ídaj í elementarn í transformace T1(i, a), T2(i, a ; j, P), T3(i, j), vypusten í rovnice odpov ída vypusten í odpov ídaj íc ího radku v matici (A|b). Aplikovan ím techto ukonu na matici (A|b). obdrzíme matici odpov ídaj íc í ekvivalentn ímu systemu k systemu A x = b.
Vhodnymi elementarn ími transformacemi lze z matice (A|b) dospet ke schodovite matici (Cktera odpov ída systemu Cx = d, ekvivalentn ímu k systemu linearn ích rovnic Ax = b. V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovity tvar uřzit ím elementarn ích transformac í.
Resen í systemu linearn ích rovnic Ax = b lze t ímto zpusobem převest na řesen í systemu linearn ích rovnic se schodovitou matic í soustavy. O resen í systemu linearn ích rovnic, s horn í schodovitou matic í soustavy, bylo pojednano jiřz dřr íve.
132
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Postup řešení systému lineárních rovnic Nechť je dan system linearn ích rovnic
Ax = b (4.23)
o n neznamych x1, xn. Tento system linearn ích rovnic muzeme resit v techto kroc ích
1. K danem systemu rovnic prirad íme matici rozsírenou (A|b).
2. Uzit ím vhodnych elementarn ích transformac í
Tl(i,a), a = 0, T2(i,a ; j,//), // = 0, T3(i, j)
postupne aplikovanych na matici (A|b), vytvoříme horn í schodovitou matici (F
3. Vypustíme nulove radky matice (F|g). Takto vzniklou matici oznacme (C Teto matici odpov ída system rovnic
Cx = d. (4.24)
4. Tento system rovnic (4.24)
133
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) ma bud'to tvar
ci,sixsi + . . . + ci,S2xs2 + . . . ci,Sh-ixsh-i + . . . + ci,nxn di c2,S2 + ... + c2,sh-i xSh-i + ... + c2,A = ^2
ch— i,Sh-ixsh-i + . . . + ch—i,nxn dh—i
0 ' xn — dh,l
v nemz c ísla ci,Si, c2,S2, ..., ch—\lSh_x, dh jsou ruzna od 0. b) nebo tvar
c1,si xsi + . . . + c1,S2xs2 + . . . + c1,Shxsh + . . . + c1,nxn b1 c2,s2xs2 + . . . + c2,shxsh + . . . + c2,nxn = d2
ch,Sh xsh + . . . + ch,nxn dh
v nemz ci,Si, c2,S2, ..., chiSh jsou ruzna od 0.
(4.25)
(4.26)
V případe a) nema system C x = d resen í , nebol; jeho posledn í rovnice 0 • xn = dh nen í splnena pro zadne xn. V tomto prípade ma matice C hodnost h — 1 a matice rozs írena (C|d) hodnost h. Maj í tedy ruzne hodnosti.Vzhledem k tomu, ze elementarn ími transformacemi se hodnost matice nemen í, muzeme konstatovat, ze system rovnic Ax=b
134 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
nema resen í, kdýž a jenom kdýž hodnost matice soustavý je mens í než hodnost matice rožs ířene.
Pod ívejme se na prípad b). O žpusobu řesen í tohoto sýstemu jsme již dříve pojednali. Strucne to žopakujme. V tomto případe lže nežname roždelit do dvou skupin , skupinu h nežnamých - nažveme je žakladn ími, ktere lže výpoc íst pomoc í žbývaj íc ích n - h nežnamých - parametru. Toto roždelen í nen í jednožnacne urceno. Možne volbý jsou patrný ž tvaru sýstemu
Cx = d.
Jestliže clený sýstemu C x = d, obsahuj íc í žakladn í promenne, ponechame na leve stranře a ostatn í řclený dame na pravou stranu, mus íme obdrřžet sýstem rovnic s horn í trojuheln íkovou matici soustavý, jej íž diagonaln í prvkýjsou nenulove. Za žakladn í promenne lže napr. žvolit nežname xSi, i = 1, 2,..., h a žbývaj íc í promenne - nažveme je parame-trý a ožnac íme je c1,..., cn-h.
Výsledek třechto uvah shrneme do nasleduj íc í vřetý.
135
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Věta 4.2. (Frobeniova věta.)
Necht
Ax = b
(4.27)
je systém m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí:
Jestliže matice soustavy A má menší hodnost nez matice rozšírená (A|b), potom systém rovnic (4.27) nemá řešení
Jestliže matice soustavy A ma stejnou hodnost jako matice rozšířená (A|b), potom systám rovnic (4.27) ma řesení. Jestliže tato spolecna hodnost je rovna poctu neznamych n, potom ma prave jedno řešení. Jestliže tato spolecná hodnost je h < n, potom má nekonečne mnoho řesení zavislách na n — h parametrech.
Příklad 4.4. Proveďme analýzu systému lineárních rovnic
Ax = b,
kde
/ 0 1 —4\
/3\
-6 -2
1
4
A
b
74
0
2
102
1
136
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jedná se o systém čtyř lineám ích rovnic o třech neznámých. Analýzu řešitelnosti tohoto systému rovnic provedeme podle předchoz ího návodu.
Utvořme rozš ířenou matici (A\b) tohoto systému
(A\b)
( 0 1 -4 j 3 \ -6 -2 1 j 4 7 -4 0 j 2 V 1 0 2 I 1 /
Transformujme ji na horn í schodovitou matici.
ri ^ r4 r 2 = 6ri + r2 r3 = -7ri + r3
/ 0 1 -4 j 3 \ -6 -2 1 j 4 7 -4 0I2
V 1 0 211 y
1 0 2 1
0 -2 13 10
0 -4 -14 -5
0 1 -4 3
137
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
T'2 O T'4
r3 = 4r2 + r3
/ 1 0 2 I 1 \
0 -2 13 | 10
0 -4 -14 j -5
V 0 1 -41 3 )
1 0 2 1
0 1 -4 3
0 0 -30 7
V 0 0 5 16 /
j>4 = f3 + 6f4
1 0 2 1 \ 1 0 2 1
0 1 -4 3 0 1 -4 3
0 0 -30 7 0 0 -30 7
0 0 5 16 J 0 0 0 103
Hledanou horn í schodovitou matic í je tedy matice
1 0 2 1 \
0 1 -4 3
0 0 -30 7
0 0 0 103 /
138
Teto matici odpov ídá system lineárn ích rovnic
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
/ 1 0 2 \ / xi \ 1
0 1 -4 3
0 0 -30 7
0 0 0 \ X4 / 103
Tento systém rovnic nema řešen í (posledn í rovnice !!!). Nemá tedy řešen í ani daný systém rovnic A x = b, který je s t ímto systemem ekvivalentn í.
Uved'me ukazky resen í nekolika úloh, v nichž matice soustavy nen í schodovita.
Příklad 4.5. Reste system linearn ich rovnic
x1 + 2x2 — 3x3 + x4 = 1, 2x1 — x2 + x3 — x4 = 1, (4.28) 4x1 + 3x2 — 5x3 + x4 = 3.
Řešení. K danemu systemu rovnic nap íseme odpov ídaj íc í rozsířenou matici soustavy
(A|b)
1 2 —3
2 —1 1
435
1 1
3
(4.29)
Tuto matici transformujeme elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici. Vypocet provedeme v nekolika kroc ích.
139
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
1. Prvn í řádek žvol íme jáko hlávn í. Budeme eliminvát prvky a2;1,a3;1. Prvn í řádek násob íme c íslem (-2) á přicteme ke druhemu rádku. Dostáneme
(A|b)
1 2 -3 0 -5 7 435
1 1
3
Prvn í rádek násob íme (-4) á pripocteme ke ctvrtemu řádku. Dostáneme
(A|b)
12 0 -5 05
3 7 7
1 1 1
2. Druhy rádek žvol íme jáko hlávn í. Budeme eliminovát prvek a32. Druhy rádek násob íme c íslem (-1) á připocteme ke tret ímu rádku. Dostáneme horn í schodovitou mátici
(A|b)
12 0 -5 00
3 7 0
1 3 0
1 1 0
V této matici výpust íme řádek obsahuj íc ř samé 0. Dostáváme tak matici, označme ji (B\c), ktera odpov ída systému (4.30) Bx = c, který je ekvivalentn í s daným systémem rovnic (4.28).
xi + 2x2 - 3x3 + X4 = 1 (4 30)
5x2 + 7x3 - 3x4 = -1
140
>Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Clený tečhto rovnič obsahuj íč í nežname x3,x4 převedeme na pravou stranu sýstemu. Budeme je považovat ža parametrý. Zaroveř polož íme
Dostavame
xl + 2x2 = 1 + Scl
C2,
- 5x2 = -1 - 7cl + Sc2.
Z posledn í rovniče výpoč ítame x2. Dostaneme
x2 = 1/5 • (1 + 7C1 - SC2).
Dosad íme tuto výpoč ítanou hodnotu x2 do prvn í rovniče a výpoč ítame ž takto vžnikle rovniče xl. Dostaneme
xl = 1/5 • (S + Cl + C2).
Obečným řesen ím žadaneho sýstemu linearn íčh rovnič (4.28) je tedý vektor
x
/ (1/5 • (S + Cl + C2) \ 1/5 • (1 + 7Cl - SC2)
V
Cl C2
kde Cl, C2 G R.
l4l
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Toto obecné řešen í lze zapsat ve tvaru
x
/3/5\
1/5 0
V o /
+ ci
1/5
7/5
1
0
+ C2
1/5
-3/5
0
1
\
kde c1? c2 G R.
Příklad 4.6. Naleznete řesen í systemu linearn ích rovnic
xi + 2x2 — 3x3 + x4 = 1 2xi — x2 + x3 — x4 = 1 (4.31) 4xi + 3x2 — 5x3 + x4 = 4
Řešení. K danemu systemu rovnic nap íseme odpov ídaj íc í rozsířenou matici soustavy.
/ 1 2 —3+1 (A|b) = I 2 —1 1 —1
4 3 —5 1
Tuto matici soustavy transformujme elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici.
142
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
1. Prvn í řádek zvol íme jako hlavn í. Budeme eliminovat prvky a2;1,a3;1. Prvn ř řádek násob íme č íslem (—2) a přičteme ke druhemu řádku. Dostaneme
(A|b)
1 2 —3 0 —5 7 4 3-5
1 1
4
Prvn í řadek nasob íme (—4) a připočteme k třet ímu radku. Dostaneme
(A|b) -
12 0 —5 05
3 7 7
1 1 0
2. Druhy řadek zvol íme jako hlavn í . Druhy radek nasob íme č íslem (—1) a pripočteme ke třet ímu radku. Dostaneme horn í schodovitou matici
(A|b)
12 0 —5 00
31 7 —3 00
1 1 1
Prvn í čtyři sloupce predstavuj í matici, kterou jsme obdrZeli elementarn ími transformacemi matice soustavy daneho systemu rovnic. Tato matice ma hodnost 2. Cela matice predstavuje matici, ktera vznikla elementarn ími transformacemi rozs írene matice soustavy daneho systemu rovnic. Ma hodnost 3. To znamena, ze matice soustavy daneho
143
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
sýstemu rovnic ma hodnost 2 a matice rožs írena daneho sýstemu rovnic ma hodnost 3, tedý odlisnou od hodnosti matice soustavý. Daný sýstem rovnic tedý nema resen í.
Neexistence řesen í daneho sýstemu rovnic výplýva i ž teto uvahý. Tato výsledna matice reprežentuje sýstem linearn ích rovnic
x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 1,
- 5x2 + 7x3 - 3x4 = -1, (4.32) 0 • x1 + 0 • x2 + 0 • x3 + 0 • x4 = 1.
Vžhledem k posledn í rovnici je patrno, řže sýstem nema řreřsen í. 4.3. Gaussova eleminační metoda.
V nasleduj íc ím výkladu nejde o nic noveho. Jde o žaveden í nažvu pro metodu, o ktere jsme již obecneji pojednali. Specialn í prípad uvad íme proto, že se s t ímto nažvem mužete setkat.
Nechí A je regularn í ctvercova matice řadu n, b je n-rožmerný sloupcový vektor a x je nežnamý n-rožmerný sloupcový vektor. Uvažujme sýstem n linearn ích rovnic
Ax = b. (4.33)
Tento sýstem rovnic (4.33) resme takto:
144 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
1. Matici (A|b) transformujeme elementárními transformacemi na horn í schodovitou matici. Dostaneme
(T|c), (4.34)
kde T je horn í trojuheln íkova matice. (Je to zvlastn í případ horn í schodovite matice.)
2. Res íme obdrZený system rovnic Tx = c s horn í trojuheln íkovou matic í metodou zpetne substituce.
Tento zpusob výpoctu se nazýva Gaussova eleminační metoda. Tato metoda ma mnoho variant, spoc ívaj íc ich jak ve výberu hlavn ich řadku (při transformaci rozs ířene matice soustavý na horn í schodovitou matici), tak i při provaden í jednotlivých kroku v elementarn ích transformac ích, jimiz se sýstem rovnic (4.33) prevad í na sýstem rovnic (4.34).
Príklad 4.7. Gaussovou eliminacn í metodou řeste sýstem linearn ích rovnic
Ax = b,
kde
A
145
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
K systému rovnic přiřad íme rozš írenou matici soustavy
íl -3 2 1 \ (A|b) = í 0 5 -2 4 ] . V -2 4 19/
Tuto matici převedeme élementarn ími transformacemi na matici
(B |c),
kde matice B je horn í trojUheln íkova matice. Postupne dostavame
3 2 1
5 -2 4
0 21 63
Posledn í matici odpov ída system linearn ích rovnic
x\ -3x2 +2x3 5x2 -2x3
21X3
1,
4,
63.
146
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tento sýstem res íme metodou žpetne substituce. Z posledn í rovnice výpoc ítame x3. Dostavame x3 = 3. Dosad íme-li tuto hodnotu do druhe rovnice a výpocítame x2, dostavame x2 = 2. Dosad íme-li nýn í do prvn í rovnice výpoc ítane hodnotý x3,x2, dostavame ž n í x1 = 1. Je tedý hledaným řesen ím vektor
4.4. Jordanova eliminační metoda.
V nasleduj íc ím výkladu pojedname o metode žaložene na specialne c ílenou elementarn í tranformaci rožs ířene matice soustavý. (Popis algoritmu je na str. 151.)
Necht A je regularn í ctvercova matice řadu n, b je n-rožmerný sloupcový vektor a x je nežnamý n-rožmřerný sloupcový vektor. Uvařžujme sýstem linearn ích rovnic
Sýstem rovnic (4.35) řreřsme takto:
1. Matici (A|b) transformujeme elementarn ími trasformacemi na matici (C|d), kde C je regularn í diagonaln í matice radu n.
x=
Ax = b.
(4.35)
147
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
2. Řeš íme systém rovnic s diagonáln í matic í
Cx = d.
(4.36)
Tento způsob vypoctu se nazyvá Jordánova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spoC ívaj íc ích jak ve vyberu hlavn ích řadků tak i při provaden í jednotlivých kroků v elementarn ích transformac ích, jimiZ se system rovnic (4.33) převad í na system rovnic (4.36).
Příklad 4.8. Jordanovou eliminacn í metodou řeste system linearn ích rovnic
Ax
kde
A
K systemu rovnic priřad íme rozs írenou matici soustavy
1 0
-2
3
5
4
2 1 2 4 1 9
148
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tuto matici převedeme elementárn ími transformacemi na matici
(c |d),
kde matice C je diagonaln í matice, (to lze, jestliže matice A je regularn í). Postupne dostavame
(A|b)
1 -3 0 5 -2 4
1
4
9
{ r3 = 2ri + r3
{
r1 = 3r2 + 5r1 r3 = 2r2 + 5f3
r1 = 21r1 — 4r2
f2 = 2f3 + 21f3
32
5 —2
41
1
0
—2
1 0
0 —2 5 0 4
0 5 —2
0 0 21
3 5
2 2 5
17
4
63
I
4 9
1 4
II
—3 2 1
5 —2 4
—2 5 11
50 4 17
05 —2 4
00 21 63
105 0 0 0 105 0 0 0 21
105 210 63
149
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Posledn í matici odpov ída sýstem rovnic
105xi = 105,
105x2 = 210,
21x3 = 63.
Jeho řreřsen ím dostavame hledaný vektor
x=
4.5. Jordanova metoda na řešení maticové rovnice AX = B Uvazujme sýstem rovnic
AX = B, (4.37)
kde A je dana ctvercova regularn í matice radu n, B je dana matice týpu (n,m) a X je neznama matice týpu (n, m).
Kazdý sloupec X(: , j), j = 1, ... ,m, matice X je řesen ím sýstemu rovnic
AX(: , j) = B(:, j), j = 1,...,m. (4.38)
150
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Mame tedy řesit m systemu rovnic (4.38) se stejnou matic i soustavy A. Tyto systemy muzeme řesit najednou. K systemu rovnic (4.37) priřadme matici rozs iřenou
(A j B). (4.39)
Uřzit im elementarn ich transformac i přrevedeme tuto matici na matici
(E j C), (4.40)
kde E je jednotkova matice. Polořzme
G := D-1 F.
Matice G ma tedy tvar
G = (E j R). Teto matici odpov ida systemu rovnic
E X = R, (4.4l)
ktery je ekvivalentn i se systemem (4.37). Ponřevadřz E . X = X, dostavame ze systemu
(4.41)
X = R, (4.42)
takřze matice R je řreřsen im systemu (4.37).
151
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Výpočet inverzní matice k regulární matici řádu n
V podkapitole 5.4 jsme ukazali, ze v případe, ze matice A je regularn í, potom inverzn í matici, označme ji X, nalezneme resen ím systemu rovnic
AX = E.
Jde tedy o řesen í systemu, ktery je specialn ím prípadem systemu rovnic (4.37).
Převod matice F elementárními transformacemi na matici G.
Algoritmus. Předpokladejme, ze promenne F je prirazena matice (A | B) a promenne n je přirazen rad matice A a promenne m je prirazen počet sloupcu matice B.
Začátek
B1 Začneme s upravou prvn ího sloupce matice F. Poloz íme
j := 1.
B2 Zvolme p G {j, j + 1,..., n}, pro nez je
fPj = o.
(Takove p existuje vzhledem k regularnosti matice A.) Touto volbou zvol íme p-ty radek matice F jako hlavn í pro nasledne eliminace. Jestlize p = j, je j-ty radek
152
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
hlavn í a jdeme k B3. Jestlize p = j, vymen íme navzajem p—ty a j—ty radek matice F a jdeme k B3. B3 Pro i = 1, ... ,n,i = j, provedeme tyto ukony
b1 Polozme i := 1, jdeme k b2.
b2 Jestlize i = j jdeme k b4, jinak k b3.
b3 Je-li fij = 0, jdeme k b4, jinak poloz íme
F = H4(j, —fid,i, 1)F.
(Po teto transformac í bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 polozme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4.
B4 Polozme j := j + 1. Jestlize j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Puvodn í matice F se transformovala na matici
F = (D | C) kde matice D je diagonaln í.
Potom hledana matice G je
G := D—i F = (ER).
Příklad 4.9. Naleznete inverzn í matici k matici
124
A = I —2 12
435
(4.43)
153
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Řešení. Označme X matici inverzn í k matici A. Předpokládáme-li, že matice A je regulárn í, je hledaná matice X řesen ím systemu lineárn ích rovnic
AX
E.
Teto rovnici odpovídá matice F
(A|E), to jest matice
F
1 2 4
2 1 2
4 3 5
1 0 0
0 1 0
001
(4.44)
Na matici F budeme postupne aplikovat elementárn í tranasformace podle nahoře pop-saneho algoritmu.
Položme j := 1. Zacneme s upravami prvn ího sloupce matice F.
Za hlavn í rádek zvol íme rádek 1.(Prvek = 0.) Elementárn ími transformacemi typu H4 dosáhneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky /2;1, /3;1 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(1, -/2)1 //1)1, 2,1)F , to jest transformac í F := H4(1, 2, 2,1)F
dostavame
F
1 2 4
0 5 10
4 3 5
100 210 001
154
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Proveden ím transformace F := H4(1, —/3,i//i,i, 3,1)F to jest proveden ím transformace F := H4(1, —4,3,1)F dostavame
1 2 4
F := | 0 5 10
0 -5 -11
1 0 0
2 1 0
401
Položme j := 2. Zacneme s upravami druheho sloupce matice F.
Za hlavn í radek zvol íme radek 2.(Prvek = 0.) Elementarn ími transformacemi typu H4 dosahneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky f12, f32 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(2, —f1y2/f2,2,1,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, —2/5,1,1)F dostavame
1 0 0 F := | 0 5 10
0 -5 -11
1/5
2 4
2/5
1
0
0
0
1
Proveden ím transformace F := H4(2, —/3^//^2, 3,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, 5/5,3,1)F, dostavame
10 0 1/5 —2/5 0 0 5 10 2 1 0 0 0-1-2 1 1
155
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Položme j := 3. Začneme s úpravami třetího sloupce matice F.
Za hlavní řadek zvolíme radek 3.(Prvek /3;3 = 0.) Ponevadž /1;3 = 0, provedeme jenom takovou elementarn í transformaci typu H4, aby ve vznikle matici byl prvek /2;3 roven núle.
Proveden ím transformace F := H4(3, —/2;3//3;3, 2,1)F, to jest transformac í F := H4(3,10, 2,1)F dostavame
F :=
10 0 1/5 —2/5 0 0 5 0 —18 11 10 0 0-1-2 1 1
Oznacme obdrženou matici F jako
F = (D | C).
Je tedy
D
K n í inverzn í matic í je matice
1 0 0 0 1/5 0 0 0 1
156
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Polořzme
G := D-1 F.
Dostavame
G
Matici G lze zapsat jako
l O O
O l O
O O l
l/5
_18 B
2
2/5
11
B
ll
G = (E j R).
Této matic í odpov ída systém rovnic
E X = R
O 2
ekvivalentn í s danym systemem rovnic A X = E. Je tedy hledanou inverzn í matic í matice
l/5 2/5 O
X=R=
18 B
11
B
2
V
2 -1 -1
/
l57
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 5
Determinanty
V teto kapitole se žavad í pojem determinantu čtverčove matiče a žpusobý jeho výč íslen í . Odvožuje se Cramerovo pravidlo na řesen í sýstemu linearn íčh rovnič pomoč í determinantu a přímý výpočet inveržn í matiče.
5.1. Zavedení pojmu determinantu matice
Nekolik Uvodn ích slov. Uvažujme sýstem dvou linearn íčh rovnič o dvou nežnamýčh
xi, x2
158 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
aM • xi + ai)2 • x2 = bi, ^
«2,1 • Xi + (22,2 • X2 = b2. (
Jestliže • a^2 — a^2 • a2^ = 0, potom
xi = bi ^ 22,2 — b2 ^ 21,2 , X2 = b2 ^ 21,1 — bi ^ 22,1 (5.2)
«1,1 ^ a2,2 — a1,2 ^ a2,1 «1,1 ^ a2,2 — a1,2 ^ a2,1
je resen ím systemu (5.1), jak se lže přesvědčit dosažen ím techto hodnot ža x1, x2 do rovnic (5.1).
Zaved'me si toto označen í. Označme C matici
C . C1,1 C1,2
( C1,1 C1,2 \ V C2,1 C2,2 )
^ C2,1 C2,2
Potom č íslo
C1,1 • C2,2 — C1,2 • C2,1
nazveme determinantem matice C. Ožnač íme jej deŕ(C), resp. |C|. Tedy
deŕ(C ) = der , ,
V c2,1 c2,2 /
C1,1 C1,2 C2,1 C2,2
C1,1 • C2,2 — C1,2 • C2,1.
159 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Resen í (5.2) sýstemu (5.1) lze pak pomoc í determinantu zapsat takto
xi =
«1,2 «1,1 bi
b2 «2,2 «2,1 b2
x2 =
«1,1 «1,2 «1,1 «1,2
«2,1 «2,2 «2,1 «2,2
V techto vzorc ích je jmenovatel determinantem matice soustavý
«1,1 «1,2 «2,1 «2,2
(5.3)
A
(
který je dle předpokladu = 0. Čitatel ve výjadřen í pro x1 je determinantem matice, ktera vznikne z matice A nahradou jej ího prvn ího sloupce vektorem pravých stran
b
bb12
Podobnře řcitatel ve výjadřren í x2 je determinantem matice, ktera vznikne z matice A nahradou jej ího druheho sloupce vektorem pravých stran b.
V dalřs ím si zavedeme pojem determinantu i pro řctvercove matice A libovolneho řradu n. Budeme jej znacit shodne jako determinantý matic řadu 2. Determinantý výuzijeme
160
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
pri resen í systemu n lineárn ích rovnic o n neznámych. Pojem determinantu se využ ívá i při řesen í radyjinych ekonomických uloh.
Zaveďme si nyn í pojem determinantu matice. I Definice 5.1. (Determinant matice)
Nechť A je ctvercová matice. Determinantem matice A rozum íme c íslo, oznacme
je | A| nebo det(A), definovane takto:
Je-li n = 1, to jest, jestlize A = (a11), potom |A| = a11.
Jestlize je jiz definován determinant matice rádu n — 1, potom determinant matice rádu n definujeme takto:
I kde Ai;j je matice (jak jsme si to jiz dríve zavedli), která vznikne z matice A | vypusten ím jej ího i-teho řádku a j-teho sloupce.
Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině vsech čtvercových matic.
Příklad 5.1. Např. je-li A = (—2), potom |A| = —2.
+
.. +
+ ( —1)1+n«1,n • |A1,„| ,
(5.4)
161
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 5.2. Necht
Dokazme, ze
A
/ «1,1 «1,2 \
V «2,1 «2,2 J
\A\ = «1,1 ^ «2,2 - «1,2 ^ «2,1-
Skutecne, podle (5.4) je
\A\ = • «1,1 • \ AM\ + (-1)1+2 • «1,2. \ A1,2\.
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Zde A11 je matice, ktera vznikne z matice A vypusten ím 1. radku a 1. sloupce. Je tedy = («2,2), \A11\ = «22. Podobne A12 je matice vznikla z matice A vypusten ím jej ího prvn ího řadku a 2. sloupce. Je tedy A12 = («2^), \A12\ = «21. Dosazen ím do (5.7) dostavame
A
«1,1 «1,2 «2,1 «2,2 Po upravře dostaneme
= • «1,1 • «2,2 + (-1)1+2 • «1,2 • «2,1-
«1,1 «1,2 «2,1 «2,2
«1,1 • «2,2 - «1,2 • «2,1.
162
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
I Poznámka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od součinu prvků I na hlavní diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále.
Příklad 5.3. Vypočítejte hodnotu determinantu matiče
A
Řešení. Jedná se o výpočet determinantu matice 2. řádu. Podle (5.6) je | A| =„součin prvků na hlavní diagonále — součin prvkU na vedlejSí diagonále". Tedý
|A| =3 • 4 — (—2) • 5, |A| = 22.
Příklad 5.4. Necht A je matice řadu 3
( a1,1 «1,2 «1,3 \
A= «2,1 «2,2
V «3,1 «3,2 03,3 /
(5.8)
Vypočítejme determinant z teto matice. Podle Definice 5.1 je
|A| = (—• «1,1 • |Ai,i| + (—1)1+2 • «1,2 • |Ai,2| + (—1)1+3 • «1,3 • |Ai,3|. (5.9)
163
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zde Al;l je matiče, ktera vžnikne ž matiče A výpusten ím 1. řadku a l.sloupče. Je tedý
«2,2 «2,3
/ «2,2 «2,3 \ V «3,2 «3,3 )
A1,1
«3,2 «3,3
takže podle (5.6) je
| A1,11 = «2,2 • «3,3 — «2,3 • «3,2- (5.10)
Matice A12 vznikne z matice A vypusten ím 1. radku a 2. sloupce. Je tedy
Al,2 = ( a2,1 a2,3 )
\ «3,1 «3,3 /
takže podle (5.6) je
| A1,2| = «2,1 • «3,3 — «2,3 • «3,1- (5.11)
Matice A13 vznikne z matice A vypusten ím 1. radku a 3. sloupce. Je tedy
Al,3 = «2,l «2,2
«3,l «3,2
takže podle (5.6) je
| Ai,3| = a2,i • 03,2 - 02,2 • 03,i. (5.12)
l64
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Dosad íme-li do (5.9) za |A11|, |A12|, |A13| výpocítane hodnotý (5.10), (5.11), (5.12), dostavame
| A| = «1,1 • («2,2 • «3,3 - «2,3 • «3,2) - «1,2 • («2,1 • «3,3 - «2,3 • «3,1) +
+ «1,3 • («2,1 • «3,2 - «2,2 • «3,1)- (5.13)
Odtud dostavame po uprave
| A| = («1,1 • «2,2 • «3,3 + «2,1 • «3,2 • «1,3 + «3,1 • «1,2 • «2,3)- («3,1 • «2,2 • «1,3 + «1,1 • «3,2 • «2,3 + «2,1 • «1,2 • «3,3). (5.14)
Odtud dostavame nasleduj íc í pravidlo—,Sarusovo pravidlo" pro výc íslen í determinantu matice řradu 3.
Pozor!!
I Poznámka. Je nutno si uvědomit, ze Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro deter-I minanty matic 3. řadu. Pro matice vyšších fadU není obdoba Sarusova pravidla.
165
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Sarusovo pravidlo. Podle příkladu 5.4 se vypočítá hodnota determinantu matice A řadu n = 3 vztahem
\A\ = Si - S2, (5.15)
kde
51 = «1,1 ^ «2,2 ^ «3,3 + «2,1 ^ «3,2 ^ «1,3 + «3,1 ^ «1,2 ^ «2,3,
52 = «3,1 ^ «2,2 ^ «1,3 + «1,1 ^ «3,2 ^ «2,3 + «2,1 ^ «1,2 ^ «3,3-
Vidíme, že Sl je souCtem tří Clen U, každý z nich je souCinem tří prvkU matice A. Na nasledujícím obrázku 5.1 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každa trojice prvku, jejichC soudn je clenem v Sl , je propojena carou.
S2 je souctem tčíclenu, kaCdýz nich je soudnem tCí prvku matice A. Na nasleduj ícím obrazku 5.2 jsou prvky matice vyznaCeny krouCky a kazda trojice prvku, jejichC soudn je clenem v S2, je propojena carou.
166
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Obrazek 5.1: Si
Obrazek 5.2: S2
Příklad 5.5. Vypoc ítejte hodnotu determinantu matice
523
a
\
2 4 —2
-3 6 7
/
uzit ím Sarusova pravidla.
Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu
5 —2
3
2 4 —2 367
167
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Podle Sarusova pravidla dostavame
| A| = [5 • 4 • 7 + (—2) • (—2) • (—3) + 2 • 6 • 3] — [3 • 4 • (—3) + (—2) • 6 • 5 + (—2) • 2 • 7]. Úpravou dostavame
|a| = [140 — 12 + 36] — [—36 — 60 — 28],
takze |a| = 288.
Příklad 5.6. Vypoc ítejte hodnotu determinantu matice
a
1 2 —1 3
2 3 4 1
0 1 2 3
1 4 —3 —2
Řešení. Podle (5.4) dostavame
3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4
| a| = 1 • 1 2 3 — 2 • 0 2 3 — 1 • 0 1 3 — 3 • 0 1 2
4 —3 —2 1 —3 —2 1 4 —2 1 4 —3
168
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Hodnotu kazdeho z techto determinantu matic radu 3 urc íme uzit ím Sarusova pravidla. Dostavame
IAI = 1 • 60 — 2 • 20 — 1 • (—20) — 3 • (—20),
takřze | A| = 100.
5.2. Výpočet determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. sloupce
Napred uved'me nekolik vlastností determinantu ctvercovych matic.
Veta 5.1.
Necht i = j jsou indexy řádků čtvercové matice A a necht: B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou vymčnou jejího i— tého řádku s j — tém Čadkem. Potom plat é
|B| = —|A|
169
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Věta 5.2.
Necht A je matice řádu n > 1. Necht její i—ty řádek (sloupec) je stejný jako její j — tý řádek (sloupec), i = j. Potom | a| =0.
Důkaz.Skutečně. Označme b matici, která vznikne z matice a výměnou obou stejných řádků (sloupcU) matice a. Je tedý a =b, takZe | a| = |b|. PonevadZ matice b vznikla z matice a výmenou dvou jejich řadku (sloupcu) je |a| =- |b|. To je mozne jen v případe, ze |a| = |b|.
Příklad 5.7. Necht
/ 5 -2 3 \
a
V
2 4 —2
523
Vidíme, ze v teto matici jsou si první a třetí řadek rovný. Výpoctem se snadno přesvedcíte, ze |a| =0.
Uved'me si tento příklad.Necht
170
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Matice B vnikla z matice A vzájemnou výměnou jej ího prvn ího a druhého řádku. Zřejmě
|A| = —5, |B| = 5.e tedý ve shode s vetou (5.1), Ze |A| = —\vekB|.
V definici 5.1 determinantu matice ma jej í prvn íradek výjimeCne postaven í.Lze dokazat, Ze výpocet determinantu ctvercove matice A lze provest analogickým zpusobem - m isto prvn ího řadku lze pouz ít libovolný radek, jak je uvedeno v nasleduj íc í vete. Dukaz teto vetý nebudeme provadet, v dukaze se výuz íva veta (5.1).
Veta 5.3. (Výpočet determinantu - rozvoj podle řádku.)
Necht A je libovolná matice radu n > 0. Potom pro každé s G {1, ... n}. platí
fc=i
Výpočet pomocí tohoto vzorce nazýváme výpoCtem determinantu matice A rozvojem podle s-teho radku.
DUkaz: Dukaz nebudeme provadet. Dukaz se op Íra o vetu, ze vzajemnou výmenou dvou radku se zmen í znamenko hodnotý determinantu.
n
A
(5.16)
171
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 5.8. Vypočítejte hodnotu determinantu matice
a
(1 2 0 -1 \
0 0 3 0
4 0 1 2
U 1 0 2
Řešení. Ponevadž ve druhem radku ma matice a tri nulove prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme vypočet determinatu dane matice rozvojem podle druheho radku. Podle predchažející vety obdržíme
| a| = -0 • | a2,i| + 0 • | a2,21 + 3 • (-1)2+3
1 2 -1
4 0 2
5 1 2
+ 0 • |a2,4| = - 3 • (-2) = 6.
rp
Vztah mezi determinantem matice a a determinantem matice A .
Zabývejme se nyní vztahem meži hodnotou determinantu matice a a matice k ní
rp
transponovane A . Dríve než uvedeme vetu o vžajemnem vžtahu meži determinantem
172
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
rji rji
matice A a determinantem matice A1, tak si uvědomte, že matice A1 je transponovaná k matici A, jestliže každý i—ty radek matice A je i—tým sloupcem matice A1.
Lehce nahledneme, že plat í vžtah
(5.17)
Doporucuji, aby jste si tento vztah sami dokazali. Abychom demonstrovali pravdivost tohoto vztahu, uved;me nasleduj íc í přr íklad.
Příklad 5.9. Necht;
1 2 3 A = I 4 5 6
7 8 9
1 4 7
258 369
Vid íme, že např.
(AT)2,3 = ( 3 4 ) = (A3,2)T.
Dokařzme nyn í, platnost teto vřety.
173 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 5.4.
Necht A je Čtvercová matice rádu n. Potom
det(A) = det(AT).
(5.18)
Důkaz: Vetu dokazeme uzit ím matematicke indukce. Veta je evidentne spravna pro matice řadu n = 1. Predpokladejme nýn í , ze veta je spravna pro matice radu n a dokazme, zeje pak spravna i pro matice radu n + 1. Nechť tedý A je matice
«1,1
A
«1,2
«i,2
\ «n+1,1 «n+1,2
«1,
1
«i,n+1
«n+1,n+1 /
174
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Oznacme A = AT, takze
/ «11 «12
«k,n+1 «k,n+2
\ «n+1,1 «n+1,2
1
«k,n+1
kde —
i+1,n+1 /
Rozvojem podle i-teho radku matice A dostavame
n+1
Rozvojem podle k-teho radku matice A dostavame
n+1
(5.19)
(5.20)
Vzhledem k tomu, ze = a ponevadz podle (5.17) je (Ajj)T = (ATj = A lze tento vztah přrepsat na tvar
n+1
(5.21)
175
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Ponevadz podle indukcn ího predpokladu je veta spravna pro matice radu n, je |(ai;k )T | = \Ahk ^ takze
n+1
\A\ = 1)k+ifli,k Ak l (5.22)
Provedeme-li vypocet |A| podle (5.19) pro i = 1, 2, ...,n + 1 a tyto obdrzene vysledky seřcteme, dostavame
n+1 n+1
(n + 1)| a| = 1)'+^ ai,k ak |. (5.23)
Podobne, provedeme-li vypocet |a1| podle (5.21) pro k = 1, 2, ..., n+1 a tyto obdrzene vysledky seřcteme, dostavame
n+i n+i
(n + 1)| a| = 1ľ+k ž) a'k Akl (5.24)
Porovnan ím (5.23) a (5.24), dostavame, ze
detA = detAT. ■
Bezprostředn ím dusledkem teto vety je nasleduj íc í veta, ktera ukazuje zpusob vyc íslen í determinantu matice rozvojem podle libovolneho sloupce matice.
176
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 5.5. (VýpoCet determinantu - řozvoj podle sloupce)
Necht A je matice n-tého řádu
í
A
an-1,1 y an,1
a2,j
an-1,j
a
a1,n a2,n
an- 1,n an,n
\
Necht j je libovolný index jejího sloupce. Potom
n
(5.25)
k=1
177
DUkaz: Vžorec (5.25) nažyvame vypoctem determinantu matice A rožvojem podle jejího j-teho sloupce. .
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 5.10. Vypočítejte hodnotu determinantu matice
/ 1 2 3 \
A
\
4 5 6 7 8 9
rozvojem podle druheho sloupce. Řešení. Dostávame
|A| = 2 • (-1)1+2
Po vyčíslení obdrZíme | A|
46 79
= 0.
+ 5 • (-1)2+2
13
79
+ 8 • (-1)3+2
13
46
Veta 5.6.
Necht A je matice řádu n > 1. Necht: všechny prvky v některém jejím řádku (resp. sloupci) jsou rovny 0. Potom |A| =0.
Důkaz: Tvrzení vychází z vypočtu determinantu matice rozvojem podle radku (sloupce), jehoZ všechny prvky jsou rovny 0. .
178
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
5.3. Hodnota determinantu matice B vznikle z matice A elementární transformací.
Ukazme si vztah mezi hodnotou determinantu z matice A a matice B, ktera vznikne z matice A nekterou elemntarn í transformac í .Plat í týto vetý.
Veta 5.7.
Necht A je čtvercova matice n—teho rádu. Potom platí: Necht: B je matice, ktera vznikne z matice A výnasobením jejího i—tího rádku reálným číslem a tj. necht
B = Tl(i,a)A, kdea G R
Potom platá
|B | = a|A| (5.26)
Slový „determinant matice B, která vznikne z matice A výnasobením jejího libo-volnáho radku i číslem a, ma hodnotu a|A| ", tj.
|Tl(i, a)A|| = a|A|.
179
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Důkaz je snadný. Stačí porovnat výpočty obou determinantů matic A, B rozvojem podle i—teho řádku.
Tuto vetu demonstrujme na tomto příklade. V nem matice b vznikne z matice a vynasobením prvního řádku matice a číslem „3".
Příklad 5.11.
a= (3!) =— 2 B=(3t)=—6
Tedy |b| = 3|a| ve shode s nahoře uvedenou vetou (5.7). Veta 5.8.
Necht a, P G R, i = j jsou indexy řádků matice A a necht B je matice, která vznikne z matice A tak, ze její i—ty řádek vynásobená cáslem a se přicte k j — támu řádku vynasobenemu číslem P, tj
B = T 2(i,a; j, P )a
Potom platí
|b | = P |a|
180
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Slovy „Necht B je matice, ktera vznikne z matice A tak, ze její i-ty Cadek vynasobeny císlem a se pCCte j -tímu Cadku vynasobenímu císlem P. Potom platí"
\B \ = P\A\.
Upozornění. i-ty Cadek v matici B je stejní jako v matici A.
Důkaz: provedeme ve dvou krocích, napred dokazeme tuto vetu pro zvlastn í případ
a = P = 1.
1. Nechť Bi = T2(i, 1; j, 1), tj. necht matice B l je matice, jej íz j - tý řadek je souctem i-teho a j -teho radku matice A a ostatn í radký jsou stejne jak ma matice A. Dokazme, ze v tomto případe plat í \B\ = \A\. Rozvojem \Bl\ podle j-teho řradku dostavame
\B i\ = \B 2\ + \A\
kde B 2 je matice, ktera ma j - tý radek stejný jako i-tý radek a ostatn í radký ma stejne jako ma matice A. Je tedý \B2\ = 0. Tedý \Bl\ = —A—.
2. Nechť nýn í a = 0. Potom matici B dostaneme z matice A postupne temito elementarn ími transformacemi takto:
C = T1(i, a) A, D = T1(j, P )C, F = T 2(i, 1; j, B = T1(i, - D).
a
Zrejme \D\ = a.p.\A = \F\. Odtud B = p.\A\.
181
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Príklad 5.12. Nechť
/l-2 3\
A
V
0 1 2
2 -3 1
/
Výpoctem dostaneme |A| = —7. Oznacme
B = T2(1,3;3, 2)A
t.j. matici
/ 1 -2 3 \
B
V
0 1 2
4-6 2
Výpoctem zjistíme, ze |B| = —14, takze skutecne |B| = 2|A|.
Nasledující vetu jsme ji z sice uvedli, ale uvedeme ji jeste jednou, abý vsechný tři vetý týkající se výpoctu deteřminantu z matice vznikle elementařními třansfořmacemi z jine matice býlý uvedený na jednou m íste.
182
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 5.9.
Necht i = j jsou indexy rádku ctvercová matice A a necht B je matice, ktera vznikne z matice A vzájemnou vymšnou i- táho radku s j-tym radkem, tj. necht:
B = T3(i, j) A
Potom platí
| B| = -| A|
Slovy „Necht: B je matice, ktera vznikne z matice A tak vzájemnou vymšnou i-táho šádku Potom ^| = — | A|, tj.
|T3(i,j )| = -|A|.
183
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
5.4. Výpočet hodnoty determinantu z horní schodovité matice.
Veta 5.10. (Determinant horní schodovité matice)
Necht b je horníschodovita matice n-teho radu:
b
Potom
b1,1 b1,2 b1,3 b1,n-1 b1,n \
0 b2,2 b2,3 b2,n-1 b2,n
00 b3,3 b3,n-1 b3,n
0 0 0 bn- 1,n-1 bn- 1,n
00 0 0 bn,n J
| b| = b1,1 • b2,2 . . . " bn,n.
(5.27)
(5.28)
Důkaz: Proved'me výpocet hodnotý determinantu teto matice rozvojem podle jej ího
184 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
prvn ího sloupce. Dostavame
B | = (-1)1+1 • 61,1
62,2 62,3 . . . 62,n-1 0 63,3 ... &3,n-1
62, n
63, n
0 0 . . . 6n-1,n-1 6n-1,n 0 0 ... 0 bn,n
Hodnotu determinantu takto vžnikle matice urc íme opet rožvojem podle prvn ího sloupce. Dostavame
63,3 . . . 63,n-1 63,n
B | = 61,1 • • • 62,2
0 . . . 6n-1,n-1 6n-1,n 0 ... 0 6n,n
T ímto žpusobem pokracujeme, až po n kroc ích obdrž íme hledany vžorec (5.28)
|B | = 61,1 ^ 62,2 ^ . . . ^ 6n,n.
185
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 5.13. Vypoč ítejte hodnotu determinantu matice
a
(5 2 4 5\
0 4 3 4
0 0 8 4
\0 0 0 2
(5.29)
Řešení. Podle vzorce (5.28) dostávame
|a| = 5 • 4 • 8 • 2 = 320.
Poznámka. JestliZe nektery prvek schodovite matice b na hlavn í diagonále je roven 0, potom |b| = 0.
Vápocet hodnoty determinantu jejím převodem na horní schodovitou matici
UkaZme si metodu vypoCtu hodnoty determinantu ze Ctvercove matice radu n převodem na horn í trojuheln íkovou matici uZit ím elementarn ích transformac í. (UvaZme, Ze horn í schodovita matice je horn í trojuheln íkovou matic í.)
Ve vykladu pouZ ívame oZnacen í: a ... promenna pro matici.
186
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Y... promenna, v n íz se sleduje zmena hodnoty determinantu vlivem elementarn í transformace.
D ... Oznacen í hledane hodnoty determinantu
Na zacatku vypoctu je promenne A přiřazena matice, ze ktere mame poc ítat hodnotu determinantu.
Na zacatku vypoctu poloz íme
Algoritmus vypoctu je podobny jako algoritmus, kteryjsme uvedli pro transformaci matice na schodovity tvar. Mus íme m ít vsak na pameti, ze vlivem elementarn í transformace se obecne zmen í hodnota determinantu a to takto
Y :=1,
takřze na zařcatku vypořctu je
D = y ■|A|
1. Jestlize
B = T1(i,a)A, a = 0, potom |A| = —
a
2. Jestliřze
B = T 2(i,a; j,/3 )A, p = 0, potom A
1
B
/
3. Jestliřze
B = T3(i, j)A, potom A = — B
187
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
zacAtek
Bod 1. Budeme výtvaret i-tý radek hledane matice trojuheln íkoveho tvaru.
Bod 2. K c íslu i urc íme nejmensí poradove c íslo sloupce matice a, v jehoz radc ích i, i +
1,... ,m je alespon jeden nenulový prvek. Toto poradove c íslo sloupce oznacme
Sj. Je-li Si > i je hodnota determinantu d rovna nule. Výpocet je ukoncen.V
opacnem pr ípade jdeme k Bod 3. Bod 3. Zvolme p G {i,... , m}, pro nez je aPjSi = 0. (je-li takových p více, zvol íme jedno
z nich).Zvolený p-tý radek matice a nazveme hlavním rádkem. Bod 4. Je-li p = i, výmen íme navzajem p-tý a i-tý radek matice a. Zaroveř zmen íme
hodnotu promenne 7, poloz íme 7 = —7. Tedý
a := T3(i,p)a, 7 := —7
Po teto výmene je i-tý řadek hlavn ím řadkem. Pro tuto transformovanou matici tedý plat í
d = 7 • |a|
Je-li p = i, je jiz i-tý radek hlavn ím řadkem. Výmena radku se tedý neprovad í a neprovad í se zmena hodnotý promenne 7. Bod 5. Provedeme nýn í takove operace, abý po jejich realizaci býlý prvký
ai+1si,...,amSi rovný0 a hodnota promenne7 se zmenila odpov ídaj íac ím zpusobem. Toho dosahneme napřr.podle a) nebo podle b)
188
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) Přo kazde j = i + 1,...,n, přo nez ajs. = 0 přovedeme oba týto ukoný
A := r2(i, — a,j}S. ; j, aMi) A; 7 := — 7 nebo třansfořmac í
b) Přo tý indexý j = i +1,..., m přo nez ajSi = 0, přovedeme tuto třansfořmaci
A := T2(i, —^ ; j, 1)A " Bod 6. Jestlize matice A ne n í jeste ve schodovitem tvařu, polozme i = i + 1 a přejdeme
zpet na Bod 1. Je-li A ji z hořn í třojuheln íkovou matic í, je
D = 7 • ai,i • ... • an,n.
Příklad 5.14. Výpoc ítejte deteřminant matice jej ím převodem na hořn í třojuheln íkovou matici
/ 0 2 1 0 \
2 10 —2 —3 3 2 1 .
0 3 1 0
189 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Řešení. Polozme
A :=
0 2 1 0
2 10 -2
-3 3 2 1
0 3 1 0
Hodnotu determinantu dane matice oznacme D. Polozme 7 := 1, takze D = 7 det(A).
/ 0 2 1 0 / -3 3 2 1
2 1 0 -2 2 1 0 -2
-3 3 2 1 0 2 1 0
v 0 3 1 0 \ 0 3 1 0
7 := 7 ■
{ r2 = 2ri + 3r2
-3 3 2 1 -3 3 2 1
2 1 0 -2 0 9 4 -4
0 2 1 0 0 2 1 0
0 3 1 0 0 3 1 0
7:=7
3
190
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
1
í —3 3 2 1 —3 3 2 1
r 3 = -2r2 + 9r3 0 9 4 —4 0 9 4 —4
r4 = 3r2 — 9r4 0 2 1 0 0 0 1 8
0 3 1 0 0 0 3 —12
1 —1
Y: Y ^ 9 ^ T
{ r4 = —3r3 + r4
—3 3 2 1
0 9 4 —4
0 0 1 8 0 0 3 —12
—3 3 2 094 001
1
—4 8
V 0 0 0 —36 J
T ím jsme dospeli k horn í trojuheln íkove matici A. Hodnota determinantu z teto horn í trojuheln íkove matici je rovna soucinu diagonaln ích prvku, tedy |A| = (—3) ■ 9 ■ 1 ■ (—36). Hodnota promenne y je rovna (—1) ■ 1 ■ (—9) ■ 1 ■ 1. Je tedy
3 V gj 9
d = y ■|A| =4
191
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
5.5. Použití determinantů
Příma metoda řešení systému lineárních rovnic.
V dřívejším výkladu jsme se seznamili s řešením systemu n linearních algebraických rovnic o n neznamých
Ax = b,
jestlize matice soustavý A ma hodnost n. Za tohoto predpokladu ma tento sýstem rovnic podle Frobeniový vetý prave jedno řesení. Na resení tohoto sýstemu jsme si v drívejsím pojednaní ukazali dve metodý - Gaussovu a Jordanovu metodu. Ukazme si nýní jeste dalsí metodu - Crammerovo pravidlo. Touto metodou se resení urcí pomocí determinantu. Pro nalezen í řesen í sýstemu n rovnic o n neznamých je nutno výc íslit n + 1 determinantu z matic n-teho řadu.(Pokuste se odhadnout pocet aritmetických operací, ktere bý býlo nutno provest k resení sýstemu napr. 100 rovnic o 100 neznamých !!!). Vzhledem k velkemu poctu operací potrebných k řesení sýstemu rovnic o vetsím poctu neznamých, se tato metoda pouzíva jen pro resení mensího poctu rovnic anebo tam, kde potrebujeme resení explicitne zapsat, aniz býchom jednotlive determinantý pocítali.
192
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
5.6. Cramerovo pravidlo
Veta 5.11. (Cramerovo pravidlo)
\Necht A je regularní ctvercova matice Cadu n, b je n-rozmCrny sloupcoví vektor a x je hledaní sloupcoví n-rozmerny vektor. OznaCme
Bi, i = 1,...,n,
matici, ktera vznikne z matice A tak, ze její i-ty sloupec nahradíme vektorem pravych stran, vektorem b. Potom systím linearních rovnic
Ax = b
mí prívC jedno CeCení x, pro jehoC sloCky platí
i = 1,..., n.
(5.30)
(5.31)
DUkaz. Dokazme, ze vektor x o slozkach
= \B k \
xk T~rr,
k = 1,..., n,
(5.32)
je resen ím sýstemu (5.30). Necht j je jedno z c ísel 1,..., n. Dosazen ím hodnot xk do
193
>Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
leve strany j-te rovnice vyšetřovaneho systemu obdrZ íme velicinu, kterou oZnac íme L. Dostavame
n n I d I
|B k |
L = E aJ,kXk = E a3,k-
k=l k=l 1 1
RoZvojem determinantu |Bk| podle k-teho sloupce dostavame odtud
nn
L = nnE HkYl (-!)i+k 6i|ai,k |. | a| k=l =l
Proveden ím upravy pak dostavame
nn
L = r^E(-1)Í_J b E ("1)j+k |ai,k |. (5.33)
VyraZ (5.33) roZep íseme na dva sc ítance - pro i = j a pro i = j. Je tedy
1
|a|
L = Ja&ié(-1)j+k|aj,k| +Y, (-I)*-'&'é(-1)'+|a,k|. (5.34)
k=1 i=1,i=j k=1
PonřevadřZ
nn
^(-1)j+k aj,k |aj,k | = |a|, ^ (-1)j+k a-k |ai,k | =0 pro i = j
194
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
dostáváme z (5.33), že L = bj.Je tedy skutečně vektor x o složkách (5.31) řešením systému 5.30).
Příklad 5.15. Užitím Crámerová právidlá reste následující system lineárních rovnic
x1 + 2x2 — x3 = —1 2x1 + 7x2 —x3 = 3 (5.35) 3xi + 6x2 —x3 = 1
Řešení. Oznáčíme-li A mátici soustávy tohoto systemu, b vektor právych strán á x vektor nežnámych, je
1 2 —1 \ / —1 \ xi \
A= 2 7 —1 , b = 3 , x = x2 . (5.36)
3 6 —1 / \ 1 / x3 /
Vypoctem zjistíme, že |A| = 6. Je tedy mátice A regulární á dány system lze resit Crámerovíym právidlem.
Mátici B1 dostáneme ták, že první sloupec mátice A náhrádíme vektorem b. Dostáváme
195 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
tak matici
1 2 1
Bi
v
3 7 —1
1 6 1
a deteřminant |B 1| = —6.
Matici B2 dostaneme tak, ze dřuhý sloupec matice A nahřad íme vektořem b. Dostavame tak matici
111
B 2
V
2 3 —1 311
a deteřminant | B2| = 6.
Matici B3 dostaneme z matice A tak, ze jej í třet í sloupec nahřad íme vektořem b. Dostaneme tak matici
1 2 1
B 3
V
2 7 3
3 6 1
a deteřminant | B3| = 12.
Resen ím sýstemu (5.35) je tedý
| Bi| —6
196
>Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
\B2\ 6 2 6 6' \B3\ 12
X3 = V = ir = 2-
5.7. Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů
V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Rekli jsme, Ze matice B je inverzní k matici A, jestliZe A • B = B • A = E. Ukazali jsme, Ze jestliZe ctvercová matice A je regularní, potom matice B, pro níz platí
A • B = E
je hledanou inverzní maticí. Ukazali jsme si Jordanovu metodu na řesení tohoto systemu rovnic. Nyní si ukazeme metodu, kterou muzeme vypocítat inverzní matici k matici A pomocí determinantu. Při vypoctu je nutno vypocítat determinant z matice A a n2 determinantu matic radu (n — 1. Metoda je zalozena na Cramerove pravidlu.
Nechť tedy matice A je regularní ctvercova matice radu n. Hledejme ctvercovou matici B tak, řze
A • B = E. (5.37)
197
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zvolme i G {1, ..., n}. Uvazujme i-tý sloupec B(:, i) hledane matice B a i-tý sloupec E(:, i) matice E. Tedý
B(:, i) =
&2,i
E(:, i) =
0
0
0
1 0
i-tý řradek
Ze vztahu (5.37) výplýva
A • B(:,i) = E
Tento sýstem rovnic resme uzit ím Cramerova pravidla. Dostavame
C ,-|
j = 1, ..., n,
(5.38)
(5.39)
kde Cj je matice, ktera vznikla z matice A nahrazen ím jej ího j-teho sloupce vektorem E(:, i). Determinant |Cj| výcísl íme rozvojem podle j-teho sloupce. Jediný nenulový
198
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
přvek v tomto sloupci je c íslo 1 v i-tem řadku.Tedý
|Cj| = (—•|Ai,j| . (5.40)
Z (5.39), (5.40) výplýva
:=(—. (5.41)
Z (5.41) přo i = 1,2,...,n, j = 1,2,..., n dostavame matici B. Výpoctem se přesvedc íme, ze
BA = E.
Je tedý matice B skutecne matice inveřzn í k matici A. Dosazený výsledek muzeme shřnout do nasleduj íc í vetý.
Věta 5.12. (Výpočet inverzní maticě)
Necht A je regulární ctveřcová matice řádu n. Potom k matici A existuje příve jedna matice inveřzní, oznacme ji B. Její přvek se vypocítí podle vztahu
bij = (—^ přo i, j = 1, ...n. (5.42)
Poznamka. Vsimnete si pořad í indexu i, j u 6i;j-, Aj;i v (5.42)!
199 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Príklad 5.16. K matici A urcete matici inverzn í .
/ 1 2 4\
a
V
—2 1 2
4 3 5
/
Rešení. Výpoctem dostavame
|ai,i| =
|ai,3| =
|a2,2|
|al,3| =
12
35 —2 1 43 14 45 24 12
|a| = —5 = —1, |ai,2| =
= —10, |a2,i| =
—2 2
45 24 35
= —11, |a2,3| =
12
43
= —18,
= — 2,
— 5,
= 0, |a2,3| =
14 22
10,
L3,3|
12 21
= 5.
200 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tedy podle vety 5.12 dostáváme
b
V
|ai,i| — |a2,i| |as,i|
|a| |a| |a|
— |al,2| |a2,2| — |as,2|
|a| |a| |a|
|ai,s| — |a2,s| |as,s|
IaI IaI |a|
Dosážením vypocítánych hodnot žá jednotlive determinánty dostáváme
/ 1/5 —2/5 0 \
a—1 = b =
V
—18/5 11/5 2 2 -1 -1
Zkousku správnost vypoctu provedeme vypoctem a • b, b • a. Zjistíme, že obá tyto souciny jsou rovny mátici e.
201
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Kapitola 6
Vžtah meži volnými a aritmetickými vektory
6.1. Zavedení volných vektorů
Zopakujme si zaveden í volných vektoru z vaseho dřívejs ího studia. Definice 6.1. (Volne vektorý)
Množinu všech nenulových orientovaných useček, která mají stejny směr a stejnou velikost, nazveme nenulovým volným vektorem a množinu všech nulových orientovaných áseček nulovým volným vektorem.
202
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Každá orientovaná úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volne vektory budeme označovat písmenem se šipkou nahoře, např. ~ct. Nulový volná vektor budeme označovat symbolem 0 . Dálku každá orientovaná úsečky, ktera reprezentuje volná vektor ~ct, budeme nazývat velikostí volného vektoru ~čt a budeme ji značit \~čt \.
Definice 6.2. (Vektorový prostor volných vektorU)
Nečht U je množina volnáčh vektoru. Na táto množine zavedeme dvě operače -sečítání dvou volnáčh vektoru, budeme ji značit „+" a násobení volnáčh vektoru realnámi čísly, budeme je značit „ • "a to takto.
Sečítání volných vektorů. Nečht ~čt je volná vektor reprezentovaná orientovanou ásečkou ÄB a volná vektor b^je reprezentovaná orientovanou ásečkou B((. Potom definujeme jejičh součet ~ct + b jako volná vektor ~d~, která je reprezentovaná orientovanou úsečkou Bk(. (viz. obr.6.1)
Násobení volného vektorů reálným číslem. Nečht a je libovolne realne číslo a nečht ~čt je libovolná volná vektor. Potom definujeme b = a • ~čt takto. Velikost \ b \ = \a\ • \~ct\. Smer vektoru ~ct, b je stejná; je-li a > 0, potom smysel orientače vektoru ~čt, b je stejná, je-li a < 0, potom smysl orientače vektoru ~cl , b je opaěčnáy.
203
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+ "a „• "nazveme vektorovým prostorem volných vektorů. Budeme jej znacit V. Prostor volných vektorů v rovine budeme znacit teZ V2 a prostor volných vektorů v třírozměrném prostoru budeme znacit teZ V3._
Na obr. 6.1 je znazorneno secítaní dvou volnych vektoru ~čt, 1) . Vektor ~čt je reprezentovany orientovanou useckou — Q a volny vektor ) je reprezentovany orientovanou useřckou Jejich souctem je volny vektor ~d~ = ~čt + ) reprezentovany orientovanou useřckou
R_ S
^/Q c p
Obrazek 6.1: Secítan í volnych vektoru
Na obr. 6.2 je znazorneno nasoben í volneho vektoru ~čl realnym c íslem. Volny vektor ~čl je reprezentovan orientovanou useckou — Q. Volny vektor d =2 • ~čt je reprezentovan
B
204
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
orientovanou úsečkou a volný vektor lt = —2 • ~čt je reprezentován orientovanou úsečkou ČÍ.
D C
A-'-"B
Obrazek 6.2: Násobení volneho vektoru číslem
Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovine. V predčhazej íč í definiči jsme uvaZovali volne vektory nezavisle na souradnem sýstemu, býlý uvaZovaný v tzv. invariantn ím tvaru.
Pojednejme nyní o prostoru U2 volných vektoru v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný system. Označme x1,x2 souradne osý kartezskeho souradneho sýstemu v rovine.
Označme U2 mnozinu vsečh volnýčh vektoru v teto rovine s uvedenými operačemi seč ítan í volnýčh vektoru v rovine a nasoben í volnýčh vektoru v rovine realnými č íslý.
Uvazujme dve orientovane usečký —Q, — Ů (viz. obr. 6.3), kde
P = P[pi,P2], Q = Q[qi,q2], R = R[r\,r2[, U = U[ui,uq\.
205
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor a G U2, když a jenom když
qi - pi = ui - ri A q2 - P2 = u2 - r*. (6.1)
K volnemu vektoru a G U2,reprezentovanemu orientovanou úsečkou PQ, kde
P = P\PhP2], Q = Q[q1,q2]
přiřadíme aritmetický vektor a = (a1 ,a2), kde a1 = q1 -p1? a2 = q2 -p2. Toto pravidlo přiřazení označme P. Vektor a nezavisí na volbe orientovane usečky, ktera reprezentuje vektor ~ät.
206
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Lehce lze nahlednout, ze jestlize volnemu vektoru a G U2 je pravidlem P prirazen vektor a = (ai,a2) G V2 a volnemu vektoru b G U2 je pravidlem P priřazen vektor b = (bi, b2) G V2 a a je libovolne realne c íslo, potom plat í
~ča + b = É <<4> a + b = c, (Él = É <^ aa = d,
(6.2)
kde volnemu vektoru É je pravidlem P přirazen aritmetický vektor c a vektoru É je pravidlem P přirazen aritmetický vektor d. Toto prirazen í P je jednojednoznacne.
x2 + 2/2
v2
X2
O
Y ■V:
/ ^^^^^^ i i i i i i i i
V- X
vi
Z
ax2
X2
xi xi + Vi
U
X
/
Obrazek 6.4: Zobrazen í zachovava sec ítan í
Obrazek 6.5: Zobrazen í zachovava nasoben í
Vzhledem k uvedenym vlastnostem není tedy nutno delat striktní rozdíl mezi vek-torovym prostorem V2 a vektorovym prostorem U2.
207
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Vektor a = (al5a2) si můžeme představit jako množinu vsech takových orientovaných úseček l-^, P = [p1, p2], Q = [q1, q2], v kartézském souřadném sýstemu v rovine, že
#1 - P1 = a1 A q2 - P2 = a2.
Budeme psát a = Q - P. (Jde o vžtah meži souřadnicemi bodů P, Q a složkami vektoru a.)
Volne vektory v kařtezskem souřadném systému v třírozměrném přostořu.
Uvažujme nýní prostor volných vektoru U3 ve třírožměrnem prostoru, v němž je zaveden kartézský souřadný sýstém. UvaZujme dve orientovane usecky -Q, -R, kde
P = P[p1 ,p2,p3L Q = ^b^^L U = U[U1,U2,U3], R = R[f1,f2,f3].
KaZda z techto dvou orientovaných usecek repreZentuje tentyZ volny vektor ~ät G U3, kdyřZ a jenom kdyřZ
#1 - P1 = n - U1 A q2 - P2 = r2 - u A «3 - p = r3 - U3. (6.3)
Vztah mezi prostorem V3 a prostorem volných vektořU v třířozmeřnem přostořu. K volnemu vektoru lt G U3,repreZentovanemu orientovanou useckou -Q, kde
P = Pbb^^L Q = Q[q1,q2,q3]
208
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
prirad íme aritmetický vektor a = (a15a2,a3), kde a1 = q1 - p1, a2 = q2 - p2, a3 = q3 - P3.
Podobne jako ve dvojdimenzonálním prostoru lze ukázat, ze vektor a = (a1? a2, a3)
si mUzeme představit jako množinu vsech takových orientovaných úseček PQ, kde P = [p1,p2,p3], Q = [q1,q2,q3] v kartézském souřadném sýstemu v prostoru, že
| Nen í proto nutno striktne rozlisovat mezi prostorem U3 a V3.
6.2. Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru
Na gýmnaziu se zavad í pojem skalarn ího součinu dvou volných vektoru. Toto zaveden í se motivuje potrebami fýziký. Skalarn í součin jste výuz ívali nejen ve fýzice, ale i v analýticke geometrii a to jak v ulohach s prímkami, tak i v ulohach s rovinami. Pojem skalarn ího součinu dvou volných vektoru a výpočet uhlu dvou nenulových volných vektoru nas bude motivovat k zaveden í skalarn ího součinu a uhlu dvou vektoru v aritmetických vektorových prostorech. S temito pojmý se pak muzete setkat pri resen í ruzných aplikačn ích uloh. Začneme tedý s volnými vektorý.
q1 - p1 = a1 A q2 - p2 = a2 A q3 - p3 = a3.
209
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 6.3.
Úhlem volných vektorů ~čt, b rozumíme Uhel
V £ (0,7r),
o který je nutno otoZit orientovanou useZku reprezentující ~čt, kolem bodu A v rovine urzení bodý (A, B, C) do smeru orientovane íseZký ~——C, reprezentující b , kde A je libovolný bod (viz obr 6.6).
b a
Obrázek 6.6: Uhel dvou vektorů
Skalární souCin dvou volných vektorů. Nechť ~čt, ~b) jsou dva volne nenulove vektory. Potom jejich skalarn ím soudnem rozum íme císlo (skalar), oznacme je (~čt, b ), definovane vztahem
• cos(v), (6.4)
(~čt, b ) = \~čt\
210
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
kde Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Ponřevadřz
OA
= |~ 0, při čemz p(x, y) = 0 o x = y,
2. p(x, y) = p(y, x)
215
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
3. p(x, y) < p(y, z) + p(z, x). (trojuheln íkova nerovnost) Potom p(x, y) se nazýva vzdalenost í prvku x, y G M.
Poznamka. Mnozina M muze být jakakoliv; např.mnozina vsech spojitých funkc í na danem intervalu.
Necht n je pCirození císlo, Rn je mnozina uspoCídanych n-tic realnych císel. Necht ke kazdym dvcma prvkum X = [xL,... xn], Y = [yL,..., yn] G Rn je pCicazeno císlo p(X, Y) vztahem p(X, Y) ^ y/(y1 - xL)2 + ■ ■ ■ + (yn - xn)2, potom p(X, Y) definuje vzdalenost na Rn.
Nechť n je přirozene c íslo. Oznacme En mnozinu uspořadaných n-tic realných c ísel z Rn, jej íz kazdý prvek ma dvoj í význam.
Význam bodu. V tomto prípade usporadanou n-tici realných c ísel dame do hranatých zavorek a pr ípadne oznac íme sýmbolem, vetsinou velkým p ísmenem, napr. A =
... ,«n]. C ísla = 1, ..., n, se nazývaj í souřadnicemi bodu A. Význam aritmetickeho vektoru z prostoru Vn, takze usporadana n-tice realných c ísel predstavuje aritmetický vektor. V tomto případe ji davame do kulatých zavorek a pr ípadne oznac íme sýmbolem, vetsinou malým tucne napsaným p ísmenem, napr. a = ..., «n). C ísla = 1, ...,n, nazývame slozkami vektoru a. Vztah mezi bodý z En a vektorý z Vn je definovan nasleduj íc ím zpusobem. Nechť P = [pL,... ,pn] je libovolný bod v En, s = (sl, ..., sn) je libovolný vektor z
216
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
aritmetickeho vektoroveho prostoru Vn. Oznacme X = [xi,...,xn] G En, pro nejz plat í
%i = Vi + si, kde i = 1,...,n. (6.16) Tento vztah budeme zapisovat teřz jako
X = P + s. (6.17)
Z rovnice (6.17) lze výpoc íst jednoznacne kterýkoliv clen pomoc í zbývaj íc ich dvou clenu. Napr.
s = X — P. (6.18)
Tento vztah zap íseme tez takto
s = X — P = ~pl
Budeme říkat, ze usporadana dvojice bodu P, X tvorí um ísten í vektoru s. Bod P nazývame pořcateřcn ím a bod X nazývame koncovým bodem um ístřen í vektoru s. Vsimnete si, ze pro n = 2 a pro n = 3 urcuje usporadana dvojice bodu P, X orientovanou useřcku, ktera reprezentuje volný vektor, k nřemuřz jsme přriřradili aritmetický vektor s.
Skalarn í soucin dvou vektoru definujeme takto:
Nechť a = (ai, a2, ... an), b = (bi, b2, ... bn), jsou dva vektorý z Vn, potom jejich skalarn ím soucinem rozum íme c íslo aibi + • • • + anbn a znac íme jej (a, b).
217
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Je tedý
(a, b) = aibi +-----h anbn.
Vsimnete si, ze přo n = 2 a přo n = 3 dostavame dříve definovaný skalařn í soucin. Vzdalenost dvou bodu A[ ],B[bi, b2, +-----+ bn] se definuje vztahem
p(A, B) = ^(bi — ai)2 + ••• + (bn — an)2
Vektoř a(ai, a2, ... an) lze řepřezentovat uspořadanou dvojici bodu č)A, kde pocatecn í bod je O = [0,..., )0] a koncový bod je bod A = [ai,... ,an], je-jichz vzdalenost je \Ja2 + • • • + . Přoto velikost vektořu a budeme definovat jako _
|a| = \j a\ +----+ an.
Uhlem dvou nenulových vektořu a = (ai, a2, ... an), b = (bi, b2, ... bn), řozum íme uhel (/?, přo nejz plat í
(a, b) cosc^ = -—— || a|| b||
Tento přostoř En nazveme n—řozmeřným euklidovským přostořem.
Poznamka. Přostořý Ei, E2, E3, jste přob ířali na gýmnazi ich a dovedte si je představit. Smyslová představa prostorů En pro n > 3 končí a musímě týto prostory uvaZovat jěn vě smýslu definic.
218
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Príklad 6.1. Necht A = [1, —2,3,0], B = [7,1, 2,3]. Potom
s = —B = [7,1, 2, 3] — [1, —2,3,0] = (6,3, — 1,3).
Definice 6.1.
Nechť P G En a nechť xs,..., ds jsou linearne nezavisle vektory z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En
X = P + k 1s + ... +d t ds, (6.19)
kde kt,... ,dt jsou parametry (libovolna c ísla), se nazyva podprostorem dimenze d vnorenym do prostoru En (pro d < n).
Prímka
| Linearnípodprostor dimenze 1 vnořený do prostoru En nazývame pr ímkou. Přímku, urcenou bodem P a vektorem s lze tedy zapsat ve tvaru
X = P + ts, kde t G (—to, to) je parametr, (6.20)
X je obecny bod prímky. Vektor s nazyvame smerovym vektorem prímky.
Príklad 6.2. Napisme v E3 rovnici přímky danou bodem A = [2, — 1, 3] a smerovym vektorem s = (2, —3, 0).
219
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Řešení. Podle (6.20) dostáváme
[Z1,Z2,Z3 ] =
tákže obecným bodem přímky je bod
x1 = 2 + 2t, x2 = -1-
[2,— 1,3} + t(2, —3,0), o souřadnicích
-3t, x3 = 3, kde t G (—oo, oo).
Příklad 6.3. Napišme v E4 rovnici prímký danou bodý A = [2, —1,3,2},
B = [1,0, —5, 2}.
Řešení. Za smerový vektor hledane prímký lze zvolit vektor s = B — A. Je tedý s = B — A. Výpoctem pak dostavame
(si,S2,S3,sA) = [1,0, —5, 2} — [2, —1,3, 2},
takZe
s = (—1,1, —8,0).
Podle (6.20) je tedý
X = A + ts,
takZe dosazením dostavame
[x\,x2, x3, x4} = [2, —1,3, 2} + t(—1,1, —8,0), kde t G (—o, o).
220
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Přímka, určená body A, B, má tedy rovnici
X = A + t(B - A), t G (-to, to)
(6.21)
Úsečkou AB rozumíme body přímky (6.21), pro něž platí
X = A + t(B - A), t G (0,1).
(6.22)
Všimněte si, že parametru t = 0 odpovídá bod A a parametru t = 1 odpovídá bod B. Rovina
| Lineárnípodprostor dimenze 2, vnořený do prostoru En, n > 2, nazýváme rovinou.
Rovinu, určenou bodem P a nežavislými vektory r, s lže tedy žapsat podle (6.19) ve tvaru
X = P + u r + v s, kde u G (—to, to), v G (—to, to) jsou parametry. (6.23) (Zde X je obecný bod přímky.)
Příklad 6.4. Napište rovnici roviny v E4, ktera prochaží body P = [1,0,2, —5], Q = [4, 2, —7,0], R = [0,4, 2,6].
Resení. Položme
r =
s =
221
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Dostavame
r = (3, 2, -9, 5), s = (-1,4,0,11). Dosazen ím do (6.23) dostavame hledanou rovnici roviný
[xi,X2,X3,X4] = [1,0, 2, -5] + u (3, 2, -9, 5) + v (-1,4,0,11),
kde u, v G (-to, to). Nadrovina v prostorů En
I Podprostor dimenze n - 1, vnoceny do prostoru En, n > 3, nazyvíme nadrovinou. I Necht P G En a necht 1s,..., (n-1)s jsou linearne nezavislí vektory z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En, urcenych vztahem
X =l t1s + ... +(n-1) t (n"1)s, (6.24)
kde Lt,...,(n-1)t jsou parametry, je nadrovinou v prostoru En. Lze dokazat, Ce kaCdou nadrovinu v prostoru En danou vztahem (6.24) lze vyjadcit ve tvaru
«1 Xi + ... + «n Xn = b, (6.25)
kde «l ... , «n , b jsou reílna císla. Vektor n = ... «n) je kolmy na vektory 1s,..., (n-1)s.
222
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Necht
ai xi + ... + an xn = b, (6.26)
je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina uržuje v prostoru En dva poloprostory,
uržene nerovnicemi
ai xi + ... + an xn > b, ai xi + . . + an xn ,p,x,^} je dano tabulkou :
233 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
x i 2 3 4
y 0 X
Tedy F(1) = 0, F(2) = p, F(3) = x, F(4) = ip. Toto zobrazen í je prosté zobrazen í množiny A na mnozinu B. Existuje proto k nemu inverzn í zobrazen í, označme je F-1. V tomto zobrazen í platí F-1(0) = 1, F-1 (p) = 2, F-1(x) = 3, F= 4. Toto inverzn í zobrazen í lze popsat tabulkou.
y 0 X
x i 2 3 4
V tomto inverzn ím zobrazen í je mnozina B neodvislym oborem a mnozina A je odvislým oborem.
Všimnete si, ze v tabulce popisuj íc í toto inverzn í zobrazen í , je neodvisle promenna označena y (zastupuje kterýkoliv prvek z B) a zavisle promenna je označena x (zastupuje kterýkoliv prvek mnoziny A). Ponevadz jsme zvykl í označovat symbolem x neodvisle promennou a y odvisle promennou, muzeme pro inverzn í zobrazen í zavest
□ symbol x pro neodvisle promennou (symbol x muze zastupovat kterykoliv prvek neodvisleho oboru, to jest mnoziny B)
□ symbol y pro odvisle promennou (symbol y muze zastupovat kterykoliv prvek odvisleho oboru, to jest mnoziny A)
234 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tabulka pro toto inverzní zobrazení má pak tvar
4> p X
y 1 2 3 4
Složené zobrazení. Necht p je zobrazení množiny A do množiny B. Necht: funkce f zobrazuje množinu H do množiny C. Potom zobrazení, oznaCujeme je F, kterým ke každému x G A je přiřazen prvek z = f (p(x)) G C, nazýváme složeným zobrazením. Zobrazení p nazývame jeho vnitřní složkou a zobrazení f nazývame jeho vnějšísložkou. Píšeme y = F (x). Je tedy F (x) = f (p(x)). Viz obr. 7.3.
Obrazek 7.3: SloZene zobrazen í
Príklad 7.7. Necht A = {a, b, c}, B = {a, (3, 7}, C = (1, 2, 3}. Nechť zobrazen í p mnoziny A do mnoziny B je dano tabulkou
235
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
x a b c
u = (/?(x) a P a
žobražení f množiny H do množiny C je dano tabulkou
u a P
y = f (u) 1 2
Zrejme H = {a, P}.
Potom složene žobražen í F = f (v?(x)) žobražuje A do C takto :
F (a) = f (p(a)) = f (a) = 1, (7.1) F (b) = f (p(b)) = f (P) = 2, (7.2) F (c) = f (p(c)) = f (a) = 1. (7.3)
Toto složene žobražen í F mužeme popsat nasleduj íc í tabulkou:
x a b c
y 1 2 1
Požnamenejme, že (/? je vnitřn í složkou a f je vnejs í složkou žobražen í F.
236 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
7.3. Pojem funkce a nektere její vlastnosti
Uved'me si nýn í nektere specialn í pojmý zobrazen í .V pr ípade, ze v definici 7.1 zobrazen í F je B mnozina c ísel, budeme vetsinou m ísto pojmu zobrazen í pouz ívat pojem funkce. Pojmý svazane s pojmem zobrazen í se prenas í na pojem funkce. Napr. m isto obor hodnot zobrazen í se pouz íva obor hodnot funkce, nebo m ísto pojmu proste zobrazen í se pouz íva pojem prosta funkce, m ísto inverzn í zobrazen í se pouz íva inverzn í funkce, m ísto slozene zobrazen í se pouz íva pojem slozena funkce atd.
Příklad 7.8. Jako pr íklad si uved'me funkci, ktera výjadruje výsledký voleb do posla-necke snemovný. Nechť ctýri politicka seskupen í, oznacme je a, b, c, d, z ískala kresla v poslanecke snemovne, a to postupne v poctech 70, 50, 60, 20. Potom prirazen í, oznacme je f, kterým ke kazdemu z politických seskupen í a, b, c, d přirad íme pocet křesel, ktera ve volbach z ískalo, je realnou funkc í. Je tedý f (a) = 70, f (b) = 50, f (c) = 60, f (d) = 20. Oznac íme-li A = {a, b, c, d },B = {20, 50,60, 70}, potom A je neod-vislý obor funkce f a B je odvislý obor funkce f. Funkce f zobrazuje A na B. Funkce je prosta.
I Jestliže v definici zobrazení F jsou množiny A, B množiny reálných čísel, mluvíme I o reálne funkci reálne promenne.
237
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad. Příkladem reílne funkce realne promenne je zobrazení mnoZiný A =< 1/2, oc) do mnoZiný B =< 0, oo) definovane vztahem
y = \/2x - 1, x G A, y G B.
Jestliže v definici zobrazen f je množina A množinou uspořádaných skupin n-reálných číslech (tedý A C Rn) a B je množina reálných čísel, potom zobrazení F množiny A do B nazývame reálnou funkcí n-promenných. Jestliže X = (x\,..., xn) je neodvisle proměnna s oborem hodnot A a odvisle proměnnou y, potom tuto funkci mUzeme zapsat jako,
y = F (X), resp y = F (xh...,xn).
Jestliže funkce je zadana předpisem bez udání definicního oboru, budeme jejím definičním oborem rozumět množinou všech hodnot neodvisle proměnnách, pro něž má daná pžedpis význam.
Příkladem realne funkce jedne promenne je funkce y = x2 + 1, kde neodvisle promenna
x G ( — oo, o).
Jako príklad reílne funkce dvou promenných xi,x2 uved'me funkci
z =
238
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ponevadž žde nen í uveden jej í definicn í obor, rožum íme jim (podle dohody) množinu vsech bodu [x^x2], pro než ma vyraž \J 1 — x2 — x\. smysl. Je to množina Df =
{[xi,x2] : x2 + x2 < 1}.
Graf funkce. V matematice rozumíme grafem funkce y = f (x1,x2,... ,xn)., s definičním oborem D f, množinu vsech bodů [x1, x2,..., xn, f (x1, x2,..., xn)], kde [x1, x2,..., xn] G Df. Jako graf je tez označovana grafička reprezentace teto mnoziny.
Grafická reprezentace grafu funkce.
Grafickou reprežentaci grafu funkce y = f (x) jedne promenne x mužeme provest takto. V rovine žvol íme pravouhly souřadny system Oxy, kde O je pocatkem a x, y jsou souradne osy (ožnacen í nen í žavažne). Jsou to dve navžajem kolme c íselne osy se spolecnym bodem O, ktery nažyvame pocatkem. Osu x budeme volit v horižontaln í polože a osu y ve vertikaln í polože. (Dohoda.) Kladnou orientaci osy x budeme volit žle-va doprava, kladnou orientaci osy y budeme volit ždola nahoru. Merítka na souřadnych osach mohou byt obecne odlisna. Jsou-li stejna, mluvíme o kartezskem souradnem systemu. Každemu bodu v rovine odpov ída usporadana dvojice realnych c ísel a naopak, každe usporadane dvojici realnych c ísel odpov ída bod v rovine. Prvn ímu ž teto dvojice císel ríkame x-ova souřadnice a druhemu ríkame y-ova souradnice. Na (obr.7.4) je žnažornen bod [xo,yo].
239
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y
y0
P [xo ,yo]
. . . 4
O xo x
Obrazek 7.4: Souradniče bodu
Ve zvolenem souřadnem sýstemu výkresl íme jednotlive bodý grafu. Mus íme m ít na pameti, ze pri výkreslovan í jednotlivýčh bodu jsme omezeni tečhničkými moznostmi.
Na nasleduj íčím obr.7.5 je znazornen graf funkče y = x2 definovane na intervalu
(—2, 2).
240
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y
Obrazek 7.5: Graf paraboly y = x2
Definicn í obor funkce z = y 1 - x2 - y2 je kruh se stredem v bode [0, 0] o polomeru r = 1, znazorneny na obr.7.6.
241
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y -
C O ^ x
Obrazek 7.6: DefiniCn í obor funkCe z = y 1 — x2 — y2
O moznosteCh grafiCke reprezentaCe funkC í dvou a v íCe promennyCh pojedname pozdeji.
Posloupnost reálnych Císel. Reálnou funkci f, jejíž neodvislý obor je množina přirozených Císel, nazýváme posloupností Je tedy posloupnost pravidlo, jimž je ke každímu pžirozenímu Číslu n pžižazen prvek z nžjekí množiny B. Je-li B množina reálných císel, mluvíme o posloupnosti realných Císel.
Posloupnost realnyCh C ísel je tedy pravidlo, oznaCmeje f, kterym ke kazdemu prirozenemu C íslu n je priřazeno C íslo f (n), n = 1, 2, .... M ísto f (n) je u posloupnost í zvykem psat fn. C íslo fn nazývame n-tym Clenem posloupnosti. Tuto posloupnost byva zvykem za-
242
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
pisovat tez sýmbolem {/n}^Li, nebo stručneji {f^T, resp.
/l, f2, . . .
(7.4)
Príklad 7.9. Jako příklad si uved'me posloupnost {1/n}T. Tedý napr. patý člen teto posloupnosti (pro n = 5) je roven 1/5. Na nasleduj íč ím obrazku obr.7.7 je znazorneno prvn íčh pet členu posloupnosti {1/n}^0.
1 2 3 4 5 x Obrazek 7.7: Posloupnost {1/n}^°
Casto se znazorřuj í pouze hodnotý f\, f2, f3, ... na č íselne ose, ktera se kresl í ve vodorovne poloze. Napr. na obr.7.8 je znazorneno nekolik členu posloupnosti {fn}^0.
243
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
-•—•—•-
f1 f2 f3
Obrazek 7.8: Posloupnost {1/n}
oo
Kontrolní otázky
1. Co je to zobrazen í F mnoziny A do mnoziny B? Co je to definiCn í obor zobrazen í, co je to obor zobrazen í?
2. Vysvetlete, co je to proste zobrazen í A na B.
3. Co je to inverzn í zobrazen í?
4. Co je to funkce jedne promenne? Co je to funkce v íce promennych? 7.4. Reálná funkce reálné proměnné
Pojednejme nyn í soustavne o realne funkci jedne realne promenne. Zopakujme si jeste jednou zaveden í tohoto pojmu.
Předpokladejme, ze A, B jsou neprazdne mnoziny realnych c ísel. Potom predpis f, jimz ke kazdemu prvku x G A je přirazen prave jeden prvek y G B, nazyvame realnou
244
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
funkcí realne promenne. Pokud nemuZe dojít k omýlu, budeme v dalsím zkracene mluvit jen o funkci. Tuto funkci f budeme vetsinou zapisovat takto
y = f (x),
x A.
(75)
MnoZinu A nazývame neodvislým oborem, promennou x s oborem hodnot A nazývame neodvisle promennou. MnoZinu B nazývame odvislým oborem. Je nutno si uvedomit, Ze v B mohou existovat císla, ktera nejsou prirazena zadnemu císlu x G A. MnoZinu vsech tech ďsel y G B, ktera jsou přirazena ke vsem císlum x G A, nazývame oborem funkce f. Neodvislý obor funkce f nazývíme teZ definicním oborem, budeme jej znacit D(f), resp. D f. Obor funkce budeme znacit H (f), resp. Hf. Zřejme Hf C B. Bude-li funkce f zadana predpisem bez udaní definicního oboru, rozumí se jím mnoZina vsech tech císel, pro neZ ma predpis priřazen í význam. Jestliže M C D f, potom množinu {f (x) : x G M} lže ožnaCit jako f (M).
I V matematice oznažujeme vžtžinou neodvisle promžnnou x a odvisle promžnnou y. I Toto oznacenáje nepodstatně, takže funkci (7.5)lze zapsat těž napž. jako
Zde neodvisle proměnná je označena t a odvisle proměnná je označena u. (Je nepodstatné označení neodvisle proměnné a odvisle proměnné; podstatném je pouze obor jejičh hodnot a předpis přiřazení f.)
u = f (t),
t e A.
(7.6)
245
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Uved'me si nekolik příkladu. Příklad 7.10. Polozme
y = 2x + 1, x G (1,4). (7.7)
Ke kazdemu č íslu x G (1,4) se přiřazuje vztahem (7.7) prave jedno č íslo, totiz č íslo 2x + 1. Je tedy 2x + 1 funkče definovana na intervalu (1,4). Pro pohodlnejs í zapis si napr íklad označme tuto funkči jako g(x), takze
g(x) = 2x + 1.
Napr. k č íslu 3 je touto funkč í prirazeno č íslo 2 • 3 + 1, to jest č íslo 7. M ísto rčen í „k č íslu 3 je priřazeno č íslo 7" muzeme tez r íči, ze funkče g nabyva v bode (č ísle) 3 hodnotu 7. P íseme pak g(3) = 7. Podobne #(1,5) = 2 • 1,5 + 1, to jest g(1,5) = 4. Lehče nahledneme, ze oborem funkče g je interval (3,9). P íseme tez g((1,4)) = (3,9)
Příklad 7.11. Polozme
y = V2x + 1. (7.8)
Předpisem (7.8) je definovana funkče. Ponevadz nen í uveden jej í definičn í obor, rozum í sej ím mnozina vsečh tečh č ísel x, pro nez ma predpis V2x + 1 vyznam. Tedy D(f) =
{x G R : 2x + 1 > 0}. Tedy
246
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Př íklad 7.12. Oznacme h funkci
h(x) = \Jx2 - 1
s definicn ím oborem A = (-3, -1) U (1,3). Tuto funkci lze zapsat tez takto
h : (-3,-1) U (1,3) — R,
x —>• \/x2 - 1.
Poznámky ke grafické reprezentaci funkci jedné proměnné
Grafickou reprežentací grafu funkce f : A —>• B, A c R, B c R v pravoéhlém souradnem sýstemu 0xy rožumíme množinu vsech bodu [x, f (x)], x G A.
Graficka reprezentace grafu vetsiny funkc í , ktere se vyskytuj í v ekonomickych aplikac ích, odpov ída intuitivn ímu chapan í krivky v rovine. Jako príklad si uved'me graf funkce
y = x2, x G (-2, 2)
uvedeny na obr. 7.9
247
• Titulnístrana •Predchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
\ y' 1
\ 4- -
\ 3- - I
2 - I y = x2
1 V /
1 -2 -1 0 1 1 1 2 x
Obrazek 7.9: Graf funkce y = x2.
Grafý nekterých funkc í si nedovedeme výkreslit. Príkladem je funkce
f : R {- 1,1}
1, je-li x racionaln í, —1, je-li x iracionaln í.
x
Vytvoření si představy o grafu funkce jedné proměnné.
248
K výtvořen í si hrube predstavý o grafu výsetrovane funkce f : A —>• B si v mnozine
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
A muzeme zvolit body Xo < X\ < x2 < • • • < xn a v nich vypoc ítat funkcn í hodnoty f(xo),f(xi),f(x2),...,f(Xn). Jestlize pro nejake i je {xt,xl+í) c A, spoj íme body [xi,f (xí)], [xí+i,f (xí+i)] useckou. Pro „slusne" funkce, nejsou-li vzdalebosti bodu Xi,Xi+i velke, nam tyto usecky daj í dobrou predstavu o grafu funkce. T ímto zpusobem se provad í i vykreslovan í grafu funkc í uzit ím poc ítace pro jemne delen í intervalu, v nemz graf vysetřujeme. Na obr. 7.10 je schematicky nacrtek grafu funkce y = TG(x), definovane na intervalu < 0,n > takto
{
TG,(x) = ^ *X' X = f f) U (f ,7r)' (7.9) o, pro x — 2.
Poznámka. Zřejme pro x G< 0,n >,x = n/2 je TG(x) = tg(x), v bode x = n/2 nen í funkce tg(x) definovana, avsak funkce TG(x) je v bode 0 definovana a platí TG(0) = 0. Graf funkce y = T G (x) je vykreslen na obr.7.10.
249
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obrazek 7.10: Graf funkče definovane vztahem (7.9).
Na obr. 7.11 je grafičký „znazornena" funkče (7.9) propojen ím bodu [xk ,TG(xk)], kde xk = k ■ 0,2, k = 0, ■■■ , 16. Porovnan ím obr. 7.11 s obr. 7.10 vid íme, ze doslo ke značnemu zkreslen í. Dana funkče
250 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
nen í „slusna". Je v bode | nespojita. Pojem nespojitosti funkce si vysvetl íme poždeji, žat ím požnamenejme alespoň to, že hodnoty teto funkce se v bodech „ velice bl ížkych k c íslu 2" navžajem žnacne lis í.
1 -'--'---- 1 2
0 1 .--'---- 7T x
Obražek 7.11: Pokus o vykreslen í funkce y = tg(x)
I Obdržený výsledek ukazuje, ze výse uvedeny postup „žnažornen í funkce" nen í | postacuj íc í, je nutno jej kombinovat s vysetřením nekterych vlastnost í funkce.
V ekonomickych rožvahach se bež pojmu funkce neobejdeme. Ožnacovan í funkce a
251 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
neodvisle a odvisle promennyCh se vetsinou zavad í s ohledem na jejiCh vyznam a zvyklosti. Jako príklad funkCe, ktera se v ekonomiCkyCh aplikaC ÍCh vysetřuje, je funkCe C (x), ktera vyjadřruje vztah mezi vyrobou x jednotek produkCe a Celkovymi naklady na jejiCh vyrobu. Tyto vyrobn í naklady jsou souCtem fixn íCh nakladu a nakladu variabiln íCh, zavislyCh na poCtu x jednotek produkCe. FunkCe ^Xfl se pak nazyva funkC í prumernyCh nakladu. Uved'me si tento príklad.
Příklad. Při kalkulad nakladu se odhadnou fixn í naklady na 300 p.j. (penezn íCh jednotek). Jsou to naklady, ktere vznikaj í , at se vyrab í nebo ne. Krome toho se zjist í , ze na vyrobu x jednotek je zapotřeb í 4x p.j. Tedy variabiln í naklady jsou 4x. Celkove naklady jsou tedy
C (x) = 300 + 4x.
Tuto funkCi lze pak pouz ít k dals ím uvaham, napr. ke stanoven í prumernyCh nakladu
AC
300
AC = 4+--.
x
FunkCe C (x) ovsem nemus í byt linearn í . Dale v praktiCkyCh ulohaCh nemuze x presahnout jistou hodnotu K. Tedy 1 < x < K.
Poznamenejme, ze x v uvedenem príklade znaC í poCet jednotek produkCe. Tedy x muze byt v konretn ím pr ípade jen prirozene C íslo. Kvuli zjednodušení zkoumané ekonomické problematiky se casto používa model s proměnou x, ktera nab^ýví vžech hodnot jistího intervalu realnyých žísel. Tím mužeme dostat zkreslení výsledky.
252
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
7.4.1. Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá
Uved'me si nýn í nektere význačne trídý funkč í, to jest funkč í s nekterými tríde čharak-terističkými vlastnostmi. Začneme s monotónními funkcemi.
I Définicé 7.2.
Nečht f : A C R — R. Řekneme, ze f je na mnozine A rostouč í (neklesaj íč í), jestlize
Vxi,x2 G A, xi f (x2), (f (xi) > f (x2)). (7.11)
Na obr. 7.13 je uveden příklad grafu funkče rostouč í a na obr. 7.15 je uveden pr íklad grafu funkče neklesaj íč í na intervalu I.
253
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
/ (X2 )
x2 x
Obrázek 7.13: Graf rostoucí funkce.
/ (xl) = / (x2)
Obrázek 7.15: Graf neklesaj ící funkce.
Funkce na obr. 7.10 je na intervalu (0, |) rostouc í, je rovněž rostouc í na intervalu (|,7r). Nen í rostouc í ani na intervalu (0, |) ani na intervalu (|,7r). Nen í ani rostouc í na intervalu (0,7r). Zduvodnete!
Funkce nerostouc í a funkce neklesaj íc í na dane množine nazývame spolecným nažvem funkce monotónní. Funkce rostouc í a funkce klesaj íc í na dane množine nažývame spolecným nažvem funkce ryze monotónní. Je-li funkce rýže monotonn í, je i monotonn í . Opak nemus í platit.
254
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Funkce prosta. Dalsím dUležitým pojmem je funkce prostá. Necht f : A C R — R. Funkci f nazveme prostou na A, jestliže f má tuto vlastnost
Vxi,x2 G A,xi = x2 je f (xi) = f (x2). (7.12)
Příklad 7.13. Nechť funkce y = f (x) je dana tabulkou
x 1 3 3,5 4 5
y 3 1 0 2 4
Tedý napr. f (3) = 1, f (4) = 2 atd. Tato funkce je prosta. Nen í vsak ani rostouc í ani klesaj íc í .
Příklad 7.14. Funkce y = x2 nen í na intervalu (—2, 2) prosta. Oznacme f (x) = x2. Zvolme např. xi = —1, x2 = 1. Je tedý xi = x2, avsak f (xi) = f (x2) = 1. Viz obr.
7.16.
255
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
-2 -1 O
1 2
Obrázek 7.16: Funkce y = x2 definovaná na intervalu (—2, 2).
Avsak funkče y = x2 je na intervalu (0, 2) prosta. Viz obr. 7.17
256
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
f(X2)+
xi x2 2
Obražek 7.17: Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prosta.
Porovnán řm definic ř rostouc řfunkce, klesaj íc ř funkce a prosté funkce dospějeme k tomuto
žavřeru:
Funkce ryze monotónní na A C R je na A též prosta.
Existuje vžak funkce prosta, ktera není ryze monotónní (viz příklad 7.13).
257
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 7.4.
Řekneme, že funkce y = f (x) je sudá (lichá), ma-li tuto vlastnost: Je-li definovana v bode x, je definovana i v bode (—x) a plat í f (—x) = f (x), (f (—x) = —f (x)).
Z definice je tedý patrno, že graf sude funkce je sýmetrický vžhledem k ose y a graf liche funkce je sýmetrický vžhledem k pocatku.
Příkladem sude funkce je funkce y = x2. Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a plat í (—x)2 = x2. Příkladem liche funkce je funkce y = x3. Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a plat í (—x)3 = —x3.
7.4.2. Funkce sloZená a funkce inverzní
Složená funkce. Necht A je neodvislá obor funkce u = p(x). Označme B = p(A) odvislá obor funkce p. Necht f (u) je funkce definovaná na množině B. Ke kazdámu císlu x G A pěiěad'me císlo F (x) vztahem
F (x) = f (p(x)), (7.13)
to jest hodnotu funkce f v cásle u = p (x) G B. Funkci f nazývame vnějěí sloěkou a funkci p vnitrní sloěkou funkce F.
258
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Příklad 7.15. Funkči
y = (x2 + 1)7, x G (-oo, to) muzeme čhapat jako slozenou funkči. Polozme
A = (-to, to), u = p(x), kde p(x) = x2 + 1, x G A.
Označme
B = p(A), tedy B = (1, to).
Polořzme
y = f (u), kde f (u) = u7, u G B.
Potom ke kazdemu x G A je funkč í p přirazeno u = p(x) G B .K tomuto č íslu u je funkč í f priřazeno č íslo y = f (u). Tedy y = f (p(x)).
Je tedy f (u) = u7 vnejs í a u = x2 + 1 vnitrn í slozkou funkče y = (x2 + 1)7.
Poznámka. Složená funkce může byt vícenásobně složená. Napr. jestlize f je jej í vnejs í slozkou a p je jej í vnitřn í slozkou, potom vnitřn í slozka p muze byt opet slozenou.
259
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Inverzní funkce. Necht funkce y = f (x) je definovana na množině A a je na ná prostá. To znamená, ze pro každá dvě cásla x1,x2 g A, x1 = x2 je f (x1) = f (x2). Oznacme B = f (A). Ke kaZdemu y g B priraďme to c íslo x g A, pro nejZ je f (x) = y. Tím jsme zavedli pravidlo, jimž ke každěmu y g B je pžižazeno x g A. Je tak definovaná nova funkce, oznacme ji f—1, jejámž neodvislým oborem je množina B a odvislýým oborem je množina A. Ponechame-li oznažená y pro proměnnou s oborem B a x pro proměnnou s oborem A, pážeme
x = f—1(y), y g B, x g A.
V definici inverzná funkce je podstatná pžedpoklad, že f je na svám definicnám oboru prosta. Takovými funkcemi jsou napr. funkce rýze monotonn í na svem definicn í oboru.
Na obr. 10.2 je v kartezskem souradnem sýstemu znazornen graf funkce y = f (x) rostoucí na intervalu A = D(f), tedý graf funkce proste. Graf funkce x = f—1(y) je totořzný s grafem funkce y = f(x), pokud býchom proti zvýklostem znazornili neodvislý obor na ose y a odvislý obor na ose x.
260
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
{ y = f (x), x = f 1 (y)
~ J /
/ /
/ /
B //
//
//
/
0 /
A -
/ x
Obrazek 7.18: Graf funkd y = f (x), x = f
OznaC íme-li x neodvisle promennou jak pro funkd f, tak i pro funkd f \ zap íseme obře funkCe takto
y = f (x), x G A, y G B, y = f-1(x), x G B, y G A. (7.14)
Jestliřze jejiCh neodvisle obory vyznařC íme v kartezskem souřradnem systemy na vodorovne ose, jsou grafy funkC í f (x), f-1 (x) symetriCke s osou symetrie y = x. Graf inverzn í funkCe f-1(x) jsme dostali překlopen ím grafu f (x) kolem pr ímky y = x.
261
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y = f (x)
y = f 1 (x)
Obrazek 7.19: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y).
Z definice inverzn í funkce vyplyva
• je-li a G D (f), potom a = f-1(f (á))
• je-li a G D (fpotom a = f (f -1(a)
Je-li prostá funkce daná rovnici
y = f (x), (7.15)
dostaneme k ni funkci inverzná tak, ze z rovnice (10.21) vypočítáme x pomoci y. Pojem inverzní funkce vede k zavedeni novách funkcí, jak později uvidíme.
262
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 7.16. K funkci y = 2x + 1, x G (1,3) urcete funkci inveržn í.
Resen í. Ožnacme f (x) = 2x + 1, A = (1,3). Ožnacme B = f (A). Dostavame B = (3, 7). Z rovnice y = 2x + 1 vypoc ítame x. Dostavame x = 2y — I. Tedy funkce x = 2y — 2 je inveržn í k žadane funkci f, je definovana na intervalu B. Zmenou ožnacen í pro neodvisle a odvisle promennou dostavame hledanou inveržn í funkci
11
y = 2x — 2, x G B, y G A.
Grafy žadane funkce a funkce k n í inveržn í jsou na obražku 7.20.
263
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Obrazek 7.20: Grafý funkcí y = f (x), y = f *(x) z příkladu 7.16..
Kontrolní otazky
5. Nechť f (x) = . Výpoc ítejte
a) f (2) [7]
b) f ((0, 3)) [nelze, v bode 1 G (0, 3) nen í f (x) definovano]
c) f((5,6)) [(£,4)]
264
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
6. Určete definičn í obor funkče f (x) = Xt^1- .
[Df = (-oo,-1) U (-1,1) U (1, oo)]
7. Zjistete, zda funkče jsou sude, resp. ličhe:
a) f (x) = x4-T [suda]
b) g(x) = x3+2 [nen í ani suda, ani ličha] č) h(x) = X2+t [ličha] d) u(x) = ^ [ličha]
8. Co je to funkče rostouč í, klesaj íč í, monotonn í?
9. Načrtnete grafý funkč í
a) y = 2x - 1
b) y = x? + 1
č) y =
265
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 8
Limitá á spojitost funkce jedné proměnné
Uvod. V teto kapitole se zameríme na zaveden í pojmu limity realne funkce f (x) jedne promenne v danem bode. Pojem limity funkce f (x) v danem bode pak pouzijeme k zaveden í pojmu spojitosti funkce f (x) v danem bode.
V teto kapitole budeme tam, kde nemuze doj ít k omylu, pouz ívat pojem funkce m isto realna funkce realne promřenne.
Pojem limity je dulezitym pojmem, ktery je zakladn ím pojmem napr. pro zaveden í pojmu derivace funkce a určitého integrálu z dané funkce. Dříve nez zacnete
266
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
studovat podrobne tuto kapitolu, zopakujte si z kapitolý o c íslech zaveden í nevlastn ích c ísel —oo, oo a rozs ířen í nekterých operac í,,+, —, •, : "na R*.
Dale si zopakujte pojem okol í jak realneho císla, tak i nevlastn ích c ísel. Nechť a, č jsou realna císla. Potom mnozinu
< a, a + č)...... nazývame pravým č—okol ím bodu a, znac íme U+(a)
(a — č, a >......nazývame levým č—okol ím bodu a, znac íme U— (a)
(a — č, a + č)......nazývame č—okol ím bodu a, znac íme U (a)
Nechť a = —o, č G R. Potom mnozinu
(—o, č)...... nazývame č— okol ím bodu —o a znac íme U (—o), resp. U/(—oo)
Nechť a = o, č G R. Potom mnozinu
(č, o)...... nazývame č—okol ím bodu o a znac íme U (o), resp. U—(o)
267
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
8.1. Limita funkce jedné proměnné v daném bodě
Úvodní poznámky k zavedení pojmu „limita reálné funkce jedné proměnné"
Začněme s vyšetřváním funkce
„, v sin x
f (x) = —
x
v bodech x = 0 „v blízkosti bodu" x = 0. Funkce f (x) není v bodě x = 0 definovaná. Uved'me si hodnoty teto funkce v nekolika bodech:
x ±1,5 ±1 ±0,5
f (x) 0,664996... 0,841470... 0,958851...
x ±0,1 ±0,01 ±0,001
f (x) 0,998334... 0,999983... 0,999999...
Uvedene hodnoty nás vedou k domnence, Ze cím x je „blíZe" k císlu 0,x = 0 tím f (x) je „blíZe" k císlu 1. Slovo „blíZe" budeme precizovat takto: K libovolnemu e > 0 lze urcit číslo ô > 0 tak, Ze pro x G U(0), x = 0, je ^ G U£(1), to jest pro x G (—ô, ô), x = 0, je 1 — e < < 1 + e. DukaZ pravdivosti teto domnenky nebudeme ted' provadet. PonevadZ tato domnenka je pravdiva, budeme ríkat, Ze funkce ^^j— ma v bode 0 limitu
268
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
rovnu „1" a tuto okolnost budeme psát jako
. sin x lim-= 1.
x—0 x
Dříve, než přikročíme k exaktnímu zavedení pojmu „limita funkce f (x)" v danem bode a G R*, zavedeme si tento pojem na základě neupřesněných pojmu. Doufam, že to porrmže k pochopení tohoto pojmu. Pojem limity funkce je zakladním pojmem, jemuž je nutno dobře porozumet. Toto porozumění je dUleěitějěí nez nauCená se pěesnámu znění definic a vět, která dávají návod k jejich výpoCtu.
Osvětlení pojmu limity limx—a f (x) = a v následujících případech.
a G R, a G R. Rčení „limita funkce f (x) v bode a G R je rovna a G R", ktere symbolicky žapisujeme jako
lim f(x) = a,
x—?>a
znamena, nepresne receno, toto: Císlem a lze aproximovat hodnoty funkce f se zvolenou přesností ve vsech bodech x = a, lezících dostatecne blízko k císlu a. Jinak receno: jestlize „x se bl íz í k a a x = a", potom „f (x) se bl íz í k a".
Uved'me tento príklad.
lim = - = 0.8
x—2 x2 + 1 5
269
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
znamená, že pro všechna x = 2, která se málo liš í od 2, je ^r±r definováno a 4tt se málo liš í od | = 0,8. (Např. pro x = 2,01 dostáváme
/ x + 2 \ ^+7 = 0,795619...
\X + V x=2,01
á pro x = 2,001 dostáváme
/ x + 2
)
x2 + 1 / x=2,001
= 0,7995602 ...
a G R, a = oo|. RCen í „ limita funkCe f (x) v bode a G R zprava je rovna oo", ktere symboliCky zapisujeme jako
lim f (x) = oo,
známená,Ze jestliže zvol íme libovolne velke C íslo K, potom pro všechná C íslá x > a, dostáteCne bl ízká k C íslu a, nábývá funkce f (x) hodnotu vets í než zvolene C íslo K. Nepresne řeCeno:Jestlize „x se bl íz í k a á x > a", potom „f (x) roste náde vseChný meze." Uved'me tento příklád. Polozme f (x) = Potom
lim f (x) = lim -= oo,
známená, ze át zvol íme jákekoliv C íslo K, potom pro dostáteCne bl ízká C íslá x k C íslu „2", rUzná od „2" je f (x) = x-2 > K. Nápř. pro x = 2,001 je f (2, 001) = 1000 á pro x = 2, 000001 je f (2,000001) = 1000000
270
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
a = to,a G M|. Rčení „limita funkce /(x) v bodě to je rovna a G M", které symbolicky zapisujeme jako
lim f (x) = a,
x—>oo
znamená, nepřesně řečeno, toto: Císlem a lze aproximovat hodnoty funkce f se zvolenou přesností pro vSechna dostatečne velká x. Jinak řečeno: Pro vSechna dostatečne velka x G R číslo a aproximuje vsechny hodnoty funkce f (x) nepřevysující zvolenou chybu aproximace. Uved'me tento príklad.
2x2 + x + 1 lim -2--— = 2
X->00 x2 — 1
znamena, ze pro „hodne velke x" je 2xX+jX1+1 definováno a lisí se málo od 2. To vidíme, jestlize danou funkci prepíseme takto.
2x2 + x + 1 = 2 + 1/x + 1/(x2) x2 — 1 = 1 — 1/(x2)
Čitatel se pro hodne velkí x mílo lisí od „2" a jmenovatel se pro velke hodnoty x mílo lisí od „1", takze pro hodne velka x se hodnota uvazovane funkce malo lisí od „2". Napr pro x = 100 je
2x2 + x + 1
x2 1 ' x=100
■).
= 2,010301...
271
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a pro x = 1000 je
2x2 + x + 1
/2x2 + x + 1\ V x2 - 1 J
2 l . = 2,002003...
x - 1 ' x=l000
a = o,a = o Řčen í „ limita funkče f (x) v bode oo je rovna o", ktere sýmboličký zapisujeme jako
lim f (x) = oo
x—>oo
znamena, nepresne rečeno, toto: Zvol íme-li jakekoliv velke číslo K, potom pro vsečhna dostatečne velka č isla x je hodnota funkče f v bode x vets í nez K.Výslovme
domnřenku:
x2 + 1 lim -= o
x—o x +1
Uvazme, ze pro x > 0 plat í
, x2 + 1 1 + 1/(x2)
x + 1 l/x + 1/(x2)'
takze pro dostatečne velka x je f (x) vets í, nez zvolene K. Napr. pro x = 1000 je
f (x) > 999.
272
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Osvřetlete si tyto zapisy
a) lim ln x = —oo
x—0+
b) lim = oo
' x—2+ x—2
c) lim = -oo
x— 2 x—2
a nakreslete grafy funkc í, jejichz limity v příslusnych bodech jsou uvedeny a vyslovte domnenku o hodnote příslusne limity.
Limita funkce jedné proměnné
Po uvodn ích slovech k zaveden í pojmu limity uved'me si jej í přesne zaveden í.
273 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Definice 8.1. (Limita funkce jedne promenne)
Nechť y = f (x) je realna funkce realne promenne x.
Nechť a G R*. Řekneme, že funkce f (x) ma v bode a limitu a G R* a píšeme
lim f (x) = a,
x—a
jestliže ke každemu e-okolí bodu a existuje č-okolí bodu a tak, že
1. funkce f (x) je definovaná v U (a) — {a}
2. pro vsechna x G U (a) — {a} platí f (x) G U£(a).
V bodech a G R žavídíme i limitu žprava a limitu žleva funkce f (x) takto: Řekneme, že funkce f (x) mí v bode a G R limitu žprava (žleva) rovnu císlu a G R* a píšeme
lim f(x) = a lim f(x) = a ,
x—a+ \ x—o_ I
jestliže ke každemu e-okolí bodu a G R* existuje prave (leve) č-okolí bodu a tak, řže
1. funkce f (x) je definovana v U+(a) — {a} (U— (a) — {a})
2. pro vsechna x G U+(a) — {a} (x G U— (a) — {a}) platí f (x) G U£(a).
Ukažme, jak lže tuto definici přeformulovat v jednotlivých případech.
274 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a G IR, a G IR, lim /(x) = a.
_x—?>a+_
a a p íšeme
lim+ f (x) = a
jestliže k libovolnému vlastn ímu c řslu e > 0 lze urcit takove vlastn í c íslo 5 > 0, že pro vsechna x G (a, a + 5), (tj. pro x G U/(a) — {a} je funkce f (x) definovana a f (x) je aproximovano c íslem a s chybou neprevysuj íc í e, tj. f (x) G< a—e,a+e > .
Graficke znazornen í limx^a+ f (x) = a, je zobrzeno na nasleduj íc ím obrazku 8.1
Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode a G R limitu
Obrazek 8.1: limx^a+ f (x) = a, 275 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a G R, a = oo, lim f (x) = oo.l Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode a G R limitu
_x—a+_|
zprava rovnu oo a p i seme
Hm f (x) = to,
x—>a+
jestlize pro kazde libovolne velke c íslo e lze urcit takove vlastn i c íslo č > 0, ze pro vsechna x G (a, a + č), (tj. pro x G U+(a) — {a} je funkce f (x) definovana a
f (x) > e.
Graficke znazornen í limx—a+ f (x) = oo je zobrzeno na nasleduj íc ím obrazku 8.2
276
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
x
I
Obrazek 8.2: limx^a+ f (x) = oo
á = o,a G R, lim f (x) = a.\. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode oo limitu
x
rovnu a a p i seme
lim f (x) = a,
x
jestlize pro kazde libovolne male c íslo e > 0 lze urcit takove vlastn i c íslo ô > 0, ze pro vsechna x G (ô, o), (tj. pro x G U+(a) je funkce f (x) definovana a
f (x) G (a — e,a + e).
277
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Graficke znazornen í limx^o f (x) = a je zobrazeno na nasleduj íc ím obrazku 8.3
a + e
f (x) a
ae
y = a + e
y = a — e
x U5(oo)
x
Obrazek 8.3: limx^TO f (x) = a
a = o, a = o, lim f (x) = inf ryl. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode o limitu
x
rovnu o a p iřseme
lim f(x) = o,
x
jestlize pro kazde libovolne velke c íslo e > 0 lze urcit takove vlastn í c íslo č > 0, ze pro vsechna x G (č, o), (tj. pro x G U+(a) je funkce f (x) definovana a
y
278
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
f(x) G (a - e, a + e).
Grafičke znazornen í limx—oo f (x) = oo je zobrazeno na nasleduj íč ím obrazku B.4
Ue (a) f (x)
y = f (x)
279
b ô x Us (oo) x
Obrazek B.4: limx^TO f (x) = oo
Řčen í „ limita funkče f (x) v bode oo je rovna a G R", ktere sýmboličký zapisujeme
jako
lim f(x) = a,
x—o
znamena, nepresne rečeno, toto: C íslem a lze aproximovat hodnotý funkče f se
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
zvolenou přresnost í pro vřsechna dostateřcnře velka x. Jinak řreřceno: Pro vřsechna dostatečne velka x G R číslo a aproximuje vsechny hodnoty funkce f (x) neprevysující zvolenou chybu aproximace.
Poznámka 1. Jestlize interval (c, d) je definičním oborem funkce f (x) , budeme nekdy
místo lim f (x) psat lim f (x).
X —íí_ X —d
Poznámka 2. Všimnete si, ze označení lim f (x) (lim f (x)) je vlastne rovnez
X——00 x—oo
označen í pro jednostranne limity. Ukařzme, řze plat í tato vřeta: Veta 8.1.
Necht f (x) je funkce. Potom lim f (x) = a ( lim f (x) = a), kde a G R*, když
X—O X——00
a jenom když
m ísto lim f(x)
X—C+
lim
y—0+
f 1
=a
280
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Důkaz: Důkaz vychází z toho, že vztahem
1
y = -
x
je ke každemů x G U (to), č = 0 přiřazeno práve jedno y G U +(0) a každe y G U+ (0) je přiřazeno prave k jednomu x G U (to). Pro lim f (x) je důkaz analogicky. .
x—>—00
"Úloha. Zvolte si funkci y = f (x) a načrtněte její graf pro tyto případy:
a) lim f (x) = a, a G R, lim f (x) = a, a G R, a G R
b) lim f (x) = to, lim f (x) = to, lim f (x) = to, a G R
x—a+ x—a_ x—a
c) lim f (x) = —to, lim f (x) = —to, lim f (x) = —to, a G R
x—a+ x—a_ x—a
d) lim f (x) = to, lim f (x) = —to, lim f (x) = a, a G R
x—TO x—TO x—TO
e) lim f (x) = to, lim f (x) = —to, lim f (x) = a, a G R
x x x
Limita fůnkce f (x) v danem bode a nezavisí na hodnote fůnkce f (x) v bode a. Tedy fůnkce f (x) nerrmsí byt v bode a ani definovana. Platí tedy tato poůcka:
281
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Necht a G W, necht existuje ô G M tak, že f (x) = g (x) pro x G U§ (a) — {a}. Potom existuje-li lim f (x), existuje i lim g(x) a platí
x—?>a x—?>a
lim f (x) = lim g(x).
x—a x—a
Podobně pro lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x).
x—?>a+ x—>a_ x—oo x—?>oo
[j Funkce f (x) nemusí mít v daném bode limitu. Uved'me tyto příklady. Příklad 8.1. Necht
f ( ) = í 1 pro x racionálni,
\ —1 pro x iracionální.
Nechť a G M. Potom neexistuje lim f (x) ani lim f (x).
x—a+ x—a_
Skutecne. V každem intervalu (a, a+ô) ((a — ô, a)) jsou jak body x, v nichž je f (x) = 1, tak body x, v nichž je f (x) = —1. Tedy neexistuje ani lim f (x) ani lim f (x).
Příklad 8.2. Ukažme, že neexistuje lim sin x
x—>0 i
Řešení. Předevsím žvažme, že funkce sin x je definovana pro vsechna x = 0. Položme
xk = (2k + 1) f, k = 1,2,...
282
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zrejme posloupnost {xk}°o=1 ma limitu rovnu 0, tj. lim xk = 0. Dale
k—>co
sin — = sin(2k + 1) — = \ \ xk 2 [ 1
pro k liChe, pro k sude.
Tedy v kazdem intervalu (0,č) jsou jednak body, v niChz funkCe sin X nabyva hodnoty —1, jednak body, v niChz funkCe sin X nybyva hodnoty 1, takze neexistuje lim sin X.
Na obr. 8.5 je vyznaCen graf funkCe sin X pořízeny na poC ítaCi.
-i
Obrázek 8.5: Graf funkce sin -.
x
V uCebn ím textu „Matematika A" jsme zavedli pojem spojitosti funkCe f (x) v danem
283
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
bodě a. Zaveden í tohoto pojmu lze provést pomoc í pojmu limity funkce /(x) v bodě a takto.
I Definice 8.2. (Spojitost funkce v bode)
Nechť funkce f (x) je definovaná v bodě a e R a nechť lim f (x) = f (a)
x—a
( lim f (x) = f (a)) [ lim f (x) = f (a)]. Potom f (x) je v bode a spojitá (spo-jita zprava) [spojitá zleva].
Je-li a levym (pravým) koncovým bodem intervalu I, na nemZ je funkce definovana, mUZeme říkat, Ze funkce f (x) je v bode a spojita m isto f (x) je v bode a zprava (zleva) spojita.
Jestliže funkce f (x) je v bodě a e R spojitá, potom výpočet limity funkce f (x) v bodě a lže určit pouhým výpočtem hodnoty funkce f (x) v bodě a.
V učebním textu „Matematika A" jsme uvedli, že elementární funkce polynom, racionální lomená funkce yfx, ax loga x, sin x, cos x, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x jsou spojité v každem bode svého definicního oboru.
Uved'me si nekolik příkladu.
Příklad 8.3. DokaZme, Ze lim log x = 1, lim sin x = .
x—10 x— f 2
284
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Skutečně. Funkce logx, sin x jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Tedy
lim log x = log 10 = 1, lim sin x = sin — = —
x—ío 6 6 ' x— f 4 2
Příklad 8.4. Nechť n G N. Dokažme
„ , oo, n je sude, lim xn = '
X^ř—OO
{
-oo, n je liche.
Skutecne. Necht n je sudé. Nechť e > 0 je libovolne císlo. BeZ ujmy na obecnosti muZeme predpokladat, Ze e > 1. PoloZme ô = — ^/ě. Potom pro x G U(—o), tj. pro x G (—oo, — v^š) je xn > e, tj. xn G U£(oo), takZe
lim xn = oo pro n sude.
X—> — 00
Podobne se dokaže, že pro n liché je lim xn = —oo.
X——00
Příklad 8.5. VypoCítejte
lim(3x2 — 4x + 1).
x—2
Řešení. Polynom je funkce spojitá v každem bode x G R, tedy i v bode 2. Limita v bode a, v nemž je funkce spojita, je rovna její funkCní hodnote v bode a. Tedy
lim(3x2 — 4x + 1) = 3 • 22 — 4 • 2 + 1 = 5.
X2
285
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 8.6. Výpočítejte
3x + 2
lim —--.
x—2 x2 — 1
Řéšén í. Funkče f (x) = Xt^2- je račionaln í lomena funkče. Víme, ze račionaln í lomena funkče je spojita v kazdem bode sveho definičn ího oboru, to jest v kazdem bode, v nemz je jmenovatel nenulový. V nasem prípade je jmenovatel x2 -1 v bode 2 roven 22 -1 = 3, takřze lim f(x) je rovna f(2). Dostavame
x2
3x + 2 3 2 + 2 S
lim —r-= —--= -
x—2 x2- 1 22 - 1 3
Príklad 8.7. Výpočítejte
x2 - 4
lim
x—2 x2 - 5x + 6 Řéšén í. Polozme
f (x) = x2 - 4
x2 - 5x + 6
Zrejme D f = R - {2,3}. Funkče f (x) nen í tedý v bode 2 spojita, neboť v nem ani
286
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
nen ídefinovana. Funkci f (x) prepisme na tvar
= (x — 2)(x + 2) f (x) (x — 2)(x — 3).
Polořzme
, , x + 2
g(x) =-ô .
x—3
Zrejme f (x)=g(x) pro x = 2. Ponevadz limita funkce nezavis i na jej í hodnote v bode, v nřemřz limitu pořc itame, je
lim f (x) = lim g(x). (8.1) Funkce g(x) je vsak spojita v bode 2, takze
x2
tj.
lim g(x) =-.
Podle (8.1) je tedý
lim f (x) = —4.
x2
287
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
8.2. Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí
Pro funkce, ktere vzniknou seč ítan ím, odeč ítan ím, nasoben ím a delen ím funkc í, jejichz uvazovane limity v danem bode a zname, muzeme poč ítat limitu podle nasleduj íc í vety.
Veta 8.2.
Necht f (x), g (x) jsou funkce pro než platí
lim f (x) = A, lim g(x) = B,
kde lim znažíjeden ze symbol U lim, lim , lim , lim , lim , a X—v a x_x_W7 — X—>-oo X—v — oo G R a symboly A, B
pžedstavují reálná čísla nebo jeden ze symbolu +oo nebo —o (to jest A, B G R*).
Potom platí
lim(f (x) ± g(x)) = A ± B, (8.2)
lim f (x) • g(x) = A • B, (8.3)
lim f (x) = A g (x) B' (8.4)
pokud má prava strana vyznam v R*.
288 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Důkaz: Dukaz vety proved'me jen pro nektere prípady. Dokazme vztah (8.2) pro limitu v bode a pro tyto prípady. Ostatn í případy se dokazuj í podobne.
a) NeCht a, A, B G R. NeCht lim f (x) = A, lim g (x) = B. Dokazme, ze lim (f (x) ±
x—a x—a x—a
g(x)) = A ± B.
NeCht s > 0 je libovolne C íslo. Ponevadz lim f (x) = A, existuje takove ô1 > 0,
x—a
ze pro x = a, x G (a — a + ^1) je funkCe f (x) definovana a plat í
lf (x) — A| < |. (8.5) Podobne, ponevadz lim g(x) = B, existuje ô2 > 0 tak, ze pro x G (a — ^2,a + č2),
x— a
x = a, je funkCe g(x) definovana a plat í
|g(x) — Bl < |. (8.6)
Polozme ô = min(^1 ,^2). Ze vztahu (8.5),(8.6) dostavame pro x = a, x G (a —
č, a + ô)
|f (x) ± g(x) — (A ± B)| = l(f(x) — A) ± (g(x) — B)| < < |f (x) — A | + |g(x) — B| < 2 + 2 = s.
Tedy
lim (f (x) ± g(x)) = A ± B.
xa
289
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
ff) Necht a, A G M, B = oo. Necht e,K > O jsou libovolná č řsla. Poněvadž lim f (x) = A, lže k č řslu e určit b\ > O tak, že pro x G (a — 5\,a + 5\), x = a, je
x—a
funkce f (x) definovaná a plat ř
lf (x) - Al < e,
tj.
A - e < f (x) < A + e. Ponevadz lim g(x) = o, lze k č íslu (K + e - A) určit ô2 y 0 tak, ze pro
x—a
x G (a - ô2,a + ô2), x = a, je funkče g(x) definovana a plat í
g (x) y K + e - A.
Označme ô = min(ôl,ô2). Potom pro x G (a - ô, a + ô), x = a, je funkče g(x) definovana a plat í
f (x) + g(x) y A - e + (K + e - A) = K.
Je tedý
lim (f (x) + g(x)) = A + B = A + o = o.
x—a
Podobnře se dokařze, řze
lim (f (x) - g(x)) = -o.
x—a+
290
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Poznámka. Nechť g(x) = c, kde c je reálná konstanta. Potom lim g(x) = c pro
x—a
libovolne a, neboť pro libovolne e > 0 a pro všechna x plat í
\g(x) — c\ = \c — c\ =0 < e. Je-li lim f (x) = A, A G R*, c G R je libovolna konstanta, plat í tedy podle vety 8.2
x—a
lim c • f (x) = c • lim f (x) = c • A,
x—a x—a
pokud ma cA vyznam. Z vety 8.2 dostavame pro funkce spojite tuto vetu. Veta 8.3.
Necht funkce f (x), g (x) jsou spojité v bodě a. Potom i funkce f (x) ± g(x), f (x) • g (x) je spojité v bode a. Jestliže navíc g (a) = 0, je i funkce jh) spojitá v bode a.
Příklad 8.8. Funkce sin x, x2 — 1 jsou spojite v kaZdem bode. Tedy i funkce sin x +
x2 — 1, sin x — x2 + 1, (x2 — 1) • sin x jsou spojite v kaZdem bode. PonevadZ x2 — 1 = 0 pro x = 1 a pro x = —1, je funkce xrrj- spojita v kaZdem bode x, kde x = ±1.
Příklad 8.9. Vypocítejte
lim (anxn + an—\xn—l + • • • + a\x + a0), an = 0.
x
291
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Řešen í. Položme
f (x) = anxn + an-\xa~l + • • • + a1x + a0. Funkci f (x) přepišme na tvar
xn—1 x 1 --H • • • + ai--H ao—
ry>n ry>n ry>n
\
tj.
f (x) — xn f a + a -i
i i i i - i ■ i i... ■ i i... i ! ! u; 1 ^ | IX'o
/y» rpn—1 rpn
\
Podle vety 8.2 je
(xn 1 x 1 "\
an + an—1—- H-----H a1— + ao— xn xn xn
f (x) = an + an—11 H-----H a^^1T + ao^-ľ )
x xn—1 xn
lim f (x) = lim xn • (lim an + lim an 1 + • • • + lim —+ lim —)
X—O X—O \X—O X—O x X—O xn 1 X—O xn J
Ponevadž lim Jm = = 0 pro m G N, c G R, lim xn = o, dostávame
—O O —O
lim f (x) = o • lim an.
—O —O
Je tedy
Km f (x) = { O Pro an > 0
X—O
o pro an < 0.
292 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 8.10. Vypocítejte
lim (anxn + an—ixn—1 + • • • + aix + a0), «n = 0.
X—> — 00
Řešení. Postupujeme podobne jako v předchoZím príklade. PoloZme
f (x) = anxn + an—1xn—1 + • • • + a1x + a0.
Dostavame
lim f (x) = lim x • lim an + lim--h • • • + lim —— + lim —
X— — (X) X——(X) \ X^—M X— — (X) x X——(X) xn 1 X——(X) xn /
PonevadZ lim xm = 0, m G N, c G R a
XX
lim xn =|
oo pro n sude, X——oo i —oo pro n liche,
dostavame 1)
Pŕ N f sgn an • oo pro n sude, lim f (x) = <^ x—y—oo I —sgn an •o pro n liche.
Tedy např. lim (2x2 — 3x + 1) = oo, lim x2(2 — X + X_) = o.
x—t>—oo x—y—00 x x
x) sgn a = 1, je-li a > 0, sqn a = —1, je-li a < 0
293
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
x—> 0
Příklad 8.11. Podle věty 8.2 je např. lim (x2 + l/x) = to, nebol; x2 je funkce spojitá, takže lim x2 = 0 a lim 1/x = to.
Příklad 8.12. VypoC řtejte
2x2 — 3x + 1
lim -7,-
x—to — x2 — 2x + 1
Řešení. Polozme
2x2 — 3x + 1
f (x) = ——
není definovano
x — 2x + 1
Ponevadz lim (2x2—3x+1) = to, lim (—x2—2x+1) = —to, nemuzeme bezprostredne
x-o x-o
pouz ít zadnou vetu o limite pod ílu, kterou jsme zat ím uvedli, nebol; o ' 1 r" '-ani v R*. Avsak pro x = 0 je f (x) = g(x), kde
2 - x + ± g(x) =-x x
1
řrejmře
lim g(x) =
x
lim (2 - x + ^) lim (-1 - 2 + -1)
1
= 2.
x
Je tedý
lim f (x) = -2.
x
2
294
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 8.13. Vypočítejte
.. 3x4 — x + 1 lim —--.
x—to x2 + X — 1
Řešení. Zrejme, delíme-li čitatele i jmenovatele číslem x2, kde x = 0, dostáváme
v 3x4 — x + 1 ľ 3x2 — i + J* i^TO(3x2 — X + to
lim —--= lim -ix—f^- =---1-i— = — = to.
x—to x2 + x — 1 x—to 1 + x —i* lim (1 + x —^ ) 1
Příklad 8.14. Vypočítejte
x2 + x + 1 lim —-.
x—to x4 + x — 1
Řešení. Zrejme, delíme-li čitatele i jmenovatele x4 pro x = 0, dostáváme
x2 + x + 1 -i- + -i- + -i- Um (x* + A + xlí) 0
lim x + x +1 = lim x2 + x3 + x4 = x—TOx_x_^ = 0 = 0.
x—to x4 + x — 1 x—to 1 + .i — -!j lim (1 + 4 — 4) 1
x x x—TO x x
Vetu 8.2 pro vypočet lim nelze použít, jestliže lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Je-li A = 0, je tento případ řesen nasleduj íč í vetou. O případe, kdy lim f (x) = lim g(x) = 0, pojedname pozdeji.
295
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 8.4. (Limita podílu f (x)/g(x), je-li limg(x) = 0)
Necht a, A G M, A = 0. Necht lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Necht existuje
x— a x— a
ô > 0 tak, že pro x G U+(a) — {a} je funkce definovaná a platí
f (x) g(x)
> 0
(g(x) < °)
Potom
f(x)
lim = (X) (—to).
x— a g(x)
Příklad 8.15. Vypocítejte
.. 3x lim —--.
2+ xf — 4
Řešení. Zrejme lim 3x = 6, lim (x2 — 4) = 0. Tedy limita citatele je mžna od nuly a
x— 2 x— 2
limita jmenovatele je rovna 0. Urceme žnamení funkce xírbf. Znamení je žnažorneno na obr. 8.6. Ponevadž existuje prave okol í bodu 2, v nemž je funkce xfzj kladna, je podle vety 8.4
3x
lim —-- = to.
x-> 2+ x2 — 4
296
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
- + - + -1-1-1-
-2 0 2
Obrázek 8.6: Znamení funkce z príkladu 8.15.
Podobnře byChom zjistili, řze
3x
lim —r-- = —oo.
x—2- x2 — 4
Poznámka. SChematiCky Chovan í funkCe xfzi pro x „bl ízko" k C íslu 2 znazorřujeme podobnře jako na obr. 8.7.
v
Obrázek 8.7: Znázornení chování funkce -r^r v okolí bodu x = 2, x = 2.
2
297
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 8.16. Vypoč ítejte
3x + 1 lim —--
x—1+ x2 — 1
Řešení. Poněvadž lim (3x + 1) = 4, lim (x2 — 1) = 0, Xr+- > 0 pro x > 1 (určete
x—t4+ x—1+ x
žnamen ř račionain ř lomeně funkče X^tl), dostavame podle věty 8.4, že
3x + 1 lim —-= oo.
x—1+ X2 — 1
Spojitost složené funkce Veta 8.5. (Spojitost složené funkce)
Necht funkce u = v (x) je spojitá v bodě a G R a necht funkce f (u) je spojitá v bodě a = v?(a). Potom sloěená funkce f (v (x)) je spojitá v bode a. Je tedy
lim f (v(x)) = f (v(a)).
DUkaž: Ze spojitosti funkce f v bode a = v(a) vyplýva, že k libovolnému e > 0 existuje takove q > 0, že pro u G Ue(a) (tj. pro x G (a — q, a + q)) je funkce f (u) definovaná a plat í f (u) G U£(f (a)) (tj. f (a) — e < f (u) < f (a) + e). Ponevadž funkce V je spojita v bode a, k uvedenemu C íslu q existuje takove ô > 0, že pro x G Us (a) (tj. pro a — ô < x < a + ô) je funkce v(x) definovana a v (x) G Ue(a) (to jest
298
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
a — g < 0 je libovolne císlo. Ponevadž funkce f (u) je spojita žprava v bode a, existuje g > 0 tak, že f (u) je definovaná v U+(a) a f (u) G U£(f (a)). Ponevadž 0, že pro x G Uj1 (a) je funkce 0 tak, že f ( 0 je libovolne č íslo. Ponevadz funkce f je spojita v bode a, existuje q > 0 tak, ze pro u G Ue(a) je funkce f definovana a f (u) G U£(f (a)). Ponevadz limx—a 0, ze pro x G U5(a) — {a} je funkce 00
300
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Skutečně. Položme (p(x) = l^^j-, /(u) = eu. Zřejmě
3 + h 3
lim 0. Tedy v7x2 + 1 je bl ížko k č íslu v7! = 1. Ponevádž funkče v7x2 + 1 má v bode a = 0 hodnotu 1, je funkče v7x2 + 1 v bode a = 0 spojitá.
Poznámka. Je možno vyslovit rádu dáls íčh vet podobnyčh k vete 8.7, ktere vžniknou žá predpokládu, že funkče f (x) je použe žprává, resp. žlevá spojitá v a á m ísto lim 0, 0 pro x = 0, — 1 pro x < 0.
Vypoč ítejte lim f (x), lim f (x), lim f (x).
x—0+ x—0_ x—0
Vypoč ítejte limity
a) lim(3x + 1)
x—2
b) lim,xx±i
x——i x-3 vx+i
č) lim (x+x — 2)
Vypoč ítejte limity
a) lim 2x3+x—1
x—TO 3x+1
b) lim 3x* + 1
' , 4x2+x—1
x
č) lim arctg x
x—TO
d) lim arccotg x
x
[1, —1, neexistuje] [7]
[—2 ]
[ ^ — 2]
[to]
[ 4 ]
[ 2 ]
[0]
306
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
e)
f)
g)
h)
i) j) k) v)
lim —, lim 1x1
x—0+ x x—0— x
lim ex, lim ex
x—0 x——0
lim log x, lim log x
x—0+ x—0—
lim log j_ x
x—0— 10
lim sin x
x—0
lim sin x
x—0 x
lim sin X
x—0+ x
lim x sin1
x 0+ x
[+1, —1] [oc, 0]
[—oo, neexistuje]
[oo]
[neexistuje]
[0]
[neexistuje]
[0]
Vypoč ítejte
X— 1 +
X—1 —
lim
x 1+
3x+1 Um 3x+1 x— — 1-
x
2 (3x+2)2
3
c) lim (■
x 2+
1
+
x—2
d) lim x2—5x+6
x2 3x
x2 2x
, lim
x2
x2
+
x2 2x
x 3+
e) Jim arctg 3^, x lim arctg 3^
x
x
3x+1
[oo, —oo, —oo, oo] [+oo, —oo]
[ 3 ]
2 , 2]
3
1
3
Vypoč ítejte
307 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) lim (V4x2 - 1 - V2x2 + 3)
[+to]
Je funkce f (x) = spojitá v bode 0? Je funkce = f (x) pro x G (—to, 0) U (0, to), g(0) = 1 spojitá v bode a = 0?
[f (x) nen í, g(x) je]
Je funkce _
a) f (x) = ^f±I spojitá v bode 0? [není]
b) g(x) = f (x) pro x = 0, g(0) = 2 spojitá v bode 0? [nen i]
VypoC ítejte
a) lim e
X—TO
b) lim ln(1 - x)
X—TO
c) lim ^^
x—e+
d) lim 2~, lim 2
x—K)+ x—>0-
x+1
x
[1]
[nema limitu]
[—to] [to, 0]
308
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Kapitola 9
Elementární funkce.
9.1. Polynom a racionální lomená funkce
V teto kapitole pojedname souhrnře o řradře funkC í, ktere znate (nebo mřeli byste znat) z dřr ívřejřs ího studia. Pojedname teřz o funkC íCh CyklometriCkyCh, ktere se na gymnazi íCh neprob íraj í. ZařCneme s polynomem.
Polynom
Zaved'me si komplexn í funkd komplexn í promenne „polynom".
309
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Necht an, an-1,..., ai, a0 jsou komplexní čísla. Jestliže ke každému komplexnímu číslu x G C přiřadíme Číslo f (x) vžtahem
f (x) = anxn + • • • + a1 x + a0, (9.1)
je jím definována komplexní funkce na množine vsech komplexních čísel C. Tato funkce se naryva polýnom. Císla an,..., a0 nažyvíme koeficienty polynomu f (x). Číslo a0 nazýváme absolutním členem polynomu f (x). Jestliže an = 0, polynom f (x) nazývame polynomem n-tího stupne.
Napr. f (x) = x2 + 1 je polýnom 2. stupne. Podle definice stupne nen í polýnomu f(x) = 0 přriřrazen řzadný stupenř. Nazývame jej nulovíym polynomem.
C íslo a nažyvíme kořenem (nulovým bodem) polynomu f (x), jestliže
f (a) = 0.
Napřr. polýnom
P (x) = x3 + x (9.2)
ma korený 0,i, -i, nebol! P (0) = 0, P (i) = i3 + i = 0. Podobne P (-i) = (-i)3 + (-i) = 0. Lze ukazat, ze nema zadne dals í kořený.
Jestlize P (x) je polýnom a a je jeho koren, potom polýnom prvn ího stupne x - a se nazýva kořenovým cinitelem odpovídajícímu kořenu a.
310
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
0 polynomu plat í tyto vety:
1 Veta 9.1.
I Necht a je kořenem polynomu f (x) stupne n > 1. Potom existuje takový polynom g (x) stupne n — 1, že pro každé komplexní Číslo x platí
f (x) = (x — a) . g(x).
Důkaz: Ponevadž f (a) = 0 lže polynom f (x) žapsat jako
f (x) = f (x) — f (a) = (anxn + an—,xn—1 +----+ a,x + ao) —
— (anan + an—,an—1 +----+ a,a + ao).
Úpravou dostavame
f (x) = an(xn — an) + an—1(xn—1 — a—1) + • • • + a1 (x — a).
Ponřevadřž
xk — ak = (x — a)(xk—1 + axk—2 +-----h ak—1), pro k = 1, 2,..., n,
lže psat
f (x) = (x — a) • [an(xn—1 + • • • + an—1) + • • • + aj,
311 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
to jest
f (x) = (x — a)g(x),
kde g(x) = an(xn—í +-----h an—i) +-----h ai. .
Příklad 9.1. Polynom
f (x) = x2 — x — 2,
ma c íslo 2 za svůj koren, neboť f (2) = 0. Existuje tedy polynom g(x) stupne 2 tak, Ze
f (x) = (x — 2)g(x).
Skutecne. Delen ím polynomu f (x) korenovym cinitelem x — 2 dostavame
( x2 — x — 2): (x — 2) = x + 1 ± x2 T 2x
x — 2 ± x T 2
0
tj.
(x2 — x — 2): (x — 2) = x + 1,
takZe
f (x) = (x — 2)(x + 1).
312 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Zat ím jsme použe zavedli pojem kořene polynomu, ale nezabývali jsme se probiemem existence korene polynomu. O tom vypov ída nasleduj íc íveta:
I Veta 9.2. (Fundamentální veta algebry)
Každý polynom stupně n > 1 ma v oboru komplexních čísel kořen._
DUkaz: Bež dukažu. . Definice 9.1.
R íkame, že C íslo a je k-nísobným koěenem polynomu f (x), jestliže pro každe komplexn í C íslo x plat í
f (x) = (x — a)kg(x), kde g(x) je takovy polynom, že g (a) = 0. Príklad 9.2. Polynom x3 — 3x2 + 4 lže žapsat ve tvaru
x3 — 3x2 + 4 = (x — 2)2(x + 1).
Je tedy x = 2 dvojnasobnym a x = —1 jednoduchym korenem polynomu x3 — 3x2 + 4.
313
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Důsledek. Polynom n-tého stupně, n > 1,
f (x) = anxn + an—1xn—1 +----+ a1 x + ao, aw = 0
má právě n koěenU, pocítáme-li k-násobný kořen za k koěenU.
Důkaz: NeCht n = 1, a1 = 0. Potom f (x) = a1x + a0 je polynom stupne 1. Potom
f (x) = a1(x + a;), takze f (x) = (x — a)a1, kde a = — ai.
Předpokladejme, ze tvrzen í plat í pro polynomy stupne n — 1 a dokazme, ze pak plat í take pro polynomy stupne n. NeCht tedy
f (x) = anxn + an—1xn—1 +----+ a1x + ao, an = 0.
Podle fundamentaln í vety algebry ma polynom f (x) kořen v oboru komplexn íCh C ísel, oznařCme jej a. Tedy
f (x) = (x — a)g(x),
kde g(x) je polynom stupne n — 1, ktery ma podle předpokladu n — 1 kořenu. Ponevadz a je korenem polynomu f (x), ma f (x) prave n korenu.
Příklad 9.3. Ponevadz
x4 + 4x3 — 16x — 16 = (x + 2)3(x — 2),
je x = 2 jednoduChym a x = —2 trojnasobnym kořrenem tohoto polynomu. Ma tedy dany polynom 4 koreny.
314 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
D ů šledek. Jestliže polynom f (x) je roven nule v nekonečně mnoha číslech, pak je to polynom nulový.
D ů kaz: Kdyby polynom byl stupne n > 1, byl by roven nule nejvyse v n navZájem ruZnych císlech. To je spor, takZe polynom mí vsechny koeficienty nulove. Pro n = 0 je veta Zrejmí. .
D ů šledek. Jestliže dva polynomy f (x),g(x) nabývají stejné hodnoty v nekonečně mnoha Císlech, pak mají stejné koeficienty u stejných mocnin x.
D ů kaz: OZnacme
h(x) = f (x) — g(x).
Polynom h(x) mí nulovou hodnotu v nekonecne mnoha císlech, takZe vsechny jeho koeficienty jsou nulove. Odtud snadno plyne tvrZení. .
I Polynom s reélnými koeficienty budeme nazývat realnym polynomem. Veta 9.3.
Je-li a + i/3, // = 0 jednoduchým koěenem reálného polynomu
f (x) = an xn + an—1xn+1 +----+ cnx + ao, an = 0, (9.3)
je též císlo a — i/ jeho koěenem.
315 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
DUkaž: Dosažen ím x = a + i/// do (9.3) dostavame
f (a + i//) = an(a + i//)n + an—i(a + i//)n—1 +-----h ai(a + i//) + ao
= A + iB,
kde A = 9fč(f (a + i/)), B = 3(f (a + i/)). Ponevadž f (a + i/) = A + iB = 0, je A = 0, B = 0. Ponevadž (a — i/)r je c íslo komplexne sdružene k c íslu (a + i/)r pro r = 1, 2,..., n, plat í
f (a — i/) = an(a — i/)n + an—1(a — i/)n—1 + • • • + a1(a — i/) + a0 = A — iB.
Ponevadž A = B = 0, je f (a — i/) = 0, takže a — i/ je korenem polynomu (9.3). .
Je tedy polynom (9.3) delitelny soudnem korenovych cinitelu
(x — (a + i/)) • (x — (a — i/)) = (x — a)2 + /2, tedy realnym polynomem druheho stupnře. Je tedy
f (x) = [(x — a)2 + /2]f1(x), (9.4)
kde f1(x) je realny polynom stupne n — 2. Kdyby a + i/ byl dvojnasobnym korenem realneho polynomu f(x), byl by a+i/ jednoduchym kořrenem realneho polynomu f1(x),
316
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
urceneho vztahem (9.4). Tedý a - i/3 bý býl podle vetý 9.3 tez jeho korenem. Býlo bý tedý mořzne psat
fi(x) = [(x - a)2 + /2]f2(x), (9.5) kde f2(x) je realný polýnom stupne n - 4. Tedý
f (x) = [(x - a)2 + //2]f2(x).
T ímto jsme dospeli k tomuto zaveru
Je-li a + i/, // = 0, k-nísobnym kořenem řeílního polynomu f (x), je tíž a - i/ k-nasobným kořenem polynomu f (x).
Poznámka. Jestlize polýnom nen í realný, tvrzen í vetý nemus í být splneno. Např. polýnom f (x) = x2 + x(1 - i) - i ma c íslo i za svuj koren, avsak -i nen í jeho korenem.
Z toho, co jsme o korenech polýnomu uvedli, lze dospet k tomuto tvrzen í.
317 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Necht f (x) je reálny polynom. Necht a, (3,...,y jsou všechny jeho navžéjem mžné reálné koěeny a to a k-násobny, 3 l-nésobny, ... , Y m-násobny. Necht a ± ib,... ,c ± id jsou věechny jeho návžájem mžné dvojice nereálnych komplexně sdružených koěenu. Necht a+ib je p-násobny,..., c+id je q-nésobny koěen. Potom plát é
I pro kážde komplexné céslo x.
I Polynom f (x) žápsány ve tváru (9.6) nážývéme rožkládem reálneho polynomu I v reélném oboru._
Hledaní kořenů polynomů. Vyslovili jsme sice vetu o existenci kořenu polynomu, avsak neuvedli jsme Zat ím nic o Zpusobu jejich hledan í. Tato problematika je Znacne roZsahla a jej í vyklad v plnem roZsahu je nad ramec tohoto textu. Uvedeme Zde alespoň nekolik uvodn ich poZnamek k teto problematice.
Hledan í korenu polynomu 1. a 2. stupne by Vam melo byt vsem dobňe Znamo. Nekterym z Vas moZna nen í Znam prípad, kdy koreny kvadraticke rovnice jsou komplexn í. Proto si uvedeme i pňípad hledan í korenu polynomu 1. a 2. stupne. Zde nen í uvedeno podrobne odvoZovan í. Vyklad tykaj íc í se polynomu 2. stupne je nutno chapat jen jako pripomenutí poZnatku z matematiky v dňívejsím studiu. Existuj í i metody na hledan í
f(x)
(9.6)
318
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
korenu polynomu 3. a 4. stupne, kterymi lže koreny určit ž jejičh koefičientu konečnym počtem aritmetičkyčh operačí a odmočnovaní. Je dokažano, že neexistuje výpočtový poštůp, kterým bý býlo moZno v obecnem případe ůřčit kořený kaZdeho polynomů štůpne vetšího neZ 4 z jeho koeficientů provedením konečneho počtů aritmetických operací a odmocňovaní. Vypočtove postupy, kterymi by bylo možne určit koreny každeho polynomu 3. a 4. stupne ž jeho koefičientu konečnym počtem aritmetičkyčh operačí a odmočnovaní, davají nekdy vysledky v neprehlednem tvaru, takže se dava často prednost numeričkym postupum, kterymi lže približne hledat koreny polynomu i stupnu vetsíčh než 2.
Hledaní kořenu polynomu
P (x) = anxn + an—1xn—1 + • • • + a1x + a0, (9.7) kde an, an—1,..., a1, a0 G C, an = 0, vede na řesení algebraičke rovniče
anxn + an—1xn—1 + • • • + a1x + a0 = 0. (9.8)
Císlo a je kořenem polynomu (9.7), když a jenom když je řešením rovnice (9.8). Kořený polýnomů 1. štůpne. Pro n = 1 dostáváme ž (9.7) polynom
P1( x) = a1x + a0, a1 = 0. (9.9)
319 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Přr ísluřsnou algebraiCkou rovniCi
a1x + a0 = 0, a1 = 0,
(9.10)
nazyvame lineární rovnicí. Ma jediny koren, oznaC íme jej x1, kde
x1 = —a0. (9.1
a1
I Polynom PL(x) = a1x + a0, a1 = 0, má jediný kořen x1 = ——. Gráfem reálního
a
I polynomu 1. stupně (9.9) je pěámka
y = aLx + a0,
(9.12)
která protíná osu x v bode xL
^. (Viz obr. 9.18.)
y = ai x + a0
x
Obrazek 9.1: Graf linearn í funkCe (9.12).
320
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 9.4. Např. polynom
Pi(x) = 2x + 3
ma prave jeden kořen x1, ktery je kořenem rovnice
2x + 3 = O.
T řmto kořenem je č řslo x1 = —3. (Nakreslete si jeho graf.)
Koreny polynomu 2. štupne. Pro n = 2 dostavame ž (9.7) polynom
P2(x) = a2x2 + a1x + a0, a2 = 0. Kořeny tohoto polynomu jsou řesen ím kvadraticke rovnice
a2x2 + a1x + a0 = 0, a2 = 0. (9.15)
321 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
(9.13)
(9.14)
Koěeny x1,x2 (ve strucnám žapisu x1;2) polynomu (9.14), tedy ěeěení kvadratická rovnice (9.15), lže urcit podle vžtahu
(9.16)
(Vžtah (9.16) platí i pro polynomy, která nejsou reálná.) Císlo
D = a? — 4a2a0 (9.17) se nažyva diskriminant kvadratická rovnice (9.15).
Diskuze - realný polynom 2. stupne. Necht
P2(x) = a2x2 + a1x + a0, (9.18)
kde a2,a1,a0 G M, a2 = 0, je realny polynom 2. stupne. Mohou nastat tyto prípady.
a) D = 0. V tomto prípade dostavame ž (9.16)
x1,2=— . (9.19)
b) D > 0. V tomto prípade je \[D realne císlo a ž (9.16) dostavame
x1 = —^x2 = —^ (9.20)
322
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
c) D < 0. V tomto prípade dostavame z (9.16)
x1 = —a1_1^D, x2 = —a1 + . (9.21)
Příklad 9.5. Urcete koreny polynomu
a) f (x) = 2x2 — 3x,
b) g(x) = x2 — 5x + 6,
c) h(x) = x2 + x + 1.
Řešení.
a) Kořeny polynomu f (x) jsou kořeny rovnice
2x2 — 3x = 0. (9.22)
PonevadZ rovnice nema absolutní clen, není nutno k jejímu resení pouZít vztah (9.16). Rovnici (9.22) přepíšeme na tvar
x(2x — 3) = 0. (9.23)
PonevadZ soucin dvou vyrazu je roven 0, kdyZ alespon jeden z nich je roven 0, z (9.23) vyplyva x = 0 nebo 2x — 3 = 0. Odtud
3
x1 =0, x2 = 2.
323
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
b) Kořeny polynomu g(x) dostaneme řešením kvadratické rovnice
x2 - 5x + 6 = 0.
Diskriminant D teto rovnice poCítame podle (9.17). Dostavíme D = 52 — 4• 1 • 6, tedy D = 1. Podle (9.20) dostávame
5 — VI 5 + vT
xi = —2—' x2 = —2—'
tedy
x1 = 2, x2 = 3.
c) Kořeny polynomu h(x) dostaneme řešením kvadraticke rovnice
x2 + x + 1 = 0.
Diskriminant teto rovnice pocítíme podle (9.17). Dostáváme
D = 1 — 4 • 1 • I, takže D = —3.
Podle (9.21) dostíavíame
—1 — íV3 —1 + íV3
1 2 2 2
324
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Grafem reálného polynomu 2. stupně (9.14)
y = a2x2 + a1x + a0, a2 = 0,
je parabola, která je pro a2 > 0 otevěena ve smeru kladné osy y a pro a2 < 0 je otevěena ve směru zéporne osy y. Označíme D = a! — 4a2a0. Je-li D > 0, parabola protína osu x ve dvou mzných bodech x1,x2 daných vztahem (9.20). Je-li D = 0, parabola se dotíykaí osy x v boděe x1 = x2 daníem vztahem (9.19). Je-li D < 0, parabola neprotíné osu x. Viz obr. 9.2—9.7.
Obrazek 9.2:
a2 > 0, D > 0
x
x
x
Obrazek 9.3:
Obrazek 9.4:
a2 > 0, D = 0
a2 > 0, D < 0
325
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
x
x
x
Obrázek 9.5:
Obrázek 9.6:
Obrázek 9.7:
a2 < 0, D > 0
a2 < 0, D = 0
a2 < 0, D < 0
Shrňme si nyní dosaZene poznatky o hledání kořenů polynomů.
Kořeny polynomů 1. á 2. stůpne se hledají vySe ůvedenym způsobem. Koreny polynomů 3. á 4. stůpne lze sice vzdy ůrcit z jejich koeficientů proveden ím konecneho poctů rácionáln ích operác í á odmocňován í, ávsák vysledky byváj í vyjádňeny cásto v komplikovánem tvárů. Pro obecne polynomy stůpnů vets ích nez 4 je dokázáno, ze nelze nálezt vypoctove postůpy, jimiz by bylo mozno v obecnem prípáde z jejich koeficientů nálezt koreny konecnym poctem áritmetickych operác íá odmocňován í . To ovsem neznámená, ze koreny nekterych speciáln ích polynomů nelze ůrcit konecnym poctem zm ínenych operác í. Je tomů nápň. pro polynomy Pn(x) = xn — a0. K ůrcen í korenů polynomů stůpňů vetsích nez 2 se poůz íváj í numerické metody. Uceleny vyklád techto metod presáhůje rámec tohoto stůdijního textů. V dálsím pojednání se k teto problemátice vrát íme. V prípáde potreby je mozno ůrcit koreny ná poc ítáci, pokůd jsoů ná nem zábůdováne vhodne prográmy.
326
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Racionální lomená funkce
Racionalní lomenou funkcí nažývéme každou funkci tvaru
F (x) = fy • g(x) *0,
kde f (x) a g (x) jsou polynomy. Poněvadž polynom je definovan v každem komplexním ěísle, je racionílní lomena funkce definovana ve věech komplexních císlech v nichž je g(x) = 0, tj. ve věech císlech x, kterí nejsou koěeny funkce g(x).
Příklad 9.6. Funkce
2x + 3 F (x) = -5-
x3 + x
je racionalní lomena funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psat ve tvaru g(x) = x(x + i)(x — i). Je tedy F (x) definovana ve vsech komplexních císlech rôznych
od 0, —i, i.
Nechť citatel i jmenovatel racionalní lomene funkce F (x) mají spolecneho korenoveho cinitel x — a. Zkratíme-li tímto spolecnym korenovym cinitelem, dostaneme novou racionalní lomenou funkce, oznacme ji G(x). Funkce F (x), G(x) mají stejne hodnoty pro x = a. MuZe se ale stat, Ze funkce G(x) je v a definovana, zat ímco F (x) nen í v císle a definovana. V dalsím budeme predpokladat, Ze citatel a jmenovatel racionalní lomene funkce nemaj í řZadny stejny kořren.
327
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Necht; n je stupeř polýnomu citatele a m je stupeř polýnomu jmenovatele racionaln í lomene funkce F (x). Jestlize je n < m, funkci F (x) nazývame ryze lomenou, jestlize n > m, nazývame funkci F (x) neryze lomenou.
Necht;
F (x) = f(x)
je nerýze lomena funkce. Delen ím funkce f (x) funkc í g(x) dostaneme
f (x) = P (x) • g(x) + Q(x),
kde P (x), Q(x) jsou polýnomý. Polýnom Q(x) je zbýtek po delen í, jeho stupeř je mens í nez stupeř polýnomu g(x). Je tedý
F (x) = P (x)+fy •
Funkce ^j^r je rýze lomena racionaln í funkce.
Slovy: Neryze lomenou racionální funkci lze napsat jako součet polynomu a ryze lomené racionalní funkce.
Příklad 9.7. Funkce
, 3x4 - 2x3 + 1 x2 + 1
328 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
je neryze lomená. V čitateli je polynom stupně 4, ve jmenovateli je polynom stupně 2. Dělen ím dostáváme
(3x4 — 2x3 +1) : (x2 + 1) = 3x2 — 2x — 3 + ff+f-±3x4 ±3x2_ X
—2x3 — 3x2 +1 =f2x3 =f2x
—3x2+2x+1 2x+4
9.1.1. Kontrolní úlohy - polynom a racionální funkce
1. V kteryCh bodeCh je funkCe f (x) = 3Jr—| spojita? Zduvodnete.
[ve vseCh bodeCh ruznyCh od ±2]
2. UrCete koreny polynomu
a) x2 — 7x + 12 [3, 4]
b) x2 + x + 1 [—1 ± ]
329
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
c) x3 + 1
3. RozloZte na korenove cinitele polynom
x4 — x3 + 12x2 — 13x + 45
v íte-li, Ze ma koňen 1 + 2i. [(x — 1 + 2i)(x — 1 — 2i)(x — 4 DokaZte, Ze polynom
x4 — 5x3 + 6x2 — 9x + 27
ma dvojnasobny koňen 3.
5. Reste rovnici
x5 — 7 x4 + 9x3 — x2 + 7x — 9 = 0 v íte-li, Ze ma za koreny vsechny tret í odmocniny z jedne. [1, —l±2^^3, 7±2f13]
6. RozloZte v realnem oboru polynom x4 + 1.
[Navod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) — 2x2, x4 + 1 = (x2 + 1)2 — 2x2. Odtud (x2 + x\[2 + 1)(x2 — xy/2 + 1).]
7. RozloZte na soucet polynomu a ryze lomennou racionaln í funkci:
-i+iV335 — —i—iV35)]
330
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
x4 + 6x2 + x — 2 x4 - 2x3
n + 2x3+6x2+x—2 J [1 + x4-2x3 J
8. Urcete znamení funkcí
a) (x3 + 27)3(x — 5)2
b)
c)
(x2 — 1)2 x+3 (2x + 1)3(x2
3)3
x(x — 2)
[—-
i—
-3
+
-1
- + --•-•—e
1 0
2
5
+
+
+
+
J
V3 2 j
J
1
9.1.2. Zavedení odmocnin
Připomeřme si pojem inverzní funkce. Veta 9.4. (Inverzní funkce)
Necht funkce f (x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D (f). Označme její odvislý obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzní f—1, jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f—1 je na svem definičním oboru J spojití a rostoucí (klesající).
331
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
D ů kaz: Důkaz provedeme pro funkce f rostoucí na inervalu I. Pro funkce klesající je důkaz analogický. Predpokladejme tedy, ze f (x) je na intervalů I spojita a rostoucí.
Dokazme, ze funkce f—1(x) je rostoucí na intervalu J. Nechť x1,x2 G J, x1 < x2. Kdyby bylo f—1(x1) > f—1 (x2), platilo by
f (f—1(x1)) > f (f—1(x2)), (9.24)
neboť f je rostoucí na I. Podle (10.19) dostavame z (9.24) x1 > x2, coz je spor s predpokladem, ze x1 < x2. Je tedy funkce f—1(x) rostoucí na intervalu J.
Dokazme dale, ze funkce f—1(x) je spojitá na J. Necht a G J je libovolny bod, ktery není jeho pravym koncovym bodem. Nechť e > 0 je libovolne císlo. Potom f—1(a) G I a není to pravy koncovy bod intervalu I. Jestlize f—1(a) + e G I, oznacme b libovolny bod z J, pro nejz je b > a. Jestlize f—1(a) + e G I, polozme b = f (f—1(a) + e) G J. Pak pro vsechna x G (a, b) je f—1(x) definovana. Zaroveň z monotonie teto funkce plyne
f—1(a) < f—1(x) 0. Je tedy
an = |a|, n sudá, a G M.
Např y7(—2)2 = | — 2| =2.
b) n lichá. Potom yfx je definovana pro vřechna x G M a platí
je-li x < 0, potom \fx = — \f—x.
Pravidla pro poCítaní s odmocninami. Vžhledem k uvedene požnamce stací se omežit na odmocniny s nežapornymi argumenty.
335
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 9.5. (Odmocniny - pravidla)
Necht x, y G M, x > 0, y > 0, m, n G N. Potom platí
(9.25)
(/x • "y = n x • y (9.26)
= "\ , pokud y = 0. ny Vy (9.27)
y/ = m//x (9.28)
(9.29)
Dukaž: Dokažme jen vžtah (9.25). Uvedomte si, že ž existence "fx vyplyva existence x/x7". Položme
= y, a/x™ = u (9.30) kde y au jsou takova reálná císla, že
yn = x un = xm (9.31)
Ze vžtahu (9.31) vyplyví
ynm = xm = un.
To žnamena, že
(ym)n = un.
336 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Odtud
Vzhledem k (9.30) dostáváme dokazovaný vztah
DokaZte dalS í pravidla!
Příklady na procvičení odmocnin
a) Vl25 •/5 = V125 • 5 = = 52 = 25
.x VT25 /125 r-
c) {/—81 = ^—27 = —^27 = —3
e) 8)2 = (—^8)2 = (^8)2 = 22 = 4
f) (V9)4 = (V32)4 = 34 = 81
h) vv—4 neexistuje v R
337
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
i) j)
V8 + ^/72 W22 • 2 + V62 • 2 = 2^/2 + 6^/2 = 8\/2.
'x + 1
x2 + 2x + 1
k)
x
x
x,
5- 1
'\fx\fx — 1
)2
x
pro x > 0
v x3v x2 — 1
)"
x5 - 2Vx5 + 1
1
= x—2\fx+-/= = x—+— pro x > 0
x
nebo
( 1 )2 1
í \/x—//x \ = x—
1 2 tš 1
— = x—2v x3—
x
x2 v x2\/x
^ 1 r_ pro x > 0
x
338
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
9.3. Mocniny s racionálním exponentem
V dřívějším pojednání jsme si ukázali zavedení celočíselných mocnin reálných čísel a zaveden í operac í jejich násoben í a umocnován í . Býlý uvedený jejich Vám dobře známe vlastnosti. Mocniný reálných c ísel nýn í rozs íř íme i pro racionáln í mocnitele a pozdeji i pro mocniný s reálným exponentem, a to tak, ze se zachovaj í základn í vlastnosti mocnin s celoc íselným mocnitelem. Vlastnosti odmocnin reálných c ísel uvedene ve vete 9.5 nás vedou k rozs íren í celoc íselných mocnin reálných c ísel na mocniný reálných c ísel s racionáln ím exponentem.
Definice 9.2.
Necht; p G Z, q G N a necht; x je kladne reálne c íslo. Definujme xq vztahem
P /-
xq = v xp.
p
Pro x = 0, p, q G N polozme xq = 0. Pro x > 0 je pri teto definici splnen nezbýtný pozadavek platnosti vztahu
kde r, s jsou odlisne zápisý tehoz racionáln ího c ísla. Necht; tedý r = ^, pro k G N, je odlisne výjádřen í tehoz racionáln ího c ísla p. Potom podle (9.32) je
pk ik/ z xqk = v xpk.
(9.32)
339
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Avsak ^yx^ = "{/(xp)k a podle (9.25) je ^(xp)k = ^x?. Je tedy
p pk
xq = xqk pro k G N. (9.33)
Ukazme si nyn í nasledujíc í vlastnosti takto zavedenych mocnin realnych c ísel s racionaln ím exponentem. Predevs ím si vsimneme, ze pro q = 1 je xq = xp, tedy mocnina s celoc íselnym exponentem. Kazde pravidlo pro poc ítan í s mocninami s racionaln ím exponentem plat í tedy i pro celoc íselne mocniny.
1) Nechť x > 0, r = p, s = ^, kde p, u G Z, q, v G N. Potom plat í
x x — x , — x .
Skutecne, postupne dostavame
xr • xs = xq • xv = x ^ • x 'v" = K/xpv • K/xqu Podle (9.26) je tedy _
Ponevadz pv, uq G Z, lze psat
340
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Užitím (9.32) je tedy
tj.
Dospeli jsme ke vžtahu
r s pv + qu
x • x = x qv .
xr • xs = xqv + qv
Vžtah Xs = xr—s se dokazuje obdobne. 2) Nechť x > 0, r = p, s = ^, kde p, u G Z, q, v G N. Potom platí
(xr )s = xrs.
Skutecne. postupne dostavame
(xr )s = (xq)u =
Podle (9.25) dostavame odtud
Podle (9.28) dostavame odtud
(xr )s = \f v/xpu.
341
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
p
tákze ůzit ím (9.32)
pu p u
(x ) = xvq = xq v = x . 3) Nechť r, s G Q, r < s. Nechť x > 1. Ukázme, ze
T S
x < x.
Nechť r = p, s = ^, kde p, u G Z, q, v G N. Potom
T q/ ~ř> S v/ ľľ
^y> - rf*U ry - \ / ry u
Podle (9.33) lze zápsát xT, xs ve tvárů
Ponevádz r < s, tj. p < u, je
pv < qu.
ponevádz x > 1, je xpv < xqu. Ponevádz qv-tá odmocniná je fůnkce rostoůc í, je Podobne plát í : Nechť r, s G Q, r < s, 0 xs.
342
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ObdrřZene vysledky shrneme do nasleduj íc í vřety.
Veta 9.6. Mocninami š racionalním exponentem
Necht r, s G Q, x > 0. Potom platí
= xr—s — x ,
xs
(xr )s = xrs,
Je-li x > 1 a r < s je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs.
9.4. Mocniny s reálným exponentem
Zavedeme si nyn í mocniny kladnych realnych řc ísel s realnym exponentem jako roZřs ířren í mocnin kladnych realnych c ísel s racionaln ím exponentem. Jeden z moZnych zpusobu tohoto rozs ířen í je uveden v nasleduj íc í definici.
343
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Definice 9.7. (Záveden í x1, 7 G R)
Necht x > 0. Označme
D = {xa : a G Q, a < 7}.
a) Necht x > 1. Položme
x1 = sup D.
b) Necht 0 < x < 1. Položme
x1 = inf D.
c) Necht: x = 1. Položme
x1 = 1.
d) Necht x = 0, 7 > 0. Položme 01 = 0.
e) 00 není definováno.
Ukázme, ze tákto závedene c íslo x1 má tůto vlástnost. Nechť x > 0, 7 G R. Oznácme
H = {x^ : p G Q, (3>7}.
Potom plát í
ä) Necht x > 1. Potom plát í
x1 = inf H.
344
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
b) NeCht 0 < x < 1. Potom platí
xY = sup H.
Dokazme a).
Zvolme libovolne e > 0 ak nemu urCeme n G N tak, ze
xY (x — 1)
e
n >
Zvolme a, // tak, ze a < y < //, 0 < // — a < n. Potom platí
1 < a < x n = 1 + J.
Tedy
x/3-a _ 1 < J.
Z (9.34) dostavame x = (1 + J)n > 1 + nJ. Odtud
x1
J<
n
Ukazme nyní, ze x3 — xa < e.
(9.34)
345
x3 — xa = xa(x3 a — 1) < xa • J < xax—1 < xYx—1 < e.
nn
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
PonevadZ x/ — xY < — xa pro vsechna a, dostavame
— xY < e.
K libovolnemu e > 0 lze tedy nalezt /3 tak, Ze — xY < e. Je tedy inf H = xY. Poznamka. Dulaz b) je analogicky.
Pro mocniny realnych císel s realnym exponentem se definuj í aritmeticke operace a operace umocnovan í pomoc í mocnin s racionaln ím exponentem. Tuto konstrukci zde nebudeme uvadet. Uvedeme si pouze vlastnosti mocnin realnych c ísel s realnym exponentem.
Na mnoZine mocnin realnych c ísel lze zavest aritmeticke operace a jejich umocřovan í realnymi císly rozsiren ím odpovídaj ících operací zavedenych pro racionaln í císla. Pro tyto mocniny plat i tato pravidla.
346
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 9.8. Mocniny s reálným exponentem
Necht r, s G R, x > 0. Potom platí
_ = xr-s — x ,
xs
(xr )s = xrs,
Je-li x > 1 a r < s, je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs.
9.5. Exponenciální funkce a logaritmus
Necht; a > 0, a = 1. Definic í 9.4.7 jsme zavedli ax pro kazde x G R. Vztahem
y = ax, x G R
je tedý pro a > 0, a = 1 definována funkce. Nazýváme ji exponenciální funkcí o zakladu a. Oborem jejich funkcn ích hodnot je interval (0, oo).
Pozadavek a > 0 je nutný, nebot ax je pro vsechna x G R definovaná jen pro a > 0. Pro a = 1 je sice ax definováno pro vsechna x, ale v tomto případe je 1x = 1 pro
347
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
vsechna x G R, tuto funkci nerad íme mezi exponencialn í funkce.
Exponencialní funkci o zakladu a = 10 nazývame dekadickou exponencialní funkcí.
Z definice mocniny ax lehce vyplýva její spojitost v kazdím bode x. Přo a > 1 je funkce y = ax řostoucí, přo 0 < a < 1 je funkce y = ax klesající. Existuje přoto k n í funkce inveřzní. Oznacíme ji y = loga x. Je tedy loga x přo x G (0, to) to císlo y G (—to, to), přo níž ay = x.
Příklad 9.8. log10 100 = 2, neboť 102 = 100, log10 0,01 = -2, neboť 10-2 = 0,01.
Ukazme si nektere vlastnosti funkce y = /ogax.
Necht a > 0, a = 1. Dale necht x1 ,x2 > 0, s G R. Potom plat í
= loga x1 +loga ^ loga x1 - loga ^
(9.35)
(9.36)
(9.37)
loga x1 = S loga x1.
Dokazme např. (9.35). Polozme
loga x1 = y1, loga x2 = y2, loga(x1x2) = y.
(9.38)
Potom
(9.39)
348
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Odtůd dostáváme
xix2 = ayi • ay2 = ayi+y2 = ay.
Tedy
y = yi + y2.
Vzhledem k (9.38) dostáváme
l0ga(xix2) = l0ga x1 + loga x2.
Vztáhy (9.36), (9.37) se dokázůj í ánálogicky. Ukáňzme jeňstňe jednů vlástnost.
Nechtt a > 0, a = 1, x > 0. Potom
x = aloga x.
Skůteňcnňe. Poloňzme
loga x = y. (9.40) Je tedy x = ay. Dosád íme-li sem zá y (9.40), dostáváme
x = aloga x.
Shrnňme dosáňzene vysledky.
349 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Funkce y = ax, kde a je kladné reélné konstanta mzna od jedne, je spojité. Pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—to, to) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—to, to). Oborem jejich hodnot je v obou pěípadech interval (0, to). Nazýva se exponencialní funkcí se zékladem a. Specialním pěípadem je funkce y = ax pro a = 10, tedy funkce y = 10x. Nazyva se dekadicka exponencialn í funkc í.
K funkci ax existuje funkce inverzní, znacíme ji loga x (cteme logaritmus x pěi zaklade a). Je definovana na intervalu (0, to). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, to). Je v něm spojita.
Na obr. 10.6 jsou grafy funkc í y = ax, y = loga x pro a > 1 v kartezskem souradnem systemu. Na obr. 10.7 jsou grafy funkc í y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1.
350
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obrazek 9.10: Graf funkce ax a loga x pro a > 1.
351
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Obražek 9.11: Graf funkce ax a loga x pro 0 < a < 1
352
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Necht a, b jsou kladní reílní císla mzna od jední. Jsou-li x1, x2 G (0, to), s G R potom platí
loga(x1 ^ x2) = loga x1 +loga x2' (9.41) x1
loga~ = loga x1 — loga X2' (9.42)
x2
loga xS = s ^ loga x. log6 x = loga x ^ log6 a. (9.43)
Funkci y = log10 x nažyvame dekadickym logaritmem a vetsinou ji žkracene žapisu-jeme jako y = log x.
Eulerovo Číslo. Velky vyžnam ma exponencialní funkce se žakladem iracionalního císla, žvaneho Eulerovo císlo. Znací se e. Toto císlo lže definovat jako
e = sup A, kde A = j ^1 + ,n G N j . Ožnacíme-li B = {(1 + ^)n, n G N}, platí inf B = e. Dale platí
1\n /I
1 + - 1. Jejám definiCnám oborem je I (—oo, o). Oborem jej ách funkěních hodnot je intervál (0, oo). Názyvá se přirozenou exponenáalní funkd.
K funkci y = ex existuje funkce inverzná. Másto y = loge x se větěinou pěe
y = lnx, x G (0, oo).
Názyvá se pěirozenou logáritmickou funkcí. Obecná mocnina. Funkd
y = xs, s G R, x G (0, oo)
definujeme vztahem
xs = (eln x)s = es ln x. Odtud je vidřet, řze je to funkCe spojita na intervalu (0, o).
9.6. Trigonometricke funkce
Dr íve nez zaCneme s vlastn ím vykladem, zopakujme si nektere Vam dobre zname pojmy.
354 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
9.7. Uhel v obloukové míře.
Uhly meříme jak ve stupn ích tak i v m iře obloukove. Nechť AVB je libovolny uhel.
Oblouková míra úhlů. Sestrojme v rovine AVB jedotkovou kruznici (to jest kruznici o polomeru 1 ) se středem v bode V, viz obr. 9.12. Oznacme A1 (Bi) jej í prusecík s přímkou VA (VB). Potom velikost í uhlu AVB v obloukove m iře rozum íme delku x kruhoveho oblouku A1B1 vyznaceneho na obrazku (9.12). Jedotkovy uhel obloukove m iry se nazyva radian. Oznařcuje se rad. Je tedy 1 rad velikost uhlu, ktery na jednotkove kruřznici se střredem ve vrcholu uhlu vyt ina oblouk jednotkove delky. Přri oznařcovan i velikosti uhlu se vetsinou vynechava oznacen í rad. Tedy např. pravy uhel v obloukove m iře je roven |rad, zkracene zapsano |.
Obrázek 9.12: Uhel v obloukové míře.
355
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Stupnova velikošt úhlů. Jednotkovy stupeř uhlove m íry, zvany (uhlovy) stupen je roven 90 praveho uhlu. Jako mens i jednotky stupnove velikosti uhlu se pouZ ívaj i minuty a vteřiny. Stupne, minuty a vteriny vyznacujeme jako ,,°, "". Plat i 1° = 60', 1' = 60". Je tedy
1° = 60/ = 3600//.
Velikost uhlu AVB ve stupřove m iře nazyvame nezaporne c íslo, ktere vyjadřuje kolikrat je uhel AVB vets í (mensí) neZ jeden stupen (m íneno uhlovy stupen).
Vztah mezi velikošti Uhlu v obloukove míře a velikošti úhlu v míře štupnove.
Uhlu 360° ve stupnove m íře odpovída uhel 2n v obloukove m iře. Tedy mezi velikosti uhlu a ve stupřove m iře a velikosti x tehoZ uhlu v obloukove m iře plat í vztah
a : x = 180 : n.
(Viz obr. 9.13.) Odtud dostavame napr. x = ^a. Napr. pro uhel a = 90° dostavame
x = 2 .
V nasleduj íc í tabulce 9.1 je vyznacen vztah mezi velikosti uhlu v m iře stupnove a v m iře obloukove pro nektere vyznacne uhly.
Orientovaný íhel. Orientovanym uhlem v rovine rozum íme usporadanou dvojici poloprímek sespolecnym pocatkem. V teto dvojici prvn ípolopřímku nazyvame pocatecn ím ramenem a druhou koncovym ramenem orientovaneho uhlu. Spoleřcny pořcatek třechto polopřr imek
356
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Obrázek 9.13: Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míře.
úhel ve stupních 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
úhel v radiánech 0 n 6 n 4 n 3 n 2 n 3 2 " 2n
Tabúlka 9.1: Vztah mezi velikostmi áhlú ve stupních a v radianech.
nazýváme vrcholem úhlu. Orientovaný úhel s počátečním ramenem V A a koncovým ramenem VB budeme označovat AVB.
UvaZujme orientovaný úhel AVB. Jeho velikostí v obloukove míře rozumíme kaZde číslo tvaru (viz.(9.13))
a + 2kn (9.44)
kde k E Z a a určíme takto:
357
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) Jestliže V A = VB, je a = 0.
b) Jestliže VA = VB je a velikost neorientovaneho uhlu, ktery vžnikne otocením pocatecn ího ramene VA do polohy koncoveho ramene VB v kladnem smyslu, to jest proti pohybu hodinovych rucicek. Je tedy 0 < a < 2n. Takto definovane císlo a se nažyva žakladn í velikost í orientovaneho uhlu.
SouCet a roždíl orientovaných uhlu. Nechť AVB, BVO jsou orientovane uhly. Kon-cove rameno prvn ího ž nich je pocatecn ím ramenem druheho ž nich. Jejich souctem se nažyva orientovany uhel AVC. Jestliže velikost prvn ího ž nich je a + 2k1n a velikost druheho je // + 2k2n, kde k1, k2 G Z, potom jejich suctem je uhel a + // + 2kn, kde k = k + k2. Jestližejuhel A?Cje souctem uhlu AVB a ^ĚTVc, pak uhel BfVC nažyvame rožd ílem uhlu AVC a AVB.
Periodicke funkce Dríve než si žavedeme goniometricke funkce, žopakujme si pojem periodicke funkce.
Funkci f (x) nažyvame periodickou, jestliže ma tuto vlastnost: Existuje taková císlo oj, žvaní perioda funkce f (x), že platí: Je-li funkce f (x) definovaná v císle x, je definovaná ve vsech císlech x + ko, k G Z a platí
f (x + ko) = f (x), k G Z. (9.45)
Nejmenřícíslo oj pro než platí (9.45) se nažýva žakladn í periodou.
358
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x
Zabývejme se nyní trigonometrickymi funkcemi, žvanymi nekdy tež funkce goniometrické. Omežíme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhlem souradnem systemu sestrojme kružnici o jednotkovem polomeru se stredem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychažej íc í ž pocatku, ktery svíra s kladnou osou uhel x. Tento polopaprsek protne kružnici v jednom bode. Jeho souřadnice ožnacme cos x, sin x (viž obr. 10.8). Tyto souradnice žavis í na x, takže cos x a sin x jsou funkce definovane pro kařžde realne x.
Pomoc í funkc í sin x a cos x definujeme dals í trigonometricke funkce tg x, cotg x vžtahy
sin x cos x
tg x =-, cotg x =-
cos x sin x
pro ty uhly x, pro než je jmenovatel mžny od 0. Zaveden í funkc í tg x, cotg x je patrno
teřž ž obr.10.8
359
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
cotg (—x)
Obrázek 9.14: Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x. Některé význačné vlastnosti funkcí sin x, cos x.
Trigonometrické funkce jsou dostateCne známy ze strední skoly a proto zde jen zopakujeme jejich základní vlastnosti.
Z definice a z konstrukce je videt, ze sinO = 0, sin | = 1, sin n = 0, sin 31 = —1, sin2n = 0, cosO = 1, cos | = 0, cos n = —1, cos ^ = 0, cos(—2n) = 1. Z definice je videt, ze obe funkce jsou periodicke s periodou 2n a ze sin(—x) = — sin x, cos(—x) =
360
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
cos x. Pro x G (1,7r) nabude sin x všech hodnot z intervalu (0,1) a cos x všech hodnot z intervalu (—1,0). Pro x G (n, ^) nabude sin x všech hodnot z intervalu (—1,0), cos x všech hodnot z intervalu (—1,0); koneCne pro x G (^, 2n) nabude sin x všech hodnot z intervalu (—1,0) a cos x všech hodnot z intervalu (0,1).
Dále z obr. 10.8, je patrno, že funkce sin x, cos x jsou periodické s periodou 2n. Funkce sin x je rostouce v intervalech < —n/2 + k2n,n/2 + k2n >, k G N a klesajíce v intervalech n/2 + 2kn, 3n/2 + k2n, k G N.
Funkce sin x je kladná pro uhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro uhly ve třetím a ve čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro uhly v prvním a ve ctvrtem kvadrantu a je zaporna pro uhly ve druhem a ve tretím kvadrantu.
Na obr.9.15 je vykrešlen graf funkce sin x a na obr.9.16 je vykrešlen graf funkce cos x.
361
• Titulní strana
Obrazek 9.15: Graf funkce sinx. • Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y 4 y = cos x ^-
_0_ \ /
x
-1 -
Obrázek 9.16: Gráf fůnkce cos x.
Ze stredn í skoly jsoů známy součtové vzorce:
sin(xi ± x2) = sin xi • cos x2 ± sin x2 • cos xi, (9.46)
cos(xi ± x2) = cos xi • cos x2 =F sin xi • sin x2. (9.47)
Z těchto vzorců lze lehce odvodit řadu dals ích velice užitečn ích vztahů.
Klademe-li v techto vzorc ích xi = x2 = x, dostaneme z (9.46)
sin 2x = 2 • sin x • cos x, cos 2x = cos2 x — sin2 x.
Dosád íme-li x1 = x2 = x do vzorce pro kosinůs rozd ílů do (9.47), dostáváme
362
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
sin2 x + cos2 x = 1.
Tento vzorec se vzorcem pro cos2x dava:
2 1 + cos 2x . 2 1 — cos 2x cos2 x =-, sin2 x =-.
22
Ze vzorcu pro sin(xi ± x2) a cos(xi ± x2) snadno dostaneme:
sin x1 + sin x2 = 2 • sin---• cos---,
22
xi + x2 . xi — x2
sin xi — sin x2 = 2 • cos-• sin-,
i 2 2 2
x1 + X2 X\ — X2
cos xi + cos x2 = 2 • cos —-— • cos —-—,
2 2
. x1 + x2 . x1 — x2
cos x1 — cos x2 = — 2 • sin-• sin-.
Spojitost funkcí sin x a cos x.
Veta 9.9. Funkce sin x je v čísle 0 spojitá.
363
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Důkaz: (Sleduj obr. 10.8.) Buď x G (0, |). Z definice a konstrukce je patrno, že zde platí 0 < sin x < x. Zvolme 0 < e < | libovolne a položme ô = e. V U+(0) je funkce sin x definovaná a platí | sin x — 0| = | sin x| = sin x < x < e, takže funkce sin x je v 0 zprava spojita. Ponevadž funkce sin x je lichá, lehce nahledneme, že funkce sin x je v ďsle 0 take žleva spojita a proto je v císle 0 spojitá. .
Veta 9.10. Funkce cos x je v čísle 0 spojita.
Důkaz: Bud' e > 0. Zvolme císlo ô = v/2e > 0. Pak v okolí U+(0) je funkce cos x definována a je v tomto okolí
i -ni-, i^-9 x n (x \ 2 x2 ô2
cos x — 1 = 1 — cos x = 2 • sin — < 2 • — = — < — = e. 1 11 1 2 \2) 2 2
Je tedy funkce cos x v císle 0 žprava spojita. Ponevadž
cos(x) = cos(—x),
je funkce cos x i žleva spojita a proto je i spojití v bode 0. . Veta 9.11. Funkce sin x je spojita ve všech bodech.
D ů kaz: Nechť a je libovolne císlo. Dokažme, že je v nem funkce sin x spojita. Z definice spojitosti funkce vyplyví, že funkce sin x je spojita v bode a když a jenom když funkce sin(a + h) je spojita v bode h = 0. Podle (9.46) dostívame
sin(a + h) = sin a cos h + cos a sin h. (9.48)
364
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ponevadz funkce sin h, cos h jsou funkce spojite v bode h = 0, dostavame odtud, ze prava strana v (9.48) je spojita v bode h = 0, takze funkce sin x je spojita v bode a. .
Věta 9.12. Funkce cos x je spojitá ve všech bodech.
DUkaz: Skutecne. Spojitost funkci cos x vyplýva ze vztahu cos x = sin(| — x) a z vety o spojitosti slozene funkce. .
Funkce tg x, cotg x.
Pomocí funkcí sin x a cos x jsme definovali trigonometricke funkce tg x, cotg x vztahy
sin x cos x
tg x =-, cotg x =-
cos x sin x
pro ty úhly x, pro nezje jmenovatel mzny od 0. Jejich zavedení je patrno tez z obr.10.8 Některé význačné vlastnosti funkcí tg x, cotg x.
Funkce tg x je definovaná pro všechna x rUzná od lichých násobku |, funkce cotg x je definovaná pro x rUzná od násobku n. Funkce tg x á cotg x jsou kladné pro úhlý pro x v prvním á ve třetím kvádrántu v němž jsou definovány á záporná pro uhlý ve druhem á ve tretím kvádrántu v nžmz jsou definovány. Týto funkce jsou zžejmž periodická s periodou n.
Podobnym zpusobem jako u funkcí sin x a cos x lze ukízat, ze funkce tg x stíle roste v intervalu (—|, |) a nabude vsech reílnych hodnot. Funkce tg x není definovana pro
365
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
liché násobky č řsla n. Podobně funkce cotgx stále klesá v intervalu (0,7r) a nabývá zde všech reálných hodnot.
Graf funkce tg x je ná obr. 9.17.
y = tg x
Obrazek 9.17: Graf funkce tgx.
Graf funkce cotg x je na obr.(9.18).
366
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y i y = cotg x
V í-
-n 0 í -N n x
Obrázek 9.18: Graf funkce cotg x.
Ukázali jsme, že funkce sin x, cos x jsou spojité na intervalu (—00, to). Funkce tg x, cotg x jsou tedy jako podíl spojitých funkcí funkce spojite v každem bode sveho definičního oboru. MuZeme tedy vyslovit tento zaver:
Veta 9.13.
Trigonometrické funkce jsou spojité ve vsech číslech, ve kterých jsou definovány.
Důkaz: Dukaz vychazí z vety o spojitosti podílu a z vet předchazejících. .
367 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
9.7.0.1. Funkce cyklometrické
Zabyvejme se predevs ím existenc í funkcí inverzn ích k funkc ím sin x, cos x, tg x, cotg x.
Funkce sin x, cos x, tgx, cotgx. nejsou proste, tedy k nim neexistuj í funkce inverzn í . Budeme proto uvaZovat tyto funkce pouze na intervalech, na nichZ jsou proste.
Funkce arcsinx UvaZujme funkci y = sinx, zuZenou na interval < — n/2, n/2 > . Tato funkce je na tomto intervalu spojita a rostouc i. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n í inverzn í, oznacme ji arcsin. Jej ím neodvislym oborem je interval < —1, 1 > a odvislym oborem je interval < —n/2,n/2.. Na svem definicn ím obor je spojita a rostouc í. V kartezskem souradnem system je jej í graf symetricky vzhledem k ose y = x s grafem funkce sinx, zuZene na interval < —n/2,n/2. >. Jej í graf je na obr.10.9
| arcsin x je ten úhel z intervalu (—|, |), jehoz sinus ma hodnotu x.
368
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Obrázek 9.19: Graf funkce arcsinx.
Funkce arecosx Uvažujme funkci y = cos x, zúženou na interval < 0, ir > . Tato funkce je na tomto intervalu spojitá a klesaj íc í. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n í inverzn í, oznaCme ji arccos. Jej ím neodvislým oborem je interval < —1, 1 > a odvislým oborem je interval < 0,i >. Na svem definicn ím oboru je spojita a klesaj íc í . V kartezskem souradnem system je jej í graf symetrický vzhledem k ose y = x s grafem funkce cosx, zuzene na interval < 0,i >. Jej í graf je na obr.10.10
| arccos x je ten úhel z intervalu (0,ir), jehož kosinus má hodnotu x.
369
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
9.7.0.2. Funkce arctg x
Funkce tg x je v intervalu (—|, |) spojitá a rostoucí a nabývá zde vsech hodnot z intervalu (—00, 00). Tedý k ní existuje funkce inverzní definovana na intervalu (—00, 00). Tuto funkci oznacujeme arctgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—00, 00) a je v nem rostouc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf v kartezskem souradnem sýstemu se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x e (—2, 2) okolo přímký y = x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctg x je tento:
370
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
I arctg x je ten úhel z intervalu (—|, |), jehoz tangens ma hodnotu x. Graf funkce arctg x je na obr,10.11
2
^ " y = arctg x
0 "x
— 2
Obražek 9.21: Graf funkce arctg x.
Funkce cotg x je v intervalu (0,n) spojita a klesaj íc í a nabyva v nem vsech hodnot ž intervalu (—oo, to). Tedy k n í existuje funkce inveržn í definovana v intervalu (—to, to). Tuto funkci ožnacujeme arccotgx. Podle vety 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—to, to) a je v nem klesaj íc í. Nabyva vsech hodnot ž intervalu (0,n). Jej í graf v kartežskem souradnem systemu se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x G (0,n) okolo prímky y = x (viž obr. 10.12). Geometricky vyžnam funkce arccotg x je tento:
| arccotg x je ten uhel z intervalu (0,n), jehoz kotangens mú hodnotu x.
371
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nažyvaj í funkce cyklometrická. Dosavadn í vysledky o spojitosti lže shrnout takto:
Veta 9.14. Funkce cyklometrická jsou spojitá na svám definiřním oboru.
y
^_____y = arccotg x
0 "x
Obražek 9.22: Graf funkce arccotg x.
Veta 9.15. Funkce cyklometrická jsou spojitá na svám definicním oboru.
372 •Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 10
Derivace reálne funkce reálne proměnné
10.1. Zavedení pojmu derivace funkce Zacneme s touto ulohou.
Nechť y = f (x) je realna funkce realne promenne definovana na intervalu I. Necht a je vnitrn ím bodem intervalu I. Upresneme si intuitivne chapany pojem tecny ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)] (viž obr. 10.1)
Nažor nas vede k teto definici. Zvolme bod x G I, x = a, a uvažujme prímku p jdouc í body T [a,f (a)], M [x,f (x)] (p je secnou grafu funkce f (x)). Jej í smernice, ožnacme
373
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y * f T [a, f (a) x), / M /p x, f (x)]
i í í 3 r x
Obrázek 10.1: TeCna ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)].
ji k (x) (to jest tangens uhlu, ktery svíra přímka p s kladnym smerem osy x), je rovna
x — a
Lze tedy pri pevne zvolenem a povazovat k(x) za funkci promenne x. Tato funkce není v bode a definovana.
374
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Existuje-li
t 7 i \ t f (x) — f (a) k = lim k(x) = lim —J-^-,
x—a x—a x — a
pak prímku jdoucí bodem T [a, f (a)] se smernici k nazveme tečnou grafu funkce y = f (x) v bode T. Pčímku na ni kolmou nazveme normílou krivky y = f (x) v bode T. (Podobne mluvíme o praví (leví) polotecne grafu funkce y = f (x).)
V rade aplikací še šetkavame š touto ulohou. Nechť f (x) je dana funkce. Ma še urcit limita (rešp. limita zprava (zleva)) v bode a funkce F (x) definovane vztahem
F (x) = f (x) — f (a).
xa
Pro tyto limity, pokud exištují, zavadíme pojem derivace funkce f (x) v bode a našledující definicí.
375 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 10.1. (Definice derivace funkce)
Necht; f (x) je funkce, a je reálné číslo. Jestliže existuje číslo, označme jej f/+(a) G R (f /—(a) G R) tak, že
f/+(a) = lim f (X) - f (a), (f" (a) = lim f(x) f(a), ) (10.1)
x—a+ x — a \ x—a- x — a y
pak tuto limitu nazývame derivací zprava funkce f (x) v čísle a (derivací zleva funkce f (x) v císle a).
Jestliže funkce f (x) má v bode a derivaci zprava f/+(a) a derivaci zleva f/— (a) a jestliže f/+(a) = f/— (a), nazývame tuto spolecnou hodnotu derivací funkce f (x) v bode a a znacíme ji f/(a). Je tedý
f/(a) = lim f (x) " f (a).
x—a x — a
Dohoda o oznaCovaní. Jestlize uvazujeme funkci f (x) na intervalu I, jehoz levým (pravým) koncovým bodem je bod a, budeme nekdý pouzívat oznacení f/(a) místo
f+(a) (f/— (a)).
Poznámka 1. Vsimneme si, ze funkce
F (x) = f (x) — f (a)
xa
376
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
vystupuj ící v definici derivace funkce f (x) v (10.1) nen í definovana v bode a, neboť jmenovatel je v bode a roven 0.
Poznámka 2. Poloz íme-li v (10.1) x = a + h, muzeme derivaci funkce f (x) v c ísle a definovat tez jako
lim f (a + h) — f (a). (10.2)
Na h se muzeme d ívat jako na prírustek neodvosle promenne x, to jest h je c íslo, o nez se zmen í x-ova souřadnice, prejdeme-li z bodu a do bodu a + h. Přírustek neodvisle promenne se casto oznacuje tez jako Ax. Čitatel v (10.2) je pak prírustkem odvisle promenne y a oznacujeme jej obvykle Ay, resp. Af. Tedy Ay je hodnota, o n íz se zmen í funkcn í hodnota pri prechodu z bodu a do bodu a + h. Tedy (10.2) lze zapsat jako
lim —Ay.
Ax—0 Ax
Poznámka 3. Pojem derivace funkce ma znažnú uplatnžnú v ekonomických aplikacích. Vyjdeme z príkladu, ktery nam pomuze pochopit problematiku vyuzit í derivací v nekterych ekonomickych aplikacích.
Nechť s = s (t) vyjadruje ujetou vzdelenost auta za dobu t. Necht t1,t2, kde t1 < t2, jsou dva casove okamziky. Potom za dobu t2 — ti auto ujede vzdalenost s(t2) — s(ti).
377
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Císlo
Í2 — ti
vyjadruje tedy prumernou rychlost, kterou auto dosíhne v dobe od casoveho okamziku t1 do casoveho okamziku t2, tj. za dobu t2 —11. Potom derivaci s'(t0) funkce s(t) v bode to, tj.
lim S(t) — f (t0)
t—to t — to
muzeme nazvat okámžitou rýchlostí auta v casovem okamziku t0.
Jestliže promžnná x á y znáči nžjáke ekonomická veliciný, výjádžuje funkce y = f (x) jejich vzájemnou závislost. Potom f ^(a) výjádžuje prumerná á f '(a) okámžitý pomžr zmený tžchto ekonomických veližin. V závislosti ná ekonomická áplikáci dostává deriváce f '(a) vhodný ekonomická název.
Jestliže y = f (x) má v bode a deriváci f'(a), potom pžámká jdoucí bodem T [a, f (a)] se smcrnicá f'(a) je tecnou ke gráfu y = f (x) v jejám bode T. Pžámká k ná kolmá, jdoucá bodem T, je jej á normálou v bode T.
Derivace funkce f (x) = c, c g (—to, to)
Nechť f (x) = c, c g (—to, to). Potom podle definice 10.1 dostavame pro a g
378
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
(—TO, to)
/'(a) = lim / (x) — f (a) = lim £_£ = 0.
x—a x — a x—a x — a
Je tedy
c' = 0, kde c G R, x G (—to, to).
Derivace funkce /(x) = xn
Urceme derivaci funkce /(x) = xn, n G N, v bode a G (—to, to). Podle definice je
/'(a) = lim f (x) - / (a) = lim xl_^!.
x—a x - a x—a x - a
Ponřevadřz
xn - an = (x - a)(xn—i + axn—2 + • • • + an—2x + an—i)
a limita funkce nezaleZ i na hodnote funkce v bode, v nemZ limitu poc ítame, dostavame odtud
/'(a) = lim(xn—i + axn—2 + • • • + an—2x + an—i).
x—a
Vzhledem ke spojitosti polynomu v bode a je /'(a) rovna funkcn i hodnote polynomu v zavorce v bodře a, takřze
/ '(a) = nan—i.
379 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Funkce f (x) = xn, n G N, ma v každám bodá x G (—to, to) derivaci
(xn)' = nxn—1. (10.3)
Príklad 10.1. Vypoc ítejte derivaci funkce f (x) = x3 v jej ím bode x = 4. Řešení. Podle (10.3) dostavame v obecnem bode x G (—to, to)
(x3)' = 3x2.
Tedy f'(4) = 3 • 42, tj. f'(4) = 48. Požnamka. M isto f'(4) mužeme psat (x3)X=4. Zaveďme si nyn í pojem derivace funkce f (x) vyss ích radu.
Derivace funkce vyšších radU. Necht funkce f (x) má derivaci v každám bodá intervalu 11 C I = D/. Páiáadíme-li ke každámu x G 11 hodnotu f '(x), je na 11 definována funkce f '(x).
Ma-li funkce f '(x) derivaci v každám bodá x G 12 C 11, potom tuto derivaci nažýváme druhou derivací funkce f (x) na 12 a žnacíme ji f''(x) nebo f (2)(x).
Analogicky definujeme f (n)(x) pro n = 3,4,.... Podobná definujeme derivace vyááich áadu daná funkce žleva a žprava.
380
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
I Úmlůva. Řekneme-li, že funkce f (x) ma derivaci na intervalu I, bude to žnamenat, že ma derivaci v každem vnitrn ím bode intervalu I a jestliže levy (pravy) koncovy bod patr í do I, potom ma v nem derivaci žprava (žleva). Podobne pro vyss í derivace.
Poznamka. Pro n-tou derivaci funkce f (x), n > 1, se použ íva žapis f(n) (x), resp. f"(x) pro n = 2, fw(x) pro n = 3, .... Cteme pak f s carkou, f se dvema carkami, f se tremi carkami, atd. Pro n > 3 nebyva žvykem používat carek pro ožnacení derivace.
Příklad 10.2. Funkce
y = 3x4
ma v intervalu (—to, to) derivace
y/ = 12x3, y// = 36x2, y/// = 72x, y(4) = 72, y(k) = 0 pro k > 5.
Zabývejme se nyn í otažkou, žda vsechny funkce maj í v každem bode derivaci. Odpoved' je žaporna, jak ukažuje nasleduj íc í príklad.
Příklad 10.3. Zjisteme, žda funkce f (x) = |x| ma v bode 0 derivaci.
Řešení. Zrejme f (x) = x pro x > 0 a f (x) = —x pro x < 0. Podle definice derivace
381
• Titulnístrana •Předchozí • Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
dostáváme
//+(0) = Hm
£->• 0+
|—| - |0|
lim — = 1,
x—0+ —
f /-(0) = limm
—
lim
—
-1.
—
—
Ponevádž f/+(0) = f/ (0), nemá funkce f (—) = |—| v bode 0 derivaci.
O vžtáhu meži spojitostí funkce f (—) v dánem bode a á existencí derivace funkce f (—) v bode a plátí táto vetá.
Veta 10.1. (Vztah spojitost - existence derivace)
Necht funkce f (—) má v bode a derivaci f (a). Potom f (—) je v bode a spojitá. Je-li funkce f (—) v bode a spojitá, nemusí mít v bode a derivaci. Důkaz: á) Nechť funkce f (—) má v bode a deriváci f/(a). Dokážme, že pák
lim f(—) = f(a).
382
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Necht; x = a. Podle věty 8.2 je
lim f (x) = lim(/(x) - f (a) + f (a)) =
f (x) - f (a)
x—>a x—a
= im
xa
—^(x - a) + f (a) =
x-a f(x) - f(a)
= lim-(x — a) + lim f (a) =
x—a x — a x—a
= lim f (x) - f (a) • lim (x - a) + lim f (a) =
x—a x — a x—a x—a
= f' (a) • 0 + f (a) =
= f(a)
Má-li tedy funkce f (x) v bodě a derivaci, je v něm funkce f (x) spojitá.
Příklad 10.3 ukazuje, že funkce mUže byt spojitá v danem bode i když v nem nemá derivaci. .
Poznámka. Podobne platí: Jestliže funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava (zleva), potom je funkce f (x) v bode a spojita zprava (zleva).
Ukažme si pravidla pro vypocet derivací souctu, rozdílu, soucinu a podílu dvou funkcí.
383 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 10.2.
Necht f (x), g(x) mají v bode a G R derivace f/(a), g/(a) a nech' c G R je libovolne císlo. Potom platí:
tC • f (x)]X=a = C •
[f (x) ± g(x)]X=a = f/(a) ± tfV^
[f (x) ^ g(x)]X=a = f/(a) ^ g(a) + f (a) ^ g/(a).
Je-li g(a) = 0, potom platí:
f f (x) V f/(a) • g(a) — f (a) • g/(a)
.g(x)
g2 (a)
(10.4)
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Důkaz: Dokažme jen vžorec (10.5) pro derivaci souctu. Plat í
(f (x) + ff(x))U = lim(f (x)+g(x)) — (f (a) + g(a))
x^a x — a
= lim ľf (x) — f (a) + g(x) — g(a)"
x a x a
x—>a
Poněvadž existuj í limity
x^a x — a
lim g(x) -g(a)
x^a x — a
(10.8)
384
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
doštavame z (10.8) podle vety 8.2
[f (x)+ g(x)]X=a = f» + 4.
Příklad 10.7. Vypočítejme druhou derivaci funkce
F (x) =-—.
Řešení. Označme f (x) = x2 — 1, g(x) = x + 2. Poněvadž g(x) = 0 jen pro x = —2, je DF = (—to, to) — {—2}. Podle (10.7) je pro x G DF
/(x) = 2x, (—) = ¥>(a), 0 pro (/?(—) = (/?(a).
(10.13)
Pro — = a, (/?(—) = (a)Ma). .
Příklad 10.8. Vypoc ítejte derivaci funkce F (x) = (x2 + 1)7 v c ísle x.
Řešení. Funkce F (x) je slozenou funkc í. Jej í vnejsí slozkou je funkce f (u) = u7 a vnitrn í slozkou je funkce u = v (x), kde v(x) = x2 + 1. Podle vety 10.4 dostavame
F'(x) = f'(u) • v'(x). Ponevadz f'(u) = 7u6 a v'(x) = 2x, dostavame F'(x) = 7(x2 + 1)6 • 2x, takze po uprave dostavame
F'(x) = 14x(x2 + 1)6, x G (—to, to).
Je rada analogickych vet k vete 10.4. Jde v nich o derivovan í slozenych funkc í v pr ípade, ze a, resp. a, jsou koncovymi body intervalu, na nichz se vypocty provadej í. Uved'me si bez dukazu nasleduj íc í vetu.
Veta 10.5. Necht funkce u = v(x) má derivaci v čísle a a necht funkce f (u) má derivaci zprava (zleva) v čísle a = v?(a). Necht existuje taková okolí UK(a), že v(UK(a)) = U+(a), pro nějaká p. Potom složená funkce F (x) = f (v(x)) má v bodě a derivaci a platí
F'(a) = f'+(a) • v'(a), to jest F'(a) = f'+(v(a)) • v'(a). (10.17)
392
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Poznámka. Budeme-li se držet umluvy, že v koncovych bodech intervalu píšeme místo jednostranne derivace derivaci, mužeme vztah (10.17) nahradit vztahem (10.11), takže lze psat
F'(a) = f'(p(a)) • y/(a).
Derivace inverzní funkce.
S pojmem inverzní funkce jste se již setkali dříve při studiu středoskolske matematiky. Byl zopakovan i v textu „Matematika A". Ve strucnosti si pojem inverzní funkce jeste jednou zopakujme. Navíc si odvoďme souvislost mezi derivací funkce f (x) v bode x = a a funkce k n í inverzn í f-1 (y) v bode a = f (a).
Necht; funkce y = f (x) je definovana na množine A a je na n í prosta. To znamena, že pro každa dve c ísla xl5x2 g A, x1 = x2, je f (x1) = f (x2). Oznacme B = f (A). Ke každému y g B přiřaďme to číslo x g A, pro nějž je f (x) = y. T ím jsme zavedli pravidlo, jimž ke každemu y g B je přirazeno x g A. Je tak definovana nova funkce, oznacme ji f-1, jej ímž neodvislym oborem je množina B a odvislym oborem je množina A. Ponechame-li oznacen í y pro promennou s oborem B a x pro promennou s oborem A, p íseme
x = f-1(y), y g B, x g A.
V definici inverzní funkce je podstatný pžedpoklad, že f je na svém definičním oboru
393
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
prostá. Takovými funkcemi jsou napr. funkce ryze monotónn í na svém definičn í oboru.
To nam umoZn í odvodit vzorce pro derivován í nékterých elementarn ích funkc í.
Na obr. 10.2 je znazornen graf funkce y = f (x) rostouc í na intervalu A = D(f), tedy graf funkce proste. Graf funkce x = f-1(y) je totoZný s grafem funkce y = f (x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvislý obor na ose y a odvislý obor na ose x.
y
y = f(x), x = / 1(y)
f (x)
B
/
/
0
/
x A
x
Obrázek 10.2: Graf funkcí y = f (x), x = f :(y).
Z definice inverzn í funkce výplýva
□ je-li a G D(f), potom a = f-1(f (a)),
□ je-li a G D(fpotom a = f (f"»).
(10.18)
(10.19)
Oznac íme-li x neodvisle promennou jak pro funkci f, tak i pro funkci f 1, zap íseme
394
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
obe funkce takto
y = f (x), x G A, y G B, y = f-1(x), x G B, y G A.
(10.20)
Jestlize jejich neodvisle oborý význac íme na vodorovne ose, jsou grafý funkc í (10.20) sýmetricke s osou sýmetrie y = x, viz. obr. 10.3. Graf inverzn í funkce f-1(x) jsme dostali preklopen ím grafu f (x) kolem prímký y = x.
y = f (x)
y = f
Obrázek 10.3: Graf funkcí y = f (x), y = f :(x).
Poznámka. Je-li prosta funkce dana rovnic í
y = f
(10.21)
dostaneme k n í funkci inverzn í tak, ze z rovnice (10.21) výpoc ítame x pomoc í y. Pojem inverzn í funkce vede k zaveden í nových funkc í.
395
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Zopakujme si nasleduj íc í větu o vzájemném vztahu mezi spojitosti funkce /(x) a k n í inverzn í funkce f-1(x).
Veta 10.6. Necht funkce f (x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D (f). Označme její odvislí/ obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzní f —l> jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f—1 je na svem definičním oboru J spojita a rostoucí (klesající).
UkaZme si nyn í vztah mezi derivac í dane funkce a funkce k n í inverzn í. Plat í následuj íc í veta.
Veta 10.7. (Derivace inverzní funkce)
Necht: f je funkce spojita a rýze monotonní na intervalu I. Necht oborem jejich funkcních hodnot je interval J = f (I). Necht a je takový vnitřní bod intervalu J, ze v císle a = f—1 (a) G I mí funkce f derivaci f '(a) = 0. Pak funkce f-1 ma v císle a derivaci a platí
[f -1(a)]'=m ■_
DUkaz: Definujme
y — a 1 F (y) = f (y) — f (a) pr0 y G I,y = a F (a) = fjä) pr0 y = a.
Vzhledem k ryz í monotónnosti funkce f na intervalu I, je f (y) — f (a) = 0. Funkci
396 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
F (y) lze pro y = a prepšat takto
F (y) = 1
f (y)—f (a)
y—a
Ponřevadřz dle přredpokladu ma funkce f v bodře a derivaci, je
lim f (y) — f (a) = f/(a).
y—a y — a
Ponevadz f/(a) = 0, je podle (10.7)
lim F (y) = lim , , = , = F (a).
y—aKyj y—a f(y)—f(a) f/(a)
y—a
Je tedy funkce F (y) špojita v bode a. Funkce f—1 je podle vety 10.6 špojita na intervalu J, tedy i v c íšle a. Je tedy i funkce F (f—1(x)) špojita v bode a. Je tedy
lim F (f—1(x)) = F (f—1(a)) = F (a) = . x—a f,(a)
Uzit ím tohoto vztahu doštavame
[f—1(a)V = lim f—1(x) — f—1(a) = li^^_=
f (a)] X—a x — a X—a f (f—1(x)) — f (f—1(a))
= lim F (f—1(x))= 1
x—a
f,(a)
397 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
K vete 10.7 muzeme výslovit radu analogických vet. Výslovme tuto.
Veta 10.8. (Derivace inverzní funkce)
Necht f je funkce spojitá a ryze monotónní na intervalu I. Necht: oborem jejích funkčních hodnot je interval J = f (I). Necht: a je levy (pravy) koncový bod intervalu J a necht v čísle a = f-1(a) má funkce f derivaci f = 0 (f /-(a) = 0). Potom funkce f-1 ma v císle a derivaci zprava (zleva) a platí
[/-1(a)ľ+ = f*(0) • F(a)ľ" = f/-(a).
DUkaz: Dukaz je analogický k dukazu vetý 10.7.
10.2. Derivace elementárních funkcí
Předlozený text výchaz í z predpokladu, ze citatel je seznamen s elementarn ími funkcemi v rozsahu uvedenem v ucebn ím textu „Matematika A". I kdýz v nasleduj íc ím textu se zavad í jejich strucne zaveden í a uvadej í se nektere jejich význacne vlastnosti, je nutno, abýste se s třemito funkcemi dobřre seznamili.
398
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Funkce y = ^fx
UvaZujme funkci y = xn, kde n je prirozene. Tato funkce je zřejme definovana na intervalu (—to, to).
Pro n lichá je tato funkce na svem definicn ím oboru I = (—to, to) spojita a rostouc í. OZnacme J = (—to, to) obor hodnot teto funkce. Proto k n í existuje funkce inverZn í na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverZn í funkce rostouc í a spojita na J. OZnac íme ji yfx. Funkce yfx pro n liche je licha.
Pro n sude je sice funkce xn rovneZ definovana na intervalu (—to, to), avsak nen í na nem prosta. Napr. (—2)n = 2n pro kaZde sude n. Budeme proto uvaZovat jej í žužení na interval I = (0, to). Na nem je tato ZuZena funkce y = xn rostouc í a spojita, tedy prosta. Obor hodnot teto ZuZene funkce je interval J = (0, to). Proto k n í existuje funkce inverZn í, definovana na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverZn í funkce rostouc í a spojita. OZnac íme ji yfx.
Na obr. 10.4 jsou narysovany grafy funkc í y = x2 a y = -y/x, x G (0, to) a na obr. 10.5 jsou narysovany grafy funkc í y = x3, y = yfx.
399
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Poznamka. Vsimnete si, že funkce y/x je pro pro n sude definovana jen pro x G (0, to). Podle definice je pak ^/x pro každe x G (0, to) rovno tomu c íslu y G (0, to), pro než je yn = x. Je-li tedy napr. a G R, je an G (0, to), takže
\/ä"- = |a|, pro n sude, a G R.
Napr. y7(—2)2 = | — 2| = 2.
Pro pocítan í s odmocninami platí pravidla, ktera jste meli odvoženy na gymnaži ích.
400
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Jsou uvedeny i ve studijn ím textu „Matematika A". Je nutné, abyste si tato pravidla zopakovali.
Derivace funkce yfx.
Odvod'me si nyn í vzorec pro derivovan í funkce yfx. V obou uvaZovanych pr ípadech, totiZ jak pro n sude tak i pro n liche, jsme oznacili inverzn í funkci k funkci xn jako y = y/x. V kaZdem bode x = 0 sveho definicn ího oboru je funkce y = xn ruzna od nuly, takze v nem lze vypoc ítat jej í derivaci podle vety 10.7 takto. Polozme f (x) = y/X. Potom
(10.22)
Funkce f (x) = y/X ma pro x G D f, x = 0, derivaci a platí
(10.23)
Uved'me si nyn í príklad na derivaci slozene funkce obsahuj íc ich funkci y/x. Príklad 10.9. Vypoc ítejte derivaci funkce
y
(10.24)
401
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Řešení. Danou funkci mužeme považovat za složenou funkci. Vnitrn í složkou je funkce
x + 1
u = an+1 = ( 1 + -1— ) . (10.33) n+1
Ponevadz podle (10.29) je x > -^+1-, doštavame z (10.33)
n+1
_ 1
1 +-- = 1 +-7. (10.34)
n + 1 n + 1
404
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Ze vztahu (10.32) a (10.34) vyplyva
1 +1 - — 2, takze-<-, (10.37)
x n — 1 1 — 2x
1 1 x
n + 1 <- + 1, takze->-. (10.38)
x n + 1 x + 1
Z (10.36), (10.37), (10.38) dostavame
1 ex 1 1
< —— < T-^Z. (10.39)
1 + x x 1 — 2x _ i
x—0 1+x x—0 1—2x
Ponevadz lim -r-j— = 1, lim -i^r- = 1, dostavame z (10.39)
ex 1
lim-= 1.
x—0 x
405
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
b) Poč řtejme nyn ř derivaci funkce ex. Pro libovolné x je podle definice
(ex)' = lim e--——.
h
Výpočtem dostavame postupne
ex+h_ex ex(eh_1) eh_1
(exY = lim---= lim —-- = ex lim —-— = ex • 1 = ex.
I Funkce ex je spojitá a rostoucí na intervalu (—to, to) a nabývá vsech hodnot z in-| tervalu (0, to). V každém čísle mý derivaci a platí (ex)' = ex.
Derivace funkce y = lnx
Z vlastnost í exponencialn í funkce a z definice inverzn í funkce vyplýva, že k funkci ex existuje funkce inverzn í definovana na intervalu (0, to). Tato inverzn í funkce je spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Nazýva se přirozený logaritmus a budeme ji znacit ln x. Jej í graf dostaneme z grafu funkce ex překlopen ím kolem př ímky y = x (viz obr. 10.6). Z vety 10.7 plyne, ze ln x ma v kazdem c ísle sveho definicn ího oboru derivaci a plat í
(ln xy = _L = 1 = i
406
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obrazek 10.6: Graf funkce ex a ln x.
407
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jestliže polozíme
y = \nx, x G (0, oo)
potom ev = x, y G (—o, oo)
(10.40)
Tedý prirozený logaritmus čísla x G (0, oo) je mocnitel, na nejz je nutno umocnit zaklad e, abýchom dostali číslo x. Odtud dostíavíame
x = eln x.
Funkce In x je spojití a rostoucí funkce na intervalu (0, oo) a nabýva vsech hodnot z intervalu (—oo, oo). V kazdem čísle sveho definicního oboru mí derivaci a platí
(In x)' = - ■
x
Jsou-lix,x1,x2 G (0, o),,s G R, potom platí
ln(x1 • x2) = In x1 +ln x2 In xs = s • In x.
Príklad 10.10. Vypoc ítejte derivaci funkce
x+1
y = ex-1 ■
Řešení. Jde o slozenou funkci. Vnitřn í slozkou je funkce u = (f(x), kde cp(x) = .
408 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
(10.41)
(10.42)
Vnejs í sloZkou je funkce y = f (u), kde f (u) = eu. Funkce f (u) ma derivaci v kaZdem bode u. Plat í
f/(u) = eu. (10.43)
Funkce p(x) ma derivaci v kaZdem bode sveho definicn ího oboru, tj. pro x G (—to, 1) U (1, to). Vypoctem dostavame
(x — 1)2
Podle vety o derivovan í sloZene funkce dostavame z (10.43) a (10.44)
. / —2 x+i (x — 1)2
Príklad 10.11. Vypoc ítejte druhou derivaci funkce
y = ln(3x — 1)
a urcete jej í definicn í obor.
ReSení. Jde o sloZenou funkci. Vnejs í sloZkou je funkce y = f (u), kde f (u) = ln u. Jej í definicn í obor je interval (0, to). Vnitrn í sloZkou je funkce u = 3x — 1. Je sice definovana a ma derivaci pro vsechna x, avsak tento definicn í obor je nutno omezit na
(10.44)
, x±l f 2 \
409
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
ta x, pro než je u = 0, a = 1.
Pro a > 1 je funkce y = ax rostouc í na intervalu (-to, to) a pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesaj íc í na intervalu (-to, to). Lze ji vyjadrit ve tvaru
ax _ eln ax _ ex-ln a
a — e — e .
410
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Odtud je videt, ze je to funkce spojita v intervalu (—to, to). Jej í derivaci urc íme jako derivaci slořzene funkce. Dostavame
(ax)/ = (ex'ln7 = ex4na • ln a = ax • ln a.
Funkce y = ax pro a > 1,a = 1 nabýva vsech hodnot z intervalu (0, to). Existuje k n í funkce inverzn í, ktera se znac í loga x a nazýva logaritmus o zaklade a. Je to funkce spojita a rýze monotonn í v intervalu (0, to), ktera nabýva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Jej í derivace je podle vetý 10.7 rovna
(loga x)/ = wí = avd = dna, x e (0, to).
Na obr. 10.7 je nacrtek grafu funkc í y = ax a funkce y = loga x pro 0 < a < 1. Pro a = e, tedý pro a > 1, je graf funkce y = ax a graf funkce y = loga x znazornen na obr. 10.6. Graf techto funkc í pro a = e jsme ji z dříve výsetrili. Pro logaritmý se zakladem a plat í pravidla analogicka k pravidlum uvedeným pro funkci y = ln x.
Resme jeste jednu otazku. Necht; a, b jsou kladna realna c ísla mzna od nulý. V jakem vztahu jsou c ísla loga x, logb x? Abýchom to ukazali, predpokladejme, ze a, b jsou kladna c ísla mzna od jedne. Necht; x je kladne c íslo. Oznacme y = loga x. Potom postupne dostavame:
x = aV, logb x = logb aV = y ^ logb a = loga x ^ logb a.
411
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obražek 10.7: Graf obecne exponencialn í a logaritmicke funkce, 0 < a < 1.
412
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Je tedy
logb x = loga x • l0g6 a.
Funkce y = aX, kde a je kladná reálná konstanta různá od jedné, je spojitá a pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—to, to) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—to, to). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, to). V kazdem bode x sveho definičního oboru ma funkce aX derivaci
(aX/ = aX • ln a.
Nazývá se exponencialní funkcí se základem a. Speciálním případem je prirozena exponencialní funkce pro a = e a dekadicka exponencialní funkce pro a = 10. K funkci aX existuje funkce inverzní, značíme ji loga x (čteme logaritmus x při zaklade a). Je definovana na intervalu (0, to). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1
klesající na intervalu (0, to). Je v nem spojití. V kazdem bode x G (0, to) ma derivaci a platí
(loga x)/ = -í-.
a x ln a
413
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jsou-li x, x1,x2 G (0, o), s G R potom platí
\0ga(x1 ^ x2) = \0ga x1 + \0ga x2 \0ga xx = s ^ \0ga x.
Je-li b kladne reílní císlo různí od 1 platí
\0gb x = \0ga x ^ \0gb a.
(10.45)
(10.46)
Příklad 10.12. Vypoc ítejte derivaci funkce
Řešení. Jde o složenou funkci. Vnejs í složkou je funkce
y = f (u), kde f (u) = 2u, u e (-oo, oo).
Vnitrn í složkou je
u = p(x), kde Lp(x) = \Jx2 + 1.
Nechť x = a e (—o, oo). Funkce cp(x) ma v bode a derivaci. Položme a = (f(a). Funkce f ma v bode a derivaci. Plat í
y'(a) = f (a) • 0 a jakekoliv realne s. Da se vyjadřit ve tvaru
xs = (eln x)s = es Jn x.
Odtud je videt, že je to funkce spojita pro každe x G (0, to). Jej í derivace je podle vety
10.7 1 1
(xs)/ = (es ^lnx)/ = es Jnx • s • 1 = s • xs • 1 = sxs—\
rp rp
Funkce xs je spojita na intervalu (0, to) a ma zde derivaci sxs—1, tedy
(xs)/ = sxs—:, x G (0, to), s G R.
V žaveru teto casti jako aplikaci na predchažej íc í vety resme nasleduj íc í príklad. Příklad 10.13. Vypoc ítejte derivaci funkce
y = x2 • ln(x2 + 1).
Řešení. Jde žde o soucin dvou funkc í. Druha ž nich je funkce složena. Ponevadž x2+1 > 0, je dana funkce definovana v intervalu (—to, to) a ma žde derivaci, kterou na žaklade predchož ích vet urc íme takto
y/ = 2x ln(x2 + 1) + x2^1—2x,
x2 + 1
416
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
takřze po upravře dostavame
2
x2 + 1
2
y/ = 2x [ln(x2 + 1) + x^
Derivace funkce f (x)g(x)
Necht;
F(x) = f (x)g(x), x G A. (10.48)
Necht; f (x) > 0 pro x G A a necht; funkce f (x), g (x) maj í pro x G A derivace f/(x), g/(x). Funkci (10.48) lze prepsat do tvaru
F (x) = eln f (x)9ix), (10.49)
a po upravře jako
F (x) = eg(x)ln f(x). (10.50) Tuto funkci muzeme derivovat jako slozenou funkci. Dostavame
F/(x) = eg(x)lnf (x)(g(x) ln f (x^ Proveden ím význacene derivace obdrz íme
f/(x)' f (x)
F/(x) = f (x)g(x) • (V (x)ln f (x) + g(x) fM)
417
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Príklad 10.14. Vypoc ítejte derivaci funkce
y = xsinx, x G (0, to).
Řešení. Funkci xsinx lze přepsat na tvar
y _ esin x ln x
y=e
Derivac í dostaneme postupne
y = esinxlnx(sin x ln x)'
y' = xsinx\ cos x ln x +—sin x), x G (0, to).
x
Derivace trigonometrický funkcí Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x
Zabývejme se nyn í trigonometrickymi funkcemi, zvanymi nekdy tez funkce goniometrické. Omez íme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhlem souradnem systemu s osami u, v sestrojme kruznici o jednotkovem polomeru se stredem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychazej íc í z pocatku, ktery sv íra s kladnou osou u uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jednom bode, oznacme jej A. Jeho
418
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
souradnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Tyto souradnice zavis í na x, takže cos x a sin x jsou funkce definovane pro každe realne x.
Pomoc í funkc í sin x a cos x definujeme dals í trigonometricke funkce
sin x cos x
tg x =-, cotg x =-
cos x sin x
pro ty uhly x, pro než je jmenovatel mzny od 0.
Trigonometricke funkce jsou znamy ze stredn ískoly a bylo o nich pojednano i v ucebn ím textu „Matematika A". Nakreslete si jejich grafy! Zopakujte si podrobne jejich vlastnosti.
Uvedme si tyto jejich vlastnosti:
Funkce sin x je kladna pro íhly v prvním a ve druhem kvadrantu a záporný pro uhly ve těetím a ve čtvrtem kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro íhly v prvním a ve čtvrtem kvadrantu a je žaporný pro uhly ve druhem a ve tretím kvadrantu. Obe tyto funkce jsou periodickí s periodou 2n.
Funkce tg x je definovana pro všechna x mžna od lichych nasobku |, funkce cotg x je definovana pro x mžní od nasobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladne pro uhly pro x v prvním a ve tretím kvadrantu v nemž jsou definovany a žaporne pro uhly ve druhem a ve těetím kvadrantu kvadrantu v němž jsou definovany. Tyto funkce jsou periodicke s periodou n.
419
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
cotg (—x) \ i
Obrazek 10.8: Zaveden ífunkc í sin x, cos x, tg x a cotg x.
420
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Odvození derivace funkce /(x) = sin x a) Dokažme napřed, že plat í
sin x lim-= 1.
x—0 X
Pro x G (0, 2) je (viž obr. 10.8) 0 < sin x < x. Dale je obsah výseče OAB mens í nežli obsah trojúheln íku OBC, tj. ^x < ^ tgx. Celkem tedý plat í
sin x
0 < sin x < x < tg x =-.
cos x
Odtud přechodem k převraceným hodnotam dostavame
cos x 1 1
--< - < -—.
sin x x sin x
Výnasob íme-li celou nerovnost kladným č íslem sinx, dostaneme
sin x sin x cos x <-< 1, tj. — 1 <--< — cos x.
rp rp
Pripočteme-li č íslo 1 ke vsem trem výražúm, mame
sin x
0 < 1--< 1 — cos x.
x
421
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Buď e > O a ô = V2s > 0. Pro x G (0,ô) je funkce sin(x)/x definována a plat í v nem
sin x
1
x
1
sin x
x
sin x
= 1--< 1 — cos x =
x
2 • sin2 x < 2 2
x
x2 ô2
takže
Dale je
Tedy
sin x lim -= 1.
x—0+ x
sin x lim -
x-K)- x
sin x lim -= 1.
sin(—x) lim -=
x->0+ —x x-K)+ x
sin x lim-= 1.
x- 0 x
b) Dokážme, že
(sin x)' = cos x pro x G (—to, to). Necht a G (—to, to). Potom plat í
vsm x)x=a =
.. sin x — sin a n x + a . x — a 1 lim-= lim 2 cos-sin--
x—a x — a x—a 2 2 x — a
.. / x + a. x — a x — a = lim cos-sin-: -
xa
2
)
(10.51)
422
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Polozme
f (y) = ^ pro y = 0, f (0) = 1.
y
Tato funkce f (y) je špojita v c íšle 0. Polozme dale
xa
$(x) = .
Zrejme funkce <í>(x) je v c íšle a špojita a nabýva zde hodnoty 0, to ješt <í>(a) = 0. Podle vety 8.5 je šlozena funkce F (x) = f [<ř(x)] v c íšle a špojita, tj.
sin. X a
lim X_a2 = llm F (x) = F (a) = f [$(a)] = f (0) = 1. (10.52)
x—?>a X — a x—?>a
Polozme nyn í f (y) = cos y, <í>(x) = (x + a)/2. Slozena funkce F (x) = f [<ř(x)] je v c íšle a špojita, takze
lim cos x + a = cos a. (10.53)
Z (10.51), (10.52), (10.53) doštavame
(sin x)X=a = cos a.
423
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Derivace funkce y = cos x
Uzit ím vetý o derivovan í slozene funkce dostavame
^cos = sin ^2 - ^ = - cos ^-2 - = - sin x.
Funkce f (x) = cos x má v každém bodě x G (—to, to) derivaci a platí
(cos x)' = sin x, x G (—to, to).
Derivace funkcí tg x, cotg x
Z pravidel o derivován ř pod řlu dvou funkc ř dostáváme pro x e (—to, to) — {(2k + 1)2}, k e Z
sin x / (sinx)/ cos x sinx (cos x)/
(tg x)/ = - =----2----
cos x cos2 x
cos x • cos x - sin x • (-sin x) 1
cos2 x cos2 x
424
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Podobne pro x G (-to, to) - {kn}, k G Z
cos x ' 1
(cotg x) =-- = —r^—.
sin x sin2 x
Derivace cyklometrických funkcí
V predchazej íc ím vykladu jsme zjistili, že funkce sin x je v intervalu (-1, |) spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot z intervalu (-1,1). Tedy k n í existuje funkce inverzn í definovana na intervalu (-1,1). Tuto funkci oznacujeme arcsinx. Podle vety 10.6 je tato funkce spojita na intervalu (-1,1) a je na nem rostouc í. Nabyva vsech hodnot z intervalu (-1, |). Jej í graf se dostane preklopen ím grafu funkce
f (x) = sin^ x g 2
425
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
okolo přímky y = x (viz obr. 10.9). Geometricky vyznam funkce arcsin je tento:
|_„arcsin x je ten uhel z intervalu (—|, n), jehoz sinus mí hodnotu x."_
Funkce cos x je v intervalu (0,n) spojita a klesaj íc í a nabyva vsech hodnot z intervalu (—1,1). Tedy k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (—1,1). Tuto funkci oznacujeme arccos x. Podle vety 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—1,1) a je na nem klesaj íc í. Nabyva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cos x, x G (0,n) okolo prímky y = x (viz obr. 10.10). Geometricky vyznam funkce arccos x je tento:
I „arccos x je ten uhel z intervalu (0, n), jehoz kosinus ma hodnotu x."
Funkce tg x je v intervalu (—|, |) spojita a rostouc í a nabyva zde vsech hodnot z intervalu (—o, oo). Tedy k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (—o, oo). Tuto funkci oznacujeme arctgx. Podle vety 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—oo, oo) a je v nem rostouc í. Nabyva vsech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x G (—|, |) okolo přímky y = x (viz obr. 10.11). Geometricky vyznam funkce arctgx je tento:
| „arctg x je ten uhel z intervalu (—|, |), jehoz tangens mí hodnotu x."
426
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
427
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y
y = arctg x
" 2
Obrazek 10.11: Graf funkce arctg x.
y = arccotg x
Obrazek 10.12: Graf funkce arccotg x.
0
x
y
0
x
428
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Funkce cotg x je na intervalu (0,n) spojitá a klesaj íc í a nabývá na nem vsech hodnot z intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci oznacujeme arccotgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—to, to) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x G (0,n) okolo př ímký y = x (viz obr. 10.12). Geometrický význam funkce arccotg x je tento:
I „arccotg x je ten uhel ž intervalu (0,n), jehož kotangens ma hodnotu x."
Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazývaj í funkce cyklometrická. Dosavadn í výsledký o spojitosti lze shrnout takto:
I Funkce cyklometrická jsou spojitá na svám neodvislám oboru. Derivace cyklometrických funkcí.
Funkce sin x je spojita a rostouc í na intervalu (—|, |). Jej ím odvislým oborem je interval (—1,1). V kazdem bode a z intervalu (—1,1) ma funkce arcsin x tuto vlastnost: císlo a = arcsin a je z intervalu (—|, |), takze funkce sin x ma v nem derivaci cos a = 0. Podle vetý 10.7 ma funkce arcsin x v c ísle a derivaci a plat í :
( • V 1 1 1
cos a yj1 — sin2 a vT—^'
neboť sin a = a. Vsimneme si take, ze cos a je kladný, neboť a je z intervalu (—|, |), takze odmocninu je nutno opatřit znamenkem plus. V kazdem bode x z intervalu (—1,1)
429
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
tedy plat í
(arcsm x) = , .
Podobne odvod íme, že v každem bode x intervalu (—1,1) plat í
(arccos x) =--— =--=-- - =-- .
(cos y)' sin y y/1 — cos2 y V1 — x2
V intervalu (—to, to) mame
1 2 1 1
(arctg x) =-—- = cos y =
(tg y)' 1 + tg2 y 1 + x2
(arccotg x)' = -—1—— = — sin2 y = — 1
(cotg y)/ 1 + cotg2 y 1+ x2
1
Obdržene výsledky mUžeme shrnout do nasleduj íc í vety.
430
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Funkce cyklometrické mají derivace v každém vnitřním bodě svého neodvislého oboru a platí:
(arcsin x)' = . , x G (—1,1)
(arccos x)' =--, , x G (—1,1)
(arctg x)' =--, x G (—oo, oo)
1 + x2
(arccotgx)' =---, x G (—oo, oo).
1 + x2
Uved'me si nyn í souhrnne derivace elementarn ích funkc í.
431
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Derivace elementárních funkcí
(c)' = 0, c G R, pro x G (—oo, oo)
(xn^) = nxn—\ n G N, pro x G (—o, o) f \/x~l = ——1—t, n G N, n sude, pro x G (0, oo)
n( 0, a = 1, pro x G (-to, to)
(ln x)' = 1, pro x G (0, to)
x
(loga x)' = , a > 0, a = 1, pro x G (0, to) x ln a
(xs)' = sxs-1, s G R, pro x G (0, to) (sin x)' = cos x, pro x G (-to, to) (cos x)' = - sin x, pro x G (-to, to)
432
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
(tgx)/=
cos2 x
. ,___Z
2
(cotgx)/ = —r-2—, pro x G (—to, to) - {kn}, k G Z
pro x G (—to, to) - j (2k + 1)2| , k G 1
sin2 x
(arcsin x)/ = 2, pro x G (-1,1)
x
(arccos x)/ = — 1 2, pro x G (-1,1)
1x
(arctgx)/ = -—1—2, pro x G (—to, to) 1 + x2
(arccotgx)/ =---2, prox G (—to, to)
1 + x2
1
433
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
10.3. Shrnutí, úlohy
Shrnutí kapitoly
Byl zaveden pojem derivace funkce v bode a G R a poukazano na vyznam derivace (Definice 10.1). Byly odvozeny derivace elementarn ích funkc í. Jsou zde uvedeny vzorce pro vypocet derivace souctu, rozd ílu, soucinu a pod ílu dvou funkcí (Veta 10.2). Dale byla uvedena veta o derivaci slozene funkce (Veta 10.4). Byla odvozena veta o vypoctu derivace inverzn í funkce (Veta 10.7). Dale byl vysetren vztah mezi existenc í derivace funkce f (x) v danem bode a a spojitost í funkce v bode a.
Úlohý
1. Napiste rovnici tecny ke krivce y = 3x2 — x + 1 v bode T[1, ?] lez íc ím na dane křivce. [5x — y — 2 = 0]
2. Napiste rovnici normaly ke křivce y = x+i v jej ím bode T[0, ?].
[x + y = 0]
3. Ve kterem bode křivky y = x3 — 3x2 + 1 sv Íra tecna s osou x uhel 45°?
[x-ova souradnice bodu je 1 ± ^73]
4. Ve kterych bodech ma krivka y = x3 — 27x vodorovnou tecnu?
434
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
[x-ove souradnice techto bodu jsou 3, —3]
5. Nechť f (y) = je vnejs í slozkou a cp(x) = x+1- je vnitřn í slozkou funkce F (x). Napiste F (x) explicitne. Urcete jej í definicn í obor.
[F(x) = 3X+T, Df =(—o, 1) U (1, o)]
6. Derivujte
a) y = \/x2 + 1
b) y = x sin 2x
c) y = sin2 y/x
d) y = 3x2+1
e) y = xx
[ i.
x2+1:
x
o, o)]
[sin2x + 2xcos2x, x G (—o, oo)]
[sin -v/Xcos -v/X _ /n \i
VVX v , x G (0, oo)]
[2ln3 • x • 3x2+1, x G (—o, oo)] [Navod: xx = exlnx; y' = xx(lnx + 1), x G (0, oo)]
7. Vypoc ítejte prvn í derivaci funkce
a) y = log2 I+x
b) y = x2(\/1 + x2 + 3x)
x cos 2x
c) y = e
[ (1—x2)ln2]
^(VTTx2 + 3x) + x2( 71+xf + 3)] [ex cos2x(cos 2x — 2x sin 2x)]
8. Vypoc ítejte derivace az do 3. radu funkce
a) f (x) = x3 + 3x2 + 4x — 1
[f'(x) = 3x2 + 6x + 4, f''(x) = 6x + 6, f'''(x) = 6, x G (—o, oo)]
b) f(x) = xex
435
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
ff'(x) = ex(x + 1), f''(x) = ex(x + 2), f'"(x) = ex(x + 3),
x G ( — TO, TO)]
436
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 11 Použití derivací
11.1. Funkce spojité na intervalu
Připomenme si, že „Jestliže funkce f (x) ma v bode a derivaci, je v nem spojita". Začneme se žaveden ím pojmu lokaln ího extrému funkce f (x).
437 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 11.1.
Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode xo lokální maximum (minimum), jestlize existuje takove ô > 0, ze funkce f (x) je definovana na intervalu (x0 - ô, x0 + ô) a plat í v nem pro vsechna x G (x0 - ô, x0 + ô)
f (x) < f (x0), (f (x) > f (x0)) (11.1)
I Definice 11.2. (Vlastní lokalní extremy)
Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode x0 vlastní lokalní maximum (minimum), jestlize existuje takove ô > 0, ze funkce f (x) je definovana na intervalu (x0 - ô, x0 + ô)
a plat í f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro vsechna x G (x0 - ô, x0 + ô) pro nez je x = x0.
Lokaln í maxima a lokaln í minima nazývame spolecným nazvem lokálni extrémy (tez relativn í). Podobne vlastn í lokaln í maxima a minima nazývame vlastními lokálními extrémy.
Na obr. 11.1 je význacena funkce f (x), ktera ma v bodech a, b lokaln í maximum a v bode c lokaln í minimum.
438
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y = f (x)
x
a
c
b
Obrázek 11.1: Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bodě c.
Zaved'me si nyní pojem absolutního extrému funkce f (x) na množině M C D f. V této definici se porovnáva hodnota funkce f (x) v bodě x0 s hodnotami funkce ve vsech ostatních bodech dane množiny. Místo pojmu absolutního extremu mUžeme mluvit o globálním extrému funkce na množine.
Definice 11.1.
Řekneme, že funkce f (x) má absolutn í maximum (minimum) na množine M v bodě x0 G M, jestliže funkce f (x) je definovaná na množině M a jestliže f (x) < f (x0)
> f (x0)) pro každe x G M.
439
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
Řekneme, že funkce f (x) má sve vlastn íabsolutn í maximum (minimum) na mnozine M v bode xo G M, jestliže funkce f (x) je definovana na množine M a jestliže
f (x) < f (xo) (f (x) > f (xo)) pro každá x G M.
Absolutní minimima a absolutní maxima nažívame spolecnám nážvem absolutní extrámy.
Absolutní vlastní maximum a absolutní vlastní minimum nažývame spolecnym nážvem vlastní absolutní extrámy.
Poznámka. V nahore uvedených pojmech se m ísto vlastn í extrém pouz íva tez term ín ostrý extrém.
O existenci absolutn ího extrému funkce f (x) na intervalu výpovída nasleduj íc í veta. Ve vetsine aplikac í nas zaj íma nalezen í absolutn ího extrému.
Veta 11.2. (Weierstrassova)
Necht funkce f (x) je spojitá na intervalu (a, b). Potom existují body x0, xi G (a, b) tak, že funkce f (x) nabyva sváho absolutního minima (maxima) na intervalu (a, b) v bodá x0 (x1). Tento bod je buďto krajním bodem intervalu (a, b), anebo bodem, v námž funkce nabyva sváho lokálního extrámu.
Na obr. 11.2 nabýva funkce f (x) sveho lokaln ího maxima v bode c, lokaln ího minima v bode d, absolutn ího maxima v bode c a absolutn ího minima v bode a.
Funkce na obr. 11.3 na (a, b) nabýva absolutn ího minimum v bode b, avsak nemá
440
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
y = f (x)
c d b x Obrázek 11.2: Absolutní extrémy na (a, 6).
absolutní maximum na (a, b). Tato funkce /(x) je sice spojitá na (a, b), avšak nen ř spojitá na (a,b). Vetu 11.2 nelze aplikovat, nejsou splněny jej ř předpoklady.
y = f (x)
441
Obrázek 11.3: Porušení predpokladu véty 11.2.
Zabývejme nyn í problemem urcen í bodu, v nichz funkce nabýva lokaln í extrém. K tomu budeme potrebovat nekolik vet.
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 11.3. Necht f '(a) > 0 (f '(a) < 0). Pak existuje taková okolí čísla a, že pro věechna čísla x < a ž tohoto okolí platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) a pro věechna x > a ž tohoto okolí platí f (x) > f (a) (f (x) < f (a)).
Důkaz: Necht; f'(a) > 0. Pak existuje
lim f (x) - f (a) = f '(a) > 0.
x—a x — a
Existuje tedy takove okolí císla a, že v nemžje uvedeny podíl definovan a je stale kladny,
tj.
f(x) — f(a)
> 0.
xa
Tedy v tomto okolí jsou císla f (x) — f (a), x — a stejnych žnamenek. Pro x < a je tedy f (x) < f (a), pro x > a je f (x) > f (a). Podobne se provede dukaž pro druhy případ f'(a) < 0. .
Poznámka. Jak víme, geometricky vyžnam první derivace je smernice tecny ke grafu funkce f (x) v bode a. Je-li tedy f'(a) > 0, svíra tecna grafu f (x) v bode a uhel (/?, pro nejž je 0 < (/? < |. Viž obr. 11.4.
Podobne, je-li f' (a) < 0, svíra tecna grafu funkce f (x) v bode a uhel (/?, pro nejž je f < < n. Viž obr.11.5
442
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y ■ / / I f (x) //
a x
Obrázek 11.4: Derivace - smernice tecny (f'(a) > 0).
11.2. Vety o funkcích spojitých na intervalu (a, b)
Veta 11.4. (Rolleova) Necht funkce f (x) je spojití na intervalu (a, b) a necht ma v každem vnitrním bode tohoto intervalu derivaci. Bud' díle f (a) = f (b). Pak existuje takoví číslo c G (a, b), že f '(c) = 0.
Důkaz: Je-li funkce f (x) v (a, b) konstantn í, tvrzen í je spravne a za c lze vz ít kterékoliv c íslo uvnitr (a, b). Nechť tedy f (x) nen í v (a, b) konstantn í. Pak tedy aspoň v jednom c ísle x G (a, b) plat í f (x) = f (a) = f (b). Dejme tomu, že f (x) > f (a). Podle vety Weierstrassovy nabude funkce f (x) v nekterem c ísle c, kde a < c < b, sve maximaln í hodnoty. Dokažme, že f'(c) = 0. Kdyby bylo totiž f'(c) > 0, pak by podle vety 11.3 existovalo jiste okol í c ísla c tak, že pro vsechna x > c z tohoto okol í by platilo
443
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y' ■ f(x) v \ \
a x
Obrázek 11.5: Derivace jako směrnice tecny (/'(a) < 0).
f (x) > / (c), podobně, kdyby f'(c) < 0, pak by existovalo jisté okolí čísla c tak, že pro všechna x < c ž tohoto okolí by platilo f (x) > f (c). To vSak není možné, nebol; f (c) je že všech funkčn ích hodnot maximaln í. Tedy opravdu f'(c) = 0. .
Poznámka. Geometricky smysl vety je tento: graf funkce y = f (x) ma ža danych predpokladu aspon v jednom bode vodorovnou tecnu (viž obr. 11.6).
Příklad 11.1. Bud' f (x) = |x|, x G (—1,1). Tvržen í vety neplat í , v c ísle 0 je porusen predpoklad o existenci derivace. Viž obr. 11.7
Veta 11.5. (Obecná veta o přírůstku funkce) Necht funkce f (x), g (x) jsou spojité na intervalu (a, b) a necht majé v každém vnitřním bodě tohoto intervalu derivace. Pak
444
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obrázek 11.6: Tečna grafu /(x) v lokálním maximu.
existuje takové číslo c G (a, b), ze
[/(b) - /(a)] • g'(c) = [g(b) - g(a)] • /'(c).
Důkaz: Zaved'me pomocnou funkci
F (x) = [/(b) - / (a)] • g(x) - [g(b) - g(a)] • / (x).
Z predpokladu o funkcích / (x) a g(x) vychází, že funkce F (x) je na intervalu (a,b) spojitá a uvnitř ma derivaci. Dale F (a) = F (b). Podle vety 11.4 existuje c G (a, b) tak, řze
F'(c) = [/(b) - /(a)] • g'(c) - [g(b) - g(a)] • /'(c) = 0. Odtud tvrzení vety. .
445
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1 -1 i 1 x
Obrázek 11.7: Graf funkce y = \x\, x G (—1,1).
Poznamka. Rolleova veta 11.4 je zvalstn ím prípadem vety 11.5 pro g(x) = x a funkci
f (x), pro n íz plat í f (a) = f (b).
Veta 11.6. (Veta o přírůstku funkce)
Necht funkce f (x) je spojita na intervalu (a, b) a necht existuje f '(x) pro x G (a, b). Potom existuje alespoň jedno c G (a, b) tak, že
f (b) — f (a) = f'(c) • (b — a). (11.2)
Důkaz: Dukaz vychaz í bezprostredne z předchazej íc í vety pro g(x) = x. .
446 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Poznámka 1. Vztah (11.2) lze přepsat takto
/ (b) - f (a)
b — a
Levá strana tohoto vztahu vyjadřuje průměrný přírůstek funkce /(x) při přechodu z bodu a do bodu b.
Vetu lze interpretovat takto. Existuje bod c G (a, b) tak, Ze teCna ke grafu funkce y = f (x) v bode [c, / (c)] je rovnobezna se spojnicí bodu [a,f (a)], [b, / (b)]. Veta je schematicky znazornena na obr. 11.8.
y = f (x)
a
c
b
Obrázek 11.8: Interpretace vety 11.6.
447
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jestliže známe konstantu M pro níž je \f'(x)\ < M pro x G (a, b), potom podle (11.2) platí
\f (b) - f (a)\ f (x2)^.
Funkce roštouc í a klešaj íc í še nazyvaj í špolecnym nazvem funkce ryze monotonn í. Funkce f (x) še nazyva neklešaj íc í (neroštouc í) na intervalu I, ještlize ma tuto vlaštnošt:
Ještlize x1,x2 G I, x1 < x2, potom f (x1) < f (x2) f (x1) > f (x2)^.
Funkce neklešaj íc í a neroštouc í še nazyvaj í špolecnym nazvem funkce monotonn í.
Je tedy kazda funkce ryze monotonn í tez monotonn í. Opak nemuš í platit.
Urcit intervaly, na nichz je vyšetrovana funkce monotonn í, nam cašto pomuze tato veta.
449 •Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 11.7. (Monotónnost fůnkce na intervalů)
Necht funkce f (x) je spojitá na intervalu I a necht I0 je množina všech vnitřních bodu intervalu I. Necht funkce f (x) ma derivaci f '(x) na I0. Jestliže f (x) > 0 (f '(x) < 0) pro x G Io, potom f (x) je rostoucí (klesající) na
I.
Jestliže f'(x) > 0 (f'(x) < 0) pro x G I0, potom f (x) je neklesající (nerostoucí) na intervalu I.
Ukažme nyní, jak urät intervaly monotónnosti funkce f (x) definovane na intervalu I v případe, že funkce f (x) ma dale uvedene vlastnosti.
Předpokladejme, že funkce f (x) je spojita na intervalu I. Ožnacme I0 množinu vsech vnitrních bodu intervalu I. Předpokladejme, že f'(x) je spojita na intervalu I0, a že ma na nem konecny pocet nulovych bodu. Tyto nulove body roždelí interval I na konecny pocet castecnych intervalu. Ve vsech vnitřních bodech každeho ž techto castecnych intervalu je f'(x) > 0 nebo f'(x) < 0. Takže v nem je funkce f (x) rostoucí nebo klesající. Při grafickem žnažornení vyžnacíme interval I na ďselne ose a nulove body funkce f'(x). Tyto nulove body roždelí interval I na nekolik castecnych intervalu. Nad každym ž techto intervalu vyžnacíme „ + ", je-li v jeho vnitrních bodech f '(x) > 0, a „ —", je-li v jeho vnitřních bodech f'(x) < 0. Pod interval, nad nímž je symbol „ + " („ —") dame symbol („ \") a tak vyžnacíme, že funkce f (x) je na tomto
450 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
castecnem intervalu rostouc í (klesaj íc í). Ilustrujme to na nasleduj íc ím príklade. Příklad 11.3. Naleznete intervaly monotónnosti funkce
f (x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5.
Resení. Funkce f (x) je spojita a ma i spojitou derivaci f '(x), kde
f '(x) = 6x2 - 30x + 36. Resen ím rovnice f'(x) = 0 dostavame x1 = 2, x2 = 3.
Vyznacme c íselnou osu. Interval I je cela tato c íselna osa. Na n í vyznac íme body x1 = 2, x2 = 3. Tyto body rozdel í interval I na 3 castecne intervaly: (-to, 2), (2,3), (3, to). Znamen í f'(x) a monotónnost funkce f (x) jsou patrny z obr. 11.9.
/'(*) + - + -1-1-
xi = 2 X2 = 3
f(x) S \ S
Obrázek 11.9: Monotónnost funkce f (x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5.
Funkce f (x) je rostouc í na intervalu (-to, 2) a na intervalu (3, to) a je klesaj íc í na intervalu (2, 3).
Zabývejme se nyn í podrobneji problemem nalezen í lokaln ích extremu.
451 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Věta 11.8. Necht funkce f (x) má v bodě a lokálni extrém a necht existuje f '(a). Potom f '(a) = 0.
Důkaz: Veta je bezprostředním důsledkem vety 11.3 a definice 11.2. .
Z vety 11.8 vyplývá, ze funkce f (x) mUěe mít lokální extrám pouze v bodech, v nichZ nemá derivaci anebo v bodech, v nichZ má derivaci rovnu nule.
Poznamenejme, Ze je-li f'(a) = 0, ma graf fůnkce f (x) v bode a teCnů rovnobeZnoů s osoů x.
Na obr. 11.10 je znazornena fůnkce, ktera ma v bode xo lokainí minimům a ma v nem derivaci; na obr. 11.11 je znazornena fůnkce, ktera ma v bode x0 lokainí minimům, ale nema v nem derivaci.
Zjistili jsme v kterých bodech může mít daná funkce /(x) lokální extrémy. Dále si
Obrazek 11.10: f (x) ma v x0 derivaci.
Obrazek 11.11: f(x) nema v x0 derivaci.
452
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
uvedeme několik vět, kterými lze alespoň v některých případech rozhodnout, zda funkce /(x) ma v nich skuteCne lokální extrem.
Veta 11.9. (Existence lokálního extrému)
Necht /'(x0) = 0 a necht existuje ô > 0 tak, že pro x G (x0 — ô, x0) je f '(x) definována a platí/'(x) > 0 (/'(x) < 0) a pro x G (x0, x0 + ô) je /'(x) definované a platí /'(x) < 0 (/'(x) > 0). Potom funkce /(x) ma v hodě x0 lokální maximum (minimum). Jestliěe /'(x) > 0 (/'(x) < 0) pro x G (x0 — ô, x0) U (x0, x0 + ô), fukce /(x) nema v x0 lokální extrém.
Znazorneme si grafický situaci uvedenou v teto vete. UkaZme nektere případy:
a) /'(x0) = 0, /'(x) < 0 pro x G (x0 — ô,x0), /'(x) > 0 pro x G (x0,x0 + ô), kde
f '(x)
+
xo — ô
f (x)
xo
xo + ô
f (x) má v x0 lokálni minimum
b) /'(x0) = 0, /'(x) > 0 pro x G (x0 — ô,x0), /'(x) < 0 pro x G (x0,x0 + ô), kde
453
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ô G R
/'(x) + -
xq — ô xo xq + ô
/ (x) /
/(x) má v x0 lokálni maximum
c) f'(x0) = 0, f '(x) > 0 pro x G (xo — Ô, xo), f'(x) > 0 pro x G (x0 , x0 + Ô), kde
Ô G R
/'(x) + +
—e-1-^—
xo — ô xo xo + ô
/ (x) /
/(x) nemá v x0 lokálni extrém
d) f'(x0) = 0, f '(x) < 0 pro x G (x0 — Ô, x0), f'(x) < 0 pro x G (x0 ,x0 + Ô), kde
ÔGR
/'(x) - -
xo — ô xo xo + ô
/(x) \
/(x) nemá v x0 lokálni extrem
Uved'me jeste dalsí vetu, ktera umoznuje urcit v nekterých prípadech lokainí extremy funkce f(x).
454
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Věta 11.10. (Existence lokálního extrému) Necht f'(x0) = 0, f"(x0) > 0 (< 0). Potom funkce f (x) ma v bode x0 lokální minimum (maximum).
DUkaz: Necht f''(x0) > 0. Potom existuje
lim f'(x) " f'(Xo) = /''(xo) > 0.
x—xo x — X0
Existuje tedy takove Cislo ô > 0, že pro x = x0, x G (x0 — ô, x0 + ô) je podíl
f'(x) — f'(xo) =
x x0 x x0
definován a je kladny. Tedy f'(x) a x — x0 mají žde stejne žnamenko. Je tedy f '(x) < 0 pro x G (x0 — ô, x0) a f '(x) > 0 pro x G (x0, x0 + ô). Podle vety 11.9 ma tedy funkce f (x) v bode x0 lokalní minimum. Podobne se dokaže zbývající Cast vety. .
Príklad 11.4. UrCete lokaln í extrémy funkce f (x) = x2 — 5x + 6.
ReSení. Funkce f (x) ma derivaci pro x G (—to, to). Podle požnamky uvedene vyše muže tedy nabyvat lokaln í extrémy použe v bodech, v nichž je f'(x) = 0. Dostavame
f'(x) = 2x — 5.
Resen ím rovnice 2x — 5 = 0 dostavame x0 = |. Tedy funkce f (x) muže nabyvat lokaln í extrém použe v bode x0 = |. Dokažeme nyn í dvema žpusoby, že žde dana funkce nabyva lokaln í minimum.
455 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
a) Zrejme f'(x) < 0 pro x G (—to, 5) a f'(x) > 0 pro x G (|, to). Podle vety 11.9 ma funkce f (x) v bode xo lokaln í minimum.
b) Ponevadz f''(x) = 2, je f''( f) = 2 > 0. Podle vety 11.10 ma funkce f (x) v bode 2 lokaln í minimum.
Příklad 11.5. Naleznete lokaln í extrémy funkce f (x) = x4.
Řešení. Podobnou uvahou jako v minulem príklade zjišt íme, ze funkce f (x) muze m ít lokaln í extrém pouze v bode, v nemz je f'(x) = 0. Zrejme f'(x) = 4x3. Rovnice 4x3 = 0 ma jedine rešen í x = 0. Zrejme f'(x) < 0 pro x G (—to, 0) a f'(x) > 0 pro x G (0, to). Ma tedy funkce f (x) v bode x = 0 podle vety 11.9 lokaln í minimum. Ponevadz f''(0) = 0, nelze o exištenci lokaln ího extrému v bode x = 0 rozhodnout podle vňety 11.10.
Příklad 11.6. Naleznete lokaln í extrémy funkce f (x) = x3.
Řešení. Funkce f (x) ma derivaci pro x G (—to, to). Muze tedy m ít podle vyše uvedene poznamky lokaln í extrém pouze v bode x = 0, neboť jenom v nem je f'(x) = 0. Ponevadz f'(x) = 3x2 > 0 pro x G (—to, 0) U (0, to) nema f (x) podle vety 11.9 v bode x = 0 lokaln í extrém. Dana funkce tedy nema lokaln í extrémy. Ponevadz f''(0) = 0, nelze podle vety 11.10 rozhoudnout, zda v bode 0 ma funkce f (x) = x3 lokaln í extrém.
Na príklade 11.5 jšme videli, ze veta 11.10 nam nekdy neumoznuje urcit, zda funkce f (x) ma v bode x0, v nemz je f'(x0) = 0, lokaln í extrém, nebo nema. Uved'me ši
456
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
naslěduj íc í větu, ktěra jě oběcnějS í něž věta 11.10. Veta 11.11. (Existence lokálního extrému)
Necht f'(xo) = ^(xo) = ••• = f(n)(xo) = 0 a necht f(n+1)(xo) = 0. Je-li n + 1 sude, ma funkce f (x) v bodě x0 lokální extrem. Jestliže f (n+1)(x0) > 0 (f (n+1)(x0) < 0), potom funkce f (x) má v bodě x0 lokální minimum (maximum). Je-li n + 1 lichá, nemá funkce f (x) v bodě a lokální extrám.
Příklad 11.7. Nalěžnětě lokaln í ěxtrěmý funkcě f (x) = x4.
Řešení. Dostavamě
f'(x) = 4x3, f''(x) = 12x2, f'''(x) = 24x, f (4)(x) = 24.
Zřějmě f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0, f (4)(0) = 24 > 0. Ma tědý funkcě f (x) = x4 v bodě x = 0 lokaln í minimum podlě větý 11.11.
Příklad 11.8. Nalěžnětě lokaln í ěxtrěmý funkcě f (x) = x3.
Řešení. Dostavamě
f'(x) = 3x2, f''(x) = 6x, f'''(x) = 6.
Zrějmě f'(0) = f'' (0) = 0, f'''(0) = 6 > 0. Podlě větý 11.11 něma funkcě f (x) = x3 v bodě x = 0 lokaln í ěxtrěm.
457
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
11.4. Absolutní extrémy
V definici11.1.1 bylo zavedeno absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na množine M. Absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na množine M nazyvame spolecnym nazvem absolutn í extrémy. Absolutn í extrémy funkce nemus í ovsem na dane množine existovat. Tak napň. funkce f (x) = tg x v intervalu (-|, |) nenabyva ani nejvets í ani nejmens í hodnoty, nebol;
/Ímx^-n/2+ = -TO, /ímx^n/2+ = TO
takže funkce f (x) nen í na intervalu ,< -n/2,n/2 > ohranicena. Víme, že jestliže funkce f (x) je spojita na uzavrenem intervalu, pak je existence absolutn ích extrému zarucena vetou Weierstrassovou. Pro nalezen í absolutn ích extrému je duležita tato veta:
Veta 11.12. (Existence absolutního extřemů)
Bud f (x) funkce definovana na intervalu J. Necht ma v císle a G J absolutní extrím. Pak a je koncovým bodem intervalu J nebo v nem mí funkce f (x) relativní extríem.
Důkaz: Nen í-li a koncovym bodem intervalu J, da se zvolit interval J' takovy, že J' je cast í J a bod a je vnitňn ím bodem v J'. Pak v J' je f (x) definovana a plat í f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) na intervalu J'. Potom funkce f (x) ma v c ísle a relativn í maximum (minimum). .
458
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Pěi hledání absolutních extremu funkce spojite na uzavzenem intervalu < a, b > postupujeme takto: Necht funkce f (x) je spojitá na uzavrenem intervalu < a, b >. Podle Weierstrassovy vety má funkce f (x) na intervalu a, b > absolutní extrem. Tento absolutní extrem nabyvá funkce f (x) buďto v bode, v němě nabyvá lokální extrem, nebo v bodech a, b. Vyhledáme proto lokální extremy a porovnáním hodnot vyZsetZrovanáe funkce v tZechto bodech a v bodech a, b urZcáme absolutnáextráemy.
Na absolůtn i extremy fůnkce vede rada aplikacn ích ůloh. Uved'me príklad.
Příklad 11.9. Obdeln íkovy kůs plechů ma rozmery 60 x 28 cm. V roz ích se odríznoů ctverce a zbytek se ohne tak, ze vznikne otevrena krabice. Jak velika můs í byt strana odr ízůtych ctverců, aby objem krabice byl maximaln i?
Řěšění. Je-li x strana odríznůtych ctverců (viz obr. 11.12), je objem krabice
f (x) = (60 - 2x)(28 - 2x)x = 4x(30 - x)(14 - x).
Plat í, ze x G (0,14) a f (0) = f (14) = 0, pro x G (0,14) je f (x) > O. Absolůtn í maximům splyne tedy s maximem relativn ím. Dostavame
f'(x) = 4(3x2 - 88x + 420), f''(x) = 8(3x - 44).
Uloze vyhovuj íc í koren rovnice f'(x) = 0 je x = 6. Ponevadz f''(6) < 0, ma fůnkce f (x) v bode x = 6 lokaln í maximům. Plat í f (6) = 4608. Objem krabice je maximaln í, odríznoů-li se ctverce o strane 6 cm. Objem krabice pak je 4,608 dm3.
459
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
x / r
GO CM
x x r / 1
60 x
r ^
Obrázek 11.12: Tvar plechu na krabici.
11.5. Konvexita a konkávnost funkce
Nechť funkce f (x) má v bode a derivaci /'(a). Potom graf funkce f (x) má v bode [a, f (a)] tecnu y — f (a) = f'(a) • (x — a). Oznacme
$(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a), x G D f.
odchylku funkce y = f (x) a funkce y = f (a) + f'(a) • (x — a), jejíZ graf je tecna ke grafu funkce f (x) v bode a. (viz obr. 11.13)
460
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
0 a — ôa a + ô xx
Obrazek 11.13: Zavedení funkce $(x).
Definice 11.3. (Infiexní bod)
Řekneme, ze funkce f (x) probíha v bode a nad tečnou (pod tečnou), existuje-li takove Ô > 0, ze na intervalu (a — Ô, a + Ô) je definovína funkce
$(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a) (11.3)
a $(x) > 0 ($(x) < 0), pro x G (a — Ô, a) U (a, a + Ô). (Viz obr. 11.13.) Řekneme, ze bod a je inflexním bodem funkce f (x), (viz obr. 11.14) jestlize existuje Ô > 0 tak, ze <ř(x) je definovana na intervalu (a — Ô, a + Ô) a platí <ř(x) > 0 ($(x) < 0) pro x G (a — Ô, a) a $(x) < 0 ($(x) > 0) pro x G (a, a + Ô). (Graf funkce přechízí v bode dotyku z jedne strany tecny na druhou.)
461
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y = f (x)
—i-1-i—
a — ô a a + ô
Obražek 11.14: K definici inflexn ího bodu.
Veta 11.13. Necht f''(a) > 0 (f''(a) < 0). Potom funkce f (x) probíhá v bode a nad tecnou (pod teCnou).
DUkaz: Nechť f''(a) > 0. Pak podle definice derivace existuje takove okol í Us (a), že pro x G Us (a) — {a} je
f'(x) — f' (a) x—a
definovano a je f { (a) > 0. Tedy v Us(a) je definovana derivace f'(x). Necht x je libovolny bod ž intervalu Us(a) — {a}. Potom funkce f(x) je v intervalu o koncovych
462
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
bodech a, x spojita a uvnitr ma derivaci. ToteZ plat í pro funkci <ř(x). Podle vetý o pr írustku funkce plat í pro funkci $ danou vztahem (11.3)
$(x) = $(x) — $(a) = $'(c)(x — a), (11.4)
kde c lez í mezi a, x. Úpravou (11.4) dostavame
$(x) = (/'(c) — /'(a)) (x — a) = ^(c) — a(a) (x — a)(c — a).
ca
Ponevadz c lez í mezi a, x, je (x — a)(c — a) > 0. Je tedý znamen í $(x) v Us(a) — {a} stejne jako je znamen í f (c)—^(a) a tedý stejne i jako je /''(a). Je tedý $(x) > 0 pro x G Us(a) — {a}. Podobne se dokaze veta v ostatn ích prípadech. .
Z teto vetý bezprostredne výplýva tato veta:
Veta 11.14. Necht a je inflexním bodem funkce /(x). Existuje-li /''(a), potom /''(a) = 0.
Funkce /(x) muže mít inflexní bod použe v bodech, v nichě ma první derivaci, ale nemá druhou derivaci nebo v těch bodech, v nichě tato druha derivace existuje a je rovna 0.
Ukazme si nýn í vetu, ktera nam umozn í alespoň v nekterých prípadech zjistit inflexn í bodý dana funkce.
463
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Věta 11.15. (Existence inflexního bodu)
Necht f" (a) = 0 a necht existuje ô > 0 tak, že pro x G (a — ô, a) je f "(x) > 0 (f" (x) < 0) a pro x G (a, a + ô) je f" (x) < 0 (f" (x) > 0). Potom funkce f (x) má v bode a inflexní bod.
Znázorněme si graficky situaci uvedenou ve větě 11.15.
/ "(a) = 0
/" :
+
f" :
a — ô a a + ô
a je inflexní bod funce f (x)
f "(a) = 0
+
a — ô
a + ô
a je inflexní bod funce f (x)
Příklad 11.10. Určete inflexní body funkce
f (x) = x3 - 3x2 + 5x + 4.
Řešení. Pro x G (—to, to) dostáváme
a
464
f (x) = 3x2 — 6x + 5, f"(x) = 6x — 6.
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Urcěmě nulově bodý funkcě f''(x). Z rovnicě f''(x) = 0, to jěst ž rovnicě 6x — 6 = 0 dostavamě x = 1. Funkcě f (x) ma prvn í a druhou děrivaci pro x G (—to, to).
f" : - +
-1-
1
1 je inflexní bod funce f (x)
Ma tědý funkcě f (x) v bodě x = 1 podlě větý 11.15 inflěxn í bod. Dals í větou, ktěrou lžě v něktěrých prípaděch urcit inflěxn í bodý, jě naslěduj íc í věta. Veta 11.16. (Existence inflexního bodu)
Necht funkce f (x) splňuje v bodě x = a tyto vžtahy f''(a) = • • • = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) = 0. Je-li n + 1 lichá, potom funkce f (x) ma v bodě a inflexní bod.
Příklad 11.11. Nalěžnětě inflěxn í bodý funkcě f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. (Viž príklad 11.10.)
Řešen í. Dostavamě f'(x) = 3x2 — 6x + 5, f ''(x) = 6x — 6, f'''(x) = 6
Poněvadž f''(1) = 0, f'''(1) = 0 ma funkcě f (x) v bodě x = 1 inflěxn í bod. Zavědmě si pojěm rýžě konvěxn í (rýžě konkavn í) funkcě na intěrvalu.
465
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
I Definice 11.4. (Ryze konvexní a ryze konkávni funkce)
I Řekneme, že funkce f (x) je ryze konvexní (ryze konkávni) na intervalu I, jestliže ma tuto vlastnost:
Jestliže xi, x2, x3 G I, xi < x2 < x3 a jestliže p je přímka jdoucí body A[x1, f (xi)], C[x3,f (x3)], potom bod B[x2,f (x2)] leží pod (nad) přímkou p.
Na obr. 11.15 je žnažornena funkce ryže konvexní na intervalu I a na obr. 11.16 je žnažornena funkce ryže konkavní na intervalu I.
Obražek 11.15: Funkce ryže kon- Obražek 11.16: Funkce ryže
vexn í na intervalu I. konkavn í na intervalu I.
Podobnym žpusobem žavad íme pojem konvexnosti a pojem konkavnosti funkce na in-
466
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
tervalu.
Definice 11.5. (Konvexní a konkávni funkce)
Řekneme, že funkce f (x) je na intervalu I konvexní (konkávni), jestliže ma tuto vlastnost:
Jestliže xi, x2, x3 G I, xi < x2 < x3 a jestliže p je přímka jdoucí body A[xi, f (xi)], C[x3,f (x3)], potom bod B[x2,f (x2)] leží pod (nad) přímkou p nebo na ní.
Na obr. 11.17 je žnažornena funkce konvexní na intervalu I a na obr. 11.18 je žnažornena funkce konkavn í na intervalu I.
xi X2 x3 i X\ X2 X3
Obražek 11.17: Funkce konvexn í Obražek 11.18: Funkce konkavn í
na intervalu I. na intervalu I.
Poznámka 1. Nechť f (x) je funkce definovana na intervalu I. Nechť x1, x2, x3 G I,
467 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
x\ < X2 < x3. Potom přímka p, jdoucí body A[x\)f (x\)\, C[x3,/(x3)], má rovnici
f( \ , /(x3) - /(x1)/ N p : y = /(xi) +--(x - xi).
x3 — x1
Bod B[x2,/(x2)] leží pod přímkou p, jestliže
/(x2) < /(xi) + /(x3) — /(xi) (x2 — xi).
x3 - x1
Úpravou postupne dostáváme
/(x2)(x3 — xi) < /(xi)(x3 — x2) + /(x3)(x2 — xi) /(x2)(x3 — x2 + x2 — xi) < ,/(xi)(x3 — x2) + /(x3)(x2 — xi)
/(x2) — /(xi) (x3 — x2) < /(x3) — /(x2) (x2 — xi).
Tedy bod B[x2, /(x2)] leží pod přímkou p, jestliže platí
/(x2) — /(xi) < /(x3) — /(x2)
x2 — xi x3 — x2
Podobne se ukáže, že bod B[x2,/(x2)] leží pod přímkou p nebo na ni, jestliže platí
(11.5)
/(x2) — /(xi) /(x3) — /(x2)
x2 — xi
<
x3 — x2
(11.6)
468
>Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Analogicky se odvod í, ze bod B[x2, f (x2)] lez í nad přímkoů p, jestlize plat í
f (x2) - f (x1) > f (x3) - f (x2) xľ2 *x 1
(11.7)
Podobne, bod B[x2, f (x2)] lez í nad přímkoů p nebo na ni, jestlize plat í
f (x2) - f (xQ > f (x3) - f (x2)
x2 - x1 x3 - x2
(11.8)
O vztahů mezi konvexnost i (konkavnost i) fůnkce f(x) a znamen im drůhe derivace f''(x) fůnkce f(x) vypov idaj i nasledůj ic i vřety.
Věta 11.17. (Vztah konvexnosti a dřůhě děřivacě fůnkcě)
Necht: f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Oznaěme I0 mnoěinu vsech vnitrních bodu intervalu I. Necht funkce f (x) má druhou derivaci f''(x) na intervalu I0. Potom platí:
Funkce f (x) je konvexní (konkávni) na intervalu I, kdyě a jenom kdyZ f ''(x) > 0 (f''(x) < 0) pro x G I0._
Důkaz: Důkaz rozdel íme do dvoů cast í.
a) Nechť f (x) je spojita na intervalů I a necht existůje f''(x) pro x G I0. Nechť f (x) je konvexn í na I. Dokazme, ze potom je f''(x) > 0 pro x G I0. Důkaz provedeme
469
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
sporem. Predpokladejme, že existuje bod x2 G 10, tak, že f''(x2) < 0. Existuje tedy ô > 0 tak, že pro x G (x2 — ô, x2 + ô), x = x2, existuje f X (x2) a platí
f'(x) — f'(x2) < 0. (11.9)
x — x2
Zvolme xi G (x2 — ô, x2), x3 G (x2,x2 + ô). Ponevadž dle předpokladu je funkce f (x) konvexn í na I, plat í (11.6) i pro takto žvolene body x1,x2,x3. Aplikujeme-li vetu o přírustku funkce na (11.6), dostavame, že existuje c G (x2 — ô, x2) a
d G (x2, x2 + ô) tak, že
f'(c) < f'(d). (11.10)
Avřsak ž (11.9) vyplyva, řže
f'(c) > f'(x2) > f'(d). (11.11)
Ponevadž (11.10), (11.11) nemohou soucasne platit, dospeli jsme ke sporu. Je tedy f''(x) > 0 pro x G I. b) Nechť f (x) je spojita na I a necht f''(x) > 0 pro x G 10. Dokažme, že potom je f (x) konvexní na I.
Ponevadž f''(x) > 0 pro x G 10, je f'(x) neklesající na 10. Predpokladejme, že f (x) nen í konvexn í na I. Existuj í tedy body x1,x2,x3 G I tak, že neplat í (11.6), tedy řže je
f (x2) — f (xi) > f (x3) — f (x2), xi f'(d). (11.13)
Ponevadž c,d G Io, c < d a f'(x) je neklesaj íc í na Io, nemuže (11.13) platit. Je tedy f (x) konvexn í na I.
Podobne se dokaže veta pro funkce konkavn í. .
Poznámka. K vete 11.17 lže vyslovit analogickou vetu pro funkce ryže konvexn í a pro funkce ryže konkavn í .
Uved'me si jeste dals í vetu, ktera je žobecnen ím tvržen í ve vete 11.17. Veta 11.18. (Ryze konvexní funkce na intervalu)
Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht f''(x) > 0 pro x G I0, přičemž f''(x) = 0 jen v konečném počtu bodU z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryze konvexní. DUkaz: Princip dukažu ukažme v nasleduj íc ím případe. Nechť f (x) je funkce spojita na intervalu I = (a,b). Nechť c G (a, b), f''(c) = 0 a nechť f''(x) > 0 pro x G (a, c) U (c, b).
Za techto predpokladu je f '(x) spojita na (a, b). Jsou-li x1,x2 G (a, c), x1 < x2, je
471
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
podle vety o př írustku funkce
f'(x2) - x'(xi) = f(í), kde í G (x,,x2).
Je tedy f '(x2)-f'(x1) > 0. Je tedy f'(x1) < f'(x2) pro x1, x2 G (a, c), x1 < x2. Funkce f'(x) je tedy rostouc í na (a,c). Podobne se dokaže, že f '(x) je rostouc í na intervalu (c, b). Tedy f'(x) je rostouc í na intervalu (a, b). Predpokladejme, že funkce f (x) nen í ryze konvexn í na (a,b). Pak existuj í takova c ísla x1 , x2,x3 G (a, b), x1 < x2 < x3, že pro ne neplat í (11.5), to jest, že plat í
f (x2) - f (x1) > f (x3) - f (x2)
Aplikujeme-li na každou stranu (11.14) vetu o prírustku funkce, dostavame
f'(í) > f'(n), kde í G (xi,x2), n G (x2,x3). (11.15)
Nelezli jsme tedy í,n G (a, b), í < n, pro než plat í (11.15). To vsak nemuže platit, nebot f '(x) je rostouc í na (a, b). Je tedy f (x) ryze konvexn í na (a, b). .
Veta 11.19. (Ryze konkavní fůnkce na intervalů)
Necht f (x) je funkce spojita na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht f''(x) < 0 pro x G I0, pricemZ f''(x) = 0 jen v konecnem poctu bodu z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I rýze konkavní.
472
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
DUkaz: Dukaž je analogicky dukažu vety 11.18.
I Pri hledan í intervalu konvexity a konkavnosti a inflexn ích bodu lže casto použ ít nasleduj íc í postup.
I Necht funkce f (x) je na intervalu I spojita. Necht I0 je množina jeho vnitřn ích bodu. Na císelne ose vyžnac íme interval I. Nad c íselnou osu nap íseme „f"(x)", budeme totiž nad c íselnou osou vyžnacovat žnamen í funkce f"(x). Pod císelnou osu nap íseme „f (x)", budeme totiž pod císelnou osou vyžnacovat symboly konvexnost, resp. konkavnost funkce f (x). Necht funkce f (x) ma na intervalu I0 druhou derivaci f"(x). Necht f"(x) ma na I0 konecny pocet nulových bodu. Tyto nulove body roždelí interval I na nekolik castecnych intervalu. Je-li c G I0 takovy bod, že f"(c) = 0, pocítame bod c k obema sousedn ím intervalum s koncovym bodem c. Ve vsech vnitrn ích bodech každeho ž techto castecnych intervalu je bud'to f"(x) > 0 nebo f"(x) < 0. V případe, že je žde f"(x) > 0 (f"(x) < 0), napíseme nad tento interval symbol ,, + " (symbol ,, — ") a pod tento interval symbol „^" („ vyjadruj íc í, že je na nem funkce f (x) ryže konvexn í (ryže konkavn í). Je-li f (x) ryže konvexn í (ryže konkavn í) ve dvou sousedn ích intervalech, je ryže konvexn í (ryže konkavn í) i na jejich sjednocen í. Ve spolecnem bode c techto sousedn ích intervalu, v nemž je f"(c) = 0, nema funkce f (x) inflexn í bod. Je-li f (x) ryže konvexn í (ryže konkavn í) v nekterém castecnem intervalu a v sousedn ím intervalu je f (x) ryže konkavn í (ryže konvexn í), ma funkce f (x) ve spolecnem bode c techto intervalu inflexn í bod.
Priklad 11.12. Urcete intervaly, na nichž je funkce f (x) = x3 — 6x2 + x konvexn í a intervaly, na nichž je funkce f (x) konkavn í.
Reseni. Funkce f (x) je spojita na intervalu I = (—to, to). Vypoctem dostavame f"(x) = 6x — 12, x G (—to, to). Řesme rovnici f"(x) = 0, tj. 6x — 12 = 0. Tato rovnice ma jedine resen í x1 = 2. Tento nulovy bod roždel í interval I na dva castecne
473
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
intervaly: (—to, 2), (2, to). Ve vnitrn řch bodech intervalu (—to, 2) je f"(x) < 0 a ve vnitrn řch bodech intervalu (2, to) je f "(x) > 0. Je tedy funkce f (x) ryze konkavn ř na intervalu (—to, 2) a ryze konvexn ř na intervalu (2, to). V bode x = 2 ma funkce f (x) inflexn ř bod. (Viz obr. 11.19)
/"(*) - + -1-
f (x)
2
inflexní bod
Obrázek 11.19: Konvexita funkce f (x) = x3 — 6x2 + x.
Příklad 11.13. Určete intervaly, na nichž je funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1 konvexn í, intervaly, na nichž je funkce f (x) konkavn í a inflexn í body.
Řešení. Funkce f (x) je spojita na intervalu I = (—to, to). Zrejme I0 = (—to, to) je množina vnitrn ích bodu intervalu I. Vypoctem dostavame
f "(x) = 12x2 — 24x + 12.
Řešen ím rovnice f"(x) = 0, tj. rovnice x2 — 2x + 1 = 0, dostavame x1;2 = 1. Body xi = 1, x2 = 1 roždel í interval I na dva castecne intervaly (—to, 1), (1, to). Ve vnitrn ích bodech každeho ž nich je f" (x) > 0. Je tedy f (x) ryže konvexn í jak na intervalu (—to, 1), tak i na intervalu (1, to). Je tedy ryže konvexn í i na jejich sjednocen í, to jest na intervalu (—to, to). Viž obr. 11.20. Tato funkce nema inflexn í bod.
474
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celá obrazovka •Zavřít •Ukončit
f "(x)
+
+
f (x)
bod x = 1 není inflexním bodem
Obrázek 11.20: Konvexita funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1. Príklad 11.14. UrCete inflexn í body funkce f (x) = j ln x.
ReSení. Funkce f (x) je spojitá na svem definiCn ím oboru I = (0, to). Vypoctem dostáváme f'(x) = ^ (1 — ln x), f "(x) = ja (2ln x — 3). Resen ím rovnice f "(x) = 0, tj. rovnice ja(2ln x — 3), dostáváme ln x = 3, tj. x = e2. Urcen ím znamen í f''(x)
3 3
dostáváme, Ze f (x) je konkávn í v intervalu (0,e 2), konvexn í na intervalu (e 2, to).
3
V bode x = e2 má inflexn í bod. Viz obr. 11.21.
/"(x) - +
f (x)
0 3
0 e 2
bod x = e 2 je
inflexní bod
Obrázek 11.21: Konvexita funkce f (x) = X ln x.
1
475
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
11.6. Hledání kořenů rovnice f (x) = 0 „metodou půlení intervalu".
Ukažmě si nýn í větu, ktěra jě vělicě prospěsna pri hlědan í korěnu rovnic. Tuto větu jsmě mohli výslovit již drívě, alě na tomto m ístě mužěmě výuž ít v naslěduj íc ím príkladě požnatký o hlědan í ěxtrěmu funkcě.
Veta 11.20.
Necht funkce f (x) je spojitá na (a, 6) a necht f (a)f (b) < 0. Potom existuje alespoě jedno taková císlo a G (a, 6), ze f (a) = 0. (Viz obr 11.22.)
x
Obrázek 11.22: Ilustrace významu vety 11.20. 476 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tato veta umožňuje naležt koren a rovnice f (x) = 0 s libovolnou presnost í postupnym delen ím intervalu (a, b). Urc íme bod c = (a + b)/2. Je-li f (c) = 0, je a = c. V opacnem prípade, je-li f (c) • f (a) > 0, polož íme a = c; je-li f (c) • f (a) < 0, polož íme b = c. T ím se obdrž í novy žuženy interval (a, b) v nemž lež í c íslo a. Cely postup opakujeme tak dlouho, až obdrž íme bud'to c íslo c, v nemž je f (c) = 0 anebo interval (a, b), v nemž lež í koren a a jehož delka b — a je mens í než žvolene c íslo, udavaj íc í požadovanou presnost.
Príklad 11.15. Naležneme realne koreny polynomu f (x) = x3 — 3x2 + x — 1.
ReSení: Abychom urcili realne koreny daneho polynomu, urceme napred jeho žnamen í.
Urceme lokaln í extrémy dane funkce. Vypoctem dostavame
f'(x) = 3x2 — 6x + 1.
Polynom f'(x) ma kořeny x1 = 1 — 1/3 \/6, x2 = 1 + 1/3\/6. Urceme žnamen í funkce f'(x) a intervaly monotonnosti funkce f(x). Dostavame
/'(*) + - + -1-1-
f(x) S \ S
Je tedy f (x) rostouc í v intervalu (—to,x1), klesaj íc í v intervalu (x1,x2), rostouc í v intervalu (x2, to). Funkce f ma tedy v bode x1 lokaln í minimum. Ponevadž vypoctem žjist íme, že
f (x1) < 0, f (x2) < 0, lim f (x) = to,
X—>QO
477
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
má funkce /(x) jenom jeden realny kořen a G (x2, to). Funkce /(x) je žaporna pro
x G (—to, a) a kladní pro x G (a, to).
PoCítaním hodnot funkce /(x) v bodech intervalu (x2, to), žjistíme, že např. /(2) =
-3, /(3) = 2.
Ponevadž /(x) je funkce spojití a rostoucí na intervalu (2,3) a /(2) < 0, /(3) > 0, ma funkce /(x) na intervalu (2,3) prívejeden kořen. Tento koren mužeme hledat metodou pulení intervalu.
478
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Položme a := 2, b := 3. Postupne dostavame
f (a) := _13, f (b) :=2; c := aairb, c :=t, f (c)=_ 64, a :=c
f (a) := _ 64, f (b) := 2; c := ^, c := f, f (c) = g1, b := c
, 9 ,,,, 431 a + b 89 , 1349
f(a) := _64, f(b) := 512; c :~, c := 32, f (c) = 4096, b :=c
9 1349 a + b 5 2921 b
£( , 9 2921 a + b 177 ^ . 7087
64 32768 2 64 262144
a := c
' = 7087 = 2921 = a + b = 355
f (a) := _262144, f (b) := 32768; c := ~Y~, c := 128,
f (c) 2097152, b : c Tedy a = 2,7656, b = 2,7734, takže
a = 2,7695.
479
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Úkol. Nacrtnete si graf funkce /(x) a vyžnacte body xi, x2, a = 2, b = 3 a koren a.
11.7. Výpočet některých typů limit
Necht /(x), g(x) jsou dve funkce a necht lim /(x) = A, limg(x) = B, kde A, B G R*. Symbol lim zde zastupuje kterýkoliv ze symbol U lim , lim , lim, lim ,
x—a+ x—a_ x—a x—oo
lim , kde a G R. Zatím jsme uvažovali dva případy pro výpoCet lim 4x).
x—-TO g(x)
a) Ve vete 8.2 jsme uvedli, že
g(x) B
pokud A ma význam v R*. Podíl nema význam v případě, že B = 0, a v případě, že A = ±to, B = ±to.
b) Ve vete 8.4 jsme uvedli případ, kdy A = 0, B = 0.
DoporuCuji, abyste si obě tyto věty zopakovali. Přistoupíme nyní k další větě pro vypoCet limity podílu dvou funkcí.
c) V dalěí větě, zvaní L'Hospitalovo pravidlo, vyěetěíme pěípady a) A = B = 0,
P) A = ±TO, B = ±TO.
480
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
L'Hôspitalovo pravidlo
Věta 11.21. (L'Hôspitalovo pravidlo)
\Nechi f (x), g(x) jsou takové funkce, že
lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim f (x) = ±00, lim g(x) = ±00.
Existuje-li vlastné nebo nevlastné limita
y f (x)
g/(x)
pak existuje lim ^XEl a platé
lim —— = lim = a.
g(x) g/(x)
Symbol lim zde může nabýt kteréhokoliv z pěti významů:
lim , lim , lim, lim , lim .
x-»a+ x-»a- x—a x—-oo x—+oo
Důkaz: Omezme se na případ, že lim f (x) = lim g (x) = 0 a pro určitost předpokládejme, že jde o limity zprava v čísle a a že a je reálne číslo. Položme f (a) = g (a) = 0. Pak
481
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
funkce f (x) a g(x) jsou v c ísle a zprava spojite. Ponevadž
ľ f'(x)
x—a+ g'(x)
existuje k libovolnemu e > 0 takove c íslo ô > 0, že funkce f (x), g(x) maj í v intervalu (a, a + ô) derivaci a v nem plat í
a+
Podobne se dukaž provede i v ostatn ích prípadech. . Príklad 11.16. Vypoc ítejte
, vr—ä?2 — 1
lim -.
x—0+ x
ReSení: Položme _
f (x) = \A — x2 — 1, g(x) = x.
Zrejme f (x) i g(x) jsou funkce spojite v bode 0. Je tedy
lim+ f (x) = f (0) = 0, lim+ g(x) = g(0) = 0.
x—0+ x—0+
483 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Podle ĽHôspitalova pravidla platí
lim AEZ-! =Um Ä = ( -x ) = 0.
Poznámka. Užitím vety 11.21 lze počítat i limitu tzv. neurčitých výrazů. Jsme zvyklí je zapisovat takto
„°", jestlize limita čitatele i jmenovatele je rovna 0, „ —", jestlize čitatel i jmenovatel mají nevlastní limity,
„0 -to, 0 • (—to)", pro případ výpočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0 a lim g(x) = oo(-oo), „oo - oo", kdy limita jednoho sčítanče je +to a druheho je rovna —to, „0°", pro případ vypočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 „0±oc ", pro případ vypočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0, lim g(x) = ±to.
Limity takovyčhto vyrazu počítame převedením na vypočet podílu takovyčh funkčí, abyčhom mohli pouzít L'Hospitalovo pravidlo. Vypočet limity f (x)g(x) počítame tak, ze zapíseme
f (x)g(x) = eô(x)ln f (x)
a limitu počítame vypočtem limity funkče g(x) ln f (x) a pouzijeme vetu o vypočtu limity slozene funkče.
Příklad 11.17. Vypočítejte lim (Vx2 - 1 - x).
X—t>00
Řešení. Zde menseneč i mensitel mají limitu rovnu +to. Jde o případ, ktery jsme
484 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
oznacili „to — to". Dostáváme
lim (\Jx2 — 1 — x) = lim ( — y--J = lim ^ y-
x—to y—0+ 1 |y| y J y—0+ y
Ponevadz
lim (V1 — y2 — 1) = (V1 — y2 — 1) =0, lim y = 0
y—0+ \ J \ J y=o y—0+
pouzijeme L'Hôspitalovo pravidlo. Dostáváme
lim ^ť — 1 = lim 2(1 — y2)—2 • (—2y) = lim _—L= = 0.
y—0+ y y—0+ 1 y—0+ 1 — y2
Příklad 11.18. Vypoc ítejte
a) lim xe1, b) lim xex.
x—>0+ x—0_
ReSení.
a) Zrejme
lim x = 0, lim ex = lim ey = to.
x—0+ x—0+ y—00
485
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Jde tedy o vypočet limity typu „0 • 00". Úpravou dostáváme
lim xe1 = lim -—x-> 0 + x—>0 + —
x
tedy jde o typ „o". Použitím L'Hóspitalova pravidla dostáváme
1 ex ex (—^) 1
lim xex = lim -j- = lim — -, = lim ex = o.
x
b) Zrejme
lim x = 0, lim -x = lim -y = 0.
x—0_ x—0_ y—y—00
Tedy lim x-X = 0.
x—0_
Příklad 11.19. Vypočítejte
.. ln x lim -.
x—0 x
RěSění. Jde o vypočet limity typu „0". Úžitím L'Hôspitalova pravidla dostaneme
ln x x 11
lim -= lim x = lim — = — = 0.
x—0 x x—0 1 x—0 x
486
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 11.20. Vypoc ítejte
lim xx.
x—0+
Resení. Jde o vypocet limity typu „0°". Funkce xx je definovana pro x G (0, oo). Lze ji prepsat na tvar
xX = gX ln x
Jde o složenou funkci, jej í vnejs í složkou je funkce eu, vnitrn í složkou je funkce x ln x. Dostavame
.. . .. ln x
lim x ln x = lim —j—.
x—»0+ x^0i -
x
Užit ím L'Hôspitalova pravidla obdrž íme
lim —^ = lim -JL^ = - lim x = 0.
x—0 + - x—K) +--1■ x—0+
x2
Ponevadž eu je funkce spojita, je
, lim (x ln x) „
lim ex ln x = ex-°+ = e0 = 1.
x—0+
x
487
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
11.8. Průběh funkce
Zavedeme nyní pojem asymptot funkce f (x). Jde o přímky, které dále uvedeným způsobem charakterizuj í prUbeh funkce. Del íme je na a) asymptoty bez smernice a na b) asymptoty v nevlastn ích bodech —oo, oo.
I Definice 11.6. (Asymptoty bez směrnice)
Přímku x = a G R nazyvame asymptotou bez směrnice funkce y = f (x), jestliZe lim f (x) = oo nebo lim f (x) = —oo, kde lim znac í alespon jeden ze symbolu
lim , lim , lim.
x—a- x—a+ x—a
Poznámka. Otazkou je, jak urcit a, pro nejz je
lim f (x) = +oo (nebo lim f (x) = —oo)
x—a+ x—a+
nebo
lim f (x) = +oo (nebo lim f (x) = —oo).
x—a_ x—a_
Lehce nahledneme, ze a je bod'to bodem, v nemz funkce f (x) nen í spojita, nebo kon-covym bodem intervalu J C D f.
488 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 11.21. Urceme asymptotu bež smernice funkce
f(x) =
3x2 + 1 2x- 1
Resení. Funkce f (x) je spojita pro x G (to, to) — {2}. Vypoctem dostavame
3x2 + 1
lim--- = +to,
x—1/2+ 2x — 1
3x2 + 1
lim -= —to.
x—1/2- 2x — 1
Je tedy x = 2 asymptotou bež smernice funkce f (x).
Při vysetrovan í pmbehu funkce vyžnac íme asymptotu bež smernice takto
1 v
1 0 1 2
>\ x = 2
Obrázek 11.23: Asymptoty bez směrnice - x = |.
x
489
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 11.7. (Asymptota v nevlastním bode)
Přímku y = Ax+B (A, B jsou realna c ísla) nažyvame asymptotou funkce y = f (x) v nevlastn ím bode to (—to), jestliže (viž obr. 11.24)
lim $(x) = 0 f lim $(x) = 0) ,
x—TO \ x——TO I
kde
$(x) = f (x) — Ax — B.
x x
Obrázek 11.24: Asymptotou v bode to.
K urcen í asymptot se smernic í použ ívame nasleduj íc í vety.
490 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Věta 11.22. (Určení asymptoty v nevlastním bodě)
Přímka y = Ax + B je asymptotou grafu y = f (x) v nevlastním bode oo (—00), když a jen když
A = lim f(x), B = lim (f (x) — Ax)
X—-00 x "
£—»00 x x—»00
[A = lim f(x), B = lim (f (x) — Ax) ) .
Poznámka. M isto „asymptota bez směrnice" se použ ívá též term í^,asymptota rovnoběžná s osou y". Název vycház i z toho, že přímka rovnobežná s osou y sv irá s osou x Uhel 90° á táto přímká nemá smernici (tg90° nen i definováno).
M isto „ásymptotá v nevlástn im bode" lze pouz it i term inu „asymptota se směrnicí". Príklad 11.22. UrCete ásymptoty se smernic i funkce
f (x) = S.
ReSení. Vypoctem dostáváme
f (x) 3x2 — 1 ^2 — 1 3 — y2 3 A = lim -= lim —5-= lim ^2-_ = lim -= -.
x^oc x x^oc 2x2 — x y2 — _ v^0+ 2 — y 2
491 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Dále dostáváme:
3x2 1 3 B = lim (f (x) — Ax) = lim ( —--— - x ]
x
x—to \^ 2x — 1 2
6x2 — 2 — 6x2 + 3x 3x — 2 3
lim -= lim - —.
x—to 2(2x — 1) x—to 2(2x — 1) 4
Je tedy y = 3x + 3 asymptotou grafu funkce y = 32x—- v nevlastn ím bode to. Lehce se presvedc íme, ze tato přímka je i asymptotou dane funkce v nevlastn ím bode —to.
Příklad 11.23. Urcete asymptoty funkce
2x2 + 1
f(x) =
x+1
ReSení.
a) Asymptoty bez smernice.
Definicn ím oborem je mnozina (—to, to) — {—1}. Tedy f (x) nen í spojitá jen v bode —1. Abychom urcili lim f (x) a lim f (x) urc íme znamen í funkce f (x).
x— —1+ x——1_
Dostavame
f(x) - +
-1
492 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ponevadž lim (2x2 + 1) = 3 = 0, lim (x + 1) = 0, použijeme k vypoctu
x—-1+ x—-1+
lim f (x) vetu 8.4.
x——1+
Ponevadž existuje 1) tak, že pro x G 1) - {-1} je f (x) > 0, je
lim f (x) = oo. Podobne zjistíme, že lim f (x) = -oo. Je tedy x = -1
x—-1+ x—-1_
asymptotou bez smernice funkce f (x). (Viz nasleduj íc í nacrtek.)
-i
b) Asymptoty se smernic í.
493
Hledejme asymptotu v nevlastn ím bode oo. Asymptotou je prímka Ax + B kde
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
A, B, se urč í podle vety 11.22. Dostavame
Je tedy
A = lim f(x) = lim ^-ti = lim = 2
x—to x x—to x(x + 1) x—to 1 + —
/2x2 + 1 \ B = lim (f (x) - Ax) = lim--2x =
x—TO x—TO V x + 1 J
2x2 + 1 - 2x2 - 2x -2x + 1 lim -= lim -=
x—TO x +1 x—TO x +1
-2 + x lim -—x = -2.
x—TO 1 + —
y = 2x - 2
asymptotou v nevlastn ím bode to. Tato přímka je zaroveř asymptotou v nevlastn ím
bodře .
I Poznámka. Lze ukazat, ze u račionaln íčh lomenyčh funkč í je asymptota v nevlastn ím bode +to I totozna s asymptotou v nevlastn ím bode —to.
494 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Při vyšetřování průběhu funkce zjišťujeme:
1. Kde je funkce definovaná, kde má nulové body, kde je nad ošou x a kde je pod ošou x (znamená funkce). Zda je funkce šudé, lichá, periodická.
2. Kde funkce rošte, kde klešé, kde mé extrémy.
3. Kde je funkce konvexné, kde je konkavní a kde ma inflexní body.
4. Jaké ma asymptoty.
5. Graf.
Příklad 11.24. Vyšetřeme průběh funkce
2x + 1 x(x + 1)
1. Jde o reálnou racionální lomenou funkci. Čitatel 2x + 1 má kořen x = — 2, jmenovatel x(x + 1) má dva kořeny, a to x = 0 a x = —1. Ponevadž Čitatel a jmenovatel funkce nemají stejne kořeny a každy kořen Čitatele a jmenovatele je jednoduchý (liche nasobnosti), roždelí tyto kořeny interval (—to, to) na 4 castecne intervaly. V sousedních intervalech ma funkce opacne žnamenko (viž nacrtek).
f : - + - + -e-•-e->•
-1 _1 0
2
Funkce není definovana v bodech x = 0, x = —1. Graf funkce protína osu x v bode x = —1.
495
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Funkce nen í ani suda ani licha, nen í periodicka. 2. Vypoc ítejme f/(x). Dostavame:
f (x) = x2(x + 1)2 .
Čitatel nema realne kořeny, jmenovatel ma c isla -1, O ža dvojnasobne koreny. Znamen í f/(x)a monotónnost funkce f (x) jsou patrny ž nasleduj íc ího nacrtku:
f' : - - -
f-e-e->■
f : -l O
NNN
Podle vety 11.7 funkce f (x) klesa v intervalech (-to, -1), (-1, O), (O, to). Ponevadž f/(x) existuje v Df a je žde f/(x) = O, nema f (x) lokaln í extrémy.
S. Vypoc ítejme f//(x). Dostavame
„a, \ 2x + 3x + 3x + 1 x3(x + l)3
Zrejme f//(-2) = O. Funkce f//(x) nema jine realne kořeny. Znamen í f//(x) a konvexita funkce f(x) jsou patrny ž nařcrtku:
f" : - + - +
-e-•-e-5»-
-l _i 0
496
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Je tedy f (x) konkavn í v intervalečh (—00, —1), (—2, 0) a konvexn í v intervalečh (—1, ——), (0, 00). Bod x = —— je inflexn ím bodem.
4. Prímka x = a muže byt asymptotou bež smerniče grafu y = f (x) použe tehdy, nen í-li funkče f v bode a spojita žprava nebo žleva. V nasem prípade se jedna o body x = 0, x = —1. Vypočtem dostavame (pod ívejte se na žnamen í funkče f (x)):
lim f(x) = 0 , lim f(x) = —0 ,
x—0+ x—0-
lim f (x) = 00, lim f (x) = —00.
x—?►—1+ x—?► — l-
Tedy přímky x = —1, x = 0 jsou asymptoty bež smerniče. K určen í asymptot se smernič í vypoč ítame:
f(x)
A = lim = f^ = 0, B = lim f (x) = 0.
x—±00 x x—±00
Tedy y = 0 je asymptotou se smernič í v bodečh 0, —0.
497
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
5. Nacrtek grafu:
V
1 -X 0 x
Obrazek 11.25: Nacrtek grafu funkce .
° x(x+l)
Příklad 11.25. Na obr. 11.26 je znazornena funkce y = f (t), t G (0, oo) popisuj íc í mnozstv í y prodeje nejakeho zboz í jako funkci casu t.
Na nasleduj íc ích nacrtc ích je znazorneno znamen í f' (t), f "(t). Z nich lze vyvodit tyto
498
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Obrázek 11.26: Prodej zbôží.
zavery
/'(*) + /" + --1- -1-1-
0 0 to
Funkci f'(ŕ) lze chapat jako funkci „rychlosti" prodeje. Rychlost prodeje se zvysuje až do casoveho okamžiku ŕ0, potom rychlost prodeje klesa.
11.9. Diferenciál a Taylorova veta
V teto casti se budeme zabyvat približnym vyjadren ím funkce. Resme tuto ulohu. Je dana funkce f (x); nahrad'me ji pro x v bl ízkosti bodu a polynomem.
499
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Uloha je nejjednoduseji resena, nahrad íme-li ji polynomem prvn ího stupne - tecnou, za predpokladu, ze existuje f'(a).
Zvolme h. Polozme x = a + h. Vyraz
Af (a) = f (a + h) — f (a)
nazveme diferenc í - jde o prírustek funkce, pri přechodu z bodu a do bodu a + h.
I Prírustek na tecne t funkce y = f (x) v jej ím bode T [a, f (a)] pri prechodu z bodu a do bodu a + h I je roven f'(a)h. (Viz obr. 11.27)
y = f (x)
f (x)
Af (a)
Obrázek 11.27: Váznam diferenciálu.
t
Zaveďme si nyn í pojem diferenciálu funkce y = f (x) v bode a touto definic í.
500 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Definice 11.8. (Diferenciál funkce y = f (x)) Nečht funkče y = f (x) ma v bode a derivači f'(a). Potom
df (a) = f'(a)h, h G R je promenna
nazyvame diferenciálem funkce f (x) v bode a. Poznámka. Ponevadz pro y = x je dx = h, p ířeme často dx m ísto h. Potom
df (a) = f '(a)dx.
Ma-li funkče y = f (x) derivači na intervalu I, potom p íseme
df = f'(x)dx, resp. dy = f'(x)dx, x G I. (11-17)
Potom diferenčial dy je funkč í dvou promennyčh: x, dx. Vztah (11.17) lze prepsat jako pod íl
dfx = f'(x), x G I. (11.18)
Zde dx je diferenčial neodvisle promřenne x a dy je diferenčial odvisle promřenne y.
I Na derivaci f'(x) se mUzeme dávat jako na podíl diferenciálu odvisle proměnné a I neodvisle promenne.
501
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Ukažme, že pro dostatecne male h je A/(a) rovno približne d/ (a). Zaved'me t (h) jako chybu aproximace A/(a) diferencialem d/(a)
/ (a + h) — / (a) = / »h + t (h).
Delíme-li tento vyraž císlem h, dostavame
f (a + h) — f (a) = f/ + T(h) h = f (a)+ h ^
Vypořctem limity leve i prave strany v bodře h = 0 dostavame
lim T(h) = 0.
h^-o h
Tedy
Pro malé h je A f (a) rovno přibližně df (a):
/ (a + h) = f (a) + f '(a)h.
Příklad 11.26. Určete diferenciál funkce f (x) = sin2x v bode x = |. Řešení. V obecnem bode x je
df (x) = (sin2x)' • dx.
Tedy d/(x) = 2cos2x • dx. V bode a = | pak platí
8)=2COS(2 8
8
df = 2 cos (28^ dx = \/2dx.
502
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Príklad 11.27. Urcete priblizne sin(31°), vite-li, ze sin(30°) = 0,5, cos(30°) = ^.
ReSení. Uhel 31° vyjádřeny v obloukove m iře je roven | + _|ô. Polozme a = |, dx = _Jô. Potom
/n ^ \ ^ . /n\ /7r\ n n
sin —I--= sin — + cos — •-= 0,5 H--• —.
V6 180/ \6/ V6/ 180 ' 180 2
Zábyvejme se nyn í áproximác í funkce f (x) polynomem stupne n > 1. Taylorova veta
Necht funkce /(x) má v bodě x = a derivace až do řádu n včetně. Potom polynom v proměnné h
Tn(a + h) = / (a) + h + ^ h2 + • • • + hn (11.19)
1! 2! n!
se nažyvá Taylorovým polynomem stupne n příslušným k funkci /(x) v bode a.
Lehce se presvedčíme, že polynom Tn(x) a funkce /(x) maj í v bode a stejnou funkčn í hodnotu a
derivace až do řadu n vcetne. Ožnac íme-li h = x — a, dostavame ž (11.19)
/ '(a) / "(a) / (ra)(a)
Tn(x) = / (a) + — a) + — a)2 + • • • + ^-^(x — a)n (11.20)
1! 2! n!
Príklad 11.28. Urcete Táylomv polynom prislusny k funkci f (x) = sin x v bode a = 0 pro n = 5.
503 •Titulnístrana •Předchozí •DalSí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
ReSení. Zřejme (sinx)' = cosx, (sinx)'' = — sinx, (sinx)''' = — cosx, (sinx)(4) = sin x, (sinx)(5) = cos x. Je tedy
3 5
T5(x) = 1! — 3ľ+5ľ.
Lže tedy pro x bl ížka c íslu a = 0 psat približny vžtah
35
rp rp'-J rp'-'
. *AJ iAJ ,AJ
504
Zabyvejme se nyn í otažkou, jake chyby se dopoust íme, nahrad íme-li funkci f (x) polynomem Tn(x). Odpoved' dava tato veta.
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Věta 11.23. (Taylorova věta)
Necht funkce f (x) ma na otevřeném intervalu I derivace až do řádu n + 1 včetně. Necht: a G I. Potom pro každé x G I platí
f (x) = Tn(x)+ (11.21)
kde Tn(x) je Taylorův polynom urceny vztahem (11.20) a Rn+1 je chyba aproximace, uržena napr. vztahem
Rn+i = :(n+1y(x — a)n+1, (11.22)
| kde 9 leží mezi body a, x.
Důkaz: Dukaž použ íva Rolleovu vetu. Nen í obt ížny, ale nebudeme jej vsak provadet. .
Poznamka 1. Rn+1 predstavuje čhybu, ktere se dopust íme, aproximujeme-li hodnotu funkče f v bode x hodnotou polynomu Tn v bode x. C íslo 9, ktere žde vystupuje, nen í vetou určeno. Použe je uvedeno, že lež í meži body a, x. Jestliže plat í odhad
|f (n+1)(ŕ)| < M
pro vsečhna t ž intervalu o končovyčh bodečh a, x, lže psat
IR \ oo
kde Rn+1 je dano vztahem (11.22).
506
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Je-li tedy (11.23) konvergentní, lže psát
f (x) = f (a) + f-1a)(x - a) + f^(x - a)2 + .... (11.24)
Rada (11.24) se nazyva Taylorova rada, resp. pro a = 0 se nazyva Maclaurinova rada.
Príklad 11.29. Napiste Maclaurinovu radu pro funkci f (x) = ex.
Resení. Pro každe n je (ex)(n) = ex. Je tedy f (0) = f'(0) = f''(0) = • • • = e0 = 1. Dosad íme-li tyto hodnoty do (11.23), obdrž íme radu
2 n
ryt ry^ ry'"
1 + ií + 2F + - + m + (11.25)
Tato rada je absolutne konvergentn í pro každe x. Skutecne, pro každe x jde o c íselnou radu. Aplikac í limitn ího pod íloveho kriteria obdrž íme
lim
x"+i
(n+1)!
= lim =0 < 1.
n—o I ^ I n—o n + 1
I n! I
Je tedy řada (11.25) absolutne konvergentn í pro každe x. Tedy konverguje na intervalu
(-oo, oo). Lze tedy psat
2n
ry ry^ ry'"
ex = 1 + - + — + ••• + — + .... 1! 2! n!
507
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Jde o mocninnou řadu se středem konvergence xq = 0 a poloměrem konvergence
r = oo.
11.10. Shrnutí a úlohy
V kapitole je zaveden pojem lokáln ího extrému funkce f (x) a absolutn ího extrému funkce (Definice ??, Definice 11.1.1). V kapitole se pojednává o jejich existenci a zpusobu jejich nalezen í.
V kapitole se uvád í dulezitá veta „Veta o pr írustku funkce".
Ukazuje se tez postup při hledán í intervalu, na nichz je vysetřovaná funkce monotonn í. Dále se vysetruje konvexita a konkávnost funkc í. Zavád í se tez pojem inflexn ího bodu funkce. Je uveden postup, jak je v jistych případech mozno urcit intervaly, na nichz je daná funkce konvexn í, resp. konkávn í . Je prezentovaná metodika hledán í inflexn ích bodu dane funkce.
V kapitole se tez pojednává o numericke metode hledán í kořene rovnice f (x) = 0 na intervalu (a,b), je-li f (x) spojitá na (a,b) a je-li f (a) f (b) < 0.
Souhrn
náno o zat ím neresenem př ípade vypoctu limity lim 4x2,
508
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
lim = 0, resp. lim f (x) = ±oo a lim g (x) = ±oo (L'Hospitalovo pravidlo).
x—a x—-a x—-a
Jedna podkapitola je pak venovana vysetřovan i prubehu funkce. Posledn í podkapitola pak pojednava o diferencialu funkce f (x) a o Taylorove vete.
Úlohy
1. Vysvetlete pojem lokaln ího extremu funkce f (x) a popiste zpusob jeho hledan í.
2. Vysvetlete pojem absolutn ího extremu funkce f (x) na intervalu a zpusob jeho hledan í.
3. Vyslovte vetu o prírustku funkce (neboli vetu o stredn i hodnote funkce).
4. Jak hledame intervaly, na nichz je vysetřovana funkce monotonn i?
5. Vysvetlete pojmy: funkce konvexn i na intervalu, funkce konkavn í na intervalu a pojem inflexn ího bodu. Jak se hledaj í intervaly, na nichz je funkce konvexn í, resp. konkavn í? Jak se hledaj í inflexn í body funkce?
6. Popiste metodu hledan i korenu rovnice y = f (x) metodou pulen i intervalu.
7. Vyslovte L'Hospitalovo pravidlo.
8. Co je to diferencial funkce? Uved'te definici a vysvetlete tento pojem na obrazku.
9. Vyslovte Taylorovu vetu.
509 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
1G. Urcete body, v nichz má funkce f (x) = Sx - |x - 2| + |x + 1| IokáIn í extrémy. Dánou funkci nářcrtnřete.
11. Urcete interváIy monotónnosti á IokáIn í extrémy funkc í:
á) f (x) = x2 - 5x + G
[kIesá (—to, 2), roste (1, to), Iok. min. v bode x = 5]
b) f (x) = x ln x [kIesá (0,1), roste (1, to), Iok. min. x = 1 ]
c) f (x) = x +
[roste (—to, S), (1, to), kIesá (-S,-1), (-1,1), Iok. máx. x = S, Iok. min. x = 1]
d) f (x) = X+I [kIesá (—to, S), (S, to)]
e) f (x) = (1 - x)yfx [roste (O, |), kIesá (|, to), Iok. máx. x = ^ ]
f) f (x) = sin 2x, x G (-2, 2)
[roste (-4, 4), kIesá (-2, -1), (|, 2), Iok. min. v bode x = -1, Iok. máx. v bode x = 4]
g) f (x) = y= [roste (O, e2), kIesá (e2, to), Iok. máx. v bode x = e2]
h) f (x) = Y3f2 [roste (—to, -1), (-1,1), (1, to), Iok. extrémy nemá]
i) f (x) = f2
[roste (O, k2!), kIesá (—to, O), (^, to), Iok. máx. v bode x = ^, Iok. min. v bodře x = O]
j) f (x) = x2 + |x| - 1
510
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
[Návod: /(x) = x2 + x — 1 pro x > 0, /(x) = x2 — x — 1 pro x < 0; roste (0, to), klesá (—to, 0), lok. min. pro x = 0]
12. Urcete intervaly, ná nichž je funkce f (x) konvexn í, intervaly, ná nichž je funkce f (x) konkávn í , á urcete inflexn í body.
á) f (x) = x3 — 5x2 + 3x — 5
[konv. (!, to), konk. (—to, |), infl. bod x = |]
b) f (x) = (x + 1)4 + ex [konv. (—to, to), nemá infl. body]
c) f (x) = ln(1 + x2) [konv. (—1,1), konk. (—to, —1), (1, to)]
d) f (x) = X ln x [konv. (e 2, to), konk. (0, e 2), infl. bod x = e 2 ]
e) f (x) = ex
[konk. (—to, — 1), konv. (—1, 0), (0, to), infl. bod. x = — |]
13. Urcete ábsolutn í extrémy funkce f (x) ná dánem interválu.
á) f (x) = x2 — 5x + 6, x G (0,10)
[ábs. min. v bode x = 1, ábs. máx. v bode x = 10]
b) f (x) = |—X2, x G (—1,1) [ábs. máx. v bode x = 0, ábs. min. nen í]
c) f (x) = sin \, x G (0, to) [ábs. máx. pro x = ^r^^, k G No, ábs. min. pro x = 2+(2Í+i)n, k G No]
14. Urcete ásymptoty funkce.
x+1
á) f (x) = X+l [bež smernice x = —1, v bodech ±to: y = 2x — 2]
511
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
b) f (x) = 3Xx+2L [bez smernice x = 2, v bodech ±oo: y = 3]
c) f (x) = vT+x2
[asymptoty bez smernice nema, y = x v bode oo, y = —x v bode —oo]
15. Vysetrete prubeh funkce.
a) f (x) = x3 — 6x2 + 9x
o, o), znamen i
[D f =
f'(x) = 3x2 — 12x + 9, f''(x) = 6x — 12, 'f—^—
infl. bod
f(x) nema asymptoty]
b) f (x) = j—X2
[Df = (—oo, oo) — { —1,1},
4x
1 3
lok. max. lok. min.
f (1) = 4, f (3) = 0,
f : +
f'(x) = (1 —x2)
_ -1 0 1
f(0) = 1
f''(x) =
4(1+3x2
(1—x2)^ f: ~ -1 - 1 ~
asymptoty: x = 1, x = —1, y = —1]
c) f (x) = ^ [Df = (0, oo),
f'(x) = 1—ln x
0 1
+
r2 , f:
0 e
f (e) =
512
> Titulní strana • Předchozí • Dalsí • Poslední strana •Zpet • Cela obrazovka •Zavrít • Ukoncit
+
+
+
+
lok. min.
+
lok. max.
-3+2 ln x
f" :
f//(x) = ,
infl. bod
lim — = —00, asymptoty: x = 0, y = 0]
x 0+ x
1B. Vypoč ítejte limity
a) lim e*
x2+1
sin x
x2
x—^00
b) lim
x—O+
č) lim (-
' x—O+V x
d) lim ^
J T
x—TO x
e) lim
f) lim x -
x
17. Nalezněte diferenciál funkce
a) f (x) = x3 — 3x + 1 v bode x = 2
b) y = sin2x
č) y = V x — 1
[to] [to]
[ 2 ]
[O]
[to]
[1]
[df = (3x2 — 3)dx, df (2) = 9dx] [dy = 2 cos 2xdx]
18. Vypoč ítejte približne podle Taylorovy vety ln e2,1 pro n = 1, 2,3. Odhadnete čhybu.
19. Napiste MačLaurinovu radu funkče
a) f(x) = sin x
[sin x = g — + x5 — ..., x G (—to, to)]
+
513
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
b) f (x) = côs x [côs x = 1 - + ^ - ..., x G (-oo, oo)]
c) f (x) = ln(1 + x) [ln(1 + x) = x - x2 + f - ... , -1 < x < 1]
20. Vytvořte tabulku, v n íž vyznac íte funkcn í hodnoty funkc í sin x, T5(x) v bodech x G {±0,1, ±0,2, ±0,3, ±0,4, ±0,5, ±0,6, ±0,7, ±0,8, ±0,9}.
514
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Kapitola 12
Funkce více proměnných
Před žahajen ím vlastn ího vykladu objasn íme nektere pojmy, ktere budeme v dalsím vykladu potřrebovat
Poznýmky k funkcím více proměnných. Ožnacme Rn množinu uspořadanych
skupin n-realnych c ísel. Obecny bod množiny Rn ožnacme X = [xi,... ,xn]. Zaved'me nyn í vždalenost dvou bodu v Rn takto:Jestliže A = [a1,..., an], B = ..., bn] G Rn, potom jejich vždalenost budeme ožnacovat p(A,B) a definovat vžtahem
p(A, B) = V(6i — ai)2 + ••• + (bn — an)2, (12.1)
Množinu Rn s takto definovanou vždalenosti p budeme žnacit En.
Ve žvlastn ím prípade n = 1 je E1 množina realnych c ísel se vždalenosti p(A,B) bodu
515
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
A = a1, B = b1, urcenou vztahem p(A, B) = |b1 - a11. Okol í bodu v En
Zaved'me si pojem okol í bodu A = [a1,..., an] G En. Nechť A G En. Potom množinu
U = {X G En : p(A,X) <č}
nazveme č-okol ím bodu A. Na obrazku 12.1 je znazorneno č-okol í bodu A G E2.
X2
Obrázek 12.1: Okôlí U (A) = {X G E2 : P2(A,X) < č}.
0
516
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Necht M C E". Bod A G En nazveme vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje ô > 0 tak, že U (A) c M.
Bod B G E" nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže existuje ô > 0 tak, že U$(B) n M = 0, to jest, jestliže ěádný bod tohoto okolí nepatěí do množiny M. Necht M C E". Bod H se nažyva hraniCnám bodem množiny M, jestliže v každám jeho okolí leěá body, která patrí do mnoěiny M a body která nepatrí do M. Mnoěinu věech hraniCních bodU množiny M nažyvame hranicí mnoěiny M. Mnoěinu M C E" nažyvame otevřenou, jestliže věechny její body jsou jejími vnitrními body. Obsahuje-li množina M C E" věechny sví hraniční body, nažíva se uzavřenou. Viž obr. 12.2.
Mnozinu M nazveme oblastí, jestlize je otevrena a jestlize ke kazdym dvema bodum A, B G M existují body P1, P2,..., Pm tak, ze P1 = A, Pm = B a kazdí z ísecek PiPi+1 lezí v M. Príkladem oblasti je mnozina {X G E" : ^(A,X) < e}, kde A je dany bod a e je dane kladne císlo.
Uved'me si tyto príklady.(Dale uvedene mnoziny si graficky znazornete.) Nechť A G E" a necht ô > 0 je libovolne říslo. Potom
1. Mnozina M = {X G E2 : p(A, X) < ô}. je otevření mnozina.
2. Mnozina h = {X G E2 : p(A,X) = ô} je hranicí mnoziny M. Kazdy její bod je hranicním bodem mnoziny M.
3. Mnozina M = {X G E2 : p(A, X) < ô} je uzavrenou oblastí.
517
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
y
x
Obrázek 12.2: Vnitřní, vnější a hraniční bod množiny.
Pojem funkce více proměnných.
Před zápocet im studiá teto podkápitoly si zopákujte pojmy spojitost funkce jedne promenne v dánem bode, vety o spojitosti souctu, rozd ílu, soucinu á pod ilu dvou funkc i jedne promenne á o spojitosti funkce slozene ze spojitých funkc i.
518
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 12.1.
Necht n G N, D C En. Potom zobrazení f množiny D do E1 nazyvame realnou funkc í n-promennych. OznaCíme-li X = [x1, x2,..., xn] G En, /ze tuto funkci zapsat jako
z = f (x1,x2,... ,xn), resp. z = f (X).
NemUze-li dojít k omylu, budeme Často v další části textu místo termínu „reální funkce n-promennych " používat jednoduše termín „funkce".
Poznámka. Promenne funkc í n-promennych budeme vetsinou oznacovat x1,x2,... ,xn. Je-li techto promennych jen nekolik, byva zvykem je oznacovat tez x,y,z,w,r nebo pouřz it oznařcen i obvykle přr isluřsne aplikaci.
Je-li f funkce n-promennych zadana předpisem bez uvedení definičního oboru, rozumíme jejím definicním oborem množinu všech bodu [x1,...,xn] G En, pro něž mí uvedení předpis vyznam.
Příklad 12.1. Urcete definicn í obor funkce
z = — x2 — y2 + ln(1 — x — y). (12.2)
Řešení. Ponevadz definicn í obor funkce (12.2) nen í uveden, rozum í se j ím mnozina vsech bodu [x,y], pro nez lze vyraz na prave strane (12.2) vypoc ítat. Zrejme jsou to ty body [x, y], pro nřeřz plat i
4 — x2 — y2 > 0 A 1 — x — y> 0. (12.3)
519
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Odtud dostáváme
x2 + y2 < 4 A x + y< 1. (12.4)
Rovnic í x2 + y2 = 4 je definovaná kruznice k se stredem v pocatku o polomeru 2. Oznácme A_ C E2 mnozinu tech bodu [x,y], ktere lez i uvnitr kruznice k a A2 c E2 mnozinu tech bodu, ktere lez i vne kruznice k. Ponevadz bod [0,0] G A_ vyhovuje nerovnici
x2 I y2 < 4, (12.5)
vyhovuj i teto nerovnici i vsechny body z A_, vsechny body [x, y] G A2 vyhovuj i nerovnici
x2 + y2 > 4. (12.6)
Nerovnici
x2 I y2 < 4
vyhovuj i tedy vsechny body [x, y] G E2, ktere lez i uvnitr a na kruznici k.
Rovnici x + y = 1 je definovaná prímka, která prot iná osu x v bode [1,0] a osu y v bode [0,1]. Tato prímka rozdeluje rovinu (0xy) na dve poloroviny B_, B2. Oznacen i volme ták, řze pořcátek 0 = [0, 0] G B_. Ponřevádřz bod [0, 0] vyhovuje nerovnici
x + y< 1, (12.7)
vyhovuj í nerovnici (12.7) vsechny body [x, y] G B_ a pro body [x, y] G B2 plat í x + y >
1.
520
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Je tedy definicn ím oborem funkce (12.2) množina vsech bodu [x,y] G B1, ktere lež í uvnitr a na obvodu kružnice k. Viž obr. 12.3.
Obrázek 12.3: Definiční obor funkce (12.2)
521
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Děfinicě 12.2. (Spojitost funkče v oblasti D)
Necht n G N a D je oblast, resp. uzavřené oblast v En, v níž je definovana funkce
z f (x1, . . . , xn).
Necht X0 = [x?,...,xn] G D. Řekneme, že funkce f (X) je v bodě X0 = [x?,..., G D spojita, jestliže
• Je v něm definovana
• Ke každému císlu e > 0 existuje takové kladné císlo ô , že hodnota funkce f (X) v každém bode X G D vždéleném od bodu X0 o míne než ô se lisí od hodnoty funkce f v bode X0 o mene než e, tj.
í?(f (X),f (X0) < e.
Poznámka. JestliZe funkce je spojitá v kaZdem bode mnoZiny D, budeme říkat, Ze je spojitá na D.
ZjiSten í, zda dana funkce je spojita v uvaZovanem bode by bylo podle teto definice velice obtíZne. Spojitost řady funkcí odvodíme Ze Znalosti spojitosti funkcí jedne promenne podle nasleduj íc ích vet.
522
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Poznámka. Uvažujme funkci jedne promenne
z = 3x1 + 1. (12.8) Tuto funkci lže prepsat na tvar, obsahuj íc í v íce promennych, napr. na funkci
z = 3x1 + 0x2 + 0x3 + 1. (12.9)
Potom (12.9) a tedy i (12.8) lže chapat jako funkci trí promennych x1,x2,x3. Budeme ríkat, že funkce (12.8) vžnikla ž (12.9) vypusten ím nevyžnamnych promennych x2,x3, resp. že funkce (12.9) vžnikla ž (12.8) pridan ím nevyžnamnych promennych x2,x3. Ponevadž funkce (12.8) je spojita v každem bode x1, je v každem bode [x1,x2,x3] spojita i funkce (12.9).
Každou funkci f jedné proměnné x1 lze chápat zároveň jako funkci F (x) = f (x1) + 0.x2 + ... + 0.xn n— promňnnách. Mésto F budeme opět psát f. Je-li funkce f jedne promenne spojitá v bode x1 = a, potom i funkce f, chápaná jako funkce n proměnnách x1,..., xn, je spojita v bode [a, x0,..., x°J, kde x2,..., jsou libovolná césla. Poznamenejme, ňe elementarné funkce jedné proměnné jsou spojité ve svém definičním oboru.
523
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Veta 12.3. Spojitost součtu, součinu a podílu funkcí
Necht n G N a necht D je oblast (resp. uzavřená oblast) v En. Necht funkce f (X ),g (X) jsou dané funkce spojité v bodě X0 G D . Potom i funkce
f (X) ± g (X ),f (X ).g(X) jsou spojité v bode X0. Je-li navíc g(X0) = 0, je i funkce spojité v bode X0.
Složená funkce a její spojitost
Dríve, než pristoup íme ke studiu teto cásti textu, žopákujte si pojem složene funkce jedne promenne á vetu o spojitosti složene funkce jedne promenne.
524
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Definice 12.4. (Složena funkce n-promennych)
Necht Q je oblast (resp. užávrená oblast) v prostoru Em á necht D je oblast (resp. užávřená oblast) v En. Necht
z = f (y1 ,...,ym)
je funkce definovana na Q. Necht funkce
y- = ^l(x-, . . . ,xn), . . . ,ym = (x-, . . . ,
jsou definovaná na množině D. Necht pro každá bod X = [x1,... ,xn] G D je (X),..., m\'
Veta 12.7. (Derivace složené funkce)
Necht funkce fai(X), X = [x1,...,xn] G En, i = 1,2,...,m, mají všechny parciální derivace v bode X0 = [x0,..., x^]. Necht funkce z = f (Y), Y = [y1,..., ym], ma špojite všechny parciální derivace 1. řádu v bode Y0 = [y kde y0 = fai(X0), i = 1, 2,...,m. Potom složena funkce
z = F (X ) = f (fa (X),...,/2,3 4].
Ponřevadřž
(2 cos ŕ)' = -2 sin ŕ, (2 sin ŕ)' = 2 cos ŕ, (3ŕ)' = 3, je smerovy vektor s tecny v bode T roven
s = (-\/2,A 3).
Tedy tecna k žadane křivce v jej ím bode T ma parametricke vyjadren í
xi = V2 -V2A, x2 = v/2+v/2A, x3 = 34 + 3A,
kde A G (—to, to).
546
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Tecná rovina k plose. Nechť
z = F(X), X = [x1 ,...,xn] G D C En
ma v D spojite vsechny parcialn í derivace 1. radu. Nechť T0 = [x°,...,x°] G D a T = [x? ,...,x°,z°], kde z° = F (x?,...,x°,) je bod na plose z = F (X). Nechť funkce
x« = 0 a funkce n(h, k) tak, že pro h, k, pro něž [a + h, b+k] G ([a, bj) 1) platí
f (a + h, b + k) - f (a,b)= (|x) h + (%) k + n(h,k), (12.36)
V / [a,6] \ y / [a,6]
[tfe0,M = 0. (12.37)
Poznámka. V diferencialu (12.35) se casto m ísto h, k p íse dx, dy. Diferencial df funkce f (x, y) v bode [a, b] se pak žapisuje takto
_df=( ^),,,dx+( I),,,dy._
Příklad 12.11. Napiste diferencial funkce z = x3y4 v bode [2,3].
Řešení. Funkce z = x3y4 ma spojite parcialn í derivace v každem bode [x,y], tedý i v bode [2,3]. Podle (12.35) dostavame
dz = (3x2y4)[2,3]dx + (4x3y 3)[2,3]dy,
x) 3Us([a, b]) je okolí bodu [a, b] určené metrikou g3.
550
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
tj.
dz = 972 dx + 864 dy. Analogicky lZe Zavest diferencial funkce n-promennych.
Definice 12.2.
Nechť funkce z = f (X), X = [xi,... ,xn], n G N, ma v oblasti Q spojite parcialn í derivace 1. řradu. Potom
df = (T-) dxi + • • • +() dxn (12.38)
naZyvame totaln ím diferencialem funkce z = f (X) v bode X = [x1,... ,xn] G Q. Je tedy df v bode X funkc í promennych dx1,..., dxn.
Věta 12.9. Necht funkce z = f (X), X = [xb ..., xj mé v bodě X0 = [xj,..., xj] spojité parciélné derivace 1. ěadu. Potom existuje ô > 0 a funkce n(dx1,... ,dxn) tak,
že pro dx1,..., dxn, pro než [x0 + dx1,..., xj + dxn] G U(X0) platí
f (x1 + dx1, . . . , xn + dxn) f (xl, . . . , xn) —
= ( tl +-----h( JTl + n(dx1,... ,dxn),
551
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
při čemž limita ^x+ ľ^x' | v bode [0,..., 0] ma hodnotu 0.
DUkaz: Dukaz je analogicky jako dukaz speciáln ího prípadu n = 2 uvedenem ve vete 12.8. .
Z teto vřety vyplyva, řze
f (x0 + dxi,...,x^ + dxn) - f (x?,...,x£) « (Jx?) dxi +-----^ Jx-^ dxn.
Totáln í diferenciál vyjadřuje prírustek na tecne rovine, prejdeme-li z bodu X0 = [x? do bodu X = [x? + dx?,..., + dxnj.
x0 j
5 ... 5 J/nJ
552
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
12.2. Extrémy funkcí více proměnných
Lokální extřemy
Lokain í extremy funkc ín-promennych žavad íme analogicky jeko u funkc í jedne promenne. Definice 12.3.
Nechť f (X), X = [xi,x2,... ,xn], je funkce n-promennych definovana na obiasti Q. Necht X0 = [x?,x2,... ,xn] G Q. Nechť existuje ô > 0 tak, že U(X0) c Q a že pro vsechna X G U(X0) piat í
f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)).
Potom říkame, že funkce f ma v bode X0 lokálni maximum (lokálni minimum). Lokain í maxima a iokain í minima nažyvame spoiecnym nažvem lokálni extrémy.
Nechť existuje ô > 0 tak, že U (X0) c Q a že pro vsechna X G U (X0), X = X0 piat í
f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)).
Potom říkame, že funkce f ma v bode X0 vlastní lokální maximum (vlastní lokálni minimum). Viastn í iokain í maxima a viastn í iokain í minima nažyvame spoiecnym nažvem vlastni lokalni extrémy.
Z teto definice je patrno, že jestiiže funkce f (X) ma v bode X0 iokain í maximum
553 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
(minimum), potom maj í i všechny funkce
Fi(t) = f (Xl5 • • • 5 Xj-15 ^5 Xj-
i = 1, 2, • • •, n
v bode xi, i = 1, 2, • • •, n, lokain í maximum (minimum).
Ma-li tedy funkce F (t), i = 1, 2, • • • ,n, v bode x1 derivaci, je rovna 0. Podle definice parciain í derivace funkce f je však derivace funkce F(t) v bode x1 rovna parciain í derivaci funkce f (X) podle x« v bode X11, takže
Funkce f(X), X = [x_,...,xn], definovaná na oblasti Q, může nabývat lokální extrém použe v těch bodech, v nichž ma všechny parciální derivace 1. řádu rovný 0, nebo v tžch bodech, v nichž nema nžkterou parciální derivaci. Bod X0 G Q, v nžmž má funkce f vžechný parcialníderivace 1. žadu rovný nule, se nažývá stacionárn ím bodem funkce f.
Příklad 12.12. Urcete stacionárn i body funkce
x
z = x3 + y3 — 3xy-
(12.39)
Řešen í. Vypoc ítejme parcialn í derivace 1. radu. Doštavame
z z
— = 3x2 — 3y, — = 3y2 — 3x-
554
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Stacionarní body jsou ty body [x,y], pro než platí
dz = 0, dz = 0.
x y
Z techto podmínek dostavame system rovnic
3x2 - 3y = 0, (12.40) 3y2 - 3x = 0. (12.41)
Je to system nelinearních rovnic o dvou neznamych. Z (12.40) vypocítame y. Dostavame
y = x2. (12.42) Dosazením (12.42) do (12.41) dostavame
x4 — x = 0.
Tuto rovnici lze přepsat na tvar
x(x — 1)(x2 + x + 1) = 0. (12.43)
Z (12.43) dostavame x1 = 0, x2 = 1. Dalsí dva koreny dostavame resením rovnice x2 + x + 1 = 0. Tyto koreny jsou komplexne sdruzene. Ponevadz uvazujeme jenom realne body, nebudeme je uvazovat. Dosad íme-li x = 0 do (12.42), dostavame y = 0.
555
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
Dosad íme-li x = 1 do (12.42), dosťvame y = 1. Ma tedy funkce (12.39) dva sťacionarn í body
Funkce y = x3+y3—3xy ma parcialn í derivace ve vsech bodech. Na žaklade dosavadn ích uvah vyplyva, že vyseťřovana funkce muže m íť lokaln í extrémy použe v bodech A, B.
Uvažujme nyn íopet funkci z = f (X), X = [x1,... ,xn] n-promennych, definovanou na oblasti ff. Budeme vyseťrovať, žda funkce f (X) ma ve sťacionarn ích bodech extrém.
Zacneme s prípadem n = 2, tedy s funkcemi z = f (x, y) dvou promennych na oblasti ff. Nechť bod [a,b] G je sťacionarn ím bodem funkce f (x, y). Podle Taylorovy vety pro k = 1 dostavame
A[0,0],
B[1,1].
f (a + h,b + k) = f (a, b) +
1 1!
dxJ [a,5] \dyJ
+ Ä2,
(12.44)
kde
(12.45)
Bod [£,77] je na usecce o koncovych bodech [a, b], [a + h, b + k].
556
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Poněvadž [a, b] je stacionárn ím bodem funkce /, je (f)[a^ = 0, (f)[a;b] = 0. Proto (12.44) lže žapsat jako
f (a + h, b + k) - f (a, b) = (12.46)
Je-li tedy R2 > 0 (R2 < 0) pro všechna dostateCne mala h, k,ma funkce f v bode [a, b] lokaln í minimum (maximum).
Rozborem R2 se dokaže nasleduj řc í veta.
557
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
veta 12.10.
Necht funkce f (x, y) má v jistem okolí U ([a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace 2. fádu. Necht:
=0,
[a,b]
ľží)
x
Pro body [x,y] G U ([a, b]) polozme
A(x,y) =
\dy)
= 0.
[a,b]
df df_
dx2 dxdy
dxdy dy2
v bodě
f(x, y)
v
Je-li A(a,b) > 0, má funkce f (x,y) extrém. Je-li A(a,b) < 0, nemá funkce lokální extrém. V případe, ze A(a,b) > (< 0) má funkce f (x,y) v bodě [a,b] vlastní lokální minimum (maximum).
0 a (U )[a,b]
[a, b] lokální boděe [a, b] > 0
Príklad 12.13. Zjistili jsme, ze funkce z = x3 + y3 — 3xy má dva stacionární body A[0, 0], B[1,1]. Rozhodnete, zda tato funkce má v techto bodech lokální extrémy.
Řešení. Funkce z = x3 + y3 — 3xy má spojite parciální derivace 2. rádu ve všech
558
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
bodech. Vypořctem dostavame
d2z d2z d2z d2z
x2
x y y x
y2
Tedy
A(x, y) =
6x -3
-3 6y
= 36xy - Q.
Ponevadz A(0,0) = -Q < 0, nema vysetřovana funkce ve stacionarln im bode [0,0] lokaln í extrem. Ponevadz A(1,1) = 36 - Q = 27 > 0, ma vysetrovana funkce ve stacionarn ím bode [1,1] lokaln í extrem. Ponevadz
läx*J|u] = (6x)|1-1] = 6 >0,
ma vysetrovana funkce v bode [1,1] lokaln í minimum.
Pro funkce n-promennych plat í analogicka veta.
559
• Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukončit
Veta 12.11.
Necht funkce f (X), X = [x?, x2,..., xnj je definovana na oblasti Q. Necht X0 =
[ry0 ry0 xi, x2,
xnj je jejím stacionarním bodem, tj. necht
(éĺ)
xi
M J , = °-- 0 = °-
Necht v jistém okolí U (X0) ma funkce f (X) spojite vžechny parcialní derivace 2. ěadu. Ožnacme
d2/
d2/
<9x2<9xi
d2/ _
d2/ gxidx2
g2/
x22
d2/
d2/
d2/ <9x2<9xfc
g!/
x2
k = 1, 2,..., n.
Je-li
Di(X0) > 0, D2(X0) > 0,..., Dn(X0) > 0 (Di(X0) < 0, D2(X0) > 0,..., (—1)nDn(X0) > 0),
mí funkce f v bode X0 lokílní minimum (maximum).
560
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Celí obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Příklad 12.14. Urcete lokaln í extrémy funkce
u = x2 + y2 + z2 + xy — xz.
Řešení. Polozme parcialn í derivace
ux = 2x + y — z, uy = 2y + x, ux z — 2z x
rovny nule. Resen ím vznikleho systemu rovnic urc íme jediny stacionarn i bod [0,0,0]. Pomoc í matice
/ 2 1 — 1 \
/ uxx uxy uxz \
u" u" u"
yx yy yz \^ uzx uzy uzz f
120
\—i o 2 y
urc i me
D1 = 2, D2 =
21 12
D3 =
2 1 — 1
120 1 0 2
Protoze D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0, ma vysetřovana funkce v bode [0,0, 0] ostre lokaln í minimum.
561
^Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
Globain í etxrémy
Nechť funkce f (X) je definovaná na uzavrene oblasti Q (tj. na sjednocen i oblasti s jej i hranic i).
Řekneme, Ze funkce f (X) n-promennych má globáln í (absolutn i) maximum v bode X0 G Q, jestliZe pro vsechny body X G Q plat í f (X) < f (X0). Podobne rekneme, Ze funkce f (X) n-promennych má globáln i (absolutn i) minimum v bode X0 G Q, jestliZe pro vsechny X G Q plat í f (X) > f (X0).
Globáln i maxima a globáln í minima se nazyvaj i spolecnym názvem globálníextrámý. Plati tato veta.
Véta 12.12. Necht funkce n-promených f (X) je spojita na uzavřená oblasti Q. Potom ma na Q globální maximum a globalní minimum. Je-li X0 bod, v nžmž funkce f nabáýva na Q globální maximum (minimum), potom X0 je bud' hranižnám bodem Q, anebo funkce f ma v nžm lokalná maximum (minimum).
Jako příklad nalezen i globáln ího minima funkce f (X) n-promennych uved'me následuj íc i pr íklad.
1. Nacrtnete graf funkce
x — 1
y = i-TT
|x — 1|
562
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
2. Reste nerovnici
x+3
3. Nacrtnete grafy funkc í
a) y = 1og0,ix, b) y = 1og0,i|x|, c) y = |1og0,ix| d) y = |1og0,i|x||
4. Reste rovnici
9x — 5.3x — 6 = 0.
5. Reste rovnici
sin 2x — cos x = 0
6. Vypoc ítejte druhou derivaci funkce
2x+1
y = x2^- v bode x = 2.
x2 + 1
7. Vypoc ítejte derivaci funkce
rf x 2 l0g(6 + x2)
f (x) = x2--- v bode x = 2.
x2 + 1
8. Ke krivce
y = x2 ln x
napiste v bodech Ti[e, ?],T2[1/e, ?] dane krivky rovnice tecen a normal.
563 •Titulnístrana •Předchozí •Další •Poslednístrana •Zpět •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
9. Nalezněte intervaly na nichž je funkce
y = x4 - 3x3 - x2 + 2
a) rostouc ř b) klesaj řc ř c) konkavn ř d) konvexn ř Dale urcete jej í lokain í extremy a inflexn í body.
10. Naiežnete intervaiy na nichž je funkce
1
y = — ln x
x
a) rostouc ř b) klesaj řc ř c) konkavn ř d) konvexn ř Dale urcete jej ř lokaln ř extremy a inflexn ř body.
11. Vypoc řtejte druhou derivaci funkce
x2 + 1
y = 2 x-i
v bodře x = 2 . 12. Vypoc ítejte integraiy
-2e
/>2e />3 />!
aW x2lnxdx b) / \/3x +1 dx c) / x.e-xdx
Je Ji ./0
564
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
13. Vypoc íťejťe hodnotu nevlasťn ího inegralu
°
14. Zjistete, žda nasleduj íc í inťergral je konvergenťn í. V kladnem prípade urceťe jeho hodnotu.
1
x
dx
^ 1+ x2
15. Vypoc íťejťe
/ -—z dx
°x
16. Vypoc íťejťe hodnotu dvojneho inťegralu
JJ x.y dxdy n
kde Q je užavrena oblasť ohranicena ťrojuheln íkem o vrcholech
A[1, 2],B [2, 4],C [4,3].
17. Vypoc íťejťe hodnotu dvojneho inťegralu
x.y2 dxdy
kde Q je cťvrťkruh v prvn ím kvadrantu se sťredem v pocaťku o polomeru r = 2.
565 •Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukoncit
18. Urcete lokáln í extremy funkce
50 20 . , ,
z = x.y +---1--za predpokladu x > 0, y > 0
x y
19. Urcete lokáln í extremy funkce
20. Urcete lokáln í extremy funkce
z = x ln(x2 + y2)
z = x3 + y3 — 3x.y
A
21. K matici
1023
4 0 2 1 3 10 5 V 2 3 1 4 /
urcete matici inverzn í a jej ím uzit ím reste system lineárn ích rovnic A.x = b, kde
/ 6 \
b
7
9
10
566
• Titulnístrana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit
22. Řešte systém lineám ích rovnic A.x = b z minulého příkladu užitím Cramerova pravidla.
23. Řešte systém linearn ích rovnic A.x = b z minulého příkladu Gaussovou eliminaCn í metodou.
567
• Titulní strana •Předchozí •Dalsí •Poslednístrana •Zpet •Cela obrazovka •Zavřít •Ukončit