Obsah 1 Císla 6 1.1 Reálná čísla................................ 6 1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselne soustavě............ 8 1.2.1 Zápis racionálního čísla...................... 8 1.2.2 Iracionální čísla.......................... 8 1.2.3 Aproximače čísel.......................... 9 1.2.4 Vlastnosti reálnýčh čísel..................... 10 1.2.5 Vlastnosti usporadání reálnýčh čísel............... 11 1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty reálneho čísla............ 12 1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum mnoziný reálnáčh čísel . . 14 1.3.1 Sýmbolý oo, —oo......................... 16 1.3.2 Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu.......... 17 1.4 Komplexní čísla.............................. 18 1.5 Pripomenutí duleZitýčh vzorču pro počítání s číslý........... 22 2 Základní pojmy lineární algebry 23 2.1 Uvod do matičoveho počtu........................ 23 2.2 Relače mezi matičemi ........................... 26 2.3 Zíakladní operače s matičemi ....................... 27 2.4 Spečiální matiče a pravidla pro počítání s matičemi.......... 35 2.5 Sýstemý lineírníčh algebraičkíčh rovnič, uvod............. 38 2.6 Zavedení pojmu inverzní matiče ..................... 42 2.7 Ukázka formulače ulohý lineárního programování............ 44 1 3 Lineární prostor 47 3.1 Aritmetický vektorový prostor...................... 47 3.2 Lineární nezávislost vektorů....................... 48 3.3 Elementární transformace ........................ 51 3.4 Transformace matice na matici schodoviteho tvarú........... 53 4 Metody reSení systému lineárních algebraických rovnic 61 4.1 Řešení nekterých typů systemů linearních rovnic............ 61 4.2 Ekvivalentní systemy rovnic........................ 67 4.2.1 Prevod systemů linearních rovnic na ekvivalentní system rovnic. 67 4.3 Gaússova eleminacní metoda....................... 75 4.4 Jordanova eliminacní metoda....................... 77 4.5 Jordanova metoda na resení maticove rovnice A X = B........ 78 5 Determinanty 83 5.1 Zavedení pojmů determinantu matice.................. 83 5.2 Vípocet determinantů rozvojem podle libovolneho rídků, resp. sloůpce 88 5.3 Hodnota determinantů matice B vznikle z matice A.......... 93 5.4 Vípocet hodnoty determinantů z horní schodovite matice....... 96 5.5 Poůzití determinantů........................... 100 5.6 Cramerovo pravidlo............................ 100 5.7 Prímy vypocet inverzní matice pomocí determinantů......... 103 6 Vztah mezi volnými a aritmetickámi vektory 106 6.1 Zavedení volních vektorů......................... 106 6.2 Skalarní soůcin, norma a vzdalenost ve vektorovem prostorů..... 110 6.3 Zavedení Eůklidova prostorů En..................... 114 7 Pojem funkce, základní pojmy 119 7.1 Množina, konstanta, promenna ..................... 119 7.2 Zobrazeníí.................................. 121 7.3 Pojem fůnkce a nekteré její vlastnosti.................. 125 7.4 Řealna fůnkce realne promenne..................... 130 2 7.4.1 Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá.........135 7.4.2 Funkce složená a funkce inverzní.................138 8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné 142 8.1 Limita funkce jedne promenne v danem bode..............143 8.2 Spojitost funkce jedne promenne v danem bode............151 8.2.1 Limita a spojitost funkce vytvorene pomocí dvou funkcí.... 153 8.2.2 Limita a spojitost složene funkce v danem bode........159 8.2.3 Spojitost inverzní funce......................160 8.3 Shrnutí, ulohy...............................160 9 Elementární funkce. 163 9.1 Polynom a racionalní lomená funkce................... 163 9.1.1 Kontrolní ulohy - polynom a racionalní funkce......... 174 9.1.2 Zavedení odmocnin........................ 175 9.2 Funkce ?fX ................................ 176 9.3 Mocniny s racionalním exponentem................... 178 9.4 Mocniny s realním exponentem..................... 181 9.5 Exponencialní funkce a logaritmus.................... 183 9.6 Trigonometricke funkce.......................... 187 9.7 Uhel v obloukove míre........................... 187 10 Derivace reaine funkce reaine promenne 198 10.1 Zavedení pojmu derivace funkce ..................... 198 10.2 Derivace elementarních funkcí......................212 10.3 Shrnutí, uílohy ............................... 231 11 Použití derivací 232 11.1 Funkce spojitíe na intervalu ........................ 232 11.2 Vety o funkcích spojitích na intervalu (a,b) ..............235 11.3 Funkce monotoínní na intervalu a lokíalní extríemy ........... 238 11.4 Absolutní extrémy ............................243 11.5 Konvexita a konkíavnost funkce ..................... 244 3 11.6 Hledání kořenů rovnice /(x) = 0 „metodou půlení intervalu"...... 253 11.7 Výpočet nekterých typů limit...................... 255 11.8 Průbeh funkce............................... 260 11.9 Diferenciýl a Taylorova veta....................... 265 11.10Shrnutí a ýlohy.............................. 270 12 Funkce více proměnných 274 12.1 Parciíalní derivace ............................. 280 12.1.1 Totíalní diferenciíal ......................... 291 12.2 Extremy funkcí více promenných .................... 293 4 Masarykova univerzita Ekonomicko-sprívní fakulta Matematika studijní text Miloslav Mikulík, LuboS Bauer, Markéta Matulova Brno 2010 Kapitola 1 Čísla Každý čtenář tohoto textu pracuje s čísly. Prace s čísly je mu samozřejmostí, avšak málokdo si uvedomuje, jak je pojem čísla obtížný. Presne zavedení pojmu čísla se vymyká nasim možnostem. Tuto kapitolu je proto možne čhípat jen jako připomenutí vlastností čísel a jako pokus o vytvoření nahledu na jeden zpusob zavedení pojmu čísla. V teto kapitole uvedeme tez nekolik připomínek k numeričkym vypočtum a zopakujeme si nektere ukony s realnymi čísly. Zopakujeme si tez zavedení komplexníčh čísel. Součastí vykladu je nekolik príkladu. Pokud nekdo bude mít potíze s jejičh řesením, doporučuji sbírky príkladu ze stredoskolske matematiky. 1.1 Realna císla Historičky začali lide pouzívat napred přirozená čísla. Vyjadřuje se jimi počet prvku konečne mnoziny i pořadí odpočítavanyčh objektu. V matematičke literatuře není pojem mnozina prirozenyčh čísel čhapan jednotne. Nekteří autoři zařazují do mnoziny prirozenyčh čísel i nulu. V dalsím budeme pod mnozinou přirozenyčh čísel rozumet jen mnozinu čísel 1, 2, 3,...; budeme ji značit N. Na mnozine N je zavedena relače „<" (mensí nebo rovno) a jsou zavedeny operače sečítaní, označena „ + ", a nasobení, označena „•". Jestlize a, b e N a existuje takove číslo c e N, pro nez platí a = b + c, označíme c = a — b. Je tedy mezi nekterymi prvky z N definovana operače „ —", nazveme ji odečítíním. Pozadavek proveditelnosti teto operače pro vsečhna a, b G N vede k zavedení 0 a čelyčh zapornyčh čísel —1, —2, —3,.... Mnozina N sjednočena s mnozinou {0} a mnozinou čelyčh zípornyčh čísel se značí Z a nazyví mnozinou celých čísel. Operače ,, + , — "a uspořadaní,,<" definovane na mnozine prirozenyčh čísel se rozsirují na čelou mnozinu Z. Na mnozine Z je pak definovana operače „ —". (Zavedení čelyčh čísel umoznuje pračovat nejenom s hotovostí, ale i s dluhy.) Nečht p, q e Z, q = 0. Jestlize existuje x e Z tak, ze p = q • x, píseme x = p, resp. 6 x = p : q. Operaci „:" nazývame dělením. Aby dělení čísla p číslem q, q = 0, bylo vždy proveditelne, rozSiruje se mnoZina Z na mnoZinu Q, zvanou mnoZina racionálních čísel. Operace „+, —, •" a uspořadání, definovane na množine Z, rozSirujeme na celou mnoZinu Q. Na množine Q je pak definovano i delení císla p císlem q pro vsechna p, q e Q, q = 0. MnoZinu Q nazývíme množinou racionálních čísel a operace ,, + , —, •,:" nazývíme racionálními operacemi. Racionílním císlem je tedy kaZde císlo tvaru |, kde p, q e Z, q = 0. JestliZe p, S e Q, potom p = r, jestliZe ps = r q. Napr. | = §. KaZde cele císlo a e Z lze zapsat ve tvaru a. (Zavedení racionalních císel umoZnuje pocítat i s cístmi celku.) Zaveďme si nyní císelnou osu. Číselná osa. Uvazujme přímku s danym bodem 0, nazveme jej pocatkem. Jisty smysl prímky zvolíme jako kladny. Zvolme dale ísecku, její delku oznacíme jako jednotku. V textu budeme tuto prímku kreslit ve vodorovne poloze a za její kladny smysl volíme smer zleva doprava. Ke kaZdemu racionalnímu císlu priradíme na teto prímce bod takto: ke kaZdemu přirozenemu císlu n priradíme bod, oznacme jej n, a to tak, Ze zvolenou jednotku naneseme od pocatku n-krat v kladnem smyslu, to jest doprava. Ke kaZdemu celemu zapornemu císlu m přiřadíme bod, oznacme jej m, a to tak, Ze zvolenou jednotku naneseme od pocatku (—m)-krat v zapornem smyslu, to jest doleva. Císlu 0 priradíme pocatek. Necht: p je racionalní císlo, ktere není celym císlem. Bez ujmy na obecnosti lze predpoklídat, Ze p e Z, q e N, q = 0. Usecku, jejíZ delku jsme zvolili za jednotku, rozdelme na q stejnych dílku. Je-li p > 0, naneseme p techto dílku doprava, je-li p < 0, naneseme (—p) techto dílku doleva. ObdrZeny bod oznacíme p. Jsou-li p, S takova racionalní císla, Ze ps = rq, potom je jim přiřazen tentyZ bod. Císla p, S jsou za pisy te hoZ racion a ln ího císla, např. zapisy |, 4 predstavuj í totez racionaln í císlo. Oznacme Q mnoZinu vsech bodu přiřazenych naznacenym zpusobem k racion a ln ím císlum. Uvedenou přímku nazveme c íselnou osou. Nen í podstatny rozd íl mezi bodem z mnoZiny Q a racion a ln ím císlem, k nemuZ byl bod přiřazen. Budeme tedy pouZ ívat pojem bod p a racionaln í c íslo p ve stejn e m vyznamu. Na obr. 1.1 jsou vyznacena císla — 2, —1, 0,1, 2, 3, 4 a císlo \. 1 1 1 1 1 iii 1 1 ľ ii iii —2 —1 0 1 u 2 3 2 4 Obrízek 1.1: C íseln a osa JestliZe k císlu p je prirazen bod na císelne ose nalevo od bodu přiřazenemu k císlu q, je p < q, resp. q > p. Budeme pak ríkat, Ze císlo p je mensí neZ císlo q, resp. Ze císlo q je vets í neZ c íslo p. Řekneme, Z e p < q, je-li p < q nebo p = q. 7 1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselné soustavě K zápisu C ísel v desítkové soustavě pou z íváme deset symbolů (cifer) 0,1, 2, 3,4,5,6, 7, 8,9 a prípadn e desetinnou Cárku (v zahrani Cním textu a pri práci na poC íta Ci Často desetinnou tečku). Tak napr . 3,15 (1.1) je zkraceny zapis C ísla 3 + 1 • 10-1 + 5 • 10"2-. Tomuto C íslu odpovída na C íselne ose bod leZ ící mezi bodem „3" a „4". Vzdalenost mezi „3" a „4" rozd e líme na 10 dílku - jeden dílek ma delku a od Císla „3" naneseme jeden tento dílek napravo - dostaneme bod na Císelne ose odpovídající C íslu 3,1. Dílek delky rozd e líme op et na 10 dílku - jeden dílek má pak delku . „5" techto dílku naneseme od bodu „3,1" napravo. Dostaneme tak bod, ktery odpovídí bodu „3,15." 1.2.1 Zápis racionýlního čísla. Kazde nenulove racionalní Císlo lze zapsat ve tvaru +1 nebo —p, kde p, q E N, q = 0. Delením Císla p Císlem q podle znameho algoritmu dostaneme kde sgn je znamenko „ + ", nebo „-", n je prirozene Císlo nebo nula, „," je tzv. desetiní Carka a a1,a2,... jsou cifry „0,1,2, 3,4,5, 6, 7,8, 9". Napr. a) | = 0, 75 b) 1 = 0, 333... Lehce nahledneme, ze zípis kazdeho racionální-sho Císla se vyznaCuje tím, ze bud'to • za desetinou Carkou je koneCny poCet nenulových cifer nebo • existuje takova uspor^dana skupina Císel, ze za kazdou takovou skupinou Císel bezprostredne nasleduje opet tato skupina Císel. Takovato Císla se nazyvají period-icka. Zapis je mozne provest tak, ze nad prvním vyskytem opakující se skupiny se da pruh a dalsí navazující skupiny se nepísí. Tedy nahore uvedene Císlo 1 = 0, 333... lze zapsat jako 0, 3. Ke kazdemu racionalnímu Císlu odpovída na Císelne ose bod (Tak jak jsme to videli s Císlem „3,15". 1.2.2 Iracionýlní čísla Lze ukazat, z e delku uhlopríCky Ctverce o stran e „1" nelze vyjíd rit jako racionílní C íslo. To znamena, z e neexistuje takove racionalní C íslo „u", jehoz druha mocnina je je rovna „2" (viz.1.1). Tento nedostatek odstraníme zavedením tzv. irácionýlních čísel. Ira-cionalním Císlem budeme rozum etop et symbol (1.2),avsak takovy, z e za desetinou Církou je nekoneCne mnoho nenulovych cifer a neexistuje v tomto zapisu takova usporadana 8 skupina čísel, že za každou takovou skupinou čísel bezprostředn ě nasleduje opět tatá ž skupina čísel.To znamena, že zapis (1.2) nepredstavuje číslo racionainí. Jestli že x = sgn n, aia2 ... an ..., (1.2) je iracionalní číslo,potom pro ka ž de n lež í číslo x meži racionalními čísly xi = sgn n, a\a2 ... an, x2 = sgn n, aia2 ... an,... an+k + 1S, (1-3) kde k je nejmen s ítakove přirožene číslo, ž e an+k 4 {0,9}. Men s í ž čísel (1.3), ožna čme je xd nažveme dolní aproximačí iračionalního čísla x a vetsí ž tečhto čísel, ožna čme je xh, nažveme horní aproximačí čísla x. Lež í tedy číslo x meži dve ma račionílními čísly, jejičh ž vždalenost je \xh — xd\. S rostoučím n se čísla xd,xh „přibliž ují" k bodu, ktery odpovída iračionalnímu číslu. V dal sím nebudeme d e lat roždíl meži bodem na číselne ose a reíalníym bodem. 1.2.3 Aproximace čísel. Uved'me si n e kolik požnímek k aproximači čísla x číslem x. Roždíl x — x nažyvíme absolutní chybou aproximace x. V reílnyčh situačíčh tuto čhybu nežname, ale často ji mužeme odhadnout. Odhadem absolutní čhyby rožumíme číslo 5 > 0, pro n ež platí \x — x\ < 5. Jestli ž e x je iračionílní č íslo v desítkove soustave a v jeho žapise ponečhame jen prvníčh n čifer ža desetinnou čarkou, dostaneme račionalní číslo x, pro než platí \x — x\ < 10-n. Predpokladejme, ž e pr i m erení vždílenosti dvou míst A, B, kde A je místo v Praže a B je místo v Brn e , se dopustíme čhyby nejvýse 1m. Podobn e predpoklídejme, ž e pri merení delky obdelníkove místnosti se dopustíme rovnež čhyby nejvýse 1 m. Je žřejme, že stejny odhad čhyby merení nelže použít ke srovníní presnosti metody merení. K posoužení „kvality" aproximače se pro x = 0 používa často tžv. relativní chyba, definovana vžtahem _ x Číslo 5 > 0, pro než platí I x — x I < 5, x nažyvame odhadem relativní chyby. Pri numerických výpočtech jsme v jistem okamžiku nuceni čísla iracionální, s nimiž se pracuje, aproximovat čísly racionálními. Provádíme-li vápočty na kalkulačce, nebo na počítači, nemame k dispozici ani množinu vsech racionálních čísel. Pracuje se jen s čísly dane reprezentace v danem rozsahu. Vysledek racionalní operace (+, —, :) s těmito císly se aproximuje podle zabudovaného kriteria opčt číslem dane reprezentace. Tím, že nepračujeme s přesnymi čísly, alae jenom s jejičh apoximačemi, muže vest k velkym 9 chybám. Je tomu tak především pri dělení velice malými čísly. Iracionálním nslům často přiřazujeme symboly, např. n a teprve k zaveru, jeli to ůčelne, provadíme aproximaci racionalními císly. 1.2.4 Vlastnosti reýlných Čísel Množinu všech racionálních čísel, sjednocenou s množinou čísel ira-cionálních,nazýváme množinou reálnych čísel a budeme ji značit R. Aritmetické operace „+ - sečítaní, - -odečítaní, . -násobení a ; delení pro racionální čísla rozčičujeme i na čísla realna. Rovnčz lze rozččit relaci < na množinu vsech realnych čísel." (Zavedení je močno provest využitím dolní a horní aproximace aproximace iracionílních čísel.) Uved'me vsak napřed zakladní vlastnosti takto zavedenych realnych císel. Dále uvedene vlastnosti je mozno pouzít k axiomatickemu zavedení realnych císel takto. Mnozinu R, na n íz jsou zavedeny operace „ + , • " a uspora dan í < s nasleduj íc ími vlastnostmi, nazyví me mnozinou realnych císel. Základní vlastnosti reálných císel (R1) (x + y) + z = x + (y + z) pro vsechna x,y,z e R. (R2) x + y = y + x pro kačde x, y e R. (R3) Existuje prvek 0 e R tak, če pro kačde x e R platí x + 0 = x. (R4) Ke kačdemu x e R existuje prvek —x e R tak, če x + (—x) = 0. (R5) (x • y) • z = x • (y • z) pro vsechna x, y, z e R. (R6) x • y = y • x pro kačde x, y e R. (R7) Existuje prvek 1 e R tak, če pro kačde x e R platí x • 1 = x. (R8) Ke kačdemu x e R, x = 0 existuje prvek x~l e R tak, če x • x~l = 1. (R9) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) pro včechna x, y, z e R. (R10) Usporadaní< je lineírní. (R11) Je-li x, y, z e R, x < y, pak x + z < y + z. (R12) Je-li x, y, z e R, x < y, z > 0, pak x • z < y • z. (R13) Jsou-li X c R, Y c R neprazdne mnočiny a platí-li x < y pro kačde x e X a kačde y e Y, pak existuje a e R tak, če x < a < y pro kačde x e X a kačde y e y ._ 10 1.2.5 Vlastnosti uspořádání reálných čísel. Ze „základních vlastností reálných čísel" dostáváme tuto vetu. Veta 1.1. (Nerovnice) Pro libovolná čísla platí (1.4) Je-li x < y, z < u, potom x + z < y + u. Slovy: Leví i prave strany souhlasných nerovnic můžeme sečíst. (1.5) Je-li x < y, z > 0, pak x • z < y • z. Slovy: Nasobíme-li obe strany nerovnice týmž kladným Číslem, smysl nerovnice se nezmění. (1.6) Je-li 0 < x < y, 0 < z < u, platí0 < x • z < y • u. (1.7) Je-li x < y, z < 0, potom x • z > y • z. Slovy: Nísobíme-li obe strany nerovnice týmž záporným ďslem, zmení se smysl nerovnice. (1.8) Je-li 0 yz. □ Příklad 1.1. V R reste nerovnici 2x +1 < 5x — 2. (1.9) Řešení. Na obe strany (1.9) připočítejme — 2x + 2. Uzitím (R11) dostívame 3 < 3x. (1.10) Nísobením (1.10) číslem 1 dostívíme x > 1. Tedy nerovnici (1.9) vyhovují vsechna čísla x> 1. 11 1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty reálneho čísla. Zopakujme si žavedení pojmu absolutní hodnota reílneho čísla. Definice 1.1. (Absolutní hodnota reálného čísla) Nečht x e R. Položme .. í x, je-li x > 0, \ —x, je-li x < 0. Císlo \x\ nažveme absolutní hodnotou čísla x. Príklad 1.2. a) \ — 4\ = 4. Položíme-li x = —4, je x < 0, takže podle definiče je \ — 4\ = \x\ = — (—x) = —(—4) = 4. b) \x — 2\, kde x je reílne se určí takto: Je-li x — 2 > 0, to jest, jestliže x > 2, je \x — 2\ = x — 2. V prípade, že x — 2 < 0, to jest, jestliže x < 2, je \x — 2\ = — (x — 2) = 2 — x. Tedy r x — 2 pro x >2, \ \ 2 — x pro x < 2. Pro absolutní hodnotu reálnych čísel platí vžtahy uvedene v nasledujíčívete. Jejičh dukažy pČrenečhíavíame ČčteníaČri. (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.15) (1.16) (1.17) Poznámka 1. Pro vsečhna x,y e R položme p(x,y) = \x — y\ je p(x,y). (ľíslo g je vždalenost bodu x,y. Poznamka 2. Jsou-li a,e, kde e > 0, pevna čísla, potom \x — a\ v (1.17) žnamena, že x je od bodu a vždíleno o mene než e. Ponevadž body a — e, a + e jsou od bodu a vždaleny prave o e, leží x meži body a — e, a + e, tedy platí a — e < x < a + e (viž obr. 1.2). 12 Véta 1.2. (Pravidla pro absolutní hodnoty) Necht: x, y, a, e e R, e > 0. Potom platí \ x\ > 0 x < \ x\ , — x < \ x\ \ x\ — \ y\ < \ x + y\ < \ x\ + \ y\ \x ■ y\ = \x\ ■ \y\ \x — a\ < e a — e < x < a + e a x a + e Obrázek 1.2: K poznímče 2. Příklad 1.3. V R reste nerovnici 2x — 1 < \x — 2| < 3x + 2. (1.18) Řešení. Řešení rozdělme do dvou Častí a) Nechť x — 2 > 0. Potom \x — 2\ = x — 2. Dale je x > 2. (1.19) Ze vztahu 2x — 1 < x — 2 dostávame x< —1. (1.20) Ze vztahu x — 2 < 3x + 2 dostávame 2x > —4, tedy x> —2. (1.21) Vztahy (1.19), (1.20), (1.21) vyznačíme na Číselne ose. 1 1 1 1 1 - —3 —2 —10 1 2 3 Vidíme, ze pro x > 2 nema rovnice resení. j3) Necht: x — 2 < 0. Potom \x — 2\ = —x + 2. Podle předpokladu je x< 2. (1.22) Ze vztahu (1.18) pro tato x dostávame 2x — 1 < —x + 2. Odtud dostavame 3x < 3, 13 tj- x< 1. (1.23) Ze vztahu -(x - 2) < 3x + 2 dostavame 4x > 0, tjx> 0. (1.24) Ze vztahU (1-22), (1-23), (1-24) dostavame 0 < x < 1. Dane úloze tedy vyhovují vSechna čísla, pro nez platí 0 < x < 1. 1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum množiny reálných císel Zaved'me si několik pojmů spojených s množinami reálných čísel. Ohraničené množiny. Necht M c R. Řekneme, že množina M je shora ohraničená, jestliže existuje takove Číslo h, že x e M = x < h. Číslo h nažývame horním ohraničením množiny M. Podobne rekneme, že množina M je zdola ohraničená, jestliže existuje takove reálne číslo d, že x e M == x > d. Číslo d nažývame dolním ohraničením množiny M. Jestliže množina M je shora i ždola ohraničená, ríkáme, že je ohraničena. Jako príklad uved'me množinu M = {x e R : x = -, kde n e N}. n Zřejme horním ohraničením množiny M je každe reílne číslo h > 1 a dolním ohraničením množiny M je každe číslo < 0. Zaved'me si dale pojmý maximum, minimum a pojmy suprámum a infimum množiny realnyčh čísel. 14 Maximum číselné množiny Řekneme, že číslo xmax je maximum číselné množiny M, jestliže 1. xmax e M, 2. jestliže x e M, potom x < xmax. Píšeme xmax — IlláX x, resp. xmax — IlláX M. Jestliže takové číslo neexistuje, Yíkáme, že množina M nema maximum. To žnaména, žé xmax jé horním ohranicéním množiný M, ktéré do do M patří. Minimum číselné množiny žekneme, že žíslo xmin je minimum žíselne množiny M, jestliže 1. xmin e M, 2. jestliže x e M, potom x > xmin. Pížeme xmin = min x, resp. xmin = min M. Jestliže takoví číslo neexistuje, Yíkáme, že množina M nema minimum. To žnaména, žé xmin jé dolním ohranicéním množiný M, ktéré do do M patrí. Jako príklad uvéd'mé dvé množiný U, V réalných císél U = {x e R : x = \, kdé n e N}, (1.25) n2 V = {x e R : x < 2 A x > 0}. (1.26) Zřéjmé máx x = 1, min x nééxistujé, máx x = 2, min x = 0. VS imn é me si, ž e podle definice je maximum (minimum) č íselné mno ž iny M jejím prvkem. Uvéd'mé si dva podobné pojmý: suprémum a infimum císélné množiný. Týto pojmý posluchaci nékdý mýlné žaméřujís pojmý maxima a minima císélné množiný. Jestliže množina M je shora ohranižena, potom existuje její nejmenží horníohranižení, ožnažme je supM, a nažveme je suprímem množiny M. Toto žíslo, na roždíl od maxima množžiny, nemusí patžrit do množžiny M. Jako príklad uvéd'mé množinu M={0,9; 0;99; 0.999, ... } Léhcé nahlédnémé, žé tato množina jé shora ohranicéna - jéjím suprémém jé žřéjmé císlo „1". Toto císlo néní maximém množiný M, nébot népatří do M. Jestližže množžina M je ždola ohranižžena, potom existuje její nejvžetžsí ohranižžení ždola, ožnažme je infM, a nažveme je infimem množiny M. Toto žíslo, na roždíl od minima množiny, nemusí patřit do množiny M. 15 Jako příklad uveďme množinu M={0,9; 0;09; 0.009, ... } Lehce nahlédneme, že tato množina je ždola ohraniCena - jejím infimem je žřejme číslo „0". Toto Číslo není minmem množiny M, nebol; nepatří do M. Všimněme si, že sup M a inf M nemusí byt prvky množiny M. Jestliže platí G = sup M E M, potom G je maximem množiny M. Podobne, platí-li g = inf M E M, potom g je minimem množiny M. 1.3.1 Symboly oo, —oo Rozšíření množiny reálných čísel o dva symboly oo, —oo. Množinu realnych Čísel R nyn í rožs říme o dva symboly oo, — oo, (m ísto oo lže psa t i +oo) (Cteme (plus) nekonečno a minus nekonečno). Množinu R U { — o, oo} budeme žnačit R*. Symboly — oo, oo nažyvame nevlastními čísly. (Nekdy ž duvodu stručnosti použe čísly.) Stejne jako místo term ínu re alne číslo lže použ ít term ín bod x, lže mluvit o bodečh oo, resp. — oo. Položme x < oo pro vsečhna x E R. Jestliže množina M C R nen í shora ohraničen a , polož íme sup M = oo. Nevlastn í číslo oo je nejmensí horn í ohraničen í množiny rea lnyčh čísel. Položme x > — oo pro vsečhna x E R. Jestliže množina M C R nen í ždola ohraničen a , polož íme inf M = —o. Nevlastn í číslo — oo je nejvetsím doln ím ohraničen ím množiny přiroženyčh čísel. Některé racionální operace rozšíříme i na nevlastní čísla —oo, oo a to takto. Definice 1.2. Nečht a E R, potom definujeme a + oo = oo, oo + a = oo oo + oo = oo a — oo = — oo, — oo + a = — oo — oo — oo = — oo a- = 0 ±oo oo • oo = oo oo • (—oo) = — oo — oo • oo = — oo — oo • (—oo) = oo 16 í oo, je-li a > 0 [ —oo, je-li a < 0 , s í —o, je-li a > 0 v ' [ oo, je-li a < 0 Poznámka. VS imn eme si, ze n ektere operace, například ±oo oo — oo, — oo + oo,--, 0 •o, 0 • (—o), ±oo jsou nadale nedefinovane. 1.3.2 Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu. Necht: a, b e R, a < b. Mnoz inu vsech x e R, pro n ez platí a < x < b, budeme zapisovat jako {a,b) a nazyvat uzavřeným intervalem o koncových bodech a,b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu {a,b). Mnozinu vsech x e R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a,b) a nazyvat otevřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovíym bodem intervalu (a, b). Mnozinu vsech x e R, pro nez platí a < x < b (a < x < b), budeme zapisovat jako {a,b) ((a,b)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) a zprava otevřeným (uzavřeným) intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a nazyvame levym a císlo b nazyvame pravym koncovym bodem intervalu {a,b) ((a,b)). Mnozinu vsech císel x e R, pro nez platí a < x < oo (a < x < oo), budeme zapisovat jako {a, oo) ((a, oo)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) intervalem o koncových bodech a, oo. Bod a budeme nazyvat levym a bod oo jeho pravym koncovym bodem. Mnozinu vsech císel x e R, pro nez platí —oo < x < a (—oo < x < a), budeme zapisovat jako (—o, a) ((—o, a)) a nazyvat zprava uzavreným (otevreným) intervalem o koncových bodech —o, a. Bod — oo budeme nazyvat levym a bod a jeho pravym koncovíym bodem. Mnozinu vsech realnych císel x muzeme zapsat jako (—oo, oo) a nazyvat intervalem o koncovíych bodeh —o, o. Vs imn e me si, ze levy koncovy bod kazdeho intervalu je men sí nez jeho pravy koncovy bod. Kdybychom v definici intervalu {a, b) nahradili poz adavek a < b poz adavkem a < b, zahrnuli bychom pod pojem intervalu tez jednobodovou mnozinu, obsahujícíjediny prvek a, kterou bychom mohli zapsat jako {a, a). Na obr. 1.3 jsou vyznaceny uvedene intervaly. Okolí bodu. Zaved'me si jeste pojem okolí bodu a e R. Necht: a e R, ó e R, ó > 0. 17 (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) (a, oo) (a, oo) (—oo, a) (—oo, a) (—oo, oo) Obrázek 1.3: Intervaly. a b a b a b a b a a a a Potom interval (a, a+8) budeme nazývat pravým 8-okolím bodu a a budeme jej většinou značit [/"/(a). Tedý U+(a) = (a, a+8). KvUli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U +(a). Nechť a E R, 8 E R, 8 > 0. Potom interval (a — 8, a) budeme nazývat levým 8-okolím bodu a a budeme jej vetSinou značit U-(a). Tedý U-(a) = (a — 8, a). Kvuli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U-(a). Nechť a E R, 8 E R, 8 > 0. Potom interval (a — 8, a + 8) budeme nazývat 8-okolím bodu a a budeme jej vetsinou značit U (a). Tedý U (a) = (a — 8,a + 8). Kvuli zkracení zapisu jej lze nekdý označit stručne U (a). Nechť k E R. Potom mnozinu (k, o) nazýva me k-okol ím bodu o a značíme Uk(o), nebo stručne U (o). Podobne mnozinu (—o, k) naz ývame k-okol ím bodu —o a znač íme Uk (—o), nebo stručne U (—o). 1.4 Komplexní čísla Rada matematických uloh není resitelna v oboru realných čísel. Napr. neexistuje realne číslo x, pro nez je x2 = —1. To znamena, ze rovnice x2 + 1 = 0 nemá v oboru realných čísel resení. Tato a cela rada jiných uloh nas inspiruje k zavedení komlexních čísel. 18 Definice 1.3. Označme C mnozinu usporadaných dvojic realných čísel (x,y), na níz jsou zavedený operace sečítaní „ + " a nasobení „•" s temito vlastnostmi: Pro ai,a2,b\,b2 E R polozíme (ai,a2) + (bi,b2) = (ai + bi,a2 + b2), (1.27) (ai,a2) • (bi,b2) = (aibi — a2b2,aib2 + a2bi). (1.28) Mnozinu C nazveme mnozinou komplexních čísel, její prvký nazývíme komplexními číslý. Je-li z = (a, b) E C, lze psat z = (a, 0) + (0,1) • (b, 0) (1.29) Číslo (c, 0) lze zkracene označit jako c pro kazde c E R. Sýmbol (c, 0) označuje tedý realne číslo. Číslo (0,1) označíme sýmbolem i a nazveme imaginární jednotkou. Potom (1.29) lze zapsat jako z = a + ib. (1.30) Jestlize z = a + ib E C, potom číslo a nazýváme jeho reálnou částí a značíme ji íř(z), b nazývame imaginární částí a značíme Q (z). Je tedý $ř(a + ib) = a, Q (a + ib) = b. Nechť z = a + ib E C. Potom číslo a — ib nazývame číslem komplexne sdružením k číslu z. Budeme jej značit ž. Tedý ž = a — ib. Vzhledem k definovíní součtu a součinu čísel (ai,bi), (a2,b2) dostavíme (ai + ibi) + (a2 + ib2) = (ai + a2) + i(bi + b2), (ai + ibi) • (a2 + ib2) = (aia2 — bib2) + i(aib2 + a2bi). Příklad 1.4. (2 + 3i) + (4 — i) = 6 + 2i (2 + 3i) • (4 — i) = 11 + 10i Lze ukízat, ze operace sčítíní a nasobení komplexních čísel mají týto vlastnosti (1) (zi + z2) + z3 = zi + (z2 + za) pro kazde zi, z2,z3 E C, (2) zi + z2 = z2 + zi pro kazde zi,z2 E C, (3) Pro 0 = (0,0) E C platí z + 0 = z pro vsechna z E C, (4) Ke kazdemu z E C existuje —z E C tak, ze z + (—z) = 0, (5) (zi • z2) • z3 = zi • (z2 • za) pro kazde zi, z2, z3 E C, (6) zi • z2 = z2 • zi pro kazde zi,2 E C, 19 (7) Pro 1 = (1,0) G C a pro každé z e C platí 1 • z = z, (8) Ké každému z e C, z = 0 éxistujé z-1 e C tak, žé z • z-1 = 1, (9) zi • (z2 + z3) = (zi • z2) + (zi • z3) pro každé zi, z2,z3 G C. Vidímé, žé opéracé sécítaní a nasobéní kompléxních císél mají vlastnosti, ktéré jsmé uvédli u réainých Císél na strané 10. Kompléxní Čísla vsak néjsou linéarné usporadana. Kompléxní Čísla sé žnažomují jako bodý v roviné, vé ktéré jé žavédéna kartéžska soustava souřadnic, nažýva sé Gaussovou rovinou. Každé kompléxní císlo z = x + iy sé v n í žnažomujé jako bod o souřadnic ích x,y, tédý jako [x, y]. Na obr. 1.4 jé grafický žnážornén soucét dvou komléxn ích císél. Obrázek 1.4: Součet dvou komplexních čísel. Na obr. 1.5 jé výžnacéno kompléxn í c íslo z a k nému kompléxné sdružén é císlo z. • z = a — ib Obrázek 1.5: Komplexne sdružená číslá. Absolutní hodnota komplexního čísla. Nécht z = a + ib e C. Potom číslo V a2 + b2 nažývamé absolutní hodnotou komplexního čísla z a žnacímé ji |z|. Jé tédý \a + ib\ = Va2 + b2. Jé to vždalénost bodu [0,0], [a, b]. 20 Příklad 1.5. Urcete realnou a imaginarní cast komplexního císla = 1 + 2i z = 3—Ti' Řešení. Zlomek, jímz je komplexní císlo z definovíno, rozsíríme císlem komplexne sdruz enym k c íslu ve jmenovateli, to jest c íslem 3 + 4i. Dostaneme (1 + 2i) • (3 + 4i) — 5 + 10i ^ tojest z = o. ■ z= (3 — 4i) • (3 + 4i) 25 Je tedy $l(z) _ _l o _ 2 = —5,= 5 ■ Z vykladu je zrejme, ze reálná čísla jsou podmnožinou komplexních čísel, tedy R C C. Komplexní císla, ktera nejsou realna, nazývame imaginárními. Řozd e lení komplexních císel lze schematicky znazornit takto: Komplexní čísla C Imaginární Realná R čísla čísla Iračionaílní Racionální Q čísla čísla Nečelí račionílní čísla Celí čísla Z Cela zíporna Nula Přirození N čísla 0 čísla Zaved'me si je s te celocíselne mocniny komplexních císel nasledovn e. Necht: a e C, n e N. Poloz me an = a - aa ■ a , V-v-'' n an a0 = 1, pro a = 0, 0n = 0. Pro celocíselne mocniny komplexních císel platí tato pravidla. (1.31) (1.32) (1.33) (1.34) 21 Necht a,b G C,r,s G Z. Potom platí ď • as = ar+s (1.35) = ar-s (1.36) = ars (1.337) (a • b)r = ar • br (1.38) Dr = ¥ (1.39) pokud ma leva strana význam. 1.5 Připomenutí důležitých vzorců pro počítaní s čísly. n-faktoriál. Číslo n! (čteme „n faktorií!") definujeme takto: 0! = 1, n! = 1 • 2n pro n E N. Kombinační číslo. Nečht n E N, k E {0} U N. Definujeme n n! VkJ = (n — k)!k!' 1 [DUlezite vzorce] Necht: a, b E C, n E N. Potom platí (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.40) (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (1.41) (a — b)(a + b) = a2 — b2 (1.42) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1.43) (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (1.44) (1.45) a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (1.46) Binomická veta (a + b)n = ^ 22 Kapitola 2 Základní pojmy lineárni algebry V teto kapitole se zavadejí pojmy linearní algebry jako je matice, operace s maticemi, zapis systemů linearních rovnic v maticove notaci a pojem matice inverzní. 2.1 Uvod do maticového poctu V denním zivote se často setkavame s různými tabulkami čísel. Jedna se vlastne o skůpinů čísel zapsanych do nekolika řadků a nekolika (třeba jineho počtů) sloůpců. Jako príklad si ůvedme nasledůjící tabůlků. V1 V3 V4 V5 tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 kakao 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 cukr 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 Tabulka 2.1: Tabulka pro výrobu v čokoládovně Tato tabůlka charakterizuje vyrobů v čokoladovne pri vyrobe 5 drůhů vyrobků, označenych jako Vi, V2, V3, V4, V5. V nasem príklade se ůvadí spotřeba sůrovin Si, S2, S3, to jest po rade tůků, kakaa a čůkrů v kg na 1 kg kazdeho z vyrobků Vi,... ,V5. Např. při vyrobe 1kg vyrobků V2 spotřebůjeme 0,4kg tůků. Vynechame-li zíhlaví v tabůlce, jední se o ůsporadanoů skůpinů 15 čísel, zapsanych do tří radků a peti sloůpců. Pro takove ůspořídane skůpiny čísel si zavedeme nasledůjící definicí pojem matice. 23 Zavedení pojmu matice. Matici typu (m, n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m-n reálnych čísel resp. funkcí, definovaných na nějakě množině, zapsaných do m řádku a n sloupcu. Každé z techto čísel, resp. každou z techto funkci, budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznacili, že tato čísla, resp. funkce, vytvařejí matici, budeme tuto skupinu čísel davat do kulatých zavorek. V dalším se omezíme na matice, jejíž prvky jsou čísla. Označování. Matice budeme oznaCovat vetSinou velkými tuCne vytiStenymi písmeny, napr. A. Prvek matice um ísteny v jej ím i-tím ra dku a v j-tem sloupci, budeme vetsinou oznaCovat mal ym p ísmenem, odpov ídaj íc ímu oznacen í matice, s indexy i, j, um ístenymi u jeho doln ího prave ho rohu. Tedy aij bude znacit prvek matice A v jej ím i—t e m ra dku a v j—te m sloupci. Pokud nemuze doj ít k chybe, lze carku mezi indexy vynechat. Príklad 2.1. Vyse uvedenou tabulku vyznacíme tedy jako matici typu (3, 5) nasledovne: A / 0, 00 0,4 0, 3 0, 6 0, 6 \ 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 j (2.1) V teto matici je napr. a2,3 = 0,1; a1}3 = 0, 3. Zápis obecné matice A typu (m, n). Matici A typu (m, n) muzeme tedy zapsat takto í a1,1 a1,2 ■ ■ ■ a1,j ■ ■ ■ a1,n-1 a1,n \ A ai,1 ai,2 \ am,1 am,2 ai,j am,j ai,n-1 ai,n (2.2) am,n-1 am,n Jestlize matice A je typu (1,n) , to jest, jestlize A = (a1,1 a1,2 ■ ■ ■ a1,n), (2.3) potom ji nazyvame tez ra dkovym vektorem. Budeme jej vetsinou oznacovat tucne vytistenym malym p ísmenem. Ponevadz u vsech prvku je prvn í index stejny, roven 1, lze jej vetsinou vypoustet. M ísto nahoře uveden e matice(2.3) muzeme tedy psat a = (a1 a2 ■ ■ ■ an)^ Prvky tohoto ra dkove ho vektoru budeme nazyvat slozkami vektoru. Tedy ai je i—ta slozka vektoru a. 24 Podobne, jestlize matice A je typu (m, 1) , to jest, jestlize / ai,i \ a2,i A (2.4) \ am,1 / potom ji muzeme nazyvat tez sloupcovym vektorem. Budeme jej vetsinou oznacovat tucne vytistenym malym p ísmenem. Ponevadz u vsech prvku je druhy index stejny, roven 1, budeme jej vetsinou vypoustet. M ísto (2.4), muzeme tedy psat ai a a2 (2.5) Radky matice typu (m, n) jsou radkovymi vektory a sloupce matice jsou sloupcovymi vektory. Příklad 2.2. V nísledujícím príklade je A maticí typu (2, 3), vektor b je řadkovy vektor se 4 slozkami, c je sloupcovy vektor se 4 slozkami. 1 \ —2 3 ' 5 Je tedy napr. a2}3 = 7. Příklad 2.3. Oznacme D1,D2 m ísta, z nichz se proví d í rozvoz do m íst Z1,Z2,Z3. Oznacme Cj naklady v Kc na dopravu 1 tuny zboz í z m ísta Di do m ísta Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2, 3. Z císel cij utvoríme matici, napr. 2000 1500 1800 C = L (2.6) 800 50000 1000 Jde o matici typu (2, 3). V teto matici je napr. c1}3 = 1800, to znamen a , ze n a klady na dopravu jedn e tuny zboz í z m ísta D1 do m ísta Z3 jsou 1800 Kc. A = , b = 1 6 5 4 457 c 25 Příklad 2.4. Uveďme matici popisující cenu v $ tří druhů zboží V\, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Z\, Z2, Z3, Z4. / 230 450 100 \ 200 420 90 C 210 430 80 (2.7) 235 435 95 Zde Oij značí cenu zboží Vj v $ v zemi Zi. Poněvadž c23 = 90, je cena zboží V3 v zemi Z2 rovna 90$. Uved'me jeste příklady matic, ktere obsahují jenom jeden řadek, tedy příklady řadkových Příklad 2.5. Uvazujme výrobní zavod, v jehoz dvou provozovnach se vyrabejí stejne ctyri ruzne vyrobky, oznacme je Vi,V2,V3,V4. Oznacme ai pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobit v prvn í provozovne a bi pocet vyrobku Ví, ktere se maj í denne vyrobit v druh e provozovne. Potom vektor a = (ai a2 a3 a4) charakterizuje denn í vyrobn í pian prvn í provozovny a vektor b = (b1 b2 b3 b4) charakterizuje denn í vyrobn í pi a n druh e provozovny. Je-li tedy např. potom např. a2 = 5 znamena, ze prvn í provozovna ma denne vyrobit podle pianu 5 vyrobku V2. Druha provozovna ma podle pl a nu vyrobit techto vyrobku b2 = 6. Zat ím jsme pouze uvedli zpusob zapisu uspořadan e skupiny c ísel, se kterymi je vhodn e v dals ím pracovat jako s celkem. V dals ím budeme vetsinou odhl ízet od vecn e ho vyznamu jednotlivych prvku matic a ukazeme moznosti, jak lze s maticemi pracovat. 2.2 Relace mezi maticemi Mezi maticemi téhož typu si zavedeme následující relace. Necht: A, B jsou matice te hoz typu (m, n). Řekneme, ze matice A je mens í nebo rovna matici B, a p íseme A < B, jestlize aij < bij pro vsechna i =1, 2,... ,m, j = 1, 2,... ,n. Řekneme, ze matice A je mens í nez matici B, a p íseme A < B, jestlize aij < bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Řekneme, ze matice A je vets í nebo rovna matici B, a p íseme A > B, jestlize aij > bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Řekneme, ze matice A je vetsí nez matice B, a píseme A > B, jestlize aij > bij pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. vektoru. a = (1 5 8 6), b = (4 6 1 2), (2.8) 26 Řekneme, že matice A je rovna matici B, a p íšeme A = B, jestliže všechna i = 1, 2,... ,m, j = 1, 2,..., n. Příklad 2.6. Nechť /l2-3\ /82-2\ bij pro V J v 3 0 2 2 2 0 3 2 2 -5 Přesvědčte se, že A < B. Příklad 2.7. Přesvedcte se, že meži maticemi A, B , kde 3 0 / 1 2 -3 2 0 -3 A = 2 0 3 , B = 2 8 3 2 2 -5 0 0 0 neplat í žá dna ž relací <, <,>, >, 2.3 Základní operace s maticemi Zaved'me si tyto operace s maticemi. Začneme s nekolika motivacn ími příklady. Nahoře v příklade 2.5 jsme uvažovali vektory a a b, dan e vžtahy (2.8). Vektor a predstavuje denn í vyrobn í plan prvn í provožovny a b představuje denn í vyrobn í plan druh e provožovny. Necht: ai je denn í pl a n vyroby výrobku Vi v prvn í provožovne a bi je denn í pl an vyroby výrobku Vi v druh e provožovne pro i = 1, 2, 3, 4. Jestliže se ve vyrobn ím ž a vode vyrabej í uveden e vyrobky použe v techto dvou provožovnach, pak denn í pl an vyroby vyrobku Vi, V2, V3, V4 cel e ho žavodu přredstavuje žřrejmře c = (5 11 9 8), kde ci = ai + bi, je denn í pl a n vyroby cel e ho ž a vodu vyrobku Vi pro i = 1, 2, 3, 4. Jev í se proto užitecnym ožnacit vektor c jako soucet vektoru a a b. Příklad 2.8. Necht: podnik vyrí b í vyrobky V1, V2, V3 ve dvou provožovnach. Pl a n vyroby vyrobku V1, V2, V3 v prvn í provožovne podniku je pro jednotlive kvartí ly charakterižovan matic í A a vyroba ve druh e provožovne je pro jednotlive kvarta ly charakterižova na matic í B. Obe matice jsou typu (4, 3). Necht: prvek aij matice A ud ava planovany pocet vyrobku Vj v i—t e m kvarta lu v prvn í provožovne. Analogicky vyžnam m a prvek bij matice B. Tedy A a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a1 2 a2 2 a3 2 a4 2 a1 3 a2 3 a3 3 a4 3 B b1 1 b2 1 b3 1 b4 1 b1 2 b2 2 b3 2 b4 2 b1 3 b2 3 b3 3 b4 3 27 Pokud zavod vyrab í uveden e vyrobky pouze v techto dvou provozovn a ch, lze charakterizovat pl a n vyroby vyrobku V1,V2,V3 cel e ho podniku pro jednotlive kvartaly maticí C, jej íz prvek cij = aij + bij predstavuje plan vyroby vyrobku Vj v i—tem kvartí lu cel e ho podniku. Tedy / aM + bM a1,2 + b1,2 aM + bM \ a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,1 + b3,1 a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3 V a4,1 + bzt;1 a4,2 + b4,2 a4,3 + b4,3 / C Z techto príkladu je patrno, ze mí smysl definovat soucet dvou matic A, B tehoz typu podle nasleduj ící definice. Definice 2.1. (Součet dvou matic) Necht! matice A, B jsou te hoz typu (m, n). Souctem matic A a B budeme rozumet matici C typu (m, n), pro jej íz prvky cijj, i = 1, " ' ,m, j = 1, — ' ,n, plat í ci j = ai j + bi j' Pro operaci sec ítan í matic budeme pouz ívat symbolu „ + ". P íseme pak C = A + B. Příklad 2.9. Necht! A, B jsou matice typu (3, 3) / 1 0 —3 \ 7 2 —1 A= 6 1 3 B= 3 5 0 —2 0 —3 ) 1 5 2 Potom matice C = A + B je 1 0 3 C 6 1 3 2 0 3 7 2 1 + 35 15 0 2 / 8 2 — 4 \ 9 6 3 1 5 1 Nasobení matice číslem. V príklade 2.4 jsme uvedli matici C. C íslo c^j v n íznac í cenu v $ vyrobku Vj v zemi Zi. Chceme-li vyj a dřit cenu jednotlivych vyrobku v uvazovanych zem ích v Kc, stací n asobit kazdy prvek matice C stejn ym císlem, danym kurzem dolaru. Vzniklou matici oznacíme D. 28 To nas motivuje k zavedení definice soucinu císla a matice takto: DefiniceA 2.1. (Soucin císla a matice) Necht: A je matice ttýpu (m, n) a a je realní císlo. Potom soudnem matice A a císla a rozumíme matici C, pro jejíž prvký cij platí Cij = a • ai,j pro i =1,...,m, j = 1,...,n. Pro násobení matice císlem budeme používat sýmbol „■ ". Přeme pak C = a • A. Sýmbol „• " lze výnechat. Příklad 2.10. Necht: a = 3 a necht: A je matice typu (3, 3) 1 0 3 A Potom C = a A = 3 V 6 1 3 2 0 3 1 0 3 3 0 9 6 1 3 2 0 3 18 3 9 6 0 9 DefiniceA 2.2. Necht A, B jsou matice tehoztýpu. Potom definujme A—B jako matici A+(—1)B. Součin dvou matic. Zaveďme si jeSte definici souCinu dvou matic. ZaCneme s příkladem. Uvazujme matici / 0, 00 0,4 0, 3 0, 6 0, 6 \ A 0, 05 0, 2 0, 1 0, 1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 J (2.9) V ní aij znací spotřebu v kg i—te suroviny Si na vyrobu jednoho kilogramu j—teho vyrobku Vj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. Zapisme tuto matici obecne. A a2 ,i a2 , 2 a2,3 a2 ,4 a2 , 5 \ a3,i a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 J (2.10) Mí-li se vyrobit x j kg vyrobku Vj, spotrebuje se při jeho vyrobe ai}j • x j kg suroviny Si. Uvazujme prípad, ze chceme vyrobit vyrobky Vi, V2, V3, V4, V5 v mnozstvích xi,x2, x3,x4,x5 29 v kg a že chceme určit spotřebu suroviny Si pro některé i = 1, 2, 3. Označme ji yi. Potom yi je sou Ctem č ísel aij • x j, j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy yi = ai,i • xi + ai,2 • X2 + ai>3 • x3 + aM • X4 + • X5. Ozna C me tedy x sloupcový vektor o p e ti slož kach, v n e m ž Xj udáva pož adovane množství výrobku Vj v kg. Budeme jej nažývat vektorem výroby. Ožna C me y sloupcový vektor o třech slož kach, v n e m ž yi vyjad r uje množství suroviny Si v kg potrebne k výrob e výrobku Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5 v požadovaných množstvích Xj. Nažveme jej vektorem spotřeby. Tedy x / X1 \ yi X3 , y = X4 y3 \X5 J (2.11) Ožna cme yi = ai,i • Xi + ai,2 • X2 + ai,3 • X3 + ai,4 • X4 + ai,5 • X5, i = 1, 2, 3. (2.12) Budeme říkat, ž e vektor y je sou cinem matice A a vektoru x a budeme psat y = A • x. Pro vektor víyroby a matici A í 250 \ 120 x = 150 85 V 80 / / 0,00 0,40 0, 3 0, 6 0, 60 \ 0,05 0,20 0,10 0,10 0,00 0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20 dostíavíame yi = 0, 00 • 250 + 0, 4 • 120 + 0, 3 • 150 + 0, 6 • 85 + 0,6 • 80, y2 = 0, 05 • 250+ 0, 2 • 120 + 0, 1 • 150 + 0, 1 • 85+ 0, 0 • 80, y3 = 0, 10 • 250+ 0, 2 • 120 + 0, 2 • 150 + 0, 1 • 85+ 0, 2 • 80. 30 Vyčíslením obdržíme y1 = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedy / 192.0 \ y V 60.0 103.5 J Tento príklad nás inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. DefiniceA 2.3. (Součin matic) Necht: A je matice typu (m, k) a B je matice typu (k, n). Potom součinem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m, n) pro jejíž prvky cij ,i = 1,... ,m, j = 1,... ,n, platí Cij = au • bij + ai2 • 62i ... + au- • bkj. (2.13) Pžeme pak C = A • B. Poznámka 1. Ze vžtahu (2.13) je patrno, že pro vypočet prvku cij matice C (tj. prvku v i-tem řadku a v j-tem sloupci matice C používame i—ty radek (ai,1 ai,2 . . . ai,k) (2.14) matice A a j—ty sloupec matice B bi j b2 j (2.15) bk j Ríkame, že ci j je skaiarním soucinem radkoveho vektoru (2.14) a sloupcoveho vektoru (2.15). Poznámka 2. Vžtah (2.13) lže žapsat takto k r=1 Zde symbol k=1 air • br j žnamena, že se provadí secítaní clenu, ktere dostaneme tak, že do vyražu ža symbolem dosažujeme postupne r = 1,..., k. Poznámka 3. Pro soucin dvou matic budeme používat opet symbolu „-". To není na žavadu, nebol; že souvislostí je vždy patrno o jake nasobení se jedna. Budeme tedy psat C = A B. 31 Poznámka 4. Všimněme si, že počet sloupců v matici A je stejný jako je počet řádků v matici B. Kdýbý tomu tak nebýlo, nebýlo bý možno aplikovat vžorec (2.13). Příklad 2.11. Určete matici C = A • B, jestliže A / 1 2 3 4 \ 0 7 8 5 4 3 2 9 B / 1 "3\ 2 -5 83 -1 1 Ponevadž A je matice týpu (3,4) a B je matice týpu (4, 2), lže výpocíst soucin C A • B. Podle (2.13) dostávame C 25 0 73 -6 17 12 Např. prvek c2i1 dostaneme jako skalarní soucin druheho řádku matice A, to jest řadkoveho vektoru ( 0 7 8 5 ) a prvního sloupce matice B, to jest sloupcoveho vektoru / 1 \ 2 8 -1 Výpoctem dostavame C2,i = 0 • 1 + 7 • 2 + 8 • 8 + 5 • (-1) = 73. Poznámka 5. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce mUze nastat případ, že A • B existuje, avžak B • A neexistuje. Jestliže pro nějake matice A, B platí A • B = B • A, potom matice A, B se nazývajízamenitelne. Príklad 2.12. Je-li napr. matice A typu (3,4) a matice B je typu (4, 3), potom A • B je matice typu (3,3). Avsak B • A je matice typu (4,4). Jsou tedy matice A • B, B • A 32 různých typů a tedy, aniž bychom jejich součiny počítali, vidíme, že jsou navzájem různé. Matice A, B nejsou tedy v tomto případe zamenitelne. Příklad 2.13. Nechť A (3 4) B ( 1 °) Potom AB Vidíme, že A • B = B • A, takže tyto matice A, B nejsou zamenitelne. Příklad 2.14. Nechť ' 8 10 \ / 1/3 -5/3 1 2 J V -1/6 4/3 A ) Pro tyto matice platí AB = BA = CD Dane matice A, B jsou tedy zamenitelne. Matice třansponovanía. DefiniceA 2.4. (Matice transponovana) Necht A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-ty řádek je roven i-tému sloupci matice A, i = 1, 2,... ,m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji znažit AT. Matice AT je tedy typu (n, m). Příklad 2.15. Nechť Potom A n 5 6x 456 í 1 4 X 25 36 33 O transponované matici součinu dvou matic platí tato věta. Věta 2.5. (Transponovaná matice součinu matic) Necht A, B jsou takové matice, že existuje A • B. Potom platí (A • B)T = BT • AT. DUkaz: DUkaz prénéchavam Cténari. [ Submatice. Zavéd'mé si pojém submaticé naslédující definicí. DefiniceA 2.6. (Submaticé) Necht A je matice typu (m,n) a necht, u = (ii,ip) je takový vektor, ze 1 < ii < i2 < • • • < ip < m. Dale necht, v = .. ,jr) je takový vektor, ze 1 < ji < j2 < • • • < jq < n. Potom matici, ktera vznikne z matice A vypustením YádkU s řádkovými indexy, ktere jsou složkami vektoru u a vypustením sloupcu matice A se sloupcovými indexy, ktere jsou složkami vektoru v, nazývame submaticé matice A a značíme ji A(UíV), resp. Auv. Tedy např.Aij značí submatici, ktera vznikne z matice A vypuštěním i-teho radku a j-tého sloupce. Příklad 2.16. Nécht A / 1 2 4 5 \ 5 7 2 -1 4 10 2 Potom vypusténím druhého radku a druhého a ctvrtého sloupcé maticé A dostanémé submatici B = A2,(2,4). Jé tédy B (4 0) Zavédémé si jésté toto oznacovaní Označení. Necht, A je matice typu (m, n). Potom A(i, :) bude značit její i—ty radek a symbol A(:,j) bude značit její j — ty sloupec. 34 Význam symbolů „= , := ." Symbol „ = " znamená, že leva strana, tj. vyraz nalevo od rovnítka, se rovna prave strane, tj. výrazu napravo od rovnítka. Napž. A 124 5 7 2 410 5 -1 2 značí, že A je matice, jejíž prvky jsou uvedeny napravo od , Naproti tomu symbol „ := "značí, že proměnné nalevo od tohoto symbolu se přiřadí hodnota výrazu napravo od tohoto symbolu. Napž. A := A + B (2.16) značí, ze výsledkem tohoto přiřazení bude matice A, kterí vznikne ze součtu matice A a matice B, před přiřazením. Upozornění. Vztah (2.16) není možno chapat jako rovnici, nelze tedy napřpřevíst matici A z praví strany na levou - vzniklo by 0 = B. V literatuře se vetžinou místo „ := " píše jenom „= " a rozlišení se ponechíví na kontextu.(V textu tomu bude rovnžž tak.) 2.4 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Čtvercová matice. Matici A typu (n, n) budeme nažyvat čtvercovou maticí čadu n. Místo ctvercova matice řadu n sta c íríkat matice radu n, pon evad ž o radu matice mluvíme jen u ctvercovíych matic. Napr. matice 123 A V 456 7 8 9 je ctvercovaí matice ríadu 3. Nulova matice. Matici typu (m,n) budeme nažyvat nulovou maticí typu (m,n), jestli ž e vsechny její prvky jsou rovny nule. Nulovou matici budeme žna cit 0. 35 Příklad 2.17. Matice o / 0 0 0 0 \ 0 0 0 0 y o o o o y je nulová matice typu (3, 4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Necht A je matice typu (m,n). Budeme říkat, ze její prvky aii,i = 1, 2,...,m leží na hlavní diagonále a její prvky aij, pro než je i + j = n + 1, i = 1, 2,... ,m, leží na vedlejší diagonále. Příklad 2.18. Nechť / 1 -2 3 1 \ V A = I 0 -3 8 5 -5 0 4 2 Potom prvky „ 1, -3, 4" leží na hlavní diagonale a prvky „ 1, 8, 0" leží na vedlejší diagonale. Řekneme, že Ctvercova matice E radu n je jednotková, jestliže všechny prvky na hlavní diagonale jsou rovny Císlu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li ždUražnit její rad n, ožnacíme ji En. Příklad 2.19. Matice 100 010 001 je jednotkova matice radu 3. Diagonální matice. Řekneme, že ctvercova matice A je diagonalní, jestliže všechny její nenulove prvky leží na hlavní diagonale. Příklad 2.20. Matice V J A 100 020 oo3 je diagonalní maticí. Horní trojúhelníková matice. Řekneme, žectverova matice Ařídu n je hornítrojuhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky pod hlavní diagonalou jsou rovny 0. Doln ítrojúheln ikova matice. Řekneme, že ctvercova matice A řadu n je dolní trojuhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad hlavní diagonalou jsou rovny 0. Horn í šchodovita matice. Necht: A je matice typu (m,n). Řekneme, že matice A je horní schodovita matice, jestliže existuje takove přirožene císlo h < n, že ke každemu radkovemu indexu i, i = 1, 2,... ,h, existuje nejmensí sloupcový index Si tak, že ai>Si = 0 a si < s2 < ... < sh a žbyvající radky h + 1,... ,m jsou nulove. 36 Příklad 2.21. Matice A /1234567\ 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 9 je horní schodovitou maticí. V tomto příklade je zrejme s1 = 1, s2 = 3, s3 = 7. Poznámka. Schodovitou matici mUZeme definovat ekvivalentne takto. Matice A typu (m,n) je horní schodovitá matice, jestliZe pro kaZde dva řádkove indexy p,q matice A platí: ■ Necht: p-ty radek matice A je nenulový a q-ty řídek matice A je nulovy, potom p < q. ■ Necht: p-ty a q-ty radek matice A jsou nenulove a necht: apSp je první nenulovy prvek matice A v p-tem radku a aqSq je první nenulovy prvek v q-tem radku matice A. JestliZe p < q, potom je sp < sq. ■ PonevadZ budeme mluvit jen o horních schodovitych maticích, muZeme slovo „horní" vynechavat. Pravidla přo počítaní s maticemi. Pro Zavedene operace s maticemi platí vZtahy uvedene v nísledující vete. Veta 2.7. (Pravidla přo počítaní s maticemi) Necht A, B, C, 0 jsou matice téhož typu, kde 0 je matice nulová, a necht: a, P e R. Potom platí A + B = (A + B) + C = A+0 A - A 1 • A a • (p • A) = (a + p) • A = a • (A + B) = B + A, A + (B + C), = A, = 0, = A, (a • P) • A, a • A + P • A, a - A + a - B. (2.17) (2.18) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) Důkaz: Provedeme pouZe dukaZ vZtahu (2.17). Ostatní vZtahy se dokaZují analogicky. Prvek v i-t^m radku a j-tem sloupci matice na leve strane vZtahu (2.17) je roven +bij a prvek v i-tem rídku a j-tem sloupci matice na prave strane vZtahu (2.17) je roven bij + aij pro vsechna i, j. Platí tedy (2.17). □ 37 Věta 2.8. (Pravidla pro počítání s maticemi) Necht typy matic A, B, C, 0 (nulová matice), E (jednotková čtvercová matice) jsou takové, že operace ve vztazích (2.25)—(2.30) mají vyznam. Potom platí 0 • A = 0, A • 0 = 0, (2.25) E • A = A, (2.26) A • E = A, (2.27) (A • B) • C = A • (B • C), (2.28) (A + B) • C = A • C + B • C, (2.29) C • (A + B) = C • A + C • B. (2.30) Poznámka. Jestliže pro matice A, B platí A • B = 0, nemusí bát žadna z matic A, B nulovou maticí. Napr. 'l0\/00\ / 0 0 í10) í0 0)=(° °) 0 0 3 2 0 0 2.5 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Uvazujme výrobu čtyř výrobků V\,V2,V3,V4. K jejich výrobě jsou potřebné suroviny Si,S2,S3. Jejich množství v kg potřebné při výrobé jednoho kilogramu každého z výrobku Vi,V2,V3,V4 je uvedeno v nasledující tabulce. Ve sloupci označenem písmenem Z jsou uvedena množství Z\,Z2,Z3 jednotlivých surovin Si,S2,S3, která se mají spotřebovat. Budeme se zabývat ulohou urcit množství jednotlivých výrobku V1,V2,V3,V4 v kg tak, abýchom zcela spotřebovali suroviný S1 ,S2,S3, jejichz mnozstvíjsou uvedena v tabulce ve sloupci Z. Vi V2 V3 V4 Z Si 0, 0 0, 4 0, 3 0, 6 5 0, 2 0, 2 0,1 0,1 2 S3 0,1 0, 2 0, 2 0,1 3 Oznacme postupne x1,x2,x3,x4 hledana mnozství v kg výrobku V1,V2,V3,V4. K jejich výrobe bý se potřebovalo 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 kg surovin S1, 0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4 38 kg surovin S2 a 0, 1 Xi + 0, 2 X2 + 0, 2 X3 + 0, 1 X4 kg surovin S3. Jestli se mají suroviny S1, S2, S3 plne spotřebovat, musí se výrobky V1, V2, V3, V4 vyrábět v množstvích x1,x2,x3,x4, ktera splňují tyto podmínky: 0, 4 x2 + 0, 3 x3 + 0, 6 x4 = 5 0, 2 xi + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4 = 2 0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4 = 3. (2.31) Každa ž techto podmínek představuje rovnici pro nežname veliCiny x1,x2,x3, x4. Každa ž nich je tvaru a,1 • x1 + a2 • x2 + ... + an • xn = b. (2.32) V rovnici (2.32) x1,x2 ,...,xn jsou nežníme a a1,a2,... ,an jsou (vetsinou) žnama Císla, nažyvame je koeficienty rovnice. Koeficient ai je koeficient u nežníme xi. Číslo b nažyvíme pravou stranou. Rovnici (2.32) nažyvame linearní algebraickou rovnicí o nežn a mych x1,...,xn. Ponevadž v line a rní algebře, kterou prob írame, pojednavame jenom o algebraickych rovnic ích, budeme už ívatžkra cen e ho pojmenova n line a rn í rovnice". Při řesen í uloh vetsinou se pracuje s v íce rovnicemi. Jestliže koeficienty v techto rovnic ích jsou obecn a c ísla, mužeme je odlisit od sebe tak, že v ž-te rovnici ožnac íme koeficient u x j např. aij. Potom system (místo system mužeme ríkat tež soustava) m line a rn ích algebraickych rovnic o n nežn am ych x1,x2,xn lže žapsat takto: a1 1x1 a2 1x1 + + a1 2x2 a2 2x2 + + + + a 1 nxn a 2 nxn am,1x1 + am,2x2 + + am,nxn b1 b2 (2.33) Zde aij, i = 1,... ,m, j = 1,... ,n, žnac í koeficient u nežní m e xj v ž—te rovnici, druhy index j ožnacuje složku nežn a m e ho vektoru x). Č íslo bi nažyvame pravou stranou i—t e rovnice. Ožnacme A matici A a1 1 a2 1 a1 2 a2 2 am 1 am 2 a1 n a2 n am n (2.34) 39 Nazývame ji maticí soustavy systému (2.33). Vektor x nazýváme vektorem neznámých a vektor í bl \ nazýváme vektorem pravých stran. Lehce nahlédneme, že sýstem lineárních algebraických rovnic (2.33) lze zapsat užitím tohoto označení jako _A • x = b_(2 35) Skutecne, matice A je týpu (m, n), x je týpu (n, 1), takZe A • x je matice týpu (m, 1). Rovnice (2.35) znamena, Ze kaZda sloZka vektoru A • x je rovna odpovídající sloZce vektoru b. Porovná n ím i-tých sloZek techto vektoru dostavame i-tou rovnici sýste mu (2.33). Matice, ktera vZnikne z matice A pridan ím vektoru b jako dalsího sloupce, se naZýva rozšírenou matici sýstemu rovnic (2.33). Znacíme ji (A|b). Je tedý (A\b) í a1,2 a2,1 a2,2 a1,n a2,n b1 \ b2 \^ am,1 am,2 ' ' ' am,n \ bm J Příklad 2.22. UvaZujme sýste m linea rn ích algebraických rovnic -12, x1 + 3x2 4x1 + 5x2 3X3 2x3 (2.36) OZnacme-li A matici soustavý tohoto sýste mu rovnic, b vektor pravých stran a x vektor neZn am ých tohoto sýst emu rovnic, je A (43 -2)b-(--6) x x1 x3 b 40 Matice rozšířená je rovna (aI&) Daný system rovnic lze tedy zapsat jako ( 13 -3 | -12 4 5 2 I -6 ) A - x = b. Zaved'me si nyn í pojem řešen í systé mu lineárn ích rovnic. Definice 2.2. Vektor 0x nazveme řešen ím syste mu line árn ích rovnic A • x = b, jestliZe A • 0x = b. (To jest, jestli vektor 0x vyhovuje rovnici A • x = b). Vralíme se k příkladu 2.22. Oznacme / 3 \ / 0\ x 4 1 2 2 3 1 Zřrejmře A • X = b, A • 2x = b, A • 3x 104 = b. Jsou tedy vektory X, 2x řesen ím uvaZovan e ho syste mu (2.36), avsak 3x nen í jehoresen ím. Lehce se presvedcíme, Ze vektor x= -6 + 2 • c V je řesen ím uvaZovan e ho syste mu rovnic (2.36) pro kaZd e realn e c. Příklad 2.23. UvaZujme syste m linea rn ích rovnic x\ — 2x2 = 3, 2#i — 4x2 = 5. (2.37) (2.38) 0 c 41 Tento syste m rovnic nem a resen í. Skutecne, predpokladejme, ze a,/3 jsou takova c ísla, ze x1 = a, x2 = P vyhovovuj í prvn í rovnici, tedy, ze platí a — 2 - p = 3- Potom by bylo 2 - a — 4 - p = 6 a ne 2 - a — 4 - f3 = 5, takze x1 = a, x2 = j3 nevyhovuje druh e rovnici. Poznámka. Pozdeji budeme řesit obecne ota zku, kdy syste m line í rn ích rovnic m a jedno resen í, kdy m a nekonecne mnoho řesen í a kdy nema vubec zadn e řesen í. 2.6 Zavedení pojmu inverzní matice V linea rn í algebre ma velky vyznam pojem inverzn í matice k dan e matici. Tento pojem si nyn í zavedeme nasleduj íc í definic í. Pozdeji si řekneme neco o existenci inverzn í matice k dan e matici a sezn a m íme se s radou vlastnost í inverzn ích matic a nauc íme se nal ezt k dan e matici matici inverzn í. Definice 2.3. (Inverzní matice) Matice B se nazyva inverzn í k matici A, jestlize B - A = A - B = E■ (2.39) Matici inverzn í k matici A budeme znacit A-1. Veta 2.9. (Vlastnosti inverzní matice) Necht, je dana matice A a necht, k ni existuje matice inverzní A-1. Potom platí a) Matice A a matice A-1 jsou čtvercové matice téhož řadu. b) Inverzní matice A-1 je jednoznacne uržena. c) K matici A-1 existuje matice inverzní a platí (A-1)-1 = A. d) Jestliže A, B jsou žtvercove matice tehož řadu n a jestli k nim existují matice inverzní A-1, B-1, potom k matici A - B existuje matice inverzní a platí (A - B)-1 = B-1 - A-1._ a) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem (2.39). b) Necht: B, C jsou inverzn í k A. Potom A - B = B - A = E, A - C = C - A = E ■ Odtud C = E - C = (B - A) - C = B - (A - C) = B - E = B■ Tedy B=C. c) Toto tvrzen í je bezprostredn ím dusledkem definice inverzn í matice. 42 d) Podle vet 2.7, 2.8 platí (B-1A-1) • (AB) = B1 (A-1A)B. Ponevadz A-1 A = E, dostavame odtud (B-1A-1) • (AB) = B-1 • E • B = B-1 B = E. Podobnře dok ařzeme, řze (AB) • (B-1A-1) = E. Je tedy B-1 A-1 inverzní maticí k matici AB. □ Uved'me si zde vetu o řesitelnosti a jednoznacnosti resení systemu linearních rovnic, za predpokladu, ze k matici soustavy existuje matice inverzn í. Veta 2.10. (Resení systému A • x = b pomoci inverzní matice A-1). Necht A • x = b (2.40) je system n linearních rovnic o n neznamých, kde A je žtvercova matice soustavy ľadu n a b je vektor pravých stran typu (n, 1). Necht k matici A existuje matice inverzní A-1. Potom system rovnic (2.40) má pravě jedno ěeěení x, ktere lze urěit vztahem _x = A-1 • b._(2.41) DUkaz: Jakjiz bylo dríve doká z a no, inverzn í matice A je urcena jednoznacne. Vyn a sob íme-li (2.40) maticí A-1 zleva, dostavame A-1 • (A • x) = A-1 • b (2.42) Vzhledem k vete 2.8 platí (A-1 • A) • x = A-1 • b. Ponevadz (A-1 • A) = E a E • x = x, dostava me odtud (2.41). Dokazme jestejednoznacnost řesen í. Predpokladejme, ze existuj í dve resen í 1x,2 x syste mu (2.40). Potom A • 1x = b, A • 2x = b. Odecten ím techto vztahu dostavame A • (1x - 2x) = 0. Vyn asoben ím tohoto vztahu maticí A-1 zleva dostavame 1x - 2x = 0, takřze 1x = 2x. 43 Má tedy systém A ■ x = b právě jedno řešení. □ Poznámka. Problematiku ják urcit mátici inverzní k dáné mátici, budeme reSit pozdéji. Příklad 2.24. Náleznete reSení systemu lineárních rovnic A ■ x = b, jestliZe /1 5 2\ Í26\ A= 3 4 1 , b = 39 1° 1 4 l787 á znáte-li k mátici A mátici inverzní 5 13 6 13 1 13 \ A"1 = 4 13 4 39 5 39 1 13 1 39 11 39 / (2.43) Řešení. Podle predch á zej íc í vety má dány syste m prá ve jedno řesen í á to 39 78 / 5 13 6 13 1 13 \ x = 4 4 5 13 39 39 1 1 11 / 13 39 39 Vypoctem dostáváme x= 14 - 6 21 2.7 Ukázka formulace úlohy lineárního programování. (Ulohu nebudeme resit!!)V teto kápitole popsány ápárát máticoveho poctu pouzijeme nyn í k mátemáticke formuláci následuj ící ulohy, která pátrí do uloh linea rn ího pro-grámová n í. Tyto ulohy jsou velice vyznámnou áplikác í line á rn íálgebry. Ulohy tohoto typu se res í vetsinou pomoc í poc ítácu á k jejich řesen í jsou vyprácovány speci áln í prográmy. My se nebudeme zde zábyvát otázkou ják se řesí, ále jenom otázkou, ják se d á ulohá mátemáticky formulovát á ják se pripráví dátá pro vstupn í hodnoty techto prográmu. Příklad 2.25. Čokol á dovná vyráb í 5 druhu výrobku. Jsou to výrobky, ktere oznácíme V]_, V2, V3, V4, V5. K vyrobe potrebujeme suroviny tuk, kákáo á cukr. Tyto suroviny jsou k 44 dispozici v omezených množstv ich, v uvedn é m pořad i 1500kg, 300kg, 450kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1kg výrobku je dana tabulkou 2.1 na strane 23. Odbýtove cený jednotlivých výrobku v uvedn e m pořad i jsou 20 KC, 120 KC, 100 KC, 140 Kc, 40 Kc. Ukolem je stanovit takový denn í výrobn í pl a n, abý hodnota výrobý býla maximain i. Výrobký jsou výrabený technologický nezavisle na sobe navz ajem. Výroba se tedý uskutecřuje ve forme peti výrobn ích procesu, ktere vsak nejsou navz ajem zcela izolovan e , nebot spolecne spotrebova vaj i výrobn i zdroje, jeden proces na ukor druh e ho. Matematická formulace úlohy. Pro ucelý matematicke formulace zaved'me 5 nez a visle promenných: x j necht: oznacuje mnozstv i výrobku Vj v kg, jez bude výrá beno za den, kde j = 1, 2, 3, 4, 5. Hledame tedý hodnotý Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, výhovuj ic i nerovnostem 0,4x2 + 0,3x3 + 0,6x4 + 0,6x5 < 1500 0,05xi + 0,2x2 + 0,1x3 + 0,1x4 < 300 (2.44) 0,10x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,1x4 + 0,2x5 < 450 V ime, ze pri výrobe xj výrobku Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5, bude odbýtova cena výrobý rovna z = 20xi + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (2.45) Nasi ulohu muzeme tedý formulovat takto : Naleznete takova nezaporn a c isla xj, j = 1, 2, 3, 4, 5, ktera výhovuj i nerovnostem (2.44) a pro nez funkce (2.45) nabýva sve ho maxima. Tato uloha je tedý popsana matici A, vektorem m mnozstvi surovin a vektorem b odbýtových cen výrobku a vektorem x poctu výrobku A 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 0, 05 0,2 0,1 0,1 0,0 0, 10 0, 2 0,2 0, 1 0, 2 x Potom (2.44) lze zapsat jako jako a funkce (2.45) lze zapsat jako m xi x2 x3 x4 x5 Ax < m z = b ■ x. 1500 300 450 20 120 100 140 40 (2.46) (2.47) Nasi ulohu muzeme výslovit takto: Naleznete vektor x > 0 výhovuj ic i (2.46), který minimalizuje funkci (2.47). 45 Matice A, vektory m, b a pozadavek, ze vektor xT = (X1,X2,X3,X4,X5) > 0, jsou vstupn ími udaji programu, kterym se vypocet realizuje. Dostavame X1 = 0, X2 = 0, X3 = 1000, X4 = 2000, X5 = 0. 46 Kapitola 3 Lineární prostor 3.1 Aritmetický vektorový prostor. V minulé kapitole jsme si zavedli pojem sloupcového a řádkového vektoru jako zvláštní případ matic - toti Z sloupcový vektor jako matici typu (n, 1) a řadkový vektor jako matici typu (1,n). Tedy vektory muZeme chapat jako prvky mnoZiny Rn, tj. mnoZiny uspořádaných n—tic reálnych císel, kde n E N. Zna címe je malymi, tu cn e vytiste nymi písmeny. Číslo na i—te pozici vektoru a nazyvame jeho i—tou sloZ kou a vets inou ozna covat jako (v Nebude-li nic re ceno, budeme predpokladat, Z e se jedna o sloupcove vektory. O jake vektory se jedna, bude casto vid et ze zapisu, ani Z bychom zduraznovali, Z e se jedna o sloupcove, resp o cadkove vektory. Pripomenme si, Ze je-li a sloupcovy vektor, potom aT je řídkovy vektor se stejnymi sloZ kami. Pripomenme si, Ze sou cet dvou vektoru zna c íme symbolem „ + " a nísobení reílnymi c ísly te c kou „• kterou, nemu Z e-li dojít k omylu, lze vynechat. Tedy např., jestliZe a \ On / \bnj potom jejich sou ctem a + b je c E Rn, pro n eZ platí f ai + b\ ^ c = a + b = . , \On + bn J a je-li a E R, potom sou cinem a.a rozumíme d E Rn, pro n eZ platí ( a.a1 ^ d = a.a = . , a.an b 47 Množinu W1 společně s těmito operacemi „ +, . " budeme značit Vn a nazývat aritmetickým vektorovým prostorem. Vektorový podprostor Necht; P c Wn a necht: platí: jestliže a, b g P a a g R, potom i a + b g P, a.a g P. Budeme ríkat, že na P je definován aritmetický podprostor prostoru Vn. Budeme jej žnaCit P. Často budeme o nem mluvit proste jako o vektorovem prostoru. Označení. Místo a g P lže psat a g P. Místo a + (—b) lže psat a — b. 3.2 Lineární nezávislost vektoru Uvažujme system linearních algebraických rovnic a,itixi + ... + ainXn = bi, i = l,...,m, (3.1) v nemž x1,... ,xn jsou nežname a aij, bi,i =1, 2,... ,m, j = 1, 2, ,n. jsou daná císla. Pri jeho analýže je žapotčebí žjistovat, žda ■ nektera ž rovnic systemu není v rožporu s jinými rovnicemi tohoto systemu ■ žda každa ž rovnic daví nove požadavky na hledane nežname x\,... ,xn, ■ žda podmínky na nežname rovnici vyjadčeny jednotlivymi rovnicemi, je nebo není již obsažen v jinych rovnicích systemu. Pri techto uvahach je vhodne k i—te rovnici tohoto systemu (3.1) pččadit vektor (ai,i.. ,ai,n,bi); i =1, 2,...,m. Soucet dvou rovnic pak mužeme realižovat pomocí souctu vektoru, ktere jsou k temto rovnicím přiraženy. Podobne nasobení rovnice císlem mužeme realižovat pomocí nasobení vektoru, pčičaženemu k teto rovnici, tímto císlem. K resení nahore uvedeneho problemu použijeme dale žavadene pojmy: linearní kombinace vektoru (rovnic), linearn í než a vislost a line arn í žavislost vektoru (rovnic). S temito pojmy se setkame i v jin ych uvah ach. Definice 3.1. Necht: X,..., nx jsou vektory ž vektorove ho prostoru P a c1,... ,cn jsou realna c ísla. Potom vektor x = c11x + ... + cnnx nažveme lineární kombinací vektorU lx,..., nx. Příklad 3.1. Necht! 1x =(2, 3, —1), 2x = (5, 2, 6), 3x = (9, 8, 4) 48 jsou vektory z prostoru V3. Ponevádz 2 ■ (2, 3, -1) + (5, 2, 6) = (4, 6, -2) + (5, 2, 6) = (9, 8, 4), tj. 21x + 2x = 3x, je vektor 3x line í rn í kombinác í vektoru 1x, 2x. Definice 3.2. (Lineami nezávislost a závislost vektoru) Necht \x,...,nx jsou vektory z vektorove m prostoru P. Řekneme, ze tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestlize c11x + ... + cnnx = 0 c1 = c2 = ... = cn = 0. (3.2) Jestlize vektory 1x,..., nx nejsou line á rne nez á visl e , jsou lineárně závisle. Poznamka. Z náhoře uveden e definice vyplyvá, ze vektory 1x,...,nx z vektorove m prostoru P jsou lineá rne zívisl e, kdyz á jenom kdyz existuj í táková císlá c1,c2,... ,cn, z nichz álespon jedno je ruzn e od 0, ze c11x + ... + cn'"x = 0. Příklad 3.2. Ukázme, ze vektory 1x = (1,4, -4), 2x = (1,2,0), 3x = (1,5, -2) z prostoru V3 jsou lineá rne nezávisl e. Skutecne, ze vztáhu c1 ■ 1x + c2 ■ 2x + c3 ■ 3x = 0 dost áváme c1 ■ (1, 4, -4) + c2 ■ (1, 2, 0) + c3 ■ (1, 5, -2) = (0, 0, 0), to jest (c1 + c2 + c3, 4c1 + 2c2 + 5c3, -4c1 + 0c2 - 2c3) = (0, 0, 0). Aby rovnost mezi temito vektory plátilá, musí koeficienty c1,c2,c3 vyhovovát syste mu lineárn ích rovnic c1 + c2 + c3 = 0, (3.3) 4c1 + 2c2 + 5c3 = 0, (3.4) -4c1 + 0c2 - 2c3 = 0. (3.5) Ják se lehce presvedc íme, m á syste m rovnic (3.3)—(3.5) jedin e řesen í c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy dán e vektory line árnře nezávisl e. Poznamka. á) Vektor 0 je lineárne závislý, nebol: a0 = 0 pro kázde a e R. b) Vektory x,..., "x, n > 1, jsou lineárne závisle, kdyz á jenom kdyz álespon jeden z nich lze vyjádřit jáko lineární kombináci ostátnách z nich. (Dokážte!) 49 Příklad 3.3. UkaZme, Ze vektory (1, 2, 3), (-1, 2, 0), (1, 6, 6) jsou linea rne Zavisl e. Lehce nahledneme, Ze 2 • (1, 2, 3) + (-1, 2, 0) = (1, 6, 6). Vektor (1, 6, 6) jsme vyjádřili jako line árn í kombinaci zbývaj íc ích dvou vektorů, jsou tedy Zaved'me si nyn í pojem hodnosti skupiny X vektoru z prostoru Vn. Definice 3.3. (Hodnost matice.) Necht: X je skupina vekoru z prostoru P. Maxim a ln í pocet linea rne nezavislych vektoru teto skupiny budeme nazyvat jej í hodností. Budeme ji Znacit h(X). Poznámka. Pojem hodnosti matice pouZijeme k resen í probl e mu „ Ma dan y syste m line arn ích rovnic řesen í ?. Ma-li resen í, kolik je techto řesen í?" Poznamka. Necht A je matice typu (m, n). Na matici A se mUžeme dívat jako na usporadanou m-tici radkových vektorU z vektorového prostoru Vn, resp. jako na uspořádanou n-tici sloupcových vektoru z vektoroveho prostoru Vm. Aplikovan ím definice hodnosti na řadky matice dostavame radkovou hodnost matice a aplikoví n ím definice hodnosti na sloupce matice dostava me sloupcovou hodnost matice. Později ukážeme, že pro každou matici je sloupcova hodnost rovna její radkove hodnosti. Pokud to ne-dokí Zeme a vyslovne neřekneme o jakou hodnost se jedn a , budeme m ít na mysli ra dkovou hodnost. Příklad 3.4. Urcete ra dkovou hodnost matice line arnře Z avisl e. 1 2 3 4 A 5 6 7 8 y 6 8 10 12 J OZnacme X, X, 3x postupne prvn í, druhy a třet í ra dek matice A. Tedy 1x = ( 1 2 3 4 ) , 2x = ( 5 6 7 8 ) , 3x = ( 6 8 10 12 ) . (3.6) (3.7) (3.8) Zřejme vektor 3x je linearne z a visly na vektorech X, X, nebol: 3x = X + 2x 50 a vektory X, X jsou lineárně nezávislé. Skutečně, kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, byl by jeden z ničh násobkem druheho. To znamená, existovalo by takove č íslo a, Z e by X = alx to jest, platilo by ( 5 6 7 8 ) = a ( 1 2 3 4 ) . Takove číslo a vsak evidentn e neexistuje. Vektory X, 2x jsou tedy lineárn e nezavisle. Tedy mezi vektory X, X, X jsou práve dva lineárn e nezávisle vektory. Radkova hodnost matiče A je tedy rovna 2. Definice 3.4. (Regulární matice) Nechť čtvercová matice A řádu n má hodnost n. Potom ji nazýváme regulární maticí. Úkol. Doka zte si, z e horná sčhodovita matiče ma řádkovou hodnost rovnu po čtu jejičh nenulových radku. Poznámka. Zjistovat hodnost matiče přámo z definiče je obtáz ne. Hodnost matiče budeme hledat pozd eji jejám převodem na horná sčhodovitou matiči o stejne hodnosti pomočá elementárnáčh transformačá, o kteryčh ted' pojedname. 3.3 Elementární transformace 1. Nečht matiče A je typu (m,n) a a je libovolne realna čásla, i E N, 1 < i < m. Nečht matiče B je matiče, jejáz i-ty radek je roven a nasobku i-teho řadku matiče A a ostatná radky matiče B jsou stejne jako v matiče A. Potom rekneme, ze matiče B vznikla z matiče A transformačá Tl(i,a). Páseme pak B = Tl(i,a)A, resp. {tí = a.rí}A = B. Príklad. Nečht 1234 A = 5 6 7 8 (3.9) y 9 10 11 12 y Ozna č me B matiči, která vznikne z matiče A tak, z e jej á druhy radek vynasobáme č ásle, „ — 3" a ostatná radky ponečháme beze zm e ny. Dostaneme 1234 B T 1(2, — 3)A —15 —18 —21 —24 9 10 11 12 51 Tuto transformaci lze zapsat tez takto [r-2 = —3s2]A = B ■ Necht: matice A je typu (m,n) a a,P = 0 jsou libovolna re a ln a c ísla, i, j jsou prirozen a císla 1 < i, j < m, i = j Oznacme B tu matici typu (m,n), jej íz j—ty ra dek je roven souctu a-nasobku i-te ho řadku matice A a P-nasobku j-teho ra dku matice A a ostatn ířadky jsou stejn e jako u matice A. Potom rekneme, ze matice B vznikla z matice A transformac í t2(i,a; j,P)^ P íseme pak B = t2(i,a; j,p )A, resp. B = {rj = ari + p.rj }A. Príklad.Necht 1234 A V 6 7 10 11 8 12 (3.10) Oznacme B matici, kterí vznikne z matice A tak, ze řadek „2", vynasobeny císlem,-4u připocítame k radku c. „3" vynísobenemu císlem „5" a ostatní řadky matice B jsou stejn e jako v matici A. Tedy matice B je matice, kter a vznikne transformací T2(2, —4; 3, 5)A. Dostavame B = t2(2, —4; 3,5)A 1234 5678 25 26 27 38 Tuto transformaci lze zapsat t eřz takto B = {r3 = 4 r2 + 5 r3}A 3 . Necht: matice A je typu (m, n) a i, j jsou prirozena císla 1 < i, j < m, i = j Oznařcme B tu matici typu (m, n), kter a vznikne z matice A, vzajemnou v ymřenou jejího i-teho řadku s j-tym radkem. Potom řekneme, ze matice B vznikla z matice A transformací T3(i; j)A^ Píseme pak B = T3(i; j)A, resp. B = {ri o rj Príklad.Necht: A 1234 5 6 7 8 9 10 11 12 (3.11) 2 52 Oznacme B matici, kter a vznikne z matice A tak, ze ra dek „2" matice A vymen íme s řadkem c. „3" matice A a ostatn írí dky matice B m a stejn e jako v matice A . Potom rekneme, ze matice B, vznikne z matice A transformací T3(2; 3)A. Tedy B = T3(2; 3)A 1234 9 10 11 12 5 6 7 8 Tuto transformaci lze zapsat t eřz takto B = {r2 o r 3}A. 3.4 Transformace matice na matici schodovitého tvaru Uka zeme si nyn í transformaci matice A elementa rn ími transformacemi na horn í schodovitou matici B. Tuto transformaci vyuřzijeme • pri zjistovan í hodnosti matice • na analyzu resitelnsti syste mu linearn ích rovnic a odvozen í eliminacn í metody na resen í syste mu line a rn ích rovnic • na vypocet hodnoty determinantu. Ve vykladu pouz íva me oznacen í: A ... promenna pro matici. Na zací tku jej í prirazena matice, kterou mame transformovat na horn í schodovitou matici. V jednotlivych kroc ích bude tato matice transformovana sama na sebe. m... pocet řadku matice A n... pocet sloupcu matice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme prova det n a sledující ukony. 53 ZAČÁTEK i = 1 Bod 1. Budeme výtvířet i-tý řadek hledane matice schodoviteho tvaru. Bod 2. K císlu i urcíme nejmensí poradove císlo sloupce matice A, v jehoz rídcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulový prvek. Toto poradove císlo sloupce oznacme Si. Bod 3. Zvolme p e {i,... ,m}, pro nez je aPSi = 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno z nich).Zvolený p-tý radek matice A nazveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, výmeníme navzajem p-tý a i-tý radek matice A. Výmenu techto dvou radku provedeme transformaci A := T3(i,p)A Po teto výmene je i-tý rídek hlavním řadkem. Je-li p = i, je jiz i-tý řadek hlavním radkem. Výmena radku se tedý neprovadí. Bod 5. Provedeme nýnítakove elementarní transformace, abý po jejich realizaci býlý prvký ai+1>Si,..., am>Si rovný 0. Toho dosíhneme napr. elementární transformací a) A := T2(i, —ajtSi; j,aisSi)A pro tý indexý j = i + 1,... ,m pro nez ajsSi = 0, nebo transformací b) A := T2(i, ai,si ; j, 1)A pro tý indexý j = i + 1,... ,m pro nez ajSS. = 0, Bod 6. Jestlize matice A není jeste ve schodovitem tvaru, polozme i = i + 1 a přejdeme zpet na Bod 1. Je-li A jiz schodoviteho tvaru, je výpocet ukoncen. Príklad 3.5. Matici 01323 02641 00012 01324 transformujte na horní schodovitou matici uzitím elementárních transformací. ŘeSení. Polozme / 0 1 3 2 3 \ 02641 00012 01324 A V nasem prípade je m = 4, n 5. V n a sleduj íc ím popisu výpoctove ho postupu bude oznacen í Bod .. ,Bod 6-i znamenat ukoný Bod 1, . . . , Bod 6 pro dan e i. 54 ZAČÁTEK i=1 Bod 1-1 Budeme výtvířet i-tý (první) radek hledane schodovite matice. Bod 2-1 K císlu i (to jest k císlu i = 1) urcíme nejmen sí pořadove císlo sloupce, v jehoz radcích i,... ,m (to jest v jeho z řadcích 1, 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Poloz íme tedý si = 2 (tj. s1 = 2). Bod 3-1 Zvolíme hlavní řadek. V s—tem sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulove prvký v řídcích 1, 2,4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadove c íslo ozna c íme p. Rozhodneme se pro řídek p =1, který zvolíme jako hlavní. Bod 4-1 Pon evadz jsme zvolili za hlavní řadek p-tý radek, kde p = i, neprovadíme vým e nu p-tíeho raídku s i-tíým ríadkem. Bod 5-1 Provedeme nýnítakove elementarní tranformace matice A, abý po jejich realizaci býlý v si-tem sloupci (to jest ve druhem sloupci) v radcích i + 1,... ,m (to jest v radcích 2, 3, 4) nulove prvký. (Prvký a2}2, a3}2, a4)2 eliminujeme). Toho dosahneme napr . elementarními transformacemi A = T2(i, —aj,Si ; j, )A, pro j = i + 1,...,m, je-li = 0. Pon evadz i =1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementárními transformacemi A = t2(1, —aj,2 ; j,a1 , 2)A, pro j = 2, 3,4. Toznamena, z e prvek aj22 pro ka z de j e {2,3,4} eliminujeme tak, z e hlavní radek (to jest první řídek) výnísobíme císlem (—aj2) a pri cteme jej k j-temu radku výnasobeneho císlem a1,2. • Poloz me j = i + 1 (tedý pro j = 2) dostívíme A = t2(1, — a2,2, 2,a1 , 2)A. Po tíeto transformaci je druhíý ríadek matice A roven — 2 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 — 5) a ostatní radký matice A se nem e ní. • Poloz me j = j + 1. Je tedý j = 3. Pon evad z ajSSi = 0, (to jest a3 22 = 0), eliminaci není třeba provad et a prejdeme k dalsímu radku. • Poloz me j = j + 1. Je tedý j = 4. Pon evadz ajSSi = 1=0, (to jest a4 22 = 0,) provedeme elementarní transformaci A = t 2(1, — a4,2;4,a1, 2) A. Po tíeto transformaci je ctvrtíý ríadek matice A roven —1 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). 55 Ostatní řádky matice A se nem e ní. Je tedy A ( 0 1 3 2 3 \ 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 Bod 6-1 Ponevadz obdržená matice A jeSte není horní schodovitou maticí, položíme i = i + 1 a p rejdeme na bod Bod 1. Bod 1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. Bod 2-2 K Číslu i (to jest k Číslu i = 2) urCíme nejmenSí pořadove Číslo si (to jest s2) sloupce, v jehož řadcích i,... ,m (to jest v jehož řídcích 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to ctvrtý sloupec. Polo ž íme tedy si = 4 (s2 = 4). Bod 3-2 Zvolíme hlavní řadek. V si-tem sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řídcích 2, 3, 4 nenulový prvek jen v radku 3. Jeho pořadove c íslo ožna c íme p. Tento radek žvolíme ža hlavní řadek. Je tedy p = 3. Bod 4-2 Pon evadž jsme žvolili ža hlavní radek radek p, kde p = i, provedeme v matici A vým e nu radku p s radkem i. (Tedy vým e nu druheho a tretího radku.) Dostavíme tak matici 0 1 3 2 3 A 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 Bod 5-2 Provedeme nynítakove elementírní transformace matice A, aby po jejich realižaci byly v si-tem sloupci (to jest ve ctvrtem sloupci) v radcích i + 1,... ,m (to jest v radcích 3, 4) nulove prvky. (Prvky a3í4,a4í4 eliminujeme.) Avsak v tomto případ e jsou prvky a3)4,a4)4 rovny 0, takž e eliminaci není třeba províd et. Je tedy vysledna matice v tomto kroku A 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 Bod 6-2 Obdrž ena matice A je st e není horní schodovitou maticí, proto polož íme i = i + 1 a p rejdeme na bod Bod 1. 56 Bod 1-3 Je tedy i = 3. To znamená, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. B2-3 K Číslu i (to jest k Číslu i = 3) urCíme nejmen Sí pořadove Číslo si (to jest s3), v jehož řádcích i,... ,m (to jest v jehož řádcích 3, 4) je nenulový prvek. Je to páty sloupec. Polož me tedy si = 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tem sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou nenulove prvky v řádcích 3, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadove císlo ozna címe p. Rozhodneme se pro řídek p = 4, ktery zvolíme jako hlavní. B4-3 Pon evadz jsme zvolili za hlavní rádek p-ty řádek, kde p = i, provádíme vym e nu rádku p s řídkem i. Po teto vym e n e je A f 0 1 3 2 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 V 0 0 0 0 -5 / B5-3 Provedeme nynítakove elementární transformace matice A, aby po jejich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest v pátem sloupci) v rádcích ... ,m (to jest v rádku 4) nulove prvky. (Prvek x4>5 eliminujeme.) Toho lze dosáhnout napr . elementární transformací A = t2(3, -«4,5; 4, «3,5) A. touto trnsformcí bude ctvrty rádek roven 5 • (0 0 0 0 1) + 1 • (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0). Je tedy A 01323 00012 00001 00000 Bod 6-3 Pon evadz obdrzená matice je ji z horní schodovitou maticí, je transformace dane matice na horní schodovitou matici ji z ukon cen. Pon evad z obdrzená schodovitá matice má celkem tři nenulove rádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadane matice rovna 3. Tedy h(A) = 3. Příklad 3.6. Urcete hodnost skupiny vektoru la =(10 - 12), 2a =(012 - 1), 3a =(013 - 6). 57 Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice / 1 0 -1 2\ A 0 1 2 -1 0 1 3-6 J Tuto hodnost hledejme transformací matice A elementárními ransformacemi na horní schodovitou matici postupem popsaným na str. ??. PoloZme i = f Bod 1-1 Budeme výtvířet i-tý řadek (1. řádek) schodovite matice. Bod 2-1 K císlu i =1 urcíme nejmensí pořadove císlo sloupce matice A, v jehoZ řadcích 1, 2, 3 je alespon jeden prvek ruzný od 0. Je to v prvním sloupci. Pokladame tedý si = 1. Bod 3-1 Hledáme nýní rídek matice A, v jehoZ sloupci s pořadovým císlem s1 = 1 je nenulový prvek. To jest, hledame p E {1, 2, 3}, pro neZ je aps1 = 0. Je to pro p =1. PoloZme tedý p =1. Řádek p =1 volíme za hlavní. Bod 4-1 PonevadZ p = i, neprovadíme výmenu p-teho a i-teho radku. První radek je hlavním. Bod 5-1 PonevadZ vsechný prvký v prvním sloupci pocínaje druhým radkem, jsou nulove (tj. prvký = 0 pro j = 2, 3), přejdeme k B6-1. Bod 6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto poloZíme 7~= i +11 a jdeme Zpet k bodu B1. Bod 1-2 Je tedý i = 2. Budeme výtvíařret 2. řríadek schodovitíe matice. Bod 2-2 K císlu i (tj. k císlu i = 2) urcíme nejmensí poradove císlo sloupce Si (to jest s2), v jehoZ radcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. PoloZíme tedý s2 = 2. Bod 3-2 Zvolíme hlavní řídek. Ve sloupci s pořadovým císlem s2 (tj. ve druhem sloupci) hledíme index j, j > i, tak, abý ajS2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. ŘoZhodneme se pro j = 2. PoloZíme p =2. Bude tedý p-tý radek hlavním rídkem. Bod 4-2 PonevadZ jsme Zvolili Za hlavnírídek p-tý radek, kde p = i, neprovadíme vZajemnou vým e nu p-teho a i-teho radku. Je tedý i-tý řídek hlavním řadkem. Bod 5-2 Provedeme nýnítakove elementarní transformace, abý po jejich realiZaci býlý v si-tem sloupci (ve druhem sloupci) v radcích i + 1,... ,m (to jest v řadku 3) nulove prvký. Toho dosahneme např. elementarní transformací A = t2(2, -a3^2;3,a2 ,2)A. Výpoctem dostavame tretí řadek vektoru A -1(0 12 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (0 0 1 - 5). 58 Celkem dostáváme A ( 1 0 -1 2 \ 0 1 2 -1 0 0 1-5 Bod 6-2 Dosázená mátice A je horní schodovitá mátice. Ponevádz má tři nenulové řádky, je její hodnost rovná 3, je tedy h(A) = 3. Dáne vektory la, 2a, 3a jsou lineárne nezávisle. Příklad 3.7. UrCete hodnost mátice X 00123 0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 V 0 0 2 4 6 / Řešení. V tomto příkláde náznácíme pouze výsledky jednotlivých Upráv bez komentáre. / 0 2 2 4 3 \ 00123 02489 X 02243 00123 00246 00246 02243 00123 00000 00000 00246 Má tedy mátice X hodnost 2. Transformace matice A = (bIc) na matici (.eIx). Necht B je ctvercová regulární mátice řádu n á C je mátice typu (n, m). Popisme álgoritmus tránsformáce teto mátice elementárními tránsformáce ná mátici tváru (.eIx). Ve vykládu pouz ívá me oznácen í: A ... promenná pro mátici. Ná záca tku jej í prirázená mátice, kterou máme tránsformo-vát ná pozádovány tvár. V jednotlivych kroc ích bude táto mátice tránsformováná sámá ná sebe. m... pocet řádku mátice A n... pocet sloupcu mátice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme prová det n ásleduj ící ukony. 59 ZAČÁTEK i=1 Bod 1. Budeme vytvářet i-ty řádek hledáne mátice. Bod 2. K císlu i urcíme nejmensí porádove císlo sloupce mátice A, v jehoz rídcích i, i + 1,... ,n je álespon jeden nenulovy prvek. Toto porádove císlo sloupce oznácme si. Bod 3. Zvolme p E {i,... ,n}, pro nez je apSi = 0. (je-li tákovych p více, zvolíme jedno z nich).Zvoleny p-ty rádek mátice A názveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme návzájem p-ty á i-ty rádek metice A. Vymenu techto dvou rádku provedeme tránsformáci A := T3(i,p)A Po teto vym e n e je i-ty rídek hlávním řídkem. Je-li p = i, je ji z i-ty řádek hlávním rádkem. Vym e ná rádku se tedy neprovádí. Bod 5. Provedeme nynítákove elementární tránsformáce, áby po jejich reálizáci byly prvky ajSi,j = 1,... ,n, j = i rovny 0. Toho dosáhneme nápr. elementárními trásfor-mácemi a) A := T2(i, -ajySi; j, )A pro ty indexy j = 1,...,n,j = i pro nez ajySi = 0, nebo tránsformácí b) A := T2(i, cl]'Si ; j, 1)A pro ty indexy j = 1,... ,n,j = i, pro nez ajSi = 0, Bod 6. Jestlize i < n polozme i := i + 1 á jdeme zpet k Bod 1. V opácnem přípáde jdeme k bodu (Bod 7). Bod 7 Provedeme tyto tránsformáce A := T1(i, —),i = 1,... ,n ai,i Tím je A hledánou máticí. 60 Kapitola 4 Metody resení systemu linearních algebraických rovnic 4.1 Resení nekterích typU systemU linearních rovnic Uloha. ReSení systemu n linearních rovnic o n neznamych s regularní horní trojéhelnikovou maticí soustavy Resme system rovnic Cx = d, (4.1) kde C je horní regularní trojuhelníkoví matice řadu n, d je n—rozmerny sloupcovy vektor a x je n—rozmerny sloupcovy vektor nezn a mych. Tento syste m rovnic lze tedy zapsat jako / C1,1 C1,2 0 C2,2 0 0 0 0 0 0 c1,n-1 c2,n-1 C1,n \ C2,n cn-1,n-1 cn-1,n 0 cn,n ) x1 x2 xn- 1 xn ( d1 \ dn-1 (4.2) Rozepsan ím tohoto syste mu dostaví me 61 c1,1x1 + c1,2x2 + . . . + c1,n—1xn—1 + c1,nXn = d1 c2,2x2 + . . . + c2,n-1xn-1 + c2,nXn = d2 . . ... . . (4.3) cn—1,n—1xn—1 + cn—1,nxn dn—1 cn,nxn dn Ponevádz dle předpokládu je mátice C regul á rn í, jsou jej í prvky ná hlávn í diágon á le mzn e od nuly. Tento syste m rovnic lze resit metodou, zvánou metoda zpětné substituce. Z posledn í rovnice vypocítá me xn. Dostáváme xn dn/cn,n. (4.4) Dosád íme-li do predposledn í rovnice zá xn vypocítánou hodnotu (4.4), dostáváme cn—1,n—1 ^ xn—1 + cn—1,n ^ dnlcn,n dn—1. (4.5) Odtud xn— 1 1/cn— 1,n— 1 ^ (dn—1 cn—1,n ^ dn/cn,n). (4.6) Kdyz jsme jiz vypoc ítáli xn,xn—1, dosád íme tyto hodnoty do (n - 2)-te rovnice á vypoc ítáme xn—2. T ímto zpusobem dále pokrácujeme. Kdyz jsme jiz vypoc ítáli xn, xn—1,... ,x2, dosád íme tyto hodnoty do prvn í rovnice á vypoc ítáme zbyváj íc í hodnotu x1. Př íklad 4.1. Náleznete resen í syste mu line á rn ích rovnic (jehoz mátice soustávy je horn í regulárn ítrojuheln íkoví mátice). 2x1 + 3x2 + x3 = 11 x2 + 2x3 = 9 (4.7) 2x3 = 8. Z posledn í rovnice vypoc ítáme x3. Dostá váme x3 = 4. Dosázen ím teto hodnoty do druh e rovnice dostá v áme x2 + 8 = 9. Odtud dostá váme x2 = 1. Dosád'me zá x2,x3 tyto vypoc ítá n e hodnoty do prvn í rovnice syst emu. Dostáv áme 2x1 + 3 + 4 = 11. Odtud dost áváme x1 = 2. Resen ím zádán e ho syste mu rovnic (4.7) jsme tedy obdrzeli x1 = 2, x2 = 1 , x3 = 4. 62 Uloha. Řešení systému lineárních rovnic s regulárni diagonální matici soustavy. Re sme systíem rovnic Cx = d, kde C je regulární diagonílní matice. Rozepsíním lze tento system zapsat takto c2,2%2 = ^2 . (4.8) cn—1,n—1xn—1 dn—1 cn,nxn dn. Resením tohoto systemu rovnic je zrejme vektor x = C —1d, to jest Příklad 4.2. Naleznete řesení systemu rovnic s diagonální matici soustavy 2x1 = 6, 3 X2 = 1, -2 X3 = 5. Řesení. Z první rovnice vypocítíme x1. Dostavíme x1 = 3. Z druhe rovnice vypocítíme x2. Dostíváme x2 = 1|3. Z tretí rovnice vypocítíme x3. Dostáváme x3 = -5|2. Uloha. Řešen í syst é mu line árn ích rovnic s horn I schodovitou matic I soustavy (4.9) typu (h,n), s hodnost í h < n. Rř eřsme tedy systíem rovnic Cx = d, kteríy po rozepsíaní maí tento tvar. c1,sixsi + . . . + c1,S2xs2 + . . . + c1,shxsh + . . . + c1,nxn d1 c2,S2xs2 + . . . + c2,shxsh + . . . + c2,nxn = d2 . . . (4.9) ch,Sh xsh + . . . + ch,nxn dh. V nem jsou prvky c1si, c2s2,..., chsh, kde s1 < s2 < ... sh jsou mzne od nuly. 63 Nezná m é x1,x2,... ,xn tohoto systé mu lze rozdělit do dvou skupin. Prvn í skupina obsahuje h nezn a mych - nazveme je zakladn ími, a druh a skupina obsahuje zbyvaj ících n — h nezn a mych. Toto rozdelen í nezn a mych do dvou skupin nen í libovoln e. Musí byt takove, ze jestlize cleny jednotlivých rovnic syste mu C x = d, obsahuj ící za kladn í promenn e , ponechame na leve strane a ostatn í cleny rovnic d a me na pravou stranu rovnic, obdrz íme syste m h rovnic o h neznamych z prvn í skupiny s regul a rn í matici soustavy. Prava strana takto vznikl eho syst emu obsahuje neznam e druh e skupiny - parametry. Tedy zakladn í promenn e lze vypocíst z dan e ho syste mu jako funkce nezn a mych druh e skupiny - parametru. Toto rozdelen í neznamych nen í jednoznacne urceno. Za zí kladn í promenn e lze zvolit napr. nezní m e xSi ,i = 1, 2,..., h. Mnozinu vsech resen í dan e ho syste mu rovnic naz yvame obecným řešením daného systému. Je funkc í zvolenych n — h parametru. Příklad 4.3. Naleznete resen í syste mu linearn ích rovnic xi + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 + 2x6 + 7x7 = 40 2X3 + x5 x6 x7 3x7 —8 -15 (4.10) o neznam ych xit i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Řešení. Matic í soustavy je horn í schodovití matice 1 2 1 4 1 2 7 A 0 0 —2 0 1 0 —1 0 0 0 0 0 1 3 Oznacme b vektor pravych stran a x vektor neznam y ch. Potom je xi 40 —8 —15 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 Zadany syste m (4.10) rovnic lze pak zapsat v maticove notaci jako A - x = b. b 64 Za základn í neznám e lze volit nezn á m e x1,x3,x6. Vsechny cleny rovnic obsahuj íc í nezn á m e x1,x3,x6 ponecháme na leve strane a ostattn í cleny dáme na pravou stranu. Dostáváme tak syst em rovnic x1 + x3 + 2x6 2x3 x6 40 -8 15 2x2 4x4 x5 - 7x7 + 3x7 (4.11) Dosad íme-li za nezn á m e x2,x4,x5,x7 do (4.11) jaká koliv c ísla, je pravou stranou takto vznikl e ho syste mu konstantn í vektor a syste m prech áz í na syste m 3 rovnic o třech nezn á mych x1,x3,x6. Matice soustavy tohoto syste mu je regulí rn í horn í trojuheln íková matice řádu 3. Jeho vyřesen ím dostaví me hodnoty nezn á mych x1,x3,x6, ktere spolu se zvolenymi hodnotami x2,x4,x5,x7 d á vaj í resen ízadan e ho syste mu lineárn ích rovnic. Na neznám e x2, x4, x5, x7 se budeme tedy d ívat jako na parametry. Kvuli zvyšen í prehlednosti zavedeme toto oznacen í parametru: x2 = c1, x4 = c2, x5 = c3, x7 = c4. (4.12) Dosazen ím techto parametru do (4.11), dostáváme x1 + x3 + 2x6 = 40 2x3 = -8 2c1 4c2 x6 15 c3 - c4 c3 + c4 + 3c4 (4.13) Z posledn í rovnice vypocítá me x6. Dostává me x6 = - 15 + 3c4. Do druh e rovnice dosad íme vypocítanou hodnotu x6 a vypocítá me x3. (Dosazen í za x6 se neprojeví, nebot koeficient u x6 je v teto rovnici roven 0.) Dostáváme x3 4 + 1|2c3 - 1|2c4. Dosad íme tyto vypoc ítan e hodnoty za x3, x6 do prvn í rovnice syste mu (4.13) a vypoc ítáme x1. Dosta v ame x1 = 66 - 2c1 + 4c2 + 1|2c3 - 25|2c4. Vsechna resen ízadan e ho syste mu rovnic (4.11) lze zapsat takto 66 - 2c1 + 4c2 + 1|2c3 - 25|2c4 c1 4 + 1|2c3 - 1|2c4 x = c2 c3 -15 + 3c4 c4 65 kde c1,C2, c3, c4 G R jsou parametry. Toto resen í lze zapsat ve tvaru x O 4 O O —l5 WW Partikulární řesení systemu Ax = b —2 l O O O O O + c2 4 O 0 1 O O O + c3 l/2 O l/2 0 1 O O —25/2 O —l/2 O 0 B 1 Obecne resení homogenního systemu Ax o Poznamka 1. Mnozinu vsech resen í syste mu linearn ích rovnic A • x = b nazyví me obecním reSením. Lze ukazat, ze toto obecn e resen í je souctem obecn e ho řesen í príslusn e ho homogenn ího syste mu rovnic A • x = 0 a partikularn ího, to jest libovolne zvolen e ho jednoho resen í syste mu rovnic A • x = b, b = 0. Poznamka 2. V nasem prípade obdrzen e obecn e resen í zívisí na 4 parametrech. Zna-mena to, ze kazdou volbou parametru dostava me řesen í uveden e ho syste mu linearn ích rovnica naopak, kazd e resen í dan e ho syste mu rovnic dostaneme speci a ln í volbou parametru V tomto obecn e m resen í je vektor x GG O 4 O O —l5 O jedn ím z řesen í dan e ho syste mu rovnic. Nazyva me je partikul a rn ím řesen ím. Mnozina GG řešení Cl /"2\ 1 0 0 0 0 V 0 / + C2 /4\ 0 0 1 0 0 0 + C3 /l/2\ 0 1/2 0 1 0 0 + C4 / -25/2 \ 0 -1/2 0 0 3 1 kde c1,C2,c3,c4 E R jsou parametry, je obecnym řesen ím syste mu A • x = 0, ktery se nazyva homogenn ím syste mem rovnic, príslusnym k dan e mu syste mu rovnic A • x = b. Poznámka 3. Vyjí dřen í obecn e horesen í syste mu rovnic nen í jednoznacn e (kazd e vyjadřen í ovsem obsahuje tataz řesen í), d a se vyjadřit v rôznych tvarech. 4.2 Ekvivalentní systémy rovnic. Definice 4.1. (Ekvivalentní systémy rovnic.) Nechť A x = b, C x = d jsou dva syste my linea rn ích rovnic o n nezní mych. Tyto syste my nazveme ekvivalentními, jestlize kazdy vektor x, ktery je řesen ím syste mu rovnic Ax = b, je i resen ím syste mu C x = d a naopak, kazd e resen í x, ktere je resen ím syste mu rovnic C x = d, je i řesen ím syste mu rovnic Ax = b. Při řešen í systé mu rovnic Ax = b půjde o nalezen í takové ho ekvivalentn ího systé mu rovnic, ktery je moZno snadno posoudit. To znamená urCit, zda tento ekvivalentn í syste m m a nebo nema řesen í a v případe, Ze m a řesen í, toto řesen í nal ezt. 4.2.1 Prevod systému lineárních rovnic na ekvivalentní systém rovnic. Uvazujme syste m linea rn ích rovnic A • x = b (4.14) Ukažme si platnost nasleduj ících pravidel P1, P2, P3, P4. 67 P1. Necht: a je libovolne realne císlo = 0. Uvažujme libovolne žvolenou i-tou rovnici systemu (4.14) ai,i • xi + ... + ai,n • xn = bi. (4.15) Je evidentní, že vektor x vyhovuje rovnici (4.15), když a jenom když vyhovuje rovnici a • (aM • xi + ... • xn) = a • bi. (4.16) Nahradíme-li tedy v systemu (4.14) nekterou rovnici jejím nýsobkem Císlem a, a = 0, je vznikly system ekvivalentní s danym systemem. P2. Necht! a, f G W, fff = 0 a necht! ai,i • xi + ... + ai,n • xn = bi, (4.17) a j i • xi + ... + ajtn • xn = bj, (4.18) jsou dve libovolne rovnice systemu rovnic (4.14). Je opet evidenetní, že každy vektor x vyhovuje obema temto rovnicím, když a jenom když vyhovuje rovnicím ai i • xi + . . . + ai n • xn = bi, (4.19) (aai,i + f3aj,i) • xi + ... + (aai,n + fajn) • xn = abi + /%(4.20) kde a, f G W, fff = 0. PriCteme-li tedy k f-nýsobku nektere rovnici systemu (4.14) a-nasobek jine rovnice, a, f G M, vznikne system ekvivalentní se systemem (4.14). P3. Vzájemnou výměnou dvou rovnic systemu A • x = b vznikne system ekvivalentn í s danym syst emem. P4. Vypust íme-li ze syst emu rovnic (4.14) rovnici tvaru 0 • xi + 0 • x2 + . . . + 0 • xn = 0, obdrzíme system rovnic, ktery je ekvivalentní se systemem rovnic (4.14), nebot každy vektor x G Vn teto rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedava žadne omežení pro česení systemu rovnic (4.14). P5. Jestlize v systemu rovnic (4.14 ) je nektera rovnice tvaru 0 • xi + 0 • x2 + . . . + 0 • xn = c, c = 0, nema uvazovany system zýdne resení, nebot! teto rovnici nevyhovuje žídny vektor. Tyto uvahy mužeme shrnout nasledovne. 68 Veta 4.1. Necht, jsou dany dva systemy linearních rovnic A x = b, C x = d o neznamych x1, x2, ■ ■ ■, xn. Necht, system C x = d vznikl ze systemu A x = b těmito ukony: TI. Libovolnou rovnici systemu jsme nasobili číslem ruznym od nuly. T2. K nenulovemu nasobku jedne rovnice jsme připocetli libovolní nísobek jiní rovnice. T3. Vymenili jsme navzajem dve rovnice systemu. T4. Z daneho systemu rovnic vypustíme rovnice typu 0 - x1 + 0 - x2 + ■ ■ ■ + 0 - xn = 0, Potom systemy A x = b, C x = d jsou navzajem ekvivalentní Abychom si usnadnili zapis při operacích s rovnicemi, budeme pracovat jenom s koeficienty rovnic a s jejich pravymi stranami. K syste mu rovnic Ax = b (4.21) prirad íme rozs řenou maticitohoto syst e mu rovnic (A|6) (4.22) Souctu dvou rovnic syste mu (5.1) odpovíd a soucet odpovídaj ících ra dku matice (4.22). Podobne nasoben ínejake rovnice syste mu (5.1) c íslem ruznym od nulyodpov ída nasoben í odpovídaj ícího řadku matice (4.22) tímto císlem. Predpokladejme, ze jsme k syste mu line a rn ích rovnic Ax = b priradili rozs řenou matici soustavy tohoto syste mu rovnic. Potom ukonum t1, t2, t3, s rovnicemi syste mu Ax = b, uvedenych ve vete 4.1, odpovídaj í elementa rn í transformace T1(i,a), T2(i,a ; j, P), T3(i,j), vypusten í rovnice odpov ídí vypustení odpov ídaj íc ího radku v matici (A|b). Aplikovan ím techto ukonu na matici (A|b). obdrzíme matici odpovídaj ící ekvivalentn ímu syste mu k syste mu A x = b. Vhodnymi elementa rn ími transformacemi lze z matice (A|b) dospet ke schodovite matici (C|d), ktera odpov ída syste mu Cx = d, ekvivalentn ímu k syste mu linearn ích rovnic Ax = b. V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovity tvar uzitím elementa rn ích transformací. Resen í syste mu line a rn ích rovnic Ax = b lze t ímto zpusobem převest na resen í syste mu linearn ích rovnic se schodovitou maticí soustavy. O resen í syste mu linearn ích rovnic, s horn í schodovitou matic í soustavy, bylo pojedn a no jiz dříve. 69 Postup řeSení systému lineárních rovnic Necht je d án syste m lineárn ích rovnic Ax = b (4.23) o n neznám ych x1, ..., xn. Tento syste m lineárn ích rovnic muzeme resit v techto kroc ích 1. K dán e m syste mu rovnic prirád íme mátici rozsčenou (A|b). 2. Uzitím vhodnych elementá rn ích tránsformácí T1(i,a), a = 0, T2(i,a ; j,f3), /3 = 0, T3(i, j) postupne áplikoványch ná mátici (A|b), vytvoříme horn í schodovitou mátici (F 3. Vypust íme nulove ří dky mátice (FTákto vzniklou mátici oznácme (CId). T e to mátici odpov íd á syst e m rovnic Cx = d. (4.24) 4. Tento syst em rovnic (4.24) á) m á bud'to tvár c1,si xsi + . . . + c1,S2xs2 + . . . c1,Sh—l xsh—l + . . . + c1,nxn d1 c2,s2 xs2 + . . . + c2,sh-1 xsh-1 + . . . + c2,nxn = d2 . (4.25) ch—1,Sh — i xsh—i + . . . + ch—1,nxn dh—1 v nemz c íslá c1)Sl, c2sS2, ..., ch—1tSh1, dh jsou mzn á od 0. b) nebo tvár c1,si xsi + . . . + c1,S2 xS2 + . . . + c1,Sh xSh + . . . + c1,nxn b1 c2 s2 xs2 + . . . + c2 sh xsh + . . . + c2 nxn = d2 . (4.26) ch,Sh xSh + . . . + ch,nxn dh v nemz c1si, c2s2, ..., ch>Sh jsou mzn á od 0. V přípáde a) nemá syste m C x = d řesen í, nebot jeho posledn í rovnice 0 • xn = dh nen í splnená pro zádn e xn. V tomto prípáde má mátice C hodnost h - 1 á mátice rozs řen á (C|d) hodnost h. Máj í tedy mzn e hodnosti.Vzhledem k tomu, ze elementárn ími tránsformácemi se hodnost mátice nemen í, muzeme konstátovát, ze syste m rovnic Ax=b nemá řesen í, kdyz á jenom kdyz hodnost mátice soustávy je mens í nez hodnost mátice rozsřene . Pod ívejme se ná prípád b). O zpusobu resen í tohoto syste mu jsme jiz dríve pojednáli. Strucne to zopákujme. V tomto přípáde lze nezn á m e rozdelit do dvou skupin , skupinu 70 h neznámých - nazveme je základn ími, které lze vypoč íst pomoci zbývaj ících n — h nezn á mých - parametrů. Toto rozdelen i nen i jednoznaCne urCeno. Mozn e volby jsou patrny z tvaru syst e mu Cx = d. Jestlize cleny syste mu C x = d, obsahuj ici zakladn i promenn e , ponech a me na leve strane a ostatn i cleny d a me na pravou stranu, musime obdrzet syste m rovnic s horn i trojuheln ikovou matici soustavy, jej iz diagon a ln i prvky jsou nenulove. Za z á kladn i promenn e lze napr. zvolit neznam e xSi ,i = 1, 2,... ,h a zbyvaj ic i promenn e - nazveme je parametry a oznac ime je c\,..., cn-h. Výsledek techto uvah shrneme do nasleduj ic i vety. Veta 4.2. (Frobeniova veta.) Necht Ax = b (4.27) je system m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí: Jestliže matice soustavy A má menší hodnost než matice rozšírená (A\b), potom system rovnic (4.27) nemá žežení Jestlize matice soustavy A má stejnou hodnost jako matice rozšžená (A\b), potom system rovnic (4.27) ma žežená. Jestlize tato společná hodnost je rovna požtu neznamych n, potom ma pravž jedno žesená. Jestlize tato spoležna hodnost je h < n, potom ma nekonežnž mnoho žežená, závislych na n — h parametrech. Příklad 4.4. Proved'me analyzu syste mu linea rn ich rovnic Ax = b, kde A Jedn a se o syste m ctyr line i rn ich rovnic o trech neznamych. Analyzu resitelnosti tohoto syste mu rovnic provedeme podle predchoz iho navodu. 0 1 —4 /3\ —6 —2 1 4 , b = 7 —4 0 2 v 1 0 2 1 Utvorme rozs irenou matici (A\b) tohoto syst e mu / 0 1 —4 | 3 \ -6-2 1 i 4 (A\b) 7 —4 0 | 2 1 0 2 i 1 / 71 Transformujme ji na horní schodovitou matici. r1 o r4 r 2 = 6r1 + r2 r3 = — 7r1 + r3 / 0 1 — 4 | 3 \ —6 —2 1 | 4 7 —4 0 | 2 V 1 0 2 i 1 / 1 0 2 1 0 —2 13 10 0 4 14 5 0 1 —4 3 r2 o r4 r3 = 4r2 + r3 r4 = 2r2 + r4 f 1 0 2 | 1 \ 0 —2 13 | 10 0 —4 —14 | —5 V 0 1 — 4 i 3 / 10 01 21 43 0 0 —30 7 V 0 0 5 16 y {r4 = r3 + 6r4 Hledanou horní schodovitou maticí je tedý matice 1 0 2 1 1 0 2 1 0 1 —4 3 0 1 —4 3 0 0 —30 7 0 0 —30 7 0 0 5 16 0 0 0 103 / 1 0 2 I 1 \ 0 1 — 4 | 3 0 0 —30 | 7 V 0 0 0 i 103 / Teto matici odpovída sýstem lineárních rovnic 0 1 —4 x2 3 0 0 — 30 ' X3 7 0 0 0 x4 103 Tento sýstem rovnic nema řesení (poslední rovnice !!!). Nema tedýresení ani daný sýstem rovnic A x = b, který je s t ímto sýste mem ekvivalentn í. Uved'me ukazký resen í nekolika uloh, v nichz matice soustavý nen í schodovita. 72 Příklad 4.5. Reste sýstem linearních rovnic Xi + 2X2 2xi - x2 ax3 + x4 = l, X3 — X4 = 1, (4.28) 4xi 3x2 x4 a. Řešení. K danemu sýstemu rovnic napíseme odpovídající roZsířenou matici soustavý (Alb) 1 2 4 2 -a ll a -s (4.29) Tuto matici transformujeme elementarními transformacemi na horní schodovitou matici. Výpocet provedeme v nekolika krocích. 1. První řadek Zvolíme jako hlavní. Budeme eliminvat prvký a2>i,a3>i. První radek nasobíme císlem (-2) a pricteme ke druhemu radku. Dostaneme (Alb) l O 4 2 -a -s r a -s První řadek nasobíme (-4) a připocteme ke ctvrtemu řídku. Dostaneme (Alb) ~ l O O a r r 2. Druhý řádek zvolíme jako hlavní. Budeme eliminovat prvek a3; 2. Druhý řádek násobíme císlem (—1) a připočteme ke třetímu řádku. Dostaneme horní schodovitou matici (Alb) l O O 2 s O a r O l l O V teto matici výpustíme radek obsahující same 0. Dostavame tak matici, oZnacme ji (B|c), kterí odpovída sýstemu (4.30) Bx = c, který je ekvivalentní s daným sýstemem rovnic (4.28). x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 1 5x2 + 7x3 - 3x4 = -1 (4.aO) Clený techto rovnic obsahující neZname x3,x4 prevedeme na pravou stranu sýstemu. Budeme je povaZovat Za parametrý. Zaroveř poloZíme ra Dost áv áme Xi + 2X2 5X2 1 + 3ci 1 7ci c2, 3c2. Z posledn í rovnice vypocítá me x2. Dostáneme X2 = 1/5 • (1 + 7ci - 3c2). Dosád íme tuto vypocítánou hodnotu x2 do prvn í rovnice á vypocítáme z tákto vznikl e rovnice Xi. Dostáneme xi = 1/5 • (3 + ci + C2). Obecnym řesen ím zádán e ho syste mu lineárn ích rovnic (4.28) je tedy vektor / (1/5 • (3 + ci + c2) \ x = 1/5 • (1 + 7ci - 3c2) ci c2 , kde c1, c2 E R. Toto obecn e resen í lze zápsát ve tváru x= 3/5 1/5 0 0 + ci 1/5 7/5 1 0 + c2 1/5 -3/5 0 1 kde c1, c2 E R. Příklad 4.6. Náleznete řesen í syste mu lineárn ích rovnic x1 + 2x2 - 3x3 + x4 2Xi 4x1 x2 3x2 x3 5x3 x4 x4 1 4 (4.31) Řešení. K dán e mu syste mu rovnic náp íseme odpovídáj ící rozsířenou mátici soustávy. (A|6) = 1 2 4 2 -3 +1 1 1 -1 351 Tuto mátici soustávy tránsformujme elementá rn ími tránsformácemi ná horn í schodovitou mátici. 1 74 1. Prvn í ra dek zvol íme jako hlavn í. Budeme eliminovat prvký a2}1,a3;1. Prvn í radek n asob íme c íslem (—2) a pricteme ke druh e mu ra dku. Dostaneme (A|b) 1 0 4 —3 7 5 1 1 4 Prvn í řadek nasob íme (—4) a připocteme k třetímu řadku. Dostaneme (A|b) ~ 1 0 0 3 7 7 1 1 0 2. Druhý radek zvolíme jako hlavní. Druhý radek nasobíme císlem (—1) a připocteme ke třetímu radku. Dostaneme horní schodovitou matici 1 2 —3 1 (A|b) ~ [ 0 —5 7 —3 0000 První ctýri sloupce představují matici, kterou jsme obdrzeli elementarními transformacemi matice soustavý daneho sýstemu rovnic. Tato matice ma hodnost 2. Cela matice predstavuje matici, ktera vznikla elementarními transformacemi rozsírene matice soustavý daneho sýstemu rovnic. Ma hodnost 3. To znamena, ze matice soustavý daneho sýstemu rovnic ma hodnost 2 a matice rozsíření daneho sýstemu rovnic ma hodnost 3, tedý odlisnou od hodnosti matice soustavý. Daný sýstem rovnic tedý nema resení. Neexistence resení daneho sýstemu rovnic výplýva i z teto uvahý. Tato výsledna matice reprezentuje sýstem line a rn ích rovnic x1 + 2x2 — 3x3 — 5x2 + 7x3 0 • x1 + 0 • x2 + 0 • x3 + x4 3x4 0 • x4 1, ■1, 1. (4.32) Vzhledem k posledn í rovnici je patrno, ze sýste m nema řesen í. 4.3 Gaussova eleminační metoda. V nasleduj ícím výkladu nejde o nic nove ho. Jde o zaveden í nazvu pro metodu, o ktere jsme jiz obecneji pojednali. Specialn í případ uva d íme proto, ze se s t ímto n a zvem muzete setkat. Necht A je regularn í ctvercova matice řadu n, b je n-rozmerný sloupcový vektor a x je nezn a mý n-rozmerný sloupcový vektor. Uvazujme sýste m n linearn ích rovnic Ax = b. (4.33) Tento sýste m rovnic (4.33) řesme takto: 75 1. Mátici (Alb) tránsformujeme elementá rn ími tránsformácemi ná horn í schodovitou mátici. Dostáneme (Tl c), (4.B4) kde T je horn í trojuheln íková mátice. (Je to zvl á stn í prípád horn íschodovite mát-ice.) 2. Resíme obdrzeny syste m rovnic Tx = c s horn í trojuheln íkovou máticí metodou zpetn e substituce. Tento zpusob vypoctu se náz yvá Gaussova eleminační metoda. Táto metodá má mnoho váriánt, spocíváj ících ják ve vyberu hlávn ích řádku (při tránsformáci rozsířen e mátice soustávy ná horn í schodovitou mátici), ták i pri prováden í jednotlivych kroku v elementá rn ích tránsformácích, jimiz se syste m rovnic (4.33) převá d í ná syste m rovnic (4.34). Příklad 4.7. Gáussovou eliminácn í metodou reste syste m lineá rn ích rovnic Ax = b, kde A 1 O 2 B 5 4 2 2 l b l 4 9 K syste mu rovnic priřád íme rozsřenou mátici soustávy (Alb)= 1 O 2 B 5 4 Tuto mátici prevedeme elementá rn ími tránsformácemi ná mátici (Blc), kde mátice B je horn í trojuheln íková mátice. Postupne dostává me (Alb) 1 O 2 B 5 4 1 -B O5 02 Posledn í mátici odpovídá syste m lineárn ích rovnic xi - B x 2 +2 x3 5x2 - 2x3 2lx3 l 4 ll l, 4, GB. l O B 5 O O 2l l 4 GB TG Tento systé m řešíme metodou zpětn é substituce. Z posledn í rovnice vypočíta me x3. Dostávame x3 = 3. Dosad íme-li tuto hodnotu do druh e rovnice a vypočítá me x2, dostá váme x2 = 2. Dosad íme-li nyn í do prvn í rovnice vypoč ítan e hodnoty x3,x2, dostává me z n í xi = 1. Je tedy hledaným řesen ím vektor 4.4 Jordánova eliminační metoda. V následuj ícím vykladu pojednáme o metode zaloZen e na speci á lne cílenou elementá rn í tranformaci rozsířen e matice soustavy. (Popis algoritmu je na str. 79.) Necht; A je regulárn í ctvercová matice řádu n, b je n-rozmerny sloupcovy vektor a x je nezn á my n-rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme syste m lineá rn ích rovnic Syste m rovnic (4.35) řesme takto: 1. Matici (A\b) transformujeme elementá rn ími trasformacemi na matici (C\d), kde C je regulárn í diagon á ln í matice řádu n. 2. Resíme syste m rovnic s diagon á ln í matic í Tento zpusob vypoctu se nazyvá Jordánova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spoc ívaj íc ích jak ve vyberu hlavn ích řádku tak i pri prová den í jednotlivych kroku v elementárn ích transformacích, jimiz se syste m rovnic (4.33) prevá d í na syste m rovnic (4.36). Příklad 4.8. Jordánovou eliminacn í metodou řeste syste m lineárn ích rovnic x= Ax = b. (4.35) Cx = d. (4.36) Ax = b, kde K syste mu rovnic priřad íme rozsířenou matici soustavy / 1 -3 2 (A\b) = í 0 5 -2 -2 4 1 4 9 77 Tuto matici prevedeme elementa rn ími transformacemi na matici (C |d), kde matice C je diagon a ln í matice, (to lze, jestlize matice A je regularn í). Postupne dost avame (A|b) 1 —3 2 0 5 —2 241 { r 3 = 2ri + r3 I ri = r3 = 3r2 + 5ri 2r2 + 5r3 I ri = 21ri — 4r2 r2 = 2r3 + 21r3 1 —3 2 0 5 -2 —2 4 1 1 —3 2 0 5 —2 0 —2 5 50 4 17 05 —2 4 00 21 63 Posledn í matici odpovída syste m rovnic 105xi 105x2 I 4 9 1 4 II 1 0 0 21x3 105 0 0 105, 210, 63. —3 2 1 x 5 —2 4 —2 5 11 0 4 17 5 — 2 4 0 21 63 0 0 105 105 0 210 0 21 63 Jeho resen ím dostava me hledany vektor x 4.5 Jordánova metoda na řešení maticove rovnice AX = B Uvazujme syst e m rovnic AX = B, (4.37) kde A je dana ctvercova regularn í matice ra du n, B je dan a matice typu (n,m) a X je nezn a m a matice typu (n,m). 78 Každý sloupec X(: , j), j = 1, ... ,m, matice X je řešením systému rovnic AX(: ,j) = B(:,j), j = 1,...,m. (4.38) Mame tedy řešit m systemU rovnic (4.38) se stejnou maticí soustavy a. Tyto systemy mUžeme řesit najednou. K systemu rovnic (4.37) přiřaďme matici rožsířenou (a | B). (4.39) Užitím elementárních transformací převedeme tuto matici na matici (E I C), (4.40) kde E je jednotkova matice. Položme G := D1 F. Matice G ma tedy tvar G = (e I R). Teto matici odpovída systemu rovnic E X = R, (4.41) kteryje ekvivalentní se systemem (4.37). Ponevadž E . X = X, dostavame že systemu (4.41) X = R, (4.42) takže matice R je řesením systemu (4.37). Výpočet inverzní matice k regulárni matici řádu n V podkapitole 5.4 jsme ukažali, že v případe, že matice A je reguiarní, potom inveržní matici, ožnacme ji X, naležneme řesením systemu rovnic AX = E. Jde tedy o řesen í systemu, kteryje specialním případem systemu rovnic (4.37). Převod matice F elementárními transformacemi na matici G. Algoritmus. Předpokladejme, že promenne F je přiražena matice (a | b) a promenne n je přiražen řad matice A a promenne m je přiražen pocet sloupcu matice b. 79 Začátek BI Začneme s úpravou prvn ího sloupce matice F. Poloz íme j := 1- B2 Zvolme p E {j, j + 1, -.., n}, pro než je (Takove p existuje vzhledem k regulárnosti matice a.) Touto volbou zvol íme p-tý ra dek matice F jako hlavn í pro nasledn e eliminace. Jestliže p = j, je j-tý ra dek hlavn í a jdeme k B3. Jestliže p = j, výmen íme navz ajem p—tý a j—tý řá dek matice F a jdeme k B3. B3 Pro i = 1, ... ,n,i = j, provedeme týto ukoný bl Položme i := 1, jdeme k b2. b2 Jestliže i = j jdeme k b4, jinak k b3. b3 Je-li fitj = 0, jdeme k b4, jinak polož íme F = Hli j, —fi j lfjá ,i, 1)f. (Po teto transformací bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 položme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4. B4 Položme j := j + 1. Jestliže j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Puvodn í matice F se transformovala na matici F = (D | C) kde matice D je diagoní ln í. Potom hledana matice G je G := D-1 F = (EIR). Příklad 4.9. Naležnete inveržn í matici k matici A 1 2 4 -2 1 2 4 3 5 (4.43) Řešení. Ožnacme X matici inveržn í k matici a. Předpokl a dame-li, že matice A je regularn í, je hledan a matice X resen ím sýste mu linea rn ích rovnic AX = E. Teto rovnici odpovíd a matice F = (a|e), to jest matice F 124 212 435 100 010 001 (4.44) 80 Na matici F budeme postupně aplikovat elementá rn í tranasformace podle nahoře popsán é ho algoritmu. Položme j := 1. ZaCneme s Úpravami prvn ího sloupce matice F. Za hlavn í radek zvol íme ra dek 1.(Prvek f11 = 0.) Elementa rn ími transformacemi typu H 4 dosa hneme toho, aby ve vznikl e matici byly prvky f2>1, f3,1 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(1, — f2>1/fi>1, 2,1)F , to jest transformac í F := H4(1, 2, 2,1)F dost a vame / 1 2 4 10 0 F = I 0 5 10 2 1 0 V 4 3 5 0 0 1 Proveden ím transformace F := H4(1, — f3í1/f1}1, 3,1)F to jest proveden ím transformace F := H4(1, —4, 3,1)F dostava me F := 1 0 0 24 5 10 5 11 1 0 0 2 1 0 401 Položme j := 2. Zacneme s upravami druh e ho sloupce matice F. Za hlavn í ra dek zvol íme ra dek 2.(Prvek f2>2 = 0.) Elementa rn ími transformacemi typu H4 dosa hneme toho, aby ve vznikl e matici byly prvky f1>2, f3>2 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(2, —f1>2/f2í2,1,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, —2/5,1,1)F dostavame' F 1 0 0 00 5 10 5 11 1/5 2 4 2/5 1 0 Proveden ím transformace F := H4(2, —f3,2/f2t2, 3,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, 5/5, 3,1)F, dostavame 10 05 00 0 10 1 1/5 2 2 2/5 1 1 Položme j := 3. Zacneme s upravami třetího sloupce matice F. Za hlavn í ra dek zvol íme ra dek 3.(Prvek f33 = 0.) Ponevadz f13 = 0, provedeme jenom takovou elementa rn í transformaci typu H4, aby ve vznikl e matici byl prvek f23 roven nule. Proveden ím transformace F := H4(3, —f2í3/f3>3, 2,1)F, to jest transformací F := H4(3,10, 2,1)F dosta vame F 10 05 00 0 0 1 1/5 —2/5 — 18 11 2 11 1 0 10 1 81 Označme obdrženou matici F jako F = (D | C). Je tedy D K n í inverzn í matic í je matice D-1 1 0 0 0 5 0 0 0-1 1 0 0 0 1/5 0 0 0 1 Položme Dost a v ame G Matici G lze zapsat jako G := D-1 F. 100 010 001 1/5 -2/5 0 _ 18 11 2 5 5 2 2 -1 -1 G = (E I R). Teto matic íodpov íd a syste m rovnic EX = R ekvivalentn í s danym syste mem rovnic AX = E. Je tedy hledanou inverzn í matic í matice 1/5 -2/5 0 X=R= 18 11 9 5 5 2 2 -1 -1 82 Kapitola 5 Determinanty V teto kapitole se Zava d í pojem determinantu ctvercove matice a Zpusobý jeho výc íslen í. OdvoZujese Cramerovo pravidlo na řesen ísýste mu line a rn ích rovnic pomoc í determinantu a přímý výpocet inverZn í matice. 5.1 Zavedení pojmu determinantu matice Několik úvodních slov. UvaZujme sýste m dvou linearn ích rovnic o dvou neZn a mých xi, x2 ai,i ' x1 + ai,2 ' x2 = bi, (5 1) «2,1 ' xi + a2,2 ' x2 = b2- ( JestliZe a1)1 • a2>2 - a12 • a21 = 0, potom bi ' a2,2 - b2 ' ai,2 b2 • ai,i - bi • a2,i n, xi =-, x2 =- (5.2) ai,i ' a2,2 - ai,2 ' a2,i ai,i ' a2,2 - ai,2 ' a2,i je řesen ím sýste mu (5.1), jak se lZe presvedcit dosaZen ím techto hodnot Za xi, x2 do rovnic (5.1). Zaveďme si toto oZnacen í. OZnacme C matici , Ci,i Ci,2 C i,i i,2 / Ci,i Ci,2 \ V C2,i C2,2 / _ C2,i C2,2 Potom c íslo Ci,i ' C2,2 - Ci,2 ' C2,i naZveme determinantem matice C. OZnacíme jej det(C), resp. C|. Tedý Ci,i Ci,2 det(C) = deti C2,i C2,2 Ci,i Ci,2 C2,i C2,2 83 Ci,i ' C2,2 - Ci,2 ' C2,i. Resen í (5.2) syste mu (5.1) lze pak pomoc í determinantu zapsat takto x1 bi «i,2 «i,i bi b2 «2,2 «2,i b2 «i,i «i,2 , x2 = «i,i «i,2 «2,i «2,2 «2,i «2,2 (5.3) V techto vzorc ích je jmenovatel determinantem matice soustavy A / «i,i «i,2 \ V «2,i «2,2 / ktery je dle predpokladu = 0. Čitatel ve vyjadren í pro xi je determinantem matice, ktera vznikne z matice A nahradou jej ího prvn ího sloupce vektorem pravych stran (b2) Podobne citatel ve vyj a dren í cc2 je determinantem matice, ktera vznikne z matice A ní hradou jej ího druh e ho sloupce vektorem pravych stran b. V dalsím si zavedeme pojem determinantu i pro ctvercove matice A libovoln e ho čadu n. Budeme jej znacit shodne jako determinanty matic čí du 2. Determinanty vyuzijeme pči resen í syste mu n linearn ích rovnic o n nezní mych. Pojem determinantu se vyuz íva i pči resen í rady jin y ch ekonomickych uloh. Zaved'me si nyn í pojem determinantu matice. b Definice 5.1. (Determinant matice) Necht: A je ctvercova matice. Determinantem matice A rozum íme číslo, oznacme je AI nebo det(A), definovan e takto: Je-li n =1, to jest, jestlize A = (aii), potom AI = aii. Jestlize je jiz definova n determinant matice čí du n — 1, potom determinant matice ra du n definujeme takto: AI = (—1)i+iai,i -A^I + ... + + (—1)i+fcahk - AikkI + ... + (—1)i+raai,ra • Ainl , (5.4) kde Aiyj je matice (jak jsme si to jiz dríve zavedli), ktera vznikne z matice A vypusten ím jej ího z-teho čadku a j-te ho sloupce. Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině všech čtvercových matic. Příklad 5.1. Napr. je-li A = (—2), potom AI = —2. 84 Příklad 5.2. Nechť Dokářzme, řze Skuteřcnře, podle (5.4) je A / ai)i ai,2 \ V a2,i a2,2 / lAl — ai)i • a2,2 - ai,2 • a2,i. lA = • ai,i • lAMl + (-l)i+2 • ai,2. lAi,2l. (5.5) (5.G) (5.T) Zde Ai)i je mátice, která vznikne z mátice A vypusten ím l. rá dku á l. sloupce. Je tedy Ai)i = (a2>2), lAisil = a2>2. Podobne Ai;2 je mátice vznikl á z mátice A vypusten ím jej ího prvn ího řádku á 2. sloupce. Je tedy Ai;2 = (a2;i), lAij21 = a2)i. Dosázen ím do (5.7) dostáv áme lAl ai i ai 2 a2 i a2 2 Po uprávře dostáneme • ai,i • a2,2 + (-l)i+2 • ai,2 • a2,i. ai i ai 2 a2,i a2,2 ai,i • a2,2 - ai2 • a2,i. Poznamka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od soucinu prvku ná hlávn í diágonále odecteme soucin prvku ná vedlejsí diágon á le. Příklad 5.3. Vypocítejte hodnotu determinántu mátice (B -2) A Řešení. Jedná se o vypocet determinántu mátice 2. řádu. Podle (5.6) je |A| =„soucin prvku ná hlávn í diágon á le - soucin prvku ná vedlejsí diágonále". Tedy |A| = 3 • 4 - (-2) • 5, |A| = 22. Příklad 5.4. Necht: A je mátice rá du 3 f aii a\2 ^ A = a2,i a2,2 a2,3 \ a3,i a3,2 a3,3 J (5.8) 85 Vypoc ítejme determinánt z teto mátice. Podle Definice 5.1 je IAI = • ai,i • |Ai,i| + (-1)1+2 • ai,2 • |Ai,2| + (-1)1+3 • • |Ai,31. (5.9) Zde A1)1 je mátice, která vznikne z mátice A vypusten ím 1. rá dku á l.sloupce. Je tedy a2,2 a2,3 / a2,2 a2,3 \ V a3,2 a3,3 / Ai,i a3,2 a3,3 tákze podle (5.6) je |Ai,i| = a2,2 • a3,3 - a2,3 • a:i,2. (5.10) Mátice A12 vznikne z mátice A vypusten ím 1. ří dku á 2. sloupce. Je tedy a2,1 a2,3 / a2,i a2,3 \ V a3,i a3,3 / Ai,2 a3,1 a3,3 tákřze podle (5.6) je |Ai,2| = a2,i • a3,3 - a2,3 • a:iA. (5.11) Mátice A13 vznikne z mátice A vypusten ím 1. ří dku á 3. sloupce. Je tedy a2,1 a2,2 / a2,i a2,2 \ V a3,i a3,2 / Ai,3 a3,1 a3,2 tákřze podle (5.6) je |Ai,3| = a2,i • a3,2 - a2,2 • a:iA. (5.12) Dosád íme-li do (5.9) zá |A1;11, |A1;2|, |A1;3| vypocítán e hodnoty (5.10), (5.11), (5.12), dost áváme |A| = aiji • (a2,2 • a3,3 - a2,3 • a3,2) - ah2 • (a2,i • a3,3 - a2,3 • a3,i) + + ai,3 • (a2,i • a3,2 - a2,2 • a3,i). (5.13) Odtud dost áváme po uprávře |A| = (a1,1 ^ a2,2 ^ a3,3 + a2,1 ^ a3,2 ^ a1,3 + a3,1 ^ a1,2 ^ a2,3)- (a3,i • a2,2 • ai,3 + aM • a3,2 • a2,3 + a2,i • ai,2 • a3,3). (5.14) Odtud dostává me následuj íc í právidlo—Sárusovo právidlo" pro vyc íslen í determinántu mátice řádu 3. 86 Pozor!! Poznámka. Je nutno si uvědomit, ze Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro determinanty matic 3. řádu. Pro matice vyšších YádU není obdoba Sarusova pravidla. Sarusovo pravidlo. Podle príkladu 5.4 se vypočíta hodnota determinantu matice A řádu n = 3 vztahem \A\ = S - S2, (5.15) kde 51 = ' a2,2 ' a3,3 + a2,1 ' a3,2 ' a1,3 + a3,1 ' a1,2 ' a2,3 ? 52 = «3,1 ' a2,2 ' «1,3 + «1,1 ' 03,2 ' «2,3 + «2,1 ■ «1,2 ' «3,3. Vidíme, Ze S1 je sou ctem tří clenu, každí z nich je sou žinem tří prvku matice A. Na nasledujícím obrazku 5.1 jsou prvky matice vyznaZeny kroužky a každa trojice prvku, jejichž sou čin je členem v S1, je propojena čarou. S2 je soužtem tžížlenu, každy z nich je soužinem tžíprvku matice A. Na nísledujícím obrazku 5.2 jsou prvky matice vyzna ženy kroužky a každa trojice prvku, jejichž soužin je clenem v S2, je propojena carou. Obrázek 5.1: S1 Obrázek 5.2: S2 Příklad 5.5. Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 -2 3 \ A 2 4-2 -3 6 7) uZitím Sarusová pravidlá. Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu 5 -2 3 \ A\ = 2 4 -2 -3 6 7 87 Podle Sarusova pravidla dostáváme | A\ = [5 • 4 • 7 + (-2) • (-2) • (-3) + 2 • 6 • 3] - [3 • 4 • (-3) + (-2) • 6 • 5 + (-2) • 2 • 7]. Úpravou dostáváme \A\ = [140 - 12 + 36] - [-36 - 60 - 28], takže |A| = 288. Příklad 5.6. Vypočítejte hodnotu determinantu matice A 1 2 -1 3 2 3 4 1 0 1 2 3 1 4 -3 -2 Řešení. Podle (5.4) dostavame 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 | A| = 1 • 1 2 3 - 2 • 0 2 3 - 1 • 0 1 3 - 3 • 0 1 2 4 -3 -2 1 -3 -2 1 4 -2 1 4 -3 Hodnotu kazdeho z techto determinantu matic radu 3 určíme užitím Sarusova pravidla. Dostavame \A\ = 1 • 60 - 2 • 20 - 1 • (-20) - 3 • (-20), takže \A\ = 100. 5.2 Výpočet determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. sloupce Napred uved'me nekolik vlastností determinantu čtvercových matic. Veta 5.1. Necht: i = j jsou indexy řádků čtvercové matice A a necht: B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou vymčnou jejího i- teho čádku s j-tym řádkem. Potom platí \B\ = -\A\ 88 Veta 5.2. Necht: A je matice žadu n > 1. Necht jejá i—tá žadek (sloupec) je stejná jako její j—ty žadek (sloupec), i = j. Potom \A\ = 0. Důkaz.Skutecne. Oznacme B matici, ktera vznikne z matice A vymenou obou stejnych ra dku (sloupcu) matice A. Je tedy A =B, takze \A\ = \B\. Ponevadz matice B vznikla z matice A vymenou dvou jejich řadku (sloupcu) je \A\ =- \B\. To je mozn e jen v pripade, ze \ A\ = \B\. Příklad 5.7. Nechť A / 5 —2 3 \ 2 4 —2 523 Vid íme, že v této matici jsou si prvn í a třet í řádek rovny. Výpočtem se snadno přesvědč íte, že \A\ =0. Uved'me si tento priklad.Necht H—")B=( — i3) Matice B vnikla z matice A vzajemnou vymenou jej iho prvn iho a druh e ho řadku. Zřejme \A\ = —5, \B\ = 5.e tedy ve shode s vetou (5.1), ze \A\ = —\vekB\. V definici 5.1 determinantu matice ma jej i prvn iřa dek vyjimecn e postaven i.Lze doka zat, ze vypocet determinantu ctvercove matice A lze provest analogickym zpusobem - m isto prvn iho řa dku lze pouz it libovolny řadek, jak je uvedeno v n a sleduj ic i vete. Dukaz teto vety nebudeme provadet, v dukaze se vyuziva veta (5.1). Veta 5.3. (Výpočet determinantu - rozvoj podle řádku.) Necht: A je libovolná matice žadu n > 0. Potom pro každé s E {1, ... n}. platí \A\ = J2(—1)S+k • -\As,k\ (5.16) k=i Vypožet pomocá tohoto vzorce nazývame vypožtem determinantu matice A rozvojem podle s-táho žadku. DUkaz: Dukaz nebudeme provadet. Dukaz se opira o vetu, ze vzajemnou vymenou dvou radku se zmeni znamenko hodnoty determinantu. 89 Příklad 5.8. Vypočítejte hodnotu determinantu matice A / 1 2 0 -1\ 0 0 3 0 4 0 12 V 5 1 0 2 / Řešení. Ponevadz ve druhem radku ma matice A tri nulove prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme výpočet determinatu dane matice rozvojem podle druheho radku. Podle predchazející vety obdrZíme \A\ = -0 -\A2A\ +0 -\A2,2\ +3 • (-1)2+3 1 2 -1 4 0 2 5 1 2 + 0 •\A2A\ = - 3 • (-2) = 6. Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice AT. Zabývejme se nyní vztahem mezi hodnotou determinantu matice A a matice k ní transponovane AT. Dríve nez uvedeme vetu o vzajemnem vztahu mezi determinantem matice A a determinantem matice AT, tak si uvedomte, ze matice AT je transponovana k matici A, jestlize kazdý i-tý radek matice A je i-tým sloupcem matice AT. Lehce nahledneme, ze platí vztah (Ai,J)T = (A (5.17) Doporucuji, abý jste si tento vztah sami dokazali. Abýchom demonstrovali pravdivost tohoto vztahu, uved'me nasledující príklad. Příklad 5.9. Nechť A 123 456 7 8 9 AT 147 258 369 Vidíme, ze napr. (AT )2,3 13 46 (A3,2)T. Dokazme nýní, platnost teto vetý. 90 Věta 5.4. Necht: A je čtvercová matice řádu n. Potom det( A) = det( AT). (5.18) Důkaz: Vetu dokážeme už itím matematické indukce. Veta je evidentn e správná pro matice rádu n =1. Předpokládejme nyní, že veta je správná pro matice řádu n a doka ž me, ž e je pak spravna i pro matice radu n +1. Necht: tedy A je matice A / 0,1,1 a1,2 ai,1 0i,2 a1,n+1 \ 0i,n+1 \ 0n+1,1 0n+1,2 . . . 0n+1,n+1 / Ožna c me A = AT, takž e ak,n+1 ak,n+2 01,n+1 \ Ok n+1 \ 0n+1,1 0n+1,2 . . . 0n+1,n+1 / Rožvojem podle z-teho řadku matice A dostáváme n+1 kde (0i,j — 0j,i (5.19) k=1 Rožvojem podle fc-teho radku matice A dostaváme n+1 \A = Y,(-1)k+l0k,\AkA i=1 n+1 \A\ = Y,(-1)k+tol, k\(Ah k )T\. i=1 (5.20) Vžhledem k tomu, že akíi = oikk a pon evad ž podle (5.17) je (Aij)T = (AT= A lže tento vžtah p repsat na tvar j i (5.21) 91 Poněvadž podle indukčního předpokladu je věta správná pro matice řádu n, je | (Aí;fc)T| \Aitk|, takže n+l (5.22) i=l Provedeme-li výpočet \ A\ podle (5.19) pro i =1, 2, ... ,n + 1 a tyto obdržené výsledky sečteme, dostávame n+l n+l (n + 1)\A\ = ahk\Aik\. (5.23) i=l k=l Podobne, provedeme-li výpočet \ A\ podle (5.21) pro k =1, 2, ... ,n +1 a tytoobdržene výsledky sečteme, dostávame n+l n+l (n + 1)\A\ = J2(-1ý+kJ2 aik\Ai,k\. i=l k=l Porovnáním (5.23) a (5.24), dostaváme, že detA = detAT. (5.24) □ Bezprostředním dUsledkem teto vety je následující veta, ktera ukazuje žpUsob vyčíslení determinantu matice rozvojem podle libovolneho sloupce matice. Veta 5.5. (Výpočet determinantu - rozvoj podle sloupce) Necht A je matice n-teho řádu A al l an-l ,l an l an—l, j al n a2 n a n— l n an n Necht j je libovolný index jejího sloupce. Potom n \A\ = (-1)k+jak j \Ak j\. (5.25) k=l DUkaz: Vzorec (5.25) nažyva me vypočtem determinantu matice A rozvojem podle jej ího j-te ho sloupče. □ 92 Příklad 5.10. Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 3\ A = 4 5 6 l7 8 97 rozvojem podle druheho sloupce. Řešení. Dostávame \A\ = 2 • (-1)1+2 Po vyčíslení obdrZíme \ A\ = 0. 46 7 9 + 5 • (-1)2+2 13 79 + 8 • (-1)3+2 13 46 Veta 5.6. Necht A je matice řádu n > 1. Necht: všechny prvky v některém jejím řádku (resp. sloupci) jsou rovny 0. Potom \A\ = 0. Důkaz: Tvrzení vychází z výpočtu determinantu matice rozvojem podle řádku (sloupce), jehož vSechny prvky jsou rovny 0. □ 5.3 Hodnota determinantu matice B vznikle z matice A. UkaZme si vztah mezi hodnotou determinantu z matice A a matice B, ktera vznikne z matice A nekterou elementa rn í transformac í.Plat í tyto vety. Veta 5.7. Necht: A je čtvercová matice n-táho řádu. Potom platí: Necht: B je matice, která vznikne z matice A vynásobením jejího i-teho řádku realnym oslem a tj. necht: B = T1(i,a)A, kdea e R Potom platí \B\ = a\A\ (5.26) Slovy „determinant matice B, ktera vznikne z matice A vynásobením jejího libo-volneho radku i číslem a, má hodnotu a\A\ ", tj. \T1(i, a)A| = a\A\. 93 Dukaž je snadny. Staa porovnat vypocty obou determinantu matic A, B rožvojem podle i-teho radku. Tuto vetu demonstrujme na tomto pnklade. V nem matice B vžnikne ž matice A vynasobenám prvnáho radku matice A cáslem „3". Příklad 5.11. A=(34)=-2 B= (3 4) =-6 Tedy \ B\ = 3\ A\ ve shod e s naho re uvedenou v etou (5.7). Věta 5.8. Necht: a, P E R, i = j jsou indexy čádkU matice A a necht: B je matice, která vznikne z matice A tak, ze její i-ty řádek vynásobeny cáslem a se p fičte k j -tímu čadku vynásobenému číslem P, tj B = T 2(i,a; j, P) A Potom platí \B \ = P\A\ Slovy „Necht: B je matice, která vznikne z matice A tak, ze její i-ty čádek vynásobeny číslem a se přičte j-tímu řádku vynásobenemu číslem P. Potom platí" \B\ = P\A\. Upozornění. i-ty čádek v matici B je stejný jako v matici A. Důkaz: provedeme ve dvou krocách, napřed dokažeme tuto vetu pro žvlástná prápad a = P =1. 1. Necht: Bi = T2(i, 1; j, 1), tj. necht: matice B1 je matice, jejáž j-ty řadek je souctem i-teho a j-teho řadku matice A a ostatná radky jsou stejne jak ma matice A. Dokažme, že v tomto přápade platá \B\ = \A\. Rožvojem \B1\ podle j- táeho řráadku dostaáváame \B 1\ = \B2\ + \A\ kde B2 je matice, ktera má j-ty řadek stejny jako i-ty radek a ostatná radky ma stejne jako ma matice A. Je tedy \B2\ = 0. Tedy \B1\ = —A—. 2. Necht: nyná a = 0. Potom matici B dostaneme ž matice A postupne temito elementarnámi transformacemi takto: C = T1(i, a)A, D = T1(j, P )C, F = T 2(i, 1; j, 1)D, B = T1(i, - D). a 94 Zřejmě \D\ = a.p.\a = \f\. Odtud B = p.\a\. Příklad 5.12. Necht! A / 1 -2 3 \ 0 1 2 V 2 -3 1 ) Výpočtem dostaneme \A\ = —7. Označme t.j. matici B = T2(1, 3; 3, 2)A 1 -2 3 B 0 1 2 \4 —6 2 y Výpočtem zjistíme, Ze \B\ = —14, takZe skutečne \B 2\A\. Nasleduj ící vetu jsme jiz sice uvedli, ale uvedeme ji jeste jednou, aby všechny tři vety týkaj ící se vypoctu determinantu z matice vznikl e elementa rn ími transformacemi z jin e matice byly uvedeny na jednou m íste. Veta 5.9. Necht i = j jsou indexy řádků čtvercové matice A a necht B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou vymčnou i— tého řádku s j — tym čédkem, tj. necht Potom platí B = T3(i, j)A \B\ = -\A\ Slovy „Necht b je matice, ktera vznikne z matice a tak vzájemnou vymčnou i—tého čadku Potom \b\ = —|A|, " tj. \r 3(i,j )\ = —\a\. 95 5.4 Výpočet hodnoty determinantu z horní schodovité matice. Veta 5.10. (Determinant horní schodovite matice) Necht B je horní schodovitá matice n-tého řádu: ( bi,2 bi,3 ... b1,n-1 b1,n \ 0 &2,2 b2,3 . . . b2,n-1 b2,n 0 0 b3,3 . . . b3,n-1 b3,n 0 0 . . . 0 bn—1,n—1 b bn—1, n 0 0 . . . 0 0 bn n ) (5.27) Potom \B\ = b1 ,1 • b2,2 • ... • bnn. (5.28) Důkaz: Proved'me výpocet hodnotý determinantu teto matice rozvojem podle jejího prvního sloupce. Dostavame \B\ = (-1)1+1 • b1,1 b2 2 b2 3 0 b3 3 00 00 b2 n- 1 b3 n- 1 b2 n b3 n bn- 1 n- 1 bn- 1 n 0 bn n Hodnotu determinantu takto vznikl e matice urc íme opet rozvojem podle prvn ího sloupce. Dost av ame \B \ = b1,1 • • • b2,2 b3 3 b3 n-1 b3 n bn- 1 n- 1 bn- 1 n 0 bn n 0 0 96 T ímto zpusobem pokracujeme, az po n krocích obdrz íme hledaný vzorec (5.28) bn,n. □ A Příklad 5.13. Vypoc ítejte hodnotu determinantu matice / 5 2 4 5 \ 0434 0084 0002 Řešení. Podle vzorce (5.28) dostava me \A\ = 5 • 4 • 8 • 2 = 320. (5.29) Poznámka. Jestlize nektery prvek schodovite matice B na hlavn í diagon a le je roven 0, potom \B\ = 0. Výpočet hodnoty determinantu jejím převodem na horní schodovitou matici Ukazme si metodu vypoctu hodnoty determinantu ze ctvercove matice ra du n prevodem na horn í trojuheln íkovou matici uzit ím elementa rn ích transformací. (Uvazme, ze horn í schodovita matice je horn í trojuheln íkovou matic í.) Ve vykladu pouz íva me oznacen í: A . . . promřenn a pro matici. Y... promenna, v n íz se sleduje zmena hodnoty determinantu vlivem elementá rn ítrans-formace. D ... Oznacen í hledan e hodnoty determinantu Na zacatku vypoctu je promenn e A prirazena matice, ze ktere m a me pocítat hodnotu determinantu. Na zacítku vypoctu poloz íme Y :=1, takze na zacatku vypoctu je D = y -\A\ Algoritmus vypoctu je podobny jako algoritmus, ktery jsme uvedli pro transformaci matice na schodovity tvar. Mus íme m ít vsak na pameti, ze vlivem elementa rn í transformace se obecne zmen í hodnota determinantu a to takto 1. Jestliřze 1 B = T 1(i,a)A, a = 0, potom \A\ = -\B\ a 97 2. Jestliže B = T2(i,a; j,f )A, ff = 0, potom \A\ = -\B\ 3. Jestliže B = T3(i, j)A, potom \A\ = -\B\ ZAČÁTEK i = 1 Bod 1. Budeme vytvářet i-ty řádek hledané matice trojúhelníkového tvaru. Bod 2. K Číslu i urCíme nejmenSí pořadove Číslo sloupce matice A, v jehož řádcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulový prvek. Toto pořadove císlo sloupce ožnacme si. Je-li si > i je hodnota determinantu D rovna nule. Výpocet je ukoncen.V opacnem prípade jdeme k Bod 3. Bod 3. Zvolme p E {i,... ,m}, pro než je aPSi = 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno ž nich).Zvolený p-tý radek matice A nažveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme navžajem p-tý a i-ty radek matice A. Zaroven žmeníme hodnotu promenne 7, položíme 7 = —j. Tedy A := T3(i,p)A, 7 := —7 Po teto výmene je i-ty řídek hlavním řadkem. Pro tuto transformovanou matici tedy platí D = 7 -\A\ Je-li p = i, je již i-ty řadek hlavním řídkem. Výmena radku se tedy neprovadí a neprovadíse žmena hodnoty promenne 7. Bod 5. Provedeme nyní takove operace, aby po jejich realižaci byly prvky ai+i, Si,... ,ams Si rovny 0 a hodnota promenne 7 se žmenila odpovídajíacím žpusobem. Toho dosahneme napřr.podle a) nebo podle b) a) Pro každe j = i + 1,... ,n, pro než ajsSi = 0 provedeme oba tyto ukony A := T2(i, —aj,si ; j, ai,si)A; 7 := —7 ai Si nebo transformací b) Pro ty indexy j = i + 1,... ,m pro než ajs Si = 0, provedeme tuto transformaci A := T=^ ; j 1)A Bod 6. Jestliže matice A není jeste ve schodovitem tvaru, položme i = i + 1 a přejdeme žpet na Bod 1. Je-li A již horn í trojuheln íkovou maticí, je D = 7 • ai,i • . • an,n. 98 Příklad 5.14. Vypo c átejte determinant matice jejám prevodem na horná trojuhelnákovou matici 0 2 1 0 2 1 0 2 Řěšění. Položme -3 3 2 0 3 1 1 0 A 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 Hodnotu determinantu dane matice ožnacme D. Položme 7 := 1, takže D = 7• det(A). { n o r 3 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 -3 3 2 1 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 7 := 7 • r2 = 2r1 + 3r2 -3 3 2 1 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 2 1 0 0 3 1 0 ! r3 = r4 = -2r2 + 9r3 3r2 - 9r4 0 9 4 -4 0 2 1 0 0 3 1 0 7:=7 7:=7 -3 3 2 1 -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 0 1 8 0 0 3 -12 1 1 9 ' Y r4 = - 3r3 + r4 -3 3 2 094 001 1 -4 8 \ 0 0 3 -12 / -3 3 2 1 0 9 4 -4 0 0 1 8 V 0 0 0 -36 / 7 := 7 ^ 1 99 1 3 T ím jsme dospeli k horn í trojuheln íkove matici A. Hodnota determinantu ž teto horn í trojuheln íkove matici je rovna soucinu diagon a ln ích prvku, tedy \A\ = (—3) • 9 • 1 • (—36). Hodnota promenn e 7 je rovna (—1) • 3 • (—1) • 1 • 1. Je tedy D = 7 ^\A\ = 4 5.5 Použití determinantů Přímá metoda řešení systému lineárních rovnic. V drívejs ím výkladu jsme se sežn a mili s řesen ím syste mu n line a rn ích algebraických rovnic o n nežn am ych Ax = b, jestliřže matice soustavy A ma hodnost n. Za tohoto přredpokladu m a tento syst em rovnic podle Frobeniovy vety príve jedno resen í. Na resen í tohoto syste mu jsme si v drívejsím pojednan í ukažali dve metody - Gaussovu a Jordanovu metodu. Ukažme si nyn í jeste dals í metodu - Crammerovo pravidlo. Touto metodou se řesen í urc í pomoc í determinantu. Pro naležen í řesen í syste mu n rovnic o n nežní mých je nutno vyc íslit n + 1 determinantu ž matic n-te ho řadu.(Pokuste se odhadnout pocet aritmetických operací, ktere by bylo nutno provest k resen í syste mu napr. 100 rovnic o 100 nežn a mých !!!). Vžhledem k velke mu poctu operací potřebných k resen í syste mu rovnic o vetsím poctu nežn a mých, se tato metoda použ íva jen pro resen í mens ího poctu rovnic anebo tam, kde potřebujeme řesen í explicitne žapsat, aniž bychom jednotlive determinanty pocítali. 5.6 Cramerovo pravidlo Veta 5.11. (Cramerovo pravidlo) Necht A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozmčrný sloupcový vektor a x je hledaný sloupcový n-rozmerný vektor. Označme Bi, i = 1, . . . , n, matici, který vznikne z matice A tak, Ze její i-tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran, vektorem b. 100 Potom system lineárních rovnic Ax = b (5.30) má práve jedno řešení x, pro jehož složky platí \ Bi\ xi = ~a , i = 1,...,n. (5.31) Důkaz. Dokazme, že vektor x o složkách Xk = , k = l,...,n, (5.32) je reSen im syste mu (5.30). Necht: j je jedno ž C ísel 1,... ,n. Dosažen ím hodnot xk do leve strany j—t e rovnice vysetrovan e ho syste mu obdrž íme veliCinu, kterou ožnaCíme L. Dost av ame k=l k=l 1 1 Rožvojem determinantu lBk| podle k—te ho sloupce dosta va me odtud nn L = aj, k£ (-1)i+k bilAi, k l. Proveden ím upravy pak dostavame nn L = r^E(-1)i_J biY, (-1)j+k k lA, k l. (5.33) Vyraž (5.33) rožep íseme na dva sC ítance — pro i = j a pro i = j. Je tedy n n n L = AJbjY,(-1)j+kajklAj,kl + -I)*-Akl (5.34) k=l i=l,i=j k=\ Ponevadž nn J2(-l)j+k aj,k lAjkk I = Al, (-l)j+k aj,k Ai,k | = 0 pro i = j k=1 k=1 dostavame ž (5.33), že L = bj.Je tedy skutečne vektor x o složka čh (5.31) resen ím syst emu 5.30). l0l Příklad 5.15. Užit ím Cramerova pravidla reste ná sleduj íč í syste m linearn íčh rovnič Xi + 2X2 —X3 2xl + 7x2 -x3 3xl + 6x2 — x3 (5.35) ŘeSení. Ožnačíme-li A matiči soustavy tohoto syste mu, b vektor pravyčh stran a x vektor nežní myčh, je A /! 2 -1\ 2 7 -1 3 6 1 -1 3 1 x= xl x2 \x3/ (5.36) Vypočtem žjistíme, že \A\ = 6. Je tedy matiče A regul a rn í a dany syste m lže resit Cramerov ym pravidlem. Matiči Bl dostaneme tak, že prvn ísloupeč matiče A nahrad íme vektorem b. Dostavame tak matiči 1 2 1 Bi V 3 7 -1 1 6 1 a determinant \Bl\ = -6. Matiči B2 dostaneme tak, že druh y sloupeč matiče A nahrad íme vektorem b. Dostavame tak matiči 111 B2 2 3 -1 311 a determinant \B2\ 6. J Matiči B3 dostaneme ž matiče A tak, že jej í tretí sloupeč nahrad íme vektorem b. Dostaneme tak matiči 1 2 -1 B3 2 7 3 3 6 1 Resen ím syste mu (5.35) je tedy a determinant \B3\ 12. xl x2 x3 \B2\ = 6 = 6 = 6 = \Bs\ 12 6 6 -1, 1, 2. b 102 5.7 Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Řekli jsme, ze matice B je inverzní k matici A, jestliZe A• B = B • A = E. Ukazali jsme, Ze jestliZe Ctvercova matice A je regularní, potom matice B, pro níz platí A B = E je hledanou inverzní maticí. Ukazali jsme si Jordanovu metodu na řesení tohoto systemu rovnic. Nyní si ukazeme metodu, kterou muzeme vypocítat inverzní matici k matici A pomocí determinantu. Při vypoctu je nutno vypocítat determinant z matice A a n2 determinantu matic řadu (n — 1. Metoda je zalozena na Cramerove pravidlu. Nechť tedy matice A je regularní ctvercova matice řadu n. Hledejme ctvercovou matici B tak, řze A • B = E. (5.37) Zvolme i E {1, ..., n}. Uvazujme i—ty sloupec B(:, i) hledane matice B a i—ty sloupec E(:, i) matice E. Tedy B(:, i) ( bM \ b2, i bi-\, i bi i bi+l,i E(:, i) 0 0 1 0 0 . . . i—t y řradek Ze vztahu (5.37) vyplyva A • B(:,i) = E Tento system rovnic řesme uzitím Cramerova pravidla. Dostavame b.. := m j,i : \A\ ' j = 1' (5.38) (5.39) kde C j je matice, ktera vznikla z matice A nahrazením jejího j—teho sloupce vektorem Ei). Determinant \Cj\ vycíslíme rozvojem podle j—teho sloupce. Jediny nenulový prvek v tomto sloupci je císlo 1 v i—tem radku.Tedy \Cj\ = (—1)i+j -\Aij\. (5.40) ... j 103 Z (5.39), (5.40) vyplýva (5.41) Z (5.41) pro i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n dostava me matici B. Vypoctem se presvedc íme, ze BA = E. Je tedy matice B skutecne matice inverzn í k matici A. Dosazeny vysledek muzeme shrnout do nasleduj íc í vety. Veta 5.12. (Výpočet inverzní matice) Necht: A je regularní čtvercova matice řadu n. Potom k matici A existuje prave jedna matice inverzní, označme ji B. Jej á prvek bi , se vypočíta podle vztahu = (-1)i+j ^ pro i, j = 1, . . . n. (5.42) Poznamka. Vsimnete si porad í indexu i, j u bij, Ajti v (5.42)! Příklad 5.16. K matici A urcete matici inverzn í. A 124 -2 1 2 435 Řešení. Vypoctem dostava me A1 1 = A1 3 = A2 2 A1 3 12 35 -2 1 43 14 45 24 12 V \A\ = -5 -1, A1 2 = = -10, \A2 ,i\ = - 11 , A2 3 = 0, A2 3 = -2 2 4 5 2 4 3 5 1 2 4 3 1 4 2 2 -18, -2, 5, = 10, 3 3 12 21 = 5. 104 Tedy podle věty 5.12 dostáváme B í \AiA \A\ - Al,2 \A2A \ |Ai,a| \A\ \A\ -|A2 ,a| \Aa,i\ \ IAI 1 |Aa,3| \A\ \A\ \A\ Dosazením vypočítaných hodnot za jednotlivé determinanty dostáváme / 1/5 -2/5 0 \ A-1 = B -18/5 11/5 2 2 -1 -1 ZkouSku správnost výpočtu provedeme výpočtem A • B, B • A. Zjistíme, ze obá tyto součiny jsou rovny mátici E. 105 Kapitola 6 Vztah mezi volnými a aritmetickými vektory 6.1 Zavedení volných vektor U Zopakujme si zavedení volných vektoru z vaseho dřívejsího studia. DefiniceA 6.1. (Volne vektory) Množinu včech nenulových orientovaných úseček, ktere mají stejny smčr a stejnou velikost, nazveme nenulovým volným vektorem a množinu včech nulovych oriento-vanych úseček nulovým volným vektorem. Kazda orientovana úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volne vektory budeme označovat písmenem se sipkou nahoře, napč ~čt. Nulová volná vektor budeme označovat symbolem 0 . Delku kačde orientovaní ísečky, ktera reprezentuje volní vektor ~ččč, budeme nazyvat velikostí volneho vektoru ~čt a budeme ji značit \~čt\. DefiniceA 6.2. (Vektorový prostor volných vektoru) Necht: U je mnočina volnych vektoru. Na títo mnočine zavedeme dvč operace -sečítaní dvou volnych vektoru, budeme ji značit „+" a nasobení volnych vektoru reílnymi čísly, budeme je značit „ • "a to takto. Sečítaní volnych vektoru. Necht: ~čt je volny vektor reprezentovany orientovanou usečkou Jití a volny vektor 1) je reprezentovany orientovanou usečkou tíČ. Potom definujeme jejich součet11 + b jako volny vektor ~cC, ktery je reprezentovany orientovanou usečkou tí(C. (viz. obr.6.1) Nýsobení volneho vektoru realným císlem. Necht: a je libovolne realne číslo a necht: 11 je libovolný volny vektor. Potom definujeme b = a • 11 takto. Velikost \ b \ = ^ • ľ1 \. Smer vektoru ~čt, b je stejny; je-li a > 0, potom smysel orientace vektoru 11, b je stejny, je-li a < 0, potom smysel orientace vektoru 11, b je opačcníy. 106 Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+ " a „■ " nazveme vektorovým prostorem volných vektorů. Budeme jej znacit V. Prostor volných vektorů v rovine budeme znacit též V2 a prostor volných vektorU v třírozměrném prostoru budeme značit tež V3. Na obr. 6.1 je zn a zorněno sec ítá n í dvou volných vektorů ~d, b . Vektor a je reprezentovaný orientovanou úsečkou pQ a volný vektor b^je reprezentovaný orientovanou UseCkou R~Š. Jejich souCtem je volný vektor p = ~čt + b reprezentovaný orientovanou useCkou R_ S Obrazek 6.1: SeCíta n í volných vektoru Na obr. 6.2 je zn a zorneno nasoben í voln e ho vektoru a realným c íslem. Volný vektor č je reprezentova n orientovanou useckou pQ. Volný vektor a =2 ■ "čČ je reprezentovan orientovanou useckou ppB a volný vektor ~e? = — 2 ■ "ČČ je reprezentovan orientovanou useckou d c p ' Q a-*-B Obrazek 6.2: Nasoben í voln e ho vektoru c íslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovine. V predch a zej íc í definici jsme uvazovali voln e vektorý nezavisle na souradn e m sýste mu, býlý uvazova ný v tzv. invariantn ím tvaru. Pojednejme nýnř o prostoru U2 volných vektorU v rovine, v níž je zaveden kartezský souřadnýsýstem. Oznacme x\,x2 souradn e osý kartezske ho souradn e ho sýste mu v rovine. Oznacme U2 mnozinu vsech volných vektoru v teto rovine s uvedenými operacemi sec ít a n í volných vektoru v rovine a n a soben í volných vektoru v rovine re a lnými c íslý. 107 Uvažujme dvě orientované úsečky RQ, RU (viz. obr. 6.3), kde P = P [pi,P2], Q = Q[Qi,Q2], R = R[Ti,T2], U = U [Ui,U2\. Každa z téchto orientovaných úseček reprezentuje tentyž volny vektor ~čt G U2, když a jenom když qi r pi = Ui r n A q2 r P2 = U2 r r2. (6.1) K volnemu vektoru ~čt G U2,reprežentovanemu orientovanou úsečkou RQ, kde P = P[Pi,P2], Q = Q[qi,q2] priradíme aritmeticky vektor a = (ai} a2), kde ai = qi rpi, a2 = q2 rp2. Toto pravidlo přiražení ožnačme P. Vektor a nežavisí na volbe orientovane úsečky, ktera reprežentuje vektor 1Ž. Lehče lže nahlednout, že jestliže volnemu vektoru ~Ě G U2 je pravidlem P přiražen vektor a = (ai,a2) G V2 a volnemu vektoru b G U2 je pravidlem P priřažen vektor b = (bi,b2) G V2 a a je libovolne realne číslo, potom platí li + 1) = ~é o- a + b = c, čäa = ~ct <=?■ aa = d, (6.2) kde volnemu vektoru 1 je pravidlem P priražen aritmetičky vektor c a vektoru 1 je pravidlem P priřažen aritmetičky vektor d. Toto přiražení P je jednojednožnačne. 108 X2 + V2 V2 X2 O Y ■7i 4 / / T / / I / i 1 / i L i i i i i X Z Vi xi xi + yi Obrí žek 6.4: Zobražen í žačhova va seč ítan í ax2 X2 U X / Obra žek 6.5: Zobražen í žačhoví va nasoben í Vzhledem k uvedeným vlastnostem není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. Vektor a = (ai,a2) si mUzeme představit jako množinu vsech takových orientovaných úseček 1R 0, pri čemz p(x, y) = 0 <=?■ x = y, 2. p(x, y) = p(y, x) 3. p(x, y) < p(y, z) + p(z, x). (trojuhelníkova nerovnost) Potom p(x,y) se nazýva vzdaleností prvku x, y E M. Poznámka. Mnozina M muze byt jakákoliv; např.mnozina vsech spojitých funkcí na daníem intervalu. Necht n je přirozené číslo, Rn je množina uspořádaných n— tic reálných čísel. Necht ke kazdým dvěma prvkUm X = [xi,... xn],Y = [yi,...,yn] E Rn je přiřazeno císlo p(X,Y) vztahem p(X,Y) = \J(yi — xi)2 + • • • + (yn — xn)2, potom p(X,Y) definuje vzdálenost na Rn. Necht: n je přirozene císlo. Oznacme En mnozinu usporadaných n—tic reílných císel z Rn, jejíz kazdý prvek ma dvojí význam. ■ Význam bodu. V tomto případe usporadanou n—tici realných císel díme do hranatých zívorek a prípadne oznacíme sýmbolem, vetsinou velkým písmenem, např. A = [ai, ... , an]. Císla čí, i =1, ..., n, se nazývají souradnicemi bodu A. ■ Význam aritmetickeho vektoru z prostoru Vn, takze uspořídana n—tice realných císel představuje aritmetický vektor. V tomto případe ji davame do kulatých zavorek a případne oznacíme sýmbolem, vetsinou malým tucne napsaným písmenem, napr. a = (ai, ..., an). Čísla aí,i =1, ... ,n, nazývame slozkami vektoru a. ■ Vztah mezi bodý z En a vektorý z Vn je definovan nasledujícím zpusobem. Necht: P = [pi,... ,pn] je libovolný bod v En, s = (si,... ,sn) je libovolný vektor z aritmetickeho vektoroveho prostoru Vn. Oznacme X = [xi,...,xn] E En, pro nejz platí xí = pí + sí, kde i =1,...,n. (6.16) Tento vztah budeme zapisovat tez jako X = P + s. (6.17) Z rovnice (6.17) lze výpocíst jednoznacne kterýkoliv clen pomocí zbývajících dvou clenu. Napr. s = X — P. (6.18) 114 Tento vztah zap íšeme též takto s = X - P = pX Budeme říkat, že uspořádaná dvojice bodů P, X tvoří um ístén í vektoru s. Bod P nazývame poCateCn ím a bod X nazývame koncovým bodem um ísten í vektoru s. VSimnete si, že pro n = 2 a pro n = 3 urCuje uspořa dan a dvojice bodu P, X orientovanou useCku, ktera reprezentuje volný vektor, k nemužjsme přiřadili aritmetický vektor s. ■ Skaiarn ísoucin dvou vektoru definujeme takto: Necht: a = (ai, a2, ... an), b = (bi, b2, ... bn), jsou dva vektorý z Vn, potom jejich skal a rn ím soucinem rozum íme císlo aibi + ■ ■ ■ + anbn a znac íme jej (a, b). Je tedý (a, b) = aibi +-----+ anbn. Vsimnete si, ze pro n = 2 a pro n = 3 dosta vame dríve definovaný skal a rn ísoucin. ■ Vzdalenost dvou bodu A[a1, a2, ... an],B[bi, b2, +-----+ bn] se definuje vztahem p(A, B) = y/(bi - ai)2 + ■■■ + (bn - an)2 Vektor a(ai} a2, ... an) lze reprezentovat uspořadanou dvojici bodu oA, kde pocatecn í bod je O = [0,..., )0] a koncový bod je bod A = [ai}... ,an], je-jichz vzd alenost je \Jd\ + ■ ■ ■ + a2n. Proto velikost vektoru a budeme definovat jako _ \a\ = \J ai +----+ Uhlem dvou nenulových vektoru a = (ai} a2, ... an), b = (bi} b2, ... bn), rozum íme uhel ip, pro nejz platí (a, b) cosp = -—— a b Tento prostor En nazveme n— rozmerným euklidovským prostorem. Poznámka. Prostorý Ei, E2, E3, jste prob írali na gýmn a ziích a dovedte si je představit. Smyslová predstava prostorů En pro n > 3 končí a musíme tyto prostory uvaZovát jen ve smyslu definic. Príklad 6.1. Nechť A = [1,-2, 3,0], B =[7,1, 2, 3]. Potom s = IB = [7,1, 2, 3] - [1,-2, 3,0] = (6, 3,-1, 3). 115 Definice 6.1. Necht; P E En a necht: 1s,..., ds jsou lineírne nezavisle vektorý z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En X = P + t 1s + ... +d t ds, (6.19) kde lt,...,dt jsou parametrý (libovolní císla), se nazýva podprostorem dimenze d vnořeným do prostoru En (pro d < n). Přímka | Linearnípodprostor dimenze 1 vnočeny do prostoru En nazyvame přímkou. Přímku, urcenou bodem P a vektorem s lze tedý zapsat ve tvaru X = P + ts, kde t E (-oo, oo) je parametr, (6.20) X je obecný bod přímký. Vektor s nazývame smerovým vektorem prímký. Príklad 6.2. Napisme v E3 rovnici prímký danou bodem A = [2, -1, 3] a smerovým vektorem s = (2, -3, 0). Řešení. Podle (6.20) dostavíme [xl,x2,x3] = [2,-1, 3]+ t(2,-3, 0), takze obecným bodem přímký je bod o souřadnicích xi = 2 + 2t, x2 = -1 - 3t, x3 = 3, kde t E (-o, o). Príklad 6.3. Napisme v E4 rovnici přímký danou bodý A = [2, -1,3,2], B = [1, 0, -5, 2]. Řešení. Za smerový vektor hledane prímký lze zvolit vektor s = tí - A. Je tedý s = tí - A. Výpoctem pak dostívame (si,S2,S3,S4) = [1, 0, -5, 2] - [2,-1, 3, 2], takřze s =(-1,1, -8, 0). Podle (6.20) je tedý X = A + ts, takze dosazením dostívame [xi,x2, x3, x4] = [2, -1, 3, 2] + t(-1,1, -8, 0), kde t E (-o, o). 116 Přímka, určená body A, B, má tedy rovnici X = A + t(B - A), t E (-00, 00) (6.21) Useckou AB rožum áme body prámky (6.21), pro než plat á X = A + t(B - A), t E (0,1). (6.22) Vsimnete si, že parametru t = 0 odpováda bod A a parametru t = 1 odpováda bod B. Rovina I Lineárnípodprostor dimenze 2, vnořeny do prostoru En, n > 2, nazyváme rovinou. Rovinu, urcenou bodem P a nežavisl ymi vektory r, s lže tedy žapsat podle (6.19) ve tvaru X = P + u r + v s, kde u E (-00, 00), v E (-00, 00) jsou parametry. (6.23) (Zde X je obecny bod prámky.) Príklad 6.4. Napiste rovnici roviny v E4, ktera procha ž á body P = [1, 0, 2, -5], Q = [4, 2,-7, 0], R = [0, 4, 2, 6]. RěSění. Položme r = pQ, s = pR Dost a v ame r = (3, 2, -9, 5), s = (-1, 4, 0,11). Dosažen ám do (6.23) dostava me hledanou rovnici roviny [x1,X2,X3,X4] = [1,0, 2, -5] + u (3, 2, -9, 5) + v (-1, 4,0,11), kde u, v E (-0 , 0 ). Nadrovina v prostom En 117 Podprostor dimenze n r 1, vnorený do prostoru En, n > 3, nazývíme nadrovinou. Necht: P G En a necht: 1s,..., (n-1^>s jsou lineárně nezávisle vektorý z prostoru Vn. Potom množina bodu X z En, urřených vztahem X =111s + ... +(n-i) t (n-1)s, (6.24) kde 11,..., (n-iH jsou parametrý, je nadrovinou v prostoru En.Lze dokazat, že každou nadrovinu v prostoru En danou vztahem (6.24) lze výjadrit ve tvaru ai xi + ... + an xn = b, (6.25) kde ai ... ,an ,b jsou realný císla. Vektor n = (ai} ... an) je kolmý na vektorý Necht: ai xi + ... + an xn = b, (6.26) je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina urcuje v prostoru En dva poloprostory, urřene nerovnicemi ai xi + ... + an xn > b, ai xi + ... + an xn < b. 118 Kapitola 7 Pojem funkce, základní pojmy 7.1 MnoZina, konstanta, proměnna V matematiče se pračuje s ružnymi objekty. Temto objektum se vedle nažvu priražuje tak e symbol. MnoZina. Jedn ím že žakladn íčh objektu, s nimiž se v matematiče pračuje, je množina. Množinou rožum íme soubor nejakyčh presne vymeženyčh, navžajem odlisnyčh objektu, kterym ríka me prvky, nebo elementy množiny. Při tom o každ e m objektu se musí d at rožhodnout, žda patří nebo nepatří do tohoto souboru. Meži množiny poč ítame i soubor, ktery neobsahuje žídny prvek - teto množine budeme ríkat práždná množina a budeme ji žnačit 0. Jako príklad množiny je možno uvest množinu přiroženyčh čísel. Do teto množiny patrí napr. číslo 2. Nepatří do ní např. komplexní číslo i. Vsimneme si, že žde pojem množina nebyl plne vymežen. K jeho vysvetlení jsme použili príbužny pojem „soubor". Ožnačíme-li uvažovanou množinu např. A, potom okolnost, že objekt x patří do množiny A, budeme žnačit x E A a okolnost, že objekt y nepatří do množiny A, budeme žnačit y E a. Množiny mužeme žadavat ružnym žpusobem. Je-li konečna, to jest, ma-li konečny počet prvku, lže ji žadat vyčtem. Tak napríklad, jestliže množina A obsahuje prvky a,b, c a řžadn e jin e, b yva žvykem ji žapisovat takto A = {a, b, c}. Príklad 7.1. Nečht M je množina písmen obsaženyčh ve slove PRAHA. Zrejme M = {P, R, A, H}. Potom napr. R E M, u E M. 119 PodmnoZina. Necht: M, N jsou dan e mnoziný. Jestlize kazdý prvek mnoziný M je i prvkem mnoziný N, potom říkame, ze mnozina M je podmnozinou mnoziný N, nebo ze mnozina N je nadmnozinou mnoziný M. P íseme pak M C N, resp. N D M. Jestlize zaroven platí M C N a M D N, potom říká me, ze mnoziný M, N se sobe rovnaj í a p íseme M = N. Jestlize M C N a jestlize mnozina N obsahuje prvký, ktere do mnoziný M nepatří, ríka me, ze mnozina M je vlastn í podmnozinou mnoziný N a p íseme M C N, resp. N je vlastn í nadmnozinou M a p íseme N D M. Je-li tedý M C N, je tez M C N, avsak je-li M C N nemus í být M C N. Príklad 7.2. Nechť M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} C M, avsak {3, 7} nen í podmnozinou mnoziný M, nebot prvek 7 nen í prvkem M. Vsimneme si dvou významove i form alne odlisných zapisu. Uved'me príklad. Necht: M = {1, 4, 3, 9}. Potom za pis 8 E M znamena, ze 8 je prvkem mnoziný M, a za pis {8} C M znamen a , ze mnozina, obsahuj íc í jediný prvek 8, je vlastn í podmnozinou mnoziný M. Konstanta, proménná. Řekli jsme si, ze objektý oznacujeme sýmbolý. To jednak zjednodusuje výjadřova n í, jednak umozhuje strucný z a pis nekterých výpoved í o objektech mnoziný. Jestlize sýmbol oznacuje jeden konkretn í prvek mnoziný, nazývame jej konstantou. Príkladem je např. sýmbol n, kterým oznacujeme konkretn í reí ln e císlo - Ludolfovo c íslo. Oznacuje-li sýmbol kterýkoliv prvek z dan e mnoziný, nazývame jej proménnou. Mnozinu konstant, kterých muze tato promenn a nabývat, nazýva me oborém proménné. Chceme-li pracovat s prvký mnoziný přirozených císel N, muzeme zvolit např. sýmbol n pro promennou s oborem hodnot N. Jestlize tedý oznac íme sýmbolem x promennou s oborem M, potom vse, co se rekne o x, vztahuje se na kazdý prvek mnoziný, ktera je jej ím oborem. Uved'me si tento příklad. Oznacme M mnozinu vsech kladných realných císel mensích nez 8. Mohu výslovit tvrzen í: „Jestli x E M, potom x2 < 64". Kontrolní otázky 1. Co je to mnozina? 2. Napiste mnozinu A, jej íz prvký jsou p ísmena obsazena ve slove „matematika". a) Pro kazd e z p ísmen „a, b, c, i, j" zapiste, zda patří nebo nepatří do mnoziný A. b) Napiste podmnozinu B mnoziný A, obsahuj ící vsechný samohlaský mnoziný A. c) Co znamenaj í zapisý B C A, B C A. [a) A = {m, a, t, e, i, k }, a E A, b E A, c E A, i E A, j E A; b) B = {a, e, i}; c) B je vlastn í podmnozinou mnoziný A; B je podmnozinou mnoziný A.] 3. Výsvetlete rozd íl mezi konstantou a promennou. Uved'te příkladý. 4 Co je to obor promenn e ? 120 7.2 Zobrazení. Zopakujme si duležity pojem „zobrazéní". S t ímto pojmem se v denn ím živote neustale setkavame, aniž byčhom jej vyslovovali. Přiražen í prvku jedn e množiny k prvkum druh e množiny se spečifičkymi vlastnostmi se naž yva žobražen ím. Zvl a stn ím případem žobražen í je pak realna funkče rea ln e promenn e . Définicé 7.1. (Zobrazéní.) Nečht A, B jsou nepríždn e množiny. Pravidlo F, jimž ke každ e mu prvku x G A je prirazen prave jeden prvek y G B, nažyva me zobrazéním mnoziny A do mnoziny B. Ožnačíme-li x promennou s oborem A a y promennou s oborem B, p íseme y = F (x). O prvku y, přiřažen e mu v žobražen í F k prvku x, říka me, že je obražem prvku x, a o prvku x říkame, že v žobražen í F je vžorem prvku y. Množinu A (to jest množinu prvku, k nimž v žobražen í F přiřažujeme prvky ž B), nažyvame definiřním oborem nebo tež neodvislým oborem žobražen í F. Značíme jej často DF, resp. D(F) a množinu B naž yvame odvislým oborem zobrazení F. Podmnožinu množiny B, ktera obsahuje vsečhny ty prvky y G B, ktera jsou v žobražen í F přiřažany k prvkum x ž množin A, nažyvame oborem zobrazení F. Značíme ji H (F), resp. HF. Jestliže HF C B, potom ríka me, že žobražen í F je zobrazéním mnoziny A do B. Jestliže HF = B, potom ríka me, že žobražen í F je zobrazéním mnoziny A na B. Jestliže B C A, potom ríka me, že žobražen í F je zobrazéním mnoziny A do sébé. Jestliže HF = A, říkame, že žobražen í F je zobrazéním mnoziny A na sébé. Promennou s oborem hodnot A nažyva me néodvislé proménnou a promennou s oborem hodnot B nažyvame zavislé proménnou. V teto definiči jsme použili symbol x pro neodvisle promřennou a symbol y pro odvisle promřennou. Na obra žku 7.1 je žnažorneno žobražen í F množiny A do množiny B, rovnež je žn a žornen obor žobražen í F, to jest množina H (F). Je žde žn a žornen tež prvek u G B, ktery nepatří do H (F). Nen í tedy obražem žadn e ho prvku x G A. 121 Obrázek 7.1: Zobrazen í A do B V některých případech je moZno přiřazen í G, v nemZ je ke kaZd e mu prvku z mnoZiny A přiřazen prvek z mnoZiny B, popsat tabulkou utvořenou takto: V prvn ím řá dku tabulky se uvadejí prvky z mnoZiny A a v druhem řádku jsou pod nimi uvedeny k nim přiřazene prvky z mnoZiny B . Ne kaZde pravidlo, jimZ je ke každému prvku x E A přiřazen prvek z B, je zobrazen ím. Toto přiřazen í je zobrazen ím A do B pouze tehdy, jestliZe ke každému x E A je přiřazen pravé jeden prvek y E B. Příklad 7.3. Necht: A je mnoZina urCite skupiny studentu, B mnoZina re a lnych nezapornych Císel. Oznacme x promennou mnoZiny A, (to jest x je symbol, ktery zastupuje kteréhokoliv studenta ze skupiny A). Oznacme nyní y promennou s oborem hodnot B. Ke kaZdemu x E A (to jest, ke kaZd e mu studentovi z A), přiřaďme jeho aktualn í telesnou vysku v centimetrech, tedy císlo y z mnoZiny B. (Tedy prave jedno císlo.) Toto pravidlo přiřazení oznacíme V. Ke kaZdemu x E A jsme tedy přiřadili prave jedno císlo y z mnoZiny B. Je tedy V zobrazen ím mnoZiny A do mnoZiny B podle nahoře uveden e definice. Zobrazen í V nen í zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu B, ponevadZ existuj í c ísla v B, ktera nejsou přiřazena v zobrazen í V k Za dn e mu prvku x z mnoZiny A. (To vyplyva např. z toho, Ze A je konecna mnoZina a B obsahuje nekonecne mnoho císel.) Jako konkrétní přiřazení uved'me toto. Předpokladejme, Ze A je skupina studentu, ktere si pro nas ucel oznacíme a, b, c. Ke kaZdemu studentovi přiřaďme jeho telesnou vysku. Toto přiřazení oznacme V. Necht je V (a) = 175, V (b) = 175, V (c) = 180. Toto přiřazení lze znazornit n a sleduj íc í tabulkou. x a b c y 175 175 180 Uveden e přiřazen í V je zobrazen ím mnoZiny A do mnoZiny R, ponevadZ ke kaZd e mu prvku x E A je přiřazen prave jeden prvek y z mnoZiny R. Toto zobrazen í vsak nen í zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu R, ponevadZ např. císlo 190 nen í přiřazeno Zadn e mu prvku z A. (V uvaZovan e skupine tří studentu nen í Za dny student s telesnou vyskou 190 cm.) Toto zobrazen í je vsak zobrazen ím mnoZiny A na mnoZinu C = {175, 180 }. Zřejme C = HV. Příklad 7.4. UvaZujme tři matky, oznacme je a, b, c. Nechť matka a ma syna, oznacme ho s1, matka b m a syna, oznacme ho s2 a matka c ma dva syny, oznacme je s3 a s4. Oznacme A mnoZinu matek, tedy A = { a, b, c} a B mnoZinu synu, tedy B = 122 {si, s2, s3, s4 }. Označme nyn í D přiřazen í, kterým ke každ é matce přiřad íme každ é ho z jejich synů. Tedy nechť D(a) = si} D(b) = s2, D(c) = s3, D(c) = s4. Toto přiřazen í D zn azorneme tab-ůlkoů x a b c c y si s2 s3 s4 Toto přiřazen í není zobrazen ím mnoziny A do mnoziny B, nebot k prvků c z mnoziny A jsoů přiřazeny dva prvky z mnoziny B, totiz prvky s3, s4. Zaved'me si nekolik pojmů soůvisej ících se zobrazen ím. Zobrazení prosté. Necht F je zobrazení množiny A do množiny B. Toto zobrazení nazýváme prostým, jestliže m a tuto vlastnost: Jestliže x, y E A a x = y, potom F (x) = F (y)._ Príklad 7.5. Necht; A = {a,b, c} a B = {a,P,y}. Zobrazen í F dan e n a sledůj íc í tabůlkoů je prostym zobrazen ím A na B. x a b c y a 1 Inverzní zobrazení. Necht F je prosté zobrazení mnoZiný A na mnoZinu B. Potom existuje zobrazení, nazveme ho inverzním zobrazením množiny B na množinu A a označíme je F-i, kterým ke každému y E B přiřadíme ten prvek x E A, pro nějž platí F (x) = y. (Viz obr.7.2) Označení. Symbolem F 1 jsme oznacili inverzn í zobrazen í k zobrazen í F, nejedn a se o ůmocnen í zobrazen í F na c íslo (—1). Obrazek 7.2: Inverzn í zobrazen í 123 Příklad 7.6. Nechl; zobrazen í F množiny A = {1, 2, 3, 4} na množinu B = {0, p, x, 0} je d a no tabulkou : x i 2 3 4 y 0 p x 0 Tedy F(1) = 0, F(2) = p, F(3) = x, F(4) = -0. Toto zobrazen í je proste zobrazen í množiny A na mnozinu B. Existuje proto k nemu inverzn í zobrazen í, oznaCme je F-1. V tomto zobrazen í platí F-1(0) = 1, F-1(p) = 2, F-1(x) = 3, F-1(0) = 4. Toto inverzn í zobrazen í lze popsat tabulkou. y 0 p x 0 x i 2 3 4 V tomto inverzn ím zobrazen í je mnozina B neodvislym oborem a mnozina A je odvislým oborem. Vsimnete si, ze v tabulce popisuj íc í toto inverzn í zobrazen í, je neodvisle promenna oznaCena y (zastupuje kterýkoliv prvek z B) a z a visle promenna je oznaCena x (zastupuje kterýkoliv prvek mnoziny A). Ponevadz jsme zvykl í oznaCovat symbolem x neodvisle promennou a y odvisle promennou, muzeme pro inverzn í zobrazen í zavest ■ symbol x pro neodvisle promennou (symbol x muze zastupovat kterykoliv prvek neodvisl e ho oboru, to jest mnoziny B) ■ symbol y pro odvisle promennou (symbol y muze zastupovat kterykoliv prvek odvisl e ho oboru, to jest mnoziny A) Tabulka pro toto inverzn í zobrazen í ma pak tvar x 0 p x 0 y i 2 3 4 Složené zobrazení. Necht: p je zobrazení množiny A do množiny B. Necht: funkce f zobrazuje množinu Hv do množiny C. Potom zobrazení, označujeme je F, kterým ke každému x E A je přiřazen prvek z = f (p (x)) E C, nazývame složeným zobrazením. Zobrazení p nazývame jeho vnitřní složkou a zobrazení f nazývame jeho vnější složkou. Píšeme y = F (x). Je tedy F (x) = f (p(x)). Viz obr. 7.3. 124 Obrázek 7.3: Složen é zobrazen í Příklad 7.7. Nechť A = [a, b, c}, B = [a, [, 7}, C = [1, 2, 3}. Nechť zobrazen í f množiny A do mnoziny B je dáno ťabulkou x a b c u = f (x) a a zobrazen í f mnoziny Hv do mnoziny C je d á no ťabulkou u a [ y = f (u) 1 2 Zrejme Hv = [a, [3}. Poťom slozen e zobrazen í F = f (f (x)) zobrazuje A do C ťakťo F (a) = f (f(a)) = f (a) = 1, F (b) = f (f (b)) = f ([) = 2, F (c) = f (f (c)) = f (a) = 1. Toťo slozen e zobrazen í F muzeme popsať nasleduj ící ťabulkou: x a b c y 1 2 1 Poznamenejme, ze f je vniťrn í slozkou a f je vnejs í slozkou zobrazen í F. 7.3 Pojem funkce a některé její vlastnosti Uved'me si nyn í nekťere speci a ln í pojmy zobrazen í.V pr ípade, ze v definici 7.1 zobrazen í F je B mnozina c ísel, budeme veťsinou m ísťo pojmu zobrazen í pouz ívať pojem funkce. Pojmy svazan e s pojmem zobrazen í se prenas í na pojem funkce. Napr. m ísťo obor hodnoť 125 (7.1) (7.2) (7.3) zobrazen í se pouz íví obor hodnoť funkce, nebo m ísťo pojmu prosťe zobrazen í se pouz íva pojem prosťa funkce, m ísťo inverzn í zobrazen í se pouz íva inverzn í funkce, m ísťo slozen e zobrazen í se pouz íva pojem slozena funkce aťd. Příklad 7.8. Jako příklad si uved'me funkci, kťera vyjadřuje výsledky voleb do poslanecke snemovny. Nechť: cťyři poliťicka seskupen í, oznacme je a, b, c, d, z ískala křesla v poslanecke snemovne, a ťo posťupne v pocťech 70, 50, 60, 20. Poťom přiřazen í, oznacme je f, kťerym ke kazd e mu z poliťickych seskupen í a, b, c, d přiřad íme poceť křesel, kťera ve volbach z ískalo, je rea lnou funkcí. Je ťedy f (a) = 70, f (b) = 50, f (c) = 60, f (d) = 20. Oznac íme-li A = [a, b, c, d },B = [20, 50, 60, 70}, poťom A je neodvisl y obor funkce f a B je odvisl y obor funkce f. Funkce f zobrazuje A na B. Funkce je prosťa . Jestliže v definici zobrazení F jsou množiny A, B množiny reálných čísel, mluvíme o reálne funkci reálne promenne. Príklad. Příkladem re a ln e funkce re a ln e promenn e je zobrazen í mnoziny A =< 1/2, oo) do mnoziny B =< 0, oo) definovan e vzťahem y = y/2x - 1, x e A, y e B. Jestliže v definici zobrazení je množina A množinou uspořádaných skupin n-reálných číslech (tedy A C Rn) a B je množina realných čísel, potom zobrazení F množiny A do B nazýváme reálnou funkcí n-promenných. Jestlize X = (xi,... ,xn) je neodvisle proměnna s oborem hodnot A a odvisle proměnnou y, potom tuto funkci muzeme zapsat jako, y = F (X), resp y = F (xl ,...,xn). Jestlize funkce je zadana předpisem bez udaní definičního oboru, budeme jejím definičním oborem rozumřt mnořinou vřech hodnot neodvisle promenných, pro nřz mía daníy přredpis víyznam. Príkladem realn e funkce jedn e promenn e je funkce y = x2 + 1, kde neodvisle promenna x e (-o , o ). Jako príklad realn e funkce dvou promennych xi,x2 uveďme funkci z = \J 1 — x2 — x2. Ponevadz zde nen í uveden jej í definicn í obor, rozum íme jim (podle dohody) mnozinu vsech bodu [xi,x2], pro nez ma vy raz 1 — x\ — x2,. smysl. Je ťo mnozina D f = {[xi,x2] : x22 + x\ < 1}. 126 Graf funkce. V matematice rozumíme grafem funkce y = f (xi,x2,... ,xn)., s definičním oborem D f, množinu vsech bodu [xi,x2,... ,xn, f (xi,x2,..., xn)}, kde [xi,x2,... ,xn] E D f. Jako graf je teč označovýna grafická reprezentace teto množiny. Grafická reprezentace grafu funkce. Grafickou reprezentaci grafu funkce y = f (x) jedn e promenn e x muzeme provest takto. V rovine zvol íme pravouhly souradny syste m Oxy, kde O je poca tkem a x, y jsou souradn e osy (oznacen í nen í zavazn e ). Jsou to dve navzajem kolm e císeln e osy se spolecnym bodem O, ktery nazyva me pocatkem. Osu x budeme volit v horizontaln í poloze a osu y ve vertika ln í poloze. (Dohoda.) Kladnou orientaci osy x budeme volit zleva doprava, kladnou orientaci osy y budeme volit zdola nahoru. Merítka na souřadnych osá ch mohou byt obecne odlisn a . Jsou-li stejna, mluvíme o kartezskem souradnem sýstemu. Kazd e mu bodu v rovine odpovíd a uspořadaní dvojice rea lnych c ísel a naopak, kazd e uspoří dan e dvojici rea lnych c ísel odpovíd a bod v rovine. Prvn ímu z teto dvojice císel říkame x-ova souřadnice a druhemu říkame y-ova souřadnice. Na (obr.7.4) je znazornen bod [x0,yo]. y yo O xo x Obrazek 7.4: Souřadnice bodu Ve zvolen e m souřadn e m syste mu vykresl íme jednotlive body grafu. Mus íme m ít na pameti, ze při vykreslovan í jednotlivych bodu jsme omezeni technickymi moznostmi. Na n a sleduj íc ím obr.7.5 je znazornen graf funkce y = x2 definovan e na intervalu (—2, 2). 127 y Obrázek 7.5: Graf paraboly y = x2 Definiční obor funkce z = \Jl — x2 — y2 je kruh se středem v bode [0, 0] o polomeru r = 1, znázornený na obr.7.6. y' c O ^ x Obrazek 7.6: Definiční obor funkce z = \Jl — x2 — y2 O moZnostech grafičke reprezentace funkcí dvou a více promenných pojedname pozdeji. Posloupnost reálných čísel. Reálnou funkci f, jejíž neodvislý obor je množina přirozených čísel, nazýváme posloupností. Je tedy posloupnost pravidlo, jimž je ke každému pžirozenemu žíslu n pžižazen prvek z nžjeke množiny B. Je-li B množina reálných žísel, mluvíme o posloupnosti realných žísel. Posloupnost realných císel je tedy pravidlo, oznacmeje f, kterým ke kazdemu prirozenemu 128 číslu n je přiřazeno č íslo /(n), n =1, 2,____M ísto /(n) je u posloupností zvykem psát fn. Císlo /n nazýváme n-tým členem posloupnosti. Tuto posloupnost bývá zvykem zapisovat tez symbolem {/n}c^=\, nebo stručneji {/n}^°, resp. /u/2,... (7.4) Příklad 7.9. Jako příklad si uveďme posloupnost {l/n}^°. Tedy např. pátý člen této posloupnosti (pro n = 5) je roven 1/5. Na následujícím obrázku obr.7.7 je znazornéno prvních pet členu posloupnosti {1/n}^°. 1 2 3 4 5 x Obrazek 7.7: Posloupnost {1/n}^° Často se znazorřují pouze hodnoty j\, f2, f3, ... na číselne ose, ktera se kreslí ve vodorovne poloze. Např. na obr.7.8 je znazorneno nekolik členu posloupnosti {fn}T. -•—•—•-•-•— fl f2 f3 í4 f5 Obrazek 7.8: Posloupnost {1/n}± Kontrolní otázky 1. Co je to zobrazení F mnoziny A do mnoziny B? Co je to definiční obor zobrazení, čo je to obor zobrazení? 2. Vysvetlete, čo je to proste zobrazen í A na B. 3. Co je to inverzn í zobrazen í? 4. Co je to funkče jedn e promenn e ? Co je to funkce v íče promennyčh? 129 7.4 Reálná funkce reálne promenne Pojednejme nyní soůstavne o realne fůnkci jedne realne promenne. Zopakůjme si jeste jednoů zaveden í tohoto pojmů. Predpokladejme, ze A, B jsoů neprazdne mnoziny realnych císel. Potom predpis f, jimz ke kazdemů prvků x E A je prirazen práve jeden prvek y E B, nazyvame reálnoů fůnkcí realne promenne. Pokůd nemůze dojít k omylů, bůdeme v dalsím zkracene mlůvit jen o funkci. Tůto fůnkci f bůdeme vetsinoů zapisovat takto y = f (x), x E A. (7.5) Mnozinů A nazyvame neodvislým oborem, promennoů x s oborem hodnot A nazyvíme neodvisle promennoů. Mnozinů B nazyvame odvislym oborem. Je nůtno si ůvedomit, ze v B mohoů existovat císla, ktera nejsoů prirazena zadnemů císlů x E A. Mnozinů vsech tech císel y E B, ktera jsoů prirazena ke vsem císlům x E A, nazyvame oborem fůnkce f. Neodvisly obor fůnkce f nazyvame tez definicním oborem, bůdeme jej znacit D(f), resp. Df. Obor fůnkce bůdeme znacit H (f), resp. Hf. Zrejme Hf C B. Bůde-li fůnkce f zadaní predpisem bez ůdíní definicního oborů, rozůmí se jím mnozina vsech tech císel, pro nez ma predpis prirazení vyznam. Jestlize M C Df, potom mnozinu {f (x) : x E M} lze označit jako f (M). V matematice oznaCujeme většinou neodvisle proměnnou x a odvisle proměnnou y. Toto označení je nepodstatne, takže funkci (7.5)lze zapsat tíž napě. jako u = f (t), t E A. (7.6) Zde neodvisle proměnná je oznažena t a odvisle proměnna je oznažena u. (Je nepodstatne oznažení neodvisle proměnně a odvisle proměnně; podstatním je pouze obor jejich hodnot a pžedpis prirazení f.) Uved'me si nekolik příkladů. Príklad 7.10. Polozme y = 2x + 1, x E (1,4). (7.7) Ke kazdemů císlů x E (1,4) se prirazůje vztahem (7.7) prave jedno císlo, totiz císlo 2x + 1. Je tedy 2x + 1 fůnkce definovana na intervalů (1, 4). Pro pohodlnejsí zípis si napríklad oznacme tůto fůnkci jako g(x), takze g(x) = 2x + 1. Např. k císlů 3 je toůto fůnkcí prirazeno císlo 2 • 3 + 1, to jest císlo 7. Místo rcení „k císlů 3 je prirazeno císlo 7" můzeme tez říci, ze fůnkce g nabyva v bode (císle) 3 hodnotů 7. Píseme pak g(3) = 7. Podobne g(1,5) = 2 • 1,5 + 1, to jest g(1,5) = 4. Lehce nahledneme, ze oborem fůnkce g je interval (3,9). Píseme tez g((1,4)) = (3,9) 130 Príklad 7.11. Položme y = V2~xTl. (7.8) Predpisem (7.8) je definovana funkče. Ponevadž nen í uveden jej í definičn í obor, rožum í sej ím množina vsečh tečh č ísel x, pro než ma předpis V 2x + 1 vyžnam. Tedy D(f) = {x G R :2x + 1 > 0}. Tedy D(f ) = (1 ±oo). Príklad 7.12. Ožnačme h funkči h(x) = \lx2 r 1 s definičn ím oborem A = (r3, r1) U {1, 3). Tuto funkči lže žapsat tež takto h : (r3, r1) U {1, 3) — R, Poznámky ke grafické reprezentaci funkci jedné proměnné Grafickou reprezentací grafu funkce f : A — B, A c R, B c R v pravouhlem souradnem sýstemu 0xy rozumíme množinu všech bodu [x, f (x)], x G A. Grafička reprežentače grafu vetsiny funkč í, ktere se vyskytuj í v ekonomičkyčh aplikač íčh, odpovída intuitivn ímu čh a pan í krivky v rovine. Jako příklad si uved'me graf funkče x — V x2 r 1. x G {r2, 2) uvedeny na obr. 7.9 —\-1—^ -2 -1 0 2 y = x x Obrázek 7.9: Gľ&f funkce y = x2. 131 Grafy některých funkc í si nedovedeme vykreslit. Př íkladem je funkce 1, je-li x racion a In í X ~^ ' —1, je-li x iracionain í. Vytvoření si představy o grafu funkce jedné proměnné. K výtvoren í si hrube představý o grafu výsetřovan e funkce f : A — tí si v mnozine A muzeme zvolit bodý x0 < x1 < x2 < • • • < xn a v nich výpocítat funkcn í hod-notý f(x0),f(x1),f(x2),...,f(xn). Jestlize pro nejake i je {xi,xi+1) C A, spoj íme bodý [xi, f (xi)], [xi+1, f (xi+1)] useckou. Pro„slusn e" funkce, nejsou-li vzd a lebosti bodu xi,xi+1 velke, nam týto usecký daj í dobrou predstavu o grafu funkce. T ímto zpusobem se prova d í i výkreslovan í grafu funkcí uzitím pocítace pro jemn e delen í intervalu, v nemz graf výsetřujeme. Na obr. 7.10 je schematický na crtek grafu funkce y = TG(x), definovan e na intervalu < 0,n > takto TGX)^)^ prc X = i*3' ^ U (2n' (7.9) Poznámka. Zrejme pro x e< U,n >,x = n/2 je T G (x) = tg(x), v bode x = n/2 nen í funkce tg(x) definovan a, avSak funkce T G (x) je v bode 0 definovan a a plat í TG(0) = 0. Graf funkce y = T G (x) je vykreslen na obr.7.10. 132 Obrazek 7.10: Graf funkce definovan e vzťahem (7.9). Na obr. 7.11 je graficky „zn a zornena" funkce (7.9) propojen ím bodu [xk ,TG(xk)], kde xk = k • 0, 2, k = 0, ••• , 16. Porovná n ím obr. 7.11 s obr. 7.10 vid íme, ze doslo ke znacn e mu zkreslen í. Dana funkce nen í „slusn a". Je v bode n nespojiťa. Pojem nespojiťosťi funkce si vysveťl íme pozdeji, zaťím poznamenejme alespon ťo, ze hodnoťy ťeťo funkce se v bodech „ velice bl ízkych k c íslu n " navz ajem znacne lis í. 133 v. 1 -----'---- 1 2 0 1 .-------- 7T x Obrízek 7.11: Pokus o vykreslen í funkce y = tg(x) Obdržený výsledek ukazuje, ze výse uvedeny postup „zn azornén í funkce" nen í postacuj íc í, je nutno jej kombinovat s vysetřen ím nékterych vlastnost í funkce. V ekonomických rozvahach se bez pojmu funkce neobejdeme. Oznacova n í funkce a neod-visle a odvisle proménnych se vétsinou zavad í s ohledem na jejich vyznam a zvyklosti. Jako příklad funkce, kterí se v ekonomickych aplikacích vysetřuje, je funkce C (x), ktera vyjadřuje vztah mezi vyrobou x jednotek produkce a celkovymi naklady na jejich vyrobu. Tyto vyrobn í n a klady jsou souctem fixn ích nakladu a n a kladu variabiln ích, zavislych na poctu x jednotek produkce. Funkce se pak nazyva funkcí prumérnych nakladu. Uved'me si tento pr íklad. Příklad. Při kalkulaci n a kladu se odhadnou fixn í naklady na 300 p.j. (penézn ích jednotek). Jsou to n a klady, které vznikaj í, ať se vyrab í nebo ne. Kromé toho se zjistí, ze na vyrobu x jednotek je zapotreb í 4x p.j. Tedy variabiln í naklady jsou 4x. Celkové naklady jsou tedy C (x) = 300 + 4x. Tuto funkci lze pak pouz ít k dalsím uvah a m, napr. ke stanoven í prumérnych nakladu AC 300 AC = 4+--. x Funkce C (x) ovsem nemus í byt linearn í. Dale v praktickych uloh a ch nemuze x presahnout jistou hodnotu K. Tedy 1 < x < K. Poznamenejme, ze x v uveden é m příklade znac í pocet jednotek produkce. Tedy x muze byt v konrétn ím prípade jen prirozen é c íslo. Kvuli zjednodušení zkoumané ekonomické problematiky se často pouzívá model s proměnou x, které nabývé všech hodnot jistého intervalu realných čísel. Tím můžeme dostat zkreslene výsledky. 134 7.4.1 Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá Uveďme si nyn í některé význačn é třídy funkcí, to jest funkcí s některými třídě charakteristickými vlastnostmi. Zacneme s monotónními funkcemi. Uloha. DokaZte, Ze funkce y = x je na sve m definicn ím oboru rostoucí Na obr. 7.12 je uveden příklad grafu funkce rostoucí a na obr. 7.13 je uveden príklad grafu funkce neklesaj ící na intervalu I. f (X2) f (xi) 0 xi j X2 Obrazek 7.12: Graf rostoucí funkce. f (X i) = f (X2) 0 xi x2 j x Obrazek 7.13: Graf neklesaj ící funkce. Funkce na obr. 7.10 je na intervalu (0, -) rostoucí, je rovneZ rostoucí na intervalu Nen í rostouc í ani na intervalu (0, -) ani na intervalu - n 2 ,1X I Nen í ani rostouc í na intervalu (0,n). Zduvodnete! Funkce nerostoucí a funkce neklesaj íc í na dan e mnoZine nazýva me spolecným nazvem funkce monotónní. Funkce rostouc í a funkce klesaj ící na dan e mnozine nazývá me spolecným ní zvem funkce ryze monotonní. Je-li funkce rýze monotonn í, je i monotonn í. Opak nemus í platit. 135 Funkce prostá. Dalším důležitým pojmem je funkce prostá. Necht f : A C E — E. Funkci f nazveme prostou na A, jestliže f má tuto vlastnost Vxi,x2 e A,xi = X2 je f(xi) = f(X2). (7.12) Príklad 7.13. Necht: funkce y = f (x) je dana tabulkou x 1 3 3,5 4 5 y 3 1 0 2 4 Tedy napr. f (3) = 1, f (4) = 2 atd. Tato funkce je prosta. Není vsak ani rostoucí ani klesající. Príklad 7.14. Funkce y = x2 nen í na intervalu (—2, 2) prosta. Oznacme f (x) = x2. Zvolme napr. x1 = —1, x2 = 1. Je tedy x1 = x2, avsak f (x1) = f (x2) = 1. Viz obr. 7.14. -2 -1 0 1 2 x Obrazek 7.14: Funkce y = x2 definovan a na intervalu (—2, 2). Avsak funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prostá . Viz obr. 7.15 136 f (X2 ) 4- f (xi) + x\ x2 2 Obrazek 7.15: Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prost a. Porovná n ím definic í rostouc í funkce, klesaj íc í funkce a prosté funkce dospějeme k tomuto závěru: Funkce ryze monotónní na A C R je na A též prostá. Existuje vžak funkce prostí, která není ryze monotónní (viz příklad 7.13). Definice 7.4. Řekneme, ze funkce y = f (x) je sudá (lichá), ma-li tuto vlastnost: Je-li definovana v bode x, je definovan a i v bode (—x) a platí f (—x) = f (x), (f (—x) = —f (x)). Z definice je tedy patrno, ze graf sud e funkce je symetricky vzhledem k ose y a graf lich e funkce je symetricky vzhledem k pocatku. Příkladem sud e funkce je funkce y = x2. Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a platí (—x)2 = x2. Príkladem lich e funkce je funkce y = x3. Skutecne, tato funkce je definovan a pro vsechna x a platí (—x)3 = —x3. 137 7.4.2 Funkce složená a funkce inverzní Slozena funkce. Necht A je neodvislý obor funkce u = p(x). Označme B = p(A) odvislý obor funkce p. Necht: f (u) je funkce definovaná na množině B. Ke každému číslu x E A přiřaďme číslo F (x) vztahem F (x) = f (p(x)), (7.13) to jest hodnotu funkce f v čísle u = p (x) E B. Funkci f nazývame vnejší složkou a funkci p vnitřní složkou funkce F. Príklad 7.15. Funkd y = (x2 + ľ)7, x E (—o, oo) muzeme Ch apat jako slozenou funkd. Polozme A = (—o,o), u = p(x), kde p(x) = x2 + 1, x E A. OznaCme B = p(A), tedy B = (1, o). Polořzme y = f (u), kde f (u) = u7, u E B. Potom ke kazd e mu x E A je funkC í p prirazeno u = p (x) E B .K tomuto Císlu u je funkC í f prirazeno C íslo y = f (u). Tedy y = f (p(x)). Je tedy f (u) = u 7 vnejs í a u = x2 + 1 vnitrn í slozkou funkCe y = (x2 + ľ)7. Poznamka. Složená funkce muže být vícenásobně složená. Např. jestlize f je jej í vnejs í slozkou a p je jej í vnitřn í slozkou, potom vnitřn í slozka p muze byt opet slozenou. Inverzní funkce. Necht: funkce y = f (x) je definovana na množine A a je na ní prostá. To žnamena, ěe pro každa dve ěísla x\,x2 E A, x\ = x2 je f (xi) = f (x2). Ožnaěme B = f (A). Ke kazd e mu y E B přiřaďme to C íslo x E A, pro nejz je f (x) = y. Tím jsme žavedli pravidlo, jimě ke kaědemu y E B je přiraženo x E A. Je tak definovaní nova funkce, ožnaěme ji f-1, jejímě neodvislým oborem je mnoěina B a odvislým oborem je mnoěina A. Ponechíme-li ožnaěeníy pro proměnnou s oborem B a x pro proměnnou s oborem A, piseme x = f-1(y), y E B, x E A._ V definici inveržní funkce je podstatný předpoklad, ěe f je na svím definicním oboru prosta. Takovymi funkCemi jsou např. funkCe ryze monotonn í na sve m definiCn í oboru. 138 Na obr. 10.2 je v kartézském souřadném systému znázorněn graf funkce y = f (x) rostoucí na intervalu A = D(f), tedy graf funkce prosté. Graf funkce x = f~l(y) je totoZny s grafem funkce y = f (x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvisly obor na ose y a odvisl y obor na ose x. { y = f (x), x = f 1 (y) / / / / B / 0 / / A x Obrázek 7.16: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y). Oznacíme-li x neodvisle proménnou jak pro funkci f, tak i pro funkci f \ zapíseme obé funkce takto y = f (x), x e A, y e B, y = f ~\x), x e B, y e A. (7.14) Jestlize jejich neodvislé obory vyznacíme v kartézském souradném systémy na vodorovné ose, jsou grafy funkcí f (x), f-1(x) symetrické s osou symetrie y = x. Graf inverzní funkce f-1(x) jsme dostali překlopením grafu f (x) kolem prímky y = x. 139 Obrázek 7.17: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y). Z definice inverzn í funkce vyplývá • je-li a E D(f), potom a = f-1(f (a)) • je-li a E D(fpotom a = f (f-1(a) y f (x), (7.15) dostaneme k ní funkci inverzní tak, ze z rovnice (10.21) vypočítáme x pomocí y. Pojem inverzní funkce vede k zavedení nových funkcí, jak později uvidíme. Příklad 7.16. K funkci y = 2x + 1, x G (1, 3) urCete funkci inverzn í. Řešení. OznaCme f (x) = 2x + 1,A = (1, 3). OznaCme B = f (A). Dostává me B (3, 7). Z rovnice y = 2x + 1 vypoC ítá me x. Dostává me x x= \ y - y 1. Tedy funkce je inverzn í k zadan e funkci f, je definován a na intervalu B. Zmenou oznacen í pro neodvisle a odvisle promennou dosta vame hledanou inverzn í funkci 11 y = 2x - 2' x G B' y G A. Grafy zadan e funkce a funkce k n í inverzn í jsou na obrazku 7.18. Je-li prosta funkce dana rovnici i 2 140 13 7 x Obrazek 7.18: Grafy funkcí y = f (x), y = f i(x) z príkladu 7.16.. Kontrolní otázky 5. Necht f (x) = 3xT. Vypoc ítejte a) f (2) [7] b) f ((0, 3)) [nelze, v bode 1 E (0, 3) nen í f (x) definova no] c) f ((5, 6)) 6. Urcete definicn í obor funkce f (x) 3x+i x2 — i ' 7. Zjistete, zda funkce jsou sud e, resp. lich e : a) f (x) = xĚí b) 9(x) = d) u(x) = x2ti [(5, 4)] [Df = (—oc, — 1) U (—1,1) U (1, oc)] [suda] [nen í ani suda, ani lichí ] [licha] [lich a] 8. Co je to funkce rostouc í, klesaj íc í, monotonn í? 9 Nacrtnete grafy funkc í a) y = 2x 1 b) y = x3 + 1 c) y 3x+i x-2 141 Kapitola 8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné Úvod. V této kapitole se zaměříme na zaveden í pojmu limity reá In é funkce f (x) jedn é proměnn e v dan e m bode. Pojem limity funkce f (x) v dan e m bode pak pouZijeme k zaveden í pojmu spojitosti funkce f (x) v dan e m bode. V teto kapitole budeme tam, kde nemuZe doj ít k omylu, pouZ ívat pojem funkce m ísto realná funkce rea ln e promenn e . Pojem limity je dulezitym pojmem, ktery je za kladn ím pojmem např. pro zaveden í pojmu derivace funkce a uřčiteho integrálu z dane funkce. Dříve nez zaCnete studovat podrobne tuto kapitolu, zopakujte si z kapitoly o CísleCh zaveden í nevlastn fch Císel —oo, oo a rozs řen í nekteryCh operaC í,, + , —, •, : " na R*. Dá le si zopakujte pojem okol í jak re aln e ho C ísla, tak i nevlastn íCh C ísel. NeCht a, 5 jsou realná Císla. Potom mnozinu < a, a + 5)...... nazyvame pravym 5—okol ím bodu a, znaC íme U+(a) (a — 5, a >......naz yvame levym 5—okol ím bodu a, znaC íme U-(a) (a — 5, a + 5)......nazyví me 5—okol ím bodu a, znaC íme U (a). NeCht; a = —o, 5 E R. Potom mnozinu (—o,5)...... nazyva me 5— okol ím bodu —o a znaC íme U (—o), resp. U+(—oo) NeCht; a = o , 5 E R. Potom mnořzinu (5, o)...... nazyvame 5—okol ím bodu o a znaCíme U (o), resp. U-(oo) 142 8.1 Limita funkce jedné proměnné v daném bodě Úvodní poznámky k zavedení pojmu „limita reálné funkce jedné proměnné" Začněme s vyšetřováním funkce , sin x f (x) = - x v bodech x = 0 „v blízkosti bodu" x = 0. Funkce f (x) není v bode x = 0 definovaná. Uved'me si hodnoty teto funkce v nekolika bodech: x ±1,5 ±1 ±0,5 f (x) x 0,664996... ±0,1 0,841470... ±0,01 0,958851... ±0,001 f (x) 0,998334... 0,999983... 0,999999. Uvedene hodnoty nás vedou k domnence, Ze cím x je „blíZe" k císlu 0, x = 0, tím f (x) je „blíZe" k císlu 1. Slovo „blíZe" budeme precizovat takto: K libovolnemu e > 0 lze urcit císlo 5 > 0 tak, Ze pro x e U(0), x = 0, je ^ e Ue(1), to jest pro x e (-5,5), x = 0, je 1 — e < < 1 + e. DukaZ pravdivosti teto domnenky nebudeme ted' provadet. PonevadZ tato domnenka je pravdiví, budeme říkat, Ze funkce ^xx* ma v bode 0 limitu rovnu „1" a tuto okolnost budeme psít jako x^0 x Dříve, neZ přikrocíme k exaktnímu Zavedení pojmu „limita funkce f (x)" v danem bode a e R*, zavedeme si tento pojem na zaklade neupřesněných pojmu. Doufam, Ze to pomuZe k pochopení tohoto pojmu. Pojem limity funkce je Zakladním pojmem, jemuZ je nutno dobre poroZumet. Toto porozumení je důležitější než naučení se přesnému znění definic a vet, kterí dávají návod k jejich výpoětu. Pokus o osvetlení pojmu limita „limx^a f (x) = a" v následujících případech. ■ I a e R, a e R |. Rcen í „limita funkce f (x) v bode a e R je rovna a e R", ktere symbolicky Zapisujeme „ako lim f(x) = a, Znamena, nepresne receno, toto: Zvolíme-li jakekoliv císlo e > 0, potom v kaZdemm císle x, dostatecne blíZkem k císlu a, ale ruZnem od a, je funkce f definovana a nabyva v nem hodnotu f (x), lisící se od císla a o mene neZ e. Uved'me tento příklad. Lehce nahledneme, Ze pro vsechna x = 2, ktera se malo lisí od 2, je Xxrp[ definovano a Xxr+í se malo lisí od | = 0,8. (Napr. pro x = 2,01 143 dostávame x + 2 í x + 2 \ \x:2 + ly x=2)qi 0,795619... á pro x = 2,001 dostáváme ( x + 2 ^ V x2 + 0,7995602... x=2,QQ1 To nás vede k domněnce, ze x + 2 4 lim —— = - = 0.8 x—2 x2 + 1 5 a E R,a = oo |. RCení „limitá funkce f (x) v bode a E R zprává je rovná oo", i o rr-» o i -i ktere symbolicky zápisujeme jáko nm f (x) = cx^ x—a+ známená,Ze jestliZe zvolíme libovolne velke Císlo K, potom pro vsechná Císlá x > a, dostáteCne blízká k císlu a, nábyvá funkce f (x) hodnotu vetsí nez zvolene císlo K. Uved'me tento příklád. Nechť f (x) = . Lehce náhledneme, ze zvolíme-li jákekoliv císlo K, potom pro vsechná císlá x, dostátecne blízká k císlu „2 mzná od 2", je f (x) = — > K. Nápr. pro x = 2, 001 je f (2, 001) = 1000 á pro x = 2, 000001 je f (2,000001) = 1000000 Budeme tedy psát lim f (x) = lim -= oo, | a = oo,a E R |. Rcení „limitá funkce f (x) v bode oo je rovná a E R", ktere symbolicky zápisujeme jáko lim f(x) = a, x—»oo známená, nepresne íeceno, toto: Jestlize e je libovolne zvolene císlo > 0, potom funkce f je v kázdem dostátecne velkem císle x definováná á její hodnotá v nem se lisí od a nejvýse o e. Uved'me tento příklád. Nechť f)x) 2x2 + x + 1 x2 — 1 Tuto funkci muzeme pro x > 0 prepsát tákto (citátele i jmenovátelá delíme x2) 2x2 + x + 1 = 2+ 1/x + 1/(x2) x2 — 1 = 1 — 1/(x2) 144 Čitatel se pro hodne velka x malo lisí od „2" a jmenovatel se pro velke hodnoty x malo lisí od „1", takze pro hodne velkí x se hodnota ůvazovane fůnkce mílo lisí od „2". Např pro x = 100 je +x+1 / 2x2 + x + 1 \ V x2 — 1 / x=100 2,010301 . . . . Rozborem tedy dojdeme k zaverů, ze jsme opravneni psat 2x2 + x + 1 lim -2---= 2 x—oo x2 — 1 a = oo,a = oo I Rcení,, limita fůnkce f (x) v bode oo je rovna oo", ktere symbolicky zapisujeme jako lim f (x) = oo x—oo znamena, nepřesne receno, toto: Zvolíme-li jakekoliv velke císlo K, potom pro vsechna dostatecne velkí císla x je fůnkce f definovana a je v nich vetsí nez K. Vyslovme domnenků: x2 + 1 Uvazme, ze pro x > 0 platí f(x) lim -= oo x—o x + 1 x2 + 1= 1 + 1/(x2) x + 1 = 1/x + 1/(x2), takze pro dostatecne velka x je f (x) vetsí, nez zvolene K. Např. pro x = 1000 je f(x) > 999. Osvřetlete si tyto zíapisy a) lim lnx = —o b) lim = o c) lim -3x^ = — oo a nakreslete grafy fůnkcí, jejichz limity v príslůsnych bodech jsoů ůvedeny a vyslovte domnenků o hodnote príslůsne limity. Limita funkce jedné proměnné Po ívodních slovech k zavedení pojmů limity ůvedme si její přesne zavedení. 145 Definice 8.1. (Limita funkce jedné proměnné) Necht: y = f (x) je reálná funkce reálné proměnné x. Necht: a E R*. Řekneme, ze funkce f (x) má v bode a limitu a E R* á píšeme lim f (x) = a, x—a jestliže ke káždemu e-okolí bodu a existuje 5-okolí bodu a ták, že 1. funkce f (x) je definováná v Us (a) — {a} 2. pro vSechná x E Us (a) — {a} plátí f (x) E Ue(a). Ná obr.(8.1) je schemáticky znázornená gráficky znázornená definice limity funkce f (x) v bode a. Číslo e libovolne volíme (tj. volíme libovolne Ue(a). Touto volbou urcujeme „blízkost" hodnot „a, f (x)". K císlu e (k okolí Ue(a) se urcuje 5 ,(t.j. Us (a),). Pro x E (Us (a) — {a} se požáduje, áby f (x) E Ue(a). Obrížek 8.1: limx—a f (x) = a, Ukážme, ják lže tuto definici preformulovát v jednotlivých pčípádech. ŘČekneme, Čže funkce f(x) m á v bodČe a E R limitu a E R,a E R, lim f (x) = a. a á piseme nm f (x) = a, jestliže k libovolnemu vlástnímu císlu e > 0 lže urcit tákove vlástní císlo 5 > 0, že pro vsechná x E (a,a + 5), (tj. pro x E U+(a) — {a}) je funkce f (x) definováná á f(x) se lisí od a nejvyse o e, tj. f (x) E< a — e,a + t>. 146 Definici limx—a+ /(x) = a, osvětluje následující obrázek 8.2 a G R,a = oo, lim /(x) = oo. x—a+ Obrázek 8.2: limx—a+ /(x) = a, Řekneme, Ze funkce /(x) má v bode a G R limitu zprává rovnu o á píSeme lim+ /(x) = o , x— a+ jestliZe pro káZde libovolne velke Císlo e lze urCit tákove vlástní Císlo 5 > 0, Ze pro vSechná x G (a,a + 5), (tj. pro x G U+(a) — {a} je funkce /(x) definování á /(x) > e. Defnici limx—a+ /(x) = o osvetluje ná následující obrázek 8.3. I Obrázek 8.3: limx—a+ /(x) = o 147 a = oo,a E R, lim f (x) = a. I. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode oo limitu x—»oo rovnu a a p i seme lim f (x) = a, jestlize pro kazd e libovolne mal e císlo e > 0 lze urcit takove císlo 5 > 0, ze pro vsechna x E (c (a — e,a + e). vsechna x E (5, oo), (tj. pro x E U+(a)) je funkce f (x) definovan a a f (x) E e Definici limx^o f (x) = a osvetluje nasleduj íc í obrí zek 8.4 a + f (x) a a — e Obra zek 8.4: limx^o f (x) = a a = to, a = to, lim /(x) = to . Řekneme, že funkce /(x) m á v bodě to limitu rovnu o a p i seme lim f(x) = o , Jestliže pro kážde libovolne velke Císlo e > 0 lze urCit tákove vlastní Císlo 5 > 0, že pro vsechná x E (5, to), (tj. pro x E UJ(a) je funkce /(x) definován á á /(x) E (a — e,a + e). Definici limx—00 /(x) = to osvetluje n á sleduj íc í obrá zek 8.5 148 U e (a) f (x) b ô Obrázek 8.5: limx—o0 f (x) U5 (OC) oo V bodech a G E zavádíme i limitu zprava a limitu zleva funkce /(x) takto: Definice 8.2. Řekneme, Ze funkce /(x) ma v bode a G E limitu zprava (zleva) rovnu Číslu a G E* a píSeme lim f (x) = a x—a+ lim f(x) = a ) jestliZe ke káZdemu e-okolí bodu a G R* existuje práve (leve) č-okolí bodu a ták, Ze 1. funkce f (x) je definovaná v U+(a) — {a} (U-(a) — {a}) 2. pro vSechna x G U+(a) — {a} (x G U-(a) — {a}) plát í f (x) G Ue (a). Poznámka 1. JestliZe definiCn ím oborem funkce f (x) je intervál (c,d), budeme nekdy ■ m ísto lim f (x) psát lim f (x),ponevádZ funkce f (x) nen í definován á pro x < c, x—c+ x—c tákZe funkce f (x) muZe m ít v bode c jen limitu Zprává. ■ m ísto lim f (x) psát lim f (x), ,ponevádZ funkce f (x) nen í definování pro x > d, x—d— x—d tákZe funkce f (x) muZe m ít v bode d jen limitu Zlevá. Poznámka 2. Vsimnete si, Ze oZnácen í lim f (x) (lim f (x)) je vlástne rovneZ x—-o x—o oZnácen í pro jednostránn e limity. Poznámka. Vsimnete si, Ze jestliZe funkce f (x) m á v bode a G R limitu Zprává i limitu Zlevá rovnu te muZ císlu a, potom funkce f (x) má v bode a teZ limitu lim f (x) á táto x—-o limitá je rovná a. 149 Poznámka3. Necht, a E R*, necht: existuje 5 E R tak, že f (x) = g (x) pro x E U (a) — {a}. Potom existuje-li lim f (x), existuje i lim g (x) a platí x—ta x—ta lim f(x) = lim g(x). x— a x— a Podobne pro lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x). x—a+ x—a— x——oo x—o 1 x— 1' Příklad 8.1. Funkce /(x) = je pro všechna x = —1 rovna funkci g(x) Lze doka zat, ze lim g(x) = — 1. Podle prá ve uveden e pozn a mky je tedy lim /(x) x— — 1 2 X— — 1 lim g(x) = — 2. X— —1 2 I Funkce f (x) nemusí mít v danem bode limitu. Uveďme tyto příklady. Příklad 8.2. Nechť f(x) = 1 pro x racionaln i, f(x) = —1 pro x iracion aln i. Necht a E R. Potom neexistuje lim f (x) ani lim f (x). x—a+ x—a— Skutecne. V kazd e m intervalu (a, a + 5) ((a — 5, a)) jsou jak bodý x, v nichz je f (x) = 1, tak bodý x, v nichz je f (x) = —1. Tedý neexistuje ani lim f (x) ani lim f (x). Příklad 8.3. Ukazme, ze neexistuje lim sin -. x—0+ x Řešení. Predevs ím zvazme, ze funkce sin x je definovana pro vsechna x = 0. Polozme xk = (2k + 1)- ' h =1, 2,... Zřejme posloupnost {xk}k°=1 m a limitu rovnu 0, tj. lim xk = 0. Dale 1 = sin(2k + 1) - ={ ~l Pr0 k 'ÍChé' xk 2 \ 1 pro k sudé. Tedý v kazdem intervalu (0,5) jsou jednak bodý, v nichz funkce sin x nabýva hodnotý — 1, jednak bodý, v nichz funkce sin - nýbýva hodnotý 1, takze neexistuje lim sin -. x x—0+ x Na obr. 8.6 je význacen graf funkce sin - pořízený na pocítaci. 150 o -1 Obrázek 8.6: Graf funkce sin 1. x 8.2 Spojitost funkce jedne proměnné v daném bode Pojem spojitosti funkce /(x) v daném bodě a lze zavést pomocí pojmu limity funkce /(x) v bodé a takto. Definice 8.3. (Spojitost funkce v bode) Necht: funkce f (x) je definovaná v bodě a E R a necht: lim f (x) = f (a) x—a ( lim f (x) = f (a)) [ lim f (x) = f (a)]. Potom f (x) je v bode a spojitá (spojitá x—a+ x—a— zprava) [spojitá zleva]. Je-li a levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, na nemZ je funkce definovana, mUZeme říkat, Ze funkce f (x) je v bode a spojita místo f (x) je v bode a zprava (zleva) spojitáa. Jestliže funkce /(x) je v bode a E R spojitá, potom výpočet limity funkce /(x) v bode a lže určit pouhým výpočtem hodnoty funkce /(x) v bode a. Z dřívějšího studia byste meli vedet, že elementární funkce:,, polynom, racionální lomená funkce y/x, ax loga x, sin x, cos x, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x " jsou spojité v každém bode sveho definičního oboru. Pokud vám tyto funkce nejsou dostátecne žnáme, prostudujte si kápitolu o elementárních funkcích. Toto studium mužete si odložit ná poždějsí dobu. Uved'me si nekolik příkladu. 151 Příklad 8.4. Dokažme, že lim logx = 1, lim sinx = ^■ X—lO ° x—n 2 Skutečné- Funkce logx, sinx jsou spojité v každem bode sveho definičního oboru- Tedy lim log x = log 10 = 1, lim sin x = sin — = ^—. x-io 6 6 ' x- f 4 2 Příklad 8.5. Necht: n G N. Dokazme lim xn = í °' n je Sude' x^-oo \ -OD, n je liche. SkuteCne. Necht, n je sudé. Necht: e > 0 je libovolne Číslo. Bez újmy na obecnosti mUžeme předpokládat, Ze e > 1. Polozme 5 = — . Potom pro x G Us(—oo), tj. pro x G (-oo, — ýe) je xn > e, tj. xn G Ue(oo), takže lim xn = o pro n sudíe. x^—oo Podobne se dokaže, že pro n liché je lim xn = —o. x—t—oo Příklad 8.6. Vypočítejte lim(3x2 — 4x + 1). x—2 Řešení. Polynom je funkce spojita v každem bode x G R, tedy i v bode 2. Limita v bode a, v nemž je funkce spojita, je rovna její funkcní hodnote v bode a. Tedy lim(3x2 — 4x + 1) = 3 • 22 — 4 • 2 + 1 = 5. x— 2 Příklad 8.7. Vypočítejte v 3x + 2 hm —--. x->2 x2 — 1 Řešení. Funkče f (x) = Xfzf je racionální lomená funkče. Víme, že racionální lomená funkče je spojitá v každem bode sveho definičního oboru, to jest v každem bode, v nemž je jmenovatel nenulový. V naSem případe je jmenovatel x2 — 1 v bode 2 roven 22 — 1 = 3, takže funkče f (x) je v bode „2" spojitá, takže lim f (x) je rovna f (2). Dostáváme tedy x—2 , 3x + 2 3 • 2 + 2 8 lim —-= —--= -. x—2 x2 - 1 22 - 1 3 Příklad 8.8. Vypočítejte x2 — 4 lim —-. x—2 x2 — 5x + 6 152 Řešení. Položme f(x) = —2-ř—■ x 2 — 5x + 6 Zrejme D f = R — {2, 3}. Funkce f (x) nen í tedy v bode 2 spojitá, nebol; v nem nen í ani definován á . Funkci f (x) prepiSme na tvar = (x — 2)(x + 2) JK) (x — 2)(x — 3)' Položme 9(x) =-ô ^ x — 3 Zrejme f (x)=g(x) pro x = 2. Ponevadž limita funkce nezávis í na jej í hodnote v bode, v nemž limitu poCíta me, je lim f (x) = lim g (x). (8-1) Funkce g(x) je vSak spojit a v bode 2, takže lim g(x) = g(2), x—2 tj. 2+2 nm g(x) = --- = x—2 2 — 3 Podle (8.1) je tedy též lim f (x) = —4. x2 8.2.1 Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí Pro funkce, ktere vzniknou secíta n ím, odeatan ím, n asoben ím a delen ím funkcí, jejichž uvažovan e limity v dan e m bode a žname, mužeme poc ítat limitu podle n a sleduj íc í vety. Veta 8.1. Necht f (x), g (x) jsou funkce pro něž platí lim f (x) = A, lim g(x) = B, kde lim znažíjeden ze symbol U lim, lim , lim , lim , lim , a E R a symboly A, B x—a x—a+ x—a- x—oo x—-oo představují reálná žísla nebo jeden ze symbolU +oo nebo —oo (to jest A, B E R*). 153 Potom platí lim(f (x) ± g(x)) = A ± B, (8.2) lim f (x) • g(x) = A • B, (8.3) lim M = A (8.4) g(x) B pokud mé prava strana význam v R*. Důkaz: Dukaz véty proved'me jen pro nékteré případy. Dokazme vztah (8.2) pro tyto prípady. Ostatn í případy se dokazuj í podobné. a) Necht: a, A, B e R. Necht: lim f (x) = A, lim g (x) = B. Dokazme, ze lim(f (x) ± x—a x—a x—a g (x)) = A ± B. Necht: e > 0 je libovoln é c íslo. Ponévadz lim f (x) = A, existuje takové 5i > 0, x— a ze pro x = a, x e (a — 5i,a + 5i) je funkce f (x) definovan a a plat í \f (x) — A\ < 2. (8.5) Podobné, ponévadz lim g (x) = B, existuje 52 > 0 tak, ze pro x e (a — 52,a + 52), x— a x = a, je funkce g(x) definovana a platí \g(x) — B| < 2. (8.6) Polozme 5 = min(5i}52). Ze vztahu (8.5),(8.6) dostavame pro x = a, x e (a 5, a + 5) \f (x) ± g(x) — (A ± B)\ = \(f (x) — A) ± (g(x) — B)\ < Tedy <\f(x) — A \ + \g(x) — B\ < 2 + 2 = e. lim(f (x) ± g (x)) = A ± B. x— a P) Necht: a, A e R, B = to. Necht: e, K > 0 jsou libovoln a c ísla. Ponévadz lim f (x) = A, lze k c íslu e urcit 5i > 0 tak, ze pro x e (a — 5i,a + 5i), x = a, x— a je funkce f (x) definovan a a platí \f(x) — A\ 0 tak, ze pro x— a x e (a — 52,a + 52), x = a, je funkce g(x) definovana a platí g(x) > K + — A. 154 OznaCme 5 = min(5L,52). Potom pro x E (a — 5, a + 5), x = a, je funkCe g(x) definovan a a platí f (x) + g (x) > A — e + (K + e — A) = K. Je tedy lim(f (x) + g (x)) = A + B = A + oo = o. x—a Podobnře se dok ařze, řze lim (f(x) — g(x)) = —o. n Poznamka. NeCht g(x) = c, kde c je realna konstanta. Potom lim g (x) = c pro x— a libovoln e a, nebol: pro libovoln e e > 0 a pro vseChna x platí \g(x) — c\ = \c — c\ = 0 < e. Je-li lim f (x) = A, A E R*, c E R je libovoln a konstanta, plat í tedy podle vety 8.1 x— a lim c • f (x) = c • lim f (x) = c • A, x— a x— a pokud ma cA vyznam. Z vety 8.1 dostava me pro funkCe spojit e tuto vetu. Veta 8.2. Necht: funkce f (x), g (x) jsou spojite v bode a. Potom i funkce f (x) ± g (x), f (x) • g (x) je spojita v bode a. Jestliže navíc g (a) = 0, je i funkce spojita v bode a. Príklad 8.9. FunkCe sin x, x2 — 1 jsou spojite v kazd e m bode. Tedy i funkCe sin x+x2 — 1, sin x — x2 + 1, (x2 — 1) • sin x jsou spojite v kazd e m bode. Ponevadz x2 — 1 = 0 pro x = 1 a pro x = —1, je funkCe x^lil spojita v kazd e m bode x, kde x = ±1. Príklad 8.10. VypoC ítejte lim (anxn + an-\xn-1 + • • • + aLx + a0), an = 0. x—oo Řešení. Polozme f (x) = anxn + an-\xn-1 + • • • + aLx + a0. FunkCi f(x) přrepiřsme na tvar 155 tj. / (x) = x an + an-\- +-----+ ai—— + a0— . \ x xn-1 xn) Podle vety 8.1 je lim / (x) = lim xn • ( lim an + lim n 1 + • • • + lim —__ + lim — ) . x—s-oo x—s-oo Vx—s-oo x—s-oo x x—s-oo xn 1 x—s-oo xn / Ponevádž lim Jmí = c = 0 pro m E N, c E R, lim xn = to, dostáváme x—o x o x—o lim / (x) = to • lim an. x—o x—o Je tedy lim / {x) = { to pro an > 0 x—yco [ —to pro an < 0. Příklad 8.11. Vypocítejte lim (anxn + an-lxn-1 + • • • + alx + a0), an = 0. x—-o Řešení. Postupujeme podobne jáko v předchozím príkláde. Položme / (x) = anxn + an-lxn-1 + • • • + alx + a0. Dost áv áme lim / (x) = lim xn • ( lim an + lim an 1 + • • • + lim CLl_l + lim — ] x—-o x—-o x—-o x—-o x x—-o xn-i x—-o xn Ponevádž lim = 0, m E N, c E R á x—-o x lim xn = ' to pro n sude, ( x—-to i —to pro n liche, dostáváme l) ,. , í sen an ■ oo pro n sude, lim /(x) = —-o —sgn an • to pro n liche. Tedy nápř. lim (2x2 — 3x + 1) = to, lim x2(2 — - + ) = to. x—-o x—-o x x Příklad 8.12. Podle vety 8.1 je nápř. lim (x2 + 1/x) = to, nebot x2 je funkce spojitá, x—0+ tákže lim x2 = 0 á lim 1/x = to. x—0+ x—0+ Příklad 8.13. Vypocítejte 2x2 — 3x + 1 lim---. x—o x2 2x + 1 1) sgn a = 1, je-li a> 0, sqn a = —1, je-li a < 0 156 Řešení. Položme 2 2x2 — 3x + 1 —x2 — 2x + 1 Ponevadž lim (2x2 — 3x+1) = oo, lim (—x2 — 2x + 1) = — oo, nemužeme bežprostředne x—o x—o použít žadnou vetu o limite podílu, kterou jsme žatím uvedli, nebot není definovano ani v R*. Avsak pro x = 0 je f (x) = g(x), kde 2 — x + 4 g(x) = -\-x2 . x x2 Zřejme lim (2 — x + ^) 2 , . x_y co x x 2 g(x) = lim (—1 — x + 4) = —1 = —2. x—o x x Je tedy lim f(x) = 2. x—o Příklad 8.14. Vypocítejte 3x4 — x +1 lim x—o x2 + x 1 Řešení. Zrejme, delíme-li citatele i jmenovatele císlem x2, kde x = 0, dostavame ľ 3x4 — x + 1 ľ 3x2 — x + X, ^J3^ — x + x2) o lim —--= lim -^—f— = - x—o x2 + x — 1 x—o 1 + —lim (1 + 1 —12) 1 =. Příklad 8.15. Vypočítejte , x2 + x + 1 lim —-. x—oo x4 + x — 1 Řešení. Zrejme, delíme-li čitatele i jmenovatele x4 pro x = 0, dostavíme x2 + x + 1 -i- + -i- + -i lim (x2 + x3 + xf) 0 lim x4 + x + 1 = lim x2 + x3 + x4 = xx—oo-x-x-^ = 0 = 0. x—o x4 + x — 1 x—o 1 + 4 — ^ lim (1 + 43 — \) 1 x3 x4 x3 x4 Vetu 8.1 pro vypocet lim nelže použít, jestliže lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Je-li A = 0, je tento případ řesen nísledující vetou. O případe, kdy lim f (x) = lim g(x) = 0, pojedname poždeji. 157 Věta 8.3. (Limita podílu /(x)/g(x)) Necht a, A e R, A = 0. Necht lim /(x) = A, lim g(x) x—a+ x—a+ ■ r • f(x) , r- 0. Necht: existuje 5 > 0 tak, ze pro x E U+(a) — {a} je funkce definovaná a platí f (x) g(x) > 0 ŕ f(x) \ \g(x) ) Potom f(x) lim = oo (—to). x—a+ g (x) Příklad 8.16. Vypočítejte 3x lim —--. x—2+ x2 — 4 Řešení. Zrejme lim 3x = 6, lim (x2 — 4) = 0. Tedy limita čitatele je různá od nuly a x-)-2+ x-)-2+ limita jmenovatele je rovna 0. Určeme znamení funkce xfz^;. Znamení je znázorneno na obr. 8.7. Ponevadz existuje prave okolí bodu 2, v nemz je funkce xjn^ kladna, je podle + — + -2 0 2 vety 8.3 Obrázek 8.7: Znamení funkce z příkladu 8.16. 3x lim —-- = oo. x- 2+ x2 4 Podobne bychom zjistili, ze 3x lim 2 A x—2- x2 — 4 = — TO. Poznámka. Schematicky chovaní funkce x^ti pro x „blízko" k číslu 2 znazomujeme podobne jako na obr. 8.8. Příklad 8.17. Vypocítejte 3x + 1 lim —--. x—1+ x2 — 1 Řešení. Ponevadz lim (3x + 1) = 4, lim (x2 — 1) = 0, ^ > 0 pro x > 1 (urcete x—1+ x—1+ x znamení racionální lomene funkce xx+1), dostavame podle vety 8.3, ze 3x+1 lim —-= oo. x- 1+ x2 1 158 v Obrázek 8.8: Znázornění chování funkce Hr^r v okolí bodu x = 2, x = 2. 8.2.2 Limita a spojitost složené funkce v danem bodě Věta 8.4. (Spojitost složené funkce) Necht funkce u = p (x) je spojitá v bode a E R a necht: funkce f (u) je spojitá v bode a = p(a). Potom složená funkce f (p (x)) je spojitá v bode a. Je tedy lim f (p (x)) = x—a f (p(a)). DUkaž: Ze spojitosti funkce f v bode a = p(a) vyplývá, ze k libovoln e mu e > 0 existuje tákove g > 0, ze pro u E Ue (a) (tj. pro x E (a — q,a + g)) je funkce f (u) definován á á plát í f (u) E U£(f (a)) (tj. f (a) — e < f (u) < f (a) + e). Ponevadz funkce p je spojitá v bode a, k uveden e mu Číslu g existuje tákove 5 > 0, ze pro x E Us (a) (tj. pro a — 5 < x < a + 5) je funkce p(x) definováná á p(x) E Ue(a) (to jest a — g < p (x) < a + g). Je-li tedy x E Us (a), je u = p (x) E Ue(a) á f (u) E Ue (f (a)), tj. f (p (x)) E Ue (f (a)). Funkce f (p (x)) je tedy spojitá v bode a. □ Příklad 8.18. Funkce sin(x2 + x + 1) je spojitá v kázd e m bode a E R. Skutecne. Polozme u = p (x) = x2 + x + 1, f (u) = sin u. Nechť x E R. V íme, ze polynom je funkce spojitá v kázd e m bode. Je tedy p(x) spojitá i v bode a. Oznácme a = a2 + a + 1. Funkce f (u) je spojit á v kázd e m bode, tedy i v bode a. Podle vety 8.4 je tedy f (p (x)) spojitá v bode a. Ponevádz a byl libovolny bod z interválu (—oo, to), je f (p (x)) spojitá v kázd e m bode a E (—o, o). Veta 8.5. (Limita slozene funkce) Necht p, f jsou funkce, a E R*, a E R a necht: lim p (x) = a. x— a Necht: funkce f je spojita v bode a. Potom platí lim f (p(x)) = f (lim p(x)) = f (a). (8.7) x— a 2 x 159 Důkaz: Necht: e > o je libovolné číslo. Poněvadž funkce / je spojitá v bodě a, existuje q > O tak, že pro u e Ue(a) je funkce / definovaná a /(u) e U£(/(a)). Ponevadž limx—a ip(x) = a, k číslu q existuje takove ó > o, že pro x e U (a) — {a} je funkce 0. Tedy V x2 + 1 je bážko k cáslu \f\ = 1. Ponevádž funkce V x2 + 1 má v bode a = 0 hodnotu 1, je funkce V x2 + 1 v bode a = 0 spojitá. 8.2.3 Spojitost inverzní funce Uveďme si bež dukažu vetu o spojitosti inveržní funkce. Veta 8.6. Necht /(x) je prostá na intervalu I a necht zobrazuje interval I na interval J. Potom k funkci /(x) existuje funkce inverzní/~l, ktera zobrazuje interval J na interval I. Jestliže funkce / (x) je spojitá na intervalu I, potom funkce /-1(x) je spojita na intervalu J. 8.3 Shrnutí, úlohy V kapitole je žaveden pojem limity funkce /(x) v bode a e R* a tento pojem je použit k žavedení pojmu spojitosti funkce /(x) v bode a e R. Jsou vysetrovany limity funkcí / (x) ± g(x), / (x) • g (x), v danem bode pomocí limit funkcí / (x), g (x) v tomto 160 bodě. Je vyšetřována spojitost funkcí / (x) ± g(x), f (x) ■ g (x), -^y v daném bodě, jsou-li v tomto bodě spojité funkce f (x) a g(x). Rovněž je vyšetřovaná limita složene funkce v danem bode a spojitost složene funkce v danem bode. Úlohy 1. Vysvetlete pojem limity funkce f (x) v bode a E R*. 2. Vysvetlete pojem spojitosti funkce f (x) v bode a E R. 3. Necht: f (x) < g (x) < h(x), x E I, x = a. Necht: lim f (x) = lim h(x) = a. x—a x—a Existuje limg(x)? V případe, že existuje, urcete limg(x). x— a x— a 4. Jake vety žnate pro vypocet limity souctu, soucinu a podílu dvou funkcí? 5. Vysvetlete pojem funkce spojite danem v bode. 6. Jake vety žnate o spojitosti souctu, soucinu a podílu dvou funkcí? 7. Co víte o spojitosti složene funkce? 8. Jakou vetu žnate pro vypocet limity složene funkce? 9. Nechť 1 pro x > 0, f (x) = ^ 0 pro x = 0, — 1 pro x < 0. Vypocítejte lim f (x), lim f (x), lim f (x). x—0+ x—0_ x—0 10. Vypocítejte limity a) lim(3x + 1) x—2 b) lim 2x+1 c) lim — 2) [1, —1, neexistuje] [7] [—2 ] [ sJŕ — 2] 11. Vypocítejte limity b) x—moo 4x2 +x-í c) lim arctg x x—x d) lim arccotgx x——x e) lim —, lim — x—0+ x x—0- x f) lim ex, lim ex x—x x——x g) lim log x, lim log x x—>0+ x—0- 3x2+í [ 4 ] [ 2 ] [0] [+1, —1] [w, 0] [—to, neexistuje] 161 h) lim log x x x—0- 10 i) lim sin x j) k) v) lim sinx x—x x lim sin - x—0+ x lim x sin - x—0+ x TO] [neexistuje] [0] [neexistuje] [0] 12. Vypočítejte a) lim ^, lim ^, lim ^, lim 3x±1 7 x—1+ x2-1 x—1- x -1 x—-l+ x 1 x—-l- x -1 3 x— 2+ (x-2 x2-2x 1:.„ x2—55 + č) lim x—2+ d) lim x2-5x+6 1 x—3+ x2-3x e) lim arctg |x±1, x—3x + 1 x-2 x2-2x x 2- - - limarctg xx+i [to, —to, —to, to] [-to] [+to, —to] [ 3 ] [ 2 , 2 ] 13. Vypočítejte a) lim (V4x2 — 1 — V2x2 + 3) [+to] 14. Je funkce f (x) = sixx spojitá v bode 0? Je funkce g(x) = f (x) pro x E (—to, 0) U (0, to), g(0) = 1 spojitá v bode a = 0? 15. Je funkce a) f (x) = ^f11 spojitá v bode 0? b) g(x) = f (x) pro x = 0, g(0) = 2 spojitá v bode 0? [není] [není] 16. Vypočítejte a) lim ex~ x b) lim ln(1 — x) x—x č) lim +x x—e+ d) lim 2V-, lim 2V- x—0+ x—0- [1] [nema limitu] [—to] [to, 0] 162 Kapitola 9 Elementární funkce. 9.1 Polynom a racionální lomená funkce V teto kapitole pojedname souhrne o rade funkcí, ktere žnate (nebo meli byste žnat) ž dřívejsího studia. Pojedname tež o funkcích cyklometrických, ktere se na gymnažiích neprob íraj í. Zacneme s polynomem. Polynom Zaveďme si komplexn í funkci komplexn í promenn e „polynom". Necht an,an-1'... ,a1 ,a0 jsou komplexné čísla. Jestliže ke každému komplexnému céslu x G C přiřadíme číslo f (x) vztahem f (x) = an xn + • • • + a1x + a0' (9.1) je jím definována komplexní funkce na množine všech komplexních čísel C. Tato funkce se nažyva polynom. Císla an'...,a0 nažyvíme koeficienty polynomu f (x). Číslo a0 nazývame absolutním členem polynomu f (x). Jestliže an = 0, polynom f (x) nazývame polynomem n-teho stupne. Např. f (x) = x2 + 1 je polynom 2. stupne. Podle definice stupne nen í polynomu f (x) = 0 přriřražen řžadn y stupeřn. Naž yv ame jej nulovíym polynomem. Číslo a nažyvíme kořenem (nulovym bodem) polynomu f (x), jestliže f (a) = 0. 163 Napr. polynom P (x) = x3 + x (9-2) m a kořeny 0, i, —i, nebol: P (0) = 0, P (i) = i3+i = 0. Podobne P (—i) = (—i)3+(—i) = 0. Lže ukažat, že nemá žadne dalsí kořeny. Jestliže P (x) je polynom a a je jeho kořen, potom polynom prvního stupne x — a se nažyva kořenovým žinitelem odpovídajícímu kořenu a. O polynomu platí tyto vety: Veta 9.1. Necht: a je kořenem polynomu f (x) stupne n > 1. Potom existuje taková polynom g(x) stupnž n — 1, že pro každí komplexní Číslo x platí f (x) = (x — a) ■ g(x). Důkaz: Ponevadž f (a) = 0 lže polynom f (x) žapsat jako f (x) = f (x) — f (a) = (anxn + a,n-ixn-1 +----+ a\x + a0) — — (anan + an-\an-1 +----+ a\a + a0). Úpravou dostavame f (x) = an(xn — an) + an-\(xn-1 — a-1) + ■ ■ ■ + a\(x — a). Ponřevadřž xk — ak = (x — a)(xk-1 + axk-2 +-----+ ak-1), pro k = 1, 2,. ■ ■ ,n, lže psat f (x) = (x — a) ■ [an(xn-1 + ■■■ + an-1) + ■■■ + ai], to jest f (x) = (x — a)g(x), kde g(x) = an(xn-1 + ■ ■ ■ + an-1) + ■ ■ ■ + a1. □ Príklad 9.1. Polynom f(x) = x2 — x — 2, ma císlo 2 ža svuj kořen, nebol: f (2) = 0. Existuje tedy polynom g(x) stupne 2 tak, že f (x) = (x — 2)g(x). 164 Skutecne. Delen ím polynomu f (x) kořenovým cinitelem x — 2 dostává me ( x2 — x — 2) :(x — 2) = x + 1 ± x2 T 2x ± ~ 0 tj. (x2 — x — 2): (x — 2) = x + 1, tákZe f (x) = (x — 2)(x + 1). x—2 Zátím jsme pouZe Závedli pojem korene polynomu, ále neZábýváli jsme se probl e mem existence kořene polynomu. O tom vypovíd á následuj ícívetá: Veta 9.2. (Fundamentální veta algebry) Každý polynom stupne n > 1 ma v oboru komplexních čísel kořen. DUkaz: BeZ dukáZu. ^ Definice 9.1. Říkáme, Ze císlo a je k-nasobným kořenem polynomu f (x), jestliZe pro káZde komplexní císlo x plátí f (x) = (x — a)kg(x), kde g(x) je tákovy polynom, Ze g(a) = 0. Príklad 9.2. Polynom x3 — 3x2 + 4 lZe Zápsát ve tváru x3 — 3x2 + 4= (x — 2)2(x + 1). Je tedy x = 2 dvojnásobnym á x = —1 jednoduchym korenem polynomu x3 — 3x2 + 4. Důsledek. Polynom n-tího stupnř, n > 1, f (x) = anxn + an-\xn~l +----+ aix + a0, an = 0 ma právě n kořenu, pořítame-li k-nasobný kořen ža k kořenu. DUkaz: Necht: n = 1, a\ = 0. Potom f (x) = a\x + a0 je polynom stupne 1. Potom f (x) = ai(x + a0), tákZe f (x) = (x — a)ai, kde a = — ^. Predpokládejme, Ze tvrZení plátí pro polynomy stupne n — 1 á dokáZme, Ze pák plátí 165 take pro polynomy stupne n. Necht: tedy f (x) = anxn + an—íxn—í +----+ aíx + a0, an = 0. Podle fundamentalní vety algebry ma polynom f (x) koren v oboru komplexních císel, ožnacme jej a. Tedy f (x) = (x — a)g(x), kde g(x) je polynom stupne n — 1, ktery má podle predpokladu n — 1 kořenu. Ponevadž a je korenem polynomu f (x), mí f (x) prave n kořenu. Příklad 9.3. Ponevadž x4 + 4x3 — 16x — 16 = (x + 2)3 (x — 2), je x = 2 jednoduchým a x = —2 trojnasobnym korenem tohoto polynomu. Ma tedy dan y polynom 4 kořreny. Důsledek. Jestliže polynom f (x) je roven nule v nekonečně mnoha číslech, pak je to polynom nulový. D ů kaz: Kdyby polynom byl stupne n > 1, byl by roven nule nejvyse v n navžajem ružnych císlech. To je spor, takže polynom ma vsechny koeficienty nulove. Pro n = 0 je veta žřejma. □ D ů sledek. Jestliže dva polynomy f (x), g (x) nabývají stejné hodnoty v nekoneěne mnoha ěíslech, pak mají stejné koeficienty u stejnych mocnin x. D ů kaz: Ožnacme h(x) = f(x) — g(x). Polynom h(x) ma nulovou hodnotu v nekonecne mnoha císlech, takže vsechny jeho koeficienty jsou nulove. Odtud snadno plyne tvržení. □ I Polynom s reálnými koeficienty budeme nazývat reálným polynomem. Věta 9.3. Je-li a + if3, (3 = 0 jednoduchým kořenem reálného polynomu f (x) = anxn + cin-ixn+l +----+ aix + ao, an = 0, (9.3) je též číslo a — i(3 jeho kořenem. 166 Důkaz: Dosazen ím x = a + ip do (9.3) dostaví me f (a + if3) = an(a + if3 )n + a,n—\(a + if3 )n—l +-----+ ai(a + if3) + ao = A + iB, kde A = $l(f (a + ip)), B = $š(f (a + ip)). Ponevadz f (a + ip) = A + iB = 0, je A = 0, B = 0. Ponevadz (a — ip)r je císlo komplexne sdruzene k císlu (a + ip)r pro r = 1, 2,... ,n, platí f (a — ip) = an(a — ip )n + an—\(a — ip )n—1 + • • • + a\(a — ip) + a0 = A — iB. Ponevadz A = B = 0, je f (a — ip) = 0, takze a — ip je korenem polýnomu (9.3). □ Je tedý polýnom (9.3) delitelný soucinem kořenových cinitelu (x — (a + ip)) • (x — (a — ip)) = (x — a)2 + p2, tedý reíalníým polýnomem druhíeho stupnře. Je tedý f (x) = [(x — a)2 + p 2]fl(x), (94) kde fi(x) je reílný polýnom stupne n — 2. Kdýbý a + ip býl dvojnasobným korenem realneho polýnomu f (x), býl bý a + ip jednoduchým korenem realneho polýnomu f\(x), urceneho vztahem (9.4). Tedý a — ip bý býl podle vetý 9.3 tez jeho korenem. Býlo bý tedý mořzn e ps at fi(x) = [(x — a)2 + p 2]f2(x), (9.5) kde f2(x) je realný polýnom stupne n — 4. Tedý f (x) = [(x — a)2 + p 2]2f2(x). T imto jsme dospřeli k tomuto z avřeru Je-li a + ip, p = 0, k-nasobnym kořenem reálního polynomu f (x), je tíž a — ip k-nasobnym kořenem polynomu f (x). Pozníamka. Jestliřze polýnom nen i realn ý, tvrzen i vřetý nemus i b ýt splnřeno. Napřr. polý-nom f (x) = x2 + x(1 — i) — i ma císlo i za svuj kořen, avsak —i není jeho korenem. 167 Z toho, co jsme o kořenech polynomu uvedli, lze dospět k tomuto tvrzen í. Necht /(x) je realny polynom. Necht a,P,...,y jsou všechny jeho navzájem ruzne realne kořeny a to a k-nasobny, P l-násobny, ... , 7 m-nasobny. Necht a ± ib,... ,c ± id jsou všechny jeho navzajem ruzne dvojice nerealnych komplexne sdružených kořenu. Necht a + ib je p-nasobny,..., c + id je q-nasobny kořen. Potom platí /(x) = an • (x — a)k • (x — P)1(x — 7)m • • [(x — a)2 + b2]p[(x — c)2 + d2 ]q. (9.6) pro každé komplexní číslo x. Polynom /(x) zapsaný ve tvaru (9.6) nazývame rozkladem realnáho polynomu v reíalníem oboru. Hledaní kořenů polynomů. Vyslovili jsme sice vetu o existenci kořenu polynomu, avsak neuvedli jsme žatím nic o žpusobu jejich hledaní. Tato problematika je žnacne rožsahla a jej í vyklad v pln e m rožsahu je nad ra mec tohoto textu. Uvedeme žde alespon nekolik uvodn ích požnamek k teto problematice. Hledan í korenu polynomu 1. a 2. stupne by Va m melo byt vsem dobre žnamo. Nekterym ž Vas možna nen í žnam prípad, kdy koreny kvadraticke rovnice jsou komplexn í. Proto si uvedeme i případ hled a n í korenu polynomu 1. a 2. stupne. Zde nen í uvedeno po-drobn e odvožová n í. Vyklad tykaj íc í se polynomu 2. stupne je nutno chapat jen jako pripomenutí požnatku ž matematiky v dřívejsím studiu. Existuj í i metody na hled a n í kořenu polynomu 3. a 4. stupne, kterymi lže kořeny urcit ž jejich koeficientu konecnym poctem aritmetickych operací a odmocnova n í. Je dokaží no, že neexistuje výpočtový postůp, kteřým by bylo moZno v obecnem případe ůřčit kořeny kaZdeho polynomů stůpne vetSího neZ 4 z jeho koeficientů provedením konečneho počtů aritmetičkych operací a odmocnovaní. Vypoctove postupy, kterymi by bylo možn e urcit koreny každ e ho polynomu 3. a 4. stupne ž jeho koeficientu konecnym poctem aritmetickych operací a odmocnova n í, davaj í nekdy vysledky v nepřehledn e m tvaru, takže se dava casto přednost numerickym postupum, kterymi lže približne hledat koreny polynomu i stupřu vetsích než 2. Hledan í korenu polynomu P (x) = anxn + an--xn~l + • • • + a\x + ao, (9-7) kde an,an-i,... ,a\,a0 E C, an = O, vede na řesen í algebraicke rovnice anxn + an-\xn~l + • • • + a\x + a0 = O. (9-8) J Císlo a je kořenem polynomu (9.7), když a jenom když je řešením rovnice (9.8). 168 Kořeny polynomu 1. stupne. Pro n =1 dostavame z (9.7) polynom P;(x) = a;x + ao, a; = 0. (9.9) Príslusnou algebraickou rovnici a1 x + ao = 0, a1 = 0, (9.10) nazývame linearní rovnicí. Ma jediny koren, oznacíme jej x;, kde ao x; =--. a1 (9.11) Polynom P;(x) = a; x + a0, a; = 0, m a jediný kořen x; = —^. polynomu 1. stupne (9.9) je přímka Grafem realnřho y = a;x + a0, (9.12) ktera protínř osu x v bode x; = — ^. (Viz obr. 9.18.) y = cli x + a0 x Obrazek 9.1: Graf linearní funkce (9.12). Příklad 9.4. Napr. polynom P; (x) = 2x + 3 (9.13) ma prave jeden koren x;, kteryje kořenem rovnice 2x + 3 = 0. Tímto kořenem je císlo x; = —f. (Nakreslete si jeho graf.) Kořeny polynomu 2. stupne. Pro n = 2 dostavame z (9.7) polynom P2(x) = a2x2 + a;x + a0, a2 = 0. (9.14) Koreny tohoto polynomu jsou řesením kvadraticke rovnice a2x2 + a;x + a0 = 0, a2 = 0. (9.15) 169 1 Kořeny x\,x2 (ve stručném zápisu x\>2) polynomu (9.14), tedy řešení kvadratické rovnice (9.15), lze určit podle vztahu —di ± v a2 — 4a2a0 Xl,2 = . (9.16) (Vztah (9.16) platí i pro polynomy, které nejsou reálné.) Číslo D = a? — 4a2ao (9.17) se nazévá diskriminant kvadraticke rovnice (9.15). Diskuze - reálný polynom 2. stupne. Necht: P2(x) = a2x2 + alx + a0, (9.18) kde a2,al,a0 E R, a2 = 0, je reálný polynom 2. stupne. Mohou nastat tyto případy. a) D = 0. V tomto případe dostávame z (9.16) Xi,2 = —tt~ . (9.19) 2a2 b) D > 0. V tomto případe je \[D realne Číslo a z (9.16) dostavíme X = —a1_VĎ X2 = —. (9.20) 2a2 2a2 c) D < 0. V tomto případe dostavame z (9.16) —ai — iy/\D\ x, = - — , X2 = —ai ^\. (9.21) 2a2 2a2 Příklad 9.5. Určete kořeny polynomU a) f (x) = 2x2 — 3x, b) 0 otevěena ve smeru kladné osy y a pro a2 < 0 je otevřena ve smeru zaporne osy y. Oznaěéme D = a\ — 4a2a0. Je-li D > 0, parabola proténa osu x ve dvou ruznych bodech x1,x2 danych vztahem (9.20). Je-li D = 0, parabola se dotéykéa osy x v boděe xi = x2 danéem vztahem (9.19). Je-li D < 0, parabola neproténa osu x. Viz obr. 9.2—9.7. 171 / v 1 v J x 1 X1,2 x x Obrázek 9.2: Obrázek 9.3: Obrázek 9.4: a2 > 0, D > 0 a2 > 0, D = 0 a2 > 0, D < 0 x\7 X1,2 i x x 1 \ / \ f \ Obrázek 9.5: Obrázek 9.6: Obrázek 9.7: a2 < 0, D > 0 a2 < 0, D = 0 a2 < 0, D < 0 Shrňme si nyní dosázene poznátky o hledání kořenů polynomů. Kořeny polynomů 1. á 2. stůpne se hledájí vySe ůvedenym způsobem. Kořeny polynomů 3. á 4. stůpne lze sice vzdy ůrcit z jejich koeficientů provedením konecneho poctů rácionáln ích operác í á odmocnová n í, ávsák výsledky byváj í vyj á dreny cásto v komplikovánem tvárů. Pro obecne polynomy stůpnů vetsích nez 4 je dokázáno, ze nelze nálezt vypoctove postůpy, jimiz by bylo mozno v obecnem prípáde z jejich koeficientů nálezt kořeny konecnym poctem áritmetickych operácí á odmocnování. To ovsem neznámená, ze kořeny nekterych speciálních polynomů nelze ůrcit konecnym poctem zm ínenych operácí. Je tomů nápr. pro polynomy Pn(x) = xn — a0. K ůrcen í kořenů polynomů stůpřů vetsích nez 2 se poůzívájí numerické metody. Uceleny vyklád techto metod přesáhůje rámec tohoto stůdijního textů. V dálsím pojednání se k teto problemátice vrátíme. V přípáde potreby je mozno ůrcit kořeny ná pocítáci, pokůd jsoů ná nem zábůdováne vhodne prográmy. Racionální lomená funkce Racionální lomenou funkcí nazýváme každou funkci tvaru F(x) = , g(x)ž 0, g{x) kde f (x) a g(x) jsou poýnomý. Poněvadž polynom je definován v každém komplexním čísle, je racionální lomená funkce definována ve vsech komplexních Číslech v nichž je g(x) = 0, tj. ve vsech císlech x, ktera nejsou kořený funkce g(x). 172 Příklad 9.6. Funkce 2x + 3 F (x) = - xr + x je racionaln í lomen a funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psá t ve tvaru g(x) = x(x+i)(x — i). Je tedy F(x) definovan a ve vSech komplexn ích císlech ruzných od 0, —i, i. Necht čitatel i jmenovatel racion aln í lomen e funkce F (x) maj í společn e ho kořenové ho činitel x—a. Zkra t íme-li t ímto společným kořenovým činitelem, dostaneme novou racionaln í lomenou funkce, označme ji G(x). Funkce F (x), G (x) maj í stejn e hodnoty pro x = a. MUze se ale stat, Ze funkce G(x) je v a definovana, zat ímco F (x) nen í v č ísle a defi-nova na. V dals ím budeme předpokl a dat, Ze čitatel a jmenovatel racioná ln í lomen e funkce nemaj í zadný stejný kořen. Necht n je stupen polynomu čitatele a m je stupen polynomu jmenovatele racionaln í lomen e funkce F (x). Jestlize je n < m, funkci F (x) nazýva me ryze lomenou, jestlize n > m, nazývame funkci F (x) neryze lomenou. Necht; F (x) = M F (x) g(x) je nerýze lomen a funkce. Delen ím funkce f (x) funkcí g(x) dostaneme f (x) = P (x) • g(x) + Q(x), kde P (x), Q (x) jsou polýnomý. Polýnom Q(x) je zbýtek po delen í, jeho stupen je mens í neřz stupeřn polýnomu g(x). Je tedý F (x) = P (x) + ^. g(x) Funkce je rýze lomena racion a ln í funkce. Slovy: Neryze lomenou racionální funkci lze napsat jako součet polynomu a ryze lomené racionalní funkce. Příklad 9.7. Funkce „. , 3x4 — 2x3 + 1 R(x) =----- w x2 + 1 je nerýze lomen a . V čitateli je polýnom stupne 4, ve jmenovateli je polýnom stupne 2. 173 Delením dostavame (3x4 —2x3 +1):(x2 + 1)=3x2 — 2x — 33 + ±3x4 ±3x2_ X —2x3 —3x2 +1 t2x3 t2x —3x2 +2x +1 t3x2 t3 2x +4 9.1.1 Kontrolní úlohy - polynom a racionální funkce 1. V kterých bodech je funkce f (x) = Xs-2 spojita? Zduvodnete. [ve vsech bodech rôžnych od ±2] 2. Urcete kořeny polynomu a) x2 — 7x +12 [3, 4] b) x2 + x + 1 [—1 ± i^3] c) x3 + 1 [—1, ] 3. Rožložte na korenove cinitele polynom x4 — x3 + 12x2 — 13x + 45 víte-li, že ma koren 1 + 2i. [(x — 1 + 2i)(x — 1 — 2i)(x — -1+2^35)(x — -1-2^35)] 4. Dokažte, že polynom x4 — 5x3 + 6x2 — 9x + 27 mía dvojníasobníy kořren 3. 5. Reste rovnici x5 — 7 x4 + 9x3 — x2 + 7x — 9 = 0 víte-li, že ma ža kořeny vsechny tretí odmocniny ž jedne. [1, -1±^3, 7±2-3] 6. Rožložte v realnem oboru polynom x4 + 1. [Navod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) — 2x2, x4 + 1 = (x2 + 1)2 — 2x2. Odtud (x2 + xV2 + 1)(x2 — xV2+1)\ 7. Rožložte na soucet polynomu a ryže lomennou racionalní funkci: 174 xA + 6x2 + x — 2 [i + 2x3+6x2+x-2 J [1 + x4-2x3 J 8. Určete znamení funkcí a) (x3 + 27)3(x — 5)2 b) c) (x2 — l)2 x + 3 (2x + 1)3(x2 — 3)3 x( x — 2) [- [- -3 + -1 + —V3 •—ei 0 2 + 5 + — + --J 9.1.2 Zavedení odmocnin Pripomeňme si pojem inverzní funkce. Veta 9.4. (Inverzní funkce) Nechť funkce f (x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D(f). Označme její odvislý obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzní f-1, jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f-1 je na svem definicním oboru J spojitá a rostoucí (klesající). DUkaz: DUkaz provedeme pro funkce f rostoucí na inervalu I. Pro funkce klesající je dUkaz analogický. Predpokiadejme tedy, Ze f (x) je na intervalu I spojita a rostoucí. DokaZme, ze funkce f-1(x) je rostoucí na intervalu J. Necht: x1}x2 E J, x1 < x2. Kdyby bylo f-1(x1) > f-1(x2), platilo by f (f-1 (x1)) > f (f-1(x2)), (9.24) nebot f je rostoucí na I. Podle (10.19) dostávame z (9.24) x1 > x2, coz je spor s předpokladem, ze x1 < x2. Je tedy funkce f-1(x) rostoucí na intervalu J. Dokazme dale, ze funkce f-1(x) je spojita na J. Necht: a E J je libovolny bod, ktery není jeho pravym koncovym bodem. Necht: e > 0 je libovolne císlo. Potom f-1(a) E I a není to pravy koncovy bod intervalu I. Jestlize f-1(a) + e E I, oznacme b libovolny bod z J, pro nejz je b > a. Jestlize f-1(a) + e E I, polozme b = f (f-1(a) + e) E J. Pak pro vsechna x E {a, b) je f-1(x) definovana. Zaroven z monotonie teto funkce plyne f-1(a) < f-1(x) 0. Je tedy {/čŕ = \a\, n sude, a G R. Napě. yj(—2)2 = \ — 2\ = 2. b) n liche. Potom y/x je definovana pro vžechna x G R a plate je-li x < 0, potom y/x = — y/—x. 176 Pravidla pro poCítání s odmocninami. Vzhledem k uveden e poznamce stač í se omezit na odmocniný s nezapornými argumentý. Veta 9.5. (Odmocniny - pravidla) Necht: x, y E R, x > 0, y > 0, m, n E N. Potom platí x x [x x pokud y = 0. (9.25) (9.26) (9.27) (9.28) (9.29) Dúkaz: Dokazme jen vztah (9.25). Uvedomte si, že z existence K/x vyplýva ýäľ"\ Položme \fx = y, {Yx™ = u kde y au jsou takova re aina Čísla, že Ze vztahu (9.31) výpl ýva To znamen a , ze Odtud yn = x un = xm ynm = xm = un. (ym)n = un. existence (9.30) (9.31) ym = u. Vzhledem k (9.30) dostavame dokazovaný vztah (y/x) m = xm. Dokazte dalsí pravidla! Příklady na procviCení odmocnin a) VYŽ5 •/5 = y/125 • 5 = //54 = 52 = 25 □ b) c) y/Y25 f\25 [\2255 Vír = V225 = 5 81 ¥—227 = — y/27= —3 d) y732^2= v7 //32^2 = 3 V210^2 = {RW1 = 2//25 177 e) (v7^) =(" v/Š)2 = ( y/Š)2 = 22 = 4 f) (v/9)4 = ( V32)4 = 34 = 81 g) = Vä3 = V3 h) 3\f—4 neexistuje v R i) VŠ + V72 = V22 • 2 + V62 • 2 = 2 v/2 + 6 V2 = 8 v/2. ■ x ( ^ 1 )2 (x + 1)2 x2 + 2x + 1 n j) Vx + v= = —p- =- pro x > 0 x x x ( ^ 1 \ 2 ( — 1 \ 2 / Vx3 Vx2 — 1 \ /x5—A2 vx5—2 vx5+1 3^ 0 1 —-=-= v x3—2 vx+ 3 x 3 x2 3 x2 1 vvx x—2+v-= = x—2yx +— pro x > 0 Vx2 x nebo ( r- 1 V ^1 1 6 1 I Vx — vvx) = x—x v=+= x—2vx 1 /^/ v/x Vx2 Vx2 v/x2 Vx x—2Vx+— pro x > 0 x 9.3 Mocniny s racionálním exponentem V dřívejSím pojedn a n í jsme si ukázali zaveden í celoc íselných mocnin reá In ých c ísel a zaveden í operac í jejich nasoben í a umocnova n í. Býlý uvedený jejich Va m dobre zná m e vlastnosti. Mocniny realných císel nýn í rozsíríme i pro racionaln í mocnitele a pozdeji i pro mocniný s rea lným exponentem, a to tak, ze se zachovaj í za kladn í vlastnosti mocnin s celocíselným mocnitelem. Vlastnosti odmocnin realných císel uveden e ve vete 9.5 nís vedou k rozsíren í celocíselných mocnin rea lných císel na mocniný realných císel s racionaln ím exponentem. 178 Definice 9.2. Necht p G Z, q G N á necht x je kládn e reá ln e císlo. Definůjme xq vztáhem xp = ^xp. (9.32) Pro x = 0, p, q G N polozme xq =0. Pro x > 0 je pri teto definici splnen nezbytny pozádávek plátnosti vztáhů kde r, s jsoů odlisn e z á pisy te hoz rácionáln ího c íslá. Necht: tedy r = Jpk, pro k G N, je odlisn e vyj á dren í te hoz rácion á ln ího c íslá p. Potom podle (9.32) je pk -T x qk = y xpk Avsák "Vx^ = ^(xp)k á podle (9.25) je ^(xp)k = fář. Je tedy p pk xq = x~qk pro k G N. (9.33) Ukázmesi nyn í n á sledůj íc ívlástnosti tákto záveden ych mocnin re á lnych c ísel s rácionáln ím exponentem. Předevs ím si vsimneme, ze pro q = 1 je xq = xp, tedy mocniná s celoc íselnym exponentem. Kázd e právidlo pro pocítán í s mocninámi s rácionáln ím exponentem plát í tedy i pro celocíseln e mocniny. 1) Necht: x> 0, r = p, s = f, kde p, u G Z, q, v G N. Potom plát í xr . xs = xr+s — = xr-s xs Skůtecne, postůpne dostává me p u pv qu ,- ,- r s — — — qv I ™, qv/ rvn x ' x —— x q ' x v x qv • x qv — \v x'JU * a/ Podle (9.26) je tedy _ Ponevádz pv,uq G Z, lze psá t xr • xs = qq\lxPv+qu Uzit ím (9.32) je tedy r s qv 179 tj- Dospěli jsme ke vztahu x ■ x — xav av . Vztah xS — xr-s se dokazuje obdobne-2) Necht: x> 0, r — p, s — ^, kde p,u E Z, q, v E N- Potom platí (xr )s — xrs. SkuteCne- postupne dostavame (xr)s — (xa)u — {/ (xa) — \l[ 1- UkaZme, Ze xr < xs. Necht: r — p, s — u, kde p, u E Z, q, v E N- Potom Podle (9-33) lze zapsat xr, xs ve tvaru xr — a^l xpv xs — aľl xqu • L y • X ^ • X y • C . Ponevadz r < s, tj- p < u, je pv < qu. ponevadz x > 1, je xpv < xqu- Ponevadz qv-ta odmocnina je funkce rostoucí, je xr — iľlxpv < aVxqu — xs • L y • C ~- y iL iL . Podobne platí: Necht: r, s E Q, r < s, 0 < x < 1, potom xr > xs Obdrzene výsledky shrneme do na sleduj íc í vety 180 Veta 9.6. Mocninami s racionálním exponentem Necht r,s e Q, x > 0. Potom platí r — — xr-s xs (xr )s — xrs, Je-li x > 1 a r < s je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs. 9.4 Mocniny s reálným exponentem Zavedeme si nyní mocniny kladnych reílnych císel s realnym exponentem jako rozsření mocnin kladnych realnych císel s racionílním exponentem. Jeden z moznych zpusobu tohoto rozsířeníje uveden v na sleduj íc í definici. DefiniceA 9.7. (Zavedení xY, 7 E R) Necht x > 0. Označme D = {xa : a E Q, a < 7}. a) Necht x > 1. Polozme xY = sup D. b) Necht 0 < x < 1. Polozme xY = inf D. c) Necht x =1. Polozme xY = 1. d) Necht: x = 0, 7> 0. Polozme 0Y = 0. e) 00 není definovano. Ukazme, ze takto zavedene císlo xY ma tuto vlastnost. Necht: x > 0, 7 E R. Oznacme H = {xfi : P E Q,P>7}- Potom platí a) Necht: x > 1. Potom platí xY = inf H. b) Necht: 0 < x < 1. Potom platí xY = sup H. 181 Dokazme ä). Zvolme libovolné e > 0 ak nemu urceme n E N tak, ze xY (x — 1) n > —---. e Zvolme a, P tak, ze a < 7 < P, 0 < P — a < n. Potom platí 1 < x3-a 1 + nó. Odtud x — 1 ó < -. n Ukažme nyní, ze x13 — xa < e. x3 — xa = xa(x3-a — 1) 0 lže tedy naležt P tak, že x3 — xY < e. Je tedy inf H = xY. Poznámka. Dulaz b) je analogicky. Pro mocniny realnych čísel s realnym exponentem se definují aritmeticke operace a operace umocnovaní pomocí mocnin s racionalním exponentem. Tuto konstrukci zde nebudeme uvadet. Uvedeme si pouze vlastnosti mocnin realnych císel s realnym exponentem. Na mnozine mocnin realnych císel lze zavest aritmeticke operace a jejich umocnovaní realnymi císly rozsírením odpovídajících operací zavedených pro racionalní císla. Pro tyto mocniny platí tato pravidla. 182 Veta 9.8. Mocniny s reálným exponentem Necht: r, s G R, x > 0. Potom plate •L 'L 'L • r — = xr-s xs (xr )s = xrs, Je-li x > 1 a r < s, je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs. 9.5 Exponenciální funkce a logaritmus Necht a > 0, a = 1. Definicí 9.4.7 jsme zavedli ax pro každe x G R. Vztahem y = ax, x G R je tedy pro a> 0, a = 1 definovana funkce. Nazyvame ji exponencialní funkcí o zakladu a. Oborem jejich funkcních hodnot je interval (0, 00). Pozadavek a > 0 je nutny, nebot ax je pro vSechna x G R definovana jen pro a > 0. Pro a = 1 je sice ax definovano pro vSechna x, ale v tomto prípade je lx = 1 pro vSechna x G R, tuto funkci nerad íme mezi exponencialn í funkce. Exponencialní funkci o zakladu a = 10 nazývame dekadickou exponencialní funkcí Z definice mocniny ax lehce vyplyví její spojitost v každem bodě x. Pro a > 1 je funkce y = ax rostoucí, pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesající. Existuje proto k ní funkce inverzní. Oznažíme ji y = \oga x. Je tedy loga x pro x G (0, 00) to císlo y G (—0, 00), pro než ay = x. Příklad 9.8. log10 100 = 2, nebol: 102 = 100, \og10 0,01 = —2, neboť 10-2 = 0,01. Ukazme si nektere vlastnosti funkce y = logax. Necht a> 0, a = 1. D a le necht xi,x2 > 0, s G R. Potom plat í l°ga(x1x2) = loga x1 + loga ^ l°ga — = loga x1 — loga x2, x2 loga x1 = s loga x1. Dokazme napr. (9.35). Polozme l°ga x1 = yU l°ga x2 = y2, loga(x1x2) = y. (9.38) 183 (9.35) (9.36) (9.37) Potom xi = ayi, x2 = ay2, x\x2 = ay. (9.39) Odtud dost a vame xix2 = ayi • ay2 = ayi+y2 = ay. Tedý y = yi + y2. Vzhledem k (9.38) dostavame loga(xix2) = log„ xi + log„ x2. Vztahý (9.36), (9.37) se dokazuj í analogický. Ukazme jeste jednu vlastnost. I Necht a> 0, a = 1, x > 0. Potom I x = alogax. Skutecne. Polozme loga x = y. (9.40) Je tedý x = ay. Dosad íme-li sem za y (9.40), dosta vame x = aloga x. Shrnme dosazen e výsledký. Funkce y = ax, kde a je kladna reálná konstanta různá od jedné, je spojitá. Pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—oo, to) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—00, to). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, to). Nazýva se exponencialní funkcí se základem a. Specialním případem je funkce y = ax pro a = 10, tedý funkce y = 10x. Nazýva se dekadicka exponenci a ln í funkcí. K funkci ax existuje funkce inverzní, značíme ji loga x (čteme logaritmus x při zaklade a). Je definovana na intervalu (0, to). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, to). Je v nem spojita. Na obr. 10.6 jsou grafý funkc í y = ax, y = loga x pro a > 1 v kartezske m souradn e m sýste mu. Na obr. 10.7 jsou grafý funkc í y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1. 184 Obra zek 9.10: Graf funkce ax a loga x pro a> l. y 4 / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / / \ / \^ i \\/ \"""""-"— .___y = ax / z x / / / / / / / Obrazek 9.11: Graf funkce ax a loga x pro O < a < l lS5 Nechi a,b jsou kladná reálná čísla různá od jedné. Jsou-li x1,x2 G (O, oo),s G E potom platí log„(xi • x2) = log„xi +log„x2, (9.41) loga~ = loga x1 - loga x2, (9.42) x2 loga xS = s ^ loga x log6 x = loga x ^ log6 a (9.43) Funkci y = log10 x nazýváme dekadickým logaritmem a většinou ji zkráceně zapisujeme jako y = log x. Eulerovo číslo. Velký význam má exponenciální funkce se zakladem iracionalního Císla, zvaneho Eulerovo císlo. Znací se e. Toto císlo lze definovat jako sup A, kde A =j^1 + ^ ,n E N J Oznacíme-li B = {(1 + )n, n E N}, platí inf B = e. Dale platí 0 + n)" 1. Jejím definičním oborem je (—oo, to). Oborem jejích funkčních hodnot je interval (0, to). Nazývá se přirozenou exponencialní funkcí. K funkci y = ex existuje funkce inverzní. Místo y = loge x se většinou píše y = lnx, x E (0, to). Nazývá se přirozenou logaritmickou funkcí. Obecná mocnina. Funkci y = xs, s E R, x E (0, to) definujeme vztahem xs = (eln x)s = es ln x. Odtud je videt, ze je to funkce spojita na intervalu (0, to). 186 e 9.6 Trigonometrické funkce Dríve nez zacneme s vlastn ím vykladem, zopakujme si nektere Va m dobre zn a m e pojmy. 9.7 Uhel v obloukove míre. Uhly meříme jak ve stupn ích tak i v m íře obloukove. Necht: AVB je libovolny uhel. Oblouková míra UhlU. Sestrojme v rovine AVB jedotkovou kruznici (to jest kruznici o polomeru 1) se stredem v bode V, viz obr. 9.12. Oznacme A1 (B1) jej í pmsec ík s prímkou V A (VB). Potom velikost í uhlu AVB v obloukove m íře rozum íme d e lku x kruhove ho oblouku A1B1 vyznacen e ho na obrazku (9.12). Jedotkovy uhel obloukove m íry se nazyva radian. Oznacuje se rad. Je tedy 1 rad velikost uhlu, ktery na jednotkove kruznici se stredem ve vrcholu uhlu vyt ín a oblouk jednotkove d e lky. Při oznacova n í velikosti uhlu se vetsinou vynech a va oznacen í rad. Tedy např. pravy uhel v obloukove m íře je roven Erad, Obrázek 9.12: Uhel v obloukové míře. Stupňová velikost UhlU. Jednotkovy stupen uhlove m íry, zvany (uhlovy) stupeř je roven 90 prave ho uhlu. Jako mens í jednotky stupřove velikosti uhlu se pouz ívaj í minuty a vteriny. Stupne, minuty a vteriny vyznacujeme jako „°, ', "". Plat í 1° = 60', 1' = 60". Je tedy 1° = 60' = 3600''. Velikost uhlu AVB ve stupřnov e m ířre naz yvame nezaporn e řc íslo, kter e vyjadřruje kolikr at je uhel AVB vetsí (mensí) nez jeden stupen (m íneno uhlovy stupeř). Vztah mezi velikosti úIiIu v obloUkove míre a velikosti UhlU v míre stUpiňove. Uhlu 360° ve stupnove m íře odpov íd a uhel 27r v obloukove m íre. Tedy mezi velikosti uhlu a ve stupnove m íre a velikosti x tehoz uhlu v obloukove m íře plat í vztah a : x = 180 : n. (Viz obr. 9.13.) Odtud dosta vame např. x = ^a. Napr. pro uhel a = 90° dostavame x — E x 2 . 187 Obrázek 9.13: Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míře. V n asleduj ící tabulce 9.1 je vyznačen vztah mezi velikosti úhlů v m íre stupňové a v m íře obloukové pro nektere vyznačn e úhly. úhel ve stupních 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° úhel v radiánech 0 6 4 3 2 3 -n 2 2n Tabúlka 9.1: Vztah mezi velikostmi úhlú ve stupních a v radianech. Orientovaný úhel. Orientován ým úhlem v rovině rozum íme uspořá danou dvojici poloprímek se spoleCným poca tkem. V teto dvojici prvn ípoloprímku naz ývame poCateCn ím ramenem a druhou koncovým ramenem orientovan e ho úhlu. SpoleCný poCatek techto polopřímek nazývame vrcholem uhlu. Orientovaný uhel s poCateCn ím ramenem V A a koncovým ramenem VB budeme oznaCovat AVB. UvaZujme orientovan ý uhel AVB. Jeho velikost í v obloukove m íre rozum íme kazd e C íslo tvaru (viz.(9.13)) a + 2kn (9.44) kde k E Z a a urCíme takto: a) Jestlize V A = VB, je a = 0. b) Jestlize V A = VB je a velikost neorientovan e ho uhlu, který vznikne otoCen ím poCateCn ího ramene V A do polohý koncove ho ramene VB v kladn e m smýslu, to jest proti pohýbu hodinových ruCiCek. Je tedý 0 < a < 2n. Takto definovan e Císlo a se nazýva za kladn í velikostí orientovan e ho uhlu. Soúčet a rozdíl orientovaných úhlú. Necht: AVB, BVC jsou orientovan e uhlý. Koncove rameno prvn ího z nich je poCateCn ím ramenem druh e ho z nich. Jejich souCtem se nazýva orientovaný uhel AVC. Jestlize velikost prvn ího z nich je a + 2k\n a velikost druh e ho je j3 + 2k2n, kde ki, k2 E Z, potom jejich suCtem je uhel a + j3 + 2kn, kde k = k1+k2. Jestlize uhel AVC je souCtem uhlu AvB a BVC, pak uhel BVC naz ývá me rozd ílem uhlu AVC a AVB. 188 Periodické funkce Dříve než si zavedeme goniometrické funkce, zopakujme si pojem periodické funkce. Funkci f (x) nazývame periodickou, jestliže mí tuto vlastnost: Existuje takové číslo u, žvaní perioda funkce f (x), že platí: Je-li funkce f (x) definovaná v čísle x, je definovaná ve všech číslech x + ku, k E Z a platí f (x + ku) = f (x),k E Z. (9.45) Nejmensíčíslo u pro než platí (9.45) se nažýva z akladn í periodou. Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nýn í trigonometrickými funkcemi, zvanými nekdý tež funkce goniometricko. Omez íme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhl e m souřadn e m sýste mu sestrojme kruznici o jednotkove m polomeru se středem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vých a zej íc í z pocatku, který sv íra s kladnou osou uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jednom bode. Jeho souradnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Týto souradnice zavisí na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovan e pro kařzd e rea ln e x. Pomoc í funkcí sin x a cos x definujeme dalsí trigonometricke funkce tg x, cotg x vztahý sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro tý uhlý x, pro nez je jmenovatel mzný od 0. Zaveden í funkcí tg x, cotg x je patrno t eřz z obr.10.8 cotg (-x) \! Obra zek 9.14: Zaveden ífunkc í sin x, cos x, tg x a cotg x. 189 Některé význačné vlastnosti funkcí sin x, cos x. Trigonometrické funkce jsou dostatečně znamy ze střední školy a proto zde jen zopakujeme jejich základní vlastnosti. Z definice a z konstrukce je videt, ze sinO = 0, sin | = 1, sin n = 0, sin ^ = — 1, sin2n = 0, cosO = 1, cos f = 0, cos n = —1, cos 31 = 0, cos(—2n) = 1. Z definice je videt, ze obe funkce jsou periodicke s periodou 2n a ze sin(—x) = — sinx, cos(—x) = cos x. Pro x E (f ,n) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (0,1) a cos x vsech hodnot z intervalu (—1, 0). Pro x E (n, ^) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (—1,0), cos x vsech hodnot z intervalu (—1,0); konecne pro x E (, 2n) nabude sin x vsech hodnot z intervalu (—1, 0) a cos x vsech hodnot z intervalu (0,1). Dále z obr. 10.8, je patrno, ze funkce sin x, cos x jsou periodické s periodou 2n. Funkce sin x je rostoucí v intervalech < —n/2 + k2n,n/2 + k2n >,k E N a klesající v intervalech n/2 + 2kn, 3n/2 + k2n, k E N. Funkce sin x je kladná pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve Čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro úhly v prvním a ve Čtvrtém kvadrantu a je zaporná pro uhly ve druhem a ve tretím kvadrantu. Na obr.9.15 je vykreslen graf funkce sin x a na obr.9.16 je vykreslen graf funkce cos x. Obrazek 9.15: Graf funkce sinx. 190 Obrázek 9.16: Graf funkce cos x. Ze střední školy jsou známy součtové vzorce: sin(^i ± x2) = sin x\ • cos x2 ± sinx2 • cos x1, (9.46) _cos(x1 ± x2) = cos x1 • cos x2 + sinx1 • sin x2._(9.47) Z techto vzorcU lze lehce odvodit řádu dalších velice uZitecních vztáhU. Kládeme-li v techto vzorcích x1 = x2 = x, dostaneme z (9.46) j sin 2x = 2 • sin x • cos x, cos 2x = cos2 x — sin2 x. Dosádíme-li x1 = x2 = x do vzorce pro kosinus rozdílu do (9.47), dostáváme sin2 x + cos2 x =1. Tento vzorec se vzorcem pro cos 2x dává 2 1 + cos 2x 2 1 — cos 2x cos x =-, sin x =-. 2 '_2 Ze vzorcU pro sin(xi ± x2) a cos(xi ± x2) snadno dostaneme: _ . xi + x2 xi — x2 sin x1 + sin x2 = 2 • sin-• cos-, 1 2 2 2 ' x1 + x2 x1 — x2 sin x1 — sin x2 = 2 • cos---• sin---, cos x1 + cos x2 = 2 • cos-• cos-, x1 + x2 x1 — x2 cos x1 — cos x2 = —2 • sin —--• sin--—. 191 Spojitost funkcí sin x a cos x. Věta 9.9. Funkce sin x je v čísle 0 spojitá. DUkaz: (Sleduj obr. 10.8.) Bud' x E (0, |). Z definice a konstrukce je patrno, ze zde platí 0 < sin x < x. Zvolme 0 < e < 2 libovoln e a poloZ me 5 = e. V U+ (0) je funkce sin x definovana a platí \ sin x — 0| = | sin x\ = sin x < x < e, takZe funkce sin x je v 0 zprava spojita. Pon evadZ funkce sin x je lichá, lehce nahledneme, Ze funkce sin x je v císle 0 take zleva spojita a proto je v císle 0 spojita. □ Věta 9.10. Funkce cos x je v čísle 0 spojitá. D U kaz: Bud' e > 0. Zvolme c íslo 5 = \/2ě > 0. Pak v okolí U+(0) je funkce cos x definovana a je v tomto okolí i ii i 2 x (x)2 x2 52 cos x — 1 = 1 — cos x = 2-sin — < 2- — = — < — = e. 1 11 1 2 \2) 2 2 Je tedy funkce cos x v c ísle 0 zprava spojita. Pon e vadz cos(x) = cos(—x), je funkce cos x i zleva spojita a proto je i spojita v bod e 0. □ Věta 9.11. Funkce sin x je spojití ve vsech bodech. D U kaz: Necht a je libovolne c íslo. Doka z me, z e je v n e m funkce sin x spojití. Z definice spojitosti funkce vyplyví, z e funkce sin x je spojití v bod e a kdyz a jenom kdyz funkce sin(a + h) je spojití v bod e h = 0. Podle (9.46) dostavame sin(a + h) = sin a cos h + cos a sin h. (9.48) Pon evad z funkce sin h, cos h jsou funkce spojite v bod e h = 0, dostívíme odtud, z e prava strana v (9.48) je spojití v bod e h = 0, takz e funkce sin x je spojití v bod e a. □ Věta 9.12. Funkce cos x je spojitá ve vsech bodech. D U kaz: Skute c n e. Spojitost funkci cos x vyplyví ze vztahu cos x = sin(2 — x) a z vety o spojitosti sloz ene funkce. □ Funkcě tg x, cotg x. Pomocí funkcí sin x a cos x jsme definovali trigonometricke funkce tg x, cotg x vztahy sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro n ez je jmenovatel rôzny od 0. Jejich zavedení je patrno tez z obr.10.8 192 Nektere význaCne vlastnosti funkcí tg x, cotg x. Funkce tg x je definovana pro všechna x uzna od lichých nasobku n, funkce cotg x je definovana pro x uzna od nasobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladní pro uhlý pro x v prvním a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovaný a zaporne pro uhlý ve druhem a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovaný. Týto funkce jsou zřejmř periodické s periodou n. Podobným způsobem jako u funkcí sin x a cos x lze ukázat, že funkce tg x stále roste v intervalů (— |,n) a nabude vSech reálných hodnot. Funkce tg x není definovaná pro liche násobky císla n. Podobne funkce cotg x stale klesa v intervalu (0,n) a nabýva zde vSech realných hodnot. Graf funkce tg x je na obr. 9.17. y y = tg x Obrazek 9.17: Graf funkce tgx. Graf funkce cotg x je na obr.(9.18). 193 y i y = cotg x V-j. 1 n x Obrázek 9.18: Graf funkce cotg x. Uká zali jsme, že funkce sin x, cos x jsou spojité na intervalu (—to, to). Funkce tg x, cotg x jsou tedy jako pod íl spojitých funkcí funkce spojit e v každ e m bode sve ho definiCn ího oboru. MuZeme tedy vyslovit tento zaver: Věta 9.13. Trigonometrické funkce jsou spojité ve všech číslech, ve kterých jsou definovány. Důkaz: Dukaz vychaz í z vety o spojitosti pod ílu a z vet predch azej ících. Funkce cyklometrické Zabyvejme se predevs ím existenc í funkc í inverzn ích k funkc ím sinx, cos x, tgx, cotgx. Funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. nejsou proste , tedy k nim neexistuj í funkce inverzn í. Budeme proto uvazovat tyto funkce pouze na intervalech, na nichz jsou proste . Fůnkce arcsinx Uvazujme funkci y = sinx, zuzenou na interval < —n/2, n/2 > . Tato funkce je na tomto intervalu spojit a a rostoucí. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n í inverzn í, oznacme ji arcsin. Jej ím neodvislym oborem je interval < —1, 1 > a odvislym oborem je interval < —n/2,n/2.. Na sve m definicn ím obor je spojit a a rostouc í. V kartezske m souradn e m syste m je jej í graf symetricky vzhledem k ose y = x s grafem funkce sinx, zuzen e na interval < —n/2,n/2. >. Jej í graf je na obr.10.9 | arcsin x je ten úhel z intervalu {—n, f}, jehož sinus má hodnotu x. 194 Obrázek 9.19: Graf funkce arcsinx. Funkce arecosx Uvažujme funkci y = cos x, zúženou na interval < 0, n > . Tato funkce je na tomto intervalu spojitá a klesaj íc í. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n íinverzn í, oznaCmeji arccos. Jej ím neodvisl ým oborem je interval < —1, 1 > a odvisl ým oborem je interval < 0,n >. Na sve m definicn ím oboru je spojita a klesaj íc í. V kartezske m souradn e m syste m je jej í graf symetrický vzhledem k ose y s grafem funkce cosx, zuzen e na interval < 0,n >. Jej í graf je na obr.10.10 | arccos x je ten úhel z intervalu (0, n), jehož kosinus ma hodnotu x. x y = arccosx Obrázek 9.20: Graf funkce arccos x. Funkce arctg x Funkce tg x je v intervalu (—n, |) spojita a rostouc í a nabýva zde vsech hodnot z intervalu (—oo, to). Tedy k n í existuje funkce inverzn í definovaná na intervalu (—00, to). Tuto 195 funkci oznacujeme arctg x. Podle vety 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—co, to) a je v nem rostoucí. Nabyva vsech hodnot z intervalu (—1, 1). Její graf v kartezskem souradnem systemu se dostane překlopením grafu funkce f (x) = tg x, x E (—1, 1) okolo přímky y = x (viz obr. 10.11). Geometricky vyznam funkce arctg x je tento: arctg x je ten uhel z intervalu (—1, 1), jehož tangens má hodnotu x. Graf funkce arctg x je na obr,10.11 Obrízek 9.21: Graf funkce arctg x. Funkce cotg x jev intervalu (0,7r) spojita a klesající a nabyva v nem vsech hodnot z intervalu (—00, to). Tedy k ní existuje funkce inverzní definovana v intervalu (—00, to). Tuto funkci oznacujeme arccotgx. Podle vety 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—to, to) a je v nem klesající. Nabyva vsech hodnot z intervalu (0,7r). Její graf v kartezskem souradn e m syste mu se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x E (0,n) okolo prímky y = x (viz obr. 10.12). Geometricky vyznam funkce arccotg x je tento: I arccotg x je ten uhel z intervalu (0, n), jehož kotangens má hodnotu x. Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazývaj í funkce cyklometrické. Dosavadn í výsledky o spojitosti lze shrnout takto: Věta 9.14. Funkce cyklometrická jsou spojité na svem definičním oboru. 196 v 2 ^_____V = arccotg x 0 "x Obrázek 9.22: Graf funkce arccotg x. Věta 9.15. Funkce cyklometrické jsou spojité na svem definičním oboru. 197 Kapitola 10 Derivace reálne funkce reálne proměnné 10.1 Zavedení pojmu derivace funkce Začneme s touto úlohou. Necht; y = f (x) je reúlnú funkce realne promenne definovaná na intervalu I. Necht: a je vnitřním bodem intervalu I. Upřesneme si intuitivne chapaný pojem tečny ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)] (viz obr. 10.1) y1 f ( A T [aj (a) x), ľ M /P xj (x)] i t x Obrázek 10.1: Tecna ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)]. Nazor nas vede k teto definici. Zvolme bod x G I, x = a, a uvaZujme přímku p jdoucí body T [a, f (a)], M [x, f (x)] (p je secnou grafu funkce f (x)). Její smernice, oznacme ji k (x) (to jest tangens úhlu, který svíra přímka p s kladným smerem osy x), je rovna ./ \ f (x) - f (a) k(x) =- . xa 198 Lze tedy při pevně zvoleném a považovat k(x) za funkci proměnné x. Tato funkce není v bode a definovaná. Existuje-li k = lim k(x) = lim1^-J-±^, x—a x—a x — a pak přímku jdoucí bodem T [a, f (a)] se směrnicí k nazveme tečnou grafu funkce y = f (x) v bode T. Přímku na ni kolmou nazveme normálou křivky y = f (x) v bode T. (Podobne mluvíme o pravé (levé) polotečne grafu funkce y = f (x).) V řadě aplikací se setkáváme s touto úlohou. Necht f (x) je daná funkce. Má se urcit limita (resp. limita zprava (zleva)) v bode a funkce F (x) definovane vztahem f (x) = M^m. x — a Pro tyto limity, pokud existuj í, zava d íme pojem derivace funkce f (x) v bode a n a sleduj íc í definic í. Definice 10.1. (Definice derivace funkce) Necht f (x) je funkce, a je re a ln e c íslo. Jestlize existuje c íslo, oznacme jej f l+(a) E R (f'- (a) E R) tak, ze f+(a) = lim f^x^, (f-(a) = Hm f^^f^,) (10.1) x—a+ x — a \ x—a- x — a J pak tuto limitu nazýváme derivací zprava funkce f (x) v císle a (derivací zleva funkce f (x) v císle a). Jestlize funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava f l+(a) a derivaci zleva f-(a) a jestlize f'+(a) = f'-(a), nazývame tuto spolecnou hodnotu derivací funkce f (x) v bode a a znacíme ji f (a). Je tedy f (a) = lim M^M. x—a x a Dohoda o oznacování. Jestlize uvazujeme funkci f (x) na intervalu I, jehoz levým (pravým) koncovým bodem je bod a, budeme nekdy pouz ívat oznacen í f (a) m ísto f+(a) (f-(a)). Poznámka 1. Vsimneme si, ze funkce f (x) = M^m x — a vystupuj íc í v definici derivace funkce f (x) v (10.1) nen í definovana v bode a, nebol; jmenovatel je v bode a roven 0. 199 Poznámka 2. Položíme-li v (10.1) x = a + h, můžeme derivaci funkce /(x) v čísle a definovat tež jako lim /(a + h) - /(a). (10.2) Na h se můžeme dívat jako na přírůstek neodvosle promenne x, to jest h je číslo, o než se žmení x-ova souřadnice, přejdeme-li ž bodu a do bodu a + h. Přírůstek neodvisle promenne se často ožnačuje tež jako Ax. Čitatel v (10.2) je pak přírůstkem odvisle promenne y a ožnačujeme jej obvykle Ay, resp. A/. Tedy Ay je hodnota, o níž se žmení funkční hodnota při přechodu ž bodu a do bodu a + h. Tedy (10.2) lže žapsat jako ľ Ay lim ——. Ax^Q A x Poznámka 3. Pojem derivace funkce ma značné uplatnění v ekonomických aplikacích. Vyjdeme ž príkladu, ktery nam pomůže počhopit problematiku využití derivačí v nekteryčh ekonomičkyčh aplikačíčh. Nečht s = s (t) vyjadřuje ujetou vždelenost auta ža dobu t. Nečht t1}t2, kde t1 < t2, jsou dva časove okamžiky. Potom ža dobu t2 — t1 auto ujede vždalenost s(t2) — s(ti). Číslo s(t2) — s(ti t2 — ti vyjadřuje tedy průmernou ryčhlost, kterou auto dosahne v dobe od časoveho okamžiku t1 do časoveho okamžiku t2, tj. ža dobu t2 —11. Potom derivači s'(tQ) funkče s(t) v bode tQ, tj. lim s(t) — /(tQ) t^to t — tQ můžeme nažvat okamžitou rýchlostí auta v časovem okamžiku tQ. Jestliže promenne x a y značí nejaké ekonomické veličiny, vyjadřuje funkce y = / (x) jejich vzájemnou závislost. Potom f(xXZfa vyjadřuje prumerný a /'(a) okamžitý pomer zmeny těchto ekonomických veličin. V zavislosti na ekonomické aplikaci dostava derivace /'(a) vhodný ekonomický nazev. Jestlize y = / (x) ma v bode a derivaci / '(a), potom přímka jdoucí bodem T [a, / (a)] se směrnicí /' (a) je tečnou ke grafu y = / (x) v jejím bode T. Přímka k ní kolma, jdoucé bodem T, je jejé norméalou v bodee T. Derivace funkce /(x) = c, c e (—oo, oo) Nečht /(x) = c, c e (—o, o). Potom podle definiče 10.1 dostavame pro a e (—o, o) /'(a) = lim = lim c—c = 0. x^a x — a x^ra x — a 200 Je tedý 2Ql c' = O, kde c G E, x G (—to, to). Derivace funkce f (x) = xn Urceme derivaci funkce f (x) = xn, n G N, v bode a G (—to, to). Podle definice je f '(a) = lim f (x) — f (a) = hm xn—an. x—a x — a x—a x — a Ponevadz xn — an =(x — a)(xn-1 + axn-2 + ■■■ + an-2x + an-1) a limita funkce nezáleží na hodnote funkce v bode, v nemž limitu počítáme, dostáváme odtud f'(a) = lim(xn-1 + axn-2 + ■■■ + an-2x + an-1). x—řa Vzhledem ke spojitosti polynomu v bode a je f'(a) rovna funkcní hodnote polynomu v zavorce v bode a, takže f '(a) = nan-\ Funkce f (x) = xn, n G N, má v každém bode x G (—to, to) derivaci (xn)' = nxn-1. (1O.3) Příklad 10.1. Vypocítejte derivaci funkce f (x) = x3 v jejím bode x = 4. Řešení. Podle (10.3) dostavame v obecnem bode x G (—to, to) (x3)' = 3x2. Tedy f'(4) = 3 ■ 42, tj. f'(4) = 48. Poznámka. Místo f'(4) muzeme psat (x3)'x=4. Zaveďme si nyní pojem derivace funkce f (x) vyssích radu. Derivace funkce vyšších řádů. Necht, funkce f (x) ma derivaci v každém bode intervalu I\ C I = Df. Přiřadíme-li ke každemu x G I\ hodnotu f'(x), je na I\ definována funkce f'(x). Ma-li funkce f' (x) derivaci v každem bode x G I2 C Ilt potom tuto derivaci nažívame druhou derivací funkce f (x) na I2 a žnačíme ji f' '(x) nebo f(2) (x). Analogicky definujeme f (n)(x) pro n = 3, 4,.... Podobne definujeme derivace vyšších rádu daná funkce žleva a žprava. 202 Úmluva. Řekneme-li, že funkce /(x) má derivaci na intervalu I, bude to znamenat, že má derivaci v každem vnitřním bode intervalu I a jestliže levý (pravý) koncový bod patří do I, potom ma v nem derivaci zprava (zleva). Podobne pro výSSí derivace. Poznámka. Pro n-tou derivaci funkce /(x), n > 1, se používa zapis /(n)(x), resp. /"(x) pro n = 2, /'"(x) pro n = 3, .... Čteme pak / s carkou, / se dvema carkami, / se třemi carkami, atd. Pro n > 3 nebývá zvýkem používat carek pro oznacení derivace. Příklad 10.2. Funkce y = 3x4 ma v intervalu (—oo, oo) derivace y' = 12x3, y'' = 36x2, y''' = 72x, y(4) = 72, y(k) = 0 pro k > 5. Zabývejme se nýní otízkou, zda vsechný funkce mají v každem bode derivaci. Odpoved' je zaporna, jak ukazuje nasledující príklad. Příklad 10.3. Zjisteme, zda funkce /(x) = \x\ ma v bode 0 derivaci. Řešení. Zřejme /(x) = x pro x > 0 a /(x) = —x pro x < 0. Podle definice derivace dost avame /' +(0) = lim \x\ ~~ \0\ = lim x = 1, íe^0+ x x—0+ x x 0 x /'-(0) = lim ^-Li = lim -= —1. x^O- x x—O- x Ponevadž /'+(0) = /'-(0), nemí funkce /(x) = \x\ v bode 0 derivaci. O vztahu mezi spojitostí funkce /(x) v danem bode a a existencí derivace funkce /(x) v bode a platí tato veta. Veta 10.1. (Vztah spojitost - existence derivace) Necht, funkce /(x) ma v bodě a derivaci /'(a). Potom /(x) je v bodě a spojitá. Je-li funkce /(x) v bode a spojitá, nemusí mít v bodě a derivaci. DUkaz: a) Necht funkce /(x) ma v bode a derivaci /'(a). Dokažme, že pak lim /(x) = /(a). 203 Necht; x = a. Podle věty 8.1 je lim f (x) = lim(f (x) — f (d) + f (d)) x—a ' t \ f (x) — f (a) , s s = lim -Í^-L(x — a) + f (a) x—a\_ x — a f(x) — f(a) = lim^^-Í^-L(x — a) + lim f (a) = x— a x — a x— a = lim f (x) — f ((a) • lim(x — a) + lim f (a) = x— a x a x— a x— a = f (a) • 0 + f (a) = = f(a) Ma-li tedy funkce f (x) v bode a derivaci, je v nem funkce f (x) spojitá. Příklad 10.3 ukazuje, ze funkce mUze byt spojitá v danem bode i kdyz v nem nemá derivaci. □ Poznámka. Podobne platí: JestliZe funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava (zleva), potom je funkce f (x) v bode a spojita zprava (zleva). Ukazme si pravidla pro vypocet derivací souctu, rozdílu, soucinu a podílu dvou funkcí. Věta 10.2. Nechi f (x), g(x) mají v bode a £ R derivace f' (a), g' (a) a necht c £ R je libovolné číslo. Potom platí: [c • f (x)]'x=(l = c • f'(a), (10.4) [f (x) ± g(x)]X=a = f (a) ± g'(a), (10.5) [f (x) • g(x)]'x=a = f (a) • g(a) + f (a) • g'(a). (10.6) Je-li g(a) = 0, potom platí: f (x)\' f'(a) ^ g(a) - f (a) ^ g'(a) ^ 7) 9(x)J x=a 92(a) Důkaz: Dokazme jen vzorec (10.5) pro derivaci souctu. Platí (f (x)+ 9(x))Xa = lim (f (x)+ 9(x)) — (f(a)+ 9(a)) x a x— a x a lim \f(x) — f(a) + g(x) — 9(a)] {108) x— a x — a x — a Ponevadz existují limity lim f (x) — f (a) lim g(x) — g(a), x— a x a x— a x a 204 dostavame z (10.8) podle vety 8.1 [f (x)+ g(x)]'x=a = f'(a)+ g'(a). u Poznámka. Analogicka veta platí pro derivaci zleva a pro derivaci zprava v danem bode. Příklad 10.4. Necht: funkce f (x), g(x) mají v bode a derivace f' (a), g' (a) a necht: c1, c2 G R jsou libovolna císla. Potom funkce F (x) = cif (x) + C2 g(x) ma v bode a derivaci a platí Skutecne. Podle (10.4) je [c1f (x)]'x=a = C1f'(a)> [c2g(x)]X=a = C2g'(a). Odtud a z (10.5) vyplyva (10.9). Vztah (10.5) lze zobecnit: Necht: f1(x), ..., fn(x) jsou funkce majícív bode a derivace fi(a), ..., fn(a). Necht: c1,... ,cn G R jsou libovolní císla. Potom funkce f (x) = cf1(x) +-----+ cn fn(x) ma v bode a derivaci a platí f'(a) = c1 f1(a) + + cn fn(a). Příklad 10.5. Vypocítejte derivaci polynomu F (a) c1f'(a) + c2g'(a). (10.9) f (x) = 4x4 3x2 + 2x - 1 v bode 2. Řešení. Dostavame f (2) = 4 ■ (4 ■ x3)x=2 3 ■ (2 ■ x)x=2 + 2 ■ (1). Vycíslením f (2) = 128 12+2 = 118. 205 Príklad 10.6. Necht: /(x) = x3 + 2x2 — 4x + 1. Potom pro x G (—to, to) platí /' (x) = 3x2 + 4x — 4, /"(x) = 6x + 4, T (x) = 6, /(n)(x) = 0 pro n > 4. Příklad 10.7. Vypoč ítejme druhou derivaci funkce x2 - 1 F (x)=w Řešení. OznaCme f (x) = x2 — 1, g(x) = x + 2. PonevadZ g(x) = 0 jen pro x = —2, je DF = (—oo, to) — { — 2}. Podle (10.7) je pro x E DF f (x) = 2x, g (x) = 1. Podle (10.7) dostavame p/(x) = f (x) • g(x) — f (x) • g(x) tj. ( ) = 2x • (x + 2) — (x2 — 1) • 1 F (x) = (x + 2)2 ■ Úpravou x2 + 4x + 1 F'(x)= x +2)2 , x E ^F. (10.10) Funkce F (x) ma prvn í derivaci urcenou vztahem (10.10) pro x E DF. Podobne výpoc ítame i F''(x). Prvn í derivaci (po zaveden í derivac í slozených funkc í lze výpocet realizovat jednoduseji) F'(x) prep íseme na tvar F' (x) = , #1(x) kde f1(x) = x2 + 4x +1, ^1(x) = x2 + 4x + 4. Podle (10.7) dostava me f1(x)#i(x) - fi(x)g1(x) F (x) Tedý F„(x) = (2x + 4) • (x2 + 4x + x = (x + 2)4 F"( ) = (2x + 4) • (x2 + 4x + 4) - (x2 + 4x + 1) • (2x + 4) 206 Po uprave dostava me tj. F"(x) = (xxhř • x E R—{—2)- C ílem nasich dalsích uvah bude ■ odvodit vetu o derivovan í slozen e funkce ■ odvodit vetu o derivovan í inverzn í funkce ■ odvodit derivace elementa rn ích funkc í. Derivace složené funkce Zacneme se slozenou funkc í. Znovu si pripomeňme zaveden í pojmu „slozen e funkce" a vetu o spojitosti slozen e funkce. Necht; A je neodvisly obor funkce u = p(x), B = Hv jej í odvislý obor. Necht dale funkce f (u) je definovan a na mnozine B. Ke kazd emu císlu x E A priraďme císlo F (x) = f [p(x)], tj. hodnotu funkce f (u) v císle p(x). T ím je definovan a na mnozine A nova funkce F (x), zvana slozena funkce. Funkci f (u) nazyva me jej í vnejsí slozkou a funkci u = p (x) nazyví me jej í vnitňn í slozkou. Jako príklad uveďme funkci y = sin(3x2 + 1). Jde o slozenou funkci. Jej í vnitrn í slozkou je funkce u = 3x2 + 1, definovan a na intervalu A = (—00, to). Odvisly oborem funkce u = 3x2 + 1 je interval B = {1, 00). Na mnozine B je definovana funkce f (u) = sin u. Tedy y = sin(33x2 + 1) je definovan a na intervalu A a oborem funkcn ích hodnot je interval {—1,1). (Zduvodnete!) V dňívejsím vykladu jsme si dokazali tuto vetu. Veta 10.3. Necht, funkce u = tp(x) je spojitá v bode a a funkce y = f (u) je spojitá v bode a = p(a). Potom složená funkce F (x) = f ( — ^ Ponřevadřz 0 pro y = a. lim R(y) = f (a) - f (a) = 0 = R(a), je funkce R(y) spojitá v bode a. Poněvadž funkce ip(x) má derivaci v bodě x = a, je podle vety 10.1 spojitá v bode a. Je tedy i složená funkce R(p(x)) spojitá v bode a. Užitím (10.12) lže funkci R(p(x)) žapsat takto í /(^»-/(y) - f (a) pro p(x) = p(a), . . R(p(x)) = (x)- (a) (10.1a) 0 pro p(x) = p(a). Pro x = a, p(x) = p(a) lze uzitím (10.13) psít [R(p(x)) + f'(a)]p(x) - p(a) = f (p(x)) - f (p(a)). (10.14) x a x a Avšak, jak zjistíme dosazením F(a = 77tTpro y = a. / (v) — / (a) / (a) Vzhledem k ryzí monotónnosti funkce / na intervalu I, je / (v) — / (a) = 0. Funkci F (y) lze pro y = a přepsat takto F (V = f (y)-f (a) ' y-a Ponevadz dle predpokladu ma funkce / v bode a derivaci, je lim = /'(a). y^a y — a Ponevadz /'(a) = 0, je podle (10.7) lim F (y) = lim ,. , = —-j— = F (a). y^a y^a f (y)-f (a) f (a) y-a J K ' Je tedy funkce F (y) spojita v bode a. Funkce /-1 je podle vety 10.6 spojita na intervalu J, tedy i v císle a. Je tedy i funkce F(/-1(x)) spojita v bode a. Je tedy lim F (/-1(x)) = F (/-1(a)) = F (a) 1 (a) Uzitím tohoto vztahu dostávame l/-1(a)]' = lim /-1(X) — /-1(a) = lim /-1(x) — /^ x — a x^a /(/-1(x)) — /(/-1 (a)) lim F(/-l(x)) = ■ (a) xa □ K vete 10.7 muzeme vyslovit radu analogických vet. Vyslovme tuto. 211 Věta 10.8. (Děrivacě invěrzní funkcě) Necht f je funkce spojití a ryze monotínní na intervalu I. Necht oborem jejích funkěních hodnot je interval J = f (I). Necht a je levy (pravy) koncový bod intervalu J a necht v ěísle a = f -i(a) ma funkce f derivaci f /+(a) = 0 (f /-(a) = 0). Potom funkce f-i ma v ěísle a derivaci zprava (zleva) a platí f ~vr = f4) • [lf "i(ar = T-w. D U kaz: Dukaz je analogicky k dukazu vety 10.7. 10.2 Derivace elementárních funkcí Predlozeny text vychaz í z predpokladu, ze citatel je sezn amen s elementa rn ími funkcemi v rozsahu uveden e m v ucebn ím textu „Matematika A". I kdyz v n a sleduj íc ím textu se zava d í jejich strucn e zaveden í a uva dej í se nektere jejich vyznacn e vlastnosti, je nutno, abyste se s třemito funkcemi dobřre sezna mili. Funkce y = tfx Uvazujme funkci y = xn, kde n je přirozen e . Tato funkce je zřejme definovana na intervalu (—to, to). Pro n lichí je tato funkce na sve m definicn ím oboru I = (—to, to) spojit a a rostouc í. Oznacme J = (—to, to) obor hodnot teto funkce. Proto k n í existuje funkce inverzn í na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverzn í funkce rostouc í a spojit a na J. Oznac íme ji {"/x. Funkce pro n lich e je lich a . Pro n sud e je sice funkce xn rovnez definovaní na intervalu (—to, to), avsak nen í na nem prosta. Např. (—2)n = 2n pro kazd e sud e n. Budeme proto uvazovat jej í zížení na interval I = (0, to). Na nem je tato zuzena funkce y = xn rostouc í a spojita, tedy prosta . Obor hodnot teto zuzen e funkce je interval J = (0, to). Proto k n í existuje funkce inverzn í, definovana na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverzn í funkce rostoucí a spojita. Oznacímeji ^Jx. Na obr. 10.4 jsou narýsová ny grafy funkc í y = x2 a y = \fx, x G (0, to) a na obr. 10.5 jsou narýsovaný grafy funkcí y = x3, y = yfx. 212 Obrázek 10.4: Grafy funkcí x2 a y/x. Obrázek 10.5: Grafy funkcí x3 a y/x. Poznámka. Všimnete si, Ze funkce y/x je pro pro n sudé definována jen pro x E (0, to). Podle definice je pak y/x pro kaZde x E (0, to) rovno tomu Číslu y E (0, to), pro nez je yn = x. Je-li tedy napr. a E R, je an E (0, to), takZe \fď/ = \a\, pro n sude, a E R. Napi. v(-2)2 = \- 2\ = 2. Pro počítání s odmocninami platí pravidla, ktera jste meli odvozeny na gymnáziích. Jsou uvedeny i ve studijním textu „Matematika A". Je nutne, abyste si tato pravidla zopakovali. Derivace funkce y/x. Odvod'me si nyní vzorec pro derivovaní funkce y/x. V obou uvazovaných prípadech, totiz jak pro n sude tak i pro n lich e, jsme oznacili inverzní funkci k funkci xn jako y = y/x. V kazdem bode x = 0 sveho definicního oboru je funkce y = xn mzna od nuly, takze v nem lze vypoc ítat jej í derivaci podle vety 10.7 takto. Polozme f (x) = y/x. Potom ( = (f ~l(x))' = = ~1-- = -^—r = -7~1=\-ľ. (10.22) K J w y " f'(y) (yn)' n • yn-r n • (y/x)n~l K ' Dostavame tedy: Funkce f (x) = y/x ma pro x E D f, x = 0, derivaci a platí f (x) = ( w = nrm-i- (10.23) 213 Uveďme si nyn í příklad na derivaci složen e funkce obsahuj ících funkci ^fx. Příklad 10.9. Vypoc ítejte derivaci funkce y =\\Xx—ik ■ (1024) Řešení. Danou funkci muzeme povazovat za slozenou funkci. Vnitřn í slozkou je funkce u = an+1 = ( 1 + —|— ) . (10.33) n +1 Ponevadz podle (10.29) je x > n+1, dostavame z (10.33) V 1 Y+1' 1 1 \ í i n + 1 1 ex > 1 + —T =1 + —T. (10.34) n + 1 / n +1 Ze vztahu (10.32) a (10.34) vyplyva -^-r + 1 - - 2, takze-<-, (10.37) x n - 1 1 - 2x 1 1 x n +1 <- + 1, takze->-. (10.38) x n + 1 x + 1 Z (10.36), (10.37), (10.38) dostavame 1 ex 1 1 T+— < e-1 < T-12-. (10.39) 1 + x x 1 - 2x Ponevadz lim ~r— = 1, lim -r-K- = 1, dostavame z (10.39) x—0 1+x x—0 1-2x lim-= 1. x—O x b) Počítejme nyn í derivaci funkce ex. Pro libovoln é x je podle definice (ex)/ = lim e--—. Výpočtem dostavame postupne ex+h _ ex ßX(ßh — 1) eh — 1 (ex)/ = lim-= lim —--- = ex lim-= ex • 1 = ex. h—0 h h—0 h h—0 h Funkce ex je spojita a rostoucí na intervalu (—to, to) a nabyva vsech hodnot z intervalu (0, to). V kazdám čísle ma derivaci a platí(ex)' = ex. Derivace funkce y = ln x Z vlastnost í exponenciá ln í funkce a ž definice inveržn í funkce vyplývá , že k funkci ex existuje funkce inveržn ídefinovana na intervalu (0, to). Tato inveržn í funkce je spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot ž intervalu (—to, to). Naž ýva se přirozený logaritmus a budeme ji žnacit ln x. Jej í graf dostaneme ž grafu funkce ex překlopen ím kolem přímky y = x (viž obr. 10.6). Z vety 10.7 plyne, že ln x ma v každ e m císle sve ho definicn ího oboru derivaci a platí (ln x)' = 7—tt = — = -. 216 Obrázek 10.6: Graf funkce ex a ln x. Jestliže položíme y = ln x, x E (0, to) potom ey = x, y E (—to, to) (10.40) Tedy přirozený logaritmus čísla x E (0, to) je mocnitel, na nějž je nutno umocnit žáklad e, abychom dostali číslo x. Odtud dostavame x = eln x. Funkce ln x je spojita a rostoucí funkce na intervalu (0, to) a nabyva vžech hodnot ž intervalu (—to, to). V každém čísle sveho definičního oboru ma derivaci a platí (ln x)' = -. x Jsou-li x,xr,x2 E (0, to), s E R, potom platí ln(xr • x2) = lnxr + ln x2 (10.41) lnxs = s • lnx. (10.42) Příklad 10.10. Vypocítejte derivaci funkce x+1 y = ex-1. 217 Řešení. Jde o složenou funkci. Vnitm í složkou je funkce u = 0, a =1. Pro a > 1 je funkce y = ax rostouc í na intervalu (—0, 0) a pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesaj ící na intervalu (—0, 0). Lže ji výjadrit ve tvaru aX _ gin ax _ gX'ln a 218 Odtud je videt, ze je to funkce spojita v intervalu (—to, to). Její derivaci urcíme jako derivaci slozene funkce. Dostavame (ax)' = (ex'lna)' = ex'lna ■ ln a = ax ■ ln a. Funkce y = ax pro a> 1,a =1 nabyva vsech hodnot z intervalu (0, to). Existuje k n í funkce inverzn í, ktera se znac í loga x a nazyva logaritmus o základě a. Je to funkce spojita a ryze monotonn í v intervalu (0, to), ktera nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Jej í derivace je podle vety 10.7 rovna Obrázek 10.7: Graf obecné exponenciální a logaritmické funkce, 0 < a < 1. Na obr. 10.7 je na crtek grafu funkc í y = ax a funkce y = loga x pro 0 < a < 1. Pro a = e, tedy pro a > 1, je graf funkce y = ax a graf funkce y = loga x zn a zornen na obr. 10.6. Graf techto funkcí pro a = e jsme jiz dříve vysetrili. Pro logaritmy se zí kladem a plat í pravidla analogicka k pravidlum uvedenym pro funkci y = lnx. Resme jeste jednu ota zku. Necht: a,b jsou kladn a re a ln a c ísla mzn a od nuly. V jak e m vztahu jsou císla loga x, logb x? Abychom to ukazali, předpovídejme, ze a, b jsou kladna císla mzna od jedne. Necht: x je kladne císlo. Oznacme y = loga x. Potom postupne dost avame: x = dV, logb x = logb dV = y ^ log6 a = loga x ^ logb a. 219 Je tedy logb x = loga x ^ logb a. Funkce y = ax, kde a je kladna realna konstanta Užna od jedná , je spojita a pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—00, 00) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—0,00). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, 00). V každém bode x sveho definičn ího oboru m í funkce ax derivaci (ax)' = ax • In a. Nažíva se exponencialní funkcí se žakladem a. Specialním případem je přirožena exponencialní funkce pro a = e a dekadickí exponenciílní funkce pro a =10. K funkci ax existuje funkce inveržní , žnacíme ji loga x (čteme logaritmus x při žaklade a). Je definovana na intervalu (0, 00). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 0 a jak ekoliv rea ln e s. Da se vyj a drit ve tvaru xs = (eln x)s = es-ln x. Odtud je videt, ze je to funkce spojita pro kazd e x E (0, to). Jej í derivace je podle vety 10.7 1 1 (xs)' = (es'lnx)' = es'lnx • s • x = s • xs • 1 = sxs~1. Funkce xs je spojitá na intervalu (0, to) a má zde derivaci sxs 1, tedy (xs)' = sxs~1, x E (0, to), s E R. V z averu teto casti jako aplikaci na předch azej íc í vety řesme n a sledující príklad. Příklad 10.13. Vypocítejte derivaci funkce y = x2 • ln(x2 + 1). Řešení. Jde zde o soucin dvou funkc í. Druh a z nich je funkce slozen a. Ponevadz x2 + 1 > 0, je dana funkce definovan a v intervalu (—to, to) a ma zde derivaci, kterou na zaklade predchoz ích vet urc íme takto y = 2x ln(x2 + 1) + x^-r1—2x, x2 + 1 221 takže po úpravě dostáváme x2 y' = 2x ln(x2 + 1) + x2 + Derivace funkce f (x)g(x) Nechť F(x) = f (x)g(x), x e A. (10.48) Necht f (x) > 0 pro x e A a nechť fúnkce f (x), g(x) mají pro x e A derivace f (x), g'(x). Fúnkci (10.48) lže přepsat do tvarú F (x) = eln f (x)3(x), (10.49) a po úprave jako F (x) = eg(x)ln f (x). (10.50) Túto fúnkci múžeme derivovat jako složenoú fúnkci. Dostavame F' (x) = eg(x)ln f (x)( g(x)ln f (x)^j Provedením vyžnacene derivace obdržíme F'(x) = f(x)g(x) • [g'(x)lnf(x) + g(x) fM) . Příklad 10.14. Vypocítejte derivaci fúnkce y = xsinx, x e (0, o). Řešení. Fúnkci xsinx lže prepsat na tvar y _ „sin x ln x Derivací dostaneme postúpne y' = esin x lnx(sin x in x)' y' = xsinx(cosxlnx +—sinx), x e (0, oo). x 222 Derivace trigonometrických funkcí Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nyní trigonometrickými funkcemi, zvanými nekdy též funkce goniometrické. Omezíme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravoUhlem souřadnem systemu s osami u,v sestrojme kružnici o jednotkovem polomeru se středem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychazející z pocatku, který svíra s kladnou osou u uhel x. Tento polopaprsek protne kruznici v jednom bode, oznacme jej A. Jeho souřadnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Tyto souradnice zavisí na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovane pro kazde realne x. Pomocí funkcí sin x a cos x definujeme dalsí trigonometricke funkce sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro nez je jmenovatel mzny od 0. cotg~-"~~\j Obrázek 10.8: Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x. Trigonometricke funkce jsou znamy ze strední skoly a bylo o nich pojednano i v ucebním textu „Matematika A". Nakreslete si jejich grafy! Zopakujte si podrobne jejich vlastnosti. 223 Uved'me si tyto jejich vlastnosti: Funkce sin x je kladna pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro úhly v prvním a ve Čtvrtém kvadrantu a je zaporná pro uhly ve druhem a ve třetím kvadrantu. Obe tyto funkce jsou periodická s periodou 2n. Funkce tg x je definovana pro všechna x ruzna od lichých násobku -, funkce cotg x je definovana pro x ruzna od nasobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladná pro uhly pro x v prvním a ve třetím kvadrantu v nemč jsou definovany a zaporná pro uhly ve druhám a ve třetím kvadrantu kvadrantu v nemč jsou definovany. Tyto funkce jsou periodická s periodou n. Odvozění děrivacě funkcě f (x) = sin x a) Dokazme napred, ze platí sin x iim-= 1. x^0 x Pro x E (0,1) je (viz obr. 10.8) 0 < sin x < x. D ale je obsah vysece OAB mens í nezli obsah trojuheln íku OBC, tj. 2x < 2 tgx. Celkem tedy plat í 0 < sin x < x < tg x = sin x cos x Odtud přechodem k převráceným hodnota m dostáváme cos x 1 1 -< - <-. sin x x sin x Vyna sob íme-li celou nerovnost kladnym c íslem sinx, dostaneme sin x cos x <-< 1, tj. sin x 1 <--< — cos x. PřipoCteme-li C íslo 1 ke vSem třem výrazUm, máme sin x 0 < 1--< 1 — cos x. x Bud' e > 0 á 5 = y/2e > 0. Pro x E (0,5) je funkce sin(x)/x definovaná á plát í v nřem sin x x sin x x sin x <1 cos x x = 2-2 x < 2( f) 2 x2 52 224 1 tak ze Díale je Tedy b) Doka zme, ze sni x lim - x—0+ x 1. sin x sm(—x) srn x lim -= lim -= lim -= 1. x—0- x x—0+ —x x—0+ x sin x lim- x-0 x 1. (sinx)' = cos x pro x G (—to, to). Necht: a G (—to, to). Potom platí , sin x — sin a x + a x — a 1 (sin x)x=n = nm-= hm 2 cos —-— sin x- a x a x- a 2 2xa .j i xx + a xx a xx a = lim cos-sm- : - x- a 2 2 2 ) (10.51) Polo zme /(y) sin y pro y = 0, /(0) = 1. Tato funkce /(y) je spojita v císle 0. Polozme dale x a $(x) Zrejme funkce &(x) je v císle a spojita a nabyví zde hodnoty 0, to jest &(a) = 0. Podle vety 8.4 je slozena funkce F (x) = / [&(x)] v císle a spojita, tj. sin X-a lim x-a = lim F (x) = F (a) = / [(a)] = / (0) = 1. (10.52) Polozme nyní / (y) = cos y, &(x) = (x + a)/2. Slozena funkce F (x) = / [&(x)] je v císle a spojita, takze x + a lim cos —-— = cos a. x- a 2 Z (10.51), (10.52), (10.53) dostavame (10.53) (sin x)'x=a = cos a. y { ~225~ Derivace funkce y = cos x Užitím vety o derivování složené funkce dostáváme ^cos = sin ^ — — xj '7T \ cosx) = |sin ( — — x)\ = — cos [ 2 — xj = — sinx. Funkce f (x) = cos x má v každém bode x e (—00, 00) derivaci a platí (cosx)' = sinx, x e (—0, 00). Derivace funkcí tg x, cotg x Z pravidel o derivová n í pod ílu dvou funkcí dostáváme pro x e (—0, 00) — {(2k + 1)f}, k e Z sinx (sinx) cosx sinx (cosx) (tg x)' = - =----2---" cos x cos cos x J cos2 x cos x • cos x — sinx • (— sinx) 1 cos2 x cos2 x Podobne pro x e (—0, 00) — {kn}, k e Z . /cosx\' 1 (cotg x) = í-- = —. sin x sin2 x Funkce f (x) = cotgx má v každém bodé x e (—0, 0) — {ku}, k e Z derivaci platí (cotgx)' = —2—, x e (—0, 0) — {kn} , k e Z. sin2 x a 226 Derivace cyklometrických funkcí V předcházej ícím výkladu jsme zjistili, ze funkce sin x je v intervalu (—n, \) spojitá a rostoucí a nabývá vSech hodnot z intervalu (— 1,1). Tedý k n í existuje funkce inverzn á definován a na intervalu (— 1,1). Tuto funkci oznacujeme arcsinx. Podle vetý 10.6 je tato funkce spojit a na intervalu (— 1,1) a je na nem rostoucí. Nabýva vsech hodnot z intervalu (— n, n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = sin x, x E okolo prímký y = x (viz obr. 10.9). Geometrický význam funkce arcsin je tento: | „arcsin x je ten úhel z Intervalu (— n, f), jehož sinus ma hodnotu x." Funkce cos x je v intervalu (0,n) spojití a klesaj íc í a nabýva vsech hodnot z intervalu (— 1,1). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (— 1,1). Tuto funkci oznacujeme arccosx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu — 1,1) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cos x, x E (0,n) okolo prímký y = x (viz obr. 10.10). Geometrick ý v ýznam funkce arccos x je tento: I „arccos x je ten Uhel z intervalu (0,n), jehož kosinus ma hodnotu x." Funkce tg x je v intervalu (—f, f) spojita a rostouc í a nabýva zde vsech hodnot z intervalu (—oo, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovan a na intervalu (—00, to). Tuto funkci oznařcujeme arctgx. Podle vřetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu 227 (—to, to) a je v něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x E (—n, n) okolo přímký y = x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctgx je tento: | „arctg x je ten úhel z intervalu (—n, n), jehož tangens ma hodnotu x." y i 2 ---------y = arctg x 0 \ n 2 Obrázek 10.11: Graf funkce arctg x. Funkce cotg x je na intervalu (0,n) spojita a klesaj íc í a nabývá na nem všech hodnot z intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci oznacujeme arccotgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—to, to) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x E (0,n) okolo přímký y = x (viz obr. 10.12). Geometrický význam funkce arccotg x je tento: I „arccotg x je ten úhel z intervalu (0,n), jehož kotangens ma hodnotu x." y Obrázek 10.12: Graf funkce arccotg x. 228 Funkce arcsinx, arccos x, arctgx a arccotg x se nazyvaj í funkce cyklometricke. Dosavadn í vysledky o spojitosti lze shrnout takto: | Funkce cyklometricke jsou spojite na svem neodvislem oboru. Derivace cyklometrických funkcí. Funkce sin x je spojit a a rostoucí na intervalu (-n, |). Jej ím odvislym oborem je interval (-1,1). V kazd e m bode a z intervalu (-1,1) m a funkce arcsin x tuto vlastnost: císlo a = arcsin a je z intervalu (-1, n), takze funkce sin x m a v nem derivaci cos a = 0. Podle vety 10.7 ma funkce arcsin x v c ísle a derivaci a plat í: ( • V = 1 = 1 =1 cos a y/1 - sin2 a Vt-ä' nebot sin a = a. Vsimneme si take, ze cos a je kladny, nebol; a je z intervalu (-1, n), takze odmocninu je nutno opatřit znam e nkem plus. V kazd e m bode x z intervalu (-1,1) tedy platí (arcsin x) = , . Podobne odvod íme, ze v kazd e m bode x intervalu (-1,1) plat í (arccos x) =--— =--=--. = =--, . (cos y)' sin y - cos2 y y/1 - x2 V intervalu (—to, to) mame 1 2 1 1 (arctg x) = -—- = cos y (tg y)' 1+tg2 y 1 + x2 1 • 2 1 1 (arccotg x) =--— = - sin y =--2~ =--o • (cotg y)' 1 + cotg2 y 1 + x2 Obdrzen e vysledky muzeme shrnout do n a sledující vety. Funkce cyklometrické mají derivace v každém vnitřním bodě svého neodvislého oboru a platí: (arcsin x)' = , , x E (—1,1) (arccos x)' =--. , x E (—1,1) (arctgx)' = ——2, x E (—to, to) 1 + x2 (arccotgx)' =---, x E (—to, to). 1 + x2 229 Uveďme si nyní souhrnně derivace elementárních funkcí. Derivace elementárních funkcí (c)' = 0, c E R, pro x E (—00, 00) (xn^J = nxn-1, n E N, pro x E (—0, 00) ( —x\ = ——t1:—-, n E N, n sudé, pro x E (0, 00) = n^ř-i, n E N,n pro x E (—0, 0) U (0, 00) (ex)' = ex, pro x E (—00, 00) (ax)' = ax ln a, a > 0, a= 1, pro x E (—00, 00) (ln x)' = —, pro x E (0, 00) x (loga x)' = —-—, a > 0, a = 1, pro x E (0, 00) x ln a (xs)' = sxs-1, s E R, pro x E (0, 00) (sinx)' = cos x, pro x E (—00, 00) (cos x)' = — sin x, pro x E (—00, 00) , M 1 (tg x) = -— , cos2 x pro x E (—0, 00) — ^(2k + 1)2| , k E Z (cotgx)' =--2—, pro x E (—0, 00) — {kn}, k E Z sin x (arcsin x)' = 2 , pro x E (—1,1) (arccos x)' = ———===, pro x E (—1,1) (arctgx)' =--, pro x E (—00, 00) 1 + x2 (arccotgx)' =---, prox E (—00, 00) 1 + x2 230 10.3 Shrnutí, úlohy Byl zaveden pojem derivace funkce v bode a G R a poukázáno na význam derivace (Definice 10.1). Byly odvozeny derivace elementarn ích funkc í. Jsou zde uvedeny vzorce pro vypocet derivace souctu, rozd ílu, soucinu a pod ílu dvou funkcí (Veta 10.2). Dale byla uvedena veta o derivaci slozen e funkce (Veta 10.4). Byla odvozena veta o vypoctu derivace inverzn í funkce (Veta 10.7). D a le byl vysetřen vztah mezi existencí derivace funkce f (x) v dan e m bode a a spojitost í funkce v bode a. Úlohy 1. Napiste rovnici tecny ke křivce y = 3x2 — x + 1 v bode T[1, ?] lez ícím na dan e křivce. [5x — y — 2 = 0] 2. Napiste rovnici norm aly ke křivce y = /r/i v jej ím bode T[0, ?]. [x + y = 0] 3. Ve ktere m bode křivky y = x3 — 3x2 + 1 svíra tecna s osou x uhel 45°? [x-ova souřadnice bodu je 1 ± -^3] 4. Ve kterych bodech m a krivka y = x3 — 27x vodorovnou tecnu? [x-ove souradnice techto bodu jsou 3, —3] 5. Necht: f (y) = je vnejs í slozkou a p(x) = Xzj je vnitrn í slozkou funkce F (x). Napiste F (x) explicitne. Urcete jej ídefinicn í obor. [F(x) = ^, DF = (—00,1) U (1, to)] 6. Derivujte a) y = v x2 +1 [ -^Xm,x G (—°'o)] b) y = x sin2x [sin2x + 2x cos2x, x G (—0, to)] c) y = sin2 y/x [si"^°s^,x G (0, to)] d) y = 3x2+1 [2 ln 3 • x • 3x+1, x G (—to, to)] e) y = xx [Navod: xx = exlnx; y' = xx(ln x + 1), x G (0, to)] 7. Vypoc ítejte prvn í derivaci funkce i(1-x2) ln2 a) y = log2 [ (1-x2)ln2] "J y -"to2 1-x L(1-x2)ln2J b) y = x2(V1 + x2 + 3x) [2x^1 + x2 + 3x) + x2(+ 3)] c) y = ex cos 2x [ex cos 2x (cos 2x — 2x sin 2x)] 8. Vypoc ítejte derivace az do 3. řadu funkce a) f(x) = x3 + 3x2 + 4x— 1 [f '(x) = 3x2 + 6x + 4, f''(x) = 6x + 6, f'''(x) = 6, x G (—to, to)] b) f (x) = xex [f'(x) = ex(x + 1), f''(x) = ex(x + 2), f'''(x) = ex(x + 3), x G (—to, to)] 231 Kapitola 11 Použití derivací 11.1 Funkce spojité na intervalu Připomeňme si, ze „Jestliže funkce f (x) m a v bode a derivaci, je v nem spojitá Začneme se zaveden ím pojmu loká In ího extre mu funkce f (x). Definice 11.1. Řekneme, ze funkce f (x) m a v bode x0 lokalní maximum (minimum), jestlize existuje takove 5 > 0, ze funkce f (x) je definovaní na intervalu (x0 — 5,x0 + 5) a plat í v nem pro vsechna x E (x0 — 5,x0 + 5) f (x) < f (x0), (f (x) > f (x0)) (11.1) Definice 11.2. (Vlastní lokalní extremy) Řekneme, ze funkce f (x) m a v bode xo vlastní lokalní maximum (minimum), jestlize existuje takove 5 > 0, ze funkce f (x) je definovan a na intervalu (x0 — 5,x0 + 5) a plat í f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro vsechna x E (x0 — 5,x0 + 5) pro nez je x = x0. Lokaln í maxima a lok aln í minima nazyvame spolecnym nízvem lokalní extremy (tez relativn í). Podobne vlastn í lok í ln í maxima a minima naz yvame vlastn ími lokíln ími extremy. Na obr. 11.1 je vyznacena funkce f (x), ktera m a v bodech a, b lok a ln í maximum a v bode c lokaln í minimum. Zaveďme si nyn í pojem absolutního extrímu funkce f (x) na mnozine M C D f. V teto definici se porovníva hodnota funkce f (x) v bode x0 s hodnotami funkce ve vsech 232 y = f (x) a c }j Obrázek 11.1: Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bode c. ostatn ích bodech dan e množiny. M isto pojmu absolutn ího extré mu můžeme mluvit o globálním extrému funkce na množine. Definice 11.3. Řekneme, ze funkce f (x) ma absolutná maximum (minimum) na množině M v bode x0 E M, jestlize funkce f (x) je definovana na mnozine M a jestlize f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro kazd e x E M. Řřekneme, řze funkce f(x) ma sváe vlastnáabsolutnámaximum (minimum) na mnoěziněe M v bode x0 E M, jestlize funkce f (x) je definovana na mnozine M a jestlize f (x) < f (xo) (f (x) > f (xo)) pro kazd e x E M. Absolutn í minimima a absolutn í maxima nazyva me spolecnym nazvem absolutn í extr emy. Absolutn í vlastn í maximum a absolutn í vlastn í minimum naz yvame spolecnym nazvem vlastn í absolutn í extre my. Poznámka. V nahore uvedenych pojmech se m ísto vlastn í extre m pouz íva tez term ín ostry extr e m. O existenci absolutn ího extre mu funkce f (x) na intervalu vypovída nasleduj ícíveta. Ve vetsine aplikací nas zaj ím a nalezen í absolutn ího extre mu. Veta 11.1. (Weieřstřassova) Necht: funkce f (x) je spojita na intervalu (a,b). Potom existují body x0,x\ E (a,b) tak, ěe funkce f (x) nabývá sveho absolutního minima (maxima) na intervalu (a, b) v bode x0 (x\). Tento bod je buďto krajním bodem intervalu (a,b), anebo bodem, v němě funkce nabývá sveho lokalního extremu. Na obr. 11.2 nabyva funkce f (x) sve ho lok ain iho maxima v bode c, lokain iho minima v bode d, absolutn iho maxima v bode c a absolutn iho minima v bode a. 233 y' _o f y = f x) a c d b x Obrázek 11.2: Absolutní extrémy na (a,b). Funkce na obr. 11.3 na (a,b) nabývá absolutn ího minimum v bode b, avšak nemá absolutní maximum na (a, b). Tato funkce f (x) je sice spojita na (a, b), avšak nen í spojita na (a, b). Vetu 11.1 nelze aplikovat, nejsou splnený jej í predpoklady. y o a b x Obrazek 11.3: Porušení predpokladu véty 11.1. Zabývejme nýn í probl e mem urCen í bodu, v nichZ funkce nabýva lokaln í extre m. K tomu budeme potřebovat nekolik vet. Veta 11.2. Nechť f (a) > 0 (f (a) < 0). Pak existuje takové okolí čísla a, če pro všechna čísla x < a z tohoto okolí platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) a pro všechna x > a z tohoto okolí platí f (x) > f (a) (f (x) < f (a)). Důkaz: Necht: f (a) > 0. Pak existuje lim f (x) — f (a) = f,(a) > o. x^ra x — a Existuje tedý takove okol í c ísla a, Ze v nemZ je uvedený pod íl definova n a je stale kladný, tJ' f (x) — f (a) > 0 x — a Tedý v tomto okol í jsou c ísla f (x) — f (a), x — a stejných znam e nek. Pro x < a je tedý f (x) < f (a), pro x > a je f (x) > f (a). Podobne se provede dukaz pro druhý případ f'(a) < 0. □ Poznámka. Jak víme, geometrický význam prvn í derivace je smernice tecný ke grafu funkce f (x) v bode a. Je-li tedý f'(a) > 0, svíra tecna grafu f (x) v bode a uhel p, pro nejz je 0 0). Podobně, je-li /'(a) < 0, svírá teCna grafu funkce /(x) v bodě a úhel p, pro nějž je 2 < p < n. Viž obr.11.5 y 1 f(x) \ \ a x Obrázek 11.5: Derivace jako směrnice teCny (f(a) < 0). 11.2 Vety o funkcích spojitých na intervalu {a,b) Veta 11.3. (Rolleova) Nechť funkce f (x) je spojitá na intervalu (a,b) a necht, má v každém vnitřním bode tohoto intervalu derivaci. Bud dále f (a) = f (b). Pak existuje taková číslo c E (a, b), že f (c) = 0. Důkaz: Je-li funkce f (x) v {a,b) konstantn í, tvrzen í je správn é a za c lze vz ít které koliv číslo uvnitr {a,b). Necht: tedy f (x) nen í v {a,b) konstantn í. Pak tedy aspon v jednom Čísle x E (a,b) platí f (x) = f (a) = f (b). Dejme tomu, ze f (x) > f (a). Podle vety Weierstrassovy nabude funkce f (x) v nekterem čísle c, kde a < c < b, sve maximalní hodnoty. Dokazme, ze f (c) = 0. Kdyby bylo totiz f (c) > 0, pak by podle vety 11.2 existovalo jiste okolí čísla c tak, ze pro vsechna x > c z tohoto okolí by platilo f (x) > f (c), podobne, kdyby f (c) < 0, pak by existovalo jiste okolí císla c tak, ze pro vsechna x < c z tohoto okolí by platilo f (x) > f (c). To vsak není mozne, nebot f (c) je ze vsech funkcn ích hodnot maximí ln í. Tedy opravdu f (c) = 0. □ 235 Pozníamka. Geometrick y smysl vřety je tento: graf funkce y = f(x) ma za dan ych predpokladu aspon v jednom bode vodorovnou tecnu (viz obr. 11.6). Obrázek 11.6: Tecna grafu f (x) v lokálním maximu. Příklad 11.1. Bud' f (x) = |x|, x G (—1,1). Tvrzen í vety neplat í, v Čísle 0 je poruSen předpoklad o existenci derivace. Viz obr. 11.7 v1 / 1 —1 1 1 x Obrázek 11.7: Graf funkce y = |x|, x E (—1,1). Věta 11.4. (Oběcná věta o přírUstku funkcě) Necht, funkce f (x), g(x) jsou spojite na intervalu (a,b) a necht mají v každem vnitrním bodě tohoto intervalu derivace. Pak existuje takoví ěíslo c E (a, b), že lf (b) — f (a)] • g/ (c) = |g(b) — g (a)] • f (c). D ukaz: Zaved'me pomocnou funkci F (x) = |f (b) — f (a)] • g(x) — |g(b) — g (a)] • f (x). Z předpokladu o funkc ích f (x) a g(x) vych a z í, ze funkce F (x) je na intervalu (a,b) spojita a uvnitr m a derivaci. D a le F (a) = F (b). Podle vety 11.3 existuje c E (a,b) tak, F/ (c) = |f (b) — f (a)] • g/ (c) — |g(b) — g (a)] • f (c) = 0. Odtud tvrzen í vety. □ Poznamka. Rolleova veta 11.3 je zvalstn ím případem vety 11.4 pro g(x) = x a funkci f ^ pro n íz plat í f (a) = f (b). 236 Věta 11.5. (Věta o přírůstku funkce) Nechi funkce f (x) je spojitá na intervalu {a,b} a necht: existuje f '(x) pro x E (a, b). Potom existuje alespoň jedno c E (a, b) tak, ze f (b) - f (a) = f (c) • (b - a). (11.2) Důkaz: Důkaz vychází bezprostředně z předcházející věty pro g(x) = x. □ Poznámka 1. Vztah (11.2) lze přepsat takto f (b) - f (a) = , b - a Leva strana tohoto vztahů vyjadřuje průmerny přírůstek fůnkce f (x) při přechodů z bodů a do bodů b. Vetů lze interpretovat takto. Existůje bod c E (a,b) tak, ze tecna ke grafů fůnkce y = f (x) v bode [c, f (c)] je rovnobezna se spojnicí bodů [a, f (a)], [b, f (b)]. Veta je schematicky znázornena na obr. 11.8. a c b Obrázek 11.8: Interpretace vety 11.5. Jestlize zname konstantů M pro níz je \ f'(x)\ < M pro x E {a, b), potom podle (11.2) platí \f (b) - f (a)\ f (x2Ýj. Funkce rostouc í a klesaj íc í se naz yvaj í spolecnym n a zvem funkce ryze monotonn í. Funkce f (x) se nazyva neklesaj ící (nerostoucí) na intervalu I, jestlize ma tuto vlastnost: Jestlize xi,x2 E I, xi f faÝj. Funkce neklesaj íc í a nerostouc í se nazyvaj í spolecnym ní zvem funkce monotonn í. Je tedy kazd a funkce ryze monotonn í t e z monotonn í. Opak nemus í platit. Urcit intervaly, na nichz je vysetrovan a funkce monotonn í, n a m casto pomuze tato veta. Veta 11.6. (Monotónnost funkce na intervalu) Necht, funkce f (x) je spojita na intervalu I a necht. I0 je množina všech vnitrních bodu intervalu I. Necht. funkce f (x) m a derivaci f' (x) na I0. Jestliže f' (x) > 0 (f' (x) < 0) pro x E I0, potom f (x) je rostoucí (klesající) na I. Jestliže f' (x) > 0 (f' (x) < 0) pro x E I0, potom f (x) je neklesající (nerostoucí) na intervalu I. 238 Ukažme nyní, jak určit intervaly monotónnosti funkce f (x) definované na intervalu I v případě, že funkce f (x) ma déle uvedene vlastnosti. Predpoklédejme, že funkce f (x) je spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu vsech vnitřních bodu intervalu I. Předpokládejme, že f (x) je spojité na intervalu I0, a že mí na nem konežny požet nulových bodu. Tyto nulové body roždžlí interval I na konežny požet žastežných intervalu. Ve vžech vnitrních bodech každého ž tžchto žasternych intervalu je f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Takže v nem je funkce f (x) rostoucí nebo klesající. Pži grafickém žnažornení vyžnažíme interval I na žíselne ose a nuloví body funkce f (x). Tyto nuloví body roždžlí interval I na nžkolik žastežnych intervalu. Nad každým ž techto intervalu vyžnažíme „+ ", je-li v jeho vnitrních bodech f (x) > 0, a „— ", je-li v jeho vniterních bodech f (x) < 0. Pod interval, nad nímž je symbol „+ " („ — ") dame symbol „/* " (,,\ ") a tak vyžnažíme, že funkce f (x) je na tomto žastežnem intervalu rostoucí (klesající). Ilustrujme to na nasledujícím príklade. Příklad 11.3. Naleznete intervaly monotónnosti funkce f (x) = 2x3 — 15x2 + 36x — 5. Řešení. Funkce f (x) je spojitá a ma i spojitou derivaci f (x), kde f (x) = 6x2 — 30x + 36. ŘeSením rovnice f (x) = 0 dostavame xi = 2, x2 = 3. VyznaCme císelnou osu. Interval I je cela tato císelna osa. Na ní vyznaame body x1 = 2, x2 = 3. Tyto body rozdelí interval I na 3 castecne intervaly: (—oo, 2), {2, 3), {3, to). Znamení f (x) a monotónnost funkce f (x) jsou patrny z obr. 11.9. f(x) + — + -1-1- xi =2 X2 = 3 f(x) / \ / Obrázek 11.9: Monotónnost funkce f (x) = 2x3 — 15x2 + 36x — 5. Funkce f (x) je rostoucí na intervalu (—o, 2) a na intervalu {3, o) a je klesající na intervalu {2, 3). Zabývejme se nyn í podrobneji probl e mem nalezen í lokaln ích extre mu. Veta 11.7. Necht, funkce f (x) ma v bode a lokílní extrím a necht, existuje f (a). Potom f (a) = 0. Důkaz: Veta je bezprostredn ím dusledkem vety 11.2 a definice 11.2. □ Z věty 11.7 vyplývá, že funkce f (x) může mít lokální extrém pouze v bodech, v nichž nemá derivaci ánebo v bodech, v nichž má derivaci rovnu nule. 239 Poznamenejme, že je-li /'(a) = 0, má graf funkce /(x) v bodě a tečnu rovnoběžnou s osou x. Na obr. 11.10 je znázornena funkce, která má v bode xo lokální minimum a má v nem derivaci; na obr. 11.11 je znázornena funkce, která má v bode x0 lokální minimum, ale nemá v nem derivaci. f (x) f (x) y xo Obrázek 11.10: /(x) má v x0 derivaci. xo Obrázek 11.11: / (x) nemá v x0 derivaci. x x Zjistili jsme v kterých bodech může mít daná funkce /(x) lokální extrémy. Dále si uvedeme nekolik vet, kterými lže alespoň v nekterých případech rozhodnout, žda funkce /(x) má v nich skutecne lokální extrem. Veta 11.8. (Existence lokálního extrému) Necht /' (x0) = 0 a necht: existuje 5 > 0 tak, ze pro x E (x0 — 5,x0) je /'(x) definována a platí/'(x) > 0 (/'(x) < 0) a pro x E (x0,x0 + 5) je /'(x) definovane a platí /'(x) < 0 (/'(x) > 0). Potom funkce /(x) ma v hode x0 lokalní maximum (minimum). Jestliže /'(x) > 0 (/'(x) < 0) pro x E (x0 — 5,x0) U (x0,x0 + 5), fukce /(x) nema v x0 lokální extrem. Znázorneme si graficky situaci uvedenou v teto vete. Ukazme nektere případy: a) /'(x0) = 0, /'(x) < 0 pro x E (x0 — 5,x0), /'(x) > 0 pro x E (x0,x0 + 5), kde 5 E R f(x) — + 5 e R xo — ô xo xo + ô f(x) \ \ S f (x) má v x0 lokálni minimum b) /'(x0) = 0, /'(x) > 0 pro x E (x0 — 5,x0), /'(x) < 0 pro x E (x0,x0 + 5), kde f ( x) + xo — ô xo xo + ô f(x) S \ \ f (x) má v xo lokálni maximum 240 c) /' (xo) = O, /' (x) > O pro x G (x0 — 5,x0), f (x) > 0 pro x G (xo,xo + 5), kde 5 G R f(x) + + -€-1-3- xo — ô xo xo + ô f (x) S f (x) nemá v x0 lokálni extrém d) f (xo) = 0, f (x) < 0 pro x G (xo — 5,xo), f (x) < 0 pro x G (xo,xo + 5), kde 5 G R f ( x) — — —e-1-3— xo — ô xo xo + ô f (x) \ \ f(x) nemáá v xo lokálni extrém Uved'me jeste další vetu, ktera umožňuje urcit v některých případech lokaln í extre my funkce /(x). Veta 11.9. (Existence lokálního extrému) Necht f (xo) = 0, /"(xo) > 0 (< 0). Potom funkce f (x) ma v bode xo lokálni minimum (maximum). DUkaz: Nechť f"(xo) > 0. Potom existuje lim f (x) — f (xo) = f"(xo) > 0. Existuje tedy takove cislo 5 > 0, že pro x = xo, x G (xo — 5,xo + 5) je pod íl f (x) — f (xo) = fixl x xo x xo definovan a je kladný. Tedy f (x) a x — xo maj ížde stejn e žnam e nko. Je tedy f (x) < 0 pro x G (xo — 5,xo) a f (x) > 0 pro x G (xo,xo + 5). Podle vety 11.8 ma tedy funkce f (x) v bode xo lokaln í minimum. Podobne se dokaže žbyvaj ící cast vety. □ Príklad 11.4. Určete lokaln í extre my funkce f (x) = x2 — 5x + 6. ŘeSení. Funkce f (x) ma derivaci pro x G (—oc, to). Podle požnamky uveden e vyse muže tedy nabyvat lokaln í extre my použe v bodech, v nichž je f (x) = 0. Dostava me f (x) = 2x — 5. Řesen ím rovnice 2x — 5 = 0 dosta vame xo = |. Tedy funkce f (x) muže nabyvat lokaln í extre m použe v bode xo = |. Dokažeme nyn í dvema žpusoby, že žde dan a funkce nabyva lokaln í minimum. a) Zňejme f (x) < 0 pro x G (—o, |) a f (x) > 0 pro x G (f, to). Podle vety 11.8 m a funkce f (x) v bode xo lokaln í minimum. 241 b) Ponevadz f"(x) = 2, je f"( f) = 2 > 0. Podle vety 11.9 ma funkce f (x) v bode 5 lokaln í minimum. Příklad 11.5. Naleznete lokaln í extre my funkce f (x) = x4. Řešení. Podobnou uvahou jako v minul e m příklade zjistíme, ze funkce f (x) muze m ít lokaln í extre m pouze v bode, v nemz je f (x) = 0. Zřejme f (x) = 4x3. Rovnice 4x3 = 0 má jedin e řesen í x = 0. Zrejme f (x) < 0 pro x E (—to, 0) a f (x) > 0 pro x E (0, to). Ma tedy funkce f (x) v bode x = 0 podle vety 11.8 lokaln í minimum. Ponevadz f"(0) = 0, nelze o existenci lokaln ího extre mu v bode x = 0 rozhodnout podle vřety 11.9. Príklad 11.6. Naleznete lokaln í extre my funkce f (x) = x3. Řešení. Funkce f (x) m a derivaci pro x E (—to, to). Muze tedy m ít podle vyše uveden e pozn a mky lok í ln í extre m pouze v bode x = 0, nebot jenom v nem je f (x) = 0. Ponevadz f (x) = 3x2 > 0 pro x E (—to, 0) U (0, to) nem a f (x) podle vety 11.8 v bode x = 0 lok a ln í extre m. Dan a funkce tedy nema lokaln í extre my. Ponevadz f"(0) = 0, nelze podle vety 11.9 rozhoudnout, zda v bode 0 ma funkce f (x) = x3 lokaln í extre m. Na příklade 11.5 jsme videli, ze veta 11.9 n a m nekdy neumoznuje urcit, zda funkce f (x) m a v bode x0, v nemz je f (x0) = 0, lok a ln í extre m, nebo nemí . Uveďme si n a sleduj íc í vetu, kterí je obecnejsí nez veta 11.9. Veta 11.10. (Existence lokálního extremu) Necht f (xo) = f"(xo) = ■■■ = f (n)(xo) = 0 a necht: f (ra+1)(xo) = 0. Je-li n+1 sude, ma funkce f (x) v bode x0 lokální extrem. Jestliže f (ra+1)(x0) > 0 (f (ra+1)(x0) < 0), potom funkce f (x) ma v bodě x0 lokalná minimum (maximum). Je-li n +1 liche, nemá funkce f (x) v bode a lokalní extrím. Příklad 11.7. Naleznete lokáln í extré my funkce f (x) = x4. Řešení. Dostává me f (x) = 4x3, f"(x) = 12x2, f'"(x) = 24x, f (4)(x) = 24. Zřejme f (0) = f"(0) = f"(0) = 0, f(4)(0) = 24 > 0. Má tedy funkce f (x) = x4 v bode x = 0 lokáln í minimum podle vety 11.10. Příklad 11.8. Náleznete lokáln í extre my funkce f (x) = x3. Řešení. Dostává me f (x) = 3x2, f"(x) = 6x, f"(x) = 6. Zřejme f (0) = f"(0) = 0, f"(0) = 6 > 0. Podle vety 11.10 nem á funkce f(x) = x3 v bode x = 0 lokáln í extre m. 242 11.4 Absolutní extrémy V definici11.3 bylo zavedeno absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na mnozine M. Absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce f (x) na mnozine M naz yvame spolecnym n a zvem absolutn íextre my. Absolutn íextre my funkce nemus í ovsem na dan e mnozine existovat. Tak napr. funkce f (x) = tg x v intervalu (—|, n) nenabyva ani nejvets í ani nejmensí hodnoty, nebot limx^-7T/2+ = —oo, limx^7T/2+ = oo takze funkce f (x) nen í na intervalu , < —n/2,n/2 > ohranicena. Víme, ze jestlize funkce f (x) je spojití na uzavřen e m intervalu, pak je existence absolutn ích extre mu zarucena vetou Weierstrassovou. Pro nalezen í absolutn ích extre mu je dulezit a tato veta: Veta 11.11. (Existence absolutního extrému) Buď f (x) funkce definovaná na intervalu J. Necht, má v čísle a E J absolutní extrém. Pak a je koncovým bodem intervalu J nebo v nem ma funkce f (x) relativní extrem. Důkaz: Nen í-li a koncovým bodem intervalu J, d a se zvolit interval J' takovy, ze J' je ca st í J a bod a je vnitřn ím bodem v J'. Pak v J' je f (x) definoví na a plat í f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) na intervalu J'. Potom funkce f (x) m a v císle a relativn í maximum (minimum). □ Při hledaní absolutních extrámu funkce spojite na užavřenem intervalu < a, b > postupujeme takto: Necht, funkce f (x) je spojita na užavřenem intervalu < a,b >. Podle Weierstrassovy vety ma funkce f (x) na intervalu a, b > absolutní extrám. Tento absolutní extrám nabyva funkce f (x) buď to v bode, v nemž nabyva lokální extrám, nebo v bodech a, b. Vyhledame proto lokalní extremy a porovnaním hodnot vysetřovan í funkce v techto bodech a v bodech a, b uržíme absolutn í extremy. Na absolutn í extre my funkce vede řada aplikacn ích uloh. Uved'me príklad. Příklad 11.9. Obd e ln íkovy kus plechu m a rozmery 60 x 28 cm. V roz ích se odríznou ctverce a zbytek se ohne tak, ze vznikne otevrena krabice. Jak velikí mus í byt strana odřízutych ctvercu, aby objem krabice byl maximaln í? Rešení. Je-li x strana odříznutych ctvercu (viz obr. 11.12), je objem krabice f (x) = (60 — 2x)(28 — 2x)x = 4x(30 — x)(14 — x). Platí, ze x E {0,14) a f (0) = f (14) = 0, pro x E (0,14) je f (x) > O. Absolutn í maximum splyne tedy s maximem relativn ím. Dostava me f' (x) = 4(3x2 — 88x + 420), f''(x) = 8(3x — 44). Uloze vyhovuj ící koren rovnice f'(x) = 0 je x = 6. Ponevadz f'(6) < 0, ma funkce 243 f (x) v bode x = 6 lok a ln í maximum. Platí f (6) = 4608. Objem krabice je maxim a ln í, odříznou-li se ctverce o strane 6 cm. Objem krabice pak je 4,608 dm3. x / oo x x r 60 x - - Obrázek 11.12: Tvar plechu na krabici. 11.5 Konvexita a konkávnost funkce Necht: funkce f (x) m a v bode a derivaci f '(a). Potom graf funkce f (x) ma v bode [a, f (a)] tecnu y — f (a) = f'(a) • (x — a). Ožnacme $(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a), x e D f. odchylku funkce y = f (x) a funkce y = f (a) + f' (a) • (x — a), jej iž graf je tecna ke grafu funkce f (x) v bode a. (viž obr. 11.13) f(x) a — S a a + S x Obražek 11.13: Zaveden i funkce $(x). 244 Definice 11.4. (Inflexní bod) Řekneme, ze funkce f (x) probíhá v bode a nad tečnou (pod tečnou), existuje-li takové 5 > 0, ze na intervalu (a — ô, a + 5) je definovaná funkce $(x) = f (x) — f (a) — f (a)(x — a) (11.3) a $(x) > 0 ($(x) < 0), pro x e (a — 5, a) U (a, a + 5). (Viz obr. 11.13.) Řekneme, ze bod a je inflexním bodem funkce f (x), (viz obr. 11.14) jestliže existuje 5 > 0 tak, ze $(x) je definovana na intervalu (a — 5,a + 5) a platí $(x) > 0 ($(x) < 0) pro x e (a — 5,a) a $(x) < 0 ($(x) > 0) pro x e (a,a + 5). (Graf funkce prechazí v bode dotyku z jedne strany teCny na druhou.) y = f (x) —i-1-i— a — ô a a + ô Obrazek 11.14: K definici inflexního bodu. Veta 11.12. Necht f "(a) > 0 (f"(a) < 0). Potom funkce f (x) probíhá v bode a nad tečnou (pod tečnou). Důkaz: Nechť f"(a) > 0. Pak podle definice derivace existuje takove okolí Us(a), ze pro x e Us (a) — {a} je f (x) — f (a) x — a definovano a je f (x'xZÍ ^ > 0. Tedy v Us (a) je definována derivace f (x). Nechť x je libovolníy bod z intervalu Us(a) — {a}. Potom funkce f(x) je v intervalu o koncovíych bodech a, x spojití a uvnitr ma derivaci. Totez platí pro funkci &(x). Podle vety o prírustku funkce platí pro funkci $ danou vztahem (11.3) $(x) = $(x) — $(a) = $'(c)(x — a), (11.4) kde c lezí mezi a, x. Úpravou (11.4) dostavíme $(x) = (f'(c) — f'(a))(x — a)= f (C) — f ((a) (x — a)(c — a). ca 245 Poněvadž c lež í mezi a, x, je (x — a)(c — a) > 0. Je tedy znamen í $(x) v Us(a) — {a} stejn e jako je znamen í f (—ía a a tedy stejn e i jako je f "(a). Je tedy &(x) > 0 pro x E Us(a) — {a}. Podobne se doka že veta v ostatn ích případech. □ Z t eto vety bezprostredne vypl yv a tato veta: Veta 11.13. Nechť a je inflexním bodem funkce f (x). Existuje-li f "(a), potom f "(a) = 0. Funkce f (x) mUze mít inflexní bod pouze v bodech, v nichž ma první derivaci, ale nemá druhou derivaci nebo v tžch bodech, v nichž tato druha derivace existuje a je rovna 0. Ukažme si nyn í větu, která nám umožn í alespoň v některých případech zjistit inflexn í body daná funkce. Veta 11.14. (Existence inflexního bodu) Necht, f "(a) = 0 a necht, existuje 5 > 0 tak, že pro x E (a — ô, a) je f "(x) > 0 (f" (x) < 0) a pro x E (a, a + 5) je f" (x) < 0 (f" (x) > 0). Potom funkce f (x) má v bode a inflexní bod. Zn a zorneme si graficky situaci uvedenou ve vete 11.14. f" : f" (a) = 0 + a a + ô a je inflexní bod funce f (x) f : f"(a) = 0 + a a + ô a je inflexní bod funce f(x) Príklad 11.10. Urcete inflexn í body funkce f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. ReSení. Pro x E (—oc, oc) dostá va me f (x) = 3x2 — 6x + 5, f" (x) = 6x — 6. Urceme nulov e body funkce f"(x). Z rovnice f"(x) = 0, to jest z rovnice 6x — 6 = 0 246 dostavame x =1. Funkce f (x) m a prvn í a druhou derivaci pro x e (—o, oo). f" : — + 1 1 je inflexní bod funce f (x) Ma tedy funkce f (x) v bode x = 1 podle vety 11.14 inflexn í bod. Dalsí vetou, kterou lze v nekterych případech urcit inflexn í body, je n a sledující veta. Veta 11.15. (Existence inflexního bodů) Necht, funkce f (x) splžuje v bode x = a tyto vžtahy f" (a) = • • • = f (n)(a) = 0, f (n+1\a) = 0. Je-li n + 1 lichí, potom funkce f (x) ma v bode a inflexní bod. Príklad 11.11. Naleznete inflexn í body funkce f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. (Viz príklad 11.10.) Řešení. Dosta vame f'(x) = 3x2 — 6x + 5, f"(x) = 6x — 6, f"(x) = 6 Ponevadz f''(1) = 0, f'''(1) = 0 m a funkce f (x) v bode x = 1 inflexn í bod. Zaveďme si pojem ryze konvexn í (ryze konkavn í) funkce na intervalu. Definice 11.5. (Řyze konvexní a ryze konkávni fůnkce) Řekneme, ze funkce f (x) je ryže konvexní (ryže konkívní na intervalu I, jestlize m a tuto vlastnost: Jestlize x1,x2,x3 e I, x1 < x2 < x3 a jestlize p je přímka jdouc í body A[x1, f (x1)], C[x3,f (x3)], potom bod B[x2, f (x2)] lez í pod (nad) přímkou p. Na obr. 11.15 je zn azornena funkce ryze konvexn í na intervalu I a na obr. 11.16 je znazornena funkce ryze konkavn í na intervalu I. 247 y = f (x) C y = f (x) X\ X2 X3 X\ X2 X3 Obrazek 11.15: Funkce ryze konvexní na intervalu I. Obrazek 11.16: Funkce ryze konkavní na intervalu I. Podobnym zpusobem zavadíme pojem konvexnosti a pojem konkavnosti funkce na intervalu. Definice 11.6. (Konvexní a konkavní fůnkce) Řekneme, ze funkce f (x) je na intervalu I konvexní (konkavní), jestlize ma tuto vlastnost: Jestlize x1,x2,x3 E I, xi < x2 < x3 a jestlize p je přímka jdoucí body A[x1, f (x-])}, C[x3,f (x3)], potom bod B[x2, f (x2)] lezí pod (nad) přímkou p nebo na ní. Na obr. 11.17 je znazornena funkce konvexní na intervalu I a na obr. 11.18 je znazornena funkce konkavní na intervalu I. y = f (x) X\ X2 X3 I y = f (x) Xi x2 x3 I Obrazek 11.17: Funkce konvexn í na intervalu I. Obrazek 11.18: Funkce konkavn í na intervalu I. Poznamka 1. Necht: f (x) je funkce definovan a na intervalu I. Nechť x1, x2, x3 E I, x1 f (x33) — f (x2) > x2 - xi x3 - x2 Podobne, bod B[x2, f (x2)] lez í nad pr ímkou p nebo na ni, jestlize plat í (11.7) f (x2) — f (xi) > f (x3) — f (x2) X2 — Xi X3 — X2 (11.8) O vztahu mezi konvexností (konkavností) funkce f (x) a znamen ím druh e derivace f''(x) funkce f (x) vypovídaj í nasleduj íc í vety. Veta 11.16. (Vztah konvexnosti a druhe derivace funkce) Necht. f (x) je funkce spojita na intervalu I. Ožnacme I0 množinu vsech vnitrních bodu intervalu I. Necht funkce f (x) mí druhou derivaci f''(x) na intervalu I0. Potom platí: Funkce f (x) je konvexní (konkavní) na intervalu I, když a jenom když f''(x) > 0 (f''(x) < 0) pro x E I0._ Dukaz: Dukaz rozdel íme do dvou c a st í . a) Necht: f (x) je spojita na intervalu I a necht: existuje f''(x) pro x E I0. Necht: f (x) je konvexn í na I. Dokazme, ze potom je f''(x) > 0 pro x E I0. Dukaz provedeme 249 sporem. Předpokládejme, že existuje bod x2 g Iq, tak, že f''(x2) < 0. Existuje tedy 5 > 0 tak, že pro x g (x2 — 5,x2 + 5), x = x2, existuje f (x')—f ^^ a platí X — X2 f (x) — f (x2) x — x2 < 0. (11.9) Zvolme xi g (x2 — 5,x2), x3 g (x2,x2 + 5). Ponevadž dle předpokladu je funkce f (x) konvexní na I, platí (11.6) i pro takto žvolene body x1,x2,x3. Aplikujeme-li vetu o přírustku funkce na (11.6), dostavame, že existuje c g (x2 — 5,x2) a d g (x2,x2 + 5) tak, že f (c) < f (d). (11.10) Avsak ž (11.9) vyplýva, že f (C) > f (x2) > f (d). (11.11) Ponevadž (11.10), (11.11) nemohou souCasne platit, dospeli jsme ke sporu. Je tedy f"(x) > 0 pro x g I. b) Necht: f (x) je spojita na I a necht: f"(x) > 0 pro x g Iq. Dokažme, že potom je f (x) konvexní na I. Ponevadž f"(x) > 0 pro x g Iq, je f (x) neklesající na I0. Předpokladejme, že f (x) není konvexní na I. Existují tedy body x1,x2,x3 g I tak, že neplatí (11.6), tedy řže je f (x2) — f (xi) > f (x3) — f (x2), xi f(d). (11.13) Ponevadž c,d g I0, c < d a f (x) je neklesající na I0, nemuže (11.13) platit. Je tedy f (x) konvexní na I. Podobne se dokaže veta pro funkce konkávní. □ Poznámka. K vete 11.16 lže vyslovit analogickou vetu pro funkce ryže konvexní a pro funkce ryže konkavní. Uved'me si jeste dalsí vetu, ktera je žobecnením tvržení ve vete 11.16. Veta 11.17. (Ryze konvexní funkce na intervalu) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht: f1 '(x) > 0 pro x g I0, přičemž f"(x) = 0 jen v konečném počtu bodU z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryze konvexní. DUkaz: Princip dukažu ukažme v nasledujícím prípade. Necht: f (x) je funkce spojita na 250 intervalů I = {a, b). Necht: c E (a, b), f''(c) = 0 a necht: f''(x) > 0 pro x E (a,c)U(c, b). Za techto predpokladů je f'(x) spojití na (a,b). Jsoů-li xi,x2 E (a,c), x\ < x2, je podle vety o prírůstků fůnkce f (x2) - f (xi) = f''(C), kde C E (xix)-x2 - xi Je tedy f' (x2) - f' (x1) > 0. Je tedy f' (x1) < f' (x2) pro x1,x2 E {a,c), x1 < x2. Fůnkce f'(x) je tedy rostoůcí na (a,c). Podobne se dokaze, ze f'(x) je rostoůcí na intervalů {c,b). Tedy f' (x) je rostoůcí na intervalů (a,b). Predpoklídejme, ze fůnkce f (x) není ryze konvexní na {a,b). Pak existůjí takova císla x1,x2,x3 E {a,b), x1 < x2 < x3, ze pro ne neplatí (11.5), to jest, ze platí f (x2) - f (x1) > f (x3) - f (x2) Aplikůjeme-li na kazdoů stranů (11.14) vetů o přírůstků fůnkce, dostavame f'(C) > f'(n), kde C E (x1,x2), n E (x2,x3). (11.15) Nelezli jsme tedy C,n E (a,b), C < n, pro nez platí (11.15). To vsak nemůze platit, nebot f' (x) je rostoůcí na (a,b). Je tedy f (x) ryze konvexní na {a,b). □ Věta 11.18. (Ryze konkávni funkce na intervalu) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht f' '(x) < 0 pro x E I0, přičemž f''(x) = 0 jen v konečném počtu bodu z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryze konkavní. Důkaz: Důkaz je analogicky důkazů vety 11.17. Pri hledíní intervalů konvexity a konkívnosti a inflexních bodů lze casto poůzít nasledůjící postůp. Necht: fůnkce f (x) je na intervalů I spojita. Necht: Io je mnozina jeho vnitrn ích bodů. Na císelne ose vyznacíme interval I. Nad císelnoů osů napíseme „f" (x)", bůdeme totiz nad císelnoů osoů vyznačovat znamení fůnkce f''(x). Pod císelnoů osů napíseme „f(x)", bůdeme totiz pod císelnoů osoů vyznacovat symboly konvexnost, resp. konkavnost fůnkce f(x). Necht: fůnkce f(x) m a na intervalů Io drůhoů derivaci f''(x). Necht: f''(x) ma na I0 konecny pocet nůlovych bodů. Tyto nůlove body rozdelí interval I na nekolik castecných intervalů. Je-li c E I0 takovy bod, ze f''(c) = 0, pocítame bod c k obema soůsedním intervalům s koncovym bodem c. Ve vsech vnitřních bodech kazdeho z techto castecnych intervalů je bůdto f''(x) > 0 nebo f (x) < 0. 251 V případě, že je žde f''(x) > 0 (f''(x) < 0), napíšeme nad tento interval symbol „+ " (symbol „— ") a pod tento interval symbol " (,") vyjadřující, že je na nem funkce f (x) ryže konvexní (ryže konkavní). Je-li f (x) ryže konvexní (ryže konkavní) ve dvou sousedních intervalech, je ryže konvexní (ryže konkavní) i na jejich sjednocení. Ve spolecn ím bode c techto sousedn ích intervalu, v nžmž je f '(c) = 0, nem í funkce f (x) inflexn í bod. Je-li f (x) ryže konvexní (ryže konkavní) v nekterem žastecnem intervalu a v sousedn ím intervalu je f (x) ryže konkavn í (ryže konvexn í), ma funkce f (x) ve spolecn ím bode c techto intervalu inflexn í bod. Príklad 11.12. Urcete intervaly, na nichz je funkce f (x) = x3 — 6x2 + x konvexn í a intervaly, na nichz je funkce f (x) konkí vn í. Řesení. Funkce f (x) je spojit a na intervalu I = (—oo, to). Vypoctem dostavame f''(x) = 6x — 12, x E (—to, to). Resme rovnici f''(x) = 0, tj. 6x — 12 = 0. Tato rovnice m a jedin e resen í xi = 2. Tento nulovy bod rozdel í interval I na dva castecn e intervaly: (—to, 2), {2, to). Ve vnitrn ích bodech intervalu (—to, 2) je f''(x) < 0 a ve vnitřn ích bodech intervalu {2, to) je f''(x) > 0. Je tedy funkce f (x) ryze konkavn í na intervalu (—to, 2) a ryze konvexn í na intervalu {2, to). V bode x = 2 m a funkce f (x) inflexn í bod. (Viz obr. 11.19) f"(x) — + 2 f(x) - | - inflexní bod Obrázek 11.19: Konvexita funkce f (x) = x3 — 6x2 + x. Príklad 11.13. Urcete intervaly, na nichz je funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1 konvexn í, intervaly, na nichz je funkce f (x) konkavn í a inflexn í body. Řesení. Funkce f (x) je spojit a na intervalu I = (—to, to). Zřejme I0 = (—to, to) je mnozina vnitřn ích bodu intervalu I. Vypoctem dostava me f''(x) = 12x2 — 24x +12. Řesen ím rovnice f''(x) = 0, tj. rovnice x2 — 2x+1 = 0, dost a vame xi}2 = 1. Body xi = 1, x2 = 1 rozdel í interval I na dva castecn e intervaly (—to, 1), {1, to). Ve vnitrn ích bodech kazd e ho z nich je f''(x) > 0. Je tedy f (x) ryze konvexn í jak na intervalu (—to, 1), tak i na intervalu {1, to). Je tedy ryze konvexn í i na jejich sjednocen í, to jest na intervalu (—to, to). Viz obr. 11.20. Tato funkce nema inflexn í bod. Príklad 11.14. Urcete inflexn í body funkce f (x) = X ln x. Řesení. Funkce f (x) je spojita na sve m definicn ím oboru I = (0, to). Vypoctem dosta vame f' (x) = x2 (1 — ln x), f''(x) = (2ln x — 3). Resen ím rovnice f''(x) = 0, tj. rovnice -Xg (2ln x — 33), dostí va me ln x = 2, tj. x = e 2. Urcen ím znamen í f''(x) 252 f (x) bod x = 1 není inflexním bodem Obrázek 11.20: Konvexita funkce /(x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1. 3 3 dostáváme, ze /(x) je konkávnív intervalu (0,e2}, konvexní na intervalu (e2, to). V bode 3 x = e2 má inflexn í bod. Viz obr. 11.21. /"(*) — + f(x) 0 3 u e 2 bod x = e 2 je inflexní bod Obrázek 11.21: Konvexita funkce f (x) = - ln x. 1 11.6 Hledání kořenů rovnice f (x) = 0 „metodou půlení intervalu". Ukažme si nyn í vetu, která je velice prospěšná pri hled án í kořenů rovnic. Tuto větu jsme mohli vyslovit již dříve, ale na tomto m íste můžeme využ ít v n á sleduj íc ím příklade poznatky o hled a n í extre mu funkce. Veta 11.19. Necht funkce f (x) je spojitá na {a,b} a necht f (a) f (b) < 0. Potom existuje alespoň jedno takové číslo a E (a, b), ze f (a) = 0. (Viz obr 11.22.) Obrázek 11.22: Ilustrace váznamu vety 11.19. 253 Tato věta umožňuje nalézt kořen a rovnice /(x) = 0 s libovolnou přesností postupným dělen ím intervalu {a, b). UrC íme bod c = (a + b)/2. Je-li /(c) = 0, je a = c. V opaCn é m případe, je-li /(c) • /(a) > 0, položíme a = c; je-li /(c) • /(a) < 0, položíme b = c. Tím se obdrží nový zuzený interval {a,b) v nemž leží Císlo a. Celý postup opakujeme tak dlouho, až obdržíme bud'to Císlo c, v nemž je /(c) = 0 anebo interval {a,b), v nemž leží kořen a a jehož delka b — a je mensí než žvolene Císlo, udavající požadovanou přesnost. Příklad 11.15. Naležneme realne korený polynomu /(x) = x3 — 3x2 + x — 1. Řešení: AbýChom urCili realne kořený daneho polýnomu, urCeme napřed jeho žnamení. UrCeme lokaln í extre mý dan e funkCe. VýpoCtem dostaví me / '(x) = 3x2 — 6x +1. Polýnom /'(x) ma kořený xi = 1 — 1/3 x2 = 1 + l/3\/6. UrCeme žnamen í funkCe /'(x) a intervalý monotónnosti funkCe /(x). Dosta va me f'(x) + — + -1-1- f(x) s \ s Je tedý /(x) rostouCí v intervalu (—^,x1), klesaj íc í v intervalu {x1,x2), rostouC í v intervalu {x2, to). FunkCe / m a tedý v bode x1 lokaln í minimum. Ponevadž výpoCtem žjist íme, že /(xi) < 0, /(x2) < 0, lim /(x) = to, X—řOO m a funkCe /(x) jenom jeden realný koren a e (x2, to). FunkCe /(x) je žaporn a pro x e (—to, a) a kladn a pro x e (a, to). PoC íta n ím hodnot funkCe /(x) v bodeCh intervalu (x2, to), žjist íme, že např. /(2) = —33, / (3) = 2. Ponevadž /(x) je funkCe spojita a rostouC í na intervalu {2,33) a /(2) < 0, /(3) > 0, ma funkCe /(x) na intervalu (2, 3) pra ve jeden koren. Tento kořen mužeme hledat metodou pulen í intervalu. 254 Položme a := 2, b := 3. Postupně dostávame /(a) := ~3, f (b) := 2; c := a+bb, c := 2, f (c) = -133, a := c /(a) := -133> f (b) :=2; c := a+b,c :=11, f (c) = -64, a :=c f (a) := - ^, f (b) := 2; c := ^, c := f, f (c) = f31, b := c f ( ) 9 f (b) 431 a + b 89 f ( ) 1349 f( ) 9 (b) 1349 a + b 5 2921 b f( ) =-— f(b) = 2921 = a+b = 177 = 7087 f (a):= 64'f (b):= 32768; c '= 2 'c :=64 'f (c) = 262144' a := c = 7087 f (b) = 2921 = a + b =355 f (a) := -262144' f (b) := 32768; c := ~T~' c := 128' f(c) 2097152' : c Tedy a = 2^7656, b = 2^7734, takže a = 2'7695. Úkol. Načrtněte si graf funkce /(x) a vyznačte body x\, x2, a = 2, b =3 a kořen a. 11.7 Výpočet některých typů limit Necht / (x), g(x) jsou dvě funkce a necht lim /(x) = A, limg(x) = B, kde A,B G E*. Symbol lim zde zastupuje kterýkoliv ze symbolU lim , lim , lim, lim , lim , x—»a+ x—a— x—a x—»00 x——oo kde a G E. Zatím jsme uvazovali dva pěípady pro výpoěet lim gxl. a) Ve větě 8.1 jsme uvedli, ěe /(x) A lim g(x) B' pokud 4 má význam v W. Podíl 4 nemá význam v případě, ze B = 0, a v případě, ze A = ±oo, B = ±oo. 255 b) Ve větě 8.3 jsme uvedli případ, kdy A = 0, B = 0. Doporučuji, abyste si obě tyto věty zopakovali. Přistoupíme nyní k dalěí větě pro vypočet limity podílu dvou funkčí. č) V dalěí věte, zvane ĽHôspitalovo pravidlo, vysetěíme pěípady a) A = B = O, p) A = ±00, B = ±00. ĽHôspitalovo pravidlo Veta 11.20. (ĽHôspitalovo pravidlo) Nečht f (x), g (x) jsou takoví funkče, ěe lim f (x) = lim g (x) = 0 nebo lim f (x) = ±0, lim g (x) = ±0. Existuje-li vlastní nebo nevlastní limita pak existuje lim gj^ a platí y f (x) g ( x) y f (x) y f (x) lim = lim = a. g(x) g (x) Symbol lim zde může nabýt kteréhokoliv z pěti významů: lim , lim , lim, lim , lim . x^a+ x^a- x^a x^—oo x—s-+oo Důkaz: Omezme se na případ, z e lim f (x) = lim g (x) = 0 a pro urc itost předpokládejme, ze jde o limity zprava v císle a a Ze a je reálne číslo. PoloZ me f (a) = g (a) = 0. Pak funkce f (x) a g(x) jsou v čísle a zprava spojite. Pon evad z y f(x) x^a+ g (x) existuje k libovolnemu e > 0 takove č íslo 5 > 0, ř e funkce f (x), g (x) mají v intervalu (a, a + 5) derivaci a v n e m platí f (x) a g ( x) 0, je lim f (x) = to. Podobne žjistíme, že lim f (x) = —to. Je tedy x = -1 x——1+ x——1— asymptotou bež smernice funkce f (x). (Viž ní sleduj íc í n a crtek.) v -1 b) Asymptoty se smernic í . 262 Hledejme asymptotu v nevlastn ím bodě oo. Asymptotou je přímka Ax + B kde A, B, se urč í podle vety 11.21. Dostávame Je tedy A = lim M = lim ^-ti = lim = 2 x—oo x x—oo x(X + 1) x—oo 1 + X / 2X2 + 1 B = lim (f (x) — Ax) = lim (--2x x—oo x—oo V x +1 2x2 + 1 — 2x2 — 2x —2x + 1 lim -= lim - x—o x + 1 x—o x + 1 = lim " ' x = -2. — 2 + x—oo 1 + - x y = 2x — 2 asymptotou v nevlastn ím bode oo. Tato přímka je z a roveň asymptotou v nevlastn ím bode — oo. Poznámka. Lze ukazat, Ze u racion a ln ích lomených funkcí je asymptota v nevlastn ím bode +oo totoZna s asymptotou v nevlastn ím bode — oo. Při vyšetřování průběhu funkce zjišťujeme: 1. Kde je funkce definovaná, kde má nulové body, kde je nad ošou x a kde je pod ošou x (znamené funkce). Zda je funkce šudá, liché, periodická. 2. Kde funkce rošte, kde kleša, kde ma extrémy. 3. Kde je funkce konvexné, kde je konkavné a kde ma inflexné body. 4. Jake ma asymptoty. 5. Graf. Příklad 11.24. Vysetřeme pmbeh funkce 2x + 1 x( x + 1) y 1. Jde o re álnou racion á In í lomenou funkci. Čitatel 2x + 1 má kořen x = — | .jmenovatel x(x + 1) m á dva kořeny, a to x = 0 a x = —1. Ponevadz Čitatel a jmenovatel funkce nemaj í stejn e kořeny a kazdy kořen Čitatele a jmenovatele je jednoduchý (lich e n asobnosti), rozdel í tyto kořeny interval (—oo, to) na 4 Častečn e intervaly. V sousedn ích intervalech m a funkce opacn e znam e nko (viz n a crtek). f : — + — + -e-• o-»• — 1 _1 0 2 263 Funkce nen í definován á v bodech x = 0, x = —1. Graf funkce prot íná osu x v bodě x 2. Funkce nen í ani suda ani lich a , nen í periodická . 2. VypoC ítejme f '(x). Dostava me: = 2x2 + 2x +1 f (X) = x2(x + 1)2 ' Čitatel nem a realn e kořeny, jmenovatel ma C ísla —1, 0 za dvojn a sobn e kořeny. Znamen í f'(x)a monotónnost funkce f (x) jsou patrny z n a sleduj ícího ná Crtku: f' : — — — r-e-e-5«- f : — í 0 \ \ \ Podle vety 11.6 funkce f (x) kles a v intervalech (—to, —1), (—1, 0), (0, to). PonevadZ f'(x) existuje v D f a je zde f'(x) = 0, nema f (x) loka ln í extre my. 3. Vypoc ítejme f" (x). Dosta vame ... . rJ2x + 3x + 3x + 1 f (x) = 2-T(—7~í\i-■ x3(x + l)á Zřejme f" (—1) = 0. Funkce f" (x) nem a jin e re a ln e kořeny. Znamen í f''(x) a konvexita funkce f (x) jsou patrny z n a crtku: f'' : — + — + n m-1*-^ — í _! 0 f : ^ ^2 ~ ^ Je tedy f (x) konkavn í v intervalech (—to, — 1), {— 2, 0) a konvexn í v intervalech (—1, — 2}, (0, to). Bod x = —1 je inflexn ím bodem. 4. Př ímka x = a muze b yt asymptotou bez smernice grafu y = f (x) pouze tehdy, nen í-li funkce f v bode a spojita zprava nebo zleva. V nasem prípade se jedna o body x = 0, x = — 1. Vypoctem dostíva me (pod ívejte se na znamen í funkce f (x)): lim f (x) = to, lim f (x) = — to, x—0+ x—0- lim f (x) = to, lim f (x) = — to. x——1+ x— — l — Tedy prímky x = —1, x = 0 jsou asymptoty bez smernice. K urcen í asymptot se smernic í vypoc ítame: A = lim = f^X) = 0, B = lim f (x) = 0. Tedy y = 0 je asymptotou se smernic í v bodech to, — to. 264 5. Náčrtek grafu: v -X 0 x Obrázek 11.25: Náčrtek grafu funkce . ° x(x+1) Příklad 11.25. Na obr. 11.26 je znázorněna funkce y = f (t), t e (0, oo) popisující mnoZství y prodeje nejakeho zboZí jako funkci času t. Obrázek 11.26: Prodej zboží. Na nasledujících načrtcích je znazorneno znamení f'(t), f"(t). Z nich lze vyvodit tyto zavery f (t) + f" + - 0 0 , to Funkci f'(t) lze chapat jako funkci „rychlosti" prodeje. Rychlost prodeje se zvysuje az do casoveho okamziku t0, potom rychlost prodeje klesa. 11.9 Diferenciál a Taylorova veta V teto časti se budeme zabývat přibližným vyjadrením funkce. Řešme tuto Úlohu. Je dána funkce f (x); nahraďme ji pro x v blízkosti bodu a polynomem. 265 Úloha je nejjednodušeji řešena, nahradíme-li ji polynomem prvního stupně - tečnou, za předpokladu, Ze existuje f (a). Zvolme h. PoloZme x = a + h. Vyraz Af(a) = f (a + h) - f (a) nazveme diferencí - jde o přírustek funkče, při přechodu z bodu a do bodu a + h. Přírustek na tečne t funkče y = f (x) v jejím bode T [a, f (a)] pri přechodu z bodu a do bodu a + h je roven f' (a)h. (Viz obr. 11.27) y = f (x) f (x) f (a) Af (a) Obrázek 11.27: Význam diferenciálu. Zaveďme si nyní pojem diferenčialu funkče y = f (x) v bode a touto definičí. Definice 11.9. (Diferenciál funkce y = f (x)) Nečht funkče y = f (x) má v bode a derivači f (a). Potom df (a) = f (a) h, h E R je promenna nazývame diferenciálem funkce f (x) v bode a. Poznámka. Ponevadz pro y = x je dx = h, píseme často dx místo h. Potom df (a) = f1 (a)dx. Ma-li funkče y = f (x) derivači na intervalu I, potom píseme df = f (x)dx, resp. dy = f'(x)dx, x E I. (11.17) Potom diferenčial dy je funkčí dvou promennýčh: x, dx. Vztah (11.17) lze přepsat jako podíl dy_ dx f (x), x E I. (11.18) Zde dx je diferenčial neodvisle promřenn e x a dy je diferenči al odvisle promřenn e y. t 266 I Na derivaci f'(x) se můžeme dívat jako na podíl diferenciálu odvisle proměnné a | neodvisle proměnné. Ukažme, že pro dostatečně malé h je Af(a) rovno přibližně df (a). Zaveďme r (h) jako chybu aproximace Af (a) diferenciaiem df (a) f (a + h) - f (a) = f' (a)h + r (h). Delíme-li tento vyraž číslem h, dostaváme f (a + h) - f (a) + r (h) -h-=f (a) + nr. Výpočtem limity leve i prave strany v bode h = 0 dostavame lim --^ = 0. Tedy Pro malé h je A f (a) rovno přibližně df (a): f (a + h) = f (a) + f \a)h. Příklad 11.26. Určete diferencial funkce f (x) = sin2x v bode x = n. Řešení. V obecnem bode x je df (x) = (sm2x)' • dx. Tedy df (x) = 2 cos 2x • dx. V bode a = | pak platí df (8) = 2 cos (28) dx = V2dx. Příklad 11.27. Urcete približne sin(31°), víte-li, že sin(30°) = 0,5, cos(30°) = . Řešení. Uhel 331° vyjádřeny v obloukove míře je roven | + . Položme a = 1, dx = . Potom sm —i--= sm — + cos — •-= 0,5 +--•-. \6 180 J \6J \6J 180 '180 2 Zabyvejme se nyn í aproximac í funkce f (x) polynomem stupne n > 1. 267 Taylorova věta Nechl; funkce f (x) ma v bode x = a derivace az do radu n včetně. Potom polynom v promenne h Tn(a + h) = f (a) + ^ h + ^ h2 + ■■■ + hn (11.19) 1! 2! n! se nazýva Taylorovým polynomem stupne n příslušným k funkci f (x) v bode a. Lehce se presvedcíme, Ze polynom Tn(x) a funkce f (x) mají v bode a stejnou funkcní hodnotu a derivace aZ do radu n vcetne. Oznacíme-li h = x — a, dostavame z (11.19) Tn(x) = f (a) + — a) + — a)2 + ■■■ + ^-^(x — a)n (11.20) 1! 2! n! Příklad 11.28. Určete Taylorův polynom příslušný k funkci /(x) = sinx v bodě a = 0 pro n = 5. Řešení. Zřejmě (sinx)1 = cos x, (sinx)" = — sinx, (sinx)1" = — cos x, (sinx)(4) = sinx, (sinx)(5) = cos x. Je tedy 3 5 T5(x) = 1— ff + !f ■ Lze tedy pro x blízka číslu a = 0 psat přibližný vztah 3 5 •X »X »X sin x W 1! — 31+5! • Zabývejme se nyní otázkou, jaké chyby se dopouštíme, nahradíme-li funkci /(x) polynomem Tn[x). Odpoved' dává tato veta. Věta 11.22. (Taylorova věta) Necht funkce /(x) ma na otevřeném intervalu I derivace až do řádu n +1 včetně. Necht a E I. Potom pro každe x E I platí / (X) = Tn(x) + Rn+1, (11.21) kde Tn(x) je TaylorUv polynom urcený vztahem (11.20) a Rn+\ je chyba aproximace. Chyba aproximace muže být určena napr. vztahem Rn+i = f—itHx - a)n+1, (11.22) (n + 1)! kde Q leží mezi body a, x. 268 Důkaz: Důkaz používá Rolleovu větu. Není obtížný, ale nebudeme jej však provádět. Poznámka 1. Rn+1 představuje chýbu, ktere se dopustíme, aproximujeme-li hodnotu funkce f v bode x hodnotou polynomu Tn v bode x. Císlo Q, ktere zde vystupuje, není vetou urCeno. Pouze je uvedeno, že leží mezi bodý a, x. Jestliže platí odhad \f(n+1\t)\ < M pro vsechna t ž intervalu o koncových bodech a, x, lže psat R n I < M lx aln+1 \Rn+1\ < / , i m \x a\ ■ (n + 1)! Poznámka. Specielne pro a = 0 dostavíme ž (11.20) a ž (11.22) Tn(x) = f (0) + ff x + ™ x2 + ••• + ™ xn 1! 2! n! f (n+1)(Q) Rn+i = 4-\i xn+1, kde Q leží meži 0 a x. n+í (n +1)! Ponevadž případ a = 0 se casto výskýtuje, uvadí se nekdý pro a = 0 místo „Taýlorova vetau nažev „ Maclaurinova vetau. Taylorova a Macláůrinova rada Predpokladejme, že a, x jsou dve navžíjem ružna císla a že funkce f (x) mí v užavrenem intervalu I o koncových bodech a, x derivace vsech radu. Na intervalu I uvažujme řadu f (a) + f^al(x - a) + ••• + J-^a)(x - a)n + .... (11.23) 1! n! Potom řada (11.23) je konvergentní a její soucet je f (x) na intervalu I, kdýž a jenom kdýž lim Rn(x) = 0, x E I, kde Rn+i je dano vžtahem (11.22). Je-li tedy (11.23) konvergentní, lže psat f (x) = f (a) + íff^(x - a) + í-2^(x - a)2 + .... (11.24) Řada (11.24) se nazývá Taylorova řada, resp. pro a = 0 se nazývá Maclaurinova řada. Příklad 11.29. NapiSte Maclaurinovu řadu pro funkci f (x) = ex. 269 Řešení. Pro každ é n je (ex)(ra) = ex. Je tedy /(0) = /'(0) = /"(O) = • • • = e° = 1. Dosad íme-li tyto hodnoty do (11.23), obdrž íme radu 1+1Í+2Í + - + ň.+ ^ (11.25) Tato rada je absolutně konvergentn í pro kazd e x. Skutečně, pro kazd e x jde o c íselnou radu. Aplikací limitn ího pod ílove ho kriteria obdrz íme lim (n+1)l \x\ lim = 0 < 1. n—oo I x— I n—oo n +1 I nl I Je tedy rada (11.25) absolutne konvergentn í pro kazd e x. Tedy konverguje na intervalu (—00, to). Lze tedy psat ry, X X X ex = 1 + - + — + ••• + — + .... 1Í 2Í nÍ Jde o mocninnou řadu se středem konvergence x0 = 0 a polomerem konvergence r = to. 11.10 Shrnutí a úlohy Souhrn V kapitole je zaveden pojem lokaln ího extre mu funkce f (x) a absolutn ího extre mu funkce (Definice ??, Definice 11.3). V kapitole se pojedn ava o jejich existenci a zpusobu jejich nalezen í. V kapitole se uva d í dulezit a veta „Veta o přírustku funkce". Ukazuje se tez postup při hledan í intervalu, na nichz je vysetřovana funkce monotonn í. Dá le se vysetruje konvexita a konkavnost funkcí. Zava d í se tez pojem inflexn ího bodu funkce. Je uveden postup, jak je v jistých případech mozno urcit intervaly, na nichz je dana funkce konvexn í, resp. konkavn í. Je prezentovana metodika hledí n í inflexn ích bodu dan e funkce. V kapitole se tez pojedn ava o numericke metode hledan í kořene rovnice f (x) = 0 na intervalu {a, b), je-li f (x) spojita na {a,b) a je-li f (a) f (b) < 0. V kapitole je pojedn a noozat ím neřesen e m prípade vypoctu limity lim ^f^-, je-li lim f (x) = lim g(x) = 0, resp. lim f (x) = ±to a lim g(x) = ±to (L'Hôspitalovo pravidlo). x—a x—a x—a Jedna podkapitola je pak venovana vysetrovan í pmbehu funkce. Posledn í podkapitola pak pojedn ava o diferencií lu funkce f (x) a o Taylorove vete. 270 Úlohy 1. Vysvětlete pojem lokaln ího extré mu funkce f (x) a popište způsob jeho hled a n í. 2. Vysvetlete pojem absolutn ího extre mu funkce f (x) na intervalu a způsob jeho hleda n í. 3. Vyslovte vetu o přírustku funkce (neboli vetu o středn í hodnote funkce). 4. Jak hledame intervaly, na nichZ je vysetrovan a funkce monotonn í? 5. Vysvetlete pojmy: funkce konvexn í na intervalu, funkce konkavn í na intervalu a pojem inflexn ího bodu. Jak se hledaj í intervaly, na nichZ je funkce konvexn í, resp. konkavn í? Jak se hledaj í inflexn í body funkce? 6. Popiste metodu hled a n í kořenu rovnice y = f (x) metodou pulen í intervalu. 7. Vyslovte ĽHôspitalovo pravidlo. 8. Co je to diferencial funkce? Uved'te definici a vysvetlete tento pojem na obrázku. 9. Vyslovte Taylorovu vetu. 10. Urcete body, v nichZ mí funkce f (x) = 3x — \x — 2\ + \x + 1\ lokaln í extre my. Danou funkci nacrtnete. 11. Urcete intervaly monotónnosti a lok aln í extre my funkcí: a) f (x) = x2 — 5x + 6 [klesa (—oo, f), roste {§, to), lok. min. v bode x = f] b) f (x) = x In x [klesa (0,1), roste {1, to), lok. min. x = 1 ] c) f (x) = x + xx+í [roste (—to, —33), {1, to), klesa {—3, — 1), (—1,1), lok. max. x = —3, lok. min. x = 1] d) f (x) = X+3 [klesa ( — TO, ( — 3, TO)] e) f (x) = (1 — x) y/x [roste {0, |), klesa {3, to), lok. max. x = | ] f) f (x) = sin2x, x E (—§, §) [roste {— f, n), klesí (—§, — n), {n, §), lok. min. v bode x = — n, lok. max. v bode x = n] g) f (x) = ^ [roste (0,e2), klesá {e2, to), lok. max. v bode x = e2 ] h) f (x) = jzx? [roste (—to, —1), (—1,1), (1, to), lok. extre my nema] i) f (x) = X l—x2 x2 [roste {0, /§§), klesa (—to, 0), {i§§, to), lok. max. v bode x = /§§, lok. min. v bode x = 0] j) f (x) = x2 + \x\ — 1 [Navod: f (x) = x2 + x — 1 pro x > 0, f (x) = x2 — x — 1 pro x < 0; roste {0, to), klesa (—to, 0), lok. min. pro x = 0] 12. Urcete intervaly, na nichZ je funkce f (x) konvexn í, intervaly, na nichZ je funkce f (x) konkavn í, a urcete inflexn í body. a) f (x) = x3 — 5x2 + 3x — 5 271 b) /(x) = (x + l)4 + ex [konv. (—to, to), nemá infl. body] [konv. (5, to), konk. (—to, 5), inf. bod x = 5 ] — to, o c) /(x) = ln(l + x2) [konv. (—1, l), konk. (—to, —l), {l, to)] d) / (x) = x ln x [konv. (e 2, to), konk. (0,e 2), inf. bod x = e 2 ] e) / (x) = e * [konk. (—to, — 2), konv. (— 2, 0), (0, to), inf. bod. x = — 2 ] 13. UrCete ábsolutn í extre my funkce /(x) ná dán e m intervalu. á) /(x) = x2 — 5x + 6, x e (0, l0) [ábs. min. v bode x = 5, ábs. máx. v bode x = l0] b) /(x) = i+žx2, x e (—l, l) [ábs. máx. v bode x = 0, ábs. min. nen í] c) /(x) = sin X, x e (0, to) [ábs. máx. pro x = * +1fc2n, k e N0, ábs. min. pro x = 2+(2k+i)n, k e N0] 14. UrCete ásymptoty funkce. á) /(x) = X++i [bez smernice x = — l, v bodech ±to: y = 2x — 2] b) /(x) = ^Xx+21 [bez smernice x = 2, v bodech ±00: y = 3] c) /(x) = VT+x2 [ásymptoty bez smernice nemá, y = x v bode to, y = —x v bode —to] 15. Vysetrete pmbeh funkce. á) /(x) = x3 — 6x2 + 9x [Df = (—to, to), známen í + + /'(x) = 3x2 — l2x + 9, /: , 1 \ 3 s /(l) = 4, /(3) = 0, lok. max. lok. min. /"(x) = 6x — l2, ~ /(x) nem á ásymptoty] b) / (x) = 2+f2 [Df = (—to, to) — { — l, l}, f —1 + + /'(x) = , f: s —1 s 0 s 1 s /(0) lok. min. + f ľ (x) = _ 4(1+3x2) / (x) = (1-x2)3 , f: „ —1 „ 1 „ ásymptoty: x = l, x = —l, y = — l] c) / (x) = 1nXX [Df = (0, to), f- 0 1 f : + /(x) = 2-Xp, f: 0 , j s /(e) f" : x2 ■ ' ' ^ i ^ •> \ - / e lok. max. / ''(x) = -3+2 ln x f : ^ infl. bod lim — = —to, ásymptoty: x = 0, y = 0] x—)-0+ x 16. Vypoc ítejte limity 272 f : + f : + + f l + a) lim xf+I x—o x +l b) lim ^ x—0+ x c) lim (1 - d) lim 1nx x x—o x e) lim f) lim x * x—o ex-1 - [to] [to] [ 2 ] [0] [to] [1] [df = (3x2 — 3)dx, df (2) = 9dx] [dy = 2 cos 2xdx] 18. Vypoc ítejte priblizne podle Taylorovy vety ln e2,1 pro n =1, 2, 3. Odhadnete chybu. 19. Napiste MacLaurinovu radu funkce a) f (x) = sin x [sin x = — |y + |y — ..., x E (—to, to)] b) f (x) = cos x [cos x =1 — 2 + ^ — ..., x E (—to, to)] c) f (x) = ln(1 + x) [ln(1 + x) = x — ^ + ^ — ... , —1 0 tak, že U (A) c M. Bod B E En nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže existuje í > 0 tak, že Us (B) n M = ^, to jest, jestliže žádný bod tohoto okolí nepatří do množiny M. Necht M C En. Bod H se nažýva hraničním bodem množiny M, jestliže v každím jeho okolí leží body, který patří do množiny M a body ktere nepatří do M. Množinu všech hraničních bodU množiny M nažyvame hranic í množiny M. Množinu M C En nažyvame otevřenou, jestliže všechny její body jsou jejími vnitřními body. Obsahuje-li množina M C En všechny sve hraniční body, nažyva se uzavřenou. Viž obr. 12.2. 274 X2 Obrázek 12.1: Okolí Us(A) = {X e E2 : p2(A,X) < 5}. Obrázek 12.2: Vnitrní, vnejsí a hraniční bod množiny. Množinu M nazveme oblastí, jestliže je otevřená a jestliže ke každým dvema bodům A, B e M existují bodý P\, P2,..., Pm tak, že P\ = A, Pm = B a každa z ůsecek PíPi+\ leží v M. Příkladem oblasti je množina {X e En : g(A,X) < e}, kde A je daný bod a e je dane kladne číslo. Uved'me si týto příkladý.(Dále uvedene množiny si grafický žnažornete.) Necht: A e En a necht: 5 > 0 je libovolne říslo. Potom 1. Množina M = {X e E2 : p(A,X) < 5}. je otevření množina. 2. Množina h = {X e E2 : p(A,X) = 5} je hraničí množiný M. Každý její bod je hraničním bodem množiný M. 3. Množina M = {X e E2 : p(A,X) < 5} je užavřenou oblastí. Pojem funkce více proměnných. Před žapočetím studia teto podkapitolýsi žopakujte pojmý spojitost funkce jedne promenne v danem bode, vetý o spojitosti souctu, roždílu, soucinu a podílu dvou funkcí jedne promenne a o spojitosti funkce složene že spojitých funkcí. 275 DefiniceA 12.1. Necht, n E N, D C En. Potom žobražení f množiny D do E1 nazýváme realnou funkcí n-promenných. OžnaCíme-li X = [x1,x2,... ,xn] E En, lže tuto funkcižapsat jako z = f (xi,x2,... ,xn), resp. z = f (X). NemUže-li dojít k omylu, budeme Casto v další Casti textu místo termínu „realné funkce n-promenných" používat jednoduše termín „funkce". Poznamka. Promenne funkcí n-promenných budeme vetsinou ožnacovat x1,x2,..., xn. Je-li třechto promřenn ých jen nřekolik, b ýva žvýkem je ožnařcovat t eřž x, y, z, u, t nebo použít ožnacen í obvýkl e příslusne aplikaci. Je-li f funkce n-promenných žadana předpisem bež uvedení definičního oboru, rožumíme jejím definicním oborem množinu všech bodu [x1y... ,xn] E En, pro než má uvedený předpis výžnam. Příklad 12.1. Urcete definicní obor funkce z = \J4 - x2 - y2 + ln(1 - x - y). (12.2) Řešení. Ponevadž definicn í obor funkce (12.2) nen í uveden, rožum í se j ím množina vsech bodu [x,y], pro než lže výraž na prave strane (12.2) výpoc ítat. Zřejme jsou to tý bodý [x,y], pro než plat í 4 - x2 - y2 > 0 A 1 - x - y> 0. (12.3) Odtud dost a vame x2 + y2 < 4 A x + y< 1. (12.4) Rovnicí x2 + y2 = 4 je definovaní kružnice k se středem v pocatku o polomeru 2. Ožnacme A1 C E2 množinu tech bodu [x,y], ktere lež í uvnitř kružnice k a A2 C E2 množinu tech bodu, ktere lež í vne kružnice k. Ponevadž bod [0,0] E A1 výhovuje nerovnici x2 + y2 < 4, (12.5) výhovuj í teto nerovnici i vsechný bodý ž A1, vsechný bodý [x,y] E A2 výhovuj í nerovnici x2 + y2 > 4. (12.6) Nerovnici x2 + y2 < 4 výhovuj í tedý vsechný bodý [x,y] E E2, ktere lež í uvnitr a na kružnici k. Rovnic í x + y =1 je definovana prímka, ktera prot í na osu x v bode [1,0] a osu y v bode [0,1]. Tato přímka roždeluje rovinu (0xy) na dve poloroviný B1, B2. Ožnacen í volme tak, že pocítek 0 = [0, 0] E B1. Ponevadž bod [0, 0] výhovuje nerovnici x + y< 1, (12.7) 276 vyhovuj í nerovnici (12.7) vsechny body [x, y] e B- a pro body [x, y] e B2 plat í x+y > 1. Je tedy definicn ím oborem funkce (12.2) množina vsech bodu [x,y] e B-, ktere lež í uvnitř a na obvodu kružnice k. Viž obr. 12.3. Obrázek 12.3: Definiční obor funkce (12.2) DefiniceA 12.2. (Spojitost funkce v oblasti D) Necht, n e N a D je oblast, resp. užavěena oblast v En, v níž je definovaná funkce Z f (x- , . . . , xn). Necht: X0 = [x-,... ,x0n] e D. Řekneme, že funkce f (X) je v bode X0 = [x-,... ,xn ] e D spojita, jestliže • Je v nem definované • Ke každému číslu e > 0 existuje takové kladne číslo 5 , že hodnota funkce f (X) v každem bode X e D vždalenem od bodu X0 o mene než 5 se liší od hodnoty funkce f v bode X0 o mene než e, tj. Q(f (X),f (X0) < e. Poznámka. Jestliže funkce je spojitá v každ é m bode množiny D, budeme říkat, že je spojitá na D. ZjiSten í, žda dan á funkce je spojitá v uvažován e m bode by bylo podle teto definice velice obt ížn e . Spojitost řady funkcí odvod íme že žnalosti spojitosti funkcí jedn e promenn e podle následuj ících vet. Poznámka. Uvažujme funkci jedn e promenn e z = 33xl + 1. (12.8) 277 Tuto funkci lze pňepsat na tvar, obsahuj ící více promennych, napr. na funkci z = 3x- + 0x2 + 0x3 + 1. (12.9) Potom (12.9) a tedy i (12.8) lze chapat jako funkci trí promennych xi,x2,x3. Budeme ríkat, ze funkce (12.8) vznikla z (12.9) vypusten ím nevyznamnych promennych x2,x3, resp. ze funkce (12.9) vznikla z (12.8) pňid a n ím nevyznamn ych promennych x2,x3. Ponevadz funkce (12.8) je spojit a v kazd e m bode x1, je v kazd e m bode [x1 ,x2,x3] spojita i funkce (12.9). Kazdou funkci f jedné proměnné x1 lze chépat zéroven jako funkci F (x) = f (x1) + 0.x2 + ... + 0.xn n— promennych. Méšto F budeme opet pšat f. Je-li funkce f jedné promenné spojité v bodě x1 = a, potom i funkce f, chapana jako funkce n promennych x1,... ,xn, je špojita v bode [ n], kde žíšla. Poznamenejme, ee elementarné funkce jedne promenné jšou spojité ve švem definieném oboru. Veta 12.3. Spojitost součtu, součinu a podílu funkcí Necht: n E N a necht: D je oblašt (rešp. uzaveené oblašt) v En. Necht: funkce f (X ),g(X) jšou dane funkce špojite v bode X0 E D . Potom i funkce f (X) ± g(X ),f (X ).g(X) jšou špojite v bode X0. Je-li navíc g (X0) = 0, je i funkce špojita v bode X0. 278 Složená funkce a její spojitost Dríve, nez přistoupíme ke studiu teto časti textu, zopakujte si pojem slozene funkče jedn e promřenn e a vřetu o spojitosti slořzen e funkče jedn e promřenn e. DefiniceA 12.4. (Slozena funkče n-promennyčh) Nechť Q je oblast (resp. uzavřená oblast) v prostoru Em a nechť D je oblast (resp. uzavřená oblast) v En. Necht: z = f (y1,...,ym) je funkce definovana na q. Nechť funkce yi = Pl(xi, . . . ,xn), ... ,ym = ^m(xi, ... , jsou definovane na množině D. Nechť pro každý bod X = [x1,...,xn] E D je [f1(X),..., tpm(X)] E q. Potom funkce F (X ) = f (pi(X),..., pm(X)), X E D se nazýva slozenou funkčí. Funkce z = f (y1,... ,ym) se nazýva její vnejsí slozkou a funkce p1(X),..., pm(X) se nazývají jejími vnitrn ími slozkami. Uved'me si následuj íc í vetu o spojitosti slozenych funkc í. Veta 12.5. (Veta o spojitosti složené funkce) Nechť funkce yi = ipi(X), i = l, 2,...,m, X = [xi, ■■■,xn\ e D C En, jsou spojité v bode X0 = [x°,... ,x°n] e D. Označme Y° = [y°,...,y°m], kde y0 = ^(X°), i = l, 2,...,m. Necht na fž C En je dana funkce z = /(Y), Y e f C Em. Necht: pro všechna X e D je [^(X),...,pm(X)] e f. Jestliže funkce /(Y) je spojitá v bode Y0 , je i složená funkce F (X ) = / (0 h h->0 h (12.14) Tuto derivaci nazýváme parciální (částečnou) derivací funkce f (x,y) podle x v bode [x0,y0]. Jestliže bod x0 je levým (pravým) koncovým bodem intervalu I, nahradíme limitu v (12.14) limitou zprava (zleva) v bode h = 0. Bod [x0,y0] muže být libovolný z Q. Místo x0,y0 piSme x,y. Parciální derivaci funkce f (x,y) v bode [x, y] budeme znacit jako ^fdxŔ, nebo fX(x,y) nebo fx(x,y). Ponevadz v (12.10) jsme oznacili funkci f (x, y) jako z, muzeme tez psát dz dx' zx, zx. Chceme-li význacit, ze se jedná o parciální derivaci v bode [x0,y0], muzeme pouzít např. týto za pisý d~Í^, (f) , fX(x0,y0), fx (x0.y0). zX(x0.y0). zx(x0,^). °x \ax = f (x,y) / ^> "Ss^ z = f (x,yo) 0 ./ y0 \ L Obrázek 12.4: Geometrický význam parciálních derivací. Oznacili jsme g(x) = f(x, y0) a polozili jsme (g)[xo,yo] = g'(x0). Rovnicí z = g(x) tj. z = f (x,y0) je definovana krivka, oznacení na obra zku 12.4 jako lC. Rovnic í z = h(y), tj. z = f (x0,y) je definovana krivka, oznacení na obra zku 12.4 jako 2C. Je tedy f g'(x0) x [xo,yo] y [xo,yo] [xo,yo] y [xo,yo] smernice tecny -t (2t) ke krivce -C (2C) v jej ím bode T. xo 283 Zavedení parciálních derivací funkcí //-proměnných Uvažujme nyní funkci n-proměnných z = f(xi,X2,...,Xn), n e N, X =[xi,...,Xn] e Q C En. (12.22) Zvolme i e {1, 2,..., n}. Dosad'me ža každou proměnnou Xj, j = 1, 2,... ,n, j = i, v (12.22) pevnou hodnotu x0. Dostali jsme tak funkci jedně proměnně xi, ožnaCme ji %g(Xi). Dostavame g(xi) f (x1j . . . j Xi-li XiJ X°+1j . . . j Xn). (12.23) Jestli tato funkce ma v Císle x° derivaci jg'(x°), nazveme ji parciainí derivací funkce (12.22) podle Xi v bodě X° = [xl,...,x°-1,x°,x°+1, ... ,xn] e Q. Znac íme ji jedn ím že symbolu Bod X° = [x1,x2,... ,xn] může být libovolný bod z Q. M isto parci a In ích derivac ív bode X° je můžeme uvažovat v bode X = [xi,x2,... ,xn]. Parciain i derivace dz — , % = 1, 2,...,n oxi naz ývame parciálními derivacemi prvního řádu. Příklad 12.5. Uvažujme fůnkci xi sin 22 z = -TTZ:rh. (12-25) Tato funkce je definovan a v každ ě m bodě X = [x1,x2,x3] e E3, X = [x1,x2, 0]. Urceme . Derivujme (12.25) podle proměnn ě x2. Proměnn ě x1ľ x3 uvažujeme jako konstanty. Dost av ame az x1— cos x • (xi + x3 + 1) — x1 sin x • 2x2 ax2 (x22 + x23 + 1)2 Upravu prenechávam ctenari. 284 Zavedení parciálních derivací vyšších řádů. Přredpokladejme, řže funkce Z = f (x-,x2, . . . ,xi, . . . ,xn), X = [x-, . . . ,xi, . . . ,xn] e Q C En (12.26) je definovan a na Q C En am a parcií ln í derivace d z — , i =1,2,...,n (12.27) v každ e m bode X = [x\,x2,... ,xn] £ fl\ C Q. Můžeme se na ne tedy d ívat jako na funkce n-promenných na Q\. Jestliže parci a ln í derivace ma parciain í derivaci podle Xj v bode X0 = [x°l)x°2)... ,xn], oznac íme ji jz(;X^. Uved'me si nekolik dalS ích už ívaných oznacení d2f (X) cC xx i cCxx j d2f (X0) Jt dx dx ' ZxiXi (X0), ZXiXj (X0), fXiXj (X0), fXiXj (X0). (12.28) Nažyvameji druhou parci aln íderivac í funkce f podle xi,xj (v tomto porad í) v bode X0. Jestliže i = j, p íseme vetsinou ^ m ísto qx,řx,, resp. z"x2 m ísto z"x.x.. Jestliže i = j, nažyvame parci a ln í derivaci -J^-Ř— sm ísenou. Příklad 12.6. Nechť o 2 4 3 - -i "v • "v • "v • — O.ÄJ - x 2X 3 • Vypoc ítejte vsechny jej í parci a ln í derivace 2. řadu. Napred vypoc ítame parcialn í derivace 1. řr adu. Dost av ame d Z 4 3 CC Z 2 3 3 d Z 2 4 2 x- x2 x3 Prikrocme k vypoctu vsech parcialn ích derivac í 2. ří du. Dostí va me 2Z 2Z 2Z =6x2x3, dx-ôx~2 =24x-xx2xx3, dx-ôx~3 =18x-x42x3 2Z 2Z 2Z — 24x -x2x3, ~ 2 — 36x 2x2x3, ~ ~ — 36x 2x3x3, - 2 3 2 - 2 3 x2 x- x22 x2 x3 2Z 4 2 2Z 2 3 2 2Z 2 4 — 18x - x 2x 3, — 36x-x2x33, ~ 2 — 18x -x . x3 x- 2 3 x3 x2 - 2 3 x23 Poznámka. Vsimneme si, že v tomto príklade je 2Z 2Z xi xj xj xi Jinymi slovy, v tomto prípade než alež í na pořad í deriviva n í. 285 Podobně se definují parciální derivace vyšších řádů. Je-li dána např. funkce Z = f(X), X =[x1,X2,...,Xn], X E Q C En, (12.29) potom např. parciální derivace 3. řádu ďJ»Xi obdržíme takto. VypoCítáme . to znamená, že xi,x3... ,xn považujeme za pevne hodnoty a derivujeme (12.29) podle x2. Predpokladáme, že tato derivace existuje na jiste podmmnožine Q1 C Q. V dalSím kroku derivujeme funkci JJX- opet podle promenne x2, tj. pocítejme (JX-). To znamená, že x1,x3... ,xn ve funkci JI- považujeme ža pevne hodnoty a derivujeme ji podle x2. Predpokladáme, že tato derivace existuje na jiste podmmnožine Q2 C Q. Dostaneme tak na -- Q2 funkci . V dalsím kroku derivujeme funkci , definovanou na Q2, podle promenne x1. To žnamená, že x2,x3... ,xn považujeme ža pevne hodnoty a derivujeme funkci J-, definovanou na Q2, podle x1. Jestliže tato parciální derivace existuje na Q3 C Q2, míme v každem bode množiny Q3 definovanou parciální derivaci dX--xl. Je otážkou, co lže ríci o vžájemnem vžtahu maži parciálními derivacemi a 21 , «—° Jfl , ' J r ox-oxi ox-oxiox- dxi qx2 . Tyto parciální derivace se lisí poradím promennych, podle nichž jsme provádeli derivování. Platí tato veta. Veta 12.6. Necht funkce n-promenných Z = f (X), X = [xi,x2,. . . ,x,n], X E Q ma v jistem okolí Us (X°), X0 E Q, spojité všechny parciální derivace řádu k, potom nezáleží na pořadí proměnných, podle nichž derivujeme. Tedy např. má-li funkce f (x1,x2) v okol í bodu X0 = [x°,x2] spojit e vsechny parciáln í derivace 2. rá du, potom a° f = a° f . Poznámka. Veta 12.6 je vyslovena ža ponekud silnejsích předpokladu, než je nutno. Příklad 12.7. Nechť z = x3y2r. Potom platí dx = 3x2V2t4, -fdL = 6x2yt4, = 24x2yt3. dx oxoy oxoyot Podobnře 2 3 Z 2Z 3Z m =4xhy2ŕ- mäy = Sx'yr- alaya-x = 24xřyl?- Vidíme, že a= J^* . K tomuto žáveru bychom prisli prímo užitím vety 12.6, oxoyot otoyox j r r j nebot vsechny parciáln í derivace funkce z = x3y2t4 jsou spojite ve E3. 286 Parciální derivace složené funkce Před započetím studia této problematiky si zopakujte výpočet derivace složené funkce jedné promenne. Veta 12.7. (Derivace složené funkce) Necht. funkce fi(X), X = [xi}... ,xn] £ En, i = 1, 2,... ,m, mají všechny parciální derivace v bode X0 = [x\,... ,xn}. Necht. funkce z = f (Y), Y = [yi}...,ym], má špojite všechny parciální derivace 1. řádu v bode Y0 = [y0^,..., ym ], kde y0 = fi(X °), i = 1, 2,... ,m. Potom složená funkce z = F (X ) = f ([M*),-.., (X)]) má v bode X0 všechny parciální derivace 1. řádu a platí dF(X0) ™ df (Y0) 8p3 (Xo) dxi 4=1 dyi dxi ' i = 1, 2,... ,n. Příklad 12.8. Nechť z = y/1 + (x + y)2, [x, y] e E2. (12.30) VypoCíteite -^-^. Řešení. Funkce (12.30) je složená funkce. Funkce z = f (u), kde f (u) = yU, je její vnejší složkou á u = ip(x,y), kde f(x,y) = 1 + (x + y)2, je její vnitřní složkou. Podle vety 12.7 dostáváme dz 1 1 , -7T- =--, =2(x + y). dx 2y/l + (x + y)2 1 y> Po úprave dostáváme d z x + y dx yi + (x + y)2 Párciální derivácí funkce ^ podle y dostívíme (12.31) dxdy (V1 + (x + y)2)2 Uprávou dostáneme d 2z =_1_ dxdy (\ + (x + y)2} //1 + (x + y)2' 287 Tečna k prostorové křivce a tečná rovina k ploše. Začneme se zavedením pojmu tečny ke křivce. TeCna ke křivce. Necht: Xi = T = [x°1,... ,xPn, z0] bod na plose z = F(x1,... ,xn). Potom rovina z - z = {ôx-1) To - x1) + ---+{dx-n)To ~ je teřcnou rovinou k plořse z = F(x1, . . . , xn) v bodře T. 290 Příklad 12.10. Napište rovnici tečné roviny k ploše z = \Jx2 + y2 v bodě T = [4, 3, ?] na dané ploše. Řešení. Napřed určíme z. Doštavame zo = V42 + 32 = 5. Určíme parciainí derivace 1. radu funkce z = \Jx2 + y2 v bode T0 = [4, 3]. Dostavíme z x z y z 4 z 3 dx y/x2 + y2' dy ^Jx2 + y2' \dx) [4,3] 5, \dy) ^ 5' Tedy hledanou tečnou rovinou je rovina t = z - 5= 5(x - 4) + 5(y - 3). 12.1.1 Totální diferenciál Totální diferenciál funkce dvou pramenných Pred započetím študia teto podkapitoly ši zopakujte diferenciai funkce jedne promenne. Definice 12.1. (Totální diferenciál funkce z = f (x, y)) Necht; z = f (x,y) je funkce definovana v danem 5-okolí Us ([a, b]) bodu [a,b]. Necht; funkce f(x,y) m a v bode [a,b] špojite parcialn í derivace f, f. Potom funkci df v pramenných h, k, danou vztahem naz yvame totálním diferenciálem funkce f (x,y) v bode [a, b]. Pro takto zaveden y tota ln í diferenci a l plat í tato veta. Veta 12.8. Necht, funkce z = f (x, y) má v bode [a, b] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existují 5 > 0 a funkce n (h, k) tak, že pro h, k, pro něž [a + h, b + k] E 3Us ([a, b]) 1) platí f (a + h,b + k) - f (a, b) = (f )[a b h + (g) a k + n(h, k), (12.36) Ä™ =0. ' (12.37) x) 3Us([a, b]) je okolí bodu [a, b] určené metrikou g3. 291 Poznámka. V diferenciálu (12.35) se často místo h, k píše dx, dy. Diferenciál df funkce f (x,y) v bode [a,b] se pak zapisuje takto Příklad 12.11. Napište diferenciál funkce z = x3y4 v bodě [2, 3]. Řešení. Funkce z = x3y4 ma spojité parciální derivace v kazdem bode [x,y], tedy i v bode [2,3]. Podle (12.35) dostávame dz = (3x2y4)[2 ,3]dx + (4x3y3)[2 }3]dy, tj. dz = 972 dx + 864 dy. Analogicky lze zavest diferencial funkce n-promennych. Definice 12.2. Nechť funkce z = f (X), X = [x1}... ,xn], n E N, má v oblasti Q spojite parcialní derivace 1. radu. Potom df = (^) + ••• + ( ^) dxn (12.38) nazývame totalním diferencialem funkce z = f (X) v bode X = [x1y... ,xn] E Q. Je tedy df v bode X funkcí promenných dxi,..., dxn. Veta 12.9. Necht funkce z = f (X), X =[xl)...)Xn] mé v bodě X0 =[x°1,..., x0n] spojité parciální derivace 1. řádu. Potom existuje 5 > 0 a funkce r](dx1}... ,dxn) tak, že pro dxi,..., dxn, pro něž [x? + dxi,... ,x°n + dxn] E Us(X0) platí f (x1 + dx1, . . . , xn + dxxn) f (x;L, . . . , xn) p-) +-----+[ p-) + n(dxi,...,dxn), Sdx1 J X0 \dxnJ X0 pri cemz limita dí^l'■ ■ ■ \ v bode [0,..., 0] ma hodnotu 0. Důkaz: DUkaz je analogický jako dUkaz speciálního prípadu n = 2 uvedenem ve vete 12.8. n Z teto vetý vyplýva, Ze f (x1 + dx1; . . . + dxn) — f (x?) . . . , x°n) ~ ^ ~dxf~^ + ' ' ' + Qf ^ dxn. 292 Totain idiferenci a I vyjadruje pr irůstek na tecn e rovine, prejdeme-li z bodů X0 = [x\,... ,xn] do bodů X =[x°o + dxi,... ,xn + dxn]. 12.2 Extrémy funkcí více proměnných Lokální extrémy Lokaln íextrě my funkc í n-proměnn ých žava d íme analogicky jeko u funkc í jedn ě proměnn ě. Definice 12.3. Necht f (X), X = [x1,x2,... ,xn], je funkce n-proměnnych definovana na oblasti Q. Necht X° = [x°,x0°j...,xn] e Q. Nechť existuje 5> 0 tak, že U(X°) C Q a že pro vsechna X e U(X°) platí f (X) < f (X°) (f (X) > f (X0)). Potom ríka me, že funkce f m a v bodě X° lokálni maximum (lokálni minimum). Lokaln í maxima a lokaln í minima nažyvame spolecnym n a žvem lokálni extrémy. Necht existuje 5 > 0 tak, že U(X°) C Q a že pro vsechna X e U(X°), X = X° platí f (X) < f (X°) (f (X) > f (X0)). Potom ríka me, že funkce f ma v bodě X° vlastn í lokáln í maximum (vlastn i lokáln í minimum). Vlastn í lok íln í maxima a vlastn í lokaln í minima nažyvame spolecnym nažvem vlastn í lokáln í extrémy. Z těto definice je patrno, že jestliže funkce f (X) ma v bodě X° lok a ln í maximum (minimum), potom maj í i vsechny funkce f (xi) . . . ,x^—1,t,x^+1, . . . ,xn) , % ~1, 2,...,n v bode xi, % = 1, 2,... ,n, lok a In i maximům (minimům). Ma-li tedý fůnkce Fi(t), % = 1, 2,... ,n, v bode x0 derivaci, je rovna 0. Podle definice parci a ln i derivace fůnkce f je vSak derivace fůnkce Fi(t) v bode x0 rovna parcialn i derivaci fůnkce f (X) podle xi v bode X0, takže F^) = -žt( (X 0) = °, % =1, 2,..., n. 293 Funkce /(X), X = [xi,... ,xn], definovaná na oblasti Q, může nabývat lokální extrém použe v tech bodech, v nichž ma vsechný parciální derivace 1. řadu rovný 0, nebo v tech bodech, v nichž nemá nekterou parcialní derivaci. Bod X0 e Q, v nemž ma funkce / vsechný parcialní derivace 1. žadu rovný nule, se nažíva stacion a rn ím bodem funkce /. Příklad 12.12. Urcete stacionarn í bodý funkce z = x3 + y3 - 3xy. (12.39) Řešení. Výpoc ítejme parci a ln í derivace 1. radu. Dostaví me dz 2 dz 2 — = 3x - 3y, — = 3y - 3x. dx dy Stacion a rn í bodý jsou tý bodý [x, y], pro nez plat í dz o dz o dx dy Z techto podm ínek dostavame sýste m rovnic 3x - 3y 0, (12.40) 3y - 3x 0. (12.41) Je to sýste m nelinearn ích rovnic o dvou nezn am ých. Z (12.40) výpoc ítá me y. Dostavame y = x2. (12.42) Dosazen ím (12.42) do (12.41) dostavame x4 - x = 0. Tuto rovnici lze prepsat na tvar x(x - 1)(x2 + x + 1) = 0. (12.43) Z (12.43) dosta vame xi = 0, x2 = 1. Dals í dva korený dostaví me resen ím rovnice x2 + x +1 = 0. Týto korený jsou komplexne sdruzen e. Ponevadz uvazujeme jenom realn e bodý, nebudeme je uvazovat. Dosad íme-li x = 0 do (12.42), dostava me y = 0. Dosad íme-li x =1 do (12.42), dostvame y = 1. M a tedý funkce (12.39) dva stacionarn í bodý A[0,0], B [1,1]. Funkce y = x3 + y3- 3xy má parcialn í derivace ve vsech bodech. Na z aklade dosavadn ích uvah výplýva , ze výsetrovana funkce muze m ít lok a ln í extre mý pouze v bodech A, B. 294 Uvažujme nyn í opět funkci z = f (X), X = [x\,..., xn] n-promennych, definovanou na oblasti q. Budeme vyšetřovat, žda funkce f (X) m a ve stacion a rn ích bodech extrě m. ZaCneme s případem n = 2, tedy s funkcemi z = f (x,y) dvou promenných na oblasti q. Necht bod [a,b] £ Q je stacion a rn ím bodem funkce f (x,y). Podle Taylorovy vety pro k = 1 dostava me / (a + h,b + k) = / (a, b) + 1! ~(dĹ) h +(dl) k \dx) [a,b] V SV) [a,b] _ k + R-2, (12.44) kde R2 1 2! (dx2\t,v]h +2( dxdy^ itv] \dxdyJ itv] \dy2sitv] ) k; (12.45) Bod n] je na úsečce o koncových bodech [a,b], [a + h,b + k]. Poněvadž [a,b] je stacioná rn ím bodem fúnkce /, je (f )[a>b] = 0, (f )[a,b] = 0. Proto (12.44) lže žapsat jako /(a + h,b + k) - /(a,b) = R2. (12.46) Je-li tedý R2 > 0 (R2 < 0) pro vSechna dostatecne mala h, k,ma fúnkce / v bode [a,b] lok ainí minimům (maximům). Rozborem R2 se dokaže tato veta. Veta 12.10. Necht funkce / (x, y) ma v jistém okolí Us ([a, b]) bodu [a, b] spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Necht: Í9x) [a,b] 0 Pro body [x,y] E Us([a,b]) položme A(x,y) = y ia b] 0. d2f dx2 dxdy d2f df dxdy dy2 Je-li A(a,b) > 0, má funkce extrem. Je-li A(a,b) < 0, nemá / (x,y) v bode [a,b] lokální funkce / (x,y) v bodě [a,b] lokální extrém. V případě, že A(a,b) > 0 a ( )[a >b] > (< 0) mí funkce f (x,y) v bodě [a,b] vlastní lokální minimum (maximum). 0 1 Příklad 12.13. Zjistili jsme, že fúnkce z = x3 + y3 — 3xy m a dva stacion a rn í bodý A[0,0], B[1,1]. Rožhodnete, žda tato fúnkce ma v techto bodech lok aln í extre mý. 295 Řešení. Funkce z = x3 + y3 — 3xy m a spojite parci a ln í derivace 2. ra du ve vsech bodech. Vypoctem dostavame d2z d2z 6x, dx2 32z 3 32z o dxdy dydx ' dy2 Tedy A(x,y) 6x — 3 -3 Oy 36xy — 9. Poněvadž A(0, 0) = —9 < 0, nema vyšetřován a funkce ve stacionarln ím bodě [0, 0] lokaln í extre m. Ponevadž A(1,1) = 36 — 9 = 27 > 0, m a vyšetřovaná funkce ve stacionarn ím bode [1,1] loká ln í extre m. Ponevadž cřz_ dx2 ) [i.i] (6x)[i,i] = 6 > 0, m a vysetřovan a funkce v bode [1,1] loká ln í minimum. Pro funkce n-promenných plat í analogicka veta. veta 12.11. Nechť funkce f (X), X = [x1)x2)... ,xn] je definovaná na oblasti Q. Necht: X0 [x^x^,..., xn] je jejím stacionárním bodem, tj. necht: \dxij Xo \dxnJ Necht v jistím okolí Us (X0) má funkce f (X) spojite všechny parciální derivace 2. řádu. Označme d2f df 8x28x1 8x2 82f 82f 8xk8xi 8xk8x2 82f 8x\8xk 82f 8x28xk , k =1, 2,...,n. Je-li Di(X0) > 0, D2(X0) > 0,..., Dn(X°) > 0 (Di(X0) < 0, D2X0) > 0,..., (—1)nDn(X0) > 0), má funkce f v bodě X0 lokální minimum (maximum). 296 Příklad 12.14. Určete loká In í extré my funkce u = x2 + y2 + z2 + xy — Řešení. Položme párci áln í derivace uUx = 2x + y — z, uU = 2y + x, xz. u'z = 2z x rovny nule. Řešen ím vžnikl e ho syste mu rovnic určíme jediny stácion á rn í bod [0, 0, 0]. Pomoc í mátice u u xz 2 1 -1 u u yy u yz = 1 2 0 v u zx u zy uz z ) 0 2 urc i me Di = 2, D2 = 21 12 D3 2 1 -1 120 1 0 2 Protože Di > 0, D2 > 0, D3 > 0, m á vyšetřován á funkce v bode [0, 0, 0] ostre lokáln í minimum. Globální etxrémy Necht funkce f (X) je definovaná na užávřen e oblasti Q (tj. na sjednocen í oblasti s jej í hranie í). Řekneme, že funkce f (X) n-promenných m a globa ln í (absolutn í) maximum v bode X0 E Q, jestliže pro vsechny body X E Q plat í f (X) < f (X °). Podobne rekneme, že funkce f (X) n-promenných m a globaln í (absolutn í) minimum v bode X° E Q, jestliže pro vsechny X E Q plat í f (X) > f (X °). Globaln í maxima a globa ln í minima se nažyvaj í spolecnym nažvem globálni extrémy. Plat í tato veta. Vétá 12.12. Necht funkce n-proménych f (X) je spojitá na uzavřené oblasti Q. Potom má na Q globálni maximum a globálni minimum. Je-li X0 bod, v němž funkce f nabyvé na Q globálni maximum (minimum), potom X0 je bud hraničním bodem Q, anebo funkce f mé v nem lokální maximum (minimum). Jako príklad naležen íglob a ln ího minima funkce f (X) n-promennych uveďme n a sleduj íc í pr íklad. 297