Teorie portfolia Kvantifikace množiny efektivních portfolií Téma přednášky • sell short • efektivní množina s povolením short sell • nalezení portfolia s minimálním rizikem Sell short „zakázán“ Sell short „zakázán“ Sell short „zakázán“ Sell short • předpokládejme, že investor věří, že akcie firmy ABC, které se momentálně prodávají za cenu 100 Kč, budou v budoucnu (např. za jeden měsíc) mít cenu 95 Kč • dále bude (během měsíce) vyplacena dividenda v hodnotě 3 Kč na jednu akcii • kdyby investor tuto akcii nakoupil, proběhly by následující finanční toky Sell short Sell short • předpokládejme, že investor zná někoho (kamaráda), kdo vlastní akcie firmy ABC a kdo z nějakého důvodu chce tyto akcie stále držet • investor si může od této osoby akcie půjčit s příslibem, že akcie po určité době (měsíc) vrátí a že daná osoba nebude nic tratit (tzn. obdrží i dividendu) • investor půjčené akcie prodá a obdrží 100 Kč Sell short • v okamžiku výplaty dividend musí investor zaplatit výši dividendy kamarádovi, ale protože nevlastní dané akcie, musí tyto dividendy zaplatit „z vlastní kapsy“ • po měsíci investor akcie nakoupí zpět za tržní cenu (předpokládejme 95 Kč) a vrátí půjčené akcie svému kamarádovi • můžeme tedy shrnout všechny finanční toky pro tento případ Sell short Sell short • celkový zisk je dále snížen o náklady na zapůjčení • pro zjednodušení budeme předpokládat nulové náklady • „shortování“ rozšiřuje přípustnou množinu • rozšiřuje i efektivní množinu? Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko • prodej nakrátko rozšiřuje efektivní množinu • prodej nakrátko má smysl i v případě, že očekávané výnosnosti cenných papírů jsou kladné • předpokládejme, že máme k dispozici (v portfoliu) dvě akcie s výnosnostmi 5% a 15% • za předpokladu nepovolení prodeje nakrátko existuje omezení maximální výnosnosti – 15% • můžeme získat vyšší výnosnost? Efektivní množina s povolením prodeje nakrátko • uvažujme následující postup • prodáme akcie s nižší výnosností • zisk investujeme do nákupu dodatečného počtu akcií s vyšší výnosností • získali jsme vyšší výnos než v případě držení dvou akcií • zvýšilo se nám riziko!! Nalezení portfolia s minimálním rizikem • řešíme optimalizační úlohu • s omezující podmínkou Nalezení portfolia s minimálním rizikem • pro vyhledání extrému využijeme pravidla Lagrangeových multiplikátorů, které říká, že pokud je v bodě lokální extrém, pak existují Lagrangeovy multiplikátory, ne všechny současně rovny nule, pro něž platí Nalezení portfolia s minimálním rizikem • výraz označuje tzv. Lagrangeovu funkci, která je definována následovně kde • existují další podmínky, které považujeme za splněné Nalezení portfolia s minimálním rizikem • pro jednodušší počítání můžeme využít rozptyl portfolia místo sm.odchylky • Lagrangeova funkce bude mít tvar Nalezení portfolia s minimálním rizikem • po zderivování podle jednotlivých proměnných (n vah a lambda) obdržíme soustavu n+1 rovnic • prvních n položíme rovny 0 a u poslední rovnice převedeme 1 na druhou stranu • dále řešíme některou standardní metodou (nejlépe maticovým počtem)