Teorie portfolia Jedno-indexový model a určení podílů cenných papírů v portfoliu Téma přednášky • „lehký“ úvod do jedno-indexového modelu • optimální portfolio • příklad Jedno-indexový model • pozorování cen akcií naznačují, že výnosnost většiny akcií má tendenci růst, pokud roste trh a naopak klesat, pokud klesá trh • má proto smysl dát výnosnost akcie do vztahu s výnosností trhu • a[i] je složka výnosnosti i-tého cenného papíru, která je nezávislá na chování trhu • r[M] je výnosnost tržního indexu Jedno-indexový model • je konstanta, která vyjadřuje předpokládanou změnu výnosnosti akcie i v závislosti na změně výnosnosti trhu • uvedená rovnice rozděluje výnosnost akcie na dvě části – část nezávislou na trhu a část závislou na trhu • měří citlivost výnosnosti akcie na výnosnost trhu • a[i] vyjadřuje „necitlivost“ (nezávislost) výnosnosti akcie na výnosnost trhu Jedno-indexový model • rozložíme-li a[i] na dvě části – na odhad a náhodnou chybu (střední hodnota je nulová), pak můžeme původní rovnici zapsat ve tvaru • je nutné si uvědomit, že jak výnosnost trhu, tak náhodná chyba jsou náhodné veličiny, tj. mají pravděpodobnostní rozložení a střední hodnotu a směrodatnou odchylku Jedno-indexový model • je žádoucí mít náhodnou složku nekorelovanou s výnosností trhu, formálně se dá tento požadavek zapsat následovně • odhady hodnot , a (rozptyl náhodné chyby) jsou často získávány z časových řad pomocí regresní analýzy • regresní analýza je jedna z technik, která zaručuje nekorelovanost náhodné složky s výnosností trhu (minimálně během odhadovaného období) Jedno-indexový model • klíčovým předpokladem jedno-indexového modelu je, že náhodná chyba i-té akcie je nezávislá na náhodné chybě j-té akcie, tj. • kovariance dvou cenných papírů i, j Optimální portfolio • budeme předpokládat, že jedno-indexový model je nejlepší metodou předpovědí kovarianční struktury výnosností • bylo by vhodné mít jedno „číslo“, které by charakterizovalo v(ý)hodnost zařazení konkrétního cenného papíru do optimálního portfolia • pokud předpokládáme platnost jedno-indexového modelu, pak takové číslo existuje Optimální portfolio • tímto číslem je poměr mezi očekávanou nadměrnou výnosností cenného papíru a betou cenného papíru • seřadíme-li si cenné papíry podle tohoto kritéria (od největšího po nejmenší), získáme tím pořadí v(ý)hodnosti zařazení cenného papíru do optimálního portfolia Optimální portfolio • pokud je do optimálního portfolia zahrnut cenný papír s konkrétním poměrem , tak všechny cenné papíry s vyšším poměrem budou také zahrnuty v optimálním portfoliu • pokud není do optimálního portfolia zahrnut cenný papír s konkrétním poměrem , tak všechny cenné papíry s nižším poměrem nebudou zahrnuty v optimálním portfoliu, nebo pokud je povolen sell short, tak budou prodány nakrátko Optimální portfolio • existuje konkrétní hodnota C* (tzv. cut-off ratio), která určuje, které cenné papíry budou zahrnuty do optimální portfolia a které nebudou zahrnuty, resp. budou prodány nakrátko • abychom mohli určit, které cenné papíry zahrneme, musíme postupovat následovně: • seřadíme cenné papíry podle poměru • do optimálního portfolia zahrneme ty cenné papíry, pro které platí > C* Optimální portfolio • jediným problémem zůstává stanovení hodnoty C* • hodnota C* je počítána z charakteristik cenných papírů, které jsou zahrnuty v optimálním portfoliu • protože na začátku nevíme, kolik cenných papírů bude do optimálního portfolia zahrnuto, bude při výpočtu C* zahrnovat různý počet cenných papírů Optimální portfolio • pokud C[i] je možný kandidát na C*, pak C[i] je počítáno za předpokladu, že v optimálním portfoliu je právě i cenných papírů • důležitým předpokladem pro výpočet je seřazení cenných papírů podle poměru od největší po nejmenší hodnotu Optimální portfolio • pro portfolio i cenných papírů platí • cenné papíry jsou zahrnuty do portfolia, pokud platí Optimální portfolio • za C* zvolíme poslední C[i], pro které je předchozí vztah pravdivý • zůstává pouze spočítat váhy cenných papírů v optimálním portfoliu • přičemž Optimální portfolio • předchozí výpočty byly určeny pro výpočet vah cenných papírů v portfoliu pro případ nepovoleného sell shortu [• ]v případě povoleného sell shortu postupujeme stejně, jen za C* bereme C[n] Příklad • mějme následující data, bezrizikovou investici s výnosností 5% a rozptyl tržní výnosnosti 10 Příklad • spočítáme poměr očekávané nadměrné výnosnosti k beta a seřadíme cenné papíry od největšího poměru k nejmenšímu [• ]pokračujeme dalšími dílčími výpočty a stanovením všech C[i] Příklad Příklad – sell short zakázán Příklad – sell short povolen