Teorie portfolia Kvantifikace množiny efektivních portfolií II Téma přednášky • nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem • bezriziková investice • efektivní množina s bezrizikovou investicí • půjčování a zapůjčování • nalezení portfolia při existenci bezrizikového aktiva Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem • postup je stejný jako v případě nalezení portfolia s minimálním rizikem • přidáme podmínku kde za r[p] dosadíme požadovanou výnosnost • máme tedy následující Lagrageovu funkci Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem • po zderivování podle jednotlivých proměnných obdržíme soustavu n+2 rovnic • prvních n položíme rovny 0, u předposlední a poslední rovnice převedeme hodnoty bez proměnných na druhou stranu • dále řešíme některou standardní metodou (nejlépe maticovým počtem) Bezriziková investice • za bezrizikové aktivum může být považována státní pokladniční poukázka s dobou splatnosti, která přesně odpovídá době držení portfolia investorem, případně termínovaný vklad • výnosnost bezrizikového aktiva je jistá – označuje se indexem „f“ • směrodatná odchylka bezrizikového aktiva je nulová, z čehož plyne, že kovariance bezrizikového aktiva s rizikovým portfoliem (aktivem) je nulová Bezriziková investice • investor se může rozhodnout, že část svých prostředků vloží do bezrizikové investice a část do rizikového aktiva (portfolia) • předpokládejme, že investujeme část X do rizikového aktiva (A) a zbytek 1-X do bezrizikového aktiva (f) • výnosnost takového portfolia (p) bude Bezriziková investice • riziko portfolia (p) bude • protože riziko bezrizikové investice je nulové, můžeme psát Bezriziková investice Bezriziková investice • všechny možné kombinace mezi bezrizikovým aktivem a rizikovým aktivem leží na přímce • pokud si ze vztahu vyjádříme X a dosadíme do vztahu pro výnos portfolia, můžeme psát • což po úpravě dává rovnici přímky ve tvaru Bezriziková investice Bezriziková investice • kterou přímku zvolíme? – tečnu k efektivní množině • jak se změní efektivní množina? – část od dotykového bodu přímky a původní efektivní množiny směrem k počátku os nahradí část původní efektivní množiny (proč?) Půjčování versus vypůjčování • lending x borrowing • pokud investujeme pouze do rizikového portfolia, investujeme všechny prostředky • pokud se rozhodneme investovat i do bezrizikového aktiva, rozhodujeme se část prostředků „půjčit“ (lend) „někomu“ Půjčování versus vypůjčování • mohli bychom se rozhodnout, že naše prostředky jsou pro nás nedostačující a že si chceme za bezrizikovou sazbu „vypůjčit“ (borrow) od „někoho“ • pohybujeme-li se po přímce pro bezrizikové aktivum a rizikové portfolio, je dělícím bodem mezi půjčováním a vypůjčováním bod, ve kterém jsou všechny prostředky investovány do rizikového portfolia Půjčování versus vypůjčování Půjčování versus vypůjčování • pokud bychom umožnili půjčování i vypůjčování, byla by předchozí přímka efektivní množinou • na této efektivní množině by ležel pouze jeden bod z původní efektivní množiny – byl by to tečnový bod • v realitě je ovšem sazba pro vypůjčování (úvěrová sazba) většinou vyšší než sazba pro půjčování (vkladová sazba) • jak tento fakt změní efektivní množinu? Nalezení portfolia při existenci bezrizikového aktiva • mohou nastat 4 situace • prodej nakrátko je povolený a bezrizikové aktivum je možno využít – budeme řešit dále • prodej nakrátko je povolený ale bezrizikové aktivum není možno využít – již jsme řešili • prodej nakrátko není povolený a bezrizikové aktivum je možno využít – řešení metodami kvadratického programování (Kuhn-Tucker) • prodej nakrátko není povolený a bezrizikové aktivum není možno využít – řešení metodami kvadratického programování (Kuhn-Tucker) Řešení situace 1 • jedná se o maximalizační úlohu s omezující podmínkou • maximalizovanou funkcí je tangens úhlu, který svírá přímka bezrizikového aktiva a tečného bodu na efektivní množině rizikových portfolií • omezující podmínkou je • tuto podmínku můžeme vynechat (protože se zderivovaná maximalizovaná funkce podle jednotlivých proměnných vytváří systém rovnic, které jsou homogenní stupně 0 – obecně ovšem podmínku vynechat nemůžeme) Řešení situace 1 • budeme tedy derivovat funkci • protože platí • můžeme derivovanou funkci přepsat na tvar Řešení situace 1 • získali jsme n rovnic o n neznámých Řešení situace 1 • abychom získali hledané podíly X[k], stačí vyjít z rovnic • což nám ve výsledku dává rovnici