Teorie portfolia Model oceňování kapitálových aktiv – CAPM Téma přednášky •empirické testování modelu rovnováhy •metoda nejmenších čtverců •rozptyl výnosnosti cenného papíru •systematické a nesystematické riziko •výnosnost a riziko portfolia •delta cenného papíru - nerovnováha • Empirické testování modelu rovnováhy •testováním modelu CAPM (a jeho variant) se zabývala řada známých i méně známých jmen •např. Sharpe, Lintner, Miller, Scholes, Black, Jensen, Fama Empirické testování modelu rovnováhy •modely CAPM jsou formulovány na základě očekávání – všechny proměnné jsou vyjádřeny v budoucích hodnotách •protože neexistují resp. nejsou k dispozici rozsáhlejší systematická data vzhledem k očekáváním, většina testů modelu CAPM vychází z pozorovaných hodnot Empirické testování modelu rovnováhy •podle CAPM se budou aktiva nastavovat tak dlouho, dokud nebude dosaženo rovnováhy, při které bude ležet každý CP na SML •při rovnováze bude očekávaná (rovnovážná) výnosnost CP i v době držení dána rovnicí Empirické testování modelu rovnováhy •tato rovnice však není modelem toho, jaká bude skutečná nadměrná výnosnost CP za dobu držení •charakteristická přímka (SML) je typem procesu, který garantuje skutečnou výnosnost CP a je založen na předcházející rovnici Empirické testování modelu rovnováhy • - skutečná výnosnost CP • - skutečná výnosnost tržního portfolia • - náhodná chyba CP • protože předpokládáme, že vztah mezi rizikem a výnosností je lineární (vyšší riziko přináší vyšší výnos), můžeme testovat model v podobě rovnice Empirické testování modelu rovnováhy •abychom mohli nalézt neznámé parametry alfa a beta, učiníme některé předpoklady o náhodné chybě (viz. klasická lineární regrese) • • • •náhodná chyba CP je náhodná veličina s nulovou očekávanou hodnotou (střední hodnotou) a směrodatnou odchylkou Empirické testování modelu rovnováhy •předpokládejme, že očekávanou výnosnost i-tého aktiva je možné určit rovnicí , kde •tato rovnice nemusí naprosto přesně vystihnout situaci na trhu s i-tým aktivem, může dojít k drobným nepřesnostem působením různých faktorů, které nejsou zahrnuty do naší rovnice Empirické testování modelu rovnováhy •proto bývá do rovnice zahrnut i vliv takovýchto blíže nespecifikovaných faktorů ve formě náhodné chyby •pokud bude použita bezriziková investice můžeme psát Empirické testování modelu rovnováhy •příklad výnosnosti cenného papíru a tržního portfolia (indexu) Měsíc Výnosnost CP v % Výnosnost TP v % 1. 10 4 10 = 2 + 4.1,5 + 2 2. 3 2 3 = 2 + 2.1,5 - 2 3. 15 8 15 = 2 + 8.1,5 + 1 4. 9 6 9 = 2 + 6.1,5 - 2 5. 3 0 3 = 2 + 0.1,5 + 1 Součet 40 20 40 = 10 + 30 + 0 Empirické testování modelu rovnováhy •očekávaná výnosnost za těchto pět měsíců bude pro CP 8% a pro index 4% •předcházející úlohu jsme vyjádřili grafem pomocí regresní funkce, na kterém vidíme, kde leží v jednotlivých měsících výnosnosti cenného papíru i velikost náhodné chyby tohoto aktiva •pokud chceme získat odhad hodnoty koeficientu beta, potom lze využít historických (minulých) výnosů a vztahu Empirické testování modelu rovnováhy • • • •tzv. historické (ex-post) beta •pro výpočet alfa využijeme vztah •parametry alfa a beta můžeme také získat („odhadnout“) z historického přístupu k jejich určení Empirické testování modelu rovnováhy •měli bychom zkoumat nestrannost odhadů, zda tyto odhady jsou „nejlepší“, zda mezi těmito odhady mají nejmenší rozptyl •nejlepším odhadem je metoda nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců •mějme n dvojic pozorovaných hodnot •množinu těchto bodů nechť popisuje empirická regresní funkce • je tzv. reziduum •metoda nejmenších čtverců je založena na minimalizaci součtu čtverců reziduálních odchylek •hledáme tedy minimum této funkce Metoda nejmenších čtverců •spočítáme první parciální derivace podle proměnných „a“ a „b“ a položíme je rovny 0 •po úpravách dostaneme dvě tzv. normální rovnice • •které vyřešíme nejlépe maticovou metodou • Rozptyl výnosnosti cenného papíru •rozptyl nadměrné výnosnosti • •rozptyl pravé strany rovnice • • •víme, že •potom Systematické a nesystematické riziko •jedinečné riziko (netržní, nesystematické riziko) - •tržní riziko (systematické riziko) – Systematické a nesystematické riziko •tržní riziko odráží systematickou míru rozptylu (variability) výnosností a je způsobeno faktory, které ovlivňují ceny všech cenných papírů obchodovaných na burze; je diverzifikovatelné •jedinečné riziko je část rizika, která je jedinečná pro daný podnik, obor atd.; je nediverzifikovatelné (zvýšením počtu kusů cenných papírů) Systematické a nesystematické riziko •podíl systematického rizika na celkovém riziku CP určuje koeficient determinace •koeficient determinace vyjadřuje schopnost tržního modelu vysvětlit pohyby ve výnosnostech jednotlivých akcií na trhu (kolísání ve vztahu výnosnosti na jednotlivý cenný papír a změn ve výnosnosti trhu) Systematické a nesystematické riziko •víme, že • •neboť • •koeficient determinace se potom rovná Výnosnost a riziko portfolia •portfolio P je složené z n CP s váhami • •výnosnost • •riziko Delta cenného papíru - nerovnováha •mnoho investorů vyhledává CP, které se zdají být nesprávně ohodnoceny •CP je podhodnocený (příliš levný), je-li jeho očekávaná výnosnost vyšší než předpokládaná - leží nad SML •CP je nadhodnocený (příliš drahý), je-li jeho očekávaná výnosnost nižší než předpokládaná - leží pod SML Delta cenného papíru - nerovnováha •tržní ceny cenných papírů a jejich očekávané výnosnosti jsou buď ve shodě s danou rovnovážnou teorií nebo nejsou •problém spočívá v tom, že srovnáváme očekávané výnosnosti cenných papírů s rovnovážnou očekávanou výnosností Delta cenného papíru - nerovnováha •rovnovážná očekávaná výnosnost cenného papíru je taková, jaká by měla být, kdyby byl cenný papír správně ohodnocen (ležel by na přímce SML) •delta cenných papírů je rozdíl mezi očekávanou výnosností a příslušnou rovnovážnou očekávanou výnosností Delta cenného papíru - nerovnováha 1.je-li delta>0 , leží CP nad SML a je podhodnocený, 2.je-li delta<0, leží CP pod SML a je nadhodnocený, 3.je-li delta=0, leží CP na přímce SML a je správně ohodnocen •z toho plyne doporučení, že je nutno nakupovat cenné papíry, které leží nad přímkou SML a prodávat cenné papíry ležící pod přímkou SML, cenné papíry ležící na přímce SML je nutno držet