Teorie portfolia
Jedno-indexový model a určení podílů cenných papírů v portfoliu


Téma přednášky
•„lehký“ úvod do jedno-indexového modelu
•optimální portfolio
•příklad
•

Jedno-indexový model
•pozorování cen akcií naznačují, že výnosnost většiny akcií má tendenci růst, pokud roste trh a
naopak klesat, pokud klesá trh
•má proto smysl dát výnosnost akcie do vztahu s výnosností trhu
•
•ai je složka výnosnosti i-tého  cenného papíru, která je nezávislá na chování trhu
•rM je výnosnost tržního indexu

Jedno-indexový model
•    je konstanta, která vyjadřuje předpokládanou změnu výnosnosti akcie i v závislosti na změně
výnosnosti trhu
•uvedená rovnice rozděluje výnosnost akcie na dvě části – část nezávislou na trhu a část závislou
na trhu
•    měří citlivost výnosnosti akcie na výnosnost trhu
•ai vyjadřuje „necitlivost“ (nezávislost) výnosnosti akcie na výnosnost trhu

Jedno-indexový model
•rozložíme-li ai na dvě části – na odhad a náhodnou chybu (střední hodnota je nulová), pak můžeme
původní rovnici zapsat ve tvaru
•
•
•je nutné si uvědomit, že jak výnosnost trhu, tak náhodná chyba jsou náhodné veličiny, tj. mají
pravděpodobnostní rozložení a střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Jedno-indexový model
•je žádoucí mít náhodnou složku nekorelovanou s výnosností trhu, formálně se dá tento požadavek
zapsat následovně
•
•odhady hodnot   ,    a     (rozptyl náhodné chyby) jsou často získávány z časových řad pomocí
regresní analýzy
•regresní analýza je jedna z technik, která zaručuje nekorelovanost náhodné složky s výnosností
trhu (minimálně během odhadovaného období)

Jedno-indexový model
•klíčovým předpokladem jedno-indexového modelu je, že náhodná chyba i-té akcie je nezávislá na
náhodné chybě j-té akcie, tj.
•
•kovariance dvou cenných papírů i, j
•
•

Optimální portfolio
•budeme předpokládat, že jedno-indexový model je nejlepší metodou předpovědí kovarianční struktury
výnosností
•bylo by vhodné mít jedno „číslo“, které by charakterizovalo v(ý)hodnost zařazení konkrétního
cenného papíru do optimálního portfolia
•pokud předpokládáme platnost jedno-indexového modelu, pak takové číslo existuje

Optimální portfolio
•tímto číslem je poměr mezi očekávanou nadměrnou výnosností cenného papíru a betou cenného papíru
•
•seřadíme-li si cenné papíry podle tohoto kritéria (od největšího po nejmenší), získáme tím pořadí
v(ý)hodnosti zařazení cenného papíru do optimálního portfolia

Optimální portfolio
•pokud je do optimálního portfolia zahrnut cenný papír s konkrétním poměrem        , tak všechny
cenné papíry s vyšším poměrem budou také zahrnuty v optimálním portfoliu
•pokud není do optimálního portfolia zahrnut cenný papír s konkrétním poměrem        , tak všechny
cenné papíry s nižším poměrem nebudou zahrnuty v optimálním portfoliu, nebo pokud je povolen sell
short, tak budou prodány nakrátko

Optimální portfolio
•existuje konkrétní hodnota C* (tzv. cut-off ratio), která určuje, které cenné papíry budou
zahrnuty do optimální portfolia a které nebudou zahrnuty, resp. budou prodány nakrátko
•abychom mohli určit, které cenné papíry zahrneme, musíme postupovat následovně:
1.seřadíme cenné papíry podle poměru
2.do optimálního portfolia zahrneme ty cenné papíry, pro které platí         > C*

Optimální portfolio
•jediným problémem zůstává stanovení hodnoty C*
•hodnota C* je počítána z charakteristik cenných papírů, které jsou zahrnuty v optimálním portfoliu
•protože na začátku nevíme, kolik cenných papírů bude do optimálního portfolia zahrnuto, bude při
výpočtu C* zahrnovat různý počet cenných papírů

Optimální portfolio
•pokud Ci je možný kandidát na C*, pak Ci je počítáno za předpokladu, že v optimálním portfoliu je
právě i cenných papírů
•důležitým předpokladem pro výpočet je seřazení cenných papírů podle poměru       od největší po
nejmenší hodnotu

Optimální portfolio
•pro portfolio i cenných papírů platí
•
•
•
•
•cenné papíry jsou zahrnuty do portfolia, pokud platí
•

Optimální portfolio
•za C* zvolíme poslední Ci, pro které je předchozí vztah pravdivý
•zůstává pouze spočítat váhy cenných papírů v optimálním portfoliu
•
•
•přičemž
•

Optimální portfolio
•předchozí výpočty byly určeny pro výpočet vah cenných papírů v portfoliu pro případ nepovoleného
sell shortu
•v případě povoleného sell shortu postupujeme stejně, jen za C* bereme Cn
•

Příklad
•mějme následující data, bezrizikovou investici s výnosností 5% a rozptyl tržní výnosnosti 10
cenný papír i



1
0,15
1
50
2
0,17
1,5
40
3
0,12
1
20
4
0,17
2
10
5
0,11
1
40
6
0,11
1,5
30
7
0,11
2
40
8
0,07
0,8
16

Příklad
•spočítáme poměr očekávané nadměrné výnosnosti k beta a seřadíme cenné papíry od největšího poměru
k nejmenšímu
•pokračujeme dalšími dílčími výpočty a stanovením všech Ci
•

Příklad
cenný papír i





Ci

1
0,1
0,002
0,02
0,002
0,02
0,0167
2
0,08
0,0045
0,0563
0,0065
0,0763
0,0369
3
0,07
0,0035
0,05
0,01
0,1263
0,0442
4
0,06
0,024
0,4
0,034
0,5263
0,0543
5
0,06
0,0015
0,025
0,0355
0,5513
0,0545
6
0,04
0,003
0,075
0,0385
0,6263
0,053
7
0,03
0,003
0,1
0,0415
0,7263
0,0502
8
0,025
0,001
0,04
0,0425
0,7663
0,0491

Příklad – sell short zakázán
cenný papír i




1
0,0200
0,0455
0,0009
0,2348
2
0,0375
0,0255
0,0010
0,2467
3
0,0500
0,0155
0,0008
0,1999
4
0,2000
0,0055
0,0011
0,2833
5
0,0250
0,0055
0,0001
0,0354



0,0039
1

Příklad – sell short povolen
cenný papír i




1
0,0200
0,0509
0,0010
0,3310
2
0,0375
0,0309
0,0012
0,3770
3
0,0500
0,0209
0,0010
0,3402
4
0,2000
0,0109
0,0022
0,7108
5
0,0250
0,0109
0,0003
0,0889
6
0,0500
-0,0091
-0,0005
-0,1472
7
0,0500
-0,0191
-0,0010
-0,3097
8
0,0500
-0,0241
-0,0012
-0,3909



0,0031
1