Přednáška 6
Vícekriteriální metody
Jana Soukopová
soukopova@econ.muni.cz

Definice – Vícekriteriální hodnocení
oDisciplína operačního výzkumu, která se zabývá analýzou rozhodovacích situací, ve kterých jsou
posuzovány rozhodovací varianty (v našem případě varianty veřejných projektů) ne pouze podle
jednoho, ale podle několika zpravidla navzájem konfliktních kritérií.

Klasifikace vícekeriteriálních úloh
opodle charakteru množiny rozhodovacích variant:
nvícekriteriální hodnocení variant, kdy je množina přípustných variant zadána ve formě konečného
seznamu,
nvícekriteriální programování, kde je množina přípustných variant vymezena souborem podmínek, které
rozhodovací varianty musí splňovat, aby byly přípustné.
o

Popis vícekriteriálních rozhodovacích situací
o Vícekriteriální rozhodovací problémy jsou popsány množinou variant, množinou hodnotících kritérií
a řadou vazeb mezi kritérii a variantami, které umožní definovat hodnotící funkce a metodou výběru
což umožňuje formulovat vícekriteriální matematický model.
o

Formulace úlohy vícekriteriální analýzy
oje dán:
nseznam variant A = {a1, a2, ..., an}
nseznam hodnotících kritérií
n K = {k1, k2, ... , kk}
nkaždá varianta ai,i = 1, 2, …, n je podle těchto kritérií popsána vektorem kriteriálních hodnot
(yi1,  yi2, …, yik).
núloha vícekriteriálního hodnocení variant je pak vyjádřena ve tvaru kriteriální matice:
n Y = (yij)

Kriteriální matice rozhodování
o
o
o
o
o
o
oKde yik je hodnocení i-té varianty projektu podle k-tého kritéria
oPro zjednodušení předpokládáme že všechna kritéria jsou maximalizační

Cíl vícekriteriálního hodnocení
oCílem metody výběru je najít variantu aopt resp. množinu D variant, které by podle všech kritérií
dosáhly co nejlepšího ohodnocení (tedy nejvyšších hodnot kritérií), přičemž jako nejlepší varianta
aopt může být vyhodnocena pouze některá nedominovaná varianta.

Dominovaná a nedominovaná varianta
oNedominovanou varianta
nProjekt, ke kterému neexistuje v množině variant (projektů) jiná varianta, lépe hodnocená alespoň
podle jednoho kritéria a ne hůře podle ostatních kritérií.
oDominovaná varianta
nOpačný případ, a říkáme, že ji „lepší“ varianta z uvedené definice dominuje.

Výběr nejlepší varianty
oNejlepší varianta
nMáme-li vybrat pouze jednu nejlepší variantu, musíme pomocí metody (funkce) výběru vybírat jen z
množiny D variant nedominovaných.
oÚplné řešení
nÚplným řešením matematického modelu vícekriteriálního hodnocení variant je množina nedominovaných
variant D tato množina však může být značně rozsáhlá a může být i totožná s původní množinou všech
variant A.

Ideální a bazální varianta
oIdeální varianta
nTeoreticky nejlepší varianta
nVarianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepší možné hodnoty, se nazývá ideální varianta I
= (I1, I2, ..., Ik)
oBazální varianta
nteoreticky nejhorší varianta
nvarianta, která má všechny hodnoty kritérií na nejnižším stupni se nazývá bazální varianta B =
(B1, B2, ..., Bk)
oIdeální i bazální varianta jsou v hodnocení více-méně hypotetickými variantami

Vyjádření hodnot kritérií
oHodnocení variant podle jednotlivých kritérií může být v různých jednotkách a různých měřítcích.
oDůležitá je potom transformace vstupních informací na srovnatelné jednotky, umožňující agregaci
podle všech kritérií.
oTo umožňují stupnice a škály, které patří mezi nejjednodušší metody vícekriteriálního hodnocení.

Stupnice a škály
onominální (binární) stupnice,
oordinální stupnice,
nklasifikační,
nbodovací.
okardinální číselná stupnice
nintervalová
npoměrová
oSpeciální (expertní) stupnice a škály
nLikertova stupnice,
nsémantická diferenční stupnice,
nnumerická hodnotící stupnice,
npořadová stupnice, apod

Nominální stupnice
ozaložena na operaci shody či neshody (rozdílu), která je vymezena binární logickou hodnotou 1
(shoda), resp. 0 (neshoda).
oNedostatkem hodnocení
nnení měřena preference jednotlivých kritérií ani nejsou uvažovány váhy jednotlivých kritérií,
přičemž nelze předpokládat, že by tyto váhy byly identické.

Příklad
oPro hodnocení tří variant projektů a1, a2, a3 skladu nebezpečných odpadů byly zvoleny následující
kritéria:
nk1  kapacita nad 1 tunu NO,
nk2 dvojité dno,
nk3  manipulační prostředky,
nk4  mechanická váha,
nk5  nádoby pro více než 10 různých druhů NO.
n Hodnocení jednotlivých projektů pomocí binární stupnice je v následující kriteriální matici:
o
o
o
o
o
o
o
o.

Ordinální stupnice
očástečně překonávají výše uvedené slabiny
ouspořádávají kritéria od nejvíce důležitého po nejméně důležité.
oPoužívají se:
nklasifikační stupnice, která jednotlivá kritéria hodnotí pomocí známkování (např. 1 – 5, kde 1 =
nejlepší hodnota a 5 = nejhorší hodnota)
nbodovací stupnice, která jednotlivá kritéria ohodnocuje v rámci dané škály (např. 1 – 10, kde 1 =
nejhorší hodnota, 10 = nejlepší hodnota).
oHodnoty kritérií však vypovídají pouze o pořadí kritérií, nikoli o intenzitě preferencí.

Příklad
o Na základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu vodní větrné
elektrárny. Tato lokalita bude vybrána podle čtyř kritérií.
ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu elektrárny - max
ok2 Celkový objem (v MW) - max
ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mil. Kč) - min
ok4 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků
pro obyvatelstvo) - max
o Krajskému úřadu se přihlásily 4 projekty, které byly ohodnoceny podle uvedených kritérií.
Proveďte hodnocení a výběr metodou váženého součtu. Hodnocení expertů vidíte v kriteriální matici:

Příklad
o Ohodnoťte tyto projekty podle bodovací stupnice ve škále 1-100
o
o
o
o
o
oCelkové ohodnocení projektů
o 340, 326, 355, 314 – pořadí a3, a1, a2, a4

Příklad
o Ohodnoťte tyto projekty podle klasifikační stupnice ve škále 1-4
o
o
o
o
o
oCelkové ohodnocení projektů
o 9, 9, 7, 8 – pořadí a3, a4, a2 a zároveň a1

Kardinální číselná stupnice
ostupnice intervalová,
npro posuzování projektů jsou zvolena kvantitativní kritéria.
nJako základní operace jsou používány shoda (=) a různost (<>).
nV intervalové stupnici určujeme měřící jednotky a počátek.
ostupnice poměrová,
npočátek měřené vlastnosti je dán přirozeným počátkem měřené veličiny.

Likertova stupnice
oV případě, že kritéria nelze kvantifikovat, je možné použít přístup zohledňující „Fuzzy“
matematický přístup. Ten reprezentuje např. tzv. Likertova stupnice
o
o
o
o
o
o
o
Hodnota
Hodnocení
1
vůbec nesouhlasím
2
nesouhlasím
3
ani souhlas, ani nesouhlas
4
souhlasím
5
zcela souhlasím

Výhody a nedostatky stupnic a škál
oK jejich výhodám patří poměrně relativní jednoduchost při hodnocení alternativ.
oK nevýhodám patří, že tyto postupy nerozlišují  mezi důležitostí jednotlivých kritérií. Snad jen
při použití intervalové stupnice můžeme z rozdílu hodnot mezi dvěma alternativami usuzovat na
velikost preference.

Vyjádření preferencí mezi kritérii
oInformace o důležitosti kritérií může být vyjádřena ve tvaru:
naspiračních úrovní kritérií, tj. hodnot požadovaných pro akceptovaní rozhodnutí
o= nejnižší hodnoty, kterých by v nejhorším případě měla varianta hodnocená podle jednotlivých
kritérií dosáhnout. Varianty které dosáhnou alespoň požadované aspirační úrovně se nazývají
akceptovatelné varianty, ostatní varianty jsou neakceptovatelné.
nv ordinální formě pořadím důležitosti kritérií,
oStupnice a škály
nv kardinální podobě pomocí vah kritérií.

Váhy
odůležitosti jednotlivých kritérií vyjadřujeme pomocí vektoru vah kritérií v (přičemž platí, že čím
je kritérium významnější (resp. důležitější), tím je i jeho váha větší):
o
o    v = (v1,v2,...,vk) ,          vi = 1 , vi ³ 0

Metody stanovení vah
oMetoda pořadí
oBodovací metoda
oMetoda párového srovnávání kritérií (Fullerova trojúhelníku)
oSaatyho metoda
o
o

Metoda pořadí
ovyžaduje od hodnotitele pouze uspořádání kritérií podle důležitosti.
onejdůležitějšímu kritériu je přiřazena hodnota k (k je počet kritérií), druhému kritériu k-1 a
nejméně důležitému 1.
oOznačíme-li hodnotu přiřazenou i-tému kritériu symbolem pi, potom lze odhad váhy tohoto kritéria
získat pomocí následujícího vztahu (1):
o
o                                     kde

Metoda pořadí
oU projektu nákupu nových aut zvažujeme 3 kritéria, kterým přiřadíme hodnoty dle důlžitosti
nk1  Cena p1 = 3
nk2  Rychlost p2 = 1
nk3  Spotřeba p3 = 2
oDle metody pořadí stanovíme váhy
o
o kde
o
o
o
o
o
o

Bodovací metoda
ovychází z kvantitativního ohodnocení důležitosti kritérií pomocí bodovací stupnice (např. od 1 do
10)
očím je kritérium pro rozhodovatele důležitější, tím bude jeho bodové ohodnocení vyšší
oOznačíme-li bodové ohodnocení i-tého kritéria symbolem pi,potom lze odhad vah kritérií získat
podle vztahu (1):
o
o kde

Klasifikace vícekriteriálních metod
oFiala
nmetody s informací o aspiračních úrovních kritérií,
nmetody s ordinální informací o kritériích,
nmetody s kardinální informací o kritériích.
oMy budeme používat
nmetody založené na dílčím hodnocení variant,
nmetody založené na párovém srovnávání variant.

Klasifikace metod dílčího hodnocení
ozaleží, zda důsledky variant hodnotíme vzhledem ke kvalitativním či kvantitativním kritériím
oMetody hodnocení na základě kvalitativních kritérií
nBodovací metoda
oMetody hodnocení na základě kvalitativních kritérií
nMetoda váženého součtu
o

Bodovací metoda
oPři této metodě hodnotitel přiřadí jednotlivé variantě určitý počet bodů ze zvolené stupnice
vzhledem k daným kritériím
oČím lépe je daná varianta hodnocena, tím vyšší je její bodové ohodnocení vzhledem k tomuto
kritériu.
oPočet stupňů bodové stupnice závisí na rozlišovací schopnosti hodnotitele, která nemusí být pro
všechna kritéria stejná.

Přiřazení bodů
oMaximální (resp. minimální) počet bodů přiřazený nejlepší (resp. nejhorší) hodnotě kritéria však
musí být pro všechna kritéria stejný.
oNevylučuje se případ, kdy při hodnocení podle některého z kritérií žádná varianta nedosáhne tento
extrémní počet bodů.

Výpočet
o
o
o
o
o
okde
o hi je ohodnocení i-té varianty, i = 1, 2, …, n ,
o yij  jsou hodnoty kriteriální matice Y,
o vj je normovaná váha j-tého kritéria, j = 1,2, …, k
o
ovarianty ai se seřadí tak, že čím je větší hodnota hi, tím více je i-tá varianta preferována.

Zhodnocení bodovací metody
opatří mezi nejjednodušší metody vícekriteriálního hodnocení
orozlišuje mezi důležitostí kritérií
ovhodná pro hodnocení téměř všech veřejných projektů
olze ji doporučit pro hodnocení vzájemně se vylučujících i vzájemně se nevylučujících veřejných
projektů
ozvláště vhodná je pro hodnocení veřejných projektů na základě kvalitativních kritérií.
o

Příklad bodovací metoda
o V rámci OP Infrastruktura posuzujeme čtyři projekty v různých lokalitách. Tyto projekty označíme
a1, a2, a3, a4, takže množina rozhodovacích variant je A = {a1, a2, a3, a4}. Vhodnost projektů
(lokalit) se hodnotí podle následujících pěti kritérií:
o
ok1 vliv na zaměstnanost
ok2 přínos pro životní prostředí
ok3  kvalita technologie
ok4  cena
o
o Experti přiřadili jednotlivým projektům body od 1 – 10 podle zvolených kritérií. Hodnocení  jsou
zřejmé z následující kriteriální matice:
o

Kriteriální matice
o
o

Váhy
oKritériím byly přiřazeny následující váhy
ow1 = 0,2
ow2 = 0,25
ok3  = 0,2
ok4  = 0,35
o

Bodovací metoda
oVyřešte pomocí bodovací metody
o
o
o
o
o

Metoda váženého součtu
oangl. Weight Sum Approach - WSA,
oznámá též pod názvem metoda vážených dílčích pořadí,
ovychází z principu maximalizace užitku, ale předpokládá pouze lineární funkci užitku

Postup výpočtu
oVytvoří se normalizovaná kriteriální matice R = (rij), jejíž prvky získáme z kriteriální matice Y
a jejích řádků odpovídajícím ideální (I) a bazální (B)  variantě pomocí transformačního vzorce:
o
o
o
o
oTato matice již představuje matici hodnot užitku i-té varianty podle j-tého kritéria

Normalizovaná kriteriální matice



Užitek i-té varianty
oPři použití aditivní funkce užitku je potom užitek varianty ai roven:
o
o                                     i = 1, … , n
o
oVarianta, která dosáhne maximální hodnoty užitku je pak vybrána jako „nejlepší“, nebo jsou
projekty jsou seřazeny na základě klesající hodnoty funkce užitku.

Příklad metoda váženého součtu
o Na základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu vodní elektrárny.
Tato lokalita bude vybrána podle šesti kritérií.
ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu elektrárny
ok2 Celkový objem (v MW)
ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč)
ok4 Celkové provozní náklady (v mil Kč)
ok5 Náklady na ŽP (v mil Kč)
ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové    stupnice (tedy minimalizace negativních
důsledků pro obyvatelstvo)

Kriteriální matice
o
o

Převedení minimalizačních kritérií na maximalizační
o
o

Stanovení vah
ow1 = 0,111
ow2 = 0,175
ow3 = 0,286
ow4 = 0,206
ow5 = 0,111
ow6 = 0,1111

Ideální a bazální varianta
oideální varianta:
oI = (70; 95; 8; 7,7; 7; 10)
o
obazální varianta
oB = (35; 55; 0; 0,0; 0; 2).

Normalizovaná kriteriální matice
oPomocí transformačního vzorce
o vytvoříme normalizovanou
o kriteriální matici R.

Dílčí hodnoty užitku
oPomocí vzorce
o   vypočteme dílčí
o hodnoty funkce
o užitku jednotlivých
o variant
ou(a1) = 0,548 u(a2) = 0,443
ou(a3) = 0,532 u(a4) = 0,274
ou(a5) = 0,593 u(a6) = 0,645

Řešení
oNa základě metody váženého součtu byly vypočteny hodnoty dílčích funkcí užitku.
oUspořádáním variant podle hodnot užitku dostáváme pořadí variant:
na6, a5, a1, a3, a2, a4.
oMaximální hodnoty užitku dosahuje varianta a6 a je vybrána jako nejlepší.

Metody párového srovnání variant
oLexikografická metoda
oMetoda AHP
oMetody třídy ELECTRE

Hlavní rozdíl
onezískáme číselné celkové ohodnocení jednotlivých variant, ale výsledkem je pouze rozklad souboru
hodnocených variant na několik indiferenčních tříd a preferenční uspořádání těchto tříd
nvarianty obsažené v každé indiferenční třídě lze považovat za varianty rovnocenné z hlediska
celého souboru kritérií.

Společný rys
ozákladní informace pro stanovení preferenčního uspořádání variant tvoří výsledky párového
srovnávání těchto variant vzhledem k jednotlivým kritériím hodnocení.

Lexikografická metoda
oJednodušší metoda vícekriteriální analýzy.
oPostupně hodnotí varianty podle jednotlivých kritérií v pořadí jejich důležitosti.

Postup metody
oKrok 1
n Uspořádání kritérií podle důležitosti od nejdůležitějšího po nejméně důležité k1, k2, …, kk,
oKrok 2
n Metoda vybírá z množiny variant A, podmnožinu A(1), jejímiž prvky jsou varianty ai, které
dosahují maximální hodnoty podle nejvýznamnějšího kritéria k1.
oKrok 3
n Dále z množiny variant A(1) následně vybíráme podmnožinu variant A(2), jejímiž prvky jsou
varianty aj, které dosahují maximální hodnoty podle druhého nejvýznamnějšího kritéria k2 na množině
variant A(1), atd.

Výpočet
oProces výběru variant končí:
nkdyž některá podmnožina A(i), i = 1, 2, …., k, je jednoprvková, potom je tato varianta považována
za optimální.
nkdyž se projde všemi kritérii k1, k2, …, kk, a podmnožina A(k) obsahuje více variant, které jsou
z hlediska uvažovaných kritérií rovnocenné. Potom se podle nějakého dodatečného kritéria vybere
jedna z nich jako kompromisní varianta.

Využití lexikografické metody
oVe veřejné správě
nMinisterstva
nObecní úřady atd.

Zhodnocení lexikografické metody
očasto využívaná kvůli své jednoduchosti
oŘada nevýhod.
oHlavní nevýhoda
npři hodnocení se současně nepřihlíží k dosaženým hodnotám podle dalších kritérií.
oAby byla použitelná, nesmí existovat žádná vzájemná závislost mezi různými etapami volby, tedy
žádné kritérium nesmí reagovat na utřídění získaná jinými kritérii!!!!

Příklad - Lexikografická metoda
oNa základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu elektrárny na
zpracování bioodpadů, které vznikají v zařízeních veřejného stravování (restaurace, hotely,
jídelny, menzy, školní kuchyně) a podle nového nařízení EU se nesmí dále zpracovávat na masokostní
moučku v kafilériích. Tato lokalita bude vybrána podle šesti kritérií.

Kritéria
ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu bioelektrárny
ok2 Celkový objem (v MW)
ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč)
ok4 Provozní náklady na provoz (v mil Kč)
ok5 Přepravní náklady na svoz bioodpadů (v mil Kč)
ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků
pro obyvatelstvo)

Kriteriální matice



Seřazení kritérií podle důležitosti
ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč) – max 7 mld Kč.
ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků
pro obyvatelstvo) – min 7
ok2 Celkový objem (v MW) – min 70 MW
ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu bioelektrárny – min 40 osob
ok4 Provozní náklady na provoz (v mil Kč) – max 5 mil.
ok5 Přepravní náklady na svoz bioodpadů (v mil Kč) - max 8 mil. Kč
o

Množina A1
oZde je první výběr podle nejdůležitějšího kritéria


Množina A2 a A3
oZde je výběr podle druhého nejdůležitějšího kritéria
o
o
oA následně podle třetího nejdůležitějšího kritéria

Další postup a řešení
oPodle dalšího kritéria se nám množina nezmění, tedy
o
o
oPodle dalšího kritéria je již množina jednoprvková
o
o

Příklad č. 4
o     Město pro vybudování skládky komunálního odpadu obdrželo čtyři projekty v různých lokalitách.
Tyto projekty označíme a1, a2, a3, a4, takže množina rozhodovacích variant je A = {a1, a2, a3, a4}.
Vhodnost projektů (lokalit) se hodnotí podle následujících pěti kritérií:
o
ok1 rozloha půdy, kterou bude nutné vykoupit (v hektarech)
ok2 investiční náklady (v mil. Kč)
ok3  negativní důsledky pro obyvatelstvo (ve stupnici 1=velmi negativní, 2=značné, 3=znatelné,
4=nepatrné)
ok4  negativní vlivy na vodní hospodářství (ve stejné stupnici jako u kritéria k3
ok5  doba předpokládaného provozu (v letech životnosti)
o
o Údaje o jednotlivých projektech podle zvolených kritérií jsou zřejmé z následující kriteriální
matice:

Kriteriální matice
o
o

Převod minimalizačních kritérií na maximalizační
oV uvedené kriteriální matici jsou kritéria k1 a k2 stanovena jako minimalizační. Proto zavedeme
pro k1a k2 nové stupnice. Kdy kritérium k1 vyjádříme ve formě úspory půdy ve srovnání s nejhorší
variantou a kritérium k2 ve stupnici udávající úspory na investičních nákladech ve srovnání
s nejhorší variantou. Dostáváme pak upravenou kriteriální matici Y´:

Nová kriteriální matice Y´
o
o
o
o
o
o
oPodle údajů v této matici varianta a1 dominuje a2 a a4, varianta a3 dominuje a2 a a4. Varianty
a1 a a3  jsou vzájemně nedominované, podobně jako a2 a a4. Úplným řešením je v tomto případě  D =
{a1, a3}.