Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Usporádanou n-ticireálných ccísel a1,..., an nazveme vektorem,
Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Uspořádanou n-ticireálných Čísel a1,..., an nazveme vektorem, píšeme a = (ai,..., an), potom a nazveme řádkovým vektorem
Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Uspořádanou n-ticireálných čísel ai,..., an nazveme vektorem, píšeme a = (ai,..., an), potom a nazveme řádkovým vektorem nebo
a=
ai
an
, potom a nazveme sloupcovým vektorem.
Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Uspořádanou n-ticireálných čísel ai,..., an nazveme vektorem, píšeme a = (a1,..., an), potom a nazveme řádkovým vektorem nebo
1ai ,
, potom a nazveme sloupcovým vektorem.
a=
an
Uspořádanou m • n-ticireálných čcísel zapsaných do obdélníkového schématu
a21      a22      . . . a2n
A = I .1 nazveme maticí typu (m, n). Chceme-li
\ am1     am2     . . .     amn /
zdůraznit typ matice, píšeme A(mn).
Operace s maticemi
Příklad : Vyrábí-lifirma ve dvou závodech Z1, Z2 tři různé výrobky V , V2, V3, můžeme množství teechto výrobků v jednotlivých závodech zapsat do matice A typu (2,3). Píšeme A = (a,y), kde a,y je množství j-tého výrobku vyrábeené v /- tém závode, například
A = ( 1 2 1 Z A    l 3   0   5 )
Operace s maticemi
Příklad : Vyrábí-lifirma ve dvou závodech Z, Z2 tři různé výrobky V , V2, V3, mužeme množství teechto výrobku v jednotlivých závodech zapsat do matice A typu (2,3). Píšeme A = (a,y), kde a,y je množství j-tého výrobku vyrábeené v /- tém závode, například
A        Í   o       2       ir ^
Matice mužeme násobit reálným císlem.
Příklad : Vyjadřuje - limatice A z predchozího príkladu denní produkci, pak matice
3   0 5
B = 5 A
5 i5
i0 0
5
25
vyjadřruje peřtidenní produkci.
Operace s maticemi
Příklad : Vyrábí-lifirma ve dvou závodech Z, Z2 tři různé výrobky V , V2, V3, mužeme množství teechto výrobku v jednotlivých závodech zapsat do matice A typu (2,3). Píšeme A = (a,y), kde a,y je množství j-tého výrobku vyrábeené v /- tém závode, například
A        Í   o       2       ir ^
Matice mužeme násobit reálným císlem.
Příklad : Vyjadřuje - limatice A z predchozího príkladu denní produkci, pak matice
3   0 5
produkci.
Matice stejných typu mužeme scítat.
Příklad : Matice
i2 0
6
30
vyjadrřuje šestidenní produkci.
Operace s maticemi
Transponovaná matice
Zameníme-liv maticiA = (a,y) úlohu rádku a sloupců, dostaneme maticik ní transponovanou, píšeme AT = (ayy)
6 18
Příklad : Pro maticiB z předchozího příkladu platí BT = |  12 0
6 30
Operace s maticemi
Transponovaná matice
Zameníme-liv maticiA = (a,y) úlohu řádkij a sloupců, dostaneme maticik ní transponovanou, píšeme AT = (ayy)
/ 6 18
Příklad : Pro maticiB z předchozího příkladu platí BT = í  12 0
\  6 30
Matice "navazujících typuj" mužeme násobit
Příklad : Předpokládejme, že naše firma má tri odbeeratele O1,02,03. Uvažujme maticiC = (Cj), i, j = 1, 2,3, která vyjadřuje cenu zaplacenou j-tým odberatelem za i-tý výrobek, napríklad
2  1 2
C = I 3   4 4 5   6 4
Operace s maticemi
Urceme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje ccástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
Operace s maticemi
Urceme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje cástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
V 3   0   5 J
2 1 2
3 4 4 5   6 4
(13 )
Operace s maticemi
Určeme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje cástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
V 3   0   5 J
2 1 2
3 4 4 5   6 4
^ 13   15 ^
Operace s maticemi
Určeme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje cástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
V 3   0   5 J
2 1 2
3 4 4 5   6 4
^ 13   15   14 ^
Operace s maticemi
Určeme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek oj vyjadřuje cástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
( 121 1 3   0 5
2 1 2
3 4 4 5   6 4
( 13   15   14 \
31
Operace s maticemi
Urceme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje ccástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
( 121 Z 305
2 1 2
3 4 4 5   6 4
( 13   15   14 z
31 33
Operace s maticemi
Urceme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje cástku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oj za denní produkcii-tého závodu Z.
D = A C
( 121 ^ 305
2    1 2
344 564
( 13   15   14 \
31  33 26
Operace s maticemi
Urceme maticiD = A • C. Jde o maticitypu (2,3), kde prvek ej vyjadruje cřástku, kterou by zaplatil j-tý odbeřratel Oj za denní produkci i-tého závodu Z .
D = A C
(1 2 M
305
Pozor: A • C = C • A Matice C • A neexistuje
2   1 2
344 564
( 13   15   14 \
31  33 26
Relace mezi maticemi
Matice stejných typu mužeme porovnávat. MezimaticemiA, B existuje nekterá z relací =, >, <, >, < práve tehdy, platí-li stejný vztah pro všechny dvojice prvku matic na odpovídajících pozicích a/,, bj.
Relace mezi maticemi
Matice stejných typu mužeme porovnávat. MezimaticemiA, B existuje nekterá z relací =, >, <, >, < práve tehdy, platí-li stejný vztah pro všechny dvojice prvku matic na odpovídajících pozicích aij, bj.
Příklad : Rozhodnete, zda jsou v nejaké z relací matice A, B z předchozích příkladů.
Relace mezi maticemi
Matice stejných typu mužeme porovnávat. MezimaticemiA, B existuje nekterá z relací =, >, <, >, < práve tehdy, platí-li stejný vztah pro všechny dvojice prvku matic na odpovídajících pozicích a/,, bj.
Příklad : Rozhodnete, zda jsou v nejaké z relací matice A, B z predchozích príkladu.
Rešení:
1   2 1
305
5 15
10 0
5
25
□        rS1 ~ -
Relace mezi maticemi
Matice stejných typuj mužeme porovnávat. MezimaticemiA, B existuje nekterá z relací =, >, <, >, < práve tehdy, platí-li stejný vztah pro všechny dvojice prvku matic na odpovídajících pozicích a,y, b\\.
Příklad : Rozhodnete, zda jsou v nejaké z relací matice A, B z predchozích príkladu.
Rešen'^ 3   O   5    <     15    0 25
Systémy lineárních rovnic
Systémem m lineárních algebraických rovnic o n neznámých z reálného oboru x1, x2,..., xn rozumíme zápis
anX1 +a12X2 +... +amXn = b a21X1    +a22X2   +...   +a2nXn   = b2
am1 X1    + am2X2   + . . .    + amnXn   = bm
Systémy lineárních rovnic
Systémem m lineárních algebraických rovnic o n neznámých z reálného oboru x1, x2,..., xn rozumíme zápis
anxi +ai2X2 +... +amXn = bi a2iXi    +a22X2   +...   +a2nXn   = b2
am1 x1     + am2X2    + . . .     + amnxn    = bm
Maticovým zápisem soustavy rovnic rozumíme vztah A • x = b ,
Systémy lineárních rovnic
Systémem m lineárních algebraických rovnic o n neznámých z reálného oboru x1, x2,..., xn rozumíme zápis
a^X1 +a12X2 +... +amXn = b a21X1    +a22X2   +...   +a2nXn   = b2
am1 x1     + am2X2    + . . .     + amnxn    = bm
Maticovým zápisem soustavy rovnic rozumíme vztah A • x = b , kde matici
a11 a12 . . . a1 n a21    a22    . . . a2n
A
nazýváme maticí soustavy,
am1     am2    . . . amn
Systémy lineárních rovnic
x =
/ X1
| Xn
b1
bn
, je vektor neznámých
, je vektor pravých stran.
□        rS1 ~ -
b
Systémy lineárních rovnic
x =
b
/ bi
, je vektor neznámých
, je vektor pravých stran.
Matici(A|b) soustavy.
a21 a22
am
bi \
b2
nazýváme rozšířrenou maticí
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých
x1 +     2x2    - 3x3 =5 2x1+   4x2+     X3 =3
Urcřete matici, rozšířrenou matici soustavy a vektor pravých stran.
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých
x1 + 2x2 - 3x3 =5 2x1+   4X2+     X3 =3
Urcete matici, rozšírenou maticisoustavy a vektor pravých stran.
1 2 -3
2 4 1
Řešení: A
Rešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých
x1 + 2x2 - 3x3 =5 2xi+   4x2+     x3 =3
Urcete matici, rozšířenou maticisoustavy a vektor pravých stran. 2   4    1     ,b = 3
Rř ešení: A
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých
x1 + 2x2 - 3x3 =5 2x1+   4x2+     X3 =3
Urcřete matici(, rozšírřenou mzatici sou(stavyza vektor pr(avých stran.
5
Řešení: a=( 1 4 f v b = ( 3v      1 4 f
3
)
Rešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých
x1 + 2x2 - 3x3 =5 2xi+   4x2+     X3 =3
Urcete matici, rozšířenou maticisoustavy a vektor pravých stran.
Rešení: A
1 2 -3
2 4 1
b
(A|b)
1 2 -3 241
Definice : Vektor c platí A • c = b .
nazveme řrešením soustavy A • x = b, jestliže
)
Řešení systému lineárních rovnic
( ° \     ( 4 V
Přiklad: Rozhodnete, zda jsou vektory c = I 1 I, d = I -1 I resenim soustavy z předchozího příkladu.
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Rozhodněte, zda jsou vektory c soustavy z předchozího příkladu.
0
1
-1
4
-1 | rešením -1
Řř ešení:
A c
(2 4 1)
0
1
-1
d
Rešení systému lineárních rovnic
Příklad : Rozhodněte, zda jsou vektory c
soustavy z předchozího příkladu. Rešení:
12-3
0
1
-1
4
-1   | rešením
-1
A c
(2 4ÍM  )=(3)
b,
d
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Rozhodněte, zda jsou vektory c soustavy z předchozího příkladu.
Řešení:
A c
Ad
(2 4-ľ)í  )=(3)
2   4 1
(2 4 1)
0
1
-i
b,
4
-1   | rešením
-1
d
Rešení systému lineárních rovnic
Příklad : Rozhodnete, zda jsou vektory c soustavy z predchozího příkladu.
Rešení:
A c
Ad
(2 4 1) (1 2 1)
0
1
-1
4
-1 -1
(3) ( 35 )
Oba vektory jsou řešením soustavy.
0
1
-1
b,
4
-1   | rešením
-1
d
b
Speciální tvary matic
Libovolnou matici typu (n, n) nazveme cřtvercovou maticí rřádu n.
Speciální tvary matic
Libovolnou maticitypu (n, n) nazveme ctvercovou maticí řádu n.
Pokud má ctvercová matice nenulové prvky jen na hlavní diagonále, nazveme ji diagonální maticí.
/ 5 0
Příklad : A = ( 0 7
00
Speciální tvary matic
Libovolnou maticitypu (n, n) nazveme ctvercovou maticí řádu n.
Pokud má cřtvercová matice nenulové prvky jen na hlavní diagonále, nazveme ji diagonální maticí.
Příklad : A
5	0	0
0	7	0
0	0	-2
Pokud má nenulové prvky jen na a nad hlavní diagonálou, nazveme ji maticí v horním trojúhelníkovém tvaru.
Příklad : B
3 0 4 0 -1 5 0  0 -2
Speciální tvary matic
Libovolnou maticitypu (m, n) nazveme maticí v horním schodovitém tvaru, jestliže
o Všechny případné nulové rádky jsou dole
o Každý nenulový rádek "zacíná více nulaminež predchozí".
Speciální tvary matic
Libovolnou maticitypu (m, n) nazveme maticí v horním schodovitém tvaru, jestliže
o Všechny případné nulové rádky jsou dole
o Každý nenulový rádek "zacíná více nulaminež predchozí".
Příklad : Rozhodnete, které z matic jsou v horním schodovitém tvaru. / 3   2,5    0 \
A
C
0	0	1,5
0	0	-2
V 0	0	0
-4	2	0 8
; 0	0	1 5
0	-1	00
B
	1	3	5	0
	0	0	1	5
	0	0	0	6
v	0	0	0	0
Speciální tvary matic
Libovolnou maticitypu (m, n) nazveme maticí v horním schodovitém tvaru, jestliže
Všechny prřípadné nulové řrádky jsou dole
o Každý nenulový rádek "zacíná více nulaminež predchozí".
Příklad : Rozhodnete, které z matic jsou v horním schodovitém tvaru. / 3   2,5    0 \
A
C
0	0	1,5
I0	0	-2
V 0	0	0
-4	2	08
I0	0	15
0	-1	00
B
/	1	3	5	0
	0	0	1	5
	0	0	0	6
\	0	0	0	0
Speciální matice
MaticiO = (o/,), kde o, = 0, / = 1,..., m, j = 1,..., n, nazveme nulovou maticí typu (m, n). Chceme-lizduraznit typ matice, píšeme O(mn).
Pro libovolnou maticiA(mn) platí A + O = A .
Speciální matice
MaticiO = (Ojj), kde o,y = 0, / = 1,..., m, j = 1,..., n, nazveme nulovou maticí typu (m, n). Chceme-lizduraznit typ matice, píšeme O(mn).
Pro libovolnou maticiA(mn) platí A + O = A .
Diagonální maticiE
10
01
0
0
nazveme jednotkovou maticí.
V 0   0   ... 1 Chceme-lizduraznit rád matice, píšeme En.
Pro libovolné matice B(mn), C(nk) platí B • E = B, E • C = C.
Vektorový prostor
Oznacme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Vektorový prostor
Oznacme Mmn množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mmn spolu s
operacemisccítání matic a násobení matice císlem oznacme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici řádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech uspořádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná ccísla a, p a libovolné vektory a, b, c g Vn platí: • a + b = b + a
Vektorový prostor
Oznacme Mmn množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mmn spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporadaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná ccísla a, p a libovolné vektory a, b, c g Vn platí: a+b=b+a o a + (b + c) = (a + b) + c
Vektorový prostor
Oznacme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná ccísla a, p a libovolné vektory a, b, c g Vn platí: a+b=b+a o a + (b + c) = (a + b) + c • a + 0 = a
Vektorový prostor
Oznacme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Veta : Pro libovolná ccísla a, p a libovolné vektory a, b, c g Vn platí: a+b=b+a o a + (b + c) = (a + b) + c
• a + 0 = a
• existuje -a : -a + a = 0
Vektorový prostor
Oznacme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V prípade, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná císla a, p a libovolné vektory a, b, c g Vn platí: a+b=b+a o a + (b + c) = (a + b) + c
• a + 0 = a
• existuje -a : -a + a = 0
• 1 .a = a
Vektorový prostor
Oznacme Mmn množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mmn spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná císla a, // a libovolné vektory a, b, c g Vn platí:
• a + b = b + a
o a + (b + c) = (a + b) + c
• a + 0 = a
• existuje -a : -a + a = 0
• 1 .a = a
• a.//.a = (a./3).a
Vektorový prostor
Oznacme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V případe, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech uspořádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná ccísla a, // a libovolné vektory a, b, c g Vn platí:
• a + b = b + a
o a + (b + c) = (a + b) + c
• a + 0 = a
• existuje -a : -a + a = 0 1.a=a
• a./3.a = (a./3).a
• (a + //).a = a.a + /.a
Vektorový prostor
Oznacme Mmn množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mmn spolu s
operacemi scřítání matic a násobení matice cříslem oznacřme
Mmn = (Mmn, +, •). V prípade, že m nebo n je rovno 1 a není-linutné
specifikovat, zda pracujeme se sloupcovýmici rádkovýmivektory, používáme
pro množinu Mmn oznaceníRn. (je to množina všech usporádaných n-tic
reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •) nazýváme aritmetický vektorový
prostor.
Věta : Pro libovolná ccísla a, // a libovolné vektory a, b, c g Vn platí:
• a + b = b + a
o a + (b + c) = (a + b) + c
• a + 0 = a
• existuje -a : -a + a = 0 1.a=a
• a.//.a = (a./3).a
• (a + //).a = a.a + /.a
• a.(a + b) = a.a + a.b
Vektorový prostor
Vektorovým (nebo též lineárním) prostorem nazveme strukturu (P," +"," •") pro libovolnou množinu P, pokud na této množine zavedeme operace sccítání a násobení ccíslem tak, aby pro ne bylo splneeno všech osm vlastností z předchozí vety.
Vektorový prostor
Vektorovým (nebo též lineárním) prostorem nazveme strukturu (P," +"," •") pro libovolnou množinu P, pokud na této množine zavedeme operace sccítání a násobení císlem tak, aby pro ne bylo splneno všech osm vlastností z předchozí vety.
Příklad : Prostor všech matic daného typu Mmn = (Mmn, +, •) je také lineárním prostorem.
Lineární kombinace
Jsou-li1 x, 2x,...,mx vektory z Vn a c1, c2,..., cm g R, pak vektor x = c1.1x + c2.2x + ... + cm .mx nazveme lineární kombinací vektoru
1 x, 2x, . . . , mx.
Lineární kombinace
Jsou-li1 x, 2x,...,mx vektory z Vn a c1, c2,..., cm g R, pak vektor x = c1.1x + c2.2x + ... + cm .mx nazveme lineární kombinací vektoru
1 x, 2x, . . . , mx.
Příklad : Je vektor x = (4, -1, 10,12) lineární kombinací vektoru
1x = (1,0,5,7) a2 x = (2,-1,0, -2)?
Lineární kombinace
Jsou-li1 x, 2x,...,mx vektory z Vn a c1, c2,..., cm g R, pak vektor x = c1.1x + c2.2x + ... + cm .mx nazveme lineární kombinací vektoru
1 x, 2x, . . . , mx.
Příklad : Je vektor x = (4, -1, 10,12) lineární kombinací vektoru
1x = (1,0,5,7) a2 x = (2,-1,0, -2)?
Řešení: Koeficienty c1, c2 lineární kombinace musí vyhovovat soustave rovnic 1.c1   +2.c2 =4 0.c1   - 1.c2 =-1 5.c1   + 0.c2 =10 7.c1   - 2.c2 =12
Lineární kombinace
Jsou-li1 x, 2x,...,mx vektory z Vn a c1, c2,..., cm g R, pak vektor x = c1.1x + c2.2x + ... + cm .mx nazveme lineární kombinací vektoru
1 x, 2x, . . . , mx.
Příklad : Je vektor x = (4, -1, 10,12) lineární kombinací vektoru
1x = (1,0,5,7) a2 x = (2,-1,0, -2)?
Řešení: Koeficienty c1, c2 lineární kombinace musí vyhovovat soustave rovnic 1.c1   + 2.c2 =4 0.c1    -1.c2 =-1 5.c1   + 0.c2 =10 7.c1    -2.c2 =12
Zřejme jsou c1 = 2, c2 = 1 rešením této soustavy. Tedy x = 2.1x + 2x
Lineární závislost
Řekneme, že vektory 1x, 2x,..., mx jsou lineárne závislé, jestliže je mezinimi asponř jeden vektor, který je kombinací ostatních. Pokud žádný takový vektor neexistuje, rřekneme, že vektory 1 x, 2x, . . . , mx jsou lineárneř nezávislé.
□ -        - 5-00.0
Lineární závislost
Rekneme, že vektory 1x, 2x,..., mx jsou lineárne závislé, jestliže je mezinimi asponř jeden vektor, který je kombinací ostatních. Pokud žádný takový vektor neexistuje, rřekneme, že vektory 1x, 2x, . . . , mx jsou lineárneř nezávislé.
Příklad :
Vektory x, 1x, 2x z prředchozího přríkladu jsou . . . . Vektory 1x, 2x jsou . . . .
Lineární závislost
Řř ekneme, že vektory 1 x, 2x, . . . , mx jsou lineárneř závislé, jestliže je mezi nimi asponř jeden vektor, který je kombinací ostatních. Pokud žádný takový vektor neexistuje, rekneme, že vektory 1x, 2x,..., mx jsou lineárnee nezávislé.
Příklad :
Vektory x, 1 x, 2x z prředchozího prříkladu jsou . . . lineárneř závislé. Vektory 1 x, 2x jsou . . . lineárneř nezávislé.
Lineární závislost
Rř ekneme, že vektory 1 x, 2x, . . . , mx jsou lineárneř závislé, jestliže je mezi nimi asponř jeden vektor, který je kombinací ostatních. Pokud žádný takový vektor neexistuje, rřekneme, že vektory 1 x, 2x, . . . , mx jsou lineárneř nezávislé.
Příklad :
Vektory x, 1x, 2x z predchozího príkladu jsou ... lineárne závislé. Vektory 1 x, 2x jsou . . . lineárneř nezávislé.
Poznámka : Vektory 1x, 2x,...,mx jsou lineárne nezávislé práve tehdy, když vektorová rovnice c1.1x + c2.2x + ... + cm.mx = 0 má jediné rešení
C1 = 0, C2 = 0,..., Cm = 0.
Vektory jsou lineárneř závislé, existuje-li i jiné než nulové rřešení.
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li1ě, 2ě,..., ně takové vektory z tohoto prostoru, že
jsou lineárneř nezávislé
každý vektor z P lze vyjádrřit jako jejich kombinaci, pak 1 ě, 2ě, . . . , ně nazveme bází prostoru P.
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li1e, 2e,..., ne takové vektory z tohoto prostoru, že
jsou lineárneř nezávislé
každý vektor z P lze vyjádrřit jako jejich kombinaci, pak 1e, 2e, . . . , ne nazveme bází prostoru P.
Příklad : Uvažujme prostor V3 a v nem vektory
a = (1, 0,3), b = (0,1, 2), c = (1, 0,0) a d = (0,0,0).
o tvorí b, c, d báziprostoru V? ... o tvorí b, c báziprostoru V? ... tvorří b, c, a bázi prostoru V? . . .
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li1ě, 2ě,..., ně takové vektory z tohoto prostoru, že
jsou lineárneř nezávislé
každý vektor z P lze vyjádrřit jako jejich kombinaci, pak 1 ě, 2ě, . . . , ně nazveme bází prostoru P.
Příklad : Uvažujme prostor V3 a v nem vektory
a = (1, 0,3), b = (0,1, 2), c = (1, 0,0) a d = (0,0,0).
o tvorí b, c, d báziprostoru V? ... NE! o tvorí b, c báziprostoru V? ... tvořrí b, c, a bázi prostoru V? . . .
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li1ě, 2ě,..., ně takové vektory z tohoto prostoru, že
jsou lineárneř nezávislé
každý vektor z P lze vyjádrřit jako jejich kombinaci, pak 1ě, 2ě, . . . , ně nazveme bází prostoru P.
Příklad : Uvažujme prostor V3 a v nem vektory
a = (1, 0,3), b = (0,1, 2), c = (1, 0,0) a d = (0,0,0).
o tvorí b, c, d báziprostoru V? ... NE! o tvorí b, c báziprostoru V? ... NE! tvořrí b, c, a bázi prostoru V? . . .
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li 1 ě, 2ě, . . . , ně takové vektory z tohoto prostoru, že
jsou lineárneř nezávislé
každý vektor z P lze vyjádrřit jako jejich kombinaci, pak 1 ě, 2ě, . . . , ně nazveme bází prostoru P.
Příklad : Uvažujme prostor V3 a v nem vektory
a = (1, 0,3), b = (0,1, 2), c = (1, 0,0) a d = (0,0,0).
o tvorí b, c, d báziprostoru V? ... NE! o tvorí b, c báziprostoru V? ... NE! o tvorí b, c, a báziprostoru V? ... ANO!
Dimenze lineárního prostoru
V prostoru Vn existuje vždy báze, naprříklad takzvaná kanonická báze:
1ě = (1,0,..., 0) 2ě = (0,1,..., 0)
ně = (0,0,..., 1)
Dimenze lineárního prostoru
V prostoru Vn existuje vždy báze, například takzvaná kanonická báze:
1ě = (1,0,..., 0) 2ě = (0,1,..., 0)
ně = (0,0,..., 1)
Skutecne, nezávislost je zrejmá. Navíc pro libovolný vektor a = (a1, a2,an) g Vn platí a = a1.1ě + a2.2ě + ... + an.ně
Dimenze lineárního prostoru
V prostoru Vn existuje vždy báze, například takzvaná kanonická báze:
1ě = (1,0,..., 0) 2ě = (0,1,..., 0)
ně = (0,0,..., 1)
Skutecne, nezávislost je zrejmá. Navíc pro libovolný vektor a = (a1, a2,an) g Vn platí a = a1.1ě + a2.2ě + ... + an.ně
Poznámka : Každá skupina n lineárne nezávislých vektoru z Vn tvoří bázi. V jakékoliv skupine vektoru z Vn je nejvýše n lineárne nezávislých. Císlo n nazýváme dimenze prostoru Vn.
Hodnost
Je-liX = 1x, 2x,...,mx skupina vektoriů z prostoru P, pak maximální pocet lineárne nezávislých vektoru ve skupine X nazveme hodností X a znacíme h(X).
Hodnost
Je-liX = 1x, 2x,...,mx skupina vektoru z prostoru P, pak maximální pocet lineárne nezávislých vektoru ve skupine X nazveme hodností X a znacíme h(X).
Poznámka : Uvažujme maticiA typu (m, n). Položíme- li za X rádky matice A, pak h(X) nazveme rádkovou hodností A, pro sloupce matice mluvíme o sloupcové hodnosti.
Hodnost
Je-liX = 1x, 2x,...,mx skupina vektoru z prostoru P, pak maximální pocet lineárne nezávislých vektoru ve skupine X nazveme hodností X a znacíme h(X).
Poznámka : Uvažujme maticiA typu (m, n). Položíme- li za X rádky matice A, pak h(X) nazveme řádkovou hodností A, pro sloupce matice mluvíme o sloupcové hodnosti.
Příklad : Urcete řádkovou a sloupcovou hodnost matice
C =
6 -4 2 0 1 0    5    3   1 0
Hodnost
Je-liX = 1x, 2x,...,mx skupina vektoru z prostoru P, pak maximální pocet lineárne nezávislých vektoru ve skupine X nazveme hodností X a znacíme h(X).
Poznámka : Uvažujme maticiA typu (m, n). Položíme- li za X rádky matice A, pak h(X) nazveme rádkovou hodností A, pro sloupce matice mluvíme o sloupcové hodnosti.
Příklad : Urccete rádkovou a sloupcovou hodnost matice
Rešení: Rádky jsou zřejme lineárne nezávislé (anijeden není násobkem druhého), takže rádková hodnost je 2. Sloupcová hodnost je také 2, protože poslední dva sloupce jsou evidentne lineárne nezávislé a ostatní jsou jejich lineární kombinací.
C =
6 -4 2 0 1 0    5    3   1 0
Hodnost
Je-li A matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna řádkové hodnosti, znacíme jih(A).
Hodnost
Je-li A matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna rřádkové hodnosti, znacíme jih(A). Důslěděk : h(A) = h(AT)
Hodnost
Je-liA matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna řádkové hodnosti, znaccíme jih(A). Důslěděk : h(A) = h(AT)
Důslěděk : h(A) < m/n(m, n)
Hodnost
Je-li A matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna rřádkové hodnosti, znacíme jih(A). Důslěděk : h(A) = h(AT)
Důslěděk : h(A) < m/n(m, n)
Příklad : Urcete hodnost matice A
f 6	-4	2	0	1	\
0	5	3	1	0	
0	0	0	3	7	
0	0	0	0	0	/
Hodnost
Je-li A matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna rřádkové hodnosti, znacíme jih(A). Důslěděk : h(A) = h(AT)
Důslěděk : h(A) < m/n(m, n)
-4 2 0 1
5    3 10 0    0   3   7 .
0000
Řř ešení: První trři rřádky jsou evidentneř lineárneř nezávislé, takže hodnost je 3.
Věta : Horní schodovitá matice má hodnost rovnu poctu jejích nenulových rádku.
Příklad : Urccete hodnost matice A
6
0 0 0
Elementární úpravy
Uvažujme matici A typu (m, n). Vytvoříme-li z matice A matici B tak, že
Elementární úpravy
Uvažujme matici A typu (m, n). Vytvorříme-li z matice A matici B tak, že
Vymeřníme navzájem dva libovolné řrádky matice a zbytek necháme beze zmeřny nebo
Elementární úpravy
Uvažujme maticiA typu (m, n). Vytvoříme-liz matice A maticiB tak, že
Vymeřníme navzájem dva libovolné řrádky matice a zbytek necháme beze zmeřny nebo
jeden řrádek vynásobíme libovolným nenulovým cříslem a ostatní řrádky necháme beze zmeřny nebo
Elementární úpravy
Uvažujme maticiA typu (m, n). Vytvoříme-liz matice A maticiB tak, že
Vymeřníme navzájem dva libovolné řrádky matice a zbytek necháme beze zmeřny nebo
jeden řrádek vynásobíme libovolným nenulovým cříslem a ostatní řrádky necháme beze zmeřny nebo
o k jednomu z rádku matice přicteme libovolný násobek jiného rádku a ostatní necháme beze zmeřny,
Elementární úpravy
Uvažujme matici A typu (m, n). Vytvorříme-li z matice A matici B tak, že
Vymeřníme navzájem dva libovolné řrádky matice a zbytek necháme beze zmeřny nebo
jeden řrádek vynásobíme libovolným nenulovým cříslem a ostatní řrádky necháme beze zmeřny nebo
o k jednomu z rádků matice pricteme libovolný násobek jiného rádku a ostatní necháme beze zmeřny,
pak řrekneme, že B vznikla z A pomocí základních elementárních transformací. Aplikujeme-linekolik techto základních úprav po sobe, rekneme, že B vznikla z A pomocí elementárních transformací a píšeme A ~ B .
Elementární úpravy
Uvažujme matici A typu (m, n). Vytvorříme-li z matice A matici B tak, že
Vymeřníme navzájem dva libovolné řrádky matice a zbytek necháme beze zmeřny nebo
jeden řrádek vynásobíme libovolným nenulovým cříslem a ostatní řrádky necháme beze zmeřny nebo
o k jednomu z rádku matice pricteme libovolný násobek jiného rádku a ostatní necháme beze zmeřny,
pak řrekneme, že B vznikla z A pomocí základních elementárních transformací. Aplikujeme-linekolik techto základních úprav po sobe, rekneme, že B vznikla z A pomocí elementárních transformací a píšeme A ~ B .
Poznámka : Elementární transformace mají široké využití, napřríklad přri urcování hodnostimatice, řešení systému rovnic, hledání inverzní matice ci výpocřtu determinantu.
Elementární úpravy
Příklad : Pomocí elementárních transformací převeďte maticina schodovitý
-4 2 0 1
tvar. A = |   5   3 10 10   3 7
Elementární úpravy
Příklad : Pomocí elementárních transformací převeďte maticina schodovitý
/ -4 2 0 1 tvar. A = (   5   3 10
\ 1 0 3 7 Řešení: Nejprve vymeéníme první a třetí řádek
-4 2 0  1 1   0  3 7
5 3 10 ] - ( -4 2 0 1 1    0   3   7 / V5-310
Elementární úpravy
Příklad : Pomocí elementárních transformací převeďte maticina schodovitý
/ -4 2 0 1 \ tvar. A = (   5   3   1   0  ] .
\ 1 0 3 7 / Řešení: Nejprve vymeéníme první a třetí řádek
Pomocí prvního rádku vynulujeme první ccíslo na ostatních rádcích:
□ -        - 5-OQ.O
Elementární úpravy
Příklad : Pomocí elementárních transformací preveďte maticina schodovitý
/ -4 2 0 1 tvar. A = (   5   3 10
\ 1 0 3 7 Řešení: Nejprve vymeníme první a třetí řádek
-4 2 0  1 1   0  3 7
5   3   10 ] - ( -4   2   0 1 1    0   3   7 /     \ 5    -3   1 0 Pomocí prvního rádku vynulujeme první ccíslo na ostatních rádcích:
1   0   3   7 1   0   3 7
0    2    12   29   ] - (   0    2     12 29
5 -3   1   0 0 -3 -14 -35
Řyní stací pncíst 1, 5-násobek druhého řádku ke tretímu.
1   0   3    7 1  0   3 7
0 2 12 29 ] - ( 0 2 12 29 0   -3   -14   -35 /     \ 0   0    4 8,5
Elementární úpravy a hodnost matice
Věta : Elementární transformace nemení hodnost matice.
Pro matici A
-4   2   0 1
5310
10   3 7
z predchozího príkladu platí h(A) = 3.
Přri rřešení úlohy urcření hodnosti vždy nejprve přrevedeme matici pomocí elementárních úprav do schodovitého tvaru a potom urcříme hodnost jako pocet nenulových rádku.
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je (číslo znacené |A| definované jako
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je (číslo znacené |A| definované jako
o a11 pro n = 1
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je (číslo znacené |A| definované jako
o a11 pro n = 1
o a11.a22 - a12.a21 pro n = 2
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je (číslo znacené |A| definované jako
o au pro n = 1
o a11.a22 - a12.a21 pro n = 2
• a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13—
-(a31 .a22.a13 + au .a32.a23 + a21 .a12.a33)
pro n = 3 ... souciny ve smeru diagonál: tzv. Sarrusovo pravidlo
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je císlo znacené |A| definované jako
o a11 pro n = 1
o a11.a22 - a12.a21 pro n = 2
• a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13-
-(a31 .a22.a13 + a11 .a32.a23+ a21 .a12.a33)
pro n = 3 ... souciny ve smeru diagonál: tzv. Sarrusovo pravidlo
o pro n > 4 neexistuje obdoba Sarrusova pravidla, determinant definujeme pomocí rozvoje podle prvního rřádku jako
an.|An| - a^.|A^| + a13.|A131 - a14.|A14|(+...),
kde A/, je submatice, která vznikne z A vypuštením /-tého rádku a j-tého sloupce.
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
i «    .   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0 2 3 5 4 0   2 1
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
□ rS1 ~ -
Determinant matice
Poznámka : Obdobným způsobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádků.
Věta : Pro každoů čtvercovou matičiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloůpčů)
Příklad : Vypočítejte determinanty
2 7
3 5
Rešení:
1	0	2
3	5	4
0	2	1
2
3
7 5
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
i «    .   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Veta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
2 7
3 5
Rešení:
1	0	2
3	5	4
0	2	1
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
2
3
7 5
2.5-3.7 = -11
Determinant matice
Poznámka : Obdobným způsobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádků.
Věta : Pro každoů čtvercovou matičiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloůpčů)
Příklad : Vypočítejte determinanty
i «    «   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného řrádku.
Věta : Pro každou cctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
i «    .   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
=1 .5.1
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného řrádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
i «    .   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
I I I 2  1  -3 0 I
27 35
10
35 02
2 4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = - 11
1    0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného řrádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
i «    .   „ i I 2    1    -3    0 I
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2 -0.5.2
Determinant matice
Poznámka : Obdobným způsobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádků.
Věta : Pro každoů čtverčovoů matičiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloůpčů)
Příklad : Vypočítejte determinanty
i «    «   „ i I 2    1    -3    0 I
27 35
10
35 02
2 4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2 -0.5.2 -1.2.4
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Veta : Pro každou (čtvercovou matičiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupču)
Příklad : Vypočítejte determinanty
| | | 2  1  -3 0 |
2 7
3 5
1 0
35
02
2
4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5-3.7 = -11
1    0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2 -0.5.2 -1.2.4 -3.0.1
Determinant matice
Poznámka : Obdobným způsobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádků.
Věta : Pro každoů čtverčovoů matičiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloůpčů)
Příklad : Vypočítejte determinanty
i i i 2  1  -3 0 i
27 35
10
35 02
2 4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5 3.7 = 11
1   0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2 -0.5.2 -1.2.4 -3.0.1 = 9
Determinant matice
Poznámka : Obdobným zpusobem lze poccítat determinant rozvojem podle jiného rádku.
Věta : Pro každou ctvercovou maticiA platí: |A| = |AT| (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
I I I 2  1  -3 0 I
27 35
10
35 02
2 4
0 4 0
-2
5
0
0
-1 0 5
Rešení:
27 35
2.5 3.7 = 11
1   0 2
354 021
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2 -0.5.2 -1.2.4 -3.0.1 = 9
Výpocet determinantu rozvojem
2 1-30 0-2 0-1
4 110
0 5    0 5
□ rS1 ~ -
Výpocet determinantu rozvojem
2 1   -3 0
0 -2  0 -1
4 110
0 5    0 5
-2 0 -1 110 505
□        rS1 ~ -
Výpocet determinantu rozvojem
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
-2 0 -1 110 505
0 0 -1 4 1 0 0 0 5
Výpocet determinantu rozvojem
2 1 -3 0 0 -2 0 -1 4   1   1 0
0    5    0 5
0   -2 -1
+(-3). | 4    1 0
0    5 5
-2 0 -1 110 505
0 0 -1 4 1 0 0 0 5
Výpocet determinantu rozvojem
2 1 -3 0 0 -2 0 -1 4 1 1 0 0  5I  0 5
I 0 -2 -1
+(-3). 1 4    1 0
I 0  5 5
-2 0 -1 110 505
0 -2 0 4 1 1 050
0 0 -1 4 1 0 0 0 5
Výpocet determinantu rozvojem
2 1 -3 0 0 -2  0 -1
4 110
0    5    0 5
I 0 -2 -1
+(-3). 1 4    1 0
I 0  5 5
-2 0 -1 110 505
0 -2 0 4 1 1 050
0 0 -1 4 1 0 0 0 5
-70
Výpočet determinantů rozvojem
2 1 -3 0 0 -2  0 -1
4 110
0    5    0 5
i 0 -2 -1
+(-3). 1 4    1 0
i 0  5 5
	-2	0	-1		0	0	-1
= 2.	1	1	0	-1.	4	1	0
	5	0	5		0	0	5
0 -2 0 4 1 1 050
-70
Věta : Determinant matice v horním trojúhelníkovém tvaru je roven součinu jejích diagonálních členU.
Příklad :
7 0-1
0 1 4 0 0 5
Výpocet determinantu rozvojem
2 1-30 0-2 0-1 4 110 0    5    0 5
0   -2 -1 +(-3). | 4    1 0 0    5 5
	-2	0	-1		0	0	-1
= 2.	1	1	0	-1.	4	1	0
	5	0	5		0	0	5
0 -2 0 4 1 1 050
-70
Věta : Determinant matice v horním trojúhelníkovém tvaru je roven součinu jejích diagonálních členU.
Příklad :
7 0-1
0 1 4 0 0 5
7.1.5 = 35
Výpočet determinantu rozvojem
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
		0	-2
+(-	3).	4	1
	-2	0	-1		0	0	-1
= 2.	1	1	0	-1.	4	1	0
	5	0	5		0	0	5
0
0  5 5
0 -2 0 4 1 1 050
-70
Věta : Determinant matice v horním trojúhelníkovém tvaru je roven součinu jejích diagonálních členU.
Příklad :
7 0-1
0 1 4 0 0 5
7.1.5 = 35
Poznámka : Privýpočtu determinantu lze pomočí elementárních úprav převést matičina schodovitý tvar. Pozor, nekteré transformace mení hodnotu determinantu!
□ -        - 5-OQ.O
Výpočet determinantu pomočí elementárních úprav
Jestliže matiče B vznikne z matiče A pomočí základní elementární transformače
Výpocet determinantu pomocí elementárních úprav
Jestliže matice B vznikne z matice A pomocí základní elementární transformace
• výmena rádku, pak |B| = —|A|
Výpocet determinantu pomocí elementárních úprav
Jestliže matice B vznikne z matice A pomocí základní elementární transformace
• výmena rádku, pak |B| = -|A|
• vynásobení jednoho řádku císlem a, pak |B| = a.|A|
Výpočet determinantů pomočí elementárníčh úprav
Jestliže matiče B vznikne z matiče A pomočí základní elementární transformače
• výmena rádků, pak |B| = -|A|
• vynásobení jednoho řádků číslem a, pak |B| = a.|A|
• přičtením jednoho rádků k jinémů, pak |B| = |A|
Výpocet determinantu pomocí elementárních úprav
Jestliže matice B vznikne z matice A pomocí základní elementární transformace
• výmena řádkuj, pak |B| = -|A|
• vynásobení jednoho řádku císlem a, pak |B| = a.|A|
• přictením jednoho rádku k jinému, pak |B| = |A|
Příklad : Urccete hodnotu determinantu matice z předchozího príkladu pomocí elementárních úprav.
2	1	-3	0		2	1	-3	0		2	1	-3	0 ||
0	-2	0	-1		0	-2	0	-1		0	-1	7	0 ||
4	1	1	0		0	-1	7	0		0	-2	0	-1 ||
0	5	0	5		0	5	0	5		0	5	0	5|
Výpočet determinantů pomočí elementárníčh úprav
Jestliže matiče B vznikne z matiče A pomočí základní elementární transformače
• výmena rádků, pak |B| = -|A| vynásobení jednoho rřádků čříslem a, pak |B| = a.|A|
prřičřtením jednoho řrádků k jinémů, pak |B| = |A|
Příklad : Určete hodnotů determinantů matiče z předčhozího příkladů pomočí elementárníčh úprav.
2	1	-3	0		2		1	-3	0				2	1	-3	0
0	-2	0	-1		0		-2	0	-1				0	-1	7	0
4	1	1	0		0		-1	7	0				0	-2	0	-1
0	5	0	5		0		5	0	5				0	5	0	5
	2	1	-3	0				2	1		-3		0			
	0	-1	7	0				0	-1		7		0			
	0	0	-14	-1				0	0	-14			-1			
	0	0	35	5				0	0		0	2,5				
Výpocet determinantu pomocí elementárních úprav
Jestliže matice B vznikne z matice A pomocí základní elementární transformace
• výmena rádku, pak |B| = -|A|
• vynásobení jednoho řádku císlem a, pak |B| = a.|A|
• přictením jednoho rádku k jinému, pak |B| = |A|
Příklad : Urccete hodnotu determinantu matice z předchozího príkladu pomocí elementárních úprav.
2	1	-3	0		2		1	-3	0				2	1	-3	0
0	-2	0	-1		0		-2	0	-1				0	-1	7	0
4	1	1	0		0		-1	7	0				0	-2	0	-1
0	5	0	5		0		5	0	5				0	5	0	5
	2	1	-3	0				2	1		-3		0			
	0	-1	7	0				0	-1		7		0		-70	
—	0	0	-14	-1		=	—	0	0				-1	=		
										-14						
	0	0	35	5				0	0		0	2,5				
Inverzní matice
Čtvercovou maticiA, pro kterou platí |A| = 0 , nazveme regulární.
V opaCném případe, tedy má-linulový determinant, jinazveme singulární.
Inverzní matice
Čtvercovou maticiA, pro kterou platí |A| = 0 , nazveme regulární.
V opacném případe, tedy má-linulový determinant, jinazveme singulární.
Věta : Jestliže je A regulární matice, pak existuje matice B, pro niž platí A.B = B.A = E .O maticiB říkáme, že je inverzní k maticiA. Matice B je
urcena jednoznaccně, znaccíme jiA-1 .
□ -        - 5-OQ.O
Inverzní matiče
Ctverčovoů matičiA, pro kteroů platí |A| = 0 , nazveme regůlární.
V opačném případe, tedy má-linůlový determinant, jinazveme singůlární.
Věta : Jestliže je A regůlární matiče, pak existůje matiče B, pro niž platí A.B = B.A = E .O matičiB ríkáme, že je inverzní k matičiA. Matiče B je
ůrčena jednoznačne, značíme ji A-1 .
Příklad : Overte, zda je matiče B
3 1 5 2
inverzní
k matiči
A=
2 -1 -5 3
Inverzní matice
Čtvercovou maticiA, pro kterou platí |A| = 0 , nazveme regulární.
V opaCném případe, tedy má-linulový determinant, jinazveme singulární.
Veta : Jestliže je A regulární matice, pak existuje matice B, pro niž platí A.B = B.A = E .O maticiB říkáme, že je inverzní k maticiA. Matice B je
urccena jednoznacne, znaccíme ji A-1 Příklad : Overte, zda je matice B =
3 1 5 2
inverzní k matici
A
2 -1 -5 3
Rešení:
B.A=
31
52
-25 -31 = 01 01
)
Inverzní matice
Čtvercovou maticiA, pro kterou platí |A| = 0 , nazveme regulární.
V opaCném případe, tedy má-linulový determinant, jinazveme singulární.
Věta : Jestliže je A regulární matice, pak existuje matice B, pro niž platí A.B = B.A = E .O maticiB říkáme, že je inverzní k maticiA. Matice B je
urccena jednoznacne, znaccíme ji A-1 Příklad : Overte, zda je matice B =
A
Rešení:
B.A= A.B =
2 -1 -5 3
3 1
52 2 -1 -5 3
M
2 -1 -5 3 31 52
31
52
10 01 10 01
inverzní k matici
)
Přímé rešení systému rovnič pomočí inverzní matiče
Je-liA.x = b systém rovnič s regulární matičí soustavy A, pak má jediné řešení x = A-1 .b .
□ -        - 5-OQ.O
Přímé rešení systému rovnic pomocí inverzní matice
Je-liA.x = b systém rovnic s regulární maticí soustavy A, pak má jediné řešení x = A-1 .b .
Příklad : Najdete rešení systému pomocí inverzní matice.
2x1 -x2 = 2 -5x1   +3x2 =-3
□ -        - 5-00*0
Přímé rešení systému rovnic pomocí inverzní matice
Je-liA.x = b systém rovnic s regulární maticí soustavy A, pak má jediné řešení x = A-1 .b .
Příklad : Najdete rešení systému pomocí inverzní matice.
2x1 -x2 = 2 -5x1   +3x2 =-3
"      -25 -3),b=(!)■
31
52
Rešení: Matice soustavy je A = ^ Z predchozího príkladu víme, že A-1
Prřímé řrešení systému rovnič pomočí inverzní matiče
Je-li A.x = b systém rovnič s regulární matičí soustavy A, pak má jediné rešení x = A-1 .b .
Příklad : Najdete rešení systému pomočí inverzní matiče.
2x1 -x2 = 2 -5x1   +3x2 =-3
" 2 -1
-5 3
31
5 2)(-l) = (ť'5 2
= 2 = P1, L2 = -5 • 3 + 3 • 4 = -3 = P2
Řešení: Matice soustavy je A = ^
Z předchozího příkladu víme, že A-1
takže x = ZK: Li = 2 • 3 - 4
b
2 -3
Přímé rešení systému rovnic pomocí determinantu
Čramerovo pravidlo:
Je-liA regulární matice rádu n a b vektor pravých stran, pak rešení systému A.x = b je urceno jednoznaccně a platí x, = |A|,' = 1,..., n, kde matice B, vzniknou z A nahrazením i-tého sloupce vektorem b.
□ -        - 5-00.0
Přímé rešení systémů rovnič pomočí determinantů
Cramerovo pravidlo:
Je-liA regůlární matiče rádů n a b vektor pravýčh stran, pak rešení systémů
A.x = b je ůrčeno jednoznačne a platí x, = |A|,' = 1,..., n, kde matiče B,
vznikno z A nahrazením i-tého slo pče vektorem b. Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soůstavů rovnič
2x1    -x2 = 4
x1    +3x2   -5 x3 =4 2x2     +x3 =5
Přímé rešení systémů rovnič pomočí determinantů
Cramerovo pravidlo:
Je-liA regůlární matiče rádů n a b vektor pravýčh stran, pak rešení systémů
A.x = b je ůrčeno jednoznačne a platí x, = |A|,' = 1,..., n, kde matiče B,
vznikno z A nahrazením i-tého slo pče vektorem b. Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soůstavů rovnič
2x1    -x2 = 4
x1    +3x2   -5 x3 =4 2x2     +x3 =5
Rešení: A
2 -1 0
1    3   -5  I, b =
0  2 1
Přímé rešení systému rovnic pomocí determinantu
Cramerovo pravidlo:
Je-liA regulární matice rádu n a b vektor pravých stran, pak rešení systému
A.x = b je urceno jednoznaccneé a platí x, = |A|,' = 1,..., n, kde matice B,
vzniknou z A nahrazením i-tého sloupce vektorem b. Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soustavu rovnic
2x1    -x2 = 4
x1    +3x2   -5 x3 =4 2x2     +x3 =5
Rešení: A
2 -1 0
1    3   -5  I, b =
0  2 1
55 j , |A| = 27,
Přímé řešení systému rovnic pomocí determinantů
Cramerovo pravidlo:
Je-liA regulární matice rádu n a b vektor pravých stran, pak rešení systému
A.x = b je urceno jednoznaCne a platí xi = |A|, i = 1,..., n, kde matice Bi
vzniknou z A nahrazením i-tého sloupce vektorem b. Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soustavu rovnic
2X1 -X2
Xl
= 4
+3x2   -5 x3 =4
	2X2	+X3	=5				
	/	2	-1	0			4
Rešení: A = 1		1	3	-5	]	b=	( 4
	V	0	2	1	/		V 5
	24	0			2	-1	4
B2 =	14	-5	, B3	=	1	3	4
	0 5	1			0	2	5
	4	-1	0
|A| = 27, Bi =	4	3	-5
	5	2	1
□       rS1        ~ -
Přímé řešení systému rovnic pomocí determinantů
Cramerovo pravidlo:
Je-liA regulární matice rádu n a b vektor pravých stran, pak rešení systému
A.x = b je urceno jednoznaCne a platí xi = |A|, i = 1,..., n, kde matice Bi
vzniknou z A nahrazením i-tého sloupce vektorem b. Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soustavu rovnic
2X1 -X2
Xl
= 4
+3x2   -5 x3 =4
	2X2	+X3	=5				
	/	2	-1	0			4
FFešení: A = 1		1	3	-5	]	b=	( 4
	V	0	2	1	/		V 5
	24	0			2	-1	4
B2 =	14	-5	, B3	=	1	3	4
	0 5	1			0	2	5
	4	-1	0
|A| = 27, Bi =	4	3	-5
	5	2	1
Tedy xi = 81 /27 = 3, X2 = 54/27 = 2, X3 = 27/27 = 1,
□ Í51 ~ -
Použití determinantu k urcení inverzní matice
Aplikací Cramerova pravidla na rešení maticové rovnice A.X = E dostaneme předpis pro prvky matice B inverzní k regulární maticiA rádu n:
by = (-1    ., /, j = 1,..., n, kde Ay je matice vytvořená z A vypuštením
j-tého řrádku a i-tého sloupce.
Použití determinantu k urcení inverzní matice
Aplikací Čramerova pravidla na rešení maticové rovnice A.X = E dostaneme předpis pro prvky matice B inverzní k regulární maticiA rádu n:
bj = (-1)'+'.^, /, j = 1,..., n, kde Ay je matice vytvořená z A vypustením
y-tého rádku a /-tého sloupce.
Poznámka : Pro n = 2 dostáváme
A-1
f 'l/21'   "\ = J_   f   a22      -a12 A
V -W    W  J V -a21    an /
Použití determinantu k určení inverzní matiče
Aplikačí Cramerova pravidla na rešení matičové rovniče A.X = E dostaneme předpis pro prvky matiče B inverzní k regulární matičiA rádu n:
bj = (-1    ., /, j = 1,..., n, kde Ay je matiče vytvořená z A vypustením
j-tého řrádku a i-tého sloupče.
Poznámka : Pro n = 2 dostáváme
A-1
f    'l/Í1' 'l/21'   "\ = J_   f   a22      -a12 A
V -W  -r/r J   |A| v -a21 /
Příklad i Určete inverzní matičik A
75 43 .
Proved'te zkoušku.
Použití determinantu k urcení inverzní matice
Aplikací Cramerova pravidla na rešení maticové rovnice A.X = E dostaneme předpis pro prvky matice B inverzní k regulární maticiA rádu n:
by = (-1    ., /, j = 1,..., n, kde Ay je matice vytvořená z A vypuštením
j-tého řrádku a ,-tého sloupce.
Poznámka : Pro n = 2 dostáváme
= J_   /    a22      -a12 A
= |A| . V -a21   au J
A-1
74
Příklad: Urccete inverzní maticik A = ( 5 3 ). Proved'te zkoušku. Řešení: |A| = 1, A-1 = { í 3   7 ), ZK: A-1 .A = E, A.A-1 = E.
.
Ekvivalentní systémy rovnič
Dva systémy lineárníčh rovnič A.x = b a C.x = d nazveme ekvivalentní, jestliže každé řešení systémů A.x = b je i rešením systémů C.x = d a naopak.
Ekvivalentní systémy rovnič
Dva systémy lineárníčh rovnič A.x = b a C.x = d nazveme ekvivalentní, jestliže každé řešení systémů A.x = b je i rešením systémů C.x = d a naopak.
Věta : Je-li (A|b) rozšírená matiče systémů A.x = b a vznikne-li(C|d) z (A|b) pomočí elementárníčh transformačí, pak je systém C.x = d ekvivalentní s A.x = b, píšeme C.x = d ~ A.x = b
Ekvivalentní systémy rovnič
Dva systémy lineárníčh rovnič A.x = b a C.x = d nazveme ekvivalentní, jestliže každé rřešení systém A.x = b je i řrešením systém C.x = d a naopak.
Věta : Je-li (A|b) rozšírená matiče systémů A.x = b a vznikne-li(C|d) z (A|b) pomočí elementárníčh transformačí, pak je systém C.x = d ekvivalentní s A.x = b, píšeme C.x = d ~ A.x = b
Pomočí vhodnýčh elementárníčh transformačí můžeme prevést problém rřešení so stavy A.x = b na rřešení ekvivalentní so stavy C.x = d s matičí C ve spečiálním tvar .
Řešení systémů s horní trojúhelníkovoů matičí
Systém C.x = d, kde C
/  č11 č12 0 č22
V
č1n \ č2n
0       0      ...     čnn /
sůbstitůče: z poslední rovniče vyjádríme xn = dn/cnn predposlední rovniče a spočítáme xn-1, atd...
Příklad : Vyřešte systém x1   -2x2   +3x3   = 7 -x2    +4x3   = 5 2x3 =6
rřešíme metodoů zpeřtné
Dosadíme do
Řešení systému s horní trojúhelníkovou maticí
c11 c12
0 c22
c1n c2n
Systém C.x = d, kde C
rřešíme metodou zpeřtné
V  0     0    ...    cnn / substituce: z poslední rovnice vyjádríme xn = dn/cnn. Dosadíme do predposlední rovnice a spoccítáme xn-1, atd...
Příklad : Vyřešte systém x1   -2x2   +3x3   = 7 -x2    +4x3   = 5
_2x3 =6
Řešení: X3 = 6/2 = 3,
□        rS1 ~ -
Řešení systémů s horní trojúhelníkovoů matičí
č11 č12
0 č22
č1n č2n
Systém C.x = d, kde C
rřešíme metodoů zpeřtné
V   0      0     ...    čnn /
sůbstitůče: z poslední rovniče vyjádríme xn = dn/cnn. Dosadíme do predposlední rovniče a spočítáme xn-1, atd...
Příklad : Vyrešte systém x1   -2x2   +3x3   = 7 -x2    +4x3   = 5
_2x3 =6
Řešení: X3 = 6/2 = 3,
X2 = 4x3 - 5 = 12 - 5 = 7,
□        rS1 ~ -
Řešení systému s horní trojúhelníkovou maticí
c11 c12
0 c22
c1n c2n
Systém C.x = d, kde C
rřešíme metodou zpeřtné
V  0     0    ...    cnn / substituce: z poslední rovnice vyjadríme xn = dn/cnn. Dosadíme do predposlední rovnice a spoccítáme xn-1, atd...
Příklad : Vyrešte systém
X1   -2X2   +3X3   = 7 -X2    +4X3   = 5
_2X3 =6
Řešení: X3 = 6/2 = 3,
X2 = 4x3 - 5 = 12 - 5 = 7,
xi = 7 + 2x2 - 3x3 = 7 + 14 - 9 = 12.
Eliminacní metody řešení systému s regulární maticí A
Gaussova eliminacní metoda
Matici(A|b) převedeme elementárnímiúpravamina matici(C|d), kde C je v horním trojúhelníkovém tvaru a dále postupujeme metodou zpeetné substituce.
Eliminacní metody řešení systému s regulární maticí A
Gaussova eliminacní metoda
Matici(A|b) převedeme elementárnímiúpravamina matici(C|d), kde C je v horním trojúhelníkovém tvaru a dále postupujeme metodou zpeřtné substituce.
Jordanova eliminacní metoda
Matici(A|b) převedeme elementárnímiúpravamina matici(C|d), kde C je v diagonálním tvaru, tedy dostaneme soustavu
C22X2 =d2
_cnnxn =dn
Přímo urcíme x1 = d1 /c11, x2 = d2/c22, ... xn = dn/cnn.
Eliminacní metody řešení systému s regulární maticí A
Gaussova eliminacní metoda
Matici(A|b) převedeme elementárnímiúpravamina matici(C|d), kde C je v horním trojúhelníkovém tvaru a dále postupujeme metodou zpetné substituce.
Jordanova eliminacní metoda
Matici(A|b) převedeme elementárnímiúpravamina matici(C|d), kde C je v diagonálním tvaru, tedy dostaneme soustavu
C22X2 =d2
_cnnxn =dn
Přímo urcíme x1 = d1 /c11, x2 = d2/c22, ... xn = dn/cnn.
Jordanova metoda pro řrešení matičovýčh rovnič
Matičovoů rovničí rozůmíme m systémů se stejnoů matičí soůstavy A rádů n a pravýmistranami1 b,...,mb zapsanýčh jako A.X = B, kde B je matiče tvořená sloůpči1b,...,mb a X je neznámá matiče typů (n, m). Pro matiči, která je rřešením matičové rovniče pak platí, že její sloůpče jsoů řrešením jednotlivýčh m systémů. Při řešení matičové rovniče Jordanovoů metodoů ůpravůjeme rozšírenoů matiči(A|B) elementárnímiúpravamina (E|D). Potom pro neznámoů matičiX platí E.X = D, tedy X = D.
Jordanova metoda pro řrešení maticových rovnic
Maticovou rovnicí rozumíme m systému se stejnou maticí soustavy A rádu n a pravými stranami 1 b, . . . , mb zapsaných jako A.X = B, kde B je matice tvorená sloupci1b,...,mb a X je neznámá matice typu (n, m). Pro matici, která je řešením maticové rovnice pak platí, že její sloupce jsou rešením jednotlivých m systému. Při řešení maticové rovnice Jordanovou metodou upravujeme rozšírenou matici(A|B) elementárnímiúpravamina (E|D). Potom pro neznámou maticiX platí E.X = D, tedy X = D.
Jordanova metoda pro urcření inverzní matice
Úloha hledání inverzní matice k A je úlohou rešení maticové rovnice A.X = E. Neznámou maticiX = A-1 urccíme Jordanovou metodou tak, že upravujeme rozšírenou matici(A|E) elementárnímiúpravamina (E|D). Potom platí
A-1 = D.
Jordanova metoda pro urcření inverzní matice
Příklad : Urccete inverzní maticik A
2 3 -2 5 0 6 0 -2 3
Jordanova metoda pro určření inverzní matiče
Příklad i Určete inverzní matičik A
Fř ešení:
2	3	-2	1	0	0
5	0	e	0	1	0
0	-2	3	0	0	1
2 5 0
23 0 -15 0 -2
3 -2 0e -2 3
-2 22 3
1    0 0
-5 2 0 001
Jordanova metoda pro urcření inverzní matice
Příklad : Urccete inverzní maticik A
Řešení:
2 3 -2
5 0 6
0-2 3 2 3-2
0 -15 22 0    0 1
1    0 0
0 1 0
001
1     0 0
-5 2 0 10 -4 15
2	3	-2	\
( 5	0	6	
0	-2	3	/
3	-2	1	0
-15	22	-5	2
-2	3	0	0
5	0	6	0
0	-15	22	-5
0	0	1	10
2
0
Jordanova metoda pro urcření inverzní matice
Příklad : Urccete inverzní maticik A
řešení:
2 5 0 2 0 0 5 0 0
3 -2 06
-2 3
3 -2 -15 22 01
00 -15 22
01
1   0 0
0 1 0
001
1 0 0
-5 2 0
10 -4 15
-60 25 -90
-5 2 0
10 -4 15
2 0 0
2 3 -2 5 0 6 0 -2 3
6
3 -2 -15 22 -2 3 50 0 -15 22 0   0 1 500
0 -15 0
001
1    0 0
-5 2 0 001
0
01 -5   2 0 10 -4 15
-60 25 -225 90
10 -4
-90 330 15
Jordanova metoda pro ůrčření inverzní matiče
Příklad : Určete inverzní matičik A
řešení:
2 5 0 2 0 0 5 0 0
A-1 =
3 -2 06
-2 3
3 -2 -15 22 01
00 -15 22
01
1    0 0
0 1 0
001
1 0
-5 2
10 -4
-60 25
-5 2
10 -4
-12    5 -18
15 -6 -22 10   -4 15
0 0 15
-90
0 15
2 0 0
2 3 -2 5 0 6 0 -2 3
6
3 -2 -15 22 -2 3 50 0 -15 22 0   0 1 500
0 -15 0
001
1    0 0
-5 2 0 001
0
01 -5   2 0 10 -4 15
-60 25 -225 90
10 -4
-90 330 15
Řešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Je-limatice A typu (m, n) a přitom h = h(A) < n , upravíme rozšířenou matici na schodovitý tvar a dostaneme ekvivalentní systém pouhých h rovnic pro n neznámých. Je možné vhodne vybrat n - h neznámých, které považujeme za parametry a prevést je na pravou stranu, tak aby koeficienty neznámých zbylých na levé strane tvorily horní trojúhelníkovou matici. Úlohu pak dořrešíme metodou zpeřtné substituce.
Řešení systémů s matičí soůstavy hodnosti h(A) < n
Je-limatiče A typů (m, n) a přitom h = h(A) < n , ůpravíme rozšířenoů matiči na sčhodovitý tvar a dostaneme ekvivalentní systém poůhýčh h rovnič pro n neznámýčh. Je možné vhodneř vybrat n - h neznámýčh, které považůjeme za parametry a prevést je na pravoů stranů, tak aby koefičienty neznámýčh zbylýčh na levé strane tvorily horní trojúhelníkovoů matiči. Úlohů pak dořrešíme metodoů zpeřtné sůbstitůče. Příklad : Najdete všečhna řešení systémů 3x1   +5x2    +x3    + x4    -2x5   = 0 3x2    +6x3   +4x4    -x5    = 0 -2x4   +2x5  = 0
Fř ešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Je-li matice A typu (m, n) a prřitom h = h(A) < n , upravíme rozšírřenou matici na schodovitý tvar a dostaneme ekvivalentní systém pouhých h rovnic pro n neznámých. Je možné vhodneř vybrat n - h neznámých, které považujeme za parametry a prevést je na pravou stranu, tak aby koeficienty neznámých zbylých na levé strane tvorily horní trojúhelníkovou matici. Úlohu pak dořrešíme metodou zpeřtné substituce. Příklad : Najdete všechna rešení systému 3X1   +5X2    +X3    + X4    -2X5   = 0 3x2    +6x3   +4x4    -x5    = 0 -2x4    +2x5   = 0 Matice systému již je ve schodovitém tvaru, platí h(A) = 3 < 5 = n, pri hledání řešení mužeme tedy n - h = 2 neznámé zvolit jako parametry a zbylé tři dopocítat. Chceme, aby na levé strane zustaly neznámé s koeficienty tvořrícími horní trojúhelníkovou matici, ponechme zde tedy neznámé odpovídající "zacátkum schodu", tedy x1, x2 a x4. Ostatní, tedy x3 a x5, prevedeme napravo a položíme x3 = p, x5 = q, p, q, g R.
Řešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Dostaneme systém
3x1   +5x2   + x4 = -p    + 2q
3x2    +4x4 = -6p    + q
-2X4 = -2q
Rešení systému s matičí soustavy hodnosti h(A) < n
Dostaneme systém 3x1   +5x2   + x4   =    -p    + 2q 3x2    +4x4   =   -6p    + q _-2x4   =_-2q
Z poslední rovniče tedy x4 = q, dosadíme do druhé rovniče a obdržíme 3x2 + 4q = -6p + q, tedy x2 = -2p - q. Nakoneč dosadíme za x2 a x4 do první rovniče, 3x1 + 5(-2p - q) + q = -p + 2q, po úprave x1 = 3p + 2q.
Řešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Dostaneme systém 3x1   +5x2   + x4   =    -p    + 2q 3x2    +4x4   =   -6p    + q _-2x4   =_-2q
Z poslední rovnice tedy x4 = q, dosadíme do druhé rovnice a obdržíme 3x2 + 4q = -6p + q, tedy x2 = -2p - q. Nakonec dosadíme za x2 a x4 do první rovnice, 3x1 + 5(-2p - q) + q = -p + 2q, po úprave x1 = 3p + 2q. Záver: Množina všech řešení, tzv. obecné rešení, závisí na dvou parametrech. Dosadíme- li za p, q libovolná cřísla, dostaneme neřjaké tzv. partikulární rřešení systému, naprříklad pro p = 1 , q = 1 dostaneme rřešení
x = (5, -3,1, 1, 1 )T. Naopak také platí: každé konkrétní řešení lze zapsat ve
tvaru x = (3p + 2q, -2p - q, p, q, q)T pro nejaké p, q.
Poznámka : Systémy s nulovou pravou stranou nazýváme homogenní
systémy.
Řešitelnost systémů rovnič
Frobeniova veta!!!
Buď A.x = b systém m rovnic o n neznámých. Potom jestliže:
Řešitelnost systémů rovnič
Frobeniova vrtali!
Bůd' A.x = b systém m rovnič o n neznámýčh. Potom jestliže: o h(A) < h(A|b), pak systém nemá rešení
Řešitelnost systému rovnic
Frobeniova veta!!!
Bud' A.x = b systém m rovnic o n neznámých. Potom jestliže: o h(A) < h(A|b), pak systém nemá řešení • h(A) = h(A|b) = n, pak systém má práve jedno rešení
[Řešitelnost systému rovnič
Frobeniova veta!!!
Bud' A.x = b systém m rovnič o n neznámýčh. Potom jestliže: o h(A) < h(A|b), pak systém nemá rešení
• h(A) = h(A|b) = n, pak systém má práve jedno rešení
• h(A) = h(A|b) = h < n, pak systém má nekonečne mnoho rešení závislýčh na n - h parametrečh.
Řešitelnost systému rovnic
Frobeniova veta!!!
Bud' A.x = b systém m rovnic o n neznámých. Potom jestliže: o h(A) < h(A|b), pak systém nemá řešení
• h(A) = h(A|b) = n, pak systém má práve jedno rešení
• h(A) = h(A|b) = h < n, pak systém má nekonecne mnoho rešení závislých na n - h parametrech.
Poznámka : Pokud systém obsahuje rovnici
0.x1 + 0.x2 + ... + 0.xn = c, c = 0, pak zřejme nemá rešení (tedy rozšírená matice obsahuje řádek (0 0 ... 0|c), proto h(A) < h(A|b).) V techto prípadech existují metody prřibližného rřešení systému, cřasto se používá napřr. metoda nejmenších ctvercu.