Lineární algebra - základní definice
Vektor, matice
Uspořádanou n-tici reálných čísel a1, an nazveme vektorem, píšeme
a = (ai,..., an), potom a nazveme řádkovým vektorem nebo / ai \
a =     :     , potom a nazveme sloupcovým vektorem.
an
Uspořádanou m • n-tici reálných čísel zapsaných do obdélníkového schématu
/   a11      a12     ..:      a1n \ a21      a22     : : : a2n
A
nazveme maticí typu (m, n).
am1 am2
amn
Chceme-li zduraznit typ matice, píšeme A(m?n).
Operace s maticemi
Příklad : Vyrábí-li firma ve dvou závodech Z1, Z2 tři různé výrobky V, V2, V3, můžeme množství teechto výrobků v jednotlivých závodech zapsat do matice A typu (2,3). Píšeme A = (a/j), kde a/j je množství y-tého výrobku vyrábené v /- tém závode, napríklad 1   2 1
A
1   3   0 5
Matice můžeme násobit reálným císlem.
Příklad : Vyjadřuje - li matice A z předchozího príkladu denní
produkci, pak matice
/ 5    io    5 \ B = 5 • A = (  i5    o    25 j vyjadruje petidenní produkci.
Matice stejných typu mužeme scítat. Příklad : Matice
A + B = (  IQ    o    30 ) vyjadřuje šestidenní produkci.
Operace s maticemi
Transponovaná matice
Zameníme-li v matici A = (a,y) úlohu řádků a sloupců, dostaneme matici k ní transponovanou, píšeme AT = (a/,) Příklad : Pro matici B z předchozího příkladu platí / 6 18
v
12 0 6 30
Matice "navazujících typu" mužeme násobit
Příklad : Předpokládejme, že naše firma má tři odberatele
O1,02,03. Uvažujme matici C = (c,y), /,/ = 1, 2,3, která vyjadruje
cenu zaplacenou /-tým odberatelem za /-tý výrobek, napríklad
2  1 2
C
\
3 4 4 5   6 4
Operace s maticemi
Určeme matici D = A • C. Jde o matici typu (2,3), kde prvek dy vyjadřuje částku, kterou by zaplatil j-tý odberatel Oy za denní produkci i-tého závodu Z.
D = A C
(
1 2 1 3   0 5
)
2 1 2
3 4 4 5   6 4
(
13 15 14 31  33 26
)
Pozor: A • C = C • A Matice C • A neexistuje.
Relace mezi maticemi
Matice stejných typů můžeme porovnávat. Mezi maticemi A, B
existuje nekterá z relací =, >, <, >, < práve tehdy, platí-li stejný vztah pro všechny dvojice prvk ů matic na odpovídajících pozicích
Příklad : Rozhodnete, zda jso u v nejaké z relací matice A, B z předchozích príklad ů.
Rešení:
v
1 2 1 3   0 5
<
5 15
10 0
5
25
Systémy lineárních rovnic
Systémem m lineárních algebraických rovnic o n neznámých z reálného oboru x1, x2,..., xn rozumíme zápis
au X1 +a12X2
a21 x1      + a22x2
am1 x1    + am2x2
+ . . . + a2nXn = b2 + . . .     + amnxn    = bm
Maticovým zápisem soustavy rovnic rozumíme vztah A x = b , kde matici
A
a11 a12 a21 a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
nazýváme maticí soustavy,
Systémy lineárních rovnic
/ X1 \
X =
je vektor neznámých
Xn J
( bi \
v
b
je vektor pravých stran.
v
bn
Matici (A|b)
/   a11 a12 a21 a22
a1 n a2n
b1
b2
nazýváme
V am1 am2
rozšířenou maticí soustavy.
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Je dána soustava dvou rovnic o 3 neznámých x1 +     2x2    - 3x3   = 5 2xi +   4X2 +     X3 =3
UrCete matici, rozšířenou matici soustavy a vektor pravých stran.
Řešení: A
(A|b)
(
1	2	-3
2	4	1
2	-3	5
4	1	3
b
5 3
c1
Definice : Vektor c
nazveme řešením soustavy A • x = b,
v
On )
jestliže platí A • c = b .
Řešení systému lineárních rovnic
Příklad : Rozhodněte, zda jsou vektory c řešením soustavy z předchozího příkladu.
Řešení: A c
Ad
1 2 -3
2 4 1
1 2 -3 241
v
/ 0
1
-1
4
-1   1 =
-1
Oba vektory jsou řešením soustavy.
( (
) )
\
(3) (3)
0
1
-1
b,
b
d
4
-1
v
-1
Speciální tvary matic
Libovolnou matici typu (n, n) nazveme ctvercovou maticí řádu n.
Pokud má ctvercová matice nenulové prvky jen na hlavní diagonále, nazveme ji diagonální maticí.
Příklad : A
/ 5 0
\ 0
00
7 0 0 -2
Pokud má nenulové prvky jen na a nad hlavní diagonálou, nazveme ji maticí v horním trojúhelníkovém tvaru.
Příklad : B
/ 3
0
v
0
0 -1 0
4
5 -2
Speciální tvary matic
Libovolnou matici typu (m, n) nazveme maticí v horním schodovitém tvaru, jestliže
■ Všechny případné nulové rádkyjsou dole
■ Každý nenulový řádek "zacíná více nulami než předchozí": Příklad : Rozhodnete, které z matic jsou v horním schodovitém
tvaru: A
C
0 8
1 5
00
2,5
0 0 0
0
1,5 -2
0
B
1
0 0
0
3
0 0 0
5
0 0
0
5
6
0
Speciální matice
Matici O = (Oj), kde o j = 0, i = 1,..., m, j = 1,..., n, nazveme nulovou maticí typu (m, n). Chceme-li zduraznit typ matice, píšeme
O(m,n).
Pro libovolnou matici A(mn) platí A + O = A .
Diagonální matici E
10
01
0
0
nazveme jednotkovou
v 0   0   ... 1 maticí. Chceme-li zduraznit rád matice, píšeme En.
Pro libovolné matice B(m?n), C(„jk) platí B • E = B, E • C = C.
Vektorový prostor
Označme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Množinu Mm,n spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice číslem označme Mm,n = (Mm,n, +, •). V prípade, že m nebo n je rovno 1 a není-li nutné specifikovat, zda pracujeme se sloupcovými ci řádkovými vektory, používáme pro množinu Mm,n oznacení Rn. (je to množina všech
uspořádaných n-tic reálných císel). Prostor Vn = (Rn, +, •)
nazýváme aritmetický vektorový prostor.
Věta : Pro libovolná císla a, p a libovolné vektory a, b, c e Vn platí:
■ a + b = b + a
■ a + (b + c) = (a + b) + c
■ a + 0 = a
■ existuje -a : -a + a = 0
■ 1.a = a
■ a.p.a = (a.p ).a
(a + p ).a = a.a + p.a
■ a.(a + b) = a.a + a.b
Vektorový prostor
Vektorovým (nebo též lineárním) prostorem nazveme strukturu
(P," +"," •") pro libovolnou množinu P, pokud na této množine zavedeme operace scřítání a násobení cříslem tak, aby pro neř bylo splneřno všech osm vlastností z přredchozí veřty.
Příklad : Prostor všech matic daného typu Mm,n = (Mm,n, +, •) je také lineárním prostorem.
Lineární kombinace
Jsou-li 1 x, 2x,...,mx vektory z Vn a c1, c2,..., cm e R, pak vektor x = c1 -1 x + c2.2x + ... + cm.mx nazveme lineární kombinací vektoru 1 x, 2x,...,mx.
Příklad : Je vektor x = (4, -1, 10,12) lineární kombinací vektoru
1 x = (1,0,5,7) a2x = (2,-1,0,-2)?
Řešení: Koeficienty c1, c2 lineární kombinace musí vyhovovat
soustaveř rovnic
1.c1	+ 2.c2	=4
0.c1	- 1.c2	=-1
5.c1	+ 0.c2	=10
7.c1	- 2.c2	=12
Zrejme jsou c1 = 2, c2 = 1 řešením této soustavy. Tedy x = 2.1 x + 2 x
Lineární závislost
Řekneme, že vektory 1 x, 2x,...,mx jsou lineárne závislé, jestliže je mezi nimi aspon jeden vektor, který je kombinací ostatních. Pokud žádný takový vektor neexistuje, řekneme, že vektory 1 x, 2x,...,mx jsou lineárne nezávislé.
Příklad :
Vektory x, 1 x,2x z předchozího příkladu jsou ... lineárne závislé. Vektory 1 x,2x jsou ... lineárne nezávislé.
Poznámka : Vektory 1 x, 2x,...,mx jsou lineárne nezávislé práve tehdy, když vektorová rovnice c1 ,1 x + c2.2x + ... + cm.mx = 0 má jediné rešení c1 = 0, c2 = 0,..., cm = 0. Vektory jsou lineárneř závislé, eXistuje-li i jiné než nulové řrešení.
Báze lineárního prostoru
Je-li P vektorový prostor a jsou-li1 e, 2e,...,ne takové vektory z tohoto prostoru, že
■ jsou lineárne nezávislé
■ každý vektor z P lze vyjádřit jako jejich kombinaci, pak 1 e, 2e,...,ne nazveme bází prostoru P.
Příklad : Uvažujme prostor V3 a v nem vektory
a = (1,0,3), b = (0,1,2), c = (1,0,0) a d = (0,0,0).
■ tvorí b, c, d bázi prostoru V? ... NE!
■ tvorí b, c bázi prostoru V? ... NE!
■ tvorí b, c, a bázi prostoru V? ... ANO!
Dimenze lineárního prostoru
V prostoru Vn existuje vždy báze, například takzvaná kanonická báze:
1 e = (1,0,..., 0)
2 e = (0,1,..., 0)
ne = (0, 0, . . . , 1 )
Skutecne, nezávislost je zrejmá. Navíc pro libovolný vektor a = (a1, a2,..., an) e Vn platí a = a1.1 e + a2.2e + ... + an.ne
Poznámka : Každá skupina n lineárne nezávislých vektoru z Vn tvorí bázi. V jakékoliv skupine vektoru z Vn je nejvýše n lineárne nezávislých. Císlo n nazýváme dimenze prostoru Vn.
Hodnost
Je-li X = 1 x, 2x,...,mx skupina vektoru z prostoru P, pak maximální pocet lineárne nezávislých vektoru ve skupine X nazveme hodností X
a znacime h(X).
Poznámka : Uvažujme matici A typu (m, n). Položíme- li za X řádky matice A, pak h(X) nazveme řádkovou hodností A, pro sloupce matice mluvíme o sloupcové hodnosti.
Příklad : Urôete řádkovou a sloupcovou hodnost matice
Rešení: Rádky jsou zřejme lineárne nezávislé (ani jeden není násobkem druhého), takže řádková hodnost je 2. Sloupcová hodnost je také 2, protože poslední dva sloupce jsou evidentneř lineárneř nezávislé a ostatní jsou jejich lineární kombinací.
C
6   -4   2   0 1
05310
Hodnost
Je-li A matice typu (m, n), pak její sloupcová hodnost je rovna řádkové hodnosti, znacíme ji h(A):
Důsledek: h(A) = h(AT) Důsledek : h(A) < m/n(m, n)
Příklad : Urcete hodnost matice A
/	6	-4	2	0	1	\
	0	5	3	1	0	
	0	0	0	3	7	
v	0	0	0	0	0	/
Rešení: První tři řádky jsou evidentne lineárne nezávislé, takže hodnost je 3:
Veta : Horní schodovitá matice má hodnost rovnu poctu jejích nenulových rádkl
Elementární úpravy
Uvažujme matici A typu (m, n). Vytvoříme-li z matice A matici B tak, že
■ Vymeníme navzájem dva libovolné řádky matice a zbytek necháme beze zmeny nebo
■ jeden rádek vynásobíme libovolným nenulovým císlem a ostatní řádky necháme beze zmeny nebo
■ k jednomu z rádku matice přicteme libovolný násobek jiného rřádku a ostatní necháme beze zmeřny,
pak řrekneme, že B vznikla z A pomocí základních elementárních transformací. Aplikujeme-li nekolik teechto základních úprav po sobe, rekneme, že B vznikla z A pomocí elementárních transformací a píšeme A ~ B .
Poznámka : Elementární transformace mají široké využití, napríklad při urcování hodnosti matice, rešení systému rovnic, hledání inverzní matice cři výpocřtu determinantu.
Elementární úpravy
Příklad : Pomocí elementárních transformací převeďte matici na
-4 2 0 1
schodovitý tvar. A
v
5310
10   3 7
Řešení: Nejprve vymeníme první a třetí řádek
-4 2 0  1 1   0  3 7
v
5310
10   3 7
-4  2  0 1
5-310
Pomocí prvního rádku vynulujeme první císlo na ostatních rádcích / 1    0    3    7 \     / 1    0    3 7
v
\
0    2    12 29
5 -3   1 0
0    2    12 29
0 -3 -14 -35
Řyní stací přicíst 1, 5-násobek druhého rádku ke tretímu.
1   0   3    7 1  0   3 7
0    2    12 29
0 -3 -14 -35
\
0 2  12 29
0   0    4 8,5
Elementární úpravy a hodnost matice
Věta : Elementární transformace nemení hodnost matice.
-4 2 0 1
Pro matici A
h(A) = 3.
v
5 3 10 J z předchozího príkladu platí 10   3 7
Přri rřešení úlohy urcření hodnosti vždy nejprve přrevedeme matici pomocí elementárních úprav do schodovitého tvaru a potom urcříme hodnost jako pocet nenulových rádku.
Determinant matice
Bud' A ctvercová matice řádu n. Determinant matice A je císlo znacené |A| definované jako
■ a11 pro n = 1
■ a11 -322 - 312 .a21 pro n = 2
■ än -322-333 + 312-323-331 + 321 -332-313 — — (a31 -322-313 + 311 -332-323 + 321 -312-333 )
pro n = 3 . . . soucřiny ve smeřru diagonál: tzv. Sarrusovo pravidlo
■ pro n > 4 neexistuje obdoba Sarrusova pravidla, determinant definujeme pomocí rozvoje podle prvního rádku jako
311 -|A11 1 — 312-|A121 + 313-|A13 1 — 314-|A141(+ - - -),
kde Aij je submatice, která vznikne z A vypušteřním i-tého řrádku a j-tého sloupce.
Determinant matice
Poznámka : Obdobným způsobem lze počítat determinant rozvojem podle jiného rádků.
Věta : Pro každou ctvercovou matici A platí: |A| = |AT | (tedy lze determinant rozvíjet i podle sloupcu)
Příklad : Vypocítejte determinanty
2 7
3 5
Řešení:
' 1 0
35 02
1	0	2
3	5	4
0	2	1
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
27
3 5 2
4
1
2.5-3.7 = -11
1.5.1 +0.4.0 +3.2.2-0.5.2-1.2.4-3.0.1 = 9
Výpočet determinantu rozvojem
2 0 4 0
1
-2
1
5
+(-3).
-3 0
0 -1
10
05 0 -2 -1 4 1 0 0  5 5
	-2	0	-1		0	0	-1
= 2.	1	1	0	-1.	4	1	0
	5	0	5		0	0	5
0.
0 -2 0 4 1 1 050
-70
Věta : Determinant matice v horním trojúhelníkovém tvaru je roven součinu jejích diagonálních Clenu.
Příklad :
7 0-1
0 1 4 005
7.1.5 = 35
Poznámka : Pri výpočtu deteminantu lze pomočí elementárních úprav převést matiči na schodovitý tvar.
Pozor, nekteré transformace mení hodnotu determinantu!
Výpocet determinantu pomocí elementárních úprav
Jestliže matice B vznikne z matice A pomocí základní elementární transformace
■ výmena rádku, pak B = -|A|
■ vynásobení jednoho řádku císlem a, pak B = a.|A
■ přictením jednoho rádku k jinému, pak B = |A|
Příklad : Urcete hodnotu determinantu matice z predchozího příkladu pomocí elementárních úprav.
0
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
4	1	1	0
0	5	0	5
	2	1	-3
	0	-1	7
	0	0	-14
	0	0	35
2	1	-3	0
0	-2	0	-1
0	-1	7	0
0	5	0	5
0 0 -1 5
2 1 -3
0 -1 7
0 0 -14
0 0 0
0 0
0 0 -1
2,5
1	-3	0
-1	7	0
-2	0	-1
5	0	5
70
Inverzní matice
Čtvercovou matici A, pro kterou platí |A| = 0 , nazveme regulární.
V opaCném prípade, tedy má-li nulový determinant, ji nazveme singulární.
Věta : Jestliže je A regulární matice, pak existuje matice B, pro niž platí A.B = B.A = E .O matici B říkáme, že je inverzní k matici A.
Matice B je urcena jednoznacne, znaccíme ji A
( 3 1
Příklad : Overte, zda je matice B = ( 5 2
-i
A
Rešení:
B A
A B
2 -1 -5 3
31 52 2 -1 -5 3
)■(
2 -5
3
-1 3 1
52
inverzní k matici
1
0
1 0
0
1
0
1
Přímé rešení systému rovnic pomocí inverzní matice
Je-li A.x = b systém rovnic s regulární maticí soustavy A, pak má jediné rešení x = A-1 .b :
Příklad : Najdete rešení systému pomocí inverzní matice: 2x1     -x2    = 2 -5x1   +3x2 =-3
" ' 2 -1
Rešení: Matice soustavy je A
(
-5
Z předchozího příkladu víme, že A 1
b
3 1
takže x
2
-3
)
5 !)■{%) = (4 '5 2
ZK: L = 2 • 3 - 4 = 2 = P1, L2 = -5 • 3 + 3 • 4 = -3 = P2
Přímé rešení systému rovnic pomocí determinantu
Cramerovo pravidlo:
Je-li A regulární matice řádu n a b vektor pravých stran, pak rešení systému A.x = b je urceno jednoznacne a platí
ib,
, / = 1,..., n, kde matice B , vzniknou z A nahrazením mého
sloupce vektorem b.
Příklad : Cramerovým pravidlem vyřešte soustavu rovnic 2xi    -x2 = 4
x1    +3x2   -5 x3 =4 2x2     +x3 =5
Řř ešení: A
/
\
2 1 0
-1 0 3 -5 21
b
v
4
4
5
A| = 27,
		4	-1 0		2	4	0		2	-1	4
B1 =		4	3 -5	, B2 =	1	4	-5	, B3 =	1	3	4
		5	21		0	5	1		0	2	5
Tedy x1		=	81 /27 = 3, X2 =		54/	27 =	2, X3 = 27/27 =			1,	
Použití determinantu k urcení inverzní matice
Aplikací Cramerova pravidla na rešení maticové rovnice A-X = E dostaneme predpis pro prvky matice B inverzní k regulární matici A
rádu n: bj = (—1    -^, /, j = 1, - - -, n, kde Aj/ je matice vytvorená
z A vypuštením j-tého řádku a mého sloupce.
Poznámka : Pro n = 2 dostáváme
IA111 IA21
A-1
IA12I
IAI
IA221
Příklad : Urcete inverzní matici k A
zkoušku.
Rešení: |A| = 1, A-1
1 1
(
3 -4
-5 7
A'
(
a22 -a21
74 53
)
-a12
a11
)
Proved'te
ZK: A-1 -A = E, A-A-1 = E.
1
Ekvivalentní systémy rovnic
Dva systémy lineárních rovnic A.x = b a C.x = d nazveme ekvivalentní, jestliže každé rešení systému A.x = b je i řešením systému C.x = d a naopak.
Veta : Je-li (A|b) rozšírená matice systému A.x = b a vznikne-li (C|d) z (A|b) pomocí elementárních transformací, pak je systém
C.x = d ekvivalentní s A.x = b, píšeme C.x = d ~ A.x = b
Pomocí vhodných elementárních transformací mužeme prevést problém rešení soustavy A.x = b na řešení ekvivalentní soustavy C.x = d s maticí C ve speciálním tvaru.
Řešení systému s horní trojúhelníkovou maticí
Systém C.x = d, kde C
c11 c12
0 c22
c1n
c2n
řrešíme
0    0   . . . cnn
metodou zpetné substituce: z poslední rovnice vyjádríme xn = dn/cnn. Dosadíme do předposlední rovnice a spocítáme xn-1, atd...
Příklad : Vyrešte systém x1   -2x2   +3x3   = 7 -x2    +4x3   = 5
2x3   = 6
Řř ešení: x3 = 6 2 = 3,
x2 = 4x3 - 5 = 12 - 5 = 7,
x1 = 7 + 2x2 - 3x3 = 7 + 14 - 9 = 12.
Eliminacní metody řešení systému s regulární maticí A
Gaussova eliminacní metoda
Matici (A|b) převedeme elementárními úpravami na matici (C|d), kde C je v horním trojúhelníkovém tvaru a dále postupujeme metodou zpetné substituce.
Jordanova eliminacní metoda
Matici (A|b) převedeme elementárními úpravami na matici (C|d), kde C je v diagonálním tvaru, tedy dostaneme soustavu cii xi =di
cnnxn =dn
Přímo urcíme xi = di/cii, x2 = d2/c22, ... xn = dn/cnn.
Jordanova metoda pro rešení maticových rovnic
Maticovou rovnicí rozumíme m systému se stejnou maticí soustavy A řádu n a pravými stranami 1 b,...,mb zapsaných jako A.X = B, kde B je matice tvořená sloupci 1 b,...,mb a X je neznámá matice typu (n, m). Pro matici, která je řešením maticové rovnice pak platí, že její sloupce jsou řešením jednotlivých m systému. Při rešení maticové rovnice Jordanovou metodou upravujeme rozšírenou matici (A|B) elementárními úpravami na (E|D). Potom pro neznámou matici X platí E.X = D, tedy X = D.
Jordanova metoda pro urcření inverzní matice
Úloha hledání inverzní matice k A je úlohou rešení maticové rovnice A.X = E. Neznámou matici X = A-1 urcíme Jordanovou metodou tak, že upravujeme rozšírenou matici (A|E) elementárními úpravami na (E|D). Potom platí A-1 = D.
Jordanova metoda pro určení inverzní matiče
Příklad : Určete inverzní matiči k A
Řešení:
v
2
5 0
2
0 0
5
0 0
5
0
0
v
v
3 0 -2
3
-15 0 0
-15 0 0
-15 0
-2
6
3
1 0
00
1
-2 22 1
0
22
1
0
0
1
00
1
-5
-5 10 -60 -225 10
0
1
0 2
10 -4 -60 25
2 -4 25
90
-4
2
0 0
0 0
15
-90 0
15 -90 330 15
2
5
0
3
-15 -2
5
0
0
, A-1
3 0 -2
-2 22 3 0
-15 0
-2 6 3
1
-5
0 6
22
1
-12
15
10
00 20
01
0 -5
1
2
10 -4
5 -6 -4
-18
-22 15
0 0
15
Řešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Je-li matice A typu (m, n) a pritom h = h(A) < n , upravíme
rozšířenou matici na schodovitý tvar a dostaneme ekvivalentní systém pouhých h rovnic pro n neznámých. Je možné vhodne vybrat n - h neznámých, které považujeme za parametry a prevést je na pravou stranu, tak aby koeficienty neznámých zbylých na levé strane tvořily horní trojúhelníkovou matici. Úlohu pak dorešíme metodou zpeřtné substituce.
Příklad : Najdete všechna rešení systému 3x1   +5x2    +x3    + x4    -2x5   = 0 3x2    +6x3   +4x4    -x5    = 0
-2x4    +2x5   = 0 Matice systému již je ve schodovitém tvaru, platí h(A) = 3 < 5 = n, při hledání řešení mužeme tedy n - h = 2 neznámé zvolit jako parametry a zbylé tri dopocítat. Chceme, aby na levé strane zustaly neznámé s koeficienty tvorícími horní trojúhelníkovou matici, ponechme zde tedy neznámé odpovídající "zacátkum schodu", tedy x1,x2 a x4. Ostatní, tedy x3 a x5, prevedeme napravo a položíme X3 = p, X5 = q, p, q, e R.
Řešení systému s maticí soustavy hodnosti h(A) < n
Dostaneme systém 3x1    +5x2    + x4    =    -p    + 2q 3x2    +4x4   =   -6p    + q _-2x4    =_-2q
Z poslední rovnice tedy x4 = q, dosadíme do druhé rovnice a obdržíme 3x2 + 4q = -6p + q, tedy x2 = -2p - q. Nakonec dosadíme za x2 a x4 do první rovnice, 3xí + 5(-2p - q) + q = -p + 2q, po úprave x = 3p + 2q.
Záver: Množina všech řešení, tzv. obecné rešení, závisí na dvou parametrech. Dosadíme- li za p, q libovolná císla, dostaneme nejaké
tzv. partikulární řešení systému, napríklad pro p = 1, q = 1
dostaneme rešení x = (5, -3,1, 1, 1 )T. Naopak také platí: každé konkrétní rešení lze zapsat ve tvaru x = (3p + 2q, -2p - q, p, q, q)T pro nejaké p, q.
Poznámka : Systémy s nulovou pravou stranou nazýváme homogenní systémy.
Rř ešitelnost systému rovnic
Frobeniova veta!!!
Bud' A.x = b systém m rovnic o n neznámých: Potom jestliže:
■ h(A) < h(A|b), pak systém nemá rešení
■ h(A) = h(A|b) = n, pak systém má práve jedno rešení
■ h(A) = h(A|b) = h < n, pak systém má nekonecne mnoho rešení závislých na n - h parametrech:
Poznámka : Pokud systém obsahuje rovnici 0.x + 0.x2 + ... + 0.xn = c, c = 0, pak zřejme nemá řešení (tedy rozšírená matice obsahuje rádek (0 0 ... 0|c), proto h(A) < h(A|b):) V teřchto přrípadech existují metody prřibližného rřešení systému, cřasto se používá např: metoda nejmenších ctvercu: