Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o Číselné obory Z, N, Q, R Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o Číselné obory Z, N, Q, R o pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o Číselné obory Z, N, Q, R o pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota o algebraické výrazy a jejich úpravy Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o Číselné obory Z, N, Q, R o pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota o algebraické výrazy a jejich úpravy o základní elementární funkce a jejich vlastnosti(polynom, racionální lomená funkce, odmocnina, exponenciální a goniometrické funkce, logaritmus) Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: o množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o Číselné obory Z, N, Q, R o pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota o algebraické výrazy a jejich úpravy o základní elementární funkce a jejich vlastnosti(polynom, racionální lomená funkce, odmocnina, exponenciální a goniometrické funkce, logaritmus) pojmy sudá, lichá, periodická funkce Matematická analýza Pro pochopení látky jsou nutné znalostistredoškolské matematiky, zejména: množiny, množinové operace o výroky, logické spojky, kvantifikátory o císelné obory Z, N, Q, R o pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota o algebraické výrazy a jejich úpravy o základní elementární funkce a jejich vlastnosti(polynom, racionální lomená funkce, odmocnina, exponenciální a goniometrické funkce, logaritmus) pojmy sudá, lichá, periodická funkce rovnice a nerovnice Základní definice Funkce : Pro A c R, B c R nazýváme předpis f: A — B, který každému x g A přiřadí práve jedno y g B, reálnou funkcí reálné promenné. Pro B c Rn mluvíme o funkcin promeenných. Základní definice Funkce : Pro A c R, B c R nazýváme předpis f: A — B, který každému x g A přiřadí práve jedno y g B, reálnou funkcí reálné promenné. Pro B c Rn mluvíme o funkcin promenných. Používáme zápis y = f (x) , kde y nazýváme závislou a x nezávislou promennou. Pro konstantu x0 g A cteme zápis y0 = f(x0) jako: y0 je funkcní hodnota funkce f v bode x0. Dále množinu A nazýváme definicní obor funkce f a znacíme jiDf. Množinu {y g B : 3x g A : y = f (x)} nazýváme obor hodnot funkce f, znacíme Hf. Základní definice Funkce : Pro A c R, B c R nazýváme předpis f: A — B, který každému x g A přiřadí práve jedno y g B, reálnou funkcí reálné promenné. Pro B c Rn mluvíme o funkcin promenných. Používáme zápis y = f (x) , kde y nazýváme závislou a x nezávislou promennou. Pro konstantu x0 g A cteme zápis y0 = f(x0) jako: y0 je funkcní hodnota funkce f v bode x0. Dále množinu A nazýváme definicní obor funkce f a znaccíme jiDf. Množinu {y g B : 3x g A : y = f (x)} nazýváme obor hodnot funkce f, znaccíme Hf. Poznámka : Funkce vetšinou definujeme výrazem s promennou x, definiccním oborem pak rozumíme množinu všech x g R, pro než má daný výraz smysl. Příklad : Urcete definicní obor funkce f(x) = —L-. □ - - 5-OQ.O Základní definice Funkce : Pro A c R, B c R nazýváme předpis f: A — B, který každému x g A přiřadí práve jedno y g B, reálnou funkcí reálné promenné. Pro B c Rn mluvíme o funkcin promenných. Používáme zápis y = f (x) , kde y nazýváme závislou a x nezávislou promennou. Pro konstantu x0 g A cteme zápis y0 = f(x0) jako: y0 je funkcní hodnota funkce f v bode x0. Dále množinu A nazýváme definicní obor funkce f a znacíme jiDf. Množinu {y g B : 3x g A : y = f (x)} nazýváme obor hodnot funkce f, znacíme Hf. Poznámka : Funkce vetšinou definujeme výrazem s promennou x, definicním oborem pak rozumíme množinu všech x g R, pro než má daný výraz smysl. Příklad : Urcete definicní obor funkce f(x) = . Řešení: Df = {x g R : x - 1 = 0} = R \ {1}. Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x g Df} znázornených v kartézském souradném systému nazýváme grafem funkce. Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: x y 2 1 ■5 -4 -3-2-1 12 3 -1 -2 □ ť5> ~ - 4) (y Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: x -a y -1/4 2 1 ■5 -4 +-3 -2-1 2 3 -1 -2 □ ť5> ~ - 4) (y Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: x -a -2 y -1/4 -1/3 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x g Df j znázornených v kartézském souradném systému nazýváme grafem funkce. Příklad i Nacrtnete graf funkce f (x) = • Řešení: Grafem funkce je hyperbola, vyznacme nekolik pomocných bodu: x -a -2 -1 y -1/4 -1/3 -1/2 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = x^ry. Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souradném systému nazývámě grafěm funkcě. Příklad : Nacrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznacmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 1/4 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 -4/3 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souradném systému nazývámě grafěm funkcě. Příklad : Nacrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznacmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 1/4 3/2 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 -4/3 2 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souradném systému nazývámě grafěm funkcě. Příklad : Nacrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznacmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 1/4 3/2 7/4 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 -4/3 2 4/3 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = x^ry. Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 1/4 3/2 7/4 2 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 -4/3 2 2 1 4/3 + + 1 + ■5 -4 +-3 +2 +- 1 + -2 1 □ 2 3 9 Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souradném systému nazývámě grafěm funkcě. Příklad : Nacrtnětě graf funkcě f (x) Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznacmě několik pomocných bodu: 1 x-1 x -a -2 -1 0 1/4 3/2 7/4 2 5/2 y -1/4 -1/3 -1/2 -1 -4/3 2 4/3 1 2/3 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě několik pomocných bodu: 1 x-1 x -a -2 -1 0 1/4 a/2 7/4 2 5/2 a y -1/4 -1/a -1/2 -1 -4/3 2 4/3 1 2/3 1/2 □ rS1 ~ - Graf funkce Množinu bodu {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském souradném systému nazývámě grafěm funkcě. Příklad : Nacrtnětě graf funkcě f (x) = ■ Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznacmě několik pomocných bodu: x -a -2 -1 0 1/4 a/2 7/4 2 5/2 a y -1/4 -1/a -1/2 -1 -4/a 2 4/a 1 2/a 1/2 □ rS1 ~ - Inverzní funkce Řekneme, že funkce f: A — B je prostá, jestliže v různých bodech nabývá různých hodnot, tedy V*i, x2 e A : x1 = x2 => f(x) = f(x2) . Inverzní funkce Řekneme, že funkce f: A — B je prostá, jestliže v nuzných bodech nabývá nuzných hodnot, tedy Vx1, x2 g A : x = x2 => f (x) = f (x2) . Jestliže je funkce f: A — B je prostá a je-liHf = B, pak k ní existuje inverzní funkce f-1 : B — A, která každému y g B priradí jeho vzor, tedy f-1 (y) = x , kde y = f(x). Inverzní funkce Řekneme, že funkce f: A — B je prostá, jestliže v nuzných bodech nabývá nuzných hodnot, tedy Vx1, x2 g A : x = x2 => f (x) = f (x2) . Jestliže je funkce f: A — B je prostá a je-liHf = B, pak k ní existuje inverzní funkce f-1 : B — A, která každému y g B přiradí jeho vzor, tedy f-1 (y) = x , kde y = f(x). Obrázek: Schéma inverzní funkce □ - - 5-00*0 Inverzní funkce Příklad : UrCete funkci inverzní k f (x) = 3x + 5. Inverzní funkce Příklad : Urcete funkciinverzní k f (x) = 3x + 5. Rešení: Jde o prostou funkciz R na R. Z rovnice y = 3x + 5 vyjádříme x, tedy: x = ylľ5. Proto f-1(y) = ylľ5. Jelikož jsme zvyklí používat oznacení y pro závislou promennou, píšeme f-1(x) = x355. Inverzní funkce Příklad : Urcete funkciinverzní k f (x) = 3x + 5. Rešení: Jde o prostou funkciz R na R. Z rovnice y = 3x + 5 vyjádříme x, tedy: x = ylľ5. Proto f-1(y) = ylľ5. Jelikož jsme zvyklí používat oznacení y pro závislou promennou, píšeme f-1(x) = x355. Příklad : Urcete funkciinverzní k f (x) = x2. Inverzní funkce Příklad : Urcete funkciinverzní k f (x) = 3x + 5. Řešení: Jde o prostou funkciz R na R. Z rovnice y = 3x + 5 vyjádříme x, tedy: x = ylľ5. Proto f-1(y) = ylľ5. Jelikož jsme zvyklí používat oznacení y pro závislou promennou, píšeme f-1(x) = x355. Příklad : Urcete funkciinverzní k f (x) = x2. Řešení: Funkce f(x) = x2 není na celém definicním oboru prostá, inverze tedy neexistuje. Zúžením definicního oboru na A = (0, oo) bychom dostali prostou funkcif: A — A. Víme, že k ní inverzní funkcí je f-1 (x) = y/x. -.5 | .5 1 -.5 | 5 1 Obrázek: f: R -> A Obrázek: f: A -> A Inverzní funkce Příklad : Urccete funkci inverzní k f (x) = 2x a nacrtnete jejich grafy. Inverzní funkce Příklad : UrCete funkciinverzní k f (x) = 2x a naCrtnete jejich grafy. Rešení: Funkce f (x) = 2x je prostá funkce z R na (0, oo). Existuje tedy inverzní funkce, ze střední školy sipamatujeme, že jde o funkci f-1(x) = log2 x. Pred vykreslením grafu ješte urceme nekolik bodu. Inverzní funkce Příklad : Urccete funkciinverzní k f (x) = 2x a nacrtnete jejich grafy. Rešení: Funkce f (x) = 2x je prostá funkce z R na (0, oo). Existuje tedy inverzní funkce, ze strřední školy si pamatujeme, že jde o funkci f-1(x) = log2 x. Pred vykreslením grafu ješte urceme nekolik bodiů. x -2 -1 0 1 2 2x 1/4 1/2 1 2 4 x 1/4 1/2 1 2 4 log2 x -2 -1 0 1 2 Inverzní funkce Příklad : UrCete funkciinverzní k f (x) = 2x a naCrtnete jejich grafy. Rešení: Funkce f (x) = 2x je prostá funkce z R na (0, oo). Existuje tedy inverzní funkce, ze střední školy sipamatujeme, že jde o funkci f-1(x) = log2 x. Pred vykreslením grafu ješte urceme nekolik bodu. x -2 -1 0 1 2 2x 1/4 1/2 1 2 4 x 1/4 1/2 1 2 4 log2 x -2 -1 0 1 2 Cyklometrické funkce Definujeme je jako inverzní funkce ke goniometrickým funkcím. Pro x g (-1, 1} definujeme arcs/nx := u g (-f, f}, takové, že sin x = u. arccosx := u g (0, n}, takové, že cos x = u. Pro x g R definujeme arcŕgx := u g (-f, f), takové, že ŕgx = u. arccoŕgx := u g (0, n), takové, že coŕgx = u. 2 Cyklometrické funkce Složená funkce Máme-lifunkce 9: A — B a f: B — C, pak mUžeme definovat složenou funkciF : A — C předpisem F(x) = f(^(x)) . Funkciu = ^(x) nazýváme vnitřní složkou a funkciy = f(u) vneéjší složkou funkce F. F Složená funkce Máme-lifunkce 9: A — B a f: B — C, pak mUžeme definovat složenou funkciF : A — C předpisem F(x) = f(y>(x)) . Funkciu = y>(x) nazýváme vnitřní složkou a funkciy = f(u) vneéjší složkou funkce F. F Příklad : Urcete základní elementární funkce, ze kterých je složená funkce Složená funkce Máme-lifunkce 9: A — B a f: B — C, pak mUžeme definovat složenou funkciF : A — C předpisem F(x) = f(y>(x)) . Funkciu = y>(x) nazýváme vnitřní složkou a funkciy = f(u) vneéjší složkou funkce F. F Příklad : Urcete základní elementární funkce, ze kterých je složená funkce F(x) = i I—. v ' sin vx +1 Rešení: x — x + 1 — Vx + 1 — sin Vx + 1 — sin Jx+r. Tedy F (x) = f (g(h(y (x)))), kde y'(x) = x + 1, h(/)"= V/, g(h) = sin h, f (g) = 11. Spojitá funkce Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bode a, jestliže existuje f (a) a pro libovolnou přesnost e > 0 existuje U(a) (<5-okolí bodu a) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « f (a) (s presností e). .f(a)+£ -^^^^ .f (a) f(a)-e/ 1 y=f(x) / | | | / a-5 a a+ô □ rS1 ~ - Spojitá funkce Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bode a, jestliže existuje f (a) a pro libovolnou přesnost e > 0 existuje U(a) (ó-okolí bodu a) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « f (a) (s presností e). .f(a)+£ -^^^^ .f (a) f(a)-e/ 1 y=f(x) / | | | / a-5 a a+ô Poznámka : Mužeme též definovat spojitost zprava ci zleva pro pravé ci levé ó-okolí bodu a (U+(a), resp. U-(a)). Poznámka : Základní elementární funkce jsou spojité ve všech bodech definicního oboru. Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu ccíslu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bode x0 spojitá, pak zřejme v tomto bode má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. IŘešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definiccního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 x2£11-. Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^xo f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bode x0 spojitá, pak zřejme v tomto bode má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^f^. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x f (x) Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^Xo f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bode x0 spojitá, pak zřejme v tomto bode má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = x±1 je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^fJ-. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 f (x) 2,1 Limita funkce Řř ekneme, že funkce f(x) má limitu v bodeř x0 rovnu cříslu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bode x0 spojitá, pak zřejme v tomto bode má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definiccního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = 4 = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^f^. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 f (x) 2,1 1,9 Limita funkce Řř ekneme, že funkce f(x) má limitu v bodeř x0 rovnu cříslu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^fj-. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 1,01 f (x) 2,1 1,9 2,01 Limita funkce Řř ekneme, že funkce f(x) má limitu v bodeř x0 rovnu cříslu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 x2£11-. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 1,01 0,99 f (x) 2,1 1,9 2,01 1,99 Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx _^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x++f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definiccního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 x2£11-. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 1,01 0,99 1,001 f (x) 2,1 1,9 2,01 1,99 2,001 Limita funkce Řř ekneme, že funkce f(x) má limitu v bodeř x0 rovnu cříslu a, jestliže pro libovolnou presnost e > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^x0 f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx ^x0 f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definiccního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = 4 = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^f^. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 1,01 0,99 1,001 0,999 f (x) 2,1 1,9 2,01 1,99 2,001 1,999 Limita funkce Řekneme, že funkce f(x) má limitu v bode x0 rovnu císlu a, jestliže pro libovolnou přresnost e > 0 existuje okolí U (x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností e). Potom píšeme limx^xo f(x) = a . Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zrřejmeř v tomto bodeř má limitu a platí limx ^xo f (x) = f (x0). Příklad : Urcete limitu limx^3 x±f. Řešení: Funkce f(x) = ^ je spojitá ve všech bodech svého definicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx -3 f (x) = f (3) = f = 2. Příklad : Urcete limitu limx^1 ^f^. Řešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urceme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1. x 1,1 0,9 1,01 0,99 1,001 0,999 f (x) 2,1 1,9 2,01 1,99 2,001 1,999 Záver: Pro x "blížící se k 1" se hodnoty funkce "blíží k císlu 2". Limita funkce Věta : Pokud v nejakém okolí bodu x0 platí: Vx = x0 : f (x) = g(x), pak funkce f (x) má v bode x0 limitu práve tehdy když zde má limitu funkce g(x) a platí limx^x0 f (x) = lirrix^x0 g(x) . Limita funkce Věta : Pokud v nejakém okolí bodu x0 platí: Vx = x0 : f (x) = g(x), pak funkce f (x) má v bode x0 limitu práve tehdy když zde má limitu funkce g(x) a platí lirrix^x0 f (x) = limx-x, g(x) . Příklad : Urcete limitu limx^1 ^fJ-. Řešení: Pro všechna x = 1 platí: ^ = (x-xK1+1) = x + 1. Limita funkce Věta : Pokud v nejakém okolí bodu x0 platí: Vx = x0 : f (x) = g(x), pak funkce f (x) má v bode x0 limitu práve tehdy když zde má limitu funkce g(x) a platí lirrix^x0 f (x) = lirrix^x0 g(x) . Příklad : Urcete limitu limx^1 ^fJ-. Řešení: Pro všechna x = 1 platí: x2ff = (x "j^"^ = x + 1. Tedy funkce f (x) a g(x) = x + 1 splnují predpoklady predchozí vety a proto limx^1 f (x) = limx^1 (x + 1) = 1 + 1 = 2. Jednostranná limita Nahradíme-liv definici limity okolí bodu x0 pravým okolím U+(a), respektive levým okolím U-(a), dostaneme definicilimity zprava limx^xo+ f (x) , resp. zleva limx -^q,- f (x). Jednostranná limita Nahradíme-liv definici limity okolí bodu x0 pravým okolím U+ (a), respektive levým okolím U-(a), dostaneme definicilimity zprava limx^x0+ f (x) , resp. zleva limx f (x). Příklad : Pro funkci"celá cást" f (x) = |_xj definované jako [xj := n g N : n < x A n + 1 > x, urcete její limitu v bode x0 = 1. Jednostranná limita Nahradíme-liv definici limity okolí bodu x0 pravým okolím U+ (a), respektive levým okolím U-(a), dostaneme definicilimity zprava limx^x0+ f (x) , resp. zleva limx -^0- f (x). Příklad : Pro funkci"celá cást" f (x) = |_xj definované jako [x j := n g N : n < x A n + 1 > x, urcete její limitu v bode x0 = 1. Řešení: Limita neexistuje, pro x "napravo od bodu x0 = 1" platí [xj = 1, ale "nalevo od bodu x0 = 1" platí [xj = 0. Existují pouze jednostranné limity limx^i+ f (x) = 1, limx^i_ f (x) = 0. Obrázek: Graf funkce "celá cást", f (x) = [x J Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: □ - - 5-OQ.O Řozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to O TO + TO = TO □ - - 5-00*0 Řozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {oo, -oo}. Symboly oo, -oo nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + oo = oo + a = oo o oo + oo = oo o a - oo = -o + a = -oo Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {oo, -oo}. Symboly oo, -oo nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + oo = oo + a = oo o oo + oo = oo o a — oo = —o + a = —oo = Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to O TO + TO = TO o a -to = -to + a = -to O -TO - TO = -TO = □ - - 5-OQ.O Řozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {oo, -oo}. Symboly oo, -oo nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + oo = oo + a = oo o oo + oo = o o a - oo = -o + a = -oo -o - o = -o o ±oo • oo = ±oo o o • (±oo) = ±oo Řozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {oo, -oo}. Symboly oo, -oo nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + oo = oo + a = oo o oo + oo = o o a - oo = -o + a = -oo -o - o = -o o ±oo • oo = ±oo o o • (±oo) = ±oo -o • (-o) = o Řozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to O TO + TO = TO o a -to = -to + a = -to O -TO - TO = -TO O ±TO • TO = ±TO O TO • (±TO) = ±TO O -TO • (-TO) = TO o *- = 0 ±00 Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {oo, -oo}. Symboly oo, -oo nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + oo = oo + a = oo o o + oo = o o a - oo = -o + a = -oo -o - o = -o o ±oo • oo = ±oo o o • (±oo) = ±oo -o • (-o) = o o *- = 0 ±00 • a • oo = ±oo ("+" pro a > 0,"-" pro a < 0) Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to O TO + TO = TO o a — to = —to + a = —to O -TO - to = -TO O ±TO • TO = ±TO O TO • (±TO) = ±TO O -TO • (-TO) = TO o *- = 0 ±0 • a •to = ±to ("+" pro a > 0,"-" pro a < 0) o a • (-to) = ±to ("-" pro a > 0,"+" pro a < 0) Rozšíření množiny reálných císel Definujeme množinu R* = R u {to, -to}. Symboly to, -to nazýváme nevlastnímicísly. Pro a g R definujeme: o a + to = to + a = to O TO + TO = TO o a — to = —to + a = —to O -TO - TO = -TO O ±TO • TO = ±TO O TO • (±TO) = ±TO O -TO • (-TO) = TO o *- = 0 ±00 • a •to = ±to ("+" pro a > 0,"-" pro a < 0) o a • (-to) = ±to ("-" pro a > 0,"+" pro a < 0) Nekteré operace nejsou definovány, např. to - to, 0 •to, 0, °. Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -to. Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -oo. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -oo. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x f (x) Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -oo. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 f (x) 0,3 Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -to. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x++5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 95 f (x) 0,3 0,03 Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -to. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 95 995 f (x) 0,3 0,03 0,003 Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -oo. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 95 995 9995 f (x) 0,3 0,03 0,003 0,0003 Limity v nevlastních bodech Řekneme, že funkce f má v nekoneccnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -to. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 95 995 9995 99995 f (x) 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 Limity v nevlastních bodech Řř ekneme, že funkce f má v nekonecřnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost e platí pro všechna "dostatecne velká x: f (x) « a (s přesností e). Píšeme limx^TO f(x) = a Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -to. Příklad : Vypoctete limitu limx^TO x+5 Řešení: dosazujme do funkce "velká x". x 5 95 995 9995 99995 f (x) 0,3 0,03 0,003 0,0003 0,00003 Vidíme, že hodnoty funkce klesají k nule, tedy limx^TO x++5 = 3 = 0. Nevlastní limity Poznámka : U limit limx_^x0 ^ typu ^, kde a = 0, platí: limx^x0 = +oo, je-li g^x) > 0 v nejakém okolí bodu x0, lirrix^x0 gg(x) = -o, je-ligg(x) < 0 v nejakém okolí bodu x0, jinak limita neexistuje. Nevlastní limity Poznámka : U limit limx_^x0 ^ typu ^, kde a = 0, platí: limx^x0 = +oo, je-li g^x) > 0 v nejakém okolí bodu x0, lirrix^x0 gg(x) = -o, je-ligg(x) < 0 v nejakém okolí bodu x0, jinak limita neexistuje. Příklad : Vyšetrete nevlastní limity funkce f (x) = Nevlastní limity Poznámka : U limit limx_^x0 ^ typu ^, kde a = 0, platí: limx^x0 = +to, je-li g^x) > 0 v nejakém okolí bodu x0, lirrix^x0 gg(x) = -to, je-ligg(x) < 0 v nejakém okolí bodu x0, jinak limita neexistuje. Příklad : Vyšetrete nevlastní limity funkce f (x) = Řř ešení: Limity v nevlastních bodech: Iimx^ x-2 = i = 0 Nevlastní limity ľ'nW0 Kx) = +o, je-li limx^x0 ^ = -o, je-li Poznámka : U limit lim jinak limita neexistuje. Příklad : Vyšetrete nevlastní limity funkce f (x) = Řř ešení: Limity v nevlastních bodech: Iimx^ x-2 = i = 0 Protože D(f) = R \ {2}, zkusíme též spocítat limitu funkce v bode x0 = 2: Nevlastní limity Poznámka : U limit limx_^x0 ^ typu k, kde a = 0, platí: limx^x0 g$) = +to, je-lig(x) > 0 v nejakém okolí bodu x0, limx^x0 ^ = -to, je-lig(x) < 0 v nejakém okolí bodu x0, jinak limita neexistuje. Příklad : Vyšetrete nevlastní limity funkce f (x) = Řř ešení: Limity v nevlastních bodech: Iimx^ x-2 = k = 0 Protože D(f) = R \ {2}, zkusíme též spoccítat limitu funkce v bode x0 = 2: lirnx^2 x±_ neexistuje, nebot' > 0 pro x > 2, ale < 0 pro x < 2. Nevlastní limity linWo = +to, je-li limx^xo gfx) = -to, je-li Poznámka : U limit lim jinak limita neexistuje. Příklad : Vyšetrete nevlastní limity funkce f (x) = Řešení: Limity v nevlastních bodech: lirnx^ x-2 = k = 0 lirrw^ x-2 = -k = 0 Protože D(f) = R \ {2}, zkusíme též spocítat limitu funkce v bode x0 = 2: limx^2 x±_ neexistuje, nebot' > 0 pro x > 2, ale < 0 pro x < 2. Platí pouze : limx^2- ^ = -to lim '+ x-2 □ - - 5-OQ.O Nevlastní limita a graf Jestliže limx^Xo± f(x) = ±00, řekneme, že má funkce v bodě x0 asymptotu bez smernice (též svislou asymptotu): graf funkce se v pravém (resp. levém) okolí bodu x0 blíží k přímce x = x0. Nevlastní limita a graf Jestliže limx ^x0± f (x) = ±oo, řekneme, že má funkce v bode x0 asymptotu bez smeřrnice (též svislou asymptotu): graf funkce se v pravém (resp. levém) okolí bodu x0 blíží k přímce x = x0. Jestliže limx f (x) = a, (resp. limx ^-00 f (x) = a) rekneme, že má funkce vodorovnou asymptotu : graf funkce se na pravé (resp. levé) strane blíží k prímce y = a. □ - - 5-OQ.O Jestliže limx ^x0± f (x) = ±oo, řekneme, že má funkce v bode x0 asymptotu bez smeřrnice (též svislou asymptotu): graf funkce se v pravém (resp. levém) okolí bodu x0 blíží k přímce x = x0. Jestliže limx f (x) = a, (resp. limx ^-00 f (x) = a) rekneme, že má funkce vodorovnou asymptotu : graf funkce se na pravé (resp. levé) strane blíží k prímce y = a. Příklad : Funkce z předchozího příkladu f (x) = má asymptoty x = 2 a y = 0 Pravidla pro počítání limit Je-lilimx^X0 f (x) = A, limx^X0 g(x) = B pro x0, A, B e R*, pak: lirrw0 f (x) ± g(x) = A ± B Pravidla pro počítání limit Je-ľiľimx^Xo f (x) = A, limx^X0 g(x) = B pro x0, A, B g R*, pak: lirrw0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^xo f (x) • g(x) = A • B Pravidla pro počítání limit Je-ľiľimx^X0 f (x) = A, limx^X0 g(x) = B pro x0, A, B e R*, pak: lirrw0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^xo f (x) • g(x) = A • B limx^xo g(x) = B' pokud má pravá strana smysl v R*. Pravidla pro počítání limit Je-li limx^x0 f (x) = A, limx^x0 g(x) = B pro x0, A, B g R*, pak: linw0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^x0 f (x) • g(x) = A • B limx^x0 g(x) = B, pokud má pravá strana smysl v R*. Příklad : Vypoctete limitu limx2x3_6xx2+1. Pravidla pro počítání limit Je-li limx^x0 f (x) = A, limx^x0 g(x) = B pro x0, A, B g R*, pak: lirTW0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^x0 f (x) • g(x) = A • B lim .f(x) = A limx^x0 g(x) = B, pokud má pravá strana smysl v R*. Příklad : Vypoctete limitu limx2x3+5xx2+1. IŘešení: limx^TO 2x3+5>2+1 = , výraz není definován. □ - - 5-00.0 Pravidla pro počítání limit Je-li limx^x0 f (x) = A, limx^x0 g(x) = B pro x0, A, B g R*, pak: linw0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^x0 f (x) • g(x) = A • B limx^x0 g(x) = B, pokud má pravá strana smysl v R*. Příklad : Vypoctete limitu limx2x3+5x2±i. IŘešení: limx^TO 2x3+5x+1 = , výraz není definován. Pro x = 0 mužeme zlomek upravit: limix^oo 2x3+5xx2+1 = limix^oo 2x3+5xx2+1 • 4 = x2 Pravidla pro počítání limit Je-li limx^x0 f (x) = A, limx—x0 cg(x) = B pro x0, A, B e R*, pak: linw0 f (x) ± g(x) = A ± B limx^x0 f (x) • g(x) = A • B limx—x0 g(x) = B, pokud má pravá strana smysl v R*. Příklad : Vypoctete limitu limx—oc 2x3_5xx2+1. IŘešení: limx—o0 2x3+5x+1 = , výraz není definován. Pro x = 0 mužeme zlomek upravit: limix—oo 2x3+5xx2+1 = limix—oo 2x3+5xx+1 • 4 = x2 lim 2+ x + x2 = 2+0+0 = 2 limx —>oo _3__-| = 0-1 = -2 x2 ' Limita složené funkce Je-liF(x) = f(<£>(x)) a funkce f je spojitá v bode a, kde a = limx_^x0 ^(x), potom limx^x0 F (x) = f (limx^x0 (x)) a funkce f je spojitá v bode a, kde a = limx_^xo ^(x), potom limx^xo F (x) = f (lin^xo (x)) a funkce f je spojitá v bode a, kde a = limx_^x0 ^(x), potom limx^x0 F (x) = f (limx^x0 x-x„ / x Limitním prechodem se bod M přiblíží k bodu T, císlo f'(x0) tedy vyjadřuje smiěrnicitecny ke grafu funkce f v bode T = [x0, f(x0)]. Derivace vyšších rádu Derivace jako funkce: Má-lifunkce f derivaciv každém bode x0 intervalu / (prřípadneř v krajních bodech intervalu má derivaci zprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Přiřazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Derivace vyšších rádu Derivace jako funkce: Má-lifunkce f derivaciv každém bode x0 intervalu / (prřípadneř v krajních bodech intervalu má derivaci zprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Přirazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Příklad : Urcete funkcif je-lif(x) = x2. Derivace vyšších rádu Derivace jako funkce: Má-lifunkce f derivaciv každém bode x0 intervalu / (prřípadneř v krajních bodech intervalu má derivaci zprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Prirazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Příklad : Urcete funkcif je-lif(x) = x2. Řešení: f'(x0) = linw0 x2—f = lin^x, (x-^(x0+x0) = limx-^0(x + x0) = 2x0. Záver: Pro x g R platí: f (x) = 2x. Derivace vyšších rádu Derivace jako funkce: Má-li funkce f derivaci v každém bodeř x0 intervalu / (případne v krajních bodech intervalu má derivacizprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Prirazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Příklad : Urcete funkcif je-lif(x) = x2. Řešení: f'(x0) = lin^ x2—f = lin^x, (x-x°Kx0+x0) = linW0(x + x0) = 2x0. Záver: Pro x g R platí: f (x) = 2x. Jestliže na nejakém intervalu /1 c / má funkce f derivaci, pak tuto derivaci znacíme f" a nazýváme druhou derivací. Analogicky mužeme derivovat tretí derivacia derivace vyšších řádu. Derivace vyšších rádu Derivace jako funkce: Má-lifunkce f derivaciv každém bode x0 intervalu / (prípadne v krajních bodech intervalu má derivacizprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Prirazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Příklad : Urccete funkcif je-lif(x) = x2. Řešení: f'(x0) = limx—x0 x2—f = limx—x0 (x-x0-x0+x0) = nmx—x0(x + x0) = 2x0. Záver: Pro x e R platí: f (x) = 2x. Jestliže na nejakém intervalu /1 c / má funkce f derivaci, pak tuto derivaci znacíme f" a nazýváme druhou derivací. Analogicky mužeme derivovat tretí derivacia derivace vyšších rádů. Příklad : Urccete druhou derivacif" pro funkcif (x) = x2. Derivace vyšších řádU Derivace jako funkce: Má-lifunkce f derivaciv každém bode x0 intervalu / (prípadne v krajních bodech intervalu má derivacizprava, resp. zleva), pak f je na tomto intervalu spojitá. Prirazení x0 — f (x0) zde definuje funkci f'. Příklad : Urccete funkcif je-lif(x) = x2. Řešení: f'(x0) = linx-^, x2—f = lin^x, (x-x0-(*+x0) = lin^(x + x0) = 2x0. Záver: Pro x g R platí: f (x) = 2x. Jestliže na nejakém intervalu /1 c / má funkce f derivaci, pak tuto derivaci znacíme f" a nazýváme druhou derivací. Analogicky mužeme derivovat tretí derivacia derivace vyšších rádiů. Příklad : Urccete druhou derivacif" pro funkcif (x) = x2. Řešení: Jelikož f (x) = 2x, platí: f"(x) = (2x)' = 2. Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: rS1 ~ - s -Ot\(v Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: rS1 ~ - s -Ot\(v Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr_1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 • (lo9ax ľ = dna Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 • (logax ľ = dna • (sin x)' = cos x Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 • (lo9ax ľ = dna • (sin x)' = cos x • (cos x)' = - sin x Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr_1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 • (logaxľ = xina • (sin x)' = cos x • (cos x)' = - sin x • (fox )' = -4^ \ 'y) cos2 x Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr_1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = axlna, a > 0 (lnx)' = 1 • (logaxľ = dna • (sin x)' = cos x • (cos x)' = - sin x (tgxľ = cok Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = T • (lo9axľ = dna • (sin x)' = cos x • (cos x)' = - sin x (tgx ľ = cok • (cotgx)' = i^x • (arcsin x)' = ,1 Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 (lo9axľ = xina (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (arcsin x)' = ,1 (arccos x)' = ,-1 , □ rS1 ~ - Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr-1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 (logaxľ = xina (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (arcsin x)' = ,1 (arccos x)' = ,-1 □ ťJi - - Derivace elementárních funkcí Všude, kde jsou obe strany definovány, platí: • (xr)' = rxr_1, r g R • (ex)' = ex • (ax)' = ax/na, a > 0 (/nx)' = 1 (logaxľ = xina (sin x)' = cos x (cos x)' = - sin x (arcsin x)' = ,1 (arccos x)' = ,_1 □ ť3> - - *3 (y Pravidla pro derivování Příklad : Urcete derivaci f' pro funkci f (x) = Vx7. Pravidla pro derivování Příklad : Urccete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Řešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = 2 x 2-1 = \\fx^ Pravidla pro derivování Příklad : Urccete derivacif' pro funkcif (x) = \fxT. Řešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = \ x 2-1 = \\fx^ Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) Pravidla pro derivování Příklad : Urcete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Řešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = 2 x 2-1 = 2v/x5 Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) Pravidla pro derivování Příklad : Urcete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Rešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = \ x 2-1 = \\fx^ Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: o (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) Pravidla pro derivování Příklad : Urccete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Řešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = 2 x 2-1 = \\fx^ Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c e R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: o (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) Pravidla pro derivování Příklad : Urccete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Řešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = \ x 2-1 = Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: o (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) Příklad : Urccete derivace pro funkce u(x) = sin x • ex, v (x) arctgx x 2 Pravidla pro derivování Příklad : Urcete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Rešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = \ x 2-1 = Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: o (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) m f fCxl V = f '(x ).g(x )-f (x ).g'(x) \g(x)J = g2 (x) Příklad : Urcete derivace pro funkce u(x) = sin x • ex, v (x) = arx2gx. IŘešení: u'(x) = (sin x)' • ex + sin x • (ex)' = cos x • ex + sin x • ex Pravidla pro derivování Příklad : Urcete derivacif' pro funkcif(x) = \fxT. Rešení: Jelikož f (x) = x 2, pro x > 0 platí: f '(x) = \ x 2-1 = \\fx^ Pro libovolné funkce f (x), g (x) a c g R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivacia kde jsou násl. výrazy definovány: o (c.f(x))' = c.f'(x) (f (x) ± g(x))' = f '(x) ± g'(x) (f (x ).g(x))' = f '(x ).g (x) + f (x ).g'(x) arctgx x 2 Derivace složené funkce F(x) = f(^(x)) Má-livnitrní složka u = ^(x) derivaciv bode x0 a vnejší složka v bode u0 = ^(x0), pak existuje F'(x0) a platí: F'(xo) = f'(uo) • ^'(xo) = f'Mxo)) • ^'(xo) Derivace složené funkce F(x) = f(^(x)) Má-livnitrní složka u = ^(x) derivaciv bode x0 a vnejší složka v bode u0 = ^(x0), pak existuje F'(x0) a platí: F'(x0) = f'(u0) • ^0) = f'(^(x0)) • ^'(x0) Příklad : Urccete derivacifunkce F (x) = V x2 + 1. □ - - 5-00*0 Derivace složené funkce F(x) = f(^(x)) Má-livnitrní složka u = y>(x) derivaciv bode x0 a vneejší složka v bode u0 = ^(x0), pak existuje F'(x0) a platí: F'(x0) = ř'(u0) • ^0) = f (^(x0)) • ^'(x0) Příklad : Urcete derivacifunkce F (x) = V x2 + 1. Rešení: Jde o složenou funkci, vnitrní složka u = x2 + 1, vnejší složka f(u) = Derivace složené funkce F(x) = f(^(x)) Má-livnitrní složka u = ^(x) derivaciv bode x0 a vnejší složka v bode u0 = ^(x0), pak existuje F'(x0) a platí: F'(x0) = f'(u0) • ^0) = f'(^(x0)) • ^'(x0) Příklad : Urccete derivacifunkce F (x) = V x2 + 1. Řešení: Jde o složenou funkci, vnitrní složka u = x2 + 1, vnejší složka f(u) = Tu. 1 Tyto funkce mají derivace u' = 2x, f'(u) = 2u-2 = tj^u. Tedy F'(x) = ^ • 2x = /1 • 2x. Použití derivací Pomocí derivací lze řešit velmirozsáhlou skupinu praktických úloh: výpocet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování paibehu funkce, přibližné výpocřty, apod. Použití derivací Pomocí derivací lze rřešit velmi rozsáhlou skupinu praktických úloh: výpocřet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování paibehu funkce, približné výpocřty, apod. Příklad : Urcete rovnicitecny ke grafu funkce f (x) = e1_x v bode T =[1, f(1)]. Použití derivací Pomocí derivací lze řešit velmirozsáhlou skupinu praktických úloh: výpoccet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování prubehu funkce, približné výpocřty, apod. Příklad : Urccete rovnicitecny ke grafu funkce f (x) = e1-x v bode T =[1, f(1)]. Řešení: Dle definice derivace je smernice hledané teccny rovna f'(1). Z analytické geometrie víme, že rovnice prřímky procházející bodem T = [1, f(1)] se smernicí f'(1) je: y - f(1) = f'(1) • (x - 1). Použití derivací Pomocí derivací lze řešit velmirozsáhlou skupinu praktických úloh: výpoccet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování paibehu funkce, približné výpocřty, apod. Příklad : Urccete rovnicitecny ke grafu funkce f (x) = e1-x v bode T =[1, f(1)]. Řešení: Dle definice derivace je smernice hledané teccny rovna f'(1). Z analytické geometrie víme, že rovnice prřímky procházející bodem T = [1, f(1)] se smernicí f'(1) je: y - f(1) = f'(1) • (x - 1). Nyní zbývá urcit ccísla f(1), f'(1) : f (1) = e0 = 1, Použití derivací Pomocí derivací lze řešit velmirozsáhlou skupinu praktických úloh: výpocet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování prubehu funkce, približné výpocřty, apod. Příklad : Urcete rovnicitecny ke grafu funkce f (x) = e1-x v bode T =[1, f(1)]. Rešení: Dle definice derivace je smernice hledané tecny rovna f'(1). Z analytické geometrie víme, že rovnice prřímky procházející bodem T = [1, f(1)] se smernicí f'(1) je: y - f(1) = f'(1) • (x - 1). Nyní zbývá urcit císla f(1), f'(1) : f (1) = e0 = 1, f'(x) = e1-x • (1 - x)' = -e1-x. Tedy f'(1) = -e0 = -1. Použití derivací Pomocí derivací lze řešit velmirozsáhlou skupinu praktických úloh: výpocet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování paibehu funkce, přibližné výpocřty, apod. Příklad : Urcete rovnicitecny ke grafu funkce f (x) = e1-x v bode T =[1, f(1)]. Rešení: Dle definice derivace je smernice hledané tecny rovna f'(1). Z analytické geometrie víme, že rovnice prřímky procházející bodem T = [1, f(1)] se smernicí f'(1) je: y - f(1) = f'(1) • (x - 1). Nyní zbývá urcit císla f(1), f'(1) : f (1) = e0 = 1, f'(x) = e1-x • (1 - x)' = -e1-x. Tedy f'(1) = -e0 = -1. Rovnice hledané prímky je y - 1 = -1 • (x - 1), tj. y = -x + 2. □ - - 5-OQ.O Výpočet limit pomocí derivací - ĽHôspitalovo pravidlo Uvažujme limitu lim g(xL typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim ^ = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" muže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Výpočet limit pomocí derivací - ĽHôspitalovo pravidlo Uvažujme limitu lim ^ typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim ^ = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" miůže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nx. Výpočet limit pomocí derivací - ĽHôspitalovo pravidlo Uvažujme limitu lim ^ typu o nebo ±g. Pak: existuje - li lim = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" miůže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nx. f '(x) Rešení: limx^0 ^ Použijeme L'Hôsp/'ŕa/ovo prav/d/o: Výpocet limit pomocí derivací - ĽHosp/ŕa/ovo prav/d/o Uvažujme limitu lim ^ typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" muže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nnx. Řešení: limx^0 sinnx = " 0". Použijeme L'HOsp/ŕa/ovo prav/d/o: ľ.m sin x _ Wrr, sin' x _ lim cos x _ H □ - - 5-00.0 Výpocet limit pomocí derivací - ĽHosp/ŕa/ovo prav/d/o Uvažujme limitu lim ^ typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim ^ = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" miůže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nx. Řešení: limx^0 s!nx = M 0 M = 0 limx^0snx = limx 0sn^ x-0 "xt- Použijeme L'Hôsp/ía/ovo prav/d/o: cos x 1. Poznámka : Nekteré limity je nutné pred vlastním výpoctem prevést do podílového tvaru. Příklad : Spoctete limitu limx^0+ a/x • /nx. Výpocet limit pomocí derivací - ĽHosp/ŕa/ovo prav/d/o Uvažujme limitu lim ^ typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim ^ = a e R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim ^gT^x) = a, přicemž symbol "lim" muže predstavovat libovolnou limitu x — a e R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nx. Řešení: limx_>0 s!nx = M 0 M = 0 limx^0snx = limx 0sn^ x-0 -jr- Použijeme L'Hôsp/ía/ovo prav/d/o: cos x 1. Poznámka : Nekteré limity je nutné pred vlastním výpoctem prevést do podílového tvaru. Příklad : Spoctete limitu limx^0+ a/x • /nx. Řešení: limx^0+ a/x • /nx = "0 • (-to)" . Limitu zapíšeme jako: limx^0+ -/nxr x 2 Nyní již jde o limitu typu "0", použijeme L' H: Výpočet limit pomocí derivací - ĽHôspitalovo pravidlo Uvažujme limitu lim ^ typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li lim ^ = a g R*, existuje i lim g(x) a platí: lim g(x) = lim = a, přicemž symbol "lim" muže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a-. Příklad : Spoctete limitu limx^0 s!nx. Rešení: lim = lim sin x = M 0 M = 0 sin' x x-0 ~xr- Použijeme /.'/-/ôsp/ŕa/ovo prav/d/o: cos x 1. Poznámka : Nekteré limity je nutné pred vlastním výpoctem prevést do podílového tvaru. Příklad : Spoctete limitu limx^0+ a/x • /nx. Rešení: limx^0+ a/x • /nx = "0 • (-oo)". Limitu zapíšeme jako: limx^0+ Nyní již jde o limitu typu "0", použijeme L' H: lnx _ i x 2 lnx _ i x 2 1 -S 2 x 2 limx^0+ -2x 2 = 0. Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif (x). Pak platí: Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí. □ - - 5-00*0 Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí. o je-lif'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající. □ - - 5-OQ.O Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí. o je-lif'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající. o je-li f'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / neklesající. □ - - 5-OQ.O Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif (x). Pak platí: o je-lif (x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí. o je-li f'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající. o je-li f'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / neklesající. o je-li f'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / nerostoucí. Příklad : Urcete intervaly monotónnostifunkce f (x) = x3 - 3x + 1 Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / rostoucí. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / klesající. o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / neklesající. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / nerostoucí. Příklad : Urcete intervaly monotónnostifunkce f (x) = x3 - 3x + 1 Rešení: Budeme vycházet z funkce f'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující : Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / rostoucí. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / klesající. o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / neklesající. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / nerostoucí. Příklad : Urcete intervaly monotónnostifunkce f (x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce f'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující:_ (-oo,-1) (-1,1) (1,oo) + - + Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / rostoucí. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / klesající. o je-li f'(x) > 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / neklesající. o je-li f'(x) < 0 Vx g / funkce f f je na intervalu / nerostoucí. Příklad : Urcete intervaly monotónnostifunkce f (x) = x3 - 3x + 1 Rešení: Budeme vycházet z funkce f'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1 , 1, ty rozdeřlí reálnou osu na trři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující:_ (-oo,-1) (-1,1) (1,oo) + - + Tedy podle predchozí vety je funkce f (x) rostoucí na intervalu (-o, -1), klesající na (-1 , 1 ) a opeřt rostoucí na (1 , o ).