Matematická analýza
Pro pochopení látky jsou nutné znalosti stredoškolské matematiky, zejména:
■ množiny, množinové operace
■ výroky, logické spojky, kvantifikátory
■ Číselné obory Z, N, Q, R
m pojmy konstanta, promenná, interval, okolí bodu, minimum, maximum, absolutní hodnota
■ algebraické výrazy a jejich úpravy
■ základní elementární funkce a jejich vlastnosti (polynom, racionální lomená funkce, odmocnina, exponenciální a goniometrické funkce, logaritmus)
■ pojmy sudá, lichá, periodická funkce
■ rovnice a nerovnice
Základní definice
Funkce : Pro A c R, B c R nazýváme predpis f : A — B, který každému x g A priradí práve jedno y g B, reálnou funkcí reálné promenné. Pro B c Rn mluvíme o funkci n promeenných. Používáme zápis y = f (x) , kde y nazýváme závislou a x nezávislou
promennou. Pro konstantu x0 g A cteme zápis y0 = f(x0) jako: y0 je funkcní hodnota funkce f v bode x0.
Dále množinu A nazýváme definicní obor funkce f a znacíme ji Df. Množinu {y g B : 3x g A : y = f (x)} nazýváme obor hodnot funkce f,
znacíme Hf.
Poznámka : Funkce vetšinou definujeme výrazem s promennou x, definicním oborem pak rozumíme množinu všech x g R, pro než má daný výraz smysl.
Příklad : Urcete definicní obor funkce f (x) = . Řešení: Df = {x g R : x - 1 = 0} = R \ {1}.
Graf funkce
Množinu bodů {[x, f (x)], x e Df} znázorněných v kartézském
souřadném systému nazýváme grafěm funkcě. Příklad : NaCrtnětě graf funkcě f (x) = .
Rěšění: Grafěm funkcě jě hypěrbola, vyznaCmě něěkolik pomocných bodu:
x	-3	-2	-1	0	1/4	3/2	7/4	2	5/2	3
y	-1/4	-1/3	-1/2	-1	-4/3	2	4/3	1	2/3	1/2
Inverzní funkce
Řekneme, že funkce f: A — B je prostá, jestliže v rUzných bodech nabývá rUzných hodnot, tedy Vx1 , x2 g A : x1 = x2    f(x) = f(x2) .
Jestliže je funkce f: A — B je prostá a je-li Hf = B, pak k ní existuje inverzní funkce f-1 : B — A, která každému y g B přiřadí jeho vzor,
tedy f-1 (y) = x , kde y = f (x).
Obrázek: Schéma inverzní funkce
Inverzní funkce
Příklad : UrCete funkci inverzní k f (x) = 3x + 5.
Řešení: Jde o prostou funkci z R na R. Z rovnice y = 3x + 5
vyjádříme x, tedy: x = y--5. Proto f-1 (y) = y--5. Jelikož jsme zvyklí
používat oznaCení y pro závislou promennou, píšeme f-1 (x) = x--5.
Příklad : UrCete funkci inverzní k f (x) = x2. Řešení: Funkce f (x) = x2 není na celém definicním oboru prostá, inverze tedy neexistuje. Zúžením definicního oboru na A = (0, oo) bychom dostali prostou funkci f: A — A. Víme, že k ní inverzní funkcí
je f-1 (x) = ^.
	1	/
	f(x)=x2 ,	
	.5 /	
-.5	.5	1
Obrázek: f: R -+ A
Obrázek: f: A A
Inverzní funkce
Příklad : UrCete funkci inverzní k f (x) = 2x a naCrtnete jejich grafy. Řešení: Funkce f (x) = 2x je prostá funkce z R na (0, oo). Existuje tedy inverzní funkce, ze strední školy si pamatujeme, že jde o funkci f-1 (x) = log2 x. Před vykreslením grafu ješte urceme neekolik bodu.
x	-2	-1	0	1	2
2x	1/4	1/2	1	2	4
x	1/4	1/2	1	2	4
log2 x	-2	-1	0	1	2
Cyklometrické funkce
Definujeme je jako inverzní funkce ke goniometrickým funkcím.
Pro x e (-1,1) definujeme
arcsinx := u e (-f, f), takové, že sin x = u.
arccosx := u e (0,n), takové, že cos x = u.
Pro x e R definujeme
arctgx := u e (-f, f), takové, že tgx = u.
arccotgx := u e (0,n), takové, že cotgx = u.
Cyklometrické funkce
Složená funkce
Máme-li funkce <p : A — B a f: B — C, pak mUžeme definovat
složenou funkci F : A — C předpisem F(x) = f(<p(x)) . Funkci
u = <^(x) nazýváme vnitřní složkou a funkci y = f(u) vnejší složkou funkce F.
Příklad : Urcete základní elementární funkce, ze kterých je složená funkce F(x) = -—^=.
v 7     sin vx +1
Řešení: x — x + 1 — Vx + 1 — sin Vx + 1   v 1
->--7=
sin Vx +1 '
Tedy F(x) = f(g(h(j(x)))), kde j(x) = x + 1, h(j) = yj, g(h) = sin h,
f (g ) = J.
Spojitá funkce
Řekneme, že funkce f (x) je spojitá v bode a, jestliže existuje f (a) a pro libovolnou presnost s > 0 existuje U(a) (5-okolí bodu a) takové,
že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « f (a) (s presností s).
■			
	f(a)+e	r/y=f(x)	
	f(a) "/* f(a)-E ~/\	■	
	j        a-5      a a+5		
Poznámka : Mužeme též definovat spojitost zprava ci zleva pro pravé ci levé 5-okolí bodu a (U+ (a), resp. U-(a)).
Poznámka : Základní elementární funkce jsou spojité ve všech bodech definicního oboru.
Limita funkce
Řekneme, že funkce f (x) má limitu v bode x0 rovnu ccíslu a, jestliže pro libovolnou přesnost s > 0 existuje okolí U(x0) takové, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f (x) « a (s přesností s). Potom píšeme
limx    f (x) = a .
Poznámka : Pokud je funkce x v bodeř x0 spojitá, pak zřrejmeř v tomto bode má limitu a platí limx^x0 f (x) = f (x0).
Příklad : Urcete limitu limxx±f.
Řešení: Funkce f (x) = x±5 je spojitá ve všech bodech svého
defnicního oboru Df = R \ {-1}. Tedy limx^3 f (x) = f (3)
8 4
2.
x
x
1
Příklad : Urcete limitu limx^1 x_ 1 .
IŘešení: Df = R \ {1}. Tedy funkce není v bode x0 = 1 spojitá. Urcřeme si neřkolik hodnot funkce v okolí bodu x0 = 1.
x	1,1	0,9	1,01	0,99	1,001	0,999
f (x)	2,1	1,9	2,01	1,99	2,001	1,999
I_I_I_I_I_I_I_p
Záver: Pro x "blížící se k 1"se hodnoty funkce "blíží k ccíslu 2".
Limita funkce
Věta : Pokud v nejakém okolí bodu x0 platí: Vx = x0 : f (x) = g (x), pak funkce f(x) má v bodeř x0 limitu práveř tehdy když zde má limitu
funkce g (x) a platí limx —0 f (x) = limx —0 g (x) . Příklad : Urcete limitu limx—1 xx2—_1.
Řešení: Pro všechna x = 1 platí: ^ = (x^l^— = x + 1. Tedy funkce f (x) a g (x) = x + 1 splnují předpoklady předchozí vety a proto limx-1 f (x) = limx-1 (x + 1) = 1 + 1 = 2.
Jednostranná limita
Nahradíme-li v definici limity okolí bodu x0 pravým okolím U+ (a), respektive levým okolím U-(a), dostaneme definici limity zprava
limx^xo + f (x) , resp. zleva lirrix^xo - f (x).
Příklad : Pro funkci "celá cást"f(x) = [x j definované jako [xj := n g N : n < x A n + 1 > x, urcete její limitu v bode x0 = 1. Řešení: Limita neexistuje, pro x "napravo od bodu x0 = 1"platí [xj = 1, ale "nalevo od bodu x0 = 1"platí [xj = 0. Existují pouze jednostranné limity limx^1+ f(x) = 1, limx^1- f(x) = 0.
Obrázek: Graf funkce "celá cást", f (x) = [x_
Rozšíření množiny reálných císel
Definujeme množinu R* = R u (oo, -oo}. Symboly oo, —oo nazýváme nevlastními císly. Pro a e R definujeme:
■ a + oo = oo + a = oo
■ oo + oo = oo
a — o = —o + a = —oo
■ —o — o = —oo
■ ±oo • oo = ±oo
■ o • (±oo) = ±oo
■ —oo • (—o) = o
±00
a • oo = ±oo ("+"pro a > 0, "-"pro a < 0)
■ a • (—o) = ±oo ("-"pro a > 0, "+"pro a < 0)
Neekteré operace nejsou definovány, napr. o — o, 0 • oo, ^, 0.
Limity v nevlastních bodech
Řekneme, že funkce f má v nekoneCnu limitu rovnu a, jestliže pro libovolnou přesnost s platí pro všechna "dostateCne velká x: f (x) « a
(s presností s). Píšeme limx^^ f (x) = a
Analogicky se definuje limita v nevlastním bode -oo.
Příklad : Vypoctete limitu limx^^ x^ Řešení: dosazujme do funkce "velká x".
x	5	95	995	9995	99995
f (x)	0,3	0,03	0,003	0,0003	0,00003
Vidíme, že hodnoty funkce klesají k nule, tedy limx^^ x++5 = — = 0.
Nevlastní limity
Poznámka : U limit limx^xo ^ typu oo, kde a = 0, platí:
limx^x0      = +00, je-li      > 0 v nejakém okolí bodu xo,
limx^x0      = -oo, je-li      < 0 v nejakém okolí bodu x0, jinak limita neexistuje.
Příklad : Vyšetřete nevlastní limity funkce f (x) = x^f.
Řešení: Limity v nevlastních bodech:
limx^oo x1f = — = 0
lim^^oo x1f = — = 0
Protože D (f) = R \ {2}, zkusíme též spocítat limitu funkce v bode x0 = 2: limx^2     neexistuje, nebot'      > 0 pro x > 2, ale      < 0 pro x < f. Platí pouze :
limx^f— x—2 = -oo limx^2+ x^2 = +o.
Nevlastní limita a graf
Jestliže limx^x0 ± f (x) = ±00, řekneme, že má funkce v bode x0 asymptotu bez smernice (též svislou asymptotu): graf funkce se v pravém (resp. levém) okolí bodu x0 blíží k prímce x = x0.
Jestliže lim^oo f (x) = a, (resp. \\mx^-o0 f (x) = a) řekneme, že má funkce vodorovnou asymptotu : graf funkce se na pravé (resp. levé) strane blíží k prímce y = a.
Příklad : Funkce z předchozího príkladu f (x) =      má asymptoty
x = 2 a y = 0
Pravidla pro počítání limit
Je-li limx    f (x) = A, limx    g (x) = B pro x0, A, B e R*, pak:
limx    f (x) ± g (x ) = A ± B limx^x0 f (x) • g (x) = A • B
limx g (x) = b '
pokud má pravá strana smysl v R*.
Příklad : Vypoctete limitu limx^O 2x3+5x;2+1.
Řešení: lim^oo 2x3+5x;2+1 = -z9-, výraz není definován. Pro x = 0
mužeme zlomek upravit: limx^O 2x3+5xx2+1 = limx^O 2x3+5xx2+1 • x =
x 2
lim 2+5 + x2 = 2+0+0 = _ 2
Mlllx—^oo    A_1    —   0 — 1 —
x2
Limita složené funkce
Je-li F (x) = f (<p(x)) a funkce f je spojitá v bode a, kde
a = linrix^xo <p(x), potom |limx^xo F (x) = f (limx^xo <p(x)) = f (a).
Příklad : limx^o sin (1) = sin (limx^o T) = sin 0 = 0
Poznámka : U limit typu oo - oo, 0 • (±oo), apod. se nekdy funkce rozšíri vhodným výrazem na podílový tvar.
Příklad :
limx -+oc V X + 1 -      = " OO - OO limx -+oc (Vx + 1 - y/x) • v/x+++T +^ =
x+1-x   = lim 1       = J_ = o
Derivace
Jestliže pro funkci f a bod x0 existuje císlo
f (x0) = limx—x0 x-x0—,
pak toto císlo nazýváme derivací funkce f v bode x0.
Poznámka : V prípade, že existuje jen limx—x0±, mluvíme o derivaci zprava, pro limx—x0-, mluvíme o derivaci zleva
Příklad : Urcete f' (2), je-li f (x) = x2.
Řešení: f' (2) = limx—2 4-í = limx—2 (x-2-2±2) = limx—2(x + 2) = 4
Poznámka : Pro y = f (x) píšeme též y' = ^, derivace tedy vyjadřuje okamžitý relativní přímstek neboli tempo mstu závislé promenné. V ekonomii například velicina TC (celkové náklady) závisí na velicine Q (velikost produkce). Definujeme veliccinu MC = TC' = ^, tuto velicinu nazýváme marginální náklady.
Geometrický význam derivace
Podíl f {x)x—fx[Xo} je smernicí přímky jdoucí body T [x0, f (x0)], M [x, f (x)] :
Limitním prechodem se bod M priblíží k bodu T, císlo f (x0) tedy vyjadruje smernici tecny ke grafu funkce f v bode T = [x0, f(x0)].
Derivace vyšších rádu
Derivace jako funkce: Má-li funkce f derivaci v každém bode x0
intervalu / (prípadne v krajních bodech intervalu má derivaci zprava,
resp. zleva), pak je na tomto intervalu spojitá. Přirazení x0 — f' (x0)
zde definuje funkci f'.
Příklad : Urcete funkci f' je-li f (x) = x2.
Řř ešení: 2 2
f'(x0) = limw0 xJ-x0 = limw0 (x-J^-^hXb} = linrwx,(x + x0) = 2x0. Záver: Pro x g R platí: f' (x) = 2x.
Jestliže na nejakém intervalu /1 c / má funkce f' derivaci, pak tuto derivaci znacíme f" a nazýváme druhou derivací. Analogicky mužeme derivovat třetí derivaci a derivace vyšších rádu.
Příklad : Urcete druhou derivaci f" pro funkci f (x) = x2. Řešení: Jelikož f'(x) = 2x, platí: f"(x) = (2x)' = 2.
Derivace elementárních funkcí
Všude, kde jsou obe strany definovány, platí:
(ax)' = ax/na, a > 0
(/nx)' = 1
= 1
(logax ľ" x ./na
(sin x y = cos x (cos x y = - sin x
1
cos2
-1 sin2 x
x
(cotgx)' — -1
(arcsin x)'— 1 (arccos x)'
= -1
(arCÍgx)/ = ^
(arccorgx)' = ^
Pravidla pro derivování
Pro libovolné funkce f(x), g(x) a c e R platí ve všech bodech, kde mají f a g derivaci a kde jsou násl. výrazy definovány:
■ (c.f (x))' = c.f (x)
■ (f (x) ± g (x))' = f' (x) ± g' (x)
■ (f (x ).g (x))' = f' (x ).g (x) + f (x ).g' (x)
(Řešení: u'(x) = (sin x)' • ex + sin x • (ex)' = cos x • ex + sin x • ex
Příklad : Urôete derivace pro funkce u (x)
sin x • ex, v (x)
arcfgx x 2
v'(x)
(arcgfx)' -x2—arcfgx • (x2)' x 4
(arcfgx )-2x
Derivace složené funkce F(x) = f(<p(x))
Má-li vnitrní složka u = ^(x) derivaci v bode x0 a vnejší složka v bode uo = <p(xo), pak existuje F'(x0) a platí:
F'(xo) = f'(uo) • <//(xo) = f'(^(xo)) • ^(xo)
Příklad : UrCete derivaci funkce F(x) = Vx2 + 1.
Řešení: Jde o složenou funkci, vnitřní složka u = x2 + 1, vnejší
složka f(u) = \fu.
Tyto funkce mají derivace u' = 2x, f'(u) = 2u-1 = ^. Tedy F' (x) =      • 2x = —J= • 2x.
Použití derivací
Pomocí derivací lze rešit velmi rozsáhlou skupinu praktických úloh: výpocet složitých limit, hledání extrému funkce, vyšetřování prubehu funkce, približné výpocty, apod.
Příklad : Urcete rovnici tecny ke grafu funkce f (x) = e1-x v bode T =[1, f (1)].
Rešení: Dle definice derivace je smernice hledané tecny rovna f (1). Z analytické geometrie víme, že rovnice přímky procházející bodem
T = [1, f(1)] se smernicí f (1) je: y — f(1) = f (1) • (x — 1).
Nyní zbývá urcit císla f(1), f (1) : f (1) = e0 = 1,
f (x) = e1-x • (1 — x)' = —e1-x. Tedy f (1) = —e0 = —1.
Rovnice hledané prímky je y — 1 = —1 • (x — 1), tj. y = —x + 2.
Výpočet limit pomocí derivací - ĽHôspitalovo pravidlo
Uvažujme limitu lim g(x) typu 0 nebo ±g. Pak: existuje - li
lim £jx) = a g R*, existuje i lim     a platí: lim     = lim £jxl = a,
přicemž symbol "lim"muže predstavovat libovolnou limitu x — a g R* nebo i jednostrannou limitu x — a+ nebo x — a—. Příklad : Spoctete limitu limx—0 sinnx.
Řešení: limx—0 sinx = " 0". Použijeme L'Hosp/ŕa/ovo pra v/d/o:
i:m       sinx — lim       sin' x _ i;,^       cos x _ h limx—0 ~xr = limx—<0—xxr- = limx—0 = 1
Poznámka : Nekteré limity je nutné před vlastním výpoctem prevést do podílového tvaru.
Příklad : Spoctete limitu limx—0+ 0x • /nx.
Řešení: limx—0+ 0x • /nx = " 0 • (—oo)". Limitu zapíšeme jako:
limw0+ -/nxr. Nyní již jde o limitu typu      použijeme L' H:
x    2 0
limx—0+ Jnrv =limx—0+ = limx—0+ —2x1 = 0.
x    2 —1 x 2
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu / derivaci f (x). Pak platí:
■ je-li f (x) > 0 Vx e /, funkce f je na intervalu / rostoucí.
■ je-li f (x) < 0 Vx e /, funkce f je na intervalu / klesající.
■ je-li f (x) > 0 Vx e /, funkce f je na intervalu / neklesající.
■ je-li f (x) < 0 Vx e /, funkce f je na intervalu / nerostoucí.
Příklad : Urôete intervaly monotónnosti funkce f (x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce f (x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f (x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tri intervaly. Znamení funkce f (x) je následující:
(-o,-1)	(-1,1)	(1,oo)
+	-	+
Tedy podle předchozí vety je funkce f (x) rostoucí na intervalu (-oo, -1), klesající na (-1, 1) a opeet rostoucí na (1, oo).