Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí:
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí.
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí.
o je-lif'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající.
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí.
o je-lif'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající.
o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / neklesající.
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí: o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / rostoucí.
o je-lif'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / klesající.
o je-lif'(x) > 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / neklesající.
o je-li f'(x) < 0 Vx g /, funkce f je na intervalu / nerostoucí.
Příklad : Urccete intervaly monotónnostifunkce f (x) = x3 - 3x + 1
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí:
o	je-li	f '(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ rostoucí.
o	je-li	f '(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ klesající.
o	je-li	/'(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ neklesající.
o	je-li	/'(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ nerostoucí.
Příklad : Urccete intervaly monotónnostifunkce /(x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce /'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující :
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí:
o	je-li	f '(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ rostoucí.
o	je-li	f '(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ klesající.
o	je-li	/'(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ neklesající.
o	je-li	/'(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ nerostoucí.
Příklad : Urccete intervaly monotónnostifunkce /(x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce /'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující:_
(-oo,-1)	(-1,1)	(1,oo)
+	-	+
Derivace a monotónnost funkce
Věta : Uvažujme funkcif(x), která má na intervalu / derivacif'(x). Pak platí:
o	je-li	f '(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ rostoucí.
o	je-li	f '(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ klesající.
o	je-li	/'(x)	> 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ neklesající.
o	je-li	/'(x)	< 0 Vx G /	funkce /	f je na intervalu	/ nerostoucí.
Příklad : Urccete intervaly monotónnostifunkce /(x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce /'(x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f'(x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f'(x) je následující:_
(-oo,-1)	(-1,1)	(1,oo)
+	-	+
Tedy podle predchozí vety je funkce f (x) rostoucí na intervalu (-o, -1), klesající na (-1 , 1 ) a opeřt rostoucí na (1 , o ).
Intervaly monotónnosti funkce - příklad
Znázorněme sigraf funkce f (x) = x3 - 3x + 1 a graf její derivace
f '(x ) = 3x2 - 3.
Intervaly monotónnosti funkce - příklad
Znázorněme sigraf funkce f (x) = x3 - 3x + 1 a graf její derivace
f '(x ) = 3x2 - 3.
Lokální extrémy
Řekneme, že funkce f(x) má v bode x0 lokální minimum (resp. maximum), jestliže je definována v nejakém okolí bodu x0 a jestliže pro všechna x z tohoto okolí platí f (x) > f (x0), resp. f (x) < f (x0).
Lokální minima a maxima souhrnne nazýváme lokální extrémy.
Lokální extrémy
Řekneme, že funkce f(x) má v bode x0 lokální minimum (resp. maximum), jestliže je definována v nejakém okolí bodu x0 a jestliže pro všechna x z tohoto okolí platí f (x) > f (x0), resp. f (x) < f (x0).
Lokální minima a maxima souhrnne nazýváme lokální extrémy.
Věta : Pokud má funkce f(x) v bode x0 lokální extrém a existuje-lizde derivace, pak pro tuto derivaciplatí f'(x0) = 0. Body s nulovou derivací nazýváme stacionární.
Poznámka : Podmínka f'(x0) = 0 však není aninutnou anipostacující podmínkou pro existenciextrému, viz funkce f1 (x), která má v bode x0 = 0 lokální minimum, ale nemá zde derivaci nebo funkce f3(x), pro kterou platí f'(0) = 0, ale nemá žádný lokální extrém.
Obrázek: fi(x) = |x|
Obrázek: f2(x) = x2/2       Obrázek: f3(x) = x3/3
Existence lokálního extrému
Věta : Necht' má funkce f(x) v bode x0 derivacia platí f'(x0) = 0. Existuje-li ô > 0 takové, že:
Vx g (x0 - ô, x0) : f'(x0) > 0 a Vx g (x0, x0 + ô) : f'(x0) < 0, pak má funkce f v bode x0 lokální maximum
Vx g (x0 - ô, x0) : f'(x0) < 0 a Vx g (x0, x0 + ô) : f'(x0) > 0, pak má funkce f v bode x0 lokální minimum
Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x) = x3 - 3x + 1
Věta : Nechť má funkce f(x) v bodě x0 derivácia platí f'(x0) = 0. Existuje-li ô > 0 takové, že:
Vx g (xo - ô, xo) : f'(xo) > 0 a Vx g (xo, xo + ô) : f'(xo) < 0, pak má funkce f v bode x0 lokální maximum
Vx g (xo - ô, xo) : f'(xo) < 0 a Vx g (xo, xo + ô) : f'(xo) > 0, pak má funkce f v bode x0 lokální minimum
Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Již dríve jsme spoccetlif'(x) = 3x2 - 3 a našlistacionární body -1, 1. Víme, že derivace f'(x) je kladná nalevo od bodu x1 = -1a napravo od bodu x2 = 1a záporná mezinimi. Takže v bode x = -1 nastává lokální maximum, f(-1) = 3 a v bode x2 = 1 lokální minimum, f(1) = -1.
2
3
4
5
Absolutní extrémy
Řekneme, že funkce f(x) má na množine M absolutní minimum (resp. maximum) v bode x0, jestliže je funkce definována na M a platí
Vx g M : f(x) > f(x0), resp. Vx g M : f(x) < f(x0).
Poznámka : Absolutní minima a maxima nazýváme absolutní extrémy nebo též globální extrémy. Pokud v definicizameníme neostré nerovnostiza ostré, dostaneme tzv. ostré (Ci vlastní) extrémy.
Absolutní extrémy
Řekneme, že funkce f(x) má na množine M absolutní minimum (resp. maximum) v bode x0, jestliže je funkce definována na M a platí
Vx g M : f(x) > f(x0), resp. Vx g M : f(x) < f(x0).
Poznámka : Absolutní minima a maxima nazýváme absolutní extrémy nebo též globální extrémy. Pokud v definicizameníme neostré nerovnostiza ostré, dostaneme tzv. ostré (Ci vlastní) extrémy.
Věta : (Weierstrassova) Necht' funkce f (x) je spojitá na uzavřeném intervalu (a, Ď). Pak funkce f (x) nabývá na tomto intervalu svého absolutního minima, a to bud' v bode lokálního extrému nebo v nekterém z krajních bodu a, Ď. Totéž platí pro absolutní maximum.
Absolutní extrémy - príklad
Příklad : Celkové príjmy (77?) i celkové náklady (TC) jsou funkcí vyrobeného množství, bylo zjišteno, že: 77?(Q) = Q3 - 2Q2 - 2Q, 7~C(Q) = Q3 - Q2 - 10Q
Optimalizujte zisk P (Q) = 77?(Q) - TC(Q), jestliže výrobní kapacita je 10 jednotek produktu.
Absolutní extrémy - príklad
Příklad : Celkové príjmy (77?) i celkové náklady (TC) jsou funkcí vyrobeného množství, bylo zjišteno, že: TR(Q) = Q3 - 2Q2 - 2Q, TC(Q) = Q3 - Q2 - 10Q
Optimalizujte zisk P (Q) = TR(Q) - TC(Q), jestliže výrobní kapacita je 10 jednotek produktu.
Řešení: Hledáme tedy extrémy funkce P(Q) = -Q2 + 8Q na intervalu (0,10). Spocteme P'(Q) = -2Q + 8, stacionární bod je Q = 4.
Absolutní extrémy - príklad
Příklad : Celkové príjmy (77?) i celkové náklady (TC) jsou funkcí vyrobeného množství, bylo zjišteno, že: 77?(Q) = Q3 - 2Q2 - 2Q, 7~C(Q) = Q3 - Q2 - 10Q
Optimalizujte zisk P (Q) = 77?(Q) - TC(Q), jestliže výrobní kapacita je 10 jednotek produktu.
Řešení: Hledáme tedy extrémy funkce P(Q) = -Q2 + 8Q na intervalu (0,10).
Spocteme P'(Q) = -2Q + 8, stacionární bod je Q = 4.
Globální extrémy mohou nastat v bodech 0,4,10. Porovnáme hodnoty
P(0) = 0, P(4) = 16, P(10) = -20. Maximálního zisku je tedy dosaženo pro
množství Q = 4, naopak nejvetší ztrátu zpusobí úplné využití výrobních
kapacit, Q = 10.
Absolutní extrémy - príklad
Příklad : Celkové príjmy (77?) i celkové náklady (TC) jsou funkcí vyrobeného množství, bylo zjišteřno, že: 77?(Q) = Q3 - 2Q2 - 2Q, 7~C(Q) = Q3 - Q2 - 10Q
Optimalizujte zisk P (Q) = 77?(Q) - TC(Q), jestliže výrobní kapacita je 10 jednotek produktu.
Řešení: Hledáme tedy extrémy funkce P(Q) = -Q2 + 8Q na intervalu (0,10).
Spocteme P'(Q) = -2Q + 8, stacionární bod je Q = 4.
Globální extrémy mohou nastat v bodech 0,4,10. Porovnáme hodnoty
P(0) = 0, P(4) = 16, P(10) = -20. Maximálního zisku je tedy dosaženo pro
množství Q = 4, naopak nejvetší ztrátu zpusobí úplné využití výrobních
kapacit, Q = 10.
□ ťS1 ~ -
Konvexita a konkávnost funkce
Řř ekneme, že funkce f(x) je na intervalu / o ryze konvexní, jestliže pro libovolné tribody x, x2, x3 g / platí:
x < x2 < x3 => bod T2 = [x2, f(x2)] leží pod úseckou spojující body
T = [x, f(x )] a T3 = [x3, f(x3)]. Obdobne o funkcif rekneme, že je na / o ryze konkávní, jestliže pro libovolné tribody x, x2, x3 g / platí:
X < x2 < x3 => bod T2 = [x2, f(x2)] leží nad úseckou spojující body
Ti = [xi, f (xi)] a T3 = [x3, f (x3)]
Obrázek: Konvexní funkce Obrázek: Konkávní funkce
□ -        - 5-oq.o
Konvexita a konkávnost funkce
Poznámka : Pripustíme-liv definici, aby bod 72 ležel i na úseccce 71 73, pak vynecháme slijvko "ryze".
Věta : Necht' funkce f (x) má na intervalu / druhou derivaci. Pak platí o Vx g /: f''(x) > 0 , pak je funkce konvexní na /
o Vx g /: f''(x) < 0 , pak je funkce konkávní na /
Poznámka : Body, ve kterých "se mení konvexita a konkávnost funkce"nazýváme inflexní body. (Presná definice je ve skriptech). Funkce muže mít inflexní bod pouze v bodech, kde existuje první derivace a druhá derivace bud' neexistuje nebo je nulová.
Konvexita a konkávnost funkce
Poznámka : Pripustíme-liv definici, aby bod T2 ležel i na úsecce T1 T3, pak vynecháme slijvko "ryze".
Věta : Necht' funkce f (x) má na intervalu / druhou derivaci. Pak platí o Vx g /: f''(x) > 0 , pak je funkce konvexní na /
o Vx g /: f''(x) < 0 , pak je funkce konkávní na /
Poznámka : Body, ve kterých "se mení konvexita a konkávnost funkce"nazýváme inflexní body. (Presná definice je ve skriptech). Funkce muže mít inflexní bod pouze v bodech, kde existuje první derivace a druhá derivace bud' neexistuje nebo je nulová.
Věta : Jestliže pro funkcif v bode x0 platí: f'(x0) = f''(x0) = ... = f(n)(x0) = 0 a f(n+1)(x0) = 0, pak
o je -li n sudé, má funkce f v bode x0 inflexní bod
o je -li n liché, má funkce f v bode x0 lokální extrém,a to maximum pro
f(n+1)(x0) < 0 a minimum f(n+1)(x0) > 0.
Konvexita a konkávnost funkce - príklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = /n(x2 + 2). Urccete inflexní body této funkce a zjisteřte, kde je konvexní a kde konkávní.
Konvexita a konkávnost funkce - příklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = /n(x2 + 2). Urccete inflexní body této funkce a zjistete, kde je konvexní a kde konkávní.
Řešení: Urcíme druhou derivaci, f '(x) = x2+2, f''(x) = 2(x ^j"2* 2x = ^0^.
Konvexita a konkávnost funkce - príklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = /n(x2 + 2). Urccete inflexní body této funkce a zjisteřte, kde je konvexní a kde konkávní.
Řešení: Urcíme druhou derivaci, f '(x) = x|+2, f''(x) = 2(x 2(+2j22x 2x = (45+2f22. Nulové body druhé derivace jsou ±V2. Urceme znamení funkce f''(x):
	(-V2, V2)	(V2, o)
-	+	-
Konvexita a konkávnost funkce - příklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = /n(x2 + 2). Urccete inflexní body této funkce a zjisteřte, kde je konvexní a kde konkávní.
Řešení: Urcíme druhou derivaci, f '(x) = x|+2, f''(x) = 2(x 2(+2j22x 2x = (45+f22. Nulové body druhé derivace jsou ±V2. Urceme znamení funkce f''(x):
(-00, ->/2)	(-V2, V2)	(V2, oo)
-	+	-
Tedy funkce je konkávní na intervalu (-o, -V2), konvexní na (-V2, V2) a opet konkávní na (V2, oo). inflexní body jsou ±V2.
Asymptoty funkce
Asymptoty jsou prímky, ke kterým "se blíží"graf funkce.
Asymptotou bez smernice nazveme prímku x = a, pokud lima f (x) = ±00,
kde symbol lima označuje nekterou z limit limx^a, limx^a_, limx^a+
Asymptoty funkce
Asymptoty jsou prímky, ke kterým "se blíží"graf funkce.
Asymptotou bez smernice nazveme prímku x = a, pokud lima f (x) = ±00,
kde symbol lima oznacuje nekterou z limit limx^a, limx^a-, limx^a+
Příklad : Funkce f(x) = x2+^x+6 = (x+2)1(x+3) má asymptoty bez smernice
x = -2, x = -3, nebot'
lirrix^-3- f (x) =
limx^-3+ f (x) =
limx^-2- f (x) =
limx^-2+ f (x) =
Asymptoty funkce
Asymptoty jsou prímky, ke kterým "se blíží"graf funkce.
Asymptotou bez smernice nazveme prímku x = a, pokud lima f (x) = ±00,
kde symbol lima oznacuje nekterou z limit limx^a, limx^a_, limx^a+
Příklad : Funkce f(x) = x2+^x+6 = (x+2)1(x+3) má asymptoty bez smernice
x = -2, x = -3, nebot'
lirrix^-3- f (x) = 00
limx^-3+ f (x) = -00
limx^_2_ f (x) = -00
limx^_2+ f (x) = 00
Asymptoty funkce
Asymptoty jsou prímky, ke kterým "se blíží"graf funkce.
Asymptotou bez smernice nazveme prímku x = a, pokud lima f (x) = ±00,
kde symbol lima označuje nekterou z limit limx—a, limx—a-, limx—a+
Příklad : Funkce f(x) = x2+^x+6 = (x+2)1(x+3) má asymptoty bez smernice
x = -2, x = -3, nebot'
limix^-3- f (x) = 00
limx^-3+ f (x) = -00
limx—_2_ f (x) = -00
limx—_2+ f (x) = 00
Přímku y = Ax + B nazveme asymptotou funkce f (x) ve nevlastním bode 00, resp. -00, jestliže limx—00[f(x) - (Ax + B)] = 0, resp. limx—}— 00 [ f (x) - (Ax + B)] = 0.
Asymptoty funkce
Asymptoty jsou přrímky, ke kterým "se blíží"graf funkce.
Asymptotou bez smeřrnice nazveme přrímku x = a, pokud lima f(x) = ±0 ,
kde symbol lima oznacuje nekterou z limit limx—a, limx—a-, limx—a+
Příklad : Funkce f(x) = x2+^x+6 = (x+2)(x+3) má asymptoty bez smernice
x = -2, x = -3, nebot'
limix^-3- f (x) = 00
limx^-3+ f (x) = -oo
limx—_2_ f (x) = -oo
limx—_2+ f (x) = oo
Přímku y = Ax + B nazveme asymptotou funkce f (x) ve nevlastním bode oo, resp. -oo, jestliže limx—o0[f(x) - (Ax + B)] = 0, resp. limx-+_oo[f(x) - (Ax + B)] = 0.
Příklad : Funkce f (x) = x 2+^x+6 má v nevlastních bodech asymptotu y = 0, protože limx-±TO(xz+5x+6 - 0) = 0.
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx^oo f(x), B = limx-oo(f (x) - Ax), resp. A = limx--oo f(x), B = limx--oo(f(x) - Ax).
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +o, resp. -o
A = limx^oo f(x), B = limx-oo(f (x) - Ax), resp. A = limx--oo f(x), B = limx--oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech.
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = lirrix^oo f(x), B = limx—o(f (x) - Ax), resp. A = limx^-oo f(x), B = limx-+-oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +00: A = lim       x2+2x+1 =
n — Mil lx—^oo       x2 —
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx^oo f(x), B = limx^TO(f (x) - Ax), resp. A = limx^-oo fíxl, B = limx-+-oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+xx +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +00: A = limx-«> x!+2x+i = 1,
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f(x) nemusí mít žádné asymptoty, naprř. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx-oo ^, B = limx-o(f (x) - Ax), resp. A = limx--o f(x), B = limx--o(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech. Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v -+00:
A = limx-oo x!+2x±i = 1, B = limx-oo (x!±|x±i - x) = lin^—oo ^ =
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx^oo f(x), B = limx-o(f (x) - Ax), resp. A = limx--oo fíxl, B = limx--oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+xx +1 v nevlastních bodech. Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v -+00:
A = limx-oo x!+2x+i = 1, B = limx-oo (x!+|x+i - x) = limix—oo ^ = 2
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f(x) nemusí mít žádné asymptoty, naprř. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +o, resp. -o A = limx-oo ^, B = limx-o(f (x) - Ax), resp. A = limx--o f(x), B = limx--o(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech. Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +oo:
A = limx-o x!+2x±i = 1, B = limx-oo (x!±fx±i - x) = lin^—oo ^ = 2 Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -o:
A = lim         x 2+2x+i =
n— Mil ix — — oo       x2 —
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f(x) nemusí mít žádné asymptoty, naprř. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx—00 f(x), B = limx—o (f (x) - Ax), resp. A = limx—-oo fíxl, B = limx—-o(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+xxx +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v -+00:
A = limx—00 x!+2x+i = 1, B = limx—00 íx!+2x+i - x) = limx—-o 2x+i = 2
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -0:
A = limx—-o x2+2x+i = 1,
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +o, resp. -o
A = limx^oo f(x), B = limx-oo(f (x) - Ax), resp. A = limx-_TO f(x), B = limx--oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +oo:
A = limx-oo x!+2x±i = 1, B = limx-o íx!±2x±i - x) = lir^—o 2x+i = 2
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -o:
A = limx—oo x!+2x±i = 1, B = limx—oo (x!±fx±i - x) = lin^—oo ^ =
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f(x) = sin x.
Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -oo
A = limx-oo f(x), B = limx-TO(f (x) - Ax), resp. A = limx--oo fíxl, B = limx--oo(f(x) - Ax).
Příklad : Urccete asymptoty funkce f (x) = x 2+xx +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +oo:
A = limx-oo x2+x+i = 1, B = limx-TO (x2+2x+i - x) = lir^—oo 2x+i = 2
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -oo:
A = limx—oo x2+2x+i = 1, B = limx—oo (x2+|x+i - x) = lin^—oo ^ = 2
Asymptoty funkce
Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f (x) = sin x.
Věta : Přímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00
A = limx-oo ^, B = limx-o (f (x) - Ax), resp. A = limx--oo fíxl, B = limx--oo(f(x) - Ax).
Příklad : UrCete asymptoty funkce f (x) = x 2+2x +1 v nevlastních bodech.
Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v -+00:
A = limx-oo x2+x+i = 1, B = limx-oo íx!+2x+i - x) = limx—TO 2x+i = 2
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -00:
A = limx-oo x2+2x+i = 1, B = limx-oo íx!+2x+i - x) = limx—TO 2x+i = 2
Tedy hledaná asypmtota je: y = x
+ 2.
Prubeh funkce
Při vyšetřování prubehu funkce zjišťujeme: F> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce []) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Pmbeh funkce
Při vyšetřování paibehu funkce zjišťujeme: T> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce L2) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Příklad : Vyšetrete pnjbeéh funkce f(x) = V x2 + 2x + 2.
Prubeh funkce
Při vyšetřování prubehu funkce zjišťujeme: T> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce L2) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Příklad : Vyšetřete prubeh funkce f(x) = V x2 + 2x + 2. Řešení: F> Funkce je definovaná na R, je všude kladná, není sudá ani lichá ani periodická
Prubeh funkce
Při vyšetřování prubehu funkce zjišťujeme: F> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce L2) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Příklad : Vyšetrete prubeh funkce f(x) = V x2 + 2x + 2. Řešení: F> Funkce je definovaná na R, je všude kladná, není sudá ani lichá ani periodická
Q f (x) =  , x+1   , stacionární bod je -1, funkce je klesající na (-00, -1)
x2+2x+2
a rostoucí na (-1, 00), tedy v bode -1 nabývá funkce lokálního minima
f(-1)=1.
Pmbeh funkce
Při vyšetřování paibehu funkce zjišťujeme: T> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce L2) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Příklad : Vyšetrete pnjbeéh funkce f(x) = V x2 + 2x + 2. Řešení: F> Funkce je definovaná na R, je všude kladná, není sudá ani lichá ani periodická
Q f (x) =  , x+1   , stacionární bod je -1, funkce je klesající na (-o, -1) x2+2x+2
a rostoucí na (-1, o), tedy v bode -1 nabývá funkce lokálního minima
f(-1 ) = 1. 1
Q f "(x) =  ,   1      , druhá derivace je všude kladná, tedy funkce je
V   1      ^J(x2+2x +2)3 ' '
konvexní na R.
Pmbeh funkce
Při vyšetřování paibehu funkce zjišťujeme: T> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce L2) Intervaly monotónnostia lokální extrémy funkce ř> Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce H> Asymptoty a graf funkce
Příklad : Vyšetrete prubeh funkce f(x) = V x2 + 2x + 2. Řešení: F> Funkce je definovaná na R, je všude kladná, není sudá ani lichá ani periodická
Q f (x) =  , x+1   , stacionární bod je -1, funkce je klesající na (-00, -1) x2+2x+2
a rostoucí na (-1,00), tedy v bode -1 nabývá funkce lokálního minima
f(-1 ) = 1. 1
Q f''(x) =  ,   1      , druhá derivace je všude kladná, tedy funkce je
V   1      ^J(x2+2x +2)3 ' '
konvexní na R.
Funkce nemá svislé asymptoty. Urceme ješt^ asymptoty funkce f (x) = V x2 + 2x + 2 v nevlastních bodech.
Průběh funkce - příklad
A = limx-oo^2^2 = r,mx-.ocy7 x2+2#±2
Průběh funkce - příklad
A.
yjx 2+2x +2 X
limx-o v7x2+2x+2 = 1,
Průběh funkce - příklad
A = lirrw ^^i2- = r,mx-» V/x2+2x±2 = 1, B = limx-kx. (Vx2 + 2x + 2 - x) =
lin^-oo (Vx2 + 2x + 2 - x) VX2+2X±2+X = limx-»  . 22x2+22
V / Vx2+2x+2+x Vx2+2x+2+x
Průběh funkce - příklad
A = lirrw ^i2^2 = r,mx-» /X2+2#±2 = 1, B = limx-k» (Vx2 + 2x + 2 - x) =
limx-o (Vx2 + 2x + 2 - x) V/x2+2x±2+X = limx-o  . 22x2+22   = 1
V / Vx2+2x+2+x Vx2+2x+2+x
Pmbeh funkce - příklad
A = limx-oo ^x2+2x+2 = limx-oo 7x2+2x±2 = 1, B = limx-o (Vx2 + 2x + 2 - x) =
limx-o (Vx2 + 2x + 2 - x) V/x2±2x±2+x = limx-o . 22x2+2 2   = 1
x2+2x+2+x x2+2x+2+x
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 1. Obdobne postupujeme v -oo: A = limx—oo^2^2 = limx-oox2+2x±2 =
Prubeh funkce - příklad
A= B=
Vx 2+2x +2 = M|
x 2+2x+2 x2
limx-o v" x     = limx-o limx(Vx2 + 2x + 2 - x) =
\Jx 2+2x +2+x
1,
lin^-oo ( V x2 + 2x + 2 - x)
lim^  ; 2x+2
x2+2x+2+x
1
x2+2x+2+x
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 1. Obdobne postupujeme v -00:
A
lim       Vx 2+2x+2
limx--o
x 2+2x +2 x2
-1,
Prubeh funkce - příklad
A = limx—o ^x2+2x+2 = limx—o B = limx—o (Vx2 + 2x + 2 - x
limx—oo (Vx2 + 2x + 2 -    ^+2x+2+x
x 2+2x+2 x2
1,
a/x 2+2x+2+x
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 1. Obdobne postupujeme v -00:
limx^oo , 2x+2
x2+2x+2+x
1
lim       y* 2+2x+2
limx—-oo x
A=
B = limx—-o limx—-oo (Vx2
limx
x—-o
V x2 + 2x + 2 + x
a/x2+2x+2-x -y/x2+2x+2-x
x 2+2x +2 x 2
-1,
2x + 2 + x j
limx^-oo  , 2x+2
x —       a/x2+2x+2-x
Pmbeh funkce - příklad
A = limx-oo ^x2^ = limx-o Vx2+2x+2 = 1, B = limx-o (Vx2 + 2x + 2 - x) =
limx-o (Vx2 + 2x + 2 - x) V/x2+2x±2+x = limx-o . 22x2+2 2   = 1
x2+2x+2+x x2+2x+2+x
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 1. Obdobne postupujeme v -o: A = limx --o bx2+2x+2 = limx --o V x2+2x+2 = -1, B = limx--o ( Vx2 + 2x + 2 + x) =
limx--o (Vx2 + 2x + 2 + x) V/x2+2x+2-x = limx--o  , 22x2+2 2    = -1
x2+2x+2-x x2+2x+2-x
Pmbeh funkce - příklad
A = limx-oo (x2+2x+2 = limx—o V/x2+2x±2 = 1, B = limx—o (Vx2 + 2x + 2 - x) =
limx—o (Vx2 + 2x + 2 - x) V/x2±2x±2+x = limx—o     2x+22   = 1
V / a/x2+2x+2+x a/x2+2x+2+x
Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 1. Obdobne postupujeme v -o: A = limx——o (x2+2x+2 = limx——o Vx2+2x+2 = -1, B = limx——o (Vx2 + 2x + 2 + x) =
limx——o (Vx2 + 2x + 2 + x) V/x2+2x+2—x = limx——o  , 22x2+2 2    = -1
V / a/x2+2x+2—x a/x2+2x+2—x
Tedy hledaná asypmtota je: y = -x - 1. Nyní již mužeme nakreslit graf funkce.
Průběh funkce - příklad
Zjistili jsme, že: funkce má lokální minimum v bodě -1, f(-1) = 1
Obrázek: Graf funkce f(x) = Vx2 + 2x + 2
Průběh funkce - příklad
Zjistili jsme, že: funkce je konvexní
Obrázek: Graf funkce f(x) = Vx2 + 2x + 2
□ -        - 5-oq.o
Průbeh funkce - příklad
Zjistili jsme, že: funkce má v +00 asymptotu y = x + 1
Obrázek: Graf funkce f(x) = Vx2 + 2x + 2
□     g     -     - 5-00.0
Průbeh funkce - příklad
Zjistili jsme, že:  funkce má v -oo asymptotu y = -x - 1
Obrázek: Graf funkce f(x) = Vx2 + 2x + 2
□ -        - 5-00*0
Průběh funkce - příklad
Diferenciál
Uvažujme funkcif(x), která má v bode a derivacif'(a). Sestrojíme - li v bode a tecnu ke grafu funkce f, ŕ: y = f (a) + f'(a).(x - a), mužeme pro x blízká bodu a odhadnout hodnotu f (x) jako f (x) « f (a) + f'(a).(x - a). Výraz df(a) = f'(a).(x - a) nazýváme diferenciálem funkce f v bode a, píšeme df (a) = f'(a).dx.
Obrázek: Diferenciál funkce f (x) v bode a pro dx = (x - a)
Diferenciál - príklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = y/x a bod a = 4. P) Urccete diferenciál funkce f v bode a R> Pomocí tohoto diferenciálu odhadnete VŠ.
Diferenciál - príklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = y/x a bod a = 4. U> Urccete diferenciál funkce f v bode a R> Pomocí tohoto diferenciálu odhadnete Vš.
Řř ešení:
P f'(x) = ^, f'(4) = 4. Tedy df(4) = dx.
Diferenciál - príklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = y/x a bod a = 4. P) Urccete diferenciál funkce f v bode a R> Pomocí tohoto diferenciálu odhadnete VŠ.
Iřešení:
E f'(x) =    > f'(4) = 4. Tedy df(4) = d4x.
9 VŠ = f (5) « f (a) + f'(a).(5 - a) = Vi + 5-4 = 2,25
Diferenciál - přríklad
Příklad : Je dána funkce f (x) = y/x a bod a = 4. U> Urccete diferenciál funkce f v bode a R> Pomocí tohoto diferenciálu odhadnete V5.
Řř ešení:
E f'(x) =     , f'(4) = 4. Tedy df(4) = f.
VŠ = f (5) « f (a) + f'(a).(5 - a) = V4 + 5-4 = 2,25 Pozn.: Skutecná hodnota zaokrouhlená na 3 desetinná místa je V5 = 2,236.
Tayloruv polynom
Ješte přesnější odhady mužeme získat pomocí Taylorova polynomu. Má-lifunkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádu, pak v tomto bode definujeme Tayloruv polynom stupne n:
Tn (x) = f (a) + f'(a).(x - a) + ^ .(x - a)2 + ... + ^ .(x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f (x) « Tn(x), chybu fín(x) = f (x) - Tn(x) lze vyjádřit v nuzných tvarech.
Tayloruv polynom
Ješte presnejší odhady miůžeme získat pomocí Taylorova polynomu. Má-lifunkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádu, pak v tomto bode definujeme Tayloruv polynom stupne n:
Tn (x) = f (a) + f'(a).(x - a) + ^ .(x - a)2 + ... + ^ .(x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f (x) « Tn(x), chybu Rn(x) = f (x) - Tn(x) lze vyjádřit v nuzných tvarech.
Příklad : Pro funkcif(x) = sfx a bod a = 4 H[> Urccete Tayloruv polynom T3(x) \A Pomocí tohoto polynomu odhadnete VŠ.
Taylorův polynom
Ještě přesnější odhady můžeme získat pomocí Taylorova polynomů. Má-lifůnkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádů, pak v tomto bode definůjeme Taylorův polynom stůpne n:
Tn (x) = f (a) + f'(á).(x - a) + f-2a) .(x - a)2 + ... + ^-^r- (x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f(x) « Tn{x), chybu Rn{x) = f (x) - Tn{x) lze vyjádřit v různých tvarech.
Příklad : Pro funkcif(x) = sfx a bod a = 4 H[> Urccete Tayloriův polynom T3(x) \A Pomocí tohoto polynomu odhadnete V5.
FRešení: & f'(x)
3
f'''(4) = 256
Tayloruv polynom
Ješte přesnejší odhady miůžeme získat pomocí Taylorova polynomu. Má-lifunkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádu, pak v tomto bode definujeme Tayloruv polynom stupne n:
Tn (x) = f (a) + f'(a).(x - a) + f-2ja) .(x - a)2 + ... + f(n)|a) .(x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f (x) « Tn(x), chybu Rn(x) = f (x) - Tn(x) lze vyjádřit v nuzných tvarech.
Příklad : Pro funkcif (x) = Vx a bod a = 4 H1) Urccete Taylonův polynom T3(x) \k Pomocí tohoto polynomu odhadnete V^.
Řř ešení: & f'(x)
□        rS1 ~ -
Tayloruv polynom
Ješte přesnější odhady mužeme získat pomocí Taylorova polynomu. Má-lifunkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádu, pak v tomto bode definujeme Tayloruv polynom stupne n:
Tn (x) = f (a) + f'(a).(x - a) + f-2Ta) .(x - a)2 + ... + f(n)|a) .(x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f (x) « Tn(x), chybu Rn(x) = f (x) - Tn(x) lze vyjádřit v nuzných tvarech.
Příklad : Pro funkcif (x) = Vx a bod a = 4
Urccete Tayloruv polynom T3(x) \k Pomocí tohoto polynomu odhadnete VŠ.
Řř ešení:
P) f'(x) = ^, f''(x) = -=0=, f'''(x) = -4=.
Tedy Tí(x) = 2 + 4(x - 4) + 1.—2.(x - 4)2 + 6..(x - 4)3 O VŠ = f(5) « 2 + 4 + 2. —2 + 1. 2|g = 2,236328125
□        ťS1        ~ -
Tayloruv polynom
Ješte přesnější odhady mužeme získat pomocí Taylorova polynomu. Má-lifunkce f (x) derivace v bode a derivace až do n-tého řádu, pak v tomto bode definujeme Tayloruv polynom stupne n:
Tn (x) = f (a) + f'(a).(x - a) + ^ .(x - a)2 + ... + ^ .(x - a)n
Pro "x blízká bodu a"platí f (x) « Tn(x), chybu Rn(x) = f (x) - Tn(x) lze vyjádřit v nuzných tvarech.
Příklad : Pro funkcif (x) = Vx a bod a = 4
Urccete Tayloruv polynom T3(x) ľk Pomocí tohoto polynomu odhadnete Vš.
Řř ešení:
P) f'(x) = ^, f"(x) = -=0=, f"'(x) = -4=. Dosadíme: f'(4) = 4, f"(4) =     f"'(4) = ^ Tedy Ts(x) = 2 + 4(x - 4) + 1.^.(x - 4)2 + 6..(x - 4)3 O V5 = f(5) « 2 + 4 + 2. ^ + 6. 2|g = 2,236328125 Pozn.: Skutecná hodnota zaokrouhlená na 3 desetinná místa je V5 = 2,236.
Integrální pocet - primitivní funkce
Jestliže F (x) a f(x) jsou takové funkce, že pro všechna x z intervalu / platí f(x) = F'(x), pak řekneme, že F (x) je primitivní k f (x) na intervalu /.
Příklad : Funkce F (x) = x3 + x22 + 3x + 5 je primitivní k f (x) = 3x2 + x + 3 na R, protože f(x) = F'(x).
Integrální pocet - primitivní funkce
Jestliže F (x) a f(x) jsou takové funkce, že pro všechna x z intervalu / platí f(x) = F'(x), pak řekneme, že F (x) je primitivní k f (x) na intervalu /.
Příklad : Funkce F (x) = x3 + x22 + 3x + 5 je primitivní k f (x) = 3x2 + x + 3 na R, protože f(x) = F'(x).
Poznámka : Je-li F(x) primitivní k f(x) na intervalu /, pak funkce F(x) je zde spojitá (dokonce má derivaci). Jaké podmínky musí splnovat f(x)? Postaccující podmínkou k tomu, aby k f(x) existovala primitivní funkce je spojitost f(x) na /. Je primitivní funkce urcřena jednoznacřneř?
Příklad : Funkce G(x) = x3 + x22 + 3x + 7 je též primitivní k funkci f (x) = 3x2 + x + 3 z predchozího příkladu.
Integrální pocet - primitivní funkce
Jestliže F(x) a f(x) jsou takové funkce, že pro všechna x z intervalu / platí f(x) = F'(x), pak rřekneme, že F(x) je primitivní k f(x) na intervalu /.
Příklad : Funkce F (x) = x3 + x22 + 3x + 5 je primitivní k f (x) = 3x2 + x + 3 na R, protože f(x) = F'(x).
Poznámka : Je-liF (x) primitivní k f (x) na intervalu /, pak funkce F (x) je zde spojitá (dokonce má derivaci). Jaké podmínky musí splnovat f(x)? Postaccující podmínkou k tomu, aby k f(x) existovala primitivní funkce je spojitost f(x) na /. Je primitivní funkce urcřena jednoznacřneř?
Příklad : Funkce G(x) = x3 + x22 + 3x + 7 je též primitivní k funkci f (x) = 3x2 + x + 3 z předchozího príkladu.
Věta : Jsou-lifunkce F (x) a G(x) primitivní k funkcif (x) na intervalu /, pak existuje konstanta c g R, taková, že pro Vx g /: F (x) = G(x) + c
Neurcitý integrál
Množinu všech funkcí primitivních k f (x) na / nazýváme neurcitý integrál f (x) na / a znacíme f f (x )dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integraccní konstanta.
□ -        - 5-oq.o
Neurčitý integrál
Množinu všech funkcí primitivních k f(x) na / nazýváme neurcřitý integrál f(x) na / a znacíme f f (x )dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integraccní konstanta. Příklad : Najdete neurcité integrály
F J sin xdx
F /x3dx Pj / e2xdx
Neurcřitý integrál
Množinu všech funkcí primitivních k f(x) na / nazýváme neurcřitý integrál f(x) na / a znacíme f f (x )dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integraccní konstanta. Příklad : Najdete neurčité integrály
F J sin xdx
F /x3dx Pj / e2xdx Řř ešení:
F J sin xdx = - cos x + c
Neurcitý integrál
Množinu všech funkcí primitivních k f (x) na / nazýváme neurcitý integrál f (x) na / a znacíme f f (x )dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integraccní konstanta. Příklad : Najdete neurčité integrály
F J sin xdx
F /x3dx Pj / e2xdx Řešení:
H  J sin xdx = - cos x + c O J x3dx = x44 + c
Neůrdtý integrál
Množinů všech fůnkcí primitivních k f (x) na / nazýváme neůrcitý integrál f (x) na / a znacíme f f (x )dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní fůnkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integraccní konstanta. Příklad : Najdete neůrcité integrály
F J sin xdx
F /x3dx Pj / e2xdx Fř ešení:
F J sin xdx = - cos x + c O J x3dx = x4 + c F / e2xdx = e2x + c
Základní neurdté integrály
J 0dx = c, x g (-00,00)
J exdx = ex + c, x g (-00,00)
/ sin xdx = - cos x + c, x g (-00,00)
/ cos xdx = sin x + c, x g (-00,00)
/ ^ = arcŕg(x) + c, x g (-00,00)
= arcs/n(x) + c, x g (-1, 1)
J xndx = n+p + c, n = -1, x g (-to, to) pro n > 0 celé,
x g (-to, 0) nebo (0, to) pro n < 0 celé, x g (0, to) pro n necelé
j dx = /njx| + c, x g (0, to) nebo x g (-to, 0)
/ c0i2(x) = tg(x) + c, pro interval, kde cos x =
0
J ií-ixx) = -coŕg(x) + c, pro interval, kde sin x = 0
Pravidla pro integrování
Integrace lineární kombinace funkcí:
Věta : Jestliže funkce f1(x), f2(x),... fn(x) mají na / neurcité integrály, pak pro libovolné konstanty c1, c2,... cn existuje neurcitý integrál funkce
f(x) = C1 fj (x) + C2f2(x) + ... + cnfn(x) a platí: / f (x )dx =      f1 (x )dx + c, / f2(x )dx + ... + cn / fn (x )dx
Pravidla pro integrování
Integrace lineární kombinace funkcí:
Věta : Jestliže funkce f1(x), f2(x),... fn(x) mají na / neurcité integrály, pak pro libovolné konstanty c1, c2, . . . cn existuje neurcřitý integrál funkce f(x) = C1 f1 (x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) a platí: / f (x )dx =      f1 (x )dx + c, / f2(x )dx + ... + c„ / fn (x )dx
Příklad : Najdete neurcitý integrál /(ex + xqr, + 33)dx
Pravidla pro integrování
Integrace lineární kombinace funkcí:
Věta : Jestliže funkce f1(x), f2(x),... fn(x) mají na / neurcité integrály, pak pro libovolné konstanty c1, c2,... cn existuje neurcitý integrál funkce
f(x) = C1 f1 (x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) a platí: / f (x )dx =      f1 (x )dx + o / f2(x )dx + ... + c„ / fn (x )dx
Příklad : Najdete neurcitý integrál /(ex + xqr, + 33)dx Řešení: /(ex +      + 3)dx = / exdx + 2 / ^dx + 3 / 1 dx = ex + 2arcřgx + 3/njx | + c.
Pravidla pro integrování
Integrace lineární kombinace funkcí:
Věta : Jestliže funkce f1(x), f2(x),... fn(x) mají na / neurcité integrály, pak pro libovolné konstanty c1, c2,... cn existuje neurcitý integrál funkce
f(x) = c1 f1 (x) + c2f2(x) + ... + cnfn(x) a platí: / f (x )dx = ci / f1 (x )dx + c, / f2(x )dx + ... + cn / fn (x )dx
Příklad : Najdete neurcitý integrál /(ex + xqr, + 33)dx Řešení: /(ex + x22+i + 3)dx = / exdx + 2 / ^dx + 3 / 1 dx = ex + 2arcřgx + 3/n|x | + c.
Metoda per partes:
Věta : Jestliže funkce u(x), v(x) mají na otevřeném intervalu / spojité derivace, pak platí: / u'(x)v(x)dx = u(x)v(x) - / u(x)v'(x)dx
Metoda per partes - prříklady
Příklad i Najdete neurcitý integrál/ x. sin xdx
Metoda per partes - prříklady
Příklad : Najděte neurčitý integrál f x. sin xdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v(x) = x.
Dopočítáme u(x) = - čos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
Metoda per partes - příklady
Příklad : Najděte neurčitý integrál f x. sin xdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v(x) = x.
Dopočítáme u(x) = - čosx, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x čos x - / - čos xdx = -x čos x + sin x + c.
□ -        - 5-oq.o
Metoda per partes - prříklady
Příklad : Najdete neurccitý integrál f x. sin xdx
IŘešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v (x) = x.
Dopocítáme u(x) = - cos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x cos x - / - cos xdx = -x cos x + sin x + c.
Nekdy je nutné použít pravidlo opakovane. Příklad: Najdete neurccitý integrál/ x2 .exdx
Metoda per partes - prříklady
Příklad : Najdete neůrccitý integrál / x. sin xdx
Řešení: Poůžijeme metodů per partes pro: u'(x) = sin x, v (x) = x.
Dopocítáme u(x) = - cos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x cos x - / - cos xdx = -x cos x + sin x + c.
Nekdy je nůtné poůžít pravidlo opakovane. Příklad: Najdete neůrccitý integrál/ x2 .exdx
Řešení: Poůžijeme metodů per partes pro: u'(x) = ex, v(x) = x2. Dopocítáme u(x) = ex, v'(x) = 2x a dosadíme:
Metoda per partes - prříklady
Příklad i Najdete neurčitý integrál / x. sin xdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v (x) = x.
Dopocítáme u(x) = - cos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x cos x - / - cos xdx = -x cos x + sin x + c.
Nekdy je nutné použít pravidlo opakovane. Příklad i Najdete neurcitý integrál/ x2 .exdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = ex, v(x) = x2. Dopocítáme
u(x) = ex, v'(x) = 2x a dosadíme:
/ x2.exdx = x2.ex - / 2x.exdx Per partes zopakujeme pro
u'(x) = ex, v(x) = 2x, tedy u(x) = ex, v'(x) = 2:
Metoda per partes - prříklady
Příklad : Najdete neurcitý integrál f x. sin xdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v (x) = x.
Dopocítáme u(x) = - cos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x cos x - / - cos xdx = -x cos x + sin x + c.
Nekdy je nutné použít pravidlo opakovane. Příklad: Najdete neurcitý integrál/ x2 .exdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = ex, v(x) = x2. Dopocítáme
u(x) = ex, v'(x) = 2x a dosadíme:
J x2.exdx = x2.ex - / 2x.exdx Per partes zopakujeme pro
u'(x) = ex, v(x) = 2x, tedy u(x) = ex, v'(x) = 2:
/ x2.exdx = x2.ex - [2x.ex - /2exdx] = x2.ex - 2x.ex + 2ex + c.
Metoda per partes - prříklady
Příklad i Najdete neurcitý integrál / x. sin xdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = sin x, v (x) = x.
Dopocítáme u(x) = - cos x, v'(x) = 1 a dosadíme:
/ x. sin xdx = -x cos x - / - cos xdx = -x cos x + sin x + c.
Nekdy je nutné použít pravidlo opakovane. Příklad i Najdete neurcitý integrál/ x2 .exdx
Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u'(x) = ex, v(x) = x2. Dopocítáme
u(x) = ex, v'(x) = 2x a dosadíme:
/ x2.exdx = x2.ex - / 2x.exdx Per partes zopakujeme pro
u'(x) = ex, v(x) = 2x, tedy u(x) = ex, v'(x) = 2:
/ x2.exdx = x2.ex - [2x.ex - /2exdx] = x2.ex - 2x.ex + 2ex + c.
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme / f(p(f)Mř)dř.
o Zvolíme substitucix = y>(ř).
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme / f(p(f)Mř)dř.
o Zvolíme substitucix = y>(ř). o Vypočítáme dx = y>'(ř)dř.
S1 ~ -
I. výpocet integrálu substitucí: hledáme / f(p(ŕ))^(ŕ)dŕ.
o Zvolíme substitucix = ^(ŕ). o Vypoccítáme dx = ^'(ŕ)dŕ.
o Do daného integrálu dosadíme za ^(ŕ) a ^'(ŕ)dŕ a dostaneme f f(x)dx.
I. výpocet integrálu substitucí: hledáme / f(p(ŕ))^(ŕ)dŕ.
o Zvolíme substitucix = ^(ŕ). o Vypoccítáme dx = ^'(ŕ)dŕ.
o Do daného integrálu dosadíme za ^(ŕ) a ^'(ŕ)dŕ a dostaneme f f(x)dx. Vypocřítáme F(x) = f(x)dx.
I. výpocet integrálu substitucí: hledáme / f(p(ŕ))^(ŕ)dŕ.
o Zvolíme substitucix = y>(ŕ). o Vypoccítáme dx = y>'(ŕ)dŕ.
o Do daného integrálu dosadíme za y>(ŕ) a y>'(ŕ)dŕ a dostaneme f f(x)dx.
• Vypočítáme F (x) = / f(x )dx.
• Urcíme interval /, na kterém platí F'(^(ŕ)) = f(<ŕ>(ŕ))y>'(ŕ).
I. výpocet integrálu substitucí: hledáme / f(p(ŕ)Mŕ)dŕ.
o Zvolíme substitucix = y>(ř). o Vypoccítáme dx = y>'(ŕ)dř.
o Do daného integrálu dosadíme za y>(ŕ) a y>'(ŕ)dŕ a dostaneme / f(x)dx.
• Vypočítáme F (x) = / f(x )dx.
• Urcíme interval /, na kterém platí F'(y>(ŕ)) = f(<ŕ>(ŕ))y>'(ŕ). o Hledaný integrál je / f(^(ŕ)V(ŕ)dŕ = F(^(ŕ)) + c, ŕ g /.
Příklad: Vypocítejte / s//,(2x)dx.
Příklad: Vypocítejte / s/n(2x)dx.
Iř ešení
i
s/n(2x )dx = 1 j s/n(2x ).2dx
Příklad: Vypocítejte / s/n(2x)dx.
Fř ešení:
j s/n(2x )dx = 1 j s/n(2x ).2dx
subsŕ/ŕuce    u = 2x
du = 2dx
Prříklad: Vypocřítejte s/n(2x)dx.
Iř ešení
i
j s/n(2x )dx = i j s/n(2x ).2dx
subsŕ/ŕuce    u = 2x du = 2dx
i
J s/n(u)du
2
Příklad: Vypocítejte / s/n(2x)dx.
Fř ešení
i
j s/n(2x )dx = 1 j s/n(2x ).2dx
subsŕ/ŕuce    u = 2x
du = 2dx
11 = 2 J s/n(u)du = 2(-cos(u)) + c
Příklad: Vypocítejte / s/"(2x)dx.
Iř ešení:
j s/"(2x )dx = 1 j s/"(2x ).2dx
subsŕ/ŕuce    u = 2x du = 2dx
11
2 J s/"(u)du = 2(-cos(u)) + c =
1
-cos(2x)) + c, x G R.
2
Příklad: Vypocítejte / e3x+T dx.
Prříklad: Vypocřítejte  e3x+1 dx.
Řešení:
1
e3x+1dx = f J e3x+1.3dx
Příklad: Vypocítejte / e3x+1 dx.
Iř ešení:
J e3x+1dx = 3 j
e3x+1.3dx
subsŕ/'ŕuce  u = 3x + 1 du = 3dx
Příklad: Vypocítejte / e3x+1 dx.
Iř ešení:
J e3x+1dx = 3 j
e3x+1.3dx
subsŕ/'ŕuce  u = 3x + 1 du = 3dx
1
3.
eu .du
Prříklad: Vypocřítejte  e3x- 1dx.
Iř ešení:
J e3x+1dx = 3 j
e3x+1.3dx
subsŕ/ŕuoe  u = 3x + 1 du = 3dx
J eu .du = 3 e" + o
1
3'
Příklad: Vypocítejte / e3x+1 dx.
Iř ešení:
J e3x+1dx = 3 j
e3x+1.3dx
du = 3dx
1 f 1 1
= s   eu.du = seu + c = 3e3x+1 + c, x g R.
Prříklad: Vypocřítejte
x dx
x 2+1 dX.
rS1        ~ -
Příklad: Vypocítejte / xr+fdx.
Řešení:
i ľ 2x
—- dx = ^ 2~" . dx x2 + i        2 J x2 + i
Prříklad: Vypocřítejte
x dx
x 2+i dX.
Rešení:
2x
2 X , dx = i / 2~" dx x2 + i       2 J x2 + i
subsŕ/'ŕuce u = x2 + i du = 2xdx
S
Prříklad: Vypocřítejte
x dx
x 2+1 dX.
Iř ešení:
2x
2 X , dx = 1 / 2~" dx x2 + 1       2 J x2 + 1
subsŕ/'ŕuce u = x2 + 1 du = 2xdx
IM 2 J u
du
J
Prříklad: Vypocřítejte
x dx
x 2+1 dx.
Iř ešení:
2x
2 x , dx = 1 / 2~" dx x2 + 1       2 J x2 + 1
subsŕ/'ŕuce u = x2 + 1 du = 2xdx
11
1
- i -du = -/njuj + c 2   u 2
Prříklad: Vypocřítejte
x dx
x 2+1 dx.
Fř ešení:
x2 + 1
dx
if 2x
2 J x^Tl
dx
subsŕ/ŕuce u = x2 + 1
du = 2xdx
= 1 f1 du = 1 /njuj + c = 1 /njx2 + 1 j + c, x e R. 2    u       2 2
J
Poznámka : Pro funkci^(ŕ), která je nenulová na intervalu / a má zde
derivaci^'(ŕ) platí: /dŕ = /n|<p(ŕ)| + c, ŕ g /: <p(ŕ) = 0.
Poznámka : Pro funkci^(ř), která je nenulová na intervalu / a má zde
derivaci^'(ř) platí: /dř = /%(ř)| + c, ř g /: <p(ŕ) = 0.
Dukaz:
Poznámka : Pro funkci^(ŕ), která je nenulová na intervalu / a má zde
derivaci^'(ŕ) platí: /dt = /%(ŕ)i + c, t e /: <?(ŕ) = 0.
Diů kaz: Overte sami.
II. výpocet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substitucix = y>(ŕ) tak, aby na J existovala     (x).
II. výpocet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
o Zvolíme substitucix = ^(ř) tak, aby na J existovala     (x).
o Vypoctáme dx = ^'(ř)dř a do daného integrálu dosadíme místo x výraz <r>(ř) a místo dx výraz ^'(ř)dř.
II. výpocet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
o Zvolíme substitucix = ^(ŕ) tak, aby na J existovala     (x).
o Vypoccítáme dx = ^'(ŕ)dŕ a do daného integrálu dosadíme místo x výraz <ŕ>(ŕ) a místo dx výraz ^'(ŕ)dŕ.
Urcíme G(ŕ) = / f(^(ŕ)V(ŕ)dŕ.
II. výpocet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
o Zvolíme substitucix = y>(ŕ) tak, aby na J existovala     (x).
o Vypocítáme dx = y>'(ŕ)dŕ a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ¥>(ŕ) a místo dx výraz ^'(ŕ)dŕ.
Urcíme G(ŕ) = / f(^(ŕ)V(ŕ)dŕ.
• Dosadíme do G(ŕ) místo ŕ výraz     (x) a dostaneme F (x) = G(^-1 (x)).
II. výpocet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
o Zvolíme substitucix = y>(ŕ) tak, aby na J existovala     (x).
o Vypocítáme dx = y>'(ŕ)dŕ a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ¥>(ŕ) a místo dx výraz ^'(ŕ)dŕ.
Urcíme G(ŕ) = / f(^(ŕ)V(ŕ)dŕ.
• Dosadíme do G(ŕ) místo ŕ výraz     (x) a dostaneme F (x) = G(^-1 (x)).
• Zkontrolujeme, zda na intervalu J platí F'(x) = f(x).
*říklad: Vypocítejte J y/1 - x2dx, x g (-1,1).
Iř ešení:
Příklad: Vypocítejte J y/1 - x2dx, x g (-1,1).
Iř ešení:
1 x2dx
Příklad: Vypocítejte J y/1 - x2dx, x e (-1,1).
Fř ešení:
1 x2dx
subsŕ/ŕuce    x = s/n(ŕ)     ŕ e (-n/2, n/2) dx = cos(ŕ )dŕ
Příklad: Vypocítejte / Vi -x2dx, x g (-i, i).
Fř ešení:
i x2dx
subsŕ/'ŕuce    x = s/n(ŕ)     ŕ g (-n/2, n/2) dx = cos(ŕ )dŕ
= J \ji - s/n2(ŕ)cos(ŕ)dŕ = J cos2(ŕ)dŕ =
Příklad: Vypocítejte J y/1 - x2dx, x g (-1,1).
Iř ešení:
1 x2dx
subst/tuce    x = s/n(t)     t g (-n/2, n/2) dx = cos(t )dt
J
= J \J1 - s/n2(t)cos(t)dt = J cos2(t)dt cos(2t) +1
dt
+ 2 + c, x g (-1,1).
2
>říklad: Vypočítejte / y/1 - x2dx, x e (-1,1).
Rešení:
1 - x2dx
st/Ďsř/řuce    x = s/n(ř)     ř e (-n/2,n/2) dx = cos(ř )dř
= ^ ^1 - s/n2(ř) cos(ř )dř = ^ cos2(ř )dř =
J cos(2ř) + 1 dř
2
+ 2 + c, x e (-1,1).
Nyní je nutné vrátit se k pijvodní promeenné x. Pro ř e (-n/2, n/2) vyjádříme ř = arcs/n(x) a protože
s/n(2ř) = 2s/n(ř)cos(ř) = 2s/n(ř)^j 1 - s/n2(ř),
Příklad: Vypočítejte / y/1 - x2dx, x g (-1,1).
Rešení:
1 - x2dx
suĎsř/řuce    x = s/n(ř)     ř g (-n/2,n/2) dx = cos(ř )dř
= J \J1 - s/n2(ř) cos(ř )dř = ^ cos2(ř )dř =
f cos(2ř) +1      s/n(2ř)    ř . „ „.
= J —~Ý-dř = + 2 + c> x g (-1,1).
Nyní je nutné vrátit se k pijvodní promeenné x. Pro ř g (-n/2, n/2) vyjádříme ř = arcs/n(x) a protože
s/n(2ř) = 2s/n(ř)cos(ř) = 2s/n(ř)^j 1 - s/n2(ř), dostaneme výsledek x-^*í + + c.
□        3 - - ?^Oc\(^