Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f(x), která má na intervalu / derivaci f (x). Pak platí: o je-li f' (x) > 0 Vx G / , funkce f je na intervalu / rostoucí. o je-li f' (x) < 0 Vx G / , funkce f je na intervalu / klesající. o je-li f' (x) > 0 Vx G / , funkce f je na intervalu / neklesající. o je-li f' (x) < 0 Vx G / , funkce f je na intervalu / nerostoucí. Příklad : Urcete intervaly monotónnosti funkce f (x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Budeme vycházet z funkce f (x) = 3x2 - 3. Nulové body funkce f (x) jsou -1, 1, ty rozdelí reálnou osu na tři intervaly. Znamení funkce f (x) je následující : (-oo,-1) (-1,1) (1,oo) + - + Tedy podle předchozí vety je funkce f(x) rostoucí na intervalu (-oo, -1), klesající na (-1, 1) a opeet rostoucí na (1, o). Intervaly monotónnosti funkce - příklad Znázorněme si graf funkce f (x) = x3 - 3x + 1 a graf její derivace f (x) = 3x2 - 3. Lokální extrémy Řekneme, že funkce f (x) má v bode x0 lokální minimum (resp. maximum), jestliže je definována v nejakém okolí bodu x0 a jestliže pro všechna x z tohoto okolí platí f (x) > f (x0), resp. f (x) < f (x0). Lokální minima a maxima souhrnne nazýváme lokální extrémy. Věta : Pokud má funkce f (x) v bode x0 lokální extrém a existuje-li zde derivace, pak pro tuto derivaci platí f (x0) = 0. Body s nulovou derivací nazýváme stacionární. Poznámka : Podmínka f (x0) = 0 však není ani nutnou ani postacující podmínkou pro existenci extrému, viz funkce fi (x), která má v bode x0 = 0 lokální minimum, ale nemá zde derivaci nebo funkce f3(x), pro kterou platí f (0) = 0, ale nemá žádný lokální extrém. Obrázek: fi (x) = |x| Obrázek: f2 (x) = x2/2 Obrázek: fs(x) = x3/3 Existence lokálního extrému Věta : Nechť má funkce f(x) v bodě x0 derivaci a platí ľ(x0) = 0. Existuje-li 5 > 0 takové, že: Vx g (x0 - 5, x0) : f (x0) > 0 a Vx g (x0, x0 + 5) : f (x0) < 0, pak má funkce f v bode x0 lokální maximum Vx g (x0 - 5, x0) : f (x0) < 0 a Vx g (x0, x0 + 5) : f (x0) > 0, pak má funkce f v bode x0 lokální minimum Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x) = x3 - 3x + 1 Řešení: Již dríve jsme spocetli f (x) = 3x2 - 3 a našli stacionární body -1, 1. Víme, že derivace f (x) je kladná nalevo od bodu x = -1a napravo od bodu x2 = 1a záporná mezi nimi. Takže v bode x = -1 nastává lokální maximum, f(-1) = 3 a v bode x2 = 1 lokální minimum, f(1) = -1. -3 -2 -1 2 3 4 5 Absolutní extrémy Řekneme, že funkce f (x) má na množine M absolutní minimum (resp. maximum) v bode x0, jestliže je funkce definována na M a platí Vx g M : f (x) > f (x0), resp. Vx g M : f (x) < f (x0). Poznámka : Absolutní minima a maxima nazýváme absolutní extrémy nebo též globální extrémy. Pokud v definici zameníme neostré nerovnosti za ostré, dostaneme tzv. ostré (Ci vlastní) extrémy. Věta : (Weierstrassova) Necht' funkce f (x) je spojitá na uzavřeném intervalu (a, b). Pak funkce f (x) nabývá na tomto intervalu svého absolutního minima, a to bud' v bode lokálního extrému nebo v nekterém z krajních bodu a, b. Totéž platí pro absolutní maximum. Absolutní extrémy - příklad Příklad : Celkové příjmy (TR) i celkové náklady (TC) jsou funkcí vyrobeného množství, bylo zjištěno, že: TR (Q) = Q3 - 2Q2 - 2Q, TC(Q) = Q3 - Q2 - 10Q Optimalizujte zisk P (Q) = TR (Q) - TC (Q), jestliže výrobní kapacita je 10 jednotek produktu. Řešení: Hledáme tedy extrémy funkce P (Q) = -Q2 + 8Q na intervalu (0,10). SpoCteme P'(Q) = -2Q + 8, stacionární bod je Q = 4. Globální extrémy mohou nastat v bodech 0,4,10. Porovnáme hodnoty P(0) = 0, P(4) = 16, P(10) = -20. Maximálního zisku je tedy dosaženo pro množství Q = 4, naopak nejvetší ztrátu zpusobí úplné využití výrobních kapacit, Q = 10. Konvexita a konkávnost funkce Řekneme, že funkce f (x) je na intervalu / o ryze konvexní, jestliže pro libovolné tri body x1, x2, x3 g / platí: x1 < x2 < x3 => bod 72 = [x2, f(x2)] leží pod úseCkou spojující body Ti = [xi, f(x1)] a 73 = [x3, f(x3)]. Obdobnee o funkci f řekneme, že je na / o ryze konkávní, jestliže pro libovolné tri body xi, x2, x3 g / platí: xi < x2 < x3 ^ bod 72 = [x2, f(x2)] leží nad úseCkou spojující body Ti = [xi, f (xi)] a 73 = [x3, f (x3)] Obrázek: Konvexní funkce Obrázek: Konkávní funkce Konvexita a konkávnost funkce Poznámka : Pripustíme-li v definici, aby bod 7"2 ležel i na úseCce T1 T3, pak vynecháme slUvko "ryze". Věta : Necht' funkce f (x) má na intervalu / druhou derivaci. Pak platí o Vx g /: f"(x) > 0 , pak je funkce konvexní na / o Vx g /: f"(x) < 0 , pak je funkce konkávní na / Poznámka : Body, ve kterých "se mení konvexita a konkávnost funkce"nazýváme inflexní body. (Presná definice je ve skriptech). Funkce muže mít inflexní bod pouze v bodech, kde existuje první derivace a druhá derivace bud' neexistuje nebo je nulová. Věta : Jestliže pro funkci f v bode x0 platí: f (x0) = f"(x0) = ... = f(n)(x0) = 0 a f(n+1)(x0) = 0, pak o je -li n sudé, má funkce f v bode x0 inflexní bod o je -li n liché, má funkce f v bode x0 lokální extrém,a to maximum pro f(n+1)(x0) < 0 a minimum f(n+1)(x0) > 0. Konvexita a konkávnost funkce - příklad Příklad : Je dána funkce f (x) = ln(x2 + 2). UrCete inflexní body této funkce a zjistěte, kde je konvexní a kde konkávni. Řešení: UrCíme druhou derivaci, f (x) = x2+2, f" (x) = 2(x 2+fjff 2x = (^ž+f^. Nulové body druhé derivace jsou ±>/2. UrCeme znamení funkce f"(x): (-00,-72) (-\/2, V2) (V2, <») - + - Tedy funkce je konkávní na intervalu (-oo, -V2), konvexní na (->/2, V2) a opeet konkávní na (>/2, oo). inflexní body jsou ±v2. 1 1 1 -V2 Asymptoty funkce Asymptoty jsou prímky, ke kterým "se blíží"graf funkce. Asymptotou bez smernice nazveme prímku x = a, pokud lima f (x) = ±00, kde symbol lima oznacuje nekterou z limit limx, limx_^a-, limx_^a+ Příklad : Funkce f (x) = x 2+5x+6 = (x+2)(x+3) má asymptoty bez smernice x = -2, x = -3, nebot' lirrix^-3- f (x) = 00 limx^-3+ f (x) = -00 limx^-2- f (x) = -oo limx^-2+ f (x) = 00 Přímku y = Ax + B nazveme asymptotou funkce f (x) ve nevlastním bode 00, resp. -00, jestliže limx^0[f(x) - (Ax + B)] = 0, resp. limx-+-00[f(x) - (Ax + B)] = 0. Příklad : Funkce f (x) = x 2+5x+6 má v nevlastních bodech asymptotu y = 0, protože limx^±oc(x2+5x+6 - 0) = 0. Asymptoty funkce Poznámka : Funkce f (x) nemusí mít žádné asymptoty, např. funkce f (x) = sin x. Věta : Prímka y = Ax + B je asymptotou funkce f (x) v bode +00, resp. -00 A = linrix^oo f(x), B = lirrix^oc(f(x) - Ax), resp. A = limx^-oc f(x), B = limx^-oc(f(x) - Ax). 2 Příklad : Urcete asymptoty funkce f (x) = x +^(x+1 v nevlastních bodech. Řešení: Nejprve urcíme asymptotu v +00: A = limx^oc = 1, B = limx-<* (x2±2x±i - x) = limx—«> ^ = 2 Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Obdobne postupujeme v -00: A = limx—oo x2+2x±i = 1, B = limx—«> (x2±2x±i - x) = limx—«> ^ = 2 Tedy hledaná asypmtota je: y = x + 2. Paibeh funkce Při vyšetřování prubehu funkce zjišťujeme: F> Df, nulové body a znamení funkce, periodicitu, paritu funkce f2) Intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce 3 Kde je funkce konvexní, konkávní a jaké jsou inflexní body funkce ^ Asymptoty a graf funkce Příklad : Vyšetrete prubeeh funkce f (x) = V x2 + 2x + 2. Řešení: F> Funkce je definovaná na R, je všude kladná, není sudá ani lichá ani periodická f2) f (x) = . x+1 , stacionární bod je -1, funkce je klesající na (-oo, -1) V x2+2x+2 a rostoucí na (-1, oo), tedy v bode -1 nabývá funkce lokálního minima f (-1) = 1. 3 f"(x) = , 1 , druhá derivace je všude kladná, tedy funkce je V } yj{x2+2x+2)3 ' J konvexní na R. \A Funkce nemá svislé asymptoty. Určeme ještě asymptoty funkce f(x) = Vx2 + 2x + 2 v nevlastních bodech. Průběh funkce - příklad A = lim*—o = lim*—o ^x^+ = 1, B = lim*—«> (Vx2 + 2x + 2 - x \ = lim*(V*2 + 2x + 2 - x) V*2!2^+* = |im*^ 22*+2 2 = 1 V / V*2 +2*+2+* V*2+2*+2+* Tedy hledaná asypmtota je: y = * + 1. Obdobně postupujeme v -oo: A = lim V*2+2*+2 = lim J*2+2*+2 = h a\ — mi li*—)> — oo * — 111 '^— — oo v * 2 — 'j B = lim*——o ( 2 + 2* + 2 + ^ = lim*——o (V*2 + 2* + 2 + *) = lim*——o /22*2+22 = -1 *2+2*+2—* *2+2*+2—* Tedy hledaná asypmtota je: y = -* - 1. Nyní již můžeme nakreslit graf funkce. Průběh funkce - příklad Zjistili jsme, že: funkce má lokální minimum v bodě -1, f(-1) = 1 funkce je konvexní funkce má v +oo asymptotu y = x + 1 funkce má v -oo asymptotu y = -x - 1 nyní již mužeme nacrtnout graf 4 3 2 Obrázek: Graf funkce f (x) = V x2 + 2x + 2 Diferenciál Uvažujme funkci f (x), která má v bode a derivaci f' (a). Sestrojíme - li v bode a tecnu ke grafu funkce f, t: y = f (a) + f' (a).(x - a), mužeme pro x blízká bodu a odhadnout hodnotu f (x) jako f (x) « f (a) + f' (a).(x - a). Výraz df(a) = f'(a).(x - a) nazýváme diferenciálem funkce f v bode a, píšeme df(a) = f' (a).dx. f(a) y=f(x) df(a)=f(a).dx dx=x-a / ' a x Obrázek: Diferenciál funkce f (x) v bode a pro dx = (x - a) Diferenciál - príklad Příklad : Je dána funkce f (x) = \[x a bod a = 4. T) Urcete diferenciál funkce f v bode a ľ2) Pomocí tohoto diferenciálu odhadnete \/5. Řešení: \ f (x) = 27x, f (4) = 4. Tedy df(4) = f. 5 VŠ = f (5) « f (a) + f (a).(5 - a) = 74 + 5-4 = 2,25 Pozn.: Skutecná hodnota zaokrouhlená na 3 desetinná místa je V5 = 2,236. Taylorův polynom Má-li fůnkce f (x) derivace v bodě a derivace až do n-tého řádů, pak v tomto bodě defin ůjeme Taylor ů v polynom st ů pne n: Tn (x) = f (a) + f (a).(x - a) + .(x - a)2 + ... + f^(a) .(x - a)n Pro "x blízká bod u a"platí f(x) « Tn(x), chyb u Rn(x) = f(x) - Tn(x) lze vyjádřit v r U zných tvarech. Příklad : Pro f u nkci f(x) = 0x a bod a = 4 UrCete Taylor U v polynom T3(x) 3 Pomocí tohoto polynomu odhadnete >/5. Pozn.: SkůteCná hodnota zaokroůhlená na 3 desetinná místa je ^5 = 2,236. v f" (4) = 256 3 Integrální pocet - primitivní funkce Jestliže F (x) a f (x) jsou takové funkce, že pro všechna x z intervalu / platí f (x) = F7 (x), pak řekneme, že F (x) je primitivní k f (x) na intervalu /. Príklad : Funkce F (x) = x3 + x2 + 3x + 5 je primitivní k f (x) = 3x2 + x + 3 na R, protože f (x) = F7 (x). Poznámka : Je-li F (x) primitivní k f (x) na intervalu /, pak funkce F(x) je zde spojitá (dokonce má derivaci). Jaké podmínky musí splnovat f (x)? Postacující podmínkou k tomu, aby k f(x) existovala primitivní funkce je spojitost f(x) na /. Je primitivní funkce urcřena jednoznacřneř? Příklad : Funkce G(x) = x3 + x2 + 3x + 7 je též primitivní k funkci f (x) = 3x2 + x + 3 z předchozího príkladu. Věta : Jsou-li funkce F (x) a G(x) primitivní k funkci f (x) na intervalu /, pak existuje konstanta c g R, taková, že pro Vx g /: F (x) = G(x) + c Neurccitý integrál Množinu všech funkcí primitivních k f (x) na / nazýváme neurcitý integrál f (x) na / a znacíme / f (x)dx. Píšeme / f (x )dx = F (x) + c, kde F (x) je libovolná primitivní funkce k f (x) na /, dx je diferenciál x a c tzv. integracní konstanta. Příklad : Najdete neurcité integrály T j sin xdx ř / x3 dx P / e2xdx Řešení: U J sin xdx = - cos x + c ř / x3 dx = x44 + c ř J e2xdx = e2x + c Základní neurcité integrály J 0dx = C, x G (-00,00) f exdx = ex + c, x g (-00,00) f sin xdx = - cos x + c, x g (-00,00) j cos xdx = sin x + c, x g (-00,00) / ^ = arcŕg(x) + c, x g (-00,00) / -/rH = a/cs/n(x) + c, x g (-1, 1) 1-x 2 j xndx = + c, n = -1, x g (-00,00) pro n > 0 celé, x g (-00,0) nebo (0,00) pro n < 0 celé, x g (0,00) pro n necelé I dx = 'n|x| + c, x g (0,00) nebo x g (-00,0) / c0lx(x) = tg(x) + c, pro interval, kde cos x = 0 J s^x) = -coŕg(x) + c, pro interval, kde sin x = 0 Pravidla pro integrování Integrace lineární kombinace funkcí: Věta : Jestliže funkce f1 (x), f2(x),... fn(x) mají na / neurcité integrály, pak pro libovolné konstanty c1, c2,... cn existuje neurcitý integrál funkce f(x) = C1 f1 (x) + C2f?(x) + ... + Cnfn(x) a platí:_ J f (x )dx = ty f f1 (x )dx + c2f f2 (x )dx + ... + cnf fn (x )dx Příklad : Najdete neurcitý integrál /(ex + + 3)dx Řešení: /(ex + + 3)dx = / exdx + 2 / dx + 3 j 1 dx = ex + 2arcrgx + 3/n|x | + c. Metoda per partes: Věta : Jestliže funkce u (x), v (x) mají na otevreném intervalu / spojité derivace, pak platí: J u' (x )v (x )dx = u (x )v (x) - J u (x )v' (x )dx Metoda per partes - prříklady Příklad i Najdete neurcitý integrál J x. sin xdx Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u7 (x) = sin x, v (x) = x. Dopocítáme u (x) = - cos x, v7 (x) = 1 a dosadíme: f x. sin xdx = -x cos x - f - cos xdx = -x cos x + sin x + c. Nekdy je nutné použít pravidlo opakovane. Příklad i Najdete neurcitý integrál J x2.exdx Řešení: Použijeme metodu per partes pro: u7 (x) = ex, v (x) = x2. Dopocítáme u (x) = ex, v7 (x) = 2x a dosadíme: j x2 .exdx = x2 .ex -J 2x.exdx Per partes zopakujeme pro u7 (x) = ex, v (x) = 2x, tedy u (x) = ex, v7 (x) = 2: j x2.exdx = x2.ex - [2x.ex - J 2exdx] = x2.ex - 2x.ex + 2ex + c. I. výpocet integrálu substitucí: hledáme / f(