Určitý integrál Uvažujme graf funkče f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah pločhy ohraničené grafem, osou x a svislýmiprímkamix = a, x = b. Určitý integrál Uvažujme graf funkče f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah pločhy ohraničené grafem, osou x a svislýmiprímkamix = a, x = b. Postupujme následujícím zpusobem: rozdelíme interval (a, b) na n částečnýčh intervalu (xi,x2), (x2, x3),..., (xn,xn+i), kde a = x < x2 < ...,xn < xn+i = b. Toto delení označíme Dn. Určitý integrál Uvažujme graf funkče f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah pločhy ohraničené grafem, osou x a svislýmiprímkamix = a, x = b. Postupujme následujíčím zpusobem: rozdelíme interval (a, b) na n částečnýčh intervalu (xi,x2), (x2, x3),..., (xn,xn+i), kde a = xi < x2 < ...,xn < xn+i = b. Toto delení označíme Dn. Dále zavedeme m/ = infxe f(x) a M = supxe(x,,x+i> f(x), ' = 1,..., n. Určitý integrál Uvažujme graf funkče f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah pločhy ohraničené grafem, osou x a svislýmiprímkamix = a, x = b. Postupujme následujícím zpusobem: rozdelíme interval (a, b) na n částečnýčh intervalu (xi,x2), (x2, x3),..., (xn,xn+i), kde a = x < x2 < ...,xn < xn+i = b. Toto delení označíme Dn. Dále zavedeme m = infxe f(x) a Mi = supxe(x,,x+i> f(x), ' = 1,..., n. Hledaný plošný obsah lze odhadnout pomočí výrazu s(f, Dn) = En=i m/(x/+i - x), resp. S(f, Dn) = Eti M/(x+i - x). Tyto výrazy nazýváme dolním, resp. horním Riemannovým součtem funkče f pro delení Dn. Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných delení intervalu (a, b). Je-lifunkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál f* f(x)dx = supDS(f, D) Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných delení intervalu (a, b). Je-lifunkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál 4bf(x)dx = supDS(f, D) Je-lifunkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannuv integrál /I f (x )dx = infD S(f, D). Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných delení intervalu (a, b). Je-lifunkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál 4bf(x)dx = supDS(f, D) Je-lifunkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannuv integrál /I f (x )dx = infD S(f, D). Definice : Má-lifunkce f (x) na (a, b) horní i dolní Riemannuv integrál a jsou-li stejné, pak klademe |ab f (x )dx = jf f (x )dx = |ab f (x )dx a toto císlo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na (a, b). Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných delení intervalu (a, b). Je-lifunkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál 4bf(x)dx = supDS(f, D) Je-lifunkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannuv integrál /I f (x )dx = infD S(f, D). Definice : Má-lifunkce f (x) na (a, b) horní i dolní Riemannuv integrál a jsou-li stejné, pak klademe |ab f (x )dx = jf f (x )dx = |ab f (x )dx a toto císlo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na (a, b). Poznámka : Císlo a nazýváme dolní mez integrálu, císlo b nazýváme horní mez integrálu. O funkcif říkáme, že je na daném intervalu integrabilní. Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných delení intervalu (a, b). Je-lifunkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál Je-lifunkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannuv integrál Ja f (x )dx = infD S(f, D). Definice : Má-lifunkce f (x) na (a, b) horní i dolní Riemannuv integrál a nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na (a, b). Poznámka : Císlo a nazýváme dolní mez integrálu, císlo b nazýváme horní mez integrálu. O funkcif říkáme, že je na daném intervalu integrabilní. Poznámka : Pro existenciintegrálu f (x) na (a, b) stací, aby zde funkce byla spojitá. b /x = supD si □ ť3> - - Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro případy, kdy není splněna podmínka a < b: pro a = b klademe fab f(x)dx = 0, pro b < a klademe fab f (x)dx = - |ba f(x)dx Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšírení pojmu itegrálu pro případy, kdy není splnena podmínka a < b: pro a = b klademe |ab f (x )dx = 0, pro b < a klademe |ab f (x )dx = - |ba f (x )dx Veta : Existují-li integrály |acf (x )dx i |cbf (x )dx, pak je funkce f (x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí |ab f (x )dx = |ac f (x )dx + |cb f (x )dx. Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšírení pojmu itegrálu pro případy, kdy není splnena podmínka a < b: pro a = b klademe fab f (x )dx = 0, pro b < a klademe fab f (x )dx = - |ba f (x )dx Veta : Existují-li integrály facf (x )dx i |bf (x )dx, pakjefunkče f (x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí fab f (x )dx = fac f (x )dx + /b f (x )dx. Vtíta : Jsou-lifunkče f (x) a g (x) integrovatelné na (a, b) a platí-lipro Vx g (a, b) : f (x) > g (x), pak také platí |ab f (x )dx > |abg(x )dx. Urcitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšírení pojmu itegrálu pro případy, kdy není splnena podmínka a < b: pro a = b klademe |ab f (x )dx = 0, pro b < a klademe |ab f (x )dx = - |ba f (x )dx Veta : Existují-li integrály |acf (x )dx i |bf (x )dx, pak je funkce f (x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí |b f (x )dx = |ac f (x )dx + |cb f (x )dx. veta : Jsou-lifunkce f (x) a g (x) integrovatelné na (a, b) a platí-lipro Vx g (a, b) : f (x) > g (x), pak také platí/b f (x )dx > /abg(x )dx. Veta : Pro funkce f (x) a g(x) integrovatelné na intervalu (a, b) a libovolné konstanty a, /3 je integrovatelná i funkce af(x) + /3g(x) a platí: /ab (af (x) + //g(x ))dx = a f (x )dx + / g(x )dx. Určitý integrál - výpočet Pro funkči f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkče F (x) := f (ŕ )dŕ je spojitá na (a, b) a ve všečh bodečh spojitostifunkče f (x) platí: F '(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkčí). Urcitý integrál - výpocet Pro funkci f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 g (a, b) platí: Funkce F (x) := f (ŕ )dŕ je spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitostifunkce f (x) platí: F '(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta : Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: Jabf (x )dx = F (b) - F (a), píšeme též Jab f(x)dx = [F(x)]a = F(b) - F(a). Urcitý integrál - výpocet Pro funkci f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 g (a, b) platí: Funkce F (x) := f (t )dř je spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitostifunkce f (x) platí: F '(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Veta : Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: /abf (x )dx = F (b) - F (a), píšeme též |ab f(x)dx = [F(x)]a = F(b) - F(a). Příklad : Spoctete urcitý integrál pro f (x) = x + 1, a = 1, b = 3. Určitý integrál - výpočet Pro funkči f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 g (a, b) platí: Funkče F (x) := f (ŕ )dŕ je spojitá na (a, b) a ve všečh bodečh spojitostifunkče f (x) platí: F '(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkčí). Věta : Newtonova formule: Je-li f (x) spojitá na (a, b) a F (x) je její libovolná primitivní funkče, pak: /abf (x )dx = F (b) - F (a), píšeme též |ab f(x)dx = [F(x)]a = F(b) - F(a). Příklad : Spočtete určitý integrál pro f (x) = x + i, a = i, b = 3. Rešení: |i3(x + i)dx = [x2/2 + x]3 = 9/2 + 3 - (i/2 + i) = 6. Urcitý integrál - výpocet Pro funkci f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 g (a, b) platí: Funkce F (x) := f (t )dř je spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitostifunkce f (x) platí: F '(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Veta : Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: Jí f (x )dx = F (b) - F (a), píšeme též Jab f(x)dx = [F(x)]a = F(b) - F(a). Příklad : Spoctete urcitý integrál pro f (x) = x + 1, a = 1, b = 3. Rešení: /13(x + 1)dx = [x2/2 + x]3 = 9/2 + 3 - (1/2 + 1) = 6. Příklad : Spoctete urcitý integrál pro f (x) = a^x, a = 0, b = 1 Určitý integrál - výpočet Pro funkči f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkče F (x) := f (ŕ )dŕ je spojitá na (a, b) a ve všečh bodečh spojitostifunkče f (x) platí: F'(x) = f(x) (tedy je-li f(x) spojitá, pak je F(x) její primitivní funkčí). Věta : Newtonova formule: Je-li f (x) spojitá na (a, b) a F (x) je její libovolná primitivní funkče, pak: /abf (x )dx = F (b) - F (a), píšeme též |ab f(x)dx = [F(x)]a = F(b) - F(a). Příklad : Spočtete určitý integrál pro f (x) = x + 1, a = 1, b = 3. íi3 Příklad : Spočtete určitý integrál pro f (x) = a^x, a = 0, b = i Řešení: |i3(x + i)dx = [x2/2 + x]3 = 9/2 + 3 - (i/2 + i) = 6. Řešení: |0i ^cŕx = [3x4/3/4]0 = 3/4. Urcitý integrál - integracní metody Per partes v urcitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: U'(x)v(x)dx = [U(x)v(x)]b - £ u(x)v'(x)dx Urcitý integrál - integracní metody Per partes v urcitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: Jab U'(x)v(x)dx = [U(x)v(x)]b - £ u(x)v'(x)dx Příklad : |0 x/n(x + 1 )dx = u' = x v = /n(x + 1) u = x2/2 v' = 1/(x +1) = [x2/n(x + 1)]0 - Ji 0 2(x +1) dx = 2 /n2 - 0 - J 0 2(x+ ) + /n2 - 1 [x2 - x + /n(x + 1 )]0 = 2/n2 - 4 + 1 - 2/n2 - 0 = 4 1 2 x Urcitý integrál - integracní metody Per partes v urcřitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: /ab U'(x)v(x)dx = [U(x)v(x)]b - £ u(x)v'(x)dx Příklad : J0 x/n(x + 1 )dx = u' = x v = /n(x + 1) u = x2/2 v' = 1/(x +1) = [x2/n(x + 1)]0 - Ji 0 2(x +1) dx = 2 /n2 - 0 - J, 0 2(x+ ) + dx = 2/n2 - 2 Jo1 (x - 1 + jx+iy) dx = 1 /n2 - 1 [x2 - x + /n(x + 1 )]1 = 2 /n2 - 4 + 1 - 2 /n2 - 0 = 4 Substituce v urcřitém integrálu Jestliže u = y>(x) má spojitou derivacina (a, b) a je-li f (u) spojitá na y>((a, b)), pak platí f(^(x)V(x)dx = f(u)du. 1 2 x Urcitý integrál - integracní metody Per partes v urcitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: /ab U'(x)v(x)dx = [U(x)v(x)]b - £ u(x)v'(x)dx Příklad : |0 x/n(x + 1 )dx = u' = x v = /n(x + 1) u = x2/2 v' = 1/(x +1) = [x2/n(x + 1)]0 - Ji dx = 2 /n2 - 0 - J, 0 2(x +1) -1 + 1 0 2(x +1) 1/n2 - 1 [x2 - x + /n(x + 1 )]J = 2/n2 - 4 + 1 - 2/n2 - 0 = 4 Substituce v urcitém integrálu Jestliže u = y>(x) má spojitou derivacina (a, b) a je-li f (u) spojitá na y>((a, b)), pak platí f(^(x)V(x)dx = f(u)du. Příklad: . u = x2 + 2x + 3 du = (2x + 2)dx u(-1) = 2, u(0) = 3 J-1 x2+2x+3 dx r0 1 2x+2 dx J-1 2 x2+2x+3UA 2 [/n(u)]2 = 1 2 ///2. 11!1 dx 1 2 x Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určřitý integrál, kde platí: a = -to nebo b = to. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určřitý integrál, kde platí: a = -to nebo b = to. Definice : Definujeme fa°° f (x )dx = limf^TO faf f (x )dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případe řekneme, že integrál diverguje. Analogičky definujeme |bTO f (x )dx = limf^_TO |b f (x )dx. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme urcřitý integrál, kde platí: a = -to nebo b = to. Definice : Definujeme |a°° f (x )dx = limf^TO /j f (x )dx, pokud tato limita konverguje. V opacném případe řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme |bTO f (x )dx = limf^_TO |b f (x )dx. Příklad : /2°° Xjdx = lim,^TO f2 xdx = lim,^TO [-= lim,^TO -1 + J = 0 + J = J. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a = -to nebo b = to. Děfinicě : Definujeme fa°° f (x )dx = limf^TO /j f (x )dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případe řekneme, že integrál diverguje. Analogičky definujeme |bTO f (x )dx = limf^_TO |fb f (x )dx. Příklad : /2°° dx = lim,^TO l2 xdx = lim,^TO [-i] 2 = lim,^—, -\ + 2 = 0 + 2 = i. Integrál f(x)dx nazveme konvergentním, pokud pro nejaké c g R konvergují oba integrály f (x )dx, fc°° f (x )dx, potom definujeme f—co f (x )dx = f (x )dx + f (x )dx. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme urcitý integrál, kde platí: a = -to nebo b = to. Děfinicě : Definujeme |a°° f (x )dx = limŕ^TO /j f (x )dx, pokud tato limita konverguje. V opacném případe řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme |bTO f (x )dx = limŕ^-o0 |b f (x )dx. Příklad : Integrál f(x)dx nazveme konvergentním, pokud pro nejaké c g R konvergují oba integrály f (x )dx, fC° f (x )dx, potom definujeme H. f (x )dx = /c_oo f (x )dx + /Co f (x )dx. Příklad : J° 1 oo x2-2x+5 1 2d 1 dx 1 »-oo (x-1)2+4 dx 2ŕ = x - 1 2d = dx oo 4ŕ2+4 1 [arcŕg(ŕ )]-«, + 1 [arcŕg(ŕ)] = 21- = 2 (0 o ŕ2+1 dl + 2 J0 ŕ2+1 dl f - 0) = f 2 + 2 Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkči Jestliže f (x) je neomezená v bode b , ale je omezená na intervalu (a, ŕ) pro libovolné ŕ e (a, b), pak definujeme fab f (x )dx = limf^b_ faf f (x )dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogičky se pro funkčineomezenou v bode a definuje |ab f (x )dx = limf^a+ |b f (x )dx. Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bode b , ale je omezená na intervalu (a, ŕ) pro libovolné ŕ g (a, b), pak definujeme |ab f (x )dx = limŕ^b_ |aŕ f (x )dx, pokud tato limita existuje. Jinak rekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkcineomezenou v bode a definuje |ab f (x )dx = limŕ^a+ |b f (x )dx. Příklad : |01 ^cŕx = lim^o+ // ^oŕx = lim^o+px4^/*]1 lim,_>o+ (5/4 - 5v/F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bode b , ale je omezená na intervalu (a, ŕ) pro libovolné ŕ g (a, b), pak definujeme fab f (x )dx = limŕ^b_ faŕ f (x )dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkcineomezenou v bode a definuje fa f (x )dx = limŕ^a+ |b f (x )dx. Příklad : |0i ^cŕx = limf^0+ // ^oŕx = Nm^0+[5x4/5/4]i = limf^0+ (5/4 - 5v/F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. Poznámka : Je-lifunkče f (x) je neomezená v bode c e (a, b), pak definujeme fab f (x )dx = fac f (x )dx + |b f (x )dx, pokud oba integrály na pravé straneř existují. Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bode b , ale je omezená na intervalu (a, ŕ) pro libovolné ŕ g (a, b), pak definujeme |ab f (x )dx = limŕ^b_ |aŕ f (x )dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkcineomezenou v bode a definuje |ab f (x )dx = limŕ^a+ |b f (x )dx. Příklad : /01 ^dx = lim^0+ /ŕ1 ^dx = nmf_+0+[5x4/5/4]1 = lim^0+ (5/4 - 5v/F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. Poznámka : Je-lifunkce f (x) je neomezená v bode c g (a, b), pak definujeme |ab f (x )dx = |ac f (x )dx + |cb f (x )dx, pokud oba integrály na pravé straneř existují. Příklad : Spoctete: |02 x-LT dx. Špatný postup: |02 x11 dx = [/n|x - 11]0 = /n1 - /n1 = 0 Správne: funkce není definována v bode 1, tedy J02 x-1 dx = /J x-1 dx + jf x-1 dx = lim^1+[/n|x - 11]0 + lim^1-[/n|x - 11]2 = 00 — /n1 + /n1 - to, integrál diverguje. □ a - 1 ^^ 0 nazveme 6 - okolím bodu A množinu všečh bodu z Rn, jejičhž vzdálenost od bodu A je menší než 6; U(A) = {X g Rn,p(X, A) <6} Limita funkce více promenných Definice : Ríkáme, že funkce f (x, x2,..., xn) má v bode X0 = [x°, x°,..., x0] limitu rovnu A g R a píšeme limX^X0 f (X) = A , jestliže pro Ve > 03(5 > 0 tak, že f(X) je definovaná v ryzím okolí U(X0) \ {X0} a pro všechna X z tohoto okolí platí: |f(X) - A| < e. (tj. "pro všechna X blízká X0 platí f(X) « A.) Limita funkče víče promeennýčh Děfinicě : Ríkáme, že funkče f(xi, x2,..., xn) má v bode X0 = [x°, x°,..., x0] limitu rovnu A g R a píšeme limX^X0 f (X) = A , jestliže pro Ve > 03(5 > 0 tak, že f(X) je definovaná v ryzím okolí U(X0) \ {X0} a pro všečhna X z tohoto okolí platí: |f(X) - A| < e. (tj. "pro všečhna X blízká X0 platí f(X) « A.) Poznámka : Pro počítání s limitami platí analogičká pravidla jako u funkče jedné promenné. Obdobne se zavádejí i nevlastní limity. Děfinicě : Řekneme, že funkče f(xi, x2,..., xn) je spojitá v bode X0 = [xi0, x20, . . . , xn0], jestliže má v tomto bodeř limitu a platí: limX f (X) = f (X0). Limita funkce více promenných Definice : Ríkáme, že funkce f(x1, x2,..., xn) má v bode X0 = [x°, x°,..., x0] limitu rovnu A e R a píšeme limX^X0 f (X) = A , jestliže pro Ve > 03(5 > 0 tak, že f(X) je definovaná v ryzím okolí U(X0) \ {X0} a pro všechna X z tohoto okolí platí: |f(X) - A| < e. (tj. "pro všechna X blízká X0 platí f(X) « A.) Poznámka : Pro pocítání s limitami platí analogická pravidla jako u funkce jedné promenné. Obdobne se zavádejí i nevlastní limity. Definice : Rekneme, že funkce f(x1, x2,..., xn) je spojitá v bode X0 = [x0, x°,..., x0], jestliže má v tomto bode limitu a platí: limX f (X) = f (X0). Příklad : Funkce f (x, y) = xi+y? je spojitá ve všech bodech R2 krome bodu [0,0]. Parčiální derivače Uvažujme nejprve funkči dvou promeřnnýčh f(x, y) a položme y rovno konstanteř y . Dostaneme funkči jedné promeřnné, označřme ji g(x) = f(x, y ). Jestliže má tato funkče derivači v bodeř x , tj. existuje-li g'(xo) = limx^Xo f (x'yox)-X(iXo'yo), nazveme jiparčiální derivačí funkče f (x, y) v bode [xo, yoj podle promeenné x. Označujeme jifx(xo, yo) nebo fx(xo, yo) nebo df(dox'yo} . Analogičky se definuje parciální derivače podle y. Parciální derivace Uvažujme nejprve funkcidvou proměnných f (x, y) a položme y rovno konstante y0. Dostaneme funkcijedné promenné, oznaCme jig(x) = f (x, y0). Jestliže má tato funkce derivaciv bode x0, tj. existuje-li g'(x0) = limx^Xo f (x,yo;)-X0Xo'yo), nazveme ji parciální derivací funkce f (x, y) v bode [x0, y0] podle promenné x. Oznacujeme jifx(x0, y0) nebo fx(x0, y0) nebo df(d°xy°} . Analogicky se definuje parciální derivace podle y. Poznámka : Pro funkcin promenných se parciální derivace definují obdobne. Derivujeme-lipodle x,, ostatní promenné považujeme za konstanty. Parciální derivace funkce f(X) v bode X0 znacíme například fx, (X0), fx2 (X0),..., fx„ (X0). Parciální derivace Uvažujme nejprve funkcidvou promenných f (x, y) a položme y rovno konstante y0. Dostaneme funkcijedné promenné, oznaccme jig(x) = f (x, y0). Jestliže má tato funkce derivaciv bode x0, tj. existuje-li g'(x0) = limx^x0 f (x,yo;)-x0xo'yo), nazveme ji parciální derivací funkce f (x, y) v bode [x0, y0] podle promenné x. Oznacujeme jifx(x0, y0) nebo fx(x0, y0) nebo df(d°x'y0} . Analogicky se definuje parciální derivace podle y. Poznámka : Pro funkcin promenných se parciální derivace definují obdobne. Derivujeme-lipodle x,, ostatní promenné považujeme za konstanty. Parciální derivace funkce f(X) v bode X0 znacíme například fx, (X0), fx2 (X0),..., fx„ (X0). Příklad : Funkce f (x, y) = x2 + 3y2 + 5xy - 4x + y - 1 má parciální derivace f; (x, y ) = 2x + 0 + 5y - 4 + 0a f; (x, y) = 0 + 6y + 5x - 0 + 1 Parciální derivace Uvažujme nejprve funkcidvou proměnných f (x, y) a položme y rovno konstantě y0. Dostaneme funkcijedné promenné, oznaCme jig(x) = f (x, y0). Jestliže má tato funkce derivaciv bode x0, tj. existuje-li g'(x0) = limx^Xo f (x,yo;)-X0Xo'yo), nazveme ji parciální derivací funkce f (x, y) v bode [x0, y0] podle promenné x. Oznacujeme jifx(x0, y0) nebo fx(x0, y0) nebo df(d°x'y0) . Analogicky se definuje parciální derivace podle y. Poznámka : Pro funkcin promenných se parciální derivace definují obdobne. Derivujeme-lipodle x,, ostatní promenné považujeme za konstanty. Parciální derivace funkce f(X) v bode X0 znacíme například fx, (X0), fx2 (X0),..., fx„ (X0). Příklad : Funkce f (x, y) = x2 + 3y2 + 5xy - 4x + y - 1 má parciální derivace f; (x, y ) = 2x + 0 + 5y - 4 + 0a f; (x, y) = 0 + 6y + 5x - 0 + 1 Příklad : Funkce f (x, y, z) = má parciální derivace f/(x y z) = 1.(y+z2)-x -° = 1 f/(x y z) = 0(y+z2)-x -1 = -x a fx(x> y > z)= (y+z2)2 = (y+z2), 'y(x' y' z)= (y+z2)2 = (y+z2)2 a f/(x y z) = 0.(y+z2)-x.2z = -2xz 'z(x, y, z)= (y+z2)2 = (y+z2)2 a g . , s ^ Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f(x1, x2,..., xn) derivacipodle x, (/' g {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx v neejakém bode X0 g q derivacipodle xy-, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x a x a znacíme fx/x; (X0) nebo fx; (Xo) nebo d2f (Xo) Parciální derivace vyšších řádů Uvažujme oblast q c Rn, kde má fůnkce f (x, x2,..., xn) derivacipodle x (/ g {1,..., n}), fx,.. Pokud má funkce fx,. v nejakém bode X0 g q derivacipodle xj, nazveme ji parciální derivací druhého řádu podle x a x a znacíme fX/Xj (X0) nebo (Xo) nebo d2f (Xo) Poznámka : Jestliže / = j, píšeme fjí nebo d dXX. Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f(x1, x2,..., xn) derivacipodle x, (/' g {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx v neejakém bode X0 g q derivacipodle xy-, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x a xy a znacíme fx,x (X0) nebo fx; (X0) nebo d2f (X0) Poznámka : Jestliže / = j, píšeme f" nebo ô . Příklad : Vypoctete všechny parciální derivace druhého rádu pro funkci f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f(x1, x2,..., xn) derivacipodle x, (/' e {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx v neejakém bode X0 e q derivacipodle xy-, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x a xy a znacíme fx.xj(X0) nebo fx'x (X0) nebo d2f (X0) Poznámka : Jestliže / = j, píšeme f" nebo ^^r1. Příklad : Vypoctete všechny parciální derivace druhého rádu pro funkci f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. fx = 6x - yz, fy = 2y - xz, fz = 3z2 - xy, Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f(x1, x2,..., xn) derivacipodle x, (/' g {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx v neejakém bode X0 g q derivacipodle xy-, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x a xy a znacíme fx,x (X0) nebo fx; (X0) nebo d2f (X0) Poznámka : Jestliže / = j, píšeme f" nebo ô . Příklad : Vypoctete všechny parciální derivace druhého rádu pro funkci f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. fx = 6x - yz, fy = 2y - xz, fz = 3z2 - xy, fxx = 6, fyy = 2, fzz = 6z, Parciální derivace vyšších řádů Uvažujme oblast q c Rn, kde má fůnkce f (x, x2,..., xn) derivacipodle x (/ g {1,..., n}), fx,.. Pokud má funkce fx,. v nejakém bode X0 g q derivacipodle xj, nazveme ji parciální derivací druhého řádu podle x a x a znacíme fX/Xj (X0) nebo f^.(Xo) nebo d2f (Xo) Poznámka : Jestliže i = j, píšeme nebo d . Příklad : Vypočtete všečhny parciální derivače druhého rádu pro funkči f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. fx = 6x - yz, fy = 2y - xz, fz = 3z2 - xy, fxx = 6, fyy = 2, fzz = 6z, fxy = - z, fxz = - y, fyz = - x, Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f (x, x2,..., xn) derivacipodle x (/ g {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx,. v neejakém bode X0 g q derivacipodle xj, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x a x a znacíme fX/Xj (X0) nebo fX;x; (X0) nebo d2f (X0) Poznámka : Jestliže / = j, píšeme nebo ^X20). Příklad : Vypoctete všechny parciální derivace druhého rádu pro funkci f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. fx = 6x - yz, fy = 2y - xz, fz = 3z2 - xy, fxx = 6, fyy = 2, fzz = 6z, fxy = - z, fxz = - y, fyz = - x, fyx = - z, fzx = - y, fzy = - x. Parciální derivace vyšších rádu Uvažujme oblast q c Rn, kde má funkce f (x1, x2,..., xn) derivacipodle x, (/ g {1,..., n}), fx. Pokud má funkce fx v neejakém bode X0 g q derivacipodle x;, nazveme ji parciální derivací druhého rádu podle x, a x; a znacíme fxx; (X0) nebo f^. (X0) nebo d2f (X0) Poznámka : Jestliže i = j, píšeme nebo ^^r1. Příklad : Vypočtete všečhny parčiální derivače druhého rádu pro funkči f (x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz. fx = 6x - yz, fy = 2y - xz, fz = 3z2 - xy, fxx = 6, fyy = 2, fzz = 6z, fxy = - z, fxz = - y, fyz = - x, fyx = - z, fzx = - y, fzy = - x. Věta : Jestliže má funkče f spojité parčiální derivače až do řádu k v nejakém okolí U(X0) bodu X0, nezáleží na poradí, ve kterém derivujeme, tedy napr. fxíx; (X0) = fx'xi (X0) Totální diferenciál Děfinicě : Uvažujme bod X0 = [x°,..., x°] g Rn. Má-lifunkce f v okolí U(X0) bodu X0 spojité parciální derivace prvního rádu, definujeme lineární zobrazení df(dx,..., dxn) = (X0).dx + ... fxn(X0).dxn Toto zobrazení nazýváme totálním diferenciálem funkce f v bode X0. (místo dx/ píšeme nekdy také x; - x°) Totální diferenciál Definice : Uvažujme bod X0 = [x°,..., x°] e Rn. Má-lifunkce f v okolí U(X0) bodu X0 spojité parciální derivace prvního rádu, definujeme lineární zobrazení df(dx,..., dxn) = fx1 (X0).dx + ... fxn(X0).dxn Toto zobrazení nazýváme totálním diferenciálem funkce f v bode X0. (místo dx; píšeme nekdy také x; - x°) Poznámka : Pro n = 2 je vztahem z = f (x0, y0) + df (dx, dy) = f (x0, y0) + fx (x0, y0)(x - x0) + fy (x0, y0)(y - y0) definována tecná rovina ke grafu funkce f (x, y) v bode T = [x0, y0, z0]. Totální diferenčiál Děfinicě : Uvažujme bod X0 = [x°,..., x°] e Rn. Má-lifunkče f v okolí U(X0) bodu X0 spojité parciální derivače prvního rádu, definujeme lineární zobrazení df(dx,..., dxn) = fxi (X^.dx + ... fxn(X0).dxn Toto zobrazení nazýváme totálním diferenčiálem funkče f v bode X0. (místo dx, píšeme nekdy také x, - x°) Poznámka : Pro n = 2 je vztahem z = f (x0,70) + df (dx, dy) = f (x0, y0) + fx (x0, y0)(x - x0) + fy (x0, y0)(y - y0) definována teččná rovina ke grafu funkče f (x, y) v bode T = [x0, y0, z0]. Příklad : Urččete diferenčiál funkče f (x, y) = ex2-y2 v bode T = [i, i] Totální diferenciál Definice : Uvažujme bod X0 = [x,0,..., x°] e Rn. Má-lifunkce f v okolí U(X0) bodu X0 spojité parciální derivace prvního rádu, definujeme lineární zobrazení df(dx,..., dxn) = fxi (X0).dx + ... fxn(X0).dxn Toto zobrazení nazýváme totálním diferenciálem funkce f v bode X0. (místo dx, píšeme nekdy také x - x0) Poznámka : Pro n = 2 je vztahem z = f(x0,yj) + df(dx, dy) = f(x0,yj) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - yj) definována teccná rovina ke grafu funkce f (x, y) v bode T = [x0, y0, z0]. Příklad : Urcete diferenciál funkce f (x, y) = ex2-y2 v bode T = [1,1] Řešení: Funkce má parciální derivace fx(x, y) = ex2-y2 • 2x, fy (x, y) = ex2-y2 • (-2y). Tedy fx (1, 1) = e0 • 2 = 2, fy (1, 1) = -2. Diferenciál funkce v bodeř T = [1 , 1 ] je df(dx, dy) = 2dx - 2dy. Řovnice tecřné roviny je z = e0 + 2(x - 1) - 2(y - 1) = 1 + 2x - 2y. Poznámka : Přidáním dalších clenu s derivacemivyšších rádiů bychom dostaliTayloruv polynom vyššího stupne. Lokální extrémy Řekneme, že funkce f(X) má lokální minimum v bode X0 g Rn, jestliže existuje okolí U(X0) takové, že pro všechna X g U(X0) platí: f(X0) < f(X). Analogicky lokální maximum. Poznámka : V přrípadeř ostrých nerovností mluvíme o ostrých lokálních extrémech. Veta : Má-lifunkce f(X) v bode X0 lokální extrém, pak všechny parciální derivace, které zde existují, musí být rovny 0 Poznámka : Body, ve kterých jsou všechny parciální derivace nulové, nazýváme stacionární. Příklad : Najdete stacionární body funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1. Lokální extrémy Řekneme, že funkce f(X) má lokální minimum v bode X0 g Rn, jestliže existuje okolí U(X0) takové, že pro všechna X g U(X0) platí: f(X0) < f(X). Analogicky lokální maximum. Poznámka : V přrípadeř ostrých nerovností mluvíme o ostrých lokálních extrémech. Věta : Má-lifunkce f(X) v bode X0 lokální extrém, pak všechny parciální derivace, které zde existují, musí být rovny 0 Poznámka : Body, ve kterých jsou všechny parciální derivace nulové, nazýváme stacionární. Příklad : Najdete stacionární body funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1. f; = 3x2 + 6y, f; = 6y + 6x. Lokální extrémy Rekneme, že funkce f(X) má lokální minimum v bode X0 g Rn, jestliže existuje okolí U(X0) takové, že pro všechna X g U(X0) platí: f(X0) < f(X). Analogicky lokální maximum. Poznámka : V prípade ostrých nerovností mluvíme o ostrých lokálních extrémech. Veta : Má-lifunkce f(X) v bode X0 lokální extrém, pak všechny parciální derivace, které zde existují, musí být rovny 0 Poznámka : Body, ve kterých jsou všechny parciální derivace nulové, nazýváme stacionární. Příklad : Najdete stacionární body funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1. f; = 3x2 + 6y, f; = 6y + 6x. Rovnice pro stacionární bod jsou 3x2 + 6y = 0, 6y + 6x = 0. Lokální extrémy Řekneme, že funkce f(X) má lokální minimum v bode X0 g Rn, jestliže existuje okolí U(X0) takové, že pro všechna X g U(X0) platí: f(X0) < f(X). Analogicky lokální maximum. Poznámka : V přrípadeř ostrých nerovností mluvíme o ostrých lokálních extrémech. Veta : Má-lifunkce f(X) v bode X0 lokální extrém, pak všechny parciální derivace, které zde existují, musí být rovny 0 Poznámka : Body, ve kterých jsou všechny parciální derivace nulové, nazýváme stacionární. Příklad : Najdete stacionární body funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1. f; = 3x2 + 6y, f; = 6y + 6x. Rovnice pro stacionární bod jsou 3x2 + 6y = 0, 6y + 6x = 0. Z druhé rovnice dostaneme y = -x a po dosazení do první dostaneme kvadratickou rovnici 3x2 - 6x = 0, její kořreny jsou x1 = 0, x2 = 2. Potom y1 = 0, y2 = -2. Našlijsme dva stacionární body [0,0], [2, -2]. Lokální extrémy Uvažujme funkčif(x, y) a její stačionární bod [x0, y0]. Pokud jsou v nejakém okolí bodu [x0, y0] spojité parčiální derivače druhého rřádu, položíme A(xo, yo) = fx'(xo,yo) fx;(xo,yo) ■>x(xo, yo) fy (xo, yo) V případe, že A(xo, yo) < o, není v bode [xo, yo] lokální extrém (potom bod [xo, yo] nazýváme sedlový bod). Je-liA(xo, yo) > o, je v bode [xo, yo] lokální extrém, a to minimum pro fx''(xo, yo) > o a maximum pro fx''(xo, yo) < o. Lokální extrémy Uvažujme funkcif(x, y) a její stacionární bod [x0, y0]. Pokud jsou v nejakém okolí bodu [x0, y0] spojité parciální derivace druhého rřádu, položíme A(x0, y0) = f'(x0, y0) fxy(x0, y0) f,'; yx(x0, y0) fy (x0, y0) V případe, že A(x0, y0) < 0, není v bode [x0, y0] lokální extrém (potom bod [x0, y0] nazýváme sedlový bod). Je-liA(x0, y0) > 0, je v bode [x0, y0] lokální extrém, a to minimum pro fx''(x0, y0) > 0 a maximum pro fx'(x0, y0) < 0. Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1 z prředchozího přríkladu. Lokální extrémy Uvažujme funkcif(x, y) a její stacionární bod [x0, y0]. Pokud jsou v nejakém okolí bodu [x0, y0] spojité parciální derivace druhého řádu, položíme A(x0, y0) = fx'(x0, y0) fxy(x0, y>) yx(x0,y0) fy(x0,y0) V případe, že A(x0, y0) < 0, není v bode [x0, y0] lokální extrém (potom bod [x0, y0] nazýváme sedlový bod). Je-liA(x0, y0) > 0, je v bode [x0, y0] lokální extrém, a to minimum pro fx''(x0, y0) > 0 a maximum pro fx''(x0, y0) < 0. Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1 z prředchozího přríkladu. Nejprve spocřteme parciální derivace druhého řrádu, zderivujeme funkce f = 3x2 + 6y a fy = 6y + 6x: f'' 'y 6x, fx xy fy yx 6, fy'' = 6. Lokální extrémy Uvažujme funkčif(x, y) a její stačionární bod [x0, y0]. Pokud jsou v nejakém okolí bodu [x0, y0] spojité parčiální derivače druhého rřádu, položíme A(xo, yo) = fx'(xo,yo) fxy(xo,yo) 'yx(Xo, yo) fy (Xo, yo) V případiě, že A(xo, yo) < o, není v bode [xo, yo] lokální extrém (potom bod [xo, yo] nazýváme sedlový bod). Je-liA(xo, yo) > o, je v bode [xo, yo] lokální extrém, a to minimum pro fx'(xo, yo) > o a maximum pro fx(xo, yo) < o. Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1 z předchozího príkladu. Nejprve spoCteme parciální derivace druhého rádu, zderivujeme funkce f = 3x2 + 6y a fy = 6y + 6x: f, 6x, fx'y' f'' M/! 6, fy'' = 6. xy yx y Sestavíme determinant matiče druhýčh derivačí v bode [0,0]: 0 6 6 6 = 0 - 6.6 = -36 < 0. V bode [0,0] je tedy sedlový bod. A(o, o) = Lokální extrémy Uvažujme funkcif(x, y) a její stacionární bod [x0, y0]. Pokud jsou v nejakém okolí bodu [x0, y0] spojité parciální derivace druhého řádu, položíme A(x0, y0) = fX'(x0, y0) fXy(x0, y0) f,'; yx(x0, y0) fy(x0, y0) V případe, že A(x0, y0) < 0, není v bode [x0, y0] lokální extrém (potom bod [x0, y0] nazýváme sedlový bod). Je-liA(x0, y0) > 0, je v bode [x0, y0] lokální extrém, a to minimum pro fx'(x0, y0) > 0 a maximum pro fX'(x0, y0) < 0. Příklad : Najdete lokální extrémy funkce f (x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1 z prředchozího přríkladu. Nejprve spocřteme parciální derivace druhého řrádu, zderivujeme funkce fX = 3x2 + 6y a fy = 6y + 6x: fx 6x, fx'y' f'' M/! 6, fy'' = 6. xy yx y Sestavíme determinant matice druhých derivací v bode [0,0]: 06 1 0 - 6.6 = -36 < 0. V bode [0,0] je tedy sedlový bod. A(0,0) = Pro [2, -2 66 dostaneme A(2, 2) = 12.6 - 6.6 = 36 > 0, jde tedy o extrém a protože fx''(2, -2) = 12 > 0, je v bodeř [2, -2] lokální minimum. □ - - 5-oq.o