Určitý integrál
Uvažujme graf funkce f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah plochy ohraničené grafem, osou x a svislými přímkami x = a, x = b. Postupujme následujícím způsobem:
rozdělíme interval (a, b) na n částečných intervalů
(xi,x2), (x2,x3),..., (Xa7,Xa7+i), kde a = xA < x2 < ...,x„ < x„+i = b. Toto dělení označíme Dn. Dále zavedeme
mi = infxe(X/>X/+1> f(x) a M, = supxe(X/>X/+1> f(x), i = 1,..., n.
Hledaný plošný obsah lze odhadnout pomocí výrazů
s(ŕ, Dn) = EíLi - */), resp. S(/, D„) = Eľ=i M/(x/+i - x,-).
Tyto výrazy nazýváme dolním, resp. horním Riemannovým součtem funkce / pro dělení Dn.
Určitý integrál - definice
Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannův integrál
f*f{x)(fx = supDs{f,D)
Je-li funkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannův integrál
/^/(x)dx = infD S(ŕ, D).
Definice : Má-li funkce f (x) na (a, b) horní i dolní Riemannův integrál a jsou-li stejné, pak klademe f£ f(x)dx = J^f(x)dx = f£ f(x)dx a toto číslo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na (a, b).
Poznámka : Číslo a nazýváme dolní mez integrálu, číslo b nazýváme horní mez integrálu. O funkci / říkáme, že je na daném intervalu integrabilní.
Poznámka : Pro existenci integrálu f (x) na (a, b) stačí, aby zde funkce byla spojitá.
Určitý integrál - vlastnosti
Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro případy, kdy není splněna podmínka
a < b\
pro a = b klademe fa f(x)dx = 0,
pro b < a klademe fa f{x)dx = - f£ f(x)dx
Věta : Existují-li integrály Ja f(x)dx i f£f(x)dx, pak je funkce f(x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí fa f(x)dx = fa f(x)dx + f£ f(x)dx.
Věta : Jsou-li funkce f(x) a g(x) integrovatelné na (a,b) a platí-li pro
Vx e (a, b) : f{x) > g(x), pak také platí fa f{x)dx > fa g[x)dx.
Věta : Pro funkce f(x) a g(x) integrovatelné na intervalu (a,b) a libovolné konstanty a, p je integrovatelné i funkce af(x) + fíg(x) a platí:
f*(af(x) + f3g(x))dx = a f* f(x)dx + (3 g{x)dx.
Určitý integrál - výpočet
Pro funkci f (x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F(x) := f* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'(x) = f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F(x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule:
Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: ll f(x)dx = F(b) - F(a),
píšeme též JaĎ /(x)dx = [F(x)]ba = F(b) - F(a).
Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = x + 1, a = 1, b = 3. Řešení: jf(x + 1 )dx = [x2/2 + x]? = 9/2 + 3 - (1 /2 + 1) = 6.
Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = ffič, a = 0, Ď = 1 Řešení: /1 ^xdx = [3x4/3/4]J = 3/4.
Určitý integrál - integrační metody
Per partes v určitém integrálu
Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: fa u\x)v{x)dx = [u(x)v(x)]ba - u{x)v\x)dx
•1
Příklad : fQ xln(x + 1 )dx =
ň
'0 2(x+1)
u' = x     v = ln(x + 1) u = x2/2   i/ = 1/(x+1)
dx = \\ríí - 0 - /J 4^±fdx = iIn2 - \ J01 (x -
= [t'"(* + 1)]o-
1 +
dx =
\ln2 -      - x + /n(x + 1 )]J = i/n2 - 1 + \ - \ln2 - 0 = \
Substituce v určitém integrálu
Jestliže u = ip(x) má spojitou derivaci na (a, b) a je-li f(u) spojitá na <^((a, £>}), pak platí fa f(v(xW(x)dx = f M f(u)du. Příklad :
u — x2 + 2x + 3 du = (2x + 2)dx = 2, u(0) = 3
f°      *+1 _ rO   1    2X+2 ď„_
J-1 x2+2x+3UA ~~ J-1 2x2+2x+3UA ~~
- 1 f3lc/x-
l[/n(u)]i = i/n|
Pnľnámka ■  Primitivní fnnkrp k   _ x+1— íp 1/nr y^py^^ \/\/q|pHpk
Nevlastní integrál
Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a   -oo nebo b = oo.
Definice : Definujeme /a°° f(x)dx = lim^oo fa f(x)dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případě řekneme, že integrál diverguje. Analogicky
definujeme       f(x)dx = lim^-oo Jtb f(x)dx. Příklad :
fľ ^dx = limŕ->oo fl ±>dx = lim^oo        = lim^oo -\ + { = Q + { = \.
Integrál f™ f(x)dx nazveme konvergentním, pokud pro nějaké c e R konvergují oba integrály      f(x)dx, /c°° f(x)dx, potom definujeme
r max = ŕ f(X)dx + r f(X)dx.
Poklad : = 1^ j^dx =
■°°     1   owt    1 r°°    1  w+    1 r°
2ŕ = x- 1 2c/ř = dx
4Ä42CÄ = 1 /_~   ^dt = 1 ^dt + 1 /~ ^dř =
£[arc&(0]° 00 + Karc^(0]o°° = 2(0 - Ťr + f - 0) = f
Nevlastní integrál
Nevlastní integrál vzhledem k funkci
Jestliže f (x) je neomezená v bodě b , ale je omezená na intervalu (a, t) pro
libovolné t e (a, b), pak definujeme f£ f(x)dx = limř^_ fa f(x)dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro
funkci neomezenou v bodě a definuje fa f(x)dx = limř^a+ f f f{x)dx. Příklad : J01 -^dx = limř_>0+ ft ~^dx = lim^0+[5x4/5/4]i = limř^o+(5/4 - 5^F/4) = 5/4 - 0 = 5/4.
Poznámka : Je-li funkce f (x) je neomezená v bodě c e (a, b), pak
definujeme fa f(x)dx = Jac f(x)dx + f£ f(x)dx, pokud oba integrály na pravé straně existují.
Příklad: Spočtěte: f* ^dx.
Špatný postup: J02 ^h\dx = [ln\x - 11]§ =     - /a?1 =0 Správně: funkce není definována v bodě 1, tedy
Jo ^dx = Jo ^hdx + JÍ ^dx = limř_M + [/n|x - 1 \Yo + limř_n_[ln\x - 11]? = 00 - /ni + //71 - oo, integrál diverguje.
Funkce více proměnných
Nechť hgN, uvažujme D cRn (prostor uspořádaných n-tic reálných čísel). Zobrazení množiny D do M nazveme funkcí n proměnných. Píšeme z =     , x2,..., x„), kde [x-i, x2,..., x„] g Mn. Poznámka : Metrika v Mn
Budeme požívat euklidovskou metriku (vzdálenost); vzdálenost mezi
A = [ai, a2,..., a„] g M" a B = [b[, £>2,..., 6„] e Rn je definována jako
p(A 6) = v(ai - ď1)2 + (a2 - Ď2)2 + ... + (a„ - bnf .
Obdobně jako u funkce jedné proměnné tedy můžeme definovat okolí bodu A= [ai, a2,..., an] e Rn. Pro ô > 0 nazveme 5 - okolím bodu >A množinu všech bodů z Mn, jejichž vzdálenost od bodu A je menší než S;
U5{A) = {X eRn,p{X,A) < 6}
Limita funkce více proměnných
Definice : Říkáme, že funkce f{X}, x2,..., xn) má v bodě X° = [x^, x°,..., x°] limitu rovnu >A g M a píšeme limx^xo /(X) = A , jestliže pro Me > 035 > 0 tak, že /(X) je definovaná v ryzím okolí US(X°) \ {X0} a pro všechna X z tohoto okolí platí: |/(X)-4|<e. (tj. "pro všechna X blízká X° platí /(X) « A)
Poznámka : Pro počítání s limitami platí analogická pravidla jako u funkce jedné proměnné. Obdobně se zavádějí i nevlastní limity.
Definice : Řekneme, že funkce /(x-i, x2,..., xn) je spojitá v bodě X° = [x^x^,... ,x°], jestliže má v tomto bodě limitu a platí:
Nmx^xo f{X) = f{X°).
Příklad : Funkce /(x,y) = -^U? je spojitá ve všech bodech R2 kromě bodu
x -\- y
[0,0].
Parciální derivace
Uvažujme nejprve funkci dvou proměnných ř(x,y) a položme y rovno konstantě y0. Dostaneme funkci jedné proměnné, označme ji gr(x) = /(x,yo). Jestliže má tato funkce derivaci v bodě x0, tj. existuje-li
g'(x0) = Nmx^Xo f(x,y°]l^Xo,yo), nazveme ji parciální derivací funkce /(x,y) v bodě [x0,yo] podle proměnné x. Označujeme ji /£(x0,yo) nebo fx{x0,yo)
nebo ďf(*o,yo) . Analogicky se definuje parciální derivace podle y.
Poznámka : Pro funkci n proměnných se parciální derivace definují obdobně. Derivujeme-li podle x/5 ostatní proměnné považujeme za konstanty. Parciální derivace funkce /(X) v bodě X° značíme například UX%f^X%...,f^X°).
Příklad : Funkce /(x, y) = x2 + 3y2 + 5xy - 4x + y - 1 má parciální derivace
#(x,y) = 2x + 0 + 5y-4 + 0a /£(x,y) = 0 + 6y + 5x-0 + 1
Příklad : Funkce /(x,y,z) =      má parciální derivace
41 (Y ,/ 7\ _ 1-(y+z2)-x.O _     1      * í \ _ 0.(y+z2)-x.1 _    -x a
'xV*!/!*) —     (y+z2)2     — {y+z2)' 'yK*'/!*) ~     (y+z2)2     ~ {y+z2)2 d
fi(Y ,/ 7\ _ 0-(y+z2)-x.2z _ -2xz
'zl*> ~ (y+Z2)2 - (y+z2)2
Parciální derivace vyšších řádů
Uvažujme oblast Q c Rn, kde má funkce /(x-i, x2,..., xn) derivaci podle x, {i e {1,..., n}), fXj. Pokud má funkce /X/ v nějakém bodě X0 eQ. derivaci podle Xj, nazveme ji parciální derivací druhého řádu podle x, a xy a značíme
fXiXj(X0) nebo fx'jXj(X0) nebo ^ Poznámka : Jestliže / = j, píšeme Vx[ nebo
Příklad : Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu pro funkci
f(x, y, z) = 3x2 + y2 + z3 - xyz.
/x = 6x - yz, /y = 2y   xz, /z    3z2 - xy,
Í<X     6, /yy     2, /zz 6z,
^xy —    Z. /^z —    y• (j/z — X.
^yx —    Z. fzx — —y, 4y — —X.
Věta : Jestliže má funkce / spojité parciální derivace až do řádu k v nějakém okolí Us(Xo) bodu X0, nezáleží na pořadí, ve kterém derivujeme, tedy např.
fXiXj(Xo) = fXjXi(Xo)
Totální diferenciál
Definice : Uvažujme bod X° = [x^,..., x°] e Rn. Má-li funkce / v okolí Us(Xo) bodu X0 spojité parciální derivace prvního řádu, definujeme lineární
zobrazení df(dx^,..., dxn) = VXa (Xo).ofxi + ... fXn(X0).dxn Toto zobrazení
nazýváme totálním diferenciálem funkce / v bodě X0. (místo c/x, píšeme někdy také x, - x°)
Poznámka : Pro n = 2 je vztahem
z = f(x0,y0) + df(dx,dy) = /(x0,y0) + rx(x0,y0)(x - x0) + /y(x0,y0)(y - y0) definována tečná rovina ke grafu funkce /(x,y) v bodě 7" = [x0,yo,z0].
Příklad : Určete diferenciál funkce /(x,y) = e*2_y2 v bodě 7" = [1,1]
Řešení: Funkce má parciální derivace /£(x,y) = e*2_y2 • 2x,
/£(x,y) = e*2-y2 • (-2y). Tedy #(1,1) = e° • 2 = 2, /£(1,1) = -2. Diferenciál funkce v bodě T = [1,1 ] je df(dx, dy) = 2dx - 2dy. Rovnice tečné roviny je z = e° + 2(x - 1) - 2(y - 1) = 1 + 2x - 2y.
Poznámka : Přidáním dalších členů s derivacemi vyšších řádů bychom dostali Taylorův polynom vyššího stupně.
Lokální extrémy
Řekneme, že funkce f{X) má lokální minimum v bodě X° e Rn, jestliže
existuje okolí UÔ(X°) takové, že pro všechna X e UÔ(X°) platí: f(X°) < f(X). Analogicky lokální maximum.
Poznámka : V případě ostrých nerovností mluvíme o ostrých lokálních extrémech.
Věta : Má-li funkce f(X) v bodě X° lokální extrém, pak všechny parciální derivace, které zde existují, musí být rovny 0
Poznámka : Body, ve kterých jsou všechny parciální derivace nulové, nazýváme stacionární.
Příklad : Najděte stacionární body funkce /(x, y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1. /; = 3x2 + 6y, ťy = Gy + 6x. Rovnice pro stacionární bod jsou 3x2 + 6y = 0, 6y + 6x = 0.
Z druhé rovnice dostaneme y = -x a po dosazení do první dostaneme kvadratickou rovnici 3x2 - 6x = 0, její kořeny jsou x^ = 0, x2 = 2. Potom = o, y2 = -2. Našli jsme dva stacionární body [0,0], [2, -2].
Lokální extrémy
Uvažujme funkci f(x,y) a její stacionární bod [x0,yo]. Pokud jsou v nějakém okolí bodu [xo,yb] spojité parciální derivace druhého řádu, položíme
V případě, že A(x0,yo) < 0, není v bodě [xo,yo] lokální extrém (potom bod [*o,yo] nazýváme sedlový bod). Je-li A(x0,yo) > 0, je v bodě [xo,yo] lokální extrém, a to minimum pro /"(*o,yo) > 0 a maximum pro /"(*o,yo) < 0. Příklad : Najděte lokální extrémy funkce f(x,y) = x3 + 3y2 + 6xy + 1 z předchozího příkladu.
Nejprve spočteme parciální derivace druhého řádu, zderivujeme funkce /; = 3x2 + 6y a f'y = 6y + 6x: 6x, ^ 6, /£' 6.
Sestavíme determinant matice druhých derivací v bodě [0,0]:
A(0,0) =   °  g   = 0 - 6.6 = -36 < 0. V bodě [0,0] je tedy sedlový bod.
Pro [2, -2] dostaneme A(2, -2) = 12.6 - 6.6 = 36 > 0, jde tedy o extrém a protože /"(2, -2) = 12 > 0, je v bodě [2, -2] lokální minimum.