Kapitola 5.: Analýza rozptylu jednoduchého třídění
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- hodnotit vliv faktoru o r  3 úrovních na variabilitu hodnot sledované náhodné veličiny
- sestrojit tabulku analýzy rozptylu
- identifikovat dvojice náhodných výběrů, které se významně liší střední hodnotou
- provést test shody rozptylů
- znázornit rozložení dat v daných r  3 náhodných výběrech graficky pomocí kategorizovaných
krabicových diagramů
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 9 hodin
studia.
5.1. Motivace
Zajímáme se o problém, zda lze určitým faktorem (tj. nominální náhodnou veličinou A)
vysvětlit variabilitu pozorovaných hodnot náhodné veličiny X, která je intervalového či poměrového
typu. Např. zkoumáme, zda metoda výuky určitého předmětu (faktor A) ovlivňuje
počet bodů dosažených studenty v závěrečném testu (náhodná veličina X).
Předpokládáme, že faktor A má r  3 úrovní a i-té úrovni odpovídá ni výsledků
iin1i X,,X K , které tvoří náhodný výběr z rozložení N(i, 2
), i = 1, ..., r a jednotlivé náhodné
výběry jsou stochasticky nezávislé, tedy Xij = i + ij, kde ij jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny s rozložením N(0, 2
), i = 1, ..., r, j = 1, ..., ni. Výsledky lze zapsat do tabulky
faktor A výsledky
úroveň 1 1n111 X,,X K
úroveň 2 2n221 X,,X K
... ...
úroveň r rrn1r X,,X K
Na hladině významnosti  testujeme nulovou hypotézu, která tvrdí, že všechny střední
hodnoty jsou stejné proti alternativní hypotéze, která tvrdí, že aspoň jedna dvojice středních
hodnot se liší. Jedná se tedy o zobecnění dvouvýběrového t-testu a na první pohled se zdá, že
stačí utvořit 





2
r
dvojic náhodných výběrů a na každou dvojici aplikovat dvouvýběrový t-test.
Tento postup však nelze použít, neboť nezaručuje splnění podmínky, že pravděpodobnost
chyby 1. druhu je nejvýše . Proto ve 30. letech 20. století vytvořil R. A. Fisher metodu
ANOVA (analýza rozptylu, v popsané situaci konkrétně analýza rozptylu jednoduchého třídění),
která uvedenou podmínku splňuje.
Pokud na hladině významnosti  zamítneme nulovou hypotézu, zajímá nás, které dvojice
středních hodnot se od sebe liší. K řešení tohoto problému slouží metody mnohonásobného
porovnávání, např. Scheffého nebo Tukeyova metoda.
5.2. Označení
V analýze rozptylu jednoduchého třídění se používá následující označení.
=
=
r
1i
inn ... celkový rozsah všech r výběrů
=
=
in
1j
iji XX . ... součet hodnot v i-tém výběru
.i
i
i X
n
1
M =. ... výběrový průměr v i-tém výběru
= =
=
r
1i
n
1j
ij
i
XX.. ... součet hodnot všech výběrů
.... X
n
1
M = ... celkový průměr všech r výběrů
5.3. Testování hypotézy o shodě středních hodnot
Náhodné veličiny Xij se řídí modelem
M0: Xij =  + i + ij pro i = 1, ..., r, j = 1, ..., ni , přičemž
ij jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, 2
),
 je společná část střední hodnoty závisle proměnné veličiny,
i je efekt faktoru A na úrovni i.
Parametry , i neznáme. Požadujeme, aby platila tzv. reparametrizační rovnice:
0n
r
1i
ii ==
.
Zavedeme součty čtverců
( )= =
-=
r
1i
n
1j
2
ijT
i
MXS .. ... celkový součet čtverců (charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorování
kolem celkového průměru), má počet stupňů volnosti fT = n ­ 1,
( )=
-=
r
1i
2
iiA MMnS ... ... skupinový součet čtverců (charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými
náhodnými výběry), má počet stupňů volnosti fA = r ­ 1,
( )= =
-=
r
1i
n
1j
2
iijE
i
MXS . ... reziduální součet čtverců (charakterizuje variabilitu uvnitř jednotlivých
výběrů), má počet stupňů volnosti fE = n - r.
Lze dokázat, že ST = SA + SE.
Sčítanec ( )..MM .i - představuje bodový odhad efektu i.
Kdyby nezáleželo na faktoru A, platila by hypotéza 1 = ... = r = 0 a dostali bychom
model
M1: Xij =  + ij.
Rozdíl mezi modely M0 a M1 ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
AA
A
f/S
f/S
F = , která se řídí rozložením F(r-1,n-r), je-li model M1 správný. Hypotézu o nevýznamnosti
faktoru A tedy zamítneme na hladině významnosti , když platí:
FA  F1-(r-1,n-r).
Výsledky výpočtů zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu jednoduchého třídění.
Zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl FA
skupiny SA fA = r-1 SA/fA
EE
AA
fS
fS
reziduální SE fE = n-r SE/fE celkový
ST fT = n-1 - -
5.4. Testy shody rozptylů
Před provedením analýzy rozptylu je zapotřebí ověřit předpoklad o shodě rozptylů
v daných r výběrech.
5.4.1. Levenův test
Položme .iijij MXZ -= . Označíme
( ) ( )  = = == ==
-=-===
r
1i
n
1j
r
1i
2
ZZiiZA
2
ZiijZE
r
1i
n
1j
ijZ
n
1j
ij
i
Zi
iii
MMnS,MZS,Z
n
1
M,Z
n
1
M .
Platí-li hypotéza o shodě rozptylů, pak statistika
( )
( )rnS
1rS
F
ZE
ZA
ZA
-
=
má asymptoticky rozložení
F(r-1,n-r). H0 tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když FZA  F1-(r-1,n-r).
Často užívanou modifikací Levenova testu je Brownův ­ Forsytheův test. Modifikace spočívá
v tom, že místo výběrového průměru i-tého výběru se při výpočtu veličiny ijZ používá medián
i-tého výběru. Simulační studie ukazují, že Brownův ­ Forsytheův test lze použít i při porušení
předpokladu normality.
5.4.2. Bartlettův test
Platí-li hypotéza o shodě rozptylů, pak statistika
( ) ( ) 





---= =
r
1i
2
ii
2
* Sln1nSlnrn
C
1
B má asymptoticky rozložení 2
(r-1), kde
( ) 





-
-
--
+= =
r
1i i rn
1
1n
1
1r3
1
1C , ( )=
-
-
=
in
1j
2
iij
i
2
i MX
1n
1
S . je výběrový rozptyl i-tého výbě-
ru,
( )
rn
S
rn
S1n
S E
r
1i
2
ii
2
*
-
=
-
-
=
=
je vážený průměr výběrových rozptylů.
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti , když B  2
1-(r-1,n-r). Bartlettův test
lze použít, pokud rozsahy všech výběrů jsou aspoň 7. Je velmi citlivý na porušení předpokladu
normality.
5.5. Metody mnohonásobného porovnávání
Zamítneme-li na hladině významnosti  hypotézu o shodě středních hodnot, chceme
zjistit, které dvojice středních hodnot se liší na dané hladině významnosti .
5.5.1. Tukeyova metoda
Mají-li všechny výběry týž rozsah p (říkáme, že třídění je vyvážené), použijeme Tukeyovu
metodu: rovnost středních hodnot k a l zamítneme na hladině významnosti , když
( )
p
S
rn,rqMM *
1lk -- -.. , kde hodnoty q1-(r,n-r) jsou kvantily studentizovaného rozpětí a
najdeme je ve statistických tabulkách.
5.5.2. Scheffého metoda
Nemají-li všechny výběry stejný rozsah, použijeme Scheffého metodu: rovnost středních hodnot
k a l zamítneme na hladině významnosti , když
( ) ( )rn,1rF
n
1
n
1
1rSMM 1
lk
*lk --





+-- -.. .
Metody mnohonásobného porovnávání mají obecně menší sílu než ANOVA. Může proto nastat
situace, kdy při zamítnutí H0 nenajdeme metodami mnohonásobného porovnávání významný
rozdíl u žádné dvojice středních hodnot. K tomu dochází zvláště tehdy, když phodnota
pro ANOVU je jen o málo nižší než zvolená hladina významnosti. Pak slabší test
patřící do skupiny metod mnohonásobného porovnávání nemusí odhalit žádný rozdíl.
5.6. Příklad
U čtyř odrůd brambor (označených symboly A, B, C, D) se zjišťovala celková hmotnost
brambor vyrostlých vždy z jednoho trsu. Výsledky (v kg):
odrůda hmotnost
A 0,9 0,8 0,6 0,9
B 1,3 1,0 1,3
C 1,3 1,5 1,6 1,1 1,5
D 1,1 1,2 1,0
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota hmotnosti trsu brambor
nezávisí na odrůdě. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice odrůd se liší na hladině
významnosti 0,05.
Řešení:
Data považujeme za realizace čtyř nezávislých náhodných výběrů ze čtyř normálních
rozložení se stejným rozptylem. Testujeme hypotézu, že všechny čtyři střední hodnoty jsou
stejné.
M1. = 0,8, M2. = 1,2, M3. = 1,4, M4. = 1,1, M.. = 1,14, SE = 0,3, SA = 0,816, ST = 1,116, FA =
9,97, F0,95(3,11) = 3,59. Protože testová statistika se realizuje v kritickém oboru, H0 zamítáme
na hladině významnosti 0,05.
Výsledky zapíšeme do tabulky ANOVA
Zdroj variability Součet čtverců Stupně volnosti podíl FA
skupiny SA = 0,816 fA = 3 SA/3 = 0,272
EE
AA
fS
fS
= 9,97
reziduální SE = 0,3 fE = 11 SE/11 = 0,02727 celkový
ST = 1,116 fT = 14 - Nyní
pomocí Scheffého metody zjistíme, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti
0,05.
Srovnávané odrůdy Rozdíly .. lk MM - Pravá strana vzorce
A, B 0,4 0,41
A, C 0,67 0,36
A, D 0,3 0,41
B, C 0,2 0,40
B, D 0,1 0,44
C, D 0,3 0,40
Na hladině významnosti 0,05 se liší odrůdy A a C.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných a 15 případech. První proměnnou nazveme
HMOTNOST, druhou ID. Do proměnné HMOTNOST zapíšeme zjištěné hmotnosti, do proměnné
ID, která slouží k rozlišení odrůd, zapíšeme 4 krát jedničku, 3 krát dvojku, 5 krát trojku
a 3 krát čtyřku.
Pomocí NP-grafu a S-W testu ověříme normalitu dat v daných čtyřech skupinách. Grafy ­ 2D
Grafy ­ Normální pravděpodobnostní grafy ­ zaškrtneme S-W test, Proměnné HMOTNOST,
OK, Kategorizovaný ­ Kategorie X, zaškrtneme Zapnuto, Změnit proměnnou ­ ID, OK. Dostaneme
graf
Normální p-graf HMOTNOST (priklad66 2v*15c)
ID: 1
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
ID: 3
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 4
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
ID: 1 HMOTNOST: SW-W = 0,8274; p = 0,1612
ID: 2 HMOTNOST: SW-W = 0,75; p = 0-,0000
ID: 3 HMOTNOST: SW-W = 0,9053; p = 0,4399
ID: 4 HMOTNOST: SW-W = 1; p = ---
Vidíme, že ve všech čtyřech případech jsou odchylky teček od přímky jenom malé a data tedy
lze považovat za realizace náhodných výběrů z normálních rozložení.
Nyní budeme na hladině významnosti 0,05 testovat hypotézu o shodě rozptylů: Statistika Základní
statistiky a tabulky ­ Rozklad & jednofakt. ANOVA ­ OK, Proměnné ­ Závislé
proměnné HMOTNOST, Grupovací proměnná ID ­ OK.
Na záložce ANOVA & testy vybereme Leveneovy testy. Ve výstupu dostaneme tabulku
Leveneův test homogenity rozpylů (priklad66)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
HMOTNOST 0,018667 3 0,006222 0,065333 11 0,005939 1,047619 0,410027
Testová statistika Levenova testu se realizuje hodnotou 1,047619, počet stupňů volnosti čitatele
je 3, jmenovatele 11, odpovídající p-hodnota je 0,410027, tedy na hladině významnosti
0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Dále budeme na hladině významnosti 0,05 testovat hypotézu o shodě středních hodnot. Na
záložce ANOVA & testy vybereme Analýza rozptylu. Ve výstupu dostaneme tabulku
Analýza rozptylu (priklad66)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
HMOTNOST 0,816000 3 0,272000 0,300000 11 0,027273 9,973333 0,001805
Testová statistika FA se realizuje hodnotou 9,97333, počet stupňů volnosti čitatele je 3, jmenovatele
11, odpovídající p-hodnota je 0,001805, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu o shodě středních hodnot.
Vytvoříme ještě tabulku s hodnotami výběrových průměrů a výběrových směrodatných odchylek
tak, že na záložce Popisné statistiky zvolíme Výpočet: Tabulka statistik.
Rozkladová tabulka popisných statistik (priklad66)
N=15 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID HMOTNOST
průměr
HMOTNOST
N
HMOTNOST
Sm.odch.
1 0,800000 4 0,141421
2 1,200000 3 0,173205
3 1,400000 5 0,200000
4 1,100000 3 0,100000
Vš.skup. 1,140000 15 0,282337
Rovněž sestrojíme krabicové diagramy tak, že na záložce Popisné statistiky zvolíme Kategoriz.
krabicový graf. Vybereme typ Průměr/SmOdch/1.96SmOdch.
Kategoriz. krabicový graf: HMOTNOST
Průměr
PrůměrSmOdch
Průměr1,96*SmOdch
1 2 3 4
ID
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
HMOTNOST
Vidíme, že nejnižší průměrnou hmotnost má odrůda A, nejnižší variabilitu hmotnosti vykazuje
odrůda D.
Abychom zjistili, které dvojice odrůd se liší na hladině významnosti 0,05, na záložce Post-hoc
vybereme Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:HMOTNOST (priklad66)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=,80000
{2}
M=1,2000
{3}
M=1,4000
{4}
M=1,1000
1 {1}
2 {2}
3 {3}
4 {4}
0,059165 0,001950 0,190463
0,059165 0,464537 0,905502
0,001950 0,464537 0,163499
0,190463 0,905502 0,163499
V tabulce jsou uvedeny p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě dvojic středních hodnot.
Pouze jediná z těchto p-hodnot je menší nebo rovna 0,05, tedy na hladině významnosti 0,05 se
liší odrůdy A a C.
5.7. Význam předpokladů v analýze rozptylu
a) Nezávislost jednotlivých náhodných výběrů ­ velmi důležitý předpoklad, musí být splněn,
jinak dostaneme nesmyslné výsledky.
b) Normalita ­ ANOVA není příliš citlivá na porušení normality, zvlášť pokud mají všechny
výběry rozsah nad 20 (důsledek centrální limitní věty). Při výraznějším porušení normality se
doporučuje Kruskalův ­ Wallisův test.
c) Shoda rozptylů ­ mírné porušení nevadí, při větším se doporučuje Kruskalův ­ Wallisův
test. Test shody rozptylů má smysl provádět až po ověření předpokladu normality.
Shrnutí
Analýza rozptylu jednoduchého třídění slouží k hodnocení vlivu faktoru o r  3 úrovních
na variabilitu hodnot sledované náhodné veličiny s normálním rozložením. Test hypotézy o
shodě středních hodnot odvodil R. A. Fisher. Výpočty spojené s testováním této hypotézy se
zapisují do tabulky ANOVA. Dojde-li na dané hladině významnosti  k zamítnutí nulové hypotézy,
použijeme některou z metod mnohonásobného porovnávání (např. Scheffého nebo
Tukeyovu metodu), abychom identifikovali dvojice náhodných výběrů, které přispěly k zamítnutí
nulové hypotézy. ANOVA předpokládá shodu rozptylů. Hypotézu o shodě rozptylů můžeme
testovat pomocí Bartlettova testu, Levenova testu nebo Brownova ­ Forsytheova testu.
Vlastnosti rozložení dat v daných r  3 náhodných výběrech graficky znázorňujeme pomocí
kategorizovaných krabicových diagramů typu průměr ­ směrodatná odchylka ­ 1,96 směrodatná
odchylka.
Kontrolní otázky
1. Jaký problém řeší analýza rozptylu jednoduchého třídění?
2. Jak je definován celkový, skupinový a reziduální součet čtverců a co tyto součty čtverců
charakterizují?
3. Popište způsob testování hypotézy o shodě středních hodnot.
4. Jak se testuje hypotéza o shodě rozptylů?
5. Které metody mnohonásobného porovnání se používají v analýze rozptylu jednoduchého
třídění?
6. Pojednejte o významu předpokladů v analýze rozptylu jednoduchého třídění.
Autokorekční test
1. Z následujících tří možností vyberte tu správnou:
Analýza rozptylu jednoduchého třídění slouží k vyhodnocení dat, která vznikla:
a) při párovém uspořádání pokusu
b) při blokovém uspořádání pokusu
c) při mnohovýběrovém uspořádání pokusu.
2. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?
Analýza rozptylu jednoduchého třídění vyžaduje, aby
a) jednotlivé náhodné výběry byly stochasticky nezávislé
b) jednotlivé náhodné výběry pocházely z binomického rozložení
c) jednotlivé náhodné výběry měly stejný rozptyl.
3. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?
a) Celkový součet čtverců charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorování kolem celkového
průměru.
b) Skupinový součet čtverců charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorování kolem skupinových
průměrů.
c) Reziduální součet čtverců charakterizuje variabilitu skupinových průměrů kolem celkového
průměru.
4. Nulovou hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme na hladině významnosti , když
testové kritérium FA se realizuje v kritickém oboru
a) ( )( )rn,1rF,0W --= 
b) ( )( )rn,1rF,0W 1 --= c)
( )( )--= - ,rn,1rFW 1 
5. Pokud zamítneme hypotézu o shodě středních hodnot a všechny výběry mají stejný rozsah,
pak pro zjištění, které dvojice středních hodnot se liší na zvolené hladině významnosti, použi-
jeme
a) Tukeyovu metodu mnohonásobného porovnávání
b) Bartlettův test
c) Levenův test
Správné odpovědi: 1c) 2a), c) 3a) 4c) 5a)
Příklady
1. Jsou známy měsíční tržby (v tisících Kč) tří prodavačů za dobu půl roku.
1. prodavač: 12 10 9 10 11 9
2. prodavač: 10 12 11 12 14 13
3. prodavač: 19 18 16 16 17 15
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnoty tržeb všech tří prodavačů
jsou stejné. Pokud zamítneme nulovou hypotézu, zjistěte, tržby kterých dvou prodavačů se liší
na hladině významnosti 0,05.
Výsledek:
M1. = 10,17, M2. = 12, M3. = 16,83, M.. = 13, SE = 27,7, SA = 142,3, ST = 170, FA = 38,58,
F0,975(2,015) = 3,6823, H0 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výsledky zapíšeme do tabulky ANOVA
Zdroj variability Součet čtverců Stupně volnosti podíl FA
skupiny SA = 142,3 fA = 2 SA/fA = 71,17
EE
AA
fS
fS
= 38,58
reziduální SE = 27,7 fE = 15 SE/fE = 1,84 celkový
ST = 170 fT = 17 - Nyní
pomocí Tukeyovy metody zjistíme, které dvojice prodavačů se liší na hladině významnosti
0,05.
Srovnávaní prodavači Rozdíly .. lk MM - Pravá strana vzorce
1, 2 1,83 2,03
1, 3 6,67* 2,03
2, 3 4,83* 2,03
Pravá strana: 03,2
6
84,1
83,4
6
84,1
)15,3(q
p
S
)rn,r(q 95,0
*
1 ===-- , kde 84,1
rn
S
S E2
* =
-
=
Na hladině významnosti 0,05 se liší tržby prodavačů 1, 3 a 2, 3.
2. Je dáno pět nezávislých náhodných výběrů o rozsazích 5, 7, 6, 8, 5, přičemž i-tý výběr
pochází z rozložení N(i,2
), i = 1, ..., 5. Byl vypočten celkový součet čtverců ST = 15 a reziduální
součet čtverců SE = 3. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o shodě středních
hodnot.
Výsledek:
n = 5 + 7 + 6 + 8 + 5 = 31, r = 5, SA = ST ­ SE = 15 ­ 3 = 12
9752,2)26,4(F,26
263
412
)rn(S
)1r(S
F 95,0
E
A
===
-
-
=
Protože F  F0,95(4,26), H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.
3. Je dána neúplná tabulka ANOVA. Místo otazníků doplňte chybějící čísla.
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl F
skupiny ? 2 ? ?
reziduální 16,033 ? ? celkový
17,301 35 - -
Výsledek:
zdroj variability součet čtverců stupně volnosti podíl F
skupiny 1,268 2 0,634 1,304
reziduální 16,033 33 0,486 celkový
17,301 35 - -
4. Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční způsob,
programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika. Z každé skupiny
byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž písemnému testu. Na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že znalosti všech studentů jsou stejné a nezávisí
na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které výběry se
liší na hladině významnosti 0,05.
metoda počet bodů
tradiční 76,2 48,3 85,1 63 91,6 87,2
programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4
audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40
audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78 67,8 57,6
vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9
Výsledek:
Všech pět náhodných výběrů má rozložení blízké normálnímu rozložení. Levenův test shody
rozptylů má testové kritérium 0,819, počet stupňů volnosti je 4 a 26, odpovídající p-hodnota
je 0,5248, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme. Analýza
rozptylu má testové kritérium 1,6236, počet stupňů volnosti je 4 a 26, odpovídající p-hodnota
je 0,1983, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě středních hodnot nezamítáme.
Znamená to, že na hladině významnosti 0,05 se neprokázaly odlišnosti ve znalostech studentů.
5. Pan Novák může cestovat z místa bydliště do místa pracoviště třemi různými způsoby:
tramvají (způsob A), autobusem (způsob B) a metrem s následným přestupem na tramvaj
(způsob C). Máme k dispozici jeho naměřené časy cestování do práce v době ranní špičky
(včetně čekání na příslušný spoj) v minutách.
způsob doba čekání
A 32 39 42 37 34 38
B 30 34 28 26 32
C 40 37 31 39 38 33 34
Pro všechny tři způsoby dopravy vypočtěte průměrné časy cestování. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že doba cestování do práce nezávisí na způsobu dopravy. V případě
zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které způsoby dopravy do práce se od sebe liší na hladině
významnosti 0,05.
Výsledek:
Průměrné časy cestování pro tři způsoby dopravy jsou 37 min, 30 min, 36 min.
Všechny tři náhodné výběry mají rozložení blízké normálnímu rozložení. Levenův test shody
rozptylů má testové kritérium 0,1054, počet stupňů volnosti je 2 a 15, odpovídající p-hodnota
je 0,9007, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme. Analýza
rozptylu má testové kritérium 6,7151, počet stupňů volnosti je 2 a 15, odpovídající p-hodnota
je 0,0083, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o shodě středních hodnot zamítáme.
Scheffého metoda mnohonásobného porovnávání prokázala na hladině významnosti 0,05 rozdíl
mezi způsoby A a B a mezi způsoby B a C.