Studijní blok č. 3 Jana Soukopová soukopova@econ.muni.cz Obsah oVícekriteriální hodnocení oStupnice a škály oMetody stanovení vah oMetody váženého hodnocení nMetody dílčího hodnocení variant (Bodovací metoda, metoda váženého součtu) nMetody párového hodnocení variant (Lexikografická metoda) Definice – Vícekriteriální hodnocení oDisciplína operačního výzkumu, která se zabývá analýzou rozhodovacích situací, ve kterých jsou posuzovány rozhodovací varianty (v našem případě varianty veřejných projektů) ne pouze podle jednoho, ale podle několika zpravidla navzájem konfliktních kritérií. Klasifikace vícekeriteriálních úloh opodle charakteru množiny rozhodovacích variant: nvícekriteriální hodnocení variant, kdy je množina přípustných variant zadána ve formě konečného seznamu, nvícekriteriální programování, kde je množina přípustných variant vymezena souborem podmínek, které rozhodovací varianty musí splňovat, aby byly přípustné. o Popis vícekriteriálních rozhodovacích situací o Vícekriteriální rozhodovací problémy jsou popsány množinou variant, množinou hodnotících kritérií a řadou vazeb mezi kritérii a variantami, které umožní definovat hodnotící funkce a metodou výběru což umožňuje formulovat vícekriteriální matematický model. o Formulace úlohy vícekriteriální analýzy oje dán: nseznam variant A = {a1, a2, ..., an} nseznam hodnotících kritérií n K = {k1, k2, ... , kk} nkaždá varianta ai,i = 1, 2, …, n je podle těchto kritérií popsána vektorem kriteriálních hodnot (yi1, yi2, …, yik). núloha vícekriteriálního hodnocení variant je pak vyjádřena ve tvaru kriteriální matice: n Y = (yij) Kriteriální matice rozhodování o o o o o o oKde yik je hodnocení i-té varianty projektu podle k-tého kritéria oPro zjednodušení předpokládáme že všechna kritéria jsou maximalizační Cíl vícekriteriálního hodnocení oCílem metody výběru je najít variantu aopt resp. množinu D variant, které by podle všech kritérií dosáhly co nejlepšího ohodnocení (tedy nejvyšších hodnot kritérií), přičemž jako nejlepší varianta aopt může být vyhodnocena pouze některá nedominovaná varianta. Dominovaná a nedominovaná varianta oNedominovanou varianta nProjekt, ke kterému neexistuje v množině variant (projektů) jiná varianta, lépe hodnocená alespoň podle jednoho kritéria a ne hůře podle ostatních kritérií. oDominovaná varianta nOpačný případ, a říkáme, že ji „lepší“ varianta z uvedené definice dominuje. Výběr nejlepší varianty oNejlepší varianta nMáme-li vybrat pouze jednu nejlepší variantu, musíme pomocí metody (funkce) výběru vybírat jen z množiny D variant nedominovaných. oÚplné řešení nÚplným řešením matematického modelu vícekriteriálního hodnocení variant je množina nedominovaných variant D tato množina však může být značně rozsáhlá a může být i totožná s původní množinou všech variant A. Ideální a bazální varianta oIdeální varianta nTeoreticky nejlepší varianta nVarianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepší možné hodnoty, se nazývá ideální varianta I = (I1, I2, ..., Ik) oBazální varianta nteoreticky nejhorší varianta nvarianta, která má všechny hodnoty kritérií na nejnižším stupni se nazývá bazální varianta B = (B1, B2, ..., Bk) oIdeální i bazální varianta jsou v hodnocení více-méně hypotetickými variantami Vyjádření hodnot kritérií oHodnocení variant podle jednotlivých kritérií může být v různých jednotkách a různých měřítcích. oDůležitá je potom transformace vstupních informací na srovnatelné jednotky, umožňující agregaci podle všech kritérií. oTo umožňují stupnice a škály, které patří mezi nejjednodušší metody vícekriteriálního hodnocení. Stupnice a škály onominální (binární) stupnice, oordinální stupnice, nklasifikační, nbodovací. okardinální číselná stupnice nintervalová npoměrová oSpeciální (expertní) stupnice a škály nLikertova stupnice, nsémantická diferenční stupnice, nnumerická hodnotící stupnice, npořadová stupnice, apod Nominální stupnice ozaložena na operaci shody či neshody (rozdílu), která je vymezena binární logickou hodnotou 1 (shoda), resp. 0 (neshoda). oNedostatkem hodnocení nnení měřena preference jednotlivých kritérií ani nejsou uvažovány váhy jednotlivých kritérií, přičemž nelze předpokládat, že by tyto váhy byly identické. Příklad oPro hodnocení tří variant projektů a1, a2, a3 skladu nebezpečných odpadů byly zvoleny následující kritéria: nk1 kapacita nad 1 tunu NO, nk2 dvojité dno, nk3 manipulační prostředky, nk4 mechanická váha, nk5 nádoby pro více než 10 různých druhů NO. n Hodnocení jednotlivých projektů pomocí binární stupnice je v následující kriteriální matici: o o o o o o o o. Ordinální stupnice očástečně překonávají výše uvedené slabiny ouspořádávají kritéria od nejvíce důležitého po nejméně důležité. oPoužívají se: nklasifikační stupnice, která jednotlivá kritéria hodnotí pomocí známkování (např. 1 – 5, kde 1 = nejlepší hodnota a 5 = nejhorší hodnota) nbodovací stupnice, která jednotlivá kritéria ohodnocuje v rámci dané škály (např. 1 – 10, kde 1 = nejhorší hodnota, 10 = nejlepší hodnota). oHodnoty kritérií však vypovídají pouze o pořadí kritérií, nikoli o intenzitě preferencí. Příklad o Na základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu vodní větrné elektrárny. Tato lokalita bude vybrána podle čtyř kritérií. ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu elektrárny - max ok2 Celkový objem (v MW) - max ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mil. Kč) - min ok4 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků pro obyvatelstvo) - max o Krajskému úřadu se přihlásily 4 projekty, které byly ohodnoceny podle uvedených kritérií. Proveďte hodnocení a výběr metodou váženého součtu. Hodnocení expertů vidíte v kriteriální matici: Příklad o Ohodnoťte tyto projekty podle bodovací stupnice ve škále 1-100 o o o o o oCelkové ohodnocení projektů o 340, 326, 355, 314 – pořadí a3, a1, a2, a4 Příklad o Ohodnoťte tyto projekty podle klasifikační stupnice ve škále 1-4 o o o o o oCelkové ohodnocení projektů o 9, 9, 7, 8 – pořadí a3, a4, a2 a zároveň a1 Kardinální číselná stupnice ostupnice intervalová, npro posuzování projektů jsou zvolena kvantitativní kritéria. nJako základní operace jsou používány shoda (=) a různost (<>). nV intervalové stupnici určujeme měřící jednotky a počátek. ostupnice poměrová, npočátek měřené vlastnosti je dán přirozeným počátkem měřené veličiny. Likertova stupnice oV případě, že kritéria nelze kvantifikovat, je možné použít přístup zohledňující „Fuzzy“ matematický přístup. Ten reprezentuje např. tzv. Likertova stupnice o o o o o o o Hodnota Hodnocení 1 vůbec nesouhlasím 2 nesouhlasím 3 ani souhlas, ani nesouhlas 4 souhlasím 5 zcela souhlasím Výhody a nedostatky stupnic a škál oK jejich výhodám patří poměrně relativní jednoduchost při hodnocení alternativ. oK nevýhodám patří, že tyto postupy nerozlišují mezi důležitostí jednotlivých kritérií. Snad jen při použití intervalové stupnice můžeme z rozdílu hodnot mezi dvěma alternativami usuzovat na velikost preference. Vyjádření preferencí mezi kritérii oInformace o důležitosti kritérií může být vyjádřena ve tvaru: naspiračních úrovní kritérií, tj. hodnot požadovaných pro akceptovaní rozhodnutí o= nejnižší hodnoty, kterých by v nejhorším případě měla varianta hodnocená podle jednotlivých kritérií dosáhnout. Varianty které dosáhnou alespoň požadované aspirační úrovně se nazývají akceptovatelné varianty, ostatní varianty jsou neakceptovatelné. nv ordinální formě pořadím důležitosti kritérií, oStupnice a škály nv kardinální podobě pomocí vah kritérií. Váhy odůležitosti jednotlivých kritérií vyjadřujeme pomocí vektoru vah kritérií v (přičemž platí, že čím je kritérium významnější (resp. důležitější), tím je i jeho váha větší): o o v = (v1,v2,...,vk) , vi = 1 , vi ³ 0 Metody stanovení vah oMetoda pořadí oBodovací metoda oMetoda párového srovnávání kritérií (Fullerova trojúhelníku) oSaatyho metoda o o Metoda pořadí ovyžaduje od hodnotitele pouze uspořádání kritérií podle důležitosti. onejdůležitějšímu kritériu je přiřazena hodnota k (k je počet kritérií), druhému kritériu k-1 a nejméně důležitému 1. oOznačíme-li hodnotu přiřazenou i-tému kritériu symbolem pi, potom lze odhad váhy tohoto kritéria získat pomocí následujícího vztahu (1): o o kde Metoda pořadí oU projektu nákupu nových aut zvažujeme 3 kritéria, kterým přiřadíme hodnoty dle důlžitosti nk1 Cena p1 = 3 nk2 Rychlost p2 = 1 nk3 Spotřeba p3 = 2 oDle metody pořadí stanovíme váhy o o kde o o o o o o Bodovací metoda ovychází z kvantitativního ohodnocení důležitosti kritérií pomocí bodovací stupnice (např. od 1 do 10) očím je kritérium pro rozhodovatele důležitější, tím bude jeho bodové ohodnocení vyšší oOznačíme-li bodové ohodnocení i-tého kritéria symbolem pi,potom lze odhad vah kritérií získat podle vztahu (1): o o kde Klasifikace vícekriteriálních metod oFiala nmetody s informací o aspiračních úrovních kritérií, nmetody s ordinální informací o kritériích, nmetody s kardinální informací o kritériích. oMy budeme používat nmetody založené na dílčím hodnocení variant, nmetody založené na párovém srovnávání variant. Klasifikace metod dílčího hodnocení ozaleží, zda důsledky variant hodnotíme vzhledem ke kvalitativním či kvantitativním kritériím oMetody hodnocení na základě kvalitativních kritérií nBodovací metoda oMetody hodnocení na základě kvalitativních kritérií nMetoda váženého součtu o Bodovací metoda oPři této metodě hodnotitel přiřadí jednotlivé variantě určitý počet bodů ze zvolené stupnice vzhledem k daným kritériím oČím lépe je daná varianta hodnocena, tím vyšší je její bodové ohodnocení vzhledem k tomuto kritériu. oPočet stupňů bodové stupnice závisí na rozlišovací schopnosti hodnotitele, která nemusí být pro všechna kritéria stejná. Přiřazení bodů oMaximální (resp. minimální) počet bodů přiřazený nejlepší (resp. nejhorší) hodnotě kritéria však musí být pro všechna kritéria stejný. oNevylučuje se případ, kdy při hodnocení podle některého z kritérií žádná varianta nedosáhne tento extrémní počet bodů. Výpočet o o o o o okde o hi je ohodnocení i-té varianty, i = 1, 2, …, n , o yij jsou hodnoty kriteriální matice Y, o vj je normovaná váha j-tého kritéria, j = 1,2, …, k o ovarianty ai se seřadí tak, že čím je větší hodnota hi, tím více je i-tá varianta preferována. Zhodnocení bodovací metody opatří mezi nejjednodušší metody vícekriteriálního hodnocení orozlišuje mezi důležitostí kritérií ovhodná pro hodnocení téměř všech veřejných projektů olze ji doporučit pro hodnocení vzájemně se vylučujících i vzájemně se nevylučujících veřejných projektů ozvláště vhodná je pro hodnocení veřejných projektů na základě kvalitativních kritérií. o Příklad bodovací metoda o V rámci OP Infrastruktura posuzujeme čtyři projekty v různých lokalitách. Tyto projekty označíme a1, a2, a3, a4, takže množina rozhodovacích variant je A = {a1, a2, a3, a4}. Vhodnost projektů (lokalit) se hodnotí podle následujících pěti kritérií: o ok1 vliv na zaměstnanost ok2 přínos pro životní prostředí ok3 kvalita technologie ok4 cena o o Experti přiřadili jednotlivým projektům body od 1 – 10 podle zvolených kritérií. Hodnocení jsou zřejmé z následující kriteriální matice: o Kriteriální matice o o Váhy oKritériím byly přiřazeny následující váhy ow1 = 0,2 ow2 = 0,25 ok3 = 0,2 ok4 = 0,35 o Bodovací metoda oVyřešte pomocí bodovací metody o o o o o Metoda váženého součtu oangl. Weight Sum Approach - WSA, oznámá též pod názvem metoda vážených dílčích pořadí, ovychází z principu maximalizace užitku, ale předpokládá pouze lineární funkci užitku Postup výpočtu oVytvoří se normalizovaná kriteriální matice R = (rij), jejíž prvky získáme z kriteriální matice Y a jejích řádků odpovídajícím ideální (I) a bazální (B) variantě pomocí transformačního vzorce: o o o o oTato matice již představuje matici hodnot užitku i-té varianty podle j-tého kritéria Normalizovaná kriteriální matice Užitek i-té varianty oPři použití aditivní funkce užitku je potom užitek varianty ai roven: o o i = 1, … , n o oVarianta, která dosáhne maximální hodnoty užitku je pak vybrána jako „nejlepší“, nebo jsou projekty jsou seřazeny na základě klesající hodnoty funkce užitku. Příklad metoda váženého součtu o Na základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu vodní elektrárny. Tato lokalita bude vybrána podle šesti kritérií. ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu elektrárny ok2 Celkový objem (v MW) ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč) ok4 Celkové provozní náklady (v mil Kč) ok5 Náklady na ŽP (v mil Kč) ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků pro obyvatelstvo) Kriteriální matice o o Převedení minimalizačních kritérií na maximalizační o o Stanovení vah ow1 = 0,111 ow2 = 0,175 ow3 = 0,286 ow4 = 0,206 ow5 = 0,111 ow6 = 0,1111 Ideální a bazální varianta oideální varianta: oI = (70; 95; 8; 7,7; 7; 10) o obazální varianta oB = (35; 55; 0; 0,0; 0; 2). Normalizovaná kriteriální matice oPomocí transformačního vzorce o vytvoříme normalizovanou o kriteriální matici R. Dílčí hodnoty užitku oPomocí vzorce o vypočteme dílčí o hodnoty funkce o užitku jednotlivých o variant ou(a1) = 0,548 u(a2) = 0,443 ou(a3) = 0,532 u(a4) = 0,274 ou(a5) = 0,593 u(a6) = 0,645 Řešení oNa základě metody váženého součtu byly vypočteny hodnoty dílčích funkcí užitku. oUspořádáním variant podle hodnot užitku dostáváme pořadí variant: na6, a5, a1, a3, a2, a4. oMaximální hodnoty užitku dosahuje varianta a6 a je vybrána jako nejlepší. Metody párového srovnání variant oLexikografická metoda oMetoda AHP oMetody třídy ELECTRE Hlavní rozdíl onezískáme číselné celkové ohodnocení jednotlivých variant, ale výsledkem je pouze rozklad souboru hodnocených variant na několik indiferenčních tříd a preferenční uspořádání těchto tříd nvarianty obsažené v každé indiferenční třídě lze považovat za varianty rovnocenné z hlediska celého souboru kritérií. Společný rys ozákladní informace pro stanovení preferenčního uspořádání variant tvoří výsledky párového srovnávání těchto variant vzhledem k jednotlivým kritériím hodnocení. Lexikografická metoda oJednodušší metoda vícekriteriální analýzy. oPostupně hodnotí varianty podle jednotlivých kritérií v pořadí jejich důležitosti. Postup metody oKrok 1 n Uspořádání kritérií podle důležitosti od nejdůležitějšího po nejméně důležité k1, k2, …, kk, oKrok 2 n Metoda vybírá z množiny variant A, podmnožinu A(1), jejímiž prvky jsou varianty ai, které dosahují maximální hodnoty podle nejvýznamnějšího kritéria k1. oKrok 3 n Dále z množiny variant A(1) následně vybíráme podmnožinu variant A(2), jejímiž prvky jsou varianty aj, které dosahují maximální hodnoty podle druhého nejvýznamnějšího kritéria k2 na množině variant A(1), atd. Výpočet oProces výběru variant končí: nkdyž některá podmnožina A(i), i = 1, 2, …., k, je jednoprvková, potom je tato varianta považována za optimální. nkdyž se projde všemi kritérii k1, k2, …, kk, a podmnožina A(k) obsahuje více variant, které jsou z hlediska uvažovaných kritérií rovnocenné. Potom se podle nějakého dodatečného kritéria vybere jedna z nich jako kompromisní varianta. Využití lexikografické metody oVe veřejné správě nMinisterstva nObecní úřady atd. Zhodnocení lexikografické metody očasto využívaná kvůli své jednoduchosti oŘada nevýhod. oHlavní nevýhoda npři hodnocení se současně nepřihlíží k dosaženým hodnotám podle dalších kritérií. oAby byla použitelná, nesmí existovat žádná vzájemná závislost mezi různými etapami volby, tedy žádné kritérium nesmí reagovat na utřídění získaná jinými kritérii!!!! Příklad - Lexikografická metoda oNa základě expertního posudku je třeba zvolit vhodnou lokalitu pro výstavbu elektrárny na zpracování bioodpadů, které vznikají v zařízeních veřejného stravování (restaurace, hotely, jídelny, menzy, školní kuchyně) a podle nového nařízení EU se nesmí dále zpracovávat na masokostní moučku v kafilériích. Tato lokalita bude vybrána podle šesti kritérií. Kritéria ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu bioelektrárny ok2 Celkový objem (v MW) ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč) ok4 Provozní náklady na provoz (v mil Kč) ok5 Přepravní náklady na svoz bioodpadů (v mil Kč) ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků pro obyvatelstvo) Kriteriální matice Seřazení kritérií podle důležitosti ok3 Investiční náklady na výstavbu (v mld. Kč) – max 7 mld Kč. ok6 Stupeň spolehlivosti provozu dle 10 stupňové stupnice (tedy minimalizace negativních důsledků pro obyvatelstvo) – min 7 ok2 Celkový objem (v MW) – min 70 MW ok1 Počet pracovních sil, které budou nutné k provozu bioelektrárny – min 40 osob ok4 Provozní náklady na provoz (v mil Kč) – max 5 mil. ok5 Přepravní náklady na svoz bioodpadů (v mil Kč) - max 8 mil. Kč o Množina A1 oZde je první výběr podle nejdůležitějšího kritéria Množina A2 a A3 oZde je výběr podle druhého nejdůležitějšího kritéria o o oA následně podle třetího nejdůležitějšího kritéria Další postup a řešení oPodle dalšího kritéria se nám množina nezmění, tedy o o oPodle dalšího kritéria je již množina jednoprvková o o Příklad č. 4 o Město pro vybudování skládky komunálního odpadu obdrželo čtyři projekty v různých lokalitách. Tyto projekty označíme a1, a2, a3, a4, takže množina rozhodovacích variant je A = {a1, a2, a3, a4}. Vhodnost projektů (lokalit) se hodnotí podle následujících pěti kritérií: o ok1 rozloha půdy, kterou bude nutné vykoupit (v hektarech) ok2 investiční náklady (v mil. Kč) ok3 negativní důsledky pro obyvatelstvo (ve stupnici 1=velmi negativní, 2=značné, 3=znatelné, 4=nepatrné) ok4 negativní vlivy na vodní hospodářství (ve stejné stupnici jako u kritéria k3 ok5 doba předpokládaného provozu (v letech životnosti) o o Údaje o jednotlivých projektech podle zvolených kritérií jsou zřejmé z následující kriteriální matice: Kriteriální matice o o Převod minimalizačních kritérií na maximalizační oV uvedené kriteriální matici jsou kritéria k1 a k2 stanovena jako minimalizační. Proto zavedeme pro k1a k2 nové stupnice. Kdy kritérium k1 vyjádříme ve formě úspory půdy ve srovnání s nejhorší variantou a kritérium k2 ve stupnici udávající úspory na investičních nákladech ve srovnání s nejhorší variantou. Dostáváme pak upravenou kriteriální matici Y´: Nová kriteriální matice Y´ o o o o o o oPodle údajů v této matici varianta a1 dominuje a2 a a4, varianta a3 dominuje a2 a a4. Varianty a1 a a3 jsou vzájemně nedominované, podobně jako a2 a a4. Úplným řešením je v tomto případě D = {a1, a3}.