1
1. Úvod do teorie portfolia
Úvodní poznámky
Portfolio (dříve užívaný termín portfej) znamenalo původně brašnu na listiny. Ve finanční terminologii
to dnes znamená zásobu cenných papírů, které jsou základem určitého druhu příjmů, popřípadě i
určitého vlivu v majetkovém rozhodování příslušné organizace (akciové společnosti). Samotné slovo
portfolio můžeme též rozdělit na dvě části a to slovo port (přístav nebo něco přenosného) a slovo folio
(dvě protilehlé strany, výnos a riziko). Snažit se exaktně definovat, co to teorie portfolia je, je poněkud
problematické, a proto se spokojíme s vymezením, které si neklade žádný nárok na exaktní přesnost a
zcela vyčerpávající definici.
O teorii portfolia můžeme říci, že se jedná o mikroekonomickou disciplinu, která zkoumá, jaké kombinace
aktiv je vhodné držet, aby takto vytvořené portfolio mělo předem určené vlastnosti. Jednodušeji
řečeno, jak zbohatnout pomocí různých finančních operací typu: „ Levně nakoupit a draze prodat“
(Brada, J., 1996, str. 9). Nebo portfolio lze definovat jako soubor různých investic (peněžní hotovost,
cenné papíry včetně derivátů, nemovitosti atd.), které investor vytváří se záměrem minimalizovat riziko
spojené s investováním a současně maximalizovat výnos z těchto investic (Cipra, T., 1995, str.
185).
Moderní teorie portfolia a její základy je možno hledat již v článku J. Hickse: „Application of Mathematical
Methods to the Theory of Risk“, z roku 1934. V tomto článku si autor všímá toho, že ekonomické
subjekty se řídí při investičním rozhodování statistickými charakteristikami rozdělení pravděpodobnosti
výnosů z těchto investic. Za počátek vzniku teorie portfolia bývá považován až článek
H. Markowitze: „Portfolio selection“ v roce 1952. V něm Markowitz předpokládá, že investor má na
počátku období k dispozici určité množství kapitálu, který bude investovat na předem určené časové
období. Na jeho konci pak investor nakoupené a držené cenné papíry prodá a zisk buď použije pro
vlastní potřebu nebo jej opět reinvestuje. Na investování se Markowitz dívá jako na periodickou aktivitu,
při které si investor vybírá mezi investicemi s různými očekávanými výnosy a s různou mírou
jistoty, že očekávaného výnosu bude dosaženo. Podle Markowitze sleduje investor dva protichůdné
cíle a to maximalizaci výnosu na jedné straně a minimalizaci rizika ( že tohoto cíle nebude dosaženo)
na straně druhé.
Další významnou etapou ve vývoji teorie portfolia bylo zavedení modelu oceňování kapitálových
aktiv (Capital Asset Pricing Model – CAPM). Zásluhy o rozvoj modelu CAPM jsou připisovány W. F.
Sharpovi, který ve svém článku z roku 1964 „Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium
under Conditions of Risk“ rozšiřuje portfolio rizikových aktiv o bezrizikovou investici a přímku kapitálového
trhu (Capital Market Line – CML). Sharpe chápe přímku kapitálového trhu jako úrokovou
míru z rizikové investice, kterou je investor ochoten akceptovat v podmínkách, kdy na trhu existuje
možnost bezrizikové investice. To znamená, že požaduje, aby úroková míra z rizikové investice byla
vyšší než bezriziková úroková míra tzv. prémie za riziko.Dále se zde zavádí přímka cenného papíru
SML (Security Market Line – SML), z které lze odvodit očekávaný výnos jednotlivých aktiv i celého
portfolia.
Další kapitolou ve vývoji teorie portfolia je tak zvaná arbitrážní teorie oceňování (Arbitrage Pricing
Theory – APT), jejíž původní odvození lze nalézt v práci S. A. Rosse: „The Arbitrage Theory of Capital
Asset Pricing“ z roku 1976. APT na rozdíl od předešlých teorií není založena na myšlence, že
všichni investoři pohlížejí na portfolio ve smyslu očekávaného výnosu a rizika dosažení tohoto výnosu.
Místo toho APT pouze předpokládá, že investoři dávají přednost vyšší úrovni bohatství před nižší.
1.1 Použití teorie portfolia
• Instituce kolektivního investování
Portfolio těchto společností (podílové fondy, investiční společnosti, penzijní fondy) je tvořeno koupenými
cennými papíry a depozity u bankovních nebo nebankovních institucí. Cílem těchto institucí je
2
dosáhnout rozumné míry výnosnosti při snesitelné míře rizika. Význam kolektivního investování u nás
v poslední době narůstá vzhledem k řešení otázek důchodového zabezpečení, neboť vede k tvorbě
nejrůznějších penzijních fondů, kde teorie portfolia nachází značné uplatnění.
• Řízení aktiv a pasiv obchodních bank
a) portfolio aktiv – je tvořeno hlavně poskytnutými úvěry a nakoupenými cennými papíry
b) portfolio pasiv – je tvořeno přijatými vklady a nakoupenými cennými papíry.Při řízení aktiv a
pasiv banky má značný význam zkoumání nedostatku likvidity banky.
c) portfolia měnová – jsou to portfolia složená z různých měn. Jsou většinou složena z cenných
papírů, které jsou v různých měnách. Takto vytvořené portfolio minimalizuje rizika změn měnových
kurzů. Platí, že čím více se mění jednotlivé měnové kurzy, tím je potřebnější tvorba
měnových portfolií.
d) portfolio komoditní (mezinárodní trh) – předmětem těchto portfolií bývají především options
a futures na komodity (např. ropa, plyn, různé suroviny atd.) především pro plynulé zabezpečení
výrobního procesu.
1.2 Motivy vedoucí k sestavování portfolia
• motiv získání kapitálu – každý ekonomický subjekt, který potřebuje získat určitý kapitál se jej
snaží získat sám, nebo prostřednictvím finančních institucí. Velké ekonomické subjekty si mohou
obstarávat volné peněžní prostředky buď emisí akcií nebo dluhopisů.
• motiv spekulační – ekonomické subjekty (spekulanti), kteří očekávají, že v budoucnu dojde
například k růstu tržních cen konkrétních akcií, k poklesu krátkodobých úrokových měr
v ekonomice, k devalvaci určité měny mohou tyto získané informace využít k nadměrným
ziskovým obchodům (tzv. spekulace) na peněžních a kapitálových trzích. Charakteristikou
spekulace je to, že jde o obchod velice rizikový, který může skončit velkým ziskem, nebo velkou
ztrátou.
• motiv arbitráže – investoři zvaní arbitražeři, kteří dosahují nadměrných zisků pomocí obchodů,
v kterých využívají místních a časových rozdílů mezi jednotlivými finančními trhy (burzami)
s cennými papíry. Jedná se o nákup a prodej finančního aktiva (cenného papíru, měny) na různých
trzích ve stejném čase, čili nákup aktiva na jednom trhu a prodej na trhu druhém za výhodných
podmínek. Znamená to využití cenových nebo výnosových rozdílů na různých trzích v daném časovém
okamžiku. V současné době je tento způsob vlivem výpočetní a komunikační techniky
v podstatě zcela nemožný, neboť sdělení jakékoliv informace trvá pouze několik vteřin.
• motiv zajišťovací – investoři se snaží pojistit výnos z portfolia aktiv, vyvažováním aktuálního i
budoucího očekávaného rizika a udržují tzv. uzavřené pozice (pod tímto pojmem se rozumí rovnost
aktiv a pasiv) slaďováním aktiv a pasiv. Za nejefektivnější způsob řízení finančního rizika,
respektive jeho vyvažování jsou v současné době považovány finanční deriváty. Umožňují na jedné
straně vysoké zajištění (hedging) proti finančnímu riziku, na druhé straně pak spekulace a arbitráže.
Snaží se využíváním finančních derivátů, obchodů s termínovými kontrakty na budoucí dodávky
určitých aktiv za podmínek sjednaných v současnosti, redukovat nebo zcela eliminovat riziko
poklesu cen výnosnosti svého portfolia finančních aktiv vzestupem cen termínovaných kontraktů
(forwardů, futurit, opcí, swapů a jejich kombinací).
1.3 Způsoby správy portfolia
1) Aktivní správa portfolia – po celou dobu, kdy portfolio existuje investor vyhledává na trhu nové
investiční příležitosti a složení portfolia podle potřeby a určitých zásad obměňuje. Při očekávání
snížení výnosnosti některého z aktiv se snaží tohoto aktiva zbavit (prodat jej) a při předpokládaném
růstu výnosnosti některého z aktiv jej získat (koupit jej). Tento prodej a nákup provádí většinou
na základě metod technické a fundamentální analýzy.
3
2) Pasivní správa portfolia – investor podle určitých zásad portfolio sestaví, a potom po celou dobu
trvání tohoto portfolia (do okamžiku realizace, předem známého) portfolio neobměňuje. U pasivního
držení portfolií jde o mimořádně levnou záležitost, neboť v průběhu trvání portfolia není třeba
platit makléřské poplatky za obchodování s cennými papíry. Nevýhodou může být to, že nedosáhneme
mimořádně vysoké výnosy. U pasivního držení portfolia však můžeme dosáhnout větší
výnosnosti v případě, že kupónové platby budou reinvestovány formou bankovních nebo termínovaných
vkladů.
Ke správě portfolia může existovat i odlišný postoj, kdy cílem investora (sestavovatele portfolia) je
získat kontrolní podíl v určité firmě, jejíž akcie jsou obchodovány na trhu, a potom využíváním (nebo
zneužíváním) svých akcionářských práv může rozhodovat o přesunu (nebo přelévání zisků do společností,
kde investor – sestavovatel má velký akciový podíl) části toku důchodů firmy a tak realizovat
mimořádný zisk i přes nesouhlas minoritních (drobných) akcionářů vysávané (tunelované) firmy.
V současné době u nás převažuje způsob správy portfolia, kdy investiční fondy nebo investiční společnosti,
založené a ovládané především bankami, upřednostňují převody zisků spravovaných firem
prostřednictvím poskytování úvěrů. Stejně je tomu i u jiných fondů (společností), kde převádění zisků
do firem, kde má velké podíly management , který ovládá investiční fondy nebo investiční společnost
zjevem velmi častým.
2. Aktiva
Jelikož předmětem teorie portfolia jsou aktiva, uděláme si stručný přehled základních typů aktiv a
ukážeme si jaké mají použití z hlediska tvorby portfolií.
Aktivum je cokoliv, co je předmětem vlastnictví například:
• cenné papíry (akcie, obligace, podílové listy),
• nemovitosti (obytné a kancelářské budovy, výrobní objekty, pozemky),
• movitý majetek (automobily, zásoby materiálu a surovin)
Investice je aktivum, které přináší svému majiteli tok důchodů. Tento tok důchodů může být i zápor-
ný.
Členění aktiv:
• hmotná – movitosti (zboží na skladě, automobil, zásoby surovin a polotovarů, stroje a zařízení
atd.)
• nehmotná – know-how, software atd.
• finanční – peníze v hotovosti a na účtech, nakoupené cenné papíry směnky, dluhopisy atd.
Nyní si podrobněji probereme jednotlivé druhy aktiv, i když pro teorii portfolia jsou nejdůležitější
finanční aktiva.
2.1 Hmotná aktiva
Teorie portfolia, jak již bylo řečeno, se hmotnými aktivy příliš nezabývá. Tento typ majetku se však
často používá za spekulačními účely (očekávaný růst jeho ceny v budoucnu, výnosy získané jeho pronájmem,
očekávané zvýšení cen starožitností atd.) a také za účelem zajištění (ochrana před inflací,
zástava za úvěr).
a) Movitý majetek
• sbírkové předměty – většinou jde o historické předměty se značnou historickou nebo uměleckou
cenou, různé sbírky (známky, mince, šperky, knihy atd.)
• zvířata – drůbež, dobytek, dostihoví koně a chrti, chov exotických zvířat atd.
4
• stroje a zařízení budov – soustruhy, frézy, zařízení pro truhlářskou výrobu, zařízení obchodu nebo
výrobny atd.
b) Nemovitý majetek
• obytné budovy – hlavním zdrojem zisku je příjem z prodeje nemovitosti. Dalším zdrojem důchodů
jsou nájmy, které jsou však nevýhodné, neboť legislativou je omezená možnost volně s touto nemovitostí
disponovat (vystěhovat nájemníky) a libovolně zvyšovat nájem. Obecně platí, že nákup
obytných budov přináší malý výnos.
• kancelářské budovy – nejvýnosnější typ podnikání (pronájem kancelářských budov nebo místností)
v oblasti nemovitostí.
• výrobní budovy – pronájem nemovitostí je typickým příkladem hlavně pro skladovací prostory.
• pozemky – vlastnictví lesní a zemědělské půdy je obvykle velmi málo výnosné. Výjimku tvoří ta
půda, která byla vyjmuta z půdního fondu a má sloužit pro výstavbu nemovitostí. S vlastnictví takovéto
půdy se velmi často spekuluje pro získání značného zisku z prodeje, zvláště ve velmi
lukrativních oblastech nebo místech.
2.2 Finanční aktiva
Finanční aktiva mají v teorii portfolia nezastupitelné místo a dominantní postavení. Finanční aktiva
ještě dělíme na:
a) Hotovost a depozita
• hotovost – udržovat větší objem hotovostních prostředků v portfoliu není ekonomické a ani ob-
vyklé
• depozita – některé fondy kolektivního investování musí mýt dostatek dostupných prostředků na
běžných nebo termínových účtech pro zajištění likvidity aktiv ve svém portfoliu (příklad: otevřené
podílové fondy).
b) Cenné papíry
a) majetkové – majiteli cenného papíru dávají právo na podíl z majetku a na jeho správě.
akcie – je cenný papír, kterým emitent (firma) umožňuje (osvědčuje) akcionáři:
- právo spolupodílet se na řízení společnosti
- právo podílet se na zisku společnost většinou formou divident
- právo podílet se na likvidační kvótě z majetku společnosti
druhy akcií
- kmenové – jedná se o standardní akcie emitované pro získání
nebo zvýšení základního kapitálu
- prioritní – zajišťují výplatu držiteli akcií v podobě pevně daných
divident
- úrokové – vynášejí majiteli pevný úrok nebo i podíl na zisku
účast – jde o cenný papír, který majiteli potvrzuje právo podílet se na vytvořeném zisku a na
likvidačním zůstatku společnosti nebo firmy. Proti akcii zde chybí právo podílet se na rozhodování
společnosti. Tyto akci emitují většinou firmy nebo společnosti, kterým zákon neumožňuje
emitovat akcie.
podílové listy – jde o cenný papír, který zajišťuje majiteli podíl v instituci kolektivního investování.
Tento typ cenného papíru je svým charakterem velmi blízký účasti. V ČR jednot-
5
livé investiční společnosti vytvářejí podílové fondy a podílové listy těchto fondů pak
opravňují majitele pobírat podíl na majetku v tomto fondu.
b) Dluhové cenné papíry
směnka – je listina, která obsahuje zákonem vymezené náležitosti a jejímu majiteli z ní vyplývá
právo na zaplacení peněžní pohledávky, která je na směnce uvedena. Tuto částku musí
vystavovatel této směnky zaplatit tomu, kdo na tuto listinu napsal svůj závazek a podepsal
jej.
splatné cenné papíry a kupóny – jedná se o splatné kupóny akcií a dluhopisů, neboť se obchoduje
i s dluhopisy, které dospívají během jednoho roku.
obligace (dluhopis, bond) – je cenný papír, na němž se vystavovatel zavazuje jeho majiteli
vyplatit dlužnou nominální částku a vyplácet výnosy tohoto cenného papíru k určitému, na
daném CP uvedenému, datu.
Obligace emitují:
- stát – státní obligace (dluhopisy).
- průmyslové podniky – průmyslové (podnikové) obligace
- banky - bankovní obligace.
- orgány státní správy – regionální, místní nebo městské obligace.
Druhy obligací:
- ziskové – majitel obligace má právo pobírat i část zisku
z emitentovy firmy.
- diskontované – z těchto obligací se nevyplácí úrok, ale prodávají se za menší hodnotu
něž nominální (face value).
- prémiové – tyto obligace většinou mají menší úrokovou sazbu, ale za určitý počet let,
pevně daný, se vyplácí prémie
- indexované – velikost úroku těchto obligací závisí na velikosti inflace (velikost inflace
je většinou měřena indexem spotřebitelských cen).
- prioritní – při likvidaci firmy dávají majiteli přednostní právo na vyplacení této obligace
(přednostní vypořádání).
zástavní listy (hypoteční listy) – je to obligace, u které je splacení závazků emitenta zabezpečeno
hypotekárně jištěnými pohledávkami. Případný emitentův věřitel má při nesolventnosti
emitenta možnost získat pohledávky prodejem nemovitosti emitenta.
státní dluhopisy dlouhodobější cenný papír jejichž emitováním si organizace (firma, banka,
stát) může opatřit potřebný kapitál. Základní dělení obligací je na obligace s nulovým kupónem
(zero-coupon bonds, pure-discount bonds) a kupónové obligace (coupon bonds). Kupónové
obligace nepřinášejí úrok a jsou emitovány s diskontem. Této diskont je součástí nominální
hodnoty obligace, která musí být proplacena majiteli obligace k předem stanovenému
datu. Obvyklejší jsou však kupónové obligace, které přinášejí úrok. Úrok je vyplácen ve
formě pravidelných kupónových plateb, jejichž výplata je předem stanovena a je udávaná ve
formě procent z nominální hodnoty obligace, tak zvaná kupónová sazba.
vkladové listy (depozitní certifikáty) – je krátkodobý obchodovatelný zúročitelný cenný papír,
který vydávají banky výměnou za termínované vklady. Doba splatnosti se pohybuje od
jednoho do několika měsíců, i když někdy se také emitují střednědobé depozitní certifikáty
s dobou splatnosti větší než jeden rok. Prodej depozitních certifikátů je většinou založen na
diskontním principu.
6
pokladniční poukázky ČNB – je cenný papír, který slouží ke krytí deficitu státního rozpočtu.
Dávají jej do oběhu ministerstva financí. Ve srovnání s jinými cennými papíry mají
největší likviditu. Kalkulace zisku spojeného s koupí poukázky je téměř bez rizika, neboť je
zde státní garance a vzhledem ke krátké době splatnosti se redukuje i vliv inflace a změn
úrokových sazeb.
c) Nárokové cenné papíry
pojistná smlouva – je smlouva uzavřená mezi subjekty, kdy jeden subjekt je oprávněn požadovat
plnění od jiného subjektu, jestliže nastane smlouvou konkrétně specifikovaná událost
(např. smlouva na smíšené pojištění, dovršení určitého věku atd.).
los – losy nebývají součástí portfolia
termínové kontrakty – (někteří autoři považují tyto smlouvy za cenné papíry, kdežto jiní je
chápou jako typ uzavřeného obchodu). Jedná se především o termínové kontrakty typu:
- forward, který vzniká na základě domluvy mezi účastníky obchodu o množství, ceně,
druhu zboží a na termínu dodání tohoto zboží. Tento druh je uváděn proto, že mnoho
portfolií je svázáno termínovými smlouvami, které chrání portfolio před nepředvídanými
událostmi (např. změna měnového kurzu).
- futures – vysoce standardizovaný forward, což umožňuje jeho obchodování na specializovaných
burzách. Často se říká, že futurem je forward obchodovaný na burze.
- Option (česky: opce) – termínová transakce, při níž získává držitel (majitel) opce právo:
koupit určité zboží ve vymezeném termínu od emitenta opce (kupní opce-call options).
Emitent opce má povinnost dodat zboží, pokud držitel kupní opce má o toto zboží zájem,
nebo prodat určité zboží ve vymezeném termínu emitentovi opce (prodejní opceput
options). Znamená to, že emitent opce má povinnost odkoupit toto zboží, pokud držitel
opce bude mít o tento prodej zájem. Opce můžeme ještě rozdělit podle času plnění
a to na: americkou opci, kdy majitel smí požadovat plnění kdykoliv před vypršením
termínu opce, nebo evropská opce, kdy majitel smí požadovat plnění po vypršení termínu
opce.
3. Investice jako náhodná veličina
Náhodná veličina je definována jako veličina, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu.
Nejdůležitějším rysem náhodné veličiny je proměnlivost jejích hodnot v průběhu opakování pokusu
vlivem náhodných činitelů. To znamená, že není možné předem jednoznačně určit hodnotu této náhodné
veličiny.
V našem případě se bude jednat o náhodnou veličinu X, která popisuje výnos z investice. Můžeme
mít sice menší či větší důvod se domnívat, že investice přinese určitý výnos, jistotu však nemáme nikdy
(nejedná-li se ovšem o tzv. bezrizikovou investici). Velikost výnosu z investice je závislá na mnoha
ekonomických ale i neekonomických vlivech, z nichž některé nám nemusí být ani známy. Dalším
důležitým rysem je to, že i jednotlivé investice mohou na sebe vzájemně působit. Výnosy z některých
investic pak mají tendenci pohybovat se společně nahoru a dolů, výnosy z jiných investic mají naopak
tendenci opačnou. Žádná z těchto závislostí však není nikdy striktní.
Některé náhodné veličiny mohou nabývat jen izolovaných hodnot, jiné však mohou nabývat všech
hodnot z určitého intervalu. V prvním případě se jedná o diskrétní (nespojité) náhodné veličiny, ve
druhém případě o spojité náhodné veličiny. Na náhodnou veličinu X (výnos z investice) lze pohlížet
jako na diskrétní náhodnou veličinu (nabývá pouze celočíselných hodnot, popř. na dvě desetinná místa
atd.). Jednou z výhod tohoto postupu je jednoduchost používaných vzorců.
K poznání zákonitostí, jimiž se řídí náhodná veličina, je třeba určit hodnoty, které tato náhodná veličina
může nabývat a popsat pravděpodobnostní chování této veličiny, tj. určit pravděpodobnosti, se
kterými náhodná veličina X nabývá daných hodnot x. V mnoha případech je určení zákona rozdělení
náhodné veličiny značně obtížné a proto je výhodné i účelné určit rozložení náhodné veličiny X při-
7
bližně, pomocí číselných charakteristik. Tyto problémy byly již řešeny v předmětech statistika I a
statistika II v minulých ročnících. Přesto si některé základní pojmy, neboť s těmito veličinami se budeme
v dalších částech těchto skript setkávat, zopakujeme. Nejběžnější charakteristiky rozdělení pravděpodobnosti
jsou střední hodnota náhodné veličiny a její rozptyl. Jinak řečeno: střední hodnota je
určitou mírou polohy náhodné veličiny a rozptyl určitou mírou variability této veličiny.
3.1 Statistické charakteristiky náhodné veličiny
3.1.1 Střední hodnota E(X)
Je jednou ze základních charakteristik náhodné veličiny X. Značíme ji E(X). Je to charakteristika
polohy. Reprezentuje jakýsi „střed“ náhodné veličiny, kolem kterého budou hodnoty náhodné
veličiny při opakování pokusu náhodně kolísat. V našem případě můžeme také místo o střední hodnotě
náhodné veličiny X mluvit o očekávaném výnosu z investice.
Je-li X diskrétní náhodná veličina (nabývá konečný počet hodnot), která nabývá hodnoty x
s pravděpodobností p(x), respektive spojitá náhodná veličina (nabývá libovolné hodnoty z určitého
intervalu) s hustotou pravděpodobnosti f(x), potom střední hodnota E(X) bude:
(((( ))))







====
∫∫∫∫
∑∑∑∑
∞∞∞∞
∞∞∞∞−−−−
====
veličinanáhodnáspojitá
veličinanáhodnádiskrétní
.........x.f(x)dx..
.).........p(xx
XE
n
1i
ii
(3.1)
za předpokladu. Že nekonečná řada, respektive nevlastní integrál konvergují absolutně. Střední hodnota
je nejdůležitější charakteristikou polohy náhodné veličiny. Někdy ji nazýváme očekávaná hodnota
nebo matematická naděje. Vedle označení E(X) se požívá často označení µ nebo x .
Vlastnosti střední hodnoty:
a) E(k) = k, kde k je konstanta
b) E(k.x) = k.E(X)
c) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
d) E(X.Y) = E(X).E(Y)
e) )E(Xk...)E(Xk)E(Xk)
i
X
i
kE( nn2211
n
1i
++++++++++++====∑∑∑∑
====
3.1.2 Rozptyl D(X)
Charakteristikou proměnlivosti (variability) náhodné veličiny je její rozptyl. Udává, kolísání
(rozptýlení) hodnot náhodné veličiny kolem její střední hodnoty. Rozptyl (disperze, variance, variabilita)
nám udává velikost tohoto kolísání (rozptýlení hodnot náhodné veličiny). Rozptyl je pak definován
vztahem:
[[[[ ]]]] 2
)x(EXE)X(D −−−−==== , či-li
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]






−−−−
−−−−
====
∫∫∫∫
∑∑∑∑
∞∞∞∞
∞∞∞∞−−−−
====
veličinanáhodnáspojitá
veličinanáhodnádiskrétní
...................f(x)E(X)x
...........).p(xE(X)x
2
n
1i
i
2
i
)x(D (3.2)
Opět za předpokladu, že nekonečná řada a nevlastní integrál konvergují absolutně. Pro rozptyl se používá
též označení 2
σ nebo var(X).
8
Vlastnosti rozptylu:
a) D(k) = 0
b) D(k.X) = k2
. D(X)
Nejužívanější mírou variability hodnot náhodné veličiny ve statistickém souboru je rozptyl a směrodatná
odchylka, což je druhá odmocnina z rozptylu. Rozptyl je pak definován jako aritmetický průměr
ze čtverců odchylek od aritmetického průměru :
∑∑∑∑====
−−−−====σσσσ
n
1i
2
ii
2
)xx(.
n
1
většinou pro n > 30
Výpočet tohoto rozptylu je zatížený určitou chybou, a proto pro n < 30 je výhodnější pro rozptyl použít
vztah:
∑∑∑∑====
−−−−
−−−−
====σσσσ
n
1i
2
ii
2
)xx(.
1n
1
(3.3)
Pro jednodušší výpočet lze též používat upravený vzorec:
2
i
n
1i
2
i
2
i
2
i
n
1i
2
i
2
i
i
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
iii
2
i
n
1i
2
ii
2
xx.
n
1
xx.2x.
n
1
)
n
x.n
x.x.
n
1
.2x.
n
1
)xx.x.2x(.
n
1
)xx(.
n
1
−−−−====++++−−−−====
====++++−−−−====++++−−−−====−−−−====σσσσ
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
========
================
3.1.3 Kovariance
Všechny dříve uvedené charakteristiky popisují pouze rozdělení náhodných veličin. Neříkají
nic o tom, zda se tyto náhodné veličiny vzájemně ovlivňují. Prostředkem pro měření těsnosti vztahů
mezi dvěma náhodnými veličinami X, Y je kovariance. Budeme ji značit cov(X,Y). Kovarianci dvou
náhodných veličin definujeme jako střední hodnotu součinu odchylek obou veličin od jejich středních
hodnot.
[[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}})Y(EZ.)X(EXE)Y,Xcov( −−−−−−−−==== (3.4)
Nejčastěji při běžných výpočtech z dvojice pozorování náhodných veličin podle následujícího upraveného výrazu
(vzorce): ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ============
−−−−====
n
1i
i
n
1i
i2
n
1i
ii y.x.
n
1
y.x.
n
1
)Y,Xcov( , kde ix a iy jsou hodnoty náhodných veličin.
Pro kovarianci platí:
a) )Y(E).X(E)Y.X(E)Y,Xcov( −−−−====
b) )X(σ)X(D)X,Xcov( 2
========
c) Pro rozptyl součtu dvou náhodných veličin platí:
)Y,Xcov(.2)Y(D)X(D)Yx(D ++++++++====++++
Na kovarianci je také založen koeficient korelace
σ(X)σ(Y)
Y)cov(X,
Y)ρ(X, ==== (3.5)
9
Nejčastěji při běžných výpočtech z dvojice pozorování náhodných veličin řešíme úlohy podle následujícího
upraveného výrazu (vzorce):
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
==== ======== ====
==== ==== ====








−−−−







−−−−
−−−−
====ρρρρ
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
n
1i
n
1i
iiii
yy.n.xx.n
y.xy.x.n
)Y,X( (3.6)
kde ix a iy jsou hodnoty náhodných veličin.
Kovariance může nabývat hodnot z intervalu (((( ))))∞∞∞∞∞∞∞∞−−−− , a je pouze pomocným nástrojem pro měření
intenzity vztahu mezi dvěma veličinami.
Koeficient korelace se používá jako míry lineární závislosti mezi veličinami X a Y. Koeficient korelace
je bezrozměrná veličina a nabývá hodnot z intervalu 〉〉〉〉〈〈〈〈−−−− 1,1 . Je-li náhodná veličina Y lineární
funkcí náhodné veličiny X, tzn. baXY ++++==== . Potom pro 1Y)ρ(X, ==== jde o přímou úměrnost a pro
1)Y,X(ρ −−−−==== jde o nepřímou úměrnost mezi veličinami X a Y. Jestliže 0)Y,X(ρ ==== , říkáme, že náhodné
veličiny jsou nekorelované. To ještě nemusí nutně znamenat, že jsou nezávislé. Může mezi
nimi existovat velmi těsný vztah, a to v případech, kdy regresní funkce neprobíhá lineárně (není line-
ární).
U hodnot koeficientu korelace Y,X(ρ < 0,3 můžeme předpokládat, že mají malou lineární závislost a u
Y,X(ρ > 0,8 předpokládáme silnou lineární závislost.
3.2 Charakteristiky aktiva
Některé vlastnosti aktiva nazýváme charakteristikami aktiva. Nejdůležitějšími charakteristikami
pak jsou:
očekávaný výnos – míra výnosnosti (ziskovosti) aktiva (investice)
riziko aktiva – jde o pravděpodobnost, že nebude dosaženo očekávaného výnosu (změna
výnosu daného aktiva po dobu jeho držení)
likvidita aktiva – jedná se o schopnost aktiva být přeměno na hotovost (některé cenné papíry
jsou neprodejné, neboť poptávka po nich je minimální až nulová a nepřináší žádný finanční
efekt)
Tržní cena akcie se vytváří na základě zákona nabídky a poptávky a odráží řadu faktorů, jako je
například výnos na akcii (earnings per share), výše divident nebo ekvivalentně hodnota výplatního
poměru (payout ratio), který udává, jak velký podíl zisku na jednu akcii se vyplácí jako dividenda,
vyhlídky budoucí prosperity firmy, akciové společnosti, kvalita managementu, všeobecné ekonomické
klima a mnoho dalších nepředvídatelných faktorů, zahrnující i různé politické události.
3.2.1 Očekávaná výnosnost a riziko změny výnosnosti cenného papíru
Známe-li pravděpodobnostní strukturu, to znamená, že budeme znát s jakou pravděpodobností
n3,21 p,,pp,p L , bude i-tý cenný papír nabývat hodnot ni321 r,,r,,r,r,r LL , potom pro střední
míru zisku platí:
∑∑∑∑====
====++++++++++++++++++++++++====
n
1i
iinnii332211i p.rp.rp.rp.rp.rp.rr LL
a pro riziko změny výnosnosti cenného papíru pak:
∑∑∑∑====
−−−−====σσσσ
n
1i
i
2
iii p.)rr(
10
V praxi však většinou není pravděpodobnostní struktura známá a proto se tato míra zisku odhaduje
z minulých pozorovaných hodnot.
∑∑∑∑====
====
T
1t
ii t
r.
T
1
r a riziko změny výnosnosti pak
∑∑∑∑====
−−−−
−−−−
====σσσσ
T
1i
2
itii )rr(.
1T
1
(3.7)
kde tir je pozorovaná míra zisku i-té akcie (cenného papíru) v čase T,,3,2,1t L==== a T je počet obdo-
bí.
kti
tiktiti
ti
P
DPP
r
−−−−
−−−−
++++−−−−
==== (3.8)
kde: tiP - tržní cena i-té akcie na začátku následujícího období (prodejní cena akcie, pokud ji
chceme prodat)
ktiP
−−−−
- tržní cena i-té akcie na počátku období
tiD - dividenda i-té akcie za příslušné období
Jestliže budeme uvažovat pouze kapitálový výnos (bez výnosu dividendového), potom vycházíme
z předpokladu, že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání je tvořen součtem krátkodobých
výnosu akcií za tuto dobu trvání. Historický přístup i přes určitá negativa patří k základním orientačním
způsobům kvantifikace výnosu, a je v podstatě jediným způsobem jak kvantifikovat kovariance
mezi náhodnými veličinami, které popisují výnos jednotlivých aktiv. Obvykle v ekonomice je dividendový
výnos mnohem menší než výnos kapitálový (Ibotson atd.). Potom výnos i-tého aktiva bude:
k-ti
k-titi
kti
P
PP
r
−−−−
==== (3.9)
Pro účely praxe je obvykle uvažovat k = 1, to znamená uvažovat velikost jednodenní změny tržní ceny
cenného papíru. Potom výnos i-tého aktiva za celou dobu trvání portfolia T bude:
∑∑∑∑
−−−−
====−−−−
====
kT
1t
tii r.
kT
1
r , (3.10)
neboť parametr k bývá při praktických odhadech zpravidla pevně zvolen. Takovémuto postupu se říká
historická metoda očekávaného výnosu aktiva.
3.2.2 Historická metoda kvantifikace očekávaného výnosu a rizika aktiva.
Příklad1
Mějme zadány hodnoty cen akcií z hypotetického kurzovního lístku (pro snadnější a jednodušší výpočty),
které neodpovídají cenám z burzy cenných papírů.
11
Tab. 1: Hypotetické kurzy cenných papírů
Hypotetický kurzovní lístek
Obchodní den na burze
(v praxi je uveden datum obchodního
dne)
Kurzy akcií
F1 F2 F3
1. 100 200 1 000
2. 110 210 1 050
3. 121 200 1 050
4. 95 150 1 000
5. 98 210 950
Úloha:Vypočítat historický výnos a) jednodenní b) dvoudenní
a) jednodenní
1-ti
1-titi
ti
P
PP
P
−−−−
==== , časový okamžik = jeden obchodní den na burze
Tab. 2: Jednodenní výnosy cenných papírů
Hypotetický kurzovní lístek
Obchodní den na burze
(v praxi je uveden datum obchodního
dne)
Kurzy akcií
Cenný papír
F1
Cenný papír
F2
Cenný papír
F3
1. 0 0 0
2. 0,1 0,05 0,05
3. 0,1 -0,04762 0
4. -0,21488 -0,25 -0,04762
5. 0,031579 0,4 -0,05
Očekávaný jednodenní výnos
akcie 0,004176 0,038095 -0,0119
Riziko změny jednodenního
výnosu akcie 0,149554 0,2717 0,04726
Řešení:
0,1
100
100110
P
PP
P
PP
r
2F1
1F12F1
12F1
12F12F1
F1 ====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
0,05
200
200210
P
PP
P
PP
r
1F2
1F22F2
12F2
12
F22F2
F2 ====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
0,05
0001
00010501
P
PP
P
PP
r
1F3
1F32F3
12F3
12
F32F3
F3 ====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
a) dvoudenní
2-ti
2-titi
ti
P
PP
P
−−−−
====
12
Tab. 3: Dvoudenní výnosy cenných papírů
Hypotetický kurzovní lístek
Obchodní den na burze
(v praxi je uveden datum obchodního
dne)
Kurzy akcií jednotlivých firem
Cenný papír
F1
Cenný papír
F2
Cenný papír
F3
1. 0 0 0
2. 0 0 0
3. 0,21 0 0,05
4. -0,13636 -0,28571 -0,04762
5. 0,19008 0,05 -0,09524
Očekávaný dvoudenní výnos
akcie -0,03882 -0,07857 -0,03095
Riziko změny dvoudenního
výnosu akcie 0,217148 0,181125 0,07404
0,21
100
100121
P
PP
P
PP
r
1F1
1F13F1
23F1
23F13F1
F1 ====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
0
200
200-200
P
PP
P
PP
r
1F2
1F23F2
23F2
23F23F2
F2 ========
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
0,05
0001
00010501
P
PP
P
PP
r
1F3
1F33F3
23F3
23F33F3
F3 ====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
−−−−
3.2.3 Expertní metoda kvantifikace očekávaného výnosu a rizika
aktiva.
Dalším důležitým prostředkem zjišťování výnosnosti a rizika jednotlivých aktiv, která chceme
zařadit do našeho portfolia, jsou odhady expertů tržních cen jednotlivých aktiv v okamžiku realizace
portfolia. Budeme u každého experta předpokládat, že provede odhad pro všechny cenné papíry, které
chceme mít ve svém portfoliu. Dále nebudeme uvažovat úročení nebo diskontování toku výnosů, které
plynou z tohoto portfolia během jeho držení.
Při expertních odhadech výnosů budeme používat následujícího značení:
1. iTC - tržní cena i-tého aktiva v době vzniku portfolia
2. ijN - celkový počet odhadů budoucí tržní ceny ijkc a ijkd i-tého
aktiva, který provedl j-tý expert.
3. ijkp - pravděpodobnost, že i-té aktivum podle j-tého experta dosáhne
v okamžiku realizace portfolia k-tého výnosu z doby jeho
trvání
Na trhu je známá velikost současných tržních cen všech aktiv ( iTC ), které jsou platné v okamžiku
vzniku portfolia (BCPP, RM-SM). Námi vybraní experti odhadnou čísla ijkc a ijkd a pravděpodobnosti
jejich dosažení pro i = 1, 2, 3, …, n; j = 1, 2, …, eN (počet expertů); k = 1, 2, …, ijN . Nechť každý expert
zadá pravděpodobnosti ijkp tak, aby se splnil vztah:
13
1p
jiN
1k
jki ====∑∑∑∑====
Vyjdeme opět ze vztahu:
i
ijkijki
jki
TC
TCdc
r
−−−−++++
==== . (3.11)
Potom: ∑∑∑∑====
====
eN
1j
jki
e
ki p
N
1
p .
Předpokládejme, že jsme dostali od tří nezávislých expertů informace o odhadu velikosti tržních cen ité
akcie v okamžiku realizace portfolia spolu s pravděpodobnostmi, že bude dosažena jimi odhadnutá
cena. Dále pro jednoduchost a přehlednost budeme uvažovat, že dividendy z tohoto cenného papíru
budou rovny nule. Dále předpokládejme, že současná hodnota i-té akcie bude 100,00 Kč. Jednotlivé
hodnoty si uvedeme v tabulce.
Tab. 4 Odhad expertů výnosností cenných papírů
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
ijc
i
iik
ik
TC
TCc
r
−−−−
====
1kip 2kip 3kip ∑∑∑∑====
eN
1j
ijkp ∑∑∑∑====
====
eN
1j
ijk
e
ik p
N
1
p
90 -0,1 5 0 0 5 5/3
100 0 80 20 0 100 100/3
110 0,1 5 30 50 85 85/3
130 0,3 0 40 20 60 60/3
160 0,6 10 10 20 40 40/3
180 0,8 0 0 10 10 10/3
Jelikož známe pravděpodobnosti náhodné veličiny, můžeme kvantifikovat její střední hodnotu, rozptyl
a směrodatnou odchylku jako riziko změny výnosu cenného papíru.
%33,19p.ir)r(E
6
1k
ii k
k
====∑∑∑∑====
====
(v relativním vyjádření pak 3193,0 )
[[[[ ]]]] 560516,0038678,030903,0)R(E)r.(p)r(Var
2
i
6
1k
2
kikii ====−−−−====−−−−∑∑∑∑====
====
%7279,22227279,0)R(Var)r( ii ⇒⇒⇒⇒========σσσσ
Otázky a problémy k zamyšlení:
Úloha 1.
Kurzy akcií pro hypotetické kurzovní lístky
Obchodní den na burze Kurzy akcií jednotlivých firem
F1 F2 F3
1. 100 200 1000
2. 110 210 1050
3. 121 205 1080
4. 95 150 1020
5. 98 210 950
14
Hypotetický kurzovní lístek
Obchodní den na burze
(v praxi je uveden datum obchodního dne)
Kurzy akcií
F1 F2 F3
1.
M M M M
5.
Očekávaný jednodenní výnos akcie
Riziko změny jednodenního výnosu akcie
Hypotetický kurzovní lístek
Obchodní den na burze
(v praxi je uveden datum obchodního dne)
Kurzy akcií jednotlivých firem
F1 F2 F3
1.
M M M M
5.
Očekávaný dvoudenní výnos akcie
Riziko změny dvoudenního
výnosu akcie
Úloha:
Vypočítejte jednodenní a dvoudenní výnosy jednotlivých akcií a riziko změny jejich výnosností
Úloha 2.
Od tří expertů jsme dostali informace o odhadu tržních cen i-té akcie v okamžiku realizace portfolia.
Předpokládejme, že tržní cena akcie při tvorbě portfolia byla 100,- Kč
Odhady jednotlivých expertů:
Odhady 1. experta Odhady 2. experta Odhady 3. experta
k1ic k1ir v % k2ic k2ir v % k3ic k3ir v %
80 10 100 20 120 50
100 80 120 30 160 50
180 10 150 50 0 0
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
kic
i
iki
ki
TC
TCc
r
−−−−
==== k1ip k2ip k3ip
∑∑∑∑====
eN
kj
kjip ∑∑∑∑====
====
eN
kj
kjiki pp
80
100
120
160
150
180
15
Úloha:
Vypočítat pravděpodobnosti náhodné veličiny, její střední hodnoty, rozptyl a směrodatnou odchylku
jako riziko změny výnosnosti cenného papíru.
Úloha 3.
Kurzy vybraných akcií na počátku čtvrtletí
R o k
2001 2002
Emise
I. II. III. IV. I. II. III. IV.
ČEZ 1010 1055 1100 1031 988 1065 918 1060
Čokoládovny 2650 3000 3848 3228 3638 4205 3979 4731
KB 1505 2030 2190 2325 2250 2443 1700 1796
Most 178 300 325 396 351 370 335 327
Nová huť 281 372 358 494 460 539 443 468
SPT 2645 3125 3400 3330 3400 3425 3475 4100
Škoda 547 800 803 1070 975 952 997 944
Úloha:
Vypočítat výnosnosti jednotlivých akcií za jednotlivá čtvrtletí, riziko změny výnosnosti, střední hodnotu
a riziko změny jejich výnosností za dva roky. Vypočítejte kovarianční a korelační matici.
3.2.4 Odhady kovariance
Abychom mohli vypočítat riziko změny výnosu nejen cenného papíru, ale i riziko změny výnosu
celého portfolia musíme znát kovariance mezi dvojicemi cenných papírů, které budou popisovat výnos
z jednotlivých aktiv v portfoliu. Jde tedy o to jakým způsobem můžeme řešit tento problém a kvantifikovat
kovariance.
Budeme se dále zabývat, určením kovariance (vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami) mezi jednotlivými
cennými papíry a pro naše potřeby bude postačovat odhad této kovariance z historických
dat, neboť nás také zajímá jak se změna výnosnosti jednoho cenného papíru projeví ve výnosech
ostatních cenných papírů. Mějme dva cenné papíry i a j.
Potom kovariance bude: ∑∑∑∑====
−−−−−−−−
−−−−
====σσσσ
T
1t
jtjitiji )rr).(rr(
1T
1
(3.12)
tir … výnosnost cenného papíru i, j za období t, ijσ … kovariance výnosností mezi cennými papíry i, j
Korelační koeficient potom bude mít tvar:
ji
ji
ji
.σσσσσσσσ
σσσσ
====ρρρρ
Po výběru cenných papíru do námi žádaného portfolia však potřebujeme vyřešit vztahy mezi jednotlivými
cennými papíry a jejich kovariance. K tomu nám poslouží kovarianční a korelační matice.
Kovarianční matice:
nn2nn
n22221
n11211
1 σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
====
L
MMMM
L
L
C (3.13)
16
Kovarianční matice je symetrická, neboť platí, že jiij σσ ==== . Na hlavní diagonále má rozptyly náhodných
veličin, neboť platí jak bylo řečeno dříve: )X(D)X,Xcov( iii ====
Korelační matice:
1
1
1
R
2n1n
n221
n112
L
MMMM
L
L
ρρρρρρρρ
ρρρρρρρρ
ρρρρρρρρ
==== (3.14)
Stejně jako kovarianční matice je i matice korelační symetrická, kde jiij ρρ ==== a pro i = j bude:
1ρii ==== , neboť platí:
)X(σ
)X(D
)X(σ).X(σ
)X,Xcov(
ρ
i
2
i
ii
ii
ii ======== (3.15)
Příklad 1
Mějme vybrané cenné papíry obchodované na Burze cenných papíru v Praze, ke dni 10. 3. 2000. Výpočet
byl provedený na základě kurzů cenných papírů od 10. 3. 1999 – 10. 3. 2000 .
Tab. 5: Výnosy a rizika cenných papírů
Označení cenného
papíru
Výnosnost
ri
Riziko
σi
CP1 18,5 18,6
CP2 8,7 6,1
CP3 15,3 22,1
CP4 32,5 42,5
CP5 30,0 41,9
CP6 23,1 37,4
CP7 19,4 34,2
Z uvedené tabulky je vidět, že nejvyšší výnos bude z akcie CP4 a to 32,5% p.a. Zároveň se jedná o
nejrizikovější investici, neboť riziko změny výnosnosti bude 42,5%.
Tab. 6: Kovarianční matice
Označení
CP
CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7
CP1
344,2 20,4 38,5 -75,7 184,9 296,2 316,8
CP2
20,4 36,7 10,0 13,6 -24,1 33,0 56,0
CP3
38,5 10,0 487,8 -163,7 21,2 75,6 178,9
CP4
-75,7 13,6 -163,7 1810 -237,1 1,8 49,1
CP5
184,9 -24,1 21,2 -237,1 1752 -172,2 -31,7
CP6
296,2 33,0 75,6 1,8 -172,2 1396 719,5
CP7
316,8 56,0 178,9 49,1 -31,7 719,5 1171
Z kovarianční matice je vidět, že je symetrická, neboť jiij aa ==== . Na hlavní diagonále jsou rozptyly
jednotlivých cenných papírů (zvýrazněné).
17
Tab. 7: Korelační matice
Označení
CP
CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7
CP1
1 0,18 0,09 -0,10 0,24 0,43 0,50
CP2
0,18 1 0,07 0,05 -0,10 0,15 0,27
CP3
0,09 0,07 1 -0,17 0,02 0,09 0,24
CP4
-0,10 0,05 -0,17 1 -0,13 0,00 0,03
CP5
0,24 -0,10 0,02 -0,13 1 -0,11 -0,02
CP6
0,43 0,15 0,09 0,00 -0,11 1 0,56
CP7
0,50 0,27 0,24 0,03 -0,02 0,56 1
Z uvedené korelační matice vidíme přesný obraz závislosti výnosů jednotlivých cenných papírů.
Kladná čísla blížící se k jedné vyjadřují vysokou pozitivní korelaci výnosů. Pokud bude výnosnost
jednoho cenného papíru narůstat, bude se stejně chovat i druhý cenný papír. Záporná čísla znamenají
negativní korelaci výnosů. Mezi těmito cennými papíry platí nepřímá úměrnost. Jestliže poroste výnosnost
jednoho cenného papíru bude výnosnost druhého cenného papíru klesat. Pokud bude korelace
rovna nule, není mezi cennými papíry žádný vztah-jsou nekorelovány. To znamená, že změní-li se
výnos jednoho cenného papíru, výnosnost druhého vůbec neovlivní.
4. Rozbor jednotlivých modelů teorie portfolia
4.1 Markowitzův model (problém výběru portfolia)
Markowitzův přístup k investování začíná předpokladem, že investor má v současné době
k dispozici určité množství peněz. Tyto peníze budou investovány na určité časové období, které je
známé jako investorova doba držení portfolia. Na konci doby držení investor prodá cenné papíry, které
zakoupil na začátku tohoto období, a buď utratí výnos z tohoto portfolia pro svoji potřebu nebo je
reinvestuje do různých cenných papírů (nebo udělá od každého trochu). Na Markowitzův přístup lze
pohlížet jako na přístup na jedno období, kde začátek období je označen t = 0 a konec období je označen
t = 1. V t = 0 musí investor učinit rozhodnutí, které cenné papíry má nakoupit a držet do t = 1.
Protože portfolio je kolekce cenných papírů, je toto rozhodnutí ekvivalentní výběru optimálního portfolia
z množiny možných portfolií a tento postup se často označuje za problém výběru portfolia.
Při rozhodování v čase t = 0 by si měl investor uvědomit, že výnosnosti cenných papírů (a tedy
i výnosnost portfolia) za dobu držení jsou neznámé. Přesto by investor mohl odhadnout očekávané
výnosnosti (neboli střední výnosnosti) různých cenných papírů, které připadají v úvahu, a potom investovat
do cenného papíru s nejvyšší očekávanou výnosností. Typický investor tedy chce, aby jeho
výnosnost byla co nejvyšší, současně ale požaduje, aby bylo riziko změny výnosnosti co nejmenší. To
znamená, že investor při hledání jak maximální očekávané výnosnosti, tak minimálního rizika, sleduje
dva konfliktní cíle, které musí být při rozhodování o koupi v čase t = 0 vzájemně vyvažovány. Markowitzův
přístup k tomu, jak by měl investor toto rozhodnutí provádět, bere oba cíle plně v úvahu.
Jedním zajímavým důsledkem těchto dvou konfliktních cílů je to, že by se investor měl snažit
o diverzifikaci prostřednictvím nákupu několika cenných papírů místo jednoho.
Podle Markowitze by tedy měl investor pohlížet na výnosnost spojenou s příslušným portfoliem
jako na něco, co je ve statistice známo jako náhodná veličina. Markowitzův přístup k investování
říká, že investor by měl odhadnout očekávanou výnosnost a směrodatnou odchylku každého portfolia
a potom vybrat „nejlepší“ na základě relativní velikosti těchto dvou parametrů.
4.1.1 Křivky indiference
Metoda, která má být použita při výběru nejžádanějšího portfolia, využívá křivek indiference. Tyto
křivky reprezentují investorovy preference rizika a výnosnosti a mohou tedy být nakresleny
v dvourozměrném prostoru (v rovině), kde na vodorovné ose je riziko měřené směrodatnou odchylkou
označenou σσσσp a na svislé ose odměna měřená očekávanou výnosností označenou rp.
18
Obr.1
Obr.1
Obr.1 představuje „mapu“ křivek indiference, které jsou vlastní hypotetickému investorovi. Každá
zakřivená čára představuje jednu křivku indiference daného investora a reprezentuje všechny kombinace
portfolií, které by investor považoval za stejně žádoucí. Například investor s křivkami indiference
z výše uvedeného obrázku by shledával portfolia A a B stejně žádoucími, i když mají různé očekávané
výnosnosti a směrodatné odchylky, neboť obě leží na stejné křivce indiference I2. Portfolio B má
vyšší směrodatnou odchylku než portfolio A, a je proto z tohoto důvodu méně výhodné. Toto riziko
však kompenzuje zisk z vyšší očekávané výnosnosti B vzhledem k A. Tento příklad ukazuje první
důležitou vlastnost křivek indiference:
1) Všechna portfolia, která leží na dané křivce indiference, jsou pro investora stejně žádoucí.
Důsledkem této vlastnosti je, že křivky indiference se nemohou protínat.
Druhá vlastnost křivek indiference je:
2) Investor bude považovat za žádoucnější libovolné portfolio, které leží na křivce indiference, jež
je umístěna „výše“ než jiné křivky indiference, na nichž leží další portfolia.
Také bychom si měli všimnout, že investor má nekonečně mnoho křivek indiference. To jednoduše
znamená, že kdykoliv jsou na obrázku nakresleny dvě křivky indiference, je možné nakreslit třetí
křivku indiference, která leží mezi nimi.
Stranou nesmí zůstat ani tvar indiferentních křivek. Jak vlastně investor stanoví tvar svých
křivek indiference? Každému investorovi přísluší mapa křivek indiference, které mají uvedené vlastnosti
a jsou pro daného jednotlivce jedinečné. Existuje řada metod, které se používají pro stanovení
individuálních křivek indiference. Obecně tvar křivek indiference ovlivňují následující dva předpoklady:
nenasycenost a odpor k riziku. Předpoklad nenasycenosti znamená, že investoři budou dávat vždy
přednost vyšší úrovni koncového bohatství před nižší úrovní tohoto bohatství. Je to proto, že vyšší
úroveň bohatství umožní investorovi více utratit na spotřebu v čase t = 1. Budou-li tedy dána dvě portfolia
se stejnou směrodatnou odchylkou , potom si investor vybere portfolio s vyšší očekávanou výnosností.
Ale jak si investor vybere v případě dvou portfolií se stejnou očekávanou výnosností, ale
s různou směrodatnou odchylkou. Na to dává odpověď druhý předpoklad, odpor k riziku. Obecně se
předpokládá, že investoři mají odpor k riziku, čímž je míněno, že si investor vybere portfolio s menší
směrodatnou odchylkou.
Právě tyto dva předpoklady nenasycenosti a odporu k riziku vedly ke křivkám indiference,
které jsou konvexní. I když se předpokládá, že všichni investoři mají odpor k riziku, nepředpokládá se,
že mají stejný stupeň odporu k riziku. Někteří investoři mohou mít vysoký odpor k riziku a jiní pouze
mírný. To znamená, že různí investoři mohou mít různé mapy křivek indiference. Následující obrázky
zobrazují mapy křivek indiference investorů, kteří mají po řadě vysoký, mírný a nepatrný odpor
k riziku. Jak lze vidět z těchto křivek, investorovi s vyšším odporem k riziku odpovídají křivky se
strmějším sklon
rp
I3
D I2
rC =12
rB =11 B
rC = 8 I1
rA = 7 A C
σp
σB = 14 σA = 17,5
σC = 14,5 σD= 20,4
19
Přípustná
množina
Efektivní
množina
Přípustná
množina
Efektivní
množina
Přípustná
množina
Efektivní
množina
Investor s vysokým
odporem k riziku
Investor s mírným
odporem k riziku
Investor s nepatrným
odporem k riziku
pr pr 1I 2I
1I 2I
pσσσσ pσσσσ
Obr. 2a Obr. 2b
pr
1I
2I
pσσσσ
Obr. 2c
Na obrázku 2 jsou uvedeny křivky indiference pro investory s různým odporem k riziku
4.1.2 Odhadování tolerance rizika
Každý investor by rád identifikoval všechny křivky indiference, které odpovídají postoji k riziku a
očekávané výnosnosti. V běžné praxi se však spokojíme s mírnějším požadavkem, a to, získat představu
o těchto křivkách indiference v pravděpodobné oblasti rizika a očekávané výnosnosti, kam nejspíše
bude směřovat investorova optimální volba. Body na obr. 12 představují portfolia, z kterých investor
vybírá svoje optimální portfolio. Křivka FTC ukazuje charakteristiku rizika a výnosnosti všech možných
portfolií a bod T označuje portfolio zvolené investorem. Za předpokladu, že z možných portfolií
bylo vybráno portfolio T, lze říci, že směrnice křivky indiference, dotýkající se efektivní množiny,
bude rovna směrnici křivky FTC v bodu T. Jak jsme již dříve uvedli, bod dotyku křivky indiference je
bodem zvoleného optimálního portfolia investorem na efektivní množině. Výběr portfolií a bezrizikového
aktiva nám dává určitou informaci o křivce indiference, pouze však pro jediný bod. Pro překonání
tohoto omezení můžeme učinit předpoklad, že v rozsahu alternativních portfolií v okolí daného
bodu, má investor konstantní toleranci rizika (neutrální postoj k riziku).
20
pr
C
T
ui
F
pσ
Obr. 3
Na obr. 4 je možno vidět podstatu tohoto předpokladu. Na obr. 4a jsou zakresleny křivky indiference,
kdy vodorovnou osou je rozptyl portfolia 2
pσ . To znamená, že křivky indiference jsou přímky, má-li
investor konstantní toleranci rizika. Potom daná rovnice bude mít tvar:
2
pip σ.kur ++++==== (4.1)
kde: ui je úsek na ose výnosnosti portfolia pr
k je směrnice dané přímky
Tuto rovnici můžeme též zapsat ve tvaru:
2
pip σ
τ
1
ur ++++==== (4.2)
kde: iu je úsek , kterou utíná směrnice křivky indiference na ose výnosnosti pr
τ
1
je směrnice křivky indiference I
Na obr. 4b si můžeme všimnout, že křivky indiference se navzájem liší o hodnotu úseku na ose pr .
Pokud zakreslíme křivky indiference do souřadnicových os pσ , pr budou tyto křivky konvexní. Jak
bylo dříve uvedeno, bude směrnice křivek indiference
τ
1
rovna směrnici efektivní množiny v místě
zvoleného portfolia, které jsme označili jako portfolio T. Potom pro odhad hodnoty τ platí:
2
fc
2
cfT
)rr(
σ).rr.(2
τ
−−−−
−−−−
==== (4.3)
kde:
Tr - očekávaná výnosnost portfolia, které si investor zvolil
cr - očekávaná výnosnost portfolia C
fr - očekávaná výnosnost bezrizikového aktiva
2
cσ - rozptyl portfolia C
21
pr pr
I1
I1
I2
15 15 I2
I3
10 10 I3
5 5
2
pσ pσ
10 20 30 10 20 30
a) b)
Obr. 4
Důkaz:
Vycházíme z předpokladu, že jakékoliv dvě investorovi křivky indiference budou mít stejné směrnice.
Abychom mohli odhadnout investorovu toleranci rizika τ potom bude směrnice křivek indiference
τ
1
rovna směrnici tečny k efektivní množině v bodu T, kde se tyto křivky indiference dotýkají efektivní
množiny. Nechť cX je proporce investovaná do portfolia akcií C a (1- cX ) je proporce investovaná
do bezrizikového aktiva. Víme, že očekávaná výnosnost portfolia je: fp r).cX1(cr.cXr −−−−++++==== kde:
cr - výnosnost portfolia C
fr - výnosnost bezrizikového aktiva
Z dané rovnice vypočítáme proporce (podíl, váhu) cX investované do portfolia C.
f
fp
rcr
rr
cX
−−−−
−−−−
==== (4.4)
Rozptyl portfolia bude: f
2
f
2222
p c).cX1.(cX.2.)cX1(c.cX σσσσ−−−−++++σσσσ−−−−++++σσσσ====σσσσ
kde 2
cσ - rozptyl portfolia
2
fσ - rozptyl bezrizikového aktiva, které je však rovno nule, stejně jako kovariance fcσ bezrizikového
aktiva s portfoliem C. Potom se tato rovnice redukuje na tvar: 222
p c.cX σσσσ====σσσσ . Za proporci cX
do této rovnice dosadíme (4.7):
2
2
f
2
fp
c
σ.
)rcr(
)rr(
σ2
p
−−−−
−−−−
==== (4.5)
Tato rovnice popisuje funkční závislost mezi očekávanou výnosností a rozptylem libovolného portfolia,
které se dá vytvořit kombinací portfolia C a bezrizikové investice. To znamená, že pro takové
konkrétní portfolio z C a bezrizikového aktiva bude mít očekávanou výnosnost pr . To nám umožňuje
pomocí diferenciálního počtu určit směrnici křivky, která spojuje portfolio C s bezrizikovou investicí.
Pro zjednodušení výpočtu můžeme tuto směrnici určit derivováním
p
2
p
rd
σd
, neboť platí
p
2
p
2
p
p
rd
σd
1
σd
rd
==== .
Takže směrnice této přímky k bude: 2
fp
2
f
cσ).rr.(2
)rcr(
k
−−−−
−−−−
==== (4.6)
22
Jestliže si uvědomíme, že portfolio, ležící na křivce spojující bezrizikovou investici a portfolio C, je
tangenciální portfolio T, potom směrnici přímky v tomto bodu obdržíme dosazením hodnoty Tr za
pr do (4.9).
2
fT
2
f
cσ).rr.(2
)rcr(
τ
1
−−−−
−−−−
====
Z uvedené rovnice pak vypočítáme τ .
Potom: 2
f
2
fT
)rcr(
cσ).rr.(2
τ
−−−−
−−−−
==== (4.7)
Pro bod T se dá na rovnice (4.7) přepsat na tvar )rr(cX).rcr( fTf −−−−====−−−− . Dosazením do rovnice (4) a
úpravě pak získáme zjednodušený tvar pro výpočet τ .
)rcr(
cσ.cX.2
)rcr(
cσ.cX).rcr.(2
τ
f
2
2
f
2
f
−−−−
====
−−−−
−−−−
==== (4.8)
Ukázkový příklad:
Mějme portfolio C kde cσ = 20% a frcr −−−− = 5%. Jak velké bude τ ?
c
160.X
5
.400c2.X
5
.20c2.X 2
============τ
4.1.3 Ekvivalent výnosnosti
Člen iu si můžeme představit jako ekvivalent výnosnosti libovolného portfolia, ležící na investorově
křivce indiference I. Portfolio T na obr. 12 je investorem stejně žádoucí jako portfolio s očekávanou
výnosností iu a žádným rizikem. To znamená takové, které poskytne tuto výnosnost s jistotou. Potom
tento ekvivalent jistoty bude:
2
ppi σ.
τ
1
ru −−−−==== (4.9)
Uvažujme hypotetické portfolio, které bude mít výnosnost pr = 10%, pσ = 8% a hodnota tolerance
rizika τ = 50. Potom: 8,72%1,2810
50
64
10.σ
τ
1
ru 2
ppi ====−−−−====−−−−====−−−−====
Ekvivalentně bude pokuta za riziko 1,28%
50
64
==== . Z uvedeného příkladu je vidět, že čím větší bude τ tím větší
bude i hodnota iu . Stejně tak, bude-li pσ co nejmenší
4.1.4 Výpočet očekávaných výnosností a směrodatných odchylek portfolií
Předchozí část nastínila problém výběru portfolia, se kterým se setkává každý investor. Markowitzův
přístup je jednou z metod řešení tohoto problému. Při tomto přístupu by měl každý investor
vyhodnotit alternativní portfolia na základě jejich očekávaných výnosností a směrodatných odchylek
pomocí křivek indiference. V případě investora s odporem k riziku bude pro investování vybráno portfolio,
které leží na „nejvýše vlevo“ položené křivce indiference. Zůstává však nezodpovězena otázka,
jak investor vypočítá očekávanou výnosnost a směrodatnou odchylku portfolia.
a) Očekávaná výnosnost portfolia
Při Markowitzově přístupu k investování se každý investor soustřeďuje na konečný kapitál K1.
Z toho vyplývá, že každý investor se rozhoduje jakým způsobem použije svého počátečního kapitálu
K0 k nákupu cenných papírů do portfolia, nebo nákupu portfolia, které má již svoje složení z cenných
23
papírů. Jak víme z předcházejícího, portfolio se skládá z kolekce cenných papírů, a tedy každý cenný
papír přinese do portfolia svoji očekávanou výnosnost a také svoje riziko změny výnosnosti po dobu
držení portfolia. Stejně důležité bude i to, jaký podíl (váhu) bude mít každý z těchto cenných papírů
v daném portfoliu. Pro výpočet očekávané výnosnosti portfolia se použijí očekávané výnosnosti jednotlivých
cenných papírů, které toto portfolio tvoří. Na příkladu si ukážeme jakým způsobem lze výnosnost
portfolia z tří cenných papírů vypočítat. Tento výpočet lze zobecnit i na daleko větší kolekci
cenných papírů v daném portfoliu. Abychom si ukázali, jak očekávaná výnosnost portfolia závisí na
očekávané výnosnosti jednotlivých cenných papírů a jejich podílu v portfoliu si uvedeme příklad:
Ukázkový příklad:
Mějme vybrané 3 cenné papíry s jejich počáteční tržní hodnotou a jejich očekávanou výnosností na konci držení
portfolia (nebudeme uvažovat jejich rizika změny výnosnosti). Nechť investor má počáteční kapitál K0 ve výši
718 833 Kč.
Název cenného papíru Tržní cena cenného papíru
TCi
Výnosnost cenného papíru
ri v %
1CP 456 4,5
2CP 3 255 3,1
3CP 715 6,1
Tab. 8: Hodnoty cenných papírů a jejich podíly v portfoliu
Cenný papír Počet cenných papí-
rů
v portfoliu
Tržní cena
cenného papíru
Celková investice Podíl cenného
Papíru v portfoliu
(1) (2) (1)*(2)=(3) (3) /Ko
1CP 100 456 45 600 0,059367
2CP 200 3 255 651000 0,847546
3CP 100 715 71 500 0,093087
∑ 400 Ko = 768 100 1
Tab. 9: Výpočet očekávané výnosnosti portfolia na konci jeho držení
Cenný papír Počet cenných papírů
v portfoliu )r1.(KK i01 ++++====
Očekávaná hodnota W1 na konci držení
portfolia
(1) (2) (3)=(1)*(2)
1CP 100 476,52 47 652
2CP 200 3 355,905 671 181
3CP 100 758,615 75 861,50
∑∑∑∑ 400 794 694,50
0
1
p
K
0
KK
r
−−−−
==== = 0,03462 ⇒ 3,462 %
Pokud známe podíly cenných papírů v portfoliu potom můžeme očekávanou výnosnost portfolia vypočítat
jako vážený průměr očekávaných výnosností cenných papírů:
∑∑∑∑====
====
n
1i
iip rXr . (4.10)
24
kde:
pr … očekávaná výnosnost portfolia
iX … podíl i-tého cenného papíru investovaného do portfolia
ir … očekávaná výnosnost cenného papíru i
n … počet cenných papírů v portfoliu
28,9088213,2352926,1147049,558822
30,00,4411764.23,10,2647058.32,0,2941176.
3
1i
i.ip rXr
====++++++++====
====++++++++====∑∑∑∑====
====
5
Protože očekávaná výnosnost portfolia je váženým průměrem očekávaných výnosností jeho cenných
papírů, přispěje každý cenný papír svým podílem a výnosností k celkové očekávané výnosnosti portfolia.
Z uvedeného plyne, že investor, který chce jen největší možnou očekávanou výnosnost, by měl
držet pouze jeden cenný papír, a to ten, který má podle jeho názoru nejvyšší očekávanou výnosnost.Velmi
málo investorů však tvoří portfolio z jednoho cenného papíru, neboť podstupuje značné
riziko při změně jeho výnosnosti za dobu jeho držení. Proto každý investor se snaží mít v portfoliu
množinu různých rizikových cenných papírů, aby v co největší míře snížil možné riziko očekávané
výnosnosti drženého portfolia. Doposud jsme mluvili pouze o očekávané výnosnosti cenného papíru a
jeho riziku a o očekávané výnosnosti portfolia, kde jsme neuvažovali riziko změny jeho výnosnosti.
Každý cenný papír z vybrané množiny všech cenných papírů totiž přináší sebou do portfolia nejen
svoji výnosnost, ale také i svoje riziko změny výnosnosti po dobu držení daného portfolia. V další
části si vysvětlíme právě výpočet rizika takového portfolia, které se vyjadřuje jako směrodatná odchylka
tohoto portfolia.
Otázky a problémy k zamyšlení
Úloha 1.
Předpoklad : Doba držení portfolia je 1 rok. Za tuto dobu odhaduje investor očekávanou výnosnost
akcií:
Druh akcie očekávaná výnosnost ri
ČEZ 16,2
Spolana 24,6
ČKD 22,8
Hodnoty cenných papírů a portfolia:
Název CP Počet akcií Počáteční tržní cena Celková inves-
tice
Podíl na počáteční tržní hodno-
tě
ČEZ 100 40
Spolana 200 35
ČKD 100 62
Součet
Očekávaná míra zisku:
Název CP Počet akcií Očekávaná hodnota na konci Celková hodnota na konci
ČEZ 100
Spolana 200
ČKD 100
Součet
25
Očekávaná výnosnost portfolia:
Název CP Podíl na počáteční tržní hodnotě Míra zisku portfolia
ČEZ
Spolana
ČKD
Součet
Úloha:
Vypočítat výnosnosti jednotlivých akcií za dobu držení a výnosnost portfolia
4.1.5 Směrodatná odchylka
Směrodatná odchylka vyjadřuje odhad pravděpodobné odchylky skutečné výnosnosti od očekávané
výnosnosti.
Pro portfolio, které se skládá z n cenných papírů platí pro riziko změny výnosnosti (směrodatnou
odchylku):
2/1
n
1i
n
1j
ijjip σXXσ








==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
(4.11)
σσσσij … označuje kovarianci výnosností mezi cennými papíry i a j.
Xi, Xj … podíly (váhy) jednotlivých cenných papírů v portfoliu
ijσ je statistická míra vztahu mezi dvěma náhodnými veličinami a udává jak se dvě náhodné veličiny,
např. výnosnosti cenných papírů i a j, vzájemně ovlivňují. Kladná hodnota kovariance znamená, že
výnosnosti cenných papírů mají tendenci se měnit souhlasně - například lepší než očekávaná výnosnost
jednoho cenného papíru se pravděpodobně objeví současně s lepší než očekávanou výnosností
druhého cenného papíru. Jak již bylo napsáno v úvodu, s kovariancí souvisí koeficient korelace. Platí,
že kovariance mezi dvěma náhodnými veličinami je rovna jejich korelaci vynásobené součinem jejich
směrodatných odchylek:
jiijij σσρσ ==== , kde
ijρ ... korelační koeficient mezi výnosností cenného papíru i a výnosností cenného papíru j.
Korelační koeficient mění měřítko kovariance, aby zprostředkoval srovnání s odpovídajícími hodnotami
jiných dvojic náhodných veličin. Korelační koeficient leží vždy v intervalu 〉〉〉〉〈〈〈〈−−−− 1,1 . Hodnota -1
představuje dokonalou negativní korelaci a hodnota +1 dokonalou pozitivní korelaci. Většina případů
leží mezi těmito dvěma mezními hodnotami. Následující obrázek ukazuje diagram výnosností hypotetických
cenných papírů A a B v případě, že mezi těmito cennými papíry existuje dokonalá pozitivní
korelace obr. 3a, dokonalá negativní korelace obr. 3b a v posledním případě výnosnosti nekorelovaných
cenných papírů obr. 3c.
a) b) c)
Obr. 5
Výnosnost Výnosnost Výnosnost
CP B CP B CP B
Výnosnost Výnosnost Výnosnost
CP A CP A CP A
26
Ještě než si uvedeme příklad, řekneme si jakým způsobem budeme provádět dvojnásobné sčítání:
[[[[ ]]]]1/2
n1,nn1n
2
n
2
n
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
1/2
n1,nn1n
3nn334432nn2
23321nn11331
1221nnnn22221111
1/2
n
1j
njjn
n
1j
1jnj1n
n
1j
2jj2
n
1j
1jj11/2
n
1i
n
1j
ijjip
σX2XσXσXσXσX
σX2X
σX2XσX2XσX2X
σX2XσX2XσX2X
σX2XσXXσXXσXX
σXXσXX
σXXσXX
σXXσ
−−−−−−−−
−−−−−−−−
========
−−−−−−−−
========
==== ====
++++++++++++++++++++++++====
====














++++
++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++
====
====














++++++++++++
++++++++++++
====





====
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
LL
LL
LLL
L
L
Jestliže i = j, je zřejmé, že se indexy vztahují k jednomu cennému papíru. To znamená, že korelace
libovolného cenného papíru se sebou samým, bude rozptyl tohoto cenného papíru, neboť platí 1ρ11 ====
a tedy: 2
11111 σ.σ1.σσ ========
Pro ji ≠≠≠≠ platí ijji X.XX.X ==== a jiij σσ ==== . Z toho vyplývá:
jiijijjiijji σXXσXXσX2X ++++====
Výpočet rizika portfolia si opět ukážeme na příkladu tří cenných papírů, kde použijeme hodnoty z tabulky 7.
Tab. 10: Kovarianční matice vybraných cenných papírů z tab. 7
Cenný papír CP4 CP5 CP6
CP4 1810 -237,1 1,8
CP5 -237,1 1752 -172,2
CP6 1,8 -172,2 1396
Podíly (váhy) cenných papírů v portfoliu zvolme: ;0,2941176X4 ==== ;0,2647058X5 ==== ;0,4411764X6 ====
n = 3. Pro jednoduchost zvolme: X1=X4; X2=X5; X3=X6 potom:
[[[[ ]]]]
97744211,====










====
========
====





====
====












====





====
++++
++++++++++++
++++++++++++
++++
++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑
++++++++++++++++++++
++++++++++++++++
++++++++++++++++
====
++++
++++
====
++++
====
==== ====
1/2
222
1/2
233213311221
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
1/2
3333322331132332
22222112133112211111
1/2
3j
3
1j
j3
2j
3
1j
j21j
3
1j
j11/2
3
1i
ij
3
1j
jip
172,2)4.(8.0,4411762.0,264705
4.1,86.0,4411762.0,294117237,1)(8.6.0,2647052.0,294117
.13960,4411764.17520,2647058.18100,2941176
σX2XσX2XσX2XσXσXσX
σXXσXXσXXσXX
σXXσXXσXXσXXσXX
σXX
σXXσXX
σXX
-
-
σ
27
Námi provedeným výpočtem jsme zjistili, že sestavené portfolio z uvedených cenných papíru bude mít riziko
změny výnosnosti 11,977442%.
Markowitzův přístup k investování je založen na statistických metodách s předpokladem, že výnosnosti
cenných papírů jsou náhodné veličiny. Stejně jako náhodné veličiny, výnosnosti cenných papírů
(a také výnosnosti portfolií) mohou být porovnávány zkoumáním jejich statistických momentů. Markowitz
navrhl, aby se investor zajímal o dva z těchto momentů-očekávanou výnosnost a směrodatnou
odchylku výnosnosti (riziko změny výnosnosti). To znamená, že bude-li dána množina portfolií, měl
by investor nejprve stanovit očekávanou výnosnost a riziko změny výnosnosti těchto portfolií. Jestliže
investor provedl tuto analýzu, může učinit kvalifikované rozhodnutí, které z těchto portfolií nakoupit.
Toto rozhodnutí by se mělo opírat o investorovy postoje k riziku a výnosnosti, které je možno vyjádřit
jeho křivkami indiference.
4.2 Efektivní množina
V předchozí kapitole jsme uvedli jak investor postupuje při tvorbě portfolia z vybraných cenných papírů.
Otázkou ale zůstává, jak se má investor zachovat při výběru z nekonečně mnoha portfolií, neboť
z množiny n cenných papírů může investor vytvořit nekonečný počet portfolií. Uvažujme situaci společností
C4, C5, C6, kde n = 3. Investor by si mohl koupit buď jen akcie C4 nebo jen C5. Alternativně
by si mohl koupit kombinaci akcií C4 a C5, kdy do C4 by investoval například 25% a do C5 75% svého
kapitálu. Již bez uvažování investic do C6 dostáváme nekonečný počet možných portfolií, do kterých
můžeme investovat s tím, že podíly (váhy) jednotlivých aktiv mohou být z intervalu 〉〉〉〉〈〈〈〈 1000, .
Naštěstí však investor nemusí vyhodnocovat všechna tato portfolia. Klíč k tomu, proč se musí investor
zajímat jen o podmnožinu dostupných portfolií, leží ve větě o efektivní množině, která říká, že:
Investor si vybere své optimální portfolio z množiny portfolií, která:
1. nabízejí maximální očekávanou výnosnost při různých úrovních rizika
2. nabízejí minimální riziko při různých úrovních očekávané výnosnosti.
Množina portfolií, která splňují tyto dvě podmínky, je známa jako efektivní množina nebo efektivní
hranice.
Obrázek ilustruje umístění přípustné množiny, známe také jako množina příležitostí, ze které se potom
vybírá efektivní množina. Přípustná množina jednoduše reprezentuje množinu všech portfolií, která
mohou být vytvořena ze skupiny n cenných papírů. Všechna možná portfolia leží buď na hranici nebo
uvnitř hranice přípustné množiny (body označené A, B, C, D a E jsou příkladem takových portfolií).
Efektivní množina může být nyní nalezena použitím věty o efektivní množině na přípustnou množinu.
Nejprve musí být nalezena množina, která splňuje první podmínku věty o efektivní množině. Na obr.
4a vidíme, že žádné portfolio nenabízí menší riziko, než portfolio E. Neexistuje také žádné portfolio,
které by nabízelo vyšší riziko než portfolio D. Množina portfolií, která nabízejí maximální výnosnost
při různých úrovních rizika, je tedy množina portfolií, která leží na „horní“ hranici přípustné množiny
mezi body E a D. Při uvažování druhé podmínky zjistíme, že neexistuje žádné portfolio, které by nabízelo
očekávanou výnosnost vyšší než portfolio D. Podobně neexistuje žádné portfolio, které by nabízelo
očekávanou výnosnost nižší než portfolio A.
pr
rp max D
E
rp min A
pσ
σσσσp min σσσσp max
Obr. 6a Obr. 6b
Přípustná
množina
B C
28
Množina portfolií, která nabízejí minimální riziko při různých úrovních výnosnosti je tedy množina
portfolií, která leží na „levé“ hranici přípustné množiny mezi body A a D. Pro efektivní množinu však
musí platit obě podmínky. Proto efektivní množinu tvoří pouze portfolia, která leží na „levé horní“
hranici přípustné množiny mezi body E a D. Tato portfolia tvoří efektivní množinu a právě z této
množiny efektivních portfolií si bude investor vybírat své optimální portfolio. Všechna ostatní portfolia
jsou „neefektivní“ a můžeme je ignorovat. Stejně tak na obr. 4b vidíme, že žádné portfolio nenabízí
menší riziko než portfolio B a největší riziko než portfolio D. Jenomže portfolio D v tomto případě
má menší výnosnost než portfolio A, které skýtá při menším riziku maximální výnosnost. Tudíž efektivní
množinu nám tvoří portfolia ležící na efektivní množině mezi portfolii A a B. Ostatní portfolia
budou pro investora neefektivní.
4.2.1 Výběr optimálního portfolia
Jak investor provede výběr optimálního portfolia? Jak je vidět na obr. 5, investor by měl nakreslit své
křivky indiference do stejného obrázku jako efektivní množinu a potom vybrat takové portfolio, které
leží na křivce indiference, jež je umístěna „nejvýše vlevo“. Toto portfolio bude odpovídat bodu, kde se
křivka indiference právě dotýká efektivní množiny. Jak je z obrázku vidět, je to portfolio D, ležící na
křivce indiference I2. Investor by sice ještě více preferoval portfolia na křivce indiference I1, ale žádná
taková neexistují. Jak daná křivka indiference ukazuje, investor s vysokým odporem k riziku vybere
portfolio blízko bodu D nebo přímo v bodu D a investor, který má jen mírný odpor k riziku,
pr pr I1
I2
I1 I2 I3 I3
B D B
D
A C A C
pσσσσ pσσσσ
Obr. 7 Obr. 8
pr
I1
G I2
B
I3
A C
pσσσσ
Obr. 9
29
vybere portfolio blízko bodu G na indiferentní křivce I2 nebo přímo bod D na této indiferentní křivce
obr. 7.
4.2.2 Konkávnost efektivní množiny
I když na grafech obr. 7 – 9 jsme předpokládali, že každá efektivní množina je konkávní, budeme
uvažovat úlohu kde si zobrazíme takovýto graf z investic do dvou cenných papírů, a toto tvrzení si
dokážeme.
Mějme následující úlohu, kdy investor uvažuje všechna možná portfolia, která by mohl nakoupit kombinováním
těchto dvou cenných papírů :
Tab. 11 Tabulka hypotetických výnosů a rizik cenných papírů a jejich podílů v portfoliu
Cenný papír výnosnost riziko
1C 0,05 0,20
2C 0,15 0,40
Váhy/Portfolia A B C D E F G
1X 1 0,83 0,67 0,5 0,33 0,17 0
2X 0 0,17 0,33 0,5 0,67 0,83 1
pr 0,05 0,067 0,083 0,1 0,117 0,133 0,15
pσσσσ pro 1====ρρρρ 0,2000 0,2340 0,2660 0,3000 0,3340 0,3660 0,4000
1−−−−====ρρρρ 0,2000 0,0980 0,0020 0,1000 0,2020 0,2980 0,4000
2,0====ρρρρ 0,2000 0,1916 0,2060 0,2408 0,2885 0,3404 0,4000
Obr. 10
Konkávnost efektivní množiny
0,2340; 0,067
0,2660; 0,083
0,4000; 0,150,4000; 0,15
0,3000; 0,1
0,3340; 0,117
0,3660; 0,133
0,2000; 0,05
0,0020; 0,083
0,2020; 0,117
0,2980; 0,133
0,1000; 0,1
0,0980; 0,067
0,4000; 0,15
0,2885; 0,117
0,3404; 0,133
0,1916; 0,067
0,2060; 0,083
0,2408; 0,1
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500
Riziko portfolia
Výnosnostportfolia
1====ρρρρ
1−−−−====ρρρρ
2,0====ρρρρ
30
Z obr. 10 vidíme, že při volbě koeficientu korelace +1 a -1 obdržíme hranice přípustné množiny a při
další volbě korelačního koeficientu )1;1( ++++−−−−∈∈∈∈ρρρρ obdržíme množinu konkávních křivek, které leží
uvnitř zobrazeného trojúhelníku. Bude-li se blížit ρρρρ k hodnotě jedna budou se konkávní křivky blížit
k levé hranici tohoto trojúhelníku a naopak.
4.3 Bezrizikové investování
Definování bezrizikového aktiva:
Co je přesně bezrizikové aktivum v kontextu Markowitzova přístupu? Protože tento přístup používá
investování na jednu dobu držení, znamená to, že výnosnost bezrizikového aktiva fr je jistá. Protože o
konečné hodnotě bezrizikového aktiva není žádná pochybnost (výnosnost může být ovlivněna pouze
mírou inflace, je směrodatná odchylka (riziko) fσ bezrizikového aktiva rovna nule, což znamená, že
kovariance mezi výnosností bezrizikového aktiva a výnosností libovolného rizikového aktiva je rovna
nule. Za bezrizikové aktivum může být považován státní pokladniční cenný papír s dobou splatnosti,
která přesně odpovídá době držení portfolia investorem (státní pokladniční poukázky na pokrytí rozpočtu
začátkem roku, většinou s dobou splatnosti za tři měsíce). Předpokládejme, že investor nakoupí
pokladniční cenný papír splatný za rok. Takový cenný papír je však rizikový, neboť investor nic neví o
tom jaká bude jeho tržní cena za tento rok, tedy na konci jeho držení. Protože přítomnost takovéhoto
cenného papíru, vzhledem k nepředvídatelné změně jeho tržní ceny za tak dlouhou dobu držení, kdy
jeho výnos v době splatnosti je nejistý, nemůže být tento cenný papír bezrizikovým aktivem.
Z předcházejících úvah víme, že kovariance mezi libovolnými cennými papíry i a j je rovna součinu
koeficientu korelace mezi danými aktivy a směrodatných odchylek (rizik) těchto cenných papírů.
Tedy: jiijij σ.σ.ρσ ==== . Protože 0fσ ==== potom i 0ijσ ==== . Po zavedení bezrizikového aktiva je investor
nyní schopen vložit část svého kapitálu do tohoto aktiva a zbytek do libovolného z rizikových portfolií
v přípustné množině. Přidání těchto nových příležitostí rozšiřuje významně přípustnou množinu a co je
důležitější, mění umístění části Markowitzovy efektivní množiny.
4.3.1 Investování do bezrizikového aktiva a do rizikového
aktiva
Předpokládejme opět tři akci C1, C2, C3, jejichž očekávané výnosnosti a kovariance jsou následující:










====
8,22
6,24
2,16
ri








====σσσσ
289104145
104854187
145187146
ij
Bezrizikové aktivum bude mít výnosnost rf = 4%
Po definování bezrizikového aktiva jako cenného papíru C4 budeme uvažovat všechna portfolia,
která využívají investování do kmenové akcie C1 s výnosností 2,16r1 ==== a do bezrizikového aktiva.
Nechť X1 označuje proporci investorových fondů do C1 a X4 = 1 - X1 nechť označuje proporci investovanou
do bezrizikového aktiva. Kdyby investor vložil veškeré své peníze do bezrizikového aktiva,
potom by bylo X1 = 0 a X4 = 1. Sestavme pět následujících portfolií:
Tab. 12
Xi / Pi P1 P2 P3 P4 P5
X1 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
X4 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00
31
Za předpokladu, že bezrizikové aktivum má výnosnost, kterou budeme značit rf = 4%, můžeme vypočítat
očekávané výnosnosti a směrodatné odchylky těchto portfolií. Pro výpočet očekávané výnosnosti
použijeme již známou rovnici:
∑∑∑∑====
====
n
1i
iip r.Xr
A pro výpočet směrodatných odchylek použijeme rovnici:
2/1n
1i
ij
n
1i
jip .X.X 





σσσσ====σσσσ ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
Vypočítané údaje uvedeme v následující tabulce:
Tab. 13
Portfolio X1 X4 Očekávaná výnosnost Směrodatná odchylka
P1 0,00 1,00 4,00 0,00
P2 0,25 0,75 7,05 3,02
P3 0,50 0,50 10,10 6,04
P4 0,75 0,25 13,15 9,06
P5 1,00 0,00 16,20 12,08
Tato portfolia jsou nakreslena na obr. 11. Na tomto obrázku je vidět, že všechna portfolia leží na přímce,
která spojuje body reprezentující umístění bezrizikového aktiva P5 a P1.
pr
,
16,20 P5
13,15 P4
10,10
P3
7,05 P2
4 P1
pσ
3,02 6,04 9,06 12,08
Obr.11
4.3.2 Investování do bezrizikového aktiva a rizikového
portfolia
Dále uvažujme, co se stane, když portfolio tvořené více než jedním rizikovým cenným papírem je
kombinováno s bezrizikovým aktivem. Uvažujme například rizikové portfolio, které sestává z cenných
papírů A a C například v poměru 0,80 a 0,20. Jeho očekávaná výnosnost (označená ACPr ) a směrodatná
odchylka (označená ACPσ ) jsou rovny:
ACPr = 17,52%, ACPσ = 12,30%
Libovolné portfolio, které je tvořeno investicí jak do ACP tak do bezrizikového aktiva, bude mít očekávanou
výnosnost a směrodatnou odchylku, které mohou být vypočítány stejným způsobem, jaký byl
předtím ukázán pro kombinaci jednotlivého rizikového aktiva a bezrizikového aktiva. To znamená, že
portfolio, které je zastoupeno podílem ACPX investovanou do portfolia ACP a podíl ACP4 X1X −−−−==== do
32
bezrizikového aktiva, bude mít očekávanou výnosnost a směrodatnou odchylku, které jsou po řadě
rovny:
4.X52,17.Xr 4Pp AC
++++==== a 30,12.Xσ ACPp ====
Uvažujme investici do portfolia, které je tvořeno portfoliem ACP a bezrizikovým aktivem v poměru
0,25 a 0,75. Toto portfolio bude mít očekávanou výnosnost a směrodatnou odchylku:
%38,7rp ==== %075,3p ====σσσσ
Na obr. 9 vidíme,že toto portfolio leží na přímce spojující bezrizikové aktivum a portfolio ACP . Na
přímce je označeno bodem P. Další portfolia tvořená různými kombinacemi portfolia ACP a bezrizikového
aktiva budou také ležet na této přímce a jejich přesná poloha bude záviset na proporcích investovaných
do ACP a bezrizikového aktiva. Bude-li podíl investovaný do rizikového portfolia větší,
blížící se k 1, než podíl investovaný do bezrizikové aktiva, bude se i bod P na přímce blížit k bodu PAC
a naopak.
pr
C
ACP
A
P
rf = 4%
Obr. 12 pσ
Na závěr můžeme říci, že kombinování bezrizikového aktiva s rizikovým portfoliem se v ničem neliší
od kombinování bezrizikového aktiva s jednotlivým rizikovým cenným papírem. V obou případech
výsledné portfolio leží na přímce, která spojuje bod s výnosem bezrizikové investice a jeho nulovým
rizikem s bodem, který odpovídá výnosnosti a riziku portfolia, ležícím na efektivní množině se svou
očekávanou výnosností a směrodatnou odchylkou.
4.3.3 Vliv bezrizikové investice na efektivní množinu
Jak jsme se již zmínili, přípustná množina se zavedením bezrizikové investice významně změnila.
pr
C
T
M
P
A
R = rf
pσ
Obr. 13
Na obr. 13 vidíme jak se změnila přípustná množina. Všimněme si existence dvou hranic této přípustné
množiny, kterou tvoří přímka, spojující bezrizikové aktivum s rizikovým cenným papírem C a
přímka spojující bezrizikové aktivum s tečným bodem T na efektivní množině. Tento bod T označuje
rizikové portfolio z této efektivní množiny. Neexistuje však žádné jiné portfolio, které by po spojení
přímkou s bezrizikovým aktivem leželo od něho "výše vlevo" . Ze všech přímek, které vycházejí z
bezrizikového aktiva a končí v libovolném bodu efektivní množiny, nesvírá větší úhel s osou pσ (neEfektivní
množina
Efektivní množina
33
má větší směrnici) než ta, která prochází tečným bodem T. Nová efektivní množina je potom tvořena
polopřímkou danou bodem R a bodem T a také křivkou spojující bod T a C. Například portfolia A a
M jsou pro investora neefektivní, jestliže je možno investovat do bezrizikového aktiva. Dále je vidět,
že se investor může rozhodnout investovat svůj kapitál do bezrizikové investice a do portfolia T, nebo
investovat pouze do rizikových portfolií mezi body T a C podle jeho postoje k riziku. Portfolio, které
se nachází v tečném bodu T, nazýváme tangenciální portfolio, neboť směrnice přímky je rovna tangentě
úhlu, kterou svírá přímka s osou pσ .
pr
I1
I1 I2 D C I2
T
M
P
A
R=rf
pσ
Obr. 14
Na obr. 14 vidíme jak by se měl chovat investor při výběru optimálního portfolia v závislosti na jeho
křivkách indiference. Investor s velkým odporem k riziku bude investovat do portfolia P, ležící na
spojnici bodu R a T. Svůj počáteční kapitál bude zčásti investovat do bezrizikového aktiva a zčásti do
tangenciálního portfolia. Pokud bude mít investor menší, nebo malý odpor k riziku, potom počátečný
kapitál bude investovat do rizikových portfolií a vůbec nevyužije bezrizikovou investici. Se svými
portfolii se bude pohybovat mezi bodem T a C (na obr. 11 jde o bod D na křivce) .
4.3.4 Odhadování tolerance rizika
Každý investor by rád identifikoval všechny křivky indiference, které odpovídají postoji k riziku a
očekávané výnosnosti. V běžné praxi se však spokojíme s mírnějším požadavkem, a to, získat představu
o těchto křivkách indiference v pravděpodobné oblasti rizika a očekávané výnosnosti, kam nejspíše
bude směřovat investorova optimální volba. Body na obr. 12 představují portfolia, z kterých investor
vybírá svoje optimální portfolio. Křivka FTC ukazuje charakteristiku rizika a výnosnosti všech možných
portfolií a bod T označuje portfolio zvolené investorem. Za předpokladu, že z možných portfolií
bylo vybráno portfolio T, lze říci, že směrnice křivky indiference, dotýkající se efektivní množiny,
bude rovna směrnici křivky FTC v bodu T. Jak jsme již dříve uvedli, bod dotyku křivky indiference je
bodem zvoleného optimálního portfolia investorem na efektivní množině. Výběr portfolií a bezrizikového
aktiva nám dává určitou informaci o křivce indiference, pouze však pro jediný bod. Pro překonání
tohoto omezení můžeme učinit předpoklad, že v rozsahu alternativních portfolií v okolí daného
bodu, má investor konstantní toleranci rizika (neutrální postoj k riziku).
pr
C
T
ui
F
Obr. 15 pσσσσ
Efektivní množina
34
Na obr. 15 je možno vidět podstatu tohoto předpokladu. Na obr. 16a jsou zakresleny křivky indiference,
kdy vodorovnou osou je rozptyl portfolia 2
pσ . To znamená, že křivky indiference jsou přímky, máli
investor konstantní toleranci rizika. Potom daná rovnice bude mít tvar:
2
pip σ.kur ++++==== (4.4)
kde: ui je úsek na ose výnosnosti portfolia pr
k je směrnice dané přímky
Tuto rovnici můžeme též zapsat ve tvaru:
2
pip σ
τ
1
ur ++++==== (4.5)
kde: iu je úsek , kterou utíná směrnice křivky indiference na ose výnosnosti pr
τ
1
je směrnice křivky indiference I
Na obr. 13b si můžeme všimnout, že křivky indiference se navzájem liší o hodnotu úseku na ose pr .
Pokud zakreslíme křivky indiference do souřadnicových os pσ , pr budou tyto křivky konvexní. Jak
bylo dříve uvedeno, bude směrnice křivek indiference
τ
1
rovna směrnici efektivní množiny v místě
zvoleného portfolia, které jsme označili jako portfolio T. Potom pro odhad hodnoty τ platí:
2
fc
2
cfT
)rr(
σ).rr.(2
τ
−−−−
−−−−
==== (4.6)
kde:
Tr - očekávaná výnosnost portfolia, které si investor zvolil
cr - očekávaná výnosnost portfolia C
fr - očekávaná výnosnost bezrizikového aktiva
2
cσ - rozptyl portfolia C
pr pr
I1
I2 I1
I2
15 I3 15
10 10 I3
5 5
2
pσ pσ
10 20 30 10 20 30
a) b)
Obr. 16
Důkaz:
Vycházíme z předpokladu, že jakékoliv dvě investorovi křivky indiference budou mít stejné směrnice.
Abychom mohli odhadnout investorovu toleranci rizika τ potom bude směrnice křivek indiference
τ
1
rovna směrnici tečny k efektivní množině v bodu T, kde se tyto křivky indiference dotýkají efektivní
množiny. Nechť cX je proporce investovaná do portfolia akcií C a (1- cX ) je proporce investovaná
do bezrizikového aktiva. Víme, že očekávaná výnosnost portfolia je: fp r).cX1(cr.cXr −−−−++++==== kde:
cr - výnosnost portfolia C
fr - výnosnost bezrizikového aktiva
35
Z dané rovnice vypočítáme proporce (podíl, váhu) cX investované do portfolia C.
f
fp
rcr
rr
cX
−−−−
−−−−
==== (4.7)
Rozptyl portfolia bude: f
2
f
2222
p cσ).cX1.(cX.2σ.)cX1(cσ.σ cX −−−−++++−−−−++++====
kde 2
cσ - rozptyl portfolia
2
fσ - rozptyl bezrizikového aktiva, které je však rovno nule, stejně jako kovariance fcσ bezrizikového
aktiva s portfoliem C. Potom se tato rovnice redukuje na tvar: 222
p cσ.σ cX==== . Za proporci cX
do této rovnice dosadíme (4.7):
2
2
f
2
fp
c
σ.
)rcr(
)rr(
σ2
p
−−−−
−−−−
==== (4.8)
Tato rovnice popisuje funkční závislost mezi očekávanou výnosností a rozptylem libovolného portfolia,
které se dá vytvořit kombinací portfolia C a bezrizikové investice. To znamená, že pro takové
konkrétní portfolio z C a bezrizikového aktiva bude mít očekávanou výnosnost pr . To nám umožňuje
pomocí diferenciálního počtu určit směrnici křivky, která spojuje portfolio C s bezrizikovou investicí.
Pro zjednodušení výpočtu můžeme tuto směrnici určit derivováním
p
2
p
rd
σd
, neboť platí
p
2
p
2
p
p
rd
σd
1
σd
rd
==== .Takže směrnice této přímky k
bude: 2
fp
2
f
cσ).rr.(2
)rcr(
k
−−−−
−−−−
==== (4.9)
Jestliže si uvědomíme, že portfolio, ležící na křivce spojující bezrizikovou investici a portfolio C, je
tangenciální portfolio T, potom směrnici přímky v tomto bodu obdržíme dosazením hodnoty Tr za
pr do (4.9).
2
fT
2
f
cσ).rr.(2
)rcr(
τ
1
−−−−
−−−−
====
Z uvedené rovnice pak vypočítáme τ .
Potom: 2
f
2
fT
)rcr(
cσ).rr.(2
τ
−−−−
−−−−
==== (4.10)
Pro bod T se dá rovnice (4.7) přepsat na tvar )rr(cX).rcr( fTf −−−−====−−−− . Dosazením do rovnice (4.10) a
úpravě pak získáme zjednodušený tvar pro výpočet τ .
)rcr(
cσ.cX.2
)rcr(
cσ.cX).rcr.(2
τ
f
2
2
f
2
f
−−−−
====
−−−−
−−−−
==== (4.11)
Ukázkový příklad:
Mějme portfolio C kde cσ = 20% a frcr −−−− = 5%. Jak velké bude τ ?
c
160.X
5
.400c2.X
5
.20c2.X 2
============τ
36
Ekvivalent výnosnosti
Člen iu si můžeme představit jako ekvivalent výnosnosti libovolného portfolia, ležící na investorově
křivce indiference I. Portfolio T na obr. 15 je investorem stejně žádoucí jako portfolio s očekávanou
výnosností iu a žádným rizikem. To znamená takové, které poskytne tuto výnosnost s jistotou. Potom
tento ekvivalent jistoty bude:
2
ppi σ.
τ
1
ru −−−−==== (4.12)
Ukázkový příklad:
Uvažujme hypotetické portfolio, které bude mít výnosnost pr = 10%, pσ = 8% a hodnota tolerance
rizika τ = 50. Potom: 8,72%1,2810
50
64
10.σ
τ
1
ru 2
ppi ====−−−−====−−−−====−−−−====
Ekvivalentně bude pokuta za riziko 1,28%
50
64
==== . Z uvedeného příkladu je vidět, že čím větší bude
τ tím větší bude i hodnota iu . Stejně tak, bude-li pσ co nejmenší.
4.3.5 Umožnění různých sazeb pro zapůjčování a vypůjčování
Jak jsme již dříve uvedli investor může investovat svůj kapitál z části do bezrizikové investice a z
části do portfolia T podle investorova odporu k riziku. Předpokládejme, že si investor může vypůjčit
kapitál za stejnou úrokovou sazbu jako má bezriziková investice. I tento kapitál můžeme považovat za
bezrizikovou investici, neboť úroková sazba z úvěru se po dobu držení portfolia nebude měnit a investor
předpokládá placení úroků a vrácení tohoto úvěru po realizaci portfolia. Na obr. 14 vidíme, že
přímka f pokračuje dále podle toho jaký kapitál je ochoten si investor na zakoupení rizikových aktiv
vypůjčit. Bude-li se výběr portfolia pohybovat po dané přímce vpravo, vidíme, že i riziko změny výnosnosti
portfolia, které podstupuje investor se bude zvětšovat. To znamená, že investor bude investovat
vlastní a vypůjčený kapitál do rizikového portfolia fT na efektivní množině s očekáváním, že výnosnost
tohoto portfolia nahradí podstoupené riziko této investice. Nyní předpokládejme, že vypůjčování
a zapůjčování bylo možné za bezrizikovou sazbu vr . Výsledná efektivní množina by byla přímka
v, která prochází body v2 rR ==== a bodem vT . Portfolio vT , jak je vidět z uvedeného grafu (obr. 14),
leží na Markowitzově efektivní množině nad portfoliem fT , neboť odpovídá bodu dotyku odpovídajícímu
vyšší bezrizikové sazbě. Protože si investor nemůže vypůjčit za bezrizikovou sazbu fr , ta část
přímky, která vychází z bezrizikové sazby fr a pokračuje za bodem (portfoliem) fT není investorovi
dostupná a můžeme ji z grafu vypustit. Protože si dále nemůže investor půjčovat za bezrizikovou sazbu
vr , ta část přímky v, která vychází z bezrizikové sazby vr a prochází bodem vT , ale leží vlevo od
tohoto bodu, nemůže investor na této části efektivní množiny investovat. Tuto část přímky můžeme z
grafu taktéž odstranit. Tím získáme efektivní množinu, která se bude skládat ze tří částí. První část
(segment) tvoří polopřímka vycházející z bodu f1 rR ==== a končící v bodu fT . Tato přímka odpovídá
investování do bezrizikového aktiva a rizikového portfolia fT podle investorovi postoje k riziku. Druhou
část tvoří křivka, vycházející z bodu fT do bodu vT , která odpovídá kombinacím dvou různých
rizikových portfolií fT a vT . Třetí část tvoří přímka nad bodem vT , kdy investor za svůj a vypůjčený
kapitál investuje do portfolia vT (obr. 15).
37
pr f
v
vT C
fT = M MM
v2 rR ==== P
A
f1 rR ====
pσ
Obr. 14a
Obr. 14b
pr
v
Tv C
Tf
r2 = rv M
A
r1 = rf
pσ
Obr. 15
5. Algoritmus hledání optimálního portfolia
a) Formulace úlohy
Účelová funkce
Nejdříve musíme zvolit účelovou funkci, jejíž extrém budeme chtít nalézt. Máme v podstatě dvě možnosti,
které vycházejí z výše uvedených pojetí množiny efektivních portfolii.
První možností je maximalizovat očekávaný výnos portfolia. V tom případě budeme maximalizovat
funkci
Efektivní množina
Efektivní množina
38
∑∑∑∑
====
====
n
1i
iip rXr
Nevýhodou tohoto postupu je skutečnost, že pro tento typ úloh neexistuje obecně vhodná metoda jejich
řešení. Ani rozepsáním nutných podmínek nedostaneme soustavu rovnic, která by byla přijatelným
způsobem analyticky řešitelná.
Druhou možností je minimalizovat riziko změny výnosu portfolia. Pak musíme minimalizovat funkci
∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
====
n
1i
n
1j
ijji
2
p σXXσ
Tím minimalizujeme rozptyl náhodné veličiny popisující výnos portfolia. Jak jsme již dříve ukázali,
minimum funkce (((( ))))Xσp
r
nastane ve stejném bodě jako minimum funkce (((( ))))Xσ2
p
r
a hodnota tohoto
minima bude druhá odmocnina z hodnoty minima funkce (((( ))))Xσ2
p
r
.
b) Omezující podmínky
Dalším krokem je stanovení omezujících podmínek, které vyplývají z požadavků, které na portfolio
klade investor.
1. podmínka
Jednou z obvyklých podmínek při sestavování portfolia je požadavek, aby se součet relativních
podílů jednotlivých cenných papírů v portfoliu rovnal jedné (100 %). Tato podmínka zaručuje, že investor
při tvorbě portfolia využije právě částku pro tento účel stanovenou 1X
n
1i
i ====∑∑∑∑
====
.
2. podmínka
Investor také může mít zvláštní požadavky na váhy jednotlivých cenných papírů.
Xi ≥≥≥≥ 0, i =1,2,...,n. Tato podmínka zakazuje provádění operace sell short.
c) Sell short (Sale Short, prodej nakrátko nebo krátký prodej)
V předchozí části jsme se seznámili s pojmem bezriziková půjčka. Pokud dostane investor od nějaké
bankovní či nebankovní instituce úvěr, nakoupí za tuto hotovost cenné papíry, které mu během trvání
portfolia přinesou výnos větší, než by byl výnos z držby vypůjčeného bezrizikového aktiva.
V okamžiku realizace portfolia investor obvykle smění část aktiv z jím drženého portfolia zpět za původně
vypůjčené bezrizikové aktivum. Toto aktivum potom investor vrátí subjektu, od něhož si bezrizikové
aktivum vypůjčil.Existuje možnost, aby si investor do svého portfolia nepůjčoval bezrizikové
aktivum, ale aby si rovnou vypůjčil aktiva, v okamžiku vzniku portfolia takto vypůjčené cenné papíry
prodal a v okamžiku realizace portfolia tyto cenné papíry koupil zpět a vrátil aktiva tomu, od koho si
je půjčil. Z takto půjčených cenných papírů musí investor po dobu trvání portfolia hradit veškeré důchody
(např. dividendy), na které má nárok subjekt, od něhož si investor cenné papíry vypůjčil.Samotný
termín sell short cenného papíru označuje v burzovní praxi obchod, kdy spekulant na
burze očekává pokles tržní ceny tohoto cenného papíru. Proto se spekulant domluví s partnerem, který
má k dispozici tento cenný papír, aby mu část těchto cenných papírů zapůjčil s tím, že je v přesně definovaném
termínu vrátí zpět.Nejčastějším partnerem pro provádění sell short je obchodník s cennými
papíry (tzv. broker). Ten má většinou tyto cenné papíry pouze ve správě, jejich majitelem je někdo
jiný. Proto žádá broker majitele cenných papírů o svolení prodat majitelovy cenné papíry formou sell
short. Pokud majitel souhlasí, broker prodá cenné papíry na kapitálovém trhu a získanou hotovost (či
spíše jen její část) dá k dispozici investorovi. Investor za tyto peníze nakoupí cenné papíry do svého
portfolia a za nějakou předem sjednanou dobu vrátí investor cenné papíry brokerovi (a tedy majiteli
39
cenných papírů).Sell short je věšinou záležitost velmi drahá, neboť je nutno platit poplatky za zprostředkování
brokerovi, a navíc nedostává investor obvykle k dispozici celou částku za cenné papíry
prodané formou sell short, ale jen její část. Zbytek zůstává u brokera jako zajištění. Přesto má sell
short v teorii portfolia velký význam, neboť může pomoci dosáhnout menšího rizika změny očekávaného
výnosu portfolia, ačkoliv kvůli velkým finančním nákladům sell short zpravidla neumožňuje
zvýšit očekávaný výnos portfolia.
Schéma použití sell short při správě portfolia
Vznik portfolia Realizace portfolia
Období trvání portfolia
t
3. podmínka
2
p
n
1i
n
1j
ijji XX σσσσ====σσσσ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
Touto podmínkou stanoví investor maximální riziko pσσσσ , které je ochoten podstoupit. Optimální portfolio
je takové, které má maximální výnos při stanoveném riziku změny výnosu. Tato podmínka má
samozřejmě smysl pouze v případě, když si za účelovou funkci zvolíme (((( ))))Xrp
r
a omezující podmínkou
by pak byla funkce 2
p
n
1i
n
1j
ijji XX σσσσ====σσσσ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
4. podmínka
Častou podmínkou také bývá stanovení požadovaného výnosu pr , kterého musí portfolio dosáhnout.
p
n
1i
ii rrX ====∑∑∑∑====
Optimalizace portfolia potom spočívá v nalezení takového portfolia, které dosahuje požadovaný výnos
s minimálním rizikem. Je zřejmé, že účelová funkce musí v tomto případě být (((( ))))Xσ2
p
r
.
5.1 Postup řešení optimalizační úlohy
Z již dříve uvedených důvodů si pro výpočet za účelovou funkci volíme (((( ))))Xσ2
p
r
. Optimální portfolio je
tedy řešením minimalizační úlohy s kvadratickou účelovou funkcí a lineárními omezeními, které tvoří
jednotlivé podmínky kladené na vlastnosti portfolia.
1. Investor si určí, jaké CP prodá
formou SS a najde ekonomický
subjekt, který mu CP půjčí pro provedení
SS
2. Takto získané CP prodá-provede
SS
3. Za získanou hotovost nakoupí pro
něj potřebné CP
1. Investor CP, které byly nakoupeny
pomocí SS prodá
2. Za utrženou hotovost nakoupí CP,
které musí vrátit tomu kdo mu je
půjčil (brokerovi, majiteli CP)
3. Investor vrátí CP
40
Langrangeova funkce
Minimalizační úlohu přepíšeme do následujícího tvaru:
(((( ))))
(((( )))) m...,2,1,i ========
→→→→
,0Xf
MINXf
i
0
r
r
K takto zapsané minimalizační úloze vytvoříme Lagrangeovu funkci:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))∑∑∑∑====
========
n
0i
ii Xf,,XLXL
rrr
λλλ 0 , kde (((( ))))n1 λ,...,λλ ====
r
.
Čísla nλ,...,λ,λ 10 se nazývají Lagrangeovy multiplikátory (násobitelé).
Pro vyhledání extrému využijeme pravidla Lagrangeových multiplikátorů, které říká, že pokud je v
bodě lokální extrém, pak existují Lagrangeovy multiplikátory, ne všechny současně rovny nule, pro
něž platí
(((( )))) 0
X
XL
i
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
pro n1,2,...,i ==== . Tento výraz tvoří nutné podmínky pro existenci extrému.
Při praktických úlohách se mlčky předpokládá, že 0λ0 ≠≠≠≠ , protože k tomu stačí, aby vektory prvních
derivací omezujících podmínek (((( )))) (((( ))))Xf,...,Xf m1
rr
byly lineárně nezávislé.
Aby platilo, že bod extrému je bodem minima, musí platit určité podmínky, které se nazývají postačující
podmínky pro existenci minima. My se můžeme spokojit s konstatováním, že tyto podmínky platí,
pokud je matice kvadratické formy [[[[ ]]]]ijcC ==== , pro jejíž prvky platí
(((( ))))
ji
2
ij
XX
XL
a
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
r
, pozitivně definitní.
Sylvestrova věta definuje čtvercovou symetrickou matici [[[[ ]]]]ijcC ==== řádu n jako pozitivně definitní,
pokud jsou determinanty 0Dii >>>> pro všechna n,...,1i ==== .
Matice [[[[ ]]]]ijcC ==== je kladně definitní (semidefinitní), jestliže hlavní minory (subdeterminanty),(to znamená
minory, které dostáváme postupným zvětšováním minorů na hlavní diagonále počínaje prvkem
2
111 σσσσ====σσσσ ) jsou všechny kladné.(nezáporné). Potom C je též kladně definitní (semidefinitní). Potom
definitní (semidefinitní) kvadratická forma je konvexní (ryze konvexní) funkcí pro všechny hodnoty
).X,,X,X,X(X n321 L
r
====
333231
232221
131211
i
aaa
aaa
aaa
D ====
,
aa
aa
.)1(D,
aa
aa
.)1(D
3331
131122
22
3332
232211
11
++++++++
−−−−====−−−−==== atd.
Kde 11
)1( ++++
−−−− je algebraický doplněk a
3332
2322
aa
aa
je minor (subdeterminant
U daného problému by bylo potřebné podrobněji popsat metodu kvadratického programování a
podrobně popsat podmínky, které řešení tohoto problému umožňují.
Při řešení praktických úloh za účelovou funkci volíme (((( ))))Xσ2
p
r
. S takto zvolenou účelovou funkcí a
lineárními omezujícími podmínkami obdržíme matici A tohoto tvaru:
41














σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
====
nnnn
n
n
21
22221
11211
.2.2
.2.2.2
.2.2.2
C
L
MMMM
L
L
Z předcházejících kapitol též víme, že 2
iii σσσσ====σσσσ a jiij σσσσ====σσσσ .
Soustava rovnic
Rozepsáním nutných podmínek získaných pomocí pravidla Lagrangeových multiplikátorů a zapsáním
vedlejších podmínek získáme soustavu n + m rovnic o n + m neznámých, kde n je počet cenných
papíru, ze kterých portfolio sestavujeme a m je počet omezujících podmínek, které vyplývají z požadavků
kladených na portfolio.
Řešení této soustavy bude optimálním složením portfolia s požadovanými vlastnostmi.
5.2 Wolfova metoda
Patrně nejznámějším výpočetním postupem pro řešení úloh kvadratického programování je Wolfova
metoda. Její předností je to, že se opírá jen o mírně pozměněnou simplexovou metodu lineárního programování,
ale její nevýhodou je, že se při ní značně zvětší počet proměnných.
Maximalizujeme funkci
(((( )))) XCXβXRαXf TT
rrrrr
−−−−====
kde [[[[ ]]]]n21 r,...,r,rR ====
r
a 0>>>>α , 0>>>>β , 1====++++ βα jsou zvolené váhy, vyjadřující důležitost, jaká se
přikládá výši účelové funkce (koeficient α) a spolehlivosti rozhodnutí (koeficient β).
V případě zvolení účelové funkce (((( ))))Xσ2
p
r
můžeme psát
(((( )))) XCX´Xf T
rrr
−−−−====
Riziko změny výnosu portfolia minimalizujeme vyřešením úlohy
(((( )))) MAXXCX´Xf T
→→→→−−−−====
rrr
bXA ====
r
, 0Xi ≥≥≥≥
K tomu, abychom tuto úlohu kvadratického programování vyřešili, stačí vyřešit soustavu rovnic:
0λAXC2 T
====++++++++−−−− ξ
rr
0XT
====ξ
rr
bXA ====
r
kde λ
r
je vektor Lagrangeových multiplikátorů původní úlohy a (((( ))))n21 ξ,...,ξ,ξξT
====
r
je vektor nových
nezáporných proměnných.
Vzhledem k charakteru této úlohy můžeme pro výpočet použít krátkou formu Wolfovy metody.
a) Postup výpočtu
1. krok
Zavedeme nezáporné pomocné proměnné
(((( )))) (((( ))))m21n21 w,...,w,ww,z,...,z,zz TT
========
rr
a simplexovou metodou minimalizujeme funkci m21 w...ww ++++++++++++ při lineárních omezeních
0zAXC2 T
====++++++++λλλλ++++−−−−
rrrr
ξ
42
bwXA
rrr
====++++
Vycházíme přitom z báze, ve které jsou sloupce koeficientů u proměnných w
r
a z
r
. Při výpočtu zachováváme
pravidlo, že do báze nevezmeme žádnou z proměnných iξ ani λλλλi.
Má-li úloha kvadratického programování přípustné řešení, skončí první fáze vyloučením všech proměnných
iw z báze.
2. krok
Z přetransformované soustavy vypustíme po ukončení fáze 1 všechny sloupce s proměnnými
m,...,2,1i,wi ==== a těmi n1,2,...,i,zi ==== , které nejsou právě v bázi. Vycházejíce z takto upravené tabulky,
minimalizujeme součet ∑∑∑∑
i
iz kde se suma sčítá přes všechny proměnné iz , které po provedených
úpravách zbyly v soustavě.
Při výpočtu zachováváme tato dodatečná pravidla:
• Je-li v bázi ix nevezmeme do báze iξ a obráceně.
• Je-li hodnota účelové funkce ∑∑∑∑
i
iz již nulová a zůstává-li přesto nějaké iz v bázi (s nulovou
hodnotou), vyloučíme je z báze.
3. krok
skončí po konečném počtu kroků a výsledné hodnoty n1,2,...,i,Xi ==== , které čteme na pravé straně
výpočetní tabulky, stejně jako při normální simplexové metodě udávají hledané řešení úlohy kvadratického
programování.
5.3 Praktické úlohy optimalizace portfolia
Sestavit portfolio lze z cenných papírů uvedených v v tabulce 5 a 6, kde jsou také uvedeny charakteristiky
těchto cenných papírů, které potřebujeme znát k provedení následujících výpočtů.
Ve všech případech půjde o optimalizaci portfolia. Portfolio budeme držet po dobu tří měsíců, datum
jeho realizace1
.
a) Nalezení portfolia s minimálním rizikem
Při hledání portfolia s minimálním rizikem změny výnosu budeme minimalizovat funkci (((( ))))Xσ2
p
r
.
Na velikost očekávaného výnosu portfolia nejsou kladeny žádné požadavky. Jedinou omezující podmínkou
je tedy 1X
n
1i
i ====∑∑∑∑
====
.
Formulace úlohy
∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
→→→→σσσσ====σσσσ
7
1i
7
1j
ijii
2
p MINXX
1X
7
1i
i ====∑∑∑∑====
Lagrangeova funkce této úlohy bude vypadat následovně:
1
Připomeňme, že i když zpravidla realizací myslíme přeměnu cenných papírů na hotovost. jindy to může být pouhé ocenění
veškerých aktiv v portfoliu. Důvodem takového ocenění aktiv může být například zájem získat v okamžiku realizace lombardní
úvěr zajištěný cennými papíry z portfolia.
43
(((( ))))
171
21117,67623327,171
13311221
2
7
2
7
2
2
2
2
2
1
2
1
7
1i
i1
2
p
X
XXXX2XX2XX2
...XX2XX2X...XX
1XXL
λλ
λλ
λ
−−−−++++
++++++++++++++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++
++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ====
====







−−−−++++σσσσ==== ∑∑∑∑====
......
r
Soustava rovnic:
(((( )))) 0X2X2X2X2
X
XL
17,17133122
2
11
1
====++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λ...
r
(((( )))) 0X2X2X2X2
X
XL
17,27233211
2
22
2
====++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λ...
r
M
(((( )))) 0X2X2X2X2
X
XL
16,762,721,71
2
77
7
====++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λ...
r
1XXX 721 ====++++++++++++ ...
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 λλλλ1
Pravé strany rovnic
X1 2σ1
2
2σl2 2σ13 2σ14 2σ15 2σ16 2σ17 1 0
X2 2σl2 2σ2
2
2σ23 2σ24 2σ25 2σ26 2σ27 1 0
X3 2σ13 2σ23 2σ3
2
2σ34 2σ35 2σ36 2σ37 1 0
X4 2σ14 2σ24 2σ34 2σ4
2
2σ45 2σ46 2σ47 1 0
X5 2σ15 2σ25 2σ35 2σ45 2σ5
2
2σ56 2σ57 1 0
X6 2σ16 2σ26 2σ36 2σ46 2σ56 2σ6
2
2σ67 1 0
X7 2σ17 2σ27 2σ37 2σ47 2σ57 2σ67 2σ7
2
1 0
λλλλ1 1 1 1 1 1 1 1 0 1
Protože víme, že kovarianční matice je symetrická, je zřejmé, že v maticové tvaru můžeme tuto soustavu
zapsat:
0eXC2 1 ====++++
rr
λ
1eXT
====
rr
Dosazením za ijσ dostaneme následující rozšířenou matici soustavy.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
X1
688,3 40,8 77,1 -151,3 369,9 592,5 633,5 1 0
X2
40,8 73,4 20,0 27,2 -48,3 66,0 111,9 1 0
X3
77,1 20,0 975,7 -327,4 42,4 151,3 357,9 1 0
X4
-151,3 27,2 27,2 3619,9 -474,1 3,6 98,1 1 0
X5
369,9 -48,3 42,4 -474,1 3505,3 -344,5 -63,4 1 0
6
592,5 66,0 151,3 3,6 -344,5 2792,6 1439,0 1 0
X7
633,5 111,9 357,9 98,1 -63,4 1439,0 2342,2 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0 1
Tuto soustavu osmi lineárních rovnic o osmi neznámých je již jednoduché vyřešit některou z metod
řešení systému lineárních rovnic (příloha 1). (K řešení je využito funkcí v Excelu – inverzní matice k matici
44
soustavy rovnic /označena šedou barvou/ a potom násobením touto maticí, maticí pravých stran, obdržíme hodnoty
neznámých vah /podílů/ cenných papírů v portfoliu)
X1 0,05265816
X2 0,87486631
X3 0,06178339
X4 0,01716197
X5 0,02649816
X6 0,0152311
X7 -0,04819908
λλλλ1
-62,3980278
V posledním sloupci čteme vypočtené hodnoty relativních podílů jednotlivých cenných papírů v portfoliu.
Optimální portfolio bude mít složení. které nám ukazuje Tabulka 11.
Tabulka 11: Portfolio s minimálním rizikem
Cenné papíry ri σσσσi portfolio
CP1 18,5 18,6 0,05265816
CP2 8,7 6,1 0,87486631
CP3 15,3 22,1 0,06178339
CP4 32,5 42,5 0,01716197
CP5 30,0 41,9 0,02649816
CP6 23,1 37,4 0,0152311
CP7 19,4 34,2 -0,04819908
Výnos portfolia 10,30028
Riziko portfolia 12,59205
Tedy investor, který bude chtít minimalizovat riziko změny výnosu svého portfolia, investuje do jednotlivých
cenných papírů výše uvedené podíly z částky určené k sestavení portfolia. Záporné číslo u
podílů některých cenných papírů znamená, že by s nimi měl investor provést operaci sell short. Určené
množství těchto cenných papírů si vypůjčí a prodá je. Takto získané prostředky použije na nákup cenných
papírů s kladnými podíly.
Tabulka 12: Vytvořené portfolio s minimálním rizikem za 5 000 000 Kč
Cenný papír ir iσσσσ Podíl CP v
portfoliu
Tržní
cena
Počet CP v
portfoliu
Investovaná
částka
CP1 18,5 18,6 0,05265816 869,20 792 688080
CP2 8,7 6,1 0,87486631 1500,00 1869 2802895
CP3 15,3 22,1 0,06178339 2025,00 319 646700
CP4 32,5 42,5 0,01716197 3839,00 117 451030
CP5 30,0 41,9 0,02649816 7875,00 52 406910
CP6 23,1 37,5 0,0152311 204,70 319 281070
CP7 19,4 34,2 -0,04819908 127,74 -1352 -276700
Portfolio 10,3003 8,44395 1 4 999 985
Uvažujme příklad investora, který má na sestavení portfolia k dispozici 5 milionů Kč. Investor zná
podíly jednotlivých cenných papírů, které chce mít ve svém portfoliu. Zjistí si aktuální tržní cenu za
kus těchto cenných papírů a jednoduše zjistí, kolik kusů akcií jednotlivých titulů má nakoupit resp.
půjčit si a prodat. Jak vidíme z uvedené tabulky výnosnost portfolia za rok bude 10,3003 a investované
prostředky činí 4 999 985 Kč. Potom zisk z této investice bude: 4999985.(1+0,103003) = 5 515 014 a zisk
z takto investovaných prostředků pak 5 515 014 - 4 999 985 = 515 014,2 Kč.
45
b) Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15%
Stejně jako v předchozí úloze budeme minimalizovat funkci (((( ))))X2
p
r
σσσσ . Tentokrát jsou však na portfolio
kladeny určité požadavky, a to, aby výnos portfolia pr byl 15 %. To se projeví přidáním omezující
podmínky: i
7
1i
ip rXr ∑∑∑∑====
==== , která zaručí, že výnos portfolia bude požadovaných 15 %.
Formulace úlohy:
∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
→→→→σσσσ====σσσσ
7
1i
7
1j
ijii
2
p MINXX
1X
7
1i
i ====∑∑∑∑====
, 15Xr
7
1i
ii ====∑∑∑∑====
Lagrangeova funkce této úlohy bude formulovaná následovně:
(((( ))))
2772222112171
21116,77623321,771
13311221
2
10
2
10
2
2
2
2
2
1
2
1
7
1i
ii2
7
1i
i1
2
p
5λ1Xrλ...XrλXrλλXλ...
XλXλσX2X...σX2XσX2X
...σX2XσX2XσX...σXσX
51Xrλ1XλσXL
−−−−++++++++++++++++−−−−++++++++
++++++++++++++++++++++++++++
++++++++++++++++++++++++++++====
====





−−−−++++





−−−−++++==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
r
Soustava rovnic:
(((( )))) 0rX2...X2X2X2
X
XL
1217,17133122
2
11
1
====++++++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λλ
r
(((( )))) 0rX2...X2X2X2
X
XL
2217,27233121
2
22
2
====++++++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λλ
r
M
(((( )))) 0rX2...X2X2X2
X
XL
7217,667,227,11
2
77
10
====++++++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
λλ
r
1X...XX 721 ====++++++++++++
15Xr...XrXr 772211 ====++++++++++++
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 λλλλ1 λλλλ2 Pravé strany
rovnic
2σ1
2
2σl2 2σ13 2σ14 2σ15 2σ16 2σ17 1 r1 0
2σl2 2σ2
2
2σ23 2σ24 2σ25 2σ26 2σ27 1 r2 0
2σ13 2σ23 2σ3
2
2σ34 2σ35 2σ36 2σ37 1 r3 0
2σ14 2σ24 2σ34 2σ4
2
2σ45 2σ46 2σ47 1 r4 0
2σ15 2σ25 2σ35 2σ45 2σ5
2
2σ56 2σ57 1 r5 0
2σ16 2σ26 2σ36 2σ46 2σ56 2σ6
2
2σ67 1 r6 0
2σ17 2σ27 2σ37 2σ47 2σ57 2σ67 2σ7
2
1 r7 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 0 0 15
46
Dosazením hodnot za ijσ a ir opět dostáváme rozšířenou matici soustavy, kterou řešíme stejně jako
v předchozím případě.
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 λλλλ1 λλλλ2 b
X1 688,3 40,8 77,1 -151,3 369,9 592,5 633,5 1 18,5 0
X2 40,8 73,4 20,0 27,2 -48,3 66,0 111,9 1 8,7 0
X3 77,1 20,0 975,7 -327,4 42,4 151,3 357,9 1 15,3 0
X4 -151,3 27,2 27,2 3619,9 -474,1 3,6 98,1 1 32,5 0
X5 369,9 -48,3 42,4 -474,1 3505,3 -344,5 -63,4 1 30,0 0
X6 592,5 66,0 151,3 3,6 -344,5 2792,6 1439,0 1 23,1 0
X7 633,5 111,9 357,9 98,1 -63,4 1439,0 2342,2 1 19,4 0
λλλλ1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
λλλλ2 18,5 8,7 15,3 32,5 30,0 23,1 19,4 0 0 15
Výpočet je proveden v příloze 2 a jeho výsledkem je následující matice, v jejímž posledním sloupci
můžeme opět číst hodnoty podílů jednotlivých cenných papírů
Portfolio s minimálním rizikem při 15% výnosu tedy bude mít složení, které uvádí Tabulka 13. Oproti
předchozímu příkladu, kdy jsme pouze minimalizovali riziko bez ohledu na výnos portfolia, je riziko
pochopitelně větší. Větší očekávaný výnos je totiž kompenzován vyšší mírou rizika jeho změny.
Tabulka 13: Portfolio s minimálním rizikem a výnosem 15 %
ri σσσσi portfolio
CP1 18,5 18,6 0,137616
CP2 8,7 6,1 0,560579
CP3 15,3 22,1 0,12934
CP4 32,5 42,5 0,090206
CP5 30,0 41,9 0,081382
CP6 23,1 37,4 0,056214
CP7 19,4 34,2 -0,05534
Výnos portfolia 15,0
Riziko portfolia 16,3 Min.
Tabulka 14: Vytvoření portfolia s minimálním rizikem při 15% výnosu
za 5 milionů Kč
Cenný papír ri σσσσi Podíl CP
v portfoliu
Tržní
cena
Počet CP v
portfoliu
Investovaná
částka
CP1 18,5 18,6 0,137616 869,20 303 263290,8
CP2 8,7 6,1 0,560579 1 500,00 2916 4374331,6
CP3 15,3 22,1 0,12934 2 025,00 153 308916,94
CP4 32,5 42,5 0,090206 3 839,00 22 85609,85
CP5 30,0 41,9 0,081382 7 875,00 17 132490,8
CP6 23,1 37,4 0,056214 882,00 372 76155,4
CP7 19,4 34,2 -0,05534 204,70 -1887 -240995,4
Portfolio 14,99994 16,3 100,0 5 000 000
47
Investor by nakoupil akcie CP1, CP2, CP3, CP4, CP5 a CP6 v uvedených množstvích. Zbývající titul
CP7 by si vypůjčil a prodal, aby získané prostředky použil na nákup ostatních akcií. Při realizaci portfolia
nakoupí tyto tituly a vrátí je původnímu majiteli a prodá tituly, které drží v portfoliu. Výsledek
těchto operací bude zhodnocení investované částky o 15 % s 16,3 % rizikem změny tohoto výnosu.
c) Nalezení portfolia kde je povolen krátký prodej (Sell short) a bezrizikové půjčování i vypůjčování
je možné
Při sestavování portfolia volíme takové, které leží v množině efektivních portfolií. Nyní budeme hledat
úlohu, která vede k nalezení portfolia právě z této množiny. Sestavování takovéhoto portfolia je
spojeno s použitím matematických metod, které spočívají v hledání vázaných, popřípadě volných extrémů
funkcí více proměnných. Budeme vycházet ze známých výrazů pro výpočet výnosnosti portfolia
a rizika změny výnosnosti tohoto portfolia.
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ========
σσσσ====σσσσ====
n
1i
n
1j
ijjip
n
1i
iip .X.Xr.Xr
Jestliže budeme uvažovat bezrizikové aktivum fr (to znamená půjčování2
a vypůjčování) potom výraz
pro výnos portfolia se změní a to:
∑∑∑∑
====
−−−−====−−−−
n
1i
fiifp )rr.(Xrr
Důkaz: víme, že součet vah cenných papírů v portfoliu je rovný jedné.
1X
n
1i
i ====∑∑∑∑
====
.
Tudíž daný výraz můžeme zapsat: ∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
======== ========
−−−−====−−−−====−−−−====−−−−
n
1i
fii
n
1i
f
n
1i
iii
n
1i
fiifp )rr.(Xr.Xr.Xr.1r.Xrr
Z předešlé kapitoly víme, že investor část peněžních prostředků investuje do bezrizikového aktiva
(bezrizikové úrokové míry) a část do portfolia s rizikovými cennými papíry.
pr
C
P
M
D
A
fr
pσ
Obr. 19
2
Použijeme-li bezrizikové aktivum (státní peněžní poukázka, krátkodobý dluhopis), poskytli jsme vládě půjčku
ve výši ceny tohoto krátkodobého dluhopisu s tím, že při jeho splatnosti obdržíme vynaložený kapitál zhodnocený
jeho úrokovou sazbou
Efektivní množina
48
Například na Obr.19 je portfolio na polopřímce fr a T preferováno před všemi portfolii s rizikovými
cennými papíry. Efektivní hranicí je celá polopřímka fr a T. V tomto případě jde o určení polopřímky
s největší směrnicí (s největším sklonem). Tento úhel, který svírá můžeme snadno určit vztahem:
p
fp rr
tg)X(f
σσσσ
−−−−
====ϕϕϕϕ====
r
Za podmínky ∑∑∑∑
====
====
n
1i
i 1X
Jedná se o nalezení extrému funkce omezeného jednou podmínkou a to, že součet vah v portfoliu je
roven jedné. Existují dostupné metody řešení tohoto problému.
Víme, že ∑∑∑∑
====
−−−−====−−−−
n
1i
fiifp )rr.(Xrr a ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ========
σσσσ====σσσσ====
n
1i
n
1j
ijjip
n
1i
iip .X.Xr.Xr .
Potom
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
====
==== ====
====
σσσσ++++σσσσ
−−−−
====
σσσσ
−−−−
====
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
n
1i
ij
n
1j
ji
n
1i
fii
.X,X.X
)rr(X
.X.X
)rr(X
)X(f
r
Řešení uvedeného maximalizačního problému spočívá v nalezení řešení systému lineárních rovnic o n
neznámých.
1) 0
X
)X(f
1
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
2) 0
X
)X(f
2
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
3) 0
X
)X(f
3
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
M
n) 0
X
)X(f
n
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
Potom
(((( )))) 0rrXXXXXX
X
)X(f
finni,1n1n
2
iii33i22i11
i
====−−−−++++σσσσλλλλ++++σσσσλλλλ++++++++σσσσλλλλ++++++++σσσσλλλλ++++σσσσλλλλ++++σσσσλλλλ−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−−−−−LL
r
,
Kde λλλλ je konstanta: 2
p
fp rr
σσσσ
−−−−
====λλλλ . Můžeme si všimnout, že každé kX je násobeno touto konstantou.
Pro další zjednodušení zaveďme substituci: kk X.Z λλλλ==== , což představuje podíly cenných papírů investovaných
do portfolia a kZ jsou úměrné k těmto částem. Pro výpočet vah (podílů) kX v portfoliu
dělíme každé kZ součtem všech hodnot kZ .
Tedy
∑∑∑∑
====
n
1k
k
k
k
Z
Z
X kde k = 1, 2, 3, …, n
Po jednoduché algebraické úpravě rovnice obdržíme:
in,1ni1n,11n
2
iii33i221i1fi .Z.Z.Z.Z.Z.Zrr σσσσ++++σσσσ++++++++σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====−−−− −−−−−−−−LL
Tuto rovnici rozepíšeme pro každou hodnotu i:
49
2
nnn33n22n11fn
n3n
2
33232131f3
n2n123
2
22121f2
n1n133122
2
11f1
.Z.Z.Z.Zrr
.Z.Z.Z.Zrr
.Z.Z.Z.Zrr
.Z.Z.Z.Zrr
σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====−−−−
σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====−−−−
σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====−−−−
σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====−−−−
L
M
L
L
L
Jestliže se podíváme na pravou stranu rovnice, vidíme, že u jednotlivých neznámých jsou hodnoty,
které odpovídají rozptylu jednotlivých cenných papírů a kovariancím mezi nimi. Pro řešení takovéto
soustavy použijeme nám již známou kovarianční matici a nám již známé výnosnosti cenných papírů a
také bezrizikovou úrokovou míru.
Odvození:
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
====
==== ====
====
σσσσ++++σσσσ
−−−−
====
σσσσ
−−−−
====
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
n
1i
ij
n
1j
ji
n
1i
fii
.X,X.X
)rr(X
.X.X
)rr(X
)X(f
r
Tento výraz můžeme též zapsat:
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
2
1-
.X,X.X.)rr(X)X(f










σσσσ++++σσσσ





−−−−==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ==== ====
≠≠≠≠
========
r
Pro jednodušší výpočet si zaveďme pomocné proměnné:
∑∑∑∑
====
−−−−====
n
1i
fii1 )rr(X)x(F a
2
1
-
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i2 .X,X.X)x(F












σσσσ++++σσσσ==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
Z matematiky známe pravidlo pro derivaci součinu, které požijeme na náš řešený problém.
[[[[ ]]]][[[[ ]]]]
dx
)x(dF
).x(F)x(F.
dx
)x(dF
)x(F.)x(F
dx
d 2
12
1
21 ++++====
Derivujme nejdříve funkci ∑∑∑∑
====
−−−−====
n
1i
fii1 )rr(X)x(F
Tato funkce obsahuje mnoho členů, které neobsahují kX a pouze jeden člen, zahrnující kX .
Z matematiky a parciálních derivací víme, že ostatní proměnné mimo kX jsou rovny nule (jsou konstantní,
pokud jde o kX ).
Potom bude derivace vzhledem k kX rovna:
fk
k
1
rr
X
)x(F
−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
, pro k = 1, 2, 3, n,L
50
Nyní budeme řešit funkci
2
1
-
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i2 .X,X.X)x(F












σσσσ++++σσσσ==== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====












σσσσ++++σσσσ












σσσσ++++σσσσ−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
≠≠≠≠
======== ====
≠≠≠≠
====
n
kj
1j
jkj
2
kk
2
3
-
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
k
2
.X2.X.2..X.X.X.
2
1
X
)x(F
Jedná se o derivaci složené funkce, kde nejdříve derivujeme vnější funkci násobenou derivací vnitřní
funkce.
Derivace prvního členu součtu vnitřní funkce u předcházejícího výrazu je jednoduchá, neboť se jedná
o derivaci mocniny. Všechny členy, které neobsahují index k jsou pro nás konstanty. Potom tedy
2
k
2
k .X σσσσ má derivaci ..X.2 2
kk σσσσ O něco složitější je derivace dvojnásobného součtu ∑∑∑∑∑∑∑∑
====
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
1i
n
ij
1j
ijji .X,X .
Budeme uvažovat kX dvakrát. Jednou, když ki ==== a podruhé, když kj ==== .
Pro ki ==== , máme: ∑∑∑∑∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
σσσσ====σσσσ
n
kj
1j
kjjk
n
kj
1j
kjjk .X.X.X.X . Potom derivace bude : ∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
kj
jj
kjj .X
Pro kj ==== , máme: ∑∑∑∑∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
σσσσ====σσσσ
n
ki
ji
ikik
n
ki
1i
ikik .X.X.X.X . Potom derivace bude : ∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
ki
1i
iki .X
Vzpomeňme si na tvar kovarianční matice, kde kiik σσσσ====σσσσ . Tudíž ∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
kj
1j
kjj .X = ∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
ki
1i
iki .X .
Z toho obdržíme vyjádření derivace dvojnásobného součinu a to: ∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ
n
kj
jj
jkj .X.2
Dosazením námi derivovaných výrazů do
(((( )))) 0rr..X,X.X.X2.X.2.
..X2.X.2..X.X.X.
2
1
.)rr.(X
X
)Xf(
fk
2
1
-
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
kj
1j
jkj
2
kk
n
kj
1j
jkj
2
kk
2
3
-
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
k
====−−−−










σσσσ++++σσσσ++++










σσσσ++++σσσσ










σσσσ++++σσσσ










σσσσ++++σσσσ





−−−−





−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
======== ====
≠≠≠≠
========
r
Námi vypočítanou derivaci vynásobíme výrazem:
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
2
1
.X,X.X










σσσσ++++σσσσ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
a algebraickou
úpravou obdržíme:
51
(((( )))) 0rr.X.X.
.X,X.X
)rr(X
fk
n
kj
1j
kjj
2
kkn
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
====−−−−++++










σσσσ++++σσσσ


















σσσσ++++σσσσ
−−−−
−−−− ∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
==== ====
≠≠≠≠
====
====
Jelikož po vyřešení soustavy n rovnic obdržíme váhy cenných papírů v portfoliu, můžeme výraz
λλλλ====
σσσσ
−−−−
====
σσσσ++++σσσσ
−−−−
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ====
≠≠≠≠
====
====
2
p
fp
n
1i
n
1i
n
ij
1j
ijji
2
i
2
i
n
1i
fii
rr
.X,X.X
)rr(X
Potom:
(((( ))))
(((( )))) ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
σσσσλλλλ++++σσσσλλλλ====










σσσσ++++σσσσλλλλ====−−−−
====−−−−++++










σσσσ++++σσσσλλλλ−−−−
n
kj
1j
jkj
2
kk
n
kj
1j
kjj
2
kkfk
fk
n
kj
1j
kjj
2
kk
.X..X..X.X.rr
0rr.X.X.
Ukázkový příklad:
Uvažujme tři cenné papíry, u kterých známe jejich výnosnosti, směrodatné odchylky a výnosnost bezrizikového
aktiva.V minulých kapitolách jsme si uvedli jakým způsobem tyto hodnoty získáme z burzy s cennými papíry a
také kde získáme výnosnost bezrizikového aktiva. Tyto hodnoty si uvedeme v tabulce.
Cenný papír Výnosnost ir Riziko iσσσσ Korelace ijρρρρ Bezrizikové aktivum
1C 0,14 0,06 5,012 ====ρρρρ 05,0rf ====
2C 0,08 0,03 2,013 ====ρρρρ
3C 0,20 0,15 4,023 ====ρρρρ
Z těchto získaných hodnot sestavíme soustavu rovnic:
2
332332213311f1
23323
2
2212211f2
1331312212
2
11f1
.Z...Z...Zrr
...Z.Z...Zrr
...Z...Z.Zrr
σσσσ++++ρρρρσσσσσσσσ++++ρρρρσσσσσσσσ====−−−−
ρρρρσσσσσσσσ++++σσσσ++++ρρρρσσσσσσσσ====−−−−
ρρρρσσσσσσσσ++++ρρρρσσσσσσσσ++++σσσσ====−−−−
Dosazením námi získaných hodnot obdržíme kovariační matici:










====










0,15
0,03
0,09
0,02250,00180,0018
0,00180,00090,0009
0,00180,00090,0036
Kovarianční matice(matice soustavy rovnic)
Matice pravých stran
52
Tuto soustavu pouze tří rovnic můžeme řešit klasickým způsobem známým ze střední školy. Avšak v případě
více rovnic by bylo řešení daleko složitější. Proto i v tomto jednoduchém příkladu použijeme metodu řešení
rovnic pomocí inverzní matice k matici soustavy a touto inverzní maticí pak budeme násobit matici pravých
stran.
Obdržíme inverzní matici:










−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
52,91005105,8200000270,00000000
105,821693,122370,37
00000270,00000000370,37370,3704
Obdržené řešení pro hodnoty kZ pro k = 1, 2, 3 bude: ====1Z 0, 222222, ====2Z 0,015873, ====3Z 0,047619
====∑∑∑∑
====
3
1k
kZ 0,285714
Váhy cenných papírů v portfoliu pak vypočítáme:
∑∑∑∑
====
==== 3
1k
k
k
k
Z
Z
X
Podíly (váhy) cenných papírů v portfoliu budou: ====1X 0,777778, ====2X 0,055556, ====3X 0, 166667
Očekávaný výnos portfolia pak:
======== ∑∑∑∑
====
3
1k
kkp r.Xr 0,777778.0,14 + 0,055556.0,08 + 0,166667.0,20 = 0,146667 = 14, 6667 %
Rozptyl výnosu portfolia a změna výnosu portfolia (riziko změny výnosu):
====σσσσ====σσσσ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
3
1i
3
1j
ijji
2
p .X.X 0,777778 2
. 36 + 0,055556 2
.9 + 0,166667 2
. 225 +
+ 2.0,777778.6.3.0,5 + 2.0,777778.6.15.0,2 +2.0,055556.3.15.0,4 = 33, 83333 %
====σσσσp 0,3383333 1/2
= 0, 581664
Můžeme si všimnout, že rozptyl portfolia lze určit i jiným způsobem. Stačí si připomenout, že λλλλ je koeficient
přebytku výnosu z optimálního portfolia, dělený rozptylem tohoto portfolia
λλλλ
−−−−
====σσσσ⇒⇒⇒⇒
σσσσ
−−−−
====λλλλ
fp2
p2
p
fp rrrr
.Také
víme, že λλλλ====λλλλ==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
n
1i
i
n
1i
i X.Z , neboť ∑∑∑∑
====
====
n
1i
i 1X . Z naší rovnice je zřejmé, že součet Z i = λ = 0,285714.
Dosazením těchto hodnot do naší rovnice obdržíme:
285714,0
05,0146667,02
p
−−−−
====σσσσ = 0, 338333 = 33, 8333 %
Obdrželi jsme stejný výsledek jako při zdlouhavém výpočtu rozptylu za použití vypočítaných vah cenných papírů,
jejich rozptylů a kovariancí.
d) Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short je zakázán)
V předchozích případech byl vždy sell short povolen a také se při tvorbě portfolia použil. Ne vždy
však investor chce, nebo může této operace použít, a to z nejrůznějších důvodů. Nyní si ukážeme, jak
by vypadalo optimální portfolio při zakázaném prodeji nakrátko. V tomto případě jde o úlohu nelineárního
programování a to kvadratické programování, kde účelová funkce je kvadratická s lineárními
omezeními. Tato kvadratická funkce n – proměnných se též nazývá kvadratická forma.
XCX.X.X)X(f T
n
1i
n
1j
jiji
2
p
rrrr
====σσσσ====σσσσ==== ∑∑∑∑∑∑∑∑==== ====
53
Kde














σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσ
====
nn2n1n
n22221
n11211
C
L
MMMM
L
L
r
je symetrická matice, neboť platí, že jiij σσσσ====σσσσ .
Fáze 1
Takto bude vypadat výchozí výpočetní tabulka pro fázi 1. Nyní z báze vyloučíme proměnnou iw a
místo ní do báze vstoupí 1X . Tím fáze 1 skončí, protože jsme již vyloučili veškeré proměnné iw .
Fáze 2
Z tabulky získané na konci fáze 1 vypustíme sloupec s proměnnou iw . Naopak do ní přidáme sloupce
s proměnnými 721 ,...,, ξξξξξξξξξξξξ . Můžeme si dovolit přidat až nyní, vzhledem k tomu, že ve fázi 1 nemohla
žádná z těchto proměnných vstoupit do báze.
V takto upravené tabulce budeme minimalizovat součet ∑∑∑∑====
10
1i
iz . Vzhledem k rozsahu dalších tabulek
jsou tyto uvedeny pouze v příloze 3. Výpočet skončí vyloučením všech proměnných iz z báze a dostáváme
výsledný vektor podílů jednotlivých cenných papírů v portfoliu X
r
.
X1 0
X2 0,788787
X3 0,043383
X4 0,014338
X5 0,038984
X6 0
X7 0
X8 0,03749
X9 0,05297
X10 0,02405
∑ 1
Charakteristiky portfolia s takovým složením ukazuje Tabulka 15.
Vzhledem k rozsáhlosti jednotlivých řešení jsou jednotlivé tabulky umístněny v příloze této studijní
pomůcky.
54
Tabulka 15: Portfolio s minimálním rizikem, sell short zakázán
ri σσσσi portfolio
CP1 18,5 18,6 0
CP2 8,7 6,1 0,788787
CP3 15,3 22,1 0,043383
CP4 32,5 42,5 0,014338
CP5 30,0 41,9 0,038984
CP6 23,1 37,4 0
CP7 19,4 34,2 0
CP8 11,5 26,4 0,03749
CP9 14,5 25,2 0,05297
CP10 8,8 34,8 0,02405
Výnos portfolia 10,6
Riziko portfolia 5,4
Tabulka 16 ukazuje sestavení takového portfolia, má-li investor k dispozici opět 10 milionů Kč.
Tabulka 16: Sestavení portfolia s minimálním rizikem za 5 milionů Kč, sell short zakázán
ri σσσσi podíl
(%)
cena CP
(Kč)
počet
(ks)
částka
(Kč)
CP1 18,5 18,6 0,0 869,20 0 0,00
CP2 8,7 6,1 78,9 1 500,00 2 630 3 945 000
CP3 15,3 22,1 4,3 2 025,00 106 215 000
CP4 32,5 42,5 1,4 3 839,00 18 70 000
CP5 30,0 41,9 3,9 7 875,00 24 195 000
CP6 23,1 37,4 0,0 882,00 0 0,00
CP7 19,4 34,2 0,0 204,70 0 0,00
CP8 11,5 26,4 3,8 127,74 1 487 190 000
CP9 14,5 25,2 5,3 69,34 3 822 265 000
CP10 8,8 34,8 2,4 14,30 8392 120 000
Portfolio 10,6 5,4 100,0 5 000 000
Tentokrát investor provádí operace pouze se sedmi tituly. Při sestavování portfolia nakoupí cenné
papíry CP2, CP3, CP4, CP5, CP8, CP9, a CP10 v uvedených množstvích za celkovou částku 5 000 000
Kč. V době realizace portfolia veškeré cenné papíry držené v portfoliu prodá a očekává, že za ně utrží
5 530 000 Kč. Tím by investovanou částku zhodnotil o 10,6%, ale vystavuje riziku 5,4% změny tohoto
výnosu.
Samozřejmě nejde zde o podrobné vysvětlení kvadratického programování, to ponecháme matematikům,
ale pouze ukázat na jeho složitost a výpočetní náročnost. Existují však standardní počítačové
sady programů pro řešení kvadratického programování podobně jako pro programování lineární.
Připomeňme si, že efektivní množina je určena minimalizací rizika pro jakoukoliv úroveň výnosu.
Pokud specifikujeme výnos na určité úrovni a minimalizujeme riziko, obdržíme jeden bod efektivní
množiny.
e) Kvadratické programování a Khun – Tuckerovy podmínky
Algoritmy kvadratického programování jsou postaveny na technikách pokročilé matematiky, tak zvané
Khun -Tuckerovy podmínky. Pro méně složité problémy mohou být tyto techniky snadno užity.
Podstata řešení takovéhoto problému můžeme získat pochopením Khun - Tuckerových podmínek. V
předcházejících kapitolách jsme vzali derivaci )X(f
r
pro každé iX a položili jí rovnou nule (o)
k nalezení maximální hodnoty )X(f
r
. Toto maximum označme M na obr. 20a nebo 20b. Jestliže iX
musí být nezáporné, může nastat problém, neboť nevázané maximum může mít hodnoty stejné jako
55
iX , což je nepřípustné. )X(f
r
jako funkce iX může vypadat na obr. 20b spíše než jako na obr. 20a.
V tomto případě (obr. 20b) maximální přípustná hodnota )X(f
r
nastává v bodě M′′′′ spíše než v bodě M.
Pokud maximální hodnota pro iX nastává v bodě M′′′′ , potom
iX
)Xf(
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
< 0 v maximální přípustné hodnotě
0Xi ==== . Pokud to nastane v případě, kdy iX je kladné, potom 0
X
)Xf(
i
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
. Obecně řečeno, je-li
iX omezeno podmínkou, že musí být větší než nula nebo rovn nule, můžeme zapsat: 0
X
)Xf(
i
≤≤≤≤
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
.
Z této nerovnice můžeme udělat rovnost zápisem: 0U
X
)Xf(
i
i
====++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
a obdrželi jsme 1. Kun Tuckerovu
podmínku.
)X(f
r
)X(f
r
M M
M′′′′
iX iX
Obr. 20a Obr. 20b
Všimněme si dvou zajímavostí. Jestliže optimum nastává pokud je iX kladné, pak 0
X
)Xf(
i
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
a iU
je nula. Jestliže optimum nastává pokud maximum je v 0Xi ==== , pak
iX
)Xf(
∂∂∂∂
∂∂∂∂
r
< 0 a iU je kladné. To co
jsme zjistili, můžeme zapsat:
0U,0X
0U,0X
ii
ii
>>>>====
====>>>>
Toto je druhá Khun -Tuckerova podmínka, kterou můžeme kompaktně zapsat:
0U
0X
0U.X
i
i
ii
≥≥≥≥
≥≥≥≥
====
Z toho co jsme v předcházející části uvedli můžeme zjednodušeným způsobem uvést Khun Tuckerovy
podmínky:
0U
0X
0U.X
0U
X
)Xf(
i
i
ii
i
i
≥≥≥≥
≥≥≥≥
====
====++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
(4)
(3)
(2)
(1)
r
56
Pokud by nám někdo navrhoval řešení a vyhovovalo Khun -Tuckerovým podmínkám, můžeme si být
jisti, že se jedná vskutku o optimální portfolio*
.
Uvažujme tento příklad:
Cenný papír Výnosnost ir Riziko iσσσσ Korelace ijρρρρ Bezrizikové aktivum
1C 0,14 0,06 5,012 ====ρρρρ 06,0rf ====
2C 0,08 0,03 2,013 ====ρρρρ
3C 0,20 0,15 4,023 ====ρρρρ
Dále předpokládejme, že řešení bylo:
0U,
8
5
U0,U
53
10
X0,X,
53
43
X
321
321
============
============
(**)
Z uvedených hodnot je vidět, že toto řešení splňuje Kun – Tuckerovy podmínky, a tudíž je optimální.
Z daného řešení vidíme, že splňuje Kun – Tuckerovy podmínky, když uvažujeme naše předpoklady.
Všechna X a U jsou kladná, tudíž podmínky 3) a 4) jsou splněny. 0Ua,X,U 321 ==== , tedy jak X, tak i
U jsou rovny nule pro jakýkoliv pár cenných papírů a je tedy splněna taktéž podmínka 2). Známe již
z předcházejících kapitol vztah:
(((( )))) 0rr.X.X.
X
)Xf(
fi
n
ij
1j
ijj
2
ii
i
====−−−−++++










σσσσ++++σσσσλλλλ−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
r
3321
2321
1321
U)X225X18X18.(14
U)X18X9X9.(2
U)X18X9X36.(8
++++++++++++λλλλ−−−−
++++++++++++λλλλ−−−−
++++++++++++λλλλ−−−−
216
53rr
2
p
fp
====
σσσσ
−−−−
====λλλλ
Dosazením hodnot (**) do této rovnice obdržíme:
0)
53
10
.2250.18
53
43
.18.(
216
53
14
8
5
)
53
10
.180.9
53
43
.9.(
216
53
2
0)
53
10
.180.9
53
43
.36.(
216
53
8
++++++++++++−−−−
++++++++++++−−−−
++++++++++++−−−−
Jelikož jsou všechny tři rovnice rovny nule, Kun – Tuckerovy podmínky jsou splněny.
*
Pro funkci )Xf(
r
jsou zde podmínky pro problém portfolia vždy splněny aby nastalo optimum.
57
6. Model CAPM (capital asset pricing model)
Předpoklady CAPM
Každá teorie či model vychází ze základních předpokladů a definuje základní pojmy. Již v
předchozí kapitole investoři dodržovali jisté předpoklady. Nyní tyto podmínky ještě rozšíříme.
1. investoři investují v jednom určitém časovém období
2. investoři hodnotí portfolia podle očekávaného výnosu a očekávaného rizika
3. platí předpoklad nenasycenosti investora, tj. ze dvou portfolií se stejným očekávaným rizikem si vybere to
s vyšším výnosem
4. investoři mají odpor k riziku, tj. ze dvou portfolií se stejným očekávaným výnosem si vyberou to s nižším
rizikem
5. jednotlivá aktiva se dají libovolně dělit, tj. lze koupit i zlomek akcie
6. existuje bezrizikové aktivum se sazbou rf
7. zanedbáváme daně, poplatky a další transakční náklady
Toto byly předpoklady, z kterých jsme vycházeli v předešlých kapitolách. Nyní budou rozšířeny o
další:
8. investoři jsou si rovni v tom smyslu, že:
• všichni investoři mají stejné jedno období (stejný horizont období)
• bezriziková sazba je pro všechny investory stejná
• informace jsou volné a okamžitě dostupné všem investorům stejně
• investoři mají homogenní očekávání tj. mají stejně odhadnuté očekávané výnosnosti, rizika a kovariance
cenných papírů.
Je evidentní, že tyto předpoklady splňuje pouze modelový trh. Na základě těchto předpokladů můžeme
analyzovat chování investorů, ale také ceny jednotlivých cenných papírů. Za předpokladu, že
všichni investoři postupují stejným způsobem, můžeme z pozorování chování všech investorů odvodit
rovnovážný vztah mezi výnosem a rizikem jednotlivých cenných papírů na trhu.
Relativní tržní hodnota cenného papíru
Buď ic tržní cena i-tého cenného papíru, is celkový počet kusů i-tého cenného papíru emitovaných
k obchodování na trhu. Agregovaná tržní hodnota cenného papíru i iA je definována takto:
iii s.cA ====
kde:
iA - agregovaná tržní hodnota CP
ic - tržní cena CP
is - počet kusů i-tého CP
Nechť na námi uvažovaném trhu existuje celkem N cenných papírů s agregovanými tržními cenami
jA pro j = 1, …, N. Pak relativní tržní hodnota i-tého cenného papíru iR je definována takto:
∑∑∑∑
====
==== N
1j
j
i
i
A
A
R
Tedy relativní tržní hodnota je rovna agregované tržní hodnotě cenného papíru dělené sumou agregovaných
tržních hodnot všech cenných papírů.
Tržní portfolio T se také označuje písmenem M (z angl. market - trh). V denní praxi je tržní
portfolio nahrazováno nejrůznějšími indexy
58
6.1 Přímka kapitálového trhu CML
Protože M bylo tangenciální portfolio, je efektivní množina tvořena polopřímkou vycházející z bodu
[[[[ ]]]]fr,0 a procházející bodem [[[[ ]]]]MM r,σM . Tato přímka se označuje CML (capital market line) přímka
kapitálového trhu. Neefektivní portfolia leží pod přímkou CML. Směrnice této přímky se
rovná rozdílu mezi očekávanou výnosností tržního portfolia a očekávanou výnosností bezrizikového
aktiva fM rr −−−− dělenému rozdílem jejich rizik MMfM 0 σσσσ====−−−−σσσσ====σσσσ−−−−σσσσ , neboť 0f ====σσσσ (proto bezrizikové
aktivum). Potom přímka, která charakterizuje přímku kapitálového trhu CML bude mít tvar:
p
M
fM
fp .
rr
rr σσσσ
σσσσ
−−−−
++++====
Přímka kapitálového trhu CML
Obr. 16
M - tržní portfolio
Mr - očekávaná výnosnost tržního portfolia
fr - očekávaná výnosnost bezrizikového aktiva
- další portfolia rizikové cenné papíry
Rovnováha v CAPM
Protože je CAPM rovnovážným modelem, musí v případě, že všichni investoři investují do T
a jeho kombinací s bezrizikovým aktivem na trhu existovat rovnováha. To ovšem znamená, že T obsahuje
nenulový podíl všech cenných papírů na daném trhu.
6.2 Tržní portfolio
Když se na základě výše popsaného mechanismu trh dostane do rovnováhy, bude to znamenat,
že každý investor chce vlastnit určitý podíl na každém rizikovém cenném papíru. Tržní ceny cenných
papírů odpovídají vyrovnání nabídky a poptávky po stejném počtu kusů, riziková sazba odpovídá vyrovnání
množství peněz půjčených a vypůjčených. Výsledné portfolio T se nazývá tržní portfolio a je
tvořeno investicemi do všech cenných papírů v takovém poměru, že proporce investovaná do jednotlivého
cenného papíru odpovídá jeho relativní tržní hodnotě.
pr
CML
Mr T = M
frrM −−−−
fr ϕϕϕϕ
fr
Mσ pσσσσ
59
Riziko změny výnosnosti tržního portfolia
Nyní si uvedeme riziko změny výnosnosti tržního portfolia, abychom pochopili jeho význam
v modelu CAPM.Budeme vycházet ze známého výrazu pro výpočet rizika (směrodatné odchylky) pro
portfolio.
21
N
1i
N
1j
ijjip .X.X








==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
σσ
ji X,X - proporce investované do cenných papírů i, j
ijσ - kovariance výnosnosti mezi cennými papíry i, j
Ze známého výrazu budeme řešit kovariance jednotlivých cenných papírů k tržnímu portfoliu.
.X.X
21
n
1i
n
1j
ijjMiMM








σσσσ====σσσσ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
Kde iMX a jMX jsou proporce (váhy) investované do cenných papírů
i a j v tržním portfoliu.
Jestliže kovarianci cenného papíru i s tržním portfoliem M vyjádříme jako:
1/2
n
1j
jnjMnM
n
1j
j3jMM3
n
1j
j2jMM2
n
1j
j1jMM1M .X.X.X.X.X.X.X.X








σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====σσσσ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
================
L
Kovariance i-tého cenného papíru s tržním portfoliem M pak bude: ∑∑∑∑
====
σσσσ====σσσσ
n
1i
iiMi jM .X ,
njnMj3M3j2M2j1M1i .X.X.X.XM σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====σσσσ L
a potom předcházející výraz můžeme zapsat:
[[[[ ]]]] 21
nnM3M32M21M1 MMMMM .X....X.X.X σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ++++σσσσ====σσσσ
kde Miσ označuje kovarianci cenného papíru i s tržním portfoliem.
Směrodatná odchylka tržního portfolia je rovna odmocnině z váženého průměru očekávaných hodnot
kovariancí všech cenných papírů v tržním portfoliu, kde M1σ vyjadřuje kovarianci cenného papíru 1 s
tržním portfoliem, M2σ vyjadřuje kovarianci cenného papíru 2 s tržním portfoliem atd. Jako váhy
bereme proporce odpovídajících cenných papírů v tržním portfoliu. Tržní portfolio se skládá nejen z
kmenových akcií, ale také s obligací, preferenčních akcií a realit. Výnosnost a riziko takovéhoto portfolia
však nebývá nikde zveřejňována, ale máme k dispozici indexy, které měří kvalitu umístněných
akcií v něm. Například index PX, atd. V tomto indexu je každá akcie vážená svou relativní tržní hodnotou
nabízených akcií a taktéž obsahuje i základní akcie s velkou tržní hodnotou, a tudíž může tento
index reprezentovat kvalitu segmentu akcií tržního portfolia velmi dobře. Investor nemusí brát v úvahu
tento index a může si vytvořit svoje vlastní tržní portfolio s nejvíce obchodovanými cennými papíry na
burze. Můžeme si všimnout toho, že každý investor vlastní tržní portfolio a zajímá se o jeho směrodatnou
odchylku, neboť ta ovlivní velikost jeho investice do tržního portfolia. Z rovnice (7.4) můžeme
vidět, že příspěvek každého cenného papíru ke směrodatné odchylce tržního portfolia, závisí na jeho
kovarianci s tržním portfoliem. Proto si každý investor povšimne, že podstatnou mírou rizika cenného
papíru je jeho kovariance s tržním portfoliem, Miσ . Z toho vyplývá, že cenné papíry s většími hodnotami
Miσ by měly poskytovat větší očekávanou výnosnost, aby tyto cenné papíry investoři nakupovali.
Kdyby však tyto cenné papíry vyšší výnosnost neposkytovaly a přispívaly by pouze k vyššímu riziku
tržního portfolia, potom by to vedlo k vyloučení těchto cenných papíru z tržního portfolia, čímž by
nastalo zvýšení očekávané výnosnosti tohoto portfolia vzhledem ke směrodatné odchylce. Protože
60
investoři by pohlíželi na takovouto změnu jako na přínos, nebylo by již tržní portfolio optimálním
rizikovým portfoliem. Ceny cenných papírů by již nebyly v rovnováze.
6.3 Separační teorém
Vzhledem k homogenním očekáváním dostanou všichni investoři stejné tangenciální portfolio
T. Protože jsou všichni na stejném trhu, je efektivní množina pro všechny stejná a stejně tak i bezriziková
sazba. Protože si dále investoři volí různé kombinace T a bezrizikového aktiva, je evidentní, že
všichni využijí stejné tangenciální portfolio T.
Toto shrnuje separační teorém:
Optimální kombinace rizikových cenných papírů může být stanovena bez znalosti investorových postojů
k riziku a výnosnosti.
Důkaz:
Tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že existuje cenný papír, který T neobsahuje. Je to jedině
z toho důvodu, že tento cenný papír má příliš nízký očekávaný výnos, a to je tehdy, je-li příliš
vysoká cena tohoto cenného papíru. Vzhledem k tomu, že ho T neobsahuje, nemá tedy nikdo zájem ho
koupit, to znamená, že jeho cena klesá, ovšem s klesající cenou roste jeho výnosnost. Až bude cena
dostatečně nízká, budou chtít investoři zařadit tento cenný papír do svého portfolia a tedy do T, což je
spor s tím, že v T není.Další vyrovnávání cen může nastat ve chvíli, kdy investoři žádají některý cenný
papír ve větším množství, než se nabízí. Zvýšení poptávky při stejném množství daného cenného papíru
přinese zvýšení jeho ceny, a to pak snížení jeho výnosu na hranice, kdy investor bude žádat (chtít)
odpovídající podíl tohoto aktiva. Tímto způsobem popisuje model CAPM tvorbu cen aktiv.
Přesný vztah rovnovážného vztahu mezi rizikem a výnosností můžeme zapsat ve tvaru:
(((( ))))
M
M
M
i2
f
fi σ
σ
rr
rr
−−−−
++++==== (7.5
ir ir
Mr M Mr M
fr fr
2
Mσ Miσ 1 iβ
a) b)
Obr. 17
Jestliže zavedeme substituci 2
M
iM
i
σσσσ
σσσσ
====ββββ potom na obr. 17a) je znázorněná kovarianční verze přímky
SML a na obr. 17b) její beta verze. Jak vidíme na obr. 17a) rovnice (7.5), představuje přímku s úsekem
fr na ose ir se směrnicí 2
f
M
M
σ
rr −−−−
. Jelikož je směrnice kladná, je vidět, že cenné papíry s vyššími kovariancí
Miσ budou mít vyšší očekávanou výnosnost ir . Tento vztah mezi kovariancí a očekávanou
výnosností je známý jako přímka trhu cenných papírů (security market line-SML ,přímka trhu). Z dané
rovnice vidíme, že rizikový cenný papír se Miσ = 0 bude mít očekávanou výnosnost rovnou sazbě bezrizikového
cenného papíru fr . Dále vidíme, že rizikový cenný papír (stejně jako bezrizikový) nezvyšuje
riziko tržního portfolia.
61
63.1 Odvození přímky trhu SML pomocí přímky CML
pr CML
M
fr
Obr. 18 pσ
Z obr. 18 je vidět umístění přípustné množiny společně s bezrizikovou sazbou a efektivní množinou
tvořenou přímkou CML, udávající přímku kapitálového trhu. Uvnitř přípustné množiny leží všechny
rizikové cenné papíry. Vyberme jeden z těchto cenných papírů a označme jej indexem i. Nyní uvažujme
libovolné portfolio p, které se skládá s proporce iX investované do cenného papíru i a proporce
)X1( i−−−− do tržního portfolia. Takovéto portfolio bude mít výnosnost:
Mr).X1(r.Xr iiip −−−−++++==== (6.6)
a směrodatnou odchylku (riziko změny výnosnosti portfolia):
[[[[ ]]]] 2/1
iii
2
i
2
i
2
ip M
2
M )X1.(X.2.)X1(X σσσσ−−−−σσσσ−−−−++++σσσσ====σσσσ ++++ (6.7) 1)
Všechna tato portfolia budou ležet na křivce spojující bod i a M (obr. 18). Nás bude zajímat směrnice
této křivky. Podle poznámky, vidíme, že tato křivka je dána parametrickými rovnicemi (6.6) a (6.7).
Nejdříve derivujeme rovnici (6.6) pr podle iX
Mrr
dX
rd
i
i
p
−−−−====
a rovnici (6.7) derivujeme též vzhledem k iX .
[[[[ ]]]] 2/1
iii
2
i
2
i
2
i
iii
2
i
2
i
i
p
M
2
M
MMM
).X1.(X.2.)X1(.X.2
.X.4.2).(X1.(2.Xi.2
dX
d
σσσσ−−−−++++σσσσ−−−−++++σσσσ
σσσσ−−−−σσσσ++++σσσσ−−−−−−−−++++σσσσ
====
σσσσ
Potom směrnice tečny křivky iM bude:
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
.X.2)).(X1(.X
)rr.().X1.(X.2.)X1(.X
).X1.(X.2.)X1(.X.2
.X.4.2)).(X1.(2.X.2
rr
dX
d
dX
rd
d
rd
MMM
MM
2
M
M
2
M
MMM
M
iii
2
i
2
ii
i
2/1
iii
2
i
2
i
2
i
2/1
iii
2
i
2
i
2
i
iii
2
i
2
ii
i
i
p
i
p
p
p
σσσσ−−−−σσσσ++++σσσσ−−−−−−−−++++σσσσ
−−−−σσσσ−−−−++++σσσσ−−−−++++σσσσ
====
====
σσσσ−−−−++++σσσσ−−−−++++σσσσ
σσσσ−−−−σσσσ++++σσσσ−−−−−−−−++++σσσσ
−−−−
====
σσσσ
====
σσσσ
Nás hlavně zajímá směrnice tečny této křivky právě v bodu M. Protože proporce cenného papíru i je v
tomto bodu nulová (to znamená, že iX = 0) můžeme vypočítat směrnici této tečny.
1) Vzpomeňme si na funkci zadanou parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t). Potom derivace funkce bude:
dx/dt=ϕ′(t), dy/dt=ψ′(t) a dy/dx=ψ′(t)/ϕ′(t).
cenný papír i
přípustná množina
efektivní množina
62
2
MM
MM
σσ
σ).rr(
σd
rd
i
i
p
p
−−−−
−−−−
====
Dále z obr. 17 vidíme, že směrnice tečny křivky iM v bodu M se bude rovnat směrnici přímky CML
M
M frr
σσσσ
−−−−
. Mezi těmito směrnicemi musí platit rovnost:
M
M
2
MM
MM
σ
rr
σσ
σ).rr( f
i
i −−−−
====
−−−−
−−−−
(6.8)
Řešením této rovnice vzhledem k výnosnosti cenného papíru i obdržíme, přímku SML (kovarianční
verze přímky SML).
(((( ))))
M
M
M
i2
f
fi σ.
σ
.rr
rr
−−−−
++++==== (6.9)
Jestliže zavedeme substituci: 2
i
i
M
M
σ
σ
β ==== , lze SML vyjádřit v beta verzi jako
(((( )))) iffi β.rrrr M −−−−++++==== (6.10)
6.3.2 Míra rizika cenného papíru
Koeficient β považujeme za míru rizika cenného papíru. Protože β portfolia je váženým
průměrem β jednotlivých cenných papírů tvořících dané portfolio s váhami NX,...,Xi podle proporcí
investovaných do jednotlivých cenných papírů, je
nn2211
N
1i
iip .X.X.XX ββββ++++++++ββββ++++ββββ====ββββ====ββββ ∑∑∑∑====
L
Na SML budou ležet všechny cenné papíry a všechna portfolia z nich vytvořená. Na SML tedy leží i
neefektivní portfolia. Pro bezrizikové aktivum platí 0f ====β . Pro tržní portfolio platí 1βM ==== .
Pro cenný papír i jsme tak ukázali, že jeho riziko nemusíme měřit pomocí jeho směrodatné odchylky,
ale spočítali jsme ho na základě jeho kovariancí s tržním portfoliem. SML tedy ukazuje lineární
závislost mezi mírou rizika (vyjádřenou kovariancí s tržním portfoliem) a očekávanou mírou zisku
uvažovaného portfolia nebo cenného papíru. Proto se koeficient ββββ používá často jako měřítko rizika
cenných papírů. Odpovídá to již výše uvedenému tvrzení, že rizikovější papíry (s vyšší hodnotou),
které přispívají více do celkového rizika tržního portfolia, musí být oceněny vyšší mírou očekávaného
zisku. I když můžeme říci, že koeficient ββββ není teoreticky ohraničený můžeme o něm předpokládat:
a) Je-li iββββ > 1, jsou cenné papíry klasifikovány jako agresivní, výnos roste rychleji než trh
(burzovní index např. PX, atd.)
b) Je-li iββββ < 1, jsou cenné papíry klasifikovány jako defenzivní, výnosy kolísají méně než trh
c) Je-li iββββ = 1, jsou cenné papíry neutrální a výnosy kolísají spolu s trhem
Hodnoty β pod 0,5 a nad 2 jsou považovány za neobvyklé a dlouhodobě neudržitelné. Tržní portfolio
vhodně aproximujeme indexy.
63
6.3.3 Procesy generující výnosnost
Podle CAPM se budou aktiva nastavovat tak dlouho, dokud nebude dosaženo rovnováhy, při
které bude ležet každý CP na SML. Při rovnováze bude očekávaná (rovnovážná) výnosnost CP i v
době držení dána rovnicí:
(((( )))) ifMf
e
i .rrrr β−−−−++++==== (6.11)
e
ir - rovnovážná očekávaná výnosnost CP
Tato rovnice však není modelem toho, jaká bude skutečná nadměrná výnosnost CP za dobu držení.
Charakteristická přímka je typem procesu, který garantuje skutečnou výnosnost CP a je založen na
předcházející rovnici:
(((( )))) iifMfi .rrrr εεεε++++ββββ−−−−====−−−− (6.12)
ir - skutečná výnosnost CP
Mr - skutečná výnosnost tržního portfolia
iε - náhodná chyba CP
Abychom mohli nalézt neznámé parametry iα a iβ , učiníme některé předpoklady o náhodné chybě:
1. (((( )))) 0E i ====ε pro i = 1, 2, …, n
2. (((( )))) 0r,cov ii ====ε pro i = 1, 2, …, n
3. (((( )))) 0,cov ji ====εε pro ji ≠≠≠≠ , kde i = 1, 2, …, n a j = 1, 2, …, n
4. [[[[ ]]]] 0rr.(E )MMi ====−−−−εεεε pro i = 1, 2, …, n
5. (((( )))) 2
iii ,cov εεεεσσσσ====εεεεεεεε
Náhodná chyba CP je náhodná veličina s nulovou očekávanou hodnotou (střední hodnotou) a směrodatnou
odchylkou iεσ
Poznámka:
Mějme ruletu, která má na obvodu rovnoměrně rozložené hodnoty od -5 do 5. To znamená, že máme 11
možných výsledků a každý z nich má stejnou pravděpodobnost výskytu. Při daném rozsahu čísel to znamená, že
střední hodnota náhodné chyby se rovná nule, neboť:
0
11
1
5.
11
1
4.
11
1
3.
11
1
2.
11
1
1.
11
1
0.
11
1
1.
11
1
2.
11
1
3.
11
1
4.
11
1
5. ====++++++++++++++++++++−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(((( )))) 0xp.x
11
1i
ii ====∑∑∑∑
====
Předpokládejme, že očekávaný výnos i-tého aktiva je možné určit následující rovnicí
(((( )))) ifMfi .rrrr β−−−−++++==== přímka trhu cenných papírů
Kde R
σ
σ
β 2
i
i
M
M
∈∈∈∈==== koeficient ββββ i-tého aktiva
Tato rovnice nemusí naprosto přesně vystihnout situaci na trhu s i-tým aktivem, může dojít k drobným
nepřesnostem působením různých faktorů, které nejsou zahrnuty do naší rovnice. Proto bývá do
této rovnice zahrnut i vliv těchto blíže nespecifikovaných faktorů ve formě náhodné chyby iε
iiii εβ.rαr M ++++++++==== , kde můžeme, pokud bude použita bezriziková investice zavést substituci
)1.(r ifi ββββ−−−−====αααα
64
Můžeme si položit otázku, odkud se vzala tato náhodná chyba iεεεε . Dříve jsme si vysvětlili, že střední
hodnota této náhodné chyby bude rovna nule. Nyní si ukážeme na příkladu kde tato náhodná chyba
vzniká. Model CAPM nám představuje rovnovážný stav, který můžeme zapsat: iiii εβ.rαr M ++++++++====
Tabulka Hypotetická tabulka výnosnosti cenného papíru a tržního portfolia (indexu)
1 2 3 4 5 6
Měsíc Výnosnost CP v % Výnosnost TP v % iMiii r.r εεεε++++ββββ++++αααα====
1. 10 4 10 = 2 + 4.1,5 + 2
2. 3 2 3 = 2 + 2.1,5 - 2
3. 15 8 15 = 2 + 8.1,5 + 1
4. 9 6 9 = 2 + 6.1,5 - 2
5. 3 0 3 = 2 + 0.1,5 + 1
Součet 40 20 40 10 30 0
Aby nastala rovnováha, to znamená rovnost vztahu (ekvivalence), pak iεεεε má takovou hodnotu, aby
tato ekvivalence nastala (aby nastal rovnovážný stav). V tabulce jsou výnosy, které může investor zaznamenat
během prvních pěti měsíců. Zvolili jsme 5,1i ====ββββ . Z tabulky je vidět, že očekávaný výnos za
těchto pět měsíců bude: 8
5
40
ir ======== a 4
5
20
rM ======== . Potom iMii .rr ββββ++++αααα==== = 2 + 4.1,5 = 8 (v našem
grafu y = ir a x = Mr )
4; 10
6; 9
2; 30; 3
8; 15
y = 2 + 1,5x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-2 0 2 4 6 8 10
m ěsíční výnosnosti TP
měsíčnívýnosnostiCP
Obr. 19
Jestliže tir a tMr pochází z dvourozměrného normálního rozložení budou nezaujaté a nejefektivnější
odhady iαααα a iββββ ty, které pochází z regrese tir ve vztahu k tMr . Jak je vidět předcházející úlohu jsme
vyjádřili grafem pomocí regresní funkce, na kterém vidíme, kde leží v jednotlivých měsících výnosnosti
cenného papíru i velikost náhodné chyby tohoto aktiva. Pokud chceme získat odhad hodnoty
koeficientu beta potom lze využít historických (minulých) výnosů a vztahu:
65
(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]]
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
−−−−
−−−−−−−−
====
σσσσ
σσσσ
====ββββ T
1i
2
tMtM
T
1t
tMtMtiti
2
M
iM
i
)r(r
rr.rr
historické beta ( také ex post beta)
Dále pak pro výpočet alfa vztahu: tMitii r.r ββββ−−−−====αααα
Odhadnutá hodnota iβ by měla ležet v intervalu:
(((( ))))n
ii
n
ii
0
i ; βββββ ++++−−−−∈∈∈∈ správně odhadnuté 0
iβ
Stejně iα by měla ležet v intervalu
(((( ))))n
ii
n
iii ; ααααα ++++−−−−∈∈∈∈
Normální chyba beta (rozsah chyby beta):
M
in
i
σσσσ
σσσσ
====ββββ
εεεε
Uvedené parametry iα a iβ můžeme též získat ("odhadnout") z historického přístupu k jejich určení:
Miii r.ˆˆr ββββ++++αααα====
Mr - očekávaná hodnota výnosu tržního portfolia
ir - očekávaná hodnota výnosu CPi
2
ii2
i
i2
i
ii MM
M
M
M
M
M
.ˆ;ˆ;r.rˆ σσσσββββ====σσσσ
σσσσ
σσσσ
====ββββ
σσσσ
σσσσ
−−−−====αααα
Poznámka: Měli bychom zkoumat nestrannost odhadů iˆαααα a i
ˆββββ , zda tyto odhady jsou "nejlepší", zda
mezi těmito odhady mají nejmenší rozptyl. Nejlepším odhadem je metoda nejmenších čtverců.
Dodatek:
Metoda nejmenších čtverců
Mějme n dvojic pozorovaných hodnot ( )y,x ii , kde i = 1, 2, 3, …, n, které tvoří bodový diagram. Množinu
těchto bodů nechť popisuje empirická empirická regresní funkce )c,b,a,x(fy ====
)
. Nechť odchylka
iii yye
)
−−−−==== , kde ie je reziduum
y
bxay ++++====
)
iy
e i
iy
)
x
Obr.20
66
Statistika ∑∑∑∑====
====
n
1i
2
ir eS ( reziduální součet čtverců odchylek), udává rozptýlení pozorovaných hodnot závisle
proměnné y kolem empirické regresní funkce. Metoda nejmenších čtverců je založena na minimalizaci
součtu čtverců reziduálních odchylek. Hledáme tedy minimum této funkce.
minimum)x.bay()yy(eS 2
i
2
ii
n
1i
2
ir ⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====−−−−======== ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑====
)
Pomocí parciálních derivací
b
S
;
a
S rr
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
obdržíme soustavu dvou rovnic o neznámých a a b
Regresní funkce, určená metodou nejmenších čtverců má tyto vlastnosti:
a) ∑∑∑∑ ∑∑∑∑====
====−−−−====
n
1i
ii
2
i 0)yy(e
)
b) Regresní funkce vždy prochází bodem )y,x(M a body odpovídají středním hodnotám.
c) Odhad regresní funkce metodou nejmenších čtverců je nejlepším odhadem
0)1).(x.bay(.2
a
S n
1i
ii
r
====−−−−−−−−−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∑∑∑∑====
∑∑∑∑====
====−−−−−−−−−−−−====
∂∂∂∂
∂∂∂∂ n
1i
iii
r
0)x).(x.bay(.2
b
S
Soustavu upravíme na tvar:
∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
====++++
n
1i
i
n
1i
i yx.ba.n
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ============
====++++
n
1i
ii
n
1i
2
i
n
1i
i y.xx.bx.a
2
n
1i
i
n
1i
2
in
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
s xx.n
xx
xn
D








−−−−======== ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
========
========
====
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ==== ====
========
====
−−−−========
n
1i
n
1i
n
1i
iiiin
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
b y.xy.x.n
y.xx
yn
D
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ======== ====
========
========
−−−−========
n
1i
n
1i
iii
n
1i
n
1i
2
iin
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
a y.x.xx.y
xy.x
xy
D
67
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ==== ====
========
====
−−−−========
n
1i
n
1i
n
1i
iiiin
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
b y.xy.x.n
y.xx
yn
D
2
x
22
2
n
1i
i2
n
1i
2
i
n
1i
n
1i
n
1i
iiii
2
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
n
1i
n
1i
iiii
s
y)(x,arcov
(x)
y)(x,
n
)x(x
y.xy.x
x
n
1
x.
n
1
y
n
1
.x.
n
1
y.x.
n
1
xx.n
y.xy.x.n
b
2
========
−−−−
−−−−
====
====








−−−−
−−−−
========








−−−−
−−−−
====
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
========
==== ==== ====
========
==== ==== ====
rozptyl
kovariance
dělíme
ejmenovateličitatele
Víme, že 2
M
iM
i
σσσσ
σσσσ
====ββββ , kde iMσσσσ je kovariance výnosností cenného papíru s výnosností tržního portfolia
dělená rozptylem výnosností tržního portfolia 2
Mσσσσ .
Hodnotu neznámého parametru a můžeme vypočítat z první rovnice ∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
====++++
n
1i
i
n
1i
i yx.ba.n
x.byx.
n
b
y.
n
1
a
n
1i
i
n
1i
i −−−−====−−−−==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
Potom: )xx.(byyx.bx.byy −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒++++−−−−====
))
regresní přímka prochází bodem )y,x(M , který
odpovídá středním hodnotám x a y.
6.4 Rozptyl výnosnosti cenného papíru
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( ))))
22
M
2
i
2
0
2
f
2
i
2
M
2
i
iifiMiifM
2
i
2
ififi
ii
...
var.rvar.rvar.rrvar
0rvarrvarrrvar
εε
σσβσσβσβ
εββεβ
σσ
++++====++++−−−−====
====++++−−−−====++++−−−−
====−−−−====−−−−====−−−−
321
Víme, že:
2
i
i
M
M
σ
σ
β ====
22
i
2
iε
22
i
2
i
2
ε
2
ε
22
i
2
i MiMiiM σ.βσσσ.βσσσσ.βσ −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====
Rozptyl cenného papíru si můžeme odvodit též z rovnice iiii εβ.rαr M ++++++++==== a dospějeme
k stejnému závěru.
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] ,.)(E)rr.(..2)rr(E.
)rr.(E)r.()r.(E)rr(E
2
i
2
M
2
i
2
iMMii
2
MM
2
i
2
iMMi
2
MiiiMiiii
2
i
εεεεσσσσ++++σσσσββββ====εεεε++++−−−−εεεεββββ++++−−−−ββββ====
====εεεε++++−−−−ββββ====ββββ++++αααα−−−−εεεε++++ββββ++++αααα====−−−−====σσσσ
Neboť [[[[ ]]]] 0)rr.(E MMi ====εεεε
22
i Mσ.β - tržní riziko (systematické riziko)
68
Tržní riziko odráží systematickou míru rozptylu (variability) výnosů a je způsobeno faktory,
které ovlivňují ceny všech cenných papírů obchodovaných na burze.
Zdrojem těchto faktorů jsou:
• makroekonomické změny ⇒ růst nebo pokles HDP, inflace
• politické změny ⇒ válka, revoluce
• sociální změny ⇒ stávky, sociální nepokoje, nezaměstnanost
Systematické riziko je nediverzifikovatelné.
2
iε
σ - jedinečné riziko (netržní, nesystematické riziko)
Jde o část rizika, která je jedinečná pro daný podnik, obor atd.
Jedinečné riziko můžeme diverzifikovat.
Zdrojem těchto faktorů jsou:
• špatná činnost managementu
• nové technologie
• restrukturalizace podniku
Podíl systematického rizika na celkovém riziku CP určuje koeficient determinace.
Odvození koeficientu determinace:
Víme, že:
i
M
i
Mi
2
Mi
Mi
iM
iM .
.
.
. σσσσ
σσσσ
ββββ====
σσσσσσσσ
σσσσββββ
====
σσσσσσσσ
σσσσ
====ρρρρ , neboť 2
MiiM2
M
iM
i .σσσσββββ====σσσσ⇒⇒⇒⇒
σσσσ
σσσσ
====ββββ
Koeficient determinace je pak druhá mocnina odvozeného vztahu, tedy: 2
i
2
M2
i .
σσσσ
σσσσ
ββββ
Koeficient determinace vyjadřuje schopnost tržního modelu vysvětlit pohyby (kolísání ve vztahu výnosu
na jednotlivý cenný papír a změn ve výnosu trhu) ve výnosech jednotlivých akcií na trhu.
Jedinečné riziko s beta nesouvisí a tudíž tato část není odměňována výnosem.
Jedinečné riziko můžeme snížit diverzifikací, tzn. čím více různých typů CP v portfoliu, tím
více klesá riziko. S rostoucím n jedinečné riziko klesá.
Důkaz:
Předpokládejme, že CP mají v portfoliu stejnou váhu (stejnou proporci) iX , tzn.
n
1
Xi ==== .
Potom platí:
(((( ))))
n
...
.
n
1
...
n
1
.
n
1
.X
222
222
2
n
1i
2
2
n
1i
22
i
2
n21
n21iip
εεε
εεεεεε
σσσ
σσσσσσ
++++++++++++
====
====++++++++++++============ ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
Diverzifikace vede k zprůměrování systematického rizika (někteří autoři tento počet cenných papírů,
postačující k diverzifikaci portfolia v počtu 7, 15 nebo až 22).
69
Riziko portfolia
a) výnosnost
Portfolio P je složené z n CP s váhami n21 X,...,X,X . Potom nadměrná výnosnost bude:
f
n
1i
iifp rrXrr −−−−====−−−− ∑∑∑∑
====
Také víme, že: 1X
n
1i
i ====∑∑∑∑
====
a .konstrf ====
Můžeme tedy danou rovnici psát ve tvaru:
∑∑∑∑∑∑∑∑
========
−−−−====−−−−
n
1i
fi
n
1i
iifp rXrXrr
takže: (((( ))))∑∑∑∑
====
−−−−====−−−−
n
1i
fiifp rrXrr , dále víme, že: (((( )))) iifMfi .rrrr εβ ++++−−−−====−−−− ,
dosadíme do rovnice:
( )[ ] ( )
4342143421
pεpβ
n
1i
ii
n
1i
iifM
n
1i
iifMifp εXβX.rrεβ.rrXrr ∑∑∑ ===
+−=+−=−
pβ - beta portfolia - vážený průměr beta CP
pε - vážený průměr náhodných chyb CP
(((( )))) ppfMfp .rrrr εβ ++++−−−−====−−−− nebo (((( )))) ppfMfp .rrrr εβ ++++−−−−++++====
(((( )))) ppMpfppfpMfp .r1r.r.rrr εββεββ ++++++++−−−−====++++−−−−++++====
b) rozptyl (riziko) portfolia
( ) ( ) ( ) 2
p
2
pfpfp σ0σ
0
rvarrvarrrvar =−=−=−
321
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ⇒+−=+− εvarr.βvarr.βvarεβ.rrvar pfpMpppfM
22
M
2
p
2
p p
. ε
σσβσ ++++==== , neboť ∑∑∑∑
====
====
n
1i
22
i
2
ip
.X εε
σσ
2
M
2
p .σβ - systematické riziko portfolia
2
pε
σ - nesystematické riziko portfolia (důkaz)
6.5 Nerovnováha
Mnoho investorů vyhledává CP, které se zdají být nesprávně ohodnoceny, a to:
70
1. CP je podhodnocený (příliš levný), je-li jeho očekávaná výnosnost vyšší než předpokládaná - leží
nad SML
2. CP je nadhodnocený (příliš drahý), je-li jeho očekávaná výnosnost nižší než předpokládaná leží
pod SML
Tržní ceny cenných papírů a jejich očekávané výnosnosti jsou buď ve shodě s danou rovnovážnou
teorií nebo nejsou. Jestliže této rovnovážné teorii některé cenné papíry nevyhovují, potom existuje
nerovnováha v jejich tržních cenách a očekávaných výnosech.
Problém spočívá v tom, že srovnáváme očekávané výnosnosti cenných papírů ir s rovnovážnou
očekávanou výnosností e
ir . Rovnovážná očekávaná výnosnost cenných papírů je taková, jaká by měla
být, kdyby byl cenný papír správně ohodnocen (ležel by na přímce SML).
Alfa cenných papírů je rozdíl mezi očekávanou výnosností a příslušnou rovnovážnou očekávanou
výnosností. Tedy: e
iii rr −−−−====δδδδ
Cenný papír bude nesprávně ohodnocen, jestliže 0≠≠≠≠α .
1. Je-li 0>>>>δδδδ , leží CP nad SML a je podhodnocený,
2. Je-li 0<<<<δδδδ , leží CP pod SML a je nadhodnocený,
3. Je-li 0====δδδδ , leží CP na přímce SML a je správně ohodnocený.
Z toho vyplývá, že je nutno nakupovat cenné papíry, které leží nad přímkou SML a prodávat cenné
papíry ležící pod přímkou SML. Cenné papíry ležící na této přímce je nutno držet.
Z uvedeného grafu vidíme, že cenný papír CP2 je podhodnocený, neboť δδδδ > 0 a cenný papír CP1 je
nadhodnocený δδδδ < 0. Snažili bychom se prodat ty cenné papíry ležící pod přímkou SML a nakupovat
ty, které leží nad touto přímkou.
Cenný papír ββββi ri
CP1 1,75 9,7
CP2 1,20 2,6
CP3 1,30 7,4
CP4 1,85 6,0
CP5 1,8 3,5
CP6 1,9 5,2
rf = 2,2 rM = 3,4
ir SML
CP2
2r
02 >>>>δδδδ M 01 <<<<δδδδ
e
2r CP1
fr
2β 1M ====ββββ 1β β
Obr. 21
71
rf (0; 2,2)
CP1 (1,75; 9,7)
CP3 (1,3; 7,4)
CP6 (1,9; 5,2)
CP4 (1,85; 6)
CP5 (1,8; 3,5)
CP2 (1,2; 2,6)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
beta cenných papírů
výnosnosticennýchpapírů
Obr.22
Na obr. 22 vidíme graf výnosnosti cenných papírů v závislosti na jejich koeficientu beta. Dále si
můžeme všimnout kde leží jednotlivé cenné papíry a podle toho se rozhodnout, které cenné papíry se
budeme snažit prodat, pokud je držíme, a které koupit. Cenné papíry ležící nad přímkou SML jsou
podhodnoceny a budeme se snažit je nakoupit do portfolia a ty cenné papíry ležící pod touto přímkou
se budeme snažit prodat, neboť jsou nadhodnoceny.
Otázky a problémy k zamyšlení:
Úloha 1
Bety čtyř akcií jsou na dokonalém trhu následující:
%6,3r%,5,2r,45,2,997,1,268,0,235,1 Mf4321 ============ββββ====ββββ====ββββ====ββββ
Předpokládejme, že trh je v rovnováze. Vypočítat očekávaný výnos cenných papírů a sestrojit graf.
Úloha 2
Předpokládejme následující míry výnosu:
Rok Mr ir jr iββββ jββββ
1 10 9 22
2 32 24 48
3 20 14 30
4 18 -2 -20
5 17 16 29
6 3 4 -3
7 12 8 21
8 -5 0 -15
9 18 12 28
10 21 15 36
a) Vypočítat ββββ každé akcie
b) Je akcie „i“ agresivní, defenzivní nebo neutrální?
c) Je akcie „j“ agresivní, defenzivní nebo neutrální?
72
d) Vypočítat ββββ každé akcie za 10 let
Úloha 3
Předpokládejme, že kapitálový trh je v rovnováze. Bezriziková úroková sazba je
fr = 0,04, Mr = 0,10 a Mσσσσ = 0,09
a) Popište a nakreslete přímku kapitálového trhu (CML)
b) Posuďte tři z různých CP, jejichž výnosy jsou po řadě 321 r,r,r a mají následující kovariance
s výnosem tržního portfolia:
0054,0,0027,0,0108,0 M,3M,2M,1 rrrrrr ====σσσσ−−−−====σσσσ====σσσσ
c) Popsat a zkonstruovat přímku trhu CP. Zaneste je na přímku SML.
Úloha 4
Mějme CP:
Cenný papír
iββββ ir
1CP 1,75 16,7
2CP 1,20 24,0
3CP 1,30 17,4
4CP 0,75 16,0
8,4rf ==== 4,6rM ====
a) Vypočítejte hodnoty δδδδ
b) Nakreslete přímku SML, očekávané výnosnosti CP a rovnovážné očekávané výnosnosti
c) Jaké budou investiční akce do CP
Poznámka: Víme, že ifMf
e
i ).rr(rr β−−−−++++==== a e
iii rr −−−−====δδδδ
1) Je-li 0>>>>δδδδ leží CP nad SML a je podhodnocený
2) Je-li 0<<<<δδδδ leží CP pod SML a je nadhodnocený
3) Je-li 0====δδδδ leží CP na přímce SML – je správně ohodnocený
Nakupovat CP ležící nad přímkou SML a CP ležící pod přímkou SML se zbavujeme (snažíme se je prodat).
Úloha 5
V tabulce jsou uvedeny výnosnosti společnosti S1 a tržního portfolia za deset let. Máme zakreslit tyto
výnosnosti do grafu, kde na vodorovné ose budou výnosnosti tržního portfolia a na svislé společnosti
S1. Vypočítejte α a β
Rok Tržní portfolio Společnost S1
1 8,0 8,1
2 0,0 3,0
3 14,9 5,3
4 5,0 1,0
5 -4,1 -3,1
6 -8,9 -3,0
7 10,1 5,0
8 5,0 3,2
9 1,5 1,2
10 2,4 1,3
73
7. Určení optimálního portfolia
7.1 Úvodní poznámky
Určení optimálního portfolia spočívá v tom, nalézt optimální váhy (podíly) cenných papírů v tomto
portfoliu. V daném případě záleží na tom najít určitý model, který by určil tento podíl a jednoduchým
matematickým aparátem jej snadno zjistil.
Pozorování cen akcií prozrazuje, že výnosnost většiny akcií má tendenci růst, jestliže roste poptávka
po tomto cenném papíru a naopak klesat v ceně tehdy, jestliže se poptávka snižuje. T o svědčí o tom,
že jedním z důvodů mohou být vzájemné vztahy těchto cenných papírů s výnosem na index akciového
trhu (burzovní index). Jak bylo uvedeno dříve výnos akcie můžeme zapsat:
Miii r.ar ββββ++++==== (7.1)
Kde:
ia - je složka výnosu i -tého cenného papíru, který je nezávislý na chování trhu – náhodná proměnná
Mr - je míra výnosu indexu trhu – náhodná proměnná
iββββ - je konstanta, která vyjadřuje předpokládanou změnu i v závislosti na změně Mr
Tato rovnice jednoduše rozkládá výnos akcie do dvou součástí, kde jedna je na trhu (poptávce) závislá
a druhá nezávislá. Víme též, že koeficient iββββ číselně vyjadřuje, jak citlivý je výnos akcie na výnos
trhu (burzovní index).
Poznámka: Je-li 2i ====ββββ znamená to, že předpokládáme zvýšení (snížení) výnosu akcie o 2% , pokud poptávka
vzroste (klesne) o 1%. Podobně, je-li 5,0i ====ββββ znamená to, že předpokládáme zvýšení (snížení) výnosu
akcie o 0, 5% , pokud poptávka vzroste (klesne) o 1%.
Označení ia představuje součást výnosu, která není, jak bylo řečeno, závislá na výnosu trhu. Tuto
složku je užitečné rozložit na dvě části. Nechť iαααα udává předpokládanou hodnotu ia a iεεεε nechť reprezentuje
náhodný (nejistý, náhodná chyba) prvek ia . Potom: iiia εεεε++++αααα==== , kde iεεεε má předpokládanou
střední hodnotu rovnou nule. Potom výnosnost akcie bude:
iiii Mr.r εεεε++++ββββ++++αααα==== n,2,1, L====∀∀∀∀ i (7.2)
• střední hodnota náhodné chyby: o)(E i ====εεεε n,2,1, L====∀∀∀∀ i
• střední hodnota součinu: [[[[ ]]]] o)rr.(E MMi ====−−−−εεεε n,2,1, L====∀∀∀∀ i
• střední hodnota součinu náhodných chyb: o),(E ji ====εεεεεεεε kde i = 1, 2, …, n a ji ≠≠≠≠
j = 1, 2, …, n
• variance (rozptyl, variabilita) náhodné chyby cenného papíru iεεεε : 2
i
2
i )(E εεεεσσσσ====εεεε
• variance (rozptyl, variabilita) cenného papíru: 222
i
2
i iM. εεεε
σσσσ++++σσσσββββ====σσσσ (7.3)
• kovariance dvou cenných papírů i, j: 2
jiji M.. σσσσββββββββ====σσσσ (7.4)
Důkazy:
1) očekávaná výnosnost cenného papíru:
MMM r.)(E)r(E.)(E)r.(E)r(E iiiiiiiii ββββ++++αααα====εεεε++++ββββ++++αααα====εεεε++++ββββ++++αααα====
2) variance (rozptyl, variabilita) cenného papíru:
74
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] 222
i
2
iii
22
i
2
iiiii
2
iiiii
2
i
iMMMMM
MMMM
.)(E)rr.(E..2)rr(E.
)r.r.E)r.()r.(E
εεεε
σσσσ++++σσσσββββ====εεεε++++−−−−εεεεββββ−−−−−−−−ββββ====
====ββββ−−−−αααα−−−−εεεε++++ββββ++++αααα====ββββ++++αααα−−−−εεεε++++ββββ++++αααα====σσσσ
3) kovariance dvou cenných papírů i, j:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]{{{{ }}}}
[[[[ ]]]][[[[ ]]]]{{{{ }}}} 2
jiji
2
jijjii
jjjjjiiiiiji
MMMMMMM
MMMM
..)(E)rr(E..)rr.((.)rr.((E
)r.()r.(E.)r.()r.(E
σσσσββββββββ====εεεεεεεε++++−−−−ββββββββ====εεεε++++−−−−ββββεεεε++++−−−−ββββ====
====ββββ++++αααα−−−−εεεε++++ββββ++++ααααββββ++++αααα−−−−εεεε++++ββββ++++αααα====σσσσ
pr
pr
ϕϕϕϕ
fr
pσ
pσ
Obr. 22
Z předcházejících kapitol víme, že ∑∑∑∑
====
−−−−====−−−−
n
1i
fiifp )rr.(Xrr a
1/2
n
1i
n
1j
jijip .X.X








σσσσ====σσσσ ∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
Ze středoškolské matematiky pak: 1/2
n
1i
n
1j
jiji
n
1i
fii
p
fp
.X.X
)rr.(X
rr
)X(ftg








σσσσ
−−−−
====
σσσσ
−−−−
========ϕϕϕϕ
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== ====
====
r
Bod X
r
vyhovuje nutným podmínkám pro extrém funkce )Xf( , jestliže současně splňuje:
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
iX
)X(f
r
o , kde i = 1, 2, 3, …, n a 1X
n
1i
i ====∑∑∑∑
====
V našem případě hledáme opět optimální řešení naší úlohy a to maximalizovat velikost úhlu ϕϕϕϕ ,tedy
směrnici přímky ϕϕϕϕtg . V předcházejících kapitolách jsme si odvodili rovnici:
(((( ))))
(((( )))) ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
≠≠≠≠
====
σσσσλλλλ++++σσσσλλλλ====










σσσσ++++σσσσλλλλ====−−−−
====−−−−++++










σσσσ++++σσσσλλλλ−−−−
n
ij
1j
ijj
2
ii
n
ij
1j
ijj
2
iifi
fi
n
ij
1j
ijj
2
ii
.X..X..X.X.rr
0rr.X.X.
75
Dále víme, že ii X.Z λλλλ==== .
Potom:
∑∑∑∑
≠≠≠≠
====
σσσσ++++σσσσ====−−−−
n
ij
1j
jij
2
iifi .Z.Zrr , i = 1, 2, 3, …, n. Za 2
iσσσσ a jiσσσσ dosadíme: 222
i
2
i iM. εεεε
σσσσ++++σσσσββββ====σσσσ a
2
jiji M.. σσσσββββββββ====σσσσ .
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
====
εεεε
≠≠≠≠
====
εεεε
≠≠≠≠
====
εεεε
ββββσσσσββββ++++σσσσ====
====σσσσββββββββ++++σσσσββββ++++σσσσ====σσσσββββββββ++++σσσσ++++σσσσββββ====−−−−
n
1j
jj
2
i
2
i
ij
1j
2
jij
22
ii
2
i
2
j
n
ij
1j
ij
222
iifi
.Z...Z
...Z..Z.Z...Z)..(Zrr
Mi
MMiMiM
(7.5)
Budeme-li eliminovat u tohoto součtu ij≠≠≠≠ , můžeme 2
Mii ..Z σσσσββββ do tohoto součtu včlenit a získáme:
∑∑∑∑∑∑∑∑
====
εεεε
====
εεεε
ββββσσσσββββ++++σσσσ====σσσσββββββββ++++σσσσ====−−−−
n
1j
jj
2
Mi
2
i
2
M
n
1j
jji
2
ifi .Z...Z..Z..Zrr
ii
, i = 1, 2, 3, …, n (7.6)
Celou rovnici vydělíme výrazem 2
iεεεε
σσσσ . Potom:
∑∑∑∑
====εεεεεεεε
ββββ
σσσσ
σσσσββββ
++++====
σσσσ
−−−− n
1j
jj2
2
Mi
i2
fi
.Z.
.
Z
rr
ii
⇒⇒⇒⇒ ∑∑∑∑
====εεεεεεεε
ββββ
σσσσ
σσσσββββ
−−−−
σσσσ
−−−−
====
n
1j
jj2
2
Mi
2
fi
i .Z.
.rr
Z
ii
(7.7)








ββββσσσσ−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∑∑∑∑
====εεεε
n
1j
jj
2
M
i
fi
2
i
i .Z.
rr
.Z
i
. (7.8)
Zaveďme nyní substituci ∑∑∑∑
====
∗∗∗∗
ββββσσσσ====
n
1j
jj
2
M .Z.C , kde ∗∗∗∗
C je konstanta.
Nyní je nutné vypočítat hodnotu součtu ∑∑∑∑
====
ββββ
n
1j
jj .Z z rovnice ∑∑∑∑
====εεεεεεεε
ββββ
σσσσ
σσσσββββ
−−−−
σσσσ
−−−−
====
n
1j
jj2
2
Mi
2
fi
i .Z.
.rr
Z
ii
,
Pokud budeme provádět součet pro j = 1, 2, 3, …, n obdržíme:
∑∑∑∑∑∑∑∑
========εεεεεεεε
ββββββββ
σσσσ
σσσσββββ
−−−−
σσσσ
−−−−
====
n
1j
j
n
1j
jj2
2
Mj
2
fj
j ..Z.
.rr
Z
jj
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
======== εεεεεεεε========
ββββ
σσσσ
ββββ
σσσσ−−−−
σσσσ
−−−−
ββββ====ββββ
n
1j
jj
n
1j
2
2
j2
M2
fj
n
1j
j
n
1j
jj .Z.
rr
..Z
jj
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
======== εεεεεεεε========
ββββ
σσσσ
ββββ
σσσσ−−−−
σσσσ
−−−−
ββββ====ββββ
n
1j
jj
n
1j
2
2
j2
M2
fj
n
1j
j
n
1j
jj .Z.
rr
..Z
jj
76
2
ε
fj
n
1j
j
n
1j
n
1j
jj2
ε
2
j2
M
n
1j
jj
jj
σ
rr
.β.βZ.
σ
β
σ.βZ
−−−−
==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
======== ========
++++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
==== εεεε
==== εεεε
====εεεε======== εεεε====
σσσσ
ββββ
σσσσ++++
ββββ
σσσσ
−−−−
====ββββ⇒⇒⇒⇒
σσσσ
−−−−
ββββ====
σσσσ
ββββ
σσσσ++++ββββ
n
1j
2
2
j2
M
n
1j
j
fj
n
1j
jj2
fj
n
1j
j
n
1j
2
2
j2
M
n
1j
jj
j
j
jj .1
.
rr
.Z
rr
.)1.(.Z (7.9)
Z tohoto odvození pak vyplývá:
∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== εεεε
==== εεεε∗∗∗∗
σσσσ
ββββ
σσσσ++++
ββββ
σσσσ
−−−−
σσσσ
====
n
1j
2
2
j2
M
n
1j
j
fj2
M
j
j
.1
.
rr
.
C (7.10)
Potom 





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
i
fi
2
i
i
i
. (7.11)
Po výpočtu vah iZ je nutno vypočítat váhy v portfoliu iX . Při řešení této úlohy jsme použili substituci:
.
Z
XX.Z i
iii
λλλλ
====⇒⇒⇒⇒λλλλ==== . Jestliže sečteme hodnoty vah iX a iZ přes všechna
i = 1, 2, 3, …, n, získáme váhy (podíly) cenných papírů v portfoliu.
∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
====λλλλ
n
1i
i
n
1i
i ZX.
Z předcházejícího víme, že 1X
n
1i
i ====∑∑∑∑====
a proto λλλλ====∑∑∑∑
====
n
1i
iZ .
uvedené substituce
∑∑∑∑
====
====
λλλλ
==== n
1i
i
ii
i
Z
ZZ
X ∑∑∑∑
====
≠≠≠≠∧∧∧∧
n
1i
i oZ a i = 1, 2, 3, …, n
7.2 Výpočet vah v portfoliu – sell short je zakázán (nebo Sales short, prodej nakrátko)
Máme určit váhy (podíly) cenných papírů v portfoliu, kde je zakázán sell short (prodej nakrátko. ).
K tomu mějme výnosnost bezrizikového aktiva fr , výnosnosti cenných papírů ir , jejich koeficienty
iββββ , rozptyl náhodných chyb 2
iεεεε
σσσσ a rozptyl výnosnosti burzovního indexu 2
Mσσσσ .
Postup výpočtu:
Očekávaná nadměrná výnosnost cenného papíru v poměru k jeho koeficientu β bude:
ββββ
−−−− fi rr
Potom podle vztahu
∑∑∑∑
∑∑∑∑
==== εεεε
==== εεεε
σσσσ
ββββ
σσσσ++++
ββββ
σσσσ
−−−−
σσσσ
====
n
1j
2
2
j2
M
n
1j
j
fj2
M
i
j
j
.1
.
rr
.
C vypočítáme hodnoty iC pro každý cenný papír.
77
Z této množiny čísel vybereme ta ki
rr
C fi
k ∈∈∈∈∧∧∧∧
ββββ
−−−−
<<<< . Nejmenší z těchto čísel si označíme ∗∗∗∗
C ,
což bude dané omezení portfolia, u kterého je zakázán sell short.
Toto číslo nám zabezpečuje to, že 





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
i
fi
2
i
i
i
bude kladné a tedy i váhy v portfoliu
budou kladné. Z předcházejícího výrazu je jasné, že ∗∗∗∗
C musí být menší než podíl
i
fi rr
ββββ
−−−−
, což zabezpečuje,
že i iZ bude kladné.
Postup: Cenné papíry seřadíme sestupně podle velikosti podílů
i
fi rr
ββββ
−−−−
.
V následujících výpočtech pak určíme hodnoty čísel nC . Nejdříve vypočítáme n21 C,,C,C L
,
.1
).rr().rr(
.
C,
.1
.
)rr.(
C
2
2
2
2
2
12
2
2f2
2
1f12
2
2
2
12
12
f1
2
1
21
M
21
M
1
M
1
M








σσσσ
ββββ
++++
σσσσ
ββββ
σσσσ++++








σσσσ
ββββ−−−−
++++
σσσσ
ββββ−−−−
σσσσ
====
σσσσ
ββββ
σσσσ++++
ββββ
σσσσ
−−−−σσσσ
====
εεεεεεεε
εεεεεεεε
εεεε
εεεε
L,
.1
).rr().rr().rr(
.
C
2
2
3
2
2
2
2
2
12
2
3f3
2
2f2
2
1f12
3
321
M
321
M








σσσσ
ββββ
++++
σσσσ
ββββ
++++
σσσσ
ββββ
σσσσ++++








σσσσ
ββββ−−−−
++++
σσσσ
ββββ−−−−
++++
σσσσ
ββββ−−−−
σσσσ
====
εεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεε
,L








σσσσ
ββββ
++++++++
σσσσ
ββββ
++++
σσσσ
ββββ
++++
σσσσ
ββββ
σσσσ++++








σσσσ
ββββ−−−−
++++++++
σσσσ
ββββ−−−−
++++
σσσσ
ββββ−−−−
++++
σσσσ
ββββ−−−−
σσσσ
====
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεεεεεεεεεεεεεεε
2
2
n
2
2
3
2
2
2
2
2
12
2
nfn
2
3f3
2
2f2
2
1f12
n
n321
M
n321
M
.1
).rr().rr().rr().rr(
.
C
L
L
Z těchto čísel vybereme ta, která jsou menší než
i
fi rr
ββββ
−−−−
. Tedy
i
fi
i
rr
C
ββββ
−−−−
<<<< . Poslední číslo, které je
ještě menší než uvedený podíl, to znamená číslo ∗∗∗∗
==== CCk pro i = 1, 2, 3, …, k.
Postupně vypočítáme hodnoty proměnných k321 Z,,Z,Z,Z L .
Tedy:






−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
====






−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
====
∗∗∗∗
εεεε
∗∗∗∗
εεεε
∗∗∗∗
εεεε
∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
,,C
rr
.Z,C
rr
.Z,C
rr
.Z
k
fk
2
k
k
3
f3
2
3
3
2
f2
2
2
2
1
f1
2
1
1
k
321
L
Nyní zbývá vypočítat podíly (váhy) cenných papírů v portfoliu.
78
K tomu využijeme naší substituce:
∑∑∑∑
====
==== k
1i
i
i
i
Z
Z
X ,
Tedy:
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
============
============ k
1i
i
k
kk
1i
i
2
2k
1i
i
1
1
Z
Z
X,,
Z
Z
X,
Z
Z
X L
Celý postup si vysvětlíme na příkladu.
Máme sestavit portfolio z cenných papírů, kde je zakázán prodej nakrátko (sell short). Předpokládejme, že výnosnost
bezrizikového aktiva bude 0,05 a rozptyl tržního portfolia pak 10,0
2
M ====σσσσ
Tabulka 1
Cenný papír
i
ir fi rr −−−− iββββ 2
iεεεε
σσσσ i
fi rr
ββββ
−−−−
1 0,15 0,10 1 50 0,10
2 0,17 0,12 1,5 40 0,08
3 0,12 0,07 1 20 0,07
4 0,17 0,12 2 10 0,06
5 0,11 0,06 1 40 0,06
6 0,11 0,06 1,5 30 0,04
7 0,11 0,06 2 40 0,03
8 0,07 0,02 0,8 16 0,025
Tabulka 2
Cenný
papír
i
i
fi rr
ββββ
−−−−
2
ifi
i
).rr(
εεεε
σσσσ
ββββ−−−−
2
2
i
iεεεε
σσσσ
ββββ
∑∑∑∑
==== εεεε
σσσσ
ββββ−−−−n
1i
2
ifi
i
).rr(
∑∑∑∑
==== εεεε
σσσσ
ββββn
1i
2
2
i
i iC
1 0,1 0,002 0,02 0,002 0,02 0,016667
2 0,08 0,0045 0,05625 0,0065 0,07625 0,036879
3 0,07 0,0035 0,05 0,01 0,12625 0,044199
4 0,06 0,024 0,4 0,034 0,52625 0,054291
5 0,06 0,0015 0,025 0,0355 0,55125 0,054511
6 0,04 0,003 0,075 0,0385 0,62625 0,053012
7 0,03 0,003 0,1 0,0415 0,72625 0,050227
8 0,025 0,001 0,04 0,0425 0,76625 0,049062
∗∗∗∗
======== C054511,0C5 , neboť k = 5, kde ki
rr
C fi
i ∈∈∈∈∧∧∧∧
ββββ
−−−−
<<<<
Potom: 0,000910,054511
1
0,050,15
.
50
1
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
1
f1
2
1
1
1
79
0,000955840,054511
1,5
0,050,17
.
40
1,5
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
2
f2
2
2
2
2
0,00077450,054511
1
0,050,12
.
20
1
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
3
f3
2
3
3
3
0,00109780,054511
2
0,050,17
.
10
2
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
4
f4
2
4
4
4
0,00013720,054511
1
0,050,11
.
40
1
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
C
rr
.Z
5
f5
2
5
5
5
Součet hodnot 0,0038751
5
1i
i
k
1i
i ZZ ======== ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
. Nyní vypočítáme váhy cenných papírů v portfoliu ze
známého vztahu :
∑∑∑∑
====
==== k
1i
i
i
i
Z
Z
X 0,23477633
0,0038751
0,0009098
============
∑∑∑∑====
5
1i
i
1
1
Z
Z
X ,
0,24666185
0,0038751
0,00095584
============
∑∑∑∑
====
5
1i
i
2
2
Z
Z
X , 0,19985329
0,0038751
0,0007745
============
∑∑∑∑
====
5
1i
i
3
3
Z
Z
X
0,28329646============
∑∑∑∑
====
0,0038751
0,0010978
5
1i
i
4
4
Z
Z
X , 0,03541206
0,0038751
0,0001372
============
∑∑∑∑
====
5
1i
i
5
5
Z
Z
X
)X 0,03541206;0,28329646;0,19985329;0,24666185;23477633,0(====
r
7.3 Výpočet vah(podílů) v portfoliu – sell short je povolen ( prodej nakrátko)
Budeme řešit stejnou úlohu jako v případě, kde je zakázán prodej nakrátko..
Tabulka 3
Cenný
papír
i
i
fi rr
ββββ
−−−−
2
ifi
i
).rr(
εεεε
σσσσ
ββββ−−−−
2
2
i
iεεεε
σσσσ
ββββ
∑∑∑∑
==== εεεε
σσσσ
ββββ−−−−n
1i
2
ifi
i
).rr(
∑∑∑∑
==== εεεε
σσσσ
ββββn
1i
2
2
i
i iC
1 0,1 0,002 0,02 0,002 0,02 0,016667
2 0,08 0,0045 0,05625 0,0065 0,07625 0,036879
3 0,07 0,0035 0,05 0,01 0,12625 0,044199
4 0,06 0,024 0,4 0,034 0,52625 0,054291
5 0,06 0,0015 0,025 0,0355 0,55125 0,054511
80
6 0,04 0,003 0,075 0,0385 0,62625 0,053012
7 0,03 0,003 0,1 0,0415 0,72625 0,050227
8 0,025 0,001 0,04 0,0425 0,76625 0,049062
Z tabulky 2 je vidět, že u cenného papíru CP6 je
i
fi
i
rr
C
ββββ
−−−−
>>>> tedy 0,040,053012 >>>> neboť
0,0530126C ==== a 0,04
i
fi rr
====
ββββ
−−−−
. Stejně tak u dalších zbývajících cenných papírů 87 C,C .
Zde budeme uvažovat všech osm cenných papírů, které zařadíme do portfolia.
Za 0,0490628CC ========∗∗∗∗
.Další postup je stejný jako u předcházející úlohy.
0,0010188====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
1
0,050,15
.
50
1
C
rr
.Z
1
f1
2
1
1
1
0,0011602====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
1,5
0,050,17
.
40
1,5
C
rr
.Z
2
f2
2
2
2
2
0,0010469====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
1
0,050,12
.
20
1
C
rr
.Z
3
f3
2
3
3
3
0,0021876====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
2
0,050,17
.
10
2
C
rr
.Z
4
f4
2
4
4
4
0,0002735====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
1
0,050,11
.
40
1
C
rr
.Z
5
f5
2
5
5
5
0,0003021-C
rr
.Z
6
f6
2
6
6
6
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
1,5
0,050,11
.
30
1
0,0009531-C
rr
.Z
7
f7
2
7
7
7
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
2
0,050,11
.
40
2
0,0012031-C
rr
.Z
8
f8
2
8
8
8
====−−−−
−−−−






====





−−−−
ββββ
−−−−
σσσσ
ββββ
==== ∗∗∗∗
εεεε
0,049062
0,8
0,050,07
.
16
0,8
Součet hodnot 0,0032286
8
1i
i
n
1i
i ZZ ======== ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
. Stejně jako u předcházející úlohy vypočítáme váhy
81
cenných papírů v portfoliu ze známého vztahu :
∑∑∑∑
====
==== n
1i
i
i
i
Z
Z
X
0,315541
0,0032286
0,0010188
============
∑∑∑∑
====
8
1i
i
1
1
Z
Z
X , 0,359341
0,0032286
0,0011602
============
∑∑∑∑
====
8
1i
i
2
2
Z
Z
X
0,324256
0,0010469
============
∑∑∑∑
====
0,00322868
1i
i
3
3
Z
Z
X , 0,677565============
∑∑∑∑
====
0,0032286
0,0021876
8
1i
i
4
4
Z
Z
X
0,084696
0,0002735
============
∑∑∑∑
====
0,00322868
1i
i
5
5
Z
Z
X , 0,09356-
0,0003021-
============
∑∑∑∑
====
0,00322868
1i
i
6
6
Z
Z
X
0,2952-
0,0009531-
============
∑∑∑∑
====
0,00322868
1i
i
7
7
Z
Z
X , 0,37264-
0,0012031-
============
∑∑∑∑
====
0,00322868
1i
i
8
8
Z
Z
X
0,37264)-0,2952;-0,09356;-0,084696;0,677565;0,324256;0,359341;0,315541;(X ====
r
Otázky a problémy k zamyšlení:
Úloha 1
Vyřešte portfolio sestavené z těchto cenných papírů, máme-li zadané tyto hodnoty:
Cenné papíry
i
Výnosnost
ir v%
Nadměrná výnosnost
CP
fi rr −−−−
Beta
iβ
Nesystematické
riziko
2
εi
σ v %
i
fi
β
rr −−−−
1 15 10 1 50 10
2 17 12 1,5 40 8
3 12 7 1 20 7
4 17 12 2 10 6
5 11 6 1 40 6
6 11 6 1,5 30 4
7 11 6 2 40 3
8 7 2 0,8 16 2,5
9 7 2 1 20 2
10 5,6 0,6 0,6 6 1,0
%5rf ==== , 10σ2
M ====
1) Vypočítat Ci u jednotlivých cenných papírů a určit C*
2) Vypočítat váhy jednotlivých cenných papírů v portfoliu, je-li zakázán sell short a je-li povolen
82
3) Vypočítat výnosnost a riziko portfolia
Úloha 2
Cenné papíry
i
Výnosnost
ir v%
Nadměrná výnosnost
CP
fi rr −−−−
Beta
iβ
Nesystematické
riziko
2
εi
σ v %
i
fi
β
rr −−−−
1 19 16 1 20
2 23 20 1,5 30
3 11 9 0,5 10
4 25 22 2 40
5 13 10 1 20
6 9 6 0,5 50
7 14 11 1,5 30
8 10 7 1 50
9 9,5 6,5 1 50
10 13 10 2 20
11 11 9 1,5 30
12 8 5 1 20
13 10 7 2 40
14 7 4 1 20
%3rf ==== , 102
M ====σσσσ
1) Vypočítat Ci u jednotlivých cenných papírů a určit C*
2) Vypočítat váhy jednotlivých cenných papírů v portfoliu, je-li zakázán sell
short a je-li povolen
3) Vypočítat výnosnost a riziko portfolia
8. Faktorové modely
Cílem teorie portfolia je poskytnout prostředky, pomocí nichž by investor určoval své optimální
portfolio v případě, že je nekonečně mnoho možností. Dříve bylo ukázáno, že investorovi stačí
odhadnout očekávanou výnosnost a směrodatnou odchylku každého CP pro zahrnutí do portfolia a
všechny jejich kovariance. Podle jejich odhadů můžeme odvodit zakřivenou Markowitzovu efektivní
množinu. Potom můžeme při zadané bezrizikové sazbě určit tangenciální portfolio a určit umístění
lineární efektivní množiny. Nakonec můžeme investovat do tangenciálního portfolia, vypůjčovat si
nebo zapůjčovat při bezrizikové sazbě a velikost této částky přizpůsobovat svým postojům k riziku.
Dále jsme si uvedli proces generující výnosnost pod názvem charakteristická přímka. Existují
však modely. které taktéž generují výnosnost CP. Tyto modely se často nazývají faktorové modely
(indexové modely), neboť tvrdí, že výnosnost CP je citlivá na změnu různých faktorů (indexů). Ukazuje
se, že skutečné výnosnosti CP jsou citlivé na více faktorů než pouze na změnu výnosnosti tržního
portfolia. Jestliže vyjdeme z toho, že existuje více než jeden faktor, který ovlivňuje výnosnost CP,
bude naším úkolem tyto faktory zjistit a určit citlivost CP v závislosti na nich.
Makroekonomická klasifikace faktorů (ekonomické faktory)
83
1. Inflace (očekávaná a neočekávaná)
2. Neočekávané změny v časové struktuře úrokových sazeb
3. Neočekávané a očekávané změny míry růstu průmyslové výroby
4. Výnos tržního portfolia
5. Roční výnos do doby splatnosti (ze státních CP) atd.
6. Růst hrubého národního produktu (HNP)
Mimoekonomické faktory
1. přírodní podmínky - vliv zpráv o záplavách, zemětřesení, neúrodě, vyčerpání surovinových zdrojů
atd.
2. psychologické - vliv počasí na psychiku a tedy i na chování investora na peněžním a kapitálovém
trhu (burzovní panika se může projevit tak, že průměrný investor se připojí ke skupině investorů,
aby zabránil skutečným nebo pomyslným ztrátám, i za cenu, že jeho rozhodnutí nemusí být správ-
né
3. válečné konflikty - vliv zpráv o vzniklých válečných konfliktech a možného vývoje cen surovin
8.1 Jednofaktorové modely
Začneme u nejjednoduššího jednofaktorového modelu, neboť i někteří investoři tvrdí, že procesy
generující výnosnost CP používají jediný faktor. Například faktor růst hrubého národního produktu
nebo růst průmyslové produkce, výnosnost burzovního indexu atd.
Obecně můžeme jednofaktorový model zapsat ve tvaru:
iiii eF.bar ++++++++==== (8.1)
kde:
F - hodnota faktoru
bi - citlivost CP i na tento faktor (někdy se bi také nazývá váha faktoru), a 2
F
iFi
i
)Fvar(
)r,Fcov(
b
σσσσ
σσσσ
========
Kdyby hodnota faktoru byla nulová, potom výnosnost CP by byla rovna:
iii ear ++++====
Potom očekávaná výnosnost cenného papíru podle jednofaktorového modelu bude:
F.bar iii ++++==== , neboť o)e(E i ====
U jednofaktorového modelu lze ukázat, že rozptyl libovolného CP i bude roven:
2
ie
2
F
2
i
2
i σσ.bσ ++++==== (8.2)
Kovarianci mezi libovolnými dvěma cennými papíry i a j bude:
2
Fjiji σ.b.bσ ==== (8.3)
Předcházející rovnice jsou založeny na dvou kritických předpokladech:
1. Náhodná chyba a faktor nejsou korelovány (hodnota faktoru nemá žádný vliv na hodnotu náhodné
chyby).
84
2. Náhodné chyby dvou libovolných CP nejsou též korelovány (náhodná chyba jednoho CP nemá
žádný vliv na náhodnou chybu druhého CP). Jinými slovy: výnosnosti dvou CP budou korelovány
tzn. budou se pohybovat společně díky společné reakci na faktor.
Pokud nebude některý z těchto předpokladů splněn, bude tento model pouze přibližný. Nyní si ukážeme,
že charakteristická přímka je takovým příkladem jednofaktorového modelu, kde faktorem je výnosnost
tržního portfolia rM.
Z předchozího výkladu víme, že charakteristická přímka má rovnici:
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] iMiifiiiifMifi r.1.rr.rrrr εεεε++++ββββ++++ββββ−−−−++++αααα====⇒⇒⇒⇒εεεε++++ββββ−−−−++++αααα====−−−−
Porovnáním této rovnice s jednofaktorovým modelem je vidět, že rovnice charakteristické přímky je
příkladem jednofaktorového modelu, kde faktorem je výnosnost tržního portfolia tzn. rM = F.
Důkaz: ii rr ====
(((( ))))[[[[ ]]]] iiifiiii εr.ββ1.rαeF.ba M ++++++++−−−−++++====++++++++ (8.4)
Z toho: (((( ))))ifii β1.rαa −−−−++++====
ii βb ====
ii εe ====
Investor se tedy dívá na cenný papír jako na papír závislý na jednom faktoru-tržním portfoliu (indexu).
Faktorové modely jsou jen dalším způsobem, jak provést odhady iσσσσ a ir u každého cenného papíru a
kovariance pro jejich každou dvojici. Pro jednofaktorové modely pak stačí odhadnout ai, bi a ei pro
každý cenný papír. Dále musíme odhadnout očekávanou hodnotu faktoru F (střední hodnotu) a jeho
směrodatnou odchylku Fσ (chyba odhadované hodnoty). Pomocí těchto hodnot (parametrů) snadno
pak vypočítáme ir , iσ a ijσ .
V jednofaktorovém modelu je riziko portfolia rovno:
21
2
e
2
F
2
p
21
n
1i
2
e
2
i
2
F
2
n
1i
iip pi
σσ.bσ.Xσ.b.Xσ 



 ++++====








++++








==== ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
(8.5)
kde:
∑∑∑∑∑∑∑∑
========
========
n
1i
2
e
2
i
2
e
n
1i
iip ip
σ.Xσab.Xb (8.6)
Neboť ∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ==== ======== ====
σσσσ++++σσσσ====σσσσ++++σσσσ====σσσσ====σσσσ
n
1i
2
ie
n
1i
2
i
2
F
2
i
2
i
n
1i
n
1i
2
ie
2
F
2
i
2
i
2
i
2
i
2
p .X.b.X).b.(X.X
Dříve jsme mluvili o tržním (systematickém) riziku a jedinečném (nesystematickém) riziku portfolia.
Stejně u faktorových modelů mluvíme o faktorovém riziku a nefaktorovém riziku portfolia, které můžeme
diverzifikovat, a tím zmenšit nefaktorové riziko. Diverzifikace vede k průměrkování faktorového
rizika. Potom faktorové a nefaktorové riziko, které můžeme snížit diverzifikací bude:
2
F
2
n
1i
ii
2
F
2
p σ.b.Xσ.b








==== ∑∑∑∑
====
-faktorové riziko-systematické faktorové riziko (8.7)
85
∑∑∑∑
====
====
n
1i
2
e
2
i
2
e ip
σ.Xσ - nefaktorové riziko-jedinečné faktorové riziko (8.8)
Můžeme si to ukázat vyšetřením rovnice (8.8), jestliže předpokládáme, že podíl každého cenného
papíru v portfoliu bude stejný:
n
1
Xi ==== . Potom ∑∑∑∑====







 σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ
====σσσσ





====σσσσ
n
1i
2
ne
2
2e
2
1e2
ie
2
2
pe
n
.
n
1
.
n
1 L
Hodnota uvnitř závorky je průměrné nefaktorové riziko cenných papírů. Z uvedeného výrazu je zřejmé,
že čím více cenných papírů bude v portfoliu, bude se snižovat i tato hodnota.
8.2 Dvoufaktorový model
Jako příklad vícefaktorového modelu si uvedeme nejdříve dvoufaktorový model, který můžeme zapsat
následovně:
i22i11iii eF.bF.bar ++++++++++++====
kde:
1F a 2F - jsou dva faktory s převážným vlivem na výnosnost cenného papíru (např. F1 může být tempo růstu
HNP a F2 může být míra inflace);
1ib a 2ib - jsou citlivosti cenného papíru i na tyto faktory. Stejně jako u jednofaktorového modelu je ie náhodná
chyba a ia je očekávaná výnosnost cenného papíru i, pokud jsou oba faktory rovny nule.
,
)Fvar(
)F,rcov(
b 2
1F
1iF
1
1i
1i
σσσσ
σσσσ
======== ,
)Fvar(
)F,rcov(
b 2
2F
2iF
2
2i
2i
σσσσ
σσσσ
========
U dvoufaktorového modelu musí být odhadnuty pro každý cenný papír čtyři parametry: ia , 1ib , 2ib a
směrodatná odchylka náhodné chyby ieσ . Pro každý faktor musíme též odhadnout dva parametry:
očekávanou hodnotu každého faktoru 1F a 2F a jejich směrodatné odchylky 1Fσσσσ a 2Fσσσσ . S použitím
těchto odhadů pak můžeme určit očekávanou výnosnost libovolného cenného papíru i s použitím vzta-
hu:
i22i11iii eF.bF.bar ++++++++++++====
22i11iii F.bF.bar ++++++++==== neboť o)e(E i ==== (8.9)
Jsou-li faktory nekorelované (neexistuje mezi nimi žádný vztah), potom pro libovolný cenný papír
bude rozptyl:
2
e
2
F
2
i
2
F
2
i
2
i i2211
σσ.bσ.bσ ++++++++==== (8.10)
a kovariance mezi libovolnými dvěma cennými papíry i a j:
2
Fji
2
Fjiij 222111
σ.b.bσ.b.bσ ++++==== (8.11)
Pokud by dané faktory byly korelované, potom by naše rovnice (8.10) pro 2
iσ musela obsahovat člen:
(((( ))))212i1i F,Fcov.b.b.2 , takže rozptyl pro daný CP bude:
(((( )))) 2
ie212i1i
2
2F
2
2i
2
1F
2
1i
2
i F,Fcov.b.b.2.b.b σσσσ++++++++σσσσ++++σσσσ====σσσσ (8.12)
86
a rovnice pro ijσ bude rozšířena o člen (((( )))) (((( ))))211j2i2j1i F,Fcov.b.bb.b ++++ , takže daná rovnice (8.11)
nakonec bude mít tvar (8.13):
(((( )))) (((( ))))211j2i2j1i
2
2F2j2i
2
1F1j1iij F,Fcov.b.bb.b.b.b.b.b ++++++++σσσσ++++σσσσ====σσσσ (8.13)
Stejně jako u jednofaktorového modelu je citlivost portfolia na určitý faktor ve vícefaktorovém modelu
váženým průměrem citlivosti cenných papíru na daný faktor. Je to dáno tím, že výnosnost portfolia
je váženým průměrem výnosnosti cenných papírů v portfoliu.
Tedy:
(((( ))))
p2p1pp
n
1i
ii
n
1i
2ii
n
1i
1ii
n
1i
ii
i2i1iii
n
1i
iip
eF.bF.ba
e.XF.b.XF.b.Xa.X
eF.bF.ba.Xr.Xr
21
21
21
++++++++++++====
====++++++++++++====
====++++++++++++========
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
================
====
(8.14)
kde: ∑∑∑∑
====
====
n
1i
iip a.Xa ∑∑∑∑
====
====
n
1i
iip 11
b.Xb
∑∑∑∑
====
====
n
1i
iip 22
b.Xb ∑∑∑∑
====
====
n
1i
iip e.Xe
Z uvedené rovnice je vidět, že citlivosti portfolia 1pb a 2pb jsou váženými průměry odpovídajících
citlivostí jednotlivých cenných papírů na tyto faktory.
8.3 Vícefaktorové modely
Vícefaktorový model popisuje výnos i-tého aktiva za dobu trvání portfolia. Je daný vztahem:
i
K
1k
kkiiikki22i11iii eF.baeF.b...F.bF.bar ++++++++====++++++++++++++++++++==== ∑∑∑∑====
Víme, že výnosnost portfolia bude:
∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ================
========
++++++++++++++++++++====
====++++++++++++++++++++========
n
1i
n
1i
ikii
n
1i
k2ii2
n
1i
1ii1
n
1i
ii
ikki
n
1i
22i11iii
n
1i
iip
eb.X.F...b.XFb.XFa.X
)eF.bF.bF.ba.(Xr.Xr L
(8.15)
Dále pro určení rizika portfolia použijeme náš známý výraz:
(((( ))))∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ==== ========
========
n
1i
n
1i
n
1j
jiji
n
1j
ijji
2
p r,rcov.X.Xσ.X.Xσ
Pro kovarianci )r,rcov( ji potom platí :
87














++++++++++++++++==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ ======== 444 3444 21444 3444 21
jrir
K
1m
jmmij
K
1k
ikkiiji eFba;eFbacov)r,rcov( =
)e,ecov()F,ecov(.b)F,ecov(.b)F,Fcov(.b.b ji
K
1m
mjmj
K
1k
kiki
K
1k
K
1m
mkmjki ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ============ ====
++++++++++++==== (8.16)
Poznámka:
1. Do faktorových modelů můžeme zahrnout i faktor času, a potom bychom označili:
tir - náhodná veličina, která popisuje výnos i-tého aktiva v časovém
období t
tiF - je faktor, který ovlivňuje výnos i-tého aktiva v čase t
tia - je úrovňová konstanta, která určuje výnos i-tého aktiva v čase t
2. Rozhodování o určité investici na základě faktorového modelu je zpravidla zaměřeno na kvantifikaci budoucího
očekávaného výnosu jednotlivých aktiv vzhledem k budoucí předpokládané velikosti faktorů, které
ovlivňují výnos aktiva. Otázkami spojenými s kvantifikací rizika změny výnosu aktiva nebo portfolia se ve vícefaktorovém
modelu nezabýváme, a proto do sestavovaného portfolia vybíráme ta aktiva, u kterých předpokládáme
největší výnos. Při takovémto sestavování portfolia přistupujeme k rizikovosti většinou intuitivně.
3. Pokud kvantifikujeme ve vícefaktorových modelech též riziko změny výnosu jednotlivých aktiv, můžeme se
znalostí kovariancí mezi výnosy aktiv zjistit i riziko změny výnosu portfolia.
Model arbitrážní teorie oceňování APT (Arbitrage Pricing Theory)
1. Pojem arbitráž:
• v právní terminologii - mimosoudní řešení obchodních sporů
2. Ve finančních operacích
• obchody, při kterých se využívají cenové rozdíly na různých burzách, u kterých jsou charakteristické
tyto znaky:
- cenové rozdíly
- stejná doba
- nestejná místa
Kdysi se tento způsob často používal, ale v současné době při rozvinutých informačních sítí se tento
způsob obchodování s cennými papíry používá velmi zřídka. Přesto se ještě tyto operace provádějí
jako cenové, devizové a úrokové. Model APT je speciálním případem vícefaktorového modelu, kde
opět předpokládáme:
a) (((( )))) n1,2,3,...,i ======== ,eE 0i
b) (((( )))) K1,2,...,km,k,m ====≠≠≠≠==== ,F,Fcov 0mk
c) (((( )))) n1,2,...,ji,j,i ====≠≠≠≠==== ,e,ecov 0ji
d) (((( )))) K1,2,...,kn,1,2,...,i ============ ,F,ecov 0ki
Na základě těchto předpokladů (a, b) potom rovnice (8.16) pro ijσ přejde do tvaru:
88
∑∑∑∑====
σσσσ====σσσσ
K
1k
2
kFkjkiij .b.b (8.17)
Odtud pro výnos portfolia obdržíme:








++++==== ∑∑∑∑∑∑∑∑ ========
K
1k
kkii
n
1i
ip F.ba.Xr
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑
========
======== ========
==== ==== ========
σσσσ++++σσσσ====
====σσσσ++++σσσσ














====
====σσσσ++++σσσσ====σσσσ
σσσσ
n
1i
2
ie
2
i
2
kF
K
1k
2
kp
n
1i
2
ie
2
i
2
kF
K
1k
kp
n
1j
kjj
kp
n
1i
kii
n
1i
n
1j
n
1i
2
ie
2
i
K
1k
2
kFkjkiji
2
p
.X.b
.X.b.X.b.X
.Xb.b.X.X
bb
ij
4342143421
44 344 21
(8.18)
kde: ∑∑∑∑====
====
n
1i
kiikp b.Xb
S užitím předpokladu (a) a rovnice (8.14) obdržíme výnosnost portfolia:
(((( ))))
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
========
================
========
++++====++++
++++++++++++++++++++====
====++++++++++++++++++++========
K
1k
kkp
n
1i
iiii
n
1i
kii
n
1i
k2ii2
n
1i
1ii1
n
1i
ii
n
1i
ikki22i11iii
n
1i
iip
Fba.Xe.X
b.X.F...b.XFb.XFa.X
eF.bF.bF.ba.Xr.Xr L
(8.19)
Tato portfolia mají právě zásadní význam v arbitrážní teorii oceňování. Teorie stanovení cen arbitráží
je podobně jako CAPM rovnovážným modelem pro určení cen aktiv. Na rozdíl od CAPM předpokládá
APT, že výnosnosti jsou generovány faktorovým modelem. CAPM vyžadoval dosti silné předpoklady
o preferencích investorů (výnosnost, riziko, odpor k riziku), zatímco APT takovéto silné předpoklady
nedělá. APT není založena na myšlence, že všichni investoři pohlížejí na portfolio ve smyslu očekávaných
výnosností a směrodatných odchylek. Místo toho APT předpokládá, že investoři dávají přednost
vyšší výnosnosti před nižší úrovní bohatství.
8.4 Sloučení APT a CAPM
Na rozdíl od APT nepředpokládá CAPM, že výnosnosti jsou generovány faktorovým modelem.
Můžeme však vytvořit model, kde jsou výnosnosti generovány faktorovým modelem a kde platí
všechny předpoklady CAPM.
Koeficienty beta a citlivost na faktory
Jestliže předpokládáme, že výnosnosti jsou generovány dvoufaktorovým modelem, můžeme ukázat,
že kovariance výnosnosti cenného papíru i a výnosnosti tržního portfolia M bude:
89
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 2
MMi2iM21iM1Mi :/r,ecovb.r,Fcovb.r,Fcovr,rcov σσσσ++++++++====
V předcházející části bylo odvozeno, že koeficient:
(((( ))))
2
M
Mi
i
σ
r,rcov
β ==== .
Jestliže vydělíme obě strany rovnice 2
Mσ , obdržíme:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
M
Mi
2i2
M
M2
1i2
M
M1
i
σ
r,ecov
.b
σ
r,Fcov
.b
σ
r,Fcov
β ++++








++++








==== (8.17)
Z praktického hlediska bude člen
(((( ))))
2
M
Mi
σ
r,ecov
velmi malý a můžeme jej zanedbat. Na předcházející
členy se můžeme dívat jako na faktorové beta.
Takže:
(((( )))) (((( ))))
2
M
M2
2F2
M
M1
1F
r,Fcov
a
r,Fcov
σσσσ
====ββββ
σσσσ
====ββββ
Potom danou rovnici můžeme přepsat do tvaru:
2i2F1i1Fi .bβ.bββ ++++==== (8.18)
Protože
1F
β a
2F
β jsou konstanty a nemění se od cenného papíru k cennému papíru, vyjadřuje rovnice,
že koeficient beta i-tého cenného papíru je funkcí jeho citlivosti na podstatné faktory. Důvodem
různého beta u jednotlivých cenných papírů spočívá v tom, že mají odlišné citlivosti na jednotlivé
faktory.
8.5 Sektorové faktorové modely
Cenné papíry stejného průmyslového odvětví se často pohybují společně a stejně reagují na
změny ve vyhlídkách tohoto sektoru. Někteří investoři to uznávají tím, že používají speciální typ vícefaktorového
modelu, který se nazývá sektorový faktorový model. Abychom mohli použít sektorový
faktorový model, musí být každý cenný papír zařazen do určitého sektoru. Jako příklad lze uvést sektor
průmyslový (1) a další sektor dopravy (2). Potom budeme mluvit o dvousektorovém faktorovém
modelu. Je nutno podotknout, že počet sektorů a jejich definování závisí pouze na investorovi a je tedy
otevřenou záležitostí.
U tohoto námi definovaného dvousektorového faktorového modelu bude mít proces generující
výnosnost cenných papírů obecný tvar jako u dvoufaktorového modelu s tím rozdílem, že za daný
faktor budeme brát v úvahu sektor, do kterého budou zařazeny jednotlivé cenné papíry v držení investora.
Každý cenný papír buď náleží do sektoru (1) nebo do sektoru (2), ale ne však do obou současně.
Podle definice to znamená, že v závislosti na sektorovém faktoru, kam cenný papír náleží, je jedna z
hodnot 1ib a 2ib rovna 1, druhá hodnota odpovídá sektorovému faktoru, kam cenný papír nenáleží a
bude roven 0. Jako příklad uvažujme dvousektorový faktorový model Škoda Plzeň (ŠP) a ČSAD (ČD).
Škoda Plzeň bude patřit do sektoru průmyslového a ČSAD do sektoru dopravy. Potom dvousektorový
faktorový model bude mít tvar:
ŠP22ŠP11ŠPŠPŠP
eF.bF.bar ++++++++++++==== (8.19)
90
Protože ŠP patří do sektorového faktoru (1), je koeficientu 1ŠPb přiřazena 1 a koeficientu 2ŠPb přiřazena
0, neboť sektorový faktor (2) do průmyslového nepatří. Po tomto přiřazení bude mít naše rovnice
tvar:
ŠPŠPŠP eFar 1 ++++++++==== (8.20)
U dvousektorového faktorového modelu tedy stačí pro ŠP odhadnout pouze hodnoty ŠPa a ŠPe , zatímco
u dvou faktorového modelu bychom museli odhadnout hodnoty ŠPa , 1ŠPb , 2ŠPb a ŠPe . Podobně
dostaneme pro ČD, které nepatří do průmyslového sektoru, následující model:
ČD2ČD1ČDČDČD eF.bF.bar 21 ++++++++++++====
který se zjednoduší na model:
ČDČDČD eFar 2 ++++++++====
neboť 1ČDb a 2ČDb budou po řadě přiřazeny hodnoty 0 a 1. Budou tedy opět odhadovány pouze hodnoty
ČDa a ČDe .
Obecně lze říci, že zatímco u dvoufaktorového modelu musí být pro každý cenný papír odhadovány
čtyři parametry )σ,b,b,a( i21 eiii , u dvousektorového faktorového modelu stačí odhadovat
pouze dva parametry, protože dvěma parametrům byla přiřazena hodnota 0 nebo 1. S použitím těchto
odhadů pro jednotlivé cenné papíry společně s očekávanými hodnotami 2
F
2
F21 21
σ,σ,F,F může investor
po řadě vypočítat očekávané výnosnosti, rozptyly a kovariance. To umožní investorovi odvodit zakřivenou
Markowitzovu efektivní množinu a z ní vypočítat pro danou bezrizikovou investici tangenciální
portfolio.
8.5.1 Faktorová portfolia čistých faktorů
Pro usnadnění výkladu předpokládejme, že existují dva faktory F1 a F2, což znamená, že výnosnosti
cenných papírů jsou generovány rovnicí:
i22i11iii eF.bF.bar ++++++++++++====
Je také nutné předpokládat, že existuje velmi mnoho cenných papírů v portfoliu kdy se jejich citlivosti
na tyto faktory podstatně liší. Zajímavá je investiční strategie, která využívá portfolia, která reprezentují
hry čistých faktorů. Budeme-li mít dostatečné množství cenných papírů s odlišnými charakteristikami,
potom by mělo být možné zkonstruovat portfolio, které bude mít jednotkovou citlivost k jednomu
faktoru (citlivost bude rovna jedné). Toto portfolio nebude citlivé na další faktor a bude mít nulové
nefaktorové riziko. To vede ke kombinaci cenných papírů tak, že počtem cenných papírů v portfoliu
bude dosahováno dobré nefaktorové výnosnosti a bude zhruba stejný jako počet cenných papírů, které
dosahují špatné nefaktorové výnosnosti. To povede k portfoliu, které bude mít téměř nulové nefaktorové
riziko.
Kdyby bylo dovoleno investovat do velkého množství podobných cenných papírů, bylo by
možné vytvořit portfolio s velmi malým nefaktorovým rizikem (ep = 0). Potom vhodným výběrem
proporcí by investor mohl vytvořit portfolio, které bude citlivé pouze na faktor 1:
1pp Far
11
++++====
91
neboť 1b
1Ip ==== a 0b 2Ip ==== a 0e
1Ip ==== . Toto by bylo portfolio čistého faktoru 1. V důsledku toho se
bude měnit jeho výnosnost společně se změnou faktoru 1. Podobnou strategií bychom mohli vytvořit
portfolio čistého faktoru 2. Potom 1b
2Ip ==== a 0b
1Ip ==== a 0e
2Ip ====
Potom dané portfolio bude:
2pp Far ++++====
IIII
Poznámka: Na trhu cenných papírů s různými charakteristikami by bylo možné teoreticky vytvořit
portfolia čistých faktorů, která by byla citlivá pouze na jeden faktor a měla nevýznamné nefaktorové
riziko. V praxi se však tyto podmínky nedají zcela splnit, což znamená, že je možné vytvořit pouze
portfolia nečistých faktorů, která jsou citlivá převážně (nikoliv výlučně) na jeden faktor a mají relativně
malé nefaktorové riziko.
8.5.2 Očekávané výnosnosti faktorových portfolií čistého faktoru
Očekávaná výnosnost portfolia čistého faktoru bude záviset na očekávané hodnotě příslušného
faktoru. Je možné tuto očekávanou výnosnost rozdělit na dvě části:
1. bezrizikovou úrokovou sazbu
2. zbytek, který budeme označovat λ a může být považován za prémii očekávané výnosnosti na
jednotku citlivosti na faktor (v našem dvou faktorovém portfoliu by to bylo 1Ip1 Faλ ++++==== a
2IIp2 Faλ ++++====
Potom očekávaná výnosnost portfolia čistého faktoru bude:
2fp1fp λrraλrr III
++++====++++====
I když portfolia čistých faktorů nemusejí být jedinečná co do složení z cenných papírů, jejich očekávané
výnosnosti by měly být stejné. Představme si, že dvě portfolia čistých faktorů budou mít rozdílné
výnosnosti. To by bylo možné v případě rozdílnosti hodnot a (uvažujme v našem případě Ipa ). Nyní
uvažujme prodej nakrátko portfolia s nižší očekávanou výnosností a nákup portfolia s vyšší očekávanou
výnosností. V tomto případě získává investor abnormální výnosnost bez ohledu na faktor 1. K
tomu však nemůže dojít, neboť dvě identická aktiva (v tomto případě dvě portfolia čistého faktoru 1)
musejí v rovnovážném bodu poskytnout shodnou očekávanou výnosnost. Jestliže nastane případ, kdy
očekávané výnosnosti jsou rozdílné, někteří investoři, známí pod jménem arbitražéři nakoupí cenné
papíry v portfoliu s vyšší očekávanou výnosností a prodají ty, které jsou v portfoliu s nižší očekávanou
výnosností. To způsobí, že ceny papírů s vyšší výnosností vzrostou a sníží se tak výnosnost celého
odpovídajícího portfolia. U cenných papírů s menší výnosností dojde k poklesu cen a k nárůstu očekávané
výnosnosti odpovídajícího portfolia. To bude pokračovat tak dlouho, dokud nebudou mít obě
portfolia shodnou očekávanou výnosnost. Jako výsledek pohybu těchto cen dosáhne investor abnormální
výnosnosti a po krátké době tato příležitost "získat něco za nic" zmizí. To znamená, že arbitráž
zajistí, že všechna portfolia čistého faktoru 1 budou mít stejnou výnosnost 1f λr ++++ (obecně dochází k
arbitráži, když se stejný cenný papír prodává na dvou trzích za dvě různé ceny. Spočívá v nákupu cenného
papíru na trhu s nižší cenou a v téměř současném prodeji stejného cenného papíru na trhu s vyšší
cenou. Jedním z výsledků arbitráže je bezrizikový zisk a dalším pak rychlá eliminace cenového rozdí-
lu).
8.5.3 Očekávané výnosnosti, faktorové beta a citlivosti cenných papírů
Dříve bylo ukázáno, že očekávaná výnosnost cenného papíru i souvisí (v důsledku předpokladů
nezbytných pro CAPM) s koeficientem β následovně:
(((( )))) ifMfi β.rrrr −−−−++++====
92
(((( ))))(((( ))))[[[[ ]]]].bβ.bβ.rrrr 2211 iFiFfMfi ++++−−−−++++====
Pokud budou výnosnosti generovány dvoufaktorovým modelem, bude koeficient beta daného cenného
papíru souviset s jeho citlivostmi na faktory:
22F11F iii .bβ.bββ ++++==== (8.21)
(((( )))) (((( ))))
2
M
M2
2F2
M
M1
1F
σ
r,Fcov
β;
σ
r,Fcov
β ======== (8.22)
Jestliže porovnáme tuto rovnici s rovnicí pro stanovení ceny 21 i2i1fi b.λb.λrr ++++++++==== podle APT,
vidíme (pokud jsou splněny předpoklady jak pro CAPM tak pro APT), že pro hodnoty 1λ a 2λ bude
platit:
(((( )))) 1M Ff1 β.rrλ −−−−====
(((( )))) 2M Ff2 β.rrλ −−−−==== (8.23)
Dosazením těchto hodnot do předcházející rovnice obdržíme:
21 i2i1fi .bλ.bλrr ++++++++====
APT neříká nic o velikostech nebo hodnotách prémií očekávaných výnosností na faktor 1λ a 2λ .
Pokud však platí také CAPM, může poskytnout určité vodítko. Je dáno předcházejícími rovnicemi,
které existují, pokud jsou splněny předpoklady jak APT tak CAPM. Předpokládejme, že se faktor
1F bude pohybovat společně s tržním portfoliem, což znamená, že je s ním kladně korelován a tedy
(((( )))) 0M1 r,Fcov >>>> .Na základě toho musí být i 1Fβ též kladné, neboť:
(((( ))))
2
M
M1
1F
σ
r,Fcov
β ==== a 02
Mσ >>>> . Protože
Mr je větší než fr , potom i rozdíl (((( )))) 0frrM >>>>−−−− . Z toho plyne, že 1λ bude též kladné číslo. Z dané
rovnice je vidět, že čím větší bude hodnota 1ib , tím větší bude očekávaná výnosnost cenného papíru.
Zobecnění: je-li faktor pozitivně korelován s tržním portfoliem, potom očekávaná výnosnost cenného
papíru je pozitivní lineární funkcí citlivosti cenného papíru na tento faktor. Podobným způsobem
lze ukázat na případ, kdy se faktor 2F bude pohybovat proti tržnímu portfoliu, což znamená, že je negativně
korelován s tímto tržním portfoliem a očekávaná výnosnost cenného papíru bude nižší. Z toho
vyplývá, že 0β 2F <<<< a tedy i (((( )))) 02M Ff β.rr <<<<−−−− . Potom 02λ <<<< . Z toho vyplývá, že čím bude vyšší
2ib , tím bude nižší očekávaná výnosnost cenného papíru. Zobecnění: je-li faktor negativně korelován
s tržním portfoliem, potom očekávaná výnosnost cenného papíru je negativní lineární funkcí citlivosti
cenného papíru na tento faktor.
Příklad:
Mějme tři cenné papíry, které mají faktorové beta 2,1β 1F ==== (HNP) a 8,0β 2F ==== (inflace) a za předpokladu, že
%7fr ==== a %15rM ==== , bude mít rovnice tvar:
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] 21i2i1ib
2i2FfM1i1FfMf
i6,4.b9,6.b7b.0,8.715.1,2.7157
b.β.rrb.β.rrrir
++++++++====−−−−++++−−−−++++====
====−−−−++++−−−−++++====
93
Kde 1λ = 9,6 a 2λ = 6,4 jsou kladná čísla a tedy, čím bude větší 1ib a 2ib , tím bude větší i ir . Kdyby
bylo 2Fβ = -0,8 místo 0,8, potom by 2λ = (15 - 7).(-0,8) = -6,4 a předchozí rovnice by měla tvar:
21 iii b.4,6b.6,97r −−−−++++==== . Záporná hodnota 2Fβ by vedla k záporné hodnotě 2λ a v této situaci by
zvýšení hodnoty 2ib vedlo k snížení výnosnosti cenného papíru.
Závěr: Znaménko každého lambda určuje, zda očekávaná výnosnost cenného papíru je pozitivní nebo
negativní funkcí jeho citlivosti na toto lambda.
8.6 Výnosnost cenného papíru a míra inflace
Původní model odhadu ceny kapitálových aktiv používá nominální výnosnosti těchto aktiv. Jestliže
dokážeme míru inflace (jako další faktor, který ovlivňuje výnosnost cenného papíru) určitým způsobem
předpovídat, nezpůsobí to v podstatě nepřekonatelný problém, neboť tato inflace přispěje malou
mírou k určení výnosnosti tohoto aktiva. Může však nastat případ, že inflace značně ovlivní výnosnost
cenného papíru, a proto je nutno s ní v odhadu výnosnosti počítat. Jedná se hlavně o beta cenného
papíru, která vzhledem k tržnímu portfoliu se může změnit jak reálná výnosnost tohoto cenného papíru,
tak i reálná výnosnost tržního portfolia proti nominální výnosnosti.
Potom rovnici tt itiii I.haNr εεεε++++++++==== kde
tih - citlivost cenného papíru na inflaci za období t
tI - míra inflace v čase t
tiNr - nominální výnosnost cenného papíru
tiεεεε - neurčitá část výnosnosti cenného papíru , která nesouvisí s mírou inflace za období t
můžeme psát ve tvaru: tt it
u
it
e
iii UI.hEI.haNr εεεε++++++++++++==== (8.24)
kde
)EIvar(
)EI,rcov(
h ie
i ==== a
)EIvar(
)UI,rcov(
h iu
i ==== jsou citlivosti cenných papírů na očekávanou a neočekávanou
inflaci.
e
ih - citlivost nominální výnosnosti cenných papírů očekávanou míru inflace
u
ih - citlivost nominální výnosnosti cenných papírů na neočekávanou míru inflace
Je nutno si všimnout, že na začátku období t jsou jak tUI a tiεεεε náhodné veličiny a mají stejnou pravděpodobnost
být na konci období pozitivní nebo negativní. Kdyby citlivosti cenných papírů
e
ih = u
ih = 1 byl by cenný papír za dostatečně zajištěný proti inflaci jak očekávanou tak neočekávanou,
což v praxi není pravděpodobné. Pokud investoři uvažují v pojmech reálné výnosnosti potom reálná
rovnice reálné přímky trhu cenného papíru bude:
r
ifMfi ).Er(ERrErERr ββββ−−−−++++==== (8.25)
iERr - očekávaná reálná výnosnost cenného papíru
fEr - očekávaná reálná výnosnost bezrizikového aktiva s o====ββββ
MERr - očekávaná reálná výnosnost tržního portfolia
r
iββββ - reálná beta cenného papíru což znamená
)Rrvar(
)Rr,Rrcov(
M
Mir
i ====ββββ (8.26)
94
Tato rovnice nám dává odpověď na vliv inflace na očekávanou výnosnost cenného papíru. Víme ,že
reálná výnosnost cenného papíru a tržního portfolia bude:
INrRr
INrRr
MM
ii
−−−−====
−−−−====
(8.27)
Potom očekávaná reálná výnosnost cenného papíru a tržního portfolia pak bude:
EIENrERr
EIENrERr
MM
ii
−−−−====
−−−−====
(8.28)
EI - očekávaná míra inflace
Jestliže dosadíme pravé strany těchto rovnic do r
ifMfi ).Er(ERrErERr ββββ−−−−++++==== obdržíme:
r
ifMfi ).Er(ENrErEIENr ββββ−−−−++++====−−−− (8.29)
Z předešlého víme, že
)Rrvar(
)Rr,Rrcov(
M
Mir
i ====ββββ .
Dosadíme-li do tohoto výrazu za
INrRr
INrRr
MM
ii
−−−−====
−−−−====
dostaneme:
)Rrvar(
)INr,INrcov(
M
Mir
i
−−−−−−−−
====ββββ
Z toho
)Rrvar(
)INr,INrcov(
M
Mir
i
−−−−−−−−
====ββββ =
)var(Rr
var(I)
)Rrvar(
)I,Nr(arcov
)Rrvar(
)I,Nrcov(
)Rrvar(
)Nr,Nrcov(
MM
M
M
i
M
Mi
++++−−−−−−−−
Pro algebraickou úpravu zlomek
)Rrvar(
)Nr,Nrcov(
M
Mi
vynásobíme
)Nrvar(
)Nrvar(
M
M
a obdržíme:
n
i
M
M
M
Mi
M
M
M
M
M
Mi
.
)Rrvar(
)Nrvar(
)Nrvar(
)Nr,Nrcov(
.
)Rrvar(
)Nrvar(
)Nrvar(
)Nrvar(
.
)Rrvar(
)Nr,Nrcov(
ββββ======== neboť 2
M
iMn
i
σσσσ
σσσσ
====ββββ je
normální (tradiční) beta cenného papíru.
Pro algebraickou úpravu zlomek
)Rrvar(
)I,Nrcov(
M
i
vynásobíme
)Ivar(
)Ivar(
a obdržíme:
)Rrvar(
)Ivar(
M
.
)Ivar(
)I,Nrcov( i
= u
i
M
h.
)Rrvar(
)Ivar(
, kde
)UIvar(
)UI,Nrcov(
h iu
i ==== ,což je citlivost
cenného papíru na neočekávanou inflaci.
Po dosazení za r
iββββ do rovnice: r
ifMfi ).Er(ENrErEIENr ββββ−−−−++++++++==== dostaneme:
u
i3
n
i21
u
i
3Z
M
fM
n
i
2Z
M
M
fM
1Z
M
M
fMfi
h.Z.ZZh.
)Rrvar(
)Ivar(
).ErEIENr(
.
)Rrvar(
)Nrvar(
).ErEIENr(
)Rrvar(
)I,Nrcov()Ivar(
).ErENr(ErEIENr
−−−−ββββ++++====






−−−−−−−−−−−−
−−−−ββββ






−−−−−−−−++++





 −−−−
−−−−++++++++====
444444 3444444 21
444444 3444444 214444444444 34444444444 21
(8.30)
95
Otázky a problémy k zamyšlení:
Úloha 1
Mějme citlivosti CP 1C , 2C , 3C na dva faktory:
CP
1ib 2ib iX ieσ
1C 0,40 1,85 0,25 3%
2C -0,50 0,75 0,40 2%
3C 0,67 -0,25 0,35 0,5%
1Fββββ = 1,20 2Fββββ = 0,80 1Fσσσσ = 0,24 2Fσσσσ = 0,14
a) Vypočítejte koeficienty iββββ jednotlivých CP
b) Vypočítejte riziko jednotlivých CP (faktory nejsou korelovány)
Úloha 2
Výnosnosti CP x, y jsou generovány třemi faktory:
%r%,F%,F%,F f321 395,64 ================ 35%,X5%,X 21 ======== 6
,59b1,48,b0,65,b,40,b0,75,b0,08,b 3y3x2y2x1y1x 00 ======================== , %6x ====α , %9y ====α
%σ%,σ%,σ%,σ10%,σ yexe3F2F1F 2514125,9 ==================== , %5,2ex ==== , %85,1ey ====
1Fβ = 1,20, 2Fβ = 0,56, 3Fβ = 1,58
a) jaká je očekávaná výnosnost CP x a y
b) Jaké je riziko výnosností jednotlivých CP x a y
c) Jaké je riziko portfolia z těchto CP
Úloha 3
Předpokládejme, že CAPM platí a že výnosnosti CP jsou generovány faktorovým modelem. Máme
informace z BCCP takovéto:
52%X48%,X,70,1b,85,0b1,50,b
0,75,b0,85)r,cov(F256,)r,cov(F4,62σ
BA2B1B2A
1AM2M1
2
M
====================
================
96
a) Vypočítat koeficienty β CP A, B
b) Je-li 12%ra6%r Mf ======== , jaká bude očekávaná výnosnost CP A a B
c) Vypočítat riziko portfolia
Úloha 4
Předpokládejme, že výnosnosti CP jsou generovány faktorovým modelem.
CP 1ib 2ib ir
A 0,50 0,80 6,2
B 1,50 1,40 8,6
fr 0,00 0,00 4,0
a) Jestliže budeme investovat 1 000,- Kč a prodáme CP B za 500,- Kč a nakoupíme za 1 500,- Kč CP
A, jaká bude citlivost portfolia na tyto dva faktory?
b) Jestliže si vypůjčíme 1 000, Kč na nákup bezrizikového aktiva a proporce pro ostatní CP zůstanou
jako v případě a), jaká bude citlivost tohoto portfolia na uvedené dva faktory? Jaká je očekávaná
výnosnost tohoto portfolia?
c) Jaká je očekávaná výnosnost portfolia vytvořeného za b)?
d) Jaká je očekávaná prémie výnosnosti druhého faktoru?
Úloha 5
Předpokládejme, že vztah mezi očekávanými nominálními výnosnostmi, hodnotami beta a citlivostmi
na inflaci byl odhadnut takto:
iii h.2,0.0,40,6ENr −−−−ββββ++++====
Akcie A má 1A ====ββββ a neposkytuje žádné zajištění před inflací.
a) Jaká by měla být očekávaná výnosnost? Akcie B má 10,1B ====ββββ
b) Jak citlivá by měla být její výnosnost na inflaci, aby se její odpovídající očekávaná výnosnost
rovnala výnosnosti akcie A
8.7 Empirické pravidelnosti
Řada výzkumných pracovníků odhalila jisté empirické pravidelnosti v chování akcií. Zjistilo se, že
určité rozdíly mezi výnosnostmi akcií se objevují pravidelně. Z CAPM například vyplývá, že různé
cenné papíry by měly mít různé výnosnosti, protože různé cenné papíry mají různé beta. Zajímavé
pravidelnosti zjištěné dlouhodobým výzkumem byly:
• vliv velikosti firmy
• vliv ledna
• vliv týdne
Vliv velikosti firmy
Velikost firmy se dá změřit vynásobením tržní ceny její kmenové akcie počtem akcií v oběhu.
97
Byly vypočteny výnosnosti „portfolia malých firem“, které byly vybrány do portfolia a drženy po
dobu pěti let. Tento proces se opakoval na burze cenných papírů (NYSE) v USA od roku 1925 - 1983.
V průměru měly malé firmy lepší výkonnost než firmy větší. Z toho neplyne, že investiční strategie
malých firem dominovala nad investiční strategií firem větších. Dokázalo se, že výnosnosti portfolia
malých firem byly v průměru o 5% vyšší než u firem velkých, ale cenné papíry však značně rizikové
(až 32,35%) proti velkým firmám, kde toto riziko bylo pouze 20,62%.
Sezónnost výnosnosti akcií
• vliv ledna
Neexistuje žádný důvod očekávat, že výnosnosti akcií budou v některých měsících vyšší než v
jiných měsících. Z prováděného výzkumu však vyplynulo, že průměrná lednová výnosnost byla vyšší
než průměrné výnosnosti v jiných měsících. Přestože počátkem století byla průměrná výnosnost malá,
ukazuje se v poslední době asi o 3% vyšší než průměrná výnosnost od února do prosince.
• vliv dne v týdnu
Předpokládalo se, že očekávané denní výnosnosti akcií jsou stejné pro všechny dny v týdnu. Zjistilo
se však, že průměrné pondělní výnosnosti byly značně nižší než v kterémkoliv dni v týdnu. Navíc byly
průměrné výnosnosti v pondělí negativní. Výnosnost akcie v daném dni v týdnu se vypočítá:
(((( ))))
1t
t1tt
t
P
DPP
r
−−−−
−−−− ++++−−−−
==== (8.31)
kde tP a 1tP −−−− jsou závěrečné kurzy ve dnech t a t-1 tD je hodnota všech dividend vyplacených v den
t. Pondělní změna kurzu akcie ve skutečnosti představuje změnu kurzu během víkendu a pondělí.
Toto zjištění bylo příčinou toho, že tento vliv dne v týdnu byl nazván „vliv víkendu“ a vedlo k dalšímu
zkoumání denních výnosností cenných papírů. Jednou z metod zkoumání vlivu víkendu je rozdělení
denních výnosností do dvou částí:
1) výnosnost od uzavření předchozího dne do otevření běžného dne a nazývá se „výnosnost za
dobu neobchodování“. Používá poslední kurz předchozího dne (závěrečný) a kurz prvního obchodu
běžného dne (otevírací).
2) výnosnost od otevření běžného dne do uzavření běžného dne a nazývá se „výnosnost za dobu obchodování“.
Ta používá první a poslední obchodní kurzy v daném dni, jako počáteční a koncové ce-
ny.
8.7.1 Souhrn empirických pravidelností
Závěr pro činnost investora z těchto empirických pravidelností:
1) investoři, kteří chtějí kupovat akcie by se měli vyhnout tomu, aby nakupovali v pondělí časně ráno.
V jiných dnech by to měli provést jak nejdříve je to možné
2) investoři, kteří chtějí prodat akcie, by to měli udělat pozdě v pátek. Nebude-li to možné, měli by
čekat alespoň 45 minut po otevření kromě pondělí
3) mají-li se kupovat malé firmy, mělo by k tomu dojít koncem prosince nebo o něco dříve
4) mají-li se malé firmy prodávat, mělo by k tomu dojít asi v polovině ledna nebo později
98
5) mají-li se nakoupit velké firmy, mělo by se to provést počátkem února nebo o něco později
6) mají-li se prodat velké firmy, potom by k tomu mělo dojít koncem prosince nebo o něco dříve
8.7.2 Empirické a principiální faktory
Faktory stanovené empiricky se mohou od principiálních (skutečných) lišit. Dochází k tomu i v případě,
kdy se vyberou podstatné hodnoty a měří se bez chyb.
Předpokládejme, že faktorový model má tvar:
iKKi22i11iii eF.b...F.bF.bar ++++++++++++++++++++==== (8.32)
Z předpokladu, že poslední člen má nulovou očekávanou hodnotu plyne:
Ki2i1iii F.b...F.bF.bar K21
++++++++++++++++==== (8.33)
kde: ri - očekávaná hodnota výnosnosti cenného papíru i, K21 F,...,F,F jsou očekávané hodnoty faktorů
1, 2, ..., K.
Z teorie stanovení cen arbitráží vyplývá:
K21 iKi2i1fi b.λ...b.λb.λrr ++++++++++++++++====
kde: rf - bezriziková úroková sazba, Kλ,...,λ,λ 21 jsou očekávané výnosnosti prémií faktorů
KF,...,F,F 21 .
Protože obě rovnice určují očekávanou výnosnost cenného papíru, musí se obě pravé strany rovnice
rovnat:
Ki2i1ii F.b...F.bF.ba K21
++++++++++++++++ = K21 iKi2i1f b.λ...b.λb.λr ++++++++++++++++
Z toho:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))KK21
Fλ.b...Fλ.bFλ.bra Ki22i11ifi −−−−++++++++−−−−++++−−−−++++==== (8.34)
Dosazením této hodnoty do první rovnice obdržíme:
iKKi
222i111ifi
e)FFλ.(b
...)FFλ.(b)FFλ.(brr
KK
21
++++−−−−++++++++
++++++++−−−−++++++++−−−−++++++++====
(8.35)
Provedeme-li regresi výnosností cenných papírů podle důležitých vlastností (atributů), budou se získané
„ empirické faktory“ rovnat výrazům v závorkách
(((( ))))1111 FFλf −−−−++++====
(((( ))))2222 FFλf −−−−++++==== (8.36)
M M
(((( ))))KKKK FFλf −−−−++++====
kde: K21 f,...,f,f jsou empirické faktory 1, 2, ..., K.
9. Pasivní správa obligačního portfolia
V portfoliu cenných papírů mají obligace mimořádné postavení, které vyplývá z jejich poměrně
velké likvidity. Oproti bankovním vkladům přinášejí obligace obvykle vyšší výnosy a oproti akciím
jsou méně rizikové. Právě k vůli tomu, že obligace jsou ve srovnání s akciemi poměrně málo rizikové
a výplata kupónových výnosů není tolik závislá na hospodaření firmy, jako v případě dividend u akcií,
99
nemusí být použití standardních metod teorie portfolia příliš vhodné právě při správě portfolií složených
z obligací. Nejbezpečnějším typem dluhopisů (vlastně i nejbezpečnějším typem investice) jsou
státní dluhopisy emitované vládami. Za méně bonitní lze považovat dluhopisy emitované městy a firemní
dluhopisy. Je však nutné podotknout, že dluhopisy velkých nadnárodních firem bývají považovány
za dluhopisy bonitnější než dluhopisy státní, až na některé výjimky nejrozvinutějších světa. Na
konci tohoto pomyslného žebříčku stojí dluhopisy emitované soukromými osobami (např. směnky).
Jestliže zvažujeme možnost použití teorie obligačních portfolií, je nutné zvažovat jeho použití v následujících
situacích:
• správa investičních a podílových fondů, které jsou zaměřeny výhradně na investování do dluhopisů
• správa obligačních portfolií, kdy investoři v budoucnu musí ze své investice do portfolia získat tok
důchodů (dividend). Takovým příkladem může být portfolio penzijního fondu, aby klienti dostávali
v budoucnu v sjednaných termínech „pojištěnou částku“ jako přilepšení k starobnímu důchodu.
• řízení likvidity obchodní banky s cílem zamezit nedostatku likvidity banky, kdy je nutné zajistit
dostatek hotovosti v přesně stanovených termínech, neboť banka musí dostát svým závazkům vůči
klientům (vyplatit např. částky termínovaných vkladů).
Podobně jako u akciových portfolií můžeme i u obligačních portfolií uplatňovat určité strategie:
1. Pasivní strategii - kdy investor jednorázově sestaví obligační portfolio požadovaných vlastností, a
po dobu trvání portfolia se o něj nestará. V okamžiku realizace pak získá např. důchody z prodeje
dluhopisů (bondů), které zůstanou v portfoliu, a navíc ještě výnosy z reinvestovaných kupónových
plateb.
2. Aktivní strategii - kdy investor průběžně vyhledává vhodné investiční příležitosti po celou dobu
trvání portfolia. To znamená, že prodává a nakupuje obligace po celou dobu trvání portfolia.
Poznámka: Dále se zaměříme výhradně na pasivní strategii obligačního portfolia. Budeme dále předpokládat,
že pracujeme s obligacemi, z nich každá vyplácí kupón pouze na konci každého kalendářního roku (to znamená
vždy 31.12.) a obligace je zakoupena vždy na začátku 1. roku (to znamená vždy 1.1.). Dobu splatnosti obligace
budeme předpokládat v letech n. Poslední splátka tedy bude 31.12. v n-tém roku. Získané kupóny můžeme reinvestovat
výhradně formou jednoročních bankovních vkladů. Tedy termínovaný roční vklad. Úroky se budou
připisovat jedenkrát ročně vždy k 31.12. Dále je nutno upozornit, že obligační portfolio budeme sestavovat na mlet,
a to tak, že obligace nakoupíme na počátku prvního roku a na konci m.tého roku nás bude zajímat tržní cena
obligací v portfoliu a celková naspořená částka vzniklá pravidelným ukládáním kupónových plateb na termínované
vklady s dobou trvání vkladu jeden rok.
Používaná terminologie:
Doba splatnosti obligace - délka období (nejčastěji v létech), během nichž musí dlužník splatit věřiteli
celou dlužnou částku a navíc vzniklé úrokové platby.
Nominální cena obligace - je částka, kterou musí splatit dlužník věřiteli, to znamená majiteli obligace.
Kupónová splátka - je částka, která je pravidelně splácená držiteli obligace.
Kupónová míra - je počet procent z nominální ceny obligace, které držitel obligace dostává formou
pravidelné kupónové splátky.
Výnos do doby splatnosti - je diskontní faktor, to znamená úroková sazba, při níž se diskontovaný tok
výnosů z obligace rovná současné tržní ceně obligace.
Jestliže zvažujeme možnost použití teorie obligačních portfolií, je nutné zvažovat jeho použití v
následujících situacích:
• správa investičních a podílových fondů, které jsou zaměřeny výhradně na investování do dluhopisů
• správa obligačních portfolií, kdy investoři v budoucnu musí ze své investice do portfolia získat tok
důchodů (divident). Takovým příkladem může být portfolio penzijního fondu, aby klienti dostávali
v budoucnu v sjednaných termínech „pojištěnou částku“ jako přilepšení k starobnímu důchodu.
• řízení likvidity obchodní banky s cílem zamezit nedostatku likvidity banky, kdy je nutné zajistit
dostatek hotovosti v přesně stanovených termínech, neboť banka musí dostát svým závazkům vůči
klientům (vyplatit např. částky termínovaných vkladů).
100
Základní vzorce pro výpočet tržní ceny obligace:
Teoretická cena obligace:
(((( ))))
(((( ))))∑∑∑∑==== ++++
====
kN
1t
t
tk
k
i1
S
iP (9.1)
i - skutečný roční výnos do doby splatnosti
Nk - doba splatnosti k-té obligace
tkS - částka, kterou dostane věřitel od dlužníka na konci t-tého roku
(t=1,2,3,..., Nk).
Pro případ, že roční výnos do doby splatnosti z obligací každoročně kolísá, a že platby, které získáme
můžeme reinvestovat vždy pouze na jeden rok dopředu (časové období), bude cena obligace:
(((( ))))
(((( ))))
∑∑∑∑
∏∏∏∏====
====
++++
====
k
t
kN
N
1t
t
1r
r
k
k
i1
S
iP (9.2)
Zaveďme ještě tyto symboly:
Tk - tržní cena k-té obligace
Hk - rozdíl mezi tržní a teoretickou cenou (vypočítanou)
Tedy: )i(PTH kkk −−−−==== (9.3)
Bude-li )i(Pk <<<< Tk bude k-tý dluhopis na trhu předražen a investor zaplatí jakousi pokutu, že do dané
obligace investoval.
Naopak, je-li )i(Pk >>>> Tk bude na trhu dluhopis podceněn. Hk je pak nadměrný zisk investora z této
obligace.
9.1 Tvorba budoucích krátkodobých (ročních) výnosů do doby
splatnosti obligace
Časová struktura výnosů do doby splatnosti
Svoje úspory můžeme uložit různými způsoby, které jsou pro nás stejně výhodné. Předpokládejme,
že kupónové platby z držené obligace budeme reinvestovat a investorovi se připíše za dobu vkladu
(například termínovaného vkladu) úrok na konci období, potom reinvestování výnosu obligace do
doby splatnosti přináší zvýšený výnos z této obligace do doby splatnosti.. Jestliže tento vklad provedeme
na začátku období z a vybereme jej na konci období k, přičemž vycházíme z tvrzení, že současný
výnos do doby splatnosti p.a. z dlouhodobých dluhopisů (vkladů) je tvořen průměrem budoucích
krátkodobých výnosů do doby splatnosti p.a., potom pro daný úrok bude platit:
k1i - index 1-úrokovací období 1 rok, k-konec úrokovacího období
zke - index z- začátek úrokovacího období v budoucnu a z >>>>1
k - konec úrokovacího období a k ≥≥≥≥ z
zkS - uložená částka na termínovaný vklad, kde z je začátek úrokovacího období
a k konec úrokovacího období
{{{{ }}}}b,1kk,z SS ++++
- investor si na počátku období z uloží částku S a na konci období
k si tuto zúročenou částku vybere a reinvestuje na začátku
období k+1. Na konci období b tento vklad vybere.
101
Příklad:
14i - uložíme termínově v 1. dnu 1. roku částku a na konci 4. roku ji vybereme.
Výnos do doby splatnosti z termínového vkladu bude činit 14i %
24e - očekávaný výnos do doby splatnosti (p.a.) z tříletého termínového vkladu
uloženého na začátku 2. období (roku) a vyzvednutého na konci 4. roku.
Výnosy z takto reinvestovaného kapitálu pak budou:
∑∑∑∑
====
====
n
1k
k1ii , kde 1j,11j1k,1k1 iiii −−−−−−−− −−−−<<<<−−−−
Pro termínované bankovní vklady platí:
{{{{ }}}}








====










====










====
434214342143421
cba
351255441345331215 SSSSSSSSS
1) Při jednoduchém úročení pak platí:
a)
5
e.2ei.2
i 453312
15
++++++++
====
b)
5
eei.3
i 554413
15
++++++++
====
c)
5
e.3i.2
i 3512
15
++++
====
Současné dlouhodobé výnosy do doby splatnosti p.a. jsou tvořeny aritmetickým průměrem současných
a budoucích výnosů do doby splatnosti.
2) Při složeném úročení pak platí:
a) 2
45
1
33
2
12
5
15 )e1.()e1.()i1()i1( ++++++++++++====++++
b) 1
55
1
44
3
13
5
15 )e1.()e1.()i1()i1( ++++++++++++====++++
c) 3
35
2
12
5
15 )e1.()i1()i1( ++++++++====++++
Poznámka:
Logaritmováním se dá složené úročení převést na úročení jednoduché. Při odhadování budoucích výnosů je
nutno si dávat bedlivý pozor, aby hledané výnosy bylo možno ze soustavy vypočítat.
Složené úročení můžeme obecně zapsat:
102
n
n1nn
1n
1n1
n
n1nn33
2
12
n
n1nn332211
)i1()e1(.)i1(
)i1()e1()e1.()i1(
)i1()e1()e1).(e1).(i1(
++++====++++++++
++++====++++++++++++
++++====++++++++++++++++
−−−−
−−−−
MMM
L
L
(9.4)
Zavedeme-li substituci:
)i1ln(.k)i1ln(R k1
k
k1k ++++====++++==== (9.5)
)e1ln(E kkk ++++==== , kde k = 2, 3, 4, …, n (9.6)
Takže: )i1ln(.4R);i1ln(R);e1ln(E);e1ln( 444111333222E ++++====++++====++++====++++====
Pomocí této substituce můžeme soustavu rovnic přepsat do tvaru:










































−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
1nn
3n
2n
1n
n
4
3
2
RR
RR
RR
RR
E
E
E
E
.
10000
11100
11110
11111
MMMM
L
MMLMMM
L
L
L
Neznámé v rovnici jsou hodnoty kE pro k = 2, 3, …, n.
K levé matici vypočítáme matici inverzní a obdržíme:






















































−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
1nRnR
2nRnR
3RnR
2RnR
1RnR
.
000000
11000
00100
00110
00011
E
E
E
E
E
n
1n
4
3
2
MMM
M
MMLMMM
L
L
L
M
(9.7)
Z dané soustavy vypočítáme neznámé kE .
1k
1k
k
k11kkkkk )i1ln()i1ln(RR)e1ln(E −−−−
−−−−−−−− −−−−−−−−++++====−−−−====++++====
Z uvedeného výrazu pak vypočítáme:
1k
1k1
k
k1
kk
)i1(
)i1(
ln)e1ln( −−−−
−−−−++++
++++
====++++ (9.8)
Daný výraz odlogaritmujeme a obdržíme:
)i1.(
i1
i1
)i1(
)i1(
e1 k1
1k
1k1
k1
1k
1k1
k
k1
kk ++++





++++
++++
====
++++
++++
====++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
Z toho:
1)i1.(
i1
i1
e k1
1k
1k1
k1
kk −−−−++++





++++
++++
====
−−−−
−−−−
, k =2, 3, …, n (9.9)
103
Tento odhad krátkodobých výnosů do doby splatnosti je však poněkud nadhodnocen. Proto provedeme
určitou modifikaci tohoto výrazu a potom dostaneme:
Sk
kkk
Sk
Sk
kk
k
Sk
e
e.e
r
r
e
e
e M
M
====⇒⇒⇒⇒==== (9.10)
kde:
Ske - skutečný roční výnos do doby splatnosti v minulosti
kMe - odhad ročního výnosu do doby splatnosti v minulosti
kke - odhadovaný roční výnos do doby splatnosti v současnosti pro budoucí
období
Uvedený algoritmus lze použít i pro jiná úrokovací období, na která můžeme reinvestovat kupónové platby
z dluhopisů. Je zřejmé, že krátkodobé předpovídané výnosy, pokud bude výnosová křivka rostoucí, budou vždy
růst oproti současným s dobou splatnosti a naopak. Podle očekávání je zřejmé, že krátkodobé výnosy do doby
splatnosti proti současným očekávaným, nejpravděpodobněji porostou (budou vyšší).
9.2 Sestavování obligačních portfolií
Cílem sestavování obligačních portfolií je nakoupit takovou kombinaci obligací, aby v okamžiku
realizace portfolia byl co největší součet částek, které lze získat prodejem zbylých obligací za zůstatkovou
cenu a částka z přijatých kupónových plateb naspořená na bankovních vkladech. Tento součet
budeme nazývat realizační cenou portfolia.
Realizační cena obligačního portfolia závisí na skutečných ročních výnosech do doby splatnosti
obligací tvořících toto portfolio.
Jestliže investor chce svůj kapitál vložit do nákupu jednoho typu dluhopisu, získaný dluhopis držet
po dobu m období (let), a částky získané z kupónových plateb bude reinvestovat při ročním výnosu i
do doby splatnosti, bude majetek investora na konci m-tého období (ekvivalentně na začátku m+1ního
období) tvořen součtem:
(((( ))))
++++
++++
++++
++++++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++
====
++++
++++====++++ ∑∑∑∑
====
m
m
k
2
m
k
1
m
k
N
1t
t
kmm
k
)i1(
)i1.(S
)i1(
)i1.(S
)i1(
)i1.(S
i1
S
.)i1()i1).(i(P
m
21
k
t
L
k
kN2m1m
N
m
k
2m
m
k
1m
m
k
)i1(
)i1.(S
)i1(
)i1.(S
)i1(
)i1.(S
++++
++++
++++++++
++++
++++
++++
++++
++++
++++ ++++++++
++++++++
L (9.11)
Po úpravě této rovnice obdržíme:
====++++ m
k )i1).(i(P {{{{ }}}} {{{{ }}}}cenazůstatkováúspory ++++ =
= (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}++++++++++++++++++++++++++++
−−−−−−−− 0
mk
2m
2k
1m
1k i1.Si1.Si1.S L mN
k
2
k
1
k
k
kN2m1m
)i1(
S
)i1(
S
)i1(
S
−−−−
++++
++++++++
++++
++++
++++
++++++++
L
celkem naspořená částka na konci m-tého období + zůstatková cena obligace na konci m-tého období
(doba splatnosti ≥≥≥≥ m) (9.12)
Investor však na trhu neplatí pouze teoretickou cenu, ale navíc ještě částku Hk , kde
)i(PTH kkk −−−−==== . Je-li Hk > 0 potom výraz m
k )i1.(H ++++ bude určovat, o jakou částku bude mít investor
v okamžiku realizace portfolia naspořeno méně, než kdyby koupil obligaci pouze za teoretickou
(vypočítanou cenu). Je-li Hk <<<< 0, potom výraz m
k )i1.(H ++++ bude určovat, o jakou částku bude mít
104
investor v okamžiku realizace portfolia naspořeno více, než kdyby koupil obligaci pouze za teoretickou
(vypočítanou cenu).
V okamžiku vzniku portfolia investor očekává, že roční výnos do doby splatnosti obligace bude po
celou dobu splatnosti k-té obligace v relativním vyjádření y, a potom realizační cena portfolia bude:
[[[[ ]]]] m
kk )y1.(H)y(P ++++++++ (9.13)
Předpokládejme však, že ihned po nákupu k-té obligace dojde vlivem působení mikroekonomických
nebo makroekonomických změn ke zvýšení nebo snížení předpokládaného ročního výnosu do doby
splatnosti - uvažujme ve velikosti h. To znamená, že investorem předpokládané y nabývá nové hodnoty
y+h. Tuto novou úroveň, skutečných výnosů do doby splatnosti si označíme i = y + h. Snahou investora
bude zjistit, jaké vlastnosti musí mít obligace, aby rozdíl (odchylka) mezi skutečně dosaženou
realizační cenou portfolia a mezi předpokládanou cenou portfolia byl co nejmenší. Tuto úlohu můžeme
definovat vztahem:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] min)y1.(J)y(P)hy1.(H)hy(P m
kk
m
kk ⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−++++++++++++++++
(9.14)
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] min)y1.(J)y(P)hy1.(H)hy(P m
kk
m
kk ⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−++++++++++++++++
Jestliže použijeme náš vztah: i = y + h potom bude:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] min)y1.(J)y(P)i1.()i1.(H)i(P m
kk
mm
kk ⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−++++++++++++
Jk přitom představuje rozdíl mezi skutečnou tržní cenou zaplacenou investorem a předpokládanou
teoretickou cenou, tedy: J T P yk k k==== −−−− ( ). Je zřejmé, že předpokládaná realizační cena obligačního
portfolia [[[[ ]]]]P y J yk k
m
( ) .( )++++ ++++1 , nezávisí na skutečném výnosu do doby splatnosti (y + h), a tudíž
ani na změně h. Dále je zřejmé, že pro řešení této investorovy úlohy stačí vyřešit její extrémy, přičemž
hledáme takové h, aby platilo:
min)i1.(H)i1).(i(P m
k
m
k ⇒⇒⇒⇒++++++++++++ (9.15)
Z diferenciálního počtu víme, že:
i
)i(P
1.
i
)i(P
h
i
.
i
)i(P
i
)i(P
i
)hy(P kkkkk
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
neboť 1
h
i
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
(9.16)
S využitím nutných podmínek pro extrém pak bude:
01m
k
1m
k
mk
)i1.(m.H)i1.(m).i(P)i1.(
i
)i(P
====++++++++++++++++++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂ −−−−−−−−
[[[[ ]]]] 0kk
1mmk
H)i(P.)i1.(m)i1.(
i
)i(P
====++++++++++++++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂ −−−−
[[[[ ]]]] k
k
kk
k
kk
1m
mk
T
)i1.(
i
)i(P
H)i(P
)i1.(
i
)i(P
H)i(P.)i1(
)i1.(
i
)i(P
m
++++
−−−−====
++++
++++
−−−−====
++++++++
++++
−−−−==== −−−−
kde: kkk H)i(PT ++++==== (9.17)
Zaveďme označení prvního výrazu rovnice TkD , kde výraz Hk nám udává chování investora při nákupu
obligace. Jestliže bude Hk >>>> 0, jedná se o obligaci předraženou na trhu a investor zaplatí jakousi
pokutu za to, že že do tohoto aktiva investoval. Je-li Hk <<<< 0, jedná se o obligaci na trhu podceněnou a
105
investor při jejím nákupu získává určitou odměnu za to, že do tohoto aktiva investoval. Je-li Hk = 0,
jedná se o obligaci, kdy teoretická cena k-tého dluhopisu je shodná s tržní cenou tohoto dluhopisu.
Potom můžeme daný výraz zapsat: )i(D Tk
kk
k
H)i(P
)i1.(
i
)i(P
++++
++++
−−−−==== , kde ve jmenovateli je teoretická cena
dluhopisu a pokuta nebo odměna investora, která zmenší nebo zvýší teoretickou cenu k-té obligace.
Jestliže bude Hk = 0, jde o situaci kdy teoretická cena k-tého dluhopisu je shodná s tržní cenou tohoto
dluhopisu.
Potom se bude výraz modifikovat do tvaru:
)i(P
)i1.(
i
)i(P
)i(D
k
k
kM
++++
−−−−==== a nazýváme jej modifikovaná
durace.
Výraz
)i(P
)i1.(
i
)i(P
)i(D
k
k
kM
++++
−−−−==== .
Durace potom bude:
)i(P
i
)i(P
)i(D
k
k
k −−−−==== (9.18)
Pojem durace rozvinul Frederick Macaulay. Durace jako číslo shrnuje vliv všech faktorů, které ovlivňují
cenovou citlivost dluhopisu se změnou výnosu do doby splatnosti. Durace závisí na třech základních
faktorech:
• době splatnosti
• kupónové míře
• výnosu do doby splatnosti
Jmenovatel durace počítá cenu dluhopisu, to znamená součet současných hodnot každého hotovostního
toku (cash-flow), zatímco čitatel počítá součet současných hodnot každého hotovostního toku s
tím, že každý hotovostní tok se váží dobou výplaty hotovostního toku. Durace je tedy váženým průměrem
současných hodnot hotovostního toku (kuponů včetně splacení nominální hodnoty), kde váhovým
faktorem je doba mezi současností a hotovostním tokem.
Modifikovaná durace nám představuje průměrnou dobu trvání toku plateb z k-té obligace.
Potom se bude výraz modifikovat do tvaru:
)i(P
)i1.(
i
)i(P
)i(D
k
k
Mk
++++
−−−−==== a nazýváme jej modifikovaná
durace.
Výraz
)i(P
)i1.(
i
)i(P
)i(D
k
k
Mk
++++
−−−−==== (9.19)
Durace potom bude:
)i(P
i
)i(P
)i(D
k
k
k −−−−==== (9.20)
Pojem durace rozvinul Frederick Macaulay. Durace jako číslo shrnuje vliv všech faktorů, které ovlivňují
cenovou citlivost dluhopisu se změnou výnosu do doby splatnosti. Durace závisí na třech základních
faktorech:
• době splatnosti
• kupónové míře
• výnosu do doby splatnosti
106
Jmenovatel durace počítá cenu dluhopisu, to znamená součet současných hodnot každého hotovostního
toku (cash-flow), zatímco čitatel počítá součet současných hodnot každého hotovostního toku s
tím, že každý hotovostní tok se váží dobou výplaty hotovostního toku. Durace je tedy váženým průměrem
současných hodnot hotovostního toku (kuponů včetně splacení nominální hodnoty), kde váhovým
faktorem je doba mezi současností a hotovostním tokem.
Modifikovaná durace nám představuje průměrnou dobu trvání toku plateb z k-té obligace.
9.3 Sestavování portfolia z více obligací
V běžné praxi nemá investor obvykle možnost si vybrat na trhu s cennými papíry obligaci, která má
při daných ročních výnosech do doby splatnosti jím požadované vlastnosti (pro něj vhodná obligace
není momentálně na trhu nebo se vůbec neobchoduje atd.) Proto investorovi nezbývá nic jiného, než
sestavit portfolio z více obligací, které jsou na daném trhu obchodované. Omezíme se na držení obligačního
portfolia, u kterých se výnos do doby splatnosti nebude měnit. Potom tržní cena obligačního
portfolia sestaveného z m obligací bude:
[[[[ ]]]]∑∑∑∑ ∑∑∑∑==== ====
====++++====
m
1j
m
1j
jjjjjnjp T.XH)i(PXTC (9.21)
kde:
jX - podíl (váha) obligace v portfoliu, přičemž platí ∑∑∑∑ ====
====
n
1j
j 1X a zároveň jX ≥0
(nezápornost však požadovat nemusíme)
jT - skutečná tržní cena obligace, kde jjj H)i(PT ++++====
)i(P jnj - teoretická cena j-té obligace s dobou splatnosti n
jH - udává rozdíl mezi skutečnou a teoretickou cenou obligace, neboť
)i(PHT)i(PTH jjjjjj ++++====⇒⇒⇒⇒−−−−====
Připomeňme si ještě, že platí :
j
j
j
j
jT
T
i
)i(P
T
)i(P
D ∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−====
′′′′
−−−−==== .
Potom z nutné podmínky pro extrém portfolia, které je složeno pouze z jednoho dluhopisu vyplývá, že
nutná podmínka pro extrém portfolia složeného z n obligací bude:
)i(q
)i(T.X)i(T.X)i(T.X)i(T.X
)i(P.X)i(P.X)i(P.X)i(P.X
)i(D
nn332211
nn332211
T ====
++++++++++++++++
′′′′++++++++′′′′++++′′′′++++′′′′
−−−−====
L
L
(9.22)
Tuto nutnou podmínku pro extrém, můžeme též zapsat:
[[[[ ]]]] 0
n
1j
Tjj )i(D)i(q.T.X j
====−−−−∑∑∑∑
====
(9.23)
Abychom nalezli realizační cenu daného portfolia, při daném skutečném ročním výnosu do doby
splatnosti v prvním roce trvání, budeme muset vyřešit soustavu rovnic:
[[[[ ]]]] 0
n
1j
Tjj )i(D)i(q.T.X j
====−−−−∑∑∑∑
====
(9.24)
∑∑∑∑
====
====
n
1j
j
1X , 0jX ≥≥≥≥ pro j = 1, 2, 3, …, n
Příklad:
Mějme dvě obligace O1 a O2. Předpokládejme, že se po dobu držení těchto obligací nebudou měnit roční výnosy
do doby splatnosti, která bude z každého dluhopisu 10%. Máme sestavit portfolio s dobou splatnosti 2 roky
nepředpokládáme žádné změny ve velikosti ročních výnosů do doby splatnosti).
107
Základní hodnoty obligací
Toky plateb z obligací na konci roku
TCj TCj - Pj(i) Pj(i) 1. 2. 3. 4. 5. j
P′′′′ )i(DT
O1 1 000 0 1 000 100 100 100 100 1 100 -3790,79 3790,79
O2 1 000 0 1 000 100 1 100 0 0 0 -1735 1735
i = 10%, O1 - splatnost za 10 let, O2 - splatnost za 2 roky
S použitím vztahů:
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
12
2T2
2
12
1T1
1
V
D)i(.T
X
V
D)i(.T
X
qq −−−−
====
−−−−
==== a
kde: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]2T1T112 D)i(qD)i(q.TV −−−−−−−−−−−−==== a
k
k
kT
T
)i(P
D
′′′′
−−−−====
Vypočítáme váhy (podíly) jednotlivých obligací. Tím obdržíme:
2025,2496V
0,4825X
0,5175X
12
2
1
−−−−====
====
====
Výsledné hodnoty portfolia
Podíl
aktiv
Tj Pj(i) Tok plateb z obligací
1. 2. 3. 4. 5.
O1 0,5175 482,538 482,538 48,254 48,254 48,254 48,254 530,792
O2 0,4825 517,462 517,462 51,746 569,208 0 0 0
Tím vzniklo portfolio, jehož realizační cena bude poměrně málo citlivá na odchylky od odhadovaných
ročních výnosů do doby splatnosti, kde
TCj – skutečná cena obligace
TCj - Pj(i) – rozdíl mezi teoretickou a skutečnou tržní cenou obligace
Pj(i) – teoretická tržní cena obligace
Otázky a problémy k zamyšlení:
Úloha 1
Předpokládejme, že je 1.1. 2000 a že vždy k 1.1. budeme každým rokem dostávat kupónové platby ze
státních dluhopisů. Experti odhadli, že lze předpokládat, že výnos do doby splatnosti bude následovný.
Výnos do doby splatnosti státních dluhopisů
Rok splatnosti
Roční výnos do doby
splatnosti p.a.
2000 8%
2001 7,5%
108
2002 8,5%
2003 7,0%
2004 9,5%
2005 8,8%
2006 7,5%
Splatnost všech
dluhopisů 2010
Úloha
1. V jednotlivých letech odhadnout budoucí roční výnosy do doby splatnosti
2. Odhadnout jaký lze očekávat roční výnos do doby splatnosti dvouletých a čtyřletých termínovaných
vkladů, které budou založeny 1.1.2002
3. Odhadnout jaký lze očekávat roční výnos z pětiletého termínovaného vkladu založeného též
v roce 1.1.2002
4. Dále předpokládejme, že státní dluhopisy mají kupónovou míru 10%. Jaké portfolio z těchto
vybraných tří dluhopisů setavíme, chceme-li toto portfolio vlastnit po dobu dvou let.
Literatura
[1] Brada, J.: Teorie portfolia, Vysoká škola ekonomická v Praze 1996, ISBN 80-7079-259-0
[2] Čámský, F.: Teorie portfolia, Masarykova univerzita-ekonomicko správní fakulta Brno 2001,
ISBN 80-210-2509-3
[3] Čámský, F.: Určování optimálního portfolia,Finančné trhy, Bratislava 2006 str. 10,
ISSN 1336/5711, URL info
[4] Dědek, O.: Teorie portfolia v prostoru výnosu a rizika,Politická ekonomie 6, str. 525-550, 1992
[5] Dědek, O.: Rovnováha na trhu aktiv: modely CAPM a APT, Politická ekonomie 6, str. 795-820
1992
[6] Janda, K.: Modelování rizika akciového portfolia,Finance a úvěr 44, č.9, str.463-471, 1994
[7] Elton, E., J., Gruber, M., J.: :Modern Portfolio Theory and Investment Analysis,
USA 1995, ISBN 0-471-00743-9
[8] Maňas, M.: Optimalizační metody pro podnik a trh, VŠE v Praze 1997, ISBN 80-7079-284-1
[9] Sharpe,G., J., Alexander, G., J.:Investice,Victoria Publishing Praha, 1994, ISBN 80-85605-47-3
[10] Sommer, M.: Modely oceňování kapitálových aktiv a český akciový trh, Finance a úvěr 47,
Č.5, str. 272-286, 1997
[11] Unčovský, l., Šimkovič, J.: Vybrané metody z operační analýzy,VŠE Bratislava1980
109
Přílohy
Příloha 1
Řešení úlohy, kdy je povolen sell short (prodej nakrátko) s minimalizací rizika
ze strany 43
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
λλλλ1
pravé strany
X1 688,3 40,8 77,1 -151,3 369,9 592,5 633,5 1 0
X2 40,8 73,4 20 27,2 -48,3 66 111,9 1 0
X3 77,1 20 975,7 -327,4 42,4 151,3 357,9 1 0
X4 -151,3 27,2 27,2 3619,9 -474,1 3,6 98,1 1 0
X5 369,9 -48,3 42,4 -474,1 3505,3 -344,5 -63,4 1 0
X6 592,5 66 151,3 3,6 -344,5 2792,6 1439 1 0
X7 633,5 111,9 357,9 98,1 -63,4 1439 2342,2 1 0
λλλλ1
1 1 1 1 1 1 1 0 1
Inverzní matice
0,002249 -0,00131563 -2E-06 6,1E-05 -0,0003 -3E-04 -4E-04 0,05
-0,00133 0,002744502 -8E-04 -0,0004 -0,0001 -9E-05 5E-05 0,87
2,01E-05 -0,0009623 0,001 8,4E-05 -4E-05 2E-05 -2E-04 0,06
6,08E-05 -0,00032626 -2E-05 0,00028 2E-05 7E-07 -2E-05 0,02
-0,0003 -0,00011315 -4E-05 1,8E-05 0,0003 8E-05 4E-05 0,03
-0,0003 -9,4802E-05 2E-05 2,4E-06 8E-05 0,0006 -3E-04 0,02
-0,0004 6,76402E-05 -2E-04 -3E-05 4E-05 -3E-04 0,0007 -0
0,053868 0,873574598 0,0551 0,02274 0,0272 0,0151 -0,048 -62
Součin matic
X1 0,052658
110
X2 0,874866
X3 0,061783
X4 0,017162
X5 0,026498
X6 0,015231
X7 -0,048199
λλλλ1 -62,398028
Příloha 2
Řešení úlohy, kdy je povolen sell short (prodej nakrátko) s minimálním rizikem a očekávaným výnosem 15%
ze strany 45
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 λλλλ1 λλλλ2 Pravé
strany
X1 688,3 40,8 77,1 -151,3 369,9 592,5 633,5 1 18,5 0
X2 40,8 73,4 20 27,2 -48,3 66 111,9 1 8,7 0
X3 77,1 20 975,7 -327,4 42,4 151,3 357,9 1 15,3 0
X4 -151 27,2 27,2 3619,9 -474,1 3,6 98,1 1 32,5 0
X5 369,9 -48,3 42,4 -474,1 3505,3 -344,5 -63,4 1 30 0
X6 592,5 66 151,3 3,6 -344,5 2792,6 1439 1 23,1 0
X7 633,5 111,9 357,9 98,1 -63,4 1439 2342,2 1 19,4 0
λλλλ1
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1
λλλλ2222 18,5 8,7 15,3 32,5 30 23,1 19,4 0 0 15
Inverzní matice
0,002 -8E-04 -7,6E-05 -8E-05 -0,0004 -0,00037 -0,00039 -0,134 0,0181
-0 0,0007 -0,00056 0,00011 0,00026 0,00018 3,2E-05 1,564 -0,0669
-0 -5E-04 0,000976 -3E-05 -0,0001 -4,1E-05 -0,00015 -0,086 0,0144
-0 0,0001 -8,2E-05 0,00016 -7E-05 -6,3E-05 -1,2E-05 -0,143 0,0155
-0 0,0002 -9,1E-05 -7E-05 0,00025 2,9E-05 4,7E-05 -0,094 0,0117
-0 0,0002 -1,8E-05 -7E-05 2,7E-05 0,00053 -0,00027 -0,075 0,0087
-0 2E-05 -0,00015 -2E-05 5E-05 -0,00026 0,00074 -0,033 -0,0015
-0,14 1,5325 -0,03431 -0,1492 -0,0977 -0,07474 -0,04003 -288,2 21,92
0,018 -0,063 0,008579 0,0165 0,01198 0,00862 -0,00073 21,67 -2,1035
Součin matic
111
X1 0,137616
X2 0,560579
X3 0,12934
X4 0,090206
X5 0,081382
X6 0,056214
X7 -0,05534
λλλλ1 40,61842
λλλλ2222 -9,88587
Příloha 3
Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short je zakázán) ze strany 53 (Volfova metoda).
112
Příloha 3 Tabulka na začátku fáze 1
113
Příloha 3 Tabulka na konci fáze 1
114
Příloha 3 Tabulka na začátku fáze 2
115
Příloha 3 První krok v druhé fázi
116
Příloha 3 Poslední krok ve fázi 2
117
118