Kapitola 10.: Úvod do analýzy časových řad
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- očistit časovou řadu od důsledků kalendářních variací
- graficky znázornit okamžikovou i intervalovou časovou řadu
- vypočítat popisné a dynamické charakteristiky časové řady
- odhadnout trend časové řady metodami regresní analýzy a pomocí klouzavých průměrů
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin
studia.
10.1. Motivace
Při analýze časových řad chceme získat představu o charakteru procesu, který tato řada
reprezentuje. Průběh časové řady graficky znázorňujeme pomocí spojnicového resp. sloupkového
diagramu. K jejímu popisu používáme různé charakteristiky, a to jak statické tak dyna-
mické.
K modelování časových řad slouží celá řada metod, např. dekompoziční metoda, Boxova
– Jenkinsonova metodologie, lineární dynamické modely, spektrální analýza časových řad.
Zde se omezíme na speciální případ dekompoziční metody, kdy pomocí regresní analýzy a
pomocí klouzavých průměrů odhadneme trend časové řady.
10.2. Základní pojmy
10.2.1. Pojem časové řady
Časovou řadou rozumíme řadu hodnot n1 tt y,,y  určitého ukazatele uspořádanou podle
přirozené časové posloupnosti t1 < ... < tn. Jsou-li časové intervaly (t1, t2), ..., (tn-1, tn) stejně
dlouhé (ekvidistantní), zjednodušeně zapisujeme časovou řadu jako y1, ..., yn. Přitom ukazatel
je veličina, která charakterizuje nějaký sociálně ekonomický jev v určitém prostoru a v určitém
čase (okamžiku či intervalu).
10.2.2. Druhy časových řad
a) Časová řada okamžiková: příslušný ukazatel udává, kolik jevů existuje v daném časovém
okamžiku (např. počet obyvatelstva k určitému dnu).
b) Časová řada intervalová: příslušný ukazatel udává, kolik jevů vzniklo či zaniklo v určitém
časovém intervalu (např. počet sňatků během roku). Nejsou-li jednotlivé časové intervaly
ekvidistantní, musíme provést očištění časové řady od důsledků kalendářních variací.
10.2.3. Příklad: Máme k dispozici údaje o tržbě obchodní organizace (v tis. Kč)
v jednotlivých měsících roku 1995: 2400, 2134, 2407, 2445, 2894, 3354, 3515, 3515, 3225,
3063, 2694, 2600. Vypočtěte očištěné údaje.
Řešení: Průměrná délka měsíce je 365/12 dne. Očištěná hodnota pro leden je tedy
84,2354
3112
365
2400y )o(
1 

 , pro únor 18,2318
2812
365
2134y )o(
2 

 . Pro ostatní měsíce
analogicky dostaneme 2361,71; 2478,96; 2839,54; 3400,58, 3448,86; 3448,86; 3269,79;
3005,36; 2731,42; 2551,08.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných: trzba, dm (délky jednotlivých měsíců) a
ot (očištěná tržba) a 12 případech. Do proměnné trzba zapíšeme zjištěné hodnoty. Do proměnné
dm vložíme délky jednotlivých měsíců, tj. 31, 28, 30, …, 31. Do Dlouhého jména
proměnné ot napíšeme =trzba*365/(12*dm).
1
trzba
2
dm
3
ot
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2400 31 2354,839
2134 28 2318,185
2407 31 2361,707
2445 30 2478,958
2894 31 2839,543
3354 30 3400,583
3515 31 3448,858
3515 31 3448,858
3225 30 3269,792
3063 31 3005,363
2694 30 2731,417
2600 31 2551,075
10.2.4. Grafické znázornění časové řady
a) Okamžikovou časovou řadu graficky znázorňujeme pomocí spojnicového diagramu. Na
vodorovnou osu vynášíme časové okamžiky t1, ..., tn, na svislou osu odpovídající hodnoty y1,
..., yn. Dvojice bodů (ti, yi), i = 1, ..., n spojíme úsečkami.
10.2.5. Příklad
Časová řada obsahuje údaje o počtu zaměstnanců určité akciové společnosti v letech 1999 –
2006 vždy k 31.12.
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
622 627 631 635 641 641 632 625
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných nazvaných rok a pocet a 8 případech.
Grafy – Bodové grafy – odškrtneme Lineární proložení – Proměnné X – rok, Y – počet – OK
– OK. 2x klikneme na pozadí grafu – vybereme Graf: obecné – zaškrtneme Spojnice – OK.
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
620
622
624
626
628
630
632
634
636
638
640
642
pocet
b) Intervalovou časovou řadu nejčastěji znázorňujeme sloupkovým diagramem. Je to soustava
obdélníků, kde šířka obdélníku je rovna délce intervalu a výška odpovídá hodnotě ukazatele
v daném intervalu. Ke znázornění intervalové časové řady lze použít i spojnicový diagram,
přičemž na vodorovnou osu vynášíme středy příslušných intervalů.
10.2.6. Příklad
Máme k dispozici údaje o produkci určitého podniku (v tisících výrobků) v letech 1991-1996.
1991 1992 1993 1994 1995 1996
114 106 107 102 116 137
Znázorněte tuto časovou řadu graficky.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných nazvaných rok a produkce a 6 případech.
Grafy – Bodové grafy – odškrtneme Lineární proložení – Proměnné X – rok, Y – produkce –
OK – OK. 2x klikneme na pozadí grafu – vybereme Graf: obecné – zaškrtneme Spojnice –
Přidat nový graf – typ Sloupcový graf – OK. Do sloupců označených jako Nový1, Nový2
okopírujeme hodnoty proměnných rok a produkce. Ve Všech možnostech: Sloupce upravíme
šířku sloupce na 1.
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
rok
100
105
110
115
120
125
130
135
140
produkce
10.3. Popisné charakteristiky časových řad
10.3.1. Průměr okamžikové časové řady
Nejprve vypočteme průměry pro jednotlivé dílčí intervaly (t1, t2), (t2, t3), ..., (tn-1, tn):
2
yy
,,
2
yy
,
2
yy n1n3221  
 . Jsou-li všechny tyto intervaly stejně dlouhé, vypočteme prostý
chronologický průměr okamžikové časové řady:
 
















n
2i
n
1n
2i
i
1i1i
2
y
y
2
y
1n
1
2
yy
1n
1
y .
Nemají-li intervaly stejnou délku, vypočteme di = ti – ti-1, i = 2, ..., n a použijeme vážený
chronologický průměr okamžikové časové řady:

 





n
2i
i
i1i
n
2i
i
d
2
yy
d
1
y .
10.3.2. Příklad
Časová řada vyjadřuje počet obyvatelstva ČR (v tisících) v letech 1989 až 2008 vždy ke dni
31.12.
rok počet obyvatel rok počet obyvatel
1989 10362,102 1999 10278,098
1990 10364,124 2000 10266,546
1991 10312,548 2001 10206,436
1992 10325,697 2002 10203,269
1993 10334,013 2003 10211,455
1994 10333,161 2004 10220,577
1995 10321,344 2005 10251,079
1996 10309,137 2006 10287,189
1997 10299,125 2007 10381,13
1998 10289,621 2008 10467,542
Charakterizujte tuto časovou řadu chronologickým průměrem.
Řešení: 23,10295
2
542,10467
13,10381124,10364
2
102,10362
19
1
y 





  .
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o 21 proměnných a jednom případu. Do prvních 20 proměnných
vložíme zjištěné hodnoty, do Dlouhého jména poslední proměnné napíšeme
=(v1/2+sum(v2:v19)+v20/2)/19
Dostaneme výsledek 10 295,23.
10.3.3. Průměr intervalové časové řady
Průměr intervalové časové řady počítáme podle vzorce 


n
1i
iy
n
1
y .
10.3.4. Příklad
Vypočtěte průměrnou hodnotu roční časové řady HDP ČR (v miliardách Kč) v letech 1995 až
2008.
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
1466,51683,31811,11996,52080,82189,22352,22464,42577,12814,82983,93222,43535,53689
Řešení:   5,249036895,1466
14
1
y   .
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Použijeme Popisné statistiky z nabídky Základní statistiky/tabulky.
10.4. Dynamické charakteristiky časových řad
10.4.1. Absolutní přírůstky
1. diference: n,,2i,yyy 1iii  
2. diference:  
n,,3i,yy2yyyy 2i1ii1iii
2
 
atd.
(Diferencování má velký význam při odhadu trendu časové řady regresními metodami.)
Průměrný absolutní přírůstek:
1n
yy
1n
y
1n
n
2i
i








10.4.2. Relativní přírůstek
n,,2i,
y
y
1i
i
i 



(Relativní přírůstek po vynásobení 100 udává, o kolik procent se změnila hodnota v čase ti
oproti času ti-1.)
10.4.3. Koeficient růstu (tempo růstu)
n,,2i,
y
y
k
1i
i
i 

(Koeficient růstu po vynásobení 100 udává, na kolik procent hodnoty v čase ti-1 vzrostla či
poklesla hodnota v čase ti.)
10.4.4. Průměrný koeficient růstu
1n
1
n1n
n32
y
y
kkkk   
10.4.5. Průměrný relativní přírůstek
1k 
10.4.6. Příklad
Pro časovou řadu HDP ČR v letech 1995 až 2008 (v miliardách Kč) vypočtěte základní charakteristiky
dynamiky a graficky znázorněte relativní přírůstky a koeficienty růstu.
rok 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
HDP 1466,5 1683,31811,1 1996,5 2080,82189,2 2352,2 2464,42577,1 2814,8 2983,93222,4 3535,5 3689
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o 2 proměnných a 14 případech. První proměnnou nazveme
ROK, druhou HDP.
Výpočet 1. diferencí: 1iii yyy  pro i = 2,...,n
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné HDP –
OK – OK (transformace, autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Oddělit-sloučit - OK (transformovat
vybrané řady) – vykreslí se graf.
Graf proměnné: HDP
D(-1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Čísla případů
50
100
150
200
250
300
350
HDP
50
100
150
200
250
300
350
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nové datové okno,
kde v proměnné HDP_1 jsou uloženy 1. diference.
HDP HDP_1
1 1466,5
2 1683,3 216,8
3 1811,1 127,8
4 1996,5 185,4
5 2080,8 84,3
6 2189,2 108,4
7 2352,2 163,0
8 2464,4 112,2
9 2577,1 112,7
10 2814,8 237,7
11 2983,9 169,1
12 3222,4 238,5
13 3535,5 313,1
14 3689,0 153,5
Výpočet relativních přírůstků:
1i
i
i
y
y


 pro i = 2,...,n
Vrátíme se do Transformace proměnných – označíme proměnnou, kterou chceme transformovat
(HDP) – vybereme Posun – OK, (Transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf.
Vrátíme se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Tato transformovaná veličina se
uloží do tabulky pod názvem HDP_1 (proměnná s 1. diferencemi se přejmenuje na HDP_2).
Přidáme novou proměnnou RP a do jejího Dlouhého jména napíšeme vzorec
=HDP_2/HDP_1.
Výpočet koeficientů růstu:
1i
i
i
y
y
k

 pro i = 2,...,n
Do tabulky přidáme proměnnou KR a do jejího Dlouhého jména napíšeme vzorec
=HDP/HDP_1.
Získáme tabulku
HDP HDP_2HDP_1 RP KR
1 1466,5
2 1683,3216,8 1466,5 0,14781,1478
3 1811,1127,8 1683,3 0,07591,0759
4 1996,5185,4 1811,1 0,10241,1024
5 2080,884,3 1996,5 0,04221,0422
6 2189,2108,4 2080,8 0,05211,0521
7 2352,2163,0 2189,2 0,07451,0745
8 2464,4112,2 2352,2 0,04771,0477
9 2577,1112,7 2464,4 0,04571,0457
102814,8237,7 2577,1 0,09221,0922
112983,9169,1 2814,8 0,06011,0601
123222,4238,5 2983,9 0,07991,0799
133535,5313,1 3222,4 0,09721,0972
143689,0153,5 3535,5 0,04341,0434
15 3689,0
Průměrný absolutní přírůstek: 96,170
13
5,14663689


 , tzn., že v období 1995–2008 rostl
HDP průměrně o 170,96 miliard Kč ročně.
Průměrný koeficient růstu: 0735,1
5,1466
3689
13 k , tzn., že v období 1995–2008 rostl HDP
průměrně o 7,35 % ročně.
Pomocí Grafy - 2D Grafy – Spojnicové grafy (Proměnné) vykreslíme průběh relativních přírůstků
a koeficientů růstu.
Graf relativních přírůstků
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16RP
Graf koeficientů růstu
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
KR
10.5. Aditivní model časové řady
10.5.1. Popis modelu
Předpokládejme, že pro časovou řadu y1, ..., yn platí model
yt = f(t) + εt, t = 1, ..., n, kde
f(t) je neznámá trendová funkce (trend), kterou považujeme za systematickou (deterministickou)
složku časové řady (popisuje hlavní tendenci dlouhodobého vývoje časové řady),
εt je náhodná složka časové řady zahrnující odchylky od trendu. Náhodná složka splňuje
předpoklady
E(εt) = 0,
D(εt) = σ2
,
C(εt, εt+h) = 0,
εt ~ N(0, σ2
) (říkáme, že εt je bílý šum).
10.5.2. Cíl regresní analýzy trendu
Regresní analýza trendu má objasnit vztah mezi závisle proměnnou veličinou Y a časem t.
Předpokládáme, že trend f(t) závisí (lineárně či nelineárně) na neznámých parametrech β0, β1,
..., βk a známých funkcích φ0(t), φ1(t), ...., φk(t), které již neobsahují žádné neznámé parametry,
tj. f(t) = g(t;β0, β1, ..., βk). Odhady b0, b1, ..., bk neznámých parametrů β0, β1, ..., βk lze získat
např. metodou nejmenších čtverců a pak vyjádřit odhad )t(f

neznámého trendu v bodě t
pomocí odhadů b0, b1, ..., bk a funkcí φ0(t), φ1(t), ...., φk(t), tj.
)t(f

= g(t;b0, b1, ..., bk).
10.5.3. Nejdůležitější typy trendových funkcí
Volba typu trendové funkce se provádí
- na základě teoretických znalostí a zkušeností se zkoumanou veličinou Yt
- pomocí grafu časové řady
- pomocí informativních testů založených na jednoduchých charakteristikách časové řady
a) Lineární trend
Analytické vyjádření: t)t(f 10 
Informativní test: 1. diference jsou přibližně konstantní.
b) Kvadratický trend
Analytické vyjádření: 2
210 tt)t(f 
Informativní test: 1. diference mají přibližně lineární trend, 2. diference jsou přibližně kon-
stantní.
c) Exponenciální trend
Analytické vyjádření: t
10)t(f  .
Model lze linearizovat logaritmickou transformací: 10 lntln)t(fln 
Informativní test: koeficienty růstu jsou přibližně konstantní.
d) Modifikovaný exponenciální trend
Analytické vyjádření: t
10)t(f  .
Informativní test: řada podílů sousedních 1. diferencí je přibližně konstantní.
e) Logistický trend
Analytické vyjádření: t
101
)t(f



Informativní test: průběh 1. diferencí je podobný Gaussově křivce a podíly
t1t
1t2t
y1y1
y1y1




jsou přibližně konstantní.
f) Gompertzova křivka
Analytické vyjádření:
t
1
0)t(f 

Informativní test: podíly
t1t
1t2t
ylnyln
ylnyln




jsou přibližně konstantní.
Modely (a), (b), (c) jsou lineární nebo se dají linearizovat a odhady parametrů získáme metodou
nejmenších čtverců. Modely (d), (e), (f) jsou nelineární a odhady parametrů se získávají
speciálními numerickými metodami.
10.5.4. Orientační ověřování kvality modelu
- Index determinace (tj. podíl vysvětlené a celkové variability závisle proměnné veličiny) by
měl být blízký 1.
- Body grafu   tfˆ,yt , t = 1, 2, ..., n by se měly řadit do přímky se směrnicí 1.
- Při srovnání několika modelů se stejným počtem parametrů volíme ten model, pro který je
střední kvadratická chyba odhadu (   

n
1t
2
t tfˆy
n
1
MSE ) nejnižší.
10.5.5. Příklad
Uvažme časovou řadu HDP ČR v letech 1995 až 2008 (v miliardách Kč) – viz př. 10.4.6.
a) Graficky znázorněte průběh této časové řady.
b) Z grafu časové řady lze usoudit, že časová řada má lineární trend t)t(f 10  . Odhadněte
jeho parametry a nakreslete průběh trendu do grafu časové řady.
c) Zjistěte odhad HDP v roce 2009.
d) Vypočtěte index determinace a sestrojte graf   tfˆ,yt , t = 1, ..., 14.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor se třemi proměnnými rok, t, HDP a 14 případy. Do proměnné t uložíme
hodnoty 1, …, 14.
ad a) Graficky znázorníme průběh této časové řady:
Grafy – Bodové grafy – Proměnné rok, HDP – OK – vypneme proložení – OK.
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
rok
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
HDP
ad b) Odhadneme parametry lineárního trendu.
Statistika – Vícerozměrná regrese – Proměnné závislé: HDP, nezávislé: t – OK – OK. Otevře
se nové okno Výsledky – vícenásobná regrese. Na záložce Základní výsledky zvolíme Výpočet:
výsledky regrese a získáme tabulku, kde ve sloupci B jsou odhady regresních parametrů.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : HDP (HDP_CR.sta)
R= ,99052776 R2= ,98114525 Upravené R2= ,97957402
F(1,12)=624,44 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : 97,936
N=14
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(12) p-hodn.
Abs.člen
t
1273,565 55,2867023,035640,000000
0,990528 0,039639 162,255 6,49309 24,988880,000000
Odhad trendu:   t255,162565,1273tfˆ  .
Podle tohoto modelu by tedy HDP v roce 1994 činil 1 273, 565 mil. Kč (realita byla
1 255, 986) a v každém dalším roce by vzrostl o 162, 255 mil. Kč.
Vytvoření grafu časové řady s odhadnutým trendem:
Na záložce Uložit zvolíme Uložit rezidua a předpovědi. K nim do tabulky uložíme ještě proměnné
rok a HDP a pomocí vícenásobného bodového grafu vytvoříme požadovaný graf.
HDP
Předpovědi
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010
rok
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3400
3600
3800
ad c) Odhad HDP roce 2009: Pro výpočet predikované hodnoty zvolíme Rezidua/předpoklady/předpovědi
- Předpovědi závisle proměnné čas: 15 - OK. Ve výstupní tabulce
je hledaná hodnota označena jako Předpověď: 3 707,392.
Předpovězené hodnoty (HDP_CR.sta)
proměnné: HDP
Proměnná
b-váha Hodnota b-váha
* Hodnot
t
Abs. člen
Předpověď
-95,0%LS
+95,0%LS
162,2552 15,00000 2433,827
1273,565
3707,392
3586,933
3827,852
ad d) Index determinace je ID2
= 0,981, jak je uvedeno v záhlaví výstupní tabulky regresní
analýzy. Znamená to, že lineární trend vysvětluje variabilitu HDP z 98,1%.
Graf závislosti predikovaných hodnot na hodnotách časové řady vytvoříme tak, že uložíme
předpovězené hodnoty. Pak pomocí Bodového grafu vykreslíme závislost predikce na Y.
1,2E6
1,4E6
1,6E6
1,8E6
2E6
2,2E6
2,4E6
2,6E6
2,8E6
3E6
3,2E6
3,4E6
3,6E6
3,8E6
1,2E6
1,4E6
1,6E6
1,8E6
2E6
2,2E6
2,4E6
2,6E6
2,8E6
3E6
3,2E6
3,4E6
3,6E6
3,8E6
Jak index determinace, tak graf   tfˆ,yt svědčí o tom, že model dobře vystihuje charakter
dané časové řady.
10.6. Odhad trendu časové řady pomocí klouzavých průměrů
10.6.1. Podstata klouzavých průměrů
Předpokládáme, že časová řada se řídí aditivním modelem
yt = f(t) + εt, t = 1, ..., n. Odhad trendu v bodě t získáme určitým zprůměrováním původních
pozorování z jistého okolí uvažovaného časového okamžiku t. Můžeme si představit, že podél
dané časové řady klouže okénko, v jehož rámci se průměruje. Nechť toto okénko zahrnuje d
členů nalevo od bodu t a d členů napravo od bodu t. Hovoříme pak o vyhlazovacím okénku
šířky h = 2d + 1. Prvních a posledních d hodnot trendu neodhadujeme, protože pro
   n,,1dnd,,1t   není vyhlazovací okénko symetrické. Odhad trendu ve středu
vyhlazovacího okénka je dán vztahem:
  






d2
0k
kdtdt1dtdt y
1d2
1
yyy
1d2
1
)t(fˆ  , t = d+1, ..., n-d.
10.6.2. Šířka vyhlazovacího okénka
Velmi důležitou otázkou je stanovení šířky vyhlazovacího okénka. Je-li okénko příliš široké,
bude se odhad trendu blížit přímce (říkáme, že je přehlazen) a zároveň se ztratí velký počet
členů na začátku a na konci časové řady. Je-li naopak okénko úzké, bude se odhad trendu blížit
původním hodnotám (říkáme, že odhad je podhlazen). Nejčastěji se volí šířka okénka h =
3, 5, 7, pro časovou řadu čtvrtletních hodnot 4.
10.6.3. Příklad
Máme k dispozici čtvrtletní časovou řadu průměrných měsíčních mezd v České republice
v době od 1/2001 do 3/2009:
čas mzda čas mzda čas mzda
1/2002 14204 4/2004 19980 3/2007 21470
2/2002 15772 1/2005 17678 4/2007 23435
3/2002 15422 2/2005 18763 1/2008 22531
4/2002 17315 3/2005 18833 2/2008 23182
1/2003 15407 4/2005 20841 3/2008 23144
2/2003 17084 1/2006 18903 4/2008 25381
3/2003 16522 2/2006 20036 1/2009 22328
4/2003 18697 3/2006 19968 2/2009 22992
1/2004 16722 4/2006 21952 3/2009 23350
2/2004 17817 1/2007 20399
3/2004 17738 2/2007 21462
a) Odhadněte trend této časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okénkem
šířky 4.
b) Graficky znázorněte průběh časové řady s odhadnutým trendem.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor ctvrtletni_mzda.sta o dvou proměnných CAS a MZDA a 31 přípa-
dech.
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Časové řady/predikce – Proměnné Y –
OK– OK (transformace, autokorelace, kříž. korelace, grafy) – Vyhlazování – zaškrtneme N-
bod. klouzavý průměr, N = 4 – OK (Transformovat vybrané řady) – vykreslí se graf, vrátíme
se do Transformace proměnných – Uložit proměnné. Otevře se nová datová tabulka, kde
v proměnné MZDA_1 jsou uloženy klouzavé průměry pro N = 4. K datovému souboru přidáme
proměnnou CAS, kterou okopírujeme z původního datového souboru.
ctvrtletni_mzda.sta
1
CAS
2
MZDA
3
MZDA_1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1/2002 14204,00
2/2002 15772,00
3/2002 15422,0015828,63
4/2002 17315,0016143,00
1/2003 15407,0016444,50
2/2003 17084,0016754,75
3/2003 16522,0017091,88
4/2003 18697,0017347,88
1/2004 16722,0017591,50
2/2004 17817,0017903,88
3/2004 17738,0018183,75
4/2004 19980,0018421,50
1/2005 17678,0018676,63
2/2005 18763,0018921,13
3/2005 18833,0019181,88
4/2005 20841,0019494,13
1/2006 18903,0019795,13
2/2006 20036,0020075,88
3/2006 19968,0020401,75
4/2006 21952,0020767,00
1/2007 20399,0021133,00
2/2007 21462,0021506,13
3/2007 21470,0021958,00
4/2007 23435,0022439,50
1/2008 22531,0022863,75
2/2008 23182,0023316,25
3/2008 23144,0023534,13
4/2008 25381,0023485,00
1/2009 22328,0023487,00
2/2009 22992,00
3/2009 23350,00
Pro zobrazení proměnných MZDA a MZDA_1 do jednoho grafu přejdeme na záložku Přehledy
a grafy. Vedle možnosti Zobrazit víc proměnných zvolíme Graf. Označíme obě proměnné
– OK. Vykreslí se následující graf:
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
MZDA MZDA; trns.
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
28000
Value
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
28000
Vidíme, že díky vhodné volbě šířky vyhlazovacího okénka se podařilo odhadnout trend dané
časové řady.
Shrnutí
Časovou řadou rozumíme řadu číselných hodnot určitého ukazatele, který se v čase mění.
Rozlišujeme časové řady okamžikové (příslušný ukazatel udává, kolik jevů existuje
v daném časovém okamžiku) a časové řady intervalové (příslušný ukazatel udává, kolik jevů
vzniklo či zaniklo v určitém časovém intervalu). Nejsou-li jednotlivé časové intervaly stejně
dlouhé, musíme provést očištění časové řady od důsledků kalendářních variací. Okamžikové
časové řady znázorňujeme pomocí spojnicového diagramu, intervalové pak pomocí sloupkového
diagramu.
Okamžikovou časovou řadu charakterizujeme chronologickým průměrem, intervalovou
aritmetickým průměrem.
K popisu časových řad používáme také dynamické charakteristiky: absolutní a relativní
přírůstky a koeficienty růstu.
K nejdůležitějším úkolům analýzy časových řad patří odhad trendu, tj. deterministické
složky časové řady, která vystihuje popisuje hlavní tendenci dlouhodobého vývoje časové
řady. Odhad trendu lze provádět např. metodami regresní analýzy nebo pomocí klouzavých
průměrů.
Regresní odhad trendu vyžaduje, aby vývoj časové řady odpovídal nějaké funkci. Její
parametry pak odhadujeme metodou nejmenších čtverců (to v případě lineárních či linerizovatelných
modelů) nebo vhodnou numerickou metodou (např. Levenbergovou – Marquardtovou).
Naproti tomu metoda klouzavých průměrů, která patří k tzv. adaptivním metodám, je
založena na předpokladu, že časová řada mění v čase svůj charakter, tudíž trend nelze popsat
pomocí jediné funkce. Předpokládáme však, že v krátkých úsecích svůj charakter zachovává a
tedy každému úseku lze jednu funkci přiřadit. V případě výše popsaných klouzavých průměrů
jde o konstantní funkci.
Kontrolní otázky
1. Jak se liší časová řada okamžiková od intervalové?
2. Kdy se používá prostý a kdy vážený chronologický průměr?
3. Jak je definována druhá absolutní diference?
4. Uveďte vzorec pro výpočet průměrného koeficientu růstu.
5. Má-li časová řada kvadratický trend, jak se chovají její první diference?
6. Co to znamená, když náhodná složka časové řady je bílým šumem?
7. Popište princip metody klouzavých průměrů.
Autokorekční test
1. Jaké číslo patří v následující tabulce místo otazníku?
yt 156 175
kt 0,975 ?
a) 0,891
b) 1,094
c) 1,122
2. Jaké číslo patří v následující tabulce místo otazníku?
yt 25 32
δt xxx ?
a) 0,219
b) 0,280
c) 0,781
3. Jaký je průměrný absolutní přírůstek za celou dobu sledování?
t 1 … 21
yt 185 … 249
a) 1,015
b) 3,048
c) 3,200
4. Pokud mají 1. diference časové řady přibližně lineární trend, pak vhodným modelem trendové
funkce časové řady je
a) Gomperzova křivka
b) parabola
c) exponenciála
5. Střední kvadratickou chybu odhadu trendu nelze počítat podle vzorce:
a)   

n
1t
2
t tfˆy
n
1
MSE
b)  

n
1t
2
t tfˆy
n
1
MSE
c)     

n
1t
tt tfˆytfˆy
n
1
MSE
Správné odpovědi: 1c), 2b), 3c), 4b) 5c)
Příklady
1. V jednotlivých čtvrtletích roku 2006 se v ČR uskutečnilo 4 896, 16 545, 23 368 a 8051
sňatků. Vypočtěte očištěné údaje.
Výsledek:
4 964; 16 590,45; 23 177,5; 7985,37
2. V následující tabulce jsou uvedeny údaje o počtu nezaměstnaných (v tisících) v ČR v letech
2001 – 2008. Vypočtěte chronologický průměr.
rok 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
počet418,3374,1399,1425,9410,2371,3244,5223,9
Výsledek:
363,7
3. Pro časovou řadu z let 1989 – 2007 spotřeby cigaret na jednoho obyvatele ČR za rok graficky
znázorněte průběh koeficientů růstu a vypočtěte a interpretujte průměrný relativní pří-
růstek.
rok početrok počet
19891776 19992090
19902152 20001882
19912025 20011664
19921950 20021893
19931912 20032192
19942040 20042243
19952185 20052275
19962165 20062338
19972354 20072345
19981852
Výsledek:
Graf koeficientů růstu
2 4 6 8 10 12 14 16 18
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
KR
Průměrný relativní přírůstek: 0,0156, tzn., že v letech 1989 – 2007 rostla spotřeba cigaret na
jednoho obyvatele za rok v průměru o 1,56 %.
4. Časová řada 112, 149, 238, 354, 580, 867 udává zisk (v tisících dolarů) jisté společnosti
v prvních šesti letech její existence.
a) Z grafu časové řady a chování koeficientů růstu lze usoudit, že časová řada má exponenciální
trend t
10)t(f  . Odhadněte jeho parametry.
b) Najděte odhad zisku společnosti v 7. a 8. roce její existence.
e) Vypočtěte index determinace.
Výsledek:
ad a) Model t
10)t(f  linearizujeme na model 10 lntln)t(fln  a metodou nejmenších
čtverců získáme odhady ln b0, ln b1. Odlogaritmováním dostaneme b0 = 68,57875, b1 =
1,522265.
ad b) Odhad zisku společnosti v 7. roce existence: 1299,035 tisíc dolarů, v 8. roce : 1977,476
tisíc dolarů.
ad c) Index determinace je 0,996.
5. Časová řada 215, 219, 222, 235, 202, 207, 187, 204, 174, 172, 201, 272 udává roční objemy
vývozu piva (v miliónech litrů) z Československa v letech 1980 až 1991. Odhadněte trend
této časové řady pomocí klouzavých průměrů s vyhlazovacím okénkem šířky 5
Výsledek:
rok 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989
kp5 218,6 217 210,6 207 194,8 188,8 187,6 204,6