Kapitola 11.: Porovnání empirického a teoretického rozložení
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- testovat hypotézu, že daný náhodný výběr pochází z rozložení s danou diskrétní či
spojitou distribuční funkcí
- ověřovat podmínky dobré aproximace pro testy dobré shody
- pomocí jednoduchých testů testovat hypotézu, že daný náhodný výběr pocházi
z exponenciálního či Poissonova rozložení
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 4 hodiny
studia.
11.1. Motivace
Možnost použití statistických testů je podmíněna nějakými předpoklady o datech. Velmi
často je to předpoklad o typu rozložení, z něhož získaná data pocházejí. Mnoho testů je
založeno na předpokladu normality. (Testování normality bylo probráno ve 2. kapitole.)
Opomíjení předpokladů o typu rozložení může v praxi vést i ke zcela zavádějícím výsledkům,
proto je nutné věnovat tomuto problému patřičnou pozornost.
V této kapitole se seznámíme s testem dobré shody, který je (po splnění určitých
předpokladů) použitelný k ověření shody empirického rozložení s jakýmkoliv teoretickým
rozložením. Tato univerzálnost je ovšem provázena poněkud sníženou silou testu. Proto byly
pro některá rozložení vyvinuty speciální testy využívající charakteristických vlastností těchto
rozložení. Zde uvedeme tzv. jednoduché testy exponenciálního a Poissonova rozložení.
11.2. Testy dobré shody
11.2.1. Popis testu
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z rozložení
s distribuční funkcí Φ(x).
a) Je-li distribuční funkce spojitá, pak data rozdělíme do r třídicích intervalů  1jj u,u  ,
j = 1, ..., r. Zjistíme absolutní četnost nj j-tého třídicího intervalu a vypočteme
pravděpodobnost pj, že náhodná veličina X s distribuční funkcí Φ(x) se bude realizovat
v j-tém třídicím intervalu. Platí-li nulová hypotéza, pak pj = Φ(uj+1) - Φ(uj).
b) Má-li distribuční funkce nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti, pak místo třídicích
intervalů použijeme varianty x[j], j = 1, …, r. Pro variantu x[j] zjistíme absolutní četnost nj a
vypočteme pravděpodobnost pj, že náhodná veličina X
s distribuční funkcí Φ(x) se bude realizovat variantou x[j]. Platí-li nulová hypotéza, pak
    
 
  j
xx
jj xXPxlimxp
j


.
Testová statistika:
 



r
1j j
2
jj
np
npn
K . Platí-li nulová hypotéza, pak K ≈ χ2
(r-1-p), kde p je
počet odhadovaných parametrů daného rozložení. (Např. pro normální rozložení p = 2,
protože z dat odhadujeme střední hodnotu a rozptyl.) Pokud žádný parametr nemusíme
odhadovat, hovoříme o úplně specifikovaném problému. Nulovou hypotézu zamítáme na
asymptotické hladině významnosti α, když K ≥ χ2
1-α(r-1-p). Aproximace se považuje za
vyhovující, když npj ≥ 5, j = 1, ..., r.
Upozornění: Při nesplnění podmínky npj ≥ 5, j = 1, ..., r je třeba některé intervaly resp.
varianty slučovat, což vede ke ztrátě informace. Ve spojitém případě je hodnota testové
statistiky K silně závislá na volbě třídicích intervalů
11.2.2. Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při úplně
specifikovaném problému)
Ze souboru rodin s pěti dětmi bylo náhodně vybráno 84 rodin a byl zjišťován počet chlapců:
Počet chlapců 0 1 2 3 4 5
Počet rodin 3 10 22 31 14 4
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení počtu chlapců se
řídí binomickým rozložením Bi(5; 0,5).
Řešení:
Pravděpodobnost, že náhodná veličina s rozložením Bi(5; 0,5) bude nabývat hodnot p0, ..., p5
je ,50,1,j,
32
1
j
5
pj 





 .
Výpočty potřebné pro stanovení testové statistiky K uspořádáme do tabulky.
j nj pj npj
0 3 0,03125 84.0,03125=2,625
1 10 0,15625 84.0,15625=13,125
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25
4 14 0,15625 84.0,15625=13,125
5 4 0,03125 84.0,03125=2,625
Podmínky dobré aproximace nejsou splněny, sloučíme tedy první dvě varianty a poslední dvě
varianty.
j nj pj npj
 
j
2
jj
np
npn 
0 a 1 13 0,1875 84.0,1875=15,75 0,480159
2 22 0,3125 84.0,3125=26,25 0,688095
3 31 0,3125 84.0,3125=26,25 0,859524
4 a 5 18 0,1875 84.0,1875=15,75 0,321429
Vypočteme realizaci testové statistiky: K = 0,48059 + 0,688095 + 0,859524 + 0,321429 =
2,3492, počet tříd r = 4, počet odhadovaných parametrů p = 0, r – p - 1 = 3, kritický obor
        ;8147,7,3,1prW 95,0
2
1
2
Protože WK  , nulovou hypotézu
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor se dvěma proměnnými a čtyřmi případy. Proměnná nj obsahuje
zjištěné četnosti (po sloučení variant), proměnná npj pak teoretické četnosti.
Statistiky – Neparametrická statistika – Pozorované vs. očekávané χ2 – OK – Proměnné –
Pozorované četnosti nj, očekávané četnosti npj – OK – Výpočet.
Pozorované vs. očekávané četnosti (T abulka1)
Chi-Kvadr. = 2,349206 sv = 3 p = ,503161
Případ
pozorov.
nj
očekáv.
npj
P - O (P-O)^2
/O
C: 1
C: 2
C: 3
C: 4
Sčt
13,0000015,75000 -2,75000 0,480159
22,0000026,25000 -4,25000 0,688095
31,0000026,25000 4,75000 0,859524
18,0000015,75000 2,25000 0,321429
84,0000084,00000 0,00000 2,349206
V záhlaví výstupní tabulky je uvedena hodnota testového kritéria (2,349206), počet stupňů
volnosti = 3 a p-hodnota (0,503161). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
11.2.3. Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při neúplně
specifikovaném problému – diskrétní případ)
V tabulce jsou roztříděny fotbalové zápasy určité soutěže podle počtu vstřelených branek.
Počet branek 0 1 2 3 4 a víc
Počet zápasů 19 30 17 10 8
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že jde o výběr z Poissonova
rozložení.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor s dvěma proměnnými a 5 případy. Proměnná POCET obsahuje
počet vstřelených branek, proměnná CETNOST pak počet zápasů, v nichž bylo dosaženo
zjištěného počtu branek.
Statistiky – Prokládání rozdělení – Diskrétní rozdělení – Poissonovo – OK – Proměnná
POCET – klikneme na ikonu se závažím – Proměnná vah CETNOST – Stav Zapnuto – OK –
- Výpočet.
Proměnná:POCET, Rozdělení:Poissonovo, Lambda = 1,500 (branky.sta)
Chí-kvadrát = 2,07051, sv = 3, p = 0,55790
Kategorie
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 0,00000
1,00000
2,00000
3,00000
< Nekonečno
19 19 22,61905 22,619018,74294 18,7429422,31302 22,3130 0,25706
30 49 35,71429 58,333328,11440 46,8573333,46952 55,7825 1,88560
17 66 20,23810 78,571421,08580 67,9431325,10214 80,8847 -4,08580
10 76 11,90476 90,476210,54290 78,4860312,55107 93,4358 -0,54290
8 84 9,52381 100,0000 5,51397 84,00000 6,56424 100,0000 2,48603
V tomto případě je parametr λ Poissonova rozložení neznámý, je odhadnut pomocí
výběrového průměru a odhad činí 1,5. Podmínky dobré aproximace jsou splněny, dokonce
všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Dále je v záhlaví výstupní tabulky uvedena
hodnota testového kritéria (2,07051), počet stupňů volnosti r – p – 1 = 5 – 1 – 1 = 3 a p-
hodnota (0,5578). Nulová hypotéza se tedy nezamítá na asymptotické hladině významnosti
0,05.
Pro vytvoření grafu se vrátíme do Proložení diskrétních rozložení – Základní výsledky – Graf
pozorovaného a očekávaného rozdělení.
-1 0 1 2 3 4 5
Kategorie (horní meze)
0
5
10
15
20
25
30
35
Početpozorování
11.2.4. Příklad: (Testování shody empirického a teoretického rozložení při neúplně
specifikovaném problému – spojitý případ)
U 48 studentek VŠE v Praze byla zjišťována výška (v cm):
165170170179170168174162167165170173183176165168
171178168168169163172184176175176169168170166160
167162162166170168155162169166160169165163168163
Pomocí testu dobré shody testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že data pocházejí
z normálního rozložení. Pomocí N-P grafu posuďte vizuálně předpoklad normality.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky - Prokládání rozdělení – ponecháme implicitní nastavení na normální rozložení –
OK – Proměnná X – OK – na záložce Parametry změníme Počet kategorií na 7 (podle
Sturgesova pravidla) – Výpočet.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální (vyska.sta)
Chí-kvadrát = 1,09280, sv = 1 (uprav.) , p = 0,29585
Horní
hranice
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 157,14286
162,28571
167,42857
172,57143
177,71429
182,85714
< Nekonečno
1 1 2,08333 2,0833 1,19706 1,19706 2,49387 2,4939 -0,19706
6 7 12,50000 14,5833 5,51484 6,7118911,48924 13,9831 0,48516
12 19 25,00000 39,583313,46220 20,1740928,04624 42,0293 -1,46220
19 38 39,58333 79,166715,89146 36,0655533,10721 75,1366 3,10854
6 44 12,50000 91,6667 9,07700 45,1425518,91042 94,0470 -3,07700
2 46 4,16667 95,8333 2,50365 47,64620 5,21594 99,2629 -0,50365
2 48 4,16667 100,0000 0,35380 48,00000 0,73708 100,0000 1,64620
Při tomto roztřídění dat do 7 intervalů nejsou splněny podmínky dobré aproximace, ve třech
intervalech jsou teoretické četnosti pod 5. Změníme tedy dolní mez na 159 a horní na 178.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální (vyska.sta)
Chí-kvadrát = 3,85268, sv = 4, p = 0,42631
Horní
hranice
Pozorované
Četnosti
Kumulativ.
Pozorované
Procent
Pozorované
Kumul. %
Pozorované
Očekáv.
Četnosti
Kumulativ.
Očekáv.
Procent
Očekáv.
Kumul. %
Očekáv.
Pozorované -
Očekáv.
<= 161,71429
164,42857
167,14286
169,85714
172,57143
175,28571
< Nekonečno
3 3 6,25000 6,25005,722996 5,7230011,92291 11,9229 -2,72300
7 10 14,58333 20,83335,675946 11,3989411,82489 23,7478 1,32405
9 19 18,75000 39,58337,862633 19,2615716,38048 40,1283 1,13737
11 30 22,91667 62,50008,812455 28,0740318,35928 58,4876 2,18755
8 38 16,66667 79,16677,991516 36,0655516,64899 75,1366 0,00848
3 41 6,25000 85,41675,863558 41,9291012,21575 87,3523 -2,86356
7 48 14,58333 100,00006,070896 48,0000012,64770 100,0000 0,92910
V tomto případě jsou podmínky dobré aproximace splněny. Testová statistika se realizuje
hodnotou 3,85268, p-hodnota je 0,42631, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05
hypotézu o normalitě nezamítáme. Podívejme se ještě na histogram s proloženou Gaussovou
křivkou: Na záložce Základní výsledky zvolíme Graf pozorovaného a očekávaného rozdělení.
Proměnná: X, Rozdělení:Normální
Chí-kvadrát test = 3,85268, sv = 4, p = 0,42631
160,1429
162,8571
165,5714
168,2857
171,0000
173,7143
176,4286
179,1429
Kategorie (horní meze)
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
11.3. Jednoduchý test exponenciálního a Poissonova rozložení
11.3.1. Jednoduchý test exponenciálního rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního
rozložení. Označme M výběrový průměr a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru.
Víme, že střední hodnota náhodné veličiny X ~ Ex(λ) je E(X) = 1/λ a rozptyl je D(X) = 1/λ2
.
Test založíme na statistice
 
2
2
M
S1n
K

 , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí
rozložením χ2
(n-1). Kritický obor:       ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
. Jestliže WK  ,
H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
11.3.2. Příklad
Byla zkoumána doba životnosti 45 součástek (v hodinách). Průměrná životnost byla m =
99,93 a rozptyl s2
= 7328,91. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že
daný náhodný výběr pochází z exponenciálního rozložení.
Řešení:
Testovou statistiku K vypočteme podle vzorce
 
2
2
M
S1n
K

 . Kritický obor má tvar:
      ;1n1n;0W 2/1
2
2/
2
. V našem případě K = 32,2924,
,;202,64575,27;0W  H0 tedy nezamítáme na asymptotické hladině významnosti
0,05.
11.3.3. Jednoduchý test Poissonova rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení.
Označme M výběrový průměr a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme, že
střední hodnota náhodné veličiny X ~ Po(λ) je E(X) = λ a rozptyl je D(X) = λ. Test založíme
na statistice
 
M
S1n
K
2

 , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí rozložením
χ2
(n-1). Kritický obor:       ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
. Jestliže WK  , H0
zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
11.3.4. Příklad
Studujeme rozložení počtu pacientů, kteří během 75 dnů přijdou na pohotovost.
Osmihodinovou pracovní dobu rozdělíme do půlhodinových intervalů a v každém intervalu
zjistíme počet příchozích pacientů:
Počet pacientů Pozorovaná četnost
0 79
1 188
2 282
3 275
4 196
5 114
6 45
7 10
8 7
9 3
10 1
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že daný náhodný výběr pochází
z Poissonova rozložení.
Řešení:
Celkový počet pacientů je n = 1200. Realizaci výběrového průměru M získáme jako vážený
průměr počtu pacientů (m = 2,8033) a realizaci výběrového rozptylu S2
získáme jako vážený
rozptyl počtu pacientů (s2
= 2,7086). Testovou statistiku vypočteme podle
vzorce
 
M
S1n
K
2

 , tedy K = 1158,5, kritický obor
         

 
;86,129693,1104;0
,11991199,0,1n1n,0W 975,0
2
025,0
2
2/1
2
2/
2
Protože testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, H0 nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05.
Shrnutí
K ověření shody empirického rozložení s teoretickým rozložením se používají různé
metody. Zvláštní postavení mezi nimi zaujímají metody zaměřené na ověřování normality dat.
S nimi jsme se seznámili ve 2. kapitole.
Obecně je na ověření předpokladu o typu rozložení, z něhož pochází daný náhodný
výběr, určen chí-kvadrát test dobré shody. Ten je založen na porovnání empirických četností
jednotlivých variant či třídicích intervalů s tzv. teoretickými četnostmi. Velké odchylky mezi
empirickými a teoretickými četnostmi vedou k velkým hodnotám testového kritéria a tudíž
k zamítnutí nulové hypotézy. Test dobré shody lze aplikovat pouze při splnění předpokladů
dobré aproximace.
Pro ověřování shody empirických dat s exponenciálním či Poissonovým rozložením
byly vyvinuty jednoduché testy, které využívají pouze znalosti rozsahu výběru, výběrového
průměru a výběrového rozptylu.
Kontrolní otázky
1. Popište provedení testu dobré shody pro náhodný výběr z diskrétního rozložení a pro
náhodný výběr ze spojitého rozložení.
2. Jakým rozložením se asymptoticky řídí testová statistika testu dobré shody v případě
platnosti nulové hypotézy?
3. Za jakých podmínek lze použít test dobré shody?
4. Popište jednoduchý test exponenciálního rozložení a Poissonova rozložení.
Autokorekční test
1. Při 600 hodech kostkou byly zjištěny tyto četnosti: 85 x jednička, 99 x dvojka, 91 x trojka,
108 x čtyřka, 119 x pětka, 98 x šestka. Příspěvek šestky do testové statistiky K je
a) 0,04
b) 0
c) 4
2. Uvažme zadání z otázky 1. Pokud je pravdivá hypotéza, že kostka je homogenní, pak
testová statistika K se asymptoticky řídí chí-kvadrát rozložením s počtem stupňů volnosti
a) 4
b) 6
c) 5
3. Na základě náhodného výběru rozsahu 537 z diskrétního rozložení je na asymptotické
hladině významnosti 0,01 testem dobré shody ověřována hypotéza, že tento výběr pochází
z Poissonova rozložení, přičemž parametr  není znám. V datech se vyskytuje 5 variant
náhodné veličiny X. Kritický obor pro test nulové hypotézy má tvar:
a)  ;838,12072,0;0W
b)  ;838,12W
c)  ;348,9W
4. Jednoduchým testem provedeným na hladině významnosti 0,05 chceme ověřit hypotézu, že
náhodný výběr rozsahu 43 pochází z exponenciálního rozložení, přičemž výběrový průměr
nabyl hodnoty 20,2558 a výběrová směrodatná odchylka 22,5051. Testová statistika se
realizuje hodnotou
a) 51,8457
b) 2,3037
c) 46,664
Správné odpovědi: 1a) 2c) 3b) 4a)
Příklady
1. Ve svých pokusech pozoroval J. G. Mendel 10 rostlin hrachu a na každé z nich počet
žlutých a zelených semen. Výsledky pokusu:
č. rostliny 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet žlutých 25 32 14 70 24 20 32 44 50 44
počet zelených 11 7 5 27 13 6 13 9 14 18
celkem 36 39 19 97 37 26 45 53 64 62
Z genetických modelů vyplývá, že pravděpodobnost výskytu žlutého semene by měla být 0,75
a zeleného 0,25. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výsledky
Mendelových pokusů se shodují s modelem.
Výsledek:
Testová statistika K = 1,797495, kritický obor     ;9,16,9W 95,0
2¨
, nulovou
hypotézu nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
2. Při 60 hodech kostkou jsme dosáhli těchto výsledků: 9 x jednička, 11 x dvojka,
10 x trojka, 13 x čtyřka, 11 x pětka a 6 x šestka. Na asymptotické hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu, že kostka je homogenní.
Výsledek:
Testová statistika K = 2,8, kritický obor     ;07,11,5W 95,0
2
, nulovou hypotézu
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
3. Ze záznamů autosalónu byl ve 100 náhodně vybraných dnech zjištěn počet prodaných aut.
Počet prodaných aut za den 0 1 2 3 4 5 a víc
Počet dnů 9 43 29 11 5 3
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že počet prodaných aut za den
se řídí Poissonovým rozložením.
Výsledek:
Odhad parametru λ získaný pomocí výběrového průměru je 1,7.
Testová statistika K = 10,8891, kritický obor     ;488,9,4W 95,0
2
, nulovou
hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
4. Při parlamentních volbách získaly 4 nejsilnější strany 30%, 20%, 15% a 10% hlasů, zbytek
hlasů byl rozdělen mezi ostatní strany. Při volbách do obecního zastupitelstva v jedné obci
získaly zmíněné strany (ve stejném pořadí) 1400, 900, 900 a 600 hlasů z 5000 odevzdaných
hlasů. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení hlasů při
parlamentních a místních volbách (v uvedené obci) je stejné.
Výsledek:
Testová statistika K = 68,67, kritický obor     ;488,9,4W 95,0
2
, nulovou hypotézu
zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme
prokázali, že rozložení hlasů při parlamentních volbách a volbách v uvedené obci se liší.