Kapitola 7.: Analýza kontingenčních tabulek
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- provádět test nezávislosti v kontingenční tabulce
- hodnotit intenzitu závislosti dvou náhodných veličin nominálního typu pomocí Cramérova
koeficientu
- provádět Fisherův přesný test ve čtyřpolní kontingenční tabulce a počítat podíl šancí na
úspěch za dvojích různých podmínek
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 7 hodin
studia.
7.1. Motivace
Při zpracování dat se velmi často setkáme s úkolem zjistit, zda dvě náhodné veličiny
nominálního typu jsou stochasticky nezávislé. Např. nás může zajímat, zda ve sledované
populaci je barva očí a barva vlasů nezávislá.
Zpravidla chceme také zjistit intenzitu případné závislosti sledovanýcl dvou veličin.
K tomuto účelu byly zkonstruowány různé koeficienty, které nAbývají hodnot od 0 do 1. Čím
je takový koeficient bližší 1, tím je závislost mezi danými dvěma veličinami silnější a čím je
bližší 0, tím je slabší.
7.2. Testování hypotézy o nezávislosti
7.2.1. Popis testu
Nechť X,Y jsou dvě nominální náhodné veličiny (tj. obsahová interpretace je možná
jenom u relace rovnosti). Nechť X nabývá variant x[1], ..., x[r] a Y nabývá variant y[1], ..., y[s].
Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n z rozložení, kterým se řídí dvourozměrný
diskrétní náhodný vektor (X, Y). Zjištěné absolutní četnosti njk dvojice variant (x[j], y[k])
uspořádáme do kontingenční tabulku:
y y[1] n.. y[s] nj.
x njk
x[1] n11 ... n1s n1.
 ... ... ... ...
x[r] nr1 ... nrs nr.
n.k n.1 ... n.s n
Testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar:
 








r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K . Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)).
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α,
když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
7.2.2. Podmínky dobré aproximace
Výraz
n
nn k..j
se nazývá teoretická četnost. Rozložení statistiky K lze aproximovat
rozložením χ2
((r-1)(s-1)), pokud teoretické četnosti aspoň v 80 % případů nabývají hodnoty
větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20 % neklesnou pod 2. Není-li splněna podmínka dobré
aproximace, doporučuje se slučování některých variant.
7.2.3. Měření síly závislosti
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V

 , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá
hodnot mezi 0 a 1. Čím blíže je 1, tím je těsnější závislost mezi X a Y, čím blíže je 0, tím je
tato závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
7.2.4. Příklad
V sociologickém průzkumu byl z uchazečů o studium na vysokých školách pořízen
náhodný výběr rozsahu 360. Mimo jiné se zjišťovala sociální skupina, ze které uchazeč
pochází a typ školy, na kterou se hlásí. Výsledky jsou zaznamenány v kontingenční tabulce:
Typ školy Sociální skupina nj.
I II III IV
univerzitní 50 30 10 50 140
technický 30 50 20 10 110
ekonomický 10 20 30 50 110
n.k 90 100 60 110 360
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti typu školy a
sociální skupiny. Vypočtěte Cramérův koeficient.
Řešení:
Nejprve vypočteme podle vzorce
n
nn k..j
všech 12 teoretických četností:
,8,42
360
110140
n
nn
,3,23
360
60140
n
nn
,9,38
360
100140
n
nn
,35
360
90140
n
nn 4..13..12..11..1









,6,33
360
110110
n
nn
,3,18
360
60110
n
nn
,6,30
360
100110
n
nn
,5,27
360
90110
n
nn 4..23..22..21..2









6,33
360
110110
n
nn
,3,18
360
60110
n
nn
,6,30
360
100110
n
nn
,5,27
360
90110
n
nn 4..33..32..31..3









Vidíme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny, všechny teoretické četnosti převyšují
číslo 5.
Nyní dosadíme do vzorce pro testovou statistiku K:
      84,76
6,33
6,3350
5,27
5,2730
35
3550
K
222






  .
Dále stanovíme kritický obor:
               ,6,12,6,1314,1s1rW 95,0
2
95,0
2
1
2
Protože K  W, hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny zamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Vypočteme Cramérův koeficient: 3267,0
2360
84,76


V .
Hodnota Cramérova koeficientu svědčí o tom, že mezi veličinami X a Y existuje středně silná
závislost.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o 12 případech a třech proměnných TYP ŠKOLY, SOC.
SKUPINA, ČETNOST). Do proměnné TYP ŠKOLY napíšeme varianty typu školy x[1] = 1
(univerzitní), x[2] = 2 (technický), x[3] = 3 (ekonomický), přičemž každá varianta se objeví
čtyřikrát pod sebou. Do proměnné SOC. SKUPINA napíšeme třikrát pod sebe všechny
varianty y[1] = 1, y[2] = 2, y[3] = 3, y[4] = 4. Do proměnné ČETNOST napíšeme absolutní
četnosti jednotlivých dvojic variant (x[j], y[k]).
Statistika – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky – OK – klikneme myší na
tlačítko s obrázkem závaží – Status zapnuto – Proměnná vah ČETNOST – OK – Specif.
tabulky – List 1 TYP ŠKOLY - List 2 SOC: SKUPINA – OK.
Přesvědčíme se o splnění podmínek dobré aproximace. Na záložce Možnosti zaškrtneme
Očekávané četnosti, zvolíme Výpočet. Dostaneme kontingenční tabulku teoretických četností:
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (priklad824)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 76,8359, sv=6, p=,000000
typ školy soc.skupina
1
soc.skupina
2
soc.skupina
3
soc.skupina
4
Řádk.
součty
univerzitní 35,00000 38,8889 23,33333 42,7778 140,0000
technický 27,50000 30,5556 18,33333 33,6111 110,0000
ekonomický 27,50000 30,5556 18,33333 33,6111 110,0000
Vš.skup. 90,00000 100,0000 60,00000 110,0000360,0000
Vidíme, že všechny teoretické četnosti jsou dostatečně velké, větší než 5. V tabulce je rovněž
uvedena realizace testové statistiky K = 76,8359, počet stupňů volnosti = 6. Odpovídající phodnota
je blízká 0, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o
nezávislosti typu školy a sociální skupiny, z níž uchazeč pochází.
Dále vypočteme Cramérův koeficient. Na záložce Možnosti zaškrtneme Fí & Cramérovo C&
V. Přejdeme na záložku Detailní výsledky a vybereme Detailní 2-rozm. tabulky.
Statist. : typ školy(3) x soc.skupina(4) (priklad824)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
76,83589 df=6 p=,00000
84,53528 df=6 p=,00000
,4619881
,4193947
,3266749
V této tabulce najdeme Cramérův koeficient V = 0,3266749 a také hodnotu testové statistika
K s počtem stupňů volnosti 6 a odpovídající p-hodnotou blízkou 0. Výpočet ještě doplníme
grafickým znázorněním simultánních absolutních četností proměnných TYP ŠKOLY a SOC.
SKUPINA. Na záložce Detailní výsledky zvolíme 3D histogramy.
Poznámka: Graf lze různě natáčet, stačí v menu vybrat Formát – Vš. možnosti – Zorný bod.
7.3. Čtyřpolní tabulky
Nechť r = s = 2. Pak hovoříme o čtyřpolní kontingenční tabulce a používáme označení:
n11 = a, n12 = b, n21 = c, n22 = d.
X Y nj.
y[1] y[2]
x[1] a b a+b
x[2] c d c+d
n.k a+c b+d n
Testovou statistiku pro čtyřpolní kontingenční tabulku lze zjednodušit do tvaru:
 
    dbcadcba
bcadn
K
2


 .
Platí-li hypotéza o nezávislosti veličin X, Y, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
(1).
Kritický obor:     ,1W 1
2
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, když KW.
Pro tuto tabulku navrhl R. A. Fisher přesný (exaktní) test nezávislosti známý jako
Fisherův přesný (faktoriálový) test. (Fisherův přesný test je popsán např. v knize K. Zvára:
Biostatistika, Karolinum, Praha 1998. Princip spočívá v tom, že pomocí kombinatorických
úvah se vypočítají pravděpodobnosti toho, že při daných marginálních četnostech dostaneme
tabulky, které se od nulové hypotézy odchylují aspoň tak, jako daná tabulka.)
Upozornění: STATISTICA poskytuje p-hodnotu pro Fisherův přesný test. Jestliže vyjde p ≤
α, pak hypotézu o nezávislosti zamítáme na hladině významnosti α.
7.3.1. Příklad
Očkování proti chřipce se zúčastnilo 460 dospělých osob, z nichž 240 dostalo očkovací
látku proti chřipce a 220 dostalo placebo. Na konci experimentu onemocnělo 100 lidí
chřipkou. 20 z nich bylo z očkované skupiny a 80 z kontrolní skupiny. Na asymptotické
hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že výskyt chřipky v očkované a kontrolní skupině
je shodný.
Řešení:
Údaje uspořádáme do čtyřpolní kontingenční tabulky, kde roli veličiny X hraje onemocnění
chřipkou a roli veličiny Y existence očkování.
X
onemocnění chřipkou
Y existence očkování nj.
ano ne
ano 20 80 100
ne 220 140 360
n.k 240 220 460
Vypočteme sloupcově podmíněné relativní četnosti:
X
onemocnění chřipkou
Y existence očkování
ano ne
ano 8,3% 36,4%
ne 91,7% 63,6%
Vidíme, že v očkované skupině onemocnělo chřipkou 8,3% lidí, v kontrolní skupině však
36,4%. Zjistíme, zda takto velký rozdíl je způsoben pouze náhodnými vlivy.
Ověříme splnění podmínek dobré aproximace, tedy nejprve vypočteme teoretické četnosti:
17,172
460
220360
n
nn
,83,187
460
240360
n
nn
,83,47
460
220100
n
nn
,17,52
460
240100
n
nn
2..21..2
2..11..1










Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5, podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Realizace testové statistiky:
 
    
  01,53
360100220240
2208014020460
dbcadcba
bcadn
K
22






 .
Kritický obor:         ,635,6,1,1W 99,0
2
1
2
.
Protože KW, H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,01. S rizikem omylu
nejvýše 0,01 jsme tedy prokázali, že výskyt chřipky v očkované a kontrolní skupině se liší.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o třech proměnných X (varianty 0 – neonemocněl chřipkou, 1 –
onemocněl), Y (varianty 0 – neočkován, 1 – očkován) a četnost a čtyřech případech:
1
X
2
Y
3
cetnost
1
2
3
4
neonemocnělneoč kován 140
neonemocněločkován 220
onemocněl neoč kován 80
onemocněl očkován 20
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – OK – Specif. Tabulky – List 1 X, List 2 Y – OK,
zapneme proměnnou vah četnost – OK, Výpočet – na záložce Možnosti zaškrtneme Fisher
exakt., Yates, McNemar (2x2). Dostaneme výstupní tabulku:
Statistics: X(2) x Y(2) (chripka.sta)
Statistic Chi-square df p
Pearson Chi-square
M-L Chi-square
Yates Chi-square
Fisher exact, one-tailed
two-tailed
McNemar Chi-square (A/D)
(B/C)
53,00842df=1 p=,00000
55,60618df=1 p=,00000
51,37366df=1 p=,00000
p=,00000
p=,00000
88,50625df=1 p=0,0000
64,40334df=1 p=,00000
Vidíme, že p-hodnota pro Fisherův exaktní oboustranný test je velmi blízká 0, tedy na hladině
významnosti 0,01 zamítáme hypotézu, že onemocnění a očkování spolu nesouvisí.
7.3.2. Podíl šancí
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR  , která se nazývá podíl
šancí (odds ratio). Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích různých okolností a
může skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
Výsledek pokusu okolnosti nj.
I II
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je
c
a
, za druhých
okolností je
d
b
. Podíl šancí je
bc
ad
OR  .
Pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí lze na
asymptotické hladině významnosti α testovat hypotézu o nezávislosti nominálních veličin X a
Y. Asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti pro skutečný podíl šancí má meze:








  2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexpd , 







  2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexph .
Jestliže interval spolehlivosti neobsahuje 1, pak hypotézu o nezávislosti zamítneme na
asymptotické hladině významnosti α.
7.3.3. Příklad
U 125 uchazečů o studium na jistou fakultu byl hodnocen dojem, jakým zapůsobili na
komisi u ústní přijímací zkoušky. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že přijetí na fakultu a dojem u přijímací zkoušky jsou nezávislé veličiny.
přijetí dojem nj.
dobrý špatný
ano 17 11 28
ne 39 58 97
n.k 56 69 125
Řešení:
298,2
3911
5817




bc
ad
OR . Podíl šancí nám říká, že uchazeč, který zapůsobil na komisi
dobrým dojmem, má asi 2,3 x větší šanci na přijetí než uchazeč, který zapůsobil špatným
dojmem.
Provedeme další pomocné výpočty:
96,1u,439,0
58
1
39
1
11
1
17
1
d
1
c
1
b
1
a
1
0,832,ORln
0,975 

Dosadíme do vzorců pro meze asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí:
692,196,1439,0832,0u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnhln
028,096,1439,0832,0u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlndln
2/1
2/1




Po odlogaritmování dostaneme:
433,5eh,972,0ed 1,692028,0
 
Protože interval (0,972; 5,433) obsahuje číslo 1, na asymptotické hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti dojmu u přijímací zkoušky a přijetí na fakultu.
Řešení pomocí systému STATISTICA:
Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí STATISTIKY. Vytvoříme
datový soubor o dvou proměnných DM a HM a jednom případu. Do Dlouhého jména
proměnné DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=exp(log(2,298)-sqrt(1/17+1/11+1/39+1/58)*VNormal(0,975;0;1))
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=exp(log(2,298)+sqrt(1/17+1/11+1/39+1/58)*VNormal(0,975;0;1))
1
DM
2
HM
1 0,9722445,431562
Vidíme, že 95% asymptotický interval spolehlivosti (0,972; 5,433) pro podíl šancí obsahuje
číslo 1, tedy nelze na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu o
nezávislosti dojmu u přijímací zkoušky a přijetí na fakultu.
7.3.4. Poznámka k jednostranným alternativám:
Nulová hypotéza tvrdí, že podíl šancí je roven 1, tj. H0: OR = 1.
Pokud víme, že za prvních okolností je šance na úspěch vyšší než za druhých okolností, pak
proti nulové hypotéze postavíme pravostrannou alternativu
H1: OR > 1.
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α ve prospěch
pravostranné alternativy, když 100(1-α)% empirický asymptotický levostranný interval
spolehlivosti pro OR neobsahuje číslo 1.
Pokud víme, že za prvních okolností je šance na úspěch nižší než za druhých okolností, pak
proti nulové hypotéze postavíme levostrannou alternativu
H1: OR < 1.
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α ve prospěch levostranné
alternativy, když 100(1-α)% empirický asymptotický pravostranný interval spolehlivosti pro
OR neobsahuje číslo 1.
Pokud jsou šance na úspěch stejné za prvních i druhých okolností, pak proti nulové hypotéze
postavíme oboustrannou alternativu
H1: OR ≠ 1.
Nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti α ve prospěch
oboustranné alternativy, když 100(1-α)% empirický asymptotický oboustranný interval
spolehlivosti pro OR neobsahuje číslo 1.
7.3.5. Příklad
U 24 žáků 6. třídy základní školy bylo zjišťováno, zda jsou úspěšní v matematice (tj. mají na
posledním vysvědčení známku 1 nebo 2 z matematiky) a zda hrají na nějaký hudební nástroj.
Z 10 úspěšných matematiků 6 hrálo na nějaký hudební nástroj, kdežto ve skupině
neúspěšných matematiků hrál pouze 1 žák na hudební nástroj. Na asymptotické hladině
významnosti 0,05 testujte hypotézu, že úspěch v matematice a hra na hudební nástroj jsou
nezávislé veličiny. Proti nulové hypotéze postavte
a) oboustrannou alternativu, tj. tvrzení, úspěch v matematice a hra na hudební nástroj
spolu souvisí,
b) pravostrannou alternativu, tj. tvrzení, že šance na úspěch v matematice jsou vyšší pro
žáky, kteří hrají na nějaký hudební nástroj,
c) levostrannou alternativu, tj. tvrzení, že šance na úspěch v matematice jsou nižší pro
žáky, kteří hrají na nějaký hudební nástroj.
Řešení:
Máme kontingenční tabulku
úspěch v M hra na hudební nástroj nj.
ano ne
ano 6 4 10
ne 1 13 14
n.k 7 17 24
Vypočteme podíl šancí: 5,19
2
39
14
136




bc
ad
OR . Podíl šancí nám říká, že žák, který
hraje na nějaký hudební nástroj, má 19,5 x větší šanci na úspěch v matematice než žák, který
nehraje na žádný hudební nástroj.
Ad a)
Pro testování nulové hypotézy proti oboustranné alternativě sestrojíme oboustranný interval
spolehlivosti:
Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí STATISTIKY. Vytvoříme
datový soubor o dvou proměnných DM a HM a jednom případu. Do Dlouhého jména
proměnné DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=exp(log(19,5)-sqrt(1/6+1/4+1/1+1/13)*VNormal(0,975;0;1))
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=exp(log(19,5)+sqrt(1/6+1/4+1/1+1/13)*VNormal(0,975;0;1))
1
DM
2
HM
1 1,777296213,9486
Vidíme, že 1,7773 < OR < 213,9486 s pravděpodobností aspoň 0,95. Protože tento interval
neobsahuje 1, nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05 ve
prospěch oboustranné alternativy. S rizikem omylu nejvýše 5% se tedy prokázalo, že úspěch
v matematice souvisí s hrou na hudební nástroj.
Ad b)
Pro testování nulové hypotézy proti pravostranné alternativě sestrojíme levostranný interval
spolehlivosti:
Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=exp(log(19,5)-sqrt(1/6+1/4+1/1+1/13)*VNormal(0,95;0;1))
1
DM
1 2,612213
Protože interval (2,612213; ∞) neobsahuje 1, nulovou hypotézu zamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05 ve prospěch pravostranné alternativy. S rizikem omylu nejvýše 5%
se tedy prokázalo, že žáci, kteří hrají na nějaký hudební nástroj, mají vyšší šance na úspěch
v matematice.
Ad c)
Pro testování nulové hypotézy proti levostranné alternativě sestrojíme pravostranný interval
spolehlivosti:
Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=exp(log(19,5)+sqrt(1/6+1/4+1/1+1/13)*VNormal(0,95;0;1))
1
HM
1 145,5663
Protože interval (-∞; 145,5663) obsahuje 1, nulovou hypotézu nezamítáme na asymptotické
hladině významnosti 0,05 ve prospěch levostranné alternativy. Neprokázalo se tedy, že žáci,
kteří hrají na nějaký hudební nástroj, mají nižší šance na úspěch v matematice.
Shrnutí
Při testování hypotézy o nezávislosti dvou náhodných veličin nominálního typu
vycházíme z kontingenční tabulky sestrojené na základě znalosti náhodného výběru rozsahu n
z dvourozměrného diskrétního rozložení. Používáme testovou statistiku, která se za splnění
podmínek dobré aproximace asymptoticky řídí Pearsonovým χ2
– rozložením. Intenzitu
závislosti daných dvou veličin hodnotíme pomocí Cramérova koeficientu.
Speciální postavení mezi kontingenčními tabulkami mají čtyřpolní kontingenční
tabulky, které dostaneme v tom případě, kdy obě sledované náhodné veličiny mají alternativní
rozložení. Pro testování nezávislosti v těchto tabulkách existuje exaktní Fisherův test.
Zajímavou informací, kterou můžeme vyčíst ze čtyřpolních tabulek, je podíl šancí. Pokud by
šance na úspěch z jedněch i druhých okolností byly přibližně stejné, pak by podíl šancí byl
blízký 1. Pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí rovněž testovat
hypotézu o nezávislosti veličin X a Y.
Kontrolní otázky
1. Jak testujeme nezávislost nominálních veličin? Jaké podmínky musí být splněny?
2. K čemu slouží Cramérův koeficient? Jaký je význam jeho hodnot?
3. Jak je definována teoretická četnost?
4. Jaká je struktura čtyřpolní kontingenční tabulky?
5. K čemu slouží Fisherův přesný test?
6. Jak lze interpretovat podíl šancí?
Autokorekční test
1. Ve čtyřpolní kontingenční tabulce jsou uvedeny tyto absolutní četnosti: a = 5, b = 3, c = 6,
d = 4. Podíl šancí je
a) 1,11
b) 0,625
c) 0,9
2. Náhodná veličina X nabývá tří variant, náhodná veličina Y pak čtyř variant. Na základě
náhodného výběru rozsahu 120 z dvourozměrného diskrétního rozložení, jímž se řídí náhodný
vektor (X, Y), byla vypočítána realizace testové statistiky K = 12,737. Jak vypadá kritický
obor pro test hypotézy o nezávislosti veličin X a Y, pokud volíme asymptotickou hladinu
významnosti 0,01?
a)  ;8119,16W
b) 8119,16;0W 
c)  ,5916,12W
3. Cramérův koeficient pro zadání z otázky 2 je
a) 0,0531
b) 0,2304
c) 0,1881
4. Dolní mez 95% asymptotického intervalu spolehlivosti pro podíl šancí z otázky 1 je
a) 0,1332
b) -2,0157
c) 6,0798
5. Je dána kontingenční tabulka:
y y[1] y[2] y[3] y[4]
x njk
x[1] 8 8 5 9
x[2] 17 5 9 6
Jaká je teoretická četnost pro dvojici variant (x[2], y[2])?
a) 7,7313
b) 7,1791
c) 5,8209
Správné odpovědi: 1a) 2a) 3b) 4a) 5b)
Příklady
1. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a
pohlaví a vypočtěte Cramérův koeficient, jsou-li k dispozici následující údaje:
pohlaví pedagogická hodnost
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledek:
Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jedna teoretická četnost klesne pod 5.
Testová statistika se realizuje hodnotou 3,5 , počet stupňů volnosti = 2, kritický obor je
 ;991,5W . Hypotézu o nezávislosti pohlaví a pedagogické hodnosti tedy nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05. Cramérův koeficient V = 0,187.
2. 100 náhodně vybraných mužů a žen bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému
nápoji A či B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
pohlaví nápoj
A B
muž 20 30
žena 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Výsledek:
Vypočtená p-hodnota je 0,07134. Protože p-hodnota je větší než 0,05, nezamítáme na hladině
významnosti hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
3. Z rakouské statistické ročenky z roku 1968 jsou ၰřevzaty údaje o rodinném stavu ženicha a
nevěsty před sňatkem:
ženis䁨 nevěsta
svoၰoɤná ovdovělá rozvedená
svobodný 44833 391 2343
ovdovělý 978 581 560
rozvedený 3Ĵ05 375 2535
Na asymptotické hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu, že rodinný stav ženich a
nevěsty jsou nezávislé. Vypočtěte rovněž Cramérův koeficient.
Výsledek:
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Testová statistika se realizuje hodnotou 15557,67,
počet stupňů volnosti = 4, kritický obor je  ;2767,13W . Hypotézu o nezávislosti
rodinného stavu ženicha a nevěsty tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,01.
Cramérův koeficient V = 0,377.
4. Zkouškovou písemku ze statistiky psalo 37 studentů. Z 16 mužů uspělo 9, z 21 žen uspělo
12. Vypočtěte podíl šancí na úspěch a pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti pro
podíl šancí testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že úspěch u zkoušky
ze statistiky nezávisí na pohlaví studenta.
Výsledek:
Podíl šancí na úspěch pro muže a pro ženy je 0,96, tedy muži mají nepatrně nižší šanci na
úspěch než ženy. 95% asymptotický interval spolehlivosti pro podíl šancí je (0,2595; 3,5827).
Jelikož tento interval obsahuje 1, hypotézu o nezávislosti úspěchu a pohlaví nezamítáme na
asymptotické hladině významnosti 0,05.