Kapitola 8.: Jednoduchá korelační analýza
Cíl kapitoly
Po prostudování této kapitoly budete umět
- provádět test pořadové nezávislosti dvou náhodných veličin ordinálního typu pomocí
Spearmanova koeficientu pořadové korelace
- testovat hypotézu o nezávislosti dvou náhodných veličin intervalového či poměrového
typu, které se řídí dvourozměrným normálním rozložením
Časová zátěž
Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 5 hodin
studia.
8.1. Motivace
Uvažme náhodné veličiny X, Y, které jsou aspoň ordinálního typu. Mezi těmito náhodnými
veličinami může existovat různý vztah:
- Deterministická (funkční) závislost: jedna náhodná veličina je spjata s druhou náhodnou
veličinou funkční závislostí vyjádřenou předpisem Y = g(X). Např. X je poloměr náhodně
vybrané sériově vyráběné kuličky do kuličkových ložisek, 3
X
3
4
Y  je objem této kuličky.
Každé realizaci náhodné veličiny X (vysvětlující proměnná) je přiřazena právě jedna realizace
náhodné veličiny Y (vysvětlovaná proměnná).
- Stochastická závislost: jedna náhodná veličina ovlivňuje v různé míře druhou náhodnou veličinu.
Např. X je věk pracovníka v letech, Y je počet dnů absence za rok. Každé realizaci
náhodné veličiny X může být přiřazeno více realizací náhodné veličiny Y. Závislost může být
jednostranná i oboustranná.
- Stochastická nezávislost: náhodné veličiny se navzájem neovlivňují. Např. házíme-li naráz
dvěma kostkami a označíme X počet ok padlých na jedné kostce a Y počet ok padlých na
druhé kostce, pak náhodné veličiny X, Y jsou stochasticky nezávislé.
Úkolem korelační analýzy je právě zkoumání stochastické závislosti náhodných veličin
X, Y a měření těsnosti této závislosti. Přitom se požaduje, aby míra těsnosti stochastické závislosti
nabývala hodnot z určitého přesně vymezeného intervalu, uvnitř tohoto intervalu monotónně
rostla se zvyšováním stupně závislosti a nebyla závislá na velikosti hodnot či používaných
jednotkách zkoumaných veličin. Tyto požadavky splňuje Spearmanův koeficient pořadové
korelace a Pearsonův koeficient korelace.
Při zkoumání závislosti je velmi důležité provést logický rozbor problému. Nemá smysl
se zabývat hledáním závislosti v případech, když
- z logických důvodů nemůže existovat,
- závislost je způsobena formálními vztahy mezi veličinami,
- soubor dvourozměrných dat je nehomogenní,
- závislost je způsobena společnou příčinou.
8.2. Testování nezávislosti ordinálních veličin
8.2.1. Popis testu
Nechť X,Y jsou dvě ordinální náhodné veličiny (tj. obsahová interpretace je možná jenom
u relace rovnosti a relace uspořádání). Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr
(X1, Y1), ..., (Xn, Yn) z rozložení, jímž se řídí náhodný vektor (X, Y). Označíme Ri pořadí
náhodné veličiny Xi a Qi pořadí náhodné veličiny Yi, i = 1, ..., n.
Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné
veličiny proti
- oboustranné alternativě H1: X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny
- levostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje nepřímá pořadová závislost
- pravostranné alternativě H1: mezi X a Y existuje přímá pořadová závislost).
Testová statistika se nazývá Spearmanův koeficient pořadové korelace a má tvar:
   




n
1i
2
ii2S QR
1nn
6
1r .
Tento koeficient nabývá hodnot mezi –1 a 1. Čím je bližší 1, tím je silnější přímá pořadová
závislost mezi veličinami X a Y, čím je bližší –1, tím je silnější nepřímá pořadová závislost
mezi veličinami X a Y. Teoretická hodnota Spearmanova koeficientu se značí ρS.
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α ve prospěch
- oboustranné alternativy, když │rS│≥ rS,1-α/2(n)
- levostranné alternativy, když rS ≤ - rS,1-α(n)
- pravostranné alternativy, když rS ≥ rS,1-α(n),
kde rS,1-α(n) je kritická hodnota, kterou pro α = 0,05 nebo 0,01 a n ≤ 30 najdeme v tabulkách.
Pozor – kritické hodnoty pro jednostranné alternativy se v běžně dostupných tabulkách nena-
jdou.
8.2.2. Asymptotické varianty testu
Pro n > 20 lze použít testovou statistiku
2
S
S
0
r1
2nr
T


 , která se v případě platnosti nulové
hypotézy asymptoticky řídí rozložením t(n-2).
Kritický obor pro oboustrannou alternativu:        ,2nt2nt,W 2/12/1
Kritický obor pro levostrannou alternativu:   2nt,W 1  
Kritický obor pro pravostrannou alternativu:     ,2ntW 1 .
Hypotézu o pořadové nezávislosti náhodných veličin X, Y zamítáme na asymptotické hladině
významnosti α, když t0  W.
Upozornění: Systém STATISTICA používá tuto variantu testu pořadové nezávislosti bez
ohledu na rozsah náhodného výběru.
Pro n > 30 lze použít testovou statistiku 1nrs  . Platí-li H0, pak 1nrs  ≈ N(0, 1).
Nulovou hypotézu tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α ve prospěch
oboustranné alternativy, když    ,uu,1nr 2/12/1S ,
levostranné alternativy, když   1S u,1nr ,
pravostranné alternativy, když   ,u1nr 1S
8.2.3. Příklad
Dva lékaři hodnotili stav sedmi pacientů po témž chirurgickém zákroku. Postupovali
tak, že nejvyšší pořadí dostal nejtěžší případ.
Číslo pacienta 1 2 3 4 5 6 7
Hodnocení 1. lékaře 4 1 6 5 3 2 7
Hodnocení 2. lékaře 4 2 5 6 1 3 7
Vypočtěte Spearmanův koeficient rS a na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že hodnocení
obou lékařů jsou pořadově nezávislá.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné
veličiny proti oboustranné alternativě H1: X, Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny.
V tomto příkladě přímo známe pořadí Ri (tj. hodnocení 1. lékaře) a pořadí Qi (tj. hodnocení 2.
lékaře). Vypočteme
                857,077321365562144
177
6
1r
2222222
2S 

 .
Kritická hodnota: rS,0,975(7) = 0,745. Protože 0,857 ≥ 0,745, nulovou hypotézu zamítáme na
hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 0,05 jsme tedy prokázali, že hodnocení
obou lékařů jsou pořadově závislá.
Řešení pomocí sytému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor se dvěma proměnnými X, Y a sedmi případy. Do těchto proměnných
zapíšeme zjištěná hodnocení.
Statistika – Neparametrická statistika – Korelace – OK, Vytvořit Detailní report, Proměnné -
1. seznam proměnných X, 2. seznam proměnných Y – OK – Spearman R.
Spearmanovy korelace (dva lekari.sta)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 7 0,857143 3,721042 0,013697
Spearmanův koeficient korelace nabyl hodnoty 0,857143, asymptotická testová statistika se
realizovala číslem 3,721042, odpovídající p-hodnota je 0,013697, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení obou lékařů. Pokud
bychom chtěli provést přesný test, nikoliv asymptotický test, museli bychom použít statistické
tabulky a vyhledat v nich kritickou hodnotu rS,0,95(7) – viz výše.
Výpočet ještě doplníme dvourozměrným tečkovým diagramem. Grafy – Bodové grafy - vypneme
Typ proložení – Proměnné – X, Y - OK, OK.
Vidíme, že s rostoucím hodnocením 1. lékaře roste hodnocení 2. lékaře a naopak. Tedy mezi
oběma proměnnými existuje určitý stupeň přímé pořadové závislosti.
8.3. Testování nezávislosti intervalových či poměrových veličin
8.3.1. Pearsonův koeficient korelace
V teorii pravděpodobnosti byl zaveden Pearsonův koeficient korelace náhodných veličin
X, Y (které jsou aspoň intervalového charakteru) vztahem
   
   
    jinak00,YDXDpro
YDXD
Y,XC
Y,XR  .
Připomeneme jeho vlastnosti:
a) R(X,X) = 1
b) R(X,Y) = R(Y,X)
c) R(a + bX, c + dY) = sgn(bd)R(X,Y)
d) -1 ≤ R(X,Y) ≤ 1 a rovnosti je dosaženo tehdy a jen tehdy, když existují reálné konstanty
a, b, b ≠ 0 tak, že P(Y = a + bX) = 1, přičemž R(X,Y) = 1 pro b > 0 a R(X,Y) = -1 pro b < 0.
Z těchto vlastností plyne, že R(X,Y) je vhodnou mírou těsnosti lineárního vztahu náhodných
veličin X, Y.
Pomocí koeficientu korelace zavádíme nekorelovanost náhodných veličin X, Y.
Je-li R(X, Y) = 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou nekorelované. (Znamená to,
že mezi X a Y neexistuje žádná lineární závislost. Jsou-li náhodné veličiny X,Y stochasticky
nezávislé, pak jsou samozřejmě i nekorelované.)
Je-li R(X, Y) > 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou kladně korelované. (Znamená
to, že s růstem hodnot veličiny X rostou hodnoty veličiny Y a s poklesem hodnot veličiny X
klesají hodnoty veličiny Y.)
Je-li R(X, Y) < 0, pak řekneme, že náhodné veličiny jsou záporně korelované. (Znamená
to, že s růstem hodnot veličiny X klesají hodnoty veličiny Y a s poklesem hodnot veličiny
X rostou hodnoty veličiny Y.)
8.3.2. Výběrový koeficient korelace
R(X,Y) většinou nemůžeme počítat přímo, protože to vyžaduje znalost simultánního rozložení
náhodného vektoru (X, Y). V praxi jsme zpravidla odkázáni na náhodný výběr rozsahu
n z dvourozměrného rozložení daného distribuční funkcí Φ(x,y). Z tohoto dvourozměrného
náhodného výběru můžeme stanovit:
výběrové průměry 


n
1i
i1 X
n
1
M , 


n
1i
i2 Y
n
1
M ,
výběrové rozptyly  




n
1i
2
1i
2
1 MX
1n
1
S ,  




n
1i
2
2i
2
2 MY
1n
1
S ,
výběrovou kovarianci   




n
1i
2i1i12 MYMX
1n
1
S a s jejich pomocí zavedeme
výběrový koeficient korelace
21
12
12
SS
S
R  (pro S1S2 > 0). Vlastnosti a), b), c), d) koeficientu
korelace se přenášejí i na výběrový koeficient korelace.
8.3.3. Koeficient korelace dvourozměrného normálního rozložení
Nechť náhodný vektor (X, Y) má dvourozměrné normální rozložení s hustotou
   
  

































2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
yyx
2
x
12
1
2
21
e
12
1
y,x , přičemž
μ1 = E(X), μ2 = E(Y), σ1
2
= D(X), σ2
2
= D(Y), ρ = R(X,Y).
Marginální hustoty jsou:
 
 
2
1
2
1
2
x
1
1 e
2
1
x 



 , .
Je-li ρ = 0, pak pro , tedy náhodné veličiny X, Y
jsou stochasticky nezávislé. Jinými slovy: stochastická nezávislost složek X, Y normálně rozloženého
náhodného vektoru je ekvivalentní jejich nekorelovanosti.
Je-li ρ ≠ 0, jsou náhodné veličiny X, Y stochasticky závislé. Je-li ρ > 0, říkáme, že jsou
kladně korelované, je-li ρ < 0, říkáme, že jsou záporně korelované.
Upozornění: V dalším textu budeme předpokládat, že náhodný výběr (X1, Y1), ..., (Xn, Yn)
pochází z dvourozměrného normálního rozložení s parametry μ1, μ2, σ1
2
, σ2
2
, ρ. Předpoklad
dvourozměrné normality lze orientačně ověřit pomocí dvourozměrného tečkového diagramu:
tečky by měly zhruba rovnoměrně vyplnit vnitřek elipsovitého obrazce, neboť vrstevnice hustoty
dvourozměrného normálního rozložení jsou elipsy.
8.3.4. Testování hypotézy o nezávislosti
Na hladině významnosti α testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné
veličiny (tj. ρ = 0) proti
- oboustranné alternativě H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny (tj. ρ ≠ 0)
- levostranné alternativě H1: X, Y jsou záporně korelované náhodné veličiny (tj. ρ < 0)
- pravostranné alternativě H1: X, Y jsou kladně korelované náhodné veličiny (tj. ρ > 0).
Testová statistika má tvar:
2
12
12
0
R1
2nR
T


 . Platí-li nulová hypotéza, pak T ~ t(n-2).
Kritický obor pro test H0 proti
- oboustranné alternativě:       ,2nt2nt,W 2/12/1 ,
- levostranné alternativě:   2nt,W 1   ,
- pravostranné alternativě:     ,2ntW 1 .
H0 zamítáme na hladině významnosti α, když Wt0  .
Není-li splněn předoklad dvourozměrné normality, použijeme Spearmanův koeficient
pořadové korelace.
8.3.5. Příklad
Máme k dispozici výsledky testů ze dvou předmětů zjištěné u osmi náhodně vybraných
studentů určitého oboru.
Číslo studenta 1 2 3 4 5 6 7 8
Počet bodů v 1. testu 80 50 36 58 42 60 56 68
Počet bodů ve 2. testu 65 60 35 39 48 44 48 61
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výsledky obou testů nejsou kladně korelo-
vané.
Řešení:
Nejprve se musíme přesvědčit, že uvedené výsledky lze považovat za realizace náhodného
výběru z dvourozměrného normálního rozložení. Lze tak učinit orientačně pomocí dvourozměrného
tečkového diagramu. Tečky by měly vytvořit elipsovitý obrazec.
0 20 40 60 80 100 120
X
0
20
40
60
80
100
Y
Obrázek svědčí o tom, že předpoklad dvourozměrné normality je oprávněný a že mezi
počty bodů z 1. a 2. testu bude existovat určitý stupeň přímé lineární závislosti.
Testujeme H0: ρ = 0 proti pravostranné alternativě H1: ρ > 0.
Výpočtem zjistíme: r12 = 0,6668, t0 = 2,1917. V tabulkách najdeme t0,95(6) = 1,9432.
Kritický obor:  ;9432,1W . Protože Wt0  , hypotézu o neexistenci kladné korelace výsledků
z 1. a 2. testu zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Řešení pomocí sytému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o dvou proměnných 1.TEST a 2.TEST a osmi případech. Zobrazíme
dvourozměrný tečkový diagram s proloženou elipsou 95% konstantní hustoty pravděpodobnosti,
s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat: Grafy – Bodové grafy
– vypneme Typ proložení – Proměnné X 1.TEST, Y 2.TEST - OK . Na záložce Detaily vybereme
Elipsa Normální – OK. Ve vzniklém dvourozměrném tečkovém diagramu změníme
rozsah zobrazených hodnot na vodorovné a svislé ose, abychom viděli celou elipsu (viz obrázek
výše).
Formát – Vš. Možnosti – Osa:Měřítka – Osa X – automatický mód změníme na manuální
s minimem 0 a maximem 120. Totéž pro osu Y, ale stačí maximum 100.
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistika – Základní statistiky /Tabulky - Korelační matice
– OK – 1.seznam proměnných 1.TEST, 2.TEST, OK. Na záložce Možnosti zaškrtneme Zobrazit
detailní tabulku výsledků – Souhrn.
Korelace (priklad845)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r^2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
1. test
1. test
1. test
2. test
2. test
1. test
2. test
2. test
56,25000 13,99745
56,25000 13,997451,0000001,000000 8 0,00000 1,000000 0,00000 1,000000
56,25000 13,99745
50,00000 10,928340,6668020,4446252,1916930,070909 8 20,716370,52059813,546650,854067
50,00000 10,92834
56,25000 13,997450,6668020,4446252,1916930,070909 8 13,546650,85406720,716370,520598
50,00000 10,92834
50,00000 10,928341,0000001,000000 8 0,00000 1,000000 0,00000 1,000000
Ve výstupní tabulce najdeme relizaci výběrového korelačního koeficientu (r12 = 0,666802,
tzn. že mezi X a Y existuje nepříliš silná přímá lineární závislost), realizaci testové statistiky
t0 = 2,191693 a p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti (p = 0,070909). Tato p-hodnota je
však vypočítána pro testování nulové hypotézy proti oboustranné alternativě, proto ji musíme
dělit 2. Dostaneme p = 0,035455, H0 tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem
omylu nejvýše 5% jsme prokázali, že mezi výsledky 1. a 2. testu existuje přímá lineární závis-
lost.
Poznámka: Pokud známe výběrový koeficient korelace a rozsah výběru, můžeme test nezávislosti
veličin X, Y provést pomocí Pravděpodobnostního kalkulátoru. Statistika - Pravděpodobnostní
kalkulátor – Korelace – zadáme n a r, zaškrtneme Počítat p pomocí r – Výpočet.
V našem případě navíc ještě odškrtneme Dvojité, protože proti nulové hypotéze stavíme jednostrannou
alternativu. V okénku p se objeví hodnota 0,035455, tedy na hladině významnosti
0,05 zamítáme hypotézu, že výsledky obou testů jsou nekorelované ve prospěch pravostranné
alternativy, která tvrdí, že mezi výsledky obou testů existuje přímá lineární závislost.
8.3.6. Příklad (Ilustrace postupu při nesplnění předpokladu dvourozměrné normality)
Máme k dispozici realizace náhodného výběru rozsahu 12 z dvourozměrného rozložení:
X 1 3 4 5 6 8 10 11 13 14 16 17
Y 13 15 18 16 23 31 39 50 45 43 37 15
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé proti
oboustranné alternativě.
Řešení:
Na hladině významnosti 0,05 testujeme H0: ρ = 0 proti oboustranné alternativě H1: ρ ≠ 0. Pokud
neověříme předpoklad dvourozměrné normality, obvyklým způsobem vypočteme realizaci
výběrového koeficientu korelace r12 = 0,5856 a realizaci testové statistiky t0 = 2,2843. Stanovíme
kritický obor:        ,2281,22281,2,,10t10t,W 975,0975,0 .
Protože Wt0  , zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu o nezávislosti náhodných
veličin X a Y.
Nyní budeme testovat hypotézu o normalitě náhodné veličiny X a náhodné veličiny Y pomocí
Lilieforsovy varianty K - S testu a S – W testu:
Testy normality (Tabulka1)
Proměnná
N max D Lilliefors
p
W p
X
Y
12 0,130669 p > .20 0,9567140,736098
12 0,202049 p < ,20 0,8859180,104405
V obou případech hypotézu o normalitě nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ověření dvourozměrné normality pomocí dvourozměrného tečkového diagramu:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
X
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Y
Dvourozměrná normalita je silně porušena, tečky nevyplňují vnitřek elipsovitého obrazce.
Přejdeme tedy k testování hypotézy o pořadové nezávislosti: Testujeme hypotézu
H0: X, Y jsou pořadově nezávislé náhodné veličiny proti oboustranné alternativě H1: X, Y
jsou pořadově závislé náhodné veličiny.
Vypočítáme Spearmanův koeficient pořadové korelace.
X 1 3 4 5 6 8 10 11 13 14 16 17
Y 13 15 18 16 23 31 39 50 45 43 37 15
Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Qi 1 2,5 5 4 6 7 9 12 11 10 8 2,5
 
             
         
  5472,05,129
286
1
125,90904164110425,00
14312
6
1
5,2128111010119128
97766544535,2211
11212
6
1r 22222
2222222
2S
















Stanovíme kritický obor:
        1,5804,05804,0,11,12r12r,11,nrnr,1W 95,0,S95,0,S1,S1,S  
Testová statistika se nerealizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu nezamítáme na hladině
významnosti 0,05.
Vidíme tedy, že při nerespektování předpokladů testu můžeme dojít k chybným závěrům.
Shrnutí
Máme-li dvě náhodné veličiny ordinálního typu, pak testujeme hypotézu o pořadové nezávislosti
těchto dvou veličin pomocí Spearmanova koeficientu pořadové korelace, který
slouží zároveň jako testová statistika i jako míra intenzity pořadové závislosti daných veličin.
Pro menší rozsahy výběrů (orientačně n < 30) porovnáváme tento koeficient s tabelovanou
kritickou hodnotou, pro větší rozsahy výběrů využijeme jeho asymptotické normality.
Při testování hypotézy o nezávislosti dvou náhodných veličin intervalového či poměrového
typu, které se řídí dvourozměrným normálním rozložením, využijeme skutečnosti, že
v tomto případě je stochastická nezávislost ekvivalentní nekorelovanosti těchto dvou veličin.
Testová statistika vznikne transformací výběrového koeficientu korelace a v případě platnosti
nulové hypotézy se řídí Studentovým rozložením.
Při zkoumání závislosti dvou náhodných veličin aspoň ordinálního typu je vhodné vytvořit
dvourozměrný tečkový diagram a s jeho pomocí posoudit intenzitu a směr závislosti,
případně orientačně ověřit dvourozměrnou normalitu dat.
Kontrolní otázky
1. K čemu slouží Spearmanův koeficient pořadové korelace?
2. Uveďte vlastnosti výběrového koeficientu korelace.
3. Jak se na vzhledu dvourozměrného tečkového diagramu projeví, jsou-li náhodné veličiny
X, Y kladně korelovány?
4. Pro náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozložení popište test hypotézy o nezávislosti
veličin X, Y.
Autokorekční test
1. Nechť (X1, Y1), ...., (X16, Y16) je náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozložení.
Výběrový koeficient korelace R12 nabyl hodnoty -0,87. Jestliže provedeme lineární transformaci
U= 1 + 3X, V = -3 - Y, jakou hodnotu nabude výběrový koeficient korelace transformovaných
hodnot (U1, V1), ...., (U16, V16)?
a) –0,61
b) 0,87
c) –0,87
2. Pro 12 náhodně vybraných ojetých automobilů byl vypočten výběrový koeficient korelace
mezi jejich stářím v měsících a počtem najetých kilometrů. Nabyl hodnoty 0,831. Předpokládáme,
že data pocházejí z dvourozměrného normálního rozložení. Jaká je hodnota testové
statistiky pro test nezávislosti obou veličin?
a) 4,724
b) 0,831
c) 6,392
3. Pro dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n = 10 z dvourozměrného normálního rozložení
byl vypočten výběrový koeficient korelace. Nabyl hodnoty –0,94. Co lze usoudit o vztahu
náhodných veličin X a Y?
a) S růstem hodnot jedné náhodné veličiny hodnoty druhé náhodné veličiny lineárně rostou.
b) Veličiny X a Y jsou nezávislé.
c) S růstem hodnot jedné náhodné veličiny hodnoty druhé náhodné veličiny lineárně klesají.
4. Nechť dvourozměrný náhodný výběr pochází z dvourozměrného rozložení, které je výrazně
odlišné od normálního. Chceme-li testovat hypotézu, že náhodné veličiny X a Y, které jsou
poměrového typu, jsou nezávislé, použijeme testovou statistiku, která je založena na
a) Cramérově koeficientu
b) Spearmanově koeficientu pořadové korelace
c) výběrovém koeficientu korelace.
5. Na základě dvourozměrného náhodného výběru rozsahu 18 byl vypočten Spearmanův koeficient
pořadové korelace 0,4819. Jak vypadá kritický obor pro test hypotézy o pořadové nekorelovanosti
proti oboustranné alternativě, pokud hladinu významnosti volíme 0,05?
a)   ,1199,21199,2,W
b)   ,4716,04716,0,W
c)   ,96,196,1,W
Správné odpovědi: 1b) 2a) 3c) 4b) 5b)
Příklady
1. Dvanáct různých softwarových firem nabízí programy pro vedení účetnictví. Programy
byly posouzeny odbornou komisí a komisí složenou z profesionálních účetních. Výsledky
v 1. a 2. komisi: (6,4), (7,5), (1,2), (8,10), (4,6), (2.5,1), (9,7), (12,11), (10,8), (2.5,3), (5,12),
(11,9). Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05
testujte hypotézu o nezávislosti pořadí v obou komisích.
Výsledek:
Spearmanův koeficent pořadové korelace je 0,715, kritická hodnota pro n = 12 a α = 0,05 je
0,576. H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05 ve prospěch oboustranné alternativy.
2. V dílně pracuje 15 dělníků, u nichž byl zjištěn počet směn odpracovaných za měsíc (veličina
X) a počet zhotovených výrobků (veličina Y). Orientačně ověřte dvourozměrnou normalitu
dat, vypočtěte výběrový koeficient korelace mezi X a Y a na hladině 0,01 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X a Y.
X 20 21 18 17 20 18 19 21 20 14 16 19 21 15 15
Y 92 93 83 80 91 85 82 98 90 60 73 86 96 64 81
Výsledek:
Vzhled dvourozměrného tečkového diagramu svědčí o tom, že předpoklad dvourozměrné
normality je oprávněný. Výběrový koeficient korelace je 0,927, testová statistika se realizuje
hodnotou 8,597, kritický obor je   ,012,3012,3,W . Hypotézu o nezávislosti
veličin X a Y zamítáme na hladině významnosti 0,01.
3. V následující tabulce jsou uvedeny číselné realizace a absolutní četnosti náhodného výběru
(X1, Y1), (X1, Y2), ..., (X62, Y62) z dvourozměrného rozložení:
x y
1 3 5 7 9 11 13
15 0 0 0 0 1 2 1
25 0 0 0 5 4 2 0
35 0 0 5 8 2 0 0
45 0 5 6 4 0 0 0
55 3 5 3 0 0 0 0
65 4 2 0 0 0 0 0
Podle vzhledu dvourozměrného tečkového diagramu orientačně posuďte dvourozměrnou
normalitu dat. Vypočtěte výběrový koeficient korelace a interpretujte ho. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu o nezávislosti veličin X a Y.
Výsledek:
Protože tečky v dvourozměrném tečkovém diagramu vytvářejí elipsovitý obrazec, lze připustit
dvourozměrnou normalitu. Výběrový koeficient korelace nabývá hodnoty –0,899, což znamená,
že mezi veličinami X a Y existuje dosti silná nepřímá lineární závislost. Testová statistika
se realizuje hodnotou -13,6613, odpovídající p-hodnota je velmi blízká 0, nulovou hypotézu
zamítáme na hladině významnosti 0,05.
4. Pro náhodný výběr (Xi, Yi) , i = 1, ..., 27 z dvourozměrného normálního rozložení byl vypočten
výběrový koeficient korelace 0,77. Na hladině významnosti 0,01 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y proti pravostranné alternativě.
Výsledek:
Testová statistika se realizuje hodnotou 6,034, kritický obor pro pravostrannou alternativu
 ,4851,2W . Protože testová statistika se realizuje v kritickém oboru, nulovou hypotézu
zamítáme na hladině významnosti 0,01 ve prospěch pravostranné alternativy.