Metoda exponenciálního vyrovnávání
[R.G.Brown-R.F.Meyer]
Je dalším z  přístupů, který je řazen (vedle metody klouzavých průměrů) k adaptivním technikám určení trendové složky časové řady .
Výchozí úvahou této techniky je, že se k predikci nové hodnoty časové řady :
a)  berou v úvahu všechna dostupná pozorování časové řady
b)  starší pozorování jsou z hlediska síly ovlivnění aktuálních předpovědí 
      brána  s nižší významností než pozorování nová (aktuální).
Váhová struktura, která je při Brownově exponenciálním vyrovnávání uplatněna, je představována geometrickým rozdělením. Váhy jsou tedy stanoveny podle vzorce 
(1)                                                   
Je patrné, že váhy splňují podmínku  , neboť  
                                                .
Nechť nepřekvapí, že váhová struktura se řídí rozdělením, které je definováno na neomezeném oboru, přestože počet pozorování časové řady, kterým jsou váhy přiřazovány je vždy konečný -  z matematického hlediska nepředstavuje tato okolnost žádný problém.
Název exponenciální by odpovídal zespojitění situace, neboť obdobou diskrétního geometrického rozdělení je ve spojitém případě rozdělení exponenciální. Název tedy nemá nic společného s exponenciálním průběhem trendu. 
Podobně jako metoda klouzavých průměrů je i exponenciální vyrovnávání  založeno na lokáním vyrovnání časové řady jednoduchou matematickou křivkou (na rozdíl od metody klouzavých průměrů se však vzatá pozorování neváží „symetricky„).
Podle typu vyrovnávající křivky rozlišujeme tři základní verze  tohoto postupu :
1. Jednoduché (konstantní) exponenciální vyrovnávání (lokálně vyrovnávající 
     křivkou je po částech konstantní funkce).
2. Dvojité (také lineární)  exponenciální vyrovnávání (zde je lokálně vyrovnávající 
    křivkou lineární funkce).
3. Trojité (také kvadratické) exponenciální vyrovnání (uplatňuje se parabola 2. 
    stupně lokálně  vyrovnávající  křivkou kvadratická funkce)
Všechny verze exponenciálního vyrovnávání se opírají o následující úvahu :
V kterémkoliv bodě (pevně zvoleném okamžiku t ) máme k dispozici jednak :
-  poslední pozorování analyzované časové řady, tedy  
-  předpověď téhož pozorování  (určenou dříve na základě předtím, tj. do 
   času  t-1 dostupných pozorování, tedy do hodnoty  včetně). 
Předpověď pro “opravenou hodnotu“  tedy nyní vytvořme pomocí váženého průměru
(2)                                           
tzn. že nová předpověď je konstruována jako vážený aritmetický průměr skutečné hodnoty “nového” pozorování  a „staré„ předpovědi tohoto pozorování yt* (při informaci dostupné do okamžiku t-1 včetně). Hodnota “váhové” konstanty  rozhoduje o tom, které z obou uplatňujících se informací přisoudíme větší význam (resp. v jaké proporci budeme tyto informace brát).
Opakovanou substitucí dostáváme ze vztahu (2)  výraz

                atd., až po
(3)     
Při dostatečně velkém n (teoreticky pro n   ) dospějeme k nekonečnému součtu 
(4)                                             ,  což je
vlastně aritmetický průměr (o nekonečném počtu členů) „vyrovnaných hodnot“ s vahami ve tvaru (1) .
Výraz (2)          , kde    je vyrovnávací konstanta 
 lze dále jednoduchou úpravou přepsat na tvar 
              , 
který bývá nazýván jako chybový či korekční:
pro opravu předchozí vyrovnané hodnoty  použijeme (jakmile dostaneme pozorování  ) příslušně upravenou chybu předpovědi dt o jeden krok dopředu (konstruovanou v čase t -1)
(2´)                              , kde    
což lze interpretovat tak, že novou předpověď  pro  dostaneme jako součet
skutečné hodnoty pozorování   a  určitého (100x) procentního podílu chyby předpovědi  téže veličiny   určené na základě informací známých jen do minulého období t-1 (predikce je sestrojená toliko z hodnot  ) . 
Důležitou otázkou je v tomto kontextu volby „vyrovnávající konstanty„ :  zpravidla se omezujeme na rozsah mezi (0,1 – 0,3). Někdy je však vyrovnávací konstanta pojímána jako doplněk  do 1, stanoví se tedy . Čím je hodnota  blíže k 1 tím váhy přiřazované jednotlivým pozorováním směrem do minulosti klesají pomaleji.  
O rychlosti klesání dává představu toto srovnání s konstantou :
k =                   1       2         3           4          5              6                                     10
Srovnejme:    0,9   0,81   0,729  0,6561   0,59049   0,531441 ………………...  0,34868
                        0,8   0,64,  0,512  0,4096   0,32768   0,262144 ………………... 0,1342177                   
                        0,7   0,49,  0,343  0,2401   0,16807   0,117649 ………………...  0,02709
Zatímco podíl vah u nejčerstvějších (nezpožděných) pozorování je 9/7 = 1,2857 : 1, je u desátých pozorování (tj. se zpožděním  9) tento poměr již         0,3487/ 0282 tj. 12,34/1 
,7	0,49	0,343	0,2401	0,16807	0,117649	0,082354	0,057648	0,040354	0,028248	
0,9	0,81	0,729	0,6561	0,59049	0,531441	0,478297	0,430467	0,38742	0,348678	
Přirozenou otázkou je, zda existují užitečná vodítka pro určení konstanty  :
a)  Pravidla vyvozená ze statistických požadavků na odhady obecně : 
a1)  Jedna možnost vychází z volby vyrovnávací konstanty ze vztahu 
(5)                            odkud pro dané n dostaneme    
a2) Další z možností vychází z variantního modelu (vyrovnání parabolou k-tého řádu), na základě kterého se volí 0  tak, aby vyhovovalo vztahu 
(6)                      k  je tzv. ekvivalentní vyrovnávací konstanta.
a3) Ještě jiná možnost vychází z nejlépe vyrovnávajícího (pozorované hodnoty časové řady) klouzavého průměru délky .  Pak se stanoví  jako
pro  konstantní/jednoduché exponenciální vyrovnávání  a stejně tak
(7A)  pro  dvojité exponenciální vyrovnávání (klouzavý průměr)     
(7B)   pro trojité exponenciální vyrovnávání 2         , kde 
  je délka (počet členů) nejlépe vyrovnávajícího klouzavého průměru . 
b) Simulační způsob: interval 0,7 - 1 se rozdělí např. na 30 úseků po 0,01, provedou se predikce na několik kroků dopředu, spočte se průměrná nebo střední kvadratická chyba predikce a vyhledá se taková hodnota , při které je tato chyba predikce nejmenší.

Poznámka: Výpočtové vzorce (zejména u trojitého exponenciálního vyrovnávání) jsou již natolik (technicky) složité, že je uživatel zpravidla odkázán na některý ze softwarových produktů určených k analýze časových řad, které zpravidla všechny tři verze exponenciálního vyrovnávání obsahují. Proto je daleko vhodnější pořídit si příslušné software (STATGRAPHICS, SPSS, RATS apod.), než pracně počítat hodnoty vyrovnání a předpovědí (rekurentně) tabulkovými procesory, kalkulačkou nebo dokonce ručně.
Komparační zhodnocení: čím je vyrovnávací konstanta  vzdálenější od 1 (tedy blíže k nule), tím je vyrovnání flexibilnější a provedená následná predikce vykazuje vyšší rozkolísanost. 
Podobný rys vykazuje také trojité exponenciální vyrovnávání ve srovnání s dvojitým a zejména vůči  jednoduchému, které dává velmi rigidní předpovědi (tj. po částech konstantním trendem) .

1. Jednoduché (konstantní) exponenciální vyrovnávání 
Formulace modelu je založena na představě, že pro dané pevné  a hodnoty zpoždění  lze uplatnit konstantní trend tvaru
(11)                                         pro  j = 0, 1, 2, 3, …., kde
 je (jediný) neznámý parametr. Tato domněnka (o konstantnosti vývoje) není příliš realistická, avšak jednoduchost modelu (11) umožňuje přiblížit postup odhadu parametrů .  i u složitějších modelů. 
Výchozím předpokladem modelu (11) je tedy trend ve tvaru po částech konstantní funkce.
Minimalizační kritérium má zde tvar
(12)                                  
ve kterém se uplatňuje trendový model tvaru   ( tedy konstantní trend ).
Odhad   parametru  realizovaný váženou metodou nejmenších čtverců (WLS) je pak dán vztahem
(13)                                            
ověření:  Derivací výrazu (12) podle  dostaneme:
(12A)                      
Upravíme-li krácením  a položíme-li derivaci rovnou nule, dostaneme
(12A)                                         
Pak s využitím toho, že součet řady , obdržíme (13).                          .
U tohoto typu mohou být vysloveny námitky, že model s konstantním trendem (11) je pro většinu reálných situací stěží použitelný, poněvadž trend časové řady se zpravidla vyvíjí jiným způsobem než po částech konstantní funkcí. 
(14)  vyrovnání pro aktuální období     :                   
(15)  predikce na  období dopředu     :                
Předpovídané hodnoty na libovolné období dopředu jsou tedy shodné s poslední pozorovanou hodnotou (je zřejmé, že tato zásada není vhodná pro situace, kdy časová řada vykazuje jakýkoliv znatelný trend).
Lze ještě užít tzv. chybový vzorec: 
(14A)      
V případě  dvojitého a trojitého exponenciálního vyrovnávání je užitečné definovat dvě tzv. "vyrovnávací statistiky" : - viz  Hindls, Hronová, Novák
(61a)                              jednoduchá vyrovnávací statistika
(62b)                         dvojitá vyrovnávací statistika
Pro tyto vyrovnávací statistiky platí následující rekurentní vztahy :
(63a)                                            
(63b)                                            
ověření (63a) , (63b): 
Levou stranu (63a) lze vyjádřit jako 
            , přičemž  
Levou stranu (63b) lze vyjádřit jako 
  □.
Výpočet těchto statistik se provádí rekurentně počínaje   .

Tyto statistiky však nejsou samy o sobě bezprostředně uplatnitelné, protože operují s číselně nenaplnitelnými hodnotami   , pro která nemáme pozorované hodnoty. Proto se v reálných výpočtech omezujeme na jejich „konečné verze„, tzn. na obdobné výrazy operujícími je se skutečně dostupnými pozorovanými hodnotami. 
Oproti (61a) a (62b) tady definujeme trochu odlišně:
(71a)                 konečná jednoduchá vyrovnávací statistika
(71b)                  konečná dvojitá vyrovnávací statistika
Povšimněme si, že obě tato statistiky operují výlučně jen s pozorovanými hodnotami.
Vztah mezi odhadovanými parametry a těmito konečnými vyrovnávajícími statistikami: odhady parametrů  vyjádřené pomocí těchto statistik jsou 
(72a)                                   
(72b)                                  
ověření (72A) , (72B): 
Dosadíme-li do vzorců (30A),(30B) pro parametry dvojitého exponenciálního vyrovnávání
(30A)                      
(30B)                      
výrazy (71a) a (71b), dostaneme přímo   a  
ve shodě se vzorci (2.80),(2.81) citované knihy Hindlse, Hronové a Nováka.                                □.
Naopak ale můžeme vyjádřit zápis obou těchto statistik také v symbolice obou parametrů“  
(73a)                                                                  
(73a)                                                                  
ověření (73A) , (73B): 
Vyjdeme z porovnání         
 ,        odkud  tedy máme  pro   
 a následně
   nebo stejně tak

Počáteční odhady obou vyrovnávacích statistik získáme na základě vzorců
(75a)                                                                   
(75a)                                                                      , 
kde počáteční hodnoty obou parametrů   určíme např. pomocnou regresí z několika počátečních pozorování časové řady.
Od takto vyjádřených hodnot se pak odvíjí postupný rekurentní výpočet obou statistik následně pro .

Volba vyrovnávací konstanty  pro  jednoduché exponenciální vyrovnávání: Omezujeme se zde zpravidla na interval  a podobně jako pro dvojité se užívá 
a)  fixní volba  nebo  . (Volba  se téměř neužívá.)
b) volba  , kde  je délka klouzavých průměrů adekvátní této řadě (odvozena z požadavku, aby tzv. střední věk vah jednoduchých klouzavých průměrů této délk, tj.  a střední věk vah jednoduchého exponenciálního vyrovnávání, tj.  byly shodné. Přístup ale není ideální, protože stejně musíme vyjít z vhodné délky klouzavého průměru.
c) Jako možné hodnoty  se vezmou hodnoty z intervalu  a vybere se ta hodnota, která nejlépe predikuje ve smyslu minimální hodnoty SSE.
 předpovědní interval pro jednoduché exponenciální vyrovnávání
V případě, že rozdělení náhodné složky uvažované řady je alespoň přibližně normální, lze v rámci exponenciálního vyrovnávání vedle bodových předpovědí konstruovat také předpovědní intervaly. Jako  předpovědní interval pro jednoduché vyrovnávání se doporučuje konstruovat interval ve tvaru 
                      , kde 
libovolné  je
 .... kvantil normovaného normálního rozdělení
 definováno jako  sloužící k převodu  na .
 je střední absolutní chyba, tedy 
2. Dvojité (lineární) exponenciální vyrovnávání 
Formulace modelu je založena na představě, že pro dané pevné  a hodnoty zpoždění  lze uplatnit lokálně lineární trend tvaru
(21)                                           pro  j = 0, 1, 2, 3, ….
Minimalizační kritérium  má v tomto případě tvar
(22)                     ,
ve kterém se uplatňuje lineární trendový model tvaru .
Výchozím předpokladem modelu (22) je tedy trend ve tvaru po částech lineární funkce.
V tomto případě jsou předmětem odhadu dva parametry  - jako odhad   - a   - jako odhad parametru   .
Odhad obou parametrů v (22)  získáme řešením soustavy normálních rovnic 
(25A)                                   
(25B)                                   
ověření (25A), (25B):    Derivací výrazu (22) podle  dostaneme
(23A)                 
Podobně, derivací výrazu (22) podle  dostaneme:
(23B)                 
Upravíme-li (23 A) a položíme-li příslušnou derivaci rovnou nule:
(24A)                                , neboli
(24A*)                              
a s využitím toho, že součet řady   a součet řady 
obdržíme                           
a  následně vynásobením  získáme (25A) .                                

Krátíme-li (23B) výrazem  a položíme-li levostrannou derivaci rovnou nule:
(24B)                                     .
Výrazy s neznámými  přemístíme v rovnici nalevo
(24B*)                                                     
a s využitím toho, že součty řad , 
máme                              , což 
po vynásobení  dává (25B).                                                                            .
Máme tedy soustavu dvou normálních rovnic pro výpočet parametrů , 
(25A)                               
(25B)                               ,              
kterou můžeme vyjádřit v maticovém tvaru 
(26)                       , takže
(27)                         , kde 
determinant matice soustavy (27) je roven   . Takže
(28)                     .  
(28)                     .  
 (29)                       .  
Odtud máme pro oba parametry výsledné výrazy
                               neboli
(30A)                       a
(30B)                      
Výrazy (30A) a  (30B) představují (přesné) výpočetní vzorce pro „aktuální hodnoty“ parametrů , (oba jsou závislé na t). Tyto vzorce ale nelze pro výpočet této dvojice parametrů (ve skutečnosti jde o dvě posloupnosti parametrů)  bezprostředně použít, protože přirozeně nemáme k dispozici hodnoty z „nekonečně vzdálené minulosti“.
Proto se při konkrétní aplikaci Brownova exponenciálního vyrovnání postupuje poněkud jinak, nejčastěji tak, že se „počáteční odhady“ těchto parametrů spočtou „pomocným způsobem“, např. regresí a poté se pokračuje rekurentním způsobem výpočtu „od hodnot získaných na základě pozorování v čase t-1 k hodnotám získaným na základě pozorování v čase t.

Pokud pracujeme s konečným počtem pozorování, má odpovídající soustava normálních rovnice tento tvar:
(41A)                               
(41B)                               ,
což můžeme dokumentovat srovnáním s „nekonečným případem“
(24A*)                              
(24B*)                                                      
Řešením (41A) (41B) dostaneme odhady parametrů ve tvaru
(42A)                             
(42B)                             .
Tyto vzorce jsou sice formálně „exaktní“, ale pro praktické uplatnění rovněž málo použitelné, protože představují nutnost přepočtů výsledných výrazů při jakékoliv změně koncové hodnoty n (a nelze v nich také přirozeně použít adekvátní zjednodušující vzorce pro součtování nekonečných řad).
Pro srovnání výrazů spočtených na základě konečného a „nekonečného“ počtu pozorování můžeme postupovat např. takto:
Vyčíslíme výrazy bez „ypsilonových„ členů s využitím toho, že platí dle
(61)   ,       (62)  ,          (63) 
Výraz ve jmenovatelích (42A), (42B) je rovný
   
Potom dle (42A)     
po úpravě                   
a zkrácení                  
a konečně                                     O.K.
a podle (42B)
                                   
a zkrácení                  
dospějeme k                                   O.K.
Ta je srovnatelná s (25A), (25B) , protože pokud n je dostatečně velké, lze nahradit
(36A)                              
(36B)                           .          tj.
(37A)                             
(37B)                           , což po vynásobení 
první rovnice  a druhé rovnice  dává přesně 
(25A)                                  
(25B)                                  .                           .
přímé (alternativní) ověření výpočtu parametrů ze soustavy (25A), (25B):
(25A)                                       
(25B)                                   
Vyjděme z (25A), (25B) a vyjádřeme z obou těchto vztahů :
(31A)                              
(31B)                              
Porovnáme obě strany a máme 
        
        , odečteme
                ,    
                        
                                             O.K.
a dále podle (31A) substitucí      
tedy   
pak   
po úpravě       

                   , až dospějeme 
k výslednému tvaru                            O.K.

V učebnici T.Cipry Finanční ekonometrie jsou v kontextu dvojitého exponenciálního vyrovnávání definovány vyrovnávací statistiky poněkud odlišně: 
(61a)           jednoduchá vyrovnávací statistika
(61b)        dvojitá vyrovnávací statistika, kde   .
Jak patrno, druhá z těchto statistik je konstruována obdobně jako první s tím rozdílem, že místo pozorovaných hodnot vystupují na pravé straně hodnoty jednoduché vyrovnávací statistiky .
Pro tyto statistiky platí následující rekurentní vztahy:
(62a)                                                 
(62b)                                                 
Pomocí této dvojice vyrovnávacích statistik lze sestavit soustavu normálních rovnic tvaru 
(63a)                                                                          
(63b)                                                     
Z této soustavy dostaneme výrazy pro hledané odhady   vyjádřené pomocí obou vyrovnávacích statistik ( a  přirozeně též vyrovnávací konstanty  )
(64a)                                                  
(64b)                                                   .
poznámka: Výhodou tohoto zápisu je možnost rychlého „přepočtu“ či „aktualizace“ odhadovaných parametrů (a nepotřeba jejich opakovaného výpočtu ze soustavy normálních rovnic), protože je možno využít bezprostředního výpočtu parametrů pomocí obou vyrovnávacích statistik podle (64a) a (64b), přičemž aktualizace statistik ,– přechod od období t-1  k období t  - probíhá velmi snadno pomocí vztah(62a), (62b).
predikce na  období dopředu     je dána vztahy
(65)                                                       neboli
(65a)                            
Z tohoto zápisu bezprostředně dostaneme (dosazením za  ):
vyrovnání pro aktuální období     :
(66)                                                 
Model dvojitého exponenciálního vyrovnávání (21) je pro řadu situací dobrým predikčním nástrojem, pokud se při volbě vyrovnávací konstanty řídíme některým z výše uvedených pravidel.
Při výpočtu statistik  postupujeme rekurentně, přičemž jejich počáteční hodnoty pro  získáme ze vztahů :
(67A)                                              
(67B)                                                         
Počáteční hodnoty odhadů   získáme prostou lineární regresí tak, že několik (cca 6-10) počátečních pozorování řady proložíme regresní přímkou.  je příslušná úrovňová konstanta,   je parametr sklonu regresní přímky.
 (22)                                  
Derivací výrazu (22) podle  a jeho anulováním dostaneme:
                     krátíme výrazem 
                                  
                                                                   .
Výrazy s neznámými přemístíme nalevo
                                    což zapíšeme jako
                               
Protože dle (52) , u neznámé  máme člen  
Dále dle (53)  u neznámé  máme
 
Tedy  
  (2B)                        

Volba vyrovnávací konstantyu dvojitého exponenciálního vyrovnávání: 
omezujeme se zde zpravidla na interval  a podobně jako pro jednoduché se užívá 
a) fixní volba , kde  je délka klouzavých průměrů adekvátní 
b) pro danou řadu (vyplývá opět z porovnání středních věku vah jednoduchých klouzavých průměrů a vah dvojitého exp. vyrovnávání).
c)Jako vhodné hodnoty  se vyšetří hodnoty z intervalu  a vybere se ta hodnota, která nejlépe predikuje ve smyslu míry SSE.
c)Jako vhodné hodnoty  se vyšetří hodnoty z intervalu  a vybere se ta hodnota, která nejlépe predikuje ve smyslu míry SSE.
Jako  předpovědní interval se doporučuje konstruovat ve tvaru 
                      , kde pro 
libovolné  je  definováno jako
                 
alternativní odvození odhadu parametrů z (25A) ,(25B) :
(25A)                             
(25B)                             ,            
z (25A) máme                     
z (25B) máme                     ,            
komparací  
po úpravě   . Odečtením výrazu  od obou stran dostaneme

                                                    
Dále využijeme (25A)          

                 

                 

3. Trojité (kvadratické) exponenciální vyrovnávání 
 je třetím užívaným typem exponenciálního vyrovnávání, které se uplatňuje především u časových řad vyznačujících se ve svém dosavadním vývoji úseky se zřetelnou akcelerací nebo naopak decelerací průběhu v čase.
Minimalizační kritérium má u toho typu vyrovnání tvar
(51)                               
ve kterém se uplatňuje trendový model tvaru 
(52)                                                      
Zde máme co do činění již se třemi konstantami  coby s odhady trojice neznámých  parametrů kvadratické funkce  .
Odhady těchto parametrů se opět obdrží vyvozením ze soustavy (tří) normálních rovnic.  Ve výrazech se tentokrát uplatňují již tři vyrovnávací statistiky :
jednoduchá vyrovnávací statistika       
dvojitá vyrovnávací statistika      
(53)                                                            
s vlastností                                              
trojitá vyrovnávací statistika                  
Pomocí nich se dají vyjádřit jak vyrovnané, tak předpovídané hodnoty :
vyrovnání pro aktuální období   : 
(54)                                                     
predikce na  období dopředu    :
(55)                    
Predikce pomocí trojitého exponenciálního vyrovnání jsou (zejména při nízké volbě konstanty  - tj. blízké 0,7) značně citlivé na chování posledních 2-3 pozorovaných hodnot řady. Vykazují-li tato pozorování zřetelný odklon oproti předchozímu průběhu časové řady, poskytne kvadratické vyrovnání zpravidla nepoužitelné předpovědi (tyto se vychylují buď příliš nahoru nebo příliš dolů podle směru vychýlení právě posledních nejčerstvějších pozorování).
Při  určování počátečních odhadů    se v tomto případě doporučuje volit delší úsek (až 1/2 počtu všech pozorování). Vyrovnání se zde provádí (pomocí prosté metody nejmenších čtverců) kvadratickým trendem.
Odvození normálních rovnic pro trojité exponenciální vyrovnávání:
Derivací výrazu (51) podle  a jeho anulováním dostaneme:
                                   neboli
(56A)                          
Derivací výrazu (31) podle  a jeho anulováním dostaneme:
                                  neboli
(56B)                        
Derivací výrazu (31) podle  a jeho anulováním dostaneme:
                                  neboli
(56C)                       
(56A) upravíme na       
Po vyčíslení sumací  máme  
(56B) upravíme na     
Po vyčíslení sumací  máme  
(56C) upravíme na   
Po vyčíslení sumací  máme  

Dostáváme tedy soustavu tří normálních rovnic k výpočtu parametrů :

(57)               ,
z níž by byly hledané parametry získatelné vztahem (58)
Je 
nicméně zřejmé, že i když principiálně takto parametry  získáme, budou příslušné tři vzorce již velmi nepřehledné….

Poznámka: Při výpočtech součtů konvergentních nekonečných řad, které se vyskytují v normálních rovnicích u různých verzí exponenciálního vyrovnávání, lze užitečně uplatnit poznatky odvozené z  teorie mocninných řad.
Máme-li pro argument    definovánu funkci resp. mocninnou řadu
(101)                                                              , pak
výpočet derivací této funkce (do čtvrté derivace včetně) vede k těmto výsledkům:               
(102)                                 
(103)                                 
(104)                                 
(105)                                 
Všimněme si, že sumace derivovaných prvků mocninné řady (výrazy v součtech v (101, 102, 103, 104) se získají velmi prostým způsobem tím, že derivujeme funkci  . Platí to pro první, druhou i třetí (případně i vyšší) derivaci. 
Vezmeme-li za argument z  vyrovnávací konstantu  - to je přípustné, neboť její hodnoty rovněž leží v intervalu (0,1) - dostaneme : 
(111)                                     , 
(112)         ,  
(113)                                                 což vypočteme z rozvoje 

Dále máme ještě
(114)            
odvození (114):
       
Tedy         
S využitím (62), (62) a (63) dostaneme

až konečně  máme  (114)                                                      □ .
Uvedené vztahy se aktivně uplatňují při výpočtu výrazů, které vedou v jednotlivých typech exponenciálního vyrovnávání k určení odhadů parametrů  .
Pokusme se ještě spočítat
(115)                  

              

Tedy konečně dospíváme k výrazu
(116)                            

Holtova vyrovnávací metoda 
Jistým zobecněním dvojitého exponenciálního vyrovnávání je tzv. Holtova metoda, ve které se uplatňují dvě vyrovnávací konstanty 
      pro vyrovnání úrovně  
      pro vyrovnání směrnice   téže řady
(81)                                        
Vyhlazení úrovně je tedy definováno jako konvexní kombinace poslední pozorované hodnoty v čase  a odhadu této hodnoty vzatého v předchozím čase .           
(82)                                       
Aktualizace trendu řady je tedy definována jako konvexní kombinace rozdílu/posunu mezi poslední a předposlední úrovní řady  v čase  a hodnoty trendu spočtené v předchozím čase .           
Pro vyrovnání, resp. predikci zde platí předpisy:
(83)                                            
(84)                                              pro   
Jako volby počátečních hodnot se doporučují:
(85A)                                          
(85B)                                          
Za pozornost stojí, že Holtova metoda byla nejprve navržena jako ad hoc postup  na základě prosté logické úvahy. Teprve později bylo prokázáno, že Brownovo dvojité exponenciální vyrovnávání se zvolenou  vyrovnávací konstantou  je speciálním případem Holtova metody , jejíž vyrovnávací konstanty jsou pak
(86)                                    ,  
Za pozornost stojí, že Holtova metoda byla nejprve navržena jako ad hoc postup  na základě prosté logické úvahy. Teprve později bylo prokázáno, že Brownovo dvojité exponenciální vyrovnávání se zvolenou  vyrovnávací konstantou  je speciálním případem Holtova metody , jejíž vyrovnávací konstanty jsou pak
    , potom      
    , pak          
    , odtud