Určitý integrál Uvažujme graf funkce f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah plochy ohraničené grafem, osou x a svislými přímkami x — a, x — b. Určitý integrál Uvažujme graf funkce f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah plochy ohraničené grafem, osou x a svislými přímkami x — a, x — b. Postupujme následujícím způsobem: rozdělíme interval (a, b) na n částečných intervalů (xi, x2), (x2, x3),..., (xn, xn+1), kde a = Xi f(x) a M, = supxe(x. x.+i) ř(x), /' = 1,..., n. Určitý integrál Uvažujme graf funkce f (x) na intervalu (a, b). Pokusíme se určit obsah plochy ohraničené grafem, osou x a svislými přímkami x — a, x — b. Postupujme následujícím způsobem: rozdělíme interval (a, b) na n částečných intervalů (xi, x2), (x2, x3),..., (xn, xn+1), kde a = Xi f (x) a M, = supxe(x. x.+i) ŕ(x), /' = 1,..., n. Hledaný plošný obsah lze odhadnout pomocí výrazů s{f, Dn) = Eľ=i m'(x'+i - *i)> resP- s(ř>D") = £"=1 H-(Jf/+i - Xi). Tyto výrazy nazýváme dolním, resp. horním Riemannovým součtem funkce f pro dělení D„. Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f (x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv. dolní Riemannuv integrál J*f(x)dx = supDs{f, D) Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f(x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv dolní Riemannuv integrál f*f(x)dx = supDs(f, D) Je-li funkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannův integrál f*f{x)dx = \niD S{f, D). Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f(x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv dolní Riemannův integrál f*f(x)dx = supDs(f, D) Je-li funkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannův integrál f*f{x)dx = \niD S{f, D). Definice : Má-li funkce f (x) na {a, b) horní i dolní Riemannův integrál a jsou-li stejné, pak klademe f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx a toto číslo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na {a, b). Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f(x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv dolní Riemannův integrál f*f(x)dx = supDs(f, D) Je-li funkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannův integrál f*f{x)dx = \niD S{f, D). Definice : Má-li funkce f (x) na {a, b) horní i dolní Riemannův integrál a jsou-li stejné, pak klademe f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx a toto číslo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na {a, b). Poznámka : Číslo a nazýváme dolní mez integrálu, číslo b nazýváme horní mez integrálu. O funkci f říkáme, že je na daném intervalu integrabilní. Určitý integrál - definice Označme D množinu všech možných dělení intervalu (a, b). Je-li funkce f(x) omezená zdola na (a, b), pak zde existuje tzv dolní Riemannův integrál f*f(x)dx = supDs(f, D) Je-li funkce f (x) omezená zhora na (a, b), pak zde existuje tzv. horní Riemannův integrál f*f{x)dx = \niD S{f, D). Definice : Má-li funkce f (x) na {a, b) horní i dolní Riemannův integrál a jsou-li stejné, pak klademe f(x)dx = f(x)dx = \ba f(x)dx a toto číslo nazýváme Riemannovým integrálem funkce f (x) na {a, b). Poznámka : Číslo a nazýváme dolní mez integrálu, číslo b nazýváme horní mez integrálu. O funkci f říkáme, že je na daném intervalu integrabilní. Poznámka : Pro existenci integrálu f (x) na (a, b) stačí, aby zde funkce byla spojitá. Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro případy, kdy není splněna podmínka a < b: pro a — b klademe fa f(x)dx = 0, pro b < a klademe Jg f(x)dx — - Jb f(x)dx Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro případy, kdy není splněna podmínka a < b: pro a — b klademe ja f(x)dx = 0, pro b < a klademe Ja f(x)dx — - Jb f(x)dx Věta : Existují-li integrály ía° f(x)dx i ícfc f(x)dx, pak je funkce f(x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí ja f(x)dx = ía° f(x)dx + f(x)dx. Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro prípady, kdy není splněna podmínka a< b: pro a — b klademe ja f(x)dx = 0, pro b < a klademe Ja f(x)dx — - Jb f(x)dx Věta : Existují-li integrály f° f(x)dx i f(x)dx, pak je funkce f(x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí ja f(x)dx = f° f(x)dx + f£ f(x)dx. Věta : Jsou-li funkce f(x) a g(x) integrovatelné na (a, b) a platí-li pro Vx e (a, b) : f{x) > g{x), pak také platí /* f{x)dx > g(x)dx. Určitý integrál - vlastnosti Definice : Rozšíření pojmu itegrálu pro případy, kdy není splněna podmínka a < b: pro a — b klademe ja f(x)dx = 0, pro b < a klademe Ja f(x)dx — - Jb f(x)dx Věta : Existují-li integrály ía° f(x)dx i ícfc f(x)dx, pak je funkce f(x) integrabilní i na intervalu (a, b) a platí ja f(x)dx = ía° f(x)dx + f(x)dx. Věta : Jsou-li funkce f(x) a g(x) integrovatelné na (a, b) a platí-li pro Vx e (a, b) : f{x) > g{x), pak také platí /* f{x)dx > fa g{x)dx. Věta : Pro funkce f(x) a g(x) integrovatelné na intervalu (a, b) a libovolné konstanty a,/3 je integrovatelná i funkce af(x) + j3g{x) a platí: I"(af(x) + (3g(x))dx = a /* f(x)dx + (3 /* g{x)dx. Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: faf{x)dx = F{b)-F{á), píšeme též /* f(x)dx = [F(x)]* = F(Ď) - F(a). Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: faf{x)dx = F{b)-F{á), píšeme též fa f(x)dx = [F(x)]* = F(Ď) - F(a). Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = x + ~\, a = 1, Ď = 3. Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: faf{x)dx = F{b)-F{á), píšeme též fa f(x)dx = [F(x)]* = F(Ď) - F(a). Příklad : Spočtěte určitý integrál pro ř(x) = x + 1, a = 1, Ď = 3. Řešení: jf(x + 1 )c*r = [x2/2 + x]f = 9/2 + 3 - (1 /2 + 1) = 6. Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: faf{x)dx = F{b)-F{á), píšeme též /* f(x)dx = [F(x)]* = F(Ď) - F(a). Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = x + 1, a = 1, Ď = 3. Řešení: jf(x + 1 )c*r = [x2/2 + x]f = 9/2 + 3 - (1 /2 + 1) = 6. Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = tyx, a — 0, 6=1 Určitý integrál - výpočet Pro funkci f(x) integrovatelnou na (a, b) a libovolné x0 e (a, b) platí: Funkce F (x) :— /* f(t)dt\e spojitá na (a, b) a ve všech bodech spojitosti funkce f (x) platí: F'{x) — f (x) (tedy je-li f (x) spojitá, pak je F (x) její primitivní funkcí). Věta: Newtonova formule: Je-li f(x) spojitá na (a, b) a F(x) je její libovolná primitivní funkce, pak: faf{x)dx = F{b)-F{á), píšeme též /* f(x)dx = [F(x)]* = F(Ď) - F(a). Příklad : Spočtěte určitý integrál pro r(x) = x + 1, a = 1, Ď = 3. Řešení: jf(x + 1 )c*r = [x2/2 + x]f = 9/2 + 3 - (1 /2 + 1) = 6. Příklad : Spočtěte určitý integrál pro f(x) = tyx, a — 0, 6=1 Řešení: JQ1 ^dx = [3x4/3/4]J = 3/4. Určitý integrál - integrační metody Per partes v určitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: JÍ u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba - JÍ u(x)v'(x)dx Určitý integrál - integrační metody Per partes v určitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: fa u'{x)v{x)dx = [u{x)v{x)fa Jab u{x)v'{x)dx Příklad : Ľ xln(x + ^dx. u1 — x v — ln(x + 1) u = x2/2 v' = 1 /(x + 1) [4/n(x+1)]J Je fdx 0 2(x+1)1 l/n2-l[4 0-/c -1+1 dx \\n2 x + /n(x + 1)]0 = Í/n2 1 0 2(x+1) 1 2 |/n2 .1 r1 2 JO l/n2 (*+i) dx Určitý integrál - integrační metody Per partes v určitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: fa u'{x)v{x)dx = [u{x)v{x)fa Jab u{x)v'{x)dx Příklad : Ľ xln(x + ^dx. u1 — x v — ln(x -\ u = x2 j2 v' = 1 /(x - ,dx 0 2(x+1)1 l/n2-l[4 °-/c -1+1 dx \\n2 x + /n(x + 1)]J = \\n2 1 0 2(x+1) 1 2 |/n2 .1 ŕ 2 JO l/n2 Substituce v určitém integrálu Jestliže u — ip(x) má spojitou derivaci na (a, b) a je- pak platí fa f(tp(xW(x)dx = f{u)du. 1) 1) x - 0 : [4/n(x+1)]J (*+i) dx f (u) spojitá na ip{(a, b}), Určitý integrál - integrační metody Per partes v určitém integrálu Jestliže funkce u(x), v(x) mají spojité derivace na (a, b), pak platí: fa u'{x)v{x)dx = [u{x)v{x)fa Jab u{x)v'{x)dx Příklad : Ľ xln(x +1 )c*r = u1 — x v — ln(x + 1) u = x2/2 v' = 1 /(x + 1) [4/n(x+1)]J Je fdx 0 2(x+1)1 l/n2-l[4 Je dx \\n2 - 0 x + /n(x + 1)]0 = \\n2 1 x2-1+1 0 2(x+1) 1_ 2 |/n2 1 f1 2 JO (*+1) dx | - l/n2 - 0 Substituce v určitém integrálu Jestliže u — ip(x) má spojitou derivaci na (a, b) a je-li ř(t/) spojitá na ip((a, b)), pak platí /a° f(íp(xW(x)dx = r(u)cft/. Příklad x+1 1 x2+2x+3 0 1 2x+2 1 2 x2+2x+3 dx u = x2 + 2x + 3 = (2x + 2)dx u(-1) = 2, u(0) = 3 1 f3 1 2 l[/n(t/)]| = l/n|. Nevlastní integrál vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a — — oo nebo b — oo. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a = -oo nebo b — oo. Definice: Definujeme Ja°° f(x)dx = lim^oo fa f(x)dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případě řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme j0^ f(x)dx = lim^-oo jf f(x)dx. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a = -oo nebo b — oo. Definice: Definujeme ía°° f(x)dx = lim^oo fa f(x)dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případě řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme j0^ f(x)dx = lim^-oo jf f(x)dx. Příklad : Jľ° ^dx = limř^oo f2 ^dx = lim^oo [-1]2 = lim^oo -7 + 5 = 0 + l = |. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a = -oo nebo b — oo. Definice: Definujeme Ja°° f(x)dx = lim^oo fa f(x)dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případě řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme j0^ f(x)dx = lim^-oo jf f(x)dx. Příklad : Jľ° ^dx = limř^oo f2 ^dx = lim^oo [-1]2 = lim^oo -7 + 5 = 0 + l = |. Integrál f(x)dx nazveme konvergentním, pokud pro nějaké c e M konvergují oba integrály f(x)dx, Jc°° f(x)dx, potom definujeme C 'M* = /!„ f(x)dx + /» f(x)dx. Nevlastní integrál Nevlastním integrálem vzhledem k intervalu rozumíme určitý integrál, kde platí: a = -oo nebo b — oo. Definice: Definujeme Ja°° f(x)dx = lim^oo fa f(x)dx, pokud tato limita konverguje. V opačném případě řekneme, že integrál diverguje. Analogicky definujeme j0^ f(x)dx = lim^-oo jf f(x)dx. Příklad : Jľ° ^dx = limř^oo f2 ^clx = lim^oo [-1]2 = lim^oo -7 + 5 = 0 + l = |. Integrál f(x)dx nazveme konvergentním, pokud pro nějaké c e M konvergují oba integrály f(x)dx, Jc°° f(x)dx, potom definujeme C 'M* = /!„ ŕ(x)dr + T ŕ(x)dx. Příklad : JZ ^^dx = T^fT-Adx = 2ŕ = x-1 2dt = dx l[arcřg(ř)]° oo + £[arcísf(ŕ)]8° = 5(0 - -r + f - 0) = f Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bodě b , ale je omezená na intervalu (a, t) pro libovolné ŕ e (a, b), pak definujeme ja f(x)dx = limř^fc_ fa f(x)dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkci neomezenou v bodě a definuje Ja f(x)dx = limř^a+ Jtb f(x)dx. Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bodě b , ale je omezená na intervalu (a, t) pro libovolné ŕ e (a, b), pak definujeme ja f(x)dx = limř^fc_ fa f(x)dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkci neomezenou v bodě a definuje Ja f(x)dx = limř^a+ Jtb f(x)dx. Příklad : J01 ^dx = lim^0+ fť -fedx = lim^0+[5x4/5/4]l = lim^o+(5/4 - 5v^F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. ■O Q. O Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bodě b , ale je omezená na intervalu (a, t) pro libovolné ŕ e (a, b), pak definujeme ja f(x)dx = limř^fc_ fa f(x)dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkci neomezenou v bodě a definuje Ja f(x)dx = limř^a+ Jtb f(x)dx. Příklad : J01 ^dx = lim^0+ fť -fedx = lim^0+[5x4/5/4]l = lim^o+(5/4 - 5v^F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. Poznámka : Je-li funkce f (x) je neomezená v bodě c e (a, Ď), pak definujeme ja f(x)dx = f° f(x)dx + jb f(x)dx, pokud oba integrály na pravé straně existují. Nevlastní integrál Nevlastní integrál vzhledem k funkci Jestliže f (x) je neomezená v bodě b , ale je omezená na intervalu (a, t) pro libovolné ŕ e (a, b), pak definujeme ja f(x)dx = limř^fc_ fa f(x)dx, pokud tato limita existuje. Jinak řekneme, že integrál diverguje. Analogicky se pro funkci neomezenou v bodě a definuje Ja f(x)dx = limř^a+ Jtb f(x)dx. Příklad : J01 ^dx = lim^0+ fť -fedx = lim^0+[5x4/5/4]i = lim^o+(5/4 - 5v^F/4) = 5/4 - 0 = 5/4. Poznámka : Je-li funkce f (x) je neomezená v bodě c e (a, Ď), pak definujeme ja f(x)dx = ja f(x)dx + jb f(x)dx, pokud oba integrály na pravé straně existují. Příklad : Spočtěte: J02 -^dx. Špatný postup: J02 -^jdx = [ln\x — 11]§ = /n1 - /n1 =0 Správně: funkce není definována v bodě 1, tedy J02 j^dx = jj ^dx + tf ^dx = limř^1 + [/n|x- 1 % + limř^_[/n|x- 1 |]f = oo — /n1 + /n1 - oo, integrál diverguje.