Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru: Nechť f(x) — anxn + ... + a-\x + ao\e reálný polynom. Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru: Nechť f(x) = anxn + ... + a\x + a0 je reálný polynom. Pak f(x) lze zapsat ve tvaru f(x) = an(x - a)k(x -13)'... (x - 7)m • [(x - a)2 + b2f... [{x - c)2 + d Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru: Nechť f(x) — anxn + ... + a-\x + ao\e reálný polynom. Pak f(x) lze zapsat ve tvaru f{x) = an{x - a)k{x - ... (x - 7)m • [(x - a)2 + iřf... [(x - cf + d2f, kde a e M je k - násobný kořen f(x), j3 e M je / - násobný kořen ř(x), 7 e M je m - násobný kořen f(x), Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru: Nechť f(x) — anxn + ... + a-\x + ao\e reálný polynom. Pak f(x) lze zapsat ve tvaru f{x) = an{x - a)k{x - ... (x - 7)m • [(x - a)2 + iřf... [(x - cf + d2f, kde a e M je k - násobný kořen f(x), j3 e M je / - násobný kořen ř(x), 7 e M je m - násobný kořen f(x), a± ib jsou komplexně sdružené nereálné kořeny násobnosti p, c± /'c/ jsou komplexně sdružené nereálné kořeny násobnosti q. Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5-x4-x+^. Príklad: Rozložte v reálném oboru polynom f (x) = x5 - xA - x + 1. Řešení: Polynom f (x) = x5 - x4 - x + 1 má kořen x = 1, protože ŕ(1) Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5-x4-x+^. Řešení: Polynom f(x) — x5 - x4 - x + 1 má kořen x — 1, protože ř(1) Můžeme zapsat f(x) = x\x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1). Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5-x4-x+^. Řešení: Polynom f(x) — x5 - x4 - x + 1 má kořen x — 1, protože ř(1) — 0. Můžeme zapsat f(x) = x\x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1). Podle vzorce a4 - b4 = (a2 - Ď2)(a2 + Ď2) lze dále rozložit ř(x) = (x - 1 )(x2 - 1 )(x2 + 1) = (x - 1 )(x - 1 )(x + 1 )(x2 + 1). Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5-x4-x+^. Řešení: Polynom f(x) — x5 - x4 - x + 1 má kořen x — 1, protože ř(1) — 0. Můžeme zapsat f(x) = x4(x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1). Podle vzorce a4 - b4 = (a2 - Ď2)(a2 + Ď2) lze dále rozložit ř(x) = (x - 1 )(x2 - 1 )(x2 + 1) = (x - 1 )(x - 1 )(x + 1 )(x2 + 1). Tedy reálný rozklad f(x) je f(x) = (x-1)2(x + 1)(x2 + 1). Racionální lomená funkce Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru f{x) = kde p(x), q(x) jsou polynomy. Racionální lomená funkce Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru f{x) = kde p(x), q(x) jsou polynomy. Je-li stupeň polynomu p(x) menší než stupeň polynomu q(x), nazveme f(x) ryze lomenou funkcí. Racionální lomená funkce Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru f{x) = kde p(x), q(x) jsou polynomy. Je-li stupeň polynomu p(x) menší než stupeň polynomu q(x), nazveme f(x) ryze lomenou funkcí. Poznámka : Pokud není stupeň p(x) menší než stupeň q{x), nazýváme funkci f(x) neryze lomenou a lze ji zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce. Příklad: f(x) = x +2*2+fx 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Příklad: f(x) = *3+2*22+3x-1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = Příklad: f(x) = *3+2*22+3x-1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x Příklad: f(x) = x3+2^22+j3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 --(x3 + x) 3x - 1) : (x2 + 1) Příklad: f(x) = x +2*2+fx 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x -(x3 + x) 2x2 + 2x- 1 Příklad: f(x) = x +2*2+fx 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x + 2 -(x3 + x) 2x2 + 2x - 1 Příklad: f(x) = x +2*2+fx 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x + 2 -(x3 + x) 2x2 + 2x - 1 -(2x2 + 2) Příklad: f(x) = x +2*2+fx~1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x + 2 -(x3 + x) 2x2 + 2x- 1 -(2x2 + 2) 2x 3... zbytek Příklad: f(x) = x +2*2+fx~1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem. Řešení: (x3 + 2x2 + 3x - 1) : (x2 + 1) = x + 2 -(x3 + x) 2x2 + 2x- 1 -(2x2 + 2) 2x 3... zbytek Tedy f(x) = x + 2+ ^f=a. Rozklad na parciální zlomky Nechť R(x) — 0| je ryze lomená reálná racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají stejný kořen. Potom existují reálná čísla A-\,... ,Ak, B-i,..., B/,..., C-i,..., Cm a Mi, JVi,..., Mp, A/p,..., Pí , Qi,..., PQ, Qq tak, že platí Ar . P(x) (x-a)A (x-a)1 B, (x-/3)' (x-7r [(x-a)2 + Ď2]P PqX + Qq [(x - c)2 + d2]* ■ (*-7)1 Mi x + ty [(x-a)2 + Ď2]1 Px+ Oi [{x-c)2 + d2Y kde a, j3, ..., 7, a, b,..., c, d jsou reálná čísla a k, /,..., m, p,..., q jsou přirozená čísla daná rozkladem jmenovatele q(x) = an{x-a)k{x-p)>... (x-7)m-[(x-a)2+Ď2]P... [(x-c)2 + d2]". Konstanty v čitatelích určíme porovnáním výrazů na pravé a levé straně, (jde o tzv metodu neurčitých koeficientů). Rozložte funkci f(x) = x2 (3x+}x(+26+1) na součet parciálních zlomků Rozložte funkci f(x) = x2 (8x 2)X(x2+i) na soucet parciálních zlomků Řešení: podle vzorce - 8x2 +x +6 - A ^ C Dx + E W ~ x2.(x-2).(x2 + 1) ~ x1 + x + x 2 + x2 + 1 ' Rozložte funkci f(x) = x2 (8x 2)X(x2+i) na S0LJčet parciálních zlomků Řešení: podle vzorce - 8x2 +x +6 - A ^ C Dx + E W ~ x2.(x-2).(x2 + 1) ~ x2 + x + x 2 + x2 + 1 ' Upravíme zlomky na pravé straně na společný jmenovatel: A{x - 2)(x2 + 1) + Bx(x - 2)(x2 + 1) + Cx2(x2 + 1) + (Dx + E)x2(x - 2) x2.(x-2).(x2 + 1) Rozložte funkci f(x) = x2 ^-Í){x^) na soucet parciálních zlomků Řešení: podle vzorce - 8x2 +x +6 - A ^ C Dx + E W ~ x2.(x-2).(x2 + 1) ~ x2 + x + x 2 + x2 + 1 ' Upravíme zlomky na pravé straně na společný jmenovatel: A{x - 2)(x2 + 1) + Bx(x - 2)(x2 + 1) + Cx2(x2 + 1) + (Dx + E)x2(x - 2) x2.(x-2).(x2 + 1) Čitatel se musí rovnat čitateli původního zlomku: Rozložte funkci f(x) = x2 ^ Ž^+i) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic Rozložte funkci f(x) = x2 ^ 2)X(x2+i) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D Rozložte funkci f(x) = x2 ^-Í){x^) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D ■ x3 : 0 = A - 2B - 2D + E Rozložte funkci f(x) = x2 ^ 2)X(x2+i) na S0LJčet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D ■ x3 : 0 = A - 2B - 2D + E ■ x2 : 8 = -2/1 + B + C - 2E Rozložte funkci f(x) = x2 ^ 2)X(x2+i) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D ■ x3 : 0 = A - 2B - 2D + E ■ x2 : 8 = -2/1 + B + C - 2E m x1 : 1 = A-2B Rozložte funkci f(x) = x2 ^ Ž^+i) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D ■ x3 : 0 = A - 2B - 2D + E ■ x2 : 8 = -2/1 + B + C - 2E m x1 : 1 = A-2B ■ x° : 6 = -2/1 Rozložte funkci f (x) = x2 ^ 2)X(x2+i) na soucet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ x4:0 = B+ C + D ■ x3 : 0 = A - 2B - 2D + E m x2 : 8 = -2/1 + B + C - 2E m x1 : 1 = A-2B m x° : 6 = -2/1 Spočteme postupně /A = -3, B = -2, D = 0, E = -1, C = 2. Rozložte funkci f(x) = x2 +^+f+1 ^ na součet parciálních zlomků 8x2 + x + 6 = A(x3 - 2x2 + x - 2) + B(x4 - 2x3 + x2 - 2x)+ + C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic ■ X4 0 = B+C + D ■ X3 0 = /A-2B-2DH hE ■ X2 8 = 2A + B+C 2E ■ X1 1 = A-2B ■ x° 6 = 2A Spočteme postupně A — -3, B — -2, D = 0, E = —~\, C = 2. Racionální lomenou funkci f(x) lze tedy zapsat ve tvaru ti x 3 2 2 -1 f(x) = —5" H---1--o + -5-7 ■ v y x2 x x 2 x2 +1 Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů. Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů. 8x2 + x + 6 -dx = x2.(x-2).(x2 + 1) Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů. 8x2 + x + 6 -dx = x2.(x-2).(x2 + 1) -^dx + í —dx+ í -^—rdx+ í „ V dx Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů. ľ 8x* + x + 6 J X2.(X-2).(X2 + 1)°X = / ^dx+1 vdx+/é~2dx+J whdx- = -3(-x~1) - 2/n|x| + 2/n|x - 2| - arctg{x) + c.