Teorie portfolia Kvantifikace očekávaného výnosu a změny výnosu portfolia Téma přednášky •návrat k předchozímu cvičení •historická metoda kvantifikace očekávaného výnosu a rizika daného aktiva •expertní metoda kvantifikace očekávaného výnosu a rizika daného aktiva •očekávaný výnos portfolia •riziko očekávaného výnosu portfolia Návrat k předchozímu cvičení •jak upravit funkci Excelu pro výpočet kovariance v případě výběrového souboru s počtem prvků <=30? •proč v případě výběrového souboru s počtem prvků <=30 kovarianční matice nevycházela správně, ale korelační ano? • Historická metoda •známe-li pravděpodobnostní strukturu, to znamená, že budeme znát s jakou pravděpodobností (p1, p2, …, pn), bude i-tý cenný papír nabývat hodnot r1, r2, …, rn , potom pro střední míru zisku (očekávanou výnosnost) cenného papíru můžeme psát Historická metoda •riziko změny výnosnosti cenného papíru potom bude • • •v praxi však většinou není pravděpodobnostní struktura známa •proto se míra zisku i riziko změny míry zisku odhaduje z minulých pozorovaných hodnot pomocí aritmetického průměru a směrodatné odchylky (resp. výběrové směrodatné odchylky) Historická metoda •za hodnoty ri dosadíme tzv. pozorované hodnoty výnosnosti cenného papíru • • • •vzhledem k tomu, že v ekonomice je obvykle dividendový výnos mnohem menší než výnos kapitálový, budeme dále uvažovat pouze výnos kapitálový • Historická metoda •očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání je tvořen součtem krátkodobých výnosů akcií za tuto dobu trvání •historický přístup patří i přes určitá negativa k základním orientačním způsobům kvantifikace výnosu •je v podstatě jediným způsobem jak kvantifikovat kovariance mezi náhodnými veličinami, které popisují výnos jednotlivých aktiv •tuto metodu jsme dělali na prvním cvičení Expertní metoda •jedná se o odhady expertů tržních cen jednotlivých aktiv v okamžiku realizace portfolia •budeme u každého experta předpokládat, že provede odhad pro všechny cenné papíry, které chceme mít v portfoliu •dále nebudeme uvažovat úročení nebo diskontování toku výnosů, které plynou z tohoto portfolia během jeho držení Expertní metoda •budeme používat následující značení •TCi – tržní cena i-tého aktiva v době vzniku portfolia •Ne – počet expertů •Nij – celkový počet odhadů budoucí tržní ceny cijk a dijk i-tého aktiva, které provedl j-tý expert •pijk - pravděpodobnost, že i-té aktivum dosáhne podle j-tého experta v okamžiku realizace portfolia k-tého výnosu z doby jeho trvání Expertní metoda •na trhu je známá velikost současných tržních cen všech aktiv, které jsou platné v okamžiku vzniku portfolia •vybraní experti odhadnou čísla cijk a dijk a pravděpodobnosti jejich dosažení pro i = 1, 2, 3, …, n; j = 1, 2, …, Ne; k = 1, 2, …, Nij •každý expert odhadne pravděpodobnosti tak, aby platilo Expertní metoda •pravděpodobnost realizace konkrétní hodnoty tržní ceny v době realizace portfolia je dána vztahem • •očekávaná výnosnost i-tého aktiva při realizaci portfolia v případě tržní ceny cijk je • Expertní metoda – příklad •předpokládejme, že jsme dostali od tří nezávislých expertů informace o odhadu velikosti tržních cen i-té akcie v okamžiku realizace portfolia spolu s pravděpodobnostmi, že bude dosažena jimi odhadnutá cena •dále pro jednoduchost a přehlednost budeme uvažovat, že dividendy z tohoto cenného papíru budou rovny nule •dále předpokládejme, že současná hodnota i-té akcie bude 100 Kč Expertní metoda – příklad 90 -0,1 5 0 0 5 5/3 100 0 80 20 0 100 100/3 110 0,1 5 30 50 85 85/3 130 0,3 0 40 20 60 60/3 160 0,6 10 10 20 40 40/3 180 0,8 0 0 10 10 10/3 Expertní metoda – příklad •v posledním sloupci je pravděpodobnostní rozložení pro hodnoty v druhém sloupci •spočítáme charakteristiky aktiva (očekávanou výnosnost a riziko) a výsledkem je očekávaná výnosnost 19,33% s rizikem 23,01% (výpočet v Excelu) Očekávaný výnos portfolia •mějme portfolio složené z n akcií •i-tá akcie má v portfoliu váhu (podíl) Xi a očekávanou výnosnost •každá akcie přispěje k očekávané výnosnosti portfolia svým „dílem“, můžeme tedy psát Riziko očekávaného výnosu portfolia •mějme 2 aktiva – A a B •předpokládejme 3 možné situace na trhu – dobrou (D), průměrnou (P) a špatnou (Š) •A má následující výnosnosti pro uvedené situace – D – 16%, P – 10%, Š – 4% •B má následující výnosnosti pro uvedené situace – D – 1%, P – 10%, Š – 19% •sestavíme portfolio – 60% A a 40% B Riziko očekávaného výnosu portfolia Stav trhu Aktivum A Aktivum B Portfolio – 60% A + 40% B Dobrý (D) 1,16 1,01 0,6*1,16+0,4*1,01 = 1,1 Průměrný (P) 1,10 1,10 0,6*1,10+0,4*1,10 = 1,1 Špatný (Š) 1,04 1,19 0,6*1,04+0,4*1,19 = 1,1 Riziko očekávaného výnosu portfolia •pro výpočet rizika očekávané výnosnosti portfolia použijeme rozptyl (resp. směrodatnou odchylku) •vyjdeme ze vzorce pro výpočet rozptylu • •po úpravě a zobecnění dostáváme směrodatnou odchylku Riziko očekávaného výnosu portfolia •pokud jsou cenné papíry v portfoliu nezávislé, potom se riziko portfolia blíží 0 s rostoucím počtem cenných papírů v portfoliu •vzorec pro rozptyl portfolia můžeme přepsat na • • •pokud předpokládáme stejné váhy pro všechny cenné papíry v portfoliu, vzorec upravíme na Riziko očekávaného výnosu portfolia •oba výrazy jsou průměry – druhý představuje průměrnou kovarianci – počet kovariancí je n*(n-1) •příspěvek k riziku portfolia rizik jednotlivých cenných papírů se s jejich počtem blíží k nule •příspěvek k riziku portfolia, který přináší kovariance, se s rostoucím počtem blíží k „průměrné kovarianci“ •individuální riziko jednotlivých cenných papírů může být zcela odstraněno