Teorie portfolia Více-indexové modely a APT (model arbitrážního oceňování) Téma přednášky •více-indexové modely •charakteristika APT •APT a CAPM Více-indexové modely •jedno-indexový (jedno-faktorový) model předpokládal, že ceny (výnosnosti) akcií se pohybují pouze v závislosti na pohybu trhu (tržního portfolia, indexu) •existují další přístupy, které se snaží vysvětlit a odhadnout korelační strukturu výnosností cenných papírů •jedním z takovýchto přístupů jsou více-indexové (více-faktorové) modely Více-indexové modely •snaží se zachytit některé netržní vlivy způsobující pohyb akcií •hledání netržních vlivů je hledání sady ekonomických faktorů nebo strukturálních skupin (průmyslových odvětví), které jsou považovány za faktory, které ovlivňují pohyb cen cenných papírů (mimo trhu samotného) Více-indexové modely •v roce 1966 prokázal Benjamine King, že existuje vliv průmyslu na ceny akcií •byly navrhnuty dva různé modely, které se snaží vysvětlit tento vliv •první je nazýván více-indexový model •druhý je nazýván model průmyslového indexu Více-indexové modely •více-faktorové modely mohou být charakterizovány následující rovnicí • • představuje skutečnou hodnotu konkrétního faktoru, je mírou závislosti cenného papíru na daném faktoru Více-indexové modely •stejně jako v jedno-faktorovém modelu i ve více-faktorovém modelu je složka výnosnosti cenného papíru, která nezávisí na faktorech, rozložena na dvě části – na skutečnou hodnotu a náhodnou chybu •náhodná chyba má nulovou střední hodnotu a rozptyl • Více-indexové modely •tento model může být použit přímo •matematicky by bylo výhodnější, aby faktory byly nekorelované (ortogonální) •tento požadavek není nutno vyžadovat, protože je možno každé korelované faktory převést na faktory nekorelované •je vhodné mít i požadavek na nekorelovanost mezi náhodnou chybou a jednotlivými faktory •na náhodnou chybu platí obdobné požadavky jako v jedno-indexovém modelu Více-indexové modely •parametry takovéhoto modelu mohou být odhadnuty pomocí regresní analýzy •výsledkem potom bude rovnice • • •kde a je odhad parametru , b jsou odhady parametru Více-indexové modely •očekávaná výnosnost • • •rozptyl • • •kovariance mezi cennými papíry i a j Charakteristika APT •APT je založen na zákonu jedné ceny (tj. dva stejné statky nemohou být prodávány při odlišných cenách) •APT předpokládá, že výnosnost cenných papírů je dána „procesem generujícím výnosnost“ •to znamená, že výnosnost každé akcie je v lineárním vztahu k množině faktorů (charakterizovaných faktorovým indexem) Charakteristika APT •můžeme tedy psát • •kde je očekávaná výše výnosnosti akcie i, pokud všechny faktory (indexy faktorů) jsou rovny 0 • je hodnota j-tého faktoru (indexu) ovlivňujícího výnosnost i-té akcie Charakteristika APT • je citlivost výnosnosti i-té akcie na j-tý faktor (index) • je náhodná chyba s nulovou střední hodnotou a rozptylem •dále předpokládáme, že náhodné chyby i-té a j-té akcie i náhodná chyba i-té akcie a j-tý faktor jsou nekorelovány •dále je vhodné mít nekorelované faktory (dá se řešit i s korelovanými – musí dojít k převodu na nekorelované) Charakteristika APT •toto byly charakteristiky více-indexového (více-faktorového) modelu •APT je popis očekávané výnosnosti za předpokladu, že výnosnosti akcií jsou dány (generovány) jedno- nebo více-indexovým modelem •APT je rovnovážným modelem Charakteristika APT •odvodíme APT za předpokladu, že výnosnosti akcií jsou generovány pomocí dvou faktorů, tj. za předpokladu dvou-faktorového (-indexového) modelu •pro i-tou akcii tedy platí Charakteristika APT •pokud investor drží dobře diverzifikované portfolio (tj. má v portfoliu dostatečný počet cenných papírů), nesystematické riziko se blíží k nule a význam má pouze systematické riziko •v předchozí rovnici nás tedy zajímají pouze hodnoty „b“ Charakteristika APT •protože předpokládáme, že investora zajímá očekávaná výnosnost a riziko, může se zaměřit pouze na tři hodnoty: •budeme-li mít tři dobře diverzifikovaná portfolia, pak nám tyto určují rovinu, na které leží všechna portfolia, která jsou konstruována z těchto tří portfolií, za předpokladu, že součet vah jednotlivých portfolií, ze kterých konstruujeme nové portfolio, je roven jedné Charakteristika APT •pokud by nějaké portfolio neleželo v dané rovině, existovala by možnost arbitráže •arbitráž v podstatě znamená, že je možno bez rizika získat výnos •arbitráže by probíhaly do té doby, než by se portfolio původně neležící v dané rovině svými parametry přizpůsobilo parametrům dané roviny Charakteristika APT •díky předpokladu APT (zákon jedné ceny => neexistence arbitráže) není nutné najít všechna riziková aktiva nebo tržní portfolio, abychom mohli testovat APT •APT je vhodné využít pro hledání modelu chování těch akcií, o které se investor zajímá (nikoliv všech dostupných akcií) APT a CAPM •dá se ukázat, že APT je ve shodě s CAPM •nejjednodušeji se dá toto ukázat, pokud předpokládáme, že výnosnosti jsou generovány jedno-faktorovým modelem (kde oním jediným faktorem je tržní portfolio, tj. ) a existuje bezriziková investice •potom se dá ukázat, že platí (CAPM) APT a CAPM •platnost můžeme prokázat i v případě, že by se jednalo o více-faktorový model • •rovnovážný model APT pro takovýto proces generující výnosnosti a bezrizikovou investici je • •kde je nadměrná výnosnost portfolia s pro jeden faktor a pro ostatní faktory APT a CAPM •tedy rovnovážná výnosnost je dána modelem CAPM jako • • •pokud dosadíme do původní rovnice, obdržíme • •a po úpravě APT a CAPM •vrátíme-li se k modelu CAPM ( ), vidíme, že • • • se nazývá faktorové beta • jsou citlivosti cenného papíru na j-tý faktor APT a CAPM •výnosnost • •riziko (rozptyl) • •kovariance •