I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = y>(ŕ).
n      s
^) C\ (^
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = y>(ř). Vypočítáme dx = f'{t)dt.
□         ö
•f)<\(y
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = y>(ř).
Vypočítáme dx = f'{t)dt.
Do daného integrálu dosadíme za ip(t) a f'{t)dt a dostaneme |ŕ(x)cŕx.
□               rS1
^) c\ (^
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = y>(ř).
Vypočítáme dx = f'{t)dt.
Do daného integrálu dosadíme za ip(t) a f'{t)dt a dostaneme |ŕ(x)cŕx.
Vypočítáme F(x) = / f{x)dx.
□               rS1
^) c\ (^
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = y>(ř).
Vypočítáme dx = f'{t)dt.
Do daného integrálu dosadíme za ip(t) a f'{t)dt a dostaneme |ŕ(x)cŕx.
Vypočítáme F(x) = / f{x)dx.
Určíme interval /, na kterém platí F'(ip(t)) = f{f{t))ip'{t).
□               rS1
•f)<\(y
I. výpočet integrálu substitucí: hledáme/%>(ŕ)M0<#-
Zvolíme substituci x = ip{t).
Vypočítáme dx = f'{t)dt.
Do daného integrálu dosadíme za ip(t) a f'{t)dt a dostaneme ff(x)dx.
Vypočítáme F(x) = / f(x)dx.
Určíme interval /, na kterém platí F'(ip(t)) = f{f{t))ip'{t).
Hledaný integrál je / f{y{t))y'{()dt = F(^(ř)) + c, tel.
□               rS1
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
□        ö
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
Řešení:
sin{2x)dx
sin{2x).2dx
□           i5            -            =
•f)<\(y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
Řešení:
sin{2x)dx = - j sin{2x).2dx ■■
substituce     u = 2x du = 2dx
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
Řešení:
sin{2x)dx = - j sin{2x).2dx ■■
substituce     u = 2x du = 2dx
1
sin(u)du
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
Řešení:
sin{2x)dx = - j sin{2x).2dx ■■
substituce     u = 2x du = 2dx
1   r                    1
- / sin{u)du = -{-cos{u)) + c
□         ö          -          =
•f) <\ (y
Příklad: Vypočítejte / sin(2x)dx.
Řešení:
sin{2x)dx = - j sin{2x).2dx ■■
sin(u)du
substituce     u = 2x du = 2dx
-(-cos(u)) + c= -(-cos(2x)) + c, x e
□         ö          -          =
•f) <\ (y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
□        ö
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
Řešení:
33x+1
dx
33x+1
3dx
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
Řešení:
33x+1
dx
33x+1
3dx
substituce   u = 3x + 1 du = 3dx
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
Řešení:
33x+1
dx
33x+1
3dx
substituce   u = 3x + 1 du = 3dx
1
ď.du
□           i5            -            =
•f)<\(y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
Řešení:
33x+1
dx
33x+1
3dx
substituce   u = 3x + 1 du = 3dx
1 3
□           i5            -            =
•f)<\(y
Příklad: Vypočítejte / e3x+1c/x.
Řešení:
33x+1
dx
33x+1
3dx
substituce   u = 3x + 1 du = 3dx
- / eu.du = -eu + c= -e3x+1 + c, x e
o ,/                     o                    o
□             ťgl              -              =
*} c\ Q.
Příklad: Vypočítejte / ^p
□        ö
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / ^p
Řešení:
-dx
2x
-dx
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte / ^p
Řešení:
-dx
2x
-dx
substituce   u = x2 + 1 du = 2xdx
□         g          -          =
■ť} C\ Q.
Příklad: Vypočítejte / ^p
Řešení:
-dx
2x
-dx
substituce   u = x2 + 1 du = 2xdx
-du
□         ö          -          =
•f) <\ (y
Příklad: Vypočítejte / ^p
Řešení:
-dx
2x
-dx
substituce   u = x2 + 1 du = 2xdx
1
-du
-ln\u\
□         ö          -          =
•f) <\ (y
Příklad: Vypočítejte / ^p
Řešení:
-dx
2x
-dx
substituce   u = x2 + 1 du = 2xdx
-du--
-ln\u\
-ln\x2
C,  X G
□           l5            -            =
•f) <\ (y
Poznámka : Pro funkci y(ř), která je nenulová na intervalu / a má zde derivaci ?'{() platí: / ^dt = ln\y{t)\ + c, tel: p(t) # 0.
Poznámka : Pro funkci y(ř), která je nenulová na intervalu / a má zde derivaci ?'{() platí: / ,£^dt = ln\y{t)\ + c, tel: p(t) # 0.
Důkaz:
Poznámka : Pro funkci y(ř), která je nenulová na intervalu / a má zde derivaci ?'{() platí: / ,£^dt = ln\y{t)\ + c, tel: p(t) # 0.
Důkaz:
Ověřte sami.
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substituci x = ip(t) tak, aby na J existovala ^~1 (x
□         g          -          =         =       -O^KO-
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substituci x = ip(t) tak, aby na J existovala f   {x).
Vypočítáme dx = f'{t)dt a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ip(t) a místo dx výraz f'{t)dt.
□               rS1
•f) <\ (y
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substituci x = ip(t) tak, aby na J existovala f   {x).
Vypočítáme dx = f'{t)dt a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ip(t) a místo dx výraz f'{t)dt.
Určíme G(ŕ) = J f{<p{t))<p>{t)dt.
□               rS1
•f) <\ (y
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substituci x = ip(t) tak, aby na J existovala f   {x).
Vypočítáme dx = f'{t)dt a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ip(t) a místo dx výraz f'{t)dt.
Určíme G(ŕ) = J f{<p{t))<p>{t)dt.
Dosadíme do G(ŕ) místo ŕ výraz ^~1 (x) a dostaneme
F{x) = G{v-\x)).
□               rS1
•f) <\ (y
II. výpočet integrálu substitucí: hledáme J f(x)dx na intervalu J.
Zvolíme substituci x = ip(t) tak, aby na J existovala f   {x).
Vypočítáme dx = f'{t)dt a do daného integrálu dosadíme místo x výraz ip(t) a místo dx výraz f'{t)dt.
Určíme G(ŕ) = J f{<p{t))<p>{t)dt.
Dosadíme do G(ŕ) místo ŕ výraz ^~1 (x) a dostaneme
F{x) = G{v-\x)).
Zkontrolujeme, zda na intervalu J platí F'(x) = f (x).
□               rS1
•f) <\ (y
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
□      g      -      =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
y/\ - x2dx:
□      g       -       =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
í \J\ - x2dx -.
substituce      x = sin(t)      t e (-n/2,n/2) dx = cos(t)dt
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
í \J\ - x2dx -.
substituce      x = sin(t)      t e (-n/2,n/2) dx = cos(t)dt
= í ^1 - sin2{t)cos{t)dt = í cos2{t)dt =
□         g          -          =         =      'Oc<0'
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
í \J\ - x2dx -.
substituce      x = sin(t)      t e (-n/2,n/2) dx = cos(t)dt
= í ^1 - sin2{t)cos{t)dt = í cos2{t)dt =
□           gi            -            =           =      'Oc<0'
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
í \J\ - x2dx -.
substituce      x = sin(t)      t e {-n/2, n/2) dx = cos(t)dt
1 - sin2(t)cos(t)dt = / cos2(t)dt
cos(2ŕ) + 1 M     sin{2t)     t                 .   H H.
—~Y----dt=—±-!- + - + c, x g (-1,1).
Nyní je nutné vrátit se k původní proměnné x. Pro ř e {-k/2, -k/2) vyjádříme ř = arcsin(x) a protože
sin{2t) = 2sin{t)cos{t) = 2sin{t)Jl - sin2{t)
□               rS1                -                =
^) c\ (y
Příklad: Vypočítejte
Řešení:
í \J\ - x2dx -.
substituce      x = sin(t)      t e {--k/2,-k/2) dx = cos(t)dt
1 - sin2(t)cos(t)dt = I cos2(t)dt ■■ t
cos(2ř) + 1     _ sin(2t)
c, x e
1,1
2                      4          2
Nyní je nutné vrátit se k původní proměnné x. Pro ř e {-k/2, -k/2) vyjádříme ř = arcsin(x) a protože
sin{2t) = 2sin{t)cos{t) = 2s/n(ř)y 1 - sin2{t),
c.
dostaneme výsledek x^\ *
arcsin(x) 2
□             gi              -              =
*} C\ Q.
Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru:
Nechť f{x) = anxn
a\x + a0 je reálný polynom.
□               rS1                -                =
^) c\ (y
Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru:
Nechť f{x) = anxn
a\x + a0 je reálný polynom.
Pak f(x) lze zapsat ve tvaru
f(x) = an(x - a)k(x -ß)1... (x - 7)m • [(x - a)2 + tř]p... [(x - cf + ď]q,
□             rji              -              =             -^'O'^O'
Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru:
Nechť f{x) = anxn
a\x + a0 je reálný polynom.
Pak f(x) lze zapsat ve tvaru
f(x) = an(x - a)k(x -ß)1... (x - 7)m • [(x - a)2 + tř]p... [(x - cf + ď]q,
kde
a e R je k - násobný kořen f (x),
ß e R je / - násobný kořen f (x),
7 g R je m - násobný kořen f (x),
□             gi              -              =             ^-r)Q,0
Opakování - rozklad polynomu v reálném oboru:
Nechť f{x) = anxn
a\x + a0 je reálný polynom.
Pak f(x) lze zapsat ve tvaru
f(x) = an(x - a)k(x -ß)1... (x - 7)m • [(x - a)2 + tř]p... [(x - cf + ď]q,
kde
a e R je k - násobný kořen f (x),
ß e R je / - násobný kořen f (x),
7 g R je m - násobný kořen f (x),
a± ib jsou komplexně sdružené nereálné kořeny násobnosti p,
c ± id jsou komplexně sdružené nereálné kořeny násobnosti q.
□             gi              -              =             ^-r)Q,0
Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5 - x4 - x + 1.
□        ö
^) c\ (y
Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5 - x4 - x + 1.
Řešení:
Polynom f(x) = xb - x4 - x + 1 má kořen x = 1, protože ř(1) = 0.
□              gi                -                =               ^■ť^Q.O
Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5 - x4 - x + 1.
Řešení:
Polynom f{x) = x5 - x4 - x + 1 má kořen x = 1, protože ř(1) = 0.
Můžeme zapsat
f{x) = x\x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1 ).
□           rji            -            =           =        •*)<\0'
Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5 - x4 - x + 1.
Řešení:
Polynom f{x) = x5 - x4 - x + 1 má kořen x = 1, protože ř(1) = 0.
Můžeme zapsat
f{x) = x\x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1 ). Podle vzorce a4 - b4 = (a2 - b2)(a2 + b2) lze dále rozložit ř(x) = (x-1)(x2-1)(x2 + 1) = (x-1)(x-1)(x+1)(x2 + 1).
□             rji              -              =             -^'O'^O'
Příklad: Rozložte v reálném oboru polynom f(x) = x5 - x4 - x + 1.
Řešení:
Polynom f{x) = xb - x4 - x + 1 má kořen x = 1, protože ř(1) = 0.
Můžeme zapsat
f(x)
x4(x - 1) - (x - 1) = (x - 1 )(x4 - 1;
Podle vzorce a4 - b4 = (a2 - b2)(a2 + b2) lze dále rozložit
ř(x) = (x-1)(x2-1)(x2 + 1) = (x-1)(x-1)(x+1)(x2 + r Tedy reálný rozklad f(x) je
ř(x) = (x-1)2(x+1)(x2 + 1).
□               rS1                -                =
•f)<\(y
Racionální lomená funkce
Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru
f(x)
Pix)
qix)
kde p(x), q(x) jsou polynomy.
□               rS1
^) c\ (y
Racionální lomená funkce
Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru f{x) = ^|, kde p(x), q(x) jsou polynomy.
Je-li stupeň polynomu p(x) menší než stupeň polynomu q(x) nazveme f(x) ryze lomenou funkcí.
□             gi              -              =             ^^)Q,0
Racionální lomená funkce
Definice : Racionální lomenou funkcí nazýváme funkci tvaru
f(x)
Pix)
qix)
kde p(x), q(x) jsou polynomy.
Je-li stupeň polynomu p(x) menší než stupeň polynomu q(x), nazveme f(x) ryze lomenou funkcí.
Poznámka : Pokud není stupeň p(x) menší než stupeň q{x), nazýváme funkci f(x) neryze lomenou a lze ji zapsat jako součet polynomu a ryze lomené funkce.
□         g
■ť} C\ Q.
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
□        ö
•f) <\ (y
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
f x3 + 2x2 + 3x - 1) :    f x2 + ľ
□           g            -            =           -^'O'^O'
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
f x3 + 2x2 + 3x - 1) :    f x2 + 1) =    x
□             ť?              -              =             -^'O'^O'
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
□           g            -            =           -^'O'^O'
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
2x2 + 2x - 1
□           g            -            =
^) c\ (y
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
2x2 + 2x - 1
□           g            -            =
^) c\ (y
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
2x2 + 2x - 1 -(2x2 + 2)
□         g          -          =
•f)<\(y
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
2x2 + 2x - 1
-(2x2 + 2)
2x - 3... zbytek
□           i5            -            =
^) c\ (y
Příklad: f (x) = x3+2*ľ+3x 1 je neryze lomená racionální funkce. Vydělte polynomy se zbytkem.
Řešení:
2x2 + 3x - 1:
x + 2
2x2 + 2x - 1
-(2x2 + 2)
2x - 3... zbytek
Tedyr(x) = x + 2 + f^f
□           i5            -            =
^) c\ (y
Rozklad na parciální zlomky
Nechť R(x) = £@ je ryze lomená reálná racionální funkce, jejíž
čitatel a jmenovatel nemají stejný kořen.
Potom existují reálná čísla A],...,Ak, Si,..., S/,..., Ci,.
M1, A/1,..., Mp, Np,..., Pí, Qi,..., Pq, Qq tak, že platí
At       .        ,      A      ,
fl(x)
(X - a)fc
(x-a)1
B,
Si
(x - /?)'
(x-/3)i
(x-7r
MpX + A/p "[(x-a)2 + Ď2]P
PqX + Qq [(X - C)2 + Cr2]<?
'      (x-7)1
Aíi x + A/1 [(x-a)2 + b2]1
P1X+Q1
[(x-c)2 + cí2]1'
Gm  3
^) c\ (^
kde a, ß, ..., 7, a, b,..., c, d jsou reálná čísla a
k, I,..., m, p,..., q jsou přirozená čísla daná rozkladem
jmenovatele
q(x) = a„(x-a)k(x-ß)'... (x-7)m-[(x-a)2 + b2f... [{x-cf + d2}«.
Konstanty v čitatelích určíme porovnáním výrazů na pravé a levé straně, (jde o tzv. metodu neurčitých koeficientu).
<□►    < rji ►    < -= ►    4 -= ►        ■=       ^c\£v
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
□        ö
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
Řešení: podle vzorce
8x2 + x + 6
f{x)
A
x2.ŕx-2).ŕx2 + ť
B x
Dx+E
□             rS1              -              '
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
Řešení: podle vzorce
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
f(x)
8x2
A
x2.(x-2).(x2
r
B        C x + x-2
Dx+E
Upravíme zlomky na pravé straně na společný jmenovatel:
A(x - 2)(x2 + 1) + ßx(x - 2)(x2 + 1) + Cx2(x2 + 1) + (Dx + E)x2(x - 2
x2.fx-2).fx2 + 1)
□               rS1                -                =
•f) <\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
Řešení: podle vzorce
...            8x2 + x + 6
f{x)
A      B
Dx+E
x2.ŕx-2).ŕx2 + ť
x     x-2      x2 +1
Upravíme zlomky na pravé straně na společný jmenovatel:
A{x - 2)(x2 + 1) + ßx(x - 2)(x2 + 1) + Cx2(x2 + 1) + (Dx + E)x2(x - 2
x2.(x-2).(x2 + 1)
Čitatel se musí rovnat čitateli původního zlomku:
□               rS1                -                =
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A(x3 - 2x2 + C(x4 + x
2) + ß(x4 - 2x3
D(x4-2x3) + E(x3-2x2).
2x)+
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
□         g
■ť} C\ Q.
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A{x-
3 - 2x2 ^
4   i    v2\
2x3 + x2
„3
2x)+
x - 2) + ß(x4 -C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
□               rS1
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A{x
-2x2^
•4   i    v2\
2x3 + x2
^3
2x)+
x - 2) + ß(x4 -C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
m x3 : 0 = A-2B-2D+E
□               rS1
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A(x3 - 2x2
+ C(x4 +
2) + ß(x4 - 2x3
D(x4-2x3) + E(x3-2x2).
2x)+
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
m x3 : 0 = A-2B-2D+E
8
-2A+B+C-2E
□       o        -        '
•f)<\(y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A(x3 - 2x2 + C(x4 + x
2) + ß(x4 - 2x3
D(x4-2x3) + E(x3-2x2).
2x)+
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
m x3 : 0 = A-2B-2D+E
8
-2A + B -A-2B
C-2E
□             rS1              -              '
^) c\ (y
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A(x3 - 2x2
2) + ß(x4 - 2x3
-C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2).
2x)+
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
m x3 : 0 = A-2B-2D+E
■  x2 :8= -2A+B+C-2E
■  x1 : 1 =A-2B 6= -2A
^o
□             rS1              -              '
^) c\ (^
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A(x3 - 2x2
2) + ß(x4 - 2x3
-C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2).
2x)+
Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
mx4:0 = B+C+D
m x3 : 0 = A-2B-2D+E
■  x2 :8= -2A+B+C-2E
■  x1 : 1 =A-2B
■  x° : 6 = -2A
Spočteme postupně A = -3, B = -2, D = 0, E = -1, C = 2.
□               rS1
^) c\ £V
Rozložte funkci f(x) parciálních zlomků
8x2+x+6 x2.(x-2).(x2+1)
na součet
8x2
A{x-
3 - 2x2 ^
•4   i    v2\
2x)+
x - 2) + ß(x4 - 2x3 +. -C(x4 + x2) + D(x4 - 2x3) + E(x3 - 2x2). Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x dostaneme soustavu rovnic
0=B+C+D
0 = A-2B-2D+E 8 = -2A+ B+C-2E
1  =/\-2ß 6 = -2A
Spočteme postupně A = -3, B = -2, D = 0, E = -1, C = 2. Racionální lomenou funkci f (x) lze tedy zapsat ve tvaru
,i ^     "3     -2        2             -1
ř(x) = —=- + — +------ + -~—-■
y '     x2       x      x - 2     x2 + 1
□               rS1
^) C\ Q»
Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu
Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu na parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů.
□               rS1
^) c\ (y
Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu
Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu na parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů.
8x2
-dx
□               rS1
^) c\ (y
Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu
Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu na parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů.
8x2 + x + 6 x2.(x-2).(x2 +
-dx
-dx
-dx
x-2
dx
-dx
□               rS1                -                =
^) c\ (y
Příklad: Integrujte funkci z předchozího příkladu
Řešení: Při integraci racionální lomené funkce využijeme rozkladu na parciální zlomky, dostaneme tak součet několika jednodušších integrálů.
8x2 + x + 6 x2.(x-2).(x2 +
-dx
-dx
-dx
x-2
dx
-dx
-3(-x~1) - 2ln\x\ + 2ln\x - 2| - arctg(x) + c.
□               rS1                -                =
^) c\ (y