Řešené príklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'01 Řešené príklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát Řešené príklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(x0) + Grf(x0;x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xq). □ s - ■ -e -o^o Řešené příklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + df(xQ\x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xo). V našem případě zvolíme f(x) = 2x, xo = 1 a x — xq = 0, 003. Řešené príklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(x0) + Grf(x0;x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xo). V našem případě zvolíme f(x) = 2x, xo = 1 a x — xq = 0, 003. Potom je f(xo) = f (ľ) = 2 a f'(x) = 2x ■ In2. □ s - ■ -e -o^o Řešené příklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + df(xQ\x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xo). V našem případě zvolíme f(x) = 2x, xo = 1 a x — xq = 0, 003. Potom je f(xo) = f(l) = 2 a f'(x) = 2x ■ In2. Tedy P(xq) = f'(l) = 2 ■ In2. Řešené příklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + df(xQ\x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xo). V našem případě zvolíme f(x) = 2x, xo = 1 a x — xq = 0, 003. Potom je f(xo) = f(l) = 2 a f'(x) = 2x ■ In2. Tedy P(xq) = f'(l) = 2 ■ In2. Protože /n2=0,69315, dostaneme 21>003=2 + 2 ■ \n2 ■O,003=2,004. Řešené příklady z diferenciálního poctu Diferenciál Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 21'003. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + df(xQ\x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x -xo). V našem případě zvolíme f(x) = 2x, xo = 1 a x — xq = 0, 003. Potom je f(xo) = f(l) = 2 a f'(x) = 2x ■ In2. Tedy P(xq) = f'(l) = 2 ■ In2. Protože /n2=0,69315, dostaneme 21>003=2 + 2 ■ \n2 ■O,003=2,004. Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V8Ô □ s - ■ -e -o^o Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V80. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + Gřf(x0;x -x0) = f(x0) + /"'(xo) • (x - x0). Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V8Ô. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát f(x)=f(xo) + df(xQ\x -xq) = f(xo) + f'(xo) • (* — *0). V našem případě zvolíme f(x) = \fx, xq = 81 a x — xq = —1. Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V8Ô. Řešení: Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f(x) v bodě x přibližně psát ŕ(x)=ŕ(x0) + df(xQ\x -x0) = f(xo) + f'(xo) • (* -x0). V našem případě zvolíme f(x) = \fx, xo = 81 a x — xq = —1. Potom je f(x0) = f(81) = 9 a f'(x) = ^. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V80. Řešení: () v bodě x přibližně psát f(x)=f(x0) + df(xQ\x —xo) = f(xo) + f'(xo) ■ (x — x0). V našem případě zvolíme f(x) = \fx, xo = 81 a x — xo = —1. Potom je í(xo) = f(81) = 9 a f'(x) = ^. Tedy f(xo) = f'(81) = ^. * Příklad: Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu V8Ô. Řešení: () v bodě x přibližně psát f(x)==f(xo) + df(xQ;x -xq) = f(xo) + f'(xo) ■ (x — x0). V našem případě zvolíme f(x) = \fx, xo = 81 a x — xo = —1. Potom je f(x0) = f (81) = 9 a f'(x) = ^. Tedy f'(xo) = f'(81) = ^. * Takže VŠÔ=9 + ^ ■ (—1)=8,9445. □ s - ■ -e -o^o Rovnice tecny a normály Príklad: Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce f {x) = \ln\v bodě T = [1;?]. □ s - ■ -e -o^o Rovnice tecny a normály Príklad: Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce f {x) = \ln\v bodě T = [1;?]. Řešení: Rovnice tečny ke grafu funkce y = f (x) v bodě x0 y-yo = f'(xo smx x—Q cosx Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Řešení: Funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4 má spojité derivace všech řádů na celé množině R. Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Řešení: Funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4 má spojité derivace všech řádů na celé množině R. Její derivace je y' = Zx2 — 12x + 9. □ s - ■ -e -o^o Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Řešení: Funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4 má spojité derivace všech řádů na celé množině R. Její derivace je y' = 3x2 — 12x + 9. == Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Řešení: Funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4 má spojité derivace všech řádů na celé množině R. Její derivace je y' = 3x2 — 12x + 9. == '' = — = = y(l) = 0. Lokální extrémy Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4. Řešení: Funkce y = x3 — 6x2 + 9x — 4 má spojité derivace všech řádů na celé množině R. Její derivace je y' = 3x2 — 12x + 9. == '' = — = = y(l) = 0. = bodě má funkce lokální lokální minimum y(3) = —4. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = y^č/nx. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = y/xlnx. Řešení: Definiční obor dané funkce je interval (0; +00). Na tomto intervalu má daná funkce spojité derivace všech řádů. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = y/xlnx. Řešení: Definiční obor dané funkce je interval (0; +00). Na tomto intervalu má daná funkce spojité derivace všech řádů. Její první derivace y' = (2 + /nx) je rovna nule v bodě x = e~ Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = y/xlnx. Řešení: Definiční obor dané funkce je interval (0; +00). Na tomto intervalu má daná funkce spojité derivace všech řádů. Její první derivace y' = (2 + /nx) je rovna nule v bodě x = e~ Protože na intervalu (0; e~2) je derivace záporná, je na tomto intervalu funkce klesající. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = y/xlnx. Řešení: Definiční obor dané funkce je interval (0; +00). Na tomto intervalu má daná funkce spojité derivace všech řádů. Její první derivace y' = (2 + /nx) je rovna nule v bodě x = e~ Protože na intervalu (0; e"2) je derivace záporná, je na tomto intervalu funkce klesající. Naopak na intervalu (e~2; +0) je první derivace kladná, funkce tedy je na tomto intervalu rostoucí. Proto má funkce v bodě x = e~2 lokální minimu m y = —e-1. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = arctgx — \\ n(l + x2). Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = arctgx — \\ n(l + x2). Řešení: Definiční obor dané funkce je celá množina R a funkce má na této množině spojité derivace všech řádů. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = arctgx — \\ n(l + x2). Řešení: Definiční obor dané funkce je celá množina R a funkce má na této množině spojité derivace všech řádů. Její první derivace y' = je rovna nule v bodě x = 1. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce y = arctgx — \\ n(l + x2). Řešení: Definiční obor dané funkce je celá množina R a funkce má na této množině spojité derivace všech řádů. Její první derivace y' = je rovna nule v bodě x = 1. Protože pro x < 1 je první derivace kladná a pro x > 1 záporná, má funkce v bodě x = 1 lokání maximum, y(l) = j — ^. Inflexní body Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní =— Inflexní body Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní =— ' = — '' = — □ s - ■ -e -o^o Inflexní body Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexn =— ' = — '' = — Druhá derivace je kladná na intervalu (—00; 1) a záporná na intervalu (1; +00). Inflexní body Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce y = 3x2 — x3. Řešení: První dvě derivace funkce y jsou y' = 6x — 3x2 a '' = — Druhá derivace je kladná na intervalu (—00; 1) a záporná na intervalu (1; +00). Proto je na intervalu (—00; 1) konvexní a na intervalu (1; +00) = Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce y = Vl + x2. Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce y = Vl + x2. Řešení: Definiční obor funkce je celá množina R. Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce y = Vl + x2. Řešení: Definiční obor funkce je celá množina R. První dvě derivace jsou y'(x) = a y"(x) = * /2. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte intervaly konvexnosti, konkávnosti a inflexní body funkce y = Vl + x2. Řešení: Definiční obor funkce je celá množina R. První dvě derivace jsou y'(x) = a y"(x) = (1+j*)3/2. R R Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3+2x*-2x, Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (—to; — 1) U (—1; 1) U (1; +oo). Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (—to; —1) U (—1; 1) U (1; +oo). Protože limx^i + 2x3+^-2x = +oo, je přímka x = \ () Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3+x2 -2x x2-l Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (-00; —) U (-1; 1) U (1; +00). Protože limx^i + 2x3+^-2x = +00, je přímka x = \ () Protože limx^—_2x3+2x*-2x = +00, je přímka x = -1 () Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3+^~2x ■ Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (-to; -1) U (-1; 1) U (1; +oo). Protože limx^i + 2x3+2x*~2x = +oo, je přímka x = \ asymptotou bez směrnice ke grafu funkce f(x). Protože //mx^_i_2x~2x = +oo, je přímka x = — 1 asymptotou bez směrnice ke grafu funkce f(x). V obou bodech x = ±oo platí „ ,. f(x) ,. 2x3 + x2 — 2x n A = limx^±0C- = //mx^±oo-p-z--- = 2. x x(xz — 1) Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (—00; —1) U (—1; 1) U (1; +00). Protože limx^i + 2x3+^~2x = +00, je přímka x = 1 () Protože limx->-i_2xx~2x = +00, je přímka x = — () V obou bodech x = ±0 platí r(x) 2x3 + x2 — 2x /\ = //mx^±oo-= //rtJx-±oo——r\— x x(x2 — 1) Dále je B = limx^±cc(f(x) — 2x) = limx^±oo x2 X2 Asymptoty funkce Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = 2x3+2xl-2x. Řešení: Definiční obor dané funkce je D(f) = (-00; —) U (-1; 1) U (1; +00). Protože limx—1 + 2x3+^-2x = +00, je přímka x = \ () Protože limx—-1 _2x3+2x*-2x = +00, je přímka x = -1 () V obou bodech x = ±00 platí ( ) + - A = limx-±00-= limx-±00-———— = 2. x x(xz - 1) Dále je x2 B = //mx-±00(f(x) - 2x) = /;/77x-±oo 2 _ 1 = 1. Tedy přímka y = Ax + B = 2x + 1 je asymptota se směrnicí ( ) = ±0 Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. Řešení: Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. Řešení: Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. V bodech x = ±oo je A = limx^t±00^(p- = 3. Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. R V bodech x = ±00 je A = limx^t±00^(p- = 3. Protože n B = limx_>+oo(f(x) — 3x) = limx^+ooarctgx = -, Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. R V bodech x = ±00 je A = limx^±00f-l£) = 3. Protože n B = //mx^+oo(/"(x) — 3x) = lirrix^+ooarctgx = -, je přímka y = 3x + ^ asymptota ke grafu funkce f(x) v bodě x = +00. Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. R V bodech x = ±00 je A = limx^t±00^(p- = 3. Protože n B = limx_>+oo(f(x) — 3x) = limx^+ooarctgx = -, je přímka y = 3x + ^ asymptota ke grafu funkce f(x) v bodě = +0 Protože —n B = limx_>-oo(f(x) — 3 x) = Hmx^-ooarctgx = —, Příklad: Najděte všechny asymptoty funkce f(x) = arctgx + 3x. R V bodech x = ±00 je A = limx^±00f-l£) = 3. Protože n B = limx_>+00(f(x) — 3x) = limx^+00arctgx = -, je přímka y = 3x + ^ asymptota ke grafu funkce f(x) v bodě x = +00. Protože —n B = lirrix^-oo^^) — 3 x) = limx^-^^gx = —, je přímka y = 3x — ^ asymptota ke grafu funkce f(x) v bodě Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f{x) = (x + l)(x — 2)2. Průběh funkce ( ) = ( + )( - Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou lirrix^+oof(x) = +00 a //'m^-oof(x) = -00. Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x + l)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou lim^+^f(x) = +oo a limx^-00f(x) = —o.Protože //mx^±00^ = +oo, nemá graf funkce žádné asymptoty. Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x + l)(x -2)2. R Limity v krajních bodech definičního oboru jsou lirrix^+^f(x) = +00 a limx->-o0f(x) = -00.Protože limx^±of-^^- = +00, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = -la x = 2. Funkce je větší než nula (- ; +0 ) (-0 ; - ) ( ) = □ s - ■ -e -0^0 Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f{x) = (x + l)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou limx^+ocf(x) = +00 a //m^-ocí(x) = —to.Protože Hrrix-tioo^- = +00, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = —la x = 2. Funkce je větší než nula na intervalu (—1;+00) a menší než nula na intervalu (—00; —1). f(0) = 4. Žádné další speciální vlastnosti této funkce nejsou na první pohled vidět. Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f{x) = (x + l)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou limx^+ocf(x) = +to a limx->-o0f(x) = —to.Protože limx^±of-^^- = +to, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = —la x = 2. Funkce je větší než nula na intervalu (—1;+to) a menší než nula na intervalu (—to; —1). /"(O) = 4. Žádné další speciální vlastnosti této funkce nejsou na první pohled vidět.Spočítáme první derivaci í'(x) = (x — 2 )2 + 2(x + l)(x — 2 ) = Zx(x — 2). Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x + l)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou limx^+ocf(x) = +00 a //m^-ocí(x) = —to.Protože limx^±of-^^- = +00, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = — la x = 2. Funkce je větší než nula na intervalu (—1; +00) a menší než nula na intervalu (—00; —1). /"(O) = 4. Žádné další speciální vlastnosti této funkce nejsou na první pohled vidět.Spočítáme první derivaci í'(x) = (x — 2 )2 + 2(x + l)(x — 2) = 3x(x — 2). f'(x) = 0 pro x = 0 a x = 2. f'(x) > 0 pro x e (—00; 0) a x e (2; 00); na těchto intervalech je funkce f(x) rostoucí. Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x + l)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou limx^+ocf(x) = +00 a //m^-ocí(x) = —to.Protože limx^±of-^^- = +00, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = —la x = 2. Funkce je větší než nula na intervalu (—1; +00) a menší než nula na intervalu (—00; —1). /"(O) = 4. Žádné další speciální vlastnosti této funkce nejsou na první pohled vidět.Spočítáme první derivaci V(x) = (x — 2 )2 + 2(x + l)(x — 2 ) = 3x(x — 2). f'(x) = 0 pro x = 0 a x = 2. f'(x) > 0 pro x e (—00; 0) a x e (2; co); na těchto intervalech je funkce f(x) rostoucí. f'(x) < 0 pro x e (0; 2); na tomto intervalu je funkce f(x) klesající. Průběh funkce Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (x + 1)(x — 2)2. Řešení: Definiční obor této funkce je celá množina R. Limity v krajních bodech definičního oboru jsou limx^+ocf(x) = +oo a limx^_ocf(x) = —o.Protože limx^±^f-^^- = +oo, nemá graf funkce žádné asymptoty. Funkce f(x) = 0 pro x = —la x = 2. Funkce je větší než nula na intervalu (—1;+oo) a menší než nula na intervalu (—oo; —1). f(0) = 4. Žádné další speciální vlastnosti této funkce nejsou na první pohled vidět.Spočítáme první derivaci f'(x) = (x — 2)2 + 2(x + 1)(x — 2) = 3x(x — 2). f'(x) = o pro x = 0 a x = 2. f'(x) > 0 pro x G (—oo; 0) a x G (2; oo); na těchto intervalech je funkce f(x) rostoucí. f'(x) < 0 pro x G (0; 2); na tomto intervalu je funkce f(x) klesající.V bodě x = 0 je lokální maximum f(0) = 4 a v bodě x = 2 je lokální minimum f(2) = 0. Druhá derivace je f"(x) = 6x — 6, f"(x) ^ox^ f"(x) > O pro x G (1; +00); v tomto intervalu je funkce f(x) konvexní. Druhá derivace je f" (x) = 6x — 6, f"(x) = O pro x = 1. f"(x) > 0 pro x G (1; +00); v tomto intervalu je funkce f (x) konvexn\.f"(x) < 0 pro x G (—00; ľ); v = funkce. Druhá derivace je f"{x) = 6x - 6, f"{x) = O pro x = 1. f"{x) > 0 pro x G (1; +00); v tomto intervalu je funkce f (x) konvexn\.f"(x) < 0 pro x G (-00; 1); v = funkce.Znázorněme si ještě graf funkce. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 +x2)e x . Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . ( ) R kladná. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . Řešení: Definiční obor funkce /"(x) je celá množina R. Funkce je kladná. Platí limx^±00f(x) = 0, a tedy přímka y = 0 je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ± 00. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . ( ) R kladná. Platí Hmx->±00f (x) = O, a tedy přímka y = O je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ±00. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu ( ; +0 ). □ s - ■ -e -0^0 Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . ( ) R kladná. Platí limx^±00f(x) = O, a tedy přímka y = O je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ±00. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu ( ; +0 ). Její derivace je f'(x) = —2x3 e"*2. ( ; +0 ). intervalu klesá. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . Řešení: Definiční obor funkce /"(x) je celá množina R. Funkce je kladná. Platí limx^±00f(x) = 0, a tedy přímka y = 0 je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ± o. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu (0;+oo). Její derivace je f'(x) = —2x3 e~x2. Ta je na intervalu (0; +oo). záporná, a tedy funkce na tomto intervalu klesá. Na intervalu (—oo; 0) je první derivace funkce f(x) kladná. Tedy funkce na tomto intervalu roste. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . Řešení: Definiční obor funkce /"(x) je celá množina R. Funkce je kladná. Platí limx^±00f(x) = 0, a tedy přímka y = 0 je asymptota ke grafu funkce /"(x) v bodech x = x ± oo. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu (0;+oo). Její derivace je f'(x) = —2x3 e-*2. ( ; +o ). intervalu klesá. Na intervalu (—oo; 0) je první derivace funkce f(x) = lokální maximum vyšetřované funkce, f(0) = 1. Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . Řešení: Definiční obor funkce /"(x) je celá množina R. Funkce je kladná. Platí limx^±o0f(x) = 0, a tedy přímka y = 0 je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ± o. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu (0;+oo). Její derivace je f'(x) = -2x3 e-2. ( ; +0 ). (-0 ; ) ( ) = lokální maximum vyšetřované funkce, f(0) = 1. Druhá derivace funkce je f"(x) = 2x2(2x2 -3) • e-2■ □ s - ■ -e -o^o Příklad: Vyšetřete průběh funkce f(x) = (1 + x2)e x . Řešení: Definiční obor funkce /"(x) je celá množina R. Funkce je kladná. Platí Hmx->±00f (x) = 0, a tedy přímka y = 0 je asymptota ke grafu funkce f(x) v bodech x = x ±0. Protože je daná funkce sudá, stačí ji vyšetřovat na intervalu (0;+0o). Její derivace je f'(x) = ^ e-2. ( ; +0 ). (-0 ; ) ( ) = lokální maximum vyšetřované funkce, f(0) = 1. Druhá derivace funkce je f"(x) = 2x2(2x2 ^) • e-2■ Ta je kladná na intervalech (-0; -y^f) z (\J\; +0). Na těchto intervalech je tedy funkce f(x) konvexní. □ g - ■ □ s - ■ -e -o^o Na intervalech (—y §;0) a (0; y §) je druhá derivace záporná. Tedy funkce /"(x) je konkávní na intervalu (—y §; y §)• Na intervalech (—y §! 0) a (0; y §) je druhá derivace záporná. Tedy funkce /"(x) je konkávní na intervalu (—\J\; \J\).&oáy ± jsou inflexní body dané funkce. Bod x = 0 není jejím inflexním bodem. Na intervalech (—y §;0) a (0; y §) je druhá derivace záporná. Tedy funkce /"(x) je konkávni na intervalu (—\J\; \J\).&oáy ± = bodem.Znázorněme si ještě graf funkce. / 0,8- / 0,6- / 0,4- / 0,2- n i.........0. Obrázek: Průběh funkce y = fix). Neurčitý integrál - přímá integrace Příklad: Najděte neurčitý integrál J x+ Neurčitý integrál - přímá integrace Příklad: Najděte neurčitý integrál J x+ Řešení: Protože ^# = x1/2 +x-1 /2, r Příklad: Najděte neurčitý integrál J x+dx. Řešení: Protože x+ = x1/2 + x-1 /2Je J ^dx = J (x1/2 +x-11* )dx =2-x 3/2+2x 1/2+c-x G (0;+oo). □ s - ■ -e -o^o Neurčitý integrál - přímá integrace Příklad: Najděte neurčitý integrál J "+dx. Řešení: Protože x+ = x1/2 + x-1 /2Je J ^dx = J (x1/2 +x-1 /2 )dx =2-x 3/2+2x1/2+c;x G (0;+oo). Príklad: Najděte neurčitý integrál J -J+dx. □ s - ■ -e -o^o r Příklad: Najděte neurčitý integrál J !£+dx. Řešení: Protože = x1/2 + x-1 /2Je J ^dx = J {x1/2 +x- /2 )dx =2-x3/2+2x1/2+c;x G (0;+0o). Príklad: Najděte neurčitý integrál J -Jr+dx. Řešení: Protože platí = 1 — ^r+-, □ s - ■ -e -o^o Neurčitý integrál - přímá integrace Příklad: Najděte neurčitý integrál J *+dx. Řešení: Protože x+ = x1/2 + x-1 /2Je J ^dx = J (x 1/2 +x-1 /2 )dx =2-x3/2+2x1/2+c;x G (0;+oo). Príklad: Najděte neurčitý integrál J -J+dx. Řešení: Protože platí = 1 — je ľ x2 , ľ ľ 1 „ -dx= dx — —-dx = x — arctgx + c; x G R. x2 + l J J x2 + l □ s - ■ -e -0^0 . . Řešení: Jelikož platí tg2x =*^ = ^ = — 1, je f & coszx coszx coszx ' J □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte neurčitý integrál J tg2xdx. Řešení: Jelikož platí tg2x =*^ = 1^ = — 1, je f e> coszx coszx coszx ' J / tg xdx = -dx— dx = tgx—x+c; x = —-— n; k G Z. ./ ./ coszx I 2 □ s - ■ -e -o^o Neurčitý integrál - metoda per partes Příklad: Najděte neurčitý integrál f Inxdx. Neurčitý integrál - metoda per partes Příklad: Najděte neurčitý integrál f Inxdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro volbu u' = 1, v = /nx. Dopočítám e u = x, v' = - a dostaneme Neurčitý integrál - metoda per partes Příklad: Najděte neurčitý integrál f Inxdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro volbu u' = 1, v = /nx. Dopočítám e u = x, v' = ^ a dostaneme Inxdx = xlnx — I -dx r Príklad: Najděte neurčitý integrál f Inxdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro volbu u' = 1, v = Inx. Dopočítám e u = x, v' = \ a dostaneme Inxdx = xlnx - I -dx xlnX-Jdx = xlnX-X +C = X(ln,, - 1) + C: * > -. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte neurčitý integrál Jx2e 2xdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro v = x2, u' = e_2x, tedy v' = 2x, u = e_2x/ — 2: Příklad: Najděte neurčitý integrál Jx2e 2xdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro v = x2 v' = 2x, u = e~2x/ -2: . Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro v = x2, u' = e v' = 2x, u = e~2x/ -2: J x2e~2xdx = -y e"2x + J xe-^dx, znovu použijeme per partes pro v = x, u' = e-2x, tedy ' = , = - / - Příklad: Najděte neurčitý integrál Jx2e 2xdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro v = x2, u' = e-v' = 2x, u = e~2x/ — 2: J x2e~2xdx = — ye'2* + J xe-2xdx, znovu použijeme per partes pro v = x, u' = e-2x, tedy ' = , = - / — jx2e-2xdx = — ye-2x — X-e-2x + e-2xdx Příklad: Najděte neurčitý integrál Jx2e 2xdx. Řešení: Integrál najdeme integrací per partes pro v = x2, u' = e" v' = 2x, u = e~2x/ -2: x2 f x2e~2xdx = -—e-2x + / xe-2xdx, znovu použijeme per partes pro v = x, u' = e-2x, tedy ' = , = - / - ~2„-2xj„ X2 „-2x X -2x i 1 f -2x j„ xe dx = — — e — — e +x/e o* 2 2 2 ye^ — ^e-2x — ^e-2x + c;x G R. -. -. Řešení: Integrály tohoto typu lze najít dvojí integrací per partes. Pomocí získáme vztah / e-2xsin3xdx = -^e-2xsin3x + ^ / e-2xcosZxdx = J 2 2 J Příklad: Najděte integrál j e 2xs/"n3xc/x. Řešení: Integrály tohoto typu lze najít dvojí integrací per partes. Pomocí r získáme vztah / e~2xsin3xdx = —^e-2xs/n3x + ^ / e-2xcosZxdx = J 2 2 J = — ^ e-2xs/n3x — -e-2xcos3x — - / e-2xs/n3xc/x. 2 4 4 -. Řešení: Integrály tohoto typu lze najít dvojí integrací per partes. Pomocí n získáme vztah / e-2xsin3xdx = —^e-2xsin3x + ^ / e-2xcosZxdx = J 2 2 J = — ^ e-2xs/n3x — -e-2xcos3x — - / e-2xs/n3xc/x. 2 4 4 7 To je rovnice, ze které lze vypočítat hledaný integrál. Snadno z ní dostaneme 9 ľ 1 3 + e-2xsin3xdx = —-e-2xs/"n3x — e-2xcos3x, v AJ J 2 4 Příklad: Najděte integrál j e 2xs/"n3xc/x. Řešení: Integrály tohoto typu lze najít dvojí integrací per partes. Pomocí n získáme vztah / e-2xsin3xdx = -^e-2xs/n3x + ^ / e-2xcosZxdx = J 2 2 J = - ^ e-2xsinZx - -e-2xcos3x - - / e-2xs/n3xc/x. 2 4 4 7 To je rovnice, ze které lze vypočítat hledaný integrál. Snadno z ní dostaneme 9 ľ 1 3 + e-2xsin3xdx = --e-2xs/"n3x — e-2xcos3x, v 4y7 2 4 tedy J e-2xsin3xdx = - ^yy-(2s/n3x + 3cos3x) + C; x G R. r Příklad: Najděte neurčitý integrál J 2?*x2. Neurčitý integrál - substituční metoda Příklad: Najděte neurčitý integrál J 2+*x2. Řešení: Substitucí x = yJ\, pro kterou je dx = \l\dy, dostaneme Neurčitý integrál - substituční metoda Příklad: Najděte neurčitý integrál J 2+*x2. Řešení: Substitucí x = y^J\, pro kterou je dx = \J\dy, dostaneme dx 1 f dy 2 + 3x2 y/ěj 1 + y2 Neurčitý integrál - substituční metoda 2+3x2 ■ Príklad: Najděte neurčitý integrál J Řešení: Substitucí x = y\J\, pro kterou je dx = \J\dy, dostaneme dx 1 f dy 2 + 3x2 y/ěj 1 + y2 arCtg(Y) + C =atCtgflx + C;x g R. y/t VŠ □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte neurčitý integrál J j+^dx. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte neurčitý integrál J j+^dx. Řešení: Protože platí j+- = x — 1 + j+-, Příklad: Najděte neurčitý integrál J j+^dx. Řešení: Protože platí j+ = x — 1 + j+ je dx + Příklad: Najděte neurčitý integrál J j+^dx. Řešení: Protože platí j+ = x — 1 + j+ je JíT-*d* = J(* — 1)tfe + /TT^ = T — " + 1 jednoduchou substitucí y = 1 + x; dy = dx dostaneme ľ x2 x2 f 1 x2 Jľr;dx=2 —x + J ydy = ~2 —x + M + Příklad: Najděte neurčitý integrál J j+^dx. Řešení: Protože platí j+ = x — 1 + j+: je / it^ = /(x — 1)dx+J rb^ = f —x+1 ihdx' jednoduchou substitucí y = 1 + x; dy = dx dostaneme f x2 x2 f 1 x2 J ľ+i;dx = -2 —X + Jydy = -2 —X + M +C = x2 y — * + /nI1 + xI + c; x = —. □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte integrál J eX+e_ □ s - ■ -e -o^o Příklad: Najděte integrál J gX+*_ Příklad: Najděte integrál J gX+xe_x. Řešení: Protože gX+g_x = ^f+f, dostaneme po substituci = Příklad: Najděte integrál J gX+e_x. Řešení: Protože gX+_x = e2x+, dostaneme po substituci ex = y, = f dx f exdx f dy ex + e- / ^T+T = S W+l = arct^+C = *rctg(e*)+C