FINANČNÍ ČASOVÉ ŘADY Až dosud popisované modely časových řad byly svou podstatou převážně lineární, popř. je bylo možno linearizovat jednoduchou (obvykle logaritmickou) transformací. Mnoho vztahů ve financích je však vnitřně nelineárních (příkladem buď závislost opční prémie na příslušných vstupech, vybalancování velikosti výnosu a rizika apod.). Podstatu finančních časových řad proto v řadě situací lépe vystihnou nelineární modely. Lineární modely časových řad totiž nejsou zpravidla schopny zohlednit některé typické vlastnosti finančních časových řad, jimiž jsou zejména: · Leptokurtické rozdělení: míry zisku finančních aktiv mívají rozdělení, která jsou více špičatá kolem střední hodnoty/modu, přičemž na koncích je jejich hustota větší a v ramenech menší než u normálního rozdělení se stejnou střední hodnotou a rozptylem (lze u nich rozpoznat „užší pas a těžší konce) s větší špičatostí než u normálního rozdělení. Význačnou charakteristikou bývá zde kladný koeficient špičatosti. Jako příklad typické podoby leptokurtického rozdělení by mohlo sloužit t-rozdělení o malém počtu stupňů volnosti. · Shlukování volatility [volatility clustering, v. bunching, v. pooling, v. busting]; Jedná se o tendenci volatility finančních trhů objevovat se ve shlucích vysokých a nízkých volatilit, tj. velké resp. malé výkyvy v míře zisku lze očekávat spíše po větších resp. menších předchozích výkyvech (někdy se zde mluví o “ výbuších” [bursts] ) · Pákový efekt [leverage effect]: tento jev rovněž souvisí jako v předchozím případě s kolísáním volatility v čase, s kterým se lineární modely nejsou schopny uspokojivě vypořádat. Konkrétně se jedná o tendenci volatility zvětšit se více po cenovém poklesu, než po cenovém nárůstu souměřitelné velikosti. KLASIFIKACE NELINEÁRNÍCH MODELU časových řad Pokud se omezíme na ryze stochastické [purely stochastic] modely časových řad (tj. bez deterministických trendů a periodicit), pak za obecný zápis nelineárního modelu časové řady lze považovat (6.1) , kde f je nelineární funkce nekorelovaných, stejně rozdělených náhodných veličin s nulovou střední hodnou označovaných podle kontextu jako předpovědní chyby nebo odchylky od podmíněné střední hodnoty nebo šoky či inovace apod. Speciálním případem může být již zmíněný lineární proces (6.2) , k jehož existenci a stacionaritě např. stačí předpokládat . (jinou možností je dosažení téhož předpokladem ) ). V obecném případě zápisu (6.1) však není nelineární proces přímo aplikovatelný, protože může obsahovat nekonečný počet parametrů. Proto se v literatuře dává přednost specifičtějšímu tvaru zapsanému pomocí podmíněných momentů prvních dvou řádů. Např. už stacionární AR(1)-proces s nepodmíněnou nulovou střední hodnotou lze zapsat pomocí podmíněné střední hodnoty jako (6.3) Obecně lze v čase t podmiňovat veškerou informací známou do času t-1 včetně. Pro názornost si můžeme představit, že tuto minulou informaci generují všechny minulé hodnoty a a vhodné funkce těchto hodnot (obecně se takový prostor označuje v topologické symbolice jako generovaná uvedenou množinou hodnot.) Vzhledem k obvyklému omezení se na první dva momenty se pracuje s podmíněnou střední hodnotou a podmíněných rozptylem ve tvaru (nelineárních) funkcí informace , (6.4A) (6.4B) kde a jsou vhodné funkce, přičemž . I když má časový index odlišovat např. podmíněnou střední hodnotu od nepodmíněné, korektnější než použité zjednodušené značení by bylo např. a ) (Jedná se vlastně o jednokrokové předpovědi střední hodnoty a rozptylu daného procesu). Protože platí (6.5) (což mj. odůvodňuje pojmenování předpovědní chybou), platí navíc pro rozptyl (6.6) a mluví se obecně o volatilitě uvažované řady v čase t. Náhodné veličiny se pak vedle názvů uvedených výše označují jako odchylky míry zisku od (podmíněné) střední hodnoty [mean-corrected returns]. Odpovídající obecný zápis nelineárního procesu, který je ve financích využíván nejčastěji, je pak (6.7) , kde jsou i.i.d. náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem. Zřejmě přitom je (6.8) , přičemž náhodné veličiny jsou sice nekorelované, ale (na rozdíl od ) již nejsou obecně vzájemně nezávislé. Uvažovaný nelineární model je tedy určen dvěma rovnicemi (6.4A,B). První je tzv. rovnice střední hodnoty [mean equation] a druhá je rovnice volatility [volatility equation]. Podle typu těchto rovnic se nelineární procesy klasifikují takto: - Procesy nelineární ve střední hodnotě [nonlinear in mean] (mají nelineární funkci ) - Procesy nelineární v rozptylu [nonlinear in variance]: mají časově invariantní (proměnlivou a většinou nelineární) funkci (tj. není v čase konstantní) a velmi často se označují jako procesy s podmíněnou heteroskedasticitou [conditional heteroskedasticity]. Obě kategorie se vzájemně kombinují a dále člení na velké množství specifických procesů (viz dále). Lineární modely Boxovy-Jenkinsovy metodologie zavedené dříve jsou speciálním případem (6.7) pro případ, kdy je je lineární funkce a kdy je konstantní funkce. MODELOVÁNÍ VOLATILITY Modelování a předpovídání volatility je v centru zájmu mnoha finančních analýz zaměřených jak teoreticky, tak prakticky. To není nijak překvapivé, protože volatilita uvažovaná jako směrodatná odchylka různých ukazatelů výnosnosti či ztrátovosti je dnes základní mírou rizikovosti finančních aktiv. Důkazem je budiž. bankovní metodika kapitálové přiměřenosti založená na hodnotě v riziku VaR včetně komerčních softwarových produktů typu Riskmetrics. Zde uvedeme ty metody, pomocí nichž se dnes volatilita nejčastěji odhaduje a předpovídá. Přestože volatilita není přímo pozorovatelná, má určité charakteristiky, které jsou obvyklé, když se právě sleduje výnosnost nejrůznějších finančních aktiv. (Některé z nich byly již zmíněny): - Shlukování volatility: volatilita může být v některých obdobích s vysoká a v jiných nízká. - Pákový efekt: volatilita reaguje odlišně na cenový vzestup a na cenový pokles.. - Kontinuita: Volatilita se vyvíjí spíše spojitě bez nějakých výrazných skoků. - Omezenost: Volatilita nesměřuje k extrémně vysokým (neomezeným) hodnotám, ale její průběh bývá spíše stacionární v určitém rozmezí. HISTORICKÁ VOLATILITA a MODELY EWMA Jde o historicky nejstarší přístup k volatilitě, která se odhadovala většinou jako výběrový rozptyl nebo výběrová směrodatná odchylka přes určité historické období (proto historická volatilita), tj. v nejjednodušším případě jako (6.11A,B) , kde definujeme pro vhodně zvolenou délku odhadního období k. Zároveň se hodnoty definované jako (6.11A,B) běžně používaly jako předpovědní v čase t pro krátké předpovědní horizonty. I když se přístup pomocí historické volatility v počátcích používal např. pro předpověď volatility podkladového aktiva při výpočtu opční prémie podle Blackovy-Scholesovy formule, jeho dnešní význam se omezuje na stanovení srovnávacích hodnot [benchmarks] pro posouzení efektivnosti komplexnějších modelů volatility. Pragmatickým rozšířením předchozího přístupu jsou modely EWMA. Nejpoužívanější EWMA-model volatility [exponentially weighted moving averages] představuje analogii jednoduchého exponenciálního vyrovnávání pro volatilitu. Na rozdíl od výpočtu historické volatility se zde při průměrování váží tím způsobem, že váhy klesají geometricky do minulosti. To má ve srovnání s historickou volatilitou řadu praktických předností: - V praxi bývá volatilita skutečně více ovlivněna aktuálními pozorováními, které jsou v EWMA-modelu zvýrazněny většími vahami, než pozorováními vzatými z hlubší minulosti, které mají v EWMA-modelu nižší váhy. - V EWMA-modelu se samovolně redukuje problém odlehlého pozorování s abnormálními velikostí. (Naproti tomu v takovém případě při výpočtu historické volatility s krátkým odhadním obdobím může dojít ve skoku ve vypočtené volatilitě, jakmile odlehlé pozorování vypadne z odhadního období, zatímco při dlouhém odhadním období může vliv odlehlého pozorování přetrvávat v nezměněné intenzitě delší dobu, i když se finanční trh již dávno uklidnil). V přímé analogii s modelem jednoduchého exponenciálního vyrovnání, kde jsme definovali a se volatilita při přístupu EWMA odhaduje jako (6.12) , kde odhadnutá volatilita je zároveň předpovědí (nepříliš vzdálené) budoucí volatility z času t. je průměrná úroveň dané řady a je předem zvolená diskontní konstanta. V případě, že se počítá volatilita pro časovou řadu finančních výnosů (logaritmických měr zisku, log returns) , pracuje se často s nulovým průměrným výnosem (zvlášť, když se jedná o vyšší frekvenci měřených hodnot, jako jsou např. denní výnosy), takže (6.12) přechází do tvaru: (6.13) Ve finanční praxi (viz např. text RiskMetrics [1996] ) se na základě rozsáhlé zkušenosti s odhadem volatility doporučuje rutinně konstanta lambda ve výši 0,94. Konstanta je tedy blíže k 1, než konstanta jednoduchého exponenciálního vyrovnávání. Typickými rysy, které vykazují finanční časové řady, jsou mj.: - Shlukování volatility (viz volatilní shluky v časové řadě denních logaritmovaných měr zisku přibližně na rozhraní první a druhé třetiny a v poslední čtvrtině řady). - Leptokurtické rozdělení (rozpoznáme z histogramu: v časové řadě byl koeficient standardizované špičatosti 5,22 – 3 = 2,22) a hodnota Jarque-Berova testu normality 53,787 ( p-hodnota zanedbatelná). Pomocí rekurentního vzorce EWMA-modelu (6.13) s nulovou počáteční hodnotou byla odhadnuta odpovídající volatilita a její průběh zakreslen na obr.11.2.3. str.383 . EWMA-odhad volatility potvrzuje předchozí z náhledu vyvozený závěr: výskyt zvýšené volatility přibližně na rozhraní první a druhé třetiny a v poslední čtvrtině řady. IMPLIKOVANÁ VOLATILITA Ve finanční ekonometrii se využívají některé vztahy, nichž mezi vysvětlujícími faktory figuruje právě volatilita. Nejznámější z nich je Black-Scholesova formule, která vyjadřuje analyticky cenu opce (tj. opční prémii) jako funkci celkem pěti faktorů - spotová cena podkladového aktiva - realizační cena opce - doba do splatnosti opce - volatilita ceny podkladového aktiva - bezriziková úroková míra Např. pro cenu evropské opce call je definován vztah (6.14) , kde hodnoty , jsou definovány jako (6.15A) (6.15B) , přičemž je distribuční funkce rozdělení . Jestliže pozorujeme cenu obchodované (kótované) opce při daných hodnotách vysvětlujících faktorů (kromě volatility), pak jsme schopni pomocí vhodné numerické procedury právě tuto volatilitu vypočítat jako tzv. implikovanou volatilitu; přesněji řečeno, jedná se pak o předpověď volatility ceny podkladového aktiva v čase t s předpovědním horizontem rovným době do splatnosti opce . Implikovaná volatilita je však odvozena za předpokladu, které nemusí být v praxi splněny (např. logaritmicko-normální rozdělení ceny podkladové aktiva) a proto se může značně lišit od skutečné volatility. Praxe ukazuje, že implikovaní volatilita měr zisku různých finančních aktiv bývá vyšší než volatilita odvozená např. pomocí modelů typu GARCH. AUTOREGRESNÍ MODELY VOLATILITY Autoregresní modely volatility byly původně zavedeny jako přímá aplikace Boxovy-Jenkinsovy metodologie pro vyšetřování volatility – fluktuace, kolísavosti - časových řad. V rámci nelineárních modelů finančních modelů je ale lze zařadit mezi tzv. stochastické modely volatility (viz dále). Ve finančnictví se často používají pro: - časové řady denních logaritmických měr zisku . Vzhledem k průměrně nulové úrovni takových řad se za vstup do autoregresního modelu volatility (6.23) obvykle bere přímo řada čtvercových logaritmických měr zisku (squared log returns) . (6.21) - časové řady denních cen finančních aktiv . Zde se často jako vstup do autoregresního modelu volatility (6.23) používá řada zlogaritmovaných poměrů nejvyšší a nejnižší ceny uvažovaného aktiva během každého obchodního dne (tj. volatilita je měřena pomocí denního cenového rozpětí) (6.22) Pro volatility v obou případech (6.21) a (6.22) se nakonec odhadne autoregresní model AR(s) tvaru (6.23) , pomocí něhož se pak případně volatilita též předpovídá. je klasický bílý šum s obvyklými vlastnostmi. Základní reprezentace modelů volatility Základními charakteristikami náhodných veličin stochastického procesu jsou nepodmíněná a podmíněná střední hodnota a nepodmíněný a podmíněný rozptyl. Vezměme AR(1) proces ve tvaru (6.81) , kde a je proces bílého šumu s nulovou střední hodnotou a rozptylem , Proces (6.81) lze vyjádřit jako nekonečnou posloupnost (6.82) . Je patrné, že nepodmíněná střední hodnota veličiny je nulová, tj. . Podmíněnou střední hodnotou je střední hodnota veličiny za předpokladu, že náhodné veličiny v časech t-1,t-2,…,t-j nabyly konkrétních hodnot. Podmíněná střední hodnota závisí na volbě podmínky, a je tedy její funkcí. Tato funkce se označuje jako funkce regresní. V případě procesu AR(1) je podmínkou určitá hodnota náhodné veličiny v čase t-1. , tj. podmíněná střední hodnota veličiny je proměnlivá v čase. Ze vztahu (6.81) vyplývá, že nepodmíněný rozptyl veličiny je (6.83) , což je veličina v čase neměnná. Podmíněný rozptyl se někdy označuje jako funkce skedastická. Její průběh charakterizuje proměnlivost rozptylu veličiny v závislosti na hodnotách veličin Z definičního vztahu AR(1)-procesu (6.81) lze vyvodit, že (6.84) , tzn., že podmíněný rozptyl procesu je také v čase neměnný. V tomto případě se podmíněný rozptyl označuje jako funkce homoskedastická, při měnlivém podmíněném rozptylu by šlo o funkci heteroskedastickou. Uvedené vlastnosti jsou charakteristické pro všechny stacionární a invertibilní modely, tj. pro modely typu AR, MA a ARMA. Proces náhodné procházky (6.86) , kde je proces bílého šumu s nulovou střední hodnotou a rozptylem , lze také vyjádřit ve tvaru , takže Nepodmíněná střední hodnota , kde je počáteční deterministická podmínka, tzn. , že je konstantní v čase. Podmíněná střední hodnota je zřejmě naopak závislá na čase. Nepodmíněný rozptyl je lineární funkcí časové proměnné. Podmíněný rozptyl je stejně jako v případě stacionárních procesů funkcí homoskedastickou. Z uvedeného je názorně patrný problém lineárních modelů při modelování finančních a některých ekonomických časových řad, podmíněné rozptyly obou uvedených modelů jsou v čase neměnné. V realitě je však situace často jiná, podmíněné rozptyly jsou v čase proměnlivé. Modely volatility vycházejí z představy, že např. model (6.87) , kde a je podmíněně heteroskedastický proces s podmíněnou střední hodnotou a podmíněným rozptylem , kde je relevantní minulá informace až do času t-1. Tyto požadavky splňuje např. model procesu ve tvaru (6.88) , kde jsou nezávislé náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a s jednotkovým rozptylem. Je-li rozdělení náhodné veličiny za podmínky informace, která je k dispozici v čase t-1 normované normální, tj. , potom je rozdělení náhodné veličiny za podmínky informace, která je k dispozici v čase t-1rovněž normální, avšak s podmíněným rozptylem, který se mění v závislosti na plynutí času, tj . . Pokud jde o špičatost rozdělení veličiny , vyplývá z vyjádření (6.88) na základě Jensenovy nerovnosti [1] vztah : (6.89) , takže platí (6.90) , tj. špičatost nepodmíněného rozdělení veličiny je větší nebo rovna špičatosti normovaného normálního rozdělení. Rovnost platí právě tehdy, jsou-li podmíněné rozptyly konstantní. Jednotlivé modely volatility se mj. liší vzájemně v tom, tak je u nich formulován vývoj podmíněného rozptylu v čase. ARCH – modely Průlomem směřujícím k systematickému modelování volatility byl model ARCH (autoregressive conditional heteroskedasticity – autoregresní podmíněná heteroskedasticita), aplikovaný poprvé Robertem Englem [1982] na modelování inflace ve Velké Británii. Modely tohoto typu a především jejich zobecnění na modely typu GARCH (bude o nich pojednáno dále) v současnosti představují patrně nejvýkonnější nástroj pro modelování finančních časových řad, které nebyly dosud ničím významnějším překonány. Vychází se zde ze dvou predikátů/tezí: - Modely časových řad jsou heteroskedastické, tj. obsahující volatilitu proměnné v čase. - Volatilita je jednoduchou kvadratickou funkcí minulých předpovědních chyb (tzn. odchylek od podmíněné střední hodnoty) ),. První predikát je plně v souladu s pozorovanou empirickou skutečností v oblasti finančních časových řad, takže se omezíme na vysvětlení pouze druhé teze: Vzhledem k fenoménu volatility vytvářet jisté shluky, kdy větší (či resp. menší) výkyvy v dané finanční řadě lze očekávat spíše po větších (resp. menších) finančních výkyvech, lze považovat volatility za pozitivně autokorelované a jako jejich nejjednodušší pro jejich modelování zvolit autoregresní model. Navíc je , takže podle (6.6) platí (6.24) V důsledku toho se pro finanční časové řady stává realistickým pro vhodně zvolené (nevelké) m vztah (6.25) , který zřejmě prezentuje volatilitu jako jednoduchou kvadratickou funkci zpožděných hodnot . Za povšimnutí stojí, že závislost (6.25) je nestochastická, tj. je vyjádřena bez náhodné reziduální složky. Na základě formulace obecného zápisu nelineárního modelu (6.7) lze přistoupit k formulaci modelu ARCH (m) m-tého řádu ve tvaru (6.26) , , , kde jsou i.i.d. náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem. Často se navíc předpokládá, že mají normální rozdělení, tj. , případně stejným způsobem (tj. jedničkovým rozptylem) standardizované t-rozdělení. Podmíněná střední hodnota je modelována pomocí vhodné rovnice střední hodnoty – viz (6.4A) - která je většinou lineární. Dost často se jedná o podmíněnou střední hodnotu odpovídající lineárnímu regresnímu modelu (někdy zredukovanému jen na jeho úrovňovou konstantu intercept ) nebo ARMA procesu. Jako tři vybrané konkretizace tohoto vyjádření můžeme zde uvést: (6.27) (M1) , tedy s nulovou podmíněnou střední hodnotou (6.28) (M2) , , tedy s vazbou na exogenní regresory a (6.29) (M3) , tj. s podmíněnou střední hodnotou odpovídající autoregresnímu procesu AR(p). Charakteristikou uvedených tří modelů je domněnka, že velké minulé hodnoty předpovědních chyb, které v minulosti vyvolaly zvýšenou volatilitu, implikují také zvýšenou volatilitu v přítomnosti. První z těchto modelů se také nezřídka zapisuje v podobě (6.27*) , , , Poznámka 1: Je užitečné ještě jednou zdůraznit, že zatímco náhodné veličiny obecně (pouze) nekorelované, musí být veličiny stochasticky nezávislé. Logické jsou také průběhy korelogramů a parciálních korelogramů ARCH-modelů. Např. v modelu (6.27) by měl odhadnutý korelogram řady vykazovat všechny hodnoty nevýznamné, zatímco odhadnutý parciální korelogram čtvercové řady by měl mít zřetelný bod useknutí v místě m. Koeficienty v definicích rozptylu musí splňovat určité podmínky regularity, aby náhodné veličiny měly konečné aspoň druhé (nepodmíněné) momenty (tj. nepodmíněný rozptyl). V každém případě se však jako postačující (ale nikoliv nutné) podmínky kladných hodnot požadují kladnosti/nezápornosti (6.30) . Poznámka 2. Maticovým rozšířením základního modelu by bylo schéma (6.31) , , ,, ve kterém se vedle podmínky požaduje, aby byla matice A pozitivně semidefinitní, tj. měla nezáporná všechna vlastní čísla. Rozptyl je zde definován kvadratickou formou odchylek. Výchozí model (6.26) je rovněž touto definicí „úsporně pokryt„. Matice A je zde diagonální a obsahuje nezáporné diagonální prvky: některá ale mohou být nulová. Některé vlastnosti ARCH-modelu lze ukázat na nejjednodušším procesu ARCH(1): (6.32) , , , : 1) Nepodmíněná střední hodnota odchylek je skutečně nulová: (6.33) 2) Pro (nepodmíněný) rozptyl odchylek platí: (6.34) Protože ale odchylky mají stejné rozdělení (a tedy shodné rozptyly),dostaneme odtud (6.35) , přirozeně pokud platí , tj. postačující podmínka nejen pro existenci rozptylu var , ale také pro slabou stacionaritu řady 3) Často je potřebné analyzovat také špičatost odchylek .Pokud platí, že , pak následně též platí (6.36) Ze stejného důvodu jako pro rozptyl a s využitím vztahu (6.35) odtud dostaneme: (6.37) , pokud přitom platí postačující podmínka existence 4.obecného momentu : . ověření (6.37): , tedy následně , a protože rozptyl i 4.obecný moment jsou nezávislé na t, takže platí , (Nepodmíněný) koeficient špičatosti odchylek je následně (6.38) , To je ve shodě s požadavkem modelovat leptokurtické rozdělení (odchylky podmíněného normálního modelu ARCH(1) generují odlehlá pozorování s větší pravděpodobností než jak je tomu u normálního bílého šumu.). Poznámka 3. Přechozí výsledky lze rozšířit taktéž na model ARCH(m). Postačující podmínka pro slabou stacionaritu jeho odchylek požaduje, aby všechny kořeny autoregresního polynomu ležely vně jednotkového kruhu v komplexní rovině; speciálně: z nezápornosti parametrů odtud plyne podmínka , přičemž pro rozptyl odchylek pak platí (6.39) . Z poměrně obsáhlého počtu výpočetních procedur pro modely ARCH vybereme jen některé (pro obecnější modely typu GARCH mají tyto procedury analogický tvar). Pro přiblížení budeme pracovat s modelem ARCH(m) ve tvaru (6.26), tj. s nulovou podmíněnou střední hodnotou a s přímo pozorovatelnými odchylkami . (Již bylo zmíněno, že v praxi je toto obvykle splněno pro finanční řady logaritmovaných měr zisku ). V opačném případě je nutné vzít v úvahu podmíněnou středí hodnotu: např. v modelu (6.26) bychom pracovali s vyjádřením odchylek ve tvaru (6.40) Postupy identifikace ARCH-modelu Řád modelu lze identifikovat jako bod useknutí odhadnutého parciálního korelogramu v modelu tvaru (6.41) , kde je klasický bílý šum, (tzn. stejným způsobem, jako pro klasický AR model v rámci Boxovy-Jenkinsovy metodologie). Při příliš velkém řádu m modelu hrozí nebezpečí, že odhadnuté parametry nebudou splňovat podmínky nezápornosti (6.30). Aby nebylo nutné odhadovat velký počet parametrů při velkých řádech m, navrhl Engle [1982] používat místo třetího vztahu v (6.26) úsporný model s m=4, ale obsahující jen dva parametry: (6.42) ( model rozloženého zpoždění s lineárně klesajícími vahami. ) Odhad parametrů ARCH-modelu Protože kvantifikační techniky založené na principu nejmenšího součtu čtverců nejsou pro odhady modelů s podmíněnou heteroskedasticitou z více důvodů vhodné, odhadují se tyto modely obvykle metodou maximální věrohodnosti. V tomto případě platí pro příslušnou hustotu pravděpodobnosti vztah (6.43) . Proto, pokud , bude mít (podmíněná) logaritmovaná věrohodnostní funkce tvar (6.44) . Poslední činitel byl vynechán, protože podmiňujeme počátečními hodnotami . Volatility pro log-věrohodnostní funkci (6.44) vyjadřujeme pomocí parametrů rekurentně ze vztahů (6.45) t = m+1, m+2,… n. Pokud normální rozdělení není adekvátní příliš těžkým koncům modelovaných finančních dat, lze užít eventuálně i jiná rozdělení. Např. má-li , pak se analogicky vůči (6.44) použije logaritmovaná věrohodnostní funkce ve tvaru (6.46) . Pomocí stupňů volnosti můžeme řídit pravděpodobnostní chování chvostů rozdělení tím, že pro přechází (centrální) t-rozdělení na normální. Pokud ani t-rozdělení není pro daná data dostatečně leptokurtické, lze aplikovat např. QED-rozdělená ( generalized error distribution ) . Maximalizace logaritmických věrohodnostních funkcí pro získání konečných ML-odhadů je výlučně softwarovou záležitostí (nejčastěji se k tomuto účelu užívá BHHH-algoritmus[2]). Přitom se většinou dohaduje simultánně celý model včetně rovnice střední hodnoty (tj. např. parametrů ve vyjádření (6.40)), zpravidla včetně rozptylové matice odhadnutých parametrů. Poznámka3. Použijeme-li pro model ARCH nekorektně podmíněné normální rozdělení , budou odpovídající ML-odhady dotčeného parametrů modelu stále konzistentní (pokud byl model jinak korektně identifikován), ale většinou to již nebude platit o odhadu jejich kovarianční matice. Konzistentní odhad této matice je ale možné pořídit jako QML-odhad (quasi-maximum likelihood). Tento postup (označovaný někdy jako robustní vůči nenormalitě či heteroskedasticity consistent covariances), obsahuje např. software EViews 5.1, ale také třeba gretl. GARCH – modely ARCH(m) model vykazuje kromě předností také některé nedostatky: - Vyžaduje často příliš vysoký řád m, aby adekvátně popsal vývoj volatility dané časové řady. - Ve vztahu k předchozímu je často nutno odhadovat značný počet parametrů, přičemž navíc může u některých dojít k porušení podmínky nezápornosti. - Je sice zohledněno shlukování volatility, ale nikoliv již pákový efekt či asymetrie, kdy kladné a záporné odchylky mohou mít odlišný vliv na volatilitu. Předchozí nedostatky odstraňuje GARCH (generalized ARCH) – model. V tomto modelu, jehož základní formalizaci navrhl Bollerslev[3] a v jehož z mnoha různých modifikací může volatilita či podmíněný rozptyl procesu záviset také na svých předchozích (zpožděných) hodnotách. Zvlášť jde o model GARCH(1,1), který je nejjednodušším představitelem této třídy modelů, je dnes jedním z nejvíce používaných u finančních časových řad, protože je schopen pomocí tří parametrů zvládnout velmi obecné volatilní struktury (modely GARCH vyšších řádů se proto v praxi využívají jen sporadicky). Model GARCH(m,s) má tento tvar (6.51) , , , což ho činí dobř srovnatelným s vyjádřením ARCH-modelu (rozdílnost je pouze ve třetí podmínce). I zde jsou i.i.d. náhodné veličiny s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem a obvykle se c předpokládá, že mají normální rozdělení, tj. nebo t-rozdělení o větším počtu stupňů volnosti. Pro přítomné parametry se předpokládá splnění těchto podmínek: (6.52) ., kde klademe * pro a pro . Pokud s=0, dostáváme zřejmě model ARCH(m). Poslední nerovnost v(6.52) je postačující pro existenci rozptylu (6.52A) . Speciálně model GARCH(1,1) má jednoduchý tříparametrický tvar (6.53) , , , (6.53A) . Nepodmíněný rozptyl procesu GARCH(1,1) má podobu Pro jeho koeficient špičatosti máme – Bolerslev [1986] - vyjádření (6.54) , a to za platnosti postačující existenční podmínky (6.54A) neboli také , jinak je špičatost nekonečně velká . Srovnáme-li podmínku (6.54A) s analogickou pro ARCH(1) model, kde postačující podmínka existence 4.obecného momentu vyžadovala, aby a (nepodmíněný) koeficient špičatosti odchylek byl roven (6.38) , lze konstatovat, že při samotné dodržení podmínky pro u ARCH(1) modelu tzn. tj. nepostačuje ke splnění (6.54A). Konformita podmínek pro koeficient špičatosti nastává zřejmě jen pro . Hodnoty autokorelační funkce GARCH(1,1) modelu klesají s rostoucím zpožděním k geometricky. Rychlost tohoto klesání závisí na hodnotě součtu : blíží-li se tento součet hodnotě 1, je pokles autokorelační funkce velmi pozvolný. Hodnoty parciální autokorelační funkce rovněž s rostoucím zpožděním geometricky klesají. Obecně lze konstatovat, že tvary ACF a PACF procesu odpovídají tvarům těchto funkcí u modelu ARMA(p,q). Pokud jde o výpočetní procedury uplatnitelné pro GARCH-modelové specifikace, v podstatě jde o tytéž, na kterých je založena kvantitativní analýza ARCH-modelů. Předpovědi volatility v modelu GARCH(1,1): Podle (6.53) zřejmě platí: (6.55) . Protože platí a také , je rovněž (6.56) a obecně (6.57) pro libovolné (nevelké) . Postupnými substitucemi dostáváme konečný výraz (6.58) , který zřejmě konverguje za podmínky (6.53A) k limitní hodnotě (6.59) při . Předpověď volatility tedy konverguje s rostoucím předpovědním horizontem k nepodmíněnému rozptylu předpovědních chyb . Modifikované GARCH – modely Analýza nelineárních časových řad je rychle se rozvíjející oblastí, kde nové modely přibývají každým rokem (čímž se celkem už ztrácí přehled v jejich velmi rozmanitých zkratkách). Typickým příkladem jsou právě rozmanité modifikace modelů GARCH. Některé z nich budou dále stručně popsány Jinak o nich existuje obsažná monografická I časopisecká literatura. IGARCH – modely Integrovaný GARCH model [integrated GARCH] značený jako IGARCH(m,s), je GARCH(m,s)- model s jednotkovým kořenem autoregresního polynomu v rovnici volatility. Jedná se o analogii ARIMA-modelu, ale pro volatilitu místo pro vlastní časovou řadu. Vyznačuje se tzv. perzistencí v rozptylu; zatímco v modelu GARCH, který je stacionární ve volatilitě, konvergují předpovědi volatility pro rostoucí předpovědní horizont k nepodmíněnému rozptylu procesu – viz (6.59), v modelu IGARCH přetrvává současná informace jako významná pro předpovědi volatility ve všech (tedy I velmi dlouhých) horizontech. Při aplikaci GARCH –modelů na vysokofrekvenční časové řady se často stává, že součet odhadů parametrů a je číslo velmi blízké 1: Engle Bolerslev [1986] uvedli proto třídu modelů, které se označují jako IGARCH. Model IGARCH(m,s) je definován jako model GARCH(m,s) podle (6.51), kde ale navíc platí , takže mj. jeho nepodmíněný rozptyl (6.52A) existovat nemůže. Speciálně nejjednodušší modelu IGARCH(1,1) má tvar (6.61) , , , (6. 61A) . Konkrétně model IGARCH(1,1) je tedy modelem GARCH(1,1) s restrikcí , Přitom je zajímavé, že při a zřejmě tento model přechází na schéma EWMA definované v (6.13) Rekurentní předpovědní vztah (6.57) se v něm nyní zjednodušuje do tvaru (6.62) pro libovolné (nevelké) , takže pro opakovaných substitucích nakonec dostáváme (6.63) pro (nevelké) . Zjištěný výsledek znamená, že vliv současných volatilit na předpovědi budoucích volatilit tedy opravdu přetrvává (je persistentní) a volatilní předpovědi se navíc vyvíjejí podle přímky se směrnicí . Formálně odlišná specifikace modelu IGARCH(1,1) může být zapsána také tvarem (6.64) , , tj. v podobě analogické specifikaci ARIMA(0,1,1). GJR GARCH – model Zřetelným handicapem původního modelu GARCH byla neschopnost modelovat asymetrické chování, kdy kladné a záporné odchylky et mohou mít odlišný vliv na volatilitu (ve vztahu k uvedenému pákovému efektu).tj. tendenci volatility zvětšit se více po cenovém poklesu než po cenovém nárůstu stejné velikosti. Úspěšnou modifikací GARCH-modelu v tomto směru navrhli Glosten, Jagannathan a Runkle[4] [1993] (a nezávisle na nich Zakoian [1994][5]),podle nichž byl příslušný model zkratkově pojmenován jako GJR GARCH, i když někdy se používá také označení prahový GARCH model [threshold GARCH či TACHR] v případě této modifikace uplatněné na ARCH-model. (6.65) , , ,kde pro pro . Tento model má zajímavou interpretaci v tom, že dopad „dobrých zpráv ( ) modelovaný pomocí je odlišný od dopadu „špatných zpráv“ modelovaných pomocí .Je-li znamená to, že špatné zprávy vyvolávají růst volatility, takže se opravdu jedná o pákový efekt se zpožděním . V každém případě pro se model chová asymetricky. Nejpoužívanější GJR GARCH model v praxi je zjednodušený model (6.51) na (6.66) , , , kde pro , resp. v opačném případě . EGARCH – model Jiný přístup k řešení problému asymetrického chování odchylek navrhl D.B.Nelson[1991][6]. Po určitých zjednodušeních jeho návrhu (neboť Nelson původně systematicky pracoval s rozdělením GED veličin ) má jím prezentovaný exponenciální GARCH-model (značený zkratkou EGARCH) tvaru (6.65) , , , Zápis modelu pomocí logaritmických volatilit má tu výhodu, že podmínky nezápornosti parametrů (např. ) nyní pozbývají význam a pákový efekt je nyní exponenciální (nikoliv jako dříve kvadratický). Asymetrie zřejmě nastává, když pro nějaké konkrétní zpoždění r . Speciálně pro nastává pákový efekt. Nejjednodušší a nejpoužívanější tvar EGARCH-modelu je čtyřparametrický (6.66) , , , jako speciální případ zápisu (6.65) vždy jen s jediným členem k každé ze tří sumací. Před vlastní konstrukcí asymetrických modelů typu GJR GARCH a EGARCH se doporučuje statisticky otestovat symetrii (viz např Engle a Ng [1993][7]). Pracuje se většinou s reziduy vypočtenými z odhadnutého symetrického GARCH-modelu – a pomocí některého z klasických t-, F-, nebo LM-testu se testuje významnost parametrů v klasických lineárních modelech typu (6.67) pro pro . (6.68) (6.69) , kde . je zde klasický bílý šum. Přitom zaznamenaná významnost parametrů: v modelu (6.67) svědčí o asymetrii volatility v dané časové řadě. v modelu (6.68) svědčí o asymetrii volatility a vlivu velikosti záporných odchylek na ni. v modelu(6.68) svědčí o asymetrii volatility a vlivu velikosti kladných a záporných odchylek na volatilitu v analyzované časové řadě. Poznámka: Ve finančních aplikacích se asymetrické modely pro volatilitu často kombinují s klasickými AR-modely pro střední hodnotu. Např. R.S.Tsay [2002][8] zkonstruoval pro denní logaritmické míry zisku akcií IBM od 07/1962 do 12/1999 (9 442 hodnot) model AR(2)-GJR-GARCH(1,2) ve tvaru GARCH-M – model GARCH in mean Ve financích závisí často výnos aktiva na jeho volatilitě (např. investor je kompenzován za vyšší riziko vyšším výnosem). Proto Engle, Lilien a Robins [1987] navrhli další modifikaci nejprve ARCH-modelu, kde volatilita či její odmocnina vstupuje do rovnice střední hodnoty (tzv. ARCH-M model). Pro GARCH modely má např. GARCH(1,1)-M model (GARCH-in-mean) (6.71) , , nebo (6.72) , , , Jestliže je parametr signifikantně kladný, pak zvýšené riziko projevující se zvýšenou volatilitou vede ke zvýšené úrovni řady (tj. ke zvýšené podmíněné střední hodnotě). Modely SV – stochastické volatility Rovnice volatility základního GARCH-modelu je zřejmě deterministická ve smyslu podmiňování minulou informací. O stochastické volatilitě [stochastic volatility] se v kontextu GARCH modelů mluví v případ, kdy do rovnice volatility je dodán další chybový člen, který i při podmiňování minulou informací zůstává náhodný. Jakkoliv jsou jednoduchým příkladem klasické AR modely volatility, obecně se model SV – viz např. Taylor [1994][9] - prezentuje následovně (6.73) , , , kde je další bílý šum (zpravidla i.i.d. s normálním rozdělením), nezávislá na ; užití logaritmické volatility umožňuje ignorovat podmínku nezápornosti jako v EGARCH-modelu. Modely SV-typu se osvědčily v kontextu oceňování opčních prémií, kdy volatilita podkladového aktiva, která je jedním ze vstupů do Black-Scholesovy rovnice, nemusí být fixována po celou dobu do splatnosti opce. Nevýhodou těchto modelů je ale jejich poměrně složitý odhad nejčastěji Kalmanovým filtrem. FIGARCH (fractionally IGARCH) – modely Pokles hodnot autokorelační funkce je při součtu hodnot parametrů blízkém 1 geometrický. Realita však může být odlišná a autokorelační funkce se může vyvíjet hyperbolicky (koeficienty klesají v reciprokých hodnotách). Takováto autokorelační struktura může být zachycena frakcionálně integrovanými modely, resp. tzv. modely s dlouhou pamětí. Baillie, Bollerslev a Mikkelsen [1992] navrhli třídu modelů, které označili FIGARCH. Proces modelu FIGARCH(1,d,0) lze zapsat ve tvaru (4.74) , kde . Po dosazení vztahu do (4.74) je možné model podmíněného rozptylu vyjádřit ve tvaru ARCH(∞): (4.75) , v němž , přičemž lze ukázat, že pro vysoké hodnoty aproximativně: (4.76) , kde je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro neceločíselný argument) tvaru s rekurentní vlastností Ze zápisu (4.76) vyplývá, že – na rozdíl od kovariančně-stacionárního modelu GARCH(1,1) nebo modelu IGARCH(1,1), kde se šoky po podmíněného rozptylu zmenšují geometricky - se v modelu FIGARCH(1,d,0) šoky do podmíněného rozptylu zmenšují pomaleji, a to hyperbolicky (v reciprokých hodnotách). Obecný model FIGARCH (p,d,q) má vyjádření: (4.77) , kde , přičemž kořeny polynomiálních rovnic a leží vně jednotkového kruhu. Užité značení: Polynom : má tvar . Polynom : má tvar . ________________________________ [1] Podle ní platí pro konvexní funkci a náhodnou veličinu Z nerovnost . Tuto nerovnost poprvé formuloval a dokázal dánský statistik Johan Jensen [1906]. V našem případě tedy platí: , protože kvadratická funkce proměnné je zde konvexní. [2] viz Berndt,E.R., Hall. B.H., Hall. R.E., Hausman, J.A. [1974] Estimation and Inference in Nonlinear Statistical Models. Annals of Economic and Social Measurement 3, p.653-665. [3] Bollerslev,T.[1986]: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity . Journal of Econometrics. 31 p.307-327 Bollerslev,T.[1987]: A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Pirice snad rates of Return. Review of Economics and Statistics 69, p.542-547. Bollerslev,T.[1988: On the Correlation Structure for the. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic Process. Journal of Time Series Analysis 9. p.121-131. [4] Glosten, L.R.,Jagannathan,R.,Runkle,D.E.: Pn the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal of Finance 48/1993 p.1779-1801 [5] Zakoian, J.M.: Threshold heteroskedastic models. Journal of Economic Dynamics and Control. 18/1994 p.931/934. [6] Nelson, D.B.: Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica 59/1991 p.347-370 [7] Engle,R.F.,Ng,V.K.: Measuring and testing the impact of news on volatility. Journal of Finance 48/1993 p.1749-1778. [8] Tsay,R.S.: Analysis of Financial time Seriers. Wiley, New York 2002. [9] Taylor , S.,J.: Modelling Stochastic Volatility. Mathematical Finance 4/1994, p.183-204