Přehled základních spojitých statistických rozdělení

Normální jednorozměrné rozdělení (střední hodnota , rozptyl )

hustota


Normované normální jednorozměrné rozdělení (střední hodnota , rozptyl )

hustota


Normální T-rozměrné rozdělení  (vektor středních hodnot , kovarianční matice )

hustota

                    symetrická pozitivně definitní matice řádu T

Pearsonovo (též Helmertovo) - rozdělení o n stupních volnosti

hustota                          ,        pro      pro

  *  přirozené číslo, ,  je hodnota gama funkce příslušného argumentu

                                          (zobecnění faktoriálu do reálných čísel)

má střední hodnotu n a rozptyl 2n. Toto rozdělení má konečný součet druhých mocnin nezávisle a
normálně - rozdělených náhodných veličin

Poznámka:  při   dostaneme exponenciální rozdělení:

                                           , protože

Studentovo  - rozdělení o n stupních volnosti ( necentrální ) s parametrem h

hustota          , kde     *  je přirozené číslo, , ,   parametr necentrality,  je hodnota gama
funkce příslušného argumentu, pro kterou mj. platí:   , přičemž   ,

Funkce má jediný modus v bodě  . Střední hodnota existuje až pro  .

Studentovo rozdělení má střední hodnotu . (Je-li centrované, pak tedy 0). Všechny liché centrální
momenty tohoto rozdělení jsou nulové, sudé mají hodnotu

                          pro

rozptyl je tedy  pro , špičatost  pro

Studentovo  - rozdělení o n stupních volnosti (centrální při h =1 )

hustota                  , *  je přirozené číslo,

 rozptyl je tedy  pro , špičatost  pro

                                        pro

ověření:

Speciálním případem Studentova rozdělení při n=1 je

Cauchyho rozdělení

                            ,  pro      pro


standardizované (centrované)  Cauchyho rozdělení (modus=medián= , rozptyl )

                             pro  ,     pro

Toto rozdělení nemá žádné momenty (ani střední hodnotu), užívanou mírou variability je
mezikvartilové rozpětí (taková hodnota , pro kterou platí

                               , zde IQR = ).

Tvrzení: Studentovo rozdělení o 1 stupni volnosti je totožné s (centrálním) Cauchyho rozdělením.

Ověření: Jednoduše dosadíme do vzorce pro hustotu (centrálního) Studentova rozdělení hodnotu  (a
rovněž ). Dostaneme:

                                            , kde  ,

, kde  , přičemž , odtud

 ,  takže  ,  tedy hustota Cauchyho rozdělení. �

neúplná gama funkce   pro

Fisherovo-Snedecorovo  -rozdělení  (má ho podíl dvou nezávislých - rozdělení o n,m stupních
volnosti dělených příslušnými stupni volnosti m,n)

                                pro

Beta rozdělení

                                         pro  ,

 je beta funkce s vlastností

standardizované Beta rozdělení pro

                                       pro ,

neúplná beta funkce      pro

                                            zpravidla celočíselná

invertované Beta rozdělení pro  , ,

                             pro ,

speciálním případem pro ,   je Fisher-Snedecorovo F-rozdělení o  stupních volnosti

Gama rozdělení (obecné)s parametry      pro  ,

speciálním případem gama rozdělení pro   ,  je již zmíněné

  - rozdělení o  stupních volnosti s hustotou

standardizované Gama rozdělení jednoparametrické (  )

                                        pro ,

Rovnoměrné rozdělení

                                                            jinde

má obecné momenty:    . Tedy

                                         rozptyl se rovná







Logaritmickonormální rozdělení  (rozdělení velikosti drcených částic)

              pro      pro .

             pro      pro .





Weibullovo rozdělení - diskrétní

                          pro

                          pro

    –  stínový        [shape]  parametr

        – měřítkový      [scale]  parametr

Náhodná veličina X řídící se Weibullovým rozdělením určuje rozdělení náhodné veličiny, pro kterou
je míra selhání úměrná mocnině času, parametr k je tato mocnina +1.

Při k =1 je tato konstantní přes čas



Speciální případy Weibullova rozdělení

k=1: exponenciální rozdělení     pro

k=2:  Rayleighovo rozdělení  pro

distribuční funkce

střední hodnota       medián    rozptyl