Nejpoužívanější matematické funkce při trendovém vyrovnání/extrapolaci 1. Lineární trend indikace přítomnosti: první diference jsou přibližně konstantní 2. Kvadratický trend indikace přítomnosti: druhé diference jsou zhruba konstantní 3. Kubický trend indikace přítomnosti: třetí diference jsou zhruba konstantní 3. Polynomický trend s-tého stupně indikace přítomnosti: diference s-tého stupně jsou přibližně konstantní 4. Mocninný trend indikace přítomnosti: 5a Logaritmický trend indikace přítomnosti: 5. Exponenciální trend [ ] indikace přítomnosti: podíly sousedních hodnot [ ]resp. první diference logaritmů jsou přibližně konstantní. 6. Modifikovaný exponenciální trend indikace přítomnosti: podíly sousedních prvních diferencí jsou přibližně konstantní 7. Logistický trend s parametry indikace přítomnosti: a) histogram prvních diferencí [ ]je tvarem podobná křivce (hustotě) normovaného normálního rozdělení . b) podíly sousedních prvních diferencí reciprokých hodnot jsou přibližně konstantní. Inflexní bod logistické křivky je v bodě 8. Gompertzův trend nebo ekvivalentně [ ] indikace přítomnosti: podíly prvních logaritmovaných diferencí jsou přibližně konstantní Inflexní bod má Gompertzova křivka v bodě 9a. Odmocninný trend 9b. Hyperbolický trend 4. Mocninný trend indikace přítomnosti: závisí na t. Diferencované logaritmy konvergují s rostoucím t k nule 5a Logaritmický trend indikace přítomnosti: závisí na t. Diference expomocnin konvergují s rostoucím t k nule (4E) výpočet parametrů mocninného trendu (41) zpravidla Logaritmováním (41) obdržíme: Řešíme linerizovanou regresí s logaritmovaným regresandem, parametr získáme přímo, parametr vyexponujeme. Výsledek: Mocninný trendový model: OLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) Závisle proměnná: l_realgdp HAC standardní chyby, šířka okénka 4 (Bartlettovo jádro) Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota Const 6,31863 0,287481 21,9793 <0,00001 *** l_time 0,459833 0,0631059 7,2867 <0,00001 *** Střední hodnota závisle p 8,312311 Sm. odchylka závisle pr. 0,487764 Součet čtverců reziduí 9,142454 Sm. chyba regrese 0,212743 Koeficient determinace 0,810702 Adjustovaný koeficient determinace 0,809765 F(1, 202) 53,09593 P-hodnota(F) 7,00e-12 Logaritmus věrohodnosti 27,26603 Akaikovo kritérium -50,53207 Schwarzovo kritérium -43,89583 Hannan-Quinnovo -47,84759 rho (koeficient autokorelace) Model 2: LAD, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) Závisle proměnná: l_realgdp Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 5,64082 0,273109 20,6541 <0,00001 *** l_time 0,598398 0,0580218 10,3133 <0,00001 *** Medián závisle proměnné 8,328980 Sm. odchylka závisle proměnné 0,487764 Součet absolutních hodnot reziduí 30,99214 Součet čtverců reziduí 13,90851 Logaritmus věrohodnosti 39,01279 Akaikovo kritérium -74,02558 Schwarzovo kritérium -67,38934 Hannan-Quinnovo kritétium -71,34110 0,935246 Durbin-Watsonova statistika 0,018616 Mocninný trendový model LAD, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) Závisle proměnná: l_realgdp Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota Const 5,64082 0,273109 20,6541 <0,00001 *** l_time 0,598398 0,0580218 10,3133 <0,00001 *** Medián záv. proměnné 8,328980 Sm. odch.záv. proměnné 0,487764 Součet absolutních hodnot reziduí 30,99214 Součet čtverců reziduí 13,90851 Logaritmus věrohodnosti 39,01279 Akaikovo kritérium -74,02558 Schwarzovo kritérium -67,38934 Hannan-Quinnovo kritérium -71,34110 Nelineární metoda nejmenších čtverců NLLS v gretlu Mocninný trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = b0*time^b1 Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 102,105 10,0882 10,1213 <0,00001 *** b1 0,822439 0,0199321 41,2620 <0,00001 *** Střední hodnota závisle p 4562,646 Sm. odchylka závisle p. 2113,962 Součet čtverců reziduí 58455427 Sm. chyba regrese 537,9436 Koeficient determinace 0,935563 Adjustovaný koeficient determinace 0,935244 Logaritmus věrohodnosti -1571,160 Akaikovo kritérium 3146,321 Schwarzovo kritérium 3152,957 Hannan-Quinnovo 3149,005 rho (koeficient autokorelace) 0,989162 Durbin-Watsonova statistika 0,006941 počáteční hodnoty byly získány z linearizované verze rovnice genr b0 =554. genr b1 = 0.46 realgdp = alpha * time^ beta nebo realgdp = b0 * time^ b1 params alpha beta params b0 b1 deriv alpha = time^ beta deriv b1 = time^ b2 deriv beta = alpha * beta * time^(beta-1) deriv b2 = b1 * b2 * time^(b2-1) Zobecněný mocninný trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = b2 + b0*time^b1 Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 1,32874 0,157326 8,4458 <0,00001 *** b1 1,61086 0,0222217 72,4904 <0,00001 *** b2 1871,6 29,1946 64,1077 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 4562,646 Sm. odchylka závisle proměnné 2113,962 Součet čtverců reziduí 4991128 Sm. chyba regrese 157,5801 Koeficient determinace 0,994498 Adjustovaný koeficient determinace 0,994443 Logaritmus věrohodnosti -1320,179 Akaikeovo kritérium 2646,358 Schwarzovo kritérium 2656,312 Hannan-Quinnovo kritér. 2650,384 rho (koeficient autokorelace) 0,980169 Durbin-Watsonova statistika 0,065016 počáteční hodnoty byly získány z linearizované verze rovnice genr b0 =554. genr b1 = 0.46 genr b2 = 0. (5E) výpočet parametrů exponenciálního trendu (51) zpravidla Logaritmováním (51) obdržíme: Řešíme linerizovanou regresí s logaritmovaným regresandem, parametry , získáme vyexponováním. Exponenciální trendový model: OLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) Závisle proměnná: l_realgdp HAC standardní chyby, šířka okénka 4 (Bartlettovo jádro) Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota Const 7,46811 0,011538 647,2646 <0,00001 *** time 0,00823608 8,46729e-05 97,2694 <0,00001 *** Střední hodnota závisle p 8,312311 Sm. odchylka závisle pr. 0,487764 Součet čtverců reziduí 0,307790 Sm. chyba regrese 0,039035 Koeficient determinace 0,993627 Adjustovaný koeficient determinace 0,993596 F(1, 202) 9461,334 P-hodnota(F) 1,2e-171 Logaritmus věrohodnosti 373,1751 Akaikeovo kritérium -742,3502 Schwarzovo kritérium -735,7140 Hannan-Quinnovo -739,6657 rho (koeficient autokorelace) 0,953708 Durbin-Watsonova statistika 0,065356 Exponenciální trendový model: LAD, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) Závisle proměnná: l_realgdp Koeficient Směr. chyba t-podíl p-hodnota const 7,46381 0,00865612 862,2588 <0,00001 *** time 0,00825376 7,24964e-05 113,8506 <0,00001 *** Medián závisle proměnné 8,328980 Sm. odchylka závisle proměnné 0,487764 Součet absolutních hodnot reziduí 6,637274 Součet čtverců reziduí 0,309272 Logaritmus věrohodnosti 353,3834 Akaikovo kritérium -702,7667 Schwarzovo kritérium -696,1305 Hannan-Quinnovo kritérium -700,0823 nelineární metoda nejmenších čtverců v gretlu Exponenciální trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = b0 * b1^time Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 1821,78 12,6724 143,7599 <0,00001 *** b1 1,00796 4,46657e-05 22566,7834 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 4562,646 Sm. odchylka závisle proměnné 2113,962 Součet čtverců reziduí 4496526 Sm. chyba regrese 149,1979 Koeficient determinace 0,995043 Adjustovaný koeficient determinace 0,995019 Logaritmus věrohodnosti -1309,534 Akaikeovo kritérium 2623,069 Schwarzovo kritérium 2629,705 Hannan-Quinnovo krit. 2625,753 rho (koeficient autokorelace) 0,961289 Durbin-Watsonova statistika 0,069048 genr b0 = 1751. genr b1 = 1.008 realgdp = alpha * beta^time nebo realgdp = b0 * b1^time params alpha beta params b0 b1 deriv alpha = beta^time deriv b1 = b2^time deriv beta = alpha * beta^time*log (beta) deriv b2 = b1 * b2^time* log(b2) počáteční hodnoty byly získány z linearizované verze rovnice genr b0 = 1751. genr b1 = 1.008 realgdp = b0 * b1^t params b0 b1 Modifikovaný exponenciální trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = b2 + b0*b1^time Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 2613,88 123,049 21,2425 <0,00001 *** b1 1,00659 0,000173154 5813,2866 <0,00001 *** b2 -956,251 142,7 -6,7011 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 4562,646 Sm. odchylka závisle proměnné 2113,962 Součet čtverců reziduí 3430419 Sm. chyba regrese 130,6398 Koeficient determinace 0,996219 Adjustovaný koeficient determinace 0,996181 Logaritmus věrohodnosti -1281,931 Akaikeovo kritérium 2569,862 Schwarzovo kritérium 2579,816 Hannan-Quinnovo krit. 2573,889 rho (koeficient autokorelace) 0,963863 Durbin-Watsonova statistika 0,091104 počáteční hodnoty byly získány z linearizované verze rovnice pro exponenciální trend genr b0 = 1751. genr b1 = 1.008 genr b2 = 0 realgdp = b0 * b1^t + b2 params b0 b1 b2 Logistický trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = 1/(b2 + b0*b1^time) GDP = 1/(b2 + b0 * b1^time) Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 0,000550894 4,14048e-06 133,0508 <0,00001 *** b1 0,990872 0,000212008 4673,7490 <0,00001 *** b2 2,60351e-05 3,78326e-06 6,8816 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 4562,646 Sm. odchylka závisle proměnné 2113,962 Součet čtverců reziduí 3849654 Sm. chyba regrese 138,3926 Koeficient determinace 0,995756 Adjustovaný koeficient determinace 0,995714 Logaritmus věrohodnosti -1293,692 Akaikeovo kritérium 2593,383 Schwarzovo kritérium 2603,338 Hannan-Quinnovo krit. 2597,410 rho (koeficient autokorelace) 0,966575 Durbin-Watsonova statistika 0,081637 počáteční hodnoty byly získány metodou pro odhad modif.expon. trendu v CIPRA str.265-7 genr b0 = 0.0005544 (zaokrouhleno na 0.0006) genr b1 = 0.9889054 (zaokrouhleno na 0.99) genr b2 = 0.0000589 (zaokrouhleno na 0.00006) realgdp = 1/ (b2 + b0* b1^time) params b0 b1 b2 Gompertzův trendový model: NLLS, za použití pozorování 1950:1-2000:4 (T = 204) realgdp = exp( b2 + b0*b1^time) GDP = exp (b2 + b0 * b1^time) Odhad Směr. chyba t-podíl p-hodnota b0 -7,01606 0,825865 -8,4954 <0,00001 *** b1 0,998669 0,000186859 5344,4939 <0,00001 *** b2 14,4536 0,835876 17,2916 <0,00001 *** Střední hodnota závisle proměnné 4562,646 Sm. odchylka závisle proměnné 2113,962 Součet čtverců reziduí 3621553 Sm. chyba regrese 134,2299 Koeficient determinace 0,996008 Adjustovaný koeficient determinace 0,995968 Logaritmus věrohodnosti -1287,461 Akaikeovo kritérium 2580,923 Schwarzovo kritérium 2590,877 Hannan-Quinnovo krit. 2584,949 rho (koeficient autokorelace) 0,965638 Durbin-Watsonova statistika 0,086576 počáteční hodnoty byly získány metodou pro odhad modif.expon. trendu v CIPRA str.265-7 genr b0 = -4.129661 (zaokrouhleno na -4.13) genr b1 = 0.9974011 (zaokrouhleno na 0.997) genr b2 = 11.512396 (zaokrouhleno na 11.51) realgdp = exp (b2 + b0* b1^time) params b0 b1 b2 Logistický trendový model: výpočet parametrů podle CIPRA str.269-270 Pomocí metody nejmenších čtverců nejprve získáme v lineárním regresním modelu (75*) (75**) , kde odhady , pro , a odtud následně odhady parametrů jako (76) a pro Řešíme tedy regresní rovnici (75**) gretlem s výsledkem: ( druhý koeficient ale není signifikantní, R^2 přitom pouze 0,004238 ) Nyní přímo vypočteme první dva z trojice parametrů logistického trendu Pro odhad posledního parametru , aproximujeme trendovou složku skutečnými pozorováními a upravíme tento vztah do tvaru (77) . Po zlogaritmování máme a sečtením těchto vztahů přes dostaneme Rhodesův vzorec (78) . Vyčíslením (78) máme (78) (78) (78) Z něho se už snadno vypočte odhad parametru „vyexponováním„: b0 0,000550894 4,14048e-06 b1 0,990872 0,000212008 b2 2,60351e-05 3,78326e-06 # genr b0 = $coeff(0) # genr b1 = $coeff(time)