Holtova adaptivní vyrovnávací metoda[1] Jistým zobecněním dvojitého exponenciálního vyrovnávání je tzv. Holtova metoda, ve které se uplatňují dvě vyrovnávací konstanty pro vyrovnání úrovně pro vyrovnání směrnice téže řady (81) Vyhlazení úrovně je tedy definováno jako konvexní kombinace poslední pozorované hodnoty v čase a odhadu této hodnoty vzatého v předchozím čase . (82) Pro vyrovnání, resp. predikci zde platí předpisy: (83) (84) pro Jako volby počátečních hodnot se doporučují: (85A) (85B) Za pozornost stojí, že Holtova metoda byla nejprve navržena jako ad hoc postup na základě prosté logické úvahy. Teprve později bylo prokázáno, že Brownovo dvojité exponenciální vyrovnávání se zvolenou vyrovnávací konstantou je speciálním případem Holtova metody , jejíž vyrovnávací konstanty jsou pak (86) , Za pozornost stojí, že Holtova metoda byla nejprve navržena jako ad hoc postup na základě prosté logické úvahy. Teprve později bylo prokázáno, že Brownovo dvojité exponenciální vyrovnávání se zvolenou vyrovnávací konstantou je speciálním případem Holtova metody , jejíž vyrovnávací konstanty jsou pak , potom , pak , odtud Holtova-Wintersova metoda Jedná se o rozšíření Holtovy metody tak, aby vedle lokálně lineárního trendu byla adaptivně zohledněna také sezónnost. Proto aditivní i multiplikativní verze Holtovy-Wintersovy metody používají dokonce tři vyrovnávací konstanty: pro vyrovnání úrovně procesu pro vyrovnání směrnice procesu pro vyrovnání sezónní složky dané řady se sezónou rovnou s Aditivní verze Holtovy-Wintersovy metody Rekurentní vzorce aditivní verze Holtovy-Wintersovy metody mají tvar vyrovnání úrovně vyrovnání směrnice vyrovnání sezónnosti vyrovnání celkem predikce pro pro Podobně jako Holtova metoda byla i Holtova-Wintersova metoda nejprve navržena jako ad hoc postup pouze na základě intuitivních úvah. Např. eliminace sezónní složky dané řady v čase se získá jako konvexní kombinace dvou položek, a to (1) odhadu této sezónní složky aktuálně zkonstruované v čase očištěním pozorované hodnoty od úrovňové trendové složky jako a (2) odhadu této sezónní složky zkonstruované v čase tím způsobem, že se užije její nejaktuálnější odhad z předchozí sezóny. Podobně se přistupuje k očištění pozorované hodnoty od sezónní složky jako a k předpovědím , kdy je nutné rozlišit, o jakou sezónu se jedná (samozřejmě pro předpovědní sezóny velmi vzdálené od aktuálního času t do budoucnosti mohou být předpovědi již značně nespolehlivé). Realizace rekurentních vzorců Holtovy-Wintersovy metody předpokládá volbu počátečních hodnot konstant a volbu vyrovnávacích konstant : (1) Počáteční hodnoty vyrovnávacích konstant lze stanovit modelováním sezónnosti pomocí kvalitativních proměnných při multiplikativním určení sezónnosti (ale bez normalizace sezónních indexů) pomocí regrese s umělými (dummy) proměnnými ,……, Počáteční hodnoty , získáme přímo jako odhady regresních koeficientů úrovně a sklonu v běžné regresi lineárního trendu. Parametr směrnice je přímo roven , protože odstup mezi pozorováními je 1 (období). (2) Při volbě vyrovnávacích konstant se využívá: a) pevná volba (v běžných postupech se doporučuje b) odhad podobně jako pro exponenciální vyrovnávání minimalizací kritéria SSE Multiplikativní verze Holtovy-Wintersovy metody Rekurentní vzorce aditivní verze Holtovy-Wintersovy metody mají tvar vyrovnání úrovně: vyrovnání trendu: vyrovnání sezónnosti: vyrovnání celkem: predikce: pro pro Z výše uvedených modifikací je zřejmé, že – v porovnání s aditivní verzí metody – se příslušné součty/rozdíly ve vztahu k sezónností nahradí příslušnými analogickými násobky/podíly. Abychom mohli iniciovat rekurentní formule této verze metody, musíme i zde určit pravidlo pro určení jejich počátečních hodnot : Doporučuje se tato volba: [ s je počet pozorování/sezón za rok, m je počet let/každé sezóny časové řady ] je průměr hodnot za první rok je průměr hodnot za poslední m-tý rok a) počáteční hodnota sklonu , kde je počet období mezi oběma spočtenými průměry, takže vyjadřuje průměrnou změnu sklonu za 1 období (čtvrtletí, měsíc) během úseku pozorování. b) počáteční hodnota úrovně je průměrná (centrovaná na střed roku) změna úrovně za 1 období spočtená z celého úseku pozorování. c) počáteční hodnota sezónnosti , kde je průměr hodnot za první sezónu je průměr hodnot za poslední s-tou sezónu je aritmetický průměr pozorování přes i-tou sezónu (délky s) a m je celkový počet těchto sezón. Doporučení:Předpovědní interval pokrývající očekávaných hodnot se zkonstruuje následovně: , kde pro , Výpočet MAE se liší dle toho, zda jde o aditivní nebo multiplikativní verzi metody: Pro aditivní verzi: Pro multiplikativní verzi: Pro volbu trojice konstant platí tatáž pravidla jako v případě aditivní verze této metody. Literatura: Abraham,B. a Ledolter,J. [1983]: Statistical Methods for Forecasting. Wiley. New York 1983. Bowerman,B.,L a O´Connell,R.T [1987]: Time Series Forecasting. Duxbury Press. Boston 1987. Montgomery a Johnson [1976]: Forecasting and Time Series Analysis. McGraw-Hill. New York 1976. ________________________________ [1] Postup je popsán v textu: Holt, C.,C: Forecasting seasonal and trends by exponentially weighted moving averages . Res. mem. No 52. Carnegie Institute of Technology. Pittsburg 1957.