Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Matematika studijní text Miloslav Mikul ík, LuboS Bauer, Markéta Matulova, V.Mikul ík Brno 2010 l»First •Prev •Next • Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit Obsah Čísla 8 1.1 Reálná čísla ........................................ 9 1.2 Zápis reálných čísel v desítkové číselne soustavě ..................... 12 1.2.1 Zápis racionálního čísla............................... 12 1.2.2 Iracionalní čísla................................... 13 1.2.3 Aproximače čísel................................... 14 1.2.4 Vlastnosti realnýčh čísel.............................. 16 1.2.5 Vlastnosti uspor^daní reílnýčh čísel......................... 18 1.2.6 Zavedení absolutní hodnoty realneho čísla..................... 20 1.3 Maximum, minimum, supremum a infimum mnoziný realnýčh čísel............ 25 1.3.1 Sýmbolý to, —to.................................. 28 1 2»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit 1.3.2 Zaveden í pojmu interval, a pojmu okol í bodu................... 31 1.4 Komplexn í císla ...................................... 34 1.5 Připomenut í dUležitých vzorcU pro pocítan ís císly..................... 41 2 Základní pojmy lineární algebry 43 2.1 Uvod do maticového poctu ................................ 43 2.2 Relace mezi maticemi................................... 49 2.3 Zakladn í operace s maticemi................................ 51 2.4 Speciain í matice a pravidla pro poc ítan í s maticemi.................... 67 2.5 Systemy linearn ích algebraických rovnic, Uvod....................... 73 2.6 Zaveden í pojmu inverzn í matice.............................. 80 2.7 Ukazka formulace Ulohy linearn ího programovan í...................... 85 3 Lineární prostor 88 3.1 Aritmetický vektorový prostor................................ 88 3.2 Linearn í nezávislost vektorů................................ 90 3.3 Elementárn í transformace................................. 96 3.4 Transformace matice na matici schodoviteho tvarů.................... 100 4 Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic 114 3»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 4.1 Řešen í některých typů systémů lineám ích rovnic ..................... 114 4.2 Ekviválentn í systémy rovnic................................. 127 4.2.1 Převod systemů lineárn ích rovnic ná ekviválentn í system rovnic.......... 127 4.3 Gáůssová eleminácn í metodá................................ 143 4.4 Jordánová eliminácn í metodá................................ 146 4.5 Jordánová metodá ná řesen í máticove rovnice AX = B................. 149 5 Determinanty 157 5.1 Záveden í pojmů determinántů mátice........................... 157 5.2 Vypocet determinántů rozvojem podle libovolneho řádků, resp. sloůpce......... 168 5.3 Hodnotá determinántů mátice B vznikle z mátice A elementárn í tránsformácí...... 178 5.4 Vypocet hodnoty determinántů z horn í schodovite mátice................. 183 5.5 Poůzití determinántů.................................... 191 5.6 Crámerovo právidlo .................................... 192 5.7 Přímy vypocet inverzn í mátice pomocí determinántů................... 196 6 Vztah mezi volnými a aritmetickými vektory 201 6.1 Záveden í volnych vektorů ................................. 201 6.2 Skálárn í soůcin, normá á vzdálenost ve vektorovem prostorů............... 208 6.3 Záveden í Eůklidová prostorů En.............................. 214 4»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 7 Pojem funkce, základní pojmy 223 7.1 Množina, konstanta, proměnná .............................. 223 7.2 Zobražen í.......................................... 227 7.3 Pojem funkce a nektere jej í vlastnosti........................... 236 7.4 Realna funkce realne promenne.............................. 243 7.4.1 Funkce monotonn í, funkce suda a funkce licha.................. 252 7.4.2 Funkce složena a funkce inveržn í ......................... 257 8 Limita a spojitost funkce jedne promenne 265 8.1 Limita funkce jedne promenne v danem bode....................... 267 8.2 Limita a spojitost funkce vytvorene pomoc í dvou funkcí ................. 287 8.3 Shrnutí, ulohy....................................... 304 9 Elementární funkce. 308 9.1 Polynom a racionaln í lomena funkce............................ 308 9.1.1 Kontroln í ulohy - polynom a racionaln í funkce .................. 328 9.1.2 Zaveden í odmocnin ................................ 330 9.2 Funkce ýx......................................... 332 9.3 Mocniny s racionaln ím exponentem............................ 338 9.4 Mocniny s realnym exponentem.............................. 342 5»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit 9.5 Exponenciáln í funkce a logaritmus............................. 346 9.6 Trigonometrické funkce .................................. 353 9.7 Uhel v obloukové m íre.................................... 354 9.7.0.1 Funkce cyklometricke.......................... 367 9.7.0.2 Funkce arctgx.............................. 369 10 Derivace reálné funkce reálné proměnné 372 10.1 Zaveden í pojmu derivace funkce.............................. 372 10.2 Derivace elementarn ích funkcí............................... 397 10.3 Shrnutí, ulohy....................................... 434 11 Použití derivací 437 11.1 Funkce spojite na intervalu ................................ 437 11.2 Vety o funkc ích spojitých na intervalu (a,b) ....................... 443 11.3 Funkce monotonn í na intervalu a lokaln í extremy ..................... 449 11.4 Absolutn í extremy..................................... 458 11.5 Konvexita a konkavnost funkce.............................. 460 11.6 Hledan í kořenu rovnice f (x) = 0 „metodou pulen í intervalu"............... 476 11.7 Vypocet nekterych typu limit ............................... 480 11.8 Prubeh funkce....................................... 488 6»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit 11.9 Diferencial a Taylorova veta................................ 499 11.10Shrnutí a ulohy....................................... 508 12 Funkce více promennych 515 12.1 Parcialn í derivace ...................................... 528 12.1.1 Totaln í diferencial ................................. 549 12.2 Extrémy funkcí v íce promennych.............................. 553 13 V.MikulikiVícerozmerne integrály 572 13.1 Urcity integral funkce jedne promenne - žopakovan í pojmu................ 572 13.2 Zaveden í dvojneho integralu................................ 576 13.3 Trojny integral ....................................... 592 13.4 Ulohy ............................................ 602 7•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 1 ((isla Každý čtenář tohoto textu pracuje s čísly. Práce s čísly je mu samozřejmostí, avšak málokdo si uvedomuje, jak je pojem čísla obtížný. Presne zavedení pojmu čísla se vymyka nasim možnostem. Tuto kapitolu je proto možne čhápat jen jako připomenutí vlastností čísel a jako pokus o vytvorení nahledu na jeden zpusob zavedení pojmu čísla. V teto kapitole uvedeme tež nekolik připomínek k numeričkym vypočtum a zopakujeme si nektere íkony s reílnymi čísly. Zopakujeme si tež zavedení komplexníčh čísel. Součástí vykladu je nekolik príkladu. Pokud nekdo bude mít potíže s jejičh resením, doporučuji sbírky príkladu ze stredoskolske matematiky. 8»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen • Close •Quit 1.1. Reálná čísla Historicky začali lide použ ívat napřed přirozená čísla. Vyjadřuje se jimi pocet prvkU konečne množiny i pořad í odpoč ítavanych objektU. V matematicke literatuře nen í pojem množina přirozených císel chapan jednotne. Nekteří autoři zařazuj í do množiny přirozených c ísel i nulu. V dals ím budeme pod mnozinou přirozenych c ísel rozumet jen mnozinu c ísel 1, 2,3,...; budeme ji znacit N. Na mnozine N je zavedena relace „<" (mens í nebo rovno) a jsou zavedeny operace sec ítan í, oznacena „ + ", a nasoben í, oznacena „•". Jestlize a, b g N a existuje takove c íslo c g N, pro nez plat í a = b+c, oznac íme c = a—b. Je tedy mezi nekterymi prvky z N definovana operace „ —", nazveme ji odec ítan ím. Pozadavek proveditelnosti teto operace pro vsechna a, b G N vede k zaveden í 0 a celych zapornych c ísel —1, —2, —3,.... Mnozina N sjednocena s mnozinou {0} a mnozinou celych zapornych c ísel se znac í Z a nazyva mnozinou celých čísel. Operace „+, —" a uspořadan í „ <" definovane na mnozine přirozenych c ísel se rozsiřuj í na celou mnozinu Z. Na mnozine Z je pak definovana operace „ —". (Zaveden í celych c ísel umozřuje pracovat nejenom s hotovost í , ale i s dluhy.) Nechť p,q g Z, q = 0. Jestlize existuje x g Z tak, ze p = q • x, p íseme x = p, resp. x = p : q. Operaci „:" nazyvame delen ím. Aby delen í c ísla p c íslem q, q = 0, bylo vzdy proveditelne, rozsiřuje se mnozina Z na mnozinu Q, zvanou mnozina racionaln ích ^•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit čísel. Operače ,, + , —, •" a usporadan í, definovane na množine Z, rozsirujeme na čelou množinu Q. Na množine Q je pak definovano i delen í č ísla p č íslem q pro vsečhna p, q g Q, q = 0. Množinu Q nazývame množinou racionálních čísel a operače „ + , -, •,:" nazývame racionálními operacemi. Račionaln ím č íslem je tedý každe č íslo tvaru p, kde p, q G Z, q = 0. Jestliže p, S G Q, potom p = S, jestliže ps = rq. Např. 4 = 3. Každe čele č íslo a G Z lze zapsat ve tvaru a. (Zaveden í račionaln íčh č ísel umožňuje poč ítat i s častmi čelku.) Zaveďme si nýn í č íselnou osu. Číselná osa. Uvažujme přímku s daným bodem 0, nazveme jej počatkem. Jistý smýsl pňr ímký žvol íme jako kladný. Zvolme dale useňčku, jej í delku ožnaňč íme jako jednotku. V textu budeme tuto přímku kreslit ve vodorovne poloze a za jej í kladný smýsl vol íme smer zleva doprava. Ke každemu račionaln ímu č íslu priřad íme na teto prímče bod takto: ke každemu pňirozenemu č íslu n priřad íme bod, označme jej n, a to tak, že zvolenou jednotku naneseme od počatku n-krat v kladnem smýslu, to jest doprava. Ke každemu čelemu zapornemu č íslu m přiřad íme bod, označme jej m, a to tak, že zvolenou jednotku naneseme od počatku (-m)-krat v zapornem smýslu, to jest doleva. C íslu 0 přirad íme počatek. Nečht p je račionaln í č íslo, ktere nen í čelým č íslem. Bez ujmý na obečnosti lze predpokladat, že p G Z, q G N, q = 0. Usečku, jej íž delku jsme zvolili za jednotku, rozdelme na q stejnýčh d ílku. Je-li p > 0, naneseme p tečhto d ílku doprava, je-li p < 0, naneseme (-p) tečhto d ílku doleva. Obdržený bod označíme p. Jsou-li p, lQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit - taková racionální čísla, že ps = rq, potom je jim přiřazen tentýž bod. Čísla -q, -jsou zápisý tehož racionálního čísla, napr. zápisý |, 6 představují totež racionální číslo. Označme Q množinu vsech bodU přiřazených naznačeným zpUsobem k racionalním CíslUm. Uvedenou prímku nazveme číselnou osou. Není podstatný rozdíl mezi bodem z množiný Q a racionalním číslem, k nemuž býl bod přirazen. Budeme tedý používat pojem bod p a racionalní číslo p ve stejnem významu. Na obr. 1.1 jsou význačena čísla -2, -1,0,1, 2,3,4 a číslo 7. -2 -1 0 1 u 2 3 \ 4 Obrázek 1.1: Číselná osa Jestliže k číslu p je přiřazen bod na číselné ose nalevo od bodu přiřazenému k číslu q, je p < q, řesp. q > p. Budeme pak říkat, že číslo p je mensí než číslo q, řesp. že číslo q je vetsí než číslo p. Řekneme, že p < q, je-li p < q nebo p = q. • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.2. Zápis reálných čísel v desítkové číselné soustavě K zápisu čísel v desítkové soustavě používáme deset symbolů (cifer) 0,1,2,3,4, 5,6,7, 8,9 a prípadne desetinnou čárku (v zahraničním textu a pri práci na počítači často desetinnou tečku). Tak např. 3,15 (1.1) je zkračeny zapis čísla 3 + 1 • 10—1 + 5 • 10"2-. Tomuto číslu odpovídí na číselne ose bod ležíčí mezi bodem „3" a „4". Vzdalenost mezi „3" a „4" rozdelíme na 10 dílku - jeden dílek ma delku a od čísla „3" naneseme jeden tento dílek napravo - dostaneme bod na číselne ose odpovídajíčí číslu 3,1. Dílek delky 10 rozdelíme opet na 10 dílku - jeden d ílek ma pak delku . „5" tečhto d ílku naneseme od bodu „3,1" napravo. Dostaneme tak bod, ktery odpov ída bodu „3,15." 1.2.1. Zýpis racionýlního čísla. Kazde nenulove račionaln í č íslo lze zapsat ve tvaru +p nebo —p, kde p, q g N, q = 0. Delen ím č ísla p č íslem q podle znameho algoritmu dostaneme kde sgn je znamenko „ + ", nebo „-", n je prirozene číslo nebo nula, „," je tzv. desetina čarka a a1,a2,... jsou čifry „0,1, 2,3,4, 5,6, 7,8,9". Napr. a) 3 = 0,75 b) 3 = 0,333... Lehče nahledneme, ze zapis kazdeho račional- • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen • Close •Quit n ího c íslá se vyznácůje t ím, ze bůdto • zá desetinoů cárkoů je konecny pocet nenůlovych cifer nebo • existůje táková ůspořádáná skůpiná c ísel, ze zá kázdoů tákovoů skůpinoů c ísel bezprostredne následůje opet táto skůpiná c ísel. Tákováto c íslá se názyváj í periodická. Zápis je mozne provest ták, ze nád prvn ím vyskytem opákůj íc í se skůpiny se dá průh á dáls í návázůj íc í skůpiny se nep ís í. Tedy náhore ůvedene c íslo 1 = 0,333... lze zápsát jáko 0, 3. Ke kázdemů rácionáln ímů c íslů odpov ídá ná c íselne ose bod (Ták ják jsme to videli s c íslem „3,15". 1.2.2. Iracionální čísla Lze ůkázát, ze delků ůhlopřícky ctverce o stráne „1" nelze vyjádrit jáko rácionáln í c íslo. To známená, ze neexistůje tákove rácionáln í c íslo „ů", jehoz drůhá mocniná je je rovná „2" (viz.1.1). Tento nedostátek odstrán íme záveden ím tzv. iracionálních čísel. Irácionáln ím císlem bůdeme rozůmet opet symbol (1.2),ávsák tákovy, ze zá desetinoů cárkoů je nekonecne mnoho nenůlovych cifer á neexistůje v tomto zápisů táková ůspořádáná skůpiná c ísel, ze zá kázdoů tákovoů skůpinoů c ísel bezprostredne následůje 13»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit opet tatáž skupina čísel.To znamená, že zápis (1.2) nepředstavuje číslo racionáln í. Jestliže x = sgn n, aia2 • • • an ..., (1.2) je iracionaln í c íslo,potom pro kaZde n leZ í c íslo x mezi racionaln ími c ísly x1 = sgn n, a1a2 • • • an, x2 = sgn n, a1a2 • • • an,... an+k + 1S, (1.3) kde k je nejmens ítakove přirozene c íslo, ze an+k 0, pro nez plat í |x — x| < ô. • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jestlize x je iracionaln í c íslo v des ítkove soustave a v jeho zapise ponechame jen prvn ích n cifer za desetinnou carkou, dostaneme racionaln í c íslo x, pro nez plat í |x — x| < 10—n. Předpokladejme, ze při meřen í vzdalenosti dvou m íst A, B, kde A je m ísto v Praze a B je m ísto v Brne, se dopust íme chyby nejvyse 1m. Podobne předpokladejme, ze při meřen í delky obdeln íkove m ístnosti se dopust íme rovnez chyby nejvyse 1m. Je zrejme, ze stejny odhad chyby meřen í nelze pouz ít ke srovnan í přesnosti metody meřen í. K posouzen í „kvality" aproximace se pro x = 0 pouz íva casto tzv. relativní chýba, definovana vztahem rp _ rp x C íslo ô > 0, pro nez plat í rp _ rp x nazyvame odhadem relativní chýbý. Při numerických výpočtech jsme v jistem okamžiku nuceni císla iracionální, s nimiz se pracuje, aproximovat císlý racionalními. Provadíme-li výpoctý na kalkulačce, nebo na pocítaci, nemame k dispozici ani množinu všech racionalních císel. Pracuje se jen s císlý dane reprezentace v danem rozsahu. Výsledek racionalní operace (+, —, •,:) s těmito císlý se aproximuje podle zabudovaného kritéria opět císlem dane reprezentace. T ím, ze nepracujeme s přesnymi c ísly, alae jenom s jejich apoximacemi, muze vest k velkym < ô, 15^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit chybám. Je tomů ták predevs ím pri delen í velice málymi c ísly. Irácionáln ím ríslům cásto prirázůjeme symboly, nápr. n á teprve k záverů, jeli to ůcelne, provád íme áproximáci rácionáln ími c ísly. 1.2.4. Vlastnosti realných císel Množinu vsech racionálních čísel, sjednocenou s množinou čísel ira-cionálních,nazýváme množinou reálných císel a budeme ji značit R. Aritmetické operace ,+— secítaní, - -odecítíní, . -nasobení a ; delení pro racionílní čísla rozšiřujeme i na císla reílní. Rovněž lze rozšířit relaci < na množinu vsech reílných císel." (Zavedení je možno provést využitím dolní a horní aproximace aproximace iracionalních císel.) Uved'me vsák nápred zákládn í vlástnosti tákto závedenych reálnych c ísel. Dále ůvedene vlástnosti je mozno poůzít k áxiomátickemů záveden í reálnych císel tákto. Mnozinů R, ná n íz jsoů závedeny operáce „ + , " á ůsporádán í < s následůj íc ími vlástnostmi, názyváme mnozinoů reálnych císel. lQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Základní vlastnosti reálných čísel (Ri) (x + y) + z = x + (y + z) pro všechna x,y,z g R. (R2) x + y = y + x pro každé x, y g R. (R3) Existuje prvek 0 G R tak, že pro každé x g R platí x + 0 = x. (R4) Ke každému x g R existuje prvek —x g R tak, že x + (—x) = 0. (R5) (x • y) • z = x • (y • z) pro všechna x, y, z g R. (R6) x • y = y • x pro každé x, y g R. (R7) Existuje prvek 1 g R tak, že pro každé x g R platí x • 1 = x. (R8) Ke každému x g R, x = 0 existuje prvek x-1 g R tak, že x • x-1 = 1. (R9) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) pro vsechna x, y, z g R. (Rio) Uspořédéní < je lineérní. (Rii) Je-li x, y, z g R, x < y, pak x + z < y + z. (Ri2) Je-li x, y, z g R, x < y, z > 0, pak x • z < y • z. (Ri3) Jsou-li X C R, Y C R nepréždné množiny a platí-li x < y pro každé x g X a každe y g Y, pak existuje a g R tak, že x < a < y pro každe x g X a každe y g y ._ 17•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.2.5. Vlastnosti uspořádání reálných čísel. Ze „zakladn ích vlastnost í realnych c ísel" dostavame tuto vetu. Veta 1.1. (Nerovnice) Pro libovolná čísla x,y,z,u platí (1.4) Je-li x < y, z < u, potom x + z < y + u. Slovy: Levé i pravé strany souhlasných nerovnic můžeme sečíst. (1.5) Je-li x < y, z > 0, pak x • z < y • z. Slovy: Nasobíme-li obě strany nerovnice témž kladném číslem, smysl nerovnice se nezmění. (1.6) Je-li 0 < x < y, 0 < z < u, platí0 < x • z < y • u. (1.7) Je-li x < y, z < 0, potom x • z > y • z. Slovy: Nasobíme-li obž strany nerovnice témž žépornym žíslem, žmeníse smysl nerovnice. (1.8) Je-li 0 yz. . Příklad 1.1. V R řeste nerovniči 2x + 1 < 5x — 2. (1.9) Řešení. Na obe strany (1.9) připočítejme —2x + 2. Uzitím (R11) dostavame 3 < 3x. (1.10) Nasoben ím (1.10) č íslem 1 dostavame x > 1. Tedy nerovniči (1.9) vyhovuj í vsečhna č ísla x > 1. 19^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.2.6. Zavedení absolutní hodnoty reálného čísla. Zopakujme si žaveden í pojmu absolutn í hodnota realneho c ísla. Definice 1.1. (Absolutní hodnota reálneho ďslá) Nechť x g R. Položme li í x, je-li x > 0, \ —x, je-li x < 0. C íslo \x\ nažveme absolutní hodnotou c ísla x. Príklád 1.2. a) \ — 4\ =4. Polož íme-li x = —4, je x < 0, takže podle definice je \— 4\ = \x\ = —(—x) = —(—4) = 4. b) \x — 2\, kde x je realne se urc í takto: Je-li x — 2 > 0, to jest, jestliže x > 2, je \x — 2\ = x — 2. V případe, že x — 2 < 0, to jest, jestliže x < 2, je \x — 2\ = —(x — 2) = 2 — x. Tedy x 2 pro x 2, \x — 2\ = < _ _ 12 — x pro x < 2. Pro absolutn í hodnotu realnych c ísel plat í vžtahy uvedene v nasleduj íc í vete. Jejich dukažy přenechavame ctenaři. 20•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 1.2. (Pravidla pro absolútni hodnoty) Necht x, y, a, £ G R, e > 0. Potom platí |x| > 0 (1.11) x < |x|, —x < |x| (1.12) /y» - _ rp | t/y | - | iJj | (1.13) |x| — |y| < |x + y| < |x| + |y| (1.14) |x • y| = |x| • |y| (1.15) i x| = pro y = 0 (1.16) |x — a| < e a — e 0, pevná c řslá, potom |x — a| v (1.17) znamená, Ze x je od bodů a vzdáleno o mene neZ e. PonevádZ body a — e, a + e jsoů od bodů a vzdáleny práve o e, leZ ř x mezi body a — e, a + e, tedy plát ř a — e 0. Potom |x - 2| = x - 2. Dále je Ze vztáhu doštáváme Ze vztáhu doštáváme (1.18) (1.19) (1.20) x > 2. 2x 1 < x 2 x < 1. x- 2 < 3x + 2 2x > -4, 22• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ae tedy x > -2. Vztahy (1.19), (1.20), (1.21) vyznačíme na číselne ose. (1.21) < 1 1 1 1 -3 -2 -10 1 2 3 Vidíme, že pro x > 2 nemí rovnice resení. P) Nechť x - 2 < 0. Potom \x - 2| = -x + 2. Podle predpokladu je x< 2. (1.22) Ze vztahu (1.18) pro tato x dostavame 2x - 1 <-x + 2. Odtud dostavame tj. 3x < 3, x < 1. (1.23) 23^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ze vztahu -{x - 2) < 3x + 2 dostavame 4x > 0, tj. x > 0. {1.24) Ze vztahU (1.22), (1.23), (1.24) dostavame 0 < x < 1. Dane Uloze tedy vyhovuj ř všechna C řsla, pro nez plat ř 0 < x < 1. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.3. Maximum, minimum, supremum a infimum množiny reálných čísel Zaved'me si nekolik pojmU spojených s množinami realných čísel. OhraniCene množiny. Necht; M C R. Rekneme, že množina M je shora ohraničená, jestliže existuje takove císlo h, že x G M =>■ x < h. Císlo h nažývame horním ohraničením množiny M. Podobne řekneme, že množina M je zdola ohraničená, jestliže existuje takove realne císlo d, že x G M =>■ x > d. Císlo d nažývame dolním ohraničením množiny M. Jestliže množina M je shora i ždola ohranicena, ríkame, že je ohraničena. Jako príklad uved'me množinu M = {x G R : x = 1, kde n G N}. n Zrejme horním ohranicením množiny M je každe realne císlo h > 1 a dolním ohranicením množiny M je každe císlo < 0. 25• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zaved'me si dale pojmy maximum, minimum a pojmy suprémum a infimum množiny reálných čísel. I Maximum číselné množiny Řekneme, že číslo xmax je maximum číselné množiný M, jestliže 1. xmax G M, 2. jestliže x G M, potom x < xmax. Píšeme xmax = max x, resp. xmax = max M. Jestliže takoví číslo neexistuje, xgM ríkíme, že množina M nemí maximum. To znamena, ze xmax je horn ím ohranicen ím mnoziny M, ktere do do M patrí. Minimum číselné množiny Rekneme, že číslo xmin je minimum číselní množiný M, jestliže 1. xmin G M, 2. jestliže x G M, potom x > xmin. Píšeme xmin = min x, resp. xmin = min M. Jestliže takoví číslo neexistuje, ríkame, xgM že množina M nema minimum. To znamena, ze xmin je doln ím ohranicen ím mnoziny M, ktere do do M patří. 26^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jako príklad uved'me dve množiny U, V realnych c ísel U = {x g R : x = i, kde n g N}, (1.25) V = {x g R : x < 2 A x > 0}. (1.26) Zrejme max x = 1, min x neexistuje, max x = 2, min x = 0. xgU xgU xgV xgV VSimnéme si, že podle definice je maximum (minimum) číselné množiny M jejím prvkem. Uved'me si dva podobne pojmy: supremum a infimum císelne množiny. Tyto pojmy posluchaci nekdy mylne žameřuj í s pojmy maxima a minima c íselne množiny. Jestliže množina M je shora ohraničena, potom existuje její nejmenší horní ohraničení, označme je swpM, a nazveme je suprémem množiny M. Toto číslo, na roždíl od maxima množiny, nemusí patřit do množiny M. Jako príklad uved'me množinu M={0,9; 0;99; 0.999, ... } Lehce nahledneme, že tato množina je shora ohranicena - jej ím supremem je žrejme c íslo „1". Toto c íslo nen í maximem množiny M, nebol; nepatří do M. Jestliže množina M je ždola ohraničena, potom existuje její nejvetší ohraničení ždola, označme je in/M, a nazveme je infimem množiny M. Toto číslo, na roždíl od minima množiny, nemusí patřit do množiny M. 27^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jako príklad uved'me mnoZinu M={0,9; 0;09; 0.009, ... } Lehce nahledneme, Ze tato mnoZina je zdola ohranicena - jej ím infimem je zrejme c íslo „0". Toto c íslo nen í minmem mnoZiny M, nebol; nepatří do M. Vžimnžme si, že sup M a inf M nemusí bít prvky množiny M. JestliZe plat í G = sup M G M, potom G je maximem mnoZiny M. Podobne, plat í-li g = inf M G M, potom g je minimem mnoZiny M. 1.3.1. Symboly oo, —oc Rozšírení množiny reálných císel o dva symboly oo, —oo. MnoZinu realnych c ísel R nyn í rozs íríme o dva symboly o, —o, (m ísto o lze psat i +oo) (cteme (plus) nekonecno a minus nekonecno). MnoZinu R U {—o, o} budeme znacit R*. Symboly —o, o nazyvame nevlastn ími c ísly. (Nekdy z duvodu strucnosti pouze c ísly.) Stejne jako m ísto term ínu realne c íslo lze pouZ ít term ín bod x, lze mluvit o bodech o, resp. —o. PoloZme x < o pro vsechna x G R. JestliZe mnoZina M C R nen í shora ohranicena, poloZ íme sup M = o. Nevlastn í c íslo o je nejmens í horn í ohranicen í mnoZiny realnych c ísel. 28^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Položme x > —to pro vsečhna x G R. Jestliže množina M C R nen í zdola ohraničena, polož íme inf M = —to. Nevlastn í č íslo —to je nejvets ím doln ím ohraničen ím množiný prirozenýčh č ísel. Některé racionální operace rozšíříme i na nevlastní čísla —to, to. Pravidla pro počítaní s —to, to obsahuje nasledující rámeček. Necht a G R, potom definujeme a + to = to, to + a = to TO + TO = TO a - to = —to, —to + a = —to —to - to = —to ^ = 0 ±TO = 29^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit oo • {—oo) = —oo —oo • oo = —oo —o • {—o ) = o í oo, je-li a > 0 a •o = < ... [ —o, je-l/ a < 0 , , í —oo, je-li a > 0 o, je-li a < 0 Poznámka. Všimněme si, že některé operace, například ±oo oo — oo, -o + oo,--, 0• oo, 0 • (-o), ±oo jsou nadále nedefinované. 30^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.3.2. Zavedení pojmu interval, a pojmu okolí bodu. Nechť a, b G R, a < b. Mnozinu vsech x G R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazyvat uzavřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvame levym (pravym) koncovym bodem intervalu (a, b). Mnozinu vsech x G R, pro nez platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazyvat otevřeným intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a (b) nazyvíme levym (pravym) koncovíym bodem intervalu (a, b). Mnozinu vsech x G R, pro nez platí a < x < b (a < x < b), budeme zapisovat jako (a, b) ((a, b)) a nazyvat zleva uzavřeným (otevřeným) a zprava otevřeným (uzavřeným) intervalem o koncových bodech a, b. Císlo a nazyvame levym a císlo b nazyváme pravym koncovym bodem intervalu (a,b) ((a,b)). Mnozinu vsech císel x G R, pro nez platí a < x< to (a 0. Potom interval (a, a + ô) budeme nazyvat pravým ô-okolím bodu a a budeme jej vetsinou značit U+(a). Tedy U+(a) = (a, a + ô). Kvuli zkračen ízapisu jej lze nekdy označit stručne U + (a). Nečht a G R, ô G R, ô > 0. Potom interval (a — ô, a) budeme nazyvat levým ô -okolím bodu a a budeme jej vetsinou značit U— (a). Tedy U— (a) = (a — ô, a). Kvuli zkračen í zapisu jej lze nekdy označit stručne U— (a). Nečht a G R, ô G R, ô > 0. Potom interval (a — ô, a + ô) budeme nazyvat ô -okolím bodu a a budeme jej vetsinou značit U (a). Tedy U (a) = (a — ô, a + ô). Kvuli zkračen í zapisu jej lze nřekdy oznařčit struřčnře U(a). Nečht k G R. Potom mnozinu (k, to) nazyvame k-okol ím bodu to a znač íme Uk(to), nebo stručne U (to). Podobne mnozinu (—to, k) nazyvame k-okol ím bodu —to a znač íme Uk (—to), nebo stručne U (—to). 33^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.4. Komplexní čísla Rada matematickych uloh nen í resitelna v oboru realnych c ísel. Napr. neexistuje realne c íslo x, pro neZje x2 = —1. To znamena, Ze rovnice x2 + 1 = 0 nema v oboru realnych c ísel řesen í. Tato a cela řada jinych uloh nas inspiruje k zaveden í komplexn ích c ísel. Definice l.2. Oznacme C mnoZinu usporadanych dvojic realnych c ísel (x, y), na n íZ jsou zavedeny operace sec ítan í „ + " a nasoben í „•" s temito vlastnostmi: Pro ai,a2,bi,b2 G R poloZ íme (ai, a2) + (bi, b2) = (ai + bi, a2 + b2), (1.27) (ai, a2) • (bi, b2) = (aibi — a2b2, aib2 + a2bi). (1.28) MnoZinu C nazveme mnoZinou komplexn ích c ísel, jej í prvky nazyvame komplexn ími c ísly. Je-li z = (a, b) G C, lze psat z = (a, 0) + (0,1) • (b, 0) (1.29) C íslo (c, 0) lze zkracene oznacit jako c pro kaZde c G R. Symbol (c, 0) oznacuje tedy realne c íslo. C íslo (0,1) oznac íme symbolem i a nazveme imaginarní jednotkou. 34^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Potom (1.29) lže žapsat jako z = a + ib. (1.30) Jestliže z = a + ib G C, potom C íslo a nazýváme jeho reálnou částí a žnaC íme ji lift (z), b nažyvame imaginární částí a žnaC íme ^(z). Je tedy lift (a + ib) = a, ^(a + ib) = b. Nechť z = a + ib G C. Potom C íslo a — ib nažyvame číslem komplexně sdruženým k C íslu z. Budeme jej žnaCit ž. Tedy ž = a — ib. Vžhledem k definovan í souCtu a souCinu C ísel (ai,bi), (a2,b2) dostavame (ai + ibi) + (a2 + ib2) = (ai + a2) + i(bi + b2), (ai + ibi) • (a2 + ib2) = (aia2 — bib2) + i(aib2 + a2bi). Příklad 1.4. (2 + 3i) + (4 — i) = 6 + 2i (2 + 3i) • (4 — i) = 11 + 10i Lže ukažat, že operaCe sC ítan í a nasoben í komplexn ÍCh C ísel maj í tyto vlastnosti (1) (zi + z2) + z3 = zi + (z2 + z3) pro každe zi, z2, z3 G C, (2) zi + z2 = z2 + zi pro každe zi, z2 G C, 35•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (3) Pro O = (O, O) g C plát í z + O = z pro vsechná z g C, (4) Ke kázdemů z g C existuje —z g C ták, ze z + (—z) = O, (5) (z1 • Z2) • za = Z1 • (z2 • za) pro kázde Z1, Z2, za g C, (6) z1 • z2 = z2 • z1 pro kázde z1,2 g C, (7) Pro 1 = (1, O) g C á pro kázde z g C plát í 1 • z = z, (B) Ke kářzdemů z g C, z = O existůje z—1 g C ták, řze z • z—1 = 1, (9) Z1 • (z2 + za) = (z1 • Z2) + (z1 • za) pro kázde Z1, Z2, za g C. Vid íme, ze operáce sec ítán í á násoben í komplexn ích c ísel máj í vlástnosti, ktere jsme ůvedli ů reálnych c ísel ná stráne 16. Komplexn í c íslá vsák nejsoů lineárne ůspořádáná. Komplexn í c íslá se znázorřůj í jáko body v rovine, ve ktereje závedená kártezská soůstává soůrádnic, názyvá se Gaussovou rovinou. Kázde komplexn í c íslo z = x + iy se v n í znázorřůje jáko bod o soůrádnic ích x, y, tedy jáko [x, y]. Ná obr. 1.4 je gráficky znázornen soůcet dvoů komlexn ích c ísel. Ná obr. 1.5 je vyznáceno komplexn í c íslo z á k nemů komplexne sdrůzene c íslo ž. Absolutní hodnota komplexního Čísla. Necht z = a + ib g C. Potom c íslo V a2 + b2 názyváme absolutní hodnotou komplexního císla z á znác íme ji jzj. Je tedy ja + ibj = Va2 + b2. Je to vzdálenost bodů [O, O], [a, b]. 36^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y a2 + 62 a2 Z = Zl + Z2 bi Obrázek 1.4: Součet dvou komplexních čísel. Příklad 1.5. Určete realnou a imaginarní čast komplexního čísla z = 1 + 2i 3-4i' Řešení. Zlomek, jímž je komplexní číslo z definovano, rozsíříme číslem komplexne sdruženým k číslu ve jmenovateli, to jest číslem 3 + 4i. Dostaneme (1 + 2i) • (3 + 4i) -5 + 10i z =(3 - 4i) • (3 + 4i), tojest z = 37^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Vi } z = a + ib "ô 'ž = a — ib x Obrázek 1.5: Komplexne sdružená čísla. Je tedy 3t(z) = -1, %z = 2. Z vykladu je zrejme, ze realní císla jsou podmnožinou komplexních císel, tedy R c C. Komplexn í c ísla, ktera nejsou realna, nazyvame imaginírními. Rozdelen í komplexn ích c ísel lze schematicky znazornit takto: 38^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Komplexní čísla C Imaginární čísla Reálná čísla R Iračionaílní čísla Račionaílní čísla Q Nečelí račionalní čísla Celí čísla Z Cela záporní čísla Nula 0 Prirozena čísla N Zaveďme si ješté celoč íselné mocniny komplexn ich č ísel následovné. 39»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht; a G C, n G N. Položme an = a • a • • • • • a • a, (1-31) n a-n = an, pro a = 0, (1.32) a a0 = 1, pro a = 0, (1.33) 0n = 0. (1.34) Pro celocíselne mocniny komplexních císel platí tato pravidla. Nečht a, b G C, r, s G Z. Potom platí ar • as = ar+s (1.35) ar : as = ar-s (1.36) (ar )s = ars (1.37) (a • b)r = ar • br (1.38) ( a Y ar (1.39) = br pokud má leví strana vyznam. 40^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1.5. Připomenutí důležitých vzorců pro počítání s čísly. n-faktoriál. C řslo n! (Čteme ,,n faktoriai") definujeme takto: 0! = 1, n! = 1 • 2n pro n g N. Kombinační číslo. Necht n g N, k g {0} u N. Definujeme n! {n - k)!k! •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit I [Důležité vzorce] Necht a, b G C, n G N. Potom platí (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.40) (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (1.41) (a — b)(a + b) = a2 — b2 (1.42) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1.43) (a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 (1.44) a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (1.45) a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (1.46) Binomická veta (a + b)n = (' u)an+(ľ)an—1b+•••+Chk bk+-+c • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 2 Základní pojmy lineárni algebry V teto kapitole se zavadej í pojmy linearn í algebry jako je matice, operace s maticemi, zapis systemu linearn ích rovnic v maticove notaci a pojem matice inverzn í. 2.1. "Uvod do maticového počtu V denn ím Zivote se casto setkavame s ruznymi tabulkami c ísel. Jedna se vlastne o skupinu císel zapsanych do nekolika radku a nekolika (treba jineho poctu) sloupcu. Jako príklad si uved'me nasleduj íc í tabulku. 43^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Vi V2 V3 V4 V5 tuk 0, 00 0, 4 0, 3 0, 6 0, 6 kakao 0, 05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 cukr 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 Tabulka 2.1: Tabulka pro výrobu v čokoládovne Tato tabulka charakterizuje vyrobu v čokoládovne při vyrobe 5 druhů výrobků, označených jako V\,V2, V3, V4, V5. V nasem příklade se uvad í spotřeba surovin Si,S2, S3, to jest po řade tuku, kakaa a cukru v kg na 1 kg kaZdeho z vyrobku V\,..., V5. Např. pri vyrobe 1kg vyrobku V2 spotřebujeme 0,4kg tuku. Vynechame-li zahlav í v tabulce, jedna se o usporadanou skupinu 15 č ísel, zapsanych do tr í radku a peti sloupcu. Pro takove usporadane skupiny c ísel si zavedeme nasleduj íc í definic í pojem matice. Zavedení pojmu matice. Maticí typu (m,n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu mi • n reálných Čísel resp. funkcí, definovaných na nějaké množině, zapsaných do m ěadku a n sloupcu. Každé z těchto Čísel, resp. každou z techto funkcí, budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznadli, že tato císla, resp. funkce, vytvaěejí matici, budeme tuto skupinu čísel davat do kulatých zavorek. V dalsím se omez íme na matice, jej íz prvky jsou c ísla. 44»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Označování. Matice budeme označovat většinou velkými tučně vytištěnými písmeny, napr. A. Prvek matice umístený v jejím i-tem radku a v j-tem sloupci, budeme vetšinou označovat malým p ísmenem, odpov ídaj íc ímu označen í matice, s indexy i, j, um ístenými u jeho doln ího praveho rohu. Tedý ai;j- bude znacit prvek matice A v jej ím i-tem řadku a v j-tem sloupci. Pokud nerrmZe doj ít k chýbe, lze carku mezi indexý výnechat. Příklad 2.1. Výse uvedenou tabulku význac íme tedý jako matici týpu (3, 5) nasledovne: / 0,00 0,4 0,3 0,6 0, 6 \ A = 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 . (2.1) v 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 j V teto matici je napr. a2,3 = 0,1; a1;3 = 0,3. Zápis obečné matiče A typu (m,n). Matici A typu (m,n) můžeme tedy zapsat takto A ( «1,2 ai,2 a1,n—1 a1,n ai,n—1 ai,n \ (2.2) \ ^m,l ^m,2 • • • Q"m,j • • • ^m,n—1 ^m,n J 45»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit JestliZe matiče A je typu (1,n) , to jest, jestliZe A = (aM ax,2 . ..ai,n), (2.3) potom ji nazývame tež radkovým vektorem. Budeme jej vetsinou označovat tučne výtisteným malým písmenem. Ponevadž u vsech prvku je první index stejný, roven 1, lze jej vetsinou výpoustet. Místo nahore uvedene matice(2.3) mužeme tedý psat a = (ai a2 .. . an). Prvký tohoto řadkoveho vektoru budeme nazývat složkami vektoru. Tedý ai je i-ta složka vektoru a. Podobne, jestliže matice A je týpu (m, 1) , to jest, jestliže / ai,i \ A «2,1 (2.4) \ am,1 / potom ji mužeme nazývat tež sloupcovým vektorem. Budeme jej vetsinou označovat tučne výtisteným malým písmenem. Ponevadž u vsech prvku je druhý index stejný, AQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit roven 1, bůdeme jej vetsinoů vypoůstet. M isto (2.4), můzeme tedy psát a1 a2 a (2.5) am Řř ádky mátice typů (m, n) jsoů řrádkovymi vektory á sloůpce mátice jsoů sloůpcovymi vektory. Príklad 2.2. V následůj íc ím príkláde je A mátic í typů (2,3), vektor b je řádkovy vektor se 4 slořzkámi, c je sloůpcovy vektor se 4 slořzkámi. A (45T) b = 1 6 5 4 , c = 1 —2 3 5 Je tedy nápř. a2?a = T. Al^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.3. OžnaCme Di,D2 m ísta, ž niChž se provad í rožvož do m íst Zi, Z2,Z3. OžnaCme cj naklady v KC na dopravu 1 tuny žbož í ž m ísta D do m ísta Zj pro i = 1, 2; j = 1, 2,3. Z C ísel cj utvoříme matiá, např. C ( 2000 1500 1800 800 50000 1000 ) (2.6) Jde o matiči týpu (2,3). V teto matiči je napr. c1;3 = 1800, to znamena, že nakladý na dopravu jedne tuný zbož í z m ísta D1 do m ísta Z3 jsou 1800 Kč. Příklad 2.4. Uved'me matiči popisuj íč í čenu v $ trí druhu zbož í V1, V2, V3 ve čtýrečh ruznýčh zem íčh Z1 ,Z2,Z3,Z4. C = 230 450 100 200 420 90 210 430 80 235 435 95 J (2.7) Zde c^j žnaC í Cenu žbož í Vj v $ v žemi Z^. Ponevadž c23 = 90, je Cena žbož í V3 v žemi Z2 rovna 90$. Uved'me jeste pr íklady matiC, ktere obsahuj í jenom jeden radek, tedy pr íklady radkovyCh vektoru. 48•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Príklad 2.5. UvaZujme vyrobn í zavod, v jehoZ dvou provozovnach se vyrabej í stejne ctyři ruzne vyrobky, oznacme je V\,V2, V3,V4. Oznacme ai pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobit v prvn í provozovne a bi pocet vyrobku Vi, ktere se maj í denne vyrobit v druhe provozovne. Potom vektor a = (ai a2 a3 a4) charakterizuje denn í vyrobn í plan prvn í provozovny a vektor b = (bi b2 b3 b4) charakterizuje denn í vyrobn í plan druhe provozovny. Je-li tedy napřr. a = (1 5 8 6), b =(4 6 12), (2.8) potom napr. a2 = 5 znamena, Ze prvn í provozovna ma denne vyrobit podle planu 5 vyrobku V2. Druha provozovna ma podle planu vyrobit techto vyrobku b2 = 6. Zat ím jsme pouze uvedli zpusob zapisu uspořadane skupiny c ísel, se kterymi je vhodne v dals ím pracovat jako s celkem. V dals ím budeme vetsinou odhl íZet od vecneho vyznamu jednotlivych prvku matic a ukaZeme moZnosti, jak lze s maticemi pracovat. 2.2. Relace mezi maticemi Meži maticemi tehož typu si zavedeme nasledující relace. Necht; A, B jsou matice tehoZ typu (m, n). Řekneme, Ze matice A je mensí nebo rovna matici B, a p íseme A < B, jestliZe aij < bij pro vsechna i = 1, 2,... ,m, j = 1, 2,... ,n. 49^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řekneme, že matice A je mensí než matici B, a píšeme A < B, jestliže aj < bj pro vsechna i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Řekneme, že matice A je vetsí nebo rovna matici B, a píšeme A > B, jestliže aj > bj pro vsechna i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Řekneme, že matice A je vetsí než matice B, a píšeme A > B, jestliže aj > bj pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Řekneme, že matice A je rovna matici B, a píseme A = B, jestliže aj = bj pro vřsechna i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. Příklad 2.6. Necht; / 1 2 -3 \ A = 2 0 3 I , B 2 2 -5 Přesvedcte se, že A < B. Příklad 2.7. Presvedcte se, že meži maticemi A, B , kde 1 2 3 2 0 3 l 8 2 — 2 \ 3 0 3 2 2 0 \ A V 2 0 3 2 2-5 B \ 2 8 3 0 0 0 bO^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit neplat í žadna z relac í <, <, >, >, =. 2.3. Základní operace s maticemi Zaved'me si týto operace s maticemi. Začneme s nekolika motivačn ími příkladý. Nahore v příklade 2.5 jsme uvažovali vektorý a a b, dane vztahý (2.8). Vektor a predstavuje denn í výrobn í plan prvn í provozovný a b představuje denn í výrobn í plan druhe provozovný. Necht ai je denn í plan výrobý výrobku Vi v prvn í provozovne a bi je denn í plan výrobý výrobku Vi v druhe provozovne pro i = 1, 2, 3,4. Jestliže se ve výrobn ím zavode výrabej í uvedene výrobký pouze v techto dvou provozovnach, pak denn í plan výrobý výrobku V1, V2, V3, V celeho zavodu predstavuje zrejme c = (5 11 9 8), kde ci = ai + bi, je denn í plan výrobý celeho zavodu výrobku Vi pro i = 1, 2, 3, 4. Jev í se proto užitečným označit vektor c jako součet vektoru a a b. Příklad 2.8. Nechť podnik výrab í výrobký V^V^Vj ve dvou provozovnach. Plan výrobý výrobku V1 ,V2, V3 v prvn í provozovne podniku je pro jednotlive kvartalý charak-terizovan matic í A a výroba ve druhe provozovne je pro jednotlive kvartalý charak-terizovana matic í B. Obe matice jsou týpu (4,3). Nechť prvek aij matice A udava 51^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit planovaný pocet výrobku Vj v i-tem kvartalu v první provožovne. Analogický výžnam ma prvek bi;j- matice B. Tedý A ( ai,i ai,2 ai,3 \ a2,i a2,2 a2,3 a3,i a3,2 a3,3 \ a4,i a4,2 a4,3 / B / bi,i bi,2 bi,3 \ b2,i b2,2 b2,3 b3,i b3,2 b3,3 \b4,i b4,2 b4,3 / Pokud zavod vyrabí uvedene vyrobky pouze v techto dvou provozovnach, lze charakterizovat plan vyroby vyrobku Vi, V2, V3 celeho podniku pro jednotlive kvartaly maticí C, jejíz prvek ci;j- = ai;j- + bi;j- představuje plan vyroby vyrobku Vj v i-tem kvartalu celeho podniku. Tedy / ai,i + bi,i ai,2 + bi,2 ai,3 + bi,3 \ a2,i + b2,i a2,2 + b2,2 a2,3 + b2,3 a3,i + b3,i a3,2 + b3,2 a3,3 + b3,3 V a4,i + b4,i a4,2 + b4,2 a4,3 + b4,3 / C Z techto příkladu je patrno, že ma smysl definovat soucet dvou matic A, B tehož typu podle nasledující definice. 52 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 2.1. (Součet dvou matic) Necht; matice A, B jsou téhož typu (m, n). Součtem matic A a B budeme rozumět matici C typu (m,n), pro jej íž prvky qj, i = 1,... ,m, j = 1,... ,n, plat í Pro operaci sec ítan í matic budeme použ ívat symbolu „ + ". P íseme pak C = A + B. Příklad 2.9. Necht; A, B jsou matice typu (3,3) / 1 0 -3 \ /7 2 -1 \ A= 6 1 3 B= 3 5 0 \ -2 0 -3 / 1 5 2 / Potom matice C = A + B je / 1 0 -3 7 2 -1 / 8 2 -4\ C= 6 1 3 + 3 5 0 = 9 6 3 \ -2 0 -3 1 5 2 \ -1 5 -1 Násobení matice číslem. V pr íklade 2.4 jsme uvedli matici C. C íslo ci;j v n íznac í cenu v $ vyrobku Vj v zemi Z^. Chceme-li vyjadrit cenu jednotlivych vyrobku v uvažovanych 53^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit zemích v Kč, stačí násobit každý prvek matice C stejným číslem, daným kurzem dolaru. Vzniklou matici označíme D. To nas motivuje k zavedení definice součinu čísla a matice takto: Definice 2.1. (Součin čísla a matice) Necht A je matice typu (m, n) a a je reálné číslo. Potom součinem matice A a čísla a rozumíme matici C, pro jejíž prvky ciyj platí Ci,j = a • a,i,j pro i = 1,..., m, j = 1,..., n. Pro nasobení matice císlem budeme používat symbol „• ". Píšeme pak C = a • A. Symbol „• " lze vynechat. Příklad 2.10. Nechť a = 3 a necht A je matice týpu (3,3) / 1 0 -3\ A \ 6 1 3 -2 0 -3 54»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Potom / 10 -3 \ / 3 0 -9\ C = a-A = 3 V 6 1 3 -2 0 -3 v 18 3 9 -6 0 -9 Definice 2.2. Necht A, B jsou matice téhož typu. Potom definujme A — B jako matici A + Součin dvou matic. Zaveďme si ještě definici součinu dvou matic. Začneme s příkladem. Uvažujme matici / 0,00 0,4 0,3 0,6 0, 6 \ A (2.9) 0,05 0, 2 0,1 0,1 0, 0 y 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 J V ní ai;j značí spotřebu v kg i—té suroviny Si na výrobu jednoho kilogramu j—tého výrobku Vj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4, 5. ZapiSme tuto matici obecné. A / <2i,i <2i,2 a1,3 a1,4 a1,5 ^ a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 a2,5 y a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 a3,5 ) (2.10) (-1) • B. 55»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Má-li se vyrobit x j kg výrobku Vj, spotřebuje se při jeho výrobě ai;j- • x j kg suroviny S{. Uvažujme přípád, že chceme vyrobit výrobky Vi, V2, V3, V4, V5 v množstvích xi, x2, x3, x4, x5 v kg á že chceme urCit spotrebu suroviny Si pro nektere i = 1, 2, 3. OžnaCme ji Potom yi je souctem císel ai;j- • x j, j = 1, 2, 3, 4, 5. Tedy yi = ai,i • xi + ai,2 • x2 + • x3 + • x4 + • x5. Ožnacme tedy x sloupcovy vektor o peti složkách, v nemž x j udává požadovane množství vyrobku Vj v kg. Budeme jej nažyvat vektorem vyroby. Ožnacme y sloupcovy vektor o trech složkách, v nemž yi vyjadruje množství suroviny Si v kg potrebne k vyrobe vyrobku Vj, j = 1, 2,3, 4, 5 v požadovanych množstvích xj. Nážveme jej vektorem spot reby. Tedy x / X\ \ x3 , V = \ X5 / (2.11) Označme Vi = • xi + ai?2 • X2 + ai?3 • X3 + ^,4 • X4 + ^,5 • X5, i = 1, 2,3. (2.12) 56»F;'rst »Prev »Wext •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Budeme říkat, že vektor y je součinem matice A a vektoru x a budeme psát Pro vektor vyroby a matici A y = A • x. 250 120 x = 150 85 80 0, 00 0, 40 0, 3 0, 6 0, 60 0,05 0, 20 0, 10 0, 10 0,00 0, 10 0, 20 0, 20 0, 10 0, 20 dostavame yi = 0,00 • 250 + 0, 4 • 120 + 0,3 • 150 + 0,6 • 85 + 0,6 • 80, y2 = 0,05 • 250 + 0, 2 • 120 + 0,1 • 150 + 0,1 • 85 + 0,0 • 80, ya = 0,10 • 250 + 0, 2 • 120 + 0, 2 • 150 + 0,1 • 85 + 0, 2 • 80. bl^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Výcíslením obdržíme yi = 192, y2 = 60, y3 = 103. Tedý 192.0 y 60.0 103.5 Tento príklad nas inspiruje k zaveden í pojmu soucinu dvou matic A, B touto definic í. Definice 2.3. (Soucin matic) Necht A je matice týpu (m, k) a B je matice týpu (k, n). Potom soudnem matic A a B v tomto pořadí je matice C týpu (m, n) pro jejíž prvký Cj, i = 1,..., m, j = 1,..., n, platí | P/žeme pak C = A • B. Poznámka 1. Ze vztahu (2.13) je patrno, ze pro vypocet prvku cj matice C (tj. prvku v i—tem řadku a v j-tem sloupci matice C pouzívame i—ty radek cij = aii • bij + • b2j ... + a^k • bkj. (2.13) (ai,i ai,2 ai,k) (2.14) 58^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit matice A a j-tý sloupec matice B (2.15) Říkáme, že at j je skalárním součinem řádkového vektoru (2.14) a sloupcového vektoru (2.15). Poznámka 2. Vžtah (2.13) lže žapsat takto Poznámka 3. Pro součin dvou matic budeme používat opet symbolu „•". To není na žávadu, neboť že souvislostí je vždy patrno o jake násobení se jedna. Budeme tedy psat C = A • B. Poznámka 4. Vsimneme si, že počet sloupcu v matici A je stejny jako je počet radku v matici B. Kdyby tomu tak nebylo, nebylo by možno aplikovat vžorec (2.13). k r=1 Zde symbol ^k=i a,r • brj znamená, že se provádí seCítaní ClenU, ktere dostaneme tak, že do výrazu za symbolem Yl dosazujeme postupne r = 1,..., k. 59»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.11. Určete matici C = A • B, jestliže A I 1 2 3 4 \ 0 7 8 5 y 4 3 2 9 j B í 1 "3\ 2 -5 83 -1 1 Ponevadž A je matice typu (3,4) a B je matice typu (4, 2), lže vypoč íst součin C = A • B. Podle (2.13) dostavame 25 0 C V 73 -6 17 12 Napr. prvek c2i dostaneme jako skalarn í soucin druheho radku matice A, to jest řradkoveho vektoru (0785) QQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a prvn ího sloupCe matiCe B, to jest sloupaoveho vektoru / 1 \ 2 8 —1 VypořCtem dostavame c2,i = 0 • 1 + 7 • 2 + 8 • 8 + 5 • (—1) = 73. Poznámka 5. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce mUze nastat případ, ěe A • B existuje, avěak B • A neexistuje. Jestliěe pro nějaké matice A, B platí A • B = B • A, potom matice A, B se nazývajízamenitelne. Příklad 2.12. Je-li napr. matiče A týpu (3,4) a matiče B je týpu (4,3), potom A • B je matiče týpu (3,3). Avsak B • A je matiče týpu (4,4). Jsou tedý matiče A • B, B • A ruznýčh týpu a tedý, aniž býčhom jejičh součiný poč ítali, vid íme, že jsou navzajem mzne. Matiče A, B nejsou tedý v tomto prípade zamenitelne. 61 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.13. Nechť (3 4) B ( 1 0). Potom / 1 3 \ / 8 10 \ Vid íme, Ze A - B = BA, takZe tyto matiče A, B nejsou zamenitelne. Příklad 2.14. Nečht 8 1^ / 1/3 -5/3 A= B= 1 2 \ -1/6 4/3 [8 1^ B ( 1/3 -5/3 \ V 1 2 J V -1/6 4/3 ) Pro tyto matiče plat í 10 A-B = B-A 01 \ Dane matiče A, B jsou tedy zamenitelne. 62^ First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Matice transponovaná. Definice 2.4. (Matice transponovaná) Necht A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-ty řádek je roven i-tému sloupci matice A, i = 1, 2,... ,m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji znacit AT. Matice AT je tedy typu (n, mi). Příklad 2.15. Nechť A \4 5 6 J Potom /1 4\ 2 5 36 O transponované matici součinu dvou matic platí tato veta. 63« First «Prev «Next «Last «Go Back •Full Screen «Close •Quit Veta 2.5. (Transponovaná matice souCinu matic) Necht A, B jsou takové matice, že existuje A • B. Potom platí (A • B)T = BT • AT. DUkaz: Dukaz přenechavam ctenari. Submatice. Zaveďme si pojem submatice nasledující definicí. Definice 2.6. (Submatice) Necht A je matice týpu (m,n) a necht u = je takové vektor, že 1 < ii < i2 < • • • < ip < m. Dí7e necht v = ..., jr) je takové vektor, že 1 < j < j2 < • • • < jq < n. Potom matici, ktera vznikne ž matice A výpužtžním řadku s řadkovými indexý, ktere jsou složkami vektoru u a výpužtžním sloupcu matice A se sloupcovými indexý, ktere jsou složkami vektoru v, nažývame submaticí matice A a žnacíme ji A(uv), resp. Auv. Tedý např.Aij žnacísubmatici, ktera vžnikne ž matice A výpužtžním i-tého žadku a j-tího sloupce. 64^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.16. Nechť 1 2 4 5 A V 5 7 2 -1 4 1 0 2 / Potom vypusten ím druheho radku a druheho a ctvrteho sloupce matice A dostaneme submatici B = A2;(2;4). Je tedy B Zavedeme si jeřstře toto oznařcovan í Oznacení. Necht A je matice typu (m, n). Potom A(i, :) bude žnacit její i—ty ěídek a symbol A(:,j) bude žnacit její j—ty sloupec. 65^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Význam symbolů „ = , :=." Symbol „ = " znamená, ze levá strana, tj. vyraz nalevo od rovnítka, se rovná pravé straně, tj. vyrazu napravo od rovnítka. Např. A í 1 2 4 5 \ 5 7 2 -1 4 10 2 \ znací, že A je matice, jejíž prvky jsou uvedeny napravo od „ = ". Naproti tomu symbol „ := " znaCí, že promenne nalevo od tohoto symbolu se přiřadí hodnota vyrazu napravo od tohoto symbolu. Např. A := A + B (2.16) znaCí, ze vásledkem tohoto přiřazení bude matice A, ktera vznikne ze souctu matice A a matice B, před přiřazením. Upozornění. Vztah (2.16) nenímozno chapat jako rovnici, nelze tedy napřpřevest matici A z pravé strany na levou - vzniklo by 0 = B. V literatuře se většinou místo „ := "píše jenom „= "a rozlišení se ponechává na kontextu.(V textu tomu bude rovněž tak.) 66»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 2.4. Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Čtvercová matice. Matici A typu (n,n) budeme nazývat Čtvercovou maticí řadu n. Místo čtvercova matice řádu n stačí ríkat matice řádu n, ponevadZ o radu matice mluvíme jen u ctvercových matic. Napr . matice 123 A 4 5 6 y 7 8 9 y je ctvercovía matice ríadu 3. Nulová matice. Matici typu (m,n) budeme nazývat nulovou maticí typu (m,n), jestliZe vsechny její prvky jsou rovny nule. Nulovou matici budeme znacit 0. Příklad 2.17. Matice 0000 0 0000 0000 je nulovía matice typu (3, 4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Nechť A je matice typu (m,n). Budeme Ql^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit říkat, že její prvky au, i = 1, 2,..., m leží na hlavní diagonále a její prvky a j, pro něž je i + j = n + 1, i = 1,2,..., m, leží na vedlejší diagonale. Příklad 2.18. Nechť / 1 -2 3 1 \ A V o -S S 5 -5 o 4 2 Potom prvky „1, -3, 4" leží na hlavní diagonale a prvky „1, 8, 0" leží na vedlejší diagonale. Řekneme, že Ctvercova matice E radu n je jednotkova, jestliže všechny prvky na hlavní diagonale jsou rovny císlu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li ždUražnit její rad n, ožnacíme ji En. Příklad 2.19. Matice loo olo ool \ je jednotkova matice radu 3. Diagonální matice. Řekneme, že ctvercova matice A je diagonalní, jestliže všechny její nenulove prvky leží na hlavní diagonale. 68^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.20. Matice / 1 0 0 A= 0 2 0 \ 0 0 3 je diagonální maticí. Horní trojúhelníková matice. Řekneme, že ctverova matice A řadu n je horní trojuhelníkovou maticí, jestliže vsechný její prvký pod hlavní diagonílou jsou rovný 0. Doln í trojúheln íkova matice. Řekneme, že ctvercova matice A radu n je dolní trojuhelníkovou maticí, jestliže vsechný její prvký nad hlavní diagonílou jsou rovný 0. Horn í schodovita matice. Nechť A je matice týpu (m,n). Řekneme, že matice A je horní schodovita matice, jestliže existuje takove prirožene císlo h < n, že ke každemu radkovemu indexu i, i = 1, 2,..., h, existuje nejmensí sloupcový index si tak, že ai;Si = 0 a si < s2 < ... < sh a žbývající radký h + 1,..., m jsou nulove. 69»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 2.21. Matice /1234567\ A = V 0012345 0 0 0 0 0 0 9 / je horn í schodovitou matic í . V tomto příklade je zřejme s1 = 1, s2 = 3, s3 = 7. Poznámka. Schodovitou matici mUZeme definovat ekvivalentne takto. Matice A typu (m,n) je horn í schodovita matice, jestliZe pro kaZde dva řadkove indexy p, q matice A plat í: □ Nechť p-ty řadek matice A je nenulový a q-ty řadek matice A je nulovy, potom p < q. □ Nechť p-ty a q-ty řadek matice A jsou nenulove a necht ap?s je prvn í nenulovy prvek matice A v p-tem radku a aq?s je prvn í nenulovy prvek v q-tem radku matice A. JestliZe p < q, potom je sp < sq. □ PonevadZ budeme mluvit jen o horn ích schodovitych maticích, muZeme slovo „horn í " vynechavat. Pravidla pro počítaní s maticemi. Pro Zavedene operace s maticemi plat í vZtahy uvedene v nasleduj íc í vete. 70^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 2.7. (Pravidla pro poCítaní s maticemi) Necht A, B, C, 0 jsou matice táhož typu, kde 0 je matice n úlová, a necht a, P G R. Potom platí A + B = B + A, (2.17) (A + B) + C = A + (B + C), (2.18) A + 0 = A, (2.19) A - A = 0, (2.20) 1 • A = A, (2.21) a • (p • A) = (a • p) • A, (2.22) (a + p) • A = a • A + p • A, (2.23) a • (A + B) = a • A + a • B. (2.24) Důkaz: Provedeme pouze důkaz vztahu (2.17). Ostatní vztahy se dokazují analogicky. Prvek v i-tem radku a j-tem sloupci matice na leve strane vztahu (2.17) je roven aj + bij a prvek v i-tem radku a j-tem sloupci matice na prave strane vztahu (2.17) 71»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit je roven bij + aij pro vsečhna i, j. Plat í tedy (2.17). Veta 2.8. (Pravidla pro poC ítan í š maticemi) Necht typy matic A, B, C, 0 (nulové matice), E (jednotkové Čtvercové matice) jsou takové, že operace ve vžtažéch (2.25)—(2.30) mají vyžnam. Potom platí 0-A = 0, A 0 = 0, (2.25) E-A = A, (2.26) A-E = A, (2.27) (A-B) -C = A (B C), (2.28) (A + B)- C = A-C + B-C, (2.29) C- (A + B) = C-A + C-B. (2.30) I Poznamka. Jestliže pro matice A, B platí A B = 0, nemusí byt žadna ž matic A, B nulovou maticí. Napr. 10 00 . 03 20 = 00 00 0 0 3 2 0 0 72• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 2.5. Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Uvažujme výrobu čtyř výrobků 1-^, V2, V3, V4. K jejich výrobě jsou potřebné suroviny S^S2,S3. Jejich množství v kg potřebné při výrobě jednoho kilogramu každého ž výrobku Vi, V2, V3, V4 je uvedeno v následující tabulce. Ve sloupci ožnačenem písmenem Z jsou uvedena množství Z1, Z2, Z3 jednotlivých surovin S1, S2, S3, která se majíspotrebovat. Budeme se žabývat ulohou urcit množství jednotlivých výrobku Vi, V2, V3, V4 v kg tak, abýchom žcela spotřebovali suroviný S1, S2, S3, jejichž množství jsou uvedena v tabulce ve sloupci Z. Vi V2 V3 V4 Z Si 0,0 0, 4 0, 3 0,6 5 S2 0,2 0, 2 0,1 0,1 2 S3 0,1 0, 2 0, 2 0,1 3 Označme postupně x1, x2, x3, x4 hledaná množství v kg výrobků Vi, V2, V3, V4. K jejich výrobě bý se potřebovalo 0,4 x2 + 0,3 x3 + 0,6 x4 kg surovin S1, 0, 2 x1 + 0, 2 x2 + 0,1 x3 + 0,1 x4 73»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit kg surovin S2 a 0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4 kg surovin S3. Jestli se mají suroviny S1, S2, S3 plne spotřebovat, musí se výrobky Vi, V2, V3, V4 vyrabet v množstvích x1,x2,x3,x4, ktera splňují tyto podmínky: 0, 4 x2 + 0,3 x3 + 0,6 x4 = 5 0, 2 xi + 0, 2 X2 + 0,1 X3 + 0,1 X4 = 2 (2.31) 0,1 x1 + 0, 2 x2 + 0, 2 x3 + 0,1 x4 = 3. Každa ž techto podm ínek predstavuje rovnici pro nežname veliCiny x1, x2, x3, x4. Každa ž nich je tvaru <21 • x1 + a2 • x2 + ... + <2n • xn = b. (2.32) V rovnici (2.32) x1,x2,...,xn jsou nežname a a1,a2,...,an jsou (vetsinou) žnama císla, nažyvame je koeficienty rovnice. Koeficient a je koeficient u nežname x«. Číslo b nažyvame pravou stranou. Rovnici (2.32) nažyvame linearn í algebraickou rovnicí o nežnamych x1, ...,xn. Ponevadž v linearn í algebre, kterou prob ímme, pojednavame jenom o algebraickych rovnic ích, budeme už ívat žkraceneho pojmenovan í „ linearn í rovnice". Pňi Česen í uloh vetsinou se pracuje s v íce rovnicemi. Jestliže koeficienty v techto rovnic ích jsou obecna c ísla, mužeme je odlisit od sebe tak, že v i—te rovnici ožnac íme koeficient 74»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit u x j např. aijj. Potom systém (místo systém mUžeme říkat též soustava) m lineárních algebraických rovnic o n nežnamých xi, x2,..., xn lže žapsat takto: aí}ixi + ai}2x2 + • • • + ai}nXn = h a2,ixi + a2,2X2 + • • • + a2,nXn = &2 (2 am,1x1 + am,2x2 + ^ ^ ^ + am,nxn bm- Zde ai;j-, i = 1,..., m, j = 1,..., n, žnací koeficient u nežname x j v i—te rovnici, druhý index j ožnacuje složku nežnameho vektoru x). Císlo bi nažýváme pravou stranou i—tíe rovnice. Ožnacme A matici A al,l al,2 a2,l a2,2 al,n a2,n \ am,l am,2 (2.34) am,n 75»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit Nazýváme ji maticí soustavy systému (2.33). Vektor / X1 \ x nazýváme véktorém neznámých a vektor b nazýváme véktorém pravých stran. X2 Lehce nahledneme, ze systém lineárních algebraických rovnic (2.33) lze zapsat užitím tohoto oznacení jako _A • x = b._(2.35) Skutecne, matice A je typu (m, n), x je typu (n, 1), takze A • x je matice typu (m, 1). Rovnice (2.35) znamení, ze kazda slozka vektoru A • x je rovna odpovídající slozce vektoru b. Porovnaním i-tých slozek techto vektoru dostívíme i-tou rovnici systemu (2.33). IQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Matice, ktera vznikne z matice A pridaním vektoru b jako dalšího sloupce, se nazyva rozeženou matici systámu rovnic (2.33). Znacímeji (A|b). Je tedy ( ai,i «1,2 • • • a1,n \ (A|b) = «2,2 • ^ ^ a2,n y am,1 am,2 ^ ^ ^ am,n / Příklad 2.22. Uvažujme systém linearních algebraických rovnic x1 + 3x2 — 3x3 = —12, 4x1 + 5x2 + 2x3 = —6. (2.36) Oznacme-li A matici soustavy tohoto systemu rovnic, b vektor pravych stran a x vektor neznamych tohoto systemu rovnic, je A x = x2 ll^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (131) •b=(——6) Matice rozšířená je rovna (Alb) Daný šyštem rovnic lze tedy zapšát jako ( 13 -3 I -12 4 5 2| -6 ) A - x = b. Zaved'me si nyní pojem řešení systému lineárních rovnic. Definice 2.2. Vektor 0x nazveme řešením systému lineárních rovnic A • x = b, jestliZe A • 0x = b. (To jest, jestli vektor 0x vyhovuje rovnici A • x = b). Vraťme se k příkladu 2.22. OznaCme / 3 \ x 4 2x / 0\ 2 3x 3 0 78»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zv v rejme A • 1x = b, A • 2x = b, A • 3x C) = b. Jsou tedy vektory lx, 2x řešením uvažovaného systému (2.36), avsak 3x není jeho řešením. Lehce se presvedčíme, že vektor / 6-3-c\ x \ -6 + 2 • c c je řesením uvažovaneho systemu rovnic (2.36) pro každe reaine c. Příklad 2.23. Uvažujme system linearních rovnic x1 — 2x2 = 3, 2x1 — 4x2 = 5. (2.37) (2.38) Tento system rovnic nema resení. Skutecne, predpokladejme, že a,/3 jsou takova císla, že x1 = a, x2 = (3 vyhovovují první rovnici, tedy, že platí a — 2 • p = 3. 79^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Potom bý býlo 2 • a - 4 • p = 6 a ne 2 • a — 4 • p = 5, takže xi = a, x2 = p nevýhovuje druhe rovnici. Poznamka. Poždeji budeme resit obecne otažku, kdý sýstem linearn ích rovnic ma jedno resen í, kdý ma nekonecne mnoho resen í a kdý nema vubec žadne řesen í. 2.6. Zavedení pojmu inverzní matice V linearn í algebre ma velký výžnam pojem inveržn í matice k dane matici. Tento pojem si nýn í žavedeme nasleduj íc í definic í . Poždeji si rekneme neco o existenci inveržn í matice k dane matici a sežnam íme se s řadou vlastnost í inveržn ích matic a nauc íme se naležt k dane matici matici inveržn í. Definice 2.3. (Inverzn í matice) Matice B se nažýva inveržn í k matici A, jestliže B • A = A • B = E. Matici inveržn í k matici A budeme žnacit A-i. 80^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (2.39) Věta 2.9. (Vlastnosti inverzn í matice) Necht je dana matice A a necht k ní existuje matice inverzní A-1. Potom platí a) Matice A a matice A-1 jsou ctvercove matice tehoz řadu. b) Inverzní matice A-1 je jednoznačně urcena. c) K matici A-1 existuje matice inverzní a platí (A-1 )-1 = A. d) Jestliže A, B jsou ctvercove matice tehoz ěádu n a jestli k nim existují matice inverzní A-1, B-1, potom k matici A • B existuje matice inverzní a platí (A • B)-1 = B-1 • A-1. a) Toto tvrzen í je bezprostredn ím důsledkem (2.39). b) Nechť B, C jsoů inverzn í k A. Potom A • B = B • A = E, A • C = C • A = E. Odtůd C = E • C = (B • A) • C = B • (A • C) = B • E = B. Tedy B=C. c) Toto tvrzen í je bezprostredn ím důsledkem definice inverzn í matice. d) Podle vet 2.7, 2.8 plat í (B-1A-1) • (AB) = B-1(A-1A)B. Ponevadz A-1A = E, dostávame odtůd (B-1A-1) • (AB) = B-1 • E • B = B-1B = E. 81^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Podobne dokáZeme, Ze (AB) • (B"1A"1) = E. Je tedy B-1A-1 inverzní maticí k matici AB. . Uved'me si zde vetu o resitelnosti a jednoznacnosti resení systemu lineárních rovnic, za predpokladu, ze k matici soustavy existuje matice inverzní. Veta 2.10. (Řešení systemu A • x = b pomoci inverzní matice A-1). | Necht A • x = b (2.40) je system n lineárních rovnic o n neznámých, kde A je čtvercová matice soustavy řádu n a b je vektor pravých stran typu (n, 1). Necht: k matici A existuje matice inverzní A~l. Potom system rovnic (2.40) má pravě jedno řešení x, která lze určit vztahem x = A-1 • b. (2.41) Důkaz: Jak jiZ bylo dříve dokazano, inverzní matice A je urCena jednoznaCne. Vynasobíme-li (2.40) maticí A-1 zleva, dostavame A-1 • (A • x) = A-1 • b (2.42) Vzhledem k vete 2.8 platí (A-1 • A) • x = A-1 • b. 82»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ponevadž (A 1 • A) = E a E • x = x, dostáváme odtud (2.41). Dokažme jeste jednoznačnost řesení. Předpokladejme, že existují dve řesení 1x,2 x sýstemu (2.40). Potom A • 1x = b, A • 2x = b. Odečtením techto vztahu dostavame A • (1x - 2x) = 0. Výnasobením tohoto vztahu maticí A-1 zleva dostavame 1x - 2x = 0, takze 1x = 2x. Ma tedý sýstem A • x = b prave jedno řesení. . Poznúmka. Problematiku jak určit matici inverzní k dane matici, budeme resit pozdeji. Příklad 2.24. Naleznete řesení sýstemu linearních rovnic A • x = b, (2.43) 83^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit jestliže / 1 5 2 \ A = 3 4 1 v 0 1 4 a žnáte-li k matici A matici inveržn í b /26\ 39 \78/ / 5 13 6 13 A-1 = 4 13 4 39 5 39 \ 1 13 1 39 i! . 39 / Řešení. Podle předcházej íc í vety má daný system práve jedno řešen í a to x = Výpoctem dostavame v 13 J_ 13 39 J_ 39 _5_ 39 x= 14 -6 21 39 39 j V78/ 84»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 2.7. Ukázka formulace úlohy lineárního programování. (Úlohu nebudeme resit!!)V teto kapitole popsany aparat maticoveho poctu pouzijeme nyn í k matematicke formulaci nasleduj ící ulohy, ktera patří do uloh linearn ího pro-gramovan í. Tyto ulohy jsou velice významnou aplikac í linearn í algebry. Úlohy tohoto typu se res í vetsinou pomoc í poc ítacu a k jejich resen í jsou vypracovany specialn í programy. My se nebudeme zde zabyvat otazkou jak se řes í, ale jenom otazkou, jak se da uloha matematicky formulovat a jak se připrav í data pro vstupn í hodnoty techto programu. Příklad 2.25. Cokoladovna vyrab í 5 druhu vyrobku. Jsou to vyrobky, ktere oznac íme Vi, V2, V3, V4, V5. K vyrobe potrebujeme suroviny tuk, kakao a cukr. Tyto suroviny jsou k dispozici v omezenych mnozstvích, v uvednem porad í 1500 kg, 300 kg, 450 kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1 kg vyrobku je dana tabulkou 2.1 na strane 44. Odbytove ceny jednotlivych vyrobku v uvednem porad í jsou 20 Kc, 120 Kc, 100 Kc, 140 Kc, 40 Kc. Úkolem je stanovit takovy denn í vyrobn í plan, aby hodnota vyroby byla maximaln í . Vyrobky jsou vyrabeny technologicky nezavisle na sobe navzajem. Vyroba se tedy uskutecnuje ve forme peti vyrobn ích procesu, ktere vsak nejsou navzajem zcela izolovane, neboť spolecne spotrebovavaj í vyrobn í zdroje, jeden proces na ukor druheho. Matematicka formulace ůlohy. Pro ucely matematicke formulace zaved'me 5 nezavisle promennych: x j necht oznacuje mnozstv í vyrobku Vj v kg, jez bude vyrabeno za den, kde 85• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit j = 1, 2,3,4, 5. Hledame tedy hodnoty Xj > 0, j = 1, 2,3,4, 5, vyhovující nerovnostem 0,4x2 + 0,3x3 + 0,6x4 + 0,6x5 < 1500 0,05xi + 0,2x2 + 0,1x3 + 0,1x4 < 300 (2.44) 0,10x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,1x4 + 0,2x5 < 450 Víme, že při vyrobe Xj vyrobku Vj, j = 1, 2, 3,4, 5, bude odbytova cena vyroby rovna z = 20xi + 120x2 + 100x3 + 140x4 + 40x5. (2.45) Nasí ulohu mužeme tedy formulovat takto : Naležnete takova nežaporna císla xj, j = 1, 2,3,4, 5, která vyhovují nerovnostem (2.44) a pro než funkce (2.45) nabyví sveho maxima. Tato uloha je tedy popsana maticí A, vektorem m množství surovin a vektorem b odbytovych cen vyrobku a vektorem x poctu vyrobku A / 0,00 0,4 0, 3 0,6 0,6 \ 0,05 0, 2 0,1 0,1 0,0 ^ 0,10 0, 2 0, 2 0,1 0, 2 J m 1500 300 450 20 120 100 140 40 86^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x = £3 Potom (2.44) lze zapsat jako jako Ax < m (2.46) a funkce (2.45) lze zapsat jako z = b • x. (2.47) Nasi ílohu muzeme vyslovit takto: Naleznete vektor x > 0 vyhovující (2.46), který minimalizuje funkci (2.47). Matice A, vektory m, b a pořzadavek, řze vektor xT = (Xi,X2,X3,X4,X5) > 0, jsou vstupními udaji programu, kterým se výpocet realizuje. Dostavame x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1000, x4 = 2000, x5 = 0. Ql^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 3 Lineární prostor 3.1. Aritmetický vektorový prostor. V minule kapitole jsme si Zavedli pojem sloupcoveho a radkoveho vektoru jako Zvlastn í prípad matic - totiZ sloupcovy vektor jako matici typu (n, 1) a radkovy vektor jako matici typu (1,n). Tedy vektory muZeme chapat jako prvky mnoZiny Rn, tj. mnoZiny uspořadanych n—tic realnych c ísel, kde n G N. Znac íme je malymi, tucne vytistenymi p ísmeny. C íslo na i—te poZici vektoru a naZyvame jeho i—tou sloZkou a vetsinou oZnacovat jako Nebude-li nic řeceno, budeme předpokladat, Ze se jedna o sloupcove vektory. O jake vektory se jedna, bude casto videt Ze Zapisu, aniZ bychom ZduraZřovali, 88»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ze se jedna o sloupcove, resp o radkove vektory. PripomeCme si, ze je-li a sloupcovy vektor, potom aT je radkovy vektor se stejnymi slozkami. Pripomenme si, ze soucet dvou vektoru znacíme symbolem „ + " a nasobení realnymi císly teckou „• ", kterou, nemuze-li dojít k omylu, lze vynechat. Tedy napr., jestlize a = ( : I, b = ( : potom jejich souctem a + b je c G Rn, pro nez platí / ai + bi c = a + b = í . a je-li a G R, potom soudnem a.a rozumíme d G Rn, pro nez platí / a.ai d = a.a = j . \ a.an Množinu Rn spolecnž s tžmito operacemi „ +, . " budeme žnacit Vn a nažývat aritmetickým vektorovým prostorem. 89^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Vektorový podprostor Necht P C Rn a necht platí: jestliže a, b G P a a G R, potom i a + b G P, a.a G P. Budeme ríkat, že na P je definovan aritmeticky podprostor prostorů Vn. Budeme jej žnacit P. Casto budeme o nem mluvit proste jako o vektorovem prostoru. Označení. Místo a G P lže psat a G P. Místo a + (—b) lže psat a — b. 3.2. Lineární nezávislost vektorů Uvažujme sýstem linearn ich algebraických rovnic ai)ixi + ... + aijnxn = bi, i = 1,...,m, (3.1) v nemž x1,..., xn jsou nežname a ai;j-, bi, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,, n. jsou dana císla. Při jeho analýže je žapotrebí žjistovat, žda □ nektera ž rovnic sýstemu nen í v rožporu s jinými rovnicemi tohoto sýstemu □ žda každa ž rovnic dava nove požadavký na hledane nežname x1,... ,xn, □ žda podm ínký na nežname rovnici výjadrený jednotlivými rovnicemi, je nebo nen í již obsažen v jiných rovnic ích sýstemu. Při techto uvahach je vhodne k i—te rovnici tohoto sýstemu (3.1) přiradit vektor (ai,i,... ,ai,n,bi); i = 1, 2,..., m. 90»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Soucet dvou rovnic pak muzeme realizovat pomocí souctu vektoru, ktere jsou k temto rovnicím přiřazeny. Podobne nasobení rovnice císlem muzeme realizovat pomocí nasobení vektoru, priřazenemu k teto rovnici, tímto císlem. K řesení nahore uvedeneho problemu pouzijeme dale zavadene pojmy: linearní kombinace vektoru (rovnic), linearn í nezavislost a linearn í zavislost vektoru (rovnic). S temito pojmy se setkame i v jinych uvahach. Definice 3.1. Nechť 1x,..., jsou vektory z vektoroveho prostoru P a c1,..., cn jsou realna c ísla. Potom vektor x = c11x + ... + cn nx nazveme linearní kombinací vektoru 1x,..., ^x. Příklad 3.1. Necht 1x = (2, 3, —1), 2x = (5, 2, 6), 3x = (9, 8, 4) jsou vektory z prostoru V3. Ponevadz 2 • (2, 3, —1) + (5, 2,6) = (4,6, —2) + (5, 2,6) = (9,8,4), tj. 1 2 3 je vektor 3x linearn í kombinac í vektoru 1x, 2x. 91»First • Prev • Next • Last • Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 3.2. (Linearní nezavislost a zavislost vektorů) Necht; hc,..., jsou vektory z vektorovem prostoru P. Řekneme, ze tyto vektory jsou lineárne nezávisle, jestlize c1 x + ... + cn nx = 0 c1 = c2 = ... = cn = 0. (3.2) | Jestlize vektory 1x,..., nejsou linearne nezavisle, jsou linearnž zavislá. Poznamka. Z nahore uvedene definice vyplyva, ze vektory X..., z vektorovem prostoru P jsou linearne zavisle, kdyz a jenom kdyz existuj í takova c ísla c1, c2,..., cn, z nichz alespoř jedno je ruzne od 0, ze c11x + ... + cn = 0. Príklad 3.2. Úkazme, ze vektory \c = (1,4, -4), = (1, 2,0), 3x = (1, 5, -2) z prostoru V3 jsou linearne nezavisle. Skutecne, ze vztahu C1 • X + C2 2x + c3 • 3x = 0 dostavame C1 • (1,4, —4) + C2 • (1, 2,0) + C3 • (1, 5, —2) (0, 0,0), to jest (C1 + C2 + C3, 4C1 + 2C2 + 5C3, — 4C1 + 0C2 — 2C3) = (0,0,0). 92• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Aby rovnost meZi temito vektory platila, mus í koeficienty c1,c2,c3 vyhovovat systemu linearn ích rovnic Jak se lehce přesvedc íme, ma system rovnic (3.3)—(3.5) jedine řešen í c1 = c2 = c3 = 0. Jsoů tedy dane vektory linearne nezavisle. Poznámka. a) Vektor 0 je linearne zavislý, nebot a0 = 0 pro kaňde a G R. b) Vektory nx, n > 1, jsou lineárně závisle, kdýz a jenom kdýz alespoň jeden z nich lze vyjadrit jako lineární kombinaci ostatních z nich. (Dokazte!) Príklad 3.3. Ukazme, ze vektory Ci + C2 + C3 0, 0, 0. (3.3) (3.4) (3.5) (1, 2,3), (—1, 2,0), (1,6, 6) jsou linearnře Zavisle. Lehce nahledneme, Ze 2 • (1, 2, 3) + (—1, 2,0) = (1,6,6). 93^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Vektor (1,6,6) jsme vyjadrili jako linearn í kombinaci zbyvaj íc ích dvou vektoru, jsou tedy linearnře zavisle. Zaved'me si nyn í pojem hodnosti skupiny X vektoru z prostoru Vn. I Definice 3.3. (Hodnost matice.) I Nechť X je skupina vekoru z prostoru P. Maximaln í pocet linearne nezavislych | vektoru teto skupiny budeme nazyvat jej í hodnost í . Budeme ji znacit h(X). Poznámka. Pojem hodnosti matice pouzijeme k řesen í problemu „ Ma dany system linearn ích rovnic resen i ?. Ma-li resen í , kolik je techto resen i?" Poznámka. Nechť A je matice typu (m,n). Na matici A se muZeme dívat jako na usporadanou m-tici ěádkovych vektoru z vektorového prostoru Vn, resp. jako na uspoěádanou n-ticisloupcovych vektoru z vektorováho prostoru Vm. Aplikovan ím definice hodnosti na řadky matice dostavame radkovou hodnost matice a aplikovan ím definice hodnosti na sloupce matice dostavame sloupcovou hodnost matice. Pozděeji ukáaězeme, že pro každou matici je sloupcova hodnost rovna její ěádkove hodnosti. Pokud to nedokařzeme a vyslovnře neřrekneme o jakou hodnost se jedna, budeme m it na mysli řradkovou hodnost. 94^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit v Příklad 3.4. Urcete radkovou hodnost matice 1 2 3 4 A = I 5 6 7 8 6 8 10 12 Ožnacme lx, 2x, 3x postupne první, druhy a tňetí radek matice A. Tedy 1x = ( 1 2 3 4 ) , (3.6) 2x = ( 5 6 7 8 ) , (3.7) 3x = ( 6 8 10 12 ) . (3.8) Zrejme vektor 3x je linearne žívisly na vektorech \x, 2x, nebol; 3x = 1x + 2x a vektory \x, 2x jsou linearne nežavisle. Skutecne, kdyby tyto vektory byly lineárne žávisle, byl by jeden ž nich nasobkem druheho. To žnamení, existovalo by takove císlo a, že by 2x = a^x to jest, platilo by ( 5678 ) = a ( 1 234 ) . Takove císlo a vsak evidentne neexistuje. Vektory \x, 2x jsou tedy linearne nežavisle. Tedy meži vektory 1x, 2x, 3x jsou praíve dva lineaírne nežíavislíe vektory. Raídkovaí hodnost matice A je tedy rovna 2. 95^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit I Definice 3.4. (Regulární matice) I Nechť ctvercova matice A radu n ma hodnost n. Potom ji nažyvame regulírní | maticí. —- Ukol. Dokažte si, že horní schodovita matice ma rídkovou hodnost rovnu poctu jejich nenulovych řídku. Poznámka. Zjistovat hodnost matice prímo ž definice je obtížne. Hodnost matice budeme hledat poždeji jejím prevodem na horní schodovitou matici o stejne hodnosti pomocí elementarních transformací, o kterych ted' pojedname. 3.3. Elementární transformace 1. Nechť matice A je typu (m,n) a a je libovolné reálná čísla, i G N, 1 < i < m. Nechť matice B je matice, jejíž i-ty rádek je roven a násobku i-teho rádku matice A a ostatní řádky matice B jsou stejne jako v matice A. Potom řekneme, že matice B vznikla ž matice A transformací T 1(i,a). Píšeme pak B = T 1(i,a)A, resp. {ri = a.r,}A = B. 96»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit A (3.9) Příklad. Nechť / 1 2 3 4 \ 5 6 7 8 9 10 11 12 OznaCme B matici, která vznikne z matice A tak, ze její druhý řádek vynásobíme Císle, „—3" a ostatní radky ponechame beze zmeny. Dostaneme 1234 V B = T 1(2, -3)A = V -15 -18 -21 -24 9 10 11 12 / Tuto transformaci lze zapsat též takto {r2 = -3.r2}A = B. 2 . Nechť matice A je typu (m,n) a a, P = 0 jsou libovolna reálná Císla, i, j jsou přirozená císla 1 < i, j < m, i = j Oznacme B tu matici typu (m,n), jejíz j-ty radek je roven souctu a-nísobku i-teho radku matice A a P-nísobku j-teho radku matice A a ostatní radky jsou stejne jako u matice A. Potom rekneme, ze matice B vznikla z matice A transformací T2(i,a; j,P). Píseme pak B = T 2(i,a; j,P )A, resp. B = {rj = a.r, + p.fj }A. 97»F;'rst »Prev »Wext »£ast •Go Back •Full Screen •Close •Quit Príklad.Necht A 1234 5 6 7 8 9 10 11 12 V (3.10) Ožnacme B matici, ktera vžnikne ž matice A tak, že řadek „2", výnasobený císlem„-4" připocítame k radku c. „3" výnasobenemu císlem „5" a ostatní radký matice B jsou stejne jako v matici A. Tedý matice B je matice, kterí vžnikne transformací T2(2, —4; 3, 5) A. Dostavame B = T2(2, -4; 3, 5) A = V 1 2 3 5 6 7 25 26 27 Tuto transformaci lze zapsat tez takto B = {r3 = 4.r2 + 5.r3}A. 3 . Nechť matice A je týpu (m,n) a i, j jsou přirožena císla 1 < i, j < m, i = j Ožnacme B tu matici týpu (m,n), ktera vžnikne ž matice A, vžíjemnou výmenou jejího i-teho radku s j-tým radkem. Potom rekneme, že matice B vžnikla ž matice 98^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit A transformac í T3(i; j)A. P íseme pak B = T 3(i; j )A, resp. B = (r, <-> r j }A. Příklad.Necht A 1234 5 6 7 8 9 10 11 12 V (3.11) Oznacme B matici, ktera vznikne z matice A tak, zeřadek „2" matice A vymen íme s řadkem c. „3" matice A a ostatn í radky matice B ma stejne jako v matice A . Potom řekneme, ze matice B, vznikne z matice A transformac í T3(2; 3) A. Tedy 1234 B = T3(2; 3)A = V 9 10 11 12 5678 Tuto transformaci lze zapsat tez takto B = (r2 <-> r3}A. 99^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 3.4. Transformace matice na matici schodovitého tvaru Ukažemesi nyn í transformaci matice A elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici B. Tuto transformaci využijeme • pri žjistovan í hodnosti matice • na analyžu resitelnsti systemu linearn ích rovnic a odvožen í eliminacn í metody na resen í systemu linearn ích rovnic • na vypocet hodnoty determinantu. Ve vykladu použ ívame ožnacen í: A ... promenna pro matici. Na žacatku jej í priražena matice, kterou mame transformovat na horn í schodovitou matici. V jednotlivych kroc ích bude tato matice transfor-movana sama na sebe. m... pocet radku matice A n... pocet sloupcu matice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme provadet nasleduj íc í ukony. lQQ^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ZAČÁTEK Bod 1. Budeme vytva ret i-ty radek hledane matice schodoviteho tvaru. Bod 2. K císlu i urcíme nejmen sí poradové císlo sloupce matice A, v jehož radcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradove císlo sloupce ožnacme Si. Bod 3. Zvolme p G {i,... , m}, pro než je apSi = 0. (je-li takovych p více, žvolíme jedno ž nich).Zvoleny p-ty radek matice A nažveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme navžajem p-ty a i-ty řídek matice A. Vyménu techto dvou radku provedeme transformaci A := T3(i,p)A. Po teto vyméné je i-ty radek hlavním radkem. Je-li p = i, je již i-ty radek hlavním radkem. Vyména rídku se tedy neprovadí. Bod 5. Provedeme nynítakove éléméntární transformace, aby po jejich realižaci byly prvky ai+1;Si,... ,amSi rovny 0. Toho dosahneme napr . elementarní transformací a) A := T2(i, -aj)Si; j, )A pro ty indexy j = i + 1,..., m pro néž = 0, nebo transformací b) A := T2(i, ; j, 1)A pro ty indexy j = i + 1,..., m pro néž a?s. = 0, lQl^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Bod 6. Jestlize matice A nen í jeste ve schodovitem tvaru, polozme i = i + 1 a přejdeme zpet na Bod 1. Je-li A ji z schodoviteho tvaru, je výpocet ukoncen. Příklad 3.5. Matici /0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 \0 1 3 2 4 transformujte na horn í schodovitou matici uzit ím elementarn ích transformac í. Řešení. Polozme A 0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 4 V nasem případe je m = 4, n = 5. V nasleduj íc ím popisu výpoctoveho postupu bude oznacen í Bod .. ,Bod 6-i znamenat ukony Bod 1, ..., Bod 6 pro dane i. 102^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ZAČÁTEK Bod 1-1 Budeme vytvaret i-tý (prvn í) řadek hledane schodovite matice. Bod 2-1 K císlu i (to jest k císlu i = 1) urcíme nejmensí pořadove císlo sloupce, v jehoz radcích i,..., m (to jest v jehoz řadcích 1, 2,3,4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Polozíme tedy si = 2 (tj. s1 = 2). Bod 3-1 Zvolíme hlavní radek. V s—tem sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulove prvky v řadcích 1, 2,4. Z nich zvolíme jeden. Jeho poradove císlo oznacíme p. Rozhodneme se pro radek p =1, který zvolíme jako hlavní. Bod 4-1 Ponevadz jsme zvolili za hlavní řadek p-tý řadek, kde p = i, neprovadíme výmenu p-teho řradku s i-tym řradkem. Bod 5-1 Provedeme nynítakove elementarn í tranformace matice A, aby po jejich realizaci byly v si-tem sloupci (to jest ve druhem sloupci) v radcích i + 1,..., m (to jest v radcích 2, 3, 4) nulove prvky. (Prvky a2;2, a3;2, a4j2 eliminujeme). Toho dosahneme napr. elementarními transformacemi A = T2(i> —aj,si ; j ai,Si) A, pro j = i + 1,..., m, je-li aj,Sj = 0. Ponevadz i = 1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementarn ími transformacemi A = T2(1, —aj,2 ; J>1,2)A, pro j = 2,3, 4. To znamena, ze prvek aj2 pro kazde j G {2,3, 4} eliminujeme tak, ze hlavní radek lQS^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (to jest první radek) vynasobíme císlem (—o^2) a pricteme jej k j-temu radku vynasobeneho císlem a12. • Polozme j = i + 1 (tedy pro j = 2) dostavame A = T 2(1, — 02,2,2,a1,2)A. Po teto transformaci je druhy řradek matice A roven —2 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 — 5) a ostatn i řradky matice A se nemřen i. • Polozme j = j + 1. Je tedy j = 3. Ponevadz ajs. = 0, (to jest = 0), eliminaci nen i třreba provadřet a přrejdeme k dalřs imu řradku. • Polozme j = j + 1. Je tedy j = 4. Ponevadz ajSi = 1=0, (to jest a^2 = 0,) provedeme elementarn i transformaci A = T 2(1, —04,2; 4,01,2) A. Po teto transformaci je řctvrty řradek matice A roven —1 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). 104^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ostatní řadky matice A se nemení. Je tedy / 0 1 3 2 3 \ A 0 0 0 0 —5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 Bod 6-1 Ponevadž obdržena matice A jeste nen í horn í schodovitou matic í, polož íme i = i + 11 a přejdeme na bod Bod 1. Bod 1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhá řádek horní schodovitá matice. Bod 2-2 K c íslu i (to jest k c íslu i = 2) urc íme nejmensí poradove c íslo si (to jest s2) sloupce, v jehoz radcích i,..., m (to jest v jehoz radcích 2,3, 4) je nenulovy prvek. Je to ctvrty sloupec. Polozíme tedy si = 4 (s2 = 4). Bod 3-2 Zvolíme hlavní řadek. V si-tem sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řadcích 2,3,4 nenulovy prvek jen v řadku 3. Jeho poradove císlo oznaame p. Tento radek zvolíme za hlavní radek. Je tedy p = 3. Bod 4-2 Ponevadz jsme zvolili za hlavní radek rádek p, kde p = i, provedeme v matici A vymenu řídku p s radkem i. (Tedy vymenu druheho a třetího rídku.) Dostívame lC^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tak matici A 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 Bod 5-2 Provedeme nynítakove elementírní transformace matice A, aby po jejich realizaci byly v s^-tem sloupci (to jest ve ctvrtem sloupci) v radcích i + 1,..., m (to jest v radcích 3, 4) nulove prvky. (Prvky 03,4,04,4 eliminujeme.) Avsak v tomto případe jsou prvky a^4,a^4 rovny 0, takze eliminaci není treba provadet. Je tedy vyslední matice v tomto kroku 0 1 3 2 3 A 0 0 0 1 2 0 0 0 0 —5 0 0 0 0 1 Bod 6-2 Obdržení matice A jeste není horní schodovitou maticí, proto polozíme i = i + 11 a přejdeme na bod Bod 1. Bod 1-3 Je tedy i = 3. To znamene, ze budeme vytvaret tretí řadek hledane schodovite matice. 106^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = 3) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s3), v jehož radčíčh i,..., m (to jest v jehož radčíčh 3,4) je nenulový prvek. Je to patý sloupeč. Položme tedý si = 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tem sloupči (to jest v 5. sloupči) jsou nenulove prvký v radčíčh 3, 4. Z ničh zvolíme jeden. Jeho poradove číslo označíme p. Rozhodneme se pro radek p = 4, který zvolíme jako hlavní. B4-3 Ponevadž jsme zvolili ža hlavní rídek p-tý radek, kde p = i, provadíme výmenu ríadku p s ríadkem i. Po tíeto víýmene je / 0 1 3 2 3 \ A 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 V 0 0 0 0 -5 / B5-3 Provedeme nýnítakove elementární transformače matiče A, abý po jejičh realižači býlý v si-tem sloupči (to jest v patem sloupči) v řídčíčh ..., m (to jest v radku 4) nulove prvký. (Prvek x4y5 eliminujeme.) Toho lže dosahnout napr. elementární transformačí A = T2(3, -04,5; 4,03,5) A. touto trnsformčí bude čtvrtý radek roven 5 • (0 0 0 0 1) + 1 • (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0). 107»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Je tedy A 01323 00012 00001 00000 Bod 6-3 Ponevadz obdržena matice je ji z horn í schodovitoů matic í, je transformace dane matice na horn í schodovitoů matici ji z ůkoncen. Ponevadz obdrzena schodovita matice ma celkem tri nenůlove radky, je jej í hodnost a tedy i hodnost zadane matice rovna 3. Tedy h(A) = 3. Příklad 3.6. Urcete hodnost skupiny vektoru ia = (1 0 — 1 2), 2a = (0 1 2 — 1), 3a = (0 1 3 — 6). Resen í. Uloha je ekvivalentn í s ulohou naleZen í radkove hodnosti matice 1 0 1 2 A V 0 1 2 — 1 0 1 3 6 Tuto hodnost hledejme transformac í matice A elementarn ími ransformacemi na horn í schodovitou matici postupem popsanym na str. ??. 108^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Položme Bod 1-1 Budeme výtva ret i-tý radek (1. řídek) schodovite matice. Bod 2-1 K císlu i = 1 urcíme nejmen s í pořadove císlo sloupce matice A, v jehož řídcích 1, 2, 3 je alespon jeden prvek ružný od 0. Je to v prvním sloupci. Pokladame tedý si = 1. Bod 3-1 Hledame nýní řídek matice A, v jehož sloupci s poradovým císlem si = 1 je nenulový prvek. To jest, hledíme p G {1, 2,3}, pro než je apsi = 0. Je to pro p =1. Položme tedý p =1. Rídek p =1 volíme ža hlavní. Bod 4-1 Ponevadž p = i, neprovadíme výmenu p-teho a i-teho řídku. První radek je hlavním. Bod 5-1 Ponevadž vsechný prvký v prvním sloupci pocínaje druhým radkem, jsou nulove (tj. prvký aj;i = 0 pro j = 2,3), přejdeme k B6-1. Bod 6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto položíme ii = i + 11 a jdeme žpet k bodu B1. Bod 1-2 Je tedý i = 2. Budeme výtvířet 2. radek schodovite matice. Bod 2-2 K císlu i (tj. k císlu i = 2) urcíme nejmensí poradove císlo sloupce si (to jest s2), v jehož řídcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedý s2 = 2. Bod 3-2 Zvolíme hlavní radek. Ve sloupci s poradovým císlem s2 (tj. ve druhem sloupci) 109^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit hledame index j, j > i, tak, aby ajS2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Poloz íme p = 2. Bůde tedy p-ty radek hlavn ím radkem. Bod 4-2 Ponevadz jsme zvolili za hlavníradek p-ty radek, kde p = i, neprovadíme vzajemnoů vymenů p-teho a i-teho radků. Je tedy i-ty radek hlavním radkem. Bod 5-2 Provedeme nynítakove elementarní transformace, aby po jejich realizaci byly v s^-tem sloůpci (ve drůhem sloůpci) v radcích i + 1,..., m (to jest v radků 3) nůlove prvky. Toho dosahneme napr. elementarní transformací A = T2(2, -aa,2;3,a2,2)A. Vypoctem dostavame tretí radek vektorů A -1(0 12 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (0 0 1 - 5). Celkem dostavame A 1 0 —1 2 0 1 2 —1 y 0 0 1 —5 y Bod 6-2 Dosazena matice A je horní schodovita matice. Ponevadz ma tři nenůlove radky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3. Dane vektory :a, 2a, 3a jsoů linearne nezavisle. 110^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 3.7. Urcete hodnost matice x 00123 02243 0 2 4 8 9 00246 Řešen í. V tomto příklade nažnacíme použe výsledky jednotlivých uprav bež komentáre. / 02243 \ / 02243 \ / 02243 \ x 00123 00246 00246 00123 00000 00000 00123 0 2 4 8 9 00246 Ma tedy matice x hodnost 2. Tránsformáce mátice a = (bIc) ná mátici (eIx). Nechť b je ctvercova regularní matice radu n a c je matice typu (n, m). Popisme algoritmus transformace této matice elementarními transformace na matici tvaru (eIx). Ve vykladu použ ívame ožnacen í: a ... proménna pro matici. Na žacatku jej í priražena matice, kterou mame transfor- 111^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit movat na pozadovany tvar. V jednotlivych krocích bude tato matice transformovaní sama na sebe. m... pocet radku matice A n... pocet sloupcu matice A Postupne pro i = 1, 2,... budeme provídet nasledující ukony. ZAČÁTEK ET=T Bod 1. Budeme vytvaret i-ty radek hledane matice. Bod 2. K císlu i určíme nejmensí poradove císlo sloupce matice A, v jehoz radcích i, i + 1,..., n je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradove císlo sloupce oznacme Bod 3. Zvolme p G {i,..., n}, pro nez je a^Si = 0. (je-li takovych p více, zvolíme jedno z nich).Zvoleny p-ty radek matice A nazveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme navzajem p-ty a i-ty radek metice A. Vymenu techto dvou radku provedeme transformaci A := T3(i,p)A. Po teto vymene je i-ty radek hlavním radkem. Je-li p = i, je ji z i-ty radek hlavním radkem. Vymena rídku se tedy neprovadí. Bod 5. Provedeme nynítakove elementímí transformace, aby po jejich realizaci byly prvky aj,si, j = 1,... ,n, j = i rovny 0. Toho dosíhneme napr. elementarními trasfor-macemi • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) A := T2(i, -aJr?i; j,aMi )A pro ty indexy j = 1,...,n,j = i pro nez aJr?i = 0, nebo transformací b) A := T2(i, ; j, 1)A pro ty indexy j = 1,..., n, j = i, pro nez aj}Si = 0, Bod 6. Jestlize i < n polozme i := i + 1 a jdeme zpet k Bod 1. V opacnem případe jdeme k bodu (Bod 7). Bod 7 Provedeme tyto transformace A := T —), i = 1,...,n ai,i Tím je A hledanou maticí. 113^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 4 Metody reSení systému linearních algebraických rovnic 4.1. Řešení některých typů systémů lineárních rovnic Uloha. Resen í systemu n lineárn ích rovnic o n neznámých s regulárn í horn í trojUhelníkovou mátic í soustávy Resme systém rovnic Cx = d, (4.1) kde C je horní regulírní trojáhélníková matice radu n, d je n-rožmérny sloupcovy •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit vektor a x je n-rozmerný sloupcový vektor neznamých. Tento system rovnic lze tedy zapsat jako / Cl,l Cl,2 G C2,2 cl,n—1 cl,n \ c2,n—1 c2,n cn—l,n—1 cn—l,n G cn,n } GGG GGG Rožepsan ím tohoto systemu dostavame Cl,lXl + Cl,2X2 + ... + Cl,n—lXn—1 C2,2X2 + ... + C2,n—lXn—1 + + cl,nxn c2,nxn dl d2 dn—l dn dl d2 cn—l,n—lxn—1 + (4.2) (4.S) Cn— 1,nxn dn—1 Cn,nxn dn Poněvadž dle predpokladu je matice C regulárn í, jsou jej í prvky na hlavn í diagonále různé od nuly. Tento system rovnic lže řešit metodou, žvanou metoda zpětné substituce. llS^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Z posledn í rovnice vypoc ítame xn. Dostavame xn dn/cn,n. (4.4) Dosad íme-li do předposledn í rovnice za xn vypoc ítanou hodnotu (4.4), dostavame cn- 1,n-1 ' xn-1 + cn-1,n ' dn/cn,n dn-1. (4.5) Odtud xn-1 1/cn-1,n-1 ' (dn-1 cn-1,n ' dn/cn,n). (4.6) Kdyz jsme ji z vypoc ítali xn,xn-1, dosad íme tyto hodnoty do (n - 2)-te rovnice a vypoc ítame xn-2. T ímto zpusobem dale pokracujeme. Kdyz jsme ji z vypoc ítali xn, xn-1,..., x2 dosad íme tyto hodnoty do prvn í rovnice a vypoc ítame zbyvaj íc í hodnotu x1. Príklad 4.1. Naleznete resen í systemu linearn ích rovnic (jehoz matice soustavy je horn í regularn í trojuheln íkova matice). 2x1 + 3x2 + x3 =11 X2 + 2x3 = 9 (4.7) 2x3 = 8. Z posledn í rovnice vypoc ítame x3. Dostavame x3 = 4. Dosazen ím teto hodnoty do druhe rovnice dostavame x2 + 8 = 9. llG^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odtud dostáváme x2 = 1. Dosaďme za x2, x3 tyto vypočítané hodnoty do první rovnice systému. Dostáváme 2xi + 3 + 4 = 11. Odtud dostáváme x1 = 2. Resením zádáneho systemu rovnic (4.7) jsme tedy obdrZeli x1 = 2, x2 = 1, x3 = 4. Uloha. ReSen ísýstemu linearn ích rovnic s regularn ídiagonain í matici soustavy. Rř eřsme sýstem rovnic Cx = d, kde C je regularn í diagonaln í matice. Rožepsan ím lže tento sýstem žapsat takto cn- 1,n- 1xn-1 = d1 = d2 (4.8) — dn-1 cn,nxn dn • 117^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit V 1 Řešením tohoto systému rovnic je zřejmě vektor x = C d, to jest xi , Í 1, í2, . . . , n. Příklad 4.2. Naleznete řešení systemu rovnic s diagonální matici soustavy 2#i = 6, 3 X2 =1, -2 X3 = 5. Řešení. Z první rovnice vypoCítame x1. Dostavame x1 = 3. Z druhe rovnice vypoCítame x2. Dostavame x2 = 1/3. Z třetí rovnice vypoďtame x3. Dostavame x3 = —5/2. Úloha. Řešení systému lineárních rovnic s horní schodovitou maticí soustavy (4.9) typu (h,n), s hodností h < n. Řř eřsme tedy system rovnic Cx = d, ktery po rozepsaní ma tento tvar. c1,sixsi + . . . + C1,S2+ . . . + c1,shxsh + . . . + c1,nxn d1 . . . (4.9) ch,Shxsh + . . . + ch,nxn dh. 118»F;'rst • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit V něm jsou prvky c1;Sl, c2jS2,..., chjSh, kde s1 < s2 < ... Sh jsou různé od nuly. Neznámé x1,x2,... ,xn tohoto systému lze rozdělit do dvou skupin. Prvn í skupina obsahuje h neznámych - nazveme je základn ími, a druhá skupina obsahuje zbyvaj íc ích n — h neznamych. Toto rozdelen í neznamych do dvou skupin nen í libovolne. Mus í byt takove, ze jestlize cleny jednotlivych rovnic systemu C x = d, obsahuj ící zakladn í promenne, ponechame na leve strane a ostatn í cleny rovnic dame na pravou stranu rovnic, obdrz íme system h rovnic o h neznamych z prvn í skupiny s regularn í matici soustavy. Prava strana takto vznikleho systemu obsahuje nezname druhe skupiny - parametry. Tedy zakladn í promenne lze vypoc íst z daneho systemu jako funkce neznamych druhe skupiny - parametru. Toto rozdelen í neznamych nen í jednoznacne urceno. Za zakladn í promenne lze zvolit napr. nezname xSi, i = 1, 2,..., h. Mnozinu vsech resen í daneho systemu rovnic nazyvame obecným řešením daneho systemu. Je funkc í zvolenych n — h parametru. Příklad 4.3. Naleznete řesen í systemu linearn ích rovnic x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 + 2x6 + 7x7 = 40 — 2x3 + x5 — x7 = —8 (4.10) x6 — 3x7 = —15 o neznamych x«, i = 1, 2,3,4, 5,6, 7. 119»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Maticí soustavy je horní schodovita matice 1 2 1 4 1 2 7 A = V 0 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 3 Oznacme b vektor pravych stran a x vektor neznamych. Potom je b 40 -8 15 \ x= X2 Zadaný systém (4.10) rovnic lze pak zapsat v maticové notaci jako A x = b. 120^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Za základn í neznámé lze volit neznámé x1, x3,x6. Všechny členy rovnic obsahuj íc í neznámé x1?x3,x6 ponecháme na leve strane a ostattn í členy dáme na pravou stranu. Dostáváme tak system rovnic x1 + x3 + 2x6 = 40 — 2x2 — 4x4 — x5 — 7x7 - 2x3 = —8 — x5 + x7 (4.11) x6 = —15 + 3x7 Dosad íme-li za neznáme x2, x4, x5, x7 do (4.11) jakákoliv c ísla, je pravou stranou takto vznikleho systemu konstantn í vektor a system přecház í na system 3 rovnic o trech neznámych x1? x3, x6. Matice soustavy tohoto systemu je regulárn í horn í trojuheln íková matice rádu 3. Jeho vyřesen ím dostáváme hodnoty neznámych xl5x3,x6, ktere spolu se zvolenymi hodnotami x2,x4,x5,x7 dávaj ířesen ízadaneho systemu lineárn ích rovnic. Na neznáme x2,x4,x5,x7 se budeme tedy d ívat jako na parametry. Kvuli zvysen í přehlednosti zavedeme toto oznacen í parametru: x2 = ci, x4 = c2, x5 = c3, x7 = c4. (4-12) 121»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dosazen ím téchto parametrU do (4.11), dostavame x1 + x3 + 2x6 = 40 - 2ci - 4c2 - c3 - c4 - 2x3 = -8 - C3 + C4 (4.13) x6 = -15 + 3c4 Z posledn í rovnice vypoC ítame x6. Dostavame x6 = -15 + 3c4. Do druhe rovnice dosad íme vypoC ítanou hodnotu x6 a vypoC ítame x3. (Dosazen í za x6 se neprojev í, neboť koeficient u x6 je v teto rovnici roven 0.) Dostavame X3 = 4 + 1/2C3 - 1/2C4. Dosad íme tyto vypoc ítane hodnoty za x3, x6 do prvn í rovnice systemu (4.13) a vypoc ítame xi. Dostavame x1 = 66 - 2c1 + 4c2 + 1/2c3 - 25/2c4. 122»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Všechna řešen ř zadaného systému rovnic (4.11) lze zapsat takto x ( 66 - 2ci + 4c2 + 1/2C3 - 25/2C4 \ Cl 4 + 1/2C3 - 1/2C4 C2 C3 -15 + 3c4 C4 kde cl5c2,c3,c4 G R jsou parametry. 123»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Toto řesen í lze zapsat ve tvaru x / 66 \ í-2\ 4 ( 1/2^1 -25/2 0 1 0 0 0 4 0 0 1/2 -1/2 0 + ci • 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -15 0 0 0 3 0 0 0 0 1 Partikulární řešení systému Ax = b Obecné řešení homogenního systému Ax = 0 Poznamka 1. Množinu vsech resení sýstemu linearn ích rovnic A • x = b nažývame obecným řěšěním. Lže ukažat, že toto obecne resení je souctem obecneho resení príslusneho homogenn ího sýstemu rovnic A • x = 0 a partikularn ího, to jest libovolne žvoleneho jednoho řesen í sýstemu rovnic A • x = b, b = 0. Poznamka 2. V nasem prípade obdržene obecne resen í žavis í na 4 parametrech. Zna-mena to, že každou volbou parametru dostavame řesen í uvedeneho sýstemu linearn ích rovnica naopak, každe resen ídaneho sýstemu rovnic dostaneme specialn í volbou parametru. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Qu t V tomto obecnem resen í je vektor x = 66 0 4 0 0 -15 0 jedn ím ž resen í daneho systemu rovnic. Nážyváme je partikulárn ím resen ím. Množina 125^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit resen i Cl í-2\ 1 0 0 0 0 \0 / + C2 /4\ fl/2\ í -25/2 \ 0 0 0 0 1/2 -1/2 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 1 kde ci,C2,C3,C4 G M jsou parametry, je obecným řešen ím systému A • x = 0, který se nazývá homogenn ím systemem rovnic, příslušným k danemu systemu rovnic A • x = b. Poznámka 3. Vyjádřen í obecneho řesen í systemu rovnic nen í jednoznaCne (kazde vyjádren í ovsem obsahuje tataz řesen í), da se vyjadrit v ruznych tvarech. 126^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 4.2. Ekvivalentní systémy rovnic. Definice 4.1. (Ekvivalentní systémy rovnic.) Nečht Ax = b, C x = d jsou dva sýstemý linearn íčh rovnič o n nežnamýčh. Týto sýstemý nažveme ekvivalentními, jestliže každý vektor x, který je řesen ím sýstemu rovnič A x = b, je i řreřsen ím sýstemu C x = d a naopak, kařžde řreřsen í x, ktere je řreřsen ím sýstemu rovnič C x = d, je i resen ím sýstemu rovnič A x = b. Při resen í sýstemu rovnič Ax = b půjde o naležen í takoveho ekvivalentn ího sýstemu rovnič, který je mořžno snadno posoudit. To žnamena urřčit, žda tento ekvivalentn í sýstem ma nebo nema řreřsen í a v přr ípadře, řže ma řreřsen í, toto řreřsen í naležt. 4.2.1. Převod systému lineárních rovnic na ekvivalentní system rovnic. Uvažujme sýstem linearn íčh rovnič A • x = b (4.14) Ukažme si platnost nasleduj íč íčh pravidel P1, P2, P3, P4. Yll^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit PI. Necht; a je libovolné reálné č íslo = 0. Uvažujme libovolně zvolenou i-tou rovnici systému (4.14) • xi + ... + ahn • Xn = b». (4.15) Je evidentn í , že vektor x vyhovuje rovnici (4.15), když a jenom když vyhovuje rovnici a • (ai,i • xi + ... a,n • Xn) = a • 6». (4.16) Nahradíme-li tedy v systemu (4.14) některou rovnici jejím násobkem číslem a, a = 0, je vznikly system ekvivalentní s daným systemem. P2. Necht; a, p G R, p = 0 a necht; a,i • xi + ... + ahn • Xn = bi, (4.17) aji • xi + ... + aj,n • Xn = b j, (4.18) jsou dve libovolne rovnice systemu rovnic (4.14). Je opet evidenetn í, že každy vektor x vyhovuje obema temto rovnic ím, když a jenom když vyhovuje rovnic ím ai,i • xi + ... + ai,n • xn = bi, (4.19) (aai,i + Paj,i) • xi + ... + (aa»,n + Pa^n) • xn = ab» + pbj,, (4.20) kde a, p G R, p = 0. 128*First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Přičteme-li tedy k //-násobku některé rovnici systému (4.14) a-nasobek jiné rovnice, a,// G R, vznikne system ekvivalentní se systemem (4.14). P3. Vzájemnou vymenou dvou rovnic systemu A • x = b vznikne system ekvivalentní s danám systemem. P4. Vypustíme-li ze systemu rovnic (4.14) rovnici tvaru 0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = 0, obdrzíme system rovnic, která je ekvivalentní se systemem rovnic (4.14), nebot kazdý vektor x G Vn teto rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedava zadne omezen í pro řesen í systemu rovnic (4.14). P5. Jestlize v systemu rovnic (4.14 ) je nektera rovnice tvaru 0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = c, c = 0, nemaá uvazovanyá systáem záadnáe resenáí, nebot; teto rovnici nevyhovuje řzadny vektor. Tyto úvahy můžeme shrnout nasledovne. ^^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 4.1. Necht jsou dány dva systémy lineárních rovnic A x = b, C x = d o neznámych #i, x2, ..., xn. Necht: system C x = d vznikl ze systému A x = b těmito ákony: TI. Libovolnou rovnici systemu jsme násobili číslem rUznym od nuly. T2. K nenulovému násobku jedná rovnice jsme připocetli libovolny násobek jiná rovnice. T3. Vymenili jsme navzájem dve rovnice systemu. T4. Z daneho systemu rovnic vypustíme rovnice typu 0 • x1 + 0 • x2 + ... + 0 • xn = 0, Potom systemy Ax = b, Cx = d jsou navzájem ekvivalentná Abychom si usnadnili zapis pri operac ích s rovnicemi, budeme pracovat jenom s koeficienty rovnic a s jejich pravymi stranami. K systemu rovnic Ax = b (4.21) 130^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit prirad íme rožs írenou maticitohoto systému rovnic (A|b) (4.22) Souctu dvou rovnic systému (5.1) odpov ída soucet odpov ídaj íc ích radku matice (4.22). Podobné nasoben ínéjaké rovnice systému (5.1) c íslem rôžnym od nuly odpov ída nasoben í odpov ídaj íc ího radku matice (4.22) t ímto c íslem. Předpokladejme, že jsme k systému linearn ích rovnic Ax = b priradili rožs írenou matici soustavy tohoto systému rovnic. Potom ukonum T1, T2, T3, s rovnicemi systému Ax = b, uvedenych ve vété 4.1, odpov ídaj í elementarn í transformace T T2(i,a ; j,//), T3(i, j), vypustén í rovnice odpov ída vypustén í odpov ídaj íc ího radku v matici (A|b). Aplikovan ím téchto ukonu na matici (A|b). obdržíme matici odpov ídaj íc í ekvivalentn ímu systému k systému A x = b. Vhodnymi elementarn ími transformacemi lže ž matice (A|b) dospét ke schodovité matici (Cktera odpov ída systému Cx = d, ekvivalentn ímu k systému linearn ích rovnic Ax = b. V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovity tvar užit ím elementarn ích transformac í. Resen í systému linearn ích rovnic Ax = b lže t ímto žpusobem převést na řesen í systému linearn ích rovnic se schodovitou matic í soustavy. O resen í systému linearn ích rovnic, s horn í schodovitou matic í soustavy, bylo pojednano již dříve. 131 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Postup rešení systému linearních rovnic Nechť je dan system linearn ích rovnic Ax = b (4.23) o n neznamych x1, xn. Tento system linearn ích rovnic muzeme resit v techto kroc ích 1. K danem systemu rovnic prirad íme matici rozsírenou (A|b). 2. Uzit ím vhodnych elementarn ích transformac í T 1(i,a), a = 0, T2(i,a ; j,0), p = 0, T3(i, j) postupne aplikovanych na matici (A|b), vytvoříme horn í schodovitou matici (F 3. Vypustíme nulove radky matice (F|g). Takto vzniklou matici oznacme (C Teto matici odpov ída system rovnic Cx = d. (4.24) 4. Tento system rovnic (4.24) 132•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) ma bud'to tvar c1,si xsi + • • • + C1,S2 + • • • c1,Sh-i + • • • + c1,nxn d1 C2,S2 + • • • + c2,sfc_i Xsh-i + • • • + C2,nXn = G?2 ch— 1,Sh-i+ ^ ^ ^ + ch—1,nxn dh—1 v nemž c ísla cMi, C2,S2, • • •, Ch—1,Sfc_i, dh jsou rúžna od 0. b) nebo tvar c1,si xsi + ^ ^ ^ + c1,S2XS2 + ^ ^ ^ + c1,shxsh + ^ ^ ^ + c1,nxn b1 c2,s2Xs2 + ^ ^ ^ + c2,shxsh + ^ ^ ^ + c2,nxn = d2 Ch,Sh xsh + ^ ^ ^ + ch,nxn dh v nemž C1,Si, C2,S2, • • •, Ch,Sh jsou rúžna od 0. (4.25) (4.26) V prípade a) nema system C x = d resen í , nebol; jeho posledn í rovnice 0 • xn — dh nen í splnena pro žadne xn. V tomto prípade ma matice C hodnost h — 1 a matice rožs irena (C|d) hodnost h. Maj í tedy rúžne hodnosti.Vžhledem k tomu, že elementarn ími transformacemi se hodnost matice nemen í, mužeme konstatovat, že system rovnic Ax=b 133»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit nema resen í, když a jenom když hodnost matice soustavy je mens í než hodnost matice rožs írene. Pod ívejme se na prípad b). O zpusobu řesen í tohoto systemu jsme jiz dříve pojednali. Strucne to zopakujme. V tomto případe lze nezname rozdelit do dvou skupin , skupinu h neznamych - nazveme je zakladn ími, ktere lze vypoc íst pomoc í zbyvaj íc ích n - h neznamych - parametru. Toto rozdelen í nen í jednoznacne urceno. Mozne volby jsou patrny z tvaru systemu Cx = d. Jestliže cleny systemu C x = d, obsahuj íc í žakladn í promenne, ponechame na leve strane a ostatn í cleny dame na pravou stranu, mus íme obdržet system rovnic s horn í trojuheln íkovou matici soustavy, jej íž diagonaln í prvky jsou nenulove. Za žakladn í promenne lže napr. žvolit nežname xSi, i = 1, 2,..., h a žbyvaj íc í promenne - nažveme je parametry a ožnac íme je ci,..., cn-h. Výsledek techto uvah shrneme do nasleduj íc í vety. 134^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Věta 4.2. (Frobeniova věta.) Nechť Ax = b (4.27) je systém m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí: Jestliže matice soustavy A má menší hodnost nez matice rozšírená (A|b), potom systém rovnic (4.27) nemá řešení Jestliže matice soustavy A ma stejnou hodnost jako matice rozšířená (A|b), potom systám rovnic (4.27) ma řesení. Jestliže tato spolecna hodnost je rovna poctu neznamych n, potom ma prave jedno řešení. Jestliže tato spolecná hodnost je h < n, potom má nekonečne mnoho řesení zavislách na n — h parametrech. Příklad 4.4. Proveďme analýzu systému lineárních rovnic Ax = b, kde A / 0 1 -4 /3\ -6 -2 1 4 7 -4 0 2 v 1 0 2 1 135•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jedná se o systém čtyř lineám řch rovnic o třech neznámých. Analýzu řešitelnosti tohoto systému rovnic provedeme podle předchoz řho návodu. Utvořme rozs řřenou matici (A|b) tohoto systemu (A|b) / 0 1 -4|3 \ -6 -2 1|4 7 -4 0|2 V 1 0 2 I 1 / Transformujme ji na horn ř schodovitou matici. n r4 r2 = 6ri + r2 r3 = -7ri + r3 / 0 1 -4|3 \ -6 -2 1|4 7 -4 0|2 V 1 0 2 I 1 J 1 0 2 1 0 -2 13 10 0 -4 -14 -5 0 1 -4 3 136^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit r2 ^ r4 r 3 = 4r2 + f3 r 4 = 2r2 + r4 / 1 0 2 I 1 \ 0 -2 13 | 10 0 -4 -14 j -5 V 0 1 -41 3 ) 1 0 2 1 0 1 -4 3 0 0 -30 7 V 0 0 5 16 / {f4 = f3 + 6f4 1 0 2 1 \ 1 0 2 1 0 1 -4 3 0 1 -4 3 0 0 -30 7 0 0 -30 7 0 0 5 16 J 0 0 0 103 Hledanou horn í schodovitou matic í je tedy matice 1 0 2 1 \ 0 1 -4 3 0 0 -30 7 0 0 0 103 / Teto matici odpov ídá system lineárn ích rovnic 137^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1 0 2 / xi \ 1 0 1 -4 x2 3 0 0 -30 7 0 0 0 x4 103 Tento system rovnic nema řesen í (posledn í rovnice !!!). Nema tedy resen í ani dany system rovnic A x = b, ktery je s t ímto systemem ekvivalentn í. Uved'me ukazky resen í nekolika uloh, v nichz matice soustavy nen í schodovita. Příklad 4.5. Reste system linearn ích rovnic x1 + 2x2 — 3x3 + x4 = 1, 2x1 — x2 + x3 — x4 = 1, (4.28) 4x1 + 3x2 — 5x3 + x4 = 3. Řešení. K danemu systemu rovnic nap íseme odpov ídaj íc í rozsířenou matici soustavy (A|b) 1 2 -3 2 -1 1 435 1 1 3 (4.29) Tuto matici transformujeme elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici. Vypocet provedeme v nekolika kroc ích. 138^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1. Prvn í řadek zvol íme jako hlavn í. Budeme eliminvat prvky a2;1,a3;1. Prvn í radek nasob íme c íslem (-2) a přicteme ke druhemu radku. Dostaneme (A|b) 1 2 -3 0 -5 7 435 1 1 3 Prvn í radek nasob íme (-4) a pripocteme ke ctvrtemu řadku. Dostaneme (A|b) 12 0 -5 05 3 7 7 1 1 1 2. Druhý radek žvol íme jako hlavn í. Budeme eliminovat prvek a3;2. Druhý radek nasob íme c íslem (—1) a připocteme ke tret ímu radku. Dostaneme horn í schodovitou matici (A|b) 12 0 -5 00 3 7 0 1 3 0 1 1 0 V teto matici výpust íme řadek obsahuj íc í same 0. Dostavame tak matici, ožnacme ji (B|c), ktera odpov ída sýstemu (4.30) Bx = c, který je ekvivalentn í s daným sýstemem rovnic (4.28). xi + 2x2 — 3x3 + X4 = 1 (4 30) 5x2 + 7x3 - 3x4 = -1 139^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Cleny techto rovnic obsahuj íc í nezname x3,x4 prevedeme na pravou stranu systemu. Budeme je povazovat za parametry. Zaroveř poloz íme C1 = X3, C2 = X4. Dostavame xl + 2x2 = 1 + 3c1 C2, — 5x2 = —1 — 7c1 + 3c2. Z posledn i rovnice vypořc itame x2. Dostaneme X2 = 1/5 ' (1 + 7C1 - 3C2). Dosad ime tuto vypořc itanou hodnotu x2 do prvn i rovnice a vypořc itame z takto vznikle rovnice x1. Dostaneme x1 = 1/5 ' (3 + C1 + C2). Obecnym řreřsen im zadaneho systemu linearn ich rovnic (4.28) je tedy vektor x / (1/5 ' (3 + cl + c2) \ 1/5 ' (1 + 7ci - 3c2) V C1 C2 kde Cl, C2 G R. 140^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Toto obecne resen í lze zapsat ve tvaru x 3/5 1/5 O V O / + ci 1/5 T/5 1 O + C2 1/5 -3/5 0 1 \ kde cl,c2 G R. Příklad 4.6. Naležnete řešen í systemu linearn ích rovnic xi + 2x2 — 3x3 + x4 = 1 2xl x2 + x3 x4 = 1 (4.31) 4xl + 3x2 - 5x3 + x4 = 4 Řešení. K danemu systemu rovnic nap íseme odpov ídaj íc í rožsířenou matici soustavy. 1 2 -3+1 (A|b) = 1 2 -1 1 -1 4351 1 1 4 Tuto matici soustavy transformujme elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici. 141 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1. První řádek zvolíme jako hlavní. Budeme eliminovat prvky a2y1,a3y1. První řádek násobíme číslem (—2) a přičteme ke druhemu řádku. Dostaneme (A|b) 1 2 -3 0 -5 7 4 3-5 1 1 4 První řádek násobíme (-4) a připočteme k třetímu řádku. Dostaneme (A|b) - 12 0 -5 05 3 7 7 1 1 0 2. Druhy řadek zvolíme jako hlavní. Druhy radek nasobíme číslem (—1) a pripočteme ke třetímu radku. Dostaneme horní schodovitou matici (A|b) 12 0 -5 00 31 7 -3 00 1 1 1 První čtyři sloupce predstavují matici, kterou jsme obdrZeli elementarními transformacemi matice soustavy daneho systemu rovnic. Tato matice ma hodnost 2. Cela matice predstavuje matici, ktera vznikla elementarními transformacemi rozsírene matice soustavy daneho systemu rovnic. Ma hodnost 3. To znamena, ze matice soustavy daneho 142•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit systemu rovnic ma hodnost 2 a matice rozs irena daneho systemu rovnic ma hodnost 3, tedy odlisnou od hodnosti matice soustavy. Dany system rovnic tedy nema resen í. Neexistence řesen í daneho systemu rovnic vyplyva i z teto uvahy. Tato vysledna matice reprezentuje system linearn ich rovnic x1 + 2x2 — 3x3 + x4 = 1, — 5x2 + 7x3 — 3x4 = —1, (4.32) 0 • x1 + 0 • x2 + 0 • x3 + 0 • x4 = 1. Vzhledem k posledn í rovnici je patrno, ze system nema resen í. 4.3. Gaussova eleminační metoda. V nasleduj íc ím vykladu nejde o nic noveho. Jde o zaveden í nazvu pro metodu, o ktere jsme ji z obecneji pojednali. Specialn í prípad uvad íme proto, ze se s t ímto nazvem muzete setkat. Nechť A je regularn i ctvercova matice řadu n, b je n-rozmerny sloupcovy vektor a x je neznamy n-rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme system n linearn ích rovnic Ax = b. (4.33) Tento systém rovnic (4.33) řešme takto: 143»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1. Matici (A\b) transformujeme elementarn ími transformacemi na horn í schodovitou matici. Dostaneme (T\c), (4.34) kde T je horn i trojuheln íkova matice. (Je to žvlastn í případ horn i schodovite matice.) 2. Res íme obdrženy system rovnic Tx = c s horn í trojuheln íkovou matic í metodou žpřetne substituce. Tento žpusob vypoctu se nažyva Gaussova eleminační metoda. Tato metoda ma mnoho variant, spoc ívaj íc ích jak ve vyberu hlavn ích radku (pri transformaci rožs irene matice soustavy na horn í schodovitou matici), tak i při provaden í jednotlivych kroku v elementarn ích transformac ích, jimiž se system rovnic (4.33) prevad í na system rovnic (4.34). Příklad 4.7. Gaussovou eliminacn í metodou řeste system linearn ích rovnic Ax = b, kde A •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit K systému rovnic přiřad íme rozš írenou matici soustavy (A\b) = 1 -3 2 1 0 5 -2 4 -2 4 1 9 Tuto matici převedeme elementárn ími transformacemi na matici (B |c), kde matice B je horn í trojUheln íkova matice. Postupne dostavame (A|b) 1 -3 2 1 0 5 -2 4 2 4 1 9 1 -3 05 02 1 4 11 1 -3 2 1 0 5 -2 4 0 0 21 63 Posledn í matici odpov ída systém linearn ích rovnic x\ —3x2 +2x3 = 1, 5x2 —2x3 = 4, 21x3 = 63. 145•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit no Tento system res íme metodou zpetne substituce. Z posledn í rovnice vypoc ítame x3. Dostavame x3 = 3. Dosad íme-li tuto hodnotu do druhe rovnice a vypocítame x2, dostavame x2 = 2. Dosad íme-li nyn í do prvn í rovnice vypoc ítane hodnoty x3,x2, dostavame z n i x1 = 1. Je tedy hledanym řesen ím vektor 4.4. Jordánova eliminační metoda. V nasleduj íc ím vykladu pojedname o metode zalozene na specialne c ílenou elementarn í tranformaci rozs iřene matice soustavy. (Popis algoritmu je na str. 150.) Nechť A je regularn í ctvercova matice řadu n, b je n-rozmerny sloupcovy vektor a x je neznamy n-rozmerny sloupcovy vektor. Uvazujme system linearn ích rovnic System rovnic (4.35) resme takto: 1. Matici (A|b) transformujeme elementarn ími trasformacemi na matici (Ckde C je regularn í diagonaln í matice radu n. x= Ax = b. (4.35) 146^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 2. Řeš íme systém rovnic s diagonáln í matic í Cx = d. (4.36) Tento způsob výpočtu se nazývá Jordánova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spoč ívaj íč íčh jak ve výberu hlavn íčh řádků tak i při prováděn í jednotlivých kroků v elementarn íčh transformač íčh, jimiZ se System rovnič (4.33) převad í na sýstem rovnič (4.36). Příklad 4.8. Jordanovou eliminačn í metodou řeste sýstem linearn íčh rovnič Ax kde A K systému rovnic přiřad íme rozš ířenou matici soustavy 1 0 -2 3 5 4 2 1 2 4 1 9 147»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Tuto matici převedeme elementarn ími transformacemi na matici (C|d), kde matice C je diagonaln í matice, (to lže, jestliže matice A je regularn í). Postupné dostavame 1 -3 2 (A|b) = [ 0 5 -2 241 1 4 9 { r3 = 2ri + r3 { r1 = 3r2 + 5r1 f3 = 2f2 + 5f3 r1 = 21r1 - 4r2 f2 = 2f3 + 21f3 1 -3 2 0 5 -2 241 1 -3 2 0 5 -2 0 -2 5 50 4 17 05 -2 4 00 21 63 I 4 9 1 4 II 1 0 105 0 0 0 105 0 0 0 21 -3 2 1 5 -2 4 -2 5 11 0 4 17 5 -2 4 0 21 63 105 210 63 14-B^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Posledn í matici odpov ída systém rovnic 105xi = 105, 105x2 = 210, 21x3 = 63. Jeho řesen ím dostavame hledaný vektor x = 4.5. Jordánova metoda na řešení maticové rovnice AX = B Uvažujme system rovnic AX = B, (4.37) kde A je dana ctvercova regularn í matice radu n, B je dana matice typu (n,m) a X je nežnama matice typu (n,m). Každy sloupec X(: , j), j = 1, ... ,m, matice X je řesen ím systemu rovnic AX(: , j) = B(:, j), j = 1,...,m. (4.38) 149^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Mame tedy řesit m systemu rovnic (4.38) se stejnou matic í soustavy A. Tyto systemy muzeme řesit najednou. K systemu rovnic (4.37) přiřaďme matici rozs ířenou (A | B). (4.39) Uzit ím elementarn ích transformac í prevedeme tuto matici na matici (E | C), (4.40) kde E je jednotkova matice. Polozme G := D—1 F. Matice G ma tedy tvar G = (E | R). Teto matici odpov ída systemu rovnic EX = R, (4.41) ktery je ekvivalentn í se systemem (4.37). Ponevadz E . X = X, dostavame ze systemu (4.41) X = R, (4.42) takze matice R je resen ím systemu (4.37). 150^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Výpočet inverzní matice k regulární matici řádu n V podkapitole 5.4 jsme ukazali, ze v případe, ze matice A je regularn í, potom inverzn í matici, oznacmeji X, nalezneme resen ím systemu rovnic AX = E. Jde tedy o řesen í systemu, ktery je specialn ím prípadem systemu rovnic (4.37). Převod matice F elementárn ími transformacemi na matici G. Algoritmus. Předpokladejme, ze promenne F je prirazena matice (A | B) a promenne n je přirazen rad matice A a promenne m je prirazen pocet sloupcu matice B. ZaCátek B1 Zacneme s upravou prvn ího sloupce matice F. Poloz íme j := 1. B2 Zvolme p G {j, j + 1,..., n}, pro nez je fpj = 0. (Takove p existuje vzhledem k regularnosti matice A.) Touto volbou zvol íme p-ty radek matice F jako hlavn í pro nasledne eliminace. Jestlize p = j, je j-ty radek 151»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit hlavn í a jdeme k B3. Jestlize p = j, vymen íme navzajem p—ty a j—ty radek matice F a jdeme k B3. B3 Pro i = 1, ... , n,i = j, provedeme tyto ukony bl Polozme i := 1, jdeme k b2. b2 Jestlize i = j jdeme k b4, jinak k b3. b3 Je-li fij = 0, jdeme k b4, jinak poloz íme F = H4(j, —fid/fjj ,i, 1)F. (Po teto transformac í bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 polozme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4. B4 Polozme j := j + 1. Jestlize j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Puvodn í matice F se transformovala na matici F = (D | C) kde matice D je diagonaln í. Potom hledana matice G je G := D-1 F = (E Příklad 4.9. Naleznete inverzn í matici k matici / 1 2 4 A = I -2 12 435 (4.43) 152 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Označme X matici inverzn í k matici A. Předpokládáme-li, že matice A je regulárn í, je hledaná matice X řesen ím systemu lineárn ích rovnic AX = E. Teto rovnici odpovídá matice F = (A|E), to jest matice F 1 2 4 -2 1 2 4 3 5 1 0 0 0 1 0 001 (4.44) Na matici F budeme postupne aplikovat elementárn í tranasformace podle nahoře pop-saneho algoritmu. Položme j := 1. Zacneme s upravami prvn ího sloupce matice F. Za hlavn í rádek zvol íme rádek 1.(Prvek = 0.) Elementárn ími transformacemi typu H4 dosáhneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky /2;1, /3;1 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(1, -/2)1//1)1, 2,1)F , to jest transformac í F := H4(1, 2, 2,1)F dostavame F 1 2 4 0 5 10 4 3 5 100 210 001 153»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Proveden ím transformace F := H4(1, -/3;1//1;1,3,1)F to jest proveden ím transformace F := H4(1, -4,3,1)F dostavame 1 2 4 F := I 0 5 10 0 -5 -11 1 0 0 2 1 0 401 Položme j := 2. Zacneme s upravami druheho sloupce matice F. Za hlavn i radek zvol íme radek 2.(Prvek f2;2 = 0.) Elementarn ími transformacemi typu H4 dosahneme toho, aby ve vznikle matici byly prvky f32 rovny nule. Proveden ím transformace F := H4(2, —/1;2//2;2,1,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, —2/5,1,1)F dostavame 1 0 0 F := I 0 5 10 0 -5 -11 1/5 -2/5 0 2 1 0 401 Proveden ím transformace F := H4(2, -/3;2//2,2, 3,1)F, to jest proveden ím transformace F := H4(2, 5/5,3,1)F, dostavame 10 0 1/5 -2/5 0 0 5 10 2 1 0 0 0-1-2 1 1 154^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Položme j := 3. Začneme s úpravami třetího sloupce matice F. Za hlavní řadek zvolíme radek 3.(Prvek /3;3 = 0.) Ponevadž /1;3 = 0, provedeme jenom takovou elementarn í transformaci typu H4, aby ve vznikle matici byl prvek /2;3 roven núle. Proveden ím transformace F := H4(3, —/2;3//3;3, 2,1)F, to jest transformac í F := H4(3,10, 2,1)F dostavame F := 10 0 1/5 -2/5 0 0 5 0 -18 11 10 0 0-1-2 1 1 Označme obdrženou matici F jako F (D | C). Je tedy D K n í inverzn í matic í je matice 1 0 0 00 1/5 0 01 155»F;'rst »Prev »A/ext •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Položme G := D1 F. Dostavame G Matici G lže žapsat jako 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1/5 _18 5 2 2/5 0 5 2 11 G = (E | R). Teto matic i odpov řdá system rovnic EX = R ekvivalentn i s danym systémem rovnic AX = E. Je tedy hledanou inverzn i matic i matice 1/5 2/5 0 X = R = 18 5 11 5 2 V 2 -1 -1 156^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 5 Determinanty V teto kapitole se žavad í pojem determinantu ctvercove matice a žpusoby jeho vyc íslen í . Odvozuje se Cramerovo pravidlo na řesen í systemu linearn ích rovnic pomoc í determinantu a přímy vypocet inveržn í matice. 5.1. Zavedení pojmu determinantu matice Několik úvodních slov. UvaZujme system dvou linearn ích rovnic o dvou neznamych xi, x2 157»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 611,1 • X1 + 01,2 • X2 = 61, (5 d «2,1 • X1 + 02,2 • X2 = 62. ( Jestlize 6^ • - a^2 • 6^ = 0, potom X1 = 61 ^ 662,2 - 62 ^661,2 , x2 = 62 ^ 01,1 - 61 ^662,1 (5.2) «1,1 ^ <°2,2 - <°1,2 ^ <°2,1 <°1,1 ^ <°2,2 - <°1,2 ^ <°2,1 je resen ím systemu (5.1), jak se lze presvedcit dosazen ím techto hodnot za x1, x2 do rovnic (5.1). Zaved'me si toto oznacen í. Oznacme C matici C , C1,1 C1,2 ( c1,1 C1,2 \ V C2,1 C2,2 ) ^ C2,1 C2,2 Potom řc islo C1,1 • C2,2 - C1,2 • C2,1 nazveme determinantem matice C. Oznac íme jej deŕ(C), resp. |C|. Tedy deŕ(C ) = der ' ' V c2,1 c2,2 J C1,1 • C2,2 - C1,2 • C2,1. C1,1 Ci,2 C2,1 C2,2 158^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešen í (5.2) systemu (5.1) lze pak pomoc í determinantu zapsat takto x1 = bi «1,2 «1,1 b1 b2 «2,2 «2,1 b2 x2 = «1,1 «1,2 «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 «2,1 «2,2 V techto vzorc ích je jmenovatel determinantem matice soustavy «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 (5.3) A ( ktery je dle předpokladu = 0. Čitatel ve vyjadřen í pro x1 je determinantem matice, ktera vznikne z matice A nahradou jej ího prvn ího sloupce vektorem pravych stran b bb12 Podobne čitatel ve vyjadren í x2 je determinantem matice, ktera vznikne z matice A nahradou jej ího druheho sloupce vektorem pravych stran b. V dals ím si zavedeme pojem determinantu i pro čtvercove matice A libovolneho radu n. Budeme jej znařcit shodnře jako determinanty matic řradu 2. Determinanty vyuřzijeme 159^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit pri resen í systemu n linearn ích rovnic o n neznamych. Pojem determinantu se vyuz íva i při řesen íradyjinych ekonomických uloh. Zaveďme si nyn í pojem determinantu matice. I Definice 5.1. (Determinant matice) Nechť A je ctvercova matice. Determinantem matice A rozum íme c íslo, oznacme je Al nebo deŕ(A), definovane takto: Je-li n = 1, to jest, jestlize A = (a11), potom Al = a11. Jestlize je jiz definovan determinant matice radu n — 1, potom determinant matice radu n definujeme takto: I kde Aij je matice (jak jsme si to jiz dríve zavedli), ktera vznikne z matice A | vypusten ím jej ího i-teho řadku a j-teho sloupce. Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině vsech čtvercových matic. Příklad 5.1. Např. je-li A = (—2), potom Al = —2. + .. + + (—1)i+nai,n -\Ahn\ , (5.4) 160^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Príklad 5.2. Necht Dokařzme, řze A / «1,1 «1,2 \ V «2,1 «2,2 J |A| = «1,1 ^ «2,2 - «1,2 ^ «2,1. Skutecne, podle (5.4) je |A| = • «1,1 • |AM| + (-1)1+2 • «1,2. |A1,2|. (5.5) (5.6) (5.7) Zde Ai;i je matice, ktera vžnikne ž matice A výpusten ím 1. radku a 1. sloupce. Je tedý Ai;i = (a2;2), |Ai;i| = a2;2. Podobne Ai2 je matice vžnikla ž matice A výpusten ím jej ího prvn ího řadku a 2. sloupce. Je tedý Ai2 = (a2i), |Ai2| = a2i. Dosažen ím do (5.7) dostavame A «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 Po upravře dostaneme = • «1,1 • «2,2 + (-1)1+2 • «1,2 • «2,1. «1,1 «1,2 «2,1 «2,2 «1,1 • «2,2 - «1,2 • «2,1. 161 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit I Poznámka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od součinu prvků I na hlavní diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále. Příklad 5.3. Vypočítejte hodnotu determinantu matiče A Řešení. Jedná se o výpočet determinantu matice 2. řádu. Podle (5.6) je \ A\ =„součin prvků na hlavní diagonále — součin prvkU na vedlejSí diagonále". Tedý \A\ =3 • 4 — (—2) • 5, \A\ = 22. Příklad 5.4. Nečht A je matiče řadu S ( al,l «1,2 «1,3 \ A= «2,2 V «3,1 «3,2 03,3 / (5.8) Vypočítejme determinant z teto matiče. Podle Definiče 5.1 je jAj = • «1,1 • jAl,lj + (-1)1+2 • «1,2 • jAl,2j + (-1)1+3 • «1,3 • jAl,3j. (5.9) 162»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zde A1;1 je matice, ktera vznikne z matice A vypusten ím 1. řadku a l.sloupce. Je tedy Ai,i / «2,2 «2,3 \ V «3,2 «3,3 ) takZe podle (5.6) je \A1,1\ = «2,2 • «3,3 — «2,3 • «3,2. Matice A12 vznikne z matice A vypusten ím 1. radku a 2. sloupce. Je tedy A1,2 / «2,1 «2,3 \ «3,1 «3,3 takřze podle (5.6) je \ A1,2\ = «2,1 • «3,3 - «2,3 • «3,1. Matice A13 vznikne z matice A vypusten ím 1. radku a 3. sloupce. Je tedy A1,3 «2,1 «2,2 «3,1 «3,2 takřze podle (5.6) je \ A1,3\ = «2,1 • «3,2 - «2,2 • «3,1. (5.10) (5.11) (5.12) 163^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dosad íme-li do (5.9) za |A1;1|, |A12|, |A13| vypocítane hodnoty (5.10), (5.11), (5.12), dostavame | A| = «1,1 • («2,2 • «3,3 - «2,3 • «3,2) - «1,2 • («2,1 • «3,3 - «2,3 • «3,1) + + «1,3 • («2,1 • «3,2 - «2,2 • «3,1)- (5.13) Odtud dostavame po úprave | A| = («1,1 • «2,2 • «3,3 + «2,1 • «3,2 • «1,3 + «3,1 • «1,2 • «2,3)- («3,1 • «2,2 • «1,3 + «1,1 • «3,2 • «2,3 + «2,1 • «1,2 • «3,3). (5.14) Odtud dostavame nasleduj íc í pravidlo—,Sarusovo pravidlo" pro vyc íslen i determinantu matice řradu 3. Požor!! I Poznámka. Je nutno si uvědomit, ze Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro deter-I minanty matic 3. řadu. Pro matice vyšších fadU není obdoba Sarusova pravidla. 164^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Sarusovo pravidlo. Podle příkladu 5.4 se vypočítá hodnota determinantu matice A řadu n = 3 vztahem |A| = Si - S2, (5.15) kde 51 = a1,1 • a2,2 • a3,3 + a2,1 • a3,2 ' a1,3 + a3,1 ' a1,2 ' a2,3, 52 = a3,1 ^ a2,2 ^ a1,3 + a1,1 ^ a3,2 ^ a2,3 + a2,1 ^ a1,2 ^ a3,3- Vidíme, že S1 je souCtem tří Clen U, každý z nich je souCinem tří prvkU matice A. Na nasledujícím obrázku 5.1 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každa trojice prvku, jejichž soucin je clenem v S1, je propojena carou. S2 je souctem tží clenu, každý z nich je soudnem tží prvku matice A. Na následujícím obrazku 5.2 jsou prvky matice vyznaženy kroužky a každa trojice prvku, jejichž soucin je clenem v S2, je propojena carou. 165^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 5.1: Si Obrazek 5.2: S2 Příklad 5.5. Vypoč ítejte hodnotu determinantu matice / 5-2 3 \ A \ 2 4 -2 -3 6 7 / uzit ím Sarusova pravidla. Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu 5 -2 3 2 4 -2 367 166^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Podle Sarusova pravidla dostavame | A| = [5 • 4 • 7 + (—2) • (—2) • (—3) + 2 • 6 • 3] — [3 • 4 • (—3) + (—2) • 6 • 5 + (—2) • 2 • 7]. Úpravou dostavame |A| = [140 — 12 + 36] — [—36 — 60 — 28], takze |A| = 288. Příklad 5.6. Vypoč ítejte hodnotu determinantu matice A 1 2 -1 3 2 3 4 1 0 1 2 3 1 4 -3 -2 Řešení. Podle (5.4) dostavame 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 |A| = 1 • 1 2 3 - 2 • 0 2 3 - 1 • 0 1 3 - 3 • 0 1 2 4 -3 -2 1 -3 -2 1 4 -2 1 4 -3 167^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Hodnotu každeho ž techto determinantu matic radu 3 urc íme užit ím Sarusova pravidla. Dostavame \A\ = 1 • 60 — 2 • 20 — 1 • (—20) — 3 • (—20), takže \A\ = 100. 5.2. Výpočet determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. sloupce Napred uved'me nekolik vlastnost í determinantu ctvercovych matic. Veta 5.1. Necht i = j jsou indexy řádků ětvercove matice A a necht B je matice, která vznikne z matice A vzájemnou výmenou jejího i— táho ěádku s j — tým ěadkem. Potom platí | B| = —| A| 168^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 5.2. Necht A je matice radu n > 1. Necht její i—ty radek (sloupec) je stejný jako její j — ty radek (sloupec), i = j. Potom | A| =0. Důkaž.Skutecne. Oznacme B matici, ktera vznikne z matice A vymenou obou stejnych radku (sloupcu) matice A. Je tedy A =B, takZe | A| = |B|. PonevadZ matice B vznikla z matice A vymenou dvou jejich radku (sloupcu) je |A| =- |B|. To je mozne jen v prípade, ze |A| = |B|. Príklad 5.7. Necht / 5 -2 3 \ A V 2 4 -2 523 Vid íme, že v této matici jsou si prvn řa třet ř řádek rovny. Výpočtem se snadno přesvědč řte, že |A| =0. Uved'me si tento příklad.Necht 169^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Matice B vnikla z matice A vzajemnou vymenou jej ího prvn ího a druheho radku. Zrejme |A| = -5, |B| = 5.e tedy ve shode s vetou (5.1), ze |A| = —|vekB^ V definici 5.1 determinantu matice ma jej í prvn í radek vyjimecne postaven í.Lze dokazat, ze vypocet determinantu ctvercove matice A lze provest analogickym zpusobem - m isto prvn ího radku lze pouz ít libovolny radek, jak je uvedeno v nasleduj íc í vete. Dukaz teto vety nebudeme provadet, v dukaze se vyuz íva veta (5.1). Veta 5.3. (Výpočet determinantu - rozvoj podle řádku.) Necht A je libovolná matice rádu n > 0. Potom pro každé s G {1, ... n}. platí k=1 Výpočet pomocí tohoto vzorce nazýváme výpoCtem determinantu matice A rozvojem podle s-tého Cadku. DUkaz: Dukaz nebudeme provadet. Dukaz se op Íra o vetu, ze vzajemnou vymenou dvou radku se zmen í znamenko hodnoty determinantu. n |A| (5.16) 170^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 5.8. Vypočítejte hodnotu determinantu matice A (1 2 0 -1 \ 0 0 3 0 4 0 1 2 U 1 0 2 Řešení. Poněvadž ve druhém řádku má matice A tři nulové prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme vypoCet determinatu dane matice rozvojem podle druheho řádku. Podle predchažející vety obdržíme | A| = -0 • | A2,i| + 0 • | A2,21 + 3 • (-1)2+3 1 2 -1 4 0 2 5 1 2 + 0 • |A2,4| = - 3 • (-2) = 6. rp Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice A . Zabývejme se nyní vztahem meži hodnotou determinantu matice A a matice k ní rp transponovane A . Dríve než uvedeme vetu o vžajemnem vžtahu meži determinantem 171 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit rri rri matice A a determinantem matice A , tak si uvedomte, ze matice A je transponovana k matici A, jestlize kazdy i—ty radek matice A je i—tym sloupcem matice AT. Lehce nahledneme, ze plat í vztah (5.17) Doporučuji, aby jste si tento vztah sami dokazali. Abychom demonstrovali pravdivost tohoto vztahu, uved'me nasleduj íc í príklad. Příklad 5.9. Necht 123 A = I 4 5 6 7 8 9 147 258 369 Vid íme, ze např. (AT)2,3 = ( 3 4 ) = (A3,2)T. Dokazme nyn í, platnost teto vety. 172• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Věta 5.4. Necht A je čtvercová matice řádu n. Potom det(A) = det(AT). (5.18) Důkaz: Vetu dokažeme užit ím matematicke indukce. Veta je evidentne spravna pro matice řadu n = 1. Predpokladejme nyn í , že veta je spravna pro matice radu n a dokažme, že je pak spravna i pro matice radu n + 1. Nechť tedy A je matice «1,1 A «1,2 «i,2 «1, 1 «i,n+1 \ an+1,1 an+1,2 • • • an+1,n+1 / 173^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Oznacme A = AT, takze / «11 «12 «k,n+1 «k,n+2 \ «n+1,1 «n+1,2 «1 1 «k,n+1 kde — i+1,n+1 / Rozvojem podle i-teho radku matice A dostavame n+1 k=1 (5.19) Rozvojem podle k-teho radku matice A dostavame n+1 |A| = YJ(-1)k+^^«kA^kA i=1 (5.20) Vzhledem k tomu, ze «k^ = «^k a ponevadz podle (5.17) je (Ajj)T = (ATj = A lze tento vztah přrepsat na tvar n+1 |A| = ^(-1)k+Xk|(Ai,k)T|. (5.21) i=1 174^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ponevadž podle indukcn ího predpokladu je veta spravna pro matice radu n, je |(Ai;k )T | = \Ai,k|, takže n+1 |A| = 1)k+ifli,k\Ai,k |. (5.22) Provedeme-li vypocet |A| podle (5.19) pro i = 1, 2, ... ,n + 1 a tyto obdržene výsledky seřcteme, dostavame n+1 n+1 (n + 1)| A| = ai,k | Ai,k |. (5.23) i=i k=i Podobne, provedeme-li vypocet | A| podle (5.21) pro k = 1, 2, ..., n+1 a tyto obdržene vysledky seřcteme, dostavame n+i n+i (n + 1)| A| = 1ľ+k Ž) fli'k| Ai,k|. (5.24) i=i k=i Porovnan ím (5.23) a (5.24), dostavame, že detA = detAT. ■ Bežprostředn ím dusledkem teto vety je nasleduj íc í veta, ktera ukažuje žpusob vyc íslen í determinantu matice rožvojem podle libovolneho sloupce matice. 175•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 5.5. (Výpočet determinantu - rozvoj podle sloupce) Necht A je matice n-tého řádu í A an-1,1 y an,1 an- 1 j a a1,n a2,n an- 1,n an,n \ Necht j je libovolný index jejího sloupce. Potom (5.25) k=1 DUkaz: Vžorec (5.25) nažyvame vypoctem determinantu matice A rožvojem podle jej ího j-teho sloupce. . 176^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 5.10. Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 3 \ A \ 4 5 6 7 8 9 rozvojem podle druheho sloupce. Řešení. Dostávame |A| = 2 • (-1)1+2 Po vyčíslení obdrZíme | A| 46 79 = 0. + 5 • (-1)2+2 13 79 + 8 • (-1)3+2 13 46 Věta 5.6. Necht A je matice řádu n > 1. Necht všechny prvky v některém jejím řádku (resp. sloupci) jsou rovny 0. Potom |A| =0. Důkaz: Tvrzení vychází z výpočtu determinantu matice rozvojem podle řádku (sloupce), jehož vSechny prvky jsou rovny 0. . 177•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5.3. Hodnota determinantu matice B vznikle z matice A elementární transformací. Ukazme si vztah mezi hodnotou determinantu z matice A a matice B, ktera vznikne z matice A nekterou elemntarn í transformac í .Plat í tyto vety. Veta 5.7. Necht A je ctvercova matice n-tého Cádu. Potom platí: Necht B je matice, ktera vznikne z matice A výnasobením jejího i-tého Cádku reálným Císlem a tj. necht B = ľ 1(i,a)A, kdea G R Potom platá |B | = a|A| (5.26) Slový „determinant matice B, která vznikne z matice A výnasobením jejího libo-volneho Cadku i císlem a, ma hodnotu a|A| ", tj. \ľ a)A|| = a|A|. 178^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dukaz je snadny. Stac í porovnat vypocty obou determinantu matic A, B rozvojem podle i—teho řadku. Tuto vetu demonstrujme na tomto příklade. V nem matice B vznikne z matice A vynasoben ím prvn ího řadku matice A c íslem „3". Príklad 5.11. A=(!!)=— 2 B=(36)=—6 Tedy |B| = 3|A| ve shode s nahoře uvedenou vetou (5.7). Veta 5.8. Necht a, P G R, i = j jsou indexy radku matice A a necht B je matice, ktera vznikne z matice A tak, ze její i—tý radek vynasobený císlem a se pršte k j — tímu radku vynasobenímu císlem P, tj B = T 2(i,a; j, P )A Potom platí |B | = P |A| 179^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Slovy „Necht B je matice, ktera vznikne z matice A tak, ze její i—ty radek vynásobeny/ Číslem a se přiCte j—tému řádku vynásobenému číslem P. Potom platí" |B | = P |A|. Upozornení. i—ty radek v matici B je stejný jako v matici A. Důkaz: provedeme ve dvou krocích, napred dokažeme tuto vetu pro žvlastn í případ a = P = 1. 1. Nechť Bi = T2(i, 1; j, 1), tj. necht matice B i je matice, jej íž j—ty řadek je souctem i—teho a j — teho radku matice A a ostatn í radky jsou stejne jak ma matice A. Dokažme, že v tomto případe plat í |B| = |A|. Rožvojem |B 1| podle j—teho řradku dostavame |B i| = |B 2| + |A| kde B2 je matice, ktera ma j—ty radek stejny jako i-ty radek a ostatn í radky ma stejne jako ma matice A. Je tedy |B2| = 0. Tedy |B 1| = —A—. 2. Nechť nyn í a = 0. Potom matici B dostaneme ž matice A postupne temito elementarn ími transformacemi takto: C = T1(i, a)A, D = T p)C, F = T2(i, 1; j, B = T 1 D). a Zrejme |D| = a.p.|A = |F|. Odtud B = p.|A|. 180^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 5.12. Nechť /l-2 3\ A V 0 1 2 2 -3 1 / Výpočtem dostaneme |A| = -7. Označme B = T2(1,3; 3, 2) A t.j. matici / 1 -2 3 \ B V 0 1 2 4-6 2 Výpoctem žjistíme, že |B| = —14, takže skutecne \B| = 2|A|. Nasleduj íc í vetu jsme již sice uvedli, ale uvedeme ji jeste jednou, aby všechny tri vety týkaj íc í se vypoctu determinantu ž matice vžnikle elementarn ími transformacemi ž jine matice byly uvedeny na jednou m íste. 181^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 5.9. Necht i = j jsou indexy rídku ctvercoví matice A a necht B je matice, ktera vznikne z matice A vzíjemnou vymžnou i— tího žadku s j— tym žadkem, tj. necht B = T3(i, j) A Potom platí |B| = —|A| Slovy „Necht B je matice, ktera vznikne z matice A tak vzajemnou vymžnou i—tího žadku Potom ^| = —|A|," tj. \T 3(i,j )| = —|A|. 182^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5.4. Výpočet hodnoty determinantu z horní schodovité matice. Veta 5.10. (Determinant horní schodovité matice) Necht B je horní schodovitá matice n—tého řádu: B = / b1,1 b1,2 b1,3 . . . b1,n-1 b1,n \ 0 b2,2 b2,3 . . . b2,n-1 b2,n 0 0 b3,3 . . . b3,n-1 b3,n . (5.27) Potom 0 0 . . . 0 bn-1,n-1 bn-1,n \ 0 0 ... 0 0 bn,n j |B | = b1,1 ^ b2,2 ^ . . . ^ bn,n. (5.28) Důkaz: Proved'me vypočet hodnoty determinantu teto matice rozvojem podle jej ího 183^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit prvn ího sloupce. Dostávame B | = (-1)1+1 • b2,2 b2,3 • • • b2,n-1 0 63,3 ••• b3,n-1 b2,n b3,n 0 0 • • • bn-1,n-1 bn-1,n 0 0 ••• 0 bn,n Hodnotu determinantu takto vznikle matice urc íme opet rozvojem podle prvn ího sloupce. Dostáváme b3,3 ^ ^ ^ b3,n-1 b3,n |B | = 61,1 • • • b2,2 0 ^ ^ ^ bn- 1,n-1 bn- 1,n 0 ••• 0 bn,n T ímto zpusobem pokračujeme, aZ po n kroc ích obdrZ íme hledaný vzorec (5.28) |B | = b1,1 ^ b2,2 ^ ^ ^ ^ ^ bn,n 184^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 5.13. Vypoč ítejte hodnotu determinantu matice A (5 2 4 5\ 0 4 3 4 0 0 8 4 \0 0 0 2 (5.29) Řešení. Podle vzorce (5.28) dostávame |A| = 5 • 4 • 8 • 2 = 320. Poznámka. Jestliže některý prvek schodovité matice B na hlavn í diagonále je roven 0, potom |B| = 0. Vápocet hodnoty determinantu jejím převodem na horní schodovitou matici Ukažme si metodu výpoCtu hodnoty determinantu že Ctvercove matice rádu n převodem na horn í trojuheln íkovou matici užit ím elementarn ích transformac í. (Uvažme, že horn í schodovita matice je horn í trojuheln íkovou matic í.) Ve výkladu použ ívame ožnacen í: A ... promenna pro matici. 185»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Y ... promenna, v n íz se sleduje zmena hodnoty determinantu vlivem elementarn í transformace. D ... Oznacen í hledane hodnoty determinantu Na zacatku vypoctu je promenne A přirazena matice, ze ktere mame poc ítat hodnotu determinantu. Na zacatku vypoctu poloz íme Algoritmus vypoctu je podobny jako algoritmus, kteryjsme uvedli pro transformaci matice na schodovity tvar. Mus íme m ít vsak na pameti, ze vlivem elementarn í transformace se obecne zmen í hodnota determinantu a to takto 7 :=1, takže na zacatku výpočtu je D = 7 • |A| 1. Jestliže B = T 1(i,a)A, a = 0, potom |A| = — a 2. Jestliže B = T 2(i,a; j, P )A, p = 0, potom |A| 1 |B| 3. Jestliže B = T3(i, j)A, potom |A| = -|B| 186^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ZAČÁTEK Bod 1. Budeme vytvaret i-ty radek hledane matice trojuheln íkoveho tvaru. Bod 2. K císlu i urcíme nejmensí poradove císlo sloupce matice A, v jehož radcích i, i + 1,... ,m je alespon jeden nenulovy prvek. Toto poradove císlo sloupce ožnacme S{. Je-li S{ > i je hodnota determinantu D rovna nule. Vypocet je ukoncen.V opacnem prípade jdeme k Bod 3. Bod 3. Zvolme p G {i,... , m}, pro než je aPySi = 0. (je-li takovych p více, žvol íme jedno ž nich).Zvoleny p-ty radek matice A nažveme hlavním řádkem. Bod 4. Je-li p = i, vymeníme navžajem p-ty a i-ty radek matice A. Zaroveň žmeníme hodnotu promenne 7, položíme 7 = —7. Tedy A := T3(i,p)A, 7 := —7 Po teto vymene je i-ty ňadek hlavním ňadkem. Pro tuto transformovanou matici tedy platí D = 7 • |A| Je-li p = i, je již i-ty radek hlavním ňadkem. Vymena radku se tedy neprovadí a neprovadí se žmena hodnoty promenne 7. Bod 5. Provedeme nyní takove operace, aby po jejich realižaci byly prvky ai+i;Si,..., am?Si rovny 0 a hodnota promenne 7 se žmenila odpovídajíacím žpusobem. Toho dosahneme napňr.podle a) nebo podle b) 187»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) Pro kazde j = i + 1,...,n, pro nez «jSi = 0 provedeme oba tyto ukony A := r2(i, — aj-Si ; j, ai,Si) A; 7 := — 7 ai,Si nebo transformac í b) Pro ty indexy j = i +1,..., m pro než ajSi = 0, provedeme tuto transformaci A := T2(i, —^ ; j, 1)A " Bod 6. Jestliže matice A ne n í jeste ve schodovitem tvaru, položme i = i + 1 a přejdeme žpet na Bod 1. Je-li A již horn í trojUheln íkovou matic í, je D = 7 • aM • ... • an,n. Pr íklad 5.14. Vypoc ítejte determinant matice jej ím převodem na horn ítrojuheln íkovou matici / 0 2 1 0 \ 2 10 -2 -3 3 2 1 . V 0 3 1 0 / 188»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ŘěSení. Polozme A := 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 Hodnotu determinantu dane matice oznacme D. Polozme 7 := 1, takze D = 7 det(A). 0 2 1 0 2 10 -2 -3 3 2 1 0 3 1 0 -3 3 2 1 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 7 := 7 ^ { f2 = 27*1 + 3f2 7:=7 / -3 3 2 1 \ 2 10 -2 0 2 1 0 0 3 1 0 189^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit -3 3 2 0 9 4 0 2 1 0 3 1 1 3 { ( —3 3 2 1 —3 3 2 1 0 9 4 —4 0 9 4 —4 r4 = 3r2 — 9r4 0 2 1 0 0 0 1 8 V o 3 1 0 0 0 3 —12 11 7 := 7 99 { f4 = — 3f3 + f4 —3 3 2 1 —3 3 2 1 0 9 4 —4 0 9 4 —4 0 0 1 8 0 0 1 8 0 0 3 —12 0 0 0 —36 7 := 7 ■ 1 T ím jsme dospeli k horn í trojuheln íkove matici A. Hodnota determinantu z teto horn í trojuheln íkove matici je rovna soudnu diagonaln ích prvku, tedy |A| = (-3) • 9• 1 • (-36). Hodnota promenne 7 je rovna (-1) • ^ • (-9) • ^ • 1. Je tedy D = 7 • |A| =4 190^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5.5. PouZití determinantu Přímá metoda řešení systému lineárních rovnic. V dřívejsím vykladu jsme se seznamili s resen ím systemu n linearn ích algebraickych rovnic o n neznamych Ax = b, jestlize matice soustavy A ma hodnost n. Za tohoto predpokladu ma tento system rovnic podle Frobeniovy vety prave jedno řesen í. Na resen í tohoto systemu jsme si v drívejsím pojednan í ukazali dve metody — Gaussovu a Jordanovu metodu. Úkazme si nyn í jeste dals í metodu — Crammerovo pravidlo. Touto metodou se resen í urč í pomoc í determinantu. Pro nalezen í řesen í systemu n rovnic o n neznamych je nutno vyč íslit n + 1 determinantu z matic n-teho řadu.(Pokuste se odhadnout počet aritmetickych operac í , ktere by bylo nutno provest k resen í systemu napr. 100 rovnic o 100 neznamych !!!). Vzhledem k velkemu počtu operac í potrebnych k řesen í systemu rovnic o vets ím počtu neznamych, se tato metoda pouz íva jen pro resen í mens ího počtu rovnic anebo tam, kde potrebujeme resen í explicitne zapsat, aniz bychom jednotlive determinanty poč ítali. 191^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5.6. Cramerovo pravidlo Veta 5.11. (Cramerovo pravidlo) \Necht A je regulární čtvercová matice rádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a x je hledaný sloupcový n-rozmerný vektor. Označme Bi, i = l,...,n, matici, ktera vznikne z matice A tak, ze její i-tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran, vektorem b. Potom system linearních rovnic Ax = b (5.30) mý prýve jedno řešení x, pro jehoz složky platí Xi = , i = 1,...,n. (5.31) Důkaz. Dokažme, že vektor x o složkách Xk = , k = l,...,n, (5.32) je řešen ím systému (5.30). Necht j je jedno ž C řsel l,..., n. Dosažen ím hodnot xk do 192»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit leve strany j-te rovnice vysetřovaneho systemu obdrZ íme velicinu, kterou oznac íme L. Dostavame nn L = E aJ'kXk = E aj,k" k=í k=í 1 1 Rozvojem determinantu |Bk| podle k-teho sloupce dostáváme odtud n n L = |AjE ^E (-1)i+k bi|Ai,k |- Proveden ím upravy pak dostavame nn L = r^E(-1)i-J ^E (-1)j+k aj,k |Ai,k ľ (5.33) Vyraz (5.33) rozep íseme na dva sc ítance - pro i = j a pro i = j. Je tedy 1 |A| L = JAb;£(-1)j+kflj,k|Aj,k| + E b*£(-1)j+kaj,k|Ať>k|- (5.34) k=1 i=1,i=j k=1 Ponřevadřz nn ^(-1)j+k aj,k |Aj,k | = |A|, (-1)j+k flj,k |Ai,k | =0 pro i = j k=1 k=1 193^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit dostáváme z (5.33), že L = bj.Je tedy skutečně vektor x o složkách (5.31) řešením systému 5.30). Příklad 5.15. Užitím Crámerová právidlá reste následující system lineárních rovnic 2X2 -X3 = -1 2xi + 7X2 -X3 = 3 (5.35) 3Xi + 6X2 -X3 = 1 Řešení. Označíme-li A matici soustavy tohoto systému, b vektor pravých stran a x vektor neznamých, je 1 2 1 A v 2 7 -1 3 6 1 b -1 3 1 x X2 X3 (5.36) Výpočtem zjistíme, že |A| = 6. Je tedy mátice A regulární á dány system lze resit Crámerovíym právidlem. Mátici Bi dostáneme ták, že první sloupec mátice A náhrádíme vektorem b. Dostáváme 194»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tak matici 1 2 1 Bi V 3 7 -1 1 6 -1 a determinant |B 1| = —6. Matici B2 dostaneme tak, ze druhy sloupec matice A nahrad íme vektorem b. Dostavame tak matici /1 -1 -1\ B 2 V 2 3 -1 311 a determinant | B2| = 6. Matici B3 dostaneme z matice A tak, ze jej í tret í sloupec nahrad íme vektorem b. Dostaneme tak matici 1 2 1 B 3 V 2 7 3 3 6 1 a determinant | B3| = 12. Řešen ím sýstemu (5.35) je tedý x1 = |Bi| 6 =-1, 6 6 195^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit \B2\ 6 2 6 6' X3 = V = ir = 2- 5.7. Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Rekli jsme, Ze matice B je inverzní k matici A, jestliZe A • B = B • A = E. Ukazali jsme, Ze jestliZe ctvercová matice A je regularní, potom matice B, pro níz platí A • B = E je hledanou inverzní maticí. Ukazali jsme si Jordanovu metodu na řesení tohoto systemu rovnic. Nyní si ukazeme metodu, kterou muzeme vypocítat inverzní matici k matici A pomocí determinantu. Při vypoctu je nutno vypocítat determinant z matice A a n2 determinantu matic radu (n — 1. Metoda je zalozena na Cramerove pravidlu. Nechť tedy matice A je regularní ctvercova matice radu n. Hledejme ctvercovou matici B tak, řze A • B = E. (5.37) 196»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zvolme i G {1, ..., n}. UvaZujme i—ty sloupec B(:, i) hledane matice B a i—ty sloupec E(:, i) matice E. Tedy B(:, i) = E(:, i) = 0 0 0 1 0 i—ty řadek Ze vztahu (5.37) vyplyva A • B(:,i) = E Tento system rovnic resme uZit ím Cramerova pravidla. Dostavame j = ^ ..., n (5.38) (5.39) kde C j je matice, ktera vžnikla ž matice A nahražen ím jej ího j-teho sloupce vektorem E(:, i). Determinant |Cj| výcísl íme rožvojem podle j-teho sloupce. Jediný nenulový 197^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit prvek v tomto sloupci je c íslo 1 v i-tem řadku.Tedy |Cj| = (—•|AiJ| . (5.40) Z (5.39), (5.40) vyplyva b,; :=(—. (5.41) Z (5.41) pro i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , n dostavame matici B. Vypořctem se presvedc íme, že BA = E. Je tedy matice B skutecne matice inveržn í k matici A. Dosaženy vysledek mužeme shrnout do nasleduj íc í vety. Veta 5.12. (Výpočet inverzní matice) Necht A je regularní čtvercova matice radu n. Potom k matici A existuje príve jedna matice inverzní, označme ji B. Její prvek b;, se vypocítí podle vztahu b;, = (—^ pro i, j = 1, ...n. (5.42) Poznámka. Všimněte si pořad ř indexů i,j u bij, Aj^ v (5.42)! 198»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 5.16. K matici A určete matici inverzn í . 124 A V -2 1 2 435 / Řešení. Vypoctem dostavame |Ai,i| = |Ai,3| = |A2,2| |Al,3| = 12 35 -2 1 43 14 45 24 12 |A| = -5 = -1, |Ai,2| = = -10, |A2,i| = -2 2 45 24 35 = -11, |A2,3| = 12 43 = -18, = - 2, - 5, = 0, |A2,3| = 14 22 10, L3,3| 12 21 = 5. 199»F/rsr •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Tedy podle vety 5.12 dostáváme B \ |Ai,i| — |A2,i| |As,i| |A| |A| |A| — |Al,2| |A2,2| — |As,2| |A| |A| |A| |Ai,s| — |A2,s| |As,s| IAI IAI |A| Dosázen ím vypoC ítánych hodnot za jednotlive determinanty dostáváme / 1/5 —2/5 0 \ A—1 = B = V —18/5 11/5 2 2 -1 -1 Zkoušku správnost vypoCtu provedeme vypoCtem A ■ B, B ■ A. Zjist íme, Ze obá tyto souCiny jsou rovny mátici E. 200^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 6 Vztah mezi volnými a aritmetickými vektory 6.1. Zavedení volných vektorů Zopakujme si zaveden í volnych vektoru z vaseho dřívejs ího studia. Definice 6.1. (Volne vektory) Množinu všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejný směr a stejnou velikost, nazveme nenulovym volnym vektorem a množinu všech nulových orientovaných éseček nulovym volnym vektorem. 201»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Každá orientovaná úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volná vektory budeme označovat písmenem se šipkou nahoře, např. —. Nulový volná vektor budeme označovat symbolem 0 . Dálku každá orientovaná ásečky, ktera reprezentuje volná vektor —, budeme nazývat velikostí volného vektoru — a budeme ji značit \ — \. Definice 6.2. (Vektorový prostor volných vektorU) Nečht U je množina volnáčh vektoru. Na táto množine zavedeme dvě operace -sečítání dvou volnáčh vektoru, budeme ji značit „+" a násobení volnáčh vektoru realnymi čísly, budeme je značit „ • "a to takto. Sečítání volných vektorů. Nečht — je volná vektor reprezentovaná oriento- —> —> —> vanou ásečkou AB a volná vektor b_je reprezentovaná orientovanou ásečkou BC. Potom definujeme jejičh součet— + b jako volná vektor—, která je reprezentovaná orientovanou usečkou BC. (viz. obr.6.1) Násobení volného vektorů reálným číslem. Nečht a je libovolná reálná číslo a nečht — je libovolná volná vektor. Potom definujeme b = a • — takto. Velikost \ b \ = \a\^\ — \. Směr vektoru —, b je stejná; je-li a > 0, potom smysel orientače vektoru —, b je stejná, je-li a < 0, potom smysl orientače vektoru —, b je opaěčnáy. 202• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+ "a „• "nazveme vektorovým prostorem volných vektorů. Budeme jej znacit V. Prostor volných vektorů v rovine budeme znacit tez V2 a prostor volných vektorů v třírozměrném prostoru budeme znacit tez V3._ Na obr. 6.1 je znázorněno sečítání dvou volných vektorů ~čt, b . Vektor ~čt je reprezentovaný orientovanou Úsečkou PQ a volný vektor b je reprezentovaný orientovanou Úsečkou RS. Jejich součtem je volný vektor ~c = ~čt + b reprezentovaný orientovanou usečkou AC. Na obr. 6.2 je znazorneno nasobení volneho vektoru a realným číslem. Volný vektor a je reprezentovan orientovanou usečkou PQ. Volný vektor d =2 •~ča je reprezentovan 203»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit orientovanou úsečkou AB a volný vektor e = —2 - a je reprezentován orientovanou úsečkou CD. d c a-'-"b Obrázek 6.2: Násobení volneho vektoru číslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovine. V předcházej íč í definiči jsme uvaZovali volne vektory nezávisle na souradnem sýstemu, býlý uvaZováný v tzv. invariantn ím tvaru. Pojednejme nyní o prostoru U2 volných vektoru v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný system. Označme x1,x2 souradne osý kartezskeho souradneho sýstemu v rovine. Označme U2 mnozinu vsečh volnýčh vektoru v teto rovine s uvedenými operačemi seč ítán í volnýčh vektoru v rovine a násoben í volnýčh vektoru v rovine reálnými č íslý. Uvazujme dve orientovane usečký — Q, RU (viz. obr. 6.3), kde P = P[pi,p2], Q = Q[qi,tf2], R = R[ri,r2], U = U[ui,U2]. 204»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor a G U2, když a jenom když qi - pi = ui - ri A q2 - P2 = u2 - r*. (6.1) X2 Q T 2 Á P / n: 2 Pi ?1 ri ui Obrázek 6.3: Zobrazení V2 do R2 K volnemu vektoru a G U2,reprezentovanemu orientovanou úsečkou PQ, kde P = P[p1,p2], Q = Q[q1,q2] priradíme aritmetický vektor a = (a1 ,a2), kde a1 = q1 -p1? a2 = q2 -p2. Toto pravidlo prirazení označme P. Vektor a nezavisí na volbe orientovane usečky, ktera reprezentuje vektor ~äa. 205•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Lehce lze nahlednout, ze jestlize volnemu vektoru ~~a G U2 je pravidlem P prirazen vektor a = (a1,a2) G V2 a volnemu vektoru b G U2 je pravidlem P priřazen vektor b = (b1? b2) G V2 a a je libovolne realne císlo, potom platí ~~a + b = ~c a + b = c, ôa = d ^ aa = d, (6.2) kde volnemu vektoru ~c je pravidlem P přirazen aritmeticky vektor c a vektoru d je pravidlem P přirazen aritmeticky vektor d. Toto prirazení P je jednoznacne. X2 + 2/2 ž/2 X2 O Y y; / ^^^^^^ i i i i i i i X yl Z ax2 X2 xi xi + yi U X / Obrázek 6.4: Zobrazen í zachovává sec ítán í Obrázek 6.5: Zobrazen í zachovává násoben í Vzhledem k uvedeným vlastnostem není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. 206^First • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Vektor a = (a1?a2) si můžeme představit jako množinu vsech takových orientovaných úseček PQ, P = [p1, p2], Q = [q1, q2], v kartézském soužadnem sýstemu v rovině, že q1 — P1 = «1 A q2 — P2 = «2. Budeme psát a = Q — P. (Jde o vžtah meži souřadnicemi bodů P, Q a složkami vektoru a.) Volné vektory v kartézském souřadném systému v třírozměrném prostoru. Uvažujme nýnú prostor volných vektoru U3 ve třúrožmernem prostoru, v němž je zaveden kartežský souřadný sýstem. UváZujme dve orientováne useCky PQ, UR, kde P = P[p1 ,p2,p3], Q = Q[q1,q2,q3], U = U[U1,U2,U3], R = R[f1,f2,f3]. KáZdá z techto dvou orientoványch useCek reprezentuje tentyZ volny vektor ~čt G U3, kdyZ á jenom kdyz #1 — P1 = n — U1 A q2 — P2 = r2 — u A q3 — p = r3 — U3. (6.3) Vztah mézi prostorém V3 a prostorém volných véktorU v trírozmérnérn prostoru. K volnemu vektoru ~čt G U3,reprezentovánemu orientovánou useCkou PQ, kde P = Pbb^^L Q = Q[q1,q2,q3] 207»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit prirad íme aritmeticky vektor a = (a15a2,a3), kde a1 = q1 - p1? a2 = q2 - p2, a3 = Podobne jako ve dvojdimenžonalném prostoru lže ukažat, že vektor a = (a1? a2, a3) —> si mužeme představit jako množinu všech takových orientovaných ésecek PQ, kde P = [p1?p2,p3], Q = [q15q2,q3] v kartéžském souřadném sýstému v prostoru, že q1 - p1 = a1 A q2 - P2 = «2 A q3 - P3 = c^-Nen í proto nutno striktne rozlisovat mezi prostorem U3 a V3. 6.2. Skaiarní soůCin, norma a vzdaienost ve vektorovem prostorů Na gymnaziu se zavad í pojem skalarn ího soucinu dvou volnych vektoru. Toto zaveden í se motivuje potřebami fyziky. Skalarn í soucin jste vyuz ívali nejen ve fyzice, ale i v analyticke geometrii a to jak v ulohach s prímkami, tak i v ulohach s rovinami. Pojem skalarn ího soucinu dvou volnych vektoru a vypocet uhlu dvou nenulovych volnych vektoru nas bude motivovat k zaveden í skalarn ího soucinu a uhlu dvou vektoru v aritme-tickych vektorovych prostorech. S temito pojmy se pak muzete setkat pri resen í ruznych aplikacn ích uloh. Zacneme tedy s volnymi vektory. 208•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 6.3. Úhlem volných vektoru ~a , b rozumíme uhel V e (0,n), o který je nutno otočit orientovanou uusecku AB, reprezentující a , kolem bodu A v rovine urcene body (A, B, C) do smeru orientovane ísecky AC, reprezentující b , kde A je libovolny bod (viz obr 6.6). B A Obrázek 6.6: Uhel dvou vektorů Skalami součin dvou volných vektom. Nechť "a , b jsou dva volne nenulove vektory. Potom jejich skalarn ím soudnem rozum íme císlo (skalar), oznacme je ("i, b ), definovane vztahem • cos((/?), (6.4) 209»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit kde 0, pňi čemz p(x, y) = 0 <3> x = y, •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 3. p(x, y) < p(y, z) + p(z, x). (trojuheln íková nerovnost) Potom p(x, y) se nazývá vzdálenost í prvku x, y G M. Poznámka. Mnozina M muze být jakákoliv; např.mnozina vsečh spojitýčh funkč í na danem intervalu. Necht n je přirození číslo, Rn je množina uspořídaných n—tic reálných Čísel. Necht ke kazdým dvžma prvkUm X = [x-\_,...xn],Y = [y-\_,... ,yn] G Rn je přiřazeno císlo p(X, Y) vztahem p(X, Y) = \/(y1 — x1 )2 + - - - + (yn — xn)2, potom p(X, Y) definuje vzdálenost na Rn. Nečht n je přirozene č íslo. Označme En mnozinu uspořádanýčh n—tič reálnýčh č ísel z Rn, jej íz kazdý prvek má dvoj í význam. Význam bodu. V tomto prípade usporádanou n—tiči reálnýčh č ísel dáme do hranatýčh závorek a pr ípadne označ íme sýmbolem, vetsinou velkým p ísmenem, napr. A = [(!]_, ... ,an]. C ísla ai,i = 1, ... ,n, se nazývaj í souřadničemi bodu A. Význam aritmetičkeho vektoru z prostoru Vn, takze usporádaná n—tiče reálnýčh č ísel predstavuje aritmetičký vektor. V tomto případe ji dáváme do kulatýčh závorek a pr ípadne označ íme sýmbolem, vetsinou malým tučne napsaným p ísmenem, napr. a = (a-\_, ..., an). C ísla ai,i = 1, ... ,n, nazýváme slozkami vektoru a. Vztah mezi bodý z En a vektorý z Vn je definován následuj íč ím zpusobem. Nečhť P = \p-\_,... ,pn] je libovolný bod v En, s = (s]_,... ,sn) je libovolný vektor z 215»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit aritmetickeho vektoroveho prostoru Vn. Oznacme X = [a^, •••,£„] G En, pro nejz plat í £ = p + Sj, kde i = 1,•••,n• (6.16) Tento vztah budeme zapisovat tez jako X = P + s. (6.17) Z rovnice (6.17) lze vypoc íst jednoznacne kterykoliv clen pomoc í zbyvajíc ich dvou clenu. Napr. s = X - P (6.18) Tento vztah zap íseme tez takto s = X - P = PX Budeme říkat, ze usporadana dvojice bodu P, X tvorí um ísten í vektoru s. Bod P nazyvame pocatecn ím a bod X nazyvame koncovym bodem um ísten í vektoru s. Všimnete si, ze pro n = 2 a pro n = 3 urcuje usporadana dvojice bodu P, X orientovanou useřcku, ktera reprezentuje volny vektor, k nřemuřz jsme přriřradili aritmeticky vektor s. Skalarn í soucin dvou vektoru definujeme takto: Nechť a = (a1, a2, • • • an), b = (b1, b2, • • • bn), jsou dva vektory z Vn, potom jejich skalarn ím soucinem rozum íme c íslo a1b1 + • • • + anbn a znac íme jej (a, b). 216^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Je tedy (a, b) = aibi +-----+ anbn. Všimnete si, že pro n = 2 a pro n = 3 dostáváme dříve definovaný skalární součin. Vzdálenost dvou bodU A[ ],B[bi, 62, +-----+ bn] se definuje vztahem p(A, B) = y^i - ai)2 + ■■■ + (bn - an)2 Vektor a(ai, a2, ... an) lze reprezentovat uspořadanou dvojici bodU — A, kde počáteční bod je O = [0,..., )0] a koncový bod je bod A = [ai,... ,an], je-jičhz vzdalenost je \Ja2 + ■ ■ ■ + a2n. Proto velikost vektoru a budeme definovat jako _ |a| = ^/ a2 +----+ . Úhlem dvou nenulových vektoru a = (ai, a2, ... an), b = (bi, b2, ... bn), rozum íme uhel (/?, pro nejz plat í (a, b) cosa? = -—— a b Tento prostor En nazveme n—rozmerným euklidovským prostorem. Poznámka. Prostorý Ei, E2, E3, jste prob írali na gýmnazi ich a dovedte si je predstavit. Smyslová predstava prostorů En pro n > 3 končí a musíme tyto prostory uvaZovat jen ve smyslu definic. 211^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 6.1. Necht A = [1, -2,3,0], B = [7,1, 2,3]. Potom s = —B = [7,1, 2, 3] - [1, -2,3,0] = (6,3,-1,3). Definice 6.1. Nechť P G En a nechť xs,..., ds jsou linearne nezavisle vektory z prostoru Vn. Potom mnozina bodu X z En X = P + 1t 1s + ... +d t ds, (6.19) kde 1t,... ,dt jsou parametry (libovolna císla), se nazyva podprostorem dimenze d vnorenym do prostoru En (pro d < n). Přímka | Lineárnípodprostor dimenze 1 vnořený do prostoru En nazývame prímkou. Přímku, urcenou bodem P a vektorem s lze tedy zapsat ve tvaru X = P + ts, kde t G (—oo, oo) je parametr, (6.20) X je obecny bod prímky. Vektor s nazyvame smerovym vektorem prímky. Příklad 6.2. Napisme v E3 rovnici přímky danou bodem A = [2, —1, 3] a smerovym vektorem s = (2, —3, 0). 218^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Podle (6.20) dostavame [xi,X2,X3 ] = takze obecnym bodem přímky je bod x1 = 2 + 2t, x2 = -1 - [2,-1,3]+ t(2, -3,0), o souřadnic ích - 3t, x3 = 3, kde t G (-oo, to). Příklad 6.3. Napisme v E4 rovnici pr ímký danou bodý A = [2, —1,3,2], B = [1,0, —5, 2]. Řešení. Za smerový vektor hledane prímký lže žvolit vektor s = B — A. Je tedý s = B — A. Výpoctem pak dostavame (si,S2,S3,S4) = [1,0, —5, 2] — [2, —1,3, 2], takže s = (—1,1, —8,0). Podle (6.20) je tedý X = A + ts, takže dosažen ím dostavame [x1, x2, x3, x4] = [2, —1,3, 2] + t(—1,1, —8,0), kde t G (—to, to). 219^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Přímka, určená body A, B, má tedy rovnici X = A + t(B - A), t e (-00, oo) (6.21) Úsečkou AB rozum íme body přímky (6.21), pro něž platí X = A + t(B - A), t e (0,1). (6.22) Všimněte si, že parametru t = 0 odpov ída bod A a parametru t = 1 odpov ída bod B. Rovina | Linearní podprostor dimenze 2, vnořený do prostoru En, n > 2, nazývame rovinou. Rovinu, určenou bodem P a nezavislymi vektory r, s lze tedy zapsat podle (6.19) ve tvaru X = P + u r + v s, kde u e (—o, o), v e (—oo, o) jsou parametry. (6.23) (Zde X je obecny bod pr ímky.) Příklad 6.4. Napiste rovnici roviny v E4, ktera prochazí body P = [1,0,2, —5], Q = [4, 2, -7,0], R = [0,4, 2,6]. Resení. Polozme r = -Q, s = -R 220^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dostáváme r = (3, 2, —9, 5), s = (—1,4,0,11). Dosazen ím do (6.23) dostáváme hledanou rovniči roviný [xi,X2,X3,X4] = [1,0, 2, — 5] + u (3, 2, —9, 5) + v (—1,4,0,11), kde u, v G (—oo, oo). Nadrovina v prostoru En I Podprostor dimenze n — 1, vnoření do prostoru En, n > 3, narývíme nadrovinou. I Necht P G En a necht 1s,..., (n-1)s jsou linearne nezavislí vektorý z prostoru Vn. Potom množina bodu X z En, uržených vztahem X =i t1s + ... +(n—i) t (n-1)s, (6.24) kde it,...,(n—i)t jsou parametry, je nadrovinou v prostoru En. Lze dokazat, že každou nadrovinu v prostoru En danou vztahem (6.24) lze výjadžit ve tvaru ai xi + ... + an Xn = b, (6.25) kde ai ... ,an ,b jsou reílna císla. Vektor n = (ai, ... an) je kolmí na vektorý 1s,..., (n-1)s. • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht a1 X1 + ... + an xn = 6, (6.26) je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina uržuje v prostoru En dva poloprostory, uržene nerovnicemi a1 x1 + ... + an xn > b, a1 x1 + . . + an xn < 6. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 7 Pojem funkce, základní pojmy 7.1. Množina, konštanta, promenná V matematice se pracuje s různými objekty. Temto objektum se vedle nazvu přiřazuje take sýmbol. Množina. Jedn ím ze zakladn ích objektu, s nimiz se v matematice pracuje, je mnočina. Mnozinou rozum íme soubor nejakých presne vymezených, navzajem odlisných objektu, kterým ríkame prvky, nebo elementy mnoziný. Při tom o kazdem objektu se mus í dat rozhodnout, zda patrí nebo nepatrí do tohoto souboru. Mezi mnoziný poc ítame i soubor, který neobsahuje zadný prvek - teto mnozine budeme ríkat prazdná mnočina a budeme 223^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ji značit 0. Jako pňíklad mnoziný je mozno uvest mnozinu prirozenýčh čísel. Do teto mnoziný patňí napň. číslo 2. Nepatrí do ní napr. komplexní číslo i. Vsimneme si, ze zde pojem mnozina nebýl plne výmezen. K jeho výsvetlení jsme pouzili príbuzný pojem „soubor". Označíme-li uvazovanou mnozinu napň. A, potom okolnost, ze objekt x patňí do mnoziný A, budeme značit x G A a okolnost, ze objekt y nepatňí do mnoziný A, budeme značit y G a. Mnoziný muzeme zadavat ruzným zpusobem. Je-li konečna, to jest, ma-li konečný počet prvku, lze ji zadat výčtem. Tak napríklad, jestlize mnozina A obsahuje prvký a,b, c a ňzadne jine, býva zvýkem ji zapisovat takto A = {a, b, c}. Příklad 7.1. Nečht M je mnozina písmen obsazenýčh ve slove PRAHA. Zrejme M = {P, R, A, H}. Potom napr. R G M, u G M. Podmnožina. Nečht M, N jsou dane mnoziný. Jestlize kazdý prvek mnoziný M je i prvkem mnoziný N, potom ňíkame, ze mnozina M je podmnozinou mnoziný N, nebo ze mnozina N je nadmnozinou mnoziný M. Píseme pak M C N, resp. N D M. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jestlize zaroven platí M C N a M D N, potom ríkame, ze mnoziný M, N se sobe rovnaj í a p íseme M = N. Jestlize M C N a jestlize mnozina N obsahuje prvký, ktere do mnoziný M nepatří, ríkame, ze mnozina M je vlastní podmnozinou mnoziný N a p íseme M c N, resp. N je vlastn í nadmnozinou M a p íseme N z> M. Je-li tedý M c N, je tez M C N, avsak je-li M C N nemus í být M c N. Príklad 7.2. Necht M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} c M, avsak {3, 7} nen í podmnozinou mnoziný M, nebol; prvek 7 nen í prvkem M. Vsimneme si dvou významove i formalne odlisných zapisu. Úved'me príklad. Necht; M = {1, 4, 3, 9}. Potom zapis 8 G M znamena, ze 8 je prvkem mnoziný M, a zapis {8} c M znamena, ze mnozina, obsahuj íc í jediný prvek 8, je vlastn í podmnozinou mnořziný M. Konstanta, promenna. Rekli jsme si, ze objektý oznacujeme sýmbolý. To jednak zjednodusuje výjadřovan í, jednak umozřuje strucný zapis nekterých výpoved í o objektech mnořziný. Jestlize sýmbol oznacuje jeden konkretn í prvek mnoziný, nazývame jej konstantou. Příkladem je napr. sýmbol n, kterým oznacujeme konkretn í realne císlo - Ludolfovo c íslo. Oznacuje-li sýmbol kterýkoliv prvek z dane mnoziný, nazývame jej promennou. Mnozinu konstant, kterých muzetato promenna nabývat, nazývame oborem promenne. Chceme- 225•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit li pracovat s prvky mnoziny přirozenych císel N, muzeme zvolit napr. symbol n pro promennou s oborem hodnot N. Jestlize tedy oznac íme symbolem x promennou s oborem M, potom vse, co se řekne o x, vztahuje se na kazdy prvek mnoziny, ktera je jej ím oborem. Uved'me si tento príklad. Oznacme M mnozinu vsech kladnych realnych c ísel mens ích nez 8. Mohu vyslovit tvrzen í : „Jestli x G M, potom x2 < 64". Kontrolní otázky 1. Co je to mnozina? 2. Napiste mnozinu A, jej íz prvky jsou p ísmena obsazena ve slove „matematika". a) Pro kazde z p ísmen „a, b, c, i, j" zapiste, zda patrí nebo nepatrí do mnoziny A. b) Napiste podmnozinu B mnoziny A, obsahuj íc í vsechny samohlasky mnoziny A. c) Co znamenaj í zapisy B c A, B C A. [a) A = {m, a, ŕ, e, i, k }, a G A, b G A, c G A, i G A, j G A; b) B = {a, e, i}; c) B je vlastn í podmnozinou mnoziny A; B je podmnozinou mnoziny A.] 3. Vysvetlete rozd íl mezi konstantou a promennou. Uved'te pr íklady. ^ Co je to obor promenne? 226^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 7.2. Zobrazení. Zopakujme si dulezitý pojem „žobražení". S t ímto pojmem se v denn ím zivote neustale setkavame, aniz býchom jej výslovovali. Prirazen í prvku jedne mnoziný k prvkum druhe mnoziný se specifickými vlastnostmi se nazýva zobrazen ím. Zvlastn ím pr ípadem zobrazen í je pak realna funkce realne promenne. I Definice 7.1. (Zobrazení.) Nechť A, B jsou neprazdne mnoziný. Pravidlo F, jimz ke kazdemu prvku x G A je pčičazen prave jeden prvek y G B, nazývame žobražen ím množiny A do množiny B. Oznac íme-li x promennou s oborem A a y promennou s oborem B, p íseme y = F (x). O prvku y, přirazenemu v zobrazen í F k prvku x, říkame, zeje obrazem prvku x, a o prvku x ríkame, ze v zobrazen í F je vzorem prvku y. Mnozinu A (to jest mnozinu prvku, k nimz v zobrazen í F přirazujeme prvky z B), nazývame definičním oborem nebo též neodvislým oborem zobrazen í F. Znač íme jej často DF, resp. D (F) a mnozinu B nazyvame odvislým oborem zobrazení F. Podmnozinu mnoziny B, ktera obsahuje vsechny ty prvky y G B, ktera jsou v zobrazen í IIlTWst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit F přirazany k prvkum x z mnozin A, nazyvame oborem zobrazení F. Znač íme ji H (F), resp. HF. Jestlize HF C B, potom ríkame, ze zobrazen í F je zobrazen ím množiny A do B. Jestlize HF = B, potom ríkame, ze zobrazen í F je zobrazen ím množiny A na B. Jestlize B C A, potom říkame, ze zobrazen í F je zobrazen ím mnoziny A do sebe. Jestlize HF = A, ríkame, ze zobrazen í F je zobrazen ím mnoziny A na sebe. Promennou s oborem hodnot A nazyvame neodvisle pramennou a promennou s oborem hodnot B nazyvame zavisle pramennou. V teto definici jsme pouzili symbol x pro neodvisle promennou a symbol y pro odvisle promennou. Na obrazku 7.1 je znazorneno zobrazen í F mnoziny A do mnoziny B, rovnez je znazornen obor zobrazen í F, to jest mnozina H (F). Je zde znazornen tez prvek u e B, ktery nepatr í do H (F). Nen í tedy obrazem zadneho prvku x e A. 228^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 7.1: Zobrazen í A do B V nekterých případech je možno priražen í G, v nemž je ke každemu prvku ž množiný A priražen prvek ž množiný B, popsat tabulkou utvorenou takto: V prvn ím radku tabulký se uvadej í prvký ž množiný A a v druhem řadku jsou pod nimi uvedený k nim priražene prvký ž množiný B . Ne každe pravidlo, jimž je ke kaZdemu prvku x G A priražen prvek ž B, je žobražen ím. Toto priražen í je žobražen ím A do B použe tehdý, jestliže ke kaZdemu x G A je priražen práve jeden prvek y G B. Príklad 7.3. Nechť A je množina uräte skupiný studentu, B množina realných nežaporných císel. Ožnacme x promennou množiný A, (to jest x je sýmbol, který žastupuje kterehokoliv studenta že skupiný A). Ožnacme nýn í y promennou s oborem hodnot B. Ke každemu x G A (to jest, ke každemu studentovi ž A), přiřaďme jeho aktualn í telesnou výsku v centimetrech, tedý c íslo y ž množiný B. (Tedý prave jedno c íslo.) Toto pravidlo přiražen í ožnac íme V. Ke každemu x G A jsme tedý priradili prave jedno c íslo y ž množiný B. Je tedý V žobražen ím množiný A do množiný B 229^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit podle nahore uvedene definiče. Zobrazen í V nen í zobrazen ím mnoziný A na mnozinu B, ponevadz existuj í č ísla v B, která nejsou prirazená v zobrazen í V k zádnemu prvku x z mnoziný A. (To výplývá např. z toho, ze A je konečná mnozina a B obsahuje nekonečne mnoho č ísel.) Jako konkretn í přirazen í uved'me toto. Předpokládejme, ze A je skupina studentu, ktere si pro nás učel označ íme a, b, c. Ke kazdemu studentovi priraďme jeho telesnou výsku. Toto přirazen í označme V. Nečht je V (a) = 175, V (b) = 175, V (c) = 180. Toto prirazen í lze znázornit následuj íč í tabulkou. X a b c y 175 175 180 Uvedene prirazen í V je zobrazen ím mnoziný A do mnoziný R, ponevadz ke kazdemu prvku x G A je přirazen práve jeden prvek y z mnoziný R. Toto zobrazen í vsak nen í zobrazen ím mnoziný A na mnozinu R, ponevadz napr. č íslo 190 nen í prirazeno zádnemu prvku z A. (V uvazovane skupine trí studentu nen í zádný student s telesnou výškou 190 cm.) Toto zobrazen í je vsak zobrazen ím mnoziný A na mnozinu C = {175, 180 }. Zrejme C = Hy. Príklad 7.4. Uvazujme tři matký, označme je a, b, c. Nečht matka a má sýna, označme ho si, matka b má sýna, označme ho s2 a matka c má dva sýný, označme je s3 a s4. Označme A mnozinu matek, tedý A = { a, b, c} a B mnozinu sýnu, tedý B = 230^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit {si, s2, s3, S4 }■ Označme nyn í D přiřazen í, kterým ke každé matce přiřad íme každého z jejich synů- Tedy necht; D(a) = si5 D(b) = s2, D(c) = s3, D(c) = s4- Toto přiřazen í D znazorneme tabůlkoů X a b c c y si S2 S3 S4 Toto přiřazen í není zobřazen ím mnoziny A do mnoziny B, nebot; k přvků c z mnoziny A jsoů přiřazeny dva přvky z mnoziny B, totiz přvky s3,s4■ Zaved'me si nekolik pojmů soůvisej íc ích se zobřazen ím- Zobrazení prosté. Necht F je zobrazení mnoziny A do mnoziny B. Toto zobrazení nazýváme prostým, jestliže mí tuto vlastnost: Jestliže x, y G A a x = y, potom F (x) = F (y)._ Príklad 7.5. Necht; A = {a, b, c} a B = {«,^,7}■ Zobřazen í F dane nasleduj íc í tabůlkoů je přostym zobřazen ím A na B■ X a b c y a 7 231 • First »Prev »Next »Last ©Go Back •Full Screen ©Close *Quit I Inverzn í zobrazen í. Necht F je proste zobrazen í množiny A na množinu I B. Potom existuje zobrazení, nazveme ho inverzn ím zobrazen ím množiny B na I množinu A a oznažíme je F-1, kterym ke kazdúmu y G B přiřadíme ten prvek x G A, pro nejž platí F (x) = y. (Viz obr.7.2) Označen í. Sýmbolem F-1 jsme označili inverzn í zobrazen í k zobrazen í F, nejedna se o umočnen í zobrazen í F na č íslo (-1). Obrázek 7.2: Inverzn í zobrazen í Příklad 7.6. Necht zobrazen ř F množiny A = {1, 2,3,4} na množinu B = {0, p,%,^} je dano tabulkou : 232»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x i 2 3 4 y 0 0 Tedy F(1) = 0, F(2) = (/?, F(3) = x, F(4) = ^. Toto zobrazen í je prosté zobrazen í množiny A na mnoZinu B. Existuje proto k nému inverzn í zobrazen í, označme je F-1. V tomto zobrazen í platí F= 1, F-1 (p) = 2, F-1(x) = 3, F= 4. Toto inverzn í zobrazen í lze popsat tabulkou. y 0 X 0 x i 2 3 4 V tomto inverzn ím zobrazen í je množina B neodvislým oborem a množina A je odvislým oborem. VSimnete si, že v tabulce popisuj íc í toto inverzn í zobrazen í , je neodvisle promenna označena y (zastupuje kterýkoliv prvek z B) a zavisle promenna je oznaCena x (zastupuje kterýkoliv prvek mnoziný A). Ponevadz jsme zvýkl í označovat sýmbolem x neodvisle promennou a y odvisle promennou, muzeme pro inverzn í zobrazen í zavest □ sýmbol x pro neodvisle promennou (sýmbol x muze zastupovat kterýkoliv prvek neodvisleho oboru, to jest mnoziný B) □ sýmbol y pro odvisle promennou (sýmbol y muze zastupovat kterýkoliv prvek odvisleho oboru, to jest mnoziný A) 233»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Tabulka pro toto inverzní zobrazení má pak tvar X 4> p y 1 2 3 4 Složené zobrazení. Necht p je zobrazení množiny A do množiny B. Necht: funkce f zobrazuje množinu H do množiny C. Potom zobrazení, oznaCujeme je F, kterým ke každému x G A je přiřazen prvek z = f (p(x)) G C, nazýváme složeným zobrazením. Zobrazení p nazývame jeho vnitřní složkou a zobrazení f nazývame jeho vnějšísložkou. Píšeme y = F (x). Je tedy F (x) = f (p(x)). Viz obr. 7.3. Obrazek 7.3: SloZene zobrazen í Příklad 7.7. Necht A = {a, b, c}, B = {a, (3, 7}, C = (1, 2, 3}. Nechť zobrazen í p mnoziny A do mnoziny B je dano tabulkou 234»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x a b c u = 0}. Tedy 245•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Pr íklad 7.12. Oznacme h funkci h(x) = \J x2 — 1 s definicn ím oborem A = (—3, —1) U (1,3). Tuto funkci lze zapsat tez takto h : (—3, — 1) U (1,3) — R, x — V/x2 — 1. Poznámky ke grafické reprezentaci funkci jedné proměnné Grafickou reprezentací grafu funkce f : A — B, A c R, B c R v pravoáhlám součadnám systámu 0xy rozumíme mnočinu včech bodU [x, f (x)], x G A. Graficka reprezentace grafu vetsiný funkc í , ktere se výskýtuj í v ekonomických aplikac ích, odpov ída intuitivn ímu chapan í krivký v rovine. Jako príklad si uved'me graf funkce y = x2, x G (—2, 2) uvedený na obr. 7.9 246»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close »Quit \ y' 1 \ 4- - \ 3- - I 2 - 1 y = x2 1 V / 1 -2 -1 0 1 1 1 2 x Obrázek 7.9: Graf funkce y = x2. Grafy některých funkc ř si nedovedeme vykreslit. Příkladem je funkce f : R ^ {- 1,1} 1, je-li x racionáln ř, —1, je-li x iracionaln ř. x Vytvoření si představy o grafu funkce jedné proměnné. K vytvořen í si hrube predstavy o grafu vySetrovane funkce f : A —> B si v mnoZine 247»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit A muzeme zvolit body x0 < x1 < x2 < • • • < xn a v nich vypoc ítat funkcn í hodnoty f(xo),f(x1),f(x2),...,f(xn). Jestlize pro nejake i je (xi,xi+1> C A, spoj íme body [x«,f (x«)], [xi+1, f (xi+1)j useckou. Pro„slusne" funkce, nejsou-li vzdalebosti bodu x^,xi+1 velke, nam tyto usecky daj í dobrou predstavu o grafu funkce. T ímto zpusobem se provad í i vykreslovan í grafu funkc í uzit ím poc ítace pro jemne delen í intervalu, v nemz graf vysetřujeme. Na obr. 7.10 je schematicky nacrtek grafu funkce y = TG(x), definovane na intervalu < 0,n > takto TG(.x) = {fx' x — <0' *) U (5 '*>• (7.9) ^ u, pro x — 2 • Poznámka. Zřejme pro x G< 0,n >,x = n/2 je TG(x) = tg(x), v bode x = n/2 nen í funkce tg(x) definovana, avsak funkce TG(x) je v bode 0 definovana a platí TG(0) = 0. Graf funkce y = TG(x) je vykreslen na obr.7.10. 248^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 7.10: Gráf funkce definováne vztáhem (7.9). Ná obr. 7.11 je gráficky „znázornená" funkce (7.9) propojen ím bodu [xk ,TG(xk)], kde xfc = k ■ 0,2, k = 0, ■■■ , 16. Porovnán ím obr. 7.11 s obr. 7.10 vid íme, Ze doslo ke znáCnemu zkreslen í. Dáná funkce 249»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit nen í „slusna". Je v bode | nespojita. Pojem nespojitosti funkče si výsvetl íme pozdeji, zat ím poznamenejme alespoň to, ze hodnotý teto funkče se v bodečh „ veliče bl ízkýčh k č íslu 2" navzajem značne lis í. 1 -'--'---- 1 2 0 1 .--'---- 7T x Obrázek 7.11: Pokus o vykreslen í funkce y = tg(x) I Obdržený výsledek ukazuje, že výše uvedeny postup „znázornen í funkce" nen í I postaCujíc í, je nutno jej kombinovat s vySetren ím nekterych vlastnost í funkce. V ekonomickych rozvahach se bez pojmu funkce neobejdeme. Oznacovan í funkce a 250»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit neodvisle á odvisle promenných se vetsinou závád í s ohledem ná jejich význám á zvýk-losti. Jáko pr í klád funkce, která se v ekonomických áplikác ích výsetřuje, je funkce C (x), která výjádřuje vztáh mezi výrobou x jednotek produkce á celkovými nákládý ná jejich výrobu. Týto výrobn í nákládý jsou souctem fixn ích nákládu á nákládu váriábiln ích, závislých ná poctu x jednotek produkce. Funkce ^Xfl se pák názývá funkc í prumerných nákládu. Uved'me si tento príklád. Príklad. Při kálkuláci nákládu se odhádnou fixn í nákládý ná 300 p.j. (penezn ích jednotek). Jsou to nákládý, ktere vznikáj í , át se výráb í nebo ne. Krome toho se zjist í , ze ná výrobu x jednotek je zápotřeb í 4x p.j. Tedý váriábiln í nákládý jsou 4x. Celkove nákládý jsou tedý C (x) = 300 + 4x. Tuto funkci lze pák pouz ít k dáls ím uváhám, nápr. ke stánoven í prumerných nákládu AC 300 AC = 4+--. x Funkce C (x) ovsem nemus í být lineárn í . Dále v práktických ulohách nemuze x přesáhnout jistou hodnotu K. Tedý 1 < x < K. Poznámenejme, ze x v uvedenem príkláde znác í pocet jednotek produkce. Tedý x muze být v konretn ím pr ípáde jen prirozene c íslo. Kvuli zjednodušenízkoumaní ekonomickí problematiky se casto pouěíva model s proměnou x, ktera nabýví věech hodnot jistího intervalu realných ěísel. Tím muěeme dostat zkreslení výsledky. 251 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 7.4.1. Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá Uved'me si nyn í nektere vyznáCne tr idy funkc í, to jest funkc í s nekterymi tríde chárák-teristickymi vlástnostmi. ZáCneme s monotónními funkcemi. I Definice 7.2. Nechť f : A C R — R. Řekneme, Ze f je ná mnoZine A rostouc í (neklesáj íc í), jestliZe VX1,X2 e A, X1 f (X1) /(xi) >/(x2), (/(xi) > /(x2)). (7.11) Na obr. 7.13 je uveden příklad grafu funkce rostouc í a na obr. 7.15 je uveden pr íklad grafu funkce neklesaj íc í na intervalu I. 252•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit f (X2 ) f (xi) X2 x Obrazek 7.13: Graf rostoucí funkce. f = f (x2) Obrazek 7.15: Graf neklesaj ící funkce. Funkce na obr. 7.10 je na intervalu (0, |) rostouc í, je rovněž rostouc í na intervalu (|,7r). Nen í rostoucí ani na intervalu (0, |) ani na intervalu (|,7r). Nen í ani rostoucí na intervalu (0,7r). Zduvodnete! Funkce nerostouc í a funkce neklesaj íc í na dane množine nazývame spolecným nažvem funkce monotónní. Funkce rostouc í a funkce klesaj íc í na dane množine nažývame spolecným nažvem funkce ryze monotónní. Je-li funkce rýže monotonn í, je i monotonn í . Opak nemus í platit. 253« First «Prev «Next »Last •Go Back •Full Screen «Close •Quit Funkce prosta. Dalžám duležitýým pojmem je funkce prostá. Necht f : A C R — R. Funkci f nazveme prostou na A, jestlize f má tuto vlastnost Vxbx2 G A,x1 = x2 je f (x1) = f (x2)- (7.12) Příklad 7.13. Nechť funkce y = f (x) je dana tabulkou x 1 3 3,5 4 5 y 3 1 0 2 4 Tedy napr. f (3) = 1, f (4) = 2 atd. Tato funkce je prosta. Nen í vsak ani rostouc í ani klesaj íc í . Příklad 7.14. Funkce y = x2 nen í na intervalu (-2, 2) prosta. Oznacme f (x) = x2. Zvolme např. x1 = -1, x2 = 1. Je tedy x1 = x2, avsak f (x1) = f (x2) = 1. Viz obr. 7.16. 254^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit -2 -1 0 1 2 Obrazek 7.16: Funkce y = x2 definovana na intervalu (—2, 2). Avsak funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prosta. Viz obr. 7.17 255• First ©Prev ©Next ©Last • Go Back • Full Screen • Close ©Quit f(X2)\ f (xi) + x1 x2 2 Obrázek 7.17: Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prostá. Porovnán ím definic í rostouc í funkce, klesaj íc í funkce a prosté funkce dospejeme k tomuto zavřeru: Funkče réze monoténnf na A C R je na A téz prosta. Existuje věak funkče prosta, ktera není réze monoténnf (viz pěfklad 7.13). 256^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 7.4. Řekneme, že funkce y = f (x) je sudá (lichá), má-li tuto vlastnost: Je-li definovaná v bode x, je definovaná i v bode (—x) a plat í f (—x) = f (x), (f (—x) = —f (x)). Z definice je tedy patrno, že graf sude funkce je symetrický vžhledem k ose y a graf liche funkce je symetrický vžhledem k poCatku. Příkladem sude funkce je funkce y = x2. Skutecne, tato funkce je definovana pro všechna x a plat í (—x)2 = x2. Příkladem liche funkce je funkce y = x3. Skutecne, tato funkce je definovana pro vsechna x a plat í (—x)3 = —x3. 7.4.2. Funkce složena a funkce inverzní Složena funkce. Necht A je neodvislý obor funkce u = v(x). Označme B = v?(A) odvislý obor funkce v. Necht f (u) je funkce definovaná na množine B. Ke kazdámu císlu x G A přiřaďme císlo F (x) vztahem F (x) = f (v(x)), (7.13) to jest hodnotu funkce f v císle u = v (x) G B. Funkci f nazyvame vnější složkou a funkci v vnitřní složkou funkce F. 257©First ©Prev ©Next ©Last • Go Back • Full Screen ©Close ©Quit Příklad 7.15. Funkci y = (x2 + 1)7, x G (-oo, oo) muzeme čhapat jako slozenou funkči. Polozme A = (-o, oo), u = p(x), kde p(x) = x2 + 1, x G A. Oznaňčme B = p(A), tedý B = (1, oo). Poloňzme y = f (u), kde f (u) = u7, u G B. Potom ke kazdemu x G A je funkč í p pňirazeno u = p(x) G B .K tomuto č íslu u je funkč í f priňazeno č íslo y = f (u). Tedý y = f (p(x)). Je tedý f (u) = u7 vnejs í a u = x2 + 1 vnitrn í slozkou funkče y = (x2 + 1)7. Poznamka. Složena funkce muže být vícenasobne slozena. Napr. jestlize f je jej í vnejs í slozkou a p je jej í vnitňn í slozkou, potom vnitňn í slozka p muze být opet slozenou. 258^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Inverzní funkce. Necht funkce y = f (x) je definovaná na množině A a je na ní prostá. To znamená, že pro kaědá dvě Čísla x1, x2 g A, x1 = x2 je f (x1) = f (x2). OznaCme B = f (A). Ke kazdemu y g B přiřaďme to c íslo x g A, pro nejz je f (x) = y. Tím jsme zavedli pravidlo, jimž ke každámu y g B je pěiěazeno x g A. Je tak definovaná nova funkce, označme ji f-1, jejímz neodvislym oborem je množina B a odvislyym oborem je množina A. Ponechame-li označení y pro proměnnou s oborem B a x pro proměnnou s oborem A, pížeme x = f-1(y), y g B, x g A. V definici inverzní funkce je podstatní/ pžedpoklad, že f je na svem definicním oboru prosta. Takovymi funkcemi jsou napr. funkce ryze monotonn í na svem definicn í oboru. Na obr. 10.2 je v kartezskem souradnem systemu znazornen graf funkce y = f (x) rostoucí na intervalu A = D(f), tedy graf funkce proste. Graf funkce x = f-1(y) je totozny s grafem funkce y = f (x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvisly obor na ose y a odvisly obor na ose x. 259^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y { y = f(x), x = f 1 (y) / / / / / B // // // // / O / A - / x Obrazek 7.1S: Graf funkčí y = f (x), x = f 1(y). Označ íme-li x neodvisle promennou jak pro funkči f, tak i pro funkči f l, zap íseme obře funkče takto y = f (x), x G A, y G B, y = f-l(x), x G B, y G A. (7.l4) Jestlize jejičh neodvisle oborý význač íme v kartezskem souradnem sýstemý na vodorovne ose, jsou grafý funkč í f (x), f-l (x) sýmetričke s osou sýmetrie y = x. Graf inverzn í funkče f-l(x) jsme dostali překlopen ím grafu f (x) kolem pr ímký y = x. 260^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y = f (x) y = f 1 (x) Obrazek 7.19: Graf funkcí y = f (x), x = f 1(y). Z definice inverzn í funkce vyplýva • je-li a G D (f), potom a = f-í(f (a)) • je-li a G D(fpotom a = f (f Je-li prostá funkce daná rovnici y = f (x), (7.15) dostaneme k ni funkci inverzná tak, ze z rovnice (10.21) vypočítáme x pomoci y. Pojem inverzní funkce vede k zavedeni novách funkcí, jak později uvidíme. 261«First «Prev «Next «Last «Go Back «Full Screen «Close «Quit Příklad 7.16. K funkci y = 2x + 1, x G (1,3) urcete funkci inverzn í. ReSení. Oznacme f (x) = 2x + 1, A = (1,3). Oznacme B = f (A). Dostavame B = (3, 7). Z rovnice y = 2x + 1 vypoc ítame x. Dostavame x = 2y - I• Tedy funkce x = 2y - 2 je inverzn í k zadane funkci f, je definovana na intervalu B. Zmenou oznacen í pro neodvisle a odvisle promennou dostavame hledanou inverzn í funkci 11 Grafy žadaně fůnkce a fůnkce k n í inveržn í jsoů na obražků 7.20. 262• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 7.20: Grafy funkcí y = f (x), y = f :(x) z příkladu 7.16.. Kontrolní otázky 5. Necht f (x) = ^. VypoC ítejte a) f (2) b) f ((0, 3)) c) f ((5, 6)) 263»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit [7] [nelze, v bode 1 G (0, 3) nen í f (x) definováno] 6. Určete definičn ř obor funkce /(x) = ^f^j-. [Df = (-oo,-1) U (-1,1) U (1, oc)] 7. Zjistete, zdá funkce jsou sude, resp. liche: á) f (x) = xX—1 [sudá] b) g(x) = XH-2 [nen í áni sudá, áni lichá] [lichá] d) u(x) = ^^f1 [lichá] 8. Co je to funkce rostouc í, klesaj řc ř, monotonn ř? 9. Načrtnete grafy funkc ř a) y = 2x — 1 b) y = x3 + 1 c) y = 3Sr 264^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 8 Limita a spojitost funkce jedné proměnné Uvod. V teto kapitole se zameríme na zaveden í pojmu limitý realne funkče f (x) jedne promňenne v danem bodňe. Pojem limitý funkče f(x) v danem bodňe pak pouňzijeme k zaveden í pojmu spojitosti funkče f (x) v danem bode. V teto kapitole budeme tam, kde nemuze doj ít k omýlu, pouz ívat pojem funkče m isto realna funkče realne promňenne. Pojem limitý je dulezitým pojmem, který je zakladn ím pojmem napr. pro zaveden í pojmu derivace funkce a určiteho integraiu z dane funkce. Dňíve nez začnete 265•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit stůdovat podřobne tůto kapitolů, zopakůjte si z kapitoly o c íslech zaveden í nevlastn ích c ísel —to, to a řozs ířen í nekteřych opeřac í,,+, —, •, : "na R*- Dale si zopakůjte pojem okol í jak řealneho císla, tak i nevlastn ích c ísel- Necht; a, č jsoů řealna císla- Potom mnozinů < a, a + č)...... nazyvame přavym č—okol ím bodů a, znac íme U+(a) (a — č, a >......nazyvame levym č—okol ím bodů a, znac íme U— (a) (a — č, a + č)......nazyvame č—okol ím bodů a, znac íme U (a) Necht; a = —to, č G R- Potom mnozinů (—to, č)...... nazyvame č— okol ím bodů —to a znac íme U (—to), řesp- U+(—to) Necht; a = to, č G R- Potom mnozinů (č, to)...... nazyvame č—okol ím bodů to a znac íme U (to), řesp- U— (to) 266©First ©Prev ©Next ©Last • Go Back • Full Screen ©Close ©Quit 8.1. Limita funkce jedné proměnné v daném bodě Úvodní poznámky k zavedení pojmu „limita reálné funkce jedné proměnné" Začněme s vyšetřváním funkce „, v sin x f (x) = — x v bodech x = 0 „v blízkosti bodu" x = 0. Funkce /(x) není v bodě x = 0 definovaná. Uveďme si hodnoty těto funkce v několika bodech: x ±1,5 ±1 ±0,5 f (x) 0,664996... 0,841470... 0,958851... x ±0,1 ±0,01 ±0,001 f (x) 0,998334... 0,999983... 0,999999... Uvedene hodnoty nás vedou k domnence, Ze Cím x je „blíZe" k Číslu 0,x = 0 tím f (x) je „blíZe" k císlu 1. Slovo „blíZe" budeme precizovat takto: K libovolnemu e > 0 lze urcit číslo ô > 0 tak, Ze pro x G U(0), x = 0, je ^ G U£(1), to jest pro x G (—ô, ô), x = 0, je 1 — e < < 1 + e. DukaZ pravdivosti teto domnenky nebudeme ted' provadet. PonevadZ tato domnenka je pravdiva, budeme ríkat, Ze funkce ma v bode 0 limitu 267»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit rovnu „1" a tuto okolnost budeme psát jako . sin x lim-= 1. Dříve, než přikročíme k exaktnímu zavedení pojmu „limita funkce f (x)" v danem bode a G R*, zavedeme si tento pojem na základě neupřesněných pojmu. Doufam, že to porrmže k pochopení tohoto pojmu. Pojem limity funkce je zakladním pojmem, jemuž je nutno dobře porozumet. Toto porozumění je dUleěitějěí nez nauCená se pěesnámu znění definic a vět, která dávají návod k jejich výpoCtu. Osvětlení pojmu limity limx^a f (x) = a v následujících případech. a G R, a G R. Rčení „limita funkce f (x) v bode a G R je rovna a G R", ktere symbolicky žapisujeme jako lim f(x) = a, znamena, nepresne receno, toto: Císlem a lze aproximovat hodnoty funkce f se zvolenou přesností ve vsech bodech x = a, lezících dostatecne blízko k císlu a. Jinak receno: jestlize „x se bl íz í k a a x = a", potom „f (x) se bl íz í k a". Uved'me tento príklad. lim = - = 0.8 x^2 x2 + 1 5 268»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit známená, ze pro vsechná x = 2, která se málo lis í od 2, je definováno á 4tt XX | _L XX | _L se málo lis í od | = 0,8. (Nápř. pro x = 2,01 dostáváme / x + 2 \ ^+7 = 0,795619... \x + V x=2,01 á pro x = 2,001 dostáváme —2—-\ = 0,7995602 .... \x + V x=2,001 a G R, a = oo|. Rcen í „limitá funkce f (x) v bode a G R zprává je rovná to", ktere sýmbolický zápisujeme jáko liiri f (x) = známená,ze jestlize zvol íme libovolne velke c íslo K, potom pro vsechná c íslá x > a, dostátecne bl ízká k c íslu a, nábývá funkce f (x) hodnotu vets í nez zvolene c íslo K. Nepřesne receno:Jestlize „x se bl íz í k a á x > a", potom „f (x) roste náde vsechný meze." Uved'me tento příklád. Polozme f (x) = Potom lim f (x) = lim -= oo, známená, ze át zvol íme jákekoliv c íslo K, potom pro dostátecne bl ízká c íslá x k c íslu „2", ruzná od „2" je f (x) = x—2 > K. Nápř. pro x = 2,001 je f (2, 001) = 1000 á pro x = 2, 000001 je f (2,000001) = 1000000 269^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a = oc,a £ R. Rčení „limita funkce /(x) v bodě oo je rovna a e W, které symbolicky zapisujeme jako lim f (x) = a, znamená, nepřesně řečeno, toto: Číslem a lze aproximovat hodnoty funkce / se zvolenou přesností pro vSechna dostatečne velká x. Jinak řečeno: Pro vSechna dostatečne velka x G R číslo a aproximuje vsechny hodnoty funkce f (x) nepřevysující zvolenou chybu aproximace. Uved'me tento príklad. 2x2 + x + 1 lim -2--— = 2 x—oo x2 — 1 znamena, Ze pro „hodne velke x" je 2xX+jx1+1 definováno a lisí se málo od 2. To vidíme, jestlize danou funkci prepíseme takto. 2x2 + x + 1 = 2 + 1/x + 1/(x2) x2 — 1 = 1 — 1/(x2) Čitatel se pro hodne velkí x mílo lisí od „2" a jmenovatel se pro velke hodnoty x mílo lisí od „1", takze pro hodne velka x se hodnota uvazovane funkce malo lisí od „2". Napr pro x = 100 je 2x2 + x + 1 x2 1 ' x=100 ■). = 2,010301... 270»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit á pro x = 1000 je '2x2 + x + 1 /2x2 + x + 1\ V x2 — 1 J 2 1 . = 2,002003... x — 1 ' x=1000 a = oo, a = oq Rcen í „ limita funkce /(x) v bode oo je rovna oo", ktere symbolicky zapisujeme jako lim /(x) = oo x^oo známená, nepresne reCeno, toto: Zvol íme-li jákekoliv velke Císlo K, potom pro vsechná dostáteCne velká C íslá x je hodnotá funkce f v bode x vets í neZ K .Vyslovme domnenku: x2 + 1 lim -= oo UváZme, Ze pro x > 0 plát í ( ) = x2 + 1 = 1 + 1/(x2) f (x) = x + 1 = 1/x + 1/(x2), tákZe pro dostáteCne velká x je f (x) vets í, neZ zvolene K. Nápr. pro x = 1000 je f (x) > 999. 271^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Osvetlete si tyto zápisy a) lim lnx = —oo b) lim -3x2 = oo c) lim -3x2 = -oo x 2 — a nakreslete grafy funkc í, jejichZ limity v příslusnych bodech jsou uvedeny a vyslovte domnenku o hodnote příslusne limity. Limita funkce jedné proměnné Po uvodn ích slovech k zaveden í pojmu limity uved'me si jej í přesne zaveden í. 272»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 8.1. (Limita funkce jedné proměnné) Nechť y = f (x) je realna funkce realne promenne x. Nechť a G R*. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode a limitu a G R* a p íseme lim f (x) = a, jestlize ke kazdemu £-okol í bodu a existuje č-okolí bodu a tak, ze 1. funkce f (x) je definovana v Us (a) — {a} 2. pro vsechna x G Us (a) — {a} plat í f (x) G U£(a). V bodech a G R zavad íme i limitu zprava a limitu zleva funkce f (x) takto: Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode a G R limitu zprava (zleva) rovnu c íslu a G R* a p íseme lim f(x) = a lim f(x) = a , jestlize ke kazdemu £-okol í bodu a G R* existuje prave (leve) č-okol í bodu a tak, ze 1. funkce f (x) je definovana v U+(a) — {a} (Us— (a) — {a}) 2. pro vsechna x G U+(a) — {a} (x G Us— (a) — {a}) plat í f (x) G U£(a). Ukazme, jak lze tuto definici přeformulovat v jednotlivych případech. 273^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a G M, a G M, lim /(x) = a. a a p íšeme Hm f(x) = a, jestlize k libovolnemu vlastn ímu c íslu e > 0 Ize urcit takove vlastn í c íslo ô > 0, že pro vsechna x G (a,a + ô), (tj. pro x G U/(a) — {a} je funkce f (x) definovana a f (x) je aproximovano c íslem a s chybou neprevyšuj íc í e, tj. f (x) G< a—e,a+e > . Grafičke znazornen í limx^a+ f (x) = a, je zobrzeno na nasleduj íc ím obrazku 8.1 Řekneme, Ze funkce f (x) ma v bode a G R limitu Obrazek 8.1: limx^„+ f (x) = a, 274-^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a G IR, oj = to, lim /(x) = to.I Řekneme, že funkce /(x) má v bodě a G M. limitu _x^a+_| žprává rovnu to á piseme jestliže pro kážde libovolne velke Cřslo £ lže urCit tákove vlastní Cřslo 5 > 0, že pro vsechná x G (a,a + 5), (tj. pro x G U+(a) — {a} je funkce f (x) definování á f (x) > £. Gráficke žnážornenř limx^a+ f (x) = to je žobráženo ná následujícím obrážku 8.2 21b^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x I Obražek 8.2: limx^„+ f (x) = to b = to, a G R, lim f (x) = a.I. Řekneme, že funkce f (x) ma v bode to limitu rovnu a a p i seme lim f (x) = a, x^oo jestliZe pro kaZde libovolne male c řslo e > 0 lze určit takove vlastn í c řslo 5 > 0, Ze pro vsechna x G (5, to), (tj. pro x G U+(a) je funkce f (x) definovana a f (x) G (a — e,a + e). 276©First ©Prev ©Next ©Last • Go Back • Full Screen ©Close ©Quit Grafické znázorněn í limx^TO /(x) = a je zobrazeno na následuj íc ím obrázku 8.3 a + e f (x) a ae y = a + e y = a — e x U5(oo) x Obrázek 8.3: limx^TO f (x) = a b = to, a = oo, lim f (x) = inf ryl. Řekneme, ze funkce f (x) má v bodé to limitu x^oo rovnu to á piseme lim f(x) = o , x^oo jestliže pro každé libovolně velké číslo e > 0 lze určit takové vlastní číslo 5 > 0, že pro vSéčhna x e (5, to), (tj. pro x e U/(a) je funkčé f (x) definovaná a y 211^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit f (x) e (a — £, a + e). Gráficke znázornen í limx—o0 f (x) = oo je zobrázeno ná následuj íc ím obrázku 8.4 U (a) f (x) b 5 x U(oo) x Obrázek 8.4: limx^TO f (x) = oo ŘCen íjimitá funkce f (x) v bode oo je rovná a e R", ktere symbolicky zápisujeme jáko lim f(x) = a, x—oo známená, nepresne reCeno, toto: C íslem a lze áproximovát hodnoty funkce f se 278^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit zvolenou přesností pro všechna dostatečně velká x. Jinak řečeno: Pro všechna dostatečně velká x G R číslo a aproximuje všechny hodnoty funkce f (x) nepřevyšující zvolenou chybu aproximace. Poznámka 1. Jestliže interval (c, d) je definičním oborem funkce /(x) , budeme někdy místo lim f (x) psat lim f (x). xx ^ dd— xx ^dd Poznámka 2. Vsimnete si, Ze oznacení lim f (x) (lim f (x)) je vlastne rovneZ oznacení pro jednostranne limity. UkaZme, Ze platí tato veta: Veta 8.1. Necht f (x) je funkce. Potom lim f (x) = a ( lim f (x) = a), kde a G R*, když a jenom když místo lim f (x) lim f 1 = a 279»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Důkaz: Důkaz vychází z toho, že vztahem 1 y = - x je ke každému x G U(to), ^ = 0 přiřazeno právě jedno y e U+ (0) a každé y G U+ (0) je přiřazeno právě k jednomu x e U(to). Pro lim f (x) je dUkaz analogický. . x^—oo "Úloha. Zvolte si fůnkci y = f (x) a naCrtnete její graf pro tyto případy: a) lim f (x) = a, a G R, lim f (x) = a, a G R, a G R xx — xx b) lim f (x) = to, lim f (x) = to, lim f (x) = to, a G R xx ^a__ xx _ xx c) lim f (x) = —to, lim f (x) = —to, lim f (x) = —to, a G R xx ^a__ xx ^ a— xx ^a d) lim f (x) = to, lim f (x) = —to, lim f (x) = a, a G R x^oo x^oo x^oo e) lim f (x) = to, lim f (x) = —to, lim f (x) = a, a G R Limita fůnkce f (x) v danem bode a nezavisí na hodnote fůnkce f (x) v bode a. Tedy fůnkce f (x) nemůsí byt v bode a ani definovana. Platí tedy tato poůcka: 280»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht a G M*, necht existuje ô G M tak, že f (x) = g(x) pro x G U§ (a) — {a}. Potom existuje-li lim f (x), existuje i lim g(x) a platí lim f (x) = lim g(x). x a x a Podobne pro lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x). [j Funkce f (x) nemusí mít v daném bode limitu. Uved'me tyto příklady. Příklad 8.1. Necht f ( ) = í 1 pro x racionálni, f( ) = [ —1 pro x iracionálni. Nechť a G M. Potom neexistuje lim f (x) ani lim f (x). x—>a+ x—>a_ Skutecne. V každem intervalu (a, a+ô) ((a — ô, a)) jsou jak body x, v nichž je f (x) = 1, tak body x, v nichž je f (x) = —1. Tedy neexistuje ani lim f (x) ani lim f (x). x—>a+ x—na- příklad 8.2. Ukažme, že neexistuje lim sin X. x—0+ x Řešení. Předevsím žvažme, že funkce sin x je definovana pro vsechna x = 0. Položme xk = (2k + 1) f, k = 1,2,... 281 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zrejme posloupnost {xkma limitu rovnu 0, tj. lim xk = 0. Dale k^oo sin — = sin(2k + 1) — = j | Xk 2 L 1 pro k liche, pro k sude. Tedy v kazdem inteřvalů (0,č) jsoů jednak body, v nichz fůnkce sin X nabyva hodnoty —1, jednak body, v nichz fůnkce sin X nybyva hodnoty 1, takze neexistůje lim sin X - 0+ Na obr. 8.5 je vyžnacen graf funkce sin X pořížený na poc ítaci. -i Obrázek 8.5: Graf funkce sin 1. x V ůcebn ím textů „Matematika A" jsme zavedli pojem spojitosti fůnkce f (x) v danem 282• First ©Prev ©Next ©Last • Go Back • Full Screen • Close ©Quit bode a. Zaveden í tohoto pojmu lze provest pomoč í pojmu limitý funkče f (x) v bode a takto. Definice 8.2. (Spojitost funkce v bode) Nečht funkče f (x) je definovana v bode a G R a nečht lim f (x) = f (a) x—a ( lim f (x) = f (a)) [ lim f (x) = f (a)]. Potom f (x) je v bode a spojita (spo- x—>a+ x— jita zprava) [spojita zleva]. Je-li a levým (pravým) končovým bodem intervalu I, na nemz je funkče definovana, muzeme ríkat, ze funkče f (x) je v bode a spojita m isto f (x) je v bode a zprava (zleva) spojita. Jestliže funkce f (x) je v bode a G R spojitá, potom výpočet limity funkce f (x) v bode a lze určit pouhým výpočtem hodnoty funkce f (x) v bodě a. V učebním textu „Matematika A" jsme uvedli, že elementární funkce polynom, racionálni lomená funkce y/x, ax loga x, sin x, cos x, tg x, cotg x, arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x jsou spojité v každem bode svého definicního oboru. Uved'me si nekolik příkladu. Pr íklad 8.3. Dokazme, ze lim log x = 1, lim sin x = ^. x—10 x— f 2 283^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Skutečně. Funkce logx, sin x jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru. Tedy lim log x = log 10 = 1, lim sin x = sin — = — x^io 6 6 ' f 4 2 Příklad 8.4. Necht n G N. Dokažme „ , to, n je sude, lim xn = ' { -to, n je liche. Skutecne. Necht n je sudé. Nechť e > 0 je libovolne císlo. BeZ ujmy na obecnosti muZeme predpokladat, Ze e > 1. PoloZme ô = — ^/e. Potom pro x G U (—to), tj. pro x G (—to, - v^e) je xn > e, tj. xn G U£(oo), takZe lim xn = to pro n sude. x Podobne se dokáže, že pro n liché je lim xn = —to. x^-oo Príklad 8.5. Vypočítejte lim(3x2 - 4x + 1). Řešení. Polynom je funkce spojitá v každem bode x G R, tedy i v bode 2. Limita v bode a, v nemž je funkce spojitá, je rovna její funkční hodnote v bode a. Tedy lim(3x2 - 4x + 1) = 3 • 22 - 4 • 2 + 1 = 5. x2 284»Fiřšt »Prev »Next »Lašt »Go Back •Full Screen »Cloše »Quit Příklad 8.6. VypoCítejte 3x + 2 lim —--. x—2 x2 - 1 Řešen í. Funkce f (x) = Xt^2 je rácionáln í lomená funkce. Víme, Ze rácionáln í lomená funkce je spojitá v káZdem bode sveho definiCn ího oboru, to jest v káZdem bode, v nemZ je jmenovátel nenulovy. V násem pnpáde je jmenovátel x2 — 1 v bode 2 roven 22 —1 = 3, tákZe lim f (x) je rovná f (2). Dostáváme x2 , 3x + 2 3 ■ 2 + 2 8 lim —-= —--= - x—2 x2 - 1 22 - 1 3 Příklad 8.7. VypoCítejte x2 — 4 lim x—2 x2 — 5x + 6 Řešen í. PoloZme f (x) = x2 — 4 x2 — 5x + 6 Zrejme D/ = R — {2,3}. Funkce /(x) nen í tedy v bode 2 spojita, neboť v nem ani 285•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit není definováná. Funkci f (x) prepisme ná tvár = (x - 2)(x + 2) f (x) (x - 2)(x - 3)' Polozme x+2 g(x) =-ô . x — 3 Zrejme f (x)=g(x) pro x = 2. Ponevadz limita funkce nezavis í na jej í hodnote v bode, v nemz limitu poc ítame, je lim f (x) = lim g(x). (8.1) Funkce g(x) je vsak spojita v bode 2, takze lim2 g(x) = g(2) tj. lim g(x) =-. Podle (8.1) je tedy lim f (x) = -4. x2 286^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 8.2. Limita a spojitost funkce vytvořené pomocí dvou funkcí Pro funkce, které vzniknou seč ítán ím, odeč ítán ím, násoben ím a dělen ím funkc í, jejichž uvažované limity v danem bode a známe, mUžeme poč ítat limitu podle následuj íc í vety. Veta 8.2. Necht f (x), g (x) jsou funkce pro něž platí lim f (x) = A, lim g(x) = B, kde lim znažíjeden ze symbol U lim, lim , lim , lim , lim , a X—>G, x_±n+ x_X—>00 X—> — OO G R a symboly A, B představují reálná čísla nebo jeden ze symbolu +to nebo —to (to jest A, B G R*). Potom platí lim(f (x) ± g(x)) = A ± B, (8.2) lim f (x) • g(x) = A • B, (8.3) lim f (x) = A (8.4) pokud má prava strana vyznam v R*. 287»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Důkaz: Důkaz vety proved'me jen pro nekterí prípady. Dokazme vztah (8.2) pro limitů v bode a pro tyto prípady. Ostatní případy se dokazují podobne. a) Nechť a, A, B G R. Nechť lim f (x) = A, lim g (x) = B. Dokazme, ze lim (f (x) i x a x a x a g(x)) = A i B. Nechť e > O je libovolne císlo. Ponevadz lim f (x) = A, existůje takove ô1 > O, ze pro x = a, x G (a — ô1, a + ô1) je fůnkce f (x) definovaní a platí |f (x) — A| < |. (8.5) Podobne, ponevadz lim g(x) = B, existůje ô2 > O tak, ze pro x G (a — ô2,a + ô2), x = a, je fůnkce g(x) definovaní a platí |g(x) — B| < |. (8.6) Polozme ô = min(ô1 ,ô2). Ze vztahů (8.5),(8.6) dostívíme pro x = a, x G (a — ô, a + ô) |f (x) i g(x) — (A i B)| = |(/(x) — A) i (g(x) — B)| < < |f (x) — A | + |g(x) — B| < I + | = e. Tedy lim (f (x) i g(x)) = A i B. 288^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit P) Nechť a, A G R, B = oo. Nechť e, K > 0 jsou libovolna císla. PonevadZ lim f (x) = A, lZe k císlu e urcit č1 > 0 tak, Ze pro x G (a — a + či), x = a, je x—a funkce f (x) definovaní a platí |f (x) — A| < e, tj. A — e < f (x) < A + e. PonevadZ lim g(x) = oo, lZe k císlu (K + e — A) urcit č2 > 0 tak, Ze pro x—a x G (a — č2, a + č2), x = a, je funkce g(x) definovaní a platí g(x) > K + e — A. OZnacme č = min(č1,č2). Potom pro x G (a — č,a + č), x = a, je funkce g(x) definovaní a platí f (x) + g(x) >A — e + (K + e — A) = K. Je tedy lim(f (x) + g(x)) = A + B = A + oo = oo. x—a Podobne se dokíaZe, Ze lim (f (x) — g(x)) = —o. ■ x—>a+ 289^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznámka. Nechť g(x) = c, kde c je realna konstanta. Potom lim g(x) = c pro x—a libovolne a, neboť pro libovolne e > 0 a pro vsechna x plat í |g(x) — c| = |c — c| =0 < e. Je-li lim f (x) = A, A G R*, c G R je libovolna konstanta, plat í tedy podle vety 8.2 x—a lim c • f (x) = c • lim f (x) = c • A, x a x a pokud ma cA vyznam. Z vety 8.2 dostavame pro funkce spojite tuto vetu. Veta 8.3. Necht funkce f (x), g(x) jsou spojité v bodě a. Potom i funkce f (x) ± g(x), f (x) • g(x) je spojité v bode a. Jestliže navíc g(a) = 0, je i funkce spojita v bode a. Pr íklad 8.8. Funkce sin x, x2 — 1 jsou spojite v kazdem bode. Tedy i funkce sin x + x2 — 1, sin x — x2 + 1, (x2 — 1) • sin x jsou spojite v kazdem bode. Ponevadz x2 — 1 = 0 pro x = 1 a pro x = —1, je funkce xrrj- spojita v kazdem bode x, kde x = ±1. Príklad 8.9. Vypocítejte lim (anxn + an—ixn—1 + • • • + aix + a0), an = 0. x—>oo 290^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Polozme f (x) = <2nxn + <2n-ixn-1 + • • • + <2ix + <2o. Funkci f (x) prepisme ná tvár xn-1 x 1 --H • • • + <2l--H <2o — \ tj. f (x) — xn f a + a -i i i i i - i ■ f i... —i— f i... i ! ! ! ix o rp rpTb—1 rpTb \ Podle vety 8.2 je (xn 1 x 1 "\ an + an-1—- H-----h a1— + ao— f (x) = xn ( an + an-11 H-----h a1—^ + ao^- ) \ x xn-1 xny lim f (x) = lim xn • ( lim an + lim an 1 + • • • + lim —-^r + lim —) X—TO X—TO \X—TO X—TO x X—TO xn 1 X—TO xn / Ponevádz lim -m = j- = 0 pro m G N, c G R, lim xn = to, dostáváme X—>O0 X TO X—T-OO lim f (x) = to • lim an. X—TO X—TO Je tedy lim f( x) = to pro an < 0. lim f (x) = ( to pro a» > 0, X—TO I 291 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 8.10. Vypočítejte lim (anxn + an_ixn_1 + • • • + <2i£ + a0), an = 0. x^—oo Řešení. Postupujeme podobne jako v předchozím příklade. Položme f (x) = önxn + ön—1xn_1 + • • • + a1x + a0. Dostavame lim f (x) = lim x • lim ön + lim--h • • • + lim —— + lim — x^—oo x^—oo l n—M x^—oo x x^—oo xn 1 x^—oo xn / Ponevadž lim xm = 0, m G N, c G R a xx { dostavame 1 lim x" = X to pro n sude, to pro n Iiche, sgn a" pro n sude, lim f(x) = sgn —-to |^ -sgn Tedy např. lim (2x2 - 3x + 1) = to, lim x2(2 - X + X_) = oo. XX a" • to pro n Iiche. X +i: 1) sgn a = 1, je-li a > 0, sqn a = -1, je-li a < 0 292•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 8.11. Podle věty 8.2 je např. lim (x2 + l/x) = to, nebol; x2 je funkce spojitá, takže lim x2 = 0 a lim 1/x = to. x->0+ x^0+ x^> 0+ Příklad 8.12. Vypočítejte Řešení. Položme 2x2 - 3x + 1 lim -2- x^oo — x2 — 2x + 1 f (x) = 2x2 3x + 1 x2 — 2x + 1 Ponevadž lim (2x2—3x+1) = to, lim (—x2—2x+1) = —to, nemužeme bežprostredne x—TO x—TO použít žádnou vetu o limite podílu, kterou jsme žatím uvedli, nebol; 3°. není definovano ani v M*. Avsak pro x = 0 je f (x) = g(x), kde 2 — x + ^ g(x) =-x x 1 X + Í Z\s v rejme lim g(x) = x^oo lim (2 - X + i) lim (-1 - 2 + \) xx 1 = -2. x Je tedy lim f(x) = -2. 2 293»Fiřst »Přev »Next »Last Back »Full Screen •Close »Quit Pr íklad 8.13. Vypoc ítejte .. 3x4 — x + 1 lim —2-. x—oo x2 + x — 1 Řešen í. Zrejme, del íme-li citatele i jmenovatele c íslem x2, kde x = 0, dostavame v 3x4 — x + 1 . 3x2 — X + x12 i^o(3x2 — X + o lim —2-= lim -ix—t— =-:-i-r— = — = oo. x—o x2 + x — 1 x—o 1 + x —12 lim (1 + x —12) 1 Pr íklad 8.14. Vypoc ítejte x2 + x + 1 lim —-. x—oo x4 + x — 1 Řešen í. Zrejme, del íme-li citatele i jmenovatele x4 pro x = 0, dostavame x2 + x + 1 t + t + t lim (xi2 + + x14) 0 lim —-= lim--x-f- =---i-r— = - = 0. x4 + x — 1 1 + x13 — xlim (1 + x-3 — ^) 1 Vetu 8.2 pro vypocet lim nelze použ ít, jestliže lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Je-li A = 0, je tento případ resen nasleduj íc í vetou. O prípade, kdy lim f (x) = lim g(x) = 0, pojedname pozdřeji. 294»First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen •Close •Quit Veta 8.4. (Limita podílu f (x)/g(x), je-li limg(x) = 0) Necht a, A G R, A = 0. Necht lim f (x) = A, lim g(x) = 0. Necht existuje x ^a-" x ^a + č > 0 tak, že pro x G U+(a) — {a} j'e funkce ^-j definovana a platí f(x) > o < o (g(x) <0) Potom g(x) Vg(x) ľ f(x) ( \ lim = (X) (—to). Příklad 8.15. Vypoc ítejte lim —--. x^> 2+ X2 — 4 Řešení. Zrejme lim 3x = 6, lim (x2 — 4) = 0. Tedy limita čitatele je mzna od nuly a limita jmenovatele je rovna 0. Určeme znamen í funkce -J-^. Znamen í je znazorneno na obr. 8.6. Ponevadz existuje prave okol í bodu 2, v nemz je funkce -J-^ kladna, je podle vety 8.4 3x lim —-- = to. x-> 2+ x2 — 4 295•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit - + - + -1-1-1- -2 0 2 Obrázek 8.6: Znamení funkce z příkladu 8.15. Podobne bychom zjistili, že .. 3x lim —-- = —oo. x^2- x2 — 4 Poznámka. Schematicky chovaní funkce xfzi pro x „blízko" k císlu 2 ZnáZorřujeme podobne jako na obr. 8.7. v Obrázek 8.7: Znázornení chování funkce -t^t v okolí bodu x = 2, x = 2. ar — 1 ' ' 2 296^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Pr íklad 8.16. Vypoc ítejte 3x + 1 lim —-- x— i x2 1 Řešen í. Poněvadž lim (3x + 1) = 4, lim (x2 — 1) = 0, ff+1- > 0 pro x > 1 (určete žnamen ř račionain ř lomeně funkče ff+1-), dostavame podle věty 8.4, že 3x + 1 lim —2-= oo. x^1+ X2 — 1 Spojitost složena funkce Veta 8.5. (Spojitost sloZené funkce) Necht funkce u = p (x) je spojitá v bodě a G R a necht funkce f (u) je spojitá v bodě a = p (a). Potom sloěené funkce f (p (x)) je spojitá v bode a. Je tedy lim f (p(x)) = f (p(a)). x—a_ DUkaz: Ze spojitosti funkce f v bode a = p(a) vyplyva, ze k libovolnemu e > 0 existuje takove g > 0, ze pro u G Ue(a) (tj. pro x G (a — g, a + g)) je funkce f (u) definovana a plat í f (u) G U£(f (a)) (tj. f (a) — e < f (u) < f (a) + e). Ponevadz funkce p je spojita v bode a, k uvedenemu c íslu g existuje takove ô > 0, ze pro x G U (a) (tj. pro a — ô < x < a + ô) je funkce p(x) definovana a p(x) G Ue(a) (to jest 297^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a - g < 0 je libovolne císlo. Ponevadž funkce f (u) je spojita žprava v bode a, existuje g > 0 tak, že f (u) je definovaní v U+(a) a f (u) G U£(f (a)). Ponevadž V?(x) je spojita v bode a, k uvedenemu císlu g existuje ô1 > 0, že pro x G Uj1 (a) je funkce 0 tak, že f (p(x)) existuje v U5 (a) a platí lim f (p(x)) = f (lim p(x)) = f (a). (8.7) x a x a D ů kaz: Necht e > O je libovolne císlo. Ponevadz fůnkce f je spojita v bode a, existůje g > O tak, ze pro u G Ue(a) je fůnkce f definovana a f (u) G U£(f (a)). Ponevadz limx^a p(x) = a, k císlů g existůje takove ô > O, ze pro x G Us(a) — {a} je fůnkce p(x) definovava a p(x) G Ue(a). Tedy pro x G Us(a) — {a} ma f (p(x)) vyznam. Je-li x G Us(a) — {a}, je u = p(x) G Ue(a) a tedy f (p(x)) G U£(f (a)). Platí tedy (8.7). . Príklad 8.18. Ukazme, ze 3x+1 3 lim e2x—1 = e2. x 299^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit SkuteCne. PoloZme p(x) = |Xrx, f (u) = eu. Zrejme lim p(x) = lim -x = 3. x—oo x—oo 2 — 1 2 x Funkce eu je spojitá v bode u = 3, tákZe 3x+1 3 lim e2x-1 = e2. Příklad 8.19. Nechť p(x) = x2 + 1, f (u) = ^fu. Funkce f (v?(x)) je spojitá v bode 0. SkuteCne. p(x) je spojitá v bode a = 0. PoloZme a = ^(a), tj. a = 1. Funkce ^fu je spojitá v bode a = 1. Podle vety 8.7 je tedy funkce Vx2 + 1 spojitá v bode a = 0. Poznámka. K domnence, Ze funkce Vx2 + 1 je v bode a = 0 spojitá, muZeme dospet i touto uváhou. KdyZ x je dostáteCne bl ízko k 0, je x2 + 1 bl ízko k 1 á stále je x2 + 1 > 0. Tedy Vx2 + 1 je bl ízko k C íslu vT = 1. PonevádZ funkce Vx2 + 1 má v bode a = 0 hodnotu 1, je funkce Vx2 + 1 v bode a = 0 spojitá. Poznamka. Je moZno vyslovit rádu dáls ích vet podobných k vete 8.7, ktere vzniknou zá predpokládu, Ze funkce f (x) je pouze zprává, resp. zlevá spojitá v a á m ísto lim p(x) x—a se uváZuje lim p(x) resp. lim p(x). x—^a_|_ x—_ 300^Fiřst •Přev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 8.8. (Limita složene funkce) Necht p, f jsou funkce jedné proměnné a necht a, a, // G M*. Necht lim p(x) = a, lim f (u) = //. x—>a u—>a (8.8) Necht existuje takové okolí UK(a) a k němu okolí Ue(a) tak, že p(UK(a) — {a}) = Ug(a) — {a}. (8.9) Potom lim f(p (x)) = / x— a (tj. lim f (p(x)) = lim f (u)). x—a u— lim <£>(x) x—>a DUkaz: Dříve, než přikročíme k vlastnímu důkazu, uvažme, že z (8.9) vyplyva, že pro x G UK(a) - {a} je p(x) = a. Necht; U£(//) je libovolne okolí bodu //. Ponevadž lim f (u) = //, existuje okolí Uj1 (a) u—>a tak, že funkce f je v Uj1 (a) — {a} definovana a platí f (u) G Ue(/3) pro u G (a) -{a}. (8.10) 301 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit PonevadZ lim 0, 0 pro x = 0, —1 pro x < 0. Vypoc ítejte lim f (x), lim f (x), lim f (x). x—0+ x—0_ x—0 Vypoc ítejte limity a) xlim2(3x + 1) b) lim 2x±1- ' x—,_i x2+1 c) lim (x+ — 2) J x->3 Vx+1 ' Vypoc ítejte limity a) lim 2x3++1—1 x—o 3x+1 b) lim 3x2+1 > x— — OC 4x2+x—1 c) lim arctg x x—o d) lim arccotg x x [1, —1, neexistuje] [7] [—2 ] [o] [ f ] [ 2 ] [0] 305•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit e) lim —, lim — x—0+ x x—O- x f) lim ex, lim ex x—>TO x—>—TO g) lim log x, lim log x x—0+ x—0- h) lim logj_ x n- ii x 0- 10 i) lim sin x x j) lim x—TO x k) lim sin - x—0+ x v) lim x sin - x 0+ x [+1, -1] [to, 0] [—to, neexistuje] [to] [neexistuje] [0] [neexistuje] [0] Vypocitejte a) lim xx±i, lim fx±i, lim x 1+ x 1- 3x+1 Hm 3x+1 II x 1 -i_ x 1 + x 1- 3x b) lim (3 +2)2 ' x_>_2 (3x+2)2 c) lim+ (x-2 + x2-32x), lim (x-2 + x2--2x) x 2+ x 2- d) lim x -5x3+6 x 3x x 3+ e) Jim arctg 3^, x lim arctg 3ě+I x x 3x+1 [to, —to, —to, to] [—to] [+TO, -TO] [ 3 ] 2 , 2] Vypod'tejte 306^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) lim (V4x2 - 1 - V2x2 + 3) x Je funkce f (x) = SiXX spojita v bode 0? Je funkce g(x) = f (x) pro x G (-oo, 0) U (0, oo), g(0) = 1 spojita v bode a = 0? [f (x) není, g(x) je] Je funkce _ a) f (x) = spojita v bode 0? [není] b) g(x) = f (x) pro x = 0, g(0) = 2 spojita v bode 0? [není] Vypočítejte x+1 a) lim e x^oo b) lim ln(1 - x) x^oo č) lim iífc^ +x d) lim 2^, lim 2iEx~ [1] [nema limitu] [oo, 0] 307^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 9 Elementární funkce. 9.1. Polynom a racionalní lomená funkce V teto kapitole pojednáme souhrne o rade funkcí, ktere žnate (nebo meli byste žnát) ž drívejsího studia. Pojednáme tež o funkcích cyklometrických, ktere se na gymnáziích neprobírají. Zacneme s polynomem. Polynom Zaved'me si komplexní funkci komplexní promenne „polynom". SQB^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht an, an_i,..., a0 jsou komplexní ěísla. Jestliže ke každámu komplexnímu císlu x G C pěiěadíme císlo f (x) vžtahem f (x) = anxn + • • • + a1 x + a0, (9.1) je jím definována komplexní funkce na množině věech komplexních čísel C. Tato funkce se nažíva polynom. Císla an,..., a0 nažyvíme koeficienty polynomu f (x). Císlo a0 nazýváme absolutním clenem polynomu f (x). Jestliěe an = 0, polynom f (x) nazývame polynomem n-tího stupne. Napr. f (x) = x2 + 1 je polynom 2. stupne. Podle definice stupne není polynomu f (x) = 0 přiražen žadny stupeň. Nažyvame jej nulovym polynomem. Císlo a naryvíme koěenem (nulovym bodem) polynomu f (x), jestliže f (a) = 0. Např. polynom P (x) = x3 + x (9.2) ma kořeny 0,i, —i, neboť P (0) = 0, P (i) = i3 + i = 0. Podobne P (—i) = (—i)3 + (—i) = 0. Lze ůkazat, ze nema zadne dalsí kořeny. Jestlize P (x) je polynom a a je jeho kořen, potom polynom prvního stůpne x — a se 309»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit názyvá kořenovým činitelem odpovídajícímu kořenu a. 0 polynomu plát í tyto vety: 1 Veta 9.1. I Necht a je kořenem polynomu f (x) stupne n > 1. Potom existuje takový polýnom I g (x) stupne n — 1, že přo každé komplexní číslo x platí f (x) = (x — a) ^ g(x). DUkaz: PonevádZ f (a) = 0 lze polynom f (x) zápsát jáko f (x) = f (x) — f (a) = (anxn + an—1xn—1 +----+ a1x + ao) — — (anan + an—1an—1 +----+ a1a + ao). Uprávou dostáváme f (x) = an(xn — an) + an—1(xn—1 — a—1) + ■ ■ ■ + a1 (x — a). PonevádZ xk — ak = (x — a)(xk—1 + axk—2 +-----h ak—1), pro k = 1, 2,..., n, lze psát f (x) = (x — a) ■ [an(xn—1 + ■■■ + an—1) + ■■■ + aj, 310^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit to jest f (x) = (x - CJ^a^ kde g(x) = a^x"-1 H-----h a"-1) H-----h a1. . Příklad 9.1. Polynom f(x) = x2 - x - 2, ma císlo 2 za svuj koren, neboť f (2) = O. Existuje tedy polynom g(x) stupne 2 tak, ze f (x) = (x - 2)g(x). Skutecne. Delením polynomu f (x) korenovym cinitelem x - 2 dostavame ( x2 - x - 2): (x - 2)= x Hl ± x2 t 2x x - 2 ± x t 2 O tj. 2 (x2 - x - 2) : (x - 2) = x Hl, takze f (x) = (x - 2)(x Hl). 311 •F rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Qu t Zatím jsme pouze zavedli pojem korene polynomu, ale nezabývali jsme se problemem existence kořrene polynomu. O tom vypov ída nasleduj íc í vřeta: I Veta 9.2. (Fundamentální veta algebry) Každý polynom stupnž n > 1 ma v oboru komplexních žísel kořen._ DUkaz: Bez dukazu. . Definice 9.1. Ríkame, Ze císlo a je k-nísobným koženem polynomu f (x), jestliZe pro kaZde komplexníí řcííslo x platíí f (x) = (x — ď)^), kde g(x) je takovy polynom, Ze g (a) = 0. Príklad 9.2. Polynom x3 — 3x2 + 4 lze zapsat ve tvaru x3 — 3x2 + 4 = (x — 2)2(x + 1). Je tedy x = 2 dvojnasobnym a x = —1 jednoduchym korenem polynomu x3 — 3x2 + 4. 312 • First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen ©Close *Quit DUsledek. Polynom n-tého stupne, n > 1, f (x) = anxn + an—ixn—1 H----+ ai x + ao, an = 0 má práve n kořenU, pocítame-li k-násobný kořen za k kořenU. DUkaz: Necht; n = 1, a1 = 0. Potom f (x) = a1x + a0 je polynom stupne 1. Potom f (x) = a1(x + O;), takže f (x) = (x — a)a1, kde a = — ai. Předpokladejme, že tvržen í plat í pro polynomy stupne n — 1 a dokažme, že pak plat í take pro polynomy stupne n. Necht; tedy f (x) = anxn + an—1xn—1 H----+ a1x + ao, an = 0. Podle fundamentaln í vety algebry ma polynom f (x) kořen v oboru komplexn ich c ísel, ožnacme jej a. Tedy f (x) = (x — ^(rr), kde g(x) je polynom stupne n — 1, ktery ma podle předpokladu n — 1 kořenu. Ponevadž a je korenem polynomu f (x), ma f (x) prave n korenu. Příklad 9.3. Ponevadž x4 + 4x3 — 16x — 16 = (x + 2)3(x — 2), je x = 2 jednoduchym a x = —2 trojnasobnym kořenem tohoto polynomu. Ma tedy dany polynom 4 kořreny. 313^'^ •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit DUsledek. Jestliže polynom f (x) je roven nule v nekonecne mnoha céslech, pak je to polynom nulovéy. DUkaz: Kdyby polynom byl stupne n > 1, byl by roven nule nejvýše v n navzajem rôznych c íslech. To je spor, takze polynom ma vsechny koeficienty nulove. Pro n = 0 je veta zrejma. . DUsledek. Jestliže dva polynomy f (x),g(x) nabyvajé stejné hodnoty v nekonecne mnoha céslech, pak maj é stejné koeficienty u stejnych mocnin x. DUkaz: Oznacme h(x) = f (x) — g(x). Polynom h(x) ma nulovou hodnotu v nekonecne mnoha c íslech, takze vsechny jeho koeficienty jsou nulove. Odtud snadno plyne tvrzen í. . I Polynom s reálnymi koeficienty budeme naryvat realnym polynomem. Veta 9.3. Je-li a + i//, // = 0 jednoduchém koěenem realného polynomu f (x) = an xn + an—1xn+1 +----+ a1x + ao, an = 0, (9.3) je též céslo a — i// jeho koěenem. 314^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit DUkaz: Dosazen ím x = a + i// do (9.3) dostavame f (a + i//) = an(a + i//)n + an_ i(a + i//)n—1 +-----h ai(a + i//) + ao = A + iB, kde A = 9fč(f (a + i/)), B = 3(f (a + i/)). Ponevadž f (a + i/) = A + iB = 0, je A = 0, B = 0. Ponevadž (a — i/)r je c íslo komplexne sdružene k c íslu (a + i/)r pro r = 1, 2,..., n, plat í f (a — i/) = an(a — i/)n + an—T(a — i/ )n—1 + • • • + aT(a — i/) + a0 = A — iB. Ponevadž A = B = 0, je f (a — i/) = 0, takže a — i/ je korenem polynomu (9.3). . Je tedy polynom (9.3) delitelny soucinem korenovych cinitelu (x — (a + i/)) • (x — (a — i/)) = (x — a)2 + /2, tedy realnym polynomem druheho stupnře. Je tedy f (x) = [(x — a)2 + //2]fi(x), (9.4) kde f^x) je realny polynom stupne n — 2. Kdyby a + i/ byl dvojnasobnym korenem realneho polynomu f(x), byl by a+i/ jednoduchym kořrenem realneho polynomu fi(x), 315^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit urceneho vžtahem (9.4). Tedy a — i// by byl podle vety 9.3 tež jeho korenem. Bylo by tedy mořžne psat fi(x) = [(x — a)2 + /2]ff(x), (9.5) kde f2(x) je realny polynom stupne n — 4. Tedy f (x) = [(x — a)2 + //2]2f2(x). T imto jsme dospřeli k tomuto žavřeru Je-li a + i//, // = 0, k-nésobnym kořenem reálného polynomu f (x), je též a — i// k-násobným kořenem polynomu f (x). Požnamka. Jestliže polynom nen í realny, tvržen í vety nemus í byt splneno. Např. polynom f (x) = x2 + x(1 — i) — i ma c íslo i ža svůj koren, avsak —i nen í jeho korenem. Z toho, co jsme o kořenech polynomu uvedli, lze dospět k tomuto tvrzen ř. 316»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht f (x) je reálný polynom. Necht a, //,..., y jsou všechny jeho navžýjem mžní reální kořeny a to a k-násobný, // l-nísobný, ... , y m-násobný. Necht a ± ib,..., c ± id jsou všechny jeho navžajem mžní dvojice nerealných komplexně sdružených kořenu. Necht a+ib je p-nasobný,..., c+id je q-nísobný koěen. Potom platí I pro kaěde komplexní císlo x. I Polynom f (x) zapsaný ve tvaru (9.6) nažývíme rozkladem realneho polynomu I v reílnem oboru._ Hledaní korenU polynomU. Vyslovili jsme sice vetu o existenci korenu polynomu, avsak neuvedli jsme zatím nic o zpusobu jejich hledaní. Tato problematika je znacne rozsahla a její vyklad v plnem rozsahu je nad ramec tohoto textu. Uvedeme zde alespoň nekolik uvodních poznamek k teto problematice. Hledaní korenu polynomu 1. a 2. stupne by Vam melo byt vsem dobňe znamo. Nekterym z Vas moňzna nen í znam pňr ípad, kdy koňreny kvadraticke rovnice jsou komplexn í. Proto si uvedeme i pňípad hledaní korenu polynomu 1. a 2. stupne. Zde není uvedeno podrobne odvozovaní. Vyklad tykající se polynomu 2. stupne je nutno chapat jen jako pripomenutí poznatku z matematiky v dňívejsím studiu. Existují i metody na hledaní f(x) (9.6) 317^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit korenu polynomu 3. a 4. stupne, kterymi lže koreny urcit ž jejich koeficientu konecnym poctem aritmetických operací a odmocnovaní. Je dokažíno, že neexistuje výpočtový poštup, kterým bý býlo moZno v obecnem případe urCit kořený kaZdeho polynomu štupne vetšího neZ 4 z jeho koeficientu provedením koneCneho poCtu aritmetických operací a odmocňovaní. Vypoctove postupy, kterymi by bylo možne urcit koreny každeho polynomu 3. a 4. stupne ž jeho koeficientu konecnym poctem aritmetickych operací a odmocnovaní, dívají nekdy vysledky v neprehlednem tvaru, takže se dava casto prednost numerickym postupum, kterymi lže približne hledat koreny polynomu i stupňu vetsích než 2. Hledaní koňenu polynomu P (x) = anxn + an-1xn-1 + • • • + a1x + a0, (9.7) kde an, an-1,..., a1, a0 g c, an = 0, vede na ňesení algebraicke rovnice anxn + an-1xn-1 + • • • + a1x + a0 = 0. (9.8) Céslo a je kořenem polynomu (9.7), když a jenom když je řešeném rovnice (9.8). Korený polýnomu 1. štupne. Pro n = 1 dostavame ž (9.7) polynom P1(x) = a1x + a0, a1 = 0. (9.9) 318»F;'rst »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Příslušnou álgebráickou rovnici a1x + a0 = 0, a1 = 0, (9.10) nazývame lineární rovnicí. Ma jediný koren, oznacíme jej xi, kde xi = — ^. (9.1 I Polynom P1(x) = a1x + a0, a1 = 0, má jediný kořen x1 = ——. Grafem reálného I polynomu 1. stupně (9.9) je přímka y = a1x + a0, (9.12) která protíná osu x v bodě x1 . (Viz obr. 9.18.) y = ai x + ao x Obrazek 9.1: Graf linearnf funkce (9.12). 319^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 9.4. Např. polynom Pi(x) = 2x + 3 (9.13) má prave jeden kořen x1, ktery je kořenem rovnice 2x + 3 = 0. Tímto korenem je císlo x1 = —3. (Nakreslete si jeho graf.) Kořeny polynomů 2. stůpne. Pro n = 2 dostívíme z (9.7) polynom P2(x) = a2x2 + a1x + ao, a2 = 0. (9.14) Kořeny tohoto polynomů jsoů řešením kvadraticke rovnice a2x2 + a1x + a0 = 0, a2 = 0. (9.15) 320^Fiřst •Prev •Next •Last •Go Back •Fůll Screen •Close •Qůit Kořeny xx,x2 (ve stručném zápisu xx?2) polynomu (9.14), tedy řešení kvadratické rovnice (9.15), lze určit podle vztahu (9.16) (Vztah (9.16) platí i pro polynomy, které nejsou realné.) Céslo D = af — 4a2a0 (9.17) se nazýva diskriminant kvadratické rovnice (9.15). Diskuze - realný polynom 2. stupne. Necht P2(x) = a2x2 + afx + a0, (9.18) kde a2,af,a0 g r, a2 = 0, je realny polynom 2. stupne. Mohou nastat tyto prípady. a) D = 0. V tomto pr ípade dostavame ž (9.16) xi_2 = — £-. (9.19) b) D > 0. V tomto prípade je \[D realne císlo a ž (9.16) dostavame 321 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit c) D < 0. V tomto prípade dostavame z (9.16) x! = _a1_1^D, x2 = —ai + ^. (9.21) Príklad 9.5. Určete kořeny polynomu a) f (x) = 2x2 — 3x, b) g(x) = x2 — 5x + 6, c) h(x) = x2 + x + 1. Řešení. a) Kořeny polynomu f (x) jsou kořeny rovnice 2x2 — 3x = 0. (9.22) Ponevadz rovnice nema absolutní člen, není nutno k jejímu resení pouzít vztah (9.16). Rovnici (9.22) přepíšeme na tvar x(2x — 3) = 0. (9.23) Ponevadz součin dvou vyrazu je roven 0, kdyz alespon jeden z nich je roven 0, z (9.23) vyplyva x = 0 nebo 2x — 3 = 0. Odtud 3 xi =0, x2 = 2. 322•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit b) Kořeny polynomu g(x) dostaneme řešením kvadratické rovnice x2 - 5x + 6 = 0. Diskriminant D teto rovnice poCítame podle (9.17). Dostavíme D = 52 — 4• 1 • 6, tedy D = 1. Podle (9.20) dostávame 5 — /1 5 + y/1 xi = —2—' x2 = —2—' tedy xl = 2, x2 = 3. c) Kořeny polynomu h(x) dostaneme řešením kvadraticke rovnice x2 + x + 1 = 0. Diskriminant teto rovnice pocítíme podle (9.17). Dostáváme D = 1 — 4 • 1 • I, takže D = —3. Podle (9.21) dostíavíame —1 — íV3 —1 + íV3 i 2 2 2 323»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Gřafem reálného polynomu 2. stupne (9.14) y = a2x2 + a1x + a0, a2 = 0, je parabola, kteřa je přo a2 > 0 otevřena ve smeřu kladne osý y a přo a2 < 0 je otevřena ve smeřu zépořne osý y. Označíme D = a1 — 4a2a0. Je-li D > 0, pařabola přotína osu x ve dvou mznýčh bodech x1,x2 daních vztahem (9.20). Je-li D = 0, pařabola se dotíýkaí osý x v bodee x1 = x2 daníem vztahem (9.19). Je-li D < 0, pařabola nepřotíní osu x. Viz obř. 9.2—9.7. Obrázek 9.2: a2 > 0, D > 0 x x x Obrázek 9.3: Obrázek 9.4: a2 > 0, D = 0 a2 > 0, D < 0 324^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x x x Obrázek 9.5: Obrázek 9.6: Obrázek 9.7: (i2 < 0, D > 0 (i2 < 0, D = 0 (i2 < 0, D < 0 Shrňme si nyn í dosaZene poznatky o hledan í korenu polynomu. Koreny polynomu 1. a 2. stupne se hledaj í vyse uvedenym zpusobem. Koreny polynomu 3. a 4. stupne lze sice vZdy urcit z jejich koeficientu proveden ím konecneho poctu racionaln ích operac í a odmocňovaní, avsak vysledky byvaj í vyjadňeny casto v komplikovanem tvaru. Pro obecne polynomy stupnu vets ích neZ 4 je dokazano, Ze nelze nalezt vypoctove postupy, jimiZ by bylo moZno v obecnem prípade z jejich koeficientu nalezt koreny konecnym poctem aritmetickych operac í a odmocňovan í . To ovsem neznamena, Ze koreny nekterych specialn ích polynomu nelze urcit konecnym poctem zm ínenych operac í. Je tomu napň. pro polynomy Pn(x) = xn — a0. K urcen í korenu polynomu stupňu vetsích neZ 2 se pouZ ívaj í numerické metody. Uceleny vyklad techto metod presahuje ramec tohoto studijního textu. V dalsím pojednaní se k teto problematice vratíme. V prípade potreby je moZno urcit koreny na pocítaci, pokud jsou na nem zabudovane vhodne programy. 325•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Racionální lomená funkce Racionalní lomenou funkcí nazýváme kaZdou funkci tvaru F (x) = fy • g(x) *0, kde f (x) a g (x) jsou polynomy. Poněvadě polynom je definovan v kaZdám komplexním ěísle, je racionální lomena funkce definovana ve věech komplexních císlech v nichZ je g(x) = 0, tj. ve věech císlech x, kterí nejsou koěeny funkce g(x). Příklad 9.6. Funkce 2x + 3 F (x) = -5- x3 + x je racionální lomená funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psát ve tvaru g(x) = x(x + i)(x - i). Je tedy F (x) definovaná ve vsech komplexních císlech rázných od 0, -i, i. Nechť citatel i jmenovatel racionalní lomene funkce F (x) mají spolecneho korenoveho cinitel x - a. Zkratíme-li tímto spolecným kořenovým cinitelem, dostaneme novou racionalní lomenou funkce, oznacme ji G(x). Funkce F (x), G(x) mají stejne hodnoty pro x = a. MuZe se ale stat, Ze funkce G(x) je v a definovana, zat ímco F (x) nen í v císle a definovana. V dalším budeme predpokladat, ze citatel a jmenovatel racionalní lomene funkce nemají zadný stejný kořen. 326^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht; n je stůpeř polynomů citatele a m je stůpeř polynomů jmenovatele racionalní lomene fůnkce F (x). Jestlize je n < m, fůnkci F (x) nazyvame ryze lomenou, jestlize n > m, nazyvame fůnkci F (x) neryze lomenou. Necht; F (x) = f(x) (x) g(x) je neryze lomena fůnkce. Delením fůnkce f (x) fůnkcí g(x) dostaneme f (x) = P (x) • g(x) + Q(x), kde P (x), Q(x) jsoů polynomy. Polynom Q(x) je zbytek po delení, jeho stůpeř je mensí nez stůpeř polynomů g(x). Je tedy F (x) = P (x)+fy • Fůnkce je ryze lomena racionalní fůnkce. 9\x) Slovy: Neryže lomenou racionalní funkci lže napsat jako souěet polynomu a ryže lomení racionalní funkce. Príklad 9.7. Fůnkce , 3x4 — 2x3 + 1 R(x) =--i x2 + 1 327•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit je neryze lomená. V citáteli je polynom stupne 4, ve jmenováteli je polynom stupne 2. Delen ím dostáváme (3x4 -2x3 +1) : (x2 + 1) = 3x2 - 2x - 3 + ff+f ±3x4 ±3x2 X -2x3 -3x2 +1 =F2x3 ^2x -3x2+2x+1 2x+4 9.1.1. Kontrolní úlohy - polynom a racionální funkce 1. V kterých bodech je funkce f (x) = ft-2 spojitá? Zdůvodněte. [ve vsech bodech různých od ±2] 2. Urcete kořený polynomu á) x2 - 7x + 12 [3, 4] b) x2 + x + 1 [-2 ± ] 328»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit c) x3 + 1 3. Rožložte na korenove cinitele polynom x4 — x3 + 12x2 — 13x + 45 víte-li, že ma kořen 1 + 2i. [(x — 1 + 2i)(x — 1 — 2i)(x — 4. Dokažte, že polynom x4 — 5x3 + 6x2 — 9x + 27 ma dvojnasobny kořren 3. 5. Reste rovnici x5 — 7x4 + 9x3 — x2 + 7x — 9 = 0 víte-li, že ma ža koreny vsechny tretí odmocniny ž jedne. [1, — 1=2?v/3, 7±2f13] 6. Rožložte v realnem oboru polynom x4 + 1. [Navod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) — 2x2, x4 + 1 = (x2 + 1)2 — 2x2. Odtud (x2 + x\/2 + 1)(x2 — x^/2 + 1).] 7. Rožložte na soucet polynomu a ryže lomennou racionalní funkci: 329^'^ •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit -1+iy/35 )(x — —1—iy/35 )] x4 + 6x2 + x — 2 x4 - 2x3 [i + 2x3+6x2+x—2 ] [1 + x4-2x3 ] 8. Určete znamen í funkc í a) (x3 + 27)3(x — 5)2 b) c) (x2 — l)2 x + 3 (2x + 1)3(x2 3)3 x(x — 2) [—- I— -3 + -1 - + - -•-•—e 1 0 2 5 + + + + ] V3 2 J ] 1 9.1.2. Zavedení odmocnin Připomenme si pojem inveržn í funkce. Veta 9.4. (Inverzní funkce) Necht funkce f (x) je spojita a rostouce (klesajécé) na intervalu I = D(f). OznaCme její odvislý obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzn é f—1, jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f—1 je na svém definičním oboru J spojité a rostoucí (klesající). 330^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Důkaz: DUkaž provedeme pro funkce f rostoucí na inervalu I. Pro funkce klesající je dUkaž analogicky. Predpokladejme tedy, že f (x) je na intervalu I spojita a rostoucí. Dokažme, že funkce f—l(x) je rostoucí na intervalu J. Nechť xl,x2 g J, xl < x2. Kdyby bylo f—l(xl) > f—1 (x2), platilo by f (f—l(xi)) > f (f—l(x2))' (9.24) neboť f je rostoucí na I. Podle (10.19) dostáváme ž (9.24) xl > x2, což je spor s predpokladem, že xl < x2. Je tedy funkce f—l(x) rostoucí na intervalu J. Dokažme dale, že funkce f—l(x) je spojití na J. Necht a g J je libovolny bod, ktery není jeho pravym koncovym bodem. Nechť e > 0 je libovolne císlo. Potom f—l(a) g I a není to pravy koncovy bod intervalu I. Jestliže f—l(a) + e g I, ožnacme b libovolny bod ž J, pro nejž je b > a. Jestliže f—l(a) + e g I, položme b = f (f—l(a) + e) g J. Pak pro vsechna x g (a, b) je f—l(x) definovana. Zaroveř ž monotonie teto funkce plyne f—l(a) < f—l(x) 0. Je tedý an = |a|, n sudí, a G R. Např. y7(—2)2 = I— 2| =2. b) n ličhí. Potom yfx je definovana přo všechna x G R a platí je-li x < 0, potom y/x = — \/—x. Pravidla pro poc ítan í s odmocninami. Vžhledem k uvedene požnamce stací se omežit na odmocniny s nežapornymi argumenty. 334•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 9.5. (Odmocniný - pravidla) Necht x, y G R, x > 0, y > 0, m, n G N. Potom platí (9.25) \fx • = ^ x • y (9.26) = {/ , pokud y = 0. fy Vy (9.27) (9.28) //x = "a/x7" (9.29) Dúkaz: Dokážme jen vztah (9.25). Uvedomte si, že z existence y/x vyplýva existence a/x™. Položme = y, \/x™ = u (9.30) kde y au jsou takova reálna Čísla, že yn = x un = X™ (9.31) Ze vztahU (9.31) vyplýva yn™ = x™ = un. To znamena, že (y™)n = un. 335•First • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odtůd ym = u. Vzhledem k (9.30) dostavame dokazovany vztah Dokazte dalsí pravidla! Příklady na procviCení odmocnin a) //125 •//5 = V125 • 5 = = 52 = 25 .x >/125 /125 r- c) {/—81 = //—27 = —^27 = —3 d) \/3272= \V322^ = \/>/21°^2 = \A/2!T = 2^25 e) (//—8)2 = (—^š)2 = = 22 = 4 f) (/9)4 = (V32)4 = 34 = 81 h) vv—4 neexistůje v r 336^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit i) VŠ + ^/72 = V22 • 2 + V62 • 2 = 2^/2 + 6^/2 = 8/2. j) (y/x + x+1 v7^ x2 + 2x + 1 pro x > 0 k) x x 51 r _ _ x 2 / 6 /- 6 /- \ 2 \/X\fx — 1\ / vxVx2 — 1\ = VT3-2 x5 — 2\/x55 + 1 x2 x+ x2 1 \/x = x—2^fx+== = x—2^fx+— pro x > 0 x2 x nebo ( 1 A2 1 í \/x — —x 1 = x—2\fx 1 2 «n 1 — = x—2v x3— x x-2Vx+ 3/ x 6^ 1 r_ pro x > 0 x 337^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 9.3. Mocniny s racionálním exponentem V dřívějš ím pojednán í jsme si ukázali zaveden í celoc íselných mocnin reálných c ísel a zaveden í operac í jejich násoben í a umocnován í . Býlý uvedený jejich Vám dobre známe vlastnosti. Mocniný reálných c ísel nýn í rozs ír íme i pro racionáln í mocnitele a pozdeji i pro mocniný s reálným exponentem, a to tak, ze se zachovaj í základn í vlastnosti mocnin s celoc íselným mocnitelem. Vlastnosti odmocnin reálných c ísel uvedene ve vete 9.5 nás vedou k rozs íren í celoc íselných mocnin reálných c ísel na mocniný reálných c ísel s racionáln ím exponentem. Definice 9.2. Necht; p G z, q G n a necht; x je kladne reálne c íslo. Definujme xq vztahem P /- xq = v xp. p Pro x = 0, p, q G N polozme xq = 0. Pro x > 0 je pri teto definici splnen nezbýtný pozadavek platnosti vztahu kde r, s jsou odlisne zápisý tehoz racionáln ího c ísla. Necht; tedý r = ^, pro k G n, je odlisne výjádren í tehoz racionáln ího c ísla p. Potom podle (9.32) je xqk = V xpk. (9.32) 338»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Avšak 'víxPk = "{/(xp)k á podle (9.25) je ^(xp)k = ^Xp. Je tedy p pk xq = xqk pro k G N. (9.33) UkaZme si nyn í nasledujíc í vlastnosti takto zavedenych mocnin realnych c ísel s racionaln ím exponentem. Predevs ím si vsimneme, Ze pro q = 1 je xq = xp, tedy mocnina s celoc íselnym exponentem. KaZde pravidlo pro poc ítan í s mocninami s racionaln ím exponentem plat í tedy i pro celoc íselne mocniny. 1) Nechť x > 0, r = p, s = ^, kde p, u G Z, q, v G N. Potom plat í xr . xs = xr+s ^_ = xr—s x x — x , — x . Skuteňcnňe, postupnňe dostavame xr • xs = xq • xv = x^ • x = xpv • xqu Podle (9.26) je tedy _ PonevadZ pv,uq G Z, lze psat xr • xs = qyxpv+qu. 339^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Užitím (9.32) je tedy tj. Dospřeli jsme ke vžtahu r s pv + qu x • x = x qv . xr • xs = xqv + qv Vztah -S = xr—s se dokazuje obdobne. 2) Necht x > 0, r = p, s = ^, kde p, u g Z, q, v g N. Potom platí (xr )s = xrs. Skutečne. postupne dostavame (xr )s = (xq)u = Podle (9.25) dostavame odtud Podle (9.28) dostavame odtud (xr )s = y x/x^. 340^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit p takže užitím (9.32) pu p u (x ) = xvq = xq v = x . 3) Nechť r, s g Q, r < s. Nechť x > 1. Ukažme, že T S x < x . Nechť r = p, s = ^, kde p, u g Z, q, v g N. Potom t q/ 7ľ s v/ ľľ Podle (9.33) lže žapsat xT, xs ve tvaru Poněvadž r < s, tj. p < u, je P ^ u pv < qu. ponevadž x > 1, je xpv < xqu. Ponevadž qv-ta odmocnina je funkce rostoucí, je Podobne platí: Nechť r, s g Q,r xs. 341 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ObdrZene výsledky shrneme do nasleduj íc í vety. Veta 9.6. Mocniny s racionainím exponentem Necht r, s G q, x > 0. Potom platí = xr—s — x , xs (xr )s = xrs, Je-li x > 1 a r < s je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs. 9.4. Mocniny s reálným exponentem Zavedeme si nyn í mocniny kladnych realnych c ísel s realnym exponentem jako rožs íren í mocnin kladnych realnych c ísel s racionaln ím exponentem. Jeden ž možnych žpusobu tohoto rožs ířen í je uveden v nasleduj íc í definici. 342•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 9.7. (Zavedení xY, 7 g r) Necht x > 0. Ožnacme D = {xa : a g q, a < 7}. a) Necht x > 1. Poloěme xY = sup D. b) Necht 0 < x < 1. Poloěme xY = inf D. c) Necht x = 1. Položme = 1. d) Necht x = 0, 7 > 0. Položme 0Y = 0. e) 00 není definovano. Ukazme, ze takto zavedene císlo xY ma tůto vlastnost. Nechť x > 0, 7 g r. Oznacme H = (x^ : p g q, P > 7}. Potom platí a) Necht; x > 1. Potom platí xY = inf H. 343^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit b) Nechť 0 < x < 1. Potom plátí xY = sup H. Dokázme b). Zvolme libovolne e > 0 á k nemu urceme n g n ták, ze xY (x - 1) e n > Zvolme a,// ták, ze a < y < //, 0 < // - a < n. Potom plátí Tedý 1 < x^-a < x n = 1 + b. x^-" - 1 < b. Z (9.34) dostáváme x = (1 + b)n > 1 + nb. Odtud x1 b< n Ukázme nyní, ze - xa < e. - xa = xa(x^ a - 1) < xa • b < xax—1 < xYx—1 < e. nn (9.34) 344^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ponevadž - xY < - xa pro vsechna a, dostavame — xY < e. K libovolnemu e > 0 lže tedy naležt P tak, že - xY < e. Je tedy inf H = xY. Poznamka. Dulaž b) je analogicky. Pro mocniný realných císel s realným exponentem se definují aritmeticke operace a operace umocnovaní pomocí mocnin s racionalním exponentem. Tuto konstrukci zde nebudeme uvadet. Uvedeme si pouze vlastnosti mocnin realných císel s realným exponentem. Na mnozine mocnin realných císel lze zavest aritmeticke operace a jejich umocřovaní realnými císlý rozsirením odpovídajících operací zavedených pro racionalní císla. Pro týto mocniný platí tato pravidla. 345•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 9.8. Mocniny s reálným exponentem Necht r, s g R, x > 0. Potom platí — x , xs (xr )s = xrs, Je-li x > 1 a r < s, je xr < xs. Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs. 9.5. Exponenciální funkce a logaritmus Nechť a > 0, a = 1. Definic í 9.4.7 jsme zavedli ax pro kaZde x g R. Vztahem y = ax, x g R je tedy pro a > 0, a = 1 definovana funkce. Nazyvame ji exponenciální funkcí o základu a. Oborem jejich funkcn ích hodnot je interval (0, to). PoZadavek a > 0 je nutny, neboť ax je pro vsechna x g R definovana jen pro a > 0. Pro a = 1 je sice ax definovano pro vsechna x, ale v tomto pňípade je 1x = 1 pro 346^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit vsechna x G r, tuto funkci nerad íme meži exponencialn í funkce. Exponenciílní funkci o zakladu a = 10 nazývame dekadickou exponencialní funkcí. Z definice mocniný ax lehce výplýva její spojitost v kazdím bodě x. Pro a > 1 je funkce y = ax rostoucí, pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesající. Existuje proto k n í funkce inverzní. Oznacíme ji y = loga x. Je tedý loga x pro x G (0, to) to císlo y G (—to, to), pro něě ay = x. Príklad 9.8. log10 100 = 2, neboť 102 = 100, log10 0,01 = —2, nebol; 10—2 = 0,01. Ukažme si nektere vlastnosti funkce y = /ogax. Necht; a > 0, a = 1. Dale necht; xf ,x2 > 0, s G r. Potom plat í = l0ga x1 + loga x2, l0ga x1 — l0ga x2, (9.35) (9.36) (9.37) loga x1 = 5 loga xi. DokaZme např. (9.35). PoloZme loga x1 = y1, l0ga x2 = y2, loga(x1x2) = y. (9.38) Potom (9.39) 347^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odtud dostáváme Xíx2 = ayi • ay2 = ayi+y2 = ay. Tedy y = y1 + y2. Vzhledem k (9.38) dostáváme l0ga(xix2) = l0ga x1 + loga x2. Vztáhy (9.36), (9.37) se dokazují analogicky. UkáZme jeste jednu vlástnost. Necht a> 0, a = 1, x > 0. Potom x = aloga x. Skutečně. Položme loga x = y. (9.40) Je tedy x = ay. Dosad íme-li sem ža y (9.40), dostáváme x = aloga x. Shrňme dosažene výsledky. 348»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce y = ax, kde a je kladná reálná konstanta různá od jedné, je spojitá. Pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—00, 00) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—00, 00). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (0, 00). Nazýva se exponencialní funkcí se základem a. Specialním případem je funkce y = ax pro a = 10, tedý funkce y = 10x. Nazývá se dekadická exponenciáln í funkc í. K funkci ax existuje funkce inverzní, znacíme ji loga x (cteme logaritmus x při zaklade a). Je definovana na intervalu (0, 00). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, 00). Je v nem spojita. Na obr. 10.6 jsou grafý funkc í y = ax, y = loga x pro a > 1 v kartezskem souradnem sýstemu. Na obr. 10.7 jsou grafý funkc í y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1. 349^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 9.10: Graf funkce ax a loga x pro a > 1. 350^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 9.11: Graf funkce ax a loga x pro 0 < a < 1 351 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht a, b jsou kladná reálná císla mzna od jedná. Jsou-li xi, x2 G (0, 00), s G R potom platá loga(xi • x2) = loga xi +loga (9.41) xi loga — = loga xi — loga X2, (9.42) x2 loga xS = S ^ loga x. log6 x = loga x ^ log6 a. (9.43) Fúnkci y = logi0 x nazývame dekadickým logaritmem a vetsinoú ji zkracene zapisú-jeme jako y = log x. Eulerovo číslo. Velký význam ma exponencialní fúnkce se zakladem iracionalního císla, zvaneho Eúlerovo císlo. Znací se e. Toto císlo lze definovat jako e = sup A, kde A = j ^1 + ,n G N j . Oznacíme-li B = {(1 + )n, n G N}, platí inf B = e. Dale platí 1\n /I 1 + - 1. Jejím definičním oborem je I (—oo, o). Oborem jejích funkčních hodnot je interval (0, oo). Nazývá se přirozenou exponenciáln í funkc í. K funkci y = ex existuje funkce inverzní. Místo y = loge x se většinou píše y = lnx, x G (0, oo). Nazýví se přirozenou logaritmickou funkcí Obecná mocnina. Funkci y = xs, s G R, x G (0, o) definujeme vztáhem xs = (eln x)s = es ln x. Odtud je videt, Ze je to funkce spojitá na intervalu (0, oo). 9.6. Trigonometrické funkce Dr íve neZ zacneme s vlastn ím výkládem, zopakujme si nektere Vám dobre známe pojmy. 353« First «Prev «Next «Last «Go Back •Full Screen «Close • Quit 9.7. Uhel v obloukové míře. Úhly měříme jak ve stupn ích tak i v m íře obloukové. Nechť AVB je libovolný úhel. Oblouková míra úhlů. Sestrojme v řovine AVB jedotkovou kružnici (to jest kružnici o polomeřu 1 ) se středem v bode V, viž obř. 9.12. OžnaCme Ai (Bi) jej í pmseCík s přímkou VA (VB). Potom velikost í uhlu AVB v obloukove m íře řožum íme delku x křuhoveho oblouku A1B1 vyžnaCeneho na obřažku (9.12). Jedotkový uhel obloukove m ířy se nažýva řadian. OžnaCuje se rad. Je tedy 1 řad velikost uhlu, kteřý na jednotkove kružnici se středem ve vřcholu uhlu vyt ína oblouk jednotkove delky. Při ožnaCovan í velikosti uhlu se vetsinou vynechava ožnaCen í řad. Tedy např. přavy uhel v obloukove m íře je řoven |rad, žkřacene žapsano |. Obrázek 9.12: Uhel v obloukové míře. 354^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Stupňová velikost úhlů. Jednotkovy stupen uhlove m íry, zvany (uhlovy) stupen je roven praveho uhlu. Jako mens í jednotky stupnove velikosti uhlu se pouZ ívaj í minuty a vteňiny. Stupne, minuty a vteriny vyznacujeme jako ,,°, "". Plat í 1° = 60', 1' = 60". Je tedy 1° = 60' = 3600". Velikost uhlu AVB ve stupňove m ife nazyvame nezaporne c íslo, ktere vyjadňuje kolikrat je uhel AVB vets í (mensí) neZ jeden stupen (m íneno uhlovy stupen). Vztah mezi velikosti Uhlu v obloukove míře a velikosti úhlu v míře stupnove. Uhlu 360° ve stupnove m ire odpovída uhel 2n v obloukove m ife. Tedy mezi velikosti uhlu a ve stupňove m ire a velikosti x tehoZ uhlu v obloukove m ife plat í vztah a : x = 180 : n. (Viz obr. 9.13.) Odtud dostavame napr. x = a. Napr. pro uhel a = 90° dostavame x = n x = 2. V nasleduj íc í tabulce 9.1 je vyznacen vztah mezi velikosti uhlu v m ife stupnove a v m ire obloukove pro nňektere vyznaňcne uhly. Orientovaný uhel. Orientovanym uhlem v rovine rozumíme usporadanou dvojici poloprímek sespolecnym pocatkem. V teto dvojici prvn ípolopňímku nazyvame pocatecn ím ramenem a druhou koncovym ramenem orientovaneho uhlu. Spoleňcny poňcatek tňechto polopňr imek 355•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 9.13: Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míře. úhel ve stupních 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° úhel v radiánech 0 n 6 n 4 n 3 n 2 n 3 2 " 2n Tabulka 9.1: Vztah mezi velikostmi úhlů ve stupních a v radiánech. nazýváme vrcholem úhlu. Orientovaný úhel s počátečním ramenem V A a koncovým ramenem VB budeme označovat AVB. UvaZujme orientovaný úhel AVB. Jeho velikostí v obloukove míře rozumíme kaZde číslo tvaru (viz.(9.13)) a + 2kn (9.44) kde ke z a a určíme takto: 356»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) Jestliže V A = VB, je a = 0. b) Jestliže VA = VB je a velikost neorientovaneho uhlu, ktery vžnikne otocen ím pocatecn ího ramene VA do polohy koncoveho ramene VB v kladnem smyslu, to jest proti pohybu hodinovych rucicek. Je tedy 0 < a < 2n. Takto definovane císlo a se nažyva žakladn í velikost í orientovaneho uhlu. Soůčet a rozdíl orientovaných ůhlů. Nechť AVB, BVC jsou orientovane uhly. Kon-cove rameno prvn ího ž nich je pocatecn ím ramenem druheho ž nich. Jejich souctem se nažyva orientovany uhel AvC. Jestliže velikost prvn ího ž nich je a + 2kln a velikost druheho je // + 2k2n, kde kl, k2 G Z, potom jejich suctem je uhel a + // + 2kn, kde k = ki + fo. Jestližejuhel A?Cje souctem uhlu AVB a WC, pak uhel BfVC nažyvame rožd ílem uhlu AVC a AVB. Periodické fůnkce Dríve než si žavedeme goniometricke funkce, žopakujme si pojem periodicke funkce. Funkci f (x) nažyvame periodickou, jestliže ma tuto vlastnost: Existuje takové číslo oj, žvané perioda funkce f (x), že platí: Je-li funkce f (x) definované v Čísle x, je definovaná ve všech Číslech x + koo, k G Z a platí f (x + koo) = f (x), k G Z. (9.45) Nejmensícíslo o pro než platí (9.45) se nažyva žakladn í periodou. 357^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabývejme se nyn í trigonometrickými funkcemi, žvanými nekdy tež funkce goniomet-rickí. Omež íme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhlem souradnem systemu sestrojme kružnici o jednotkovem polomeru se stredem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychažej íc í ž pocatku, který svíra s kladnou osou uhel x. Tento polopaprsek protne kružnici v jednom bode. Jeho souřadnice ožnacme cos x, sin x (viž obr. 10.8). Tyto souradnice žavis í na x, takže cos x a sin x jsou funkce definovane pro kařžde realne x. Pomoc í funkc í sin x a cos x definujeme dals í trigonometricke funkce tg x, cotg x vžtahy sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro než je jmenovatel mžny od 0. Zaveden í funkc í tg x, cotg x je patrno teřž ž obr.10.8 358^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit cotg (—x) Obrázek 9.14: Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x a cotg x. Některé význačné vlastnosti funkcí sin x, cos x. Trigonometrické funkce jsou dostateCne známy ze strední skoly a proto zde jen zopakujeme jejich základní vlastnosti. Z definice a z konstrukce je videt, ze sinO = 0, sin | = 1, sin n = 0, sin ^ = —1, sin2n = 0, cosO = 1, cos | = 0, cos n = —1, cos 3 = 0, cos(—2n) = 1. Z definice je videt, ze obe funkce jsou periodicke s periodou 2n a ze sin(—x) = — sin x, cos(—x) = 359»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit cos x. Pro x G (1,7r) nabude sin x všech hodnot z intervalu (0,1) a cos x všech hodnot z intervalu (—1,0). Pro x G (n, ^) nabude sin x všech hodnot z intervalu (—1,0), cos x všech hodnot z intervalu (—1,0); koneCne pro x G (^, 2n) nabude sin x všech hodnot z intervalu (—1,0) a cos x všech hodnot z intervalu (0,1). Dále z obr. 10.8, je patrno, že funkce sin x, cos x jsou periodické s periodou 2n. Funkce sin x je rostouce v intervalech < —n/2 + k2n,n/2 + k2n >, k G n a klesajíce v intervalech n/2 + 2kn, 3n/2 + k2n, k G n. Funkce sin x je kladná pro uhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro uhly ve třetím a ve ctvrtem kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro uhly v prvním a ve ctvrtem kvadrantu a je zaporna pro uhly ve druhem a ve tretím kvadrantu. Na obr.9.15 je vykrešlen graf funkce sin x a na obr.9.16 je vykrešlen graf funkce cos x. y i i - "\. y = sin x 0 / \ / a 7 2 -i - - Obrázek 9.15: Graf funkce sinx. 360»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y i y = cos x _0_ \ / x -1 - Obrázek 9.16: Graf funkce cos x. Ze stredn í skoly jsou známy součtové vzorce: sin(xi ± x2) = sin xi • cos x2 ± sin x2 • cos xi, (9.46) cos(xi ± x2) = cos xi • cos x2 ť sin xi • sin x2. (9.47) Z těchto vzorců lze lehce odvodit řadu dals ích velice užitečn ích vztahů. Klademe-li v techto vzorc ích xi = x2 = x, dostaneme z (9.46) sin 2x = 2 • sin x • cos x, cos 2x = cos2 x — sin2 x. Dosad íme-li xi = x2 = x do vzorce pro kosinus rozd ílu do (9.47), dostáváme 361 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit sin2 x + cos2 x = 1. Tento vzorec se vzorcem pro cos2x dává: 2 1 + cos 2x . 2 1 — cos 2x cos x =-, sin x =-. 22 Ze vzorců pro sin(xi ± x2) á cos(xi ± x2) snádno dostaneme: sin x1 + sin x2 = 2 • sin---• cos---, 22 xi + x2 . xi — x2 sin xi — sin x2 = 2 • cos-• sin-, i 2 2 2 X\ + X2 X\ — X2 cos xi + cos x2 = 2 • cos —-— • cos —-—, 2 2 . x1 + x2 . x1 — x2 cos x1 — cos x2 = — 2 • sin-• sin-. Spojitost funkcí sin x a cos x. Veta 9.9. Funkce sin x je v čísle 0 spojitá. 362• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Důkaz: (Sleduj obr. 10.8.) Bud' x g (0, |). Z definice a konstrukce je patrno, ze zde plat í 0 < sin x < x. Zvolme 0 < e < | libovolne a polozme ô = e. V U+(0) je funkce sin x definována a plat í | sin x — 0| = | sin x| = sin x < x < e, takze funkce sin x je v 0 zprava spojitá. Ponevadz funkce sin x je lichá, lehce nahledneme, ze funkce sin x je v c ísle 0 take zleva spojitá a proto je v císle 0 spojitá. . Veta 9.10. Funkce cos x je v císle 0 spojita. Důkaz: Bud' e > 0. Zvolme c íslo ô = v/2e > 0. Pak v okol í U+(0) je funkce cos x definována a je v tomto okol í i -ni-, i^-9 x n (x \ 2 x2 ô2 cos x — 1 = 1 — cos x = 2 • sin — < 2 • — = — < — = e. 1 11 1 2 \2J 2 2 Je tedý funkce cos x v c ísle 0 zprava spojitá. Ponevadz cos(x) = cos(—x), je funkce cos x i zleva spojitá a proto je i spojitá v bode 0. . Veta 9.11. Funkce sin x je spojita ve všech bodech. D ů kaz: Necht; a je libovolne císlo. Dokazme, zeje v nem funkce sin x spojitá. Z definice spojitosti funkce výplývá, ze funkce sin x je spojitá v bode a kdýz a jenom kdýz funkce sin(a + h) je spojitá v bode h = 0. Podle (9.46) dostáváme sin(a + h) = sin a cos h + cos a sin h. (9.48) 363^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ponevadž funkce sin h, cos h jsou funkce spojite v bode h = 0, dostavame odtud, že prava strana v (9.48) je spojita v bode h = 0, takže funkce sin x je spojita v bode a. . Veta 9.12. Funkce cos x je spojitá ve všech bodech. Důkaz: Skutecne. Spojitost funkci cos x vyplyva že vžtahu cos x = sin( | — x) až vety o spojitosti složene funkce. . Fůnkce tg x, cotg x. Pomoc í funkc í sin x a cos x jsme definovali trigonometricke funkce tg x, cotg x vžtahy sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro ty uhly x, pro než je jmenovatel mžny od 0. Jejich žaveden í je patrno tež ž obr.10.8 Nektere význaCne vlastnosti fůnkcí tg x, cotg x. Funkce tg x je definovaná pro všechna x rUzná od lichých násobku |, funkce cotg x je definovaná pro x rUzná od násobku n. Funkce tg x á cotg x jsou kladné pro úhlý pro x v prvním á ve třetím kvádrántu v nemž jsou definovány á záporná pro uhlý ve druhem á ve tretím kvádrántu v nžmz jsou definovány. Týto funkce jsou zžejmž periodická s periodou n. Podobnym žpusobem jako u funkc í sin x a cos x lže ukažat, že funkce tg x stale roste v intervalu (—|, |) a nabude vsech realnych hodnot. Funkce tg x nen í definovana pro 364»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit liché násobky čísla n. Podobně funkce cotgx stále klesá v intervalu (0,7r) a nabývá zde všech reálných hodnot. Graf funkce tg x je na obr. 9.17. y = tg x Obrázek 9.17: Graf funkce tgx. Graf funkce cotgx je na obr.(9.18). 365•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y y = cotg x -n 0 ' x Obrazek 9.18: Graf funkce cotgx. Ukázali jsme, že funkce sin x, cos x jsou spojité na intervalu (—to, to). Funkce tg x, cotg x jsou tedy jako podíl spojitých funkcí funkce spojite v každem bode sveho definicního oboru. MuZeme tedy vyslovit tento zaver: Veta 9.13. Trigonometrické funkce jsou spojité ve vsech číslech, ve kterých jsou definovány. Důkaz: Důkaz vychází z věty o spojitosti podílu a z vět předcházejících. . 366»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 9.7.0.1. Funkce cyklometrické Zabývejme se predevs ím existenc í fúnkcí inverzn ích k fúnkc ím sin x, cos x, tg x, cotg x. Fúnkce sin x, cos x, tg x, cotg x. nejsoú proste, tedý k nim neexistuj í fúnkce inverzn í . Búdeme proto úvazovat týto fúnkce poúze na intervalech, na nichz jsoú proste. Funkce arcsinx Uvazújme fúnkci y = sinx, zúzenoú na interval < — n/2, n/2 > . Tato fúnkce je na tomto intervalú spojita a rostoúc í. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existúje tedý fúnkce k n í inverzn í, oznacme ji arcsin. Jej ím neodvislým oborem je interval < —1, 1 > a odvislým oborem je interval < —n/2,n/2.. Na svem definicn ím obor je spojita a rostoúc í. V kartezskem soúradnem sýstem je jej í graf sýmet-rický vzhledem k ose y = x s grafem fúnkce sinx, zúzene na interval < —n/2,n/2. >. Jej í graf je na obr.10.9 | arcsin x je ten áhel z intervalu (—|, |), jehoz sinus ma hodnotu x. 367^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 9.19: Graf funkce arcsinx. Funkce arccosx Uvažujme funkci y = cos x, zúženou na interval < 0, ir > . Tato funkce je na tomto intervalu spojitá a klesaj íc í. Oborem jejich hodnot je interval < —1,1 >. Existuje tedy funkce k n í inverzn í, oznaCme ji arccos. Jej ím neodvislým oborem je interval < —1, 1 > a odvislým oborem je interval < 0,i >. Na svem definicn ím oboru je spojita a klesaj íc í . V kartezskem souradnem system je jej í graf symetrický vzhledem k ose y = x s grafem funkce cosx, zuzene na interval < 0,i >. Jej í graf je na obr.10.10 | arccos x je ten úhel z intervalu (0,ir), jehož kosinus má hodnotu x. 368»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 9.7.0.2. Funkce arctg x Funkce tg x je v intervalu (—|, |) spojitá a rostoucí a nabývá zde vsech hodnot z intervalu (—00, to). Tedý k ní existuje funkce inverzní definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci oznacujeme arctgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—to, to) a je v nem rostouc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf v kartezskem souradnem sýstemu se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = tg x, x e (—2, 2) okolo přímký y = x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctg x je tento: 369»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit I arctg x je ten úhel z intervalu (—|, |), jehoz tangens ma hodnotu x. Graf funkce arctg x je na obr,10.11 2 ^ " y = arctg x 0 "x — 2 Obražek 9.21: Graf funkce arctg x. Funkce cotg x je v intervalu (0,n) spojita a klesaj íc í a nabyva v nem vsech hodnot ž intervalu (—to, to). Tedy k n í existuje funkce inveržn í definovana v intervalu (—to, to). Tuto funkci ožnacujeme arccotgx. Podle vety 10.6 je to funkce spojita v intervalu (—to, to) a je v nem klesaj íc í. Nabyva vsech hodnot ž intervalu (0,n). Jej í graf v kartežskem souradnem systemu se dostane preklopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x G (0,n) okolo prímky y = x (viž obr. 10.12). Geometricky vyžnam funkce arccotg x je tento: | arccotg x je ten uhel z interválu (0,n), jehož kotángens má hodnotu x. 370^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nazývaj í funkce cyklometrická. Dosavadn í výsledký o spojitosti lze shrnout takto: Veta 9.14. Funkce cyklometrická jsou spojitá na svám definičním oboru. y ^_____y = arccotg x 0 x Obrazek 9.22: Graf funkce arccotgx. Veta 9.15. Funkce cyklometrickí jsou spojití na svím definicním oboru. 371 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 10 Derivace reálne funkce reálne proměnné 10.1. Zavedení pojmu derivace funkce Zacneme s touto ulohou. Nechť y = f (x) je realna funkce realne promenne definovana na intervalu I. Necht; a je vnitrn ím bodem intervalu I. Upresneme si intuitivne chapaný pojem tecny ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)] (viz obr. 10.1) Nazor nas vede k teto definici. Zvolme bod x g I, x = a, a uvažujme přímku p jdouc í body T [a,f (a)], M [x, f (x)] (p je secnou grafu funkce f (x)). Jej í smernice, oznacme 372»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y * f T [a, f (a) x), / M /p x, f (x)] i í í 3 r x Obrázek 10.1: Tečna ke grafu funkce y = f (x) v bode T [a, f (a)]. ji k(x) (to jest tangens úhlu, ktery sv írá prímká p š kládnym smerem ošy x), je rovná k(x) = f (x) - f (a) . x — a Lze tedy pri pevne zvolenem a povaZovat k(x) za funkci promenne x. Tato funkce nen í v bode a definovana. 373^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Existuje-li t 7 i \ t f (x) — f (a) k = lim k(x) = lim —ͱ-J-, x^a x^a x — a pak prímku jdoucí bodem T [a, f (a)] se smernici k nazveme tečnou grafu funkce y = f (x) v bode T. Prímku na ni kolmou nazveme normalou krivky y = f (x) v bode T. (Podobne mluvíme o praví (leví) polotecne grafu funkce y = f (x).) V rade aplikací še šetkavame š touto ulohou. Nechť f (x) je dana funkce. Ma še urcit limita (rešp. limita zprava (zleva)) v bode a funkce F (x) definovane vztahem F (x) = f (X) " f (a). x — a Pro tyto limity, pokud exištují, zavadíme pojem derivace funkce f (x) v bode a našledující definicí. 374^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 10.1. (Definice derivace funkce) Necht; f (x) je funkce, a je reálné číslo. Jestliže existuje číslo, označme jej f'+(a) g r (f /-(a) g r) tak, že f* (a) = lim f (X) - f (a), (f'" (a) = lim f(x) f(a), ) (10.1) x^a+ x — a \ x^a- x — a y pak tuto limitu nazývame derivací zprava funkce f (x) v čísle a (derivací zleva funkce f (x) v císle a). Jestliže funkce f (x) má v bode a derivaci zprava f/+(a) a derivaci zleva f/— (a) a jestliže f/+(a) = f/— (a), nazývame tuto spolecnou hodnotu derivací funkce f (x) v bode a a znacíme ji f'(a). Je tedý f'(a) = lim f (x) " f (a). x^a x — a Dohoda o oznaCovaní. Jestlize uvazujeme funkci f (x) na intervalu I, jehoz levým (pravým) koncovým bodem je bod a, budeme nekdý pouzívat oznacení f'(a) místo f+(a) (f'— (a)). Poznámka 1. Vsimneme si, ze funkce F (x) = f (x) — f (a) x—a 375•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit výstúpúj ící v definici derivace fúnkce f (x) v (10.1) nen í definovana v bode a, neboť jmenovatel je v bode a roven 0. Poznámka 2. Poloz íme-li v (10.1) x = a + h, múzeme derivaci fúnkce f (x) v c ísle a definovat tez jako lim f (a + h) — f (a). (10.2) Na h se múzeme d ívat jako na prímstek neodvosle promenne x, to jest h je c íslo, o nez se zmen í x-ova soúřadnice, prejdeme-li z bodú a do bodú a + h. Přírústek neodvisle promenne se casto oznacúje tez jako Ax. Čitatel v (10.2) je pak přírústkem odvisle promenne y a oznacújeme jej obvýkle Ay, resp. Af. Tedý Ay je hodnota, o n íz se zmen í fúnkcn í hodnota pri prechodú z bodú a do bodú a + h. Tedý (10.2) lze zapsat jako lim --^ Ax^0 A x Poznámka 3. Pojem derivace funkce ma znacná uplatnění v ekonomických aplikacích. Výjdeme z príkladú, který nam pomúze pochopit problematikú výúzit í derivací v nekterých ekonomických aplikacích. Nechť s = s(ŕ) výjadrúje újetoú vzdelenost aúta za dobú ŕ. Necht; ŕi,ŕ2, kde ŕi < ŕ2, jsoú dva casove okamziký. Potom za dobú ŕ2 — ŕi aúto újede vzdalenost s(ŕ2) — s(ŕi). 376^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit C íslo s(t2) - S(tj t2 - tl vyjadřuje tedy průměrnou rychlost, kterou auto dosáhne v době od časového okamžiku tl do časoveho okamžiku t2, tj. ža dobu t2 — tl. Potom derivaci s'(t0) funkce s(t) v bode to, tj. lim S(t) — f (t0) t—>to t — to mužeme nažvat okamžitou rychlostí auta v časovem okamžiku t0. Jestliže proměnné x a y žnací nějaké ekonomické veličiny, vyjadřuje funkce y = f (x) jejich vzájemnou žévislost. Potom f (xx—^(a) vyjaděuje prUmerný a f '(a) okamžitý poměr žmeny těchto ekonomických veličin. V závislosti na ekonomické aplikaci dostává derivace f '(a) vhodný ekonomický nažev. Jestliěe y = f (x) ma v bodě a derivaci f'(a), potom pěímka jdoucí bodem T [a, f (a)] se směrnicí f'(a) je tecnou ke grafu y = f (x) v jejím bodě T. Pěímka k ní kolma, jdoucí bodem T, je její normalou v bode T. Derivace funkce f (x) = c, c g (—to, to) Necht f (x) = c, c g (—to, to). Potom podle definice 10.1 dostavame pro a g 377»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (—to, to) f'(a) = lim f(x) — f(a) = lim £Z£ = o. x^a x — a x — a Je tedy c' = O, kde c G R, x G (—to, to). Derivace funkce f (x) = xn UrCeme derivaci funkce f (x) = xn, n G N, v bode a G (—to, to). Podle definice je f (a) = lim f (x) — f (a) = lim xl—^. x — a x — a PonevadZ xn — an = (x — a)(xn—1 + axn—2 + • • • + an—2x + an—:) a limita funkce nezáleZí na hodnote funkce v bode, v nemZ limitu pocítáme, dostáváme odtud f'(a) = lim(xn—1 + axn—2 + • • • + an—2x + an—1). Vzhledem ke spojitosti polynomu v bode a je f'(a) rovna funkcní hodnote polynomu v zavorce v bode a, takZe f '(a) = nan—1. 378»First • Prev • Next • Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce f (x) = xn, n G n, ma v kazděm bodě x G (—00, 00) derivaci (xn)' = nxn—i. (10.3) Příklad 10.1. Výpoc ítejte derivaci fúnkce f (x) = x3 v jej ím bode x = 4. Řešení. Podle (10.3) dostavame v obecnem bode x G (—00, 00) (x3)' = 3x2. Tedý f'(4) = 3 • 42, tj. f'(4) = 48. Poznámka. M isto f'(4) múzeme psat (x3)X=4. Zaved'me si nýn í pojem derivace fúnkce f (x) výss ích radú. Derivace funkce vyšších řádů. Necht funkce f (x) má derivaci v každém bodě intervalu Ii C I = D/. Pěiěadíme-li ke kazděmu x G Ii hodnotu f '(x), je na Ii definována funkce f '(x). Ma-li funkce f '(x) derivaci v kazděm bodě x G I2 C Ii, potom tuto derivaci nazýváme druhou derivací funkce f (x) na I2 a znacíme ji f''(x) nebo f (2)(x). Analogicky definujeme f (n)(x) pro n = 3,4,.... Podobně definujeme derivace vyěěích zadu daně funkce zleva a zprava. 379»First »Prev »Next »Last Back •Full Screen •Close •Quit I Úmlůva. Řekneme-li, ze funkce f (x) má derivaci na intervalu I, bude to znamenat, ze má derivaci v kazdem vnitrním bode intervalu I a jestlize levý (pravý) koncový bod patrí do I, potom má v nem derivaci zprava (zleva). Podobne pro výssí derivace. Poznamka. Pro n-tou derivaci funkce f (x), n > 1, se pouzívá zápis f(n) (x), resp. f''(x) pro n = 2, f'''(x) pro n = 3, .... Cteme pak f s cárkou, f se dvema cárkami, f se tremi cárkami, atd. Pro n > 3 nebývá zvýkem pouzívat cárek pro oznacení derivace. Příklad 10.2. Funkce y = 3x4 má v intervalu (—00, 00) derivace y' = 12x3, y'' = 36x2, y''' = 72x, y(4) = 72, y(k) = 0 pro k > 5. Zabývejme se nýní otázkou, zda vsechný funkce mají v kazdem bode derivaci. Odpoved' je záporná, jak ukazuje následující příklad. Příklad 10.3. Zjisteme, zda funkce f (x) = |x| má v bode 0 derivaci. Řešení. Zrejme f (x) = x pro x > 0 a f (x) = —x pro x < 0. Podle definice derivace 380^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit dostáváme //+(0) = Hm 0+ |—| - |0| lim — = 1, x^0+ — f /-(0) = limm 0 — lim — -1. — — Poněvadž f'+(0) = /' (0), nemá funkce /(x) = \x\ v bodě 0 derivaci. O vžtahu meži spojitostí funkce f (x) v daněm bodě a a existencí derivace funkce f (x) v bode a platí tato veta. Veta 10.1. (Vztah spojitost - existence derivace) Necht funkce f (x) ma v bode a derivaci f (a). Potom f (x) je v bode a spojitá. Je-li funkce f (x) v bode a spojitá, nemusí mít v bode a derivaci. Důkaz: a) Nechť funkce f (x) má v bode a derivaci f '(a). Dokažme, že pak 381 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht; x = a. Podle věty 8.2 je lim f (x) = lim(/(x) - f (a)+ f (a)) = " f (x) - f (a) = lim oa —í-^(x - a) + f (a) = x-a f(x) - f(a) = lim-(x — a) + lim f (a) = = lim f (x) - f (a) • lim (x - a) + lim f (a) = x^a x — a x^a x^a = f' (a) • 0 + f (a) = = f(a) Má-li tedy funkce f (x) v bodě a derivaci, je v něm funkce f (x) spojitá. Příklad 10.3 ukazuje, že funkce mUže byt spojitá v danem bode i když v nem nemá derivaci. . Poznámka. Podobne platí: Jestliže funkce f (x) ma v bode a derivaci zprava (zleva), potom je funkce f (x) v bode a spojita zprava (zleva). Ukažme si pravidla pro vypocet derivací souctu, rozdílu, soucinu a podílu dvou funkcí. 382•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Věta 10.2. Necht f (x), g(x) mají v bodě a g r derivace f'(a), g'(a) a nech' c g r je libovolné číslo. Potom platí: [c • f (x)]X=a = C • f'(a)> [/(x) ± g(x)]X=a = f'(a) ± Je-// g(a) = 0, potom platí: f /(x) V /'(a) • g(a) - /(a) • g'(a) ,g(x) (10.4) (10.5) (10.6) (10.7) DUkaz: Dokazme jen vzorec (10.5) pro derivaci souctu. Platí (f (x) + g(x))X=a = iim(f (x)+ g(x)) — (f (a) + g(a)) x^a x — a = lim f (x) — f (a) + g(x) — g(a)~ x^a [ x — a x — a Poněvadž existují limity lim g(x) - g(a) (10.8) x^a x — a x^a x — a 383»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit dostávame z (10.8) podle vety 8.2 [f (x)+ g(x)]X=a = f'(a) + g'(a). . Poznámka. Analogická veta plat í pro derivaci zleva a pro derivaci zprava v danem bode. Příklad 10.4. Nechť funkce f (x), g(x) maj í v bode a derivace /'(a), 4. Příklad 10.7. Vypočítejme druhou derivaci funkce F (x) =-—. Řešení. Označme f (x) = x2 — 1, g(x) = x + 2. Poněvadž g(x) = 0 jen pro x = —2, je DF = (—to, to) — {—2}. Podle (10.7) je pro x e DF f'(x) = 2x, g'(x) = 1. Podle (10.7) dostavame F/(x) = f/(x) • g(x) — f (x) • g/(x) (x) = g2(x) , tj. = 2x • (x + 2) — (x2 — 1) • 1 F (x)= (x + 2)2 . 386^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Upravou F/(x) = X (x+ , x g DF. (10.10) Funkce F (x) ma prvn í derivaci urcenou vztahem (10.10) pro x g DF. Podobne vypoc ítame i F"(x). Prvn í derivaci (po zaveden í derivac í slozených funkc í lze výpocet realizovat jednoduseji) F'(x) prep íseme na tvar F'(x) = ^, 01 (x) kde f1(x) = x2 + 4x + 1, g1(x) = x2 + 4x + 4. Podle (10.7) dostavame F//(x) = f1 (x)gi(x) — /i(x)ff'i(x) Tedy F (x)= (x~+2ř . Po uprave dostavame F//(x) = J^, x g R — {—2}, 387^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tj. F''(x) = 6 (x + 2)3: x g R -{-2}. C ílem našich dalš ich úvah bude □ odvodit vetu o derivován i šložene funkce □ odvodit vetu o derivován i inveržn i funkce □ odvodit derivace elementarn ich funkc i. Derivace složené funkce Zacneme še složenou funkc i . Znovu ši připomeňme zaveden i pojmu „šložene funkce" a vetu o špojitošti šložene funkce. Nechť A je neodvišlý obor funkce u = ^(x), B = H jej i odvišlý obor. Necht dale funkce f (u) je definovana na množine B. Ke každemu cíšlu x g A přiřaďme cišlo F (x) = f [(—) = V(a), 0 pro (/?(—) = v(a). (10.13) Pro — = a, (/?(—) = v(a) lže užitím (10.13) psát — a — a (10.14) AvSak, jak žjistíme dosažením (—)) - f (y>(a)) — - a x^a — - a Užitím (10.14) dostáváme ž (10.15) s ohledem ná (10.13) F'(a) = lim[R(y>(—)) + f'(a)]V(—) - V(a) x^a — — a (10.15) Ponevádž lim R(v(—)) = R(v(a)) = R(a) = 0, lim x a x a ž (10.16) F '(a) = f W(a), y(x)-y(a) (10.16) V?'(a), dostáváme 390^First • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tj. F'(a) = f'(^(a)Ma). . Příklad 10.8. Výpoc ítejte derivaci funkce F (x) = (x2 + 1)7 v c ísle x. Řešení. Funkce F (x) je slozenou funkc í. Jej í vnejsí slozkou je funkce f (u) = u7 a vnitrn í slozkou je funkce u = v?(x), kde y(x) = x2 + 1. Podle vetý 10.4 dostáváme F'(x) = f'(u) • v'(x). Ponevadz f'(u) = 7u6 a v'(x) = 2x, dostáváme F'(x) = 7(x2 + 1)6 • 2x, takze po uprave dostáváme F'(x) = 14x(x2 + 1)6, x G (—00, oo). Je rada analogických vet k vete 10.4. Jde v nich o derivován í slozených funkc í v pr ípade, ze a, resp. a, jsou koncovými bodý intervalu, na nichz se výpoctý provádej í. Uved'me si bez dukazu následuj íc í vetu. Veta 10.5. Necht funkce u = v(x) má derivaci v císle a a necht funkce f (u) má derivaci zprava (zleva) v císle a = v (a). Necht existuje taková okolí UK(a), že v(UK(a)) = U+(a), pro nejaká p. Potom složená funkce F (x) = f (v(x)) má v bode a derivaci a platí F'(a) = f'+(a) • v'(a), to jest F'(a) = f'+(v(a)) • v'(a). (10.17) 391 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznamka. Búdeme-li se drzet úmlúvý, ze v koncových bodech intervalú p íseme m isto jednostranne derivace derivaci, múzeme vztah (10.17) nahradit vztahem (10.11), takze lze psat F'(a) = f'(p(a)) • p'(a). Derivace inverzní funkce. S pojmem inverzn í fúnkce jste se ji z setkali dríve pri stúdiú stredoskolske matematiký. Býl zopakovan i v textú „Matematika A". Ve strúcnosti si pojem inverzn í fúnkce jeste jednoú zopakújme. Nav íc si odvod'me soúvislost mezi derivac í fúnkce f (x) v bode x = a a fúnkce k n í inverzn í f—i (y) v bode a = f (a). Necht; fúnkce y = f (x) je definovana na mnozine A a je na n í prosta. To znamena, ze pro kazda dve c ísla xi,x2 g A, xi = x2, je f (xi) = f (x2). Oznacme B = f (A). Ke kazděmu y g B pěiěad me to císlo x g A, pro nějě je f (x) = y. T ím jsme zavedli pravidlo, jimz ke kazdemú y g B je přirazeno x g A. Je tak definovana nova fúnkce, oznařcme ji f—i, jej ímřz neodvislým oborem je mnořzina B a odvislým oborem je mnořzina A. Ponechame-li oznařcen í y pro promřennoú s oborem B a x pro promřennoú s oborem A, p ířseme x = f—i(y), y g B, x g A. V definici inverzní funkce je podstatná pěedpoklad, ěe f je na svám definičním oboru 392• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit prostá. Takovými funkcemi jsou napr. funkce ryze monotónn í na svém definičn í oboru. To nam umoZn í odvodit vzorce pro derivován í nékterých elementarn ích funkc í. Na obr. 10.2 je znazornen graf funkce y = f (x) rostouc í na intervalu A = D(f), tedy graf funkce proste. Graf funkce x = f-1(y) je totoZný s grafem funkce y = f (x), pokud bychom proti zvyklostem znazornili neodvislý obor na ose y a odvislý obor na ose x. y y = f(x), x = / 1(y) f (x) B / / 0 / x A x Obrázek 10.2: Graf funkcí y = f (x), x = f Z definice inverzn í funkce vyplývá □ je-li a g D(f), potom a = f-1(f (a)), □ je-li a g D(fpotom a = f (f"»). (10.18) (10.19) Oznac íme-li x neodvisle promennou jak pro funkci f, tak i pro funkci f 1, zap íseme 393»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit obe funkce takto y = f (x), x g A, y g B, y = f—1(x), x g B, y g A. (10.20) Ještlize jejich neodvišle obory vyznac íme na vodorovne oše, jšou grafy funkc í (10.20) šymetricke š ošou šymetrie y = x, viz. obr. 10.3. Graf inverzn í funkce f—:(x) jšme doštali překlopen ím grafu f (x) kolem přímky y = x. y = f (x) y = f 1(x) Obrázek 10.3: Graf funkcí y = f (x), y = f :(x). Poznámka. Je-li prosta funkce dana rovnic í y = f (10.21) doštaneme k n í funkci inverzn í tak, ze z rovnice (10.21) vypoc ítame x pomoc í y. Pojem inverzn í funkce vede k zaveden í novych funkc í. 394^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zopakujme ši našleduj ic i vetu o vžajemnem vžtahu meži špojitošti funkce f (x) a k n í inveržn i funkce f—:(x). Veta 10.6. Necht funkce f (x) je spojitá a rostoucí (klesající) na intervalu I = D(f). Označme její odvislý obor (je jím interval) J = f (I). K funkci f existuje funkce inverzní f—l, jejím neodvislým oborem je interval J a odvislým oborem je interval I. Funkce f—1 je na svem definičním oboru J spojita a rostoucí (klesající). Ukažme ši nýn i vžtah meži derivac i dane funkce a funkce k n í inveržn i. Plat i našleduj íc í vřeta. Veta 10.7. (Derivace inverzní funkce) Necht: f je funkce spojita a rýze monotonní na intervalu I. Necht oborem jejich funkcních hodnot je interval J = f (I). Necht a je takový vnitřní bod intervalu J, ze v císle a = f—1 (a) g I mí funkce f derivaci f '(a) = 0. Pak funkce f—1 ma v císle a derivaci a platí [f—1(a)]' = 7T0) •_ DUkaz: Definujme y — a 1 F (y) = f (y) — f (a)pro y gI-y = a F (a) = ŕčO)pro y = a. Vžhledem k rýž i monotonnošti funkce f na intervalu I, je f (y) — f (a) = 0. Funkci 395•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit F (y) lze pro y = a přepsat takto F (y) = 1 f(y)—f(a) y—a Ponevadž dle predpokladu ma funkce f v bode a derivaci, je lim f (y) - f (a) = f'(a). y^a y — a Ponevadž f'(a) = 0, je podle (10.7) lim F (y) = lim , , = , = F (a). y™a y^a f (y)—f (a) f'(a) y—a Je tedy funkce F (y) spojita v bode a. Funkce f—1 je podle vety 10.6 spojita na intervalu J, tedy i v c ísle a. Je tedy i funkce F (f—1(x)) spojita v bode a. Je tedy lim F (f—1(x)) = F (f—1(a)) = F (a) = . x^a f '(a) Užit ím tohoto vžtahu dostavame [f—1(a)l< = lim f—1(x) — f—1(a) = lim_f^_= f (a)l X™ x — a i™ f (f—1(x)) — f (f—1(a)) lim F (f—1(x)) 1 x^a 396^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit K vete 10.7 mužeme vyslovit rádu ánálogickych vet. Vyslovme tuto. Veta 10.8. (Derivace inverzní fůnkce) Necht f je funkce spojitá a ryze monotonní na intervalu I. Necht: oborem jejích funkčních hodnot je interval J = f (I). Necht: a je levy (pravá) koncová bod intervalu J a necht v císle a = f-1(a) má funkce f derivaci f /+(a) = 0 (f /_(a) = 0). Potom funkce f-1 ma v císle a derivaci zprava (zleva) a platí [/-1(a)r = t4) • T (a)r = FR > -1(a)]'-=m _ Důkaz: Dukáž je ánálogicky k dukážu vety 10.7. 10.2. Derivace elementárních funkcí Předloženy text vychaží ž predpokladu, že citatel je sežnamen s elementírními funkcemi v rožsahu uvedenem v ucebním textu „Matematika A". I když v nasledujícím textu se žavadí jejich strucne žavedení a uvadejí se nektere jejich vyžnacne vlastnosti, je nutno, abyste se s třemito funkcemi dobřre sežnamili. 397^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce y = tfx Uvazujme funkci y = xn, kde n je prirozene. Tato funkce je zrejme definovana na intervalu (—to, to). Pro n lichú je tato funkce na svem definicn ím oboru I = (—to, to) spojita a rostouc í. Oznacme J = (—to, to) obor hodnot teto funkce. Proto k n í existuje funkce inverzn í na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverzn í funkce rostouc í a spojita na J. Oznac íme ji -y/x. Funkce yfx pro n liche je licha. Pro n sude je sice funkce xn rovnez definovana na intervalu (—to, to), avsak nen í na nem prosta. Napr. (—2)n = 2n pro kazde sude n. Budeme proto uvazovat jej í zUženú na interval I = (0, to). Na nem je tato zuzena funkce y = xn rostouc í a spojita, tedy prosta. Obor hodnot teto zuzene funkce je interval J = (0, to). Proto k n í existuje funkce inverzn í, definovana na intervalu J. Podle vety 10.6 je tato inverzn í funkce rostouc í a spojita. Oznac íme ji ^/x. Na obr. 10.4 jsou narysovaný grafy funkc í y = x2 a y = \fx, x G (0, to) a na obr. 10.5 jsou narysovany grafy funkc í y = x3, y = y/x. 398^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznámka. Všimnete ši, ze funkce y/x je pro pro n sudedefinovana jen pro x g (0, to). Podle definice je pak ^/x pro kazde x g (0, to) rovno tomu c íšlu y g (0, to), pro nez je yn = x. Je-li tedy napr. a g R, je an g (0, to), takze a/O"- = |a|, pro n šude, a g R. Napr. y7(—2)2 = | — 2| = 2. Pro pocítan í s odmocninami platí pravidla, ktera jste meli odvozeny na gymnazi ích. 399^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jsou uvedeny i ve studijn ím textu „Matematika A". Je nutné, abyste si tato pravidla zopakovali. Derivace funkce yfx. Odvod'me si nyn í vzorec pro derivovan í funkce yfx. V obou uvaZovanych pr ípadech, totiZ jak pro n sude tak i pro n liche, jsme oznacili inverzn í funkci k funkci xn jako y = yfx. V kaZdem bode x = 0 sveho definicn ího oboru je funkce y = xn ruzna od nuly, takze v nem lze vypoc ítat jej í derivaci podle vety 10.7 takto. Polozme f (x) = yfx. Potom 1 1 1 1 (10.22) Dostáváme tedy: Funkce f (x) x ma pro x G D f, x = 0, derivaci a platí (10.23) Uved'me si nyn í príklad na derivaci složené funkce obsahuj íc ich funkci y/x. 400»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 10.9. VypoC ítejte derivaci funkce V = ^ (10.24) Řešení. Danou funkci můžeme považovat za složenou funkci. Vnitrn ř složkou je funkce x + 1 u = v?(x), kde ^(x) =-- (10.25) x1 a vnejS ř složkou je funkce V = f (u) = v/u- Funkce «n+i = 1 + Poněvadž podle (10.29) je x > n+i, dostávame ž (10.33) i n+1 + n+r) _ n+1 ex > 1 + n + 1 Ze vžtahU (10.32) a (10.34) vyplýva = 1 + n + 1 1 1 + 1 < ex < 1 + n + 1 1 n+1 < ex - 1 < n — 1 1 n1 Z (10.29) plynou nerovnosti 1 ,1 x n — 1 >--2, takže-- <--—, x n — 1 1 — 2x 1 1 x n + 1 < - + 1, takže-- >--. x n + 1 x + 1 (10.33) (10.34) (10.35) (10.36) (10.37) (10.38) 404»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen •Close •Quit 1 Z (10.36), (10.37), (10.38) dostavame 1 ex — 1 1 ——— < --1 < —-v. (10.39) 1 + x x 1 2x Ponevadz lim 7-— = 1, lim 7^ = 1, dostavame z (10.39) -x 1 lim-= 1. x^0 x b) Poč ítejme nyn í derivaci funkce ex. Pro libovolne x je podle definice (ex)/ = lim eX+h — eX. Vypoctem dostavame postupne _gx ex (eh_1) eh_1 (ex)/ = lim---= lim —-- = ex lim —-— = ex • 1 = ex. h^o h h^o h h^o h I Funkce ex je spojita a rostoucí na intervalu (—to, to) a nab'ýví vsech hodnot z in-| tervalu (0, to). V kazdem čísle ma derivaci a platí(ex)' = ex. Derivace funkce y = lnx 405•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Z vlastnost í exponencialn í funkce a ž definice inveržn í funkce vyplyva, že k funkci ex existuje funkce inveržn í definovana na intervalu (0, to). Tato inveržn í funkce je spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot ž intervalu (—to, to). Nažyva se přirozený logaritmus a budeme ji žnacit ln x. Jej í graf dostaneme ž grafu funkce ex překlopen ím kolem pr ímky y = x (viž obr. 10.6). Z vety 10.7 plyne, že ln x ma v každem c ísle sveho definicn ího oboru derivaci a plat í (ln xy = _L = jL = i 406^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 10.6: Graf funkce ex a ln x. 407^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jestliže polozíme y = ln x, x g (0, to) potom ey = x, y g (—to, to) (10.40) Tedy přirozený logaritmus čísla x g (0, to) je mocnitel, na nejz je nutno umocnit zaklad e, abychom dostali číslo x. Odtud dostavame x = eln x. Funkce ln x je spojití a rostoucí funkce na intervalu (0, to) a nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). V kazdem čísle sveho definicního oboru mí derivaci a platí (ln x)' = 1. x Jsou-li x, x1, x2 g (0, to), s g R, potom platí ln(x1 • x2) = ln x1 + ln x2 ln xs = s • ln x. Príklad 10.10. Vypoc ítejte derivaci funkce x+1 y = ex-1. Řešení. Jde o složenou funkci. Vnitřn í složkou je funkce u = v?(x), kde 0, a = 1. Pro a > 1 je funkce y = ax rostouc í na intervalu (—to, to) a pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesaj íc í na intervalu (—to, to). Lže ji vyjadrit ve tvaru a — e — e . 410^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odtud je videt, ze je to funkce spojita v intervalu (—to, to). Jej í derivaci urc íme jako derivaci slozene funkce. Dostavame (ax)' = (ex'lna)' = ex4na • ln a = ax • ln a. Funkce y = ax pro a > l,a = 1 nabyva vsech hodnot z intervalu (0, to). Existuje k n í funkce inverzn í, ktera se znac í loga x a nazyva logaritmus o zaklade a. Je to funkce spojita a ryze monotonn í v intervalu (0, to), ktera nabyva vsech hodnot z intervalu (—to, to). Jej í derivace je podle vety 10.7 rovna (loga x)' = wí = avd = dna, x e (0, to). Na obr. 10.7 je nacrtek grafu funkc í y = ax a funkce y = loga x pro 0 < a < 1. Pro a = e, tedy pro a > 1, je graf funkce y = ax a graf funkce y = loga x znazornen na obr. 10.6. Graf techto funkc í pro a = e jsme ji z dříve vysetrili. Pro logaritmy se zakladem a plat í pravidla analogicka k pravidlum uvedenym pro funkci y = ln x. Resme jeste jednu otazku. Necht; a, b jsou kladna realna c ísla mzna od nuly. V jakem vztahu jsou c ísla loga x, logb x? Abychom to ukazali, předpokladejme, ze a, b jsou kladna c ísla mzna od jedne. Necht; x je kladne c íslo. Oznacme y = loga x. Potom postupne dostavame: x = aV, logb x = logb aV = y ^ logb a = loga x ^ logb a. • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrazek 10.7: Graf obecne exponencialn fa logaritmicke funkce, 0 < a < 1. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Je tedy logbx = loga x • l0g6 a. Funkce y = ax, kde a je kladna reálna konstanta mzna od jedná, je spojitá a pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—00, to) a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—to, to). Oborem jejich hodnot je v obou pěipadech interval (0, to). V kazděm bodě x svěho definičního oboru ma funkce ax derivaci (ax)' = ax • ln a. Nazývá se exponencialní funkcí se zakladem a. Specialním pěípadem je pěirozena exponencialní funkce pro a = e a dekadicka exponencialní funkce pro a = 10. K funkci ax existuje funkce inverzní, znacíme ji loga x (cteme logaritmus x pěi zakladá a). Je definovana na intervalu (0, to). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, to). Je v něm spojita. V kazděm bodě x G (0, to) ma derivaci a platí (loga x)' = -í-. x • ln a 413^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jsou-li x, xi, x2 G (0, to), s G r potom platí l0ga(xi • x2) = l0ga x1 + loga x2 l°ga xS = S ^ l0ga x. Je-li b kladné reálné číslo různé od 1 platí logbx = loga x ^ log6 a. (10.45) (10.46) Příklad 10.12. Vypoc ítejte derivaci funkce y = 2V/X2 + l Řešení. Jde o sloZenou funkci. VnejS í sloZkou je funkce y = f (u), kde f (u) = 2u, u G (—to, to). Vnitrn í sloZkou je u = v?(x), kde y (x) = \Jx2 + 1. Nechť x = a G (—to, to). Funkce v(x) ma v bode a derivaci. PoloZme a = v(a). Funkce f ma v bode a derivaci. Plat í y'(a) = f'(a) • y/(a), to jest y'(a) = (2u)U=>'(x))3 •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Tedy y/ = 2Vo5+T • • (v/x2+t)X=a. (10.47) Vypoc ítejme nyn í (/(a). Funkce u = 0 a jakekoliv reaine s. Da se vyjadřit ve tvaru xs = (eln x)s = es'ln x. Odtud je videt, že je to funkce spojita pro každe x g (0, to). Jej í derivace je podle vety 10.7 (xs)' = (es'lnx)' = es'lnx • s • 1 = s • xs • 1 = sxs—1. rp rp Funkce xs je spojitá na intervalu (0, to) a má zde derivaci sxs—1, tedy (xs)' = sxs—1, x g (0, to), s g R. V žaveru teto casti jako aplikaci na predchažej íc í vety řešme nasleduj íc í příklad. Příklad 10.13. Vypoc ítejte derivaci funkce y = x2 • ln(x2 + 1). Řešení. Jde žde o soucin dvou funkc í. Druha ž nich je funkce složena. Ponevadž x2+1 > 0, je dana funkce definovana v intervalu (—to, to) a ma žde derivaci, kterou na žaklade predchož ích vet urč íme takto y' = 2x ln(x2 + 1) + x2^1—2x, x2 + 1 416»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit takže po úpravě dostáváme 2 x2 2 v' =2x [ln(x2 +1) + x^ Derivace funkce /(x)9(x) Necht F(x) = f (x)9(x), x g A. (10.48) Nechť f (x) > 0 pro x g A a nechť funkce f (x), g(x) maj í pro x g A derivace f'(x), g'(x). Funkci (10.48) lze přepsat do tvaru F (x) = eln f (x)9ix), (10.49) a po Uprave jako F (x) = e9(x)ln f(x). (10.50) Tuto funkci mUZeme derivovat jako sloZenou funkci. Dostavame F'(x) = e9(x)lnf(x)(g(x) lnf (x))'. Proveden ím vyznacene derivace obdrZ íme f 'W f (x) F'(x) = f (x)g(x) • (V(x)ln f (x) + g(x) fM) 417^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 10.14. Vypoc ítejte derivaci funkce y = xsinx, x G (0, to). ŘeSení. Funkci xsmx lže prepsat na tvar y _ esin x ln x y=e Derivac í dostaneme postupne y' = esinxlnx(sin x ln x)' y' = xsinx\ cos x ln x +—sin x ) , x G (0, to). x Derivace trigonometrický funkcí Zavedení funkcí sin x, cos x, tg x, cotg x Zabyvejme se nyn í trigonometrickymi funkcemi, žvanymi nekdy tež funkce goniometrická. Omež íme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravouhlem souradnem systemu s osami u, v sestrojme kružnici o jednotkovem polomeru se stredem v pocatku. Zvolme libovolne x a sestrojme polopaprsek vychažej íc í ž pocatku, ktery sv íra s kladnou osou u uhel x. Tento polopaprsek protne kružnici v jednom bode, ožnacme jej A. Jeho 418^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit souradnice oznacme cos x, sin x (viz obr. 10.8). Týto souradnice závis í na x, takze cos x a sin x jsou funkce definovane pro kazde reálne x. Pomoc í funkc í sin x a cos x definujeme dals í trigonometricke funkce sin x cos x tg x =-, cotg x =- cos x sin x pro tý uhlý x, pro nez je jmenovatel mzný od 0. Trigonometricke funkce jsou známý ze stredn í skolý a býlo o nich pojednáno i v ucebn ím textu „Matematika A". Nakreslete si jejich grafý! Zopakujte si podrobne jejich vlastnosti. Uved'me si týto jejich vlastnosti: Funkce sin x je kladna pro áhly v prvním a ve druhem kvadrantu a záporna pro uhly ve třetím a ve ctvrtem kvadrantu. Funkce cos x je kladna pro áhly v prvním a ve ctvrtem kvadrantu a je zaporná pro áhly ve druhem a ve tretím kvadrantu. Obe tyto funkce jsou periodická s periodou 2n. Funkce tg x je definována pro vsechna x mzná od lichych nasobku |, funkce cotg x je definovana pro x mzna od nasobku n. Funkce tg x a cotg x jsou kladne pro áhly pro x v prvním a ve tretím kvadrantu v nemz jsou definovány a zaporná: pro uhly ve druhem a ve třetím kvadrantu kvadrantu v němž jsou definovany. Tyto funkce jsou periodicke s periodou n. 419^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit cotg(— x) s^^\ Obrázek 10.8: Zaveden ífunkc í sinx, cosx, tgx a cotgx. 420^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odvození derivace funkce /(x) = sin x a) Dokažme napřed, že platí sin x lim-= 1. Pro x g (0, 2) je (viž obr. 10.8) 0 < sin x < x. Dale je obsah výseče OAB mensí nežli obsah trojúhelníku OBC, tj. 1 x < 1 tgx. Celkem tedý platí „ . sin x 0 < sin x < x < tg x =-. cos x Odtud přechodem k převráceným hodnotám dostáváme cos x 1 1 -— < - < -—. sin x x sin x Výnásobíme-li celou nerovnost kladným Číslem sin x, dostaneme sin x sin x cos x <-< 1, tj. — 1 <--< — cos x. rp rp Připočteme-li Číslo 1 ke vsem třem výrázUm, máme sin x 0 < 1--< 1 — cos x. x • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Bud' e > 0 a ô = \f2~e > 0. Pro x G (0,ô) je funkce sin(x)/x definována a plat í v nem sin x 1 x 1 sin x x sin x = 1--< 1 — cos x = x 2 • sin2 x < 2 2 x x2 č2 tákze Dále je Tedy sin x lim -= 1. x—0+ x lim sin x sin x lim -= 1. sin(—x) = lim -= x->0" x x->0+ —x x^0+ x sin x lim-= 1. x—0 x b) Dokazme, že (sin x)' = cos x pro x G (—00, 00). Necht a G (—0, 00). Potom plat í vsm x)x=a = sin x — sin a x + a x — a 1 lim-= lim 2 cos-sin-- x—a x — a x—a 2 2 x — a x + a x — a x — a = lim cos-sin-: - 2 ) (10.51) • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close »Qu it PoločZme f (y) = ^ pro y = 0, f (0) = 1. y Tato funkce f (y) je spojita v c ísle 0. PoloZme dale xa $(x) = . Zrejme funkce <í>(x) je v c ísle a spojita a nabýva Zde hodnoty 0, to jest <í>(a) = 0. Podle vety 8.5 je sloZena funkce F (x) = f [<ř(x)] v c ísle a spojita, tj. sin x—a lim "' X_2 = lim F (x) = F (a) = f [$(a)] = f (0) = 1. (10.52) x—a xx ^a r xx PoloZme nyn í f (y) = cos y, <í>(x) = (x + a)/2. SloZena funkce F (x) = f [<ř(x)] je v c ísle a spojita, takZe lim cos x + a = cos a. (10.53) Z (10.51), (10.52), (10.53) dostavame (sin x)X=a = cos a. 423•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Derivace funkce y = cos x Užit ím vety o derivován í složené funkce dostáváme ^cos = sin ^2 _ ^ = _ cos ^2 — = — sin x. Funkce f (x) = cos x má v každém bode x e (—to, to) derivaci a platí (cos x)' = sinx, x e (—to, to). Derivace funkcí tg x, cotg x Z pravidel o derivovan í pod ílu dvou funkc í dostavame pro x e (—to, to) — {(2k + 1)2}, k e Z N/ /sinx\' (sinx)'• cosx — sinx- (cosx)' (tg x)' = - = ^-1-2-"-" V cos x cos2 x cos x • cos x — sinx • (— sin x) cos2 x cos2 x 1 •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Podobne pro x G (-to, to) - {kn}, k G z 'cos x V 1 .sin x gx) =-- = —: 2 ■ sin x Derivace cyklometrických funkcí V predchažej íc ím vykladu jsme žjistili, že funkce sin x je v intervalu (-1, |) spojita a rostouc í a nabyva vsech hodnot ž intervalu (—1,1). Tedy k n í existuje funkce inveržn í definovana na intervalu (-1,1). Tuto funkci ožnacujeme arcsinx. Podle vety 10.6 je tato funkce spojita na intervalu (-1,1) a je na nem rostouc í. Nabyva vsech hodnot ž intervalu (-1, |). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = sinx, x G 2 425•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit okolo přímky y = x (viz obr. 10.9). Geometrický význam funkce arcsin je tento: |_„arcsin x je ten úhel z intervalu (—|, |), jehož sinus má hodnotu x."_ Funkce cos x je v intervalu (0,n) spojitá a klesaj íc í a nabývá vsech hodnot z intervalu (—1,1). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (—1,1). Tuto funkci oznacujeme arccos x. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—1,1) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (0,n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) — cos x, x G (0,n) okolo prímký y — x (viz obr. 10.10). Geometrický význam funkce arccos x je tento: | „arccos x je ten úhel z intervalu (0, n), jehož kosinus má hodnotu x." Funkce tg x je v intervalu (—|, |) spojita a rostouc í a nabýva zde vsech hodnot z intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inverzn í, je definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci oznacujeme arctgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—to, to) a je v nem rostouc í. Nabýva vsech hodnot z intervalu (—|, |). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) — tg x, x G (—|, |) okolo přímký y — x (viz obr. 10.11). Geometrický význam funkce arctgx je tento: | „arctg x je ten uhel z intervalu (—|, n), jehoz tangens má hodnotu x." 426»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y = arcsin x Obrazek 10.9: Graf funkce arcsinx. y = arccos x Obrazek 10.10: Graf funkce arccos x. 421^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y y = arctg x " 2 Obrazek 10.11: Graf funkce arctgx. y = arccotg x Obrazek 10.12: Graf funkce arccotgx. 0 x y 0 x 428^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce cotg x je na intervalu (0,n) spojita a klesající a nabýva na nem vsech hodnot ž intervalu (—to, to). Tedý k n í existuje funkce inveržn í definovana na intervalu (—to, to). Tuto funkci ožnacujeme arccotgx. Podle vetý 10.6 je to funkce spojita na intervalu (—to, to) a je na nem klesaj íc í. Nabýva vsech hodnot ž intervalu (0,n). Jej í graf se dostane překlopen ím grafu funkce f (x) = cotg x, x G (0,n) okolo pr ímký y = x (viž obr. 10.12). Geometrický výžnam funkce arccotg x je tento: I „arccotg x je ten uhel z intervalu (0,n), jehož kotangens má hodnotu x." Funkce arcsin x, arccos x, arctg x a arccotg x se nažývaj í funkce cyklometrické. Dosavadn í výsledký o spojitosti lže shrnout takto: I Funkce cyklometricke jsou spojite na svem neodvislem oboru. Derivace cyklometrických funkcí. Funkce sin x je spojita a rostouc í na intervalu (-1, |). Jej ím odvislým oborem je interval (-1,1). V každem bode a ž intervalu (—1,1) ma funkce arcsin x tuto vlastnost: císlo a = arcsin a je ž intervalu (-1, |), takže funkce sin x ma v nem derivaci cos a = 0. Podle vetý 10.7 ma funkce arcsin x v c ísle a derivaci a plat í : ( • V 1 1 1 cos a y/1 — sin2 a VT—^' neboť sin a = a. Vsimneme si take, že cos a je kladný, neboť a je ž intervalu (—|, |), takže odmocninu je nutno opatřit žnamenkem plus. V každem bode x ž intervalu (—1,1) 429^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tedy plat í (arcsin x) = , . Podobne odvod íme, ze v kazdem bode x intervalu (—1,1) plat í (arccos x) =--— =--=-- - =-- . (cos y)' sin y ^1 — cos2 y V1 — x2 V intervalu (—to, to) mame 1 2 1 1 (tg y)' 1 + tg2 y 1 + x2 1 • 2 1 1 (arccotg x) =--- = — sin y = —--x— = —-2• (cotg y)' 1 + cotg2 y 1+ x2 Obdrzene vysledky muzeme shrnout do nasleduj íc í vety. 430^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce cyklometrické mají derivace v každém vnitřním bodě svého neodvislého oboru a platí: (arcsin x)' = . , x G (—1,1) (arccos x)' =--, , x G (—1,1) (arctgx)' =--, x G (—to, to) 1 + x2 (arccotgx)' =---, x G (—to, to). 1 + x2 Uved'me si nyn í souhrnné derivace elementárn řch funkc í. 431 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Derivace elementárních funkcí (c)' = 0, c g R, pro x g (—to, to) (xn^) = nxn l, n g N, pro x g (_to, to) (\/xl = ——1—7, n g N, n sudé, pro x g (0, to) ' 1 x ) = ———r, n g N, n liché, pro x g (—to, 0) u (0, to) (ex)' = ex, pro x g (—to, to) (ax)' = ax lna, a > 0, a = 1, pro x g (—to, to) (ln x)' = —, pro x g (0, to) x (loga x)' = —7^—, a > 0, a = 1, pro x g (0, to) x ln a (xs)' = sxs—1, s g R, pro x g (0, to) (sinx)' = cos x, pro x g (—to, to) (cos x)' = — sinx, pro x g (—to, to) 432•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (tg x)' = —^-, cos2 x pro x G (—to, to) — J (2k + 1)21 , k G z (cotgx)' =--\—, pro x G (—to, to) — {/br}, k G z sin2 x (arcsin x)' = 2, pro x G (—1,1) 1x (arccos x)' = — 1 , pro x G (—1,1) 1x (arctgx)' = -—1—2, pro x G (—to, to) 1 + x2 (arccotgx)' = —--2, prox G (—to, to) 1 + x2 433^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 10.3. Shrnutí, úlohy Shrnutí kapitoly Byl zaveden pojem derivace funkce v bode a g r a poukazano na vyznam derivace (Definice 10.1). Byly odvozeny derivace elementarn ích funkc í. Jsou zde uvedeny vzorce pro vypocet derivace souctu, rozd ílu, soucinu a pod ílu dvou funkcí (Veta 10.2). Dale byla uvedena veta o derivaci slozene funkce (Veta 10.4). Byla odvozena veta o vypoctu derivace inverzn í funkce (Veta 10.7). Dale byl vysetren vztah mezi existenc í derivace funkce f (x) v danem bode a a spojitost í funkce v bode a. Úlohy 1. Napiste rovnici tecny ke krivce y = 3x2 — x + 1 v bode T[1, ?] lez íc ím na dane křivce. [5x — y — 2 = 0] 2. Napiste rovnici normaly ke křivce y = x++i v jej ím bode T[0, ?]. [x + y = 0] 3. Ve kterém bode křivky y = x3 — 3x2 + 1 sv Íra tecna s osou x uhel 45°? [x-ova souradnice bodu je 1 ± ^] 4. Ve kterych bodech ma krivka y = x3 — 27x vodorovnou tecnu? 434^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit [x-ove souradnice techto bodu jsou 3, —3] 5. Nechť f (y) = ^/y je vnejs í složkou a v(x) = X+i je vnitřn í složkou funkce F (x). Napiste F (x) explicitne. Urcete jej í definicn í obor. [F(x) = {/g!, DF = (-to, 1) u (1, to)] 6. Derivujte a) y = \/x2 + 1 b) y = x sin 2x c) y = sin2 ^fx d) y = 3x2+1 e) y = xx x G (-TO, TO)] [ 7 x2+1: [sin2x + 2x cos2x, x g (-to, to)] [^VťX6^, x g (0, to)] [2ln3 • x • 3x2+1, x g (-to, to)] [Navod: xx = exlnx; y' = xx(lnx + 1), x g (0, to)] 7. VypoC ítejte prvn í derivaci funkce a) y = log2 T+X b) y = x2(V1 + x2 + 3x) A q , _ cos 2x [2x(\/1 + x2 + 3x) + x2 (1-x2)ln2J x +3)] Vl+x2 [excos2x(cos 2x - 2x sin 2x)] 8. Vypoc ítejte derivace až do 3. radu funkce a) f (x) = x3 + 3x2 + 4x - 1 [/'(x) = 3x2 + 6x + 4, f "(x) = 6x + 6, f w(x) = 6, x g (-to, to)] b) f (x) = xex x 435•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit [/'(x) = ex(x + 1), /''(x) = ex(x + 2), /'''(x) = ex(x + 3), x G (—TO, to)] 436^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 11 Použití derivací 11.1. Funkce spojité na intervalu Připomeňme si, že „Jestliže funkce f (x) ma v bode a derivaci, je v nem spojitá". Začneme se žaveden ím pojmu lokáln ího extrému funkce f (x). 437»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 11.1. Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode xo lokální maximum (minimum), jestlize existuje takove ô > 0, ze funkce f (x) je definovana na intervalu (x0 — ô, x0 + ô) a plat í v nem pro vsechna x g (x0 — ô, x0 + ô) f (x) < f (x0), (f (x) > f (x0)) (11.1) I Definice 11.2. (Vlastní lokálni extrémy) Řekneme, ze funkce f (x) ma v bode x0 vlastnú lokalnú maximum (minimum), jestlize existuje takove ô > 0, ze funkce f (x) je definovana na intervalu (x0 — ô, x0 + ô) a plat í f (x) < f (x0) (f (x) > f (x0)) pro vsechna x g (x0 — ô, x0 + ô) pro nez je x — x0. Lokaln í maxima a lokaln í minima nazývame spolecným nazvem lokálni extrémy (tez relativn í). Podobne vlastn í lokaln í maxima a minima nazývame vlastními lokúlnúmi extrúmy. Na obr. 11.1 je význacena funkce f (x), ktera ma v bodech a, b lokaln í maximum a v bode c lokaln í minimum. 438^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y = f (x) x a c b Obrázek 11.1: Funkce s lokálním maximem v bodech a a b a lokálním minimem v bodě c. Zaveďme si nyní pojem absolutního extrému funkce f (x) na množině M C Dj. V této definici se porovnáva hodnota funkce f (x) v bodě xo s hodnotami funkce ve vsech ostatních bodech dane množiny. Místo pojmu absolutního extremu mUžeme mluvit o globálním extrému funkce na množine. Definice 11.1. Řekneme, že funkce f (x) má absolutn í maximum (minimum) na množine M v bodě x0 g M, jestliže funkce f (x) je definovaná na množině M a jestliže f (x) < f (x0) > f (#o)) pro každé x g M. 439»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Řekneme, že funkce f (x) má své vlastn íabsolutn í maximum (minimum) na množině M v bode xo g M, jestliže funkce f (x) je definována na množine M a jestliže f (x) < f (xo) (f (x) > f (xo)) pro každe x g M. Absolutní minimima a absolutná maxima nazývame společným nážvem absolutná extrámy. Absolutní vlastní maximum a absolutní vlastní minimum nažívame společným nážvem vlastní absolutní extrímy Poznámka. V nahoré uvedených pojméch sé m ísto vlastn í éxtrém použ íva též térm ín ostrý éxtrém. O éxisténci absolutn ího éxtrému funkcé f (x) na intérvalu výpovída nasléduj íc í véta. Vé vétsiné aplikac í nas žaj íma naléžén í absolutn ího éxtrému. Veta 11.2. (Weierstrassova) Necht funkce f (x) je spojití na intervalu (a, b). Potom existujá body x0, xi g (a, b) tak, že funkce f (x) nabýva sveho absolutního minima (maxima) na intervalu (a, b) v bode x0 (x1). Tento bod je bud'to krajním bodem intervalu (a, b), anebo bodem, v němž funkce nabýva svího lokalního extrímu. Na obr. 11.2 nabýva funkcé f (x) svého lokaln ího maxima v bodé c, lokaln ího minima v bodé d, absolutn ího maxima v bodé c a absolutn ího minima v bodé a. Funkcé na obr. 11.3 na (a,b) nabýva absolutn ího minimum v bodé b, avsak nemá 440^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y ■ _o f y = f x) a c d b x Obrázek 11.2: Absolutní extrémy na (a, 6). absolutní maximum na (a, b). Tato funkce f (x) je sice spojita na (a, b), avsak nen í spojita na (a, b). Vetu 11.2 nelže aplikovat, nejsou splnený jej í předpokladý. y 0 Obrazek 11.3: Porušení predpokladu véty 11.2. Zabývejme nýn í problemem urcen í bodu, v nichž funkce nabýva lokaln í extrém. K tomu budeme potřrebovat nřekolik vřet. •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 11.3. Necht f '(a) > 0 (f '(a) < 0). Pak existuje taková okolí císla a, že pro vžechna císla x < a z tohoto okolí platí f (x) < f (a) (f (x) > f (a)) a pro vsechna x > a z tohoto okolí platí f (x) > f (a) (f (x) < f (a)). Důkaz: Necht; f'(a) > 0. Pak existuje lim f (x) - f (a) = f '(a) > 0. x — a Existuje tedý takoveokol í c ísla a, zev nemzje uvedený pod íl definován a je stále kladný, tj. f (x) — f (a) > 0. xa Tedý v tomto okol í jsou c ísla f (x) — f (a), x — a stejných znamenek. Pro x < a je tedý f (x) < f (a), pro x > a je f (x) > f (a). Podobne se provede dukaz pro druhý případ f'(a) < 0. . Poznámka. Jak v íme, geometrický význam prvn í derivace je smernice tecný ke grafu funkce f (x) v bode a. Je-li tedý f'(a) > 0, sv írá tecna grafu f (x) v bode a uhel p, pro nejz je 0 < p < |. Viz obr. 11.4. Podobne, je-li f' (a) < 0, svírá tecna grafu funkce f (x) v bode a uhel p, pro nejz je 2 < p < n. Viz obr.11.5 • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y ■ / / I f (x) // a x Obrazek 11.4: Derivace - smernice teCny (f'(a) > 0). 11.2. Vety o funkcích spojitých na intervalu (a, b) Veta 11.4. (Řolleova) Necht funkce f (x) je spojití na intervalu (a, b) a necht ma v kazdem vnitrním bode tohoto intervalu derivaci. Bud' díle f (a) = f (b). Pak existuje takoví číslo c g (a, b), že f '(c) = 0. Důkaz: Je-li funkce f (x) v (a, b) konstantn í, tvržen í je spravne a ža c lže vž ít kterékoliv c íslo uvnitr (a, b). Nechť tedy f (x) nen í v (a, b) konstantn í. Pak tedy aspoř v jednom c ísle x g (a, b) plat í f (x) = f (a) = f (b). Dejme tomu, že f (x) > f (a). Podle vety Weierstrassovy nabude funkce f (x) v nekterem c ísle c, kde a < c < b, sve maximaln í hodnoty. Dokažme, že f'(c) = 0. Kdyby bylo totiž f'(c) > 0, pak by podle vety 11.3 existovalo jiste okol í c ísla c tak, že pro vsechna x > c ž tohoto okol í by platilo 443^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y' ■ f(x) v \ \ a x Obrázek 11.5: Derivace jako směrnice tecny (/'(a) < 0). f (x) > f (c), podobne, kdýbý f'(c) < 0, pak bý existovalo jiste okol í c ísla c tak, ze pro vsechna x < c z tohoto okol í bý platilo f (x) > f (c). To vsak nen í mozne, neboť f (c) je ze vsech funkcn ích hodnot maximaln í. Tedý opravdu f'(c) — 0. . Poznámka. Geometrický smýsl vetý je tento: graf funkce y — f (x) ma za daných predpokladu aspoň v jednom bode vodorovnou tecnu (viz obr. 11.6). Př íklad 11.1. Bud' f (x) — |x|, x G (—1,1). Tvrzen í vetý neplat í , v c ísle 0 je porusen predpoklad o existenci derivace. Viz obr. 11.7 Veta 11.5. (Obecná veta o přírůstku funkce) Necht funkce f (x), g (x) jsou spojité na intervalu (a, b) a necht mají v každém vnitřním bodě tohoto intervalu derivace. Pak • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 11.6: Tečna grafu /(x) v lokálním maximu. existuje takové číslo c g (a, b), ze [/(b) - /(a)] • g'(c) = [g(b) - g(a)] • /'(c). Důkaz: Zaved'me pomocnou funkci F (x) = [/(b) - / (a)] • g(x) - [g(b) - g(a)] • / (x). Z predpokladu o funkc ich / (x) a g(x) vychaz í, že funkce F (x) je na intervalu (a,b) spojitá a uvnitř ma derivaci. Dale F (a) = F (b). Podle vety 11.4 existuje c g (a, b) tak, řze F'(c) = [/(b) - /(a)] • g'(c) - [g(b) - g(a)] • /'(c) = 0. Odtud tvrzen i vety. . 445^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1 -1 i 1 x Obrázek 11.7: Graf funkce y = |x|, x G (-1,1). Poznámka. Rolleova veta 11.4 je žvalstn ím prípadem vety 11.5 pro g(x) = x a funkci f (x), pro n íž plat í f (a) = f (b). Veta 11.6. (Veta o přírůstku funkce) Necht funkce f (x) je spojitá na intervalu (a, b) a necht existuje f '(x) pro x g (a, b). Potom existuje alespoň jedno c g (a, b) tak, že f (b) - f (a) = f'(c) • (b - a). (11.2) Dukaz: Dukaz vychaz f bezprostredne z predchazej fc f vety pro = x. . 446^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznámka 1. Vztah (11.2) lze přepsat takto /W ~ /(«) = f ,(c)> b — a ' Levá strana tohoto vztahu vyjadřuje průměrný přírůstek funkce f (x) při přechodu z bodu a do bodu b. Vetu lze interpretovat takto. Existuje bod c g (a, b) tak, Ze teCna ke grafu funkce y = f (x) v bode [c, f (c)] je rovnobezna se spojnicí bodu [a, f (a)], [b, f (b)]. Veta je schematicky znazornena na obr. 11.8. a c b Obrázek 11.8: Interpretace vety 11.6. 447»F;'rst •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen •Close •Quit Jestliže známe konstantu M pro níž je \f'(x)\ < M pro x G (a, b), potom podle (11.2) platí \f (b) - f (a)\ f (x2)^• Funkce rostouc í a klesaj íc í se nazývaj í spoleCným nazvem funkce rýze monotonn í. Funkce f (x) se nazýva neklesaj íc í (nerostouc í) na intervalu I, jestlize ma tuto vlastnost: Jestlize x1?x2 g I, x1 < x2, potom f (x1) < f (x2) f (x1) > f (x2^. Funkce neklesaj íc í a nerostouc í se nazývaj í spolecným nazvem funkce monotonn í. Je tedý kazda funkce rýze monotonn í tez monotonn í. Opak nemus í platit. Urcit intervalý, na nichz je výsetřovana funkce monotonn í, nam casto porrmze tato veta. 449»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 11.7. (Monotónnost funkce na intervalu) Necht funkce f (x) je spojita na intervalu I a necht I0 je mnoňina vňech vnitřních bodu intervalu I. Necht funkce f (x) ma derivaci f '(x) na I0. Jestliže f (x) > 0 (f '(x) < 0) pro x g I0, potom f (x) je rostoucí (klesající) na I. Jestliže f'(x) > 0 (f'(x) < 0) pro x g I0, potom f (x) je neklesající (nerostoucí) na intervalu I. Ukažme nyn í, jak urät intervaly monotónnosti funkce f (x) definovane na intervalu I v případe, že funkce f (x) ma dale uvedene vlastnosti. Předpokladejme, že funkce f (x) je spojita na intervalu I. Ožnacme I0 množinu vsech vnitrn ích bodu intervalu I. Předpokladejme, že f'(x) je spojita na intervalu I0, a že ma na nem konecny pocet nulovych bodu. Tyto nulove body roždel í interval I na konecny pocet castecnych intervalu. Ve vsech vnitrn ích bodech každeho ž techto castecnych intervalu je f'(x) > 0 nebo f'(x) < 0. Takže v nem je funkce f (x) rostoucí nebo klesaj íc í. Při grafickem žnažornen í vyžnac íme interval I na c íselne ose a nulove body funkce f'(x). Tyto nulove body roždel í interval I na nekolik castecnych intervalu. Nad každym ž techto intervalu vyžnac íme „ + ", je-li v jeho vnitrn ích bodech f '(x) > 0, a „-", je-li v jeho vnitřn ích bodech f'(x) < 0. Pod interval, nad n ímž je symbol „ + " („ -") dame symbol „/"" („ \") a tak vyžnac íme, že funkce f (x) je na tomto 450»First • Prev • Next • Last • Go Back •Full Screen • Close • Quit častečnem intervalu rostouc í (klesaj íc í). Ilustrujme to na nasleduj íc ím příklade. Příklad 11.3. Naleznete intervaly monotónnosti funkce f (x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5. Řešení. Funkce f (x) je spojita a ma i spojitou derivaci f '(x), kde f '(x) = 6x2 - 30x + 36. Resen ím rovnice f'(x) = 0 dostavame xi = 2, x2 = 3. Vyžnacme c íselnou osu. Interval I je cela tato c íselna osa. Na n í vyžnacíme body x1 = 2, x2 = 3. Tyto body roždel í interval I na 3 castecne intervaly: (—to, 2), (2,3), (3, to). Znamen í f'(x) a monotonnost funkce f (x) jsou patrny ž obr. 11.9. /'(x) + - + -1-1- xi = 2 X2 = 3 /(x) S \ S Obrázek 11.9: Monotónnost funkce f (x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 5. Funkce f (x) je rostouc í na intervalu (—to, 2) a na intervalu (3, to) a je klesaj íc í na intervalu (2, 3). Zabyvejme se nyn í podrobnej problemem naležen í lokaln ich extrému. 451^Fiřšt •Prev •Next •Lašt •Go Back •Full Screen •Close •Quit Věta 11.8. Necht funkce f (x) má v bodě a lokálni extrém a necht existuje f '(a). Potom f '(a) = 0. Důkaz: Veta je bezprostředním důsledkem vety 11.3 a definice 11.2. . Z vety 11.8 vyplývá, ze funkce f (x) mUěe mít lokální extrám pouze v bodech, v nichZ nemá derivaci anebo v bodech, v nichZ má derivaci rovnu nule. Poznamenejme, Ze je-li f'(a) = 0, ma graf fůnkce f (x) v bode a teCnů rovnobeZnoů s osoů x. Na obr. 11.10 je znazornena fůnkce, ktera ma v bode xo lokainí minimům a ma v nem derivaci; na obr. 11.11 je znazornena fůnkce, ktera ma v bode x0 lokainí minimům, ale nema v nem derivaci. \ Á= f (x) ^\ y^y = f (x) x0 x x0 x Obrázek 11.10: f (x) má v x0 Obrázek 11.11: f (x) nemá v x0 derivaci. derivaci. Zjistili jsme v kterých bodech můZe mít daná funkce f (x) lokální extrémy. Dále si 452•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit uvedeme několik vět, kterými lze alespoň v některých případech rozhodnout, zda funkce /(x) ma v nich skuteCne lokální extrem. Veta 11.9. (Existence lokálního extrému) Necht /'(x0) = 0 a necht existuje ô > 0 tak, že pro x G (x0 — ô, x0) je f '(x) definována a platí/'(x) > 0 (/'(x) < 0) a pro x G (x0, x0 + ô) je /'(x) definované a platí /'(x) < 0 (/'(x) > 0). Potom funkce /(x) ma v hodě x0 lokální maximum (minimum). Jestliěe /'(x) > 0 (/'(x) < 0) pro x G (x0 — ô, x0) U (x0, x0 + ô), fukce /(x) nema v x0 lokální extrém. Znazorneme si grafický situaci uvedenou v teto vete. UkaZme nektere případy: a) /'(x0) = 0, /'(x) < 0 pro x G (x0 — ô,x0), /'(x) > 0 pro x G (x0,x0 + ô), kde / '(x) xo — ô f (x) xo xo + ô f (x) má v x0 lokálni minimum b) f'(xo) = 0, /'(x) > 0 pro x G (xo — 6,xo), f'(x) < 0 pro x G (xo,xo + 6), kde 453»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5 G r f'(x) + - xo — 6 xo xo + 6 f (x) / f (x) má v x0 lokální maximum c) f'(x0) = 0, f'(x) > 0 pro x G (xo — 5,xo), f'(x) > 0 pro x G (x0, x0 + 5), kde 5 G r f'(x) + + —e-1-^— xo — 6 xo xo + 6 f (x) / f (x) nemá v x0 lokální extrém d) f'(x0) = 0, f '(x) < 0 pro x G (x0 — 5, x0), f'(x) < 0 pro x G (x0,x0 + 5), kde 5Gr xo — 6 xo xo + 6 f(x) \ f (x) nemá v x0 lokální extrem Uved'me ještě dals ř větú, která úmožnúje úrCit v některých případech lokáln í extrémy fúnkce f (x). 454^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 11.10. (Existence lokálního extrému) Necht f (xo) = 0, f"(xo) > 0 (< 0). Potom funkce f (x) ma v bode x0 lokální minimum (maximum). DUkaz: Necht f''(x0) > 0. Potom existuje lim f'(x) — f'(xo) = /"(xo) > 0. Existuje tedy takove cislo ô > 0, ze pro x = x0, x g (x0 — ô, x0 + ô) je podíl f'(x) — f'(xo) = _fizl x x0 x x0 definovan a je kladný. Tedy f'(x) a x — x0 mají zde stejne znamenko. Je tedy f '(x) < 0 pro x g (x0 — ô, x0) a f '(x) > 0 pro x g (x0, x0 + ô). Podle vety 11.9 ma tedy funkce f (x) v bode x0 lokalní minimum. Podobne se dokaze zbyvaj ící cast vety. . Príklad 11.4. Urcete lokaln í extremy funkce f (x) = x2 — 5x + 6. ReSení. Funkce f (x) ma derivaci pro x g (—to, to). Podle poznamky uvedene vyse muze tedy nabyvat lokaln í extremy pouze v bodech, v nichz je f'(x) = 0. Dostavame f'(x) = 2x — 5. Resen ím rovnice 2x — 5 = 0 dostavame x0 = |. Tedy funkce f (x) muze nabyvat lokaln í extrem pouze v bode x0 = |. Dokazeme nyn í dvema zpusoby, ze zde dana funkce nabyva lokaln í minimum. 455• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a) Zrejme /'(x) < 0 pro x g (-to, 5) a /'(x) > 0 pro x g (§, to). Podle vety 11.9 ma funkce /(x) v bode xo lokaln i minimum. b) Ponevadž /''(x) = 2, je /''(§) = 2 > 0. Podle vety 11.10 ma funkce /(x) v bode 5 lokaln í minimum. Příklad 11.5. Naleznete lokaln i extrémy funkce /(x) = x4. Řešení. Podobnou uvahou jako v minulem príklade zjist ime, že funkce /(x) rrmže m it lokaln í extrem pouze v bode, v nemz je /'(x) = 0. Zřejme /'(x) = 4x3. Rovnice 4x3 = 0 ma jedine reSen i x = 0. Zřejme /'(x) < 0 pro x g (-to, 0) a /'(x) > 0 pro x g (0, to). Ma tedy funkce /(x) v bode x = 0 podle vety 11.9 lokaln í minimum. Ponevadz /''(0) = 0, nelze o existenci lokaln iho extrému v bode x = 0 rozhodnout podle vřety 11.10. Příklad 11.6. Naleznete lokaln i extrémy funkce /(x) = x3. Řešení. Funkce /(x) ma derivaci pro x g (-to, to). Muze tedy m it podle vyse uvedene poznamky lokaln i extrem pouze v bode x = 0, neboť jenom v nem je /'(x) = 0. Ponevadz /'(x) = 3x2 > 0 pro x g (-to, 0) u (0, to) nema /(x) podle vety 11.9 v bode x = 0 lokaln i extrem. Dana funkce tedy nema lokaln i extrémy. Ponevadz /''(0) = 0, nelze podle vety 11.10 rozhoudnout, zda v bode 0 ma funkce /(x) = x3 lokaln i extrem. Na príklade 11.5 jsme videli, ze veta 11.10 nam nekdy neumoznuje urcit, zda funkce /(x) ma v bode x0, v nemz je /'(x0) = 0, lokaln í extrem, nebo nema. Uved'me si 456^ First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit následuj íc í vetu, která je obecnejS í než veta 11.10. Veta 11.11. (Existence lokálního extrému) Necht f'(xo) = f"(xo) = ••• = f(n)(xo) = 0 a necht f(n+1)(xo) = 0. Je-li n + 1 sude, ma funkce f (x) v bodě x0 lokální extrem. Jestliže f (n+1)(x0) > 0 (f (n+1)(x0) < 0), potom funkce f (x) má v bodě x0 lokální minimum (maximum). Je-li n + 1 lichá, nemá funkce f (x) v bodě a lokální extrám. Príklad 11.7. Naležnete lokáln í extremý funkce f (x) = x4. Řešení. Dostavame f'(x) = 4x3, f''(x) = 12x2, f'''(x) = 24x, f (4)(x) = 24. Zrejme f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0, f (4)(0) = 24 > 0. Ma tedý funkce f (x) = x4 v bode x = 0 lokaln í minimum podle vetý 11.11. Príklad 11.8. Naležnete lokaln í extremý funkce f (x) = x3. Řešení. Dostavame f'(x) = 3x2, f'' (x) = 6x, f'''(x) = 6. Zrejme f'(0) = f'' (0) = 0, f'''(0) = 6 > 0. Podle vetý 11.11 nema funkce f (x) = x3 v bode x = 0 lokaln í extrem. 457^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 11.4. Absolutní extrémy V definici11.1.1 býlo zavedeno absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce /(x) na mnozine M. Absolutn í maximum a absolutn í minimum funkce /(x) na mnozine M nazývame spolecným nazvem absolutn í extremý. Absolutn í extremý funkce nemus í ovsem na dane mnozine existovat. Tak např. funkce /(x) = tg x v intervalu (—|, |) nenabýva ani nejvets í ani nejmens í hodnotý, nebol; funkce /(x) je spojita na uzavrenem intervalu, pak je existence absolutn ích extrému zarucena vetou Weierstrassovou. Pro nalezen í absolutn ích extrému je dulezita tato veta: Veta 11.12. (Existence absolutního extremu) Bud /(x) funkce definovana na intervalu J. Necht ma v čísle a g J absolutní extrém. Pak a je koncovým bodem intervalu J nebo v něm mí funkce /(x) relativní extríem. DUkaz: Nen í-li a koncovým bodem intervalu J, da se zvolit interval J' takový, ze J' je cast í J a bod a je vnitřn ím bodem v J'. Pak v J' je /(x) definovana a plat í /(x) < /(a) (/(x) > /(a)) na intervalu J'. Potom funkce /(x) ma v c ísle a relativn í maximum (minimum). . > ohraničena. Víme, že jestliže = oo 458^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Pži hledaní absolutních extrímu funkce spojití na užavžením intervalu < a, b > postupujeme takto: Necht funkce f (x) je spojití na užavžením intervalu < a, b >. Podle Weierstrassový vžtý mí funkce f (x) na intervalu a, b > absolutní extrím. Tento absolutní extrím nabýví funkce f (x) bud'to v bode, v nímž nabýví lokaln í extrím, nebo v bodech a, b. Výhledame proto lokalníextrímý a porovníním hodnot výžetěovaní funkce v tžchto bodech a v bodech a, b urcíme absolutní extrímý. Na absolutn i éxtrémý funkcé védé rada aplikacn ich uloh. Uvéd'mé príklad. Příklad 11.9. Obdéln íkový kus pléchu ma rožmérý 60 x 28 cm. V rož ích sé odrížnou ctvércé a žbýték sé ohné tak, žé vžnikné otévréna krabicé. Jak vélika mus í být strana odr ížutých ctvércu, abý objém krabicé býl maximaln i? ReSení. Jé-li x strana odrížnutých ctvércu (viž obr. 11.12), jé objém krabicé f (x) = (60 - 2x)(28 - 2x)x = 4x(30 - x)(14 - x). Plat í, žé x G (0,14) a f (0) = f (14) = 0, pro x G (0,14) jé f (x) > O. Absolutn í maximum splýné tédý s maximém rélativn ím. Dostavamé f (x) = 4(3x2 - 88x + 420), f''(x) = 8(3x - 44). Uložé výhovuj íc í korén rovnicé f'(x) = 0 jé x = 6. Ponévadž f"(6) < 0, ma funkcé f (x) v bodé x = 6 lokaln í maximum. Plat í f (6) = 4608. Objém krabicé jé maximaln í, odrížnou-li sé ctvércé o strané 6 cm. Objém krabicé pak jé 4,608 dm3. 459^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x / r go cm x x r / 1 60 x r ^ Obrázek 11.12: Tvar plechu na krabici. 11.5. Konvexita a konkávnost funkce Nechť funkce f (x) má v bode a derivaci /'(a). Potom graf funkce f (x) má v bode [a, f (a)] tecnu y — f (a) = f'(a) • (x — a). Oznacme $(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a), x g D f. odchylku funkce y = f (x) a funkce y = f (a) + f'(a) • (x — a), jej ÍZ graf je tecna ke grafu funkce f (x) v bode a. (viz obr. 11.13) 460»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 0 a — ôa a + ô xx Obražek 11.13: Zaveden í funkce $(x). Definice 11.3. (Inflexní bod) Řekneme, že funkce f (x) prob íha v bode a nad tečnou (pod tečnou), existuje-li takove ô > 0, že na intervalu (a — č, a + ô) je definovana funkce $(x) = f (x) — f (a) — f'(a)(x — a) (11.3) a $(x) > 0 ($(x) < 0), pro x g (a — ô, a) u (a, a + ô). (Viž obr. 11.13.) Řekneme, že bod a je inflexním bodem funkce f (x), (viž obr. 11.14) jestliže existuje ô > 0 tak, že <í>(x) je definovana na intervalu (a — ô, a + ô) a plat í <í>(x) > 0 ($(x) < 0) pro x g (a — ô, a) a $(x) < 0 ($(x) > 0) pro x g (a, a + ô). (Graf funkce přechaž í v bode dotyku ž jedne strany tecny na druhou.) 461 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y = f (x) —i-1-i— a — ô a a + ô Obražek 11.14: K definici inflexn ího bodu. Veta 11.13. Necht f''(a) > 0 (f''(a) < 0). Potom funkce f (x) probíha v bodě a nad teěcnou (pod teěcnou). DUkaz: Nechť f''(a) > 0. Pak podle definice derivace existuje takove okol í Us (a), že pro x g Us (a) — {a} je f'(x) - f'(a) x—a definovano a je f { (a) > 0. Tedý v Us(a) je definovana derivace f'(x). Necht x je libovolný bod ž intervalu Us (a) — {a}. Potom funkce f (x) je v intervalu o koncových 462•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit bodech a, x spojita a uvnitr ma derivaci. Totež plat í pro funkci <í>(x). Podle vety o pr írustku funkce plat í pro funkci danou vžtahem (11.3) $(x) = $(x) - $(a) = $'(c)(x - a), (11.4) kde c lež í meži a, x. Úpravou (11.4) dostavame $(x) = (f'(c) - f'(a)) (x - a) = f (c) - a(a) (x - a)(c - a). ca Ponevadž c lež í meži a, x, je (x - a)(c - a) > 0. Je tedy žnamen í $(x) v U(a) - {a} stejne jako je žnamen í f (c)—{(a a tedy stejne i jako je f ''(a). Je tedy $(x) > 0 pro x g U (a) - {a}. Podobne se dokaže veta v ostatn ích prípadech. . Z teto vety bežprostredne vyplyva tato veta: Veta 11.14. Necht a je inflexním bodem funkce f (x). Existuje-li f''(a), potom f''(a) = 0. Funkce f (x) muže mít inflexníbod použe v bodech, v nichň ma první derivaci, ale nemá druhou derivaci nebo v tňch bodech, v nichň tato druha derivace existuje a je rovna 0. Ukažme si nyn í vetu, ktera nam umožn í alespoř v nekterych prípadech žjistit inflexn í body dana funkce. 463^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Věta 11.15. (Existence inflexního bodu) Necht f" (a) = 0 a necht existuje ô > 0 tak, že pro x G (a — ô, a) je f "(x) > 0 (f" (x) < 0) a pro x G (a, a + ô) je f" (x) < 0 (f" (x) > 0). Potom funkce f (x) má v bode a inflexní bod. Znázorněme si graficky situaci uvedenou ve větě 11.15. f" : + f" : a — ô a a + ô a je inflexní bod funce f (x) f "(a) = 0 + a — ô a + ô a je inflexní bod funce f (x) Příklad 11.10. UrCete inflexní body funkce f (x) = x3 - 3x2 + 5x + 4. Řešení. Pro x G (—oo, to) dostáváme a f(x) = 3x2 - 6x + 5, f"(x) = 6x - 6. 464»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Určeme nulové body funkce f"(x). Z rovnice f"{x) = 0, to jest z rovnice 6x — 6 = 0 dostáváme x = 1. Funkce f (x) má prvn í a druhou derivaci pro x g (—to, to). f" : - + -1- 1 1 je inflexní bod funce f (x) Má tedy funkce f (x) v bode x = 1 podle vety 11.15 inflexn í bod. DalS í vetou, kterou lze v nekterych případech urcit inflexn í body, je následuj íc í veta. Veta 11.16. (Existence inflexního bodu) Necht funkce f (x) splňuje v bodě x = a tyto vztahy f//(a) = • • • = f (n)(a) = 0, f (n+1)(a) = 0. Je-li n + 1 liché, potom funkce f (x) ma v bode a inflexní bod. Příklad 11.11. Naleznete inflexn í body funkce f (x) = x3 — 3x2 + 5x + 4. (Viz príklad 11.10.) ReSení. Dostáváme f'(x) = 3x2 — 6x + 5, f "(x) = 6x — 6, fw(x) = 6 PonevadZ f"(1) = 0, fw(1) = 0 má funkce f (x) v bode x = 1 inflexn í bod. Zaved'me si pojem ryze konvexn í (ryze konkávn í) funkce na intervalu. 465•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 11.4. (Ryze konvexní a ryze konkávni funkce) Řekneme, že funkce f (x) je ryze konvexní (ryze konkávni) na intervalu I, jestliže ma tuto vlastnost: Jestliže xi, x2, x3 g I, xi < x2 < x3 a jestliže p je přímka jdoucí body A[x1, f (xi)], C[x3,f (x3)], potom bod B[x2,f (x2)] leží pod (nad) přímkou p. Na obr. 11.15 je žnažornena funkce ryže konvexní na intervalu I a na obr. 11.16 je žnažornena funkce ryže konkavní na intervalu I. Obrázek 11.15: Funkce ryze kon- Obrázek 11.16: Funkce ryze vexn í ná intervalu I. konkávn í ná intervalu I. 466»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Podobným způsobem zavádíme pojem konvexnosti a pojem konkávnosti funkce na intervalu. nice 11.5. (Konvexní a konkávni funkce) vlastnost: JestliZe x\, x2, x3 G I, x\ < x2 < x3 a jestliZe p je přímka jdoucí bodý A[x\, f (#i)], C[x3,f (x3)], potom bod B[x2,f (x2)] leZ í pod (nad) přímkou p nebo na n í. Na obr. 11.17 je znazornena funkce konvexn í na intervalů I a na obr. 11.18 je znazornena funkce konkavn í na intervalu I. Řeknem e, že funkce f (x) je na intervalu I konvexní (konkávni), jestliže má tuto Obrázek 11.17: Funkce konvexn í na intervalu I. Obrázek 11.18: Funkce konkavn í na intervalu I. 467»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznámka 1. Necht; /(x) je funkce definovaná na intervalu I. Necht; x\, X2, x3 G I, x\ < x2 < x3. Potom přímka p, jdoucí body A[xi5f(xi)j, C[x3,f (x3)], má rovnici o, , . f (x3) - f (x1) ( , p : y = f (xi) +--(x - xi). x3 — x1 Bod B[x2,f (x2)] leží pod přímkou p, jestliže f(x3) - f(xi) f (x2) < f (xi) +--(x2 — xi). Xz — X\ Úpravou postupne dostáváme f (x2)(x3 — xi) < f (xi)(x3 — x2) + f ^3)^2 — xi) f (x2)(x3 — x2 + x2 — xi) < /(xi)(x3 — x2) + f (x3)(x2 — xi) f(x2) — f(xi) (x3 — x2) < f(x3) — f(x2) (x2 — xi). Tedy bod B[x2, f (x2)] leží pod přímkou p, jestliže platí f (x2) — f (xi) < f (x3) — f (x2) x2 — xi x3 — x2 Podobne se ukaže, že bod B[x2,f (x2)] leží pod přímkou p nebo na ni, jestliže platí (11.5) f (x2) — f (x1^ f (x3) — f (x2) (11.6) X2 — X\ Xz — X2 468»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Analogický se odvod í, ze bod B[x2, /(x2)] lez í nad přímkou p, jestlize plat í f (x2) - f (xQ > f (xa) - f (x2) XX2 XX i XX3 *X2 (11.7) Podobne, bod B[x2,/(x2)] lez í nad přímkou p nebo na ni, jestlize plat í f (x2) - f (x1^ f (x3) - f (x2) x2 — x1 ~~ x3 — x2 (11.8) O vztahu mezi konvexnost í (konkavnost í) funkce /(x) a znamen ím druhe derivace /''(x) funkce /(x) výpov ídaj í nasleduj íc í vetý. Veta 11.17. (Vztah konvexnosti a druhe derivace funkce) Necht: /(x) je funkce spojita na intervalu I. Ožnaěme I0 množinu vsech vnitěních bodu intervalu I. Necht funkce /(x) ma druhou derivaci /''(x) na intervalu I0. Potom platí: Funkce /(x) je konvexní (konkívní) na intervalu I, kdýž a jenom kdýž /''(x) > 0 (/''(x) < 0) pro x G /p._ Dukaz: Dukaz rozdel íme do dvou cast í. a) Necht; /(x) je spojita na intervalu / a necht; existuje /''(x) pro x G I0. Necht; /(x) je konvexn í na /. Dokazme, ze potom je /''(x) > 0 pro x G I0. Dukaz provedeme 469^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit sporem. Predpokladejme, že existuje bod x2 g 10, tak, že f''(x2) < 0. Existuje tedý ô > 0 tak, že pro x g (x2 — ô, x2 + ô), x = x2, existuje f X (x2) a plat í f'(x) — f'(x2) < 0. (11.9) x — x2 Zvolme x1 g (x2 — ô, x2), x3 g (x2,x2 + ô). Ponevadž dle předpokladu je funkce f (x) konvexn í na I, plat í (11.6) i pro takto žvolene bodý x1,x2,x3. Aplikujeme-li vetu o prírustku funkce na (11.6), dostavame, že existuje c g (x2 — ô, x2) a d g (x2, x2 + ô) tak, že f'(c) < f'(d). (11.10) Avsak ž (11.9) výplýva, že f'(c) > f'(x2) > f'(d). (11.11) Ponřevadřž (11.10), (11.11) nemohou souřcasnře platit, dospřeli jsme ke sporu. Je tedý f''(x) > 0 pro x g I. b) Nechť f (x) je spojita na I a necht f''(x) > 0 pro x g 10. Dokažme, že potom je f (x) konvexní na I. Ponevadž f''(x) > 0 pro x g 10, je f'(x) neklesaj íc í na 10. Predpokladejme, že f (x) nen í konvexn í na I. Existuj í tedý bodý x1,x2,x3 g I tak, že neplat í (11.6), tedý řže je f (x2) — f (x1) > f (x3) — f (x2), x1 f(d). (11.13) Ponevadz c,d G I0, c < d a f (x) je neklesaj íc í na io, nemuze (11.13) platit. Je tedý f (x) konvexn í na I. Podobne se dokaze veta pro funkce konkavn í. . Poznámka. K vete 11.17 lze vyslovit analogickou vetu pro funkce rýze konvexn í a pro funkce rýze konkavn í . Uved'me si jeste dals í vetu, ktera je zobecnen ím tvrzen í ve vete 11.17. Veta 11.18. (Ryze konvexní funkce na intervalu) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. Označme I0 množinu jeho vnitřních bodu. Necht f"(x) > 0 pro x G I0, přičemž f"(x) = 0 jen v konečném počtu bodU z I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryze konvexní. DUkaz: Princip dukazu ukazme v nasleduj íc ím případe. Nechť f (x) je funkce spojita na intervalu I = (a,b). Nechť c G (a,b), f"(c) = 0 a nechť f"(x) > 0 pro x G (a, c) U (c, b). Za techto predpokladu je f '(x) spojita na (a,b). Jsou-li x1,x2 G (a, c), x1 < x2, je 471 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit podle vety o přírůstku funkce f(x) — f(xi) = f(í), kde í g (xltx2). x2 — x\ Je tedy f '(x2)—f'(x\) > 0. Je tedy f'(x\) < f'(x2) pro x\,x2 G (a, c), x\ < x2. Funkce f'(x) je tedy rostoucí na (a,c). Podobne se dokáže, že f '(x) je rostoucí na intervalu (c,b). Tedy f'(x) je rostoucí na intervalu (a,b). Předpokládejme, že funkce f (x) není ryže konvexní na (a,b). Pak existují takova císla x\,x2,x3 G (a,b), x\ < x2 < x3, že pro ne neplatí (11.5), to jest, že platí f (x2) — f (xl) > f (x3) — f (x2) (U U) Aplikujeme-li na každou stranu (11.14) vetu o prírustku funkce, dostavame f'(í) > f'(n), kde í G (xux2), n G (x2,x3). (11.15) Neležli jsme tedy í,n G (a, b), í < n, pro než platí (11.15). To vsak nemuže platit, neboť f '(x) je rostoucí na (a, b). Je tedy f (x) ryže konvexní na (a, b). . Věta 11.19. (Ryze konkavní funkce na intervalu) Necht f (x) je funkce spojitá na intervalu I. OžnaCme I0 množinu jeho vnitřních bodU. Necht f''(x) < 0 pro x G I0, přičemž f''(x) = 0 jen v konecnám poctu bodu ž I0. Potom funkce f (x) je na intervalu I ryže konkavní. 472^^ •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Důkaz: Důkaž je analogický důkažu vety 11.18. I Pri hledan í intervalu konvexitý a konkavnosti a inflexn ích bodu lze casto pouz ít nasleduj íc í postup. I Necht; funkce /(x) je na intervalu / spojita. Necht; /0 je mnozina jeho vnitřn ích bodu. Na císelne ose význac íme interval /. Nad c íselnou osu nap íseme „/"(x)", budeme totiz nad c íselnou osou význacovat znamen í funkce /"(x). Pod císelnou osu nap íseme „/(x)", budeme totiz pod císelnou osou význacovat sýmbolý konvexnost, resp. konkavnost funkce /(x). Necht; funkce /(x) ma na intervalu /0 druhou derivaci /"(x). Necht /"(x) ma na /0 konecný pocet nulových bodu. Týto nulove bodý rozdel í interval / na nekolik castecných intervalu. Je-li c G /0 takový bod, ze /"(c) = 0, pocítame bod c k obema sousedn ím intervalum s koncovým bodem c. Ve všech vnitrn ích bodech kazdeho z techto castecných intervalu je buďto /"(x) > 0 nebo /"(x) < 0. V případe, ze je zde /"(x) > 0 (/"(x) < 0), nap íseme nad tento interval sýmbol,, + " (sýmbol,, —") a pod tento interval sýmbol „^" („ vyjadruj íc í, zeje na nem funkce / (x) rýze konvexn í (rýze konkavn í). Je-li / (x) rýze konvexn í (rýze konkavn í) ve dvou sousedn ích intervalech, je rýze konvexn í (rýze konkavn í) i na jejich sjednocen í. Ve spolecnem bode c techto sousedn ích intervalu, v nemz je /"(c) = 0, nema funkce /(x) inflexn í bod. Je-li /(x) rýze konvexn í (rýze konkavn í) v nekterem castecnem intervalu a v sousedn ím intervalu je /(x) rýze konkavn í (rýze konvexn í), ma funkce /(x) ve spolecnem bode c techto intervalu inflexn í bod. Príklad 11.12. Urcete intervalý, na nichz je funkce /(x) = x3 — 6x2 + x konvexn í a intervalý, na nichz je funkce /(x) konkavn í. Resení. Funkce /(x) je spojita na intervalu / = (—to, to). Výpoctem dostavame /''(x) = 6x — 12, x g (—to, to). Resme rovnici /''(x) = 0, tj. 6x — 12 = 0. Tato rovnice ma jedine resen í xi = 2. Tento nulový bod rozdel í interval / na dva castecne 473^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit intervaly: (—to, 2), (2, to). Ve vnitrn ich bodech intervalu (—to, 2) je f"(x) < 0 a ve vnitrn ich bodech intervalu (2, to) je f "(x) > 0. Je tedy funkce f (x) ryze konkavn i na intervalu (—to, 2) a ryze konvexn i na intervalu (2, to). V bode x = 2 ma funkce f (x) inflexn i bod. (Viz obr. 11.19) f"{x) - + -1- f (s) 2 inflexní bod Obrázek 11.19: Konvexita funkce f (x) = x3 — 6x2 + x. Příklad 11.13. Urcete intervaly, na nichZ je funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1 konvexn i, intervaly, na nichZ je funkce f (x) konkavn i a inflexn i body. Řešení. Funkce f (x) je spojita na intervalu I = (—to, to). Zrejme Io = (—to, to) je mnoZina vnitrn ich bodu intervalu I. Vypoctem dostavame f "(x) = 12x2 — 24x + 12. Řešen im rovnice f"(x) = 0, tj. rovnice x2 — 2x + 1 = 0, dostavame x1;2 = 1. Body xi = 1, x2 = 1 rozdel i interval I na dva castecne intervaly (—to, 1), (1, to). Ve vnitrn ich bodech kazdeho z nich je f" (x) > 0. Je tedy f (x) ryze konvexn i jak na intervalu (—to, 1), tak i na intervalu (1, to). Je tedy ryze konvexn i i na jejich sjednocen i, to jest na intervalu (—to, to). Viz obr. 11.20. Tato funkce nema inflexn i bod. 474»First »Prev »Next »Last Back •Full Screen •Close •Quit /"(x) + + f (x) bod x = 1 není inflexním bodem Obrázek 11.20: Konvexita funkce f (x) = x4 — 4x3 + 6x2 + 12x + 1. Pr iklad 11.14. Urcete inflexn í body funkce f (x) = j ln x. Resen i. Funkce f (x) je spojita na svem definicn ím oboru I = (0, to). Vypoctem dostavame f'(x) = ^ (1 — ln x), f "(x) = ja (2ln x — 3). Řešen ím rovnice f "(x) = 0, tj. rovnice ja(2ln x — 3), dostavame ln x = |, tj. x = e2. Urcen ím žnamen í f''(x) 3 3 dostavame, že f (x) je konkavn í v intervalu (0,e 2), konvexn í na intervalu (e 2, 00). 3 V bode x = e2 ma inflexn í bod. Viž obr. 11.21. /"(x) - + f (x) 0 3 0 e 2 bod x = e 2 je inflexní bod Obrázek 11.21: Konvexita funkce f (x) = X ln x. 1 475•First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen •Close •Quit 11.6. Hledání kořenů rovnice f (x) = 0 „metodou půlení intervalu". Ukazme si nyn í vetu, ktera je velice prospesna pri hledan í korenu rovnic. Tuto vetu jsme mohli vyslovit j i z dříve, ale na tomto m íste muzeme vyuz ít v nasleduj íc ím príklade poznatky o hledan í extrému funkce. veta 11.20. Necht funkce f (x) je spojitá na (a, 6) a necht f (a)f (b) < 0. Potom existuje alespoň jedno taková oslo a g (a, 6), ze f (a) = 0. (Viz obr 11.22.) x Obrázek 11.22: Ilustrace významu věty 11.20. 476»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Tato veta umožřuje naležt kořen a rovnice f (x) = 0 s libovolnou přesností postupným delen ím inteřvalu (a, b). Uřř íme bod c = (a + b)/2. Je-li f (c) = 0, je a = c. V opacnem případe, je-li f (c) • f (a) > 0, polož íme a = c; je-li f (c) • f (a) < 0, polož íme b = c. T ím se obdřž í novy žuženy inteřval (a, b) v nemž lež í c íslo a. Cely postup opakujeme tak dlouho, až obdřž íme buďto c íslo c, v nemž je f (c) = 0 anebo inteřval (a, b), v nemž lež í kořen a a jehož delka b — a je mens í než žvolene c íslo, udavaj íc í požadovanou přesnost. Příklad 11.15. Naležneme řealne kořeny polynomu f (x) = x3 — 3x2 + x — 1. Řešení: Abychom uřcili řealne kořeny daneho polynomu, uřceme napřed jeho žnamen í. Uřceme lokaln í extrémy dane funkce. Vypoctem dostavame f'(x) = 3x2 — 6x + 1. Polynom f'(x) ma kořeny xi = 1 — 1/3 \/6, x2 = 1 + 1/3\/6. Uřceme žnamen í funkce f'(x) a inteřvaly monotónnosti funkce f (x). Dostavame /'(x) + - + -1-1- /(x) S \ S Je tedy f (x) řostouc í v inteřvalu (—to,x1), klesaj íc í v inteřvalu (xi,x2), řostouc í v inteřvalu (x2, to). Funkce f ma tedy v bode xi lokaln í minimum. Ponevadž vypoctem žjist íme, že f (xi) < 0, f (x2) < 0, lim f (x) = to, x^oo 411^F\rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit mí funkce f (x) jenom jeden realny koren a G (x2, to). Funkce f (x) je žaporna pro x G (—to, a) a kladní pro x G (a, to). Pocítaním hodnot funkce f (x) v bodech intervalu (x2, to), žjistíme, že např. f (2) = —3, f (3) = 2. Ponevadž f (x) je funkce spojití a rostoucí na intervalu (2,3) a f (2) < 0, f (3) > 0, ma funkce f (x) na intervalu (2,3) príve jeden kořen. Tento koren mužeme hledat metodou pulení intervalu. 478•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Polozme a := 2, b := 3. Postupne dostavame f (a) := -3, f (b) := 2; c := , c := 2, f (c) = -13, « := c f (a) :=-13, f (b) :=2; c := ^1+^, c :=t, f (c)=- 64, a :=c f (a) := -1, f (b) := 2; c := ^, c := f, f (c) = 531, b := c , 9 431 a + b 89 . 1349 f (a) := -64, f (b) := 512; c , c := 32, f (c) = 4096, b : c 9 1349 a + b 5 2921 b , 9 2921 a + b 177 , 7087 64 32768 2 64 262144 a := c ' = 7087 = 2921 = a + b = 355 f (a) := -262144, f (b) := 32768; c := ~Y~, c := 128, f (c) 2097152, b : c Tedy a = 2,7656, b = 2,7734, takZe a = 2,7695. 479^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Úkol. Načrtněte si graf funkce /(x) a vyznačte body x\, x2, a = 2, b = 3 a kořen a. 11.7. Výpočet některých typů limit Necht f (x), g (x) jsou dve funkce a necht lim f (x) = A, lim g(x) = B, kde A, B G r*. Symbol lim zde zastupuje kterýkoliv ze symbol U lim , lim , lim, lim , lim , kde a G r. Zatím jsme uvazovali dva případy pro výpoCet lim 4x). a) Ve vete 8.2 jsme uvedli, ze g(x) B pokud A ma význam v R*. Podíl nema význam v případě, ze B = 0, a v případě, ze A = ±oo, B = ±oo. b) Ve vete 8.4 jsme uvedli případ, kdy A = 0, B = 0. DoporuCuji, abyste si obě tyto věty zopakovali. Přistoupíme nyní k další větě pro výpoCet limity podílu dvou funkcí. c) V dalěí větě, zvaní L'Hospitalovo pravidlo, vyěetěíme pěípady a) A = B = 0, P) A = ±oo, B = ±oo. 480»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit L'Hôspitalovo pravidlo Věta 11.21. (L'Hôspitalovo pravidlo) \Nechi f (x), g (x) jsou takové funkce, ze lim f (x) = lim g(x) = 0 nebo lim f (x) = ±00, lim g(x) = ±00. Existuje-li vlastné nebo nevlastné limita y f (x) g/(x) pak existuje lim a platí lim —— = lim = a. g{x) g'{x) Symbol lim zde může nabyt kteréhokoliv z pěti významů: lim , lim , lim, lim , lim . x^a+ x—>a" x^a x^-oo x^+oo Důkaz: Omezme se na případ, že lim / (x) = lim g (x) = 0 a pro určitost předpokládejme, že jde o limity zprava v čísle a a že a je reálne číslo. Položme f (a) = g (a) = 0. Pak 481 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit funkce f (x) a g(x) jsou v c ísle a žprava spojite. Ponevadž existuje k libovolnemu e > 0 takove c íslo ô > 0, že funkce f (x), g(x) maj í v intervalu (a, a + ô) derivaci a v nem plat í 0+ V1 - x2 - 1 x lim x^> 0+ \VT-X2 J = 0. x=0 Poznámka. Užitím věty 11.21 lze počítat i limitu tzv. neurčitých výrazů. Jsme zvyklí je zapisovat takto „°", jestlize limita čitatele i jmenovatele je rovna 0, „ —", jestlize čitatel i jmenovatel mají nevlastní limity, „0 -to, 0 • (—oo)", pro případ výpočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0 a lim g(x) = oo(-oo), „ to — to ", kdy limita jednoho sčítanče je +to a druheho je rovna —to, „0°", pro případ vypočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 „0±oc ", pro případ vypočtu lim f (x)g(x), kdy lim f (x) = 0, lim g(x) = ±to. Limity takovyčhto vyrazu počítame převedením na vypočet podílu takovyčh funkčí, abyčhom mohli pouzít L'Hospitalovo pravidlo. Vypočet limity f (x)g(x) počítame tak, ze zapíseme f (x)g(x) = eô(x)ln f (x) a limitu počítame vypočtem limity funkče g(x) ln f (x) a pouzijeme vetu o vypočtu limity slozene funkče. Příklad 11.17. Vypočítejte lim (\/x2 — 1 — x). Řešení. Zde menseneč i mensitel mají limitu rovnu +to. Jde o případ, ktery jsme 484»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit označili „00 — to". Dostáváme lim (\/x2 — 1 — x) = lim i — y--) = lim ^ y- x^oo y^0M |y| y I y^0+ y PonevadZ limm (Ví — y2 — 1) = (y/i — y2 — i) = o, lim y = o pouZijeme L'Hospitalovo pravidlo. Dostáváme lim ^ — 1 = lim 2(1 — yy2)—2 ■ (—2y) = lim ^l= = 0. Příklad 11.18. Vypoč ítejte a) lim xe1, b) lim xex. Řešení. a) Zrejme lim x = 0, lim ex = lim ey = to. x^0+ x^0+ y^to 485• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Jde tedy o vypocet limity typu „O • to". Úpravou dostavame lim x-1 = lim -j- x tedy jde o typ „ ^". Použit im L'Höspitalova pravidla dostáváme i ex ex (——) i lim xex = lim -—- = lim — — = lim ex = to. x b) Zrejme lim x = 0, lim ex = lim ey = 0. x—0_ x—0_ y—>—to Tedy lim xex = 0. x—0_ Příklad 11.19. Vypoc itejte .. ln x lim -. X—TO x Řešení. Jde o vypocet limity typu „TO " Uzitim L'HOspitalova pravidla dostaneme ln x X 11 lim -= lim — = lim — = — = 0. X—TO x X—TO 1 X—TO x TO 486»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Pr íklad 11.20. VypoC ítejte lim xx. x^> 0+ Resen i. Jde o vypocet limity typu „0°". Funkce xx je definovana pro x G (0, to). Lže ji přrepsat na tvar xX = eX ln x Jde o složenou funkci, jej í vnejs í složkou je funkce eu, vnitrn í složkou je funkce x ln x. Dostavame ln x lim x ln x = lim —j—. Užit ím L'HOspitalova pravidla obdrž íme lim —^ = lim -JL^ = — lim x = 0. x2 PonevádZ eu je funkce spojitá, je , lim (x ln x) „ lim ex ln x = ex^0+ = e0 = 1. x^> 0+ x 487^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 11.8. Průběh funkce Zavedeme nyní pojem asymptot funkce f (x). Jde o přímky, které dále uvedeným způsobem charakterizuj í prUbeh funkce. Del íme je na a) asymptoty bez smernice a na b) asymptoty v nevlastn ích bodech —to, to. I Definice 11.6. (Asymptoty bez směrnice) Přímku x = a g r nazyvame asymptotou bez směrnice funkce y = f (x), jestliZe lim f (x) = to nebo lim f (x) = —to, kde lim znac í alespon jeden ze symbolu lim , lim , lim. x—a- x—a+ x—a Poznámka. Otazkou je, jak urcit a, pro nejz je lim f (x) = +to (nebo lim f (x) = —to) x—>a+ x—>a+ nebo lim f (x) = +to (nebo lim f (x) = —to). x a x a Lehce nahledneme, ze a je bod'to bodem, v nemz funkce f (x) nen í spojita, nebo kon-covym bodem intervalu J c D f. 488»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 11.21. Určeme asymptotu bez směrnice funkce 3x2 + 1 2x- 1 Řešení. Funkce f (x) je spojitá pro x G (oo, oo) — {h}. Výpočtem dostávame 3x2 + 1 lim--- = +oc, x^í/2+ 2x — 1 3x2 + 1 lim -= —oo. x^í/2- 2x — 1 Je tedy x = 2 asymptotou bež smernice funkce f (x). Při vysetrovaní prubehu funkce ^f+l vyžnacíme asymptotu bež smernice takto 1 v 1 0 1 2 >\ x = 2 Obrázek 11.23: Asymptoty bez směrnice - x = |. x 489^^ •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 11.7. (Asymptota v nevlastním bode) Přímku y = Ax+B (A, B jsou realna c ísla) nažývame asymptotou funkce y = f (x) v nevlastn ím bode to (—to), jestliže (viž obr. 11.24) lim $(x) = 0 x^oo kde $(x) = f (x) - Ax - B. x x Obrázek 11.24: Asymptotou v bode oo. K urcen f asymptot se smernic f pouZ fvame nasleduj fc f vety. 490^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit lim = 0 X^f—OO Veta 11.22. (Určení asymptoty v nevlastním bode) Přímka y = Ax + B je asymptotou grafu y = f (x) v nevlastním bode to (—to), kdyz a jen když A = lim f(x), B = lim (f (x) — Ax) x—>oo x x—>oo (A = lim f(x), B = lim (f (x) — Ax)) . x——o x x——o Poznamka. M ísto „asymptota bez smernice" se pouz íva tez term ín „asymptota rovnoběžná s osou y". Nazev vychaz í z toho, ze přímka rovnobezna s osou y sv íra s osou x uhel 9O0 a tato přímka nema smernici (tg9O0 nen í definovano). M ísto „asymptota v nevlastn ím bode" lze pouz ít i term ínu „asymptota se směrnicí". Příklad 11.22. Urcete asymptoty se smernic í funkce f (x) = í2—í. Řešení. Vypoctem dostavame f (x) 3x2 — 1 4 — 1 3 — y2 3 A = lim -= lim —2-= lim \-— = lim -= -. y2 y 491 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dále dostáváme: 3x2 1 3 B = lim (f (x) — Ax) = lim (---x ) = x—oo x—to\ 2x — 1 2 J 6x2 — 2 — 6x2 + 3x 3x — 2 3 = lim -= lim - —. x—o 2(2x — 1) x >oo 2(2x — 1) 4 Je tedy y = |x + | asymptotou grafu funkce y = 1 v nevlastn ím bode to. Lehce se presvedc íme, že tato prímka je i asymptotou dane funkce v nevlastn ím bode —to. Pr iklad 11.23. Urcete asymptoty funkce 2x2 + 1 f (x) = x + 1 Resen i. a) Asymptoty bež smernice. Definicn ím oborem je množina (—to, to) — {—1}. Tedy f (x) nen í spojita jen v bode —1. Abychom určili lim f (x) a lim f (x) urc íme žnamen í funkce f (x). x—^ — 1+ x—^—1_ Dostavame f(x) - + -1 492•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poněvadž lim (2x2 + 1) = 3 = 0, lim (x + 1) = 0, použijeme k výpočtu lim f (x) větu 8.4. Ponevadz existuje 1) tak, ze pro x g 1) — {—1} je f (x) > 0, je lim f (x) = to. Podobne zjistíme, ze lim f (x) = —to. Je tedy x = —1 x——1+ x——1_ asymptotou bez smernice funkce f (x). (Viz nasledující nacrtek.) -i b) Asymptoty se směrnicí. Hledejme asymptotu v nevlastn ím bodě to. Asymptotou je přímka Ax + B kde 493»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit A, B, se určí podle věty 11.22. Dostáváme Je tedy A = lim M = Hm ^x2±i = Um r^+i = 2 x^oo x x^oo x(X + 1) x^oo 1 + i Í2x2 + 1 \ B = lim (f (x) — Ax) = lim--2x = x^oo x^oc \^ x + 1 J 2x2 + 1 — 2x2 — 2x —2x + 1 = lim -= lim -= x^oo x +1 x^oo x +1 —2 + x = lim -—x = —2. x^oo 1 + — y = 2x — 2 asymptotou v nevlastním bodě oo. Tato přímka je zarověň asymptotou v nevlastním bodě — oo. Poznámka. Lze ukázát, ze u ráčionálníčh lomenyčh funkčí je asymptota v nevlastním bode +oo totožná s asymptotou v nevlástn ím bode — oo. 494»First • Prev • Next • Last • Go Back •Full Screen • Close • Quit Při vyšetřování průběhu funkce zjišťujeme: 1. Kde je funkce definovaná, kde má nulové body, kde je nad ošou x a kde je pod ošou x (znamená funkce). Zda je funkce šudé, lichá, periodická. 2. Kde funkce rošte, kde klešé, kde mé extrémy. 3. Kde je funkce konvexné, kde je konkavní a kde ma inflexní body. 4. Jaké ma asymptoty. 5. Graf. Příklad 11.24. Vyšetřeme průběh funkce 2x + 1 x(x + 1) 1. Jde o reálnou racionální lomenou funkci. Čitatel 2x + 1 má kořen x = — 2, jmenovatel x(x + 1) má dva kořeny, a to x = 0 a x = —1. Ponevadž Čitatel a jmenovatel funkce nemají stejne kořeny a každy kořen Čitatele a jmenovatele je jednoduchý (liche nasobnosti), roždelí tyto kořeny interval (—to, to) na 4 castecne intervaly. V sousedních intervalech ma funkce opacne žnamenko (viž nacrtek). f : - + - + -e-•-e->• -1 _1 0 2 Funkce není definovana v bodech x = 0, x = —1. Graf funkce protína osu x v bode x = —1. 495•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Funkce nen í ani suda ani licha, nen í periodicka. 2. Vypoc ítejme f '(x). Dostavame: ( = 2x2 + 2x + 1 f (x) = x2(x + 1)2 ' Čitatel nema realne kořeny, jmenovatel ma c ísla —1, 0 ža dvojnasobne koreny. Znamen í f'(x)a monotónnost funkce f (x) jsou patrny ž nasleduj íc ího nacrtku: f' : - - -f-e-e->■ f : -1 0 \ \ \ Podle vety 11.7 funkce f (x) klesa v intervalech (—to, —1), (—1, 0), (0, to). Ponevadž f'(x) existuje v D f a je žde f'(x) = 0, nema f (x) lokaln í extrémy. 3. Vypoc ítejme f''(x). Dostavame „a, % 2x + 3x + 3x + 1 f (x) = 2 37 i Tv3 • xó(x + 1)3 Zrejme f''(—2) = 0. Funkce f''(x) nema jine realne kořeny. Znamen í f''(x) a konvexita funkce f(x) jsou patrny ž nařcrtku: f" : - + - + -e-•-e-s»- -1 _1 0 496•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Je tedy f (x) konkavn í v intervalečh (—to, -1), (-2, 0) a konvexn í v intervalečh (-1, -1), (0, to). Bod x = -1 je inflexn ím bodem. 4. Prímka x = a muze byt asymptotou bez smerniče grafu y = f (x) pouze tehdy, nen í-li funkče f v bode a spojita zprava nebo zleva. V nasem prípade se jedna o body x = 0, x = -1. Vypočtem dostavame (pod ívejte se na znamen í funkče f (x)): lim f (x) = oo, lim f (x) = —to, lim f (x) = to, lim f (x) = —to. x^>— 1+ x^> — í- Tedy přímky x = —1, x = 0 jsou asymptoty bez směrnice. K určen í asymptot se směrnic í vypoč ítame: f(x) A = lim = f^ = 0, B = lim f (x) = 0. x^±oo x x^±oo Tedy y = 0 je asymptotou se směrnic í v bodech to, —to. 497»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 5. NaCrtek grafu: V X.J' = / (x) 1 -x 0 x Obrazek 11.25: NaCrtek grafu funkce . ° x(x+l) Příklad 11.25. Na obr. 11.26 je znazornena funkce y = f (t), t g (0, oc) popisuj íc í množstv í y prodeje nejakeho zboz í jako funkci casu t. Na nasleduj íc ích nacrtc ích je znazorneno znamen í f (t), f" (t). Z nich lze vyvodit tyto A98»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 11.26: Prodej zboží. závěry /'(*) + /" + --1- -1-1- 0 0 to Funkci /'(t) lzě chápát jáko funkci „rychlosti" prodějě. Rychlost prodějě sě zvysujě áZ do cásověho okámZiku t0, potom rychlost prodějě klěsá. 11.9. Diferenciál a Taylorova věta V teto casti se budeme zabyvat pribliznym vyjadrením funkce. Resme tuto ulohu. Je dana funkce f (x); nahrad'me ji pro x v blízkosti bodu a polynomem. 499»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Úloha je nejjednoduseji resena, nahrad íme-li ji polynomem prvn ího stupne - tecnou, ža předpokladu, že existuje f (a). Zvolme h. Položme x = a + h. Vyraž af (a) = f (a + h) — f (a) nažveme diferenc í - jde o přírustek funkce, při přechodu ž bodu a do bodu a + h. I Přírustek na tecne t funkce y = f (x) v jej ím bode T [a, f (a)] při přechodu ž bodu a do bodu a + h I je roven f'(a)h. (Viž obr. 11.27) y = f (x) f (x) Af (a) Obrázek 11.27: Význam diferenciálu. t Zaved'me si nyn í pojem diferenciálu funkce y = f (x) v bode a touto definic í. 500»First »Prev »Next »Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 11.8. (Diferenciál funkce y = f (x)) Nechť funkce y = f (x) ma v bode a derivaci f'(a). Potom df (a) = f'(a)h, h G r je promenna nažyvame diferenciálem funkce f (x) v bode a. Poznámka. Ponevadž pro y = x je dx = h, p íčeme casto dx m ísto h. Potom df (a) = f '(a)dx. Ma-li funkce y = f (x) derivaci na intervalu I, potom p íseme df = f'(x)dx, resp. dy = f'(x)dx, x g I. (11.17) Potom diferencial dy je funkc í dvou promennych: x, dx. Vžtah (11.17) lže prepsat jako pod íl dfx = f'(x), x g I. (11.18) Zde dx je diferencial neodvisle promenne x a dy je diferencial odvisle promenne y. I Na derivaci f'(x) se mUzeme dávat jako na podíl diferenciálu odvisle proměnné a I neodvisle promenne. 501 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ukazme, ze pro dostatečne male h je A f (a) rovno přiblizne df (a). Zaved'me t (h) jako čhybu aproximače Af (a) diferenčialem df (a) f (a + h) - f (a) = f »h + t (h). Del íme-li tento vyraz č íslem h, dostavame f (a + h) - f (a) = f/(a) + T(h) h = f (a)+ h . Vypořčtem limity leve i prave strany v bodře h = 0 dostavame lim T(h) = 0. Tedy Pro malé h je Af (a) rovno přibližně df (a): f (a + h) = f (a) + f '(a)h. Příklad 11.26. UrCete diferencial funkce f (x) = sin2x v bode x = |. Řešení. V obecnem bode x je df (x) = (sin2x)' • dx. Tedy df (x) = 2cos2x • dx. V bode a = | pak plat í df = 2 cos (28^ dx = \/2dx. 502»Fiřšt »Přev »Next »Lašt Back •Full Screen •Cloše »Quit Příklad 11.27. Určete přibližně sin(31°), vřte-li, že sin(30°) = 0,5, cos(30°) = ^. Resení. Uhel 31° vyjádřený v obloukově m řře je roven | + . Položme a = |, dx = . Potom sin —I--= sin — + cos — •-= 0,5 +--• —. V6 180/ V6/ V6/ 180 ' 180 2 Zabývejme se nyn í áproximác ř funkce f (x) polynomem stupne n > 1. Taylorova veta Nečht funkče f (x) má v bode x = a deriváče áž do rádu n včetne. Potom polynom v promenne h Tn(a + h) = f (a) + ^ h + ^ h2 + • • • + hra (11.19) 1! 2! n! se názyvá Taylorovým polynomem stupne n příslusnym k funkči f (x) v bode a. Lehče se presvedčíme, ze polynom Tra(x) á funkče f (x) máj í v bode a stejnou funkčn í hodnotu á deriváče áz do řádu n včetne. Oznáč íme-li h = x — a, dostáváme z (11.19) Tn(x) = f (a) + — a) + — a)2 + • • • + L^r1(x — a)n (11.20) 1! 2! n! Příklad 11.28. Určete Taylorův polynom příslušný k funkci /(x) = sin x v bodě a = 0 pro n = 5. 503»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Zřejme (sin x)' = cos x, (sin x)" = — sin x, (sin x)'" = — cos x, (sin x)(44) = sin x, (sinx)(5 = cos x. Je tedy 3 5 / \ ^ ^ ^ T(x) = T\ — 3 + 5 ■ Lze tedy pro x bl ízka č íslu a = 0 psat pribliZny vztah 3 5 rp rp'-J rp'-' t 'Aj 'Aj 'Jj sin x " 1— 3 + 5 ■ Zabývejme se nyn í otazkou, jake chyby se dopoust íme, nahrad íme-li funkci f (x) polynomem Tn(x). Odpoved' dava tato veta. 504^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 11.23. (Taylořova veta) Necht funkce f (x) ma na otevřeném intervalu I derivace ař do řadu n + 1 vcetnř. Necht a G I. Potom pro každé x G I platí f (x) = Tn(x) + Rn+b (11.21) kde Tn(x) je Taylomvpolynom urceny vztahem (11.20) a Rn+1 je chyba aproximace, urřcenéa napřr. vztahem f (n+1)(9) Rn+i = :(n+Y)!(x — ^ , (11.22) | kde 9 leží mezi body a, x. Důkaz: Dukaž použ íva Rolleovu vetu. Nen í obt ížny, ale nebudeme jej vsak provadet. . Poznamka 1. Rn+1 představuje chybu, ktere se dopust íme, aproximujeme-li hodnotu funkce f v bode x hodnotou polynomu Tn v bode x. C íslo 9, ktere žde vystupuje, nen í vetou urceno. Použe je uvedeno, že lež í meži body a, x. Jestliže plat í odhad |f (n+1)(t)| < M pro vřsechna t ž intervalu o koncovych bodech a, x, lže psat IR \ 0, /(x) = x2 — x — 1 pro x < 0; roste (0, to), klesá (—to, 0), lok. min. pro x = 0] 12. Určete intervaly, ná nichž je funkce f (x) konvexn í, intervaly, ná nichž je funkce f (x) konkávn í , á urcete inflexn í body. á) f (x) = x3 — 5x2 + 3x — 5 [konv. (!, to), konk. (—to, |), infl. bod x = |] b) f (x) = (x + 1)4 + ex [konv. (—to, to), nemá infl. body] c) f (x) = ln(1 + x2) [konv. (—1,1), konk. (—to, —1), (1, to)] d) f (x) = X ln x [konv. (e 2, to), konk. (0, e 2), infl. bod x = e 2 ] e) f (x) = ex [konk. (—to, — 2), konv. (—2, 0), (0, to), infl. bod. x = — 2] 13. Urcete ábsolutn í extrémy funkce f (x) ná dánem interválu. á) f (x) = x2 — 5x + 6, x G (0,10) [ábs. min. v bode x = 1, ábs. máx. v bode x = 10] b) f (x) = , x G (—1,1) [ábs. máx. v bode x = 0, ábs. min. nen í] c) f (x) = sin X, x G (0, to) [ábs. máx. pro x = ^r^^, k G No, ábs. min. pro x = 2+(2Í+i)n, k G No] 14. Urcete asymptoty funkce. x+1 a) f (x) = X^+l [bez smernice x = —1, v bodech ±00: y = 2x — 2] 511»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit b) f (x) = [bez smernice x = 2, v bodech ±00: y = 3] c) f (x) = v'TTx [asymptoty bez smernice nemá, y = x v bode 00, y = —x v bode —00] 15. Vyšetřete prUbeh funkce. a) f (x) = x3 — 6x2 + 9x [Df = (—00, 00), znamen í f : - 0 3 f : + - + f'(x) = 3x2 — 12x + 9, f: , j s j , f (1) = 4, f (3) = 0, lok. max. lok. min. + f : + f''(x) = 6x — 12, f: ~ f (x) nema asymptoty] b) f (x) = [Df = (—0, 00) —{—1,1}, f'(x) = , fšfi š0 ^1 ^ f(0) = 1 lok. min. f ''(x) = _ 4(1+3x2) f - o + o - f = (1—X2)3 , f: ~ -1 - 1 ~ asymptoty: x = 1, x = 1, y = 1] c) f (x) = ^ [Df = (0, 00), f- 0 1 + f'(x) = ^, ,; 0 , e s f(e) = 1 lok. max. 512^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit -3+2 ln x f"(x) = infl. bod lim Xjxx~ = —to, asymptoty: x = 0, y = 0] 16. Vypoč ítejte limity a) lim -2+-T b) lim sin x x2 č) lim (- -d) lim lnx x x x ln x e) lim x^to f) lim x x x 17. Nalezněte diferenciál funkce a) f (x) = x3 — 3x + 1 v bode x = 2 b) y = sin2x č) y = vx — 1 [to] [to] [ 2 ] [0] [to] [1] [df = (3x2 — 3)dx, df (2) = 9dx] [dy = 2 cos 2xdx] 18. VypoC ítejte pribliZne podle Taylorovy vety In e2,1 pro n = 1, 2,3. Odhadnete chybu. 19. Napište MacLaurinovu radu funkce a) f (x) = sin x [sinx = ^ — |y- + |y — ..., x £ (—oo, to)] + 513*First • Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit b) f (x) = cos x [cos x = 1 — |f + fr — ..., x £ (—to, to)] c) f (x) = ln(1 + x) [ln(1 + x) = f — f2 + f — ... , —1 < x < 1] 20. Vytvořte tabulku, v n ÍZ vyznač íte funkčn í hodnoty funkc í sinx, T5(x) v bodech x £ {±0,1, ±0,2, ±0,3, ±0,4, ±0,5, ±0,6, ±0,7, ±0,8, ±0,9}. 514^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 12 Fůnkce více proměnných Před zahajen ím vlastn ího vykladu objasn íme nektere pojmy, ktere budeme v dalsím vykladu potňrebovat Poznýmky k funkcím více promennych. Označme Rn mnoZinu uspoňadanych skupin n-realnych č ísel. Obecny bod mnoZiny Rn označme X = [xi,... ,xn]. Zaved'me nyn í vzdalenost dvou bodu v Rn takto:Jestlize A = [a1,... ,an], B = [b1,... ,bn] g Rn, potom jejičh vzdalenost budeme označovat p(A,B) a definovat vztahem p(A, B) ^(bi — ai)2 + ••• + (bn — an)2, (12.1) Mnozinu Rn s takto definovanou vzdalenosti p budeme značit En. Ve zvlastn ím prípade n = 1 je E1 mnozina realnyčh č ísel se vzdalenosti p(A,B) bodu 515 • First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit A = a1, B = b1, urCenou vztahem p( A, B) = |b1 — a11. Okolí bodu v En Zaved'me si pojem okolí bodu A = [a1,..., an] g En. Nechť A g En. Potom mnozinu U = {X G En : p(A,X) <č} nazveme ^-okolím bodu A. Na obrazku 12.1 je znazorneno č-okolí bodu A g E2. X2 Obrázek 12.1: Okolí Us(A) = {X e E2 : p2(A,X) < 5}. 0 516^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht M C En. Bod A G En nazveme vnitřním bodem množiny M, jestliže existuje ô > 0 tak, že U (A) c M. Bod B G En nazveme vnějším bodem množiny M, jestliže existuje ô > 0 tak, že U(B) H M = 0, to jest, jestliže žádná bod tohoto okolí nepatří do množiny M. Necht M C En. Bod H se nažyva hraničním bodem množiny M, jestliže v každém jeho okolí leží body, které patří do množiny M a body které nepatří do M. Množinu všech hraničních bodu množiny M nažyvame hranic í množiny M. Množinu M C En nažyvame otevřenou, jestliže všechny její body jsou jejími vnitlŕními body. Obsahuje-li množina M C En všechny své hraniční body, nažyva se užavřenou. Viž obr. 12.2. Množinu M nažveme oblast í, jestliže je otevrena a jestliže ke každym dvema bodum A, B G M existuj í body P1, P2,..., Pm tak, že P1 = A, Pm = B a každa ž usecek PiPi+1 lež í v M. Príkladem oblasti je množina {X G En : ^(A,X) < e}, kde A je dany bod a e je dane kladne c íslo. Uved'me si tyto príklady.(Dale uvedene množiny si graficky žnažornete.) Nechť A G En a necht ô > 0 je libovolne říslo. Potom 1. Množina M = {X G E2 : p(A, X) < ô}. je otevřena množina. 2. Množina h = {X G E2 : p(A,X) = ô} je hranic í množiny M. Každy jej í bod je hraniřcn ím bodem mnořžiny M. 3. Množina M = {X G E2 : p(A, X) < ô} je užavrenou oblast í. 517^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit y x Obrázek 12.2: Vnitřní, vnější á hraniční bod množiny. Pojem funkce více proměnných. Před žapocetím studia teto podkapitoly si žopakujte pojmy spojitost funkce jedne promenne v danem bode, vety o spojitosti souctu, roždílu, soucinu a podílu dvou funkcí jedne promenne a o spojitosti funkce složene že spojitých funkcí. SlB^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 12.1. Necht n g n, D c en. Potom zobrazení f množiny D do e1 nazyvame reálnou funkc í n-promennych. OznaCíme-li X = [x1, x2,..., xn] g en, /ze tuto funkci zapsat jako z = f (xi,x2,... ,xn), resp. z = f (X). NemUze-li dojít k omylu, budeme Často v další části textu místo termínu „reální funkce n-promennych " používat jednoduše termín „funkce". Poznámka. Promenne funkc í n-promennych budeme vetsinou ožnácovát x1,x2,... ,xn. Je-li techto promennych jen nekolik, byvá žvykem je ožnácovát tež x,y,z,w,r nebo použ ít ožnácen í obvykle príslušne áplikáci. Je-li f funkce n-promennych zadana předpisem bez uvedení definičního oboru, rozumíme jejím definicním oborem množinu všech bodu [x1,...,xn] g en, pro nčečz maí uvedeníy pčredpis víyznam. Příklad 12.1. Urcete definicn í obor funkce z = ^4 — x2 — y2 + ln(1 — x — y). (12.2) Řešení. Ponevádž definicn í obor funkce (12.2) nen í uveden, rožum í se j ím množiná vsech bodu [x,y], pro než lže vyráž ná práve stráne (12.2) vypoc ítát. Zrejme jsou to ty 519•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit body [x,y], pro nez plat í 4 - x2 - y2 > 0 A 1 - x - y> 0. (12.3) Odtud dostavame x2 + y2 < 4 A x + y< 1. (12.4) Rovnič í x2 + y2 = 4 je definovana kruzniče k se stredem v počátku o polomeru 2. Označme Ai C e2 mnozinu tečh bodu [x,y], ktere lez í uvnitr kruzniče k a A2 c e2 mnozinu tečh bodu, ktere lez í vne kruzniče k. Ponevadz bod [0,0] G Ai vyhovuje nerovniči x2 + y2 < 4, (12.5) vyhovuj í teto nerovniči i vsečhny body z Ai, vsečhny body [x, y] G A2 vyhovuj í nerovniči x2 + y2 > 4. (12.6) Nerovniči x2 + y2 < 4 vyhovuj í tedy vsečhny body [x, y] G e2, ktere lez í uvnitr a na kruzniči k. Rovničí x + y = 1 je definovana prímka, ktera prot ína osu x v bode [1,0] a osu y v bode [0,1]. Tato prímka rozdeluje rovinu (0xy) na dve poloroviny Bi, B2. Označen í volme tak, ze počatek 0 = [0,0] G Bi. Ponevadz bod [0,0] vyhovuje nerovniči x + y< 1, (12.7) 520^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit vyhovuj í nerovnici (12.7) vsechny body [x, y] G B\ a pro body [x, y] G B2 plat í x + y > 1. Je tedy definicn ím oborem funkce (12.2) množina vsech bodu [x,y] G B\, ktere lež í uvnitr a na obvodu kružnice k. Viž obr. 12.3. x Obrázek 12.3: Definiční obor funkce (12.2) 521 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 12.2. (Spojitost funkčě v oblasti D) Necht n g n a D je oblast, resp. uzavřená oblast v En, v níž je definovaná funkce z f . . . , xn). Necht X0 = [x?,...,xa g D. Řekneme, že funkce f (X) je v bodě X0 = [x?,..., g D spojita, jestliěe • Je v něm definovana • Ke kaědámu císlu e > 0 existuje taková kladná císlo ô , že hodnota funkce f (X) v kaědám bodě X g D vzdálením od bodu X0 o mene neě ô se liěíod hodnoty funkce f v bodě X0 o máně neě e, tj. ^(f (X),f (X0) < e. Poznámka. Jestlize funkce je spojita v kazdem bode mnoziny D, budeme rákat, zeje spojita na D. ZjiStení, zda dana funkce je spojita v uvazovanem bode by bylo podle teto definice velice obtízne. Spojitost řady funkcí odvodíme ze znalosti spojitosti funkcí jedne promenne podle nasledujících vet. 522•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Poznámka. Uvazujme funkči jedne promenne z = 3xi + 1. (12.8) Tuto funkči lze prepsat na tvar, obsahuj íč í v íče promennyčh, napr. na funkči z = 3x1 + 0x2 + 0x3 + 1. (12.9) Potom (12.9) a tedy i (12.8) lze čhapat jako funkči trí promennyčh x1,x2,x3. Budeme ríkat, ze funkče (12.8) vznikla z (12.9) vypusten ím nevyznamnyčh promennyčh x2,x3, resp. ze funkče (12.9) vznikla z (12.8) pridan ím nevyznamnyčh promennyčh x2,x3. Ponevadz funkče (12.8) je spojita v kazdem bode x1, je v kazdem bode [x1,x2,x3] spojita i funkče (12.9). Každou funkci f jedné proměnné x1 lze chápat zároveň jako funkci F (x) = f (x1) + 0.x2 + ... + 0.xn n— proměnnách. Mésto F budeme opět psát f. Je-li funkce f jedné proměnné spojitá v bodě x1 = a, potom i funkce f, chápané jako funkce n proměnnéch x1,... ,xn, je spojita v bode [a,x2,...,x^, kde x^,...,xQn jsou libovolné césla. Poznamenejme, ěe elementarné funkce jedné proměnné jsou spojité ve svém definičním oboru. 523•F;rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 12.3. Spojitost součtu, součinu a pod ílu funkc í Necht n G N a necht D je oblast (resp. uzavřená oblast) v En. Necht funkce f (X ),g (X) jsou dané funkce spojité v bodě X0 G D . Potom i funkce f (X) ± g (X ),f (X ).g(X) jsou spojité v bode X0. Je-li navíc g (X0) = 0, je i funkce spojité v bode X°. Složená funkce a její spojitost Dříve, než přistoup íme ke studiu této části textu, zopakujte si pojem složené funkce jedné promenne a vetu o spojitosti složene funkce jedne promenne. 524^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 12.4. (Složena funkce n-promennych) Necht Q je oblast (resp. uzavřená oblast) v prostoru em a necht D je oblast (resp. uzavřená oblast) v en. Necht z = f (yl ,...,ym) je funkce definovana na Q. Necht funkce yi = ipi(x\, . . . ,xn), ... ,ym = (x\, ...,xn) jsou definovane na množině D. Necht: pro kazdá bod X = [xl,...,xn] G D je [pl(X),..., pm(X)] G Q. Potom funkce F(X) = f(pi(X),...,Pm(X)), X G D se nazýva složenou funkc í . Funkce z = f (y-\_,... ,ym) se nazýva její vnejsí složkou a funkce ^(X),..., pm(X) se nazývají jejími vnitřn ími složkami. Uved'me si nasleduj íc í vetu o spojitosti složenych funkc í. 525 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 12.5. (Veta o spojitosti složene funkce) Necht funkce y4 = <#(X), i = 1, 2,... ,m, X = [xi, ...,xn] g D c en, jsou spojité v bode X0 = [ 0] E D. Označme Y0 = [y?,...,y2j, kde y0 = ^(X0), i = 1,2,...,m. Necht: na fž c en je dana funkce z = f (Y), Y g f c em. Necht: pro všechna X g D je [^1(X),..., (/?m(X)] g fž. Jestliže funkce f (Y) je spojitá v bodě Y0 , je i složená funkce F (X ) = f (pi(X),..., (MX)) spojita v bodě X0. Príklad 12.2. Funkce z = \fx{ + x2 je spojita v bode [0, 0]. Skutecne. PoloZme y = = f (x,y) /r z = f (x,yo) 0 / // L Označili jsme Obrazek 12.4: Geometricky vyznam parciAlnicb derivaci. g (x) = f (x,yo) 533•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x a položili jsme (f )[x0jž/o] = g'(x0). Rovnicí z = g(x), tj. z = f (x,yo) je definovaná křivka, ožnaCena na obražku 12.4 jako XC. Rovnic í z = %), tj. z = f (xo,y) je definovana křivka, ožnaCena na obražku 12.4 jako 2C. Je tedy g(x0) ([xo,yo] ^(y0) ([xcyoj) smernice tecný lt (2t) ke krivce 1C (2C) v jej ím bode T. 534^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zaveden í parcialn ích derivac í funkc í n-přomenných Uvazujme nyn í funkci n-promennych z = f(xl,x2,---,xn), n G N, X = [xl,---,xn] G Q C En. (12.22) Zvolme i G {1, 2,---,n}. Dosad'me za kazdou promennou xj, j = 1, 2,---,n, j = i, v (12.22) pevnou hodnotu x0. Dostali jsme tak funkci jedne promenne , oznacme ji %g(xi). Dostavame g(xi) f - - - , X^-\, xi, xi+l, - - - , xn)- (12.23) Jestli tato funkce ma v c ísle x0 derivaci %g'(x0), nazveme ji parcialn í derivac í funkce (12.22) podle xj v bode X0 = [x0, - - -,x0-1,x0,x0+1, - - - ,x°n] G Q. Znac íme ji jedn ím ze symbolu Bod X0 = [x(°,x22, - - - ,x°n\ rrmze byt libovolny bod z q. M ísto parcialn ích derivac í v bode X0 je muzeme uvazovat v bode X = [x\,x2, - - - ,xn]. Parcialn í derivace z —, i = 1, 2,---,n oxí nazyvame parciálními derivacemi prvního rádu. 535^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 12.5. Uvažujme funkci x\ sin — z = —2-. (12.25) Tato funkce je definovaná v každem bode X = [x^x2,x3] g E3, X = [x^x2,0]. UrCeme Jgj. Derivujme (12.25) podle promenne x2. Promenne x1, x3 uvažujeme jako konstanty. Dostavame ďz = xi X3 cos g • (x2 + x3 + 1) - xi sin gj • 2x2 ďx2 (x2 + x3 + 1)2 Upravu prenechavam Ctenaři. Zavedení parciálních derivací vyšších řádú. Předpokiadejme, že funkce z = f (xi,x2,... ,x»,... ,xn), X = [xi,... ,x»,... ,xn] g Q c En (12.26) je definovana na Q c En a ma parciainí derivace —, i = 1,2,...,n (12.27) v každem bode X = [xi,x2,...,xn] g Qi c Q. Mužeme se na ne tedy dívat jako na funkce n-promennych na Qi. Jestliže parciain í derivace JX- ma parciain í derivaci 536»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit podle xj v bode X0 = [x°,x°,..., x^], oznac íme ji ^d^^^^X0^. Uved'me si nekolik dals ích uZ ívanych oznacen í df dx ) , df (d)x0) , ZX'iXj (X0), ZXXj (X0), fX';Xj (X0), fXX- (X0). (12.28) Nažyvame ji druhou parcialn í derivac í funkce f podle x^x^ (v tomto pořad í) v bode X0. Jestliže i = j, p íseme vetsinou |xf m isto äfr|^, resp. 2X2 m isto zX'.x.. Jestliže i = j, nažyvame parcialn í derivaci tt-^— sm ísenou. Příklad 12.6. Nechť o 2 4 3 z — 3x1x2x3 Vypořc ítejte vřsechny jej í parcialn í derivace 2. řradu. Napřred vypořc ítame parcialn í derivace 1. řradu. Dostavame z 4 3 z 2 3 3 z 2 4 2 6x1x2x3, „ — 12x1 .x 2 x 3, — 9x1x2x3. x1 2 3 x2 1 2 3 x3 537^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Přikrocme k výpoctu vsech parcialn ích derivac í 2. radu. Dostavame d z /^>43 d z 33 d z 42 ——2 = 6x2x3, — ~ = 24xix2x3^ ^ ~ = 1oxlx2x3, dxf dx1dx2 dx1dx3 d2 z 3 3 d2 z 2 2 3 d2 z 2 3 2 — - = 24xlx2x3, „ 2 = 36x1x2x3^ ^ ~ = 36xlx2x3, dx2dx1 dx2 dx2dx3 d2 z 4 2 d2 z 2 3 2 d2 z 2 4 18x1 x2x3, ~ ~ == 36x1x2x3, ~ 2 =~ 18x1x2x3. dx3dx1 dx3dx2 dx 3 Poznámka. Vsimneme si, že v tomto príklade je d2z d2z . . . Jinymi slovy, v tomto případe nežalež í na porad í derivivan í. Podobne se definuj í parcialn í derivace vyss ích řadu. Je-li dana napr. funkce z = f (X), X = [x1,x2,...,xn], X g q c en, (12.29) potom např. parcialn í derivace 3. řadu aj;/ obdrž íme takto. Vypoc ítame Jx_. to žna-mena, že x1,x3... ,xn považujeme ža pevne hodnoty a derivujeme (12.29) podle x2. Předpokladame, že tato derivace existuje na jiste podmmnožine q1 c q. V dalsím 538^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit kroku derivujeme funkci -X^ opet podle promenne x2, tj. pocítejme -X^(-Xf2). To zna-mena, ze xi,x3 ...,xn ve funkci -XL povazujeme za pevne hodnotý a derivujeme ji podle x2. Predpokladame, ze tato derivace existuje na jiste podmmnozine í2 C Dostaneme tak na í2 funkci . V dalším kroku derivujeme funkci , definovanou na fž2, podle promenne x1. To znamena, ze x2,x3... ,xn povazujeme za pevne hodnotý a derivujeme funkci -x?, definovanou na fž2, podle x1. Jestlize tato parcialní derivace existuje na fž3 C fž2, mame v kazdem bode mnoziný fž3 definovanou parcialní derivaci Jeotazkou, co lzeríci o vzajemnem vztahu mazi parcialními derivacemi a-23/ , a , J r -X2-Xl -X2-X1-X2 ďXjf/x?. Týto parcialní derivace se lisí pořadím promenných, podle nichz jsme provadeli derivovaní. Platí tato veta. Veta 12.6. Necht funkce n-proměnných z = f(X), X = [xi,x2,...,xn], X G í má v jistém okolí U (Xo), X0 G spojité všechny parciální derivace řádu k, potom nezáleží na pořadí proměnnách, podle nichž derivujeme. Tedy např. ma-li funkce f (xi,x2) v okolí bodu Xq = [x^x!]] spojite vSechny parcialní 539»First »Prev »Next »Last »Go Back •Full Screen •Close •Quit deriváce 2. mdu, [rotom -|^r = lĚL■ Poznámka. Vetá 12.6 je vyslovená zá ponekud silnejsích predpokládU, než je nutno. Příklad 12.7. Nechť z = x3y¥. Potom plátí = 3xsyst4, dx Podobne dz dt = 4x3y2t3, d 2z dxdy d 2z dtdy = 6x2yt4, = 8x3yt3, d3z dxdydt d3z dtdydx = 24x2yt3. = 24x2yt3. Vidíme, ze = ltl|y|x. K tomuto zaveru byčhom prisli prímo uzitím vety 12.6, neboť vsečhny parčialní derivače funkče z = x3y2t4 jsou spojite ve e3. 540^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Parciální derivace složené funkce Před započetím studia této problematiky si zopakujte výpočet derivace složené funkce jedné promenne. Veta 12.7. (Derivace složené funkce) Necht funkce ipi(X), X = [xi,...,xn] g en, i = 1,2,...,m, mají všechny parciální derivace v bode X0 = [x0,..., x®]. Necht funkce z = f (Y), Y = [y1,..., ym], ma špojite všechny parciální derivace 1. řádu v bode Y0 = [y°,..., ym], kde y° = ^i(X °), i = 1, 2,...,m. Potom složena funkce z = F (X ) = f ([pi (X),..., MX)]) má v bode X0 všechny parcialní derivace 1. řadu a platí dF(X°) = ^ df (Y0) dV](X0) i = 12 n z = Vl + Cx + y)2, [x, y] g e2. (12.30) Příklad 12.8. Nechť Vypočítejte dg-. 541 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Funkce (12.30) je složená funkce. Funkce z = f (u), kde /(u) = y/u, je jej ř vnějš ř složkou á u = /2,3 4]. Ponevádž (2 cos t)' = —2 sin t, (2 sin t)' = 2 cos t, (3t)' = 3, je smerovy vektor s tecny v bode T roven s = (—\/2,A 3). Tedy tecná k žádáne křivce v jej ím bode T má párámetricke vyjádřen í x1 = V2 — \/2a, x3 = 34 + 3A, kde A G (—to, to). 546•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit TeCná rovina k plose. Nechť z = F(X), X = [xi,...,xn] G D C en ma v D spojite vsechny parcialn í derivace 1. radu. Nechť T0 = [x°,...,xn] G D a T = [x°l ,...,x°n,z°], kde z0 = F (x°l,... ,x°n) je bod na plose z = F (X). Nechť funkce xí = p(t), t G I, i = 1, 2,...,n, maj í derivace 1. radu v bode t0 G I a necht x°° = Pí(to), i = 1, 2,...,n. Ožnacme c křivku v en+l danou v parametrickem vyjadřen í rovnicemi x i = p i (t), xn = Pn(t), z = F (p i (t),Pn(t)) (12.34) lež íc í na plose z = F (x l,..., xn). Smerovy vektor tecny křivky c v jej ím bode T je s = (p^ -'^{Z)Topl(t0) + - + {Qnp'n(t0))- Vektor s je kolmý na vektor 5A7^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (Skálární souCin techto vektorU je roven nule.) OznáCme t rovinu t -z -F (T0)=© To (xi -x0)+■ ■ •+(£)To (x- - * TeCná ke křivce (12.34) v bode T leží v rovine t. Táto roviná závisí pouze ná rovnici plochy z = F(X) á ná bode T. Názyváme ji tecnou rovinou plochy z = F(X) v bode T. Nečht funkče z = F(x1,...,xn) ma spojite vsečhny parčialní derivače 1. radu v bode To = [x?,...,xn]. Označme z0 = F (x°1,... ,x°n), T = [x? ,...,x°n,z0] bod na plose z = F(x1,..., xn). Potom rovina 0 fdF\ , 0, fdF\ , 0 z — z ={ddx-1) To (x1 — x1) + "' +{dx-)To (xn — x je tečnou rovinou k plose z = F(x1,..., xn) v bode T._ Príklad 12.10. Napiste rovniči tečne roviny k plose z = \Jx2 + y2 v bode T = [4, 3, ?] na dane plose. Řešení. Napred určíme z. Dostavame z0 = \/42 + 32 = 5. 548^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Určíme parciální derivace 1. řádu funkce z = \Jx2 + y2 v bodě T0 = [4, 3]. Dostáváme d z x d z y f dz\ 4 í3z\ 3 dx \/x2 + y2, dy x/x2 + y2' \dx) [4,3] 5, \dy) [4,3] 5' Tedy hledanou tečnou rovinou je rovina t = z - 5 = 5(x - 4) + 5(y - 3). 12.1.1. Totální diferenciál Totální diferenciál funkce dvou proměnných Před započetím studia teto podkapitoly si zopakujte diferenciál funkce jedne promenne. Definice 12.1. (Totální diferenciál funkce z = f (x,y)) Nechť z = f (x,y) je funkce definovaná v danem í-okolí Us ([a,b]) bodu [a,b]. Nechť funkce f (x,y) má v bode [a, b] spojite parciální derivace f, §y. Potom funkci df v promennych h, k, danou vztahem df^"'"'"H j-+(fLk' (12.35) nazýváme totálním diferenciálem funkce f (x,y) v bode [a, b]. 545»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Pro takto zavedený totainí diferencial platí tato veta. Veta 12.8. Necht funkce z = f (x, y) ma v bode [a, b] špojite parciální derivace 1. řadu. Potom exištujíô > 0 a funkce n(h, k) tak, že pro h, k, pro než [a + h, b+k] g 3U([a, b]) 1) platí f (a + h, b + k) - f (a,b)= f r h + f r k + n(h,k), (12.36) rÄffl = 0. (12.37) Poznámka. V diferenciálu (12.35) se často místo h, k píse dx, dy. Diferenciál df funkce f (x, y) v bode [a, b] se pak zapisuje takto _df=( ^),,,dx +( I),,,dy._ Příklad 12.11. Napiste diferencial funkce z = x3y4 v bode [2,3]. Řešení. Funkce z = x3y4 ma spojite parcialní derivace v kaZdem bode [x,y], tedy i v bode [2,3]. Podle (12.35) dostavame dz = (3x2y4)[2,3]dx + (4x3y 3)[2,3]dy, x) 3Us([a, b]) je okolí bodu [a, b] určené metrikou g3. 550»F/'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit tj. dz = 972 dx + 864 dy. Analogicky lze zavést diferenciál funkce n-promenných. Definice 12.2. Nechť funkce z = f (X), X = [xi,... ,xn], n G n, ma v oblasti q spojite parciain í derivace 1. řradu. Potom df =( ď^-) dxi + • • • +(1^ dxn (12.38) y ďxiJ x V ďxn J x nažyvame totain ím diferenciaiem funkce z = f (X) v bode X = [xi,... ,xn] G q. Je tedy df v bode X funkc í promennych dxi,..., dxn. Veta 12.9. Necht: funkce z = f (X), X = [xi,..., xj mé v bode Xo = [x°,..., xn] spojité parciální derivace 1. řadu. Potom existuje ô > 0 a funkce n(dxi,... ,dxn) tak, že pro dxi,..., dxn, pro něž [xi + dxi,..., xJ + dxn] G Us(Xo) platí f (xi + dx1, . . . , xn + dxn) f (x1, . . . , xn) — = ( tl +-----+\ JTi + n(dxi,... ,dxn), \ďxi/ X0 \ďxn/ X0 551 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit pěi cemž limita x+ | v bode [0,..., 0] ma hodnotu 0. Důkaz: Dukaž je analogicky jako dukaž specialn ího prípadu n = 2 uvedenem ve vete 12.8. . z teto vetý výplýva, že f (x0 + dx1,...,x^ + dxn) - f (x0,...,xn) « (J^l) +-----^ dxn. Totaln ídiferencial výjadřuje prírustek na tecne rovine, prejdeme-li ž bodu X0 = [x? do bodu X = [x1 + dx1,..., + dxn]. , . . . , x0] 5 ... 5 j/nJ 552•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 12.2. Extrémy funkcí více proměnných Lokáln i extremý Lokaln í extremý funkc í n-promenných žavad íme analogický jeko u funkc í jedne promenne. Definice 12.3. Nechť f (X), X = [x1 ,x2,... ,xn], je funkce n-promenných definovana na oblasti f. Necht X0 = [x1,x2,... ,x£] G f. Nechť existuje ô > 0 tak, že U (X0) c f a že pro vsechna X G U(X0) plat í f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)). Potom ríkame, že funkce f ma v bode X0 lokálni maximum (lokálni minimum). Lokaln í maxima a lokaln í minima nažývame spolecným nažvem lokálni extrémy. Nechť existuje ô > 0 tak, že U (X0) c f a že pro vsechna X G U (X0), X = X0 plat í f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)). Potom ríkame, že funkce f ma v bode X0 vlastni lokálni maximum (vlastni lokálni minimum). Vlastn í lokaln í maxima a vlastn í lokaln í minima nažývame spolecným nažvem vlastni lokalni extrámy. Z teto definice je patrno, že jestliže funkce f (X) ma v bode X0 lokaln í maximum 553^F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (minimum), potom maj í i všechny funkce i = 1, 2, • • • ,n v bode xi, i = 1, 2, • • •, n, lokain í maximum (minimum). Ma-li tedy funkce Fi(t), i = 1, 2, • • • ,n, v bode x1 derivaci, je rovna 0. Podle definice parciain í derivace funkce f je však derivace funkce Fi(t) v bode x1 rovna parciain í derivaci funkce f (X) podle X{ v bode X1, takže Funkce f(X), X = [x\,...,xn], definovaná na oblasti Q, může nabývat lokální extrám použe v těch bodech, v nichž ma vsechný parciální derivace 1. řadu rovný 0, nebo v tžch bodech, v nichž nemá nžkterou parciální derivaci. Bod X0 g Q, v nemž má funkce f vžechný parcialníderivace 1. žadu rovný nule, se nažývá stacionárn ím bodem funkce f. Príklad 12.12. Urcete stacionárn í body funkce Bxí z = x3 + y3 — 3xy^ (12.39) Řešení. Vypoc ítejme parcialn í derivace 1. radu. Doštavame d z d z = 3x2 — 3y, — = 3y2 — 3x-dx dy First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Stacionařn í body jsou ty body [x,y], přo nez plat í ^ = 0, ^ = 0. dx ' dy Z techto podm ínek dostavame system řovnic 3x2 - 3y = 0, (12.40) 3y2 - 3x = 0. (12.41) Je to system nelineařn ích řovnic o dvou neznamych. Z (12.48) vypoc ítame y. Dostavame y = x2. (12.42) Dosazen ím (12.50) do (12.49) dostavame x4 — x = 0. Tuto řovnici lze přepsat na tvař x(x - 1)(x2 + x + 1) = 0. (12.43) Z (12.51) dostavame x1 = 0, x2 = 1. Dalsí dva kořeny dostavame řesen ím řovnice x2 + x + 1 = 0. Tyto kořeny jsou komplexne sdřuzene. Ponevadz uvazujeme jenom řealne body, nebudeme je uvazovat. Dosad íme-li x = 0 do (12.50), dostavame y = 0. 555•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Dosád íme-li x = 1 do (12.50), dostváme y = 1. Má tedy funkce (12.47) dvá stácionárn í body Funkče y = x3+y3—3xy ma parčialn íderivače ve vsečh bodečh. Na zaklade dosavadn íčh uvah vyplyva, ze vysetřovana funkče muze m ít lokaln í extrémy pouze v bodečh A, B. Uvazujme nyn íopet funkči z = f (X), X = [x1,... ,xn] n-promennyčh, definovanou na oblasti íí. Budeme vysetrovat, zda funkče f (X) ma ve stačionarn íčh bodečh extrém. Začneme s prípadem n = 2, tedy s funkčemi z = f (x,y) dvou promennyčh na oblasti íí. Nečhť bod [a,b] g í je stačionarn ím bodem funkče f (x,y). Podle Taylorovy vety pro k = 1 dostavame A[0,0], B [1, 1]. f (a + h,b + k) = f (a,b) + 1 1! dx) [a,b] \dyJ [a,b] + R2, (12.44) kde (12.45) Bod [£,n] je ná usecce o koncovych bodech [a, b], [a + h, b + k]. 556•F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ponevadž [a, b] je stacionarn ím bodem funkce f, je (f )[a,b] = 0, (f )[a,b] = 0. Proto (12.44) lže žapsat jako f (a + h,b + k) - f (a, b) = R2. (12.46) Je-li tedy R2 > 0 (R2 < 0) pro vsechna dostatecne mala h, k,ma funkce f v bode [a, b] lokaln í minimum (maximum). Rožborem R2 se dokaže nasleduj íc í veta. 557•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 12.10. Necht funkce f (x, y) ma v jistém okolí Us ([a, b]) bodu [a, b] spojité vžechny parciální derivace 2. žédu. Necht: =0, [a,6] \<9x/ Pro body [x, y] g U([a, b]) položme A(x,y) = = 0. [a,b] df df_ dx2 dxdy dxdy dy2 v bode f(x,y) v Je-li A(a,b) > 0, má funkce f (x,y) extrém. Je-li A(a,b) < 0, nemá funkce lokální extrám. V případě, že A(a,b) > (< 0) má funkce f (x,y) v bodě [a, b] vlastní lokální minimum (maximum). 0 3 (U )[a,b] [a, b] lokální bodě [a, b] > 0 Příklad 12.13. Zjistili jsme, že funkce z = x3 + y3 — 3xy má dva stacionárn í body A[0, 0], B[1,1]. Rozhodnete, žda tato funkce má v techto bodech lokáln í extrémy. Řešení. Funkce z = x3 + y3 — 3xy ma spojite parciain í derivace 2. radu ve vSech 558^F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit bodech. Vypořctem dostavame d2z d2z d2z d2z dx2 dxdy dydx dy2 Tedy A{x, y) = Gx -3 -3 Gy = 3Gxy - 9. Ponevadž A{O, O) = —9 K O, nema vysetrovana funkce ve stacionarln ím bode [O, Oj lokaln í extrem. Ponevadž A{1,1) = 3G — 9 = 27 > O, ma vysetrovana funkce ve stacionarn ím bode [1, lj lokaln í extrem. Ponevadž Iöx^J[1i1] = {Gx)[1-1] = g >O, ma vysetrovana funkce v bode [1, lj lokaln í minimum. Pro funkce n-promennych plat í analogicka veta. 559^Fiřšt •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 12.11. Necht funkce f (X), X = [xi, x2,..., xn] je definovaná na oblasti q. Necht X0 = [ry0 ry0 xi, x2, x°n] je jejím stacionárním bodem, tj. necht (K) xi Necht v jistém okolí Us (X0) má funkce f (X) spojité všechny parciální derivace 2. řádu. Označme Dk = -2f dx2dx\ d2f _ -2f x x2 x22 d2f -2f dxidxk dx2dxk x2 k = 1, 2,... ,n. Je-li Di(X0) > 0, D2(X0) > 0,..., Dn(X0) > 0 (Di(X0) < 0, D2(X0) > 0,..., (-1)nDn(X0) > 0), mí funkce f v bodě X0 lokální minimum (maximum). 560^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Príklad 12.14. Urcete lokaln í extremý funkce u = x2 + y2 + z2 + xy — xz. Řešen í. Položme parcialn í derivace uX = 2x + y — z, uy = 2y + x, ux z — 2z x rovný nule. Resen ím vžnikleho sýstemu rovnic urc íme jediný stacionarn i bod [0,0,0]. Pomoc í matice / 2 1 —1 \ / uxy u^z \ u" u" u" yx yy yz ^ uzx uzy uzz y 120 —1 0 2 urc i me D = 2, D2 = 21 12 D = 2 1 —1 120 1 0 2 Protože Di > 0, D2 > 0, D3 > 0, má vyšetřovaná funkce v bodě [0,0, 0] ostré lokáln í minimum. 561 •First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Globain í etxremy Nechť funkce f (X) je definovana na uzavřene oblasti Q (tj. na sjednocen í oblasti s jej í hřanic í). Řekneme, ze funkce f (X) n-pramennych ma globaln í (absolutn í) maximum v bode X0 G q, jestlize přo vsechny body X G Q plat í f (X) < f (X0). Podobne řekneme, ze funkce f (X) n-přomennych ma globaln í (absolutn í) minimum v bode X0 G Q, jestlize přo vsechny X G Q plat í f (X) > f (X0). Globaln í maxima a globaln í minima se nazyvaj í spolecnym nazvem globélníextrémy. Platí tato veta. Veta 12.12. Necht funkce n-promenych f (X) je spojita na uzavěené oblasti Q. Potom ma na Q globélní maximum a globalné minimum. Je-li X0 bod, v němě funkce f nabéva na Q globélní maximum (minimum), potom X0 je buď hraniěném bodem Q, anebo funkce f ma v něm lokalné maximum (minimum). Jako příklad nalezen í globaln ího minima funkce f (X) n-promennych uved'me nasleduj íc í př íklad. Lokaln í extrémy funkcí n-promennych zavad íme analogicky jako u funkc í jedne promenne. 562•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Definice 12.13. Necht f (X), X = [xí,x2,... ,xn], je funkce n-promenných definovaná na oblasti Q. Necht X0 = [x°í,x°2,...,xn] G Q. Necht existuje ô > 0 tak, že U (X0) C Q a že pro vžechna X G u(X0) platí f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)). Potom ríkáme, že funkce f ma v bodž X0 lokálni maximum (lokálni minimum ). Lokalní maxima a lokální minima nažýváme spolecnám nážvem lokálni extrémy. Necht existuje ô> 0 tak, že U (X0) C Q a že pro vžechna X G U (X0), X = X0 platí f (X) < f (X0) (f (X) > f (X0)). Potom ríkáme, že funkce f má v bode X0 ostré lokálni maximum (ostré lokálni minimum). Ostrá lokáln í maxima a ostrá lokáln í minima nazýváme spolecnym nážvem ostré lokilni extrémy. Uved'me si jak lže urcit body, v nichž funkce n—promennych má lokáln í extrémy. Z drívejš ího studia víme, že funkce jedne promenne y = f (x) muže m ít lokáln í extrem použe v tech bodech, v nichž nemá derivaci, nebo má derivaci rovnu 0. Podobne je tomu u funkc í v íce promennych. 563»First »Prev »Next »Last Back •Full Screen »Close »Quit Funkce f(X), X = [xi,...,xn], definovaná na oblasti Q, může nabývat lokální extrém použe v těch bodech, v nichž ma všechny parciální derivace 1. řadu rovný 0, nebo v tžch bodech, v nichž nema nžkterou ž tžchto parcialních derivací. Bod X0 g q, v nžmž ma funkce f vžechný parcialní derivace 1. žadu rovný nule, se | nažýývá stacionárním bodem funkce f. Příklad 12.15. UrCete stácionárn ř body funkce z = x3 + y3 — 3xy. (12.47) Řešení. VypoC ítejme parcialn í derivace 1. radu. Dostavame z z — = 3x2 — 3y, — = 3y2 — 3x. x y Stacionarn ř body jsou ty body [x,y], pro než plat í dz = 0, dz = 0. x y Z techto podm řnek dostavame system rovnic 3x2 — 3y 3y2 — 3x 0, 0. (12.48) (12.49) 564^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Je to system nelinearn ích rovnic o dvou nežnamych. Z (12.48) vypoc ítame y. Dostavame y = x2. (12.50) Dosažen ím (12.50) do (12.49) dostavame x4 — x = 0. Tuto rovnici lže prepsat na tvar x(x — 1)(x2 + x + 1) = 0. (12.51) Z (12.51) dostavame xl = 0, x2 = 1. Dalsí dva koreny dostavame resen ím rovnice x2 + x + 1 = 0. Tyto koreny jsou komplexne sdružene. Ponevadž uvažujeme jenom realne body, nebudeme je uvažovat. Dosad íme-li x = 0 do (12.50), dostavame y = 0. Dosad íme-li x = 1 do (12.50), dostvame y = 1. Ma tedy funkce (12.47) dva stacionarn í body A[0,0], B [1,1]. Funkce y = x3+y3—3xy ma parcialn í derivace ve vsech bodech. Na žaklade dosavadn ích uvah vyplyva, že vysetrovana funkce muže m ít lokaln í extrémy použe ve stacionarn ích bodech A, B. Uved'me si nyn í vetu, kterou mužeme v rade prípadu použ ít na žjisten í, žda funkce nabyva ve stacionarn ím bode lokaln í extrém, nebo ne. 565•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 12.14. Necht funkce f (x, y) ma v jištám okolí U ([a, b]) bodu [a, b] špojitá všechny parciální derivace 2. fádu. Necht: =o, (lí [a,b] x Pro body [x,y] G Us ([a, b]) položme A(x,y) = = 0. [a,b] dx2 dxdy dxdy dy2 Je-li A(a,b) > 0, ma funkce f (x, y) v bode [a, b] lokálni extrám. Je-li A(a, b) < 0, nemá funkce f (x, y) v bode [a, b] lokální extrám. V pnpadě, ee A(a, b) > 0 > 0 (< 0), ma funkce f (x, y) v bode [a, b] vlaštná lokalná minimum a d2 f ) -dx2 )[a,b] (maximum). Príklad 12.16. Zjistili jsme, že funkce z = x3 + y3 — 3xy ma dva stacionarní body A[0, 0], B[1,1]. Rozhodnete, zda tato funkce ma v techto bodech lokaln í extremy. ReSení. Funkce z = x3 + y3 — 3xy ma spojite parcialn í derivace 2. radu ve vsech 566^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit bodech. Výpočtem dostáváme dx2 dxdy dydx dy2 Tedý A(x,y) = 6x —3 = 36xy — 9. I —3 6y I Ponevádž A(0,0) = —9 < 0, nemá vyšetřovaná funkce ve stácionárln ím bode [0,0] lokáln í extrem. Ponevádž A(1,1) = 36 — 9 = 27 > 0, má výšetrováná funkce ve stácionárn ím bode [1,1] lokáln í extrem. Ponevádž náv íc ldx^J|1,1] = (6x)[1,1| = 6 >0, má výšetrováná funkce v bode [1,1] lokáln í minimum. Pr íklad 12.17. Náležnete lokáln í extremý funkce z = f (x; y), kde f (x, y) = x2 + y2 + xy — 6x — 9y. Řešen í. Dáná funkce je definováná ná e2. Má obe párciáln í deriváce fx, fy ná svem definicn ím oboru. Muže m ít tedý lokáln í extremý použe v tech bodech , v nichž jsou týto párciáln í deriváce rovný 0, tj. ve stácionárn ích bodech, t.j. v bodech, ktere výhovuj í rovnic ím 567»F;'rst •Prev »Next »Last • Go Back •Full Screen »Close •Quit f (-i =)2x + y - 6 = 0 (12.52) f (-i. =)2y + x - 9 = 0. (12.53) y Jejich řešen řm dostáváme jeden stácionárn ř bod A = [1,4]. Vypoc řtejme druhe párciáln ř deriváce vysetřováne funkce f (x,y). Dostáváme fxx 2, fyy 2, fxy fyx 1. Tyto párciáln ř deriváce jsou spojite v e2. Je tedy A(x,y) = 2.2 - 1, tj. A(x,y) = 3. Odtud A(1,4) = 3 > 0. Tedy vysetřováná funkce má v bode A = [1,4] lokáln í extrém. Ponevádž fxx(1,4) = 2 > 0, jde o lokáln ř minimum. Příklad 12.18. Zjistete lokálni extrémy funkce 22 z = x — y Dáná funkce má párciáln ř deriváce prvn řho rádu v káždem bode ž e2. Muže m řt tedy lokáln í extrém použe v tech bodech ž e2, v nichž obe párciáln í deriváce prvn řho rádu uvážováne funkce jsou rovny 0. Tyto body mus ř tedy vyhovovát rovnic řm 2x = 0, -2y = 0. 568^^ •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Odtud dostáváme, že uvažovaná funkce má jediný stacionárn í bod A[0,0]. Abychom rozhodli, ždá v tomto stácionárn ím bode má dáná funkce lokáln í extrém, vypoC ítejme A(x,y). Dostáváme fXX = 2, fyy = —2, fxy = 0, A(x, y) = —4. Tyto párc íáln í deriváce jsou spojite. Ve stácionárn ím bode je A(0,0) = —4. Ponevádž A(0,0) < 0, nemá funkce z = x2 — y2 lokáln í extrém. Příklad 12.19. Urcete lokáln í extrémy funkce z = \J x2 + y2. Táto funkce má tyto párciáln í deriváce prvn ího rádu xy yx2 + y2 y x2 + y2 Vysetrováná funkce muže m ít lokáln í extrémy pouze v bodech, v nichž má párciáln í deriváce prvn ího rádu rovny 0, nebo v bodech v nichž neexistuje álespoň jedná ž nich. Funkce nemá párciáln í deriváce prvn ího rádu v bode [0,0]. Obe párciáln í deriváce prvn ího rádu jsou v definicn ím oboru mžne od 0. V bode [0,0] je z(0,0) = 0 á v káždem bode [x,y] = [0,0] je z(x,y) > 0. Má tedy dáná funkce v bode [0,0] lokáln í minimum. Příklad.Náležnete lokáln í extrémy funkce z = x3 + y2 — 12xy. 569»F;'rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Funkce dvou promennych muže m ít lokaln í extrém použe v bodech, v nichž ma obe parcialn í derivce prvn ího radu rovny nule, nebo v bodech, v nichž nema alespoň jednu parcaln í derivaci prvn ího radu.Dana funkce ma obe parcialn í derivace prvn ího radu ve vsech bodech. Budeme proto hledat použe body - stacionarn í body, v nichž jsou jej í obe parcialn í derivace prvn ího radu rovny 0. Vypoc ítejme tedy parcialn í derivace prvn ího řradu. Dostavame d z d z t- = 3x2 — 12y, — = 2y — 12x. dx dy Tyto parcialn í derivace polož íme rovny 0. Dostaneme system rovnic 3x2 — 12y = 0, 2y — 12x = 0. Z druhe ž techto rovnic vypoc ítame y. Dostavame y = 6x. Dosažen ím do prvn í ž techto rovnic obdrž íme 3x2 — 72x = 0, tj. x2 — 24x = 0 tj. x(x — 24) = 0 Je tedy bud' 1. xi = 0, a tedy yi = 0, nebo 2. x2 = 24 a tedy y2 = 144. Dostali jsme tedy dva stacionarn í body: A = [0,0], B = [24,144]. Rožhodneme, žda dana funkce ma v nekterém ž techto stacionarn ích bodu lokaln í 570•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit extrem. Vypoc ítejme tedy 2z 2z 2z A(x,y) = in?^ - x2 y2 x y Vypoctem dostavame 2z 2z 2z _= 6r _= 2 _= —12 x2 y2 x y Je tedy A(x,y) = 6.x.2 - (-12)2. 1. V bode [0,0] je A(0,0) < 0, takZe v tomto bode funkce nema lokaln í exterem 2. V bode [24,144] je A(24,144) > 0, Vysetrovana funkce ma tedy v bode [24, 144] lokaln í extrém. 2 O jaky extrem se jedna, rozhoduje znamenko hodnoty druhe derivace v bode [24,144]. PonevadZ (|X|)[24 144] > 0, ma vysetrovana funkce v bode [24,144] lokaln í minimum. 571^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Kapitola 13 V.MikulikrVícerozměrné integrály 13.1. UrCitý integrál funkce jedne promenne - zopakovaní pojmU b Dríve než přikroc íme kžaveden ívícerožmernych integraiu, žopakujmesi pojem urciteho integraiu j f (x) dx. a Delení intervalu, nořma delení Necht a, b G R, a < b a necht n G N. Necht: {xkj^í} jsou takove žvoiene body ž intervaiu (a, 6), že a = x1 < x2 < • • • < Xj < xi+1 < • • • < xn < xra+1 = b. 572^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Temito body je urceno n interválu (xl, x2), (x2, x3), . . . , (xi, xi+l), . . . , (xn, xn+1) . Budeme ríkát, ze tyto intervály tvoří delení intervalu (a, b) ná n cástecnych interválu. Toto delen í oznácíme Dn. Body xi názveme dělícími body. C íslo D n || =~ max |xi+i xi | i názveme normou deleníDn. Příklad 13.1. Ukázme si pr í klád tákovehoto delen í. Uvázujme intervál (1, 2). Zvolme n = 4 á delicí body x1 = 1; x2 = 1,2; x3 = 1,3; x4 = 1,35; x5 = 2. Temito body je urceno delen í D4 interválu (1, 2) ná 4 řcásteřcne intervály D4 : (1; 1,2), (1,2; 1,3), (1,3; 1,35), (1,35; 2). Normou tohoto delen í je ||D4|| = max (0, 2; 0,1; 0, 05; 0, 65) = 0,65. Vytvářející součet určitého integrálu. Necht f (x) je omezená funkce ná interválu (a, b). Necht: n je prirozene c íslo. Zvolme delen í Dn interválu (a, b) ná n cástecnych interválu s delic ími body a = x1 < x2 < • • • tohoto delen í Dn zvolme bod n£i pro i = 1, 2,...,n.. Oznácme dále n| = {nŠ1n Š2,... ,n £n} usporádánou skupinu techto n císel . Potom císlo n °(f,Dn,I) = Y1 f (nŠi)(xi+1 - xi) (13.1) i=1 573»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit nažyvame Riemanovym integrálním soužtem (vytvážejícím součtem) funkce f přísiusnym k deien í Dn a skupine císei n$>. Na obr. 13.1 je žnažornen Riemanuv integrain í soucet (vytvarej íc í soucet) pro žvoiene deien í D4 a žvoiena c ísia 4£. Na obr. 13.1 je funkce f (x) > 0 pro x G (a, b). Č ísio a(f, D4,4£) aproximuje intuitivne chápaný plodný obsah rovinneho obražce vytvoreneho osou x, přímkami x = a, x = b a krivkou y = f (x). I MM I * -1-1-1-1-1-i-1-1-1-^> a = Xi £i X2 & #3 £3 #4 U x5 = b Obrázek 13.1: Riemanův integrální součet. Zvolme nyn í posloupnost delen í Di,D2,...,D„,... (13.2) Normy techto delen í tvor í posloupnost || D2 | | | ... (13.3) 574»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Posloupnost (13.2) se nazývá nulovou posloupnost í dělen í, jestliže posloupnost příslušných norem (13.3) má limitu rovnu 0. Ke každemu delen í Dn přiřaďme nahoře uvedeným zpusobem Číslo (13.4) i=1 Obdrž íme tak posloupnost «(f, Di,1 Z)u a(f, Df a(f, Dnn Í)n} • • • (13.5) Jestliže posloupnost výtvárejících souctu (13.5) ma pro vžechný nulová posloupnosti delení limitu a tato limita je rovna vždý támuž císlu S, nežávislou na volbž bodu n£, potom toto číslo S nažývame uržcitým Riemanovým integrálem ž funkce f (x) od a do b. Pižeme pak ľ S = / f (x)dx^ J a Plat í nyn ítato veta. veta 13.1. Necht funkce y = f (x) je spojitá na užavrenem intervalu < a, b > . Potom urcitý integrál ja6 f (x)dx. Za tohoto predpokladu existuje tež primitivní funk na < a,b > (t.j. funkce F (x), pro niž platí F' = f (x) pro x G (a, b), F'+(a) F'—(b) = f (b).) a platí Jb f (x)dx = F (b) — F (a)._ blb^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 13.2. Zavedení dvojného integrálu Dríve, než se sežnam íte se žaveden ím pojmu dvojny integral, prostudujte si peclive žaveden í Riemanova urciteho integralu funkce jedne promenne. Zaveden í dvojneho integralu je analogicke jako žaveden í urciteho integralu funkce jedne promenne. Necht Q je užavrena oblast v rovine (Oxy). Necht: n je prirožene císlo. Řekneme, že užavřene oblasti tvorí delen í množiny Q, jestliže uí,u j kde i, j = 1, 2,... ,n,i = j, maj í spolecne nejvyse hranicn í body a jestl^n=1 uuí = Q. Necht: Dn je roždelen í oblasti Q na n oblast í ují,í = 1, 2,... ,n. (viž.obr.13.2). Obrazek 13.2: Delen í oblasti Q 576^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zaveďme si pojem „norma dělen í Dn" takto: Označme di nejdelš í úsečku spojuj íc í dva hraničn í body oblasti ui. Normu delen í Dn budeme značit ||Dn|| a definovat vztahem || Dn | | = max | di | . i Dale označme ploSny obsah oblasti wi. Na obr.13.2 je vyznačeno rozdelen í uzavřene oblasti na „12" uzavřených oblast í u^, cj2,____^12 a dale je vyznačena usečka d, jej íz delka je normou nakresleneho delen í D12. Nečht na uzavrene oblasti Q je definovana spojita funkče z = f (x, y). Zvolme dale body P G ui pro i = 1, 2,..., n. Označme nP = (P^ P2,..., Pn). Utvorme součet a(f,Dn,nP ) = Sn=if (Pi)|Wi Budeme jej nazyvat vytvařej íč ím součtem. Na obr.13.3 je grafičke znazornen í funkče f (x, y) a jeden člen vyrazu (13.6), tj. f (Pi) M. V prípade, ze f (Pi) > 0, potom f (Pije objem telesa, jehoz podstavou je wi, povrčhovymi přímkami jsou přímky rovnobezne s osou z jdouč í hraničn ími body oblasti wi a je omezeno rovinou z = f (Pi). Jestlize tedy f (x, y) > 0 pro (x, y) G Q, potom (13.6) aproximuje objem telesa, jehoz podstavou je Q, povrčhovymi přímkami jsou přímky rovnobezne s osou z jdouč í hraničn ími body oblasti Q a je omezeno pločhou z = f (x, y), kde (x, y) G Q. 577•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit (13.6) Obrázek 13.3: Vytvářej íc í součet dvojného integrálu Utvořme nyn í posloupnost délen í [Dn}^=1 Řekneme, Ze táto posloupnost délen í je nulová, jestliZe posloupnost I | D1 | | j || D2 | | j • • • j | | Dn\| , . . . příslusnych norem má nulovou limitu. 578^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Ještliže pošloupnošt nahoře eavedenych vytvářejácích šouctu (13.6),tj. pošloupnošt {£tif(Pi)M}-i (13.7) má pro všechny nulová pošloupnošti dělení {Dn}c^=1 limitu a tato limita je rovna vedy támuž cíšlu S, nerávišlou na volbě bodu nPpotom toto cíšlo S naryvame dvojnym integrálem ž funkce f (x, y) peeš obor Q. Zapišujeme jej takto JJf (x,y)dxdy. (13.8) n Ještliee funkce f (x, y) je špojitá na uravřená oblašti Q, potom exištuje integrál jy f (x,y )dxdy. n_ Geometrická vyrnam S = JJ f (x, y)dxdy. je tedy rordíl meri objemem cašti teleša n nad rovinou (Oxy) a objemem teleša pod rovinou (Oxy). Dvojný integral ma uplatnen í v řade fyzikaln ích i jiných aplikac í. Pod ívejme se nyn í na způsob vyc íslen í dvojneho integralu pres specialn í oblasti Q. Vyčíslení dvojneho integrálu. 579^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit N ormainí oblast vzhledem k ose x (viz. obrázek 13.4) Necht oblast q v rovině (Oxy) je omezena pěímkami x = a, x = b, kde a < b a krivkami y = 0i(x),y = 02(x), kde 01(x),02(x) jsou funkce spojitá na intervalu < a, b > pro něě platí 01 (x) < 02(x), pro x e< a, b >. Potom oblast q nazveme normální vzhledem k ose x. \ x=a x=b m __y=yx) i(x) 1 -0'=+1(x) a x b Obrazek 13.4: Normaln f oblast 580^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Podobne s normáln í oblást vzhledem k ose y. Nastín íme si nyn í odvozen í vypočtu dvojneho integralu přes normaln í oblast. Nečht oblast íí v rovine (Oxy) je normaln í vzhledem k ose x. Nečht je omezena přímkami x = a, x = b, kde a < b a krivkami y = 4>\(x),y = 02(x), kde 4'1(x), 4>2(x) jsou funkče spojite na intervalu < a,b> a nečht 4'1(x) < 02(x), pro x G< a,b >. Nečht z = f (x,y) je spojita funkče na íí. Ukazme si vypočet JJ f (x,y)dxdy. n V dals ím bude $ značit teleso omezene rovinou z = 0, pločhou z = f (x,y), jehoz povrčhove pr ímky jsou rovnobezne s osou z a pročhazej í hraničn ími body oboru íí. Zvolme u G< a, b >. Rovina x = u prot í na utvar $ v rovinem utvaru, jehoz plosny obsah, označme jej S (u), je roven (viz obr.13.5) ľ 4>2 (u) S(u) = f(u, y)dy Jl(u) 581•F/rst •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Rozdelme nyn í interval < a,b > na n CasteCnych intervalu < >,i = 1, 2, ...n. Zvolme dale ui E< Xj, xi+1 >, i = 1, 2,..., n. Utvořme souCet Tra = S(ui)(xi+i — Xj) 582^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Lehce lze náhlednout, Ze S — x i) je přibliZne objem části telesá $, mezi rovinámi x = Xj, x = xi+1. Č íslo rn je vytvářej ícím součtem integrálu / S(x)dx. (13.9) Dosad íme-li do (13.9) S (u) = f^u) f (u, y)dy, dostavame JJ f(x,y)dxdy = / {/ f (x,y)dy}dx. Integrál /^X) f (x,y)dy se vyč ísluje ták, Ze integráce se provád í podle promenne y, ná x se pohl íZ íjáko ná konstántu. Výsledkem teto integráce je funkce promenne x. Táto funkce se pák integruje podle x od a do b. Výsledky shrneme do teto vety. 583^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Veta 13.2. Necht uzavřená oblast Q je ohraničena přímkami x = a, x = b, kde a < b a křivkami y = (f)i(x),y = (2(x), kde funkce (\(x),y = (2(x) jsou spojité na < a,b > a vyhovují nerovnosti ff>\(x) < (2(x) pro x e< a,b >. Necht funkce f (x,y) je spojita na Q. Potom existuje JJ f (x, y )dxdy a platí n f (x,y)dxdy = {l f (x,y)dy}dx (13.10) n Ja J (f>i(x) Poznámka. Na vžorec (13.10) mužeme pohl ížet takto. Oblast Q se ortogonalne prom íta do osy x do intervalu < a, b > . Zvol íme-li x E< a, b >, potom usecka o koncovych bodech [x, &1(x)], [x, &2(x)] patrí do Q.. Vnitrn í integrace je podle y v mež ích &]_(x) do &2(x) a vnejs í integrace je podle x v mež ích od a do b. Příklad 13.2. Vypoc ítejte integral JJ x2ydxdy, jestliže Q je oblast omežena souradnymi osami. .1 584^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit x,y a prímkou x + y — 1 = 0.(viž. obražek ) Obražek 13.6: Oblašt Q ž příkladu 13.2 Řéšéní. Podle (13.10) dostáváme JJx2ydxdy = /Q xx2ydy}dx = JQ^x2^]g xdx = 0.5 fQ (x2(1 — x) dx — 0.5 ^JQ (x 2x ~\~ x ^)dx — gQ Príklad 13.3. Vypocítejte hodnotu dvojneho integrálu I = JJ(x + y)dx dy n kde Q je užavrená oblast v rovine (Oxy) v prvn ím kvartálu ohranicenou souradnymi osami x, y a krivkou y = \/l — x2.(viž.obr.13.7). SBS^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení. Na obr.13.7 je znazornena zadana uzavřena oblast Q, ktera je normaln í jak vzhledem k ose x, tak i vzhledem k ose y. Integral budeme provadet s vyuzitím toho, ze Q je normaln í vzhledem k ose x. V tomto případe je a = 0,b = 1,01(x) = O,02(x) = \J1 — x2. Integrandem je funkče spojita na Q. Podle vety 13.2 dostavame I = fUtí1^^ + y )dy}d x = /„'[xy + ],yT—1?dx = j0 (x\/1 — x2 + 2(1 — x2))dx — ^0 x xx dd*x i 2 (1 xx ) ddxx — 3 Poznámka. J x V1 — x2dx lze řesit substituč í t = 1 — x2. Příklad 13.4. Vypoč ítejte hodnotu dvojneho integralu JJ xdxdy, kde oblast Q je omezena krivkami y = 2x — 1 a y = 4 — (1 — x)2.(viz.obr.13.10) 586^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Řešení: Obiast Q (viž.13.10) je ohranicena paraboiou y = 4 — (1 — x)2 shora a přímkou y = 2x — 1 ždoia. Vypoc ítejme pmsecíky obou křivek. Dostavame : Pi = [2, 3],P2 = [—2, —5]. Dana obiast je normain í vžhiedem k ose x. Tedy a = —2, b = 2, ^(x) = 2x — 1,02(x) = 4 — (1 — x)2. 587•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit rr ŕ ŕ_{1_x)2 ľ2 4-(1-x)2 f2 xdxdy = { / xdy}dx = x[y]4=2x_i = / x(4 — x)2 dx = 0 2 2x 1 2 2 Príklad 13.5. Vypoc ítejte dvojny integrál JJ(x2 + y2)dxdy, kde oblast Q je omežena prímkami y = 0, n y = 1 — x a y = 1 + x ŘéSéní. Oblast Q je tvaru trojuheln íku. Je sjednocenn ím oblastí Q1, Q2 ve tvaru trojuheln íku. Obor Q1 je ohranicen přímkami x = 0,y = 0,y = 1+ x, obor Q2 je ohranicen prímkami x = 0,y = 0,y = 1 — x. 1.4- 1.2- / 1- í 0.8- \ 0.6- 0.4- \ 0.2- -2 -1 1 1 0 1 2 / -0.2- x -0.4- Obrázek 13.9: Integračn í obor z príkladu 588»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 4 / 2 -3 -2 -y y = 4 - X Pl \3 P2 / -2 -4 -6 1 2 -5 Obrázek 13.10: Oblast Q z příkladu 13.3 Je tedy JJ(x2 + y2)dxdy = JJ(x2 + y2)dxdy + JJ(x2 + y2)dxdy. Výpočtem postupne dostáváme 0i (x2 + y2)dxdy = { / (x2 + y2 )dy}dx + { / (x2 + y2)dy}dx. l O O O 02 1 /»! — x 589»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit 0 Integrací podle y dostaneme f Vy + 1/3y3 Yy-Jodx + ^+Vy + 1/3y3 ]y-0dx = ř, 2 3 (1 + x)3 ř, 2 3 (1 - x)3 111 j (x2 + x3 + v 3 )dx + J (x2 - x3 + v 3 7 ) dx =6 + 6 = 3 Příklad 13.6. Vypoč Ptejte JJ 2xydxdy, kde Q je uzavřená oblast vyznačená na následuj íc ím obrázku. 590^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 2 X Obrázek 13.11: Obrázek k příkladu Řešení. Obor Q = Qi (J Q2. Je tedy JJ 2xydxdy = JJ 2xydxdy + JJ 2xydxdy. Dostáváme JJ 2xydxdy = 591^Fi^/st •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit £2 £2 1 V4"^"2)2 2 o/4=í2 = / { / 2xydy}dx + /{ / 2xydy}dx = 0 0 10 1 2 0 i 1 2 /x(4 -(x -2)2)dx+/x(4 -x2)dx= 01 1 2 0 1 13 9 = 10 12 + 4 = JL' Proveďte si jako cvičen í výpočet tohoto příkladu i s využit ím okolnosti, ze fž je normaln í oblast vzhledem k ose y. 13.3. Trojný integrál Zaveden í trojného integrálu je obdobné jako zaveden í dvojného integrálu. Budeme tedy postupovat ve výkladu rychleji. 592»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Necht Q je uZávrená oblást v Euklidovskem prostoru E3. Necht u = f (x, y, z) je funkce definováná ná Q. Řekneme, Ze uZávrene oblásti tvorí roZdelen í Q ná n uZávřenych oblást í, jestliZe 1. un=1 Wi = Q 2. oblásti wi, Wj, i = j máj í spolecne nejvyše hránicn í body. Necht di je máximáln í delká usecky, jej íZ koncove body jsou hránicn ími body oblásti wi; náZveme ji prumerem oblásti wi. Necht tedy |wi}n=1} je roZdelen í Q ná n uZávrenych oblástí (wi}n=1. Toto delen í oZnácme Dn. Normu tohoto delen í || Dn || definujme vZtáhem || Dn|| = maxi(| di |). OZnáČcme Wi objem oblásti Wi. Zvolme body Pi G wi pro i = 1, 2,..., n. OZnácme nP = (P^ P2,..., Pn). UtvoČrme souČcet Sn=1f(Pi) |Wi | (13.11) Tento soucet náZveme vytvárej íc ím souctem. VyZnám tohoto souctu ZáleZ í ná vyZnámu funkce f (x, y, z). JestliZe nápř. f (x, y, z) je hustotou hmoty roZprostrene v Q á jedná se o spojitou funkci v Q, potom f(Pi) Wi je pČribliČZnČe hmotnost Wi. 593^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Nečht; (Dn}ľ=1 je takova posloupnost delen í oblasti Q, ze posloupnost príslusnyčh norem {||Di||}~1 (13.12) ma limitu rovnu nule. Budeme ríkat, ze posloupnost (13.12) je nulova. Nečht pro kazdou nulovou posloupnost delen í {Dn}ľ=1 je posloupnost vytvařej íč íčh součtu Sn=1f (Pi)|wi| konvergentn í pri kazde volbe bodu nP a ma tutez limitu S. Potom ji nazyvame hodnotou trojneho integralu pres obor Q z funkče f (x, y, z). P íseme S = JJJ f (x, y, z)dxdydz. 594^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Zavedeme si pojem normální oblasti vzhledem k (Oxy) (viz obrázek 13.12). Necht Q1 je uzavřena oblast v rovině (Oxy). Necht z = $1(x,y), z = <í>2(x,y) jsou spojitá funkce v Q1 a necht $i(x,y) < $2(x,y) pro [x,y] g Q1. Nechtt Q = {[x, y, z] : [x, y] g Q1 a $1(x,y) < z < $2(x,y)}, potom oblast Q nazáváme normalní vzhledem k rovině (Oxy). Jestliže f(x,y,z) je funkce spojita v Q, potom existuje f(x, y, z) a platí *2(x,y) JJJ f (x y, z)dxdydz = JJ{ J f (x, y z)dz}dxdy. " ni *i(x,y) Podobne se žávád í pojem normáln ího oboru vžhledem k rovine (Oxz) á k rovine (Oyz). Plát í ánálogicke tvržen í o existenci á vypoctu trojneho integráli JJJ f (x, y, z)dxdydz, kde Q je normáln í obor vžhledem k rovine Oxy, resp. k rovine Oyz. 595^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Obrázek 13.12: Normáln í oblast Q c e3 Příklad 13.7. Vypočítejte hodnotu trojného integrálu I I = JJJ' (x2yz 3)ydx dy dz n kde Q = {[x,y,z] : 0 < x < 1, 0 < y < x, 0 < z < xy}. 596»First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit ReSeni. Oznacme f1 mnozinu bodu f1 = {[x,y] : x E< 0,1 >, 0 < y < x.}. (viz.obr.13.13) Obrazek 13.13: IntegraCn f obor prfkladu 13.7 Podle predchoz fho rameCku dostavame I = JJ { J (x2yz 3)dz}dxdy = JJ[^ x2yz4]xy dxdy = JJ^ x6y5)dxdy »1 px = L (L 1 x6y5dy)dx = x6y6]xdx = 224 J x12dx = 1 . 312[ 312 597•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit 1 Příklad 13.8. Vypocítejte hodnotu trojneho integrálu I = JJT 1dxdydz, kde Q1 = {[x,y] : 0 < x < 1 A 0 < y < 1 - x} Q = {[x, y, z] : [x, y] G Q1 A 0 < z < 1 - x - y} ReSení.: Ná obrázku 13.14 je vyznácen obor Q. (Je ohránicen rovinámi x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.) Obrazek 13.14: Obor Q 598^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit a na obrazku 13.15 je vyznačen obor Qi-ortogonaln í prUmet oboru Q do roviny Oxy. Obrazek 13.15: Obor Q1 Je tedy 1—x—y I = JJ {I Idz }dxdy = JJMo x y dxdy = 1 —1 x = JJ(1 — x — y)dxdy = j {j (1 — x — y)dy}dx = Qi 0 0 599^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit /n (1 ^ (! - 1 / (1 — x — x(1 — x)--)dx = - J 2 6 0 600• First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit Příklad 13.9. Vypoc ítejte I = JJJdxdydz, kde n Q = {[x, y, z] : 0 < y < 1, 0 < x 0. [{[x,y] : x = —y,x = ±2y}] [D/ = 0] 3. Zjistete mnoZiny, ná nichZjsou následuj íc í funkce spojite. [MnoZiná bodu [x, y], pro neZ je x > 0 A x + y — 1 > 0. [MnoZiná bodu [x, y], pro neZ je x2 — y> 0 A x + y + 1 = 0. a) z = 2 ln(x2—y) b) z = ln(x —y) ' x+y+1 4. Výpocítejte lim -Xg^ [x,y]-[2,3] x +y L13 J 5. Výpocítejte dvojne integralý x2 3+y2 a) JJ 3+^2dxdy, kde Q =< 0, 3 > x < 0,1 > b) JJ xydxdy, kde Q je množina ohranicena křivkami y = —x A y = x — x2 1 x 0 603^First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit c) JJ ^2dxdy, kde Q je množina ohraničena krivkami y = x,y = X, x = 3 [16] d) JJ x2ydxdy, kde Q je množina ohraničena krivkami y2 = x, x = —2 [0] n 6. Vypočítejte hodnotu trojneho integralu a) JJJ dxdydz, kde Q je množina ohraničena pločhami n x y x = 0,y = 0,z = 0,x + y + z =1 [3/2-2 ln 2] b) JJJ z dxdydz, kde Q je množina ohraničena pločhami x = 2, y = 0,z = 0,y = 2x, z = x2 n [32 ] č) JJJ z y z dxdydz, kde Q je množina ohraničena pločhami y = x2, x = y2, z = 0,z = xy [ 96 ] n 604»First •Prev •Next •Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit